TEMA 1: ÁLGEBRA DE MATRICES.

2° BACH(CN)

TEMA 1: ÁLGEBRA DE MATRICES.

l.-INTRODUCCIÓN. Problema: que en otro país Los vuelos

En un país B

A

hay cuatro, vienen

entre

hay tres aeropuertos Bl' B2' B3

esos

Y

internacionales,

Al' A2

Y A3' mientras

B4'

aeropuertos

vienen

representados

en el siguiente

diagrama:

Esta información aeropuerto

la podemos resumir también

a otro en la siguiente tabla:

según los números de los vuelos de un

11

O O 2O Bl B2 B4 B3

A3 A2 Al

Imaginemos

ahora

que tenemos

los vuelos

del país B

aeropuertos:

a otro

país C

con dos

23O O Cl C2

1

B2 B4 B3 Bl

o también

posibles para ir de A a C,

Si nos piden la combinaciones

haciendo escala en B,

tendríamos: Para llegar a CI, las posibilidades saliendo

de Al

y pasando

por B3

tendríamos que repetir saliendo de

son: saliendo de Al y pasando por BI tres vuelos y

dos vuelos,

A2

y A3

;Y

en total

5 posibilidades.

Esto mismo

lo

también para llegar a C2.

Al final nos quedaría: 2C2 52O Cl A3 A2 Al

DAVID RIVIER

SANZ

1-1

TEMA 1: ÁLGEBRA DE MATRICES.

2° BACH(CN)

2.-NOMENCLATURA. Definición.-

filas

Una matriz

• oO oO oO o

•

oO, oO 000

•

••

y n columnas

rectangular

aIl

formada

por filas y columnas:

E 9t .

ad

= (aij)

= (aij t.n

an1 a

es una caja numérica

a2n a1n ann an2 a12 a22

l}

21

DEFINICIONES.

o

y

Definición.-

Se llama dimensión

Definición,-

Se llama

que de columnas,

Llamamos

o

o

Dos matrices

'o

cOinciden

diaqonal

son

que tiene

de una matriz

A (es decir, los

iguales

cuando

aij

tienen

dim(A) = m x n.

el mismo

número

de filas

B = (b l) A=(a.)

a termino:

cuadrada

a la línea formada

tales que

i = j, 'í/ i = 1,2,o.o,n).

la misma

l}

'o

termino

a una matriz

principal

.. ,ann de la matriz

aIl,a22,o

Definición.-

cuadrada

m x n, pondremos

a

m = n.

es decir,

Definición.los elementos

matriz

de una matriz

dimensión,

por

y además,

••

r,n m,n } A . = B

aij = bij 'í/



1, ]

Definición.(1) Llamamos

matriz

fila o vector

(2) Llamamos

matriz

columna

Definición.matriz

que

5O-1 36O33 1

columnas

iJ'

l}

matriz

1

es4 decir,

m,n

columna

traspuesta

de

A = (a)

si Jl

de dimensión

a toda matriz

A o traspuesta

al cambiar

n.

de dimensión de una

en la matriz

Al = (a ..)

entonces

Ix

matriz

m xI. A, a otra

A las filas por las

,

n,m

r~

Definición.simétrica

2O

y viceversa,

o vector

Al, que obtendremos

llamaremos

A' ~

entonces

Se llama

fila a toda matriz

Una matriz

es necesario

Si A

Etern%:

A se llama simétrica

cuando

Al = A. Para que una matriz

sea

que sea cuadrada.

=

-1

2

1

= Al.

1 31] [11 -1 Definición.están debajo

Etern%s:

Una matriz

de la diagonal

A=

O

A se llama triangular principal

2

1

[1 -1 1J O

DAVID RIVIER SANZ

O

son iguales

B=IO O

O

O

O

y todos

los elementos

que

a cero.

1 3 -1 1 2 Y

si es cuadrada

1 1

-1 -1

3

O

2

1-2

20 BACH(CN)

TEMA 1: ÁLGEBRA DE MATRICES.

3.-0PERACIONES

CON MATRICES.

Notación.- Al conjunto de todas las matrices que tienen una misma dimensión, nombraremos

por M mxn' es decir, M mxn = ~odas

A tales que

las matrices

dim(

m x n, lo

A) = m x n}.

