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Lógica Proposicional
Ing. Nerio Villalobos Finol
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LÓGICA PROPOSICIONAL
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Lógica Proposicional
PROPOSICIONES Definición. Una proposición es una oración con valor declarativo o informativo, de la cual se puede predicar su veracidad o falsedad, es decir, que puede ser falsa o verdadera pero no ambas a la vez. La proposición es la expresión lingüística del juicio, cuya característica fundamental es ser verdadero o falso empíricamente. Son proposiciones las oraciones aseverativas, las leyes científicas, las fórmulas matemáticas, las fórmulas y/o esquemas lógicos, los enunciados cerrados o claramente definidos. No son proposiciones las opiniones y suposiciones; los proverbios, modismos y refranes; los enunciados abiertos no definidos; las oraciones interrogativas, exclamativas, imperativas, desiderativas y dubitativas; las interjecciones en general; ni las operaciones aritméticas. El valor de verdad de una proposición depende no solamente de las relaciones entre las palabras del lenguaje y los objetos en el mundo, sino también del estado del mundo y del conocimiento acerca de ese estado. El valor de verdad de la oración Pablo corre depende no solamente de la persona denotada en Pablo y el significado del verbo correr, sino también del momento cuando esta oración es expresada. Pablo probablemente corre ahora, pero ciertamente que no siempre corre. De la misma manera, debemos hacer una distinción entre la oración gramatical propiamente dicha, a la que llamaremos enunciado, y el contenido o significado del enunciado, que es la proposición. Así los siguientes enunciados representan en realidad a la misma proposición: En Maracaibo hace mucho calor Maracaibo es una ciudad muy calurosa La temperatura media de Maracaibo es bastante alta El clima de Maracaibo es cálido Maracaibo is a hot city
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Las siguientes expresiones son ejemplos de proposiciones: Bolívar libertó a Venezuela El hierro es un mineral Boole fue un matemático 36 + 63 = 99 La palabra “esdrújula” es esdrújula Los siguientes son ejemplos de expresiones las cuales no son proposiciones El hombre más fuerte del mundo El director del periódico ¡Quién se ganara el Kino! 13 + 7 ¡Tú te callas! X obtuvo el Premio Nobel en 1970 ¿Cuánto cuesta ese reloj? Las proposiciones se representan por letras minúsculas: p, q, r, s, t, u, etc. Por ejemplo, sea la proposición q igual a 34 + 56 = 90
CLASIFICACION 1. Proposiciones Simples o Atómicas Son las que carecen totalmente de conectivos lógicos, sean monádicos (como la negación) o binarios (que implican dos proposiciones) y que, por lo tanto, son inseparables. En este grupo se encuentran las proposiciones predicativas y las relacionales. Proposición Predicativa Es aquella en la cual se afirma o atribuye una característica respecto de un objeto. Ejemplo: Juan Pérez es profesor Proposición Relacional Es aquella en la cual existe relación de dependencia, estableciendo un enlace entre dos o más objetos. Ejemplo: Caracas es la capital de Venezuela. 2. Proposición Compuesta o Molecular Son aquellas que resultan de la combinación de varias proposiciones simples, unidas por uno o más conectivos lógicos y que pueden ser separadas y descompuestas en proposiciones más simples. Su valor de verdad depende del de las proposiciones que la componen.
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LÓGICA PROPOSICIONAL
CONECTIVOS LÓGICOS NEGACION Definición: Dada una proposición p, se llama negación de p, y se escribe p, a la afirmación que dice "no p". p es verdadera cuando p es falsa, y viceversa. Símbolos: , , ‘ Expresión verbal: no p; no es cierto que p; no es verdad que p; nunca p; es falso que p; es absurdo que p; carece de sentido que p; es inconcebible que p; no ocurre que p; no es el caso que p; es mentira que p; es erróneo que p; además de los prefijos negativos a-, des-, in-, i-. Comentario: Son proposiciones que presentan un conector monádico, porque afecta a una proposición simple, cambiando su valor de veracidad. p
p
V
F
F
V
Tabla de Verdad de la Negación
CONJUNCIÓN Definición: Dadas dos proposiciones p y q, se llama conjunción de p y q, y se escribe p q, a la proposición que dice "p y q". p q es verdadera cuando p y q son verdaderas simultáneamente. Símbolos: , ., * Expresión verbal: p y q; p aunque q; p pero q; p mas q; p también q; p sin embargo q; p además q; p del mismo modo q; p al igual que q; p así como q; p no obstante q; p tal como q; p es compatible con q; p incluso q. Comentario: La resultante o valor de veracidad es verdadera sólo en el caso que ambas proposiciones sean verdaderas. En los otros casos la resultante será falsa. p
p
q
q
V
V
V
F
F
V
V
F
F
F
F
F
Tabla de Verdad de la Conjunción
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DISYUNCION INCLUSIVA Definición: Dadas dos proposiciones p y q, se llama disyunción inclusiva de p y q, que se escribe p q, a la proposición que dice "p o q". p q es verdadera cuando al menos una de ellas es verdadera. Símbolos: , + Expresión verbal: p o q; p o también q; quizás p, quizás q; p o también q; p y/o q. Comentario: La resultante es falsa únicamente en el caso en que ambas componentes sean falsas. En los otros casos la resultante es verdadera. p
p
q
q
V
V
V
F
V
V
V
V
F
F
F
F
Tabla de Verdad de la Disyunción Inclusiva
DISYUNCION EXCLUSIVA Definición: Dadas dos proposiciones p y q, se llama disyunción exclusiva de p y q, que se escribe p q, a la proposición que dice “o p o q”. p q es verdadera cuando una de ellas es verdadera y la otra falsa. Símbolo: , Expresión verbal: o p o q; o bien p o bien q; p a menos que q; a menos que q, p; p salvo que q; p a no ser que q; p excepto que q. Comentario: La resultante es falsa solamente cuando ambas componentes son iguales. En los otros casos es verdadera. p
p
q
q
V
F
V
F
V
V
V
V
F
F
F
F
Tabla de Verdad de la Disyunción Exclusiva
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IMPLICACIÓN Definición: Dadas dos proposiciones p y q, se llama implicación de p y q, y se escribe p q, a la proposición que dice "si p entonces q". p q es verdadera cuando q es verdadera, o bien p y q son falsas a la vez. Se dice que existe una relación causa-efecto entre p y q Símbolos: , Expresión verbal: si p entonces q; p implica q; si p, q; cuando p, q; siempre que p, q; cada vez que p, q; q porque p; con tal que p es obvio que q; en caso de que p tendrá sentido q; en virtud de que p es evidente q; dado que p por eso q; p es condición suficiente para que q; q es condición necesaria para que p. Comentario: La resultante es falsa únicamente en el caso de que el antecedente es verdadero y el consecuente es falso. En los otros casos es verdadero. p
p
q
q
V
V
V
F
V
V
V
F
F
F
V
F
Tabla de Verdad de la Implicación
Esta operación también la podemos expresar intercambiando el antecedente con el consecuente. Su símbolo es p q, y su expresión verbal puede ser: p porque q; p es condición necesaria para q; p, si q; p se concluye de q; p siempre que q; p es insuficiente para q; p pues q; p cada vez que q; p dado que q; p ya que q; etc.
EQUIVALENCIA Definición: Dadas dos proposiciones p y q, se llama equivalencia de p y q, y se escribe p q, a la proposición que dice "p equivale a q". p q es verdadera cuando p y q son verdaderas o falsas simultáneamente. Símbolo: , Expresión verbal: p si y sólo si q; p cuando y sólo cuando q; p es equivalente a q; p equivale a q; p se define como q; p es lo mismo que q; p es idéntico a q; p implica a q y q implica a p; p es condición necesaria y suficiente para q; etc. Comentario: La resultante es verdadera en el caso de que ambas componentes sean verdaderas o ambas sean falsas. En los demás casos son falsas. La equivalencia también es conocida como doble implicación y también como bicondicional.
