31 EJERCICIOS de LOGARITMOS

Función exponencial y logarítmica: 1. Para cada una de las funciones que figuran a continuación, se pide: i) Tabla de valores y representación gráfica. ii) Signo de f(x). iii) Cortes con los ejes. iv) Intervalos de crecimiento. v) Dominio y recorrido. vi) Asíntotas. vii) lim f(x) y lim f(x) x → -∞

a) f(x) = 10

x

x→ ∞

b) f(x) = 0,1x y f(x) = log 0,1 x

y f(x) = log x

c) f(x) = e x y f(x) = ln x

d) f(x) = 3 x y f(x) = log 3 x

N = x a

⇔

x = N a g o l
Definición de logaritmo:

(donde a>0, a≠1)


Sistemas de logaritmos más utilizados:

log

a=e

Ln, ln

Logaritmo neperiano

1

N = x e

a=10

DEFINICIÓN

N = x 0 1

Logaritmo decimal

⇔ ⇔

NOTACIÓN

x = N n l

BASE

x = N g o l

NOMBRE

donde e ≅ 2,718281828459… se llama cte. de Euler; es un número irracional.

Definición de logaritmo: 2.

Utilizando la definición, hallar los siguientes logaritmos: a) log3 9

e) log2 2

i) log4 64

m) log4 256

q) log2 1024

b) log3 81

f) log2 8 g) log101000 h) log4 2

j) log10 0,01

n) log41/64

r) log21/64

k) log41/16

o) log2 0,125

s) log3 27

l) log5 0,2

p) log41

c) log31/9 d) log3(-9)

(Soluc: a) 2;

t) log2 log2 4

b) 4; c) -2; d) ∃ / ; e) 1/2; f) 3/2; g) 3; h) 1/2; i) 3; j) -2; k) -2; l) -1; m) 4; n) -3; o) -3; p) 0;

q) 10; r) -6; s) 3/2; t) 1)

3. Calcular los logaritmos decimales de los siguientes números (sin calculadora) y comprobar el resultado: a) 10.000

b) 1.000.000

g) 10

h) 1

(Soluc: a) 4;

1

c) 0,001

d) 1/1.000.000

8

e) 10

-7

f) 10

b) 6; c) -3; d) -6; e) 8; f) -7; g) 1; h) 0)

En honor a John Napier (Neper, en latín), matemático inglés (1550-1617) inventor de los logaritmos.

Texto bajo licencia Crative Commons: se permite su utilización didáctica así como su reproducción impresa o digital siempre y cuando se respete la mención de su autoría, y sea sin ánimo de lucro. En otros casos se requiere el permiso del autor ([email protected])

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4.

Utilizando la definición de logaritmo, hallar el valor de x en cada una de las igualdades siguientes: a) log2 8=x

f) log3 x=-2

k) logx 25=-1

p) logx 2=0

b) log21/8=x

g) logx 49=2

l) log1/100100=x

q) log0,25 x=2

c) log 100=x

h) logx 8=3

m) logx 0.01=2

r) log2 (-16)=x

3

u) logx 1=0

d) log3 x=3

i) ln e =x

n) lnx=-1/2

s) logx 125=-3

e) lnx=2

j) logx 64=1

o) log1/36x=2

t) log3 log3 3=x

(Soluc: a) 3;

b) -3; c) 2; d) 27; e) e ; f) 1/9; g) 7; h) 2; i) 3; j) 64; k) 1/25; l) -1; m) 0,1; n) √e/e; o) 1/1296; 2

p) ∃ / ; q) 0,0625; r) ∃/ ; s) 1/5; t) 0 u) ∀ℝ)

q g o l + p g o l = q · p g o l

Cálculo logarítmico:

(

)

q g o l p g o l = p q g o l


Fórmulas del cálculo logarítmico:

p g o l 1 n = p n g o l

p g o l · n = n p g o l

e

=x

x n l

x = x e n l

a

x a g o l

x = x a a g o l

Casos particulares:

(todas son válidas en cualquier base)

