MANUAL DE CALCULO DE HORMIGON ARMADO BASADO EN EL CODIGO ACI 318-99

MANUAL DE CALCULO DE HORMIGON ARMADO BASADO EN EL CODIGO ACI 318-99 Autores: Alfonso Larraín Vial. Fernando Yañez Uribe. Editores: Jorge Manríquez Pimentel. Carlos Rondon San Martín. No está permitida la reproducción total o parcial de este documento, ni su tratamiento informático, ni la transmisión de ninguna forma o por cualquier medio, ya sea electrónico, mecánico, fotocopia, registro u otros medios, sin la aprobación y por escrito de Gerdau AZA S.A. Diseño y Producción Gráfica: Publicitaria Reactiva. Fotografía: Francisco Aguayo. Jorge Brantmayer. DERECHOS RESERVADOS © 2001 POR: GERDAU AZA S.A. La Unión Nº 3.070, Renca, Santiago, Chile. Copyright © MMI, por GERDAU AZA S.A. Inscripción en Propiedad Intelectual: 118.562 1ª Edición 1.500 ejemplares, Junio 2001.

Otros documentos técnicos de Gerdau AZA S.A., disponibles para los usuarios interesados, son: - Manual de Recomendaciones Técnicas para la Fabricación e Instalación de Armaduras. - Manual de Diseño para Angulos Estructurales L-AZA. - Catálogo Técnico de Productos Laminados. Para otras consultas sobre nuestros productos y servicios, visite nuestra pagina web: www.aza.cl

CURRICULA DE LOS AUTORES

Alfonso Larraín Vial, ingeniero civil estructural de la Universidad de Chile, "Premio Marcos Orrego Puelma 1969" otorgado por el Instituto de Ingenieros de Chile al mejor alumno y compañero de su promoción. Desde el año 1973, es profesor de la cátedra de Hormigón Estructural I y II en la escuela de Ingeniería de la Universidad de Chile. El ingeniero Larraín es miembro del Colegio de Ingenieros de Chile AG, del Instituto de Ingenieros, de la Asociación de Ingenieros Civiles Estructurales AG y del Comité de Estructuras de la Cámara Chilena de la Construcción, en su calidad de especialista en cálculo, diseño y evaluación de proyectos estructurales. Como socio, hasta el año 1999, de la empresa Larraín, Ruiz y Saavedra y Cía Ltda., y fundador a partir de ese mismo año, de Alfonso Larraín V. y Asociados, desde 1970 ha participado en el diseño y cálculo de proyectos estructurales para más de 2.200 obras, con una superficie superior a los 6.000.000 m 2 de construcción. Fernando Yañez Uribe, ingeniero civil estructural de la Universidad de Chile y Doctor en Ingeniería Civil (Ph. D.) University of Canterbury (N.Z); es profesor de la cátedra de Hormigón Estructural I y II y de Hormigón Pretensado en la Escuela de Ingeniería de la Universidad de Chile, Sub-Director del Instituto de Investigaciones y Ensayes de Materiales (IDIEM), consultor experto en comportamiento sísmico de estructuras de hormigón armado y especialista en evaluación y reparación de estructuras. El doctor Yañez es además, Director de la Asociación de Ingenieros Civiles Estructurales AG, Presidente de las comisiones de Diseño Estructural y de Tecnología e Innovación de la Cámara Chilena de la Construcción y miembro de los siguientes comités de la American Concrete Institute (ACI): ACI 318H Seismic Provisions, ACI 374 Perfomance Based Desing y ACI 445-1 Strut and Tie Models.

PRESENTACION Gerdau AZA S.A., empresa perteneciente al Grupo Gerdau, tiene el agrado de presentar la primera edición de su Manual de Cálculo de Hormigón Armado, obra realizada por sus autores sobre la base del Código ACI 318-99, y en conformidad a los criterios de diseño vigentes. El contenido de esta publicación está dividido en ocho capítulos, los cuales se han orientado fundamentalmente, hacia todos los profesionales relacionados con el diseño estructural y la docencia de la especialidad hormigón armado. Entre las materias abordadas, se distinguen los procesos de fabricación y control de calidad de las barras de refuerzo AZA para hormigón, realizados de acuerdo a los estándares de la más alta calidad en las instalaciones de su moderna planta siderúrgica, ubicada en la Comuna de Colina, Región Metropolitana. Como temas centrales se destacan los métodos de cálculo utilizados, el capítulo destinado al diseño sísmico, la selección de ejemplos de cálculo y la serie de ábacos y diagramas de interacción y flexión biaxial en columnas rectangulares, confeccionados mediante técnicas computacionales, que posibilitan visualizar la forma de rotura de una sección dada. Agradecemos, muy sinceramente, el valioso aporte técnico de los autores y la favorable acogida de los usuarios a la recepción de este manual, al permitirnos contribuir de esta forma con el desarrollo de la ingeniería estructural y construcción de hormigón armado en Chile. A todos ellos, un sincero reconocimiento por el respaldo y la confianza que han depositado en nuestra empresa, y de manera muy especial, a todas aquellas personas que directa o indirectamente, día a día, especifican o utilizan nuestros productos.

Vista panorámica Planta Colina GERDAU AZA.

AGRADECIMIENTOS DE LOS AUTORES A las siguientes personas, por su valioso aporte y calaboración técnica en la creación de este manual, ingenieros civiles: Sr. Sr. Srta. Sr. Srta.

Victor Aguila Olave Enrique Celedón Valenzuela Daniela Hernández Chávez Leonardo Massone Sanchez María Soledad Torres Henríquez

CONTENIDO Pág.

CAPITULO 1 - PROCESO DE FABRICACION Y CONTROL DE CALIDAD DE LAS BARRAS DE REFUERZO AZA PARA HORMIGON

1

1.1 1.2 1.3 1.4

1 2 3 4

Proceso de fabricación del acero AZA Colado del acero Laminación en caliente de las barras Control de calidad y certificación

CAPITULO 2 - CARACTERISTICAS DE LAS BARRAS DE REFUERZO AZA PARA HORMIGON

9

2.1 Calidades y propiedades mecánicas del acero de refuerzo AZA para hormigón 2.2 Relaciones Tensión-Deformación 2.3 Identificación del producto y especificaciones de la entrega

9 11 14

CAPITULO 3 - LONGITUD DE DESARROLLO Y EMPALMES PARA BARRAS EN TRACCION Y COMPRESION

15

3.0 Notación 3.1 Longitud de desarrollo. 3.1.1 Longitud de desarrollo para barras en tracción 3.1.1.1 Tablas de longitudes de desarrollo para barras en tracción 3.1.2 Longitud de desarrollo para barras en compresión 3.1.2.1 Tablas de longitudes de desarrollo para barras en compresión 3.1.3 Longitud de desarrollo para barras con ganchos 3.1.3.1 Tablas de longitudes básicas de desarrollo para barras con gancho 3.2 Empalmes de las armaduras 3.2.1 Empalmes de barras sometidas a tracción 3.2.2 Empalmes de barras sometidas a compresión

15 16 16 19 36 37 39

CAPITULO 4 - RECUBRIMIENTOS

49

4.1 4.2 4.3 4.4 4.5

49 49 49 50

4.6 4.7 4.8 4.9

Generalidades Condiciones severas Condiciones normales Recubrimientos para el hormigón vaciado en obra Recubrimientos para el hormigón prefabricado en condiciones de control de planta Recubrimientos para el hormigón pretensado Recubrimientos mínimos para paquetes de barras Recubrimientos mínimos en ambientes corrosivos Recubrimientos mínimos de hormigón, recomendados como protección contra el fuego

41 46 46 46

51 52 52 52 53

CONTENIDO Pág.

CAPITULO 5 - ESTADOS DE SERVICIO

55

5.0 5.1 5.2 5.3

Notación Fisuración Distribución de la armadura de tracción Deformaciones 5.3.1 Flechas instantáneas 5.3.2 Flechas diferidas 5.3.3 Flechas máximas admisibles 5.4 Espesores mínimos para losas 5.5 Ejemplos de cálculo

55 56 56 59 59 62 63 64 66

CAPITULO 6 - CALCULO DE SECCIONES

69

6.0 Notación 6.1 Flexión 6.1.1 Aspectos básicos para el diseño a flexión 6.1.2 Flexión simple 6.1.3 Flexión compuesta 6.1.4 Flexión esviada 6.2 Diagramas de interacción, Momento Flector versus Carga Axial (Pu - Mu) 6.3 Esfuerzo de corte, Vu 6.3.1 Condiciones de diseño 6.3.2 Resistencia nominal al corte proporcionada por el hormigón 6.3.3 Armadura por corte 6.4 Torsión Tu en elementos no pretensados 6.4.1 Condiciones de diseño 6.4.2 Armaduras por torsión 6.5 Ejemplos de cálculo

69 71 71 73 73 74 76 77 77 77 78 79 79 81 83

CAPITULO 7 - DISEÑO SISMICO DE HORMIGON ARMADO

89

7.0 Notación 7.1 Materiales 7.1.1 Hormigón 7.1.2 Acero 7.2 Elementos sometidos a flexión 7.2.1 Armadura transversal 7.2.2 Armadura longitudinal 7.3 Elementos sometidos a flexocompresión 7.3.1 Armadura transversal 7.3.2 Armadura longitudinal 7.4 Esfuerzo de corte 7.4.1 Vigas

89 90 90 90 90 90 91 95 95 96 98 98

CONTENIDO Pág. 7.4.2 Columnas 7.5 Ejemplos de cálculo

99 101

CAPITULO 8 - ABACOS

105

8.1 DIAGRAMAS DE INTERACCION Pu - Mu 8.2 DIAGRAMAS DE FLEXION BIAXIAL EN COLUMNAS RECTANGULARES

107 163

APENDICE

231

A. B. C. D. E.

233 234 236 238 246

Tabla de Sobrecargas de Uso Uniformemente Distribuidas para Pisos Unidades de Medición Tabla de Conversión Pesos y Medidas Propiedades de Secciones Geométricas Tabla de Areas, Pesos y Perímetros de Barras de Refuerzo AZA para Hormigón

GERDAU AZA S.A.

www.aza.cl

FE DE ERRATAS MANUAL DE CÁLCULO DE HORMIGÓN ARMADO PRIMERA EDICIÓN, JUNIO 2001

CONTENIDO

Página 94 Figura 14

DICE

s≥

DEBE DECIR

d/4 8db (BARRA LONGITUDINAL) 2db (BARRA DEL CERCO) 300 mm

s≤

d/4 8db (BARRA LONGITUDINAL MÁS PEQUEÑA) 24db (BARRA DEL CERCO) 300 mm

0,12 f’s /fyh Ps ≥

0,12 f’s /fyh ρs ≥

0,45 (Ag/Ach – 1) f’s /fyh

0,45 (Ag/Ach – 1) f’s /fyh

Página 97 Figura 15

s≥

1/4 DIMENSIÓN MENOR DEL ELEMENTO

1/4 DIMENSIÓN MENOR DEL ELEMENTO

s≤

100 mm

Página 154 Diagrama Interacción Pu - Mu

f’c = 20 MPa fy = 420 MPa γ = 1,0

GERDAU AZA S.A., AGRADECE DE ANTEMANO ENRIQUECER ESTAS PÁGINAS EN FUTURAS EDICIONES.

Santiago, Enero 2002

100 mm

f’c = 35 MPa fy = 420 MPa γ = 1,0

CUALQUIER

OBSERVACIÓN

O

COMENTARIO

QUE

PERMITA

APENDICE A. B. C. D. E.

Tabla de Sobrecargas de Uso Uniformemente Distribuidas para Pisos Unidades de Medición Tabla de Conversión Pesos y Medidas Propiedades de Secciones Geométricas Tabla de Areas, Pesos y Perímetros de Barras de Refuerzo AZA para Hormigón

231

232

APENDICE

A. SOBRECARGAS DE USO UNIFORMEMENTE DISTRIBUIDAS PARA PISOS DE ACUERDO A : NCh 1537 Of. 86 CLASE DE EDIFICIO

BIBLIOTECAS

BODEGAS

ESTACIONAMIENTOS

FABRICAS

GARAGES HOSPITALES Y CLINICAS

DESCRIPCION DEL AREA DE USO Salas de lectura Salas de archivo • Apilamiento ≤ 1,80 m de altura • Por cada 30 cm adicionales sobre 1,80 m Almacenamiento de mercaderías livianas Almacenamiento de mercadería pesada Frigoríficos Estacionamientos de vehículos y sus vías de circulación

SOBRECARGA kPa 2,94 3,92 0,50 5,88 11,76 ≥14,70 4,90

Emplazamiento de equipos y maquinarias livianas Emplazamiento de equipos y maquinarias pesadas

5,88

Sectores para reparación de vehículos

4,90

Habitaciones para internados Laboratorios, quirófanos, etc

3,92

1,96 ≥2,94

Habitaciones Cocinas y lavandería Comedores y salones de reunión

1,96 3,92 4,90

Sectores de culto con asientos fijos Sectores de culto con asientos móviles

2,94 4,90

Sectores privados sin equipos Sectores públicos y privados con equipos

2,45 4,90

Sectores para celdas

2,45

Sectores con asientos fijos Escenarios Sectores de uso general

2,94 4,41 4,90

Sectores para ventas al por menor Sectores para ventas al por mayor

2,45 4,90

VIVIENDAS

Altillos no habitables Dependencias de uso general Balcones, escalas y terrazas

0,98 1,96 2,45

SALAS DE CLASES

Sectores con asientos fijos Sectores con asientos móviles

2,45 2,94

HOTELES

IGLESIAS Y TEMPLOS OFICINAS RECINTOS CARCELARIOS TEATROS Y CINES

TIENDAS Y COMERCIO

1 kPa = 102,41 kg/m2

233

APENDICE

B. UNIDADES DE MEDICION LONGITUD 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

Decámetro (Dm) Hectómetro (hm) Kilómetro (km) Metro (m) Decímetro (dm) Centímetro (cm) Milímetro (mm) Micra (µ) Pulgada (pulg) Pie (p) Yarda (yd) Milla náutica (mill n) Milla terrestre

10 m 10 Dm = 100 m 10 hm = 100 Dm = 1.000 m 100 cm = 1.000 mm = 39,37 pulg = 3,28 p 100 mm = 10 cm = 0,1 m 10 mm = 0,01 m = 0,3937 pulg = 0,328 p 10 cm = 0,001 m 0,001 mm 0,0833 p = 0,0278 yd = 0,0254 m = 2,54 cm 12 pulg = 0,3333 yd = 0,3048 m = 30,48 cm 36 pulg = 3 p = 0,9144 m 6.080 p = 2.025 yd = 1.852 m 5.280 p = 1.760 yd = 1.609 m

SUPERFICIE 1 1 1 1 1 1 1 1 1

Milímetro cuadrado (mm2) Centímetro cuadrado (mm2) Decímetro cuadrado (dm2) Metro cuadrado (m2) Hectárea (há) Kilómetro cuadrado (km2) Pulgada cuadrada (pulg2) Pie cuadrado (p2) Yarda cuadrada (yd2)

0,000001 m2 100 mm2 100 cm2 = 10.000 mm2 100 dm2 = 10.000 cm2 = 1.550 pulg2 10.000 m2 100 ha = 1.000.000 m2 6,4516 cm2 = 645,16 mm2 144 pulg2 = 0,111 yd2 = 929 cm2 1.296 pulg2 = 9 p2 = 8.361 cm2

VOLUMEN 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

234

Milímetro cúbico (mm3) Centímetro cúbico (cm3) Decímetro cúbico (dm3) Metro cúbico (m3) Litro (lt) Pulgada cúbico (pulg3) Pie cúbico (p3) Yarda cúbica (yd3) Galón US (galón a) Galón Británico (galón b)

0,000000001 m3 1.000 mm3 = 0,061 pulg3 = 0,001 litros 1.000 cm3 = 1 litro 1.000.000 cm3 = 1.000 litros 0,2642 Galones US = 0,22 Galones Británicos 16,39 cm3 = 0,0164 litros 1.728 pulg3 = 0,037 yd3 = 28,32 litros 27 p3 = 764,6 litros 3,7853 litros 4,5459 litros

APENDICE

PESO 1 1 1 1 1 1 1 1 1

Milígramo (mg) Gramo (g) Kilógramo (kg) Tonelada métrica (t) Quintal métrico (qm) Libra (lb) Onza troy (oz tr) Tonelada larga (tl) Tonelada corta (tc)