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p
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q
q
V
V
V
F
F
V
V
F
F
F
V
F
Tabla de Verdad de la Equivalencia
Tenemos a continuación una tabla de verdad general de las principales operaciones: p
q
p
V
V
F
V
V
F
V
V
F
V
V
F
V
V
V
F
V
F
F
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F
F
V
F
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F
V
V
p
q
p
q
p
q q
q p
q
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FÓRMULAS PROPOSICIONALES Las proposiciones compuestas o fórmulas proposicionales se obtienen al combinar proposiciones simples para expresar afirmaciones más complejas. La combinación de los átomos se efectúa a través de los conectivos lógicos ( ), ( ), ( ), ( ), ( ). Las fórmulas proposiciones serán simbolizadas como A, B, C,... Definición: Una fórmula bien formada (fbf) del cálculo proposicional se define mediante las siguientes reglas: Base. Una variable proposicional atómica (p, q, r, etc.) es una fórmula bien formada. Inducción. Si A y B son fórmulas bien formadas, entonces A, A B, A B, A B, A ByA B son fórmulas bien formadas. Cerradura. Todas las fórmulas bien formadas se generan aplicando algunas de las reglas anteriores y de ninguna otra forma. Los paréntesis ( y ) se emplean para estructurar fórmulas proposicionales algo complejas. Sin embargo, puede emplearse la siguiente convención, si se desea evitar el uso de paréntesis en una fórmula. El conectivo se aplica a la proposición -simple o compleja- más pequeña que le sigue; luego se aplica el conectivo para conectar las dos sentencias -simples o compuestas- más pequeña que lo rodean; y así para el resto de los conectivos , , y en estricto orden. Así, si se desea restaurar los paréntesis en la siguiente fórmula: P
Q
R
Q
R
P
La fórmula resultante sería: (((( P)
Q)
R)
(Q
(R
P)))
Determine cuales son fórmulas bien formadas. (p q) (( p) q) p q q p r p q, q p (p y q) (q) Definición. En el cálculo proposicional, una función de interpretación o una interpretación es una función que asigna un valor de verdad del conjunto {V, F} a las proposiciones atómicas que componen una fórmula proposicional.
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Esto quiere decir que el significado de una fórmula debe ser una función del significado de sus componentes, más específicamente, el valor de verdad asignado a la fórmula dependerá de la estructura de esa fórmula y de los valores de verdad asignados a las proposiciones contenidas en ella. Las tablas de verdad son un instrumento empleado en la lógica proposicional, para indicar las diferentes interpretaciones de una fórmula y el resultado de las mismas. Definición. Una fórmula proposicional G se dice que es verdadera baja una interpretación si y sólo si G es evaluada con V en la interpretación; de otra forma decimos que G es falsa bajo la interpretación. Definición: Una fórmula proposicional G se dice que es válida si y sólo si es verdadera en todas sus interpretaciones. Una fórmula válida se conoce también como una tautología. Definición: Una fórmula proposicional G es inconsistente si y solo si es falsa en todas las posibles interpretaciones. Una fórmula inconsistente se conoce también como una contradicción. Definición: Una fórmula proposicional G se dice que es consistente si y sólo si es verdadera en al menos una de sus interpretaciones. Una fórmula consistente se conoce también como una contingencia. Considérese este otro ejemplo: ((p
q)
p)
q)
(p
q)
q
p
Q
V
V
V
V
V
F
V
V
F
V
V
F
F
F
V
F
F
V
F
V
(p
p
((p
q)
p)
q
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TABLAS DE VERDAD
En una fórmula con n diferentes proposiciones atómicas se tienen 2n distintas interpretaciones que pueden ser mostradas en una tabla de verdad determinando que una fórmula presente algunos de los casos anteriores. Explicaremos con más detalles cómo se construye una tabla de verdad, en este caso con 3 variables. Primero se construye la fórmula y a su izquierda las variables (letras) que en ella entran. De esta manera ya se tiene el encabezado. Para conocer el número de renglones se aplica la fórmula 2n, siendo n el número de variables. En este caso 2n = 23, o sea. 2 x 2 x 2 = 8. Trazamos pues ocho renglones. Debajo de cada una de las variables de la izquierda (p, q, r) se escribe una columna de valores. Empezando por la derecha, alternamos las V y las F de una en una en la primera columna, de dos en dos para la segunda, y de cuatro en cuatro para la tercera, hasta completar el número de renglones (en este caso ocho). Para calcular los valores de los conectivos se aplica la regla respectiva y se empieza por los más interiores. El último conectivo en ser calculado es el que esté fuera de todo paréntesis. (p
q) (r
q)
p
q
r
V
V
V
V
V
V
F
V
V
F
V
V
V
F
V
F
F
F
F
F
V
F
F
F
V
V
F
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V
V
F
V
F
F
V
V
V
F
F
F
V
V
F
F
F
F
V
V
(p
q)
(r
q)
Fig. 7. Ejemplo de construcción de tablas de verdad.
Podemos también omitir las columnas de las variables y realizar las operaciones directamente, lo cual sería muy útil en el caso de fórmulas muy largas, aunque también implica repetir la distribución de V’s y de F’s en las columnas de las variables que aparecen más de una vez en la fórmula. También hay que numerar
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los resultados parciales y señalar los correspondientes operandos de cada operación resuelta, hasta llegar al final. Veamos un ejemplo: (p q) (q r)
p
q
q
r
Dibujamos el cuadro con una columna para cada variable y cada conectivo, sin incluir los paréntesis, e igualmente el número de renglones será de 2n, con n=variables de la fórmula, en este caso también es 23 = 8.
p V F V F V F V F
q V V F F V V F F
q V V F F V V F F
r V V V V F F F F
Colocamos los valores de verdad, las V’s y las F’s, con el mismo patrón de alternarlas de uno en uno para la primera variable, de dos en dos para la segunda y de cuatro en cuatro para la tercera, teniendo en cuenta que cada vez que se repite una variable el patrón será el mismo.
Ahora procedemos a resolver por partes cada operación, numerando su resultado y señalando cuales son sus operandos lógicos, hasta llegar al final que también indicaremos con un signo especial. p V F V F V F V F
V V F V V V F V 1
q V V F F V V F F
V V F V V V F F //
q V V F F V V F F
V V V V V V F F 2
r V V V V F F F F
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Resolvamos este otro ejemplo, un poco más complejo ya que, además de incluir 4 variables, contempla diversos conectivos. ((p p
( q q
r))
((q
r
s)
p)
q
s
p
V
V
F
V
V
V
F
F
V
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F
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V
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F
V
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F
F
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//
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FORMALIZACIÓN Formalizar es traducir expresiones, en especial enunciados y argumentaciones, del lenguaje natural en un lenguaje formal. Dada una expresión, formulada en español o en cualquier otro lenguaje natural, hemos de dejar a un lado nuestras convicciones acerca de cómo son los hechos. Al formalizar lo único a lo que debemos atender es al contenido semántico de los enunciados de la expresión, y sus equivalencias en el lenguaje formal. Para la lógica de proposiciones, se recomienda tener en cuenta lo siguiente: Identificar las expresiones lingüísticas que son contrapartidas de los conectivos del lenguaje formal. Identificar las distintas proposiciones atómicas del texto a formalizar. Identificar las oraciones que expresan una misma proposición, asignando la misma variable proposicional a dichas oraciones. Sustituir las oraciones por las variables proposicionales asignadas. Identificar todas las negaciones que puedan aparecer en el texto a formalizar y hacerlas corresponder con el operador de la negación ( ). En este sentido conviene recordar que las negaciones no siempre aparecen al comienzo de un enunciado sino intercaladas en el mismo, como: no p, no es cierto que p, es falso que p, etc., además de ciertos prefijos como des-, in-, i-, y a-. También conviene tener presente que determinadas ocurrencias de la doble negación en español expresan en realidad una negación simple, como en: No quiero ni pensar en eso. Por último, es importante identificar cuándo un enunciado en forma afirmativa expresa en realidad la negación de otro enunciado que aparece en el mismo texto a formalizar, como: p es venezolano, p es extranjero, que corresponderían a p y p. La constante lógica de la conjunción la utilizaremos en expresiones que se entiendan como: p y q, p pero q, p aunque q, etc. La constante lógica de la disyunción la utilizaremos en expresiones que se entiendan como: p o q, ya p ya q ya ambas, etc. La constante lógica de la implicación la utilizaremos en expresiones que se entiendan como: Si p entonces q; Si p, q; Cada vez que p, q; Es suficiente p para que q; siempre que p, q; es necesario q para que p; etc. La constante lógica de la equivalencia la utilizaremos en expresiones que se entiendan como: p si y sólo si q; p cuando y sólo cuando q; p es condición suficiente y necesaria para que q. NERIO VILLALOBOS FINOL
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Explicitar los paréntesis imprescindibles para evitar ambigüedades, omitiendo los innecesarios. Construir tantas fbs como enunciados separados por un punto figuren en el texto a formalizar.
