3. 1

UNIDAD 3

LOGARITMOS EJERCICIOS RESUELTOS Objetivo general. Al terminar esta Unidad comprenderás la importancia histórica de los logaritmos y resolverás ejercicios y problemas en los que apliques los logaritmos y sus leyes.

Objetivo 2.

Reconocerás la definición de logaritmo.

Ejercicios resueltos: a.)

Escribe la forma logarítmica de las expresiones dadas en forma exponencial. 1.)

26  64 La base es 2 y el exponente es 6, por lo que log 2 64  6

3

1 1 2.)     5  125 La base es 1

3.)

24 

5

y el exponente es 3, de modo que log 1

1 3 5 125

1 16 La base es 2 y el exponente es – 4, así que log 2

1  4 16

3. 2 b.)

Escribe la forma exponencial de las expresiones dadas en forma logarítmica. 4.)

log 6 36  2 La base es 6 y el logaritmo es 2, por lo que 62  36

5.)

log 3 243  5 La base es 3 y el logaritmo es 5, así que 35  243

6.)

log 1

3

1 4 81 4

La base es 1 y el logaritmo es 4, de modo que 3

c.)

1 1     3  81

Escribe en forma exponencial y determina el valor de la incógnita. 7.)

y  log 5 25

En forma exponencial: 5 y  25 Como 52  25 , entonces y  2

8.)

2  log a 16

En forma exponencial: a 2  16 Como 42  16 , queda a  4

9.)

3  log 1 x 2

3

1 En forma exponencial:    x 2 Entonces, x 

Objetivo 3.

1 8

Recordarás la diferencia entre los logaritmos naturales y

los logaritmos base diez.

3. 3

Ejercicios resueltos: Con ayuda de unas tablas o una calculadora, encuentra los logaritmos comunes y los logaritmos naturales de los números que se proponen:

1.)

3 log 3  0.477121... ln 3  1.098612...

2.)

300 log 300  2.477121... ln 300  5.703782...

3.)

1

30

log 1 30  1.477121... ln 130  3.401197...

4.)

30, 000 log 30,000  4.477121... ln 30, 000  10.308953...

Objetivo 4.

Recordarás las propiedades generales de los logaritmos.

Ejercicios resueltos: Escribe una X si el logaritmo no existe, un 1 o un 0 si ése es su valor, y una P si es positivo (diferente de 1) o una N si es negativo.

1.)

ln 0

  X

3. 4 2.)

 

log 5 73

P 3.)



log 2  3

4



  X

4.)

 

log12 12

1 5.)

 

log 9 1

X 6.)

 

log1 18

X 7.)

log 3  0.11

   N

Objetivo 5.

Recordarás las leyes de las operaciones con logaritmos.

Ejercicios resueltos: a.)

Demuestra la ley del producto para los logaritmos.

log a x  p



x  ap

log a y  q



y  aq

xy  a p  a q  a p  q

 b.)

log xy  p  q  log x  log y

Aplica las leyes de los logaritmos para desarrollar las siguientes expresiones:

1.)

log 3

x x2

 log 3 x  log 3  x  2 

3. 5 2.)

log 9 4 x 2   x  2  log 9 4

3.)

log 5 12

 log 5 12 

1

2

1  log 5 12 2

4.)

log  2  3  7 

4

 4 log  2  3  7   4  log 2  log 3  log 7 

5.)

log 2

3

 x     2y 

2

 x 2   log 2     2 y   2

 x   log 2    2y 

1

3

3

 x  2  log 2   3  2y 

c.)



2  log 2 x  log 2 2 y  3



2  log 2 x   log2 2  log 2 y   3



2  log 2 x  log 2 2  log2 y  3

Aplica las leyes de los logaritmos para reducir las expresiones:

6.)

2log x  2 log y  log x 2  log y 2

3. 6  log x 2 y 2

7.)

ln a  ln b  ln c  ln a   ln b  ln c   ln a  ln bc

 a   ln    bc 

8.)

2 3 log 3 a  log 3 b 5 5

 log 3 a

2

2

5

 log 3 b

 log 3 a 5 b

3

3

5

5

 log 3  a 2b3 

1

5

 log 3 5 a 2b 3

9.)

log 7  x  y   log 7 3

 log 7

10.)

x y 3

log x  2 log y  log z  log x  log y 2  log z

 log d.)

xz y2

Sabiendo que log 2 = 0.301030...; log 3 = 0.477121...; log 5 = 0.698970... y log 7 = 0.845098...; calcula, utilizando sólo estos valores, los siguientes logaritmos:

11.)

log 4 log 4  log 2 2

 2log 2

3. 7  2  0.301030...  0.602060...

12.)

log 42 log 42  log  2  3  7 

 log 2  log 3  log 7   0.301030...   0.477121...   0.845098...  1.623249...

13.)

log 2.5 log 2.5  log

5 2

 log 5  log 2  0.698970...  0.301030...  0.397940...

14.)

log

log

3 7 3 1 3  log 7 2 7 

1  log 3  log 7  2



1  0.477121...  0.845098... 2



1  0.367977... 2

 0.183989...

3. 8 Objetivo 6.

Recordarás el procedimiento para cambiar logaritmos de una

base a otra. Ejercicios resueltos: Obtén los valores de los logaritmos que se solicitan, a partir de los que se dan.

1.)

log 2 5 si log 5  0.698970... y log 2  0.301030...

log 2 5  

log 5 log 2 0.698970... 0.301030...

 2.321929...

2.)

ln 72

si log 72  1.857333... y log e  0.434294...

ln 72 

log 72 log e



1.857333... 0.434294...