-SUMA DE MATRICES. En primer lugar, para que dos matrices misma dimensión

puedan sumarse,

nos dará otra matriz de la misma dimensión.

es necesario que tengan la En tal caso, se suma término

a término: l}

3-2 1O3-2 O1 6 5+1 -2 O2 =O 11 1+0 1+0 2 0+1 3+(-2) -1 +(-2) 1-11-2 3+(-2) 2+(-1) m,n

l}

m,n

l}

+ (b

m,n (a )

l}

)

= (a

+b

)

J[~

:J ~J ~y JB{ =entonces 4+1 J [2 .

[1

Para multiplicar la matriz: -1 -3 1395 618 O l}

-11

m,n

un número por una matriz, se multiplica

-3-69 -23

-2

m,n

l}

el número por cada término de

k . (a

H

)

= (ka

)

~J ;J 12J=y [ k~ = 3 entonces kA=3[

~

-PRODUCTO DE UN MATRIZ FILA POR UNA MATRIZ COLUMNA. El número de columnas matriz columnas,

de la matriz fila ha de coincidir con el número de filas de la

es decir las dimensiones

serán 1 x n y n x 1 respectivamente.

Es resultado

es un número: b¡ b2

(a¡

DAVID RIVIER

a2

SANZ

aj

oo.

an)·1

bj

1= a¡b¡

+ a2b2 + ajbj +...+ anbn

1-3

TEMA 1: ÁLGEBRA DE MATRICES.

2° BACH(CN)

Etemolo: 2

-1 (1

O

-1

2

3),11

1=1.2+0.(-1)+(-1).1+2.0+3.(-2)=2+0-1+0-6=-5

O

-2 -PRODUCTO DE MATRICES. Para que dos matrices de filas de la primera (A)

A y B se puedan multiplicar, A· B, es necesario que el número

sea igual al número de columnas de la segunda (B),

de A es m x n, entonces la de B tendrá que ser n x p.

dimensión

será otra matriz de dimensión

es decir, si la

El resultado del producto

m x p , y cuyos elementos los obtendremos

al multiplicar

cada

vector fila de la primera por cada vector columna de la segunda:

B A:

(bu t,p (au t,n}

~A. B = C =

(cu

t,p b1j b2j

a¡j ... a¡J·1

b3j

n

=aUb1j

+a¡2b2j +a¡3b3j + ... +a¡nbnj = ¿a¡kbkj k=l

Etemplo: Si A =

2 -1 1 (1

~Jy B = [-1~

~1J entonces

2.(-1)+1·0+1.1 ~J= (1.(-1) + (-1)' + O

4.-PROPIEDADES

O

DE LAS OPERACIONES

2·1+1·2+1·0

O

·1 1·1+ (-1).2 + O .OJ

=

-1 4

(-1 -1J

CON MATRICES.

-PROPIEDADES DE LA SUMA. (1) Propiedad ASOCIATIVA:

(A+B)+C=A+(B+C)

(2) Propiedad CONMUTATIVA:

A +B = B +A

(3) ELEMENTO NEUTRO: Llamamos entonces se cumple que A

0m,n a la matriz cuyos elementos

son todos ceros,

+O = O+A = A

(4) ELEMENTO OPUESTO: Toda matriz tiene un elemento matriz opuesta, y que denotaremos

opuesto al que llamaremos

por - A, tal que si A = (au) m~ entonces - A = (- au) m~ y

cumple que A+(-A)=(-A)+A=O.

DAVID RIVIER

SANZ

1-4

2° BACH(CN)

TEMA 1: ÁLGEBRA DE MATRICES.

Observación:

Estas cuatro propiedades

un grupo conmutativo

se resumen diciendo que el conjunto

M mxn

es

o abeliano respecto de la suma.

-PROPIEDADES DEL PRODUCTO DE N~ POR MATRICES. Si a,b E 9t Y A,B E Mm,n se cumple que: (1)

a·(b·A)=(a·b)·A

(2)

a·A+b·A=(a+b)·A

(3)

a.A+a·B=a·(A+B)

(4)

1·A=A

-PROPIEDADES DEL PRODUCTO DE MATRICES. (1) Propiedad ASOCIATIVA:

de matrices NO ES CONMUTATIVO, A· B

(2) El producto habrá que distinguir

(Am,n' Bn,p)' Cp,q = Am,n . (Bn,p . Cp,q) *-

B· A en general. Por tanto

una matriz A por otra B, si lo hacemos por la

cuando multipliquemos

izquierda o por la derecha:

A· B

==

A multiplicada

por B por la derecha.