Veamos algunos ejemplos: 1. Desde el punto de vista evolutivo, el individuo es efímero; únicamente las poblaciones persisten a lo largo del tiempo. Podemos descomponerlo en p y q así: p: Desde el punto de vista evolutivo el individuo es efímero q: Desde el punto de vista evolutivo únicamente las poblaciones persisten a lo largo del tiempo. Su formalización, entonces sería: p
q
2. Los siguientes enunciados son equivalentes, y se deben formalizar de la misma forma: p La estrella de la mañana es uno de los planetas de nuestro sistema solar. La estrella matutina es un planeta del sistema solar. La estrella de la tarde es uno de los planetas que giran alrededor del sol Venus es uno de los planetas del sistema solar. 3. No quiero ni pensar en ello. La anterior son dos ocurrencias del negador, las cuales expresan negación simple. Sea p = Quiero pensar en ello. Formalización: p 4. Si Liliana aprueba el examen, se irá de vacaciones; pero si reprueba, se quedará en casa estudiando. p = Liliana aprueba el examen p = Liliana reprueba el examen r = Liliana se quedará en casa estudiando Formalización: (p
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q)
( p
r)
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5. No es cierto que sea falso que no llueva. p = llueva Formalicemos paso a paso: No es cierto que sea falso que no p. No es cierto que sea falso que p. No es cierto que p. p
6. Puedes venir a tomar café siempre que quieras. Lo anterior se podría parafrasear como: Cuando quieras puedes venir a tomar café p = Puedes venir a tomar café q = quieras Formalización: q
p
7. Entrarás sólo si has llegado a tiempo p = Entrarás q = has llegado a tiempo Formalización: q
p
8. Es suficiente conseguir un buen informe del jefe para que todos deseen estar en tu lugar p = Conseguir un buen informe del jefe q = todos deseen estar en tu lugar Formalización: p
q
9. Es necesario presentarse al examen para aprobar la asignatura. p = Presentarse al examen q = aprobar la asignatura Formalización: p
q
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10. Para realizarte en la vida has de escribir un libro, tener un hijo y plantar un árbol. p = te realizas en la vida q = escribes un libro r = tienes un hijo s = plantas un árbol Formalización: (q
r
s)
p
11. Siempre que el coronel no tiene quien le escriba, se escribe a sí mismo largas y elogiosas epístolas p = el coronel tiene quién le escriba q = se escribe así mismo largas epístolas r = se escribe así mismo elogiosas epístolas Formalización:
p
(q
r)
12. A menos que le toque la lotería a Juan, sigue siendo pobre p = le toca la lotería a Juan q = Juan sigue siendo pobre Formalización:
p
q
13. Solo si le toca la lotería a Juan, no sigue siendo pobre. Que se puede parafrasear como: Si no es cierto que Juan sigue siendo pobre, es que le toca la lotería. p = le toca la lotería a Juan q = Juan sigue siendo pobre Formalización:
q
p
14. Sólo si a Juan no le toca la lotería, sigue siendo pobre. p = le toca la lotería a Juan q = Juan sigue siendo pobre Formalización: q
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p
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EJERCICIOS DE LÓGICA PROPOSICIONAL a. Indique si las siguientes expresiones constituyen proposiciones o no 1. Blancanieves vivía con siete enanos 2. Las caraotas son muy sinvergüenzas 3. Llegaste tarde anoche 4. X2 – 3X = -2 5. Los endopírricos son muy cuasifórbidos 6. Albert Einstein era tarado mental 7. Todos los metales conducen electricidad 8. ( x )2 = x 9. La sangre puede ser roja 10. a2 > a3 11. Julio Cesar venció a los japoneses en 1814 12. Los leones son pelones 13. Sócrates fue maestro de Platón 14. Ojalá que cumplas lo que prometes 15. Beethoven jugaba béisbol 16. No creo que llueva 17. Al conducir, no beba 18. 62 + 43 19. Ganemos 20. Ganamos 21. ¿Ganamos? 22. ¡Ganamos! 23. No ganamos 24. Los sarracenos usaban cimitarras 25. El hierro se come 26. ¿El Titanic se hundió o se quemó? 27. Adán y Eva no tenían hermanos 28. Espero que apruebes la materia 29. Yo soy el abuelo de mi padre 30. 2n es par para todo n entero 31. El dulce placer de no hacer nada 32. Pablito clavó un clavito 33. x2 es positivo para todo x entero 34. Quien bien te quiere te hará llorar 35. Trabaja, sin cesar trabaja 36. A veces llueve, a veces no 37. Pienso, luego existo 38. Quien a buen árbol se arrima buena sombra le cobija 39. Si pudiera viajar a Europa... 40. La hipotenusa al cuadrado es igual a la suma de los cuadrados de los catetos
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b. Halle la tabla de verdad para las siguientes fórmulas proposicionales e indique si son tautologías, contradicciones o convergencias. 1. (p
q)
( q
2. (( p
q)
3. (p
p)
4. (p
p)
5.
(p
( q
q)
7. ( (p 8.
p
q)
6. (p
q)
9. (p
q)
p
10. p
(p
q)
11. ((p
(p
12. ( p
q)
13. ((p
q)
14. ((p 15.
16. ((p
18.
( p
q)
p
s)
r))
(p
(q
r))
(( p
(r (p
s)) r))
q)
q)
((p
r) q) (( p q)
r) r)
(r (q
r)
q)
(q
( q
(q
r
( (r
(p
q)
19. ((((p 20. (p
q))
q)
17. ( ( p
q)
(r
r))
q)
((p
p)
( p
q)
(p
r)
s)) (r
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q)
s))))
p)
( r q) ( p
q)) (r
s)) r))
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b. Formalice las siguientes expresiones, reconociendo cada proposición atómica y asignándole una variable. 1. Como no había pelotas no se pudo jugar 2. Vamos a Caracas y a Margarita, a menos que llueva 3. Si no hay cerveza, tomaremos vino o campaña 4. No es cierto que siempre que llueve, truena y relampaguea 5. Ellos bailan o bien en pareja o bien en grupo 6. Carlos canta pero también toca el piano o el órgano 7. A pesar de no tener dinero, sin embargo se divierte 8. No fueron a la fiesta porque no los invitaron o porque no tenían dinero 9. Como tiene sus tres lados iguales, es un triángulo equilátero 10. El perro ladra y el gallo canta, o yo estoy me estoy volviendo loco 11. Siempre que hay fiesta en la casa, Juan se viste y se presenta 12. Si no aprobó el examen fue porque no estudió o porque no pudo copiarse 13. Si estudias te graduarás o sino tendrás que trabajar 14. Es falso que como no tenía dinero no lo dejaron entrar a la fiesta 15. Juan juega en segunda o en tercera pero ni de lanzador ni de receptor 16. Cuando Juan se case y consiga trabajo, le regalo el apartamento 17. Los niños lloran y los pájaros se asustan cada vez que los perros ladran 18. O me equivoco o no hay ni comida ni bebida 19. Juan canta muy bien, pero Carlos, además de cantar, toca el piano 20. Si sube la temperatura no implica que haya una infección 21. Luís o Juan se van en el carro, o sino Juan se queda y Luís toma un taxi 22. Cada vez que me miro en el espejo, me veo más viejo. 23. Carlos, al igual que Miguel, son buenos estudiantes excepto cuando llega la Navidad 24. No es lo mismo que canta por no llorar que llora porque no es feliz 25. Corro mas no sudo, excepto si hay mucha humedad 26. Con tal que no llores, te llevaré al parque 27. Si no son naranjas ni son limones, deben ser mandarinas 28. Ya que no vino y perdió el examen es evidente que no aprobará la materia y no se graduará 29. O me equivoco o Juan se casó con María y Pedro todavía es soltero 30. Comer dulces o grasas no necesariamente engorda 31. Quizás llueva, quizás haga sol, pero de todas maneras me llevo el paraguas 32. Pedro juega muy bien a pesar que está lesionado y tiene gripe. 33. Es absurdo que Carlos sea el jefe ya que no sabe leer ni escribir 34. El carro no se detuvo en todo el camino dado que era urgente llegar a tiempo 35. Pedro vive muy feliz a pesar de que no fuma, no bebe ni baila pegado 36. No hay por qué preocuparse salvo que suba el dólar o suba la inflación 37. Fumar y beber en exceso equivale a sufrir graves enfermedades o incluso la muerte 38. No es cierto que María y Pedro no se quieran el uno al otro 39. Si la Ingeniería no es fácil, es absurdo que estudies Computación y Eléctrica 40. Hoy es un día bonito pero mañana, si no llueve, será mejor NERIO VILLALOBOS FINOL
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LEYES LÓGICAS Si dos fórmulas proposicionales son lógicamente equivalentes, o sea tautologías, no puede haber una sola circunstancia en la que una de ellas sea verdadera, y la otra falsa, o sea, sus respectivas tablas de verdad coinciden para cualquier interpretación. A estas equivalencias lógicas las denominamos Leyes Lógicas.