0,001 g 1.000 mg = 0,001 kg 1.000 g = 2,205 lb 10 qm = 1.000 kg 220,47 lb = 100 kg 16 oz = 0,4536 31,10 g 1.016 kg 0,89 t l = 2.000 lb = 907,2 kg

ENERGÍA 1 1 1 1 1

Kilo-Caloría (kcal) Caloría (cal) British Thermal Unit (Btu) Joule (J) Kilo Watt-Hora (kW-h)

3,9657 Btu 0,001 kcal = 4,184 J 252 cal = 1.055 J 0,239 cal 860,57 kcal = 3.412,76 Btu

POTENCIA 1 1 1 1 1

Kilo Watt (kW) Horsepower (HP) Kilo caloría/segundo (kcal/seg) British Thermal Unit/segundo (Btu/seg) Kilo Watt (kW)

1,341 HP = 0,239 kcal/seg 0,7457 kW 4,184 kW = 3,966 Btu/seg 1,055 kW 860,57 kcal = 3.412,76 Btu

235

APENDICE

C. TABLA DE CONVERSION PESOS Y MEDIDAS

236

APENDICE

Grados Centígrados (°C) = (°F - 32) x 0,556 Grados Farenheit = °C x 1,8 + 32

237

APENDICE

D. PROPIEDADES DE SECCIONES GEOMETRICAS. NOMENCLATURA EMPLEADA SIMBOLO

D.1 Superficies

238

DEFINICION

SIMBOLO

DEFINICION

APENDICE

239

APENDICE

240

APENDICE

D.2 Cuerpos

241

APENDICE

242

APENDICE

243

APENDICE

D.3 Fórmulas Trigonométricas

244

APENDICE

245

APENDICE

E. TABLA AREAS, PESOS Y PERIMETROS DE BARRAS DE REFUERZO AZA PARA HORMIGON

246

CAPITULO 1. PROCESO DE FABRICACION Y CONTROL DE CALIDAD DE LAS BARRAS DE REFUERZO AZA PARA HORMIGON 1.1 PROCESO DE FABRICACIÓN DEL ACERO AZA En Gerdau AZA S. A., el proceso de fabricación del acero se inicia con la selección, procesamiento y corte de trozos de acero en desuso, la chatarra, que es la materia prima básica. Otros elementos que también son empleados en la fabricación, son las ferroaleaciones, oxígeno, cal y fundentes, entre otros. La materia prima se carga en cestas, en proporciones adecuadas para satisfacer las especificaciones del proceso de fabricación del acero; estas cestas, son trasladadas a la Acería para alimentar el horno de arco eléctrico. Toda la carga es fundida en el horno de 55 toneladas de capacidad, mediante la aplicación de un arco eléctrico que desarrolla una potencia de 20.000 KVA. El proceso metalúrgico en el horno atraviesa por dos etapas, denominadas normalmente como fusión y afino. Durante la fusión, toda la carga pasa del estado sólido al líquido. En este momento, la temperatura del baño líquido de acero, oscila alrededor de los 1.700 °C. Después de cierto tiempo, se procede a extraer muestras del acero a fin de realizar un análisis químico mediante espectrometría.

Operación de carga de horno eléctrico, Planta Colina Gerdau AZA.

1

1. PROCESO DE FABRICACION, Y CONTROL DE CALIDAD DE LAS BARRAS DE REFUERZO AZA PARA HORMIGON

Luego de informar sobre la composición química, se realizan las correcciones necesarias mediante el proceso de afino, lo que permite obtener la composición química y purezas deseadas. Durante toda esta etapa, se inyectan al horno, importantes cantidades de oxígeno para extraer y remover las impurezas y cumplir así con los estándares de calidad preestablecidos. De esta forma, las diferentes calidades del acero AZA se obtienen, de un cuidadoso control de la composición y mediante la adición de ferroaleaciones, como el ferromanganeso y ferrosilicio, aprovechando la mayor afinidad química de estos elementos, para formar entre otros, óxidos y sulfuros que pasan en mayor cantidad a la escoria. Cuando el acero líquido cumple con las especificaciones requeridas, se vierte a una cuchara en la nave de Acería; la temperatura que alcanza el acero líquido es de alrededor 1.700 °C, el que luego es trasladado en la cuchara a la máquina de colada contínua.

1.2 COLADO DEL ACERO Obtenido el acero en su estado líquido, su solidificación en la forma conveniente para la utilización posterior en los trenes de laminación, se hace mediante un equipo de colada contínua. En éste, se aplica un proceso distinto del convencional para transformar el acero líquido en un producto semiterminado, llamado palanquilla, que son barras macizas cuadradas de 130 x 130 mm de sección. El acero líquido que se encuentra en la cuchara de colada, es transferido a una artesa o distribuidor, desde donde pasa a las vías de colada. Desde el distribuidor, el acero cae dentro de tres lingoteras de cobre sin fondo, de doble pared y refrigeradas por agua. En cada lingotera, que tienen una sección cuadrada, comienza la solidificación del acero, con la formación de una delgada cáscara superficial endurecida, que contiene aún su núcleo de metal líquido. Para ayudar a acelerar la formación y engrosamiento de dicha cáscara, las lingoteras tienen un movimiento de oscilación vertical, que además impide su adhesión a las paredes del molde y permiten su transporte hacia el mecanismo extractor. Después de dejar las lingoteras, 3 m debajo de éstas, el acero superficialmente sólido, es tomado por juegos de rodillos refrigerados con chorros de agua a alta presión. Durante el paso por los rodillos, el acero se solidifica completamente y, ya convertido en palanquilla, es enderezado y cortado automáticamente a la longitud deseada, mediante cizallas. Luego de esto, las palanquillas de hasta 1.500 kg son inspeccionadas visualmente para detectar eventuales defectos superficiales o de forma. Después de aprobadas, las palanquillas son separadas por coladas, identificadas y almacenadas para la operación siguiente: la laminación en caliente.

2

1. PROCESO DE FABRICACION, Y CONTROL DE CALIDAD DE LAS BARRAS DE REFUERZO AZA PARA HORMIGON

Con la colada continua, se evitan las instalaciones de colada en lingoteras, la operación de deslingoteado, los hornos de recalentamiento (de fosa) y los grandes trenes de desbaste, todas estas inversiones de gran costo y mantenimiento.

Líneas de colada continua de acería, Planta Colina Gerdau AZA.

1.3 LAMINACION EN CALIENTE DE LAS BARRAS La laminación en caliente, es un proceso de transformación termomecánico, en donde se da la forma final a los productos siderúrgicos. En el caso de las barras de refuerzo AZA para hormigón, el proceso es el siguiente: en la planta de laminación, las palanquillas son seleccionadas según la calidad de producto final y son cargadas a un horno de recalentamiento horizontal, donde alcanzan una temperatura uniforme de 1.200 °C, lo que permitirá su deformación plástica durante el proceso de laminación en caliente. En este proceso, la palanquilla es tratada mecánicamente, haciéndola pasar sucesivamente por el tren de laminación, el cual va reduciendo su sección original y consecuentemente, aumentando la longitud inicial. De esta forma, se lleva la sección transversal cada vez más próxima a la forma final de la barra redonda, con sus resaltes característicos y las marcas que identifican el producto y su calidad. En su planta de 360.000 toneladas anuales de capacidad, ubicada en Colina, Gerdau AZA posee un laminador continuo de última generación, que permite controlar el enfriamiento de las barras y rollos, con lo cual las propiedades mecánicas finales de las barras de refuerzo, son determinadas con gran precisión. Por último, las barras son conducidas al final del tren de laminación, a una parrilla o lecho de enfriamiento, donde terminan de enfriarse, procediéndose a inspeccionar y cortar a los largos requeridos para ser empaquetadas y almacenadas, para su aprobación y certificación.

3

1. PROCESO DE FABRICACION, Y CONTROL DE CALIDAD DE LAS BARRAS DE REFUERZO AZA PARA HORMIGON

Sala de control de laminación, Planta Colina Gerdau AZA.

1.4 CONTROL DE CALIDAD Y CERTIFICACION Todo el proceso de fabricación de las barras de refuerzo AZA para hormigón está certificado bajo las normas ISO 9002 e ISO 14001, de esta forma, a lo largo de todas las etapas de fabricación del producto existen monitoreos, mediciones y ensayos de los procesos. Desde la selección de la chatarra y otros insumos, pasando por la fabricación del acero líquido, su composición química, hasta el control de las dimensiones finales obtenidas en la laminación en caliente, conforman un complejo sistema que permite asegurar la obtención de productos de calidad, de acuerdo a los actuales estándares. La certificación de calidad de todas las partidas en AZA, da cumplimiento a la normativa legal vigente en Chile, cuyo Decreto N° 1.229, del Ministerio de Obras Públicas de Junio de 1940, establece los procedimientos para certificar las barras de refuerzo para hormigón. Esta exigencia establece la extracción, identificación y retiro de muestras por inspectores acreditados, normalmente de algún organismo de ensaye de materiales autorizado por el Estado. En el caso de Gerdau AZA, el certificado es entregado por el Instituto de Investigaciones y Ensaye de Materiales de la Universidad de Chile, IDIEM. Las muestras son preparadas para ser sometidas a ensayos normalizados de tracción, midiéndose las propiedades mecánicas más relevantes, como la tensión de fluencia, la carga máxima y el alargamiento de ruptura. Otro importante ensayo a que son sometidas las barras de refuerzo AZA, es el de doblado; en este caso, una probeta debe resistir el doblado sin que a simple vista se observen grietas en la zona sometida a esfuerzos de tracción. De acuerdo a los resultados obtenidos, se verifica el cumplimiento con la norma chilena NCh 204 Of 77, “Acero – Barras laminadas en Caliente para Hormigón Armado”, y se procede a certificar las partidas. La aprobación de los lotes, permite la certificación y autorización del uso de las partidas de acero de refuerzo, en obras de hormigón armado.

4

1. PROCESO DE FABRICACION, Y CONTROL DE CALIDAD DE LAS BARRAS DE REFUERZO AZA PARA HORMIGON

Los resultados de los ensayos, se presentan en certificados de calidad, en los que se identifica el material ensayado y se entrega el veredicto de cumplimiento con la norma, constituyéndose en una garantía del producto para el usuario. Periódicamente y como una medida adicional de control, se efectúa un análisis estadístico de las propiedades mecánicas sobre toda la producción de barras y a cada una de las coladas producidas.

Laboratorio de ensayos planta Colina Gerdau AZA.

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1. PROCESO DE FABRICACION, Y CONTROL DE CALIDAD DE LAS BARRAS DE REFUERZO AZA PARA HORMIGON

Productos y procesos de calidad reconocida y certificada

Premio Nacional a la Calidad Año 2000, Categoría Gran Empresa otorgado por el Centro Nacional de la Productividad y la Calidad.

Certificación ISO 9002.

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Certificación ISO 14001.

A I C N E R E F E R Ejemplo de facsímil de Certificado emitido por IDIEM

7

CAPITULO 2. CARACTERISTICAS DE LAS BARRAS DE REFUERZO AZA PARA HORMIGON 2.1 CALIDADES Y PROPIEDADES MECANICAS DEL ACERO DE REFUERZO AZA PARA HORMIGON Gerdau AZA S. A. fabrica y comercializa en Chile, fundamentalmente dos calidades o grados de acero de refuerzo para hormigón: A44-28H y A63-42H. Conforme a las denominaciones adoptadas por el Instituto Nacional de Normalización, la letra A significa “acero al carbono” y la letra H indica que “su uso es para hormigón”. Los números se refieren, respectivamente, a la resistencia de rotura a la tracción y al límite o tensión de fluencia mínimo por tracción. En la Tabla 1, se incluyen los valores para las propiedades mecánicas mínimas del acero de refuerzo.

Tabla 1 Propiedades mecánicas mínimas del acero de refuerzo AZA para hormigón (1) CALIDAD del

RESISTENCIA A LA TRACCIÓN (Rm)

MPa 440 630

ACERO

A44 - 28H A63 - 42H

LÍMITE DE FLUENCIA (Re)

Kg/mm 44,9 64,2

MPa 280 420

2

ALARGAMIENTO

Kg/mm 28,6 42,8

% 16 (2) 7000/Rm - K≥ 8%

2

(1) Norma Chilena NCh 204 Of. 77: Barras laminadas en caliente para hormigón armado. Son requisitos en esta norma, el cumplimiento de un ensayo de doblado efectuado sobre una probeta, además de cumplir los requisitos de la forma y dimensiones de los resaltes y de masa (kg/m) de las barras. (2) K es un coeficiente que depende del diámetro nominal de la barra (e), cuyos valores se indican a continuación: e (mm)

8

10

12

16

18

22

25

28

32

36

K

2

1

0

0

0

1

2

3

4

5

De acuerdo a la norma chilena NCh 204 Of. 77, en la Tabla 2 se incluyen los diferentes diámetros normales y pesos nominales de los aceros de refuerzo, usados corrientemente en la construcción.

9

2. CARACTERISTICAS DE LAS BARRAS DE REFUERZO AZA PARA HORMIGON

Tabla 2 Diámetros normales y pesos nominales de las barras de refuerzo AZA para hormigón

A

H

E

Características nominales Diámetro, e

Masa M

mm

kg/m

6 8 10 12 16 18 22 25 28 32 36

0,222 0,395 0,617 0,888 1,58 2,00 2,98 3,85 4,83 6,31 7,99

Sección

cm

2

0,283 0,503 0,785 1,13 2,01 2,54 3,80 4,91 6,16 8,04 10,20

Dimensiones de los resaltes Perímetro

cm 1,89 2,51 3,14 3,77 5,03 5,65 6,91 7,85 8,80 10,10 11,30

Espaciamiento Altura medio media máximo, E mínima, H mm mm 5,6 7,0 8,4 11,2 12,6 15,4 17,5 19,6 22,4 25,2

0,32 0,40 0,48 0,64 0,72 1,10 1,25 1,40 1,60 1,80

Ancho base máximo, A mm 2,0 2,5 3,0 4,0 4,5 5,5 6,3 7,0 8,0 9,0

Nota: de acuerdo a la norma chilena Nch 204 Of 77, el diámetro nominal e, se determina a través de la masa lineal de la barra, según e = 12,74 M , donde M es la masa lineal en kg/m.

10

2. CARACTERISTICAS DE LAS BARRAS DE REFUERZO AZA PARA HORMIGON

2.2 RELACIONES TENSION – DEFORMACION El ensayo de tracción se efectúa sobre muestras de las barras de refuerzo en su sección completa, tal como resultan de la laminación, siguiendo la norma chilena oficial NCh 200. La Figura 1 muestra los resultados de ensayos de tracción en barras de refuerzo AZA para hormigón, para las calidades A44-28H y A63-42H, con curvas comparativas a modo de referencia, en barras de 10 y 22 mm de diámetro. En el caso de las barras de acero A44-28H, éstas presentan claramente una zona de fluencia, en donde una vez alcanzado el límite elástico o tensión de fluencia, la probeta empieza a deformarse plásticamente bajo tensión constante. En el caso de todos los aceros de alta resistencia, como es la calidad A63-42H, es normal que el fenómeno de fluencia a tensión constante se observe menos marcado que los aceros de menor resistencia. Otra importante característica, en especial en el comportamiento sísmico del hormigón armado en la flexión, es que la norma chilena NCh 204.Of 77 establece que en los aceros A63-42H debe cumplirse además, una relación sísmica, Rm/Re ≥ 1,331. Al respecto, en la Figura 2, se muestra la distribución de la relación sísmica que exhiben todas las barras de refuerzo AZA para hormigón, en la calidad A63-42H. Se observa que la media supera en un 10% el valor mínimo de la norma. A modo de información, en las Tablas 3 y 4 se presentan los valores característicos de las propiedades más importantes, de barras de refuerzo AZA para hormigón armado, para diámetros entre 8 y 28 mm, y su comparación con las exigencias de la norma, desde el año 1994 en adelante.