B· A

==

A multiplicada

por B por la izquierda.

Si dim(A)=4x3

Etern%:

y dim(B)=3x2

entonces

Pero en cambio B· A no se puede efectuar ya que B3.2

Elemolo: Si A ~ Si hacemos

G -/ ~) y

A· B entonces

dim(B· A) = 3 x 3 , por tanto A· B

B ~ [-1 ~

*-

B· A ya que las dimensiones

O 2 (12 -1). (1-1 21) = (22 -1)

Sea

.

. A4.3 .

y dim(B)= 3x 2.

dim(A. B) = 2 x 2, en cam bio si hacemos

dim(A) = 2 x 2, dim(B) = 2x 2 y entonces dim(A.

A. B =

con dim(C)=4x2

~1J entonces dim(A)~ 2x3

¿y si dim(A· B) = dim(B· A)?

Etern%:

C=A·B

A =

B· A entonces

no coinciden.

O (12 -1)

y B =

(-1/

~)

entonces

B) = dim(B. A)= 2 x 2, pero

Y B. A =

O 3 -1) 1 (1-1 21).(12 -1). = (3

-PROPIEDADES DISTRIBUTIVAS. Si A, B

,C y D son matrices cuyas dimensiones permiten efectuar las operaciones que

se indican, entonces se cumplen las siguientes propiedades: (1) A.(B+C)=A.B+A·C (2) (B+C)·D=B·D+C·D

DAVID RIVIER

SANZ

1-5

TEMA 1: ÁLGEBRA DE MATRICES.

S.-MATRICES

2° BACH(CN)

CUADRADAS.

Las matrices cuadradas de un cierto orden o dimensión, M nxn' además de sumarse y multiplicarse

por números, pueden multiplicarse

entre sí. Además, estas operaciones cumplen

las propiedades vistas hasta el momento y algunas otras.

Definición.términos

Llamamos

matriz

unidad o matriz

identidad

a la matriz

de la diagonal principal son todos 1 y los demás términos

In' donde n

O.

cuadrada

cuyos

La denotaremos

por

= dim(I) = n x n, o también por 1.

Propiedad.V A E M nxn Definición.-

A . In = In . A = A .

:::::>

Llamamos matriz inversa de una matriz cuadrada y la denotamos

la matriz que cumple que A· A-1 = A-l. Observación:

A =

por A-1 a

1.

No todas las matrices cuadradas tienen inversa. A las matrices que tienen

inversa las llamaremos

matrices regulares.

Propiedades.(1) (A+Btl

(2) (A. Btl

-:F-

A-1 +B-1

= B-1 ·A-1

Propiedades de las operaciones en

.A,,{

nxn-'-

(a) Con las operaciones internas. Sean

A, B ,C, 1 matrices cuadradas de la misma dimensión:

(1) Con la suma: -

Asociatividad:

-

Conmutatividad:

-

Elemento neutro:

(A+B)+C=A+(B+C) A A

Elemento opuesto:

+B = B +A +O = O+A = A A

+ (- A) = (- A)+ A = O

(2) Con el producto: -

Asociatividad:

(A· B)· C = A· (B· C)

A· B B· A en general - Elemento neutro: A· 1 = 1· A = A -

No conmutatividad:

Elemento A·A-1

opuesto:

-:F-

algunas

matrices

poseen

inversa,

A-1

tal

que

=A-1·A=I

(3) Con la suma y el producto: -

Distributiva:

A.(B+C)=A.B+A.C (B+C)·D

DAVID RIVIER

SANZ

= B·D+C·D

1-6

TEMA 1: ÁLGEBRA DE MATRICES.

Observación:

2° BACH(CN)

gracias

a estas

propiedades

podemos

resolver

ecuaciones

del tipo

A· X + B = C donde A, B Y C son matrices, de orden n, conocidas y X es una matriz de A· X + B = C ~

incógnita:

A· X = C - B ~

Restamos B a ambos lados de la igualdad. Multiplicamos

A-1.(A.X)=A-1.(C-B)

~

(A. A-I). X = A-l.