LEYES DE MORGAN (p q) ( p q) (p q) ( p q)
CONMUTACIÓN (p q) (q p) (p q) (q p)
ASOCIACIÓN ((p q) r) (p ((p q) r) (p
DISTRIBUCIÓN (p (q r)) ((p (p (q r)) ((p
(q (q
r)) r))
q) q)
(p (p
r)) r))
DOBLE NEGACIÓN p p
TRANSPOSICIÓN (p q) ( q p)
DEFINICIÓN DEL CONDICIONAL (p q) ( p q) (p q)
DEFINICIÓN DE EQUIVALENCIA (p q) ((p q) (q p)) (p q) ((p q) ( p q))
EXPORTACIÓN ((p (q r)) ((p
IDEMPOTENCIA (p p) p (p p) p
p p
ABSORCIÓN (p q) p (p q) p
q)
r)
p p p
IDENTIDAD F F V p p F
IMPLICACIONES LÓGICAS p (p q) q (p q) (p q) p (p q) q
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p p p
F V p
p V V
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INFERENCIAS Se ha definido a la lógica como la ciencia del razonamiento. Esta definición no es adecuada. El razonamiento es un género especial de pensamiento en el cual se realizan inferencias, es decir, se derivan conclusiones a partir de premisas. Pero es aun pensamiento y, por lo tanto, forma parte de los temas de estudio de la psicología, ya que, en general, tienen una alta carga emocional y subjetiva. Al lógico no le interesan los oscuros caminos por los cuales la mente llega a sus conclusiones durante los procesos reales del razonamiento. La lógica estudia la forma del razonamiento, es una disciplina que por medio de reglas y técnicas determina si un argumento es válido. Definición. La inferencia es una operación lógica que consiste en obtener la verdad de una proposición, conocida como conclusión, a partir de la verdad de una o más proposiciones, conocidas como premisas. El proceso de inferencia también es llamado argumentación, y un argumento es lo expresado por la inferencia, y así como a una misma proposición le pueden corresponder varios enunciados que expresan lo mismo, de la misma manera varias inferencias pueden corresponder a un mismo argumento. Definición. Dado un grupo de fórmulas P1, P2,..., Pn y otra llamada Q, Q es una consecuencia lógica de P1, P2,..., Pn si y solo si la fórmula (P1 P2 … Pn) Q es válida o si la fórmula P1 P2 … Pn Q es inconsistente. Al lógico sólo le interesa la corrección del proceso, una vez terminado. Su problema es siempre el siguiente: ¿La conclusión a la que se llegado deriva de las premisas usadas y afirmadas? Si las conclusiones se desprenden de las premisas, esto es, si las premisas constituyen un buen fundamento de la conclusión, de manera que afirmar la verdad de las premisas garantiza la afirmación de que también la conclusión es verdadera, entonces el razonamiento es correcto. En caso contrario es incorrecto. La forma habitual de representar una inferencia es la siguiente: P1 P2 ... Pn -----------Q en donde el símbolo
significa por lo tanto, luego, se concluye que, etc.
Para demostrar si Q es una consecuencia lógica se pueden usar tablas de verdad o aplicar las leyes lógicas para encontrar su forma normal. Demostrar el teorema significa demostrar que la implicación es una tautología. NERIO VILLALOBOS FINOL
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Ejemplo 1: i. Si Juan estudia entonces aprobará la materia ii. Juan estudia -----------------------------------------------------------------Luego, Juan aprobará la materia Las proposiciones i) y ii) representan las premisas, mientras que la última (“Juan aprobará la materia”) representa la conclusión de esta inferencia. La validez de esta inferencia parece muy clara intuitivamente, ya que es difícil asegurar que las premisas sean verdaderas y que al mismo tiempo la conclusión no lo sea. Si reemplazamos “Juan estudia” por la variable p, y “Juan aprobará la materia” por q, podríamos generalizar la anterior inferencia de la siguiente manera: i. p q ii. p -----------q La inferencia del ejemplo 1 es válida porque su forma o estructura lógica también lo es. Toda inferencia que tenga dicha forma es válida, independientemente de los significados que asuman p o q. Por ejemplo, podríamos sustituir p por “Carlos practica deportes” y a q por “Carlos estará en forma” y obtendríamos otra inferencia válida. Cada vez que hagamos este tipo de sustituciones obtendremos igualmente inferencias válidas. Los argumentos basados en tautologías representan métodos de razonamiento universalmente correctos. Su validez depende solamente de la forma de las proposiciones que intervienen y no de los valores de verdad de las variables que contienen. A estos argumentos se les llama reglas de inferencia. Toda argumentación debe comenzar con la hipótesis, proseguir con los distintos pasos, justificando cada uno por alguna regla de inferencia o tautología conocida (leyes lógicas), y llegar a la conclusión. Las inferencias pueden ser deductivas o inductivas y radica la diferencia en el grado de relación existente entre las premisas y la conclusión, pues en una inferencia deductiva la conclusión deriva necesariamente de las premisas: la verdad de éstas garantiza la de aquella; las premisas implican la conclusión. Consecuentemente, una inferencia es deductivamente válida cuando es imposible que sus premisas sean verdaderas y su conclusión sea falsa. En una inferencia inductiva, en cambio, la conclusión no se sigue necesariamente de las premisas: éstas solamente la hacen probable.
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REGLAS DE INFERENCIA Las reglas de inferencia usan dos tipos de elementos, los datos (hechos o evidencia) y el conocimiento (el conjunto de reglas almacenadas en una base de conocimientos), para obtener nuevas conclusiones o hechos. Por ejemplo, si la premisa de una regla es cierta, los datos iniciales se incrementan incorporando las nuevas conclusiones. Por ello, tanto los hechos iniciales o datos de partida como las conclusiones derivadas de ellos forman parte de los hechos o datos de que se dispone en un instante dado. Las conclusiones pueden clasificarse en dos tipos: simples o compuestas. Las conclusiones simples son las que resultan de una regla. Las conclusiones compuestas son las que resultan de más de una regla. Para obtener conclusiones, los expertos utilizan diferentes tipos de reglas y estrategias de inferencia y control.
MODUS PONENS O RAZONAMIENTO DIRECTO Es quizás la regla de inferencia más comúnmente utilizada. Se utiliza para obtener conclusiones simples. La tautología conocida como Modus Ponens adquiere la siguiente forma lógica: ((p q) p) q, que, traducido al lenguaje natural, sería algo así como si p implica q, y p es verdadero, entonces q también debe ser verdadero. Por ejemplo, sean p: hago mucho deporte y q: estoy cansado, entonces, según este esquema tautológico: Si hago mucho deporte, entonces estoy cansado, como es cierto que hago mucho deporte, concluyo que estoy cansado Expresado en su la forma argumental sería: i. Si hago mucho deporte, entonces estoy cansado. ii. Hago mucho deporte ---------------------------------------------------------------------Por consiguiente, estoy cansado Y en forma simbólica: i. p q ii. p ------------q Este esquema de razonamiento es el que más utilizamos en nuestra vida cotidiana, motivo por el que se denomina también Razonamiento Directo. ((p
q)
p)
q
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p
q
p
q
V
V
V
V
V
V
V
F
V
V
F
F
V
V
V
F
F
F
V
V
F
F
V
F
F
F
V
F
Tabla de Verdad del Modus Ponens
Falacia de la Afirmación del Consecuente Aunque la implicación ((p q) p q que define el Modus Ponens es tautológica, una fórmula parecida, ((p q) q) p no es tautológica y supone una falacia o falso argumento conocido como afirmación del consecuente. En nuestro ejemplo, ((p q) q p se traduciría en lenguaje natural como: i. Si hago deporte, entonces me canso ii. Es verdad que me canso ---------------------------------------------------Luego, es verdad que hago deporte. Es notorio que este razonamiento es falso (puedo cansarme por otras circunstancias que no son necesariamente hacer deporte).
MODUS TOLLENS O RAZONAMIENTO INDIRECTO Se utiliza también para obtener conclusiones simples. La tautología conocida como Modus Tollens adquiere la siguiente forma lógica: ((p q) q) p que traducido al lenguaje natural sería algo así como si p implica q, y q es falso, entonces p también debe ser falso. Por ejemplo, sean p: hago mucho deporte y q: estoy cansado, entonces según este esquema tautológico: Si hago mucho deporte, entonces estoy cansado, y no es cierto que estoy cansado, quiere decir que no hago mucho deporte. Recurriendo a su forma argumental: i. Si hago mucho deporte, entonces estoy cansado. ii. No estoy cansado ---------------------------------------------------------------------Por consiguiente, no hago mucho deporte
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Expresado en forma simbólica: i. p q ii. q -------------p Este esquema de razonamiento no es tan intuitivo como el Modus Ponens; es un poco más enrevesado: Si p fuera cierto, entonces q también debería ser cierto, pero q es falso. Por lo tanto, p también debería ser falso, o en otro caso, q también habría de ser verdadero (por la tabla de verdad del condicional, que impide que el antecedente, p, sea verdadero, y el consecuente, q, sea falso) ((p P
q)
q)
q
p q
p
V
V
V
F
F
V
F
F
V
V
F
F
V
V
V
F
F
F
V
V
F
F
V
F
V
V
V
V
Tabla de Verdad del Modus Tollens
Falacia de la Negación del Antecedente Una fórmula parecida al Modus Tollens: ((p q) p) q no es tautológica y supone una falacia conocida como Negación del Antecedente. En nuestro ejemplo, ((p q) p) q se traduciría en lenguaje natural como: i. Si hago deporte, entonces me canso ii. No es verdad que haga deporte -----------------------------------------------------Luego no es verdad que me canse Es palmario que este razonamiento es falso, puesto que puedo cansarme por otras circunstancias que no son necesariamente hacer deporte.
