2007 Luis H. Villalpando Venegas,

[SIMULACIÓN DE PRECIOS DEL PETROLEO BRENT ] En este trabajo se pretende simular el precio del petróleo Brent, a través de un proceso estocástico con reversión a la media, con el fin de valuar opciones sobre el precio a través del método Monte Carlo.

2

1. INTRODUCCIÓN Se puede definir a un commodity como un producto altamente estandarizado y que puede ser transado fluidamente en los mercados internacionales. Entre estos productos se encuentran alimentos, minerales preciosos, no preciosos y el petróleo. Deaton y Laroque (1992): Establecen que, por lo general los precios de los commodities son sumamente volátiles. Las serie de precios no muestran una tendencia clara incluso si se analiza un período de tiempo lo suficientemente extenso, exhibiendo algunos saltos que luego desaparecen rápidamente. Los precios de los commodities presentan un proceso de reversión a su valor medio de largo plazo. Adicionalmente, y de modo similar a otros activos financieros, estas variables exhiben períodos de elevada volatilidad concentrados alrededor de ciertos acontecimientos y una marcada asimetría en su comportamiento frente a shocks de carácter exógeno. El precio del petróleo tiene entre sus principales propiedades la reversión a la media y la tendencia estocástica. Esta reversión a la media se explica debido a que se espera que los precios converjan hacia el valor del costo marginal de extracción por barril de crudo de largo plazo, al mismo tiempo, este valor límite puede fluctuar de manera aleatoria debido a shocks exógenos que se producen en el mercado internacional del petróleo. Los trabajos que han intentado modelar estadísticamente dicha serie han analizado el problema en términos de tendencias de largo plazo y de volatilidad a corto plazo. El objetivo de este análisis es modelar el comportamiento del precio del petróleo a través de un modelo estocástico, el cual parte del hecho que la variación de la serie de precios sigue un proceso estocástico con reversión a la media. En segundo término se propone utilizar este proceso para ejemplificar la valuación de una opción sobre el precio del petróleo.

2. PROCESO ESTOCASTICO CON REVESIÓN A LA MEDIA Una variable cuyos valores cambian con el tiempo de manera incierta se dice que sigue un proceso estocástico. Este puede ser en tiempo discreto o tiempo continuo si los cambios se realizan en puntos fijos del tiempo o en cualquier instante respectivamente. Bajo la hipótesis de que los precios de algún activo crecen a una tasa m y que los cambios en los precios en un intervalo de tiempo

t tienen una varianza

2 t entonces el

3

comportamiento de las variaciones en el precio de las acciones por ejemplo, puede representarse por un proceso geométrico según la ecuación:

dSt En donde

uSt dt

St dWt

Para t=0…N

se denomina volatilidad del precio de la acción y

es la tasa esperada de

retorno y W es un proceso Browniano. Los movimientos brownianos tienden a alejarse de sus valores iníciales, lo cual es apropiado para algunas variables como los precios de los activos especulativos pero, en otros casos, aunque los valores de corto plazo se muevan aleatoriamente, en largo plazo tienden a ajustarse hacia promedios históricos. En este caso, se dice que la variable sigue un proceso de reversión hacia la media, el cual puede ser representado por la siguiente ecuación diferencial estocástica.

dSt

k (m St )dt

dWt

Para t=0…N

(1)

Siendo K la velocidad de reversión a la media y m el nivel de largo plazo al cuál revierte la variable S. La volatilidad de S es  y dW representa un proceso de Browniano. Específicamente, el parámetro K debería tomar valores entre -1 y 1, donde 1 indica un ajuste instantáneo, mientras que si el parámetro tiende a cero, el ajuste será más lento.

3. DATOS Se utilizaron 239 datos diarios del precio del petróleo tipo Brent, a partir del 02 de enero de 2007 a 05 de diciembre de 2007, cuya fuente fue la Secretaría de Energía. En el gráfico 3.1 se muestra la serie del precio del Brent, la cual muestra un comportamiento estocástico.

Gráfica 3.1 Precios del Brent

4

120

100

Precio

80

60

40

20

0

18/11/2007

29/10/2007

09/10/2007

19/09/2007

30/08/2007

10/08/2007

21/07/2007

01/07/2007

11/06/2007

22/05/2007

02/05/2007

12/04/2007

23/03/2007

03/03/2007

11/02/2007

22/01/2007

02/01/2007

En el cuadro 3.1 se muestran las estadísticas descriptivas de la serie. En donde destaca el alto nivel del precio medio que se dio durante el 2007. Cuadro 3.1 Estadísticas Descriptivas De los Precios del Brent

Estadísticas Media Mediana Máximo Mínimo Desv. Est. Simetría Kurtosis

BRENT 71.67 71.22 95.89 49.01 11.34 0.20 2.47

4. ESTIMACIÓN DE LOS PARÁMETROS Para poder llevar al cabo el proceso estocástico anteriormente descrito se necesitan estimar los siguientes parámetros;

m y k. Con respecto a la sigma y el nivel medio a largo

plazo se utilizaron como estimadores históricos de la serie, por lo cual

y m=71.67.

