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Encuentro de Investigaci´ on en Ingenier´ıa El´ ectrica Zacatecas, Zac, Marzo 13—14, 2008

Dise˜no de un Control Adaptable de Velocidad para Servomotores Utilizando el M´etodo de Lyapunov Ra´ ul Casta˜ neda D´ıaz y Miguel Eduardo Gonz´alez El´ıas Maestr´ıa en Ingenier´ıa Control Autom´atico Unidad Acad´emica de Ingenier´ıa El´ectrica TEL: +(492)9239407, ext. 1504 correo-e: raul [email protected], [email protected] Resumen — Una alternativa para controlar los procesos de producci´ on industriales que son cada d´ıa m´ as complejos, es utilizar t´ ecnicas adaptables las cuales permiten sobreponerse a incertidumbres en el modelado matem´ atico y a la variaci´ on param´ etrica. En este art´ıculo se presenta el dise˜ no de un control adaptable de velocidad para servomotores utilizando la t´ ecnica del modelo de referencia y obteniendo la ley de adaptaci´ on por el m´ etodo de Lyapunov. Para validar el controlador propuesto, ´ este se ha implementado utilizando el programa LabVIEW 7.1 y el servomotor BE161CJ de Parker Compumotor. Los resultados obtenidos permiten concluir que el sistema tiene una buena rapidez de adaptaci´ on, es estable y adem´ as tiene un alto grado de robustez, para diferentes modelos de referencia y perturbaciones. Abstract— An alternative to control the process of industrial production that are every day more complex, is use adaptives techniques which let superimpose to uncertainties in the mathematical modeling and to the parametric variation. In this paper present the design of a control of velocity for servomotors using the technique of

reference model and obtaining the adaptation’s law with Lyapunov’s method. For validate the controller proposed, this have implemented using the program LabVIEW 7.1 and the servomotor BE161CJ of Parker Compumotor. The results obtained let conclude that the system has a good rapidity of adaptation, is stable and furthermore has a high grade of robustness for differents reference models and perturbations. Descriptores — An´ alisis de Estabilidad de Lyapunov, Control Adaptable, Ley de Adaptaci´ on, M´ etodo de Lyapunov, Modelo de Referencia.

´ I. INTRODUCCION

L

OS procesos de producci´ on industrial son cada d´ıa m´ as complejos y requieren mecanismos de mayor precisi´ on, entonces ha sido necesario incorporar como actuadores servomotores que permiten aplicar sistemas de control m´ as eficientes. Dada la complejidad de los mecanismos a controlar, es dif´ıcil el modelado matem´ atico de los mismos y por lo tanto el dise˜ no de controladores mediante t´ecnicas convencionales (control cl´asico). Una

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alternativa es emplear control adaptable el cual permite sobreponerse a incertidumbres en el modelado matem´ atico y a la variaci´on param´etrica. Los servomotores son mecanismos que se utilizan en muy diversas aplicaciones, que van desde tareas sencillas como impulsar bandas transportadoras, hasta tareas complejas como es la generaci´on de movimiento en robots manipuladores. No en todas las aplicaciones es posible contar con un modelo matem´ atico que describa con precisi´on el comportamiento del mecanismo a controlar, o inclusive si se cuenta con tal modelo, es posible que se presenten variaciones param´etricas debido a las diferentes condiciones de trabajo a las que se ve sometido. Dado lo anterior, se complica el dise˜ no del algoritmo de control mediante las t´ecnicas convencionales como el control cl´ asico, PID, Bode, LGR, etc., ya que sus ganancias se calculan directamente con los par´ ametros del modelo matem´ atico del mecanismo. Una alternativa es el control adaptable, ya que es un controlador que trata de aprender sobre el sistema y el ambiente que le rodea para poder cambiar su comportamiento cuando las caracter´ısticas de la planta o del medio han cambiado. Esto permite conseguir regular la salida de sistemas de los cuales no se conoce con precisi´ on su modelo matem´ atico o que tienen variaciones param´etricas. Hoy en d´ıa existen muchas t´ecnicas para control adaptable, en este art´ıculo se ha dise˜ nado e implementado un sistema de control adaptable por modelo de referencia utilizando la regla de Lyapunov, la cual se aplica en la regulaci´ on de velocidad para servomotores. Se ha seleccionado este m´etodo ya que el dise˜ no est´a basado en la teor´ıa de estabilidad de Lyapunov, con lo que adem´ as de obtener la ley de adaptaci´ on, se garantiza que el sistema en lazo cerrado sea estable. El dise˜ no de un control adap-