 4.276666...

3.)

log 5 14 si log 3 7  1.771244..., log 3 2  0.630930... y log3 5  1.464974...

log 5 14 

log 3 14 log 3 5



log 3 7  log 3 2 log 3 5



1.771244...  0.630930... 1.464974...



2.402174... 1.464974...

 1.639738...

3. 9 Objetivo 7.

Resolverás ecuaciones que involucren logaritmos.

Ejercicios resueltos: Obtén el valor de la incógnita:

1.)

log  2 x  4   2

2 x  4  102  100 2 x  100  4  104 x  52

2.)

log  y  1  log y  log  y  9  log  y  1 y  log  y  9  log  y  1 y  log  y  9   0

log

 y  1 y  0  y  9

 y  1 y  100  1  y  9  y  1 y   y  9  y2  y  y  9 y2  9  0

y  3 o y  3 pero la solución negativa no puede aceptarse, de modo que y  3

3.)

log x  1  log  x  1  log x  4 1 1 log  x  1  log  x  1  log  x  4  2 2 log  x  1  2 log  x  1  log  x  4  2

log  x  1  log  x  1  log  x  4 

3. 10 2

 x  1 log  x  1  log  x  4  x  1 x 1 

2

x4

 x  1 x  4   x  1

2

x 2  3x  4  x 2  2 x  1 x5

Objetivo 8. reales.

Aplicarás logaritmos en la resolución de problemas de casos

Ejercicios resueltos: 1.)

Para determinar la edad de una roca, la ciencia ha desarrollado una técnica basada en la concentración de cierto material radiactivo en su interior. Cuanto más joven es la roca, mayor concentración de material radiactivo se encuentra en ella. La ecuación que relaciona la concentración del material con la edad de la roca es:

C  x   3 t k donde C  x  representa la concentración del material radiactivo encontrada en la roca, t la edad de la roca (medida en cientos de años) y k la concentración del elemento en el momento de formarse la roca.

Suponiendo que k = 4500: a.) ¿Qué edad tendrá una roca que tiene una concentración de 1500 del material radiactivo? b.) ¿Qué edad tendría que tener una roca para que ya no tuviera el material radiactivo?

Solución: Si se aplican logaritmos a la ecuación dada se obtiene:

ln C  x    ln  3 t k   ln 3t  ln k ln C  x    t  ln 3  ln k

3. 11 que sería la ecuación escrita en forma logarítmica. De esta manera, en el inciso a.), al sustituir los valores de C  x  y de k queda:

ln1500  t ln3  ln 4500 t ln 3  ln 4500  ln1500

 ln

4500  ln 3 1500



t 1

De modo que la edad de la roca es de 100 años (puesto que t = 1 y el tiempo se mide en cientos de años).

Para el inciso b.), el material radiactivo se acabaría cuando su concentración llegara a cero, lo que significaría que:

ln 0  t  ln 3  ln k Pero el logaritmo de cero no existe, de modo que la ecuación no tiene solución, por lo que, teóricamente, siempre quedaría un resto (mínimo) de material radiactivo.

2.)

Si se invierte un capital a una tasa fija y los intereses se capitalizan periódicamente, es decir que se suman al capital y la suma obtenida se reinvierte con la misma tasa por otro período igual, el capital original se incrementa con la fórmula del interés compuesto, según la cual, después de n períodos se tiene:

C f  ci 1  r 

n

donde C f es el capital acumulado, ci es el capital inicial y r es la tasa de interés.

¿En cuántos años se logrará que un capital de $ 10,000.00 invertido a una tasa del 3.5% anual se incremente hasta $ 11,475.00?

Solución: Al convertir la fórmula del interés compuesto a su forma logarítmica se tiene:

log C f  log ci 1  r 

n

3. 12

 log ci  log 1  r 

n

log C f  log ci  n log 1  r 

Entonces, si C f  11, 475, ci  10, 000 y r  0.035 , al sustituir valores queda:

log11, 475  log10, 000  n log 1  0.035  y, resolviendo para n:

n log 1.035 

 log11, 475  log10, 000

 11, 475   log    log1.1475  10, 000 

n

log1.1475 4 log1.035

Por lo que tendrán que transcurrir 4 años para obtener la cantidad deseada.

3.)

Si un objeto que está a una temperatura dada se saca a la intemperie, el objeto se calienta si la temperatura ambiente es mayor y se enfría en el caso contrario. La ley del enfriamiento de Newton, que explica el cambio de temperatura del cuerpo es:

T  Q  Cek t donde T es la temperatura del objeto después de un tiempo, t, medido en minutos, Q es la temperatura a la intemperie y C y k son constantes que dependen de las características del objeto y de su temperatura inicial. Si para una taza de café C = 80 y k = – 0.069315, ¿cuánto tiempo hay que esperar para que el café esté a 60º C si la temperatura ambiente es de 20º C?

Solución: Si se convierte la ecuación a la forma logarítmica se obtiene:

T  Q  Ce k t

T Q  kt  e  C  T Q  kt ln    ln e  C 

 k t ln e

3. 13

T Q  ln   kt  C  en donde se ha escogido utilizar logaritmos naturales para aprovechar que ln e  1 .

Entonces, si T  60 y Q  20, al sustituir valores queda:

 60  20  ln    0.069315 t  80  y, resolviendo para t:

 40  ln    ln 0.5  0.069315 t  80  t 

ln 0.5 0.069315

0.69315  10 0.069315

De modo que hay que esperar 10 minutos para que el café esté a 60º C