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SILOGISMO DISYUNTIVO La tautología conocida como silogismo disyuntivo tiene la siguiente forma lógica: ((p q) p)) q y también ((p q) q)) p que, traducido al lenguaje natural sería algo así como si es cierto que la disyunción p o q es verdadera, y además sabemos que no es cierto p, entonces sabemos que q es cierto con seguridad. La definición de la disyunción exige que para que la disyunción p q sea cierta o bien p o bien q sean ciertos. En consecuencia, si sabemos que p no es cierto, entonces con seguridad q (el otro término de la disyunción) ha de ser cierto. Por ejemplo, sean p: Raúl marcó gol y q: Ronaldo marcó gol Entonces, según esta regla de inferencia: Si es cierto que Raúl marcó gol o Ronaldo fue quien marcó, y además sabemos que no marcó Raúl, entonces es seguro que quien marcó fue Ronaldo. Recurriendo a su forma argumental: i. Raúl marcó gol o fue Ronaldo quien marcó ii. Raúl no marcó gol --------------------------------------------------------------Por consiguiente, Ronaldo marcó gol. Expresado en forma simbólica: i. p q ii. p -----------q Con la otra tautología ((p
q)
q)
p ocurre lo mismo mutatis mutandi
SILOGISMO HOPOTÉTICO o TRANSITIVIDAD La tautología que expresa la propiedad transitiva de la implicación tiene la siguiente forma lógica: ((p q) (q r)) (p r) que, traducido al lenguaje natural, sería algo así como si es cierto que p implica q es verdadera, y además sabemos que es cierto que q implica r, entonces forzosamente p también implica r. Por ejemplo, sean p: Real Madrid gana, q: Los madrilistas están alegres, y r: Los barcelonistas están tristes, entonces, según esta regla de inferencia:
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Si sabemos que si gana el Real Madrid entonces los madridistas están alegres, y que si los madridistas están alegres los barcelonistas están tristes, nos encontramos, en consecuencia, que si el Real Madrid gana, los barcelonistas están tristes. Recurriendo a su forma argumental correspondiente: i. Si el Real Madrid gana, los madridistas están alegres. ii. Si los madridistas están alegres, los barcelonistas están tristes. -----------------------------------------------------------------------------------------------Luego, si el Real Madrid gana los barcelonistas están tristes. Expresado en forma simbólica: i. p q ii. q r -----------p r En ocasiones se puede expresar la ley de la transitividad de la implicación sin utilizar paréntesis: los dos primeras condicionales quedarían p q r, y podemos obtener la conclusión eliminando la q intermedia: p r.
SIMPLIFICACIÓN La tautología conocida como simplificación se expresa bien sea con la forma lógica (p q) p y también con la fórmula (p q) q, que, traducido al lenguaje natural sería algo así como si p y q son ambos ciertos, entonces p en particular es cierto. La definición de la conjunción exige que tanto p como q sean ciertos para que p q sea cierto. La ley de la simplificación lo único que dice es que si p q es cierto, entonces tenemos garantizado que cualquiera de esos dos términos de la mencionada conjunción son ciertos por separado. Por ejemplo, sean p: hago mucho deporte, y q: estoy cansado, entonces, según este esquema tautológico: Si hago mucho deporte y estoy cansado, entonces es cierto que hago mucho deporte Recurriendo a su forma argumental: Hago mucho deporte y estoy cansado ------------------------------------------------------Por consiguiente, hago mucho deporte
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Expresado en forma simbólica: p q ------p Con la otra simplificación (p
q)
q ocurre lo mismo mutatis mutandi.
ADICIÓN La tautología conocida como adición se expresa bien sea con la forma lógica p (p q) y también con la fórmula q (p q) que, traducido al lenguaje natural, sería algo así como si es cierto que p, entonces estamos seguros que la disyunción p o q son verdad. La definición de la disyunción exige que para que la disyunción p q sea cierta o bien p o bien q sean ciertos, o ambas son ciertas. En consecuencia, si sabemos que p es cierto, entonces cualquier disyunción en la que esté p será cierta con independencia del valor de verdad del otro término de la disyunción (o, para la otra formulación, cualquier disyunción en la que esté q será cierta). Por ejemplo, sean p: hago mucho deporte, y q: estoy cansado Entonces, según este esquema tautológico: Si hago mucho deporte, entonces es cierto que hago mucho deporte o estoy cansado Recurriendo a su forma argumental: Hago mucho deporte ------------------------------------------------------Por consiguiente, hago mucho deporte o estoy cansado Expresado en forma simbólica: p ------------p q Con la otra adición q
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(p
q) ocurre lo mismo mutatis mutandi.
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REGLAS DE INFERENCIA MODUS PONENS p q p --------q
MODUS TOLLENS p q q ----------p
SILOGISMO HIPOTÉTICO p q q r ----------p r
SILOGISMO DISYUNTIVO p q p q p q ----------------q p
DILEMA CONSTRUCTIVO (p q) (r s) p r -----------------------q s
DILEMA DESTRUCTIVO (p q) (r s) q s ------------------------p r
SIMPLIFICACIÓN p q p q -----------------p q
ADICIÓN p --------p q
q ---------p q
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FALACIAS Un cálculo lógico es una herramienta que nos permite decidir si un razonamiento es formalmente correcto o no. Esto, que puede parecer sencillo, no lo es tanto, y a menudo, resulta sumamente difícil distinguir los razonamientos válidos de los incorrectos, sobre todo si no disponemos de una herramienta tan eficaz como puede ser un cálculo lógico. Por ejemplo, el siguiente argumento ¿es válido o incorrecto? Si París es la capital de Italia entonces Madrid es la capital de España; pero, París no es la capital de Italia. En consecuencia, Madrid no es la capital de España. Muchas veces un argumento parece válido, pero un análisis lógico detallado puede desenmascararlo y mostrarlo como incorrecto. Muchas veces un argumento no válido, pero que parece válido, se usa con la intención de engañar o convencer. La lógica puede prevenir estas situaciones. A estos argumentos los denominamos falacias o sofismas. Hay muchos tipos de falacias, algunas lo son por forma lógica y en ese sentido coinciden con argumentos incorrectos o falsos argumentos, como el mencionábamos arriba. Estas son sencillas de detectar usando un cálculo lógico. Pero hay otro tipo de falacias que lo son no tanto en virtud de su forma lógica sino en virtud de su contenido material. Una clasificación de las falacias puede ser:
FORMALES
EQUÍVOCO ANFIBOLOGÍA AMBIGÜEDAD
ACENTO COMPOSICIÓN DIVISIÓN
INFORMALES DATOS
FALACIAS
INSUFICIENTES
ACCIDENTE ACCIDENTE INVERSO FALSA CAUSA Y FALSA PRUEBA PREGUNTA COMPLEJA AD IGNORANTIAM AD VERECUNDIAM
FALACIAS MATERIALES
AD HOMINEM
PERTINENCIA
AD BACULUM AD POPULUM
AD MISERICORDIAM PETITIO PRINCIPII IGNORATIO ELENCHI TU QUOQUE
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Si bien existen muchas clasificaciones de falacias aquí nos guiaremos por las que aparecen en el libro Introducción a la Lógica de Copi. Aunque seguiremos su presentación, en algunos casos presentaremos varias formas del mismo tipo de falacias. De todas maneras no se pretende un criterio exhaustivo en la clasificación de falacias sino mostrar las más comunes. En las falacias la verdad de las premisas no logra garantizar la verdad de la conclusión. Por supuesto que muchas falacias pueden caer en más de una de las clases mencionadas. Lo importarte a la hora de explicar una falacia no es sólo mostrar que eso no es así sino intentar fundamentar por qué razón las premisas no garantizan la conclusión. Si bien en muchas ocasiones reales la ocurrencia de falacias está ligada a un interés por mentir, también muchas veces se cometen por descuido o por falta de cuidado en la reflexión.