=x

0 = 1 n l

1 = e n l

0 = 1 a g o l

1 = a a g o l

5. Aplicando las fórmulas anteriores, calcular (y hacer la comprobación): 1 36

a) log6

b) log3 4 27 c) log3 243 3

1

d) loga

a 2

1 5

o) log3

e

i) log4 2 j) log8 2

64

g) log3 3 9

p) log3

3 5

81

3 9

k) log 8 32

q) ln e

l) ln 3 e

r) log4 ( −4)

m) log2 64

e) ln e f) log4

h) ln 1

n) log4

1 64

v)

ln

1 3

β) log 10

e2

0,1

1

w) log3

x) log 20 + log 5 3 y) log 100

e

10

s) log2 3 32

z) log3

t) log3 27

α) ln e 4

5 u) log2 64

γ)

243

1 27 3 9

e

ln

e 3

δ) log3

e2

1 3

4

27

ε) log1/5 125 ζ) log5 η)

ln

1 5

3

25

1 e2 e

8

(Soluc: a) -2;

b) 3/4; c) 3/2; d) -1/2; e) 2; f) -3/5; g) 2/3; h) -1; i) 1/2; j) 1/3; k) 5/6; l) 1/3; m) 6; n) -3; o) 1/5; p) -3/2; q) -1/2; r) ∃ / ; s) 5/3; t) 3/2; u) -9/5; v) -2/3; w) -5/2; x) 1; y) -1/3; z) -11/3; α) 3/4;

β) 3/2; γ) 1/3; δ) -7/4; ε) -3; ζ) -5/3; η) -5/2)

6. Volver a hacer el ejercicio 2, pero esta vez aplicando las fórmulas del cálculo logarítmico.

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7. Expresar en función de log 2 los logaritmos decimales siguientes, y comprobar con la calculadora:

e) log 0,625

c) log 32/5

f) log 250

j) log 0,32

m) log

h) log

k) log 0,08

i) log 16/5

n) log2 + log 3 + log 4 + log 5

l) log

5

2 g o l 43

; i) -1+5log 2;

; g) −

−

83

23 + 3 n l 53

; f)

3 g) ln 9e 3

3 n3 l

f) ln 9e 3 3e

e) 2 n2 l + 1

; e)

e 2

n l

2 n l 4 e 2 n l + 12

d)

b) 1-ln 2; c) 3-2 ln 2; d) −

4

2 g o l + 23

2 g o l 3 + 1 15

3 4 e n l

e 2 n l

8 n l

(Soluc: a) 3 ln 2;

c)

3

; n) 1-log 2)

) ; m) −

8. Expresar en función de ln 2 o ln 3: b)

2

b) 1-log 2; c) -1+6log 2; d) -2log 2; e) 1-4log 2; f) 3-2log 2; g) -1-2log 2; h)

j) -2+5log 2; k) -2+3log 2; l)(

a)

0 8

(Soluc: a) 4log 2;

3

b) log 5

8 0 , 0

g) log 1/40 3

d) log 0,25

6 1

a) log 16

3e

)

9. Expresar en función de log 2 y log 3 los logaritmos siguientes, y comprobar con la calculadora: 6 , 3

a) log 25

d) log 9/4

b) log 24 c) log 4/3

e) log

h) log 3,6

k) log 0,27

f) log 30

i) log 1,2

l) log 0,72

3

j) log 90

6

g) log 162

m) log

3 g o l +3 2 g o l

(Sol: a) 2-2 log 2; b) 3 log 2+log 3; c) 2 log 2-log 3; d) 2 log 3-2log 2; e)

; f) 1+log 3; g) log 2+4 log 3;

h) -1+2 log 2+2 log 3; i) -1+2 log 2+ log 3; j) 1+2 log 3; k) -2+3 log 3; l) -2+3 log 2+2 log 3; m) -1/2+ log 2+ log 3)

