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Logaritmos y Ecuaciones Logar’itmicas
Logaritmos y Ecuaciones Logar´ıtmicas Clase # 4
Universidad Andr´ es Bello
Julio 2014
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Logaritmos y Ecuaciones Logar’itmicas
Logaritmos Definicion Se llama logaritmo en base b de un n´ umero N , al exponente a al cual elevar la base b para obtener el n´ umero N . logb (N ) = a ←→ ba = N Restricciones: La base b debe ser mayor que cero, pero distinto de 1. El n´ umero N , debe ser mayor que cero. No existen logaritmos de n´ umeros negativos. Ejemplos log3 (81) = 4 → 34 = 81 1 log 1 (8) = −3 → ( )−3 = 23 = 8 2 2 Universidad Andr´ es Bello
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Logaritmos Sistemas de Logaritmos El uso de distintas bases de origen a distintos sistemas de logaritmos. Logaritmo en base 2: log2 (N ) = a ←→ 2a = N . Logaritmo en base 3: log3 (N ) = a ←→ 3a = N . Logaritmos Decimales o Comunes Uno de los sistemas m´as usados es el de los logaritmos en base 10, llamados logaritmos decimales o comunes. log10 (N ) = a ←→ 10a = N Ejemplos: log10 (1000) = 3 ←→ 103 = 1000. 1 log10 (0, 1) = −1 ←→ 10−1 = = 0, 1. 10 Universidad Andr´ es Bello
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Logaritmos Decimales de Potencias de 10
Logaritmos comunes de potencias positivas de 10 En general, el logaritmo de una potencia positiva de 10 es igual al n´ umero de ceros del n´ umero. log(10) = 1. log(100) = 2. Logaritmos comunes de potencias negativas de 10 En general, el logaritmo de una potencia negativa de 10 es igual al n´ umero de decimales del n´ umero, expresado con signo negativo. log(0, 1) = log 10−1 = −1. log(0, 01) = log 10−2 = −2.
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Propiedades de Logaritmos
Las principales propiedades de los logaritmos son las siguientes: logaritmo de la unidad: log(1) = 0 logaritmo de la base: logb (b) = 1 logaritmo de un producto: log(xy) = log(x) + log(y) x logaritmo de un cuociente: log = log(x) − log(y) y logaritmo de una potencia: log(xn ) = n · log(x) 1 logaritmo de una potencia en la base: logxn (y) = · logx (y) n logz (x) logaritmo cambio de base: logx (y) = logz (y)
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EJEMPLOS
Ejercicio 1 Si log(5) = 0, 7, calcule el valor de: log(2000)
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EJEMPLOS
Ejercicio 1 Si log(5) = 0, 7, calcule el valor de: log(2000) Soluci´on Si log(5) = 0, 7, calcule el valor de: log(2000) 10000 log(2000) = log = log(10000) − log(5) = 4 − 0, 7 = 3, 3 5
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EJEMPLOS
Ejercicio 2
√ Si log(5) = 0, 7, calcule el valor de: log( 3 5)
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EJEMPLOS
Ejercicio 2
√ Si log(5) = 0, 7, calcule el valor de: log( 3 5) Soluci´on
√ Si log(5) = 0, 7, calcule el valor de: log( 3 5) √ 1 1 7 1 3 log( 5) = log(5 3 ) = · log(5) = · 0, 7 = 3 3 30
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EJEMPLOS
Ejercicio 3 Si log(2) = 0, 3, el valor num´erico de: log(50) es: A) 0, 7 B) 1, 5 C)1, 7 D) 1, 8 E) 2, 4
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EJEMPLOS Soluci´on: Expresando 50 como:
100 , queda: 2 log(50) = log
100 2
Aplicando la propiedad del logaritmo de un cuociente: 100 log = log(100) − log(2) 2 Entonces: log(100) − log(2) = 2 − 0, 3 = 1, 7 Alternativa correcta: C. Universidad Andr´ es Bello
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EJEMPLOS
Ejercicio 4 Si log(x) + 2 log(y) − log(z), como un solo logaritmo, queda: A) log(2xy −z) 2xy B) log xyz C)log z 2 xy D) log 2z 2 x y E) log z
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EJEMPLOS Soluci´on: Aplicando en el segundo t´ermino la propiedad del logaritmo de una potencia: log(x) + 2 log(y) − log(z) log(x) + log(y 2 ) − log(z) Aplicando el logaritmo de un producto a los dos primeros t´erminos y el logaritmo de un cuociente al tercero, queda: log(x · y 2 ) − log(z) log
xy 2 z
Alternativa correcta: D. Universidad Andr´ es Bello
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EJEMPLOS Ejercicio 5 De las siguientes afirmaciones: √ I) Si logx 10 = 3 → x = 3 10 II)Si log5 x = 4 → x = 625 II)Si log3 80 = x → 3x = 80 Es (son) correcta(s): A) S´olo (I). B) S´olo (I) y (II). C) S´olo (I) y (III). D) S´olo (II) y (III). E) (I), (II) y (III).
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EJEMPLOS
Soluci´on: (I) Si logx 10 = 3 → x =
√ 3 10. VERDADERO.
logx 10 = 3 → x3 = 10 → x =
√ 3
10
(II)Si log5 x = 4 → x = 625 VERDADERO. log5 x = 4 → 54 = x → x = 625 (III) Si log3 80 = x → 3x = 80 VERDADERO. log3 80 = x → 3x = 80 Alternativa correcta: E.
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Adelanto
Pr´oxima Semana: Martes 8 de Julio, 17:30 Operatoria con Expresiones Algebraicas. M´as Informaci´on y Ejercicios : www.preunab.cl
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