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table por modelo de referencia fue propuesto por el profesor H. Philip Whitaker y es conocido por la regla MIT (Instituto Tecnol´ogico de Massachusetts)[1]. El an´ alisis de estabilidad de este controlador resulta muy complicado y a´ un cuando en la pr´actica proporciona buenos resultados, no hay garant´ıa de que sea estable para determinadas condiciones de operaci´on. Bas´andose en la idea de Whitaker, una alternativa es encontrar la ley de adaptaci´ on a partir del an´ alisis de estabilidad de Lyapunov. El an´ alisis del sistema en lazo cerrado se presenta enseguida. II. SISTEMA DE CONTROL POR MODELO DE REFERENCIA Asuma que la planta que se est´a tratando de controlar tiene la funci´on de transferencia dada en (1), entonces se aplica el sistema de control en lazo cerrado que se muestra en la Figura 1.

Figura 1. Estructura de control de la t´ecnica de Modelo de Referencia.

Gp (s) =

d s+b

(1)

Y la respuesta deseada est´a dada por el modelo de referencia representado por:

Gm (s) =

am s + am

Por otro lado la ley de control es

(2)

Casta˜ neda y Gonz´ alez: Control adaptable, m´etodo de Lyapunov

U (s) = θ1 Yd (s) − θ2 Y (s)

(3)

donde Y (s), U (s) y Yd (s) son las transformadas de Laplace de la salida de la planta y, se˜ nal de control u y el valor deseado yd . Adem´ as θ1 y θ2 son los par´ ametros de adaptaci´ on. Puesto que la teor´ıa de Lyapunov est´a basada en el dominio del tiempo es necesario expresar el sistema en t´erminos de sus ecuaciones diferenciales. Entonces, la planta est´a descrita por dy + by = du dt

(4)

u = θ 1 yd − θ 2 y

(5)

y el controlador

Sustituyendo a (5) en (4), se llega a la siguiente expresi´ on:

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Esta ecuaci´ on es llamada ecuaci´ on de error. Note que si los par´ ametros son iguales a los valores ideales θ1 =

am d

y am − b d entonces la ecuaci´ on de error se reduce a θ2 =

de = −am e dt como resultado el error tiende a cero exponencialmente con velocidad am . ´ POR III. LEY DE ADAPTACION LYAPUNOV Enseguida se utilizar´a un algoritmo de tal manera que el error tienda a cero cuando los par´ ametros son desconocidos. Con tal fin se propone una funci´on candidata de Lyapunov a partir de la ecuaci´ on de error, por lo cual se propone la siguiente funci´on de Lyapunov

V (e, θ1 , θ2 ) = dy = dθ1 yd − (b + dθ2 )y dt

(6)

La respuesta deseada est´a dada por dym + am ym = am yd dt

(7)

Considerando al error como

e = y − ym

(8)

Entonces la derivada del error considerando (4) y (6) resulta:

de = −am e + (am − b − dθ2 )y + (dθ1 − am )yd dt (9)

1 1 1 2 e + (bθ2 + a − am )2 + (bθ1 − bm )2 2 bγ bγ (10) 



donde γ, es un par´ ametro de dise˜ no que define la velocidad de adaptaci´ on del sistema. 1. Teorema de Estabilidad de Lyapunov[1] Sea x = 0 un punto de equilibrio de una funci´on x˙ = f (x). Sea V:D−→ R una funci´on continuamente derivable sobre el vecindario D de x = 0, entonces a) V (0) = 0 y V (x) > 0 en D-0. b) V˙ (x) ≤ 0 en D. Entonces x = 0 es estable o m´ as aun si se cumple con la condici´ on: c) V (x) < 0 en D - 0 Entonces, x = 0 es asint´oticamente estable.