(C - B) ~

por A-l. Porasociatividad. Por definición de matriz identidad.

(b) Con las ~peraciones externas. Sean A, B matrices cuadradas de la misma dimensión y a,b E iR: -

Asociatividad:

a· (b· A) = (a. b)· A

-

Distributivas:

a.A+b.A=(a+b).A a· A

-

+ a· B = a· (A + B)

Elemento neutro o unidad: }. A = A

Definición.-

Llamamos matriz ortoqonal a una matriz cuadrada A, tal que A-1 = Al .

Definición.-

Llamamos traza de una matriz cuadrada

elementos de la diagonal principal, es decir

6.-ESPACIOS

tr(A) = aIl +a22 +a33 + ... +ann.

VECTORIALES.

La idea de vector como "flecha" espacio vectorial operaciones

A de orden n a la suma de los

es un conjunto

y unas

da lugar a la idea de espacio vectorial,

es decir, un

de vectores entre los cuales vamos a definir una serie de

propiedades.

Como esta definición

es muy

genérica,

hay muchos

conjuntos con esas condiciones, vamos a afinar más la definición.

Definición.-

Tomamos un conjunto,

al que llamaremos

V, formado por vectores entre

cuyos elementos definimos estas dos operaciones: (1) SUMA: Si ti, v E V:::¿ ti + V E V .

aE

(2) PRODUCTO POR UN NO REAL: Si Definición.-

Se dice que el conjunto

número definidas anteriormente,

iR

y ti

E

V :::¿ a· ti

V con las operaciones

E

V suma y producto

(V,+, . ), es un espacio vectorial sobre

iR

por un

si las operaciones

cumplen las siguientes propiedades: (1) Suma - Asociativa:

ti + (v + w) = (ti + v)+ w

- Conmutativa:

ti + v = v + ti

- Vector nulo (elemento - Vectoropuesto:

DAVID RIVIER

SANZ

neutro):

VVEV,::J(-v)EVtal

~ Vv E V,::JO E V tal que v

~

+O= v

que v+(-v)=O

1-7

TEMA 1: ÁLGEBRA DE MATRICES.

2° BACH(CN)

(2) Producto de un nO por un vector

(a·b)· v = a· (b· v)

- Asociativa:

(a+b).v=a.v+b.v

- Distributivas:

a· (u + v) = a· u + a· v - Producto por 1:

\1'17

E V,

1· v = v

(1) Una colección de n números reales dados en un cierto orden se llama

Definición.una n-upla.

de todas las n - uplas de números

(2) Al conjunto

reales se le designa

poriRn y es un espacio vectorial. Observación:

Tanto

las filas como las columnas

son n - uplas

de las matrices

de

números reales. Definición.vectores

Dados v¡,v2,

v¡, 172,,,,,

Una combinación

E

V Y a¡,a2,

...

,an

iRse llama combinación

E

al vector formado de la siguiente forma:

Vn

Sean

Etern%:

,vn

...

vI

= (1,0,2),172 = (0,1,-1),173 = (1,0,0)

E

lineal de los

a¡v¡ + a2v2 + ...+ an vn.

iR3 Y los números

reales 3, 2 Y 5.

lineal de esos vectores con esos números es:

3· (1,0,2)+ 2· (0,1,-1)+ 5 . (1,0,0) = (8,2,4)

Definición.-

Dados

171,172,,,,, Vn E

V se dice que son linealmente

alguno de ellos se puede poner como combinación Definición.-

Dados v¡,v2,

...

,vn E Vse

son linealmente

dependientes

si

independientes

(I.i.) si

lineal del resto.

Sean v¡ = (1,0,2),172 = (0,1,-1),173 = (1,0,0) Y 174 = (8,2,4)

Etern%:

(I.d.)

lineal de los demás.

dice que son linealmente

ninguno de ellos se puede poner como combinación

dependientes

E

iR3

,

estos vectores

ya que el último se puede poner como combinación

lineal de

los otros tres, como hemos visto en el ejemplo anterior. Observación:

El máximo nO de n - uplas linealmente

independientes

es n, por ejemplo

tres ternas de vectores en iR3 pueden ser I.i. pero cuatro ternas son con seguridad I.d. Propiedad fundamental: Dados

Etern%:

V¡, 172,,,,,

Vn

E

V, estos vectores

¿Son I.i. los vectores

son linealmente

(2,3,0,5),(0,0,-1,2),(4,0,1,0)

independientes

y (12,0,2,2)

E

si y solo si

iR4?