1. Falacias de Ambigüedad Son argumentos deductivos que parecen válidos pero que no lo son porque hay una modificación en el significado de algunos de los términos. Hay de dos tipos: 1.1. Equívoco Ocurre cuando la palabra tiene más de un significado y se pasa de un sentido en las premisas a otro en la conclusión. Suele ser el error más evidente y por ello se utiliza mucho en el humor. El consabido “Nadie puede arreglar este país. Vote por Nadie”, utiliza este recurso, tal como los chistes con doble sentido. Otro ejemplo es cuando se usa un término relacional, que depende del contexto en dos sentidos diferentes: “Todo hombre grande es un gran hombre”, “un edificio pequeño es un objeto pequeño”. Otra forma de caer en el equívoco es cuando se utilizan definiciones que no son lo suficientemente exhaustivas, generando problemas de clasificación. Una definición señala que si se cumple la causa, entonces se cumple la consecuencia, pero a la vez lo otro también vale, es decir, que si se cumple la consecuencia entonces se cumple la causa. Por lo tanto, cuando la definición es incompleta, impide que valga lo segundo. Por ejemplo es una falacia concluir que un cuadrado es una figura que tiene cuatro lados iguales, o que un gato es un animal peludo y con bigotes. El término se usa dentro del mismo argumento con dos significados distintos, por ejemplo: Sólo el hombre es racional Ninguna mujer es un hombre --------------------------------------Luego, ninguna mujer es racional NERIO VILLALOBOS FINOL
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1.2. Anfibología Ocurre cuando se utilizan enunciados cuya construcción gramatical los vuelve ambiguos. Generalmente se trata de expresiones que dan lugar a comentarios humorísticos, como la solicitud de trabajo que dice “Inútil sin experiencia” o el aviso de venta de “medias para hombres de lana”. La anfibología se origina por la ambigüedad estructural o por una ambigüedad semántica al interpretar un elemento que determina la estructura lógica. Por ejemplo: Todo hombre ama a una mujer Romeo ama a Julieta ---------------------------------------------Luego, todo hombre ama a Julieta 1.3. Acento Ocurre cuando a partir de darle más peso a algunas palabras del enunciado se sacan conclusiones que no se darían si se consideran las mismas palabras de otra manera. Del enunciado “Difícilmente va a llegar a ser un buen jugador de fútbol” se comete una falacia de acento si se concluye que va a llegar a ser un buen jugador de fútbol aunque le va a costar mucho trabajo y dificultades. 1.4. Composición Ocurre cuando se afirma sobre el todo lo que sólo es cierto de las partes, o cuando se atribuyen propiedades de ciertos elementos a una colección que contiene esos elementos. Un ejemplo del primer caso ocurriría si se pretendiera sostener que dado que cada órgano del cuerpo humano tiene una función específica, entonces el ser humano tiene una función específica en el mundo. Un ejemplo del segundo caso ocurriría si se pretendiera que dado que las bombas atómicas generan más muertes que cualquier otra bomba utilizada en una guerra, las bombas atómicas han causado más muertos que todo el resto del armamento junto. 1.5. División Ocurre (al contrario de la de Composición) si a las partes se les adjudican las propiedades del todo, como si el todo fuera una simple sumatoria de las partes. En verdad el conjunto de las partes puede tener propiedades que cada parte no posee por sí sola. Por ejemplo, se cae en esta falacia cuando se atribuyen a las partes propiedades que valen para el colectivo. Que la Universidad de Harvard sea famosa no significa que cada persona que estudia o trabaja allí lo sea. Otro caso de este tipo de falacia se comete cuando algo que vale para una colección de elementos se atribuye a un elemento de esa colección. Un ejemplo de lo segundo es que si bien en la Universidad los estudiantes hacen diversas carreras, eso no significa que cada estudiante estudia diversas carreras. NERIO VILLALOBOS FINOL
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2. Falacias de Datos Insuficientes Son razonamientos inductivos incorrectos, porque en ellos se presentan las premisas como base para la generalización, cuando en realidad no la tienen. Este tipo de falacias son muy comunes cuando generalizamos a partir de sólo varios casos conocidos. “Todos los hombres son iguales”, es un ejemplo. A menudo, este tipo de generalizaciones resultan ser meros prejuicios. 2.1. Accidente Ocurre cuando consideramos como verdadero en particular lo que es verdad en general. Suele ocurrir esto al manejar equivocadamente los argumentos de tipo estadístico. Que de cada cinco personas una nazca en China, no significa que todos aquellos que tienen cinco hijos tienen uno que es chino. También se cae en esta falacia cuando se afirma una regla general en circunstancias excepcionales. Del hecho de que no se deba manejar a cierta velocidad no se extrae que en una circunstancia de peligro, para escapar de un grupo de asesinos, uno no deba sobrepasar el límite de velocidad permitido. A veces puede ocurrir que a partir de un enunciado general que es verdadero se concluya algo que no lo es en el caso particular. Generalmente ocurre por una confusión de clases. Por ejemplo: “Yo no he matado a ningún ser humano. Todos los vampiros mueren cuando se les clava una estaca en el corazón. A este individuo yo le clavé una estaca en el corazón y murió. Así que era un vampiro”. 2.2. Accidente inverso Ocurre cuando consideramos como verdadero en general algo que sólo es verdad en ciertos casos particulares. Caen en esta falacia cierto tipo de razonamientos inductivos. Los razonamientos inductivos siempre pueden fallar al pasar de la verdad de las premisas a la verdad de la conclusión. Sin embargo una buena inferencia inductiva puede hacernos pensar que una determinada conclusión posiblemente sea cierta. Esto ocurre generalmente cuando ciertas afirmaciones son válidas solo para ciertos grupos y con éste motivo se tratan de hacer generalizaciones sobre un colectivo más amplio. Del hecho de que muchos adolescentes consuman alcohol en exceso no se deduce que todos los adolescentes consumen alcohol en exceso. Tampoco del hecho de que todos los seres humanos sean mortales puede deducirse que todos los mortales son seres humanos. Por otra parte, también se incurriría en esta falacia cuando se aplica una excepción cuando se debería considerar la regla general, es decir, cuando se hace de una excepción una regla general, confundiendo una regla general con una regla absoluta. Una regla absoluta vale para todo individuo en toda ocasión, una regla general vale para todo individuo, pero solo en circunstancias normales. Por ejemplo incurriría en esta falacia quien afirmase que “Todos tenemos derecho a NERIO VILLALOBOS FINOL
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hacer el parcial fuera de fecha porque a ella se lo dejaron hacer porque la atropelló un auto”. Muchas veces la generalización es demasiado apresurada debido a una muestra muy pequeña usada como base de la generalización. Muchas veces este error ocurre al usarse analogías; están incorrectamente construidas, de manera que alguno de los componentes tiene componentes que harían improcedente la asimilación. Es decir, no se apoya en una semejanza relevante o se olvidan diferencias que impiden la conclusión. Por ejemplo cuando a partir de una cierta experiencia política se afirma: “Los gobiernos son como violines, se toman con la izquierda y se tocan con la derecha”. 2.3. La Falsa Causa y la Falsa Prueba Son razonamientos que apelan a una causa o a una prueba para llegar a una conclusión con la que no hay una verdadera conexión causal. Por ejemplo: Fumar es malo para la salud Me duele un pie -----------------------------------------Eso me pasa por fumar Ocurre cuando porque ciertas cosas ocurrieron juntas, o una seguida de la otra, asumimos que una es causa de la otra, sin atender a otras posibles causas. Muchas veces esos fenómenos tienen una causa común que los explica. Es célebre el ejemplo que del hecho de que pueda probarse que en los lugares donde hay más alta tasa de natalidad hay mayor cantidad de cigüeñas no puede deducirse que la causa de ello sean, precisamente, las cigüeñas. A veces también se da una encadenación fantasiosa de causas concluyendo una transitividad que no vale, por no ser necesaria. Por ejemplo: “Si tomas un trago de alcohol y te gusta, seguramente tomarás más. Y otro día volverás a beber y cada vez lo harás más y más frecuentemente hasta que vivirás borracho todo el día” . También se causa esta falacia cuando se afirma una causa que aunque verdadera, resulta insignificante al lado de otras causas que determinan el fenómeno, o cuando luego de dos eventos ocurre otro y tomamos por causa el que no lo es. Un ejemplo de esto sería: “Una comida que evite las flatulencias nos ayudará a disminuir la contaminación ambiental”. Otras veces no es insignificante, pero sin duda dista de ser la causa principal. Por ejemplo, “Le pegaron tres balazos en el corazón y al caer hacia atrás tuvo la mala suerte de caer incrustándose la punta de una reja en la espalda, incrustándosele mortalmente”. Otras veces se equivoca la relación causal. Sería una falacia de este tipo sostener que el SIDA ha ido en aumento a causa de la educación sexual, ya que la educación sexual ha aumentado desde el descubrimiento del SIDA.
