Matemática

2° Medio

UNIDAD 2. Logaritmos

GUÍA N° 1 DEFINICION DE LOGARITMO ¿Qué valor de x satisface la ecuación 3x = 27? Fácilmente podemos verificar que x = 3 es una solución para esta ecuación, pues 33 = 27. Pero ¿qué pasa con la ecuación 3x = 50? El valor de x debe estar entre 3 y 4, porque 33 da 27, que es menos que 50 y en cambio 34 es igual a 81, que es más que 50. Sin embargo no podemos dar el valor exacto para x. Por lo tanto inventamos una notación: A este número lo llamaremos “logaritmo de 50 en base 3” y lo anotaremos como “log3 50”. De acuerdo con esto, podemos afirma que logaritmo es una forma de decir “exponente”. Sin embargo surgen cuestiones como: ¿Cuál es el logaritmo de 32 en base 2? ¿Y en base -3? ¿Existe el logaritmo de -27 en base 3? o ¿el logaritmo de -16 en base 2? En esta unidad trataremos estas problemáticas.

Definiciones: 1. Se define el logaritmo de un número b en base a como el número x, tal que ax sea igual a b. Se escribe: loga b = x. 2. a se denomina base del logaritmo y b se denomina argumento del logaritmo. Si a = 10, se habla de logaritmo decimal o común y en vez de “log10” se escribe simplemente “log”.

1 FUNDACIÓN CHILE – MEJOR LICEO

ACTIVIDADES

1. Se desea calcular el valor de x, en la ecuación 2x = 10. a) ¿Entre qué números debe estar el valor de x? Justifica. b) ¿Cómo se expresa x usando logaritmos?

2. Expresa los siguientes exponentes usando la notación de logaritmos y señala entre qué valores deben estar: a) 5t = 40

b) 4p = 22,4

c) 4x =0,2

3. Se desea calcular el valor de x en la expresión: log2 12 = x. a) ¿Cómo podemos expresar la igualdad anterior usando potencias? b) ¿Entre qué valores debe estar el valor de x?

4. Expresa las igualdades siguientes en forma exponencial y determina entre qué valores debe estar el valor incógnito: a) log4 25 = x b) log7 5 = m

c) log 25 = z

5. Fernando escribió una potencia con la notación de logaritmos. Escribió: log 5 = 32. ¿Puedes deducir cuál era la potencia que Fernando escribió en notación de logaritmos?

6. Carolina expresa un exponente usando la notación de logaritmos. Ella escribe: log2 (-4) = x. Su amiga Alejandra ve esto y sin mirar la expresión original le dice que debe haber un error en el argumento del logaritmo. a) ¿Tiene razón Alejandra? b) ¿Cómo pudo saberlo, si no vio la expresión original? c) ¿Puedes plantear una generalización al problema?

7. Vicente dice que “log 0 = 1”, sin importar cuál sea la base del logaritmo. Su justificación es que “cualquier número elevado a 0 da 1”. ¿Tiene razón Vicente?

2 FUNDACIÓN CHILE – MEJOR LICEO

ACTIVIDADES

En la mayoría de los casos no podemos calcular “loga b” en forma exacta y sólo podemos decir por ejemplo, que el número se encuentre entre tal y tal valor. Con una calculadora podríamos dar información más precisa, pero incluso con una calculadora no podremos dar el valor exacto. En sólo algunos casos se puede dar el valor exacto. Aquí veremos algunos ejemplos.

1. Calcula usando la definición de logaritmos. Justifica tus respuestas. a) log5 125

b) log3 9

c) log7 49

d) log11 121

2. Calcula: a) log2 1

b) log3 1

c) log12,3 1

¿Puedes generalizar los resultados obtenidos? Justifica tu generalización.

3. Calcula y justifica tu respuesta: a) log6 6

b) log9 9

c) log8,34 8,34

¿Qué puedes decir de loga a? Justifica

4. Calcula a) log 1000

b) log 100

c) log 10

d) log 1

Observando la secuencia anterior, ¿qué valores deben tener los siguientes logaritmos? e) log 0,1

f) log 0,01

g) log 0,001

Escribe una frase resumiendo lo anterior.

5. ¿Cuál es el valor de los siguientes logaritmos? a) log497

b) log2 0,5

c) log 1 9 3

6. ¿Cuál es el valor de x en logx

d)

log 3 2

4 9

1 =3 ? 8

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Un método para calcular un logaritmo no tan simple, es usar la definición para plantear una ecuación exponencial y luego resolver la ecuación exponencial. Por ejemplo: Calcular log 279 Si llamamos x al log

279

y usamos la definición obtendremos la ecuación exponencial 27x = 9.