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N´ otese que los par´ ametros adaptables θ1 y θ2 est´an incluidos en la funci´on de Lyapunov puesto que se intenta encontrar ecuaciones en t´erminos de la relaci´ on de cambio de θ. Para determinar si la funci´on V califica como una funci´on de Lyapunov, se debe investigar si las relaciones entre los par´ ametros pueden ser elegidos de acuerdo a dV /dt = V˙ . Se requiere que sea definida negativa para garantizar la estabilidad del sistema. Para este caso se tiene

1 1 V˙ = ee˙ + (bθ2 + a − am )θ˙2 + (bθ1 bm )θ˙1 γ γ (11) Sustituyendo a (9) que no toma en cuenta los valores ideales de θ en (11) se llega a θ˙1 = −γ ∗ yd e θ˙2 = γ ∗ ye Las expresiones anteriores se pueden escribir de forma general como dθ = γ ∗ xe dt a la cual se le llama Ley de Adaptaci´ on, donde θ es un vector de par´ ametros y x = [−yd , y]. En estado estable se llega a V˙ = −am e2 Si e = 0 por lo tanto V˙ = 0 −→ V (x) ≤ 0 y si e 6= 0, am > 0, se asegura que V˙ < 0. De lo anterior se puede concluir que la funci´ on propuesta es negativa semidefinida, el seguimiento del error e ser´a hasta cero, en cuanto los par´ ametros θ1 y θ2 no necesariamente converger´ an a los valores ideales aunque estar´an muy cercanos.

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IV. SISTEMA EXPERIMENTAL Para validar el control adaptable propuesto se puso en pr´actica un experimento en el cual se program´ o el algoritmo anterior en el programa gr´ afico LabVIEW versi´ on 7.1 [6], haciendo uso tambi´en del m´ odulo Elvis de National Instruments [5], y del servomotor BE161CJ. El dise˜ no experimental se representa a manera de bloques en la Figura 2 [5]. Todo mecanismo a controlar es afectado por una fuerza externa de car´acter natural e inevitable que es conocida como fuerza de fricci´ on, la cual tiene como objetivo oponerse a la fuerza empleada para generar alg´ un tipo de movimiento produciendo errores de posici´ on y/o movimiento, por lo cual, debe ser considerada y compensada. Dado que si no es tomada en cuenta en el dise˜ no del controlador entonces, este dif´ıcilmente podr´a cumplir con su funci´on. Existen algunas t´ecnicas que se utilizan para tratar de reducir el efecto de la fricci´on, una de las m´ as recientes y utilizadas es la de dise˜ no de compensadores. Para efectos del experimento, se propuso un compensador sencillo que generara un par que sumado al producido por el controlador fuera posible llevar a la planta (servomotor) al valor deseado, este compensador se muestra en (12).

Ff riccion = −fc [tanh(e)]

(12)

donde Ff riccion representa la fuerza de fricc´ on, fc representa el coeficiente de fricci´on de Coulomb y e representa al error como ya se hab´ıa considerado en (8). V. RESULTADOS EXPERIMENTALES Para demostrar la capacidad de adaptaci´ on del algoritmo antes analizado se hicieron diferentes experimentos variando el modelo de referencia (r´apido y lento), adem´ as una vez estabilizado el sistema se le aplicaron

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Figura 2. Dise˜ no experimental con el servomotor BE161CJ.

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Figura 4. Par´ ametros adaptables θ1 y θ2 .

perturbaciones para verificar su robustez, las condiciones iniciales son iguales a cero, el tiempo de muestreo fue de 10 ms y el valor del par´ ametro ajustable γ igual a 0.03. En la Figura 3, se muestra la respuesta y y ym de la planta (servomotor) y del modelo de referencia respectivamente. La se˜ nal de excitaci´ on del sistema es un tren de pulsos. El modelo de referencia (lento) con par´ ametros am = bm = 2. Figura 5. Comportamiento de la variable error.

