31 EJERCICIOS de LOGARITMOS
Función exponencial y logarítmica: 1. Para cada una de las funciones que figuran a continuación, se pide: i) Tabla de valores y representación gráfica. ii) Signo de f(x). iii) Cortes con los ejes. iv) Intervalos de crecimiento. v) Dominio y recorrido. vi) Asíntotas. vii) lim f(x) y lim f(x) x → -∞
a) f(x) = 10
x
x→ ∞
b) f(x) = 0,1x y f(x) = log 0,1 x
y f(x) = log x
c) f(x) = e x y f(x) = ln x
d) f(x) = 3 x y f(x) = log 3 x
N = x a
⇔
x = N a g o l Definición de logaritmo:
(donde a>0, a≠1)
Sistemas de logaritmos más utilizados:
log
a=e
Ln, ln
Logaritmo neperiano
1
N = x e
a=10
DEFINICIÓN
N = x 0 1
Logaritmo decimal
⇔ ⇔
NOTACIÓN
x = N n l
BASE
x = N g o l
NOMBRE
donde e ≅ 2,718281828459… se llama cte. de Euler; es un número irracional.
Definición de logaritmo: 2.
Utilizando la definición, hallar los siguientes logaritmos: a) log3 9
e) log2 2
i) log4 64
m) log4 256
q) log2 1024
b) log3 81
f) log2 8 g) log101000 h) log4 2
j) log10 0,01
n) log41/64
r) log21/64
k) log41/16
o) log2 0,125
s) log3 27
l) log5 0,2
p) log41
c) log31/9 d) log3(-9)
(Soluc: a) 2;
t) log2 log2 4
b) 4; c) -2; d) ∃ / ; e) 1/2; f) 3/2; g) 3; h) 1/2; i) 3; j) -2; k) -2; l) -1; m) 4; n) -3; o) -3; p) 0;
q) 10; r) -6; s) 3/2; t) 1)
3. Calcular los logaritmos decimales de los siguientes números (sin calculadora) y comprobar el resultado: a) 10.000
b) 1.000.000
g) 10
h) 1
(Soluc: a) 4;
1
c) 0,001
d) 1/1.000.000
8
e) 10
-7
f) 10
b) 6; c) -3; d) -6; e) 8; f) -7; g) 1; h) 0)
En honor a John Napier (Neper, en latín), matemático inglés (1550-1617) inventor de los logaritmos.
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4.
Utilizando la definición de logaritmo, hallar el valor de x en cada una de las igualdades siguientes: a) log2 8=x
f) log3 x=-2
k) logx 25=-1
p) logx 2=0
b) log21/8=x
g) logx 49=2
l) log1/100100=x
q) log0,25 x=2
c) log 100=x
h) logx 8=3
m) logx 0.01=2
r) log2 (-16)=x
3
u) logx 1=0
d) log3 x=3
i) ln e =x
n) lnx=-1/2
s) logx 125=-3
e) lnx=2
j) logx 64=1
o) log1/36x=2
t) log3 log3 3=x
(Soluc: a) 3;
b) -3; c) 2; d) 27; e) e ; f) 1/9; g) 7; h) 2; i) 3; j) 64; k) 1/25; l) -1; m) 0,1; n) √e/e; o) 1/1296; 2
p) ∃ / ; q) 0,0625; r) ∃/ ; s) 1/5; t) 0 u) ∀ℝ)
q g o l + p g o l = q · p g o l
Cálculo logarítmico:
(
)
q g o l p g o l = p q g o l
Fórmulas del cálculo logarítmico:
p g o l 1 n = p n g o l
p g o l · n = n p g o l
e
=x
x n l
x = x e n l
a
x a g o l
x = x a a g o l
Casos particulares:
(todas son válidas en cualquier base)
=x
0 = 1 n l
1 = e n l
0 = 1 a g o l
1 = a a g o l
5. Aplicando las fórmulas anteriores, calcular (y hacer la comprobación): 1 36
a) log6
b) log3 4 27 c) log3 243 3
1
d) loga
a 2
1 5
o) log3
e
i) log4 2 j) log8 2
64
g) log3 3 9
p) log3
3 5
81
3 9
k) log 8 32
q) ln e
l) ln 3 e
r) log4 ( −4)
m) log2 64
e) ln e f) log4
h) ln 1
n) log4
1 64
v)
ln
1 3
β) log 10
e2
0,1
1
w) log3
x) log 20 + log 5 3 y) log 100
e
10
s) log2 3 32
z) log3
t) log3 27
α) ln e 4
5 u) log2 64
γ)
243
1 27 3 9
e
ln
e 3
δ) log3
e2
1 3
4
27
ε) log1/5 125 ζ) log5 η)
ln
1 5
3
25
1 e2 e
8
(Soluc: a) -2;
b) 3/4; c) 3/2; d) -1/2; e) 2; f) -3/5; g) 2/3; h) -1; i) 1/2; j) 1/3; k) 5/6; l) 1/3; m) 6; n) -3; o) 1/5; p) -3/2; q) -1/2; r) ∃ / ; s) 5/3; t) 3/2; u) -9/5; v) -2/3; w) -5/2; x) 1; y) -1/3; z) -11/3; α) 3/4;
β) 3/2; γ) 1/3; δ) -7/4; ε) -3; ζ) -5/3; η) -5/2)
6. Volver a hacer el ejercicio 2, pero esta vez aplicando las fórmulas del cálculo logarítmico.
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7. Expresar en función de log 2 los logaritmos decimales siguientes, y comprobar con la calculadora:
e) log 0,625
c) log 32/5
f) log 250
j) log 0,32
m) log
h) log
k) log 0,08
i) log 16/5
n) log2 + log 3 + log 4 + log 5
l) log
5
2 g o l 43
; i) -1+5log 2;
; g) −
−
83
23 + 3 n l 53
; f)
3 g) ln 9e 3
3 n3 l
f) ln 9e 3 3e
e) 2 n2 l + 1
; e)
e 2
n l
2 n l 4 e 2 n l + 12
d)
b) 1-ln 2; c) 3-2 ln 2; d) −
4
2 g o l + 23
2 g o l 3 + 1 15
3 4 e n l
e 2 n l
8 n l
(Soluc: a) 3 ln 2;
c)
3
; n) 1-log 2)
) ; m) −
8. Expresar en función de ln 2 o ln 3: b)
2
b) 1-log 2; c) -1+6log 2; d) -2log 2; e) 1-4log 2; f) 3-2log 2; g) -1-2log 2; h)
j) -2+5log 2; k) -2+3log 2; l)(
a)
0 8
(Soluc: a) 4log 2;
3
b) log 5
8 0 , 0
g) log 1/40 3
d) log 0,25
6 1
a) log 16
3e
)
9. Expresar en función de log 2 y log 3 los logaritmos siguientes, y comprobar con la calculadora: 6 , 3
a) log 25
d) log 9/4
b) log 24 c) log 4/3
e) log
h) log 3,6
k) log 0,27
f) log 30
i) log 1,2
l) log 0,72
3
j) log 90
6
g) log 162
m) log
3 g o l +3 2 g o l
(Sol: a) 2-2 log 2; b) 3 log 2+log 3; c) 2 log 2-log 3; d) 2 log 3-2log 2; e)
; f) 1+log 3; g) log 2+4 log 3;
h) -1+2 log 2+2 log 3; i) -1+2 log 2+ log 3; j) 1+2 log 3; k) -2+3 log 3; l) -2+3 log 2+2 log 3; m) -1/2+ log 2+ log 3)
10. Expresar en función de log 2, log 3 y log 7 los logaritmos siguientes: 3
b) log 0,128
c) log 0,125
11. Calcular: a) e 4ln 2 − 5e3ln 2 + 5e2ln 2 + 5eln 2 ln3 −ln2
−3ln3
e) log