Para estimar el factor k se propuso utilizar el siguiente modelo auto regresivo de orden uno, denominado también proceso de reversión a la media, porque el valor de St tiende hacia su valor esperado a largo plazo. Una expresión matemática que muestra este proceso es:

St

St

1

k St

1

E(S )

t Para t=0…N

(2)

5

Donde E(S) es el valor medio esperado de la variable aleatoria S, y K es la velocidad con la que se aproxima el valor de la variable S a su valor medio (velocidad de ajuste)). De tal manera que si el valor de St-1 es superior al valor medio esperado, el valor de St probablemente será inferior a dicho valor esperado. Desarrollando la ecuación (2).

St

St

St

kE(S ) (1 k )St

1

St

kSt

St

Donde B=(1-k) y

1

1

kE(S ) 1

t

t

t Para t=0…N

(3)

kE(S)

La B estimada1 que se encontró es de .996, por lo que la K estimada es de .004. De esta forma sustituyendo en la ecuación (1), el proceso Browniano para simular el precio del Brent es el siguiente:

dSt

.004(71.67 St )dt 11.34dWt

Para t=0…N

5. SIMULACION DE LOS PRECIOS Desarrollando la ecuación (1) se llega a:

St

dt

St .(1 kdt)

En donde: S. Es el precio del Brent.

K. Velocidad de reversión a la media. Volatilidad. m. Media W. Proceso Browniano.

1

Anexo A; Resultados del Modelo

dWt

k m dt

Para t=0…N

(4)

6

A continuación se muestra, en el gráfico 5.1, 20 simulaciones para 60 intervalos del precio del Brent a partir de 06 de diciembre de 2007. En donde el último precio observado fue de 91.16 dólares por barril 05 de diciembre de 2007. Gráfica 5.1 Precios simulados del Brent

Parámetros Precio inicial volatilidad valor esperado Velocidad de reversión precio del ejercicio horizonte temporal número intervalos tamaño intervalo numero de simulaciones

S0= m K= q= T= n= dt= nsim

91.16 11.34 71.67 0.004 85 0.238 60 0.004 20

110

100

90

Precio

80

Simulaciones estocásticas

70

60

50

40 286

271

256

241

226

211

196

181

166

151

136

121

106

91

76

61

46

31

16

1

6. VALUACIÓN DE UNA OPCION DEL PRECIO DEL BRENT En este inciso se obtendrá la valuación de una call, mediante simulaciones Montecarlo debido a que es una opción con un pay-off que no es tradicional. Las características de la call son: T=60 días, q(precio de ejercicio)=85 dólares por barril r(tasa libre de riesgo2)=7.9% S0=91.16 dólares por barril. El precio de la call esta dado por la siguiente ecuación:

Vt 2 TIIE 28 días

e

r (T t )

E (St

q)

Para t=0…T

(4)

7

En donde: r. Es la tasa libre de riesgo. S. Es el precio del Brent. q. Es el precio del ejercicio. El valor esperado del pay-off que se obtuvo fue de 6.12, el cual se obtuvo mediante un método Montecarlo3 que constó de 20,000 simulaciones de 60 intervalos cada simulación. Lo cual se muestra en el cuadro 6.1. Cuadro 6.1 Valor esperado del pay-off

E(St) E(St-q)

91.13 6.122

Precio inicial volatilidad valor esperado Velocidad de reversión precio del ejercicio horizonte temporal número intervalos tamaño intervalo numero de simulaciones

S0= m K= q= T= n= dt= nsim

91.16 11.34 71.67 0.004 85 0.238 60 0.004 20,000

Ahora traemos el pay-off esperado a valor presente a través de la ecuación (3) siendo el valor de la Call el 05 de diciembre de 2007:

V0

6.01

El precio esperado en 60 días, después de las 20 mil simulaciones es de 91.13 dólares, el cual es apenas menor que el precio S0 (91.16), lo que es un reflejo de que la k tienda a cero. Ya que se espera que el precio siga alejado de su media.

7. CONCLUCIONES. La baja velocidad del precio del petróleo Brent, para regresa a su media tiene las siguientes implicaciones sobre las opciones. Las Calls que estén por encima de la media (71.6 dólares) tendrán una alta probabilidad de ser ejercidas, en cambio las Puts que estén por encima de la media tendrán una alta probabilidad de no cobrarse.

3 ANEXO B; Código en VB para las simulaciones Monte Carlo.

8

BIBLIOGRAFÍA

Hull J.C.(2002), Options, Futures and other Derivatives, Prentice Hall. Deaton, A. y G. Laroque (1992). “On the Behaviour of Commodity Prices”. Review of Economic Studies 59, 1-23. Mascareñas J (2006). Procesos Estocásticos: Introducción, Universidad Complutense.

9

ANEXO A

10

ANEXO B