1

Rm: Resistencia a la tracción efectiva registrada (MPa) Re: Límite de Fluencia (MPa)

11

2. CARACTERISTICAS DE LAS BARRAS DE REFUERZO AZA PARA HORMIGON

Figura 1 Curvas tensión-deformación Barras de Refuerzo AZA para hormigón 800 700 600

σ, MPa

500 400 A 63,10 mm A 44,10 mm A 63,22 mm A 44,22 mm

300 200 100 0 0,000

0,050

0,100

0,150

0,200

0,250

0,300

ε Fuente: Laboratorio de ensayos IDIEM

Figura 2 Curva de distribución coeficiente sísmico Barras de refuerzo AZA A63-42H 9,00 8,00

FERCUENCIA (%)

7,00

Mínimo Norma 1,33

6,00 MUESTRA: 4.471

5,00 4,00 3,00 2,00 1,00 0,00 1,30 1,34

1,38

1,42 1,46 1,50

1,54

1,58

1,62

COEFICIENTE, Rm/Re

12

1,66

1,70

1,74 1,78 1,82 1,86

2. CARACTERISTICAS DE LAS BARRAS DE REFUERZO AZA PARA HORMIGON

Tabla 3 Propiedades mecánicas para las barras de refuerzo AZA calidad A44-28H Propiedad

Diámetro de la barra, mm 8

10

Tensión de 391 358 fluencia 406 384 MPa --380 Valor norma > 280 MPa Tensión 510 484 Máxima 540 517 MPa --511 Valor norma > 440 MPa Alargamiento 21.0 20.1 de ruptura 19.9 20.8 % --20.7 Valor norma

Año

12

16

18

22

25

28

346 383 366

363 370 373

364 376 373

350 355 364

359 353 346

361 --344

1994 1995 1996

475 524 494

515 513 505

523 525 512

507 514 519

514 501 499

513 --507

1994 1995 1996

21.7 20.8 21.7

21.1 21.5 20.9

21.6 20.3 21.3 > 16.0 %

21.4 19.9 20.4

18.0 18.2 18.4

18.9 --19.7

1994 1995 1996

Tabla 4 Propiedades mecánicas para las barras de refuerzo AZA calidad A63-42H Propiedad

Tensión de Fluencia, Re MPa

Diámetro de la barra, mm

Año

8

10

12

16

18

22

25

28

527 510 ---

491 482 475

484 477 462

475 467 462

478 453 466

479 455 446

474 480 443

473 462 456

Valor norma > 420 MPa y < 580 MPa Tensión 748 721 714 714 745 742 719 746 Máxima, Rm 734 702 691 682 680 695 739 723 MPa --677 667 670 688 677 681 683 Valor norma > 630 MPa, T. máxima/T. fluencia > 1.33 Alargamiento 10.7 11.5 11.9 11.6 11.7 10.3 8.4 8.6 de ruptura 8.8 11.3 12.2 12.7 12.4 10.2 8.2 8.2 % --13.6 13 14.1 13.2 10.2 9.2 11.6 Valor norma 7000/Rm-2 7000/Rm-1 7000/Rm 7000/Rm 7000/Rm 7000/Rm-1 7000/Rm-2 7000/Rm-3

1994 1995 1996 1994 1995 1996 1994 1995 1996 ≥ 8.0%

13

2. CARACTERISTICAS DE LAS BARRAS DE REFUERZO AZA PARA HORMIGON

2.3

IDENTIFICACIÓN DEL PRODUCTO Y ESPECIFICACIONES DE LA ENTREGA

La identificación exclusiva que Gerdau AZA utiliza en el acero de refuerzo para hormigón, consiste en caracteres sobre relieve, los cuales incluyen la marca de origen GERDAU AZA, la calidad del acero y el diámetro correspondiente de las barras. GERDAU AZA suministra el acero de refuerzo para hormigón en la forma de barras rectas, como en rollos, tal como se indica en la Tabla 5.

Tabla 5 Identificación de las barras de refuerzo AZA para hormigón CALIDAD ACERO

IDENTIFICACION Marca de Origen

Diametro (mm)

Grado

A44 - 28H

A63 - 42H

DIAMETRO (mm)

FORMAS DE ENTREGA

6*, 8, 10 y 12

ROLLO

6* a 36

RECTA

8, 10 y 12

ROLLO

8 a 36

RECTA

*La barra de 6 mm es lisa y no lleva identificación en relieve

La Tabla 6 describe en forma detallada la especificación normal para la entrega de las barras y rollos del acero de refuerzo AZA. No obstante lo anterior, también se pueden suministrar otros largos de barras, distintos de 12 m, los cuales estarán sujetos a consulta previa.

Tabla 6 Especificaciones de la entrega Barras de refuerzo AZA para hormigón Diámetro barra, e

14

Rollos

mm

Diámetro interior cm

6 8 10 12 16 18 22 25 28 32 36

80 80 80 80 -

Diámetro exterior cm 125 125 125 125 -

Rectas Peso Aprox. kg

Largo Aprox. m

Largo Fijo m

1.500 1.500 1.500 1.500 -

6.757 3.797 2.430 1.689 -

6-12 6-7-8-9-10-11-12 6-7-8-9-10-11-12 6-7-8-9-10-11-12 6-7-8-9-10-11-12 6-7-8-9-10-11-12 6-7-8-9-10-11-12 6-7-8-9-10-11-12 6-7-8-9-10-11-12 6-7-8-9-10-11-12 6-7-8-9-10-11-12

2. CARACTERISTICAS DE LAS BARRAS DE REFUERZO AZA PARA HORMIGON

CAPITULO 3. LONGITUD DE DESARROLLO Y EMPALMES PARA BARRAS EN TRACCIÓN Y COMPRESIÓN

3.0 NOTACION db

=

Diámetro nominal de una barra, alambre o torón pretensado, mm

f'c

=

Resistencia especificada del hormigón en probeta cilíndrica [MPa]

db

=

Longitud de desarrollo básica, mm

d

=

Longitud de desarrollo, mm

= dh

= =

hb

=

db x factores de modificación aplicables. Longitud de desarrollo de un gancho estándar en tracción, mm hb x factores de modificación aplicables Longitud de desarrollo básica del gancho estándar en tracción, mm

15

3. LONGITUD DE DESARROLLO Y EMPALMES PARA BARRAS EN TRACCIÓN Y COMPRESIÓN

3.1 LONGITUD DE DESARROLLO

d

3.1.1 Longitud de desarrollo para barras en tracción 1- La longitud de desarrollo no debe ser menor que 300 mm. 2- Las longitudes de desarrollo se dividen en dos casos, A y B: Caso A: Condición 1: Si el espaciamiento libre entre barras que están siendo empalmadas o desarrolladas, no es menor que db, recubrimiento libre no es menor que db, y no menos estribos o amarras a lo largo de b que el mínimo señalado. Condición 2: Si el espaciamiento libre entre barras que están siendo desarrolladas o empalmadas no menor a 2 db y recubrimiento libre no menor a db (FIGURA 3) Caso B: Otros casos

Figura 3 Recubrimiento y separaciones mínimas para barras de refuerzo en tracción

CASO A CONDICION 1

CONDICION 2 ≥ db

≥ db

≥ db

≥ db ≥ 2 db

≥ db db

s : Espaciamiento entre estribos bw : Ancho del alma de la Viga 16

bw s Av > 0.35 fy

db

3. LONGITUD DE DESARROLLO Y EMPALMES PARA BARRAS EN TRACCIÓN Y COMPRESIÓN

3- Las longitudes de desarrollo se modifican según los factores mostrados en la Tabla 7:

Tabla 7 Factores de modificación de la longitud de desarrollo

Factor α = factor por ubicación de armadura

β = factor por revestimiento

λ = factor por hormigón de agregado liviano

Condición

Valor

Armadura horizontal colocada de tal manera que se hormigona más de 300 mm de hormigón fresco en el elemento bajo la longitud de desarrollo o empalme

1,3

Otras armaduras

1,0

Barras revestidas con epóxico con recubrimientos menores que 3db, o un espaciamiento libre menor a 6db

1,5

Todas las demás barras revestidas con epóxico

1,2

Armadura no recubierta

1,0

Sin agregado liviano

1,0

Con agregado liviano

1,3

17

18

3.1.1.1 TABLAS DE LONGITUDES DE DESARROLLO PARA BARRAS EN TRACCION

Las cifras que se presentan en forma destacada, en las siguientes tablas, han sido ajustadas a la longitud mínima de 300 mm de desarrollo exigida, dado que el cálculo determinó valores menores a los requeridos por el Código ACI 318.

19

3. LONGITUD DE DESARROLLO Y EMPALMES PARA BARRAS EN TRACCIÓN Y COMPRESIÓN

LONGITUDES DE DESARROLLO (mm). CASO A HORMIGONES DE AGREGADO CORRIENTE Tabla 8 α = 1,3; β = 1,0; fy = 280 MPa Grado del Hormigón

Resistencia especificada f'c [MPa]

H20 H25 H30 H35 H40 H45 H50

16 20 25 30 35 40 45

Diámetro de la barra [mm] 8

10

12

16

364 326 300 300 300 300 300

455 407 364 332 308 300 300

546 488 437 399 369 345 326

728 651 582 532 492 460 434

18

22

25

28

32

36

819 1251 1422 1593 1820 2048 733 1119 1272 1424 1628 1831 655 1001 1138 1274 1456 1638 598 914 1038 1163 1329 1495 554 846 961 1077 1231 1384 518 791 899 1007 1151 1295 488 746 848 950 1085 1221

Tabla 9 α = 1,3; β = 1,0; fy = 420 MPa Grado del hormigón H20 H25 H30 H35 H40 H45 H50

Resistencia especificada f'c [MPa] 16 20 25 30 35 40 45

Diámetro de la barra [mm] 8

10

546 488 437 399 369 345 326

683 610 546 498 461 432 407

12

16

18

22

25

28

32

36

819 1092 733 977 655 874 598 797 554 738 518 691 488 651

1229 1099 983 897 831 777 733

1877 1679 1502 1371 1269 1187 1119

2133 1908 1706 1558 1442 1349 1272

2389 2137 1911 1744 1615 1511 1424

2730 2442 2184 1994 1846 1727 1628

3071 2747 2457 2243 2077 1942 1831

32

36

Tabla 10 α = 1,0; β = 1,0; fy = 280 MPa Grado del hormigón H20 H25 H30 H35 H40 H45 H50

20

Resistencia especificada f'c [MPa] 16 20 25 30 35 40 45

Diámetro de la barra [mm] 8

10

12

16

18

300 300 300 300 300 300 300

350 313 300 300 300 300 300

420 376 336 307 300 300 300

560 501 448 409 379 354 334

630 563 504 460 426 398 376

22

25

28

963 1094 1225 1400 1575 861 978 1096 1252 1409 770 875 980 1120 1260 703 799 895 1022 1150 651 740 828 947 1065 609 692 775 885 996 574 652 730 835 939

3. LONGITUD DE DESARROLLO Y EMPALMES PARA BARRAS EN TRACCIÓN Y COMPRESIÓN

LONGITUDES DE DESARROLLO (mm). CASO A HORMIGONES DE AGREGADO CORRIENTE Tabla 11 α = 1,0; β = 1,0; fy = 420 MPa Grado del Hormigón H20 H25 H30 H35 H40 H45 H50

Resistencia especificada f'c [MPa] 16 20 25 30 35 40 45

Diámetro de la barra [mm] 8

10

12

16

18

22

25

28

32

36

420 376 336 307 300 300 300

525 470 420 383 355 332 313

630 563 504 460 426 398 376

840 751 672 613 568 531 501

945 845 756 690 639 598 563

1444 1291 1155 1054 976 913 861

1641 1467 1313 1198 1109 1038 978

1838 1644 1470 1342 1242 1162 1096

2100 1878 1680 1534 1420 1328 1252

2363 2113 1890 1725 1597 1494 1409

Tabla 12 α = 1,3; β = 1,2; fy = 280 MPa Grado del hormigón

Resistencia especificada f'c [MPa]

H20 H25 H30 H35 H40 H45 H50

16 20 25 30 35 40 45

Diámetro de la barra [mm] 8

10

12

16

18

22

25

28

32

36

437 391 349 319 300 300 300

546 488 437 399 369 345 326

655 586 524 478 443 414 391

874 781 699 638 591 553 521

983 879 786 718 664 622 586

1502 1343 1201 1097 1015 950 895

1706 1526 1365 1246 1154 1079 1017

1911 1709 1529 1396 1292 1209 1140

2184 1953 1747 1595 1477 1381 1302

2457 2198 1966 1794 1661 1554 1465

Tabla 13 α = 1,3; β = 1,2; fy = 420 MPa Grado del hormigón H20 H25 H30 H35 H40 H45 H50

Resistencia especificada f'c [MPa] 16 20 25 30 35 40 45

Diámetro de la barra [mm] 8

10

655 586 524 478 443 414 391

819 733 655 598 554 518 488

12

16

18

22

25

28

32

36

983 1310 879 1172 786 1048 718 957 664 886 622 829 586 781

1474 1319 1179 1077 997 932 879

2252 2014 1802 1645 1523 1424 1343

2559 2289 2048 1869 1730 1619 1526

2867 2564 2293 2093 1938 1813 1709

3276 2930 2621 2392 2215 2072 1953

3686 3296 2948 2692 2492 2331 2198

21

3. LONGITUD DE DESARROLLO Y EMPALMES PARA BARRAS EN TRACCIÓN Y COMPRESIÓN

LONGITUDES DE DESARROLLO (mm). CASO A HORMIGONES DE AGREGADO CORRIENTE Tabla 14 α = 1,0; β = 1,2; fy = 280 MPa Grado del hormigón H20 H25 H30 H35 H40 H45 H50

Resistencia especificada f'c [MPa] 16 20 25 30 35 40 45

Diámetro de la barra [mm] 8

10

12

16

336 301 300 300 300 300 300

420 376 336 307 300 300 300

504 451 403 368 341 319 301

672 601 538 491 454 425 401

18

22

25

28

32

36

756 1155 1313 1470 1680 1890 676 1033 1174 1315 1503 1690 605 924 1050 1176 1344 1512 552 843 959 1074 1227 1380 511 781 887 994 1136 1278 478 730 830 930 1063 1195 451 689 783 877 1002 1127

Tabla 15 α = 1,0; β = 1,2; fy = 420 MPa Grado del hormigón

Resistencia especificada f'c [MPa]

H20 H25 H30 H35 H40 H45 H50

16 20 25 30 35 40 45

Diámetro de la barra [mm] 8

10

504 451 403 368 341 319 301

630 563 504 460 426 398 376

12

16

18

22

25

28

32

36

756 1008 676 902 605 806 552 736 511 682 478 638 451 601

1134 1014 907 828 767 717 676

1733 1550 1386 1265 1171 1096 1033

1969 1761 1575 1438 1331 1245 1174

2205 1972 1764 1610 1491 1395 1315

2520 2254 2016 1840 1704 1594 1503

2835 2536 2268 2070 1917 1793 1690

Tabla 16 α = 1,3; β = 1,5*; fy = 280 MPa Grado del hormigón

Resistencia especificada f'c [MPa]

Diámetro de la barra [mm] 8

10

H20 16 477 596 H25 20 426 533 H30 25 381 477 H35 30 348 435 H40 35 322 403 H45 40 302 377 H50 45 300 355 * α*β no es necesario que sea mayor que

22

12

16

18

22

25

28

32

36

715 640 572 522 484 452 426 1,7

954 853 763 696 645 603 569

1073 960 858 784 725 679 640

1639 1466 1311 1197 1108 1037 977

1863 1666 1490 1360 1259 1178 1111

2086 1866 1669 1524 1411 1319 1244

2384 2132 1907 1741 1612 1508 1422

2682 2399 2146 1959 1814 1696 1599

3. LONGITUD DE DESARROLLO Y EMPALMES PARA BARRAS EN TRACCIÓN Y COMPRESIÓN

LONGITUDES DE DESARROLLO (mm). CASO A HORMIGONES DE AGREGADO CORRIENTE Tabla 17 α = 1,3; β = 1,5*; fy = 420 MPa Grado del hormigón H20 H25 H30 H35 H40 H45 H50

Resistencia especificada f'c [MPa] 16 20 25 30 35 40 45

Diámetro de la barra [mm] 8 715 640 572 522 484 452 426

10

12

16

18

22

25

28

32

36

894 1073 1431 800 960 1279 715 858 1144 653 784 1045 605 725 967 565 679 905 533 640 853