Figura 3. Respuesta y y ym , con am = bm = 2.

En la Figura 4, se muestran los par´ ametros adaptables θ1 y θ2 . Una variable importante a observar en el proceso de adaptaci´ on es el error, ya que ´este es base para sistemas adaptables con modelos de referencia. En la Figura 5, se observa el comportamiento del error.

Un sistema adaptable adem´ as de cambiar su comportamiento ante la evoluci´on de las condiciones del mismo sistema que se trata de controlar, debe de ser capaz de modificar su comportamiento ante las perturbaciones del medio que le rodea, es decir, debe tener cierta robustez. Para verificar dicha caracter´ıstica al mismo sistema y bajo las mismas condiciones se le aplic´o una perturbaci´on, la respuesta se presenta en la Figura 6. Un sistema adaptable como su nombre lo indica tiene la capacidad de adaptarse cuando las caracter´ısticas del medio evolucionan, sin embargo, es importante notar que un sistema adaptable se adaptar´ a en menor tiempo cuando la se˜ nal de excitaci´ on var´ıe con mayor frecuencia, para corroborar esto, se cambi´ o el

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Figura 6. Respuesta del sistema ante una perturbaci´ on.

modelo de referencia utilizado por uno m´ as r´apido, en donde am = bm = 10. El comportamiento del sistema se muestra en la Figura 7.

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demostrando que el sistema tiene buena rapidez de adaptaci´ on, estabilidad y un alto grado de robustez para diferentes modelos de referencia y grados de perturbaci´on. La t´ecnica de control adaptable es una buena alternativa para el dise˜ no de sistemas de control dado que no es necesario determinar el modelo matem´ atico del mecanismo a controlar evitando caer en incertidumbres, adem´ as a esto se le suma la complejidad en el modelamiento matem´ atico. Algunas aplicaciones de ´esta t´ecnica es en el uso de bandas transportadoras, elevadores entre otras, en las cuales la carga esta variando constantemente y por tanto los par´ ametros del modelo matem´ atico tambi´en est´an variando continuamente. Referencias [1]

[2]

[3] Figura 7. Respuesta y y ym , con am = bm = 10.

VI. CONCLUSIONES Se present´o el dise˜ no de un control adaptable de velocidad para servomotores utilizando la t´ecnica del modelo de referencia, obteniendo la ley de adaptaci´ on por medio del m´etodo de Lyapunov. Se utiliz´o el programa gr´ afico LabVIEW 7.1, en el cual es posible crear herramientas (instrumentos virtuales) necesarias que no vienen construidas. Se utiliz´o el servomotor BE161CJ de Parker Compumotor, en el cual se hicieron las pruebas experimentales

[4]

[5] [6]

R. L. Daley, E.J Davison, G. F. Franklin, H. Khalil, F. L. Lewis, L. Ljung, M. K. Mastern, R. A. Shoureshi and D. D. Sworder “Modern Control Systems” Institute of Electrical and Electronics Engineers, Inc., pp. 355-358, 1995. R. Marino, S. Peresada and P. Tomei, “Global Adaptive Output FeedBack Control of Induction Motors with Uncertain Rotor Resistance” IEEE Transactions on Automatic Control, Vol. 44, No. 5, pp. 967, 1999. R. Marino, S. Peresada, Paolo Valigi,“Adaptive Input-Output Linearizing Control of Induction Motors” IEEE Transactions on Automatic Control, Vol. 58, No. 2, pp. 208, 1999. F. J. Lyn and C. M. Daw, “Reference Model Selecting and Adaptive Control for Induction Motor Driver ” IEEE Transactions on Automatic Control, Vol. 38, No. 10, pp. 1994, 1993. Manuales de ELVIS of National Instruments 2004. Manuales de LabVIEW versi´ on 7.1.