Aplicamos la propiedad fundamental: x· (2,3,0,5)+ y. (0,0,-1,2)+

Z·

(2x,3x,0,5x)+

(4z,0, z,O)+ (12t,0,2t,2t)

(2x

DAVID RIVIER

(0,0,-y,2y)+

+ 4z + 12t,3x,-y SANZ

(4,0,1,0)+ t· (12,0,2,2) =

0= (0,0,0,0)

= (0,0,0,0)

+ z + 2t,5x + 2y + 2t) = (0,0,0,0) 1-B

2° BACH(CN)

TEMA 1: ÁLGEBRA DE MATRICES.

Dando

lugar al siguiente

2x + 4z + 12t =

°

°

3x =

- y+ z + 2t =

sistema:

°

x=O

y=A z =3A

que tiene como solución

t =-A

5x+2y+2t=0 Cogemos

una

x=0,y=1,z=3 por tanto

de

las

y t=-1,

los vectores

Etern%:

infinitas

por

ejemplo

A = 1,

para

Y tenemos

0.(2,3,0,5)+1.(0,0,-1,2)+3.(4,0,1,0)-1.(12,0,2,2)=0

entonces

y

son I.d.

(1,6,4),(2,0,-1) y (5,6,3) E 913?

¿Son I.i. los vectores

Aplicamos

soluciones,

la propiedad

fundamental:

X· (1,6,4)+ y. (2,0,-1)+ Z· (5,6,3) = (0,0,0) (x,6x,4x)+ (2y,0,-y)+

(5z,6z,3z) = (0,0,0)

(x + 2y + 5z,6x + 6z,4x - y + 3z) = (0,0,0) Obtenemos

el sistema:

°

6x + 6z =

4x-y+3z=0 = {X+2Y+5Z Por tanto

7.-RANGO

el sistema

tenemos

que la única solución

x = y = z = O.

es

°

los vectores

son I.i.

DE UNA MATRIZ.

Tanto Puede

Resolviendo

las filas como

que

unas

independientes

dependan

(es decir,

Etern%:

las columnas

Sea

de

de una matriz

las otras

(es

las podemos

considerar

pueden

I.d.)

decir,

ser

como

y pueden

vectores. que

sean

I.i.).

A =

1

°

1,

las

dos

primeras

filas

son

independientes

pero

en

3 [12 -1 -1 2J cambio,

se puede

dos, y por tanto,

comprobar

la tercera

fila la podemos

obtener

sumando

las otras

es I.d. de las otras dos.

Definición.Iinealmente

fácilmente,

Llamamos

independientes

rango

de

y denotaremos

una por

matriz

A

rang(A)o

al

número

de

filas

o

columnas

ran(A).

Observaciones: (1) El rango matriz

de dimensión (2)

de una matriz 3 x 5 , como

Las trasformaciones

Gauss no modifican

DAVID RIVIER SANZ

el rango.

m x n es, a lo sumo, el menor de m o n. Por ejemplo, mucho

tiene

que realizamos Por tanto,

rango

3.

en una matriz

para hallar

una

cuando

aplicamos

el rango de una matriz

el método

podemos

de

proceder

1-9

TEMA 1: ÁLGEBRA DE MATRICES.

2° BACH(CN)

a "hacer ceros" como en el método de Gauss. El rango de la matriz escalonada final será el número de filas distintas de

-] --]] ]]

2

(O

O

...

O).