1609 1439 1287 1175 1088 1018 960

2459 2199 1967 1796 1662 1555 1466

2794 2499 2235 2040 1889 1767 1666

3129 2799 2503 2285 2116 1979 1866

3576 3199 2861 2612 2418 2262 2132

4023 3599 3219 2938 2720 2545 2399

* α*β no es necesario que sea mayor que 1,7

Tabla 18 α = 1,0; β = 1,5; fy = 280 MPa Grado del hormigón H20 H25 H30 H35 H40 H45 H50

Resistencia especificada f'c [MPa] 16 20 25 30 35 40 45

Diámetro de la barra [mm] 8

10

12

16

18

22

25

28

32

36

420 376 336 307 300 300 300

525 470 420 383 355 332 313

630 563 504 460 426 398 376

840 751 672 613 568 531 501

945 845 756 690 639 598 563

1444 1291 1155 1054 976 913 861

1641 1467 1313 1198 1109 1038 978

1838 1644 1470 1342 1242 1162 1096

2100 1878 1680 1534 1420 1328 1252

2363 2113 1890 1725 1597 1494 1409

Tabla 19 α = 1,0; β = 1,5; fy = 420 MPa Grado del hormigón

Resistencia especificada f'c [MPa]

H20 H25 H30 H35 H40 H45 H50

16 20 25 30 35 40 45

Diámetro de la barra [mm] 8

10

630 563 504 460 426 398 376

788 704 630 575 532 498 470

12

16

18

22

25

28

32

36

945 1260 845 1127 756 1008 690 920 639 852 598 797 563 751

1418 1268 1134 1035 958 897 845

2166 1937 1733 1582 1464 1370 1291

2461 2201 1969 1797 1664 1556 1467

2756 2465 2205 2013 1864 1743 1644

3150 2817 2520 2300 2130 1992 1878

3544 3170 2835 2588 2396 2241 2113

23

3. LONGITUD DE DESARROLLO Y EMPALMES PARA BARRAS EN TRACCIÓN Y COMPRESIÓN

LONGITUDES DE DESARROLLO (mm). CASO A HORMIGONES DE AGREGADO LIVIANO Tabla 20 α = 1,3; β = 1,0; fy = 280 MPa Grado del hormigón

Resistencia especificada f'c [MPa]

H20 H25 H30 H35 H40 H45 H50

16 20 25 30 35 40 45

Diámetro de la barra [mm] 8

10

12

16

18

22

25

28

32

36

473 423 379 346 320 300 300

592 529 473 432 400 374 353

710 635 568 518 480 449 423

946 846 757 691 640 599 564

1065 952 852 778 720 673 635

1627 1455 1301 1188 1100 1029 970

1848 1653 1479 1350 1250 1169 1102

2070 1852 1656 1512 1400 1309 1234

2366 2116 1893 1728 1600 1496 1411

2662 2381 2129 1944 1800 1683 1587

Tabla 21 α = 1,3; β = 1,0; fy = 420 MPa Grado del hormigón H20 H25 H30 H35 H40 H45 H50

Resistencia especificada f'c [MPa] 16 20 25 30 35 40 45

Diámetro de la barra [mm] 8 710 635 568 518 480 449 423

10

12

16

18

22

25

28

32

36

887 1065 1420 794 952 1270 710 852 1136 648 778 1037 600 720 960 561 673 898 529 635 846

1597 1428 1278 1166 1080 1010 952

2440 2182 1952 1782 1650 1543 1455

2773 2480 2218 2025 1875 1754 1653

3105 2778 2484 2268 2100 1964 1852

3549 3174 2839 2592 2400 2245 2116

3993 3571 3194 2916 2700 2525 2381

32

36

Tabla 22 α = 1,0; β = 1,0; fy = 280 MPa Grado del hormigón H20 H25 H30 H35 H40 H45 H50

24

Resistencia especificada f'c [MPa] 16 20 25 30 35 40 45

Diámetro de la barra [mm] 8

10

12

16

364 326 300 300 300 300 300

455 407 364 332 308 300 300

546 488 437 399 369 345 326

728 651 582 532 492 460 434

18

22

25

28

819 1251 1422 1593 1820 2048 733 1119 1272 1424 1628 1831 655 1001 1138 1274 1456 1638 598 914 1038 1163 1329 1495 554 846 961 1077 1231 1384 518 791 899 1007 1151 1295 488 746 848 950 1085 1221

3. LONGITUD DE DESARROLLO Y EMPALMES PARA BARRAS EN TRACCIÓN Y COMPRESIÓN

LONGITUDES DE DESARROLLO (mm). CASO A HORMIGONES DE AGREGADO LIVIANO Tabla 23 α = 1,0; β = 1,0; fy = 420 MPa Grado del hormigón H20 H25 H30 H35 H40 H45 H50

Resistencia especificada f'c [MPa] 16 20 25 30 35 40 45

Diámetro de la barra [mm] 8

10

546 488 437 399 369 345 326

683 610 546 498 461 432 407

12

16

18

22

25

28

32

36

819 1092 733 977 655 874 598 797 554 738 518 691 488 651

1229 1099 983 897 831 777 733

1877 1679 1502 1371 1269 1187 1119

2133 1908 1706 1558 1442 1349 1272

2389 2137 1911 1744 1615 1511 1424

2730 2442 2184 1994 1846 1727 1628

3071 2747 2457 2243 2077 1942 1831

Tabla 24 α = 1,3; β = 1,2; fy = 280 MPa Grado del hormigón H20 H25 H30 H35 H40 H45 H50

Resistencia especificada f'c [MPa] 16 20 25 30 35 40 45

Diámetro de la barra [mm] 8

10

568 508 454 415 384 359 339

710 635 568 518 480 449 423

12

16

18

22

25

28

32

36

852 1136 762 1016 681 909 622 829 576 768 539 718 508 677

1278 1143 1022 933 864 808 762

1952 1746 1562 1426 1320 1235 1164

2218 1984 1775 1620 1500 1403 1323

2484 2222 1987 1814 1680 1571 1481

2839 2539 2271 2073 1920 1796 1693

3194 2857 2555 2333 2160 2020 1905

Tabla 25 α = 1,3; β = 1,2; fy = 420 MPa Grado del hormigón

Resistencia especificada f'c [MPa]

H20 H25 H30 H35 H40 H45 H50

16 20 25 30 35 40 45

Diámetro de la barra [mm] 8 852 762 681 622 576 539 508

10

12

16

18

22

25

28

32

36

1065 1278 1704 952 1143 1524 852 1022 1363 778 933 1244 720 864 1152 673 808 1077 635 762 1016

1916 1714 1533 1400 1296 1212 1143

2928 2619 2342 2138 1980 1852 1746

3327 2976 2662 2430 2250 2104 1984

3726 3333 2981 2721 2520 2357 2222

4259 3809 3407 3110 2879 2694 2539

4791 4285 3833 3499 3239 3030 2857

25

3. LONGITUD DE DESARROLLO Y EMPALMES PARA BARRAS EN TRACCIÓN Y COMPRESIÓN

LONGITUDES DE DESARROLLO (mm). CASO A HORMIGONES DE AGREGADO LIVIANO Tabla 26 α = 1,0; β = 1,2; fy = 280 MPa Grado del hormigón H20 H25 H30 H35 H40 H45 H50

Resistencia especificada f'c [MPa] 16 20 25 30 35 40 45

Diámetro de la barra [mm] 8

10

12

16

18

22

25

28

32

36

437 391 349 319 300 300 300

546 488 437 399 369 345 326

655 586 524 478 443 414 391

874 781 699 638 591 553 521

983 879 786 718 664 622 586

1502 1343 1201 1097 1015 950 895

1706 1526 1365 1246 1154 1079 1017

1911 1709 1529 1396 1292 1209 1140

2184 1953 1747 1595 1477 1381 1302

2457 2198 1966 1794 1661 1554 1465

Tabla 27 α = 1,0; β = 1,2; fy = 420 MPa Grado del hormigón H20 H25 H30 H35 H40 H45 H50

Resistencia especificada f'c [MPa] 16 20 25 30 35 40 45

Diámetro de la barra [mm] 8

10

655 586 524 478 443 414 391

819 733 655 598 554 518 488

12

16

18

22

25

28

32

36

983 1310 879 1172 786 1048 718 957 664 886 622 829 586 781

1474 1319 1179 1077 997 932 879

2252 2014 1802 1645 1523 1424 1343

2559 2289 2048 1869 1730 1619 1526

2867 2564 2293 2093 1938 1813 1709

3276 2930 2621 2392 2215 2072 1953

3686 3296 2948 2692 2492 2331 2198

Tabla 28 α = 1,3; β = 1,5*; fy = 280 MPa Grado del hormigón

Resistencia especificada f'c [MPa]

Diámetro de la barra [mm] 8

10

H20 16 620 775 H25 20 554 693 H30 25 496 620 H35 30 453 566 H40 35 419 524 H45 40 392 490 H50 45 370 462 * α*β no es necesario que sea mayor que

26

12

16

18

22

25

28

32

36

930 1240 832 1109 744 992 679 905 629 838 588 784 554 739 1,7

1395 1248 1116 1019 943 882 832

2131 1906 1705 1556 1441 1348 1271

2421 2166 1937 1768 1637 1531 1444

2712 2426 2170 1981 1834 1715 1617

3099 2772 2480 2264 2096 1960 1848

3487 3119 2790 2546 2358 2205 2079

3. LONGITUD DE DESARROLLO Y EMPALMES PARA BARRAS EN TRACCIÓN Y COMPRESIÓN

LONGITUDES DE DESARROLLO (mm). CASO A HORMIGONES DE AGREGADO LIVIANO Tabla 29 α = 1,3; β = 1,5*; fy = 420 MPa Grado del hormigón

Resistencia especificada f'c [MPa]

Diámetro de la barra [mm] 8

10

12

16

18

22

25

28

32

36

H20 16 930 1162 1395 1860 H25 20 832 1040 1248 1663 H30 25 744 930 1116 1488 H35 30 679 849 1019 1358 H40 35 629 786 943 1257 H45 40 588 735 882 1176 H50 45 554 693 832 1109 * α*β no es necesario que sea mayor que 1,7

2092 1871 1674 1528 1415 1323 1248

3196 2859 2557 2334 2161 2022 1906

3632 3249 2906 2653 2456 2297 2166

4068 3639 3254 2971 2750 2573 2426

4649 4158 3719 3395 3143 2940 2772

5230 4678 4184 3820 3536 3308 3119

Tabla 30 α = 1,0; β = 1,5; fy = 280 MPa Grado del hormigón H20 H25 H30 H35 H40 H45 H50

Resistencia especificada f'c [MPa] 16 20 25 30 35 40 45

Diámetro de la barra [mm] 8

10

546 488 437 399 369 345 326

683 610 546 498 461 432 407

12

16

18

22

25

28

32

36

819 1092 733 977 655 874 598 797 554 738 518 691 488 651

1229 1099 983 897 831 777 733

1877 1679 1502 1371 1269 1187 1119

2133 1908 1706 1558 1442 1349 1272

2389 2137 1911 1744 1615 1511 1424

2730 2442 2184 1994 1846 1727 1628

3071 2747 2457 2243 2077 1942 1831

Tabla 31 α = 1,0; β = 1,5; fy = 420 MPa Grado del hormigón H20 H25 H30 H35 H40 H45 H50

Resistencia especificada f'c [MPa] 16 20 25 30 35 40 45

Diámetro de la barra [mm] 8 819 733 655 598 554 518 488

10

12

16

18

22

25

28

32

36

1024 1229 1638 916 1099 1465 819 983 1310 748 897 1196 692 831 1107 647 777 1036 610 733 977

1843 1648 1474 1346 1246 1165 1099

2815 2518 2252 2056 1903 1781 1679

3199 2861 2559 2336 2163 2023 1908

3583 3205 2867 2617 2423 2266 2137

4095 3663 3276 2991 2769 2590 2442

4607 4121 3686 3364 3115 2914 2747

* α*β no es necesario que sea mayor que 1,7

27

3. LONGITUD DE DESARROLLO Y EMPALMES PARA BARRAS EN TRACCIÓN Y COMPRESIÓN

LONGITUDES DE DESARROLLO (mm). CASO B HORMIGONES DE AGREGADO CORRIENTE Tabla 32 α = 1,3; β = 1,0; fy = 280 MPa Grado del hormigón

Resistencia especificada f'c [MPa]

H20 H25 H30 H35 H40 H45 H50

16 20 25 30 35 40 45

Diámetro de la barra [mm] 8

10

546 488 437 399 369 345 326

683 610 546 498 461 432 407

12

16

18

22

25

28

32

36

819 1092 733 977 655 874 598 797 554 738 518 691 488 651

1229 1099 983 897 831 777 733

1877 1679 1502 1371 1269 1187 1119

2133 1908 1706 1558 1442 1349 1272

2389 2137 1911 1744 1615 1511 1424

2730 2442 2184 1994 1846 1727 1628

3071 2747 2457 2243 2077 1942 1831

Tabla 33 α = 1,3; β = 1,0; fy = 420 MPa Grado del hormigón

Resistencia especificada f'c [MPa]

H20 H25 H30 H35 H40 H45 H50

16 20 25 30 35 40 45

Diámetro de la barra [mm] 8 819 733 655 598 554 518 488

10

12

16

18

22

25

28

32

36

1024 1229 1638 916 1099 1465 819 983 1310 748 897 1196 692 831 1107 647 777 1036 610 733 977

1843 1648 1474 1346 1246 1165 1099

2815 2518 2252 2056 1903 1781 1679

3199 2861 2559 2336 2163 2023 1908

3583 3205 2867 2617 2423 2266 2137

4095 3663 3276 2991 2769 2590 2442

4607 4121 3686 3364 3115 2914 2747

Tabla 34 α = 1,0; β = 1,0; fy = 280 MPa Grado del hormigón

Resistencia especificada f'c [MPa]

H20 H25 H30 H35 H40 H45 H50

16 20 25 30 35 40 45

28

Diámetro de la barra [mm] 8

10

12

16

18

22

25

28

32

36

420 376 336 307 300 300 300

525 470 420 383 355 332 313

630 563 504 460 426 398 376

840 751 672 613 568 531 501

945 845 756 690 639 598 563

1444 1291 1155 1054 976 913 861

1641 1467 1313 1198 1109 1038 978

1838 1644 1470 1342 1242 1162 1096

2100 1878 1680 1534 1420 1328 1252

2363 2113 1890 1725 1597 1494 1409

3. LONGITUD DE DESARROLLO Y EMPALMES PARA BARRAS EN TRACCIÓN Y COMPRESIÓN

LONGITUDES DE DESARROLLO (mm). CASO B HORMIGONES DE AGREGADO CORRIENTE Tabla 35 α = 1,0; β = 1,0; fy = 420 MPa Grado del hormigón H20 H25 H30 H35 H40 H45 H50

Resistencia especificada f'c [MPa] 16 20 25 30 35 40 45

Diámetro de la barra [mm] 8

10

630 563 504 460 426 398 376

788 704 630 575 532 498 470

12

16

18

22

25

28

32

36

945 1260 845 1127 756 1008 690 920 639 852 598 797 563 751

1418 1268 1134 1035 958 897 845

2166 1937 1733 1582 1464 1370 1291

2461 2201 1969 1797 1664 1556 1467

2756 2465 2205 2013 1864 1743 1644

3150 2817 2520 2300 2130 1992 1878

3544 3170 2835 2588 2396 2241 2113

Tabla 36 α = 1,3; β = 1,2; fy = 280 MPa Grado del hormigón H20 H25 H30 H35 H40 H45 H50

Resistencia especificada f'c [MPa] 16 20 25 30 35 40 45

Diámetro de la barra [mm] 8

10

655 586 524 478 443 414 391

819 733 655 598 554 518 488

12

16

18

22

25

28

32

36

983 1310 879 1172 786 1048 718 957 664 886 622 829 586 781

1474 1319 1179 1077 997 932 879

2252 2014 1802 1645 1523 1424 1343

2559 2289 2048 1869 1730 1619 1526

2867 2564 2293 2093 1938 1813 1709

3276 2930 2621 2392 2215 2072 1953

3686 3296 2948 2692 2492 2331 2198

Tabla 37 α = 1,3; β = 1,2; fy = 420 MPa Grado del hormigón H20 H25 H30 H35 H40 H45 H50

