Pontificia Universidad Católica de Chile Facultad de Educación Nivelación de Estudios para Adultos CREA Educación Matemática Nivel 2 Profesor Juan Núñez Fernández LOS CONJUNTOS NUMÉRICOS Como se mencionó en la clase anterior, existen distintos conjuntos numéricos, cada uno con sus propias características y elementos. 1 Los elementos de un conjunto numérico son los números. Por ejemplo, el número 4 pertenece al conjunto de los números Racionales (Q) pero ese mismo número no pertenece al conjunto de los Naturales (N), y el número 2 pertenece al conjunto de los Naturales (N) y también al de los Enteros (Z). Con esto podemos concluir que un conjunto numérico puede estar contenido en otro.

OPERATORIA EN EL CONJUNTO DE LOS NÚMEROS ENTEROS (Z) PREVIO: - LEYES DE LOS SIGNOS +

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- VALOR ABSOLUTO: El Valor absoluto de un número entero es el número natural que sigue al signo. Se indica poniendo el número entero entre barras.  x, x ≥ 0 x = − x , x < 0 Por ejemplo: |-345|=345, |67|=67, |0|=0 ___________________________

La operatoria en este conjunto es la que frecuentemente usamos en nuestra vida diaria. Consta de dos operaciones: 1. Adición (+): a) Si los dos números enteros tienen el mismo signo, se suman los valores absolutos de ambos números y se pone el signo que ellos tienen común. Ejemplo: (+7) + (+5) = +12 (-4) + (-3) = -7 b) Si los dos números enteros tienen distintos signo, se restan los valores absolutos de ambos números y se pone el signo del número que tenga mayor valor absoluto Ejemplo: (+4)+(-15)=-11 (-165)+(+54)=-111 PROPIEDADES: Sean a, b, c números pertenecientes a los números enteros: -Clausura: a + b∈Z Ejemplo: 2 + 4 = 6 , 39 + (−68) = −29 , 6 y -29 pertenecen a los enteros. -Conmutatividad: a+b=b+a Ejemplo: 9 + (−13) = −13 + 9 -Asociatividad: (a + b ) + c = a + (b + c ) Ejemplo: [8+(-3)]+(-4) =8+[(-3)+(-4)] -Elemento Neutro: a+0=a Ejemplo: 4+0=4 Nota: el cero es el único neutro aditivo en los enteros. -Inverso aditivo: a + (−a) = 0 Ejemplo: 4+(-4)=0, -16+(-(-16))=0 Nota: el inverso aditivo es único para cada número entero. 2. Multiplicación (·): Para hallar el producto de dos números enteros: i) Se multiplica los Valores Absolutos de los dos números ii) Aplicamos las reglas de los signos. Así, podemos obtener las siguientes consecuencias: 1. Si los dos números son del mismo signo el producto es positivo. 2. Si tienen distintos signos el producto es negativo. Ejemplo: (+2)·(-3)=-6 , (-4)·(-25)=+100

PROPIEDADES: Sean a, b, c números pertenecientes a los números enteros: -Clausura: a • b∈ N Ejemplo: 5 • 4 = 20 , 13 • 3 = 39 , 20 y 39 pertenecen a los naturales. -Conmutatividad: a•b = b•a Ejemplo: 5 • 23 = 23 • 5 -Asociatividad: (a • b ) • c = a • (b • c ) Ejemplo: (9 • 21) • 7 = 9 • (21 • 7 ) -Elemento Neutro: a •1 = a Ejemplo: 76·1=76 Nota: el uno es el único neutro multiplicativo en los enteros. -Inverso multiplicativo: 1 a • =1 a 1 1 Ejemplo: (−3) • = 1 , 57 • =1 (−3) 57 Nota: el inverso aditivo es único para cada número entero. -Distributividad a • (b + c ) = a • b + a • c Ejemplo: 3·(5+(-7))=3·5+3·(-7) ¿Qué pasó con la sustracción y la división? Estas operaciones nacen de las inversas a la adición y multiplicación respectivamente. 3. Sustracción (-): Para restar dos números enteros se le suma al minuendo el opuesto aditivo del sustraendo. Luego se usan las reglas de la Adición. Ejemplo: (-7) – (+3) = (-7) + (-3) , (+8) – ( -14) = (+8) + (+14) 4. División (:): Para hallar el cuociente de dos números enteros: i) Se divide los valores absolutos de los dos números enteros ii) Aplicamos las reglas de los signos Así, podemos obtener las siguientes consecuencias: 1. Si los dos números son del mismo signo el cociente es positivo. 2. Si tienen distintos signos el cociente es negativo. Ejemplo: (-8):(-2)=4 , (-24):(+3)=-8

OPERATORIA EN EL CONJUNTO DE LOS NÚMEROS RACIONALES (Q) El conjunto de los números racionales está formado por las fracciones. a , donde a, b ∈ Z , a se llama numerador y b denominador. b ≠ 0 b