]

O

O OO 6-O-120 -7 28 -1 5 23 33 O 948 2-8 OO -12 -1 21 O2 15 1 47-5 1 4=>3, O O -7 73rango 71 2·J"F-3a I"F-3a O ) 7 O de las siguientes Eiemplos: 4Calcular 3 111 rang(A) 74 273O4 OO1O=el 3·3"F+4"F =matrices )3 I => rang(C) J"F+3aF ) -1

-;

=>rang(B)=2

-~1J -1J -/J -/J -1J I"F+2"F N"F-2"F 2"F+3"F [1[1 62"F-73"F {~ A ~[~1

D=

-]

3

[] 2

- 12

5·2aF+3aF

)

]

O

[1O

DAVID RIVIER

SANZ

2·l"F-3a ----")

4

5O --]3J

J"F+2aF

O []

O

1

1

-5 -5 - 2 O

1 1 - O2

O O

~ -3J

=>

rang(D)= 2

1-10

1_

M ~ ral

TEM4 J

er e;

(1' Ra

/?)

L r AA

~)

PARA

":"';'"

j'PM'~ I -- l ,.~ ,

~

I

~-'"

10

I Halla

Operaciones con matrices Dadas las matrices calcula:

A ~ (7-2) 3 1

1

! a) -2A

b).!2 A'

+ 3B

2

B- (-30) -2 2

Y

;3

Comprueba

a) (A + B)-l

(-3

2)

si es posible.

i

a)

til

A ~

1,

3

(1

°

A -

y

Y

B -

-2 1°

(4

°

"

-1)

O. -l.

o independencia conjuntos de vectores:

-1 -44

(3AY - 3A'

I

I 5

I Calci11a3AA'

",

I Dadaslasmatnces .

I comprueba

- 2/.

que

siendo

A ~ (~

(32 -3-1)

A~

3. 7).

ti2 -

·.~n I Calcula

(2. 5. 0, 4) y di cuál es

de la matriz cuyas columnas

son

~

A~

2

V2 =

3

5

B;'

11

(1112)

1

(2. -l. 3, 0, 2),

4

1

1

1

;;5

:,'c- (; ; ; ";)

3+B=O 5)

D = (;

-3 -2

!I

t

! Matriz

,. B

1

° -1

S '·\5

S

que la matriz inversa

de A es

A-I: 1Ó

¡A-OI0

I! ¡

A-1

~

(12 O2 31)

°

1

¿Cuál es la matriz inversa

5

1

°

4 -1) 1 (3-2 -6

ma

II Calcula ¡i !

2 O·-X-Y=

2X+Y-

A-

1

-;t3 ~

1

-1

:,

'~-~)

1

1

-1

-1 el siste-

I Determina

10'\;

B~

°

los valores

de

m

.

-.. •••

O

1

el rango

(1O Dada

A = (;

~). halla una ma¡riz

B

::

..

°

1 , prueba

O (OO 2° -1)

que

p=

1 + A + A2 es

I Halla

el valor.de

1

k(: 2

k -1

42·)..

Q _

°

1 3 1 (-12 10 1 3 k2)

°

k para que el rango

de la ma-

-5 3-1

A =

(5 O -5 k -6) 7

A sea 2,

X

e.'y

sabiendo

que .

5X

t 3Y -

( -42 ".15 O)

~1),

3X+ 2Y~ C2

l' ~\O I Dada la matriz

i reales

m

y

n

A ~ (; tales que

~),. halla dos números

A + mA + nl-

O.

•. Multiplica 1 + A + A2 por 1- A.

\'1

31

'',,1

:::, •. ','

12 3

-2 1 3

N~

4 k,.' 82 -4 -1) '

2 6 (14

Iy

A3

;¡1

~

se·

I

Demuestra después que la matriz la matriz inversa de 1 - A.

::

matrices

'

l ..

(~ ~),

O

de las si¡suientes

•.

!l triz A'B=

6.4.4)

-;t4 - (2.

B= (~ ~)

O In) 1 In

la matriz

.. O. 5, 3. 3),

2 1 ~le)l' k parámetro S 11gún e(llv~~r ¡ ¡I

O

t, O.

l.

1 -1 2

M=

A2 ~ A.

,11,

verifican

0,

I Esrudia

29 I1 Halla

X tal (1 que 4)X - B2 - A (1 . B,-1)siendo:

1 1 O (1002 1)

u2' - (2, O. l. ~2), ,

I Dada la matriz A ~

3 -1

+ 1)2 ~ O Y expresa I lineal de A e I. I

6

• comprueba

(3 O 8) -2 O -5

I

A2 como

CA

I 25 i a) Comprueba

I

iI i

que la inversa

de A es A-I: S