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También ocurre que se pone como causa de una conclusión elementos que a primera vista parecen correctos, pero que excluyen evidencia importante que puede cambiar el juicio final. Esto pasaría si se afirmara que un boxeador que lleva diez peleas seguidas ganadas por knock out en el último mes podría ganarle al campeón de la categoría que ganó las ultimas tres veces por puntos y hace más de dos meses que no pelea. Claro que las diez victorias podrían ser contra peleadores mediocres y sin potencial alguno, mientras que es común que un campeón del mundo defienda su título cada cierto tiempo y que las peleas por el título sean más parejas. También incluiremos dentro de esta categoría a la falacia que consiste en creer que dada una relación causal, si es verdad la consecuencia, entonces lo es la causa (afirmación de la consecuencia). Es que la consecuencia es una condición necesaria para que haya ocurrido la causa, pero no es una condición suficiente. Esto a causa de que la consecuencia se puede deber a otras causas. Por ejemplo caería en esta falacia quien luego de establecer que si se comen sustancias nocivas, entonces se tendrá un malestar de salud, afirmara que porque se tiene un malestar de salud es que se han ingerido sustancias nocivas. Otro ejemplo de este tipo de errores, pero un poco más complejo en su construcción se da cuando de un grupo se afirman dos propiedades y luego se pretende que cualquiera que tenga una propiedad tendrá la otra. Por ejemplo: “Si una persona es decente, entonces paga sus impuestos y si una persona es decente, entonces jamás robará. Por lo tanto si alguien paga los impuestos, jamás robará”. Otra forma de hacer una falacia de este tipo es cuando establecida una relación causal, al no ocurrir la causa, eso significa que no ocurrirá la consecuencia (negación de la causa). Esto pierde de vista que bien podría ocurrir que la causa no fuera la única que da origen a esa consecuencia Se confunde una causa suficiente (compatible con otras causas suficientes) con una causa necesaria (sin la cual no se produce el efecto). Por ejemplo incurriría en esa falacia quien dijera: “Mira, no sé adonde hemos llegado pero de seguro no es Europa. Barcelona está en Europa y te aseguro que esta ciudad no es Barcelona”. 2.4. Pregunta compleja Ocurre cuando se hace una pregunta tal que se presupone la verdad de lo que se pregunta. Por lo tanto la respuesta, sea cual sea, siempre confirmará lo preguntado. El truco está en que se formulan varias preguntas en una. Generalmente esto va acompañado de la petición de responder sí o no. Generalmente toma la forma de una pregunta doble y la falacia se evitaría haciendo las dos preguntas por separado. Por ejemplo si alguien preguntara a otra persona, supongamos en un juicio, si es verdad o no que su adicción al alcohol lo llevó a robar dinero de la empresa. Si el interrogado sólo dijera no, podría su interrogante querer afirmar que es adicto al alcohol. NERIO VILLALOBOS FINOL
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3. Falacias de Pertinencia A menudo, son meros argumentos retóricos que tienen el objetivo de convencer a alguien apelando a argumentos o razones que no son lógicamente pertinentes. Entre las más comunes podemos destacar las siguientes: 3.1. Argumento por la Ignorancia (Ad Ignorantiam) Esta falacia ocurre cuando la única razón que se da para afirmar algo es que no hay todavía, o incluso porque es imposible establecer, una prueba en contrario. Se basan en el desconocimiento o en la carencia de refutación para afirmar una aserción, que, en estas circunstancias, no sería confirmada. Por ejemplo, Nadie ha podido refutar la existencia de Dios, por lo tanto tiene que existir, o quien afirmara que Dios no existe porque tampoco hay todavía prueba en contrario. Otro ejemplo: “Gané el premio porque hice control mental para atraer cosas positivas en mi vida”. Algunas veces ocurre que se pretende probar algo citando como razón a favor nada más que el hecho de que eso ha ocurrido y se hace imposible demostrar que no ocurrió por esas causas: “Tú fuiste a la biblioteca para encontrarte con Ana, a mi no me engañas”. 3.2. Apelación inapropiada a la Autoridad (Ad Verecumdiam) Se comete esta falacia cuando se toma como garantía o bien la opinión de alguien no calificado en el tema o cuando se acude a alguien profesionalmente adecuado pero que puede dar una opinión sobre un asunto ajeno a su área de estudio. Se aprovechan de la autoridad intelectual o del prestigio de alguien para derivar una conclusión. Éstas tienen la siguiente estructura: “A afirma p. Por tanto, p. Es frecuente en publicidad encontrar que se propone que determinado producto es bueno solo porque alguien famoso lo dice. Y no pocas veces algunas personas sostienen que tal o cual opinión es la correcta sólo porque tal o cual periodista o analista de televisión o radio la dijeron. Bastantes veces ocurre que se pretende asegurar la necesidad de tomar determinadas medidas económicas sólo porque lo dicen algunos economistas que ocupan puestos importantes o de los que se pide la consideración de inteligentes. Incluso a veces se olvida que alguien puede saber hacer algo y tener opiniones equivocadas o injustificadas acerca de cómo se hace; esto es común cuando se cita a artistas como garantía de que tal o cual producto artístico es mejor que otros o de que el proceso creativo es de tal o cual manera. Pensemos en la falacia de la siguiente afirmación: “Si el Premio Nóbel en Literatura, hombre de reconocida trayectoria intelectual y de profundos conocimientos, dice que en la quinta carrera del domingo hay que jugarle al caballo número cinco, es que hay que jugarle al número cinco”. Muchas veces, en particular los periodistas, dan como ciertas informaciones sin poder tener control de la fuente y las dan por confirmadas solo porque la fuente NERIO VILLALOBOS FINOL
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tiene reputación de importante. Supongamos que una revista especializada en economía señala que la empresa X está segunda en la lista de las más importantes del mundo a nivel de producción y facturación. No hay ningún problema en decir que tal fuente afirma eso. Pero se comete una falacia si se afirma algo como: “Es indiscutible. La empresa x es la segunda en importancia en el mundo a nivel de producción y facturación. La revista tal lo afirma claramente”. Otra variante de esto es la apelación a rumores o a fuentes anónimas. Es claro que muchas veces no se cita a las fuentes para salvaguardar el canal de información, pero la falacia ocurre en que se afirme que algo es verdad porque lo dice tal o cual fuente, cuando no puede ser comprobado eso que se dice. 3.3. Argumento contra el Hombre (Ad Hominem) Ocurre cuando no se ataca a los argumentos del oponente sino a las características personales (nacionalidad, religión, ética, etc.) del que argumenta. Podemos atacar o desprestigiar la capacidad argumentativa del que presenta la opinión, pero sin presentar razones contra la opinión en sí. Por ejemplo, cuando decimos en tono despectivo aquello de “si tú lo dices…”. Muchas veces, incluso, ocurre que se señala que lo que alguien dice es falso sólo porque si fuera verdadero él sacaría una ventaja de ello (el caso extremo –pero que sirve para mostrar hasta donde puede llevar una postura así- es el de un abogado acusador que sostuviera: “El acusado miente cuando dice que es inocente porque sabe que si le creyéramos saldría libre”. También se comete esta falacia cuando se ataca lo que alguien dice porque quien lo dice no se comporta de esa manera. Hay otra falacia que habitualmente se llama falacia del espantapájaros y que podría incluirse en esta categoría. Ocurre cuando se reconstruye un argumento opuesto y se combate contra sus razones más débiles creyendo con eso haber desmantelado todo el argumento. Incurriría en esa falacia quien sostuviera: “¿Qué puede llevar a que alguien se oponga a la venta de las Empresas Públicas? Sin duda que hay un altísimo componente de nostalgia porque todos hemos crecido en un país orgulloso de sus Empresas Públicas. Ese era el país de nuestros padres y de los padres de nuestros padres. Pero madurar implica dejar la nostalgia y tener una visión realista de la vida. La nostalgia no nos va a ayudar a sacar adelante el país y la venta propuesta, sí.” 3.4. Apelación a la fuerza (Ad Baculum) Ocurre cuando se abandona toda razón para fundamentar algo y se pasa directamente a la alusión más o menos velada de que tal cosa debe hacerse porque quien tiene el poder para sancionar lo hará si eso no se hace. Es decir, no hay argumento a favor sino una amenaza contra quien use un argumento en contra. Apelan al poder o la autoridad para fundamentar una opinión. Expresiones de este tipo serían: “¿Por qué? Porque lo digo yo” o “Debes arreglar tu habitación ahora porque si no tendrás prohibido salir el fin de semana”. NERIO VILLALOBOS FINOL