(Sol: 6)
b) 2e c) 9 e
d) log 14,4
2 1
a) log 84
(Sol: 3)
− 8 e−2ln3 + e− ln3
(Sol: -2/9)
4
b) log 125=3(1-log 2)
c) log 6 + log 3-log 2 = 2 log 9 − log 3
d) 10 −2 log 2
4
=
g o l 2 + 5 g o l
e)
1 =
8 g o l + 1
−
1 =
a)
1 = 6 g o l 8 g o l + 9 g o l
2 g o l + 6 g o l
12. Justificar las siguientes igualdades:
(*) f) 4log3/log2
9
13. Sabiendo que log 7,354=0,866524..., hallar (sin calculadora): a) log 735,4
b) log 0,007354
c) log 7354
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g)
l) m) log (x -y )
q) log 10
c) 2 log 2+2 log x-2 log y;
−) ; p) (
)
(
−) −
(
−
b n l
a n l 2 3
b n l 2 + 2 a n l = x n l
−(
)
( (
)
)
6 d a b 6 a 2 4 a c b = = x x : : c c u u l l o o S S
) −(
d g o l + c g o l 2 1 2
b g o l 3 + a g o l
2 = x g o l (
2 a 0 1 = x : c u l o S
a g o l 2 + 1 = x g o l
(
a)
)
)
. 16. Sabiendo que x=7 e y=3, utilizar la calculadora para hallar:
7
f)
g)
(
)
(Soluc: a=49)
N 3 3 N g4 o l
b) Si log4 N=3, ¿cuánto vale
e) log x + y
2 = b 7 g o l + a b
g o l
17. a) Hallar a sabiendo que
d) log (x+y)
y + x 2 g o l
c) log2x
b) log (2x)
y + 2 x g o l
a) log x2
? ¿Cuánto vale N?
18. ¿En qué base se cumple que loga 12+loga 3=2?
(Soluc: -8; N=64)
(Soluc: a=6)
19. ¿V o F? Razonar la respuesta: c)
b) log (A2+B2)=2log A+ 2log B d)
x x n n l l = = x x 2 2 2 2 n n l l
a) log (A+B)=log A + log B
2 x +
(
;
)
; s) n log x+m log y; t) log 2+2 log m+3 log n-log p-4 log q
15. Obtener x en las siguientes expresiones:
c)
)
n
−
(
; l)
;
)
u) −
b)
d) ln a+2 ln x; e) 2 ln a+2 ln x; f)
m g o l +2 n + m p g g o l o l
−
; o)
m g o l
c g o l 25 2 + b g o l 3 + a g o l 2
x x g3 l n o l + 12 1
; r)
u)
; i) r log m+r log n-r log p; j) -1-ln x; k)
m) log(x+y)+log(x-y); n) q)
t)
x n g m o l g +2 o l m + g x o l + m g o l
g) log m+log n+log p-log q-log r; h)
m
2 c x m n g l g o 32 o l l 13 12
b) log 2+3 log x;
q g a o l g r o l 3 4p g o l m g o l n
a) 3 log 2+3 log x;
5 c 3 p b m 2 a
k)
(Sol:
)
x x n l
2
2 2 x x +
2
−
x
3 n 4 2 q m p 2 g o l
2
m m g o l
p)
3
s) log (x y )
2 n
−
o)
n m g o l
f)
m g o l
j)
c
3
g o l
e) ln (ax)
2
r)
n
x 1 e n l
d) ln (ax )
n)
r
2
n m p
i)
g o l
h)
g o l
2
r n q m p
4 /
2
x 2 y g o l
c)
2
g o l
3
b) log (2x )
(
3 x n l
3
3 a g o l
a) log (2x)
p r n q m g o l
14. Utilizando las fórmulas del cálculo logarítmico, desarrollar al máximo las expresiones siguientes:
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B A C g o g l o l = B A C g o l (
e)
)
g) Los logaritmos decimales de números