Como 27 y 9 son ambos potencias de 3, podemos escribir la ecuación usando una sola base: 3 x

(3 )

= 32.

( )

La potencia de la izquierda se puede simplificar usando la propiedad ap

q

= apq . La ecuación

33x = 32

queda:

Como las bases de las potencias son iguales, los exponentes también deben serlo. Esto nos lleva a la ecuación: 3x = 2 Resolvemos: Por lo tanto: log 279 =

7.

x=

2 3

2 3

Calcula los siguientes logaritmos b) log 25 125 a) log 832

c) log

6432

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GUÍA N° 2 PROPIEDADES DE LOS LOGARITMOS Los logaritmos y las potencias están estrechamente relacionados. Las potencias tienen propiedades que simplifican algunos cálculos, como por ejemplo la multiplicación de potencias de igual base. Entonces uno puede preguntarse: ¿Existen propiedades para los logaritmos que permitan simplificar los cálculos? De hecho las hay, y ya vimos algunas en las actividades: Propiedad 1: El logaritmo de 1 es 0, da lo mismo cuál sea la base: loga 1 = 0. Propiedad 2: Si la base y el argumento son iguales, el logaritmo es 1: loga a = 1. Las potencias tienen una propiedad que permite multiplicar potencias de igual base. ¿Habrá algo similar para los logaritmos? Observemos el siguiente ejemplo de potencias 4 = 22 16 = 24 Se multiplican

64 = 26

Se suman los exponentes

Este ejemplo ilustra la propiedad que escribimos algebraicamente como an · am = an + m. Tratemos de hacer algo similar con logaritmos: 2 =log2 4 4 = log216 Se suman

6 = log264

Se multiplican los argumentos

En resumen, log2 64 se puede calcular como log2 (16 · 4) y también como log2 16 + log2 4. Es decir, log2 (16·4) = log2 16 + log2 4. Este ejemplo ilustra la siguiente propiedad: El logaritmo de un producto es igual a la suma de los logaritmos de los factores logb (a · c) = logb (a) + logb (c)

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ACTIVIDADES

1. Verifica la propiedad de la multiplicación calculando log5 125 de dos formas diferentes: (a) Usando la definición. (b) Descomponiendo 125 en dos factores adecuados.

2. Si hay una propiedad para la multiplicación, debiera haber una propiedad para la división.

x  =? y

a) Formula una hipótesis: loga 

b) Verifica la propiedad de la división calculando log2 4 y luego log2 32 – log2 8. (Fíjate que 32 : 8= 4).

3. a) Calcula y compara las siguientes expresiones: log2 43 a.1) log2 4 y a.2) log3 3 y log3 34 a.3) log 100 y log 1005 b) Calcula log3 27. Según tu cálculo, ¿cuál debiera ser el resultado de c) Formula tu hipótesis: loga (xn) = ?

log3 2720?

4. Si log 2 ≈ 0,3 y log 3 ≈ 0,48. (≈ significa “aproximadamente igual”) aplica las propiedades de multiplicación y división y da un valor aproximado para: a) log 6 b) log 1,5 c) log (4/3)

5. Verifica que: a) log (a3b5) = 3 log a + 5 log b b) log (a3 b )= 3 log a +

1 log b 2

 4a 2 

 = 2(log 2+log a) - log 3 c) log    3  6. Reduce las expresiones siguientes a un solo logaritmo: a) log 3 + log 5 c) log a - log b - log c

b) 1/2 log 4 + 1/2 log 25 d) log x – 2 log y + log z

 x   =logax -loga3+logay . Tito plantea que parece haber un error.  3y 

7. Arturo dice que loga 

Dice: “o falta un paréntesis o hay un signo errado”. ¿Qué opinas tú?

6 FUNDACIÓN CHILE – MEJOR LICEO

ACTIVIDADES

1. 1. Calcula utilizando las propiedades de los logaritmos. Indica la propiedad que usaste en cada paso: b) log3

a) log5 (25 · 125)

27 81

2. Calcula los siguientes logaritmos. Usa la definición y luego usa propiedades. ¿Cuál método te resultó más fácil? Comenta con tus compañeros.

1  3

 1    25 

a) log3 

b) log5 

3. Calcula: log2 16

a) 2

log9 81

b) 9

c)

¿Cuál será el resultado de

5log5 125

7 log 7 34 ? Escribe una fórmula que generalice tu resultado.

4. a) Calcula y compara a.1) log9 81

y

log3 81 log3 9

a.2) log4 16

y

log216 log2 4

b) ¿Cómo puedes calcular log27 81? c) Escribe una fórmula para tus resultados.

5.

Calcula los siguientes logaritmos, ahora con la fórmula que acabas de determinar. a) log8 32

b) log25 125

c) log64 32

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