Resistencia especificada f'c [MPa] 16 20 25 30 35 40 45

Diámetro de la barra [mm] 8 983 879 786 718 664 622 586

10

12

16

18

22

25

28

32

36

1229 1474 1966 1099 1319 1758 983 1179 1572 897 1077 1435 831 997 1329 777 932 1243 733 879 1172

2211 1978 1769 1615 1495 1399 1319

3378 3022 2703 2467 2284 2137 2014

3839 3434 3071 2804 2596 2428 2289

4300 3846 3440 3140 2907 2719 2564

4914 4395 3931 3589 3322 3108 2930

5528 4945 4423 4037 3738 3496 3296

29

3. LONGITUD DE DESARROLLO Y EMPALMES PARA BARRAS EN TRACCIÓN Y COMPRESIÓN

LONGITUDES DE DESARROLLO (mm). CASO B HORMIGONES DE AGREGADO CORRIENTE Tabla 38 α = 1,0; β = 1,2; fy = 280 MPa Grado del hormigón H20 H25 H30 H35 H40 H45 H50

Resistencia especificada f'c [MPa] 16 20 25 30 35 40 45

Diámetro de la barra [mm] 8

10

504 451 403 368 341 319 301

630 563 504 460 426 398 376

12

16

18

22

25

28

32

36

756 1008 676 902 605 806 552 736 511 682 478 638 451 601

1134 1014 907 828 767 717 676

1733 1550 1386 1265 1171 1096 1033

1969 1761 1575 1438 1331 1245 1174

2205 1972 1764 1610 1491 1395 1315

2520 2254 2016 1840 1704 1594 1503

2835 2536 2268 2070 1917 1793 1690

Tabla 39 α = 1,0; β = 1,2; fy = 420 MPa Grado del hormigón

Resistencia especificada f'c [MPa]

H20 H25 H30 H35 H40 H45 H50

16 20 25 30 35 40 45

Diámetro de la barra [mm] 8 756 676 605 552 511 478 451

10

12

16

18

22

25

28

32

36

945 1134 1512 845 1014 1352 756 907 1210 690 828 1104 639 767 1022 598 717 956 563 676 902

1701 1521 1361 1242 1150 1076 1014

2599 2324 2079 1898 1757 1644 1550

2953 2641 2363 2157 1997 1868 1761

3308 2958 2646 2415 2236 2092 1972

3780 3381 3024 2761 2556 2391 2254

4253 3804 3402 3106 2875 2690 2536

Tabla 40 α = 1,3; β = 1,5*; fy = 280 MPa Grado del hormigón

Resistencia especificada f'c [MPa]

H20 H25 H30 H35 H40 H45 H50

16 20 25 30 35 40 45

Diámetro de la barra [mm] 8 715 640 572 522 484 452 426

10

12

16

18

22

25

28

32

36

894 1073 1431 800 960 1279 715 858 1144 653 784 1045 605 725 967 565 679 905 533 640 853

1609 1439 1287 1175 1088 1018 960

2459 2199 1967 1796 1662 1555 1466

2794 2499 2235 2040 1889 1767 1666

3129 2799 2503 2285 2116 1979 1866

3576 3199 2861 2612 2418 2262 2132

4023 3599 3219 2938 2720 2545 2399

* α*β no es necesario que sea mayor que 1,7

30

3. LONGITUD DE DESARROLLO Y EMPALMES PARA BARRAS EN TRACCIÓN Y COMPRESIÓN

LONGITUDES DE DESARROLLO (mm). CASO B HORMIGONES DE AGREGADO CORRIENTE Tabla 41 α = 1,3; β = 1,5*; fy = 420 MPa Grado del hormigón H20 H25 H30 H35 H40 H45 H50

Resistencia especificada f'c [MPa] 16 20 25 30 35 40 45

Diámetro de la barra [mm] 8 1073 960 858 784 725 679 640

10

12

16

18

22

25

28

32

36

1341 1609 2146 1200 1439 1919 1073 1287 1717 979 1175 1567 907 1088 1451 848 1018 1357 800 960 1279

2414 2159 1931 1763 1632 1527 1439

3688 3299 2950 2693 2494 2333 2199

4191 3749 3353 3061 2834 2651 2499

4694 4198 3755 3428 3174 2969 2799

5364 4798 4292 3918 3627 3393 3199

6035 5398 4828 4407 4080 3817 3599

* α*β no es necesario que sea mayor que 1,7

Tabla 42 α = 1,0; β = 1,5; fy = 280 MPa Grado del hormigón H20 H25 H30 H35 H40 H45 H50

Resistencia especificada f'c [MPa] 16 20 25 30 35 40 45

Diámetro de la barra [mm] 8

10

630 563 504 460 426 398 376

788 704 630 575 532 498 470

12

16

18

22

25

28

32

36

945 1260 845 1127 756 1008 690 920 639 852 598 797 563 751

1418 1268 1134 1035 958 897 845

2166 1937 1733 1582 1464 1370 1291

2461 2201 1969 1797 1664 1556 1467

2756 2465 2205 2013 1864 1743 1644

3150 2817 2520 2300 2130 1992 1878

3544 3170 2835 2588 2396 2241 2113

Tabla 43 α = 1,0; β = 1,5; fy = 420 MPa Grado del hormigón

Resistencia especificada f'c [MPa]

H20 H25 H30 H35 H40 H45 H50

16 20 25 30 35 40 45

Diámetro de la barra [mm] 8 945 845 756 690 639 598 563

10

12

16

18

22

25

28

32

36

1181 1418 1890 1057 1268 1690 945 1134 1512 863 1035 1380 799 958 1278 747 897 1195 704 845 1127

2126 1902 1701 1553 1438 1345 1268

3248 2905 2599 2372 2196 2054 1937

3691 3302 2953 2696 2496 2335 2201

4134 3698 3308 3019 2795 2615 2465

4725 4226 3780 3451 3195 2988 2817

5316 4754 4253 3882 3594 3362 3170

31

3. LONGITUD DE DESARROLLO Y EMPALMES PARA BARRAS EN TRACCIÓN Y COMPRESIÓN

LONGITUDES DE DESARROLLO (mm). CASO B HORMIGONES DE AGREGADO LIVIANO Tabla 44 α = 1,3; β = 1,0; fy = 280 MPa Grado del hormigón H20 H25 H30 H35 H40 H45 H50

Resistencia especificada f'c [MPa] 16 20 25 30 35 40 45

Diámetro de la barra [mm] 8 710 635 568 518 480 449 423

10

12

16

18

22

25

28

32

36

887 1065 1420 794 952 1270 710 852 1136 648 778 1037 600 720 960 561 673 898 529 635 846

1597 1428 1278 1166 1080 1010 952

2440 2182 1952 1782 1650 1543 1455

2773 2480 2218 2025 1875 1754 1653

3105 2778 2484 2268 2100 1964 1852

3549 3174 2839 2592 2400 2245 2116

3993 3571 3194 2916 2700 2525 2381

Tabla 45 α = 1,3; β = 1,0; fy = 420 MPa Grado del hormigón H20 H25 H30 H35 H40 H45 H50

Resistencia especificada f'c [MPa] 16 20 25 30 35 40 45

Diámetro de la barra [mm] 8 1065 952 852 778 720 673 635

10

12

16

18

22

25

28

32

36

1331 1597 2129 1190 1428 1905 1065 1278 1704 972 1166 1555 900 1080 1440 842 1010 1347 794 952 1270

2396 2143 1916 1749 1620 1515 1428

3660 3274 2928 2673 2475 2315 2182

4159 3720 3327 3037 2812 2630 2480

4658 4166 3726 3402 3149 2946 2778

5324 4761 4259 3888 3599 3367 3174

5989 5357 4791 4374 4049 3788 3571

Tabla 46 α = 1,0; β = 1,0; fy = 280 MPa Grado del hormigón H20 H25 H30 H35 H40 H45 H50

32

Resistencia especificada f'c [MPa] 16 20 25 30 35 40 45

Diámetro de la barra mm] 8

10

546 488 437 399 369 345 326

683 610 546 498 461 432 407

12

16

18

22

25

28

32

36

819 1092 733 977 655 874 598 797 554 738 518 691 488 651

1229 1099 983 897 831 777 733

1877 1679 1502 1371 1269 1187 1119

2133 1908 1706 1558 1442 1349 1272

2389 2137 1911 1744 1615 1511 1424

2730 2442 2184 1994 1846 1727 1628

3071 2747 2457 2243 2077 1942 1831

3. LONGITUD DE DESARROLLO Y EMPALMES PARA BARRAS EN TRACCIÓN Y COMPRESIÓN

LONGITUDES DE DESARROLLO (mm). CASO B HORMIGONES DE AGREGADO LIVIANO Tabla 47 α = 1,0; β = 1,0; fy = 420 MPa Grado del hormigón H20 H25 H30 H35 H40 H45 H50

Resistencia especificada f'c [MPa] 16 20 25 30 35 40 45

Diámetro de la barra [mm] 8 819 733 655 598 554 518 488

10

12

16

18

22

25

28

32

36

1024 1229 1638 916 1099 1465 819 983 1310 748 897 1196 692 831 1107 647 777 1036 610 733 977

1843 1648 1474 1346 1246 1165 1099

2815 2518 2252 2056 1903 1781 1679

3199 2861 2559 2336 2163 2023 1908

3583 3205 2867 2617 2423 2266 2137

4095 3663 3276 2991 2769 2590 2442

4607 4121 3686 3364 3115 2914 2747

Tabla 48 α = 1,3; β = 1,2; fy = 280 MPa Grado del hormigón H20 H25 H30 H35 H40 H45 H50

Resistencia especificada f'c [MPa] 16 20 25 30 35 40 45

Diámetro de la barra [mm] 8 852 762 681 622 576 539 508

10

12

16

18

22

25

28

32

36

1065 1278 1704 952 1143 1524 852 1022 1363 778 933 1244 720 864 1152 673 808 1077 635 762 1016

1916 1714 1533 1400 1296 1212 1143

2928 2619 2342 2138 1980 1852 1746

3327 2976 2662 2430 2250 2104 1984

3726 3333 2981 2721 2520 2357 2222

4259 3809 3407 3110 2879 2694 2539

4791 4285 3833 3499 3239 3030 2857

Tabla 49 α = 1,3; β = 1,2; fy = 420 MPa Grado del hormigón H20 H25 H30 H35 H40 H45 H50

Resistencia especificada f'c [MPa] 16 20 25 30 35 40 45

Diámetro de la barra [mm] 8 1278 1143 1022 933 864 808 762

10

12

16

18

22

25

28

32

36

1597 1916 2555 1428 1714 2286 1278 1533 2044 1166 1400 1866 1080 1296 1728 1010 1212 1616 952 1143 1524

2875 2571 2300 2099 1944 1818 1714

4392 3928 3514 3207 2969 2778 2619

4991 4464 3993 3645 3374 3156 2976

5590 5000 4472 4082 3779 3535 3333

6388 5714 5111 4665 4319 4040 3809

7187 6428 5749 5248 4859 4545 4285

33

3. LONGITUD DE DESARROLLO Y EMPALMES PARA BARRAS EN TRACCIÓN Y COMPRESIÓN

LONGITUDES DE DESARROLLO (mm). CASO B HORMIGONES DE AGREGADO LIVIANO Tabla 50 α = 1,0; β = 1,2; fy = 280 MPa Grado del hormigón H20 H25 H30 H35 H40 H45 H50

Resistencia especificada f'c [MPa] 16 20 25 30 35 40 45

Diámetro de la barra [mm] 8

10

655 586 524 478 443 414 391

819 733 655 598 554 518 488

12

16

18

22

25

28

32

36

983 1310 879 1172 786 1048 718 957 664 886 622 829 586 781

1474 1319 1179 1077 997 932 879

2252 2014 1802 1645 1523 1424 1343

2559 2289 2048 1869 1730 1619 1526

2867 2564 2293 2093 1938 1813 1709

3276 2930 2621 2392 2215 2072 1953

3686 3296 2948 2692 2492 2331 2198

Tabla 51 α = 1,0; β = 1,2; fy = 420 MPa Grado del hormigón H20 H25 H30 H35 H40 H45 H50

Resistencia especificada f'c [MPa] 16 20 25 30 35 40 45

Diámetro de la barra [mm] 8 983 879 786 718 664 622 586

10

12

16

18

22

25

28

32

36

1229 1474 1966 1099 1319 1758 983 1179 1572 897 1077 1435 831 997 1329 777 932 1243 733 879 1172

2211 1978 1769 1615 1495 1399 1319

3378 3022 2703 2467 2284 2137 2014

3839 3434 3071 2804 2596 2428 2289

4300 3846 3440 3140 2907 2719 2564

4914 4395 3931 3589 3322 3108 2930

5528 4945 4423 4037 3738 3496 3296

Tabla 52 α = 1,3; β = 1,5*; fy = 280 MPa Grado del hormigón H20 H25 H30 H35 H40 H45 H50

Resistencia especificada f'c [MPa] 16 20 25 30 35 40 45

Diámetro de la barra [mm] 8 930 832 744 679 629 588 554

10

12

16

18

22

25

28

32

36

1162 1395 1860 1040 1248 1663 930 1116 1488 849 1019 1358 786 943 1257 735 882 1176 693 832 1109

2092 1871 1674 1528 1415 1323 1248

3196 2859 2557 2334 2161 2022 1906

3632 3249 2906 2653 2456 2297 2166

4068 3639 3254 2971 2750 2573 2426

4649 4158 3719 3395 3143 2940 2772

5230 4678 4184 3820 3536 3308 3119

* α*β no es necesario que sea mayor que 1,7

34

3. LONGITUD DE DESARROLLO Y EMPALMES PARA BARRAS EN TRACCIÓN Y COMPRESIÓN

LONGITUDES DE DESARROLLO (mm). CASO B HORMIGONES DE AGREGADO LIVIANO Tabla 53 α = 1,3; β = 1,5*; fy = 420 MPa Grado del hormigón

Resistencia especificada f'c [MPa]

H20 H25 H30 H35 H40 H45 H50

16 20 25 30 35 40 45

Diámetro de la barra [mm] 8 1395 1248 1116 1019 943 882 832

10

12

16

18

22

25

28

32

36

1743 2092 2790 1559 1871 2495 1395 1674 2232 1273 1528 2037 1179 1415 1886 1103 1323 1764 1040 1248 1663

3138 2807 2511 2292 2122 1985 1871

4794 4288 3836 3501 3242 3032 2859

5448 4873 4359 3979 3684 3446 3249

6102 5458 4882 4456 4126 3859 3639

6974 6238 5579 5093 4715 4411 4158

7846 7017 6276 5730 5305 4962 4678

* α*β no es necesario que sea mayor que 1,7

Tabla 54 α = 1,0; β = 1,5; fy = 280 MPa Grado del hormigón

Resistencia especificada f'c [MPa]

H20 H25 H30 H35 H40 H45 H50

16 20 25 30 35 40 45

Diámetro de la barra [mm] 8 819 733 655 598 554 518 488

10

12

16

18

22

25

28

32

36

1024 1229 1638 916 1099 1465 819 983 1310 748 897 1196 692 831 1107 647 777 1036 610 733 977

1843 1648 1474 1346 1246 1165 1099

2815 2518 2252 2056 1903 1781 1679

3199 2861 2559 2336 2163 2023 1908

3583 3205 2867 2617 2423 2266 2137

4095 3663 3276 2991 2769 2590 2442

4607 4121 3686 3364 3115 2914 2747

Tabla 55 α = 1,0; β = 1,5; fy = 420 MPa Grado del hormigón

Resistencia especificada f'c [MPa]

H20 H25 H30 H35 H40 H45 H50

16 20 25 30 35 40 45

Diámetro de la barra [mm] 8 1229 1099 983 897 831 777 733

10

12

16

18

22

25

28

32

36

1536 1843 2457 1374 1648 2198 1229 1474 1966 1121 1346 1794 1038 1246 1661 971 1165 1554 916 1099 1465

2764 2472 2211 2019 1869 1748 1648

4223 3777 3378 3084 2855 2671 2518

4799 4292 3839 3505 3245 3035 2861

5375 4807 4300 3925 3634 3399 3205

6143 5494 4914 4486 4153 3885 3663

6910 6181 5528 5047 4672 4370 4121

* α*β no es necesario que sea mayor que 1,7

35

3. LONGITUD DE DESARROLLO Y EMPALMES PARA BARRAS EN TRACCIÓN Y COMPRESIÓN

3.1.2 Longitud de desarrollo para barras en compresión 1-

La longitud de desarrollo no debe ser menor que 200 mm

2-

La longitud de desarrollo básica (mm) no debe ser menor que la indicada en la Tabla 56.