PREVIO: -Mínimo Común Múltiplo (mcm) El mcm de dos números, mcm(a,b), como lo dice su nombre, es el múltiplo más pequeño que tienen en común los números. Se obtienen los múltiplos de cada número, se comparan y se escogen el más pequeño de entre los que tienen en común. Ejemplo: mcm(2,3): múltiplos de 2 = {2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, …} Múltiplos de 3 = {3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, … } Así, los múltiplos comunes son 6, 12, 18 (nótese que se pueden encontrar infinitos múltiplos de cada número) y el más pequeño es el 6. Por lo tanto, mcm (2,3)=6 -Amplificar Amplificar una fracción es la acción de multiplicar tanto el numerador como el denominador de ésta, por un mismo número, con el objetivo de obtener una fracción equivalente. 4 4•2 8 Ejemplo: = = 5 5 • 2 10 -Simplificar La simplificación de fracciones a la acción de dividir numerador y denominador de una fracción por un mismo número con el objetivo de obtener una fracción equivalente. 9 9:3 3 Ejemplo: = = 12 12 : 3 4 ______________________________ 1. Adición (+): a) Fracciones con igual denominador: Para sumar este tipo de fracciones, conservamos el denominador y se suman los numeradores, utilizando las reglas de la adición de enteros. Ejemplos: 2 7 2+7 9 15  17  15 + (−17) − 2 2 + = = , + −  = = =− 3 3 3 3 12  12  12 12 12 b) Fracciones con distinto denominador: Para sumar este tipo de fracciones, se debe amplificar el primer sumando por el denominador de la segunda fracción, y amplificar el segundo sumando por el denominador de la primera fracción. Así se igualan y se suman como lo visto anteriormente. 4 1 4 • 2 1 • 3 8 3 8 + 3 11 Ejemplos: + = + = + = = 3 2 3• 2 2•3 6 6 6 6

PROPIEDADES: Sean a, b, c números pertenecientes a los números racionales: -Clausura: a + b∈Q 1 3 4 5  3  13 4 13 Ejemplo: + = , , y pertenecen a los racionales. + −  = 2 2 2 4  5  20 2 20 -Conmutatividad: a+b=b+a 3 4 4 3 Ejemplo: + = + 6 9 9 6 -Asociatividad: (a + b) + c = a + (b + c ) 1 3 5 1 3 5 Ejemplo:  +  + = +  +  2 4 7 2 4 7 -Elemento Neutro: a+0=a 5 5 0 5+0 5 Ejemplo: + 0 = + = = 7 7 7 7 7 Nota: -el cero es el único neutro aditivo en los racionales. -Si el numerador de una fracción es cero, el valor numérico es siempre cero -Inverso aditivo: a + (−a) = 0 7  7 7 −7 7 −7 0 Ejemplo: + −  = + = = =0 9  9 9 9 9 9 Nota: -el inverso aditivo es único para cada número entero. a −a - − = b b 2. Multiplicación (·): Para multiplicar fracciones, se multiplica numerador con numerador y denominador con denominador, independiente si los denominadores son iguales o no. 12  3  12 − 3 12 • −3 − 36 Ejemplo: • −  = • = = 7  2 7 2 7•2 14 PROPIEDADES: Sean a, b, c números pertenecientes a los números racionales: -Clausura: a • b∈Q 51 3 151 4  5  4 • −5 − 20 151 − 20 Ejemplo: • = , , y pertenecen a los racionales. • −  = = 2 7 14 5  3 5 • 3 15 14 15 -Conmutatividad: a+b=b+a 5 4 4 5 Ejemplo: • = • 6 2 2 6

-Asociatividad: (a + b) + c = a + (b + c ) 5 6 9 5 6 9 Ejemplo:  •  + = •  •  9 8 2 9 8 2 -Elemento Neutro: a •1 = a 45 45 1 45 • 1 45 •1= • = = Ejemplo: 67 67 1 67 • 1 67 Nota: -el uno es el único neutro multiplicativo en los racionales. -el uno en los racionales se puede escribir de infinitas formas, sin cambiar su esencia, por ejemplo: 22 43 67 8 = = = =1 22 43 67 8 Es decir, si el numerador y el denominador son iguales, el cociente siempre será cero. -Inverso multiplicativo: 1 a •   =1 a     3  1  3 •1 3 3 3 Ejemplo: • = = = = =1 4  3  4 3 4 • 3 12 3 •    4  1 4 1• 4 4 Nota: -el inverso multiplicativo es único para cada número entero. a - a = , para todo a que pertenece a los Enteros. 1 -Distributividad: a • (b + c ) = a • b + a • c 5 −3 9 5 −3 5 9 Ejemplo: •  + = • + • 7  4 8 7 4 7 8 ¿Qué pasó con la sustracción y la división? Estas operaciones nacen de las inversas a la adición y multiplicación respectivamente. 5. Sustracción (-): Para restar dos números racionales se le suma al minuendo el opuesto aditivo del sustraendo. Luego se usan las reglas de la Adición, teniendo cuidado si los denominadores son iguales o distintos. Ejemplo:  1   7   1   7  1− 7 − 6 = +  −+  = +  + −  = 8 8  8  8  8  8  + 

4   − + 3 

1   = + 2 

4   + − 3 

1 5 = 2 6

6. División (:): Para dividir fracciones, se divide numerador con numerador y denominador con denominador, independiente si los denominadores son iguales o no. 4  2  4 − 2 4 : −2 − 2 Ejemplo: :−  = : = = 15  3  15 3 15 : 3 5 Ojo: Recuerda la equivalencia entre fracción y división.

a a a c a d a  → a : b Así, si :  → b donde b = • c c b c b d b d d EJERCICIOS COMBINADOS Para realizar operaciones se ha de respetar el siguiente orden: 1º) Operar los paréntesis. 2º) Realizar las multiplicaciones y las divisiones. 3º) Realizar las sumas y las restas. 5 Ejemplo: 2 +  • −3 + 6

1  5 • −3 1   − 15 1   − 69  − 9 − 9 : 3 − 3 + =2+ + =2+ = = =2+ = 5 5 5  6  6  30  30 30 : 3 10