10. Expresar en función de log 2, log 3 y log 7 los logaritmos siguientes: 3

b) log 0,128

c) log 0,125

11. Calcular: a) e 4ln 2 − 5e3ln 2 + 5e2ln 2 + 5eln 2 ln3 −ln2

−3ln3

e) log

(Sol: 6)

b) 2e c) 9 e

d) log 14,4

2 1

a) log 84

(Sol: 3)

− 8 e−2ln3 + e− ln3

(Sol: -2/9)

4

b) log 125=3(1-log 2)

c) log 6 + log 3-log 2 = 2 log 9 − log 3

d) 10 −2 log 2

4

=

g o l 2 + 5 g o l

e)

1 =

8 g o l + 1

−

1 =

a)

1 = 6 g o l 8 g o l + 9 g o l

2 g o l + 6 g o l

12. Justificar las siguientes igualdades:

(*) f) 4log3/log2

9

13. Sabiendo que log 7,354=0,866524..., hallar (sin calculadora): a) log 735,4

b) log 0,007354

c) log 7354

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g)

l) m) log (x -y )

q) log 10

c) 2 log 2+2 log x-2 log y;

−) ; p) (

)

(

−) −

(

−

b n l

a n l 2 3

b n l 2 + 2 a n l = x n l

−(

)

( (

)

)

6 d a b 6 a 2 4 a c b = = x x : : c c u u l l o o S S

) −(

d g o l + c g o l 2 1 2

b g o l 3 + a g o l

2 = x g o l (

2 a 0 1 = x : c u l o S

a g o l 2 + 1 = x g o l

(

a)

)

)

. 16. Sabiendo que x=7 e y=3, utilizar la calculadora para hallar:

7

f)

g)

(

)

(Soluc: a=49)

N 3 3 N g4 o l

b) Si log4 N=3, ¿cuánto vale

e) log x + y

2 = b 7 g o l + a b

g o l

17. a) Hallar a sabiendo que

d) log (x+y)

y + x 2 g o l

c) log2x

b) log (2x)

y + 2 x g o l

a) log x2

? ¿Cuánto vale N?

18. ¿En qué base se cumple que loga 12+loga 3=2?

(Soluc: -8; N=64)

(Soluc: a=6)

19. ¿V o F? Razonar la respuesta: c)

b) log (A2+B2)=2log A+ 2log B d)

x x n n l l = = x x 2 2 2 2 n n l l

a) log (A+B)=log A + log B

2 x +

(

;

)

; s) n log x+m log y; t) log 2+2 log m+3 log n-log p-4 log q

15. Obtener x en las siguientes expresiones:

c)

)

n

−

(

; l)

;

)

u) −

b)

d) ln a+2 ln x; e) 2 ln a+2 ln x; f)

m g o l +2 n + m p g g o l o l

−

; o)

m g o l

c g o l 25 2 + b g o l 3 + a g o l 2

x x g3 l n o l + 12 1

; r)

u)

; i) r log m+r log n-r log p; j) -1-ln x; k)

m) log(x+y)+log(x-y); n) q)

t)

x n g m o l g +2 o l m + g x o l + m g o l

g) log m+log n+log p-log q-log r; h)

m

2 c x m n g l g o 32 o l l 13 12

b) log 2+3 log x;

q g a o l g r o l 3 4p g o l m g o l n

a) 3 log 2+3 log x;

5 c 3 p b m 2 a

k)

(Sol:

)

x x n l

2

2 2 x x +

2

−

x

3 n 4 2 q m p 2 g o l

2

m m g o l

p)

3

s) log (x y )

2 n

−

o)

n m g o l

f)

m g o l

j)

c

3

g o l

e) ln (ax)

2

r)

n

  

x 1 e n l

d) ln (ax )

n)

r

2

n m p

  

i)

g o l

h)

  

g o l

  

2

r n q m p

4 /

2

x 2 y g o l

c)

2

g o l

3

b) log (2x )

(

3 x n l

3

3 a g o l

a) log (2x)

p r n q m g o l

14. Utilizando las fórmulas del cálculo logarítmico, desarrollar al máximo las expresiones siguientes:

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B A C g o g l o l = B A C g o l (

e)

)

g) Los logaritmos decimales de números