3-

La longitud de desarrollo básica (mm) para las distintas calidades de hormigón, debe ser la mostrada en las Tablas 57 y 58.

4-

Los factores de modificación de la longitud de desarrollo, están dados por los siguientes puntos: a) Si la armadura excede lo requerido, se puede multiplicar la longitud de desarrollo básica db por el cuociente: (A s requerido /A s proporcionado) b) Si la armadura está confinada por una espiral de no menos que 6 mm de diámetro y no más que 100 mm de paso, o dentro de amarras Ø12 y espaciados a distancias no mayores que 100 mm medido entre centros, se puede multiplicar la longitud de desarrollo básica, por el factor 0,75.

36

3. LONGITUD DE DESARROLLO Y EMPALMES PARA BARRAS EN TRACCIÓN Y COMPRESIÓN

3.1.2.1 TABLAS DE LONGITUDES BASICAS DE DESARROLLO PARA BARRAS EN COMPRESION

Las cifras que se presentan en forma destacada, en las tablas 56, 57 y 58, han sido ajustadas a la longitud mínima de 200 mm de desarrollo exigida, dado que el cálculo determinó valores menores a los requeridos por el Código ACI 318.

37

3. LONGITUD DE DESARROLLO Y EMPALMES PARA BARRAS EN TRACCIÓN Y COMPRESIÓN

Tabla 56 Longitud de desarrollo básica mínima para barras en compresión Diámetro de las barras, (mm)

fy (MPa) 280

420

8 10 12 16 18 22 25 28 32 36

200 200 200 200 205 250 280 315 360 405

200 200 205 270 305 370 420 470 540 605

Tabla 57 Longitud de desarrollo básica para fy = 280 MPa Grado del Hormigón

H20 H25 H30 H35 H40 H45 H50

Resistencia Especificada f'c [MPa] 16 20 25 30 35 40 45

Diámetro de la barra [mm] 8

10

12

200 200 200 200 200 200 200

200 200 200 200 200 200 200

210 200 200 200 200 200 200

16

18

22

25

28

32

36

280 315 250 282 224 252 204 230 200 213 200 200 200 200

385 344 308 281 260 243 230

438 391 350 320 296 277 261

490 438 392 358 331 310 292

560 501 448 409 379 354 334

630 563 504 460 426 398 376

Tabla 58 Longitud de desarrollo básica para fy = 420 MPa

38

Grado del Hormigón

Resistencia Especificada f'c [MPa]

H20 H25 H30 H35 H40 H45 H50

16 20 25 30 35 40 45

Diámetro de la barra [mm] 8 210 200 200 200 200 200 200

10

12

16

18

22

25

28

32

36

263 315 235 282 210 252 200 230 200 213 200 200 200 200

420 376 336 307 284 266 250

473 423 378 345 319 299 282

578 517 462 422 390 365 344

656 587 525 479 444 415 391

735 657 588 537 497 465 438

840 751 672 613 568 531 501

945 845 756 690 639 598 563

3. LONGITUD DE DESARROLLO Y EMPALMES PARA BARRAS EN TRACCIÓN Y COMPRESIÓN

3.1.3 Longitud de desarrollo para barras con ganchos 1.

La longitud de desarrollo para barras con ganchos en tracción ( dh) se debe calcular como el producto de la longitud de desarrollo básica ( hb) de las Tablas 59 y 60 y los factores de modificación de la Tabla 61.

2.

La longitud de desarrollo calculada según el párrafo anterior, no debe ser menor que 8db ni menor que 150 mm.

3.

La longitud de desarrollo básica para una barra con gancho con fy = 280 MPa es la indicada en la Tabla 59.

4.

La longitud de desarrollo básica para una barra con gancho con fy = 420 MPa es la indicada en la tabla 60.

39

40

3.1.3.1 TABLAS DE LONGITUDES BASICAS DE DESARROLLO PARA BARRAS CON GANCHO

Las cifras que se presentan en forma destacada, en las tablas 59 y 60, han sido ajustadas a la longitud mínima de 150 mm de desarrollo exigida, dado que el cálculo determinó valores menores a los requeridos por el Código ACI 318.

41

3. LONGITUD DE DESARROLLO Y EMPALMES PARA BARRAS EN TRACCIÓN Y COMPRESIÓN

Tabla 59 Longitud básica de desarrollo para una barra con gancho con fy = 280 MPa Grado del hormigón

Resistencia especificada f'c [MPa]

H20 H25 H30 H35 H40 H45 H50

16 20 25 30 35 40 45

Diámetro de la barra [mm] 8

10

12

16

18

22

25

28

32

36

150 150 150 150 150 150 150

167 150 150 150 150 150 150

200 179 160 150 150 150 150

267 239 213 195 180 169 159

300 268 240 219 203 190 179

367 328 293 268 248 232 219

417 373 333 304 282 264 248

467 417 373 341 316 295 278

533 477 427 389 361 337 318

600 537 480 438 406 379 358

Tabla 60 Longitud básica de desarrollo para una barra con gancho con fy = 420 MPa

42

Grado del hormigón

Resistencia especificada f'c [MPa]

H20 H25 H30 H35 H40 H45 H50

16 20 25 30 35 40 45

Diámetro de la barra [mm] 8

10

12

16

18

22

25

28

32

36

200 179 160 150 150 150 150

250 224 200 183 169 158 150

300 268 240 219 203 190 179

400 358 320 292 270 253 239

450 402 360 329 304 285 268

550 492 440 402 372 348 328

625 559 500 456 423 395 373

700 626 560 511 473 443 417

800 716 640 584 541 506 477

900 805 720 657 609 569 537

3. LONGITUD DE DESARROLLO Y EMPALMES PARA BARRAS EN TRACCIÓN Y COMPRESIÓN

Tabla 61 Factores de modificación para barras con gancho Factor

Condición

Valor

Recubrimiento de hormigón

Para barras con recubrimiento lateral (normales al plano del gancho) no menor de 60 mm, y para ganchos de 90º, con recubrimiento en la extensión de la barra, más allá del gancho, no menor de 50 mm.

0,7

Amarras o estribos

Armadura en exceso

Para barras con ganchos confinados vertical u horizontalmente por amarras o estribos-amarras espaciados a lo largo de la longitud de desarrollo total dh a no más de 3 db, donde db es el diámetro de la barra con gancho. Cuando no se requiera específicamente anclaje o longitud de desarrollo para fy, y se dispone de armadura en exceso al requerido por el análisis.

Hormigón con agregado liviano Armadura con recubrimiento epóxico

0,8

As requerido As proporcionado

1,3 Barras con gancho que van cubiertas con epóxico.

1,2

• Para el desarrollo de barras en compresión, los ganchos no deben ser considerados como efectivos.

(VER FIGURAS 4, 5 y 6)

43

3. LONGITUD DE DESARROLLO Y EMPALMES PARA BARRAS EN TRACCIÓN Y COMPRESIÓN

Figura 4 Anclaje para barras en tracción BARRAS EN TRACCION

BARRAS CON GANCHOS

f‘c1

12 db

dh A

d

f‘c2

Figura 5 Detalle de doblado de las barras para desarrollar el gancho estandar 2r= Diámetro mínimo de doblado

SECCION CRITICA r

12 db

db

db r 4 db para barras de ø 10-25 4 db ≥ 65 mm

dh

44

5 db para barras de ø 28-36

db

2r

10-25

6 db

28-36

8 db

3. LONGITUD DE DESARROLLO Y EMPALMES PARA BARRAS EN TRACCIÓN Y COMPRESIÓN

Figura 6 Ejemplo de armadura de losas

e A

LOSA MAYOR

e LOSA CENTRAL La

Lx (1)

e

e

Ly (2)

e

Ly (1)

e

e

A

Ls

Lp

B

B

TABLA DE DESCUENTOS LUZ MENOR (LOSA MAYOR) [m] 0.00 2.51 3.01 3.51 4.01 4.51 5.01 5.51 6.01 7.01 8.01

-

2.50 3.00 3.50 4.00 4.50 5.00 5.50 6.00 7.00 8.00 y más

A [cm]

B [cm]

30 35 40 45 50 55 60 65 70 70 70

25 25 25 30 30 30 35 35 40 45 50

e e

e

e

e Lx (2)

Le

ø [mm] 8 10 12 16

K [cm] 10 15 20 25

NOMENCLATURA Ly = LUZ MAYOR DE LA LOSA Lx = LUZ MENOR DE LA LOSA Ls = LARGO SUPLE Le = LARGO EXTREMO La = LARGO ANCLAJE Lp = LARGO EMPOTRAMIENTO

TABLA DE FORMULAS Ls = 0,5 x Lx + e + K Le = 0,25 x Lx +e + K/2 La = 0,12 x Lx + e Lp = 40 x ø + 10 cm

45

3. LONGITUD DE DESARROLLO Y EMPALMES PARA BARRAS EN TRACCIÓN Y COMPRESIÓN

3.2

EMPALMES DE LAS ARMADURAS 3.2.1 Empalmes de barras sometidas a tracción 1.- La longitud mínima de traslape en tracción debe ser la requerida para empalmes clase A o B, pero no menor que 300 mm, donde: Traslape clase A...........................................1,0 Traslape clase B...........................................1,3 Donde

d

d d

no contempla el factor de corrección por exceso de armadura.

2.- Los traslapes de alambres y barras con resaltes sujetos a tracción deben ser traslapes clase B. Sólo se admiten traslapes clase A cuando: (a)

el área de armadura proporcionado es al menos el doble que el requerido por análisis a todo lo largo del traslape, o

(b)

la mitad, o menos de la armadura total está traslapada dentro de la longitud de traslape requerido.

Tabla 62 Traslapes de tracción As proporcionado As requerido

Porcentaje máximo de As traslapado en la longitud requerida para dicho traslape 50%

100%

Igual o mayor que 2

Clase A

Clase B

Menor que 2

Clase B

Clase B

3.2.2 Empalmes de barras sometidas a compresión 1.- La longitud de traslape no debe ser menor que 300 mm. Para f'c menor que 20 MPa, la longitud de traslape debe incrementarse en 1/3. 2.- La longitud de traslape para barras en compresión debe ser las mostradas en las Tablas 63 y 64. 3.- Cuando se traslapan barras de diferente diámetro en compresión, la longitud de traslape debe ser mayor que: (a) la longitud de desarrollo de la barra de tamaño mayor. (b) la longitud de traslape de la barra de diámetro menor.

46

3. LONGITUD DE DESARROLLO Y EMPALMES PARA BARRAS EN TRACCIÓN Y COMPRESIÓN

Tabla 63 Longitud de traslape para barras en compresión para fy = 280 MPa Diámetro de la barra

Longitud de traslape (mm)

8 10 12 16 18 22 25 28 32 36

300 300 300 310 350 430 490 550 630 710

Tabla 64 Longitud de traslape para barras en compresión para fy = 420 MPa Diámetro de la barra

Longitud de traslape (mm)

8 10 12 16 18 22 25 28 32 36

300 300 350 470 530 650 740 820 940 1060

Nota: Las cifras destacadas han sido ajustadas a 300 mm, dado que el cálculo determinó valores menores al mínimo exigido por el código ACI 318

47

CAPITULO 4. RECUBRIMIENTOS 4.1 GENERALIDADES Los recubrimientos normalmente usados en Chile son menores a los recomendados en ACI 318, sin haber dado origen a problemas de corrosión, salvo en ambientes agresivos. Se propone por lo tanto, de acuerdo con la recomendación de la Comisión de Diseño Estructural en Hormigón Armado, de la Cámara Chilena de la Construcción, distinguir dos condiciones: severas y normales. El recubrimiento se considera según el siguiente esquema: Recubrimiento

Recubrimiento

4.2 CONDICIONES SEVERAS (i)

Interior de edificios donde la humedad es alta o donde existe riesgo de presencia temporal de vapores corrosivos.

(ii)

Zonas donde se produce escurrimiento de agua (jardineras, balcones).

(iii)

Presencia de líquidos con pequeñas cantidades de ácido, o de aguas salinas o fuertemente oxigenadas.

(iv)

Presencia de gases corrosivos o, especialmente, suelos corrosivos.

(v)

Condiciones atmosféricas industriales o marítimas corrosivas.

4.3 CONDICIONES NORMALES Condiciones no incluidas en la categoría de condiciones severas, salvo que la experiencia indique que se requieren medidas especiales de protección. Para el caso de condiciones severas, se han mantenido en general, salvo algunas excepciones, los recubrimientos señalados en el cuerpo principal del ACI 318. Para el caso de condiciones normales se proponen recubrimientos menores.

49

4. RECUBRIMIENTOS

4.4 RECUBRIMIENTOS PARA EL HORMIGÓN VACIADO EN OBRA Tabla 65 Recubrimientos mínimos de hormigón Hormigón vaciado en obra Condiciones del Hormigón y de los Elementos Hormigón colocado contra el suelo y permanentemente expuesto a él. Hormigón expuesto al suelo o al aire libre. Hormigón de losas muros y nervaduras no expuesto al aire libre ni en contacto con el suelo.

Armadura ó ø de las barras

Recubrimiento mínimo (mm)

Toda la armadura

50

ø 18 a ø 36

40

ø 16 ó menores

30

ø 16 a ø 36

20

ø 12 ó menores

15

Hormigón de vigas y columnas no expuesto al aire libre ni en contacto con el suelo. En condiciones severas

Armadura principal Amarras, estribos y zunchos

Hormigón de vigas y columnas no expuesto al aire libre ni en contacto con el suelo. En condiciones normales.

Armadura principal Amarras, estribos y zunchos

Hormigón de cáscaras y placas delgadas no expuesto al aire libre ni en contacto con el suelo.

ø 18 ó mayores

20

ø 16 ó menores

15

Elementos de confinamiento en albañilerías. En condiciones severas.

Armadura principal, ø 10 y menores Amarras, estribos, y zunchos, ø 8 y menores Armadura principal, ø 10 y menores

40 30 30 20

30

20

20

Elementos de confinamiento en albañilerías. En condiciones normales. Amarras, estribos, y zunchos, ø 8 y menores

50

15

4. RECUBRIMIENTOS

4.5 RECUBRIMIENTOS PARA EL HORMIGÓN PREFABRICADO (FABRICADO EN CONDICIONES DE CONTROL DE PLANTA) Tabla 66 Recubrimientos mínimos de hormigón Hormigón prefabricado Condiciones del Hormigón y de los Elementos

Armadura ó ø de las barras

Recubrimiento mínimo (mm)

Hormigón colocado permanentemente en contacto con el suelo y paneles para muros, expuesto al suelo o al aire libre.

ø 36 ó menores

20

Hormigón para otros elementos, expuesto al suelo o al aire libre.

ø 18 a 36

30

Hormigón para otros elementos, expuesto al suelo o al aire libre.

ø 16 ó menores

20

Hormigón de losas muros y nervaduras, no expuesto al aire libre ni en contacto con el suelo.

ø 36 ó menores

15

Armadura principal

db, pero no menor de 15

Amarras, estribos y zunchos

10

ø 18 ó mayores

15

ø 16 ó menores

10

Hormigón de vigas y columnas no expuesto al aire libre ni en contacto con el suelo.

Hormigón de cáscaras y placas plegadas, no expuesto al aire libre ni en contacto con el suelo.

• Los valores de la Tabla 66, suponen condiciones normales, a menos que se indique lo contrario.

51

4. RECUBRIMIENTOS

4.6 RECUBRIMIENTOS PARA EL HORMIGÓN PRETENSADO Tabla 67 Recubrimientos mínimos de hormigón Hormigón pretensado Condiciones del Hormigón y de los Elementos

Armadura o ø de las barras

Recubrimiento mínimo (mm)

Hormigón colocado en contacto con el suelo y permanentemente expuesto a él.

Toda la armadura

Hormigón de paños de muros, losas y nervaduras, expuesto al suelo o al aire libre

Toda la armadura

25

Hormigón de otros elementos, expuesto al suelo o al aire libre.

Toda la armadura

40

Hormigón de losas muros y nervaduras, no expuesto al aire libre ni en contacto con el suelo.