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3.5. Apelación a la emoción (Ad Populum) Ocurre cuando en vez de presentar verdaderas pruebas para garantizar lo que se quiere concluir, lo que se hace es movilizar al interlocutor por medio de la sensibilidad. Apelan a emociones que conmueven no por su fuerza lógica sino por su capacidad retórica. Es muy común tanto en publicidad como en política. “Llegó la bebida joven. Búscala ya” o “Hemos apoyado esta medida porque nos parece que el país exige de todos una muestra de entrega y de patriotismo” A veces esto puede hacerse aduciendo consecuencias desagradables de que algo sea verdad. “La evolución no puede ser cierta porque entonces corremos peligro de en algún momento, como especie, desaparecer y no haber sido más que un momento en la historia.” Muchas veces se enjuicia negativamente a un supuesto opositor a lo que decimos, como paso de evitar que alguien tome esa alternativa. Un ejemplo sería: “Sólo alguien que no estuviera comprometido con el bienestar de la gente y del país podría negarse a votar esta ley”. 3.6. Apelación a la piedad (Ad Misericordiam) Ocurre cuando las emociones de piedad y altruismo son las emociones principales a las que se apela. Se trata de que se crea lo que se dice porque quien lo dice está o estaría, si no se le cree, en una situación lastimosa. “No voy a hablar ahora de todo el dolor que he padecido, de toda mi entrega, de las cosas que he postergado por este proyecto que someto a vuestra aprobación...” 3.7. Petición de Principio (Petitio Principii) Ocurre porque la verdad de la conclusión se asume en las premisas. Parece muy fácil de evitar, pero muchas veces las premisas están expresadas de tal manera que parecen querer decir algo diferente de lo que se quiere probar, aunque un análisis más atento demostraría que quieren decir lo mismo. Por supuesto que, en términos estrictos, un argumento de estas características siempre es válido pero lo es trivialmente. Pero es una falacia, porque no explica nada. Es como si se dijera, si tal cosa ocurre entonces tal cosa ocurre. “Un buen libro siempre es bueno para el alma, porque el espíritu siempre se beneficia con la buena literatura”. Emparentado con esto está lo que se llama definición circular, donde aquello que se define forma parte de la definición. Por ejemplo: “Un individuo es humano si y solo si tiene padres humanos”. 3.8. Tu Quoque Es un tipo de argumento muy utilizado, no sólo en deducciones lógicas sino también en excusas del deber o en defensa de la culpa. Tu quoque significa “tú NERIO VILLALOBOS FINOL
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también” y es la idea de poder excusarse, acusando a quien acusa. Produce actitudes tan singulares como cuando todos hablan en clase, yo también me creo en el derecho de hablar. 3.9. Conclusión Inatinente (Ignoratio Elenchi) Si bien en el fondo ninguna falacia prueba lo que quiere, este término se utilizará para designar a otro tipo de falacias de pertinencia que no caigan dentro de las clasificaciones anteriores. Un ejemplo de ellos sería: “Es necesario apoyar este paquete de medidas económicas porque es necesario tomar una serie de medidas económicas para mejorar la economía, reducir el déficit fiscal y generar más trabajos”. Esta es una manera de desviar la cuestión y no probar lo que se pretende sino que se acepten otros valores que todos consideran como buenos. Por ejemplo, también se incurre en una falacia de ignoratio elenchi cuando se tienen dos premisas negativas, de las cuales no puede haber conclusión. Por ejemplo: “Ningún ser humano es un simio y ningún simio habla. Por lo tanto ningún ser humano habla”. Se puede incluir aquí la falacia de la afirmación gratuita, donde quien habla saca una conclusión sin que se dé razones para ello. Generalmente es una actitud de no querer aceptar causa en contrario. “No solo los seres humanos, también los animales tienen derechos”. Generalmente se llama a esa premisa eludir la carga de la prueba, lo cual es una forma de eludir la cuestión. Otra falacia es cuando se asume que pequeñas diferencias son irrelevantes en una serie continua de sucesos. Supone creer que los extremos son lo mismo y que cualquier diferencia que se pretenda hacer en el medio, es arbitraria. Por ejemplo: “Si un grano no es un montón, y si agrego un grano de arroz tampoco es un montón y si agrego otro tampoco, entonces nunca hay un montón de granos de arroz”. También es una falacia proponer una alternativa no exhaustiva y al rechazar una de las alternativas, creer que es la otra la que queda afirmada. Una verdadera alternativa debe darse entre términos que sean exhaustivos y excluyentes. Por ejemplo “Las personas pueden ser todas altas o todas narigudas. Como no son todas altas, entonces son todas narigudas"” Puede citarse como parte de esta falacia aquellos casos en que las premisas que se usan para explicar tienen que ver con la clasificación pero no con la causalidad. Por ejemplo: “A mi perro le gustan los huesos porque es perro”. Claro que ello se sustenta en que a todos los perros le gustan los huesos, pero eso no explica por qué.
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PARADOJAS Una paradoja, a veces también llamada aporía, es una proposición o argumento que no tiene una solución definitiva. Si optamos por una posible solución entonces parece transformarse y convertirse en lo contrario. Esto nos llevar a concluir que existen verdades que no se pueden demostrar. De algún modo, esto subvierte la intuición de sentido común de que las oraciones o razonamientos son o verdaderos o falsos. Una paradoja es un tipo de argumento que ¡si es verdadero entonces es falso! Existen muchos tipos de paradojas, que no son triviales sino que suponen serios problemas a teorías tan aparentemente sólidas como la matemática o la lógica. Un buen y antiguo ejemplo de paradoja semántica es la famosa paradoja de Epiménides, que podemos formular como: “Esta oración es falsa” o “Estoy mintiendo”. ¿Es verdad que la oración es falsa? ¿Es verdad que miento? Pero, si es verdad que miento, entonces no miento. Luego, si es verdad esta aseveración, entonces es falsa. Estas paradojas semánticas se producen cuando nos referimos en la misma afirmación a dos mundos distintos, de tal manera, que en uno la oración es verdadera y en el otro falsa. Otra famosa paradoja minó desde sus orígenes la teoría de conjuntos. La formula Russell de la siguiente manera: Un conjunto es una colección de cosas. Normalmente el conjunto completo no forma parte de sí mismo. Pero si decidimos unir en un conjunto a todos los conjuntos que no forman parte de sí mismo, obtendríamos el conjunto de todos los conjuntos que no forman parte de sí mismo, pero este conjunto, ¿forma parte de sí mismo o no? No debería, pero si es el conjunto de todos los conjuntos de este tipo, entonces debería estar incluido en sí mismo. ¿Qué pasa con los barberos que no se afeitan a sí mismo? Si existen estos barberos habrá alguien que los afeite. Imaginemos que es uno sólo. El barbero de todos los barberos que no se afeitan a sí mismos, ¿se afeita a sí mismo? Si no lo hace, estará dentro del grupo al que afeita y entonces se afeitará a sí mismo, y si no está, entonces no se afeita a sí mismo y debería, por consiguiente, formar parte del conjunto. Difícil tarea tiene este barbero, quizá sea mejor dejarse la barba. Otra famosa paradoja, es la de Zenon, aunque en este caso quizá sea una aporía, es decir, un argumento problemático, pues pareciendo perfectamente correcto y sin tacha, produce un resultado completamente inadmisible. Zenon de Elea, discípulo de Parménides es conocido fundamentalmente por sus aporías o paradojas sobre el movimiento. Fiel a su maestro Parménides, intentaba negar la posibilidad del movimiento, para lo cual construyó sus aporías. La más famosa es la de Aquiles y la Tortuga: Si Aquiles retara a una carrera a una tortuga, dándole ventaja, Aquiles no la alcanzaría nunca. Porque para cuando Aquiles llegara al lugar alcanzado por la Tortuga, ésta ya se habría desplazado hacia
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delante, y para cuando Aquiles llegara al nuevo lugar alcanzado por la Tortuga, ésta de nuevo habría avanzado otro tanto. En esta persecución, la Tortuga alcanzaría la meta siempre antes que Aquiles, aunque fuera por poco. En principio, este argumento contra el movimiento y otros semejantes que se le ocurrieron parecen definitivos y sólo hasta que la matemática moderna ha comprendido la idea de límite de una sucesión decreciente ha podido disolverse la aporía. Comprendemos que la noción de aporía es un problema que se presenta al comparar lo que debería ocurrir según la razón y lo que ocurre en los hechos reales. Podemos mencionar otra paradoja de tipo distinto. La relata Proclos, quien contaba que Protágoras, un sofista ilustre de la Atenas democrática, había enseñado a un discípulo lo que era justo para que fuera un buen abogado y había pactado con él que no tenía que pagarle los estudios hasta que hubiera ganado un pleito. Pero el discípulo, al acabar los estudios, no se hace cargo de ningún proceso para no ganarlo y así tener que pagarle a Protágoras. Pero éste razona y decide demandarlo. Si pierde – piensa Protágoras – el discípulo le tendrá que pagar según el acuerdo, y si gana cobrará por mandato del juez. El discípulo, curiosamente, piensa que en ningún caso tendrá que pagar el costo de sus estudios: bien por el acuerdo tomado, o bien por la sentencia judicial.
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