Toda la armadura

20

Armadura principal

40

70

Hormigón, de vigas y columnas, no expuesto al aire libre ni en contacto con el suelo. Amarras, estribos y zunchos Hormigón de cáscaras y placas plegadas, no expuesto al aire libre ni en contacto con el suelo Hormigón de otros elementos, no expuesto al aire libre ni en contacto con el suelo

25

ø 16 o menores

10

Toda la armadura

db pero no menor de 20

• Los valores de la Tabla 67 suponen condiciones normales, a menos que se indique lo contrario.

4.7 RECUBRIMIENTOS MÍNIMOS PARA PAQUETES DE BARRAS El recubrimiento mínimo para los paquetes de barras debe ser igual al diámetro equivalente del paquete, pero no necesita ser mayor de 50 mm; excepto para el hormigón moldeado contra el suelo y permanentemente expuesto a él, en que el recubrimiento mínimo debe ser de 70 mm.

4.8 RECUBRIMIENTOS MÍNIMOS EN AMBIENTES CORROSIVOS En ambientes corrosivos u otras condiciones severas de exposición, se recomienda un recubrimiento mínimo de la armadura de 50 mm para muros y losas y de 60 mm para otros elementos. Para hormigón prefabricado en condiciones de control de planta, se recomienda un recubrimiento mínimo de 40 a 50 mm, respectivamente.

52

4. RECUBRIMIENTOS

4.9 RECUBRIMIENTOS MÍNIMOS DE HORMIGON COMO PROTECCIÓN CONTRA EL FUEGO Los recubrimientos mínimos de hormigón que se recomiendan como protección contra el fuego, se tabulan en la Tabla 68, según los elementos y sus dimensiones.

Tabla 68 Recubrimientos mínimos y Resistencia al fuego Resistencia al Fuego Requerida F30 Elemento

Dimensiones (cm)

Vigas

Ancho

Pilares

Ancho

Losas

Ancho/Largo

20 30 >30 ≤60 ≥15 ≤40 1/1 1/1,5 1/2

F60

F90

F120

Recubrimiento Mínimo (mm) 15 15 15 15 10 10 10

20 15 15 15 10 10 20

30 20 20 15 12 15 30

45 30 25 20 15 20 40

COMENTARIO: Cuando se especifique un espesor de recubrimiento, como protección contra el fuego, mayor que los recubrimientos mínimos señalados en las Tablas 65, 66 y/o 67, debe usarse ese espesor mayor. Además, si a un mismo elemento le correspondieren dos o más resistencias al fuego, por cumplir diversas funciones a la vez, deberá siempre satisfacer la mayor de las exigencias.

53

CAPITULO 5. ESTADOS DE SERVICIO 5.0 NOTACIÓN A

=

A's b c d dc

= = = = =

fr fs

= = =

β

n

= = = = = = = = = =

Ma

=

Mcr Yt

= =

z

= =

h Ie Icr Ig Iem Ie1, Ie2 jd

α

αm λ ξ ρ'

∆(cp + sh) ∆i,perm

= = = = = =

Area de hormigón que rodea una barra = área total efectiva del hormigón a tracción que tiene el mismo centroide que la armadura, dividida por el número de barras, (mm2) Area de la armadura en comprensión, (mm2) Ancho del borde en comprensión del elemento, (mm) Distancia desde la fibra extrema en comprensión al eje neutro, (mm) Altura útil, (mm) Espesor del recubrimiento de hormigón, medido desde la fibra extrema en tracción al centro de la barra más cercana a esa fibra, (mm) Modulo de rotura del hormigón, (MPa) Esfuerzo de la armadura calculado para las cargas de servicio, (MPa). Tensión en la armadura para la carga a la cual se determina w, aproximadamente 0,6 fy (MPa) Razón de luces libres, larga a corta, de una losa en dos direcciones. Altura total del elemento, (mm) Momento de inercia efectivo para el cálculo de las deformaciones Momento de inercia fisurado Momento de inercia total de hormigón respecto al eje centroidal. Momento de inercia efectivo en el centro de la luz Momentos de inercia efectivos en los apoyos continuos Brazo de palanca interno Luz de la viga o losa en una dirección; Luz libre del voladizo (mm) Luz libre del lado mayor de losas armadas en dos direcciones, medida cara a cara de los apoyos en losas sin vigas, y cara a cara de vigas u otro tipo de apoyos en otros casos. Momento máximo en un elemento para la etapa en que se calcula su deformación Momento de fisuración Distancia desde el eje centroidal de la sección bruta a la fibra extrema en tracción, sin tomar en consideración la armadura Cantidad que limita la distribución de la armadura por flexión. Razón entre la rigidez a la flexión de la sección de una viga y la rigidez a la flexión de una franja de la losa, limitada lateralmente por ejes de las losas adyacentes (si las hay) a cada lado de la viga. Valor promedio de α para todas las vigas en los bordes de un losa. Factor para deformaciones adicionales a largo plazo Factor que depende del tiempo para cargas sostenidas Cuantía de armadura no pretensada de compresión Deformación por creep y fluencia lenta Deformación inicial causada por cargas permanentes

55

5. ESTADOS DE SERVICIO

5.1 FISURACIÓN 5.1.1 Ecuación de Gergely - Lutz La ecuación de Gergely – Lutz representa el ancho de grieta w, expresada en centésimos de milímetro

ECUACIÓN DE GERGELY – LUTZ PARA DETERMINAR EL ANCHO DE GRIETAS w = 1,1 β fs

3

-5

dc A x 10

(5-1)

Donde: β

= (h – c) / (d – c)

fs

= M servicio/As jd; aproximadamente 0,6 fy

• El número de barras se calcula como el área de la armadura total, dividida por el área de la armadura mayor. NOTA: Las disposiciones anteriores están basadas en el código ACI 318-99 y actualmente se encuentran en revisión y estudio ante posibles cambios.

5.2 DISTRIBUCIÓN DE LA ARMADURA DE TRACCIÓN Deben establecerse reglas para la distribución de la armadura por flexión a fin de controlar el agrietamiento por flexión en vigas y losas en una dirección, así: 1.- Para armadura con fy ≥ 280 MPa, las secciones transversales de momentos máximos positivos y negativos de vigas, deben dimensionarse de modo que el valor z dado por: z = fs

3

dc A

Y que cumpla con los siguientes límites:

z≤

56

{

30 MN/m para exposición interior 25 MN/m exposición exterior

(5-2)

5. ESTADOS DE SERVICIO

2.- Para losas armadas en una dirección, los límites serán: z≤

{

27 MN/m para exposición interior 22 MN/m exposición exterior

•El límite para exposición interior, corresponde a un ancho de grieta admisible de 0,4 mm: y el límite para exposición exterior corresponde a un ancho de 0,33 mm.( FIGURA 7) Ver ejemplo de cálculo 5.5 NOTA: El código ACI 318-99 no considera esta disposición, la cual corresponde a la versión del año 1995, y recomienda que el espaciamiento de la armadura más cercana a una superficie en tracción no debe ser mayor aue el dado por: s = 96.000 - 2,5 cc ≤ 75.000

fs

(5-3)

fs

Esto es válido especialmente para separación de armaduras de losas. En donde:

fs s cc

: Tensión de servicio (MPa). : Espaciamiento de la armadura a la superficie más cercana (mm). : Recubrimiento libre desde la superficie más cercana en tracción a la superficie de la armadura (mm).

57

5. ESTADOS DE SERVICIO

Figura 7 Area efectiva y colaboranción de la losa SISTEMA VIGA – LOSA

c

CASO 1:

d-c

A efect =

2yb N° barras

2y

N° barras =

dc

y

Area barra mayor

A efectiva aprox.

CASO 2:

e

< L/4

Ln

<

58

Atotal

[

L 12 6e Ln 2

<

[

8e Ln 2

2y < d-c 2

5. ESTADOS DE SERVICIO

5.3 DEFORMACIONES 5.3.1 Flechas instantáneas 1. Las alturas o espesores mínimos de la Tabla 69, son aplicables para vigas y losas no pretensadas en una dirección, no ligadas a elementos susceptibles de dañarse por grandes deformaciones, a menos que el cálculo de deformaciones indique que el espesor puede ser menor. 2. Para el cálculo de las deformaciones instantáneas, se pueden utilizar los métodos usuales para las deformaciones elásticas, tomando en consideración los efectos de la fisuración y de la armadura, en la rigidez del elemento. 3. Para el cálculo del momento de inercia efectivo, se debe ocupar la fórmula 5-4; sin embargo, este no debe ser mayor que el momento de inercia bruto Ig.

M    M

Ie =

[ [

3

cr

Ig + 1 -

a

M    M

3

cr

Icr

(5-4)

a

Donde: Mcr =

fr

I

g

Y

(5-5)

t

Para hormigón de peso normal:

fr = 0,625 f’c

(5-6)

En la figura 8, se grafican algunos ejemplos de Icr y su cálculo. 4. Para vigas continuas se deben usar los siguientes momentos de inercia efectivos: • Viga con apoyos continuos Ie = 0,70 Iem + 0,15 (Ie1 + Ie2)

(5-7)

• Viga con un apoyo continuo, y el otro simplemente apoyado Ie = 0,85 Iem + 0,15 Ie1

(5-8)

59

5. ESTADOS DE SERVICIO

Tabla 69 Altura o espesores mínimos de vigas o losas armadas en una dirección Altura Mínima, h Simplemente apoyados

Un extremo contínuo

Ambos extremos continuos

Voladizos

Elemento Elementos que no soporten o estén unidos a tabiques o a otro tipo de construcción que puedan dañarse por flechas grande Losas macizas reforzadas en una dirección

20

24

28

10

Vigas o losas con nervios en una dirección

16

18,5

21

8

i) ii)

60

La luz está en mm. Para valores de fy distintos de 420 MPa, los valores de la tabla se deben multiplicar por (0,4 + fy /700).

5. ESTADOS DE SERVICIO

Figura 8 Ejemplos de Momentos de Inercia Fisurados SECCION BRUTA

SECCION FISURADA TRANSFORMADA

MOMENTO DE INERCIA BRUTO Y FISURADO

b

b

h

d

kd

n=

nAs

As

linea neutra

SIN ACERO DE COMPRENSIÓN

b

kd

b

d‘

(n - 1) A‘s

B= b (nA ) s

bh3 Ig = 12 SIN ACERO DE COMPRENSIÓN kd = ( 2d + 1 -1) Icr = b kd3 / 3 + nAs(d-kd)2 CON ACERO DE COMPRENSIÓN

nAs

As

Linea neutra

r = (n-1)A's / (nAs) kd = [ 2dB(1+rd' / d) + (1 +r)2- (1+r)] / B

CON ACERO DE COMPRENSIÓN

b

hf

s

Ec

d

h

A‘s

E

b

Icr = b kd3 / 3 + nAs (d-kd)2 + (n – 1) As (kd - d)2 n=

E

s

E kd

c

nAs

Yt

h

d

linea neutra

bw

Yt

h bw

kd

linea neutra nAs

SIN ACERO DE COMPRENSIÓN kd = [ C(2d + hf f) + (1 + f)2 - (1 + f)] /C Icr = (b –bw) hf3 / 12 + bwkd3 / 3 + (b–bw) hf (kd – hf / 2) 2 + nAs (d – kd)2

CON ACERO DE COMPRENSIÓN kd = [ C(2d + hf f –2 rd') + (f + r + 1)2 - (f + r + 1)] /C Icr = (b –bw) hf3 / 12 + bwkd3 / 3 + (b –bw) hf (kd – hf / 2)2 + nAs (d – kd)2 + 2 CON ACERO DE COMPRENSIÓN (n – 1)A's (kd - d')

d

A‘s

b

d‘

hf

b

As

Ig = (b –bw) hf3 / 12 + bwh3 / 12 + (b –bw) hf (h – hf / 2 – Yt) 2 + bw h(Yt – h/2)2

SIN ACERO DE COMPRENSIÓN

(n - 1) A‘s

C = bw / (nAs) ; f = hf (b – bw) / (nAs) Y = [(b –bw) hf (h -h2) + bwh2] / [(b –bw) hf + bwh] 2 2

61

5. ESTADOS DE SERVICIO

5.3.2 Flechas diferidas Las flechas diferidas en el tiempo, por fluencia lenta (“creep”) y por retracción del hormigón (“shrinkage”), se consideran proporcionales a la flecha instantánea debido a cargas permanentes: ∆(cp + sh) = λ∆ i, perm

(5-9)

Donde:

λ=

ξ 1 + 50 ρ'

( 5-10)

ρ'= A's bd

(5-11)

ρ' será calculado en el centro de la luz para tramos simples y, en el punto de apoyo para voladizos. ξ se determina según el tiempo de aplicación de carga:

Tabla 70 Valores de ξ para cargas sostenidas Tiempo de aplicación de la carga 5 años y más 12 meses 6 meses 3 meses

ξ 2,0 1,4 1,2 1,0

( En el caso de losas, usar un valor de ξ = 3,0 para el largo plazo, en lugar de 2,0)

62

5. ESTADOS DE SERVICIO

5.3.3 Flechas máximas admisibles Las flechas calculadas de acuerdo a los puntos 5.2 y 5.3, no deben exceder los límites establecidos en la tabla 71.

Tabla 71 Deformación máxima admisible de cálculo Tipo de elemento

Flechas a considerar

Cubiertas planas que no sostienen ni unen elementos no estructurales, que puedan dañarse por flechas grandes

Flecha instantánea a causa de la carga viva L

Pisos que no sostienen ni unen elementos no estructurales, que puedan dañarse por flechas grandes

Flecha instantánea a causa de la carga viva L

Cubiertas o pisos que soportan o unen elementos no estructurales, que puedan dañarse por flechas grandes

La parte de la flecha total que ocurre después de la construcción de los elementos no estructurales, o sea la suma de las flechas a largo plazo como consecuencia de todas las cargas sostenidas y las flechas instantáneas que ocasiona cualquier carga viva adicional (c)

Cubiertas o pisos que sostiene o unen elementos no estructurales, que no puedan dañarse por flechas grandes

Flecha límite (a) 180 (b) 360 (c)

480 (d) 240

(a) Este límite no considera el estancamiento de aguas, el cual debe verificarse mediante cálculos de deformaciones adecuados. (b) Este límite se puede exceder si se toman medidas adecuadas para prevenir daños en elemento apoyados o unidos (c) Este límite se puede exceder si se proporciona una contraflecha, de modo que la deformación total menos la contraflecha no exceda dicho límite. (d) Las deformaciones a largo plazo, se pueden reducir en la cantidad de deformación calculada, que ocurra antes de unir los elementos no estructurales.

63

5. ESTADOS DE SERVICIO

5.4 ESPESORES MÍNIMOS PARA LOSAS 1.- Los espesores mínimos de losas sin vigas interiores, deben estar de acuerdo con la tabla 72 y no deben ser inferiores que 120 mm para losas sin ábacos1,ni que 100 mm para losas con ábacos.

Tabla 72 Espesores mínimos de losas sin vigas interiores Sin ábacos Tensión

Losas exteriores

de fluencia

fy, MPa

2

280 420

Con ábacos

Sin vigas de borde

Losas interiores

Con vigas de borde

Losas exteriores Sin vigas de borde

Losas interiores

Con vigas de borde

n

n

n

n

n

n

33

36

36

36

36

40

n

n

n

n

n

n

30

33

33

33

36

36

2.- El espesor mínimo para losas con vigas que se extienden entre los apoyos en todos los lados debe ser: Para αm igual o menor que 0,2, se aplican las dispociones del punto anterior. Para αm mayor que 0,2 pero no mayor que 2,0, el espesor no debe ser menor que: n

h=

 0,8 + f  1500 y

 

(a) (b)

36 + 5 β (αm – 0,2)

(5-12)

Pero no menor que 120 mm. Donde αm representa el promedio de los Valores de α de las vigas de los bordes de la losa.

1

Abaco: Capitel de acuerdo a dimensiones mínimas de 13.3.7 de ACI 318-99 para losas planas sin viga. 2 Para valores de tensión de fluencia de la armadura entre 280 y 420 MPa, el espesor mínimo debe obtenerse por interpolación lineal.

64

5. ESTADOS DE SERVICIO

Con E I α=

cb b

E I

(5-13)

cs s

Ecb, Ecs

= Módulos de elasticidad del hormigón de la viga y losa, respectivamente.

Ib

= Momento de inercia de la sección total de la viga.

Is

= Momento de inercia de la franja de losa entre ejes de losas continuas = L hf /12.

β

= Lado largo / Lado corto

3

(c) Para αm mayor que 2,0; el espesor no debe ser menor que:

h =

fy 1500

36 + 9β

 

n

 0,8 +

(5-14)

y no menor que 90 mm. (d) En bordes discontinuos, debe disponerse una viga de borde que tenga una relación de rigidez no menor de 0,80; o bien, aumentarse el espesor mínimo requerido por las ecuaciones 5-12 y 5-14, por lo menos a un 10% en la losa que tenga un borde discontinuo.

65

5. ESTADOS DE SERVICIO

5.5

EJEMPLO DE CÁLCULO

Para la viga de la figura, chequear la fisuración, calcular la flecha instantánea y la flecha diferida. Considerar un hormigón H – 30 con f'c = 25 MPa; un acero A63 – 42H y un factor de seguridad γf = 1,505.

q = 4 T/m

10 T

80 cm 350 cm

40 cm

Es necesario aumentar los esfuerzos en un 30%, según disposición 5.8.2 de la norma NCh 433, of 96. M = 59,5 T – m ⇒ Mu = 116,4 T – m V = 24 T ⇒ Vu = 46,96 T • Diseño a flexión 0,85 x 250 x 40 x 75/1000 = 637,5 T 116,4 = 0,2705 < µlim ⇒ A' = 0 0,9 x 637,5 x 0,75 ω = 0,3225 ⇒ A = 48,95 cm2 (4ø32[1ª C] + 2ø32[2ªC]) ⇒ Adis = 48,25 cm2

µ=

Cálculo de la distancia desde la fibra más traccionada al centro de gravedad de la armadura de tracción 32,16 x 4,6 + 19,64 x 12,6 = 7,63 cm ⇒ d = 80 – 7,63 = 72,36 cm 48,25 • Diseño al corte X=

25 x 0,4 x 0,75 x 100 = 25 T 6 Vu = Φ(Vs +Vc) = 46,96 = 0,85(Vs + 25) ⇒Vs = 30,24 T ⇒Av 9,95cm2 ⇒ 4,97cm2 / m/cara Vc =

• Chequeo de fisuración 3

z = fs x dc x A

fs = 4,2 x 0,9 x 48,95 = 2,548 T/cm2 1,505

48,25 48,25 n = Nro. Barras = = 8,04 6

66

5 ESTADOS DE SERVICIO

2 x 7,63 x 40 x 102 2 x 7,63 x 40 x 102 = = 7595,03 mm2 n 8,04 3 z = 254,8 x 4,6 x 7595,03 = 8329 ⇒ 8,33 MN / m < 25 MN /m exp. exterior OK

A=

s = 96.000 - 2,5 x 30 = 301,8 > 400 - 20 x 2 - 10 x 2 - 32 x 4 = 212 2Rec Estribo 254,8 212 = 70,7mm => La fisuración está bién. 3 (Válido solo para losas) a) Cálculo de la flecha admisible

fadm = /300 = 1,17 cm b) Cálculo de la flecha instantánea Ec = 4700 fc’ = 23.500 MPa 40 x 803 = 1.706.666 cm4 12 3 2 4 finst = 59,5 x 10 x 350 x 10 = 0,678 cm < fad 4 x 235.000 x 1.706.666 c) Cálculo del momento de inercia para la sección fisurada

Io =

fr = 0,7 x f’c = 3,5 MPa yt = h/2= 40 cm

Mcr = 35 x 1.706.666 = 1.493.332 kg /cm2 ⇒ La 1ª fisura va a aparecer cuando el T –m 40 momento solicitante supere los 14,93 E n =

s

E

c

=

200.000 = 8,51 23.500

2 b x x = n x A(d-x) 2 x = 54,88 54,88 z = 68,77 – = 50,48 3 Icr = 309.087 cm4 Ie = 742.214 cm4

Luego la flecha para el caso de la viga fisurada es de: f=

59,5 x 105 x 3,55 x 104 = 1,045 cm < fad 4 x 235.000 x 742.214

67

5 ESTADOS DE SERVICIO

d) Cálculo de la flecha diferida λ = 1,71 Sólo las cargas permanentes producen flecha diferida: f = 0,6 x fd + 0,4 fi = 0,6 x 1,71 x 1,045 + 0,4 x 1,045 = 1,49 cm > fad Luego, la deformación supera la máxima admisible, por lo tanto se debe aumentar la sección, a pesar que cumple la condición de la Tabla 69: = 44 cm. 8 e) Cálculo posible longitud de desarrollo El posible anclaje de 1 ø 32 en zona superior, considerando α = 1,3; β = 1,0; y λ = 1,0; explicadas en el capitulo 3, Tabla 7 sería: d

68

= 2.184 mm según Tabla 9

6. CALCULO DE SECCIONES

CAPITULO 6. CALCULO DE SECCIONES 6.0 NOTACIÓN Acp

= Area encerrada por el perímetro exterior de la sección transversal de hormigón, mm2

Ag

= Area total de la sección, mm2

As

= Area de armadura en tracción, mm2

A's

= Area de armadura en compresión, mm2

b

= Ancho del borde en compresión del elemento, mm

bw

= Ancho del alma

c

= Distancia desde la fibra externa en compresión al eje neutro, mm

Cc

= Esfuerzo de compresión en el centroide del bloque de compresión del hormigón

Ca

= Esfuerzo de compresión en las barras de acero a compresión

d

= Altura útil, mm

dc

= Espesor del recubrimiento de hormigón, medido desde la fibra extrema en tracción al centro de la barra más cercana a esta fibra, mm

dt

= Distancia desde la fibra extrema en compresión hasta la barra de acero más comprimida

εst εcu

= Deformación unitaria en la barra más traccionada

Mu

= Momento mayorado en la sección considerada

Mn

= Momento resistente nominal de una sección

Nu

= Carga axial mayorada normal a la sección transversal, que ocurre simultáneamente

= Deformación unitaria en la fibra extrema en compresión

con Vu; debe considerarse positiva para la compresión, negativa para la tracción.

pcp

= Perímetro exterior de la sección transversal de hormigón, mm

Pn Pu Tn Tu

= Resistencia nominal a carga axial para una excentricidad dada

Φ

ρ ρmin ρb

= Es equivalente a Nu = Momento de torsión resistente nominal = Momento de torsión mayorado en la sección = Factor de reducción de la resistencia = Cuantía de armadura en tracción = Cuantía de armadura mínima = Cuantía de armadura que produce condiciones balanceadas de deformación

69

6. CALCULO DE SECCIONES

ρs

= Razón entre el voumen de armadura en zuncho y el volumen total del nucleo (medido desde el diámetro exterior del zuncho), de un elemento armado con zuncho sujeto a compresión.

70

ρw

= As/(bwd)

Vc

= Resistencia nominal al corte proporcionada por el hormigón

Vn

= Resistencia nominal al corte

Vs

= Resistencia nominal al corte proporcionada por la armadura de corte

Vu

= Esfuerzo de corte mayorado en la sección

6. CALCULO DE SECCIONES

6.1 FLEXIÓN Se presentan a continuación las expresiones de diseño para vigas rectangulares sometidas a flexión simple, flexión compuesta y flexión esviada destacando la cuantía mínima (ρmin) y la cuantía de balance (ρb ).

6.1.1 Aspectos básicos para diseño a flexión 6.1.1.1 Condición de diseño Φ Mn ≥ Mu El factor Φ varia según el caso: Caso 1: Flexión Simple ⇒ Φ = 0,9 Caso 2: Flexión Compuesta: a) Elementos con zunchos que cumplen: A f’ ρs = 0,45x A g _ 1 x fc ⇒ Φ = 0,75 c

(

)

y

b) Otros casos

⇒ Φ = 0,7

6.1.1.2 Cuantía de armadura:

ρ = b Axs d w ρ ≤ 0,75 x ρb 6.1.1.3 Cuantía de balance:

ρb = β1 x 0,85 x f’c fy

x

600 600 +fy

donde:

β1

=

{

0,85

Para

f’c ≤ 30

MPa

0,85 - 0.008 (f’c - 30)

Para 30 < f’c ≤ 55

MPa

0,65

Para

f’c > 55

MPa

6.1.1.4 Condición de armadura mínima:

ρmin =

f’c ≥ 4 x fy

1,4 ; f’c en MPa fy

(VER FIGURA11) 71

6. CALCULO DE SECCIONES

6.1.1.5 Para armadura de vigas T y secciones con el ala traccionada:

ρmin =

f’c 1,4 ≥ 2 x fy fy

6.1.1.6 Ecuaciones Generales

Figura 9 εcu = 0,003 As’

εs’

dt’

0,85 f’c β1c

c

Ca’ Cc

d h As dc’

εs

b = bw

Mu

Nu

T =As fy

Donde: Cc = 0,85 x f’c x β1cb Ca = As’ σs’

Nu = (0,85 x f’c x β1 x c x b + A’s x σ’s – A x σs) x Φ β1 x c +A’s x σ’s x (d – d’) x Φ – Nu (d – h ) 2 2

Se definen los siguientes parámetros: Mu+Nu x (d – h/2) µ= (0,85 x f’c x b x d2)x Φ

ω=

As x fy (0,85 x f’c x b x d)

ω’=

A’s x fy (0,85 x f’c x b x d)

ν=

Νu (0,85 x f’c x b x d) x Φ

ξ= c d δ’ = d’ d

72

 

 

[

Mu = 0,85 x f’c x β1 x c x b x d –

[

6. CALCULO DE SECCIONES

6.1.2 Flexión simple Para este caso, Nu = 0 ⇒ ν= 0 y considerando Φ = 0,9 y σ = fy; además de si ε’s > εy, para la mayor parte de los casos, por lo que podemos tomar a σ’s = fy. Las ecuaciones quedan: β1 x ξ + ω’ – ω = 0

(6-1)

 

(6-2)

 

β1 x ξ 1 –

β1 x ξ + ω’ (1 – δ’) = µ 2

Si ω < ω0 = 0,75 ωb ⇒ Αs < 0,75 Αb ⇒ Α’s = 0 ⇒ β1 x ξ = ω ⇒ ω (1 − ω) = µ ⇒ ω = 1 − 1 − 2 x µ 2 ⇒ ω0 =

{

Α63−42Η: 0,4412 β1 ; Si

β1 = 0,85 ⇒ ω0 = 0,3750 ⇒ µlim = 0,3047

Α44−28Η: 0,5114 β1 ; Si

β1 = 0,85 ⇒ ω0 = 0,4347 ⇒ µlim = 0,3402

β ξ Si µ > µlim ⇒ A’s = 0 y se reemplaza: β1 ξ (1 – 1 ) = µlim 2 β ξ = ω en las ecuaciones (6-1) y (6-2) respectivamente.

1

0

6.1.3 Flexión compuesta Para este caso Nu ≠ 0 ⇒ ν ≠ 0 ; luego, las ecuaciones de diseño quedan: β1 x ξ + ω’ – ω = v

 

 

β1 x ξ 1 –

(6-3)

β1 x ξ + ω’ (1 – δ’) = µ 2

(6-4)

Si ω < ω0 = 0,75 ωb ⇒ Αs < 0,75 Αb ⇒ Α’s = 0 β1 x ξ = v + ω (v + ω)(1– v + ω) = µ ⇒ v + ω = 1– 2

1– 2 x µ

y el procedimiento es análogo al anterior.

73

6. CALCULO DE SECCIONES

6.1.4 Flexión esviada

Figura 10 Flexión esviada My

h

ex

=

ey

=

Mx

N

Mx

N My

N

b

Para el diseño de un elemento a flexión esviada, se puede recurrir a un cálculo aproximado, en el cual se transforma el caso de flexión esviada a flexocompresión, mediante las fórmulas mostradas a continuación. De lo contrario, se puede diseñar el elemento utilizando ábacos . Se debe calcular a flexocompresión, utilizando la siguiente transformación: h e βxh Si ex ≥ b ( 1º octante ) ⇒ e’x = ex + b x ey y ⇒ M’x =N x e’x h e βxh Si ex < b ( 2º octante ) ⇒ e’y = ey + b x ex y

⇒ M’y = N x e’y Donde β se obtiene de la Tabla 73 y ν se calcula según lo indicado en 6.1.1.6

Tabla 73 ν

0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,9

1,0

1,1

≥ 1,2

β

0,6

0,7

0,8

0,9

0,9

0,8

0,7

0,6

0,5

0,5

0,4

β se debe corregir según el siguiente criterio: Si ω > 0,6 ⇒ β1 = b + 0,1 Si ω ≤ 0,2 ⇒ β1 = b – 0,1 Donde ω =

74

Atotal x fy de ábacos de interacción 0,85 x f’c x b x h

6. CALCULO DE SECCIONES

Figura 11 Armaduras mínimas de flexión

As 1,2

≥ 0,25/f’c ≥ 1,4 fy fy PARA LO MENOS

≤ 0,025 bd

As 1,2/3

d

d=

12 db n/16 (SECCION 12.12.3 ACI 318-99)

PUNTO DE INFLEXION

d

n

As 1,2

≥

As 1,2/2 As min SECCION 12.11.1; 12.11.2 ACI 318-99)

CERCO

Los subindices 1y 2 indican apoyos izquierdo y derecho respectivamente

75

6. CALCULO DE SECCIONES

6.2 DIAGRAMAS DE INTERACCIÓN MOMENTO FLECTOR VERSUS CARGA AXIAL MU – PU Se han confeccionado diagramas adimensionales de diseño para pilares y muros sometidos a carga axial y momento flector combinados, o bien con cargas axiales excéntricas. Para esto se han considerado las siguientes variables : 1. 2. 3. 4.

Tipo de elemento (pilar o muro) Distribución y cuantía de armadura Resistencia cilíndrica del hormigón ( f’c ) Alturas útiles relativas (factor gamma = γ ) • La distribución y cuantía de armadura adoptadas, se eligieron según el tipo de elemento estructural. Los valores de resistencia cilíndrica f’c elegidos son: 20, 25, 30 y 35 MPa. Para ábacos de flexión biaxial, los f’c elegidos son 16, 20, 25, 30, 35 y 40 MPa. Los factores gamma ( γ ) se han seleccionado también en función del tipo de elemento, así para pilares se han adoptado valores de 0,7; 0,8 y 0,9; en tanto para muros los valores son 0,9 y 1,0. • En un mismo diagrama se presentan curvas de interacción para distintas cuantías geométricas de armadura, señalándose el punto de balance (fs = fy) y el punto en el cual toda la armadura entra en comprensión (fs = 0).

Los diagramas se han nombrado de acuerdo a la siguiente nomenclatura : Nombre [ f’c ] / [ fy ] / [ γ ]

con f’c y fy en MPa.

El primer grupo de 12 diagramas corresponde a pilares con armadura en sus dos caras extremas (nombre = E). El segundo grupo de 12 diagramas corresponde a pilares con armadura distribuida uniformemente en sus cuatro caras laterales (nombre = P). El tercer grupo de 12 diagramas corresponde a pilares con armadura en sus caras laterales (nombre = L). A continuación se presentan los diagramas para muros. Un grupo de 8 diagramas para muros con armadura lateral uniformemente distribuida, para cuantías altas (nombre = M) y cuantías bajas (nombre = CR). Otro grupo de 8 diagramas para muros con armadura uniformemente distribuida en la parte central y armadura concentrada con cuantía variable en sus extremos (nombre = AC).

76

6. CALCULO DE SECCIONES

6.3 ESFUERZO DE CORTE VU Se presentan a continuación las expresiones para el diseño al esfuerzo de corte, evaluando la contribución del hormigón Vc y del acero Vs. Se distinguen además tres condiciones: Sin solicitación axial, con comprensión axial, y con tracción axial. Se indica la armadura mínima al corte y las limitaciones del espaciamiento de los estribos.

6.3.1.- Condiciones de diseño. Φ Vn ≥ Vu

,

con Φ = 0,85

Vn = Vc + Vs

6.3.2

(6-5)

Resistencia nominal al corte proporcionada por el hormigón

6.3.2.1 Cuando existe corte y flexión:

Vc

=

f’c bw d 6

(6-6)

o mediante un método mas detallado:

Vc =

donde:

f’c +

120 ρwVu d Mu

x

bwd 7

(6-7)

ϕω = As bωd

77

6. CALCULO DE SECCIONES

6.3.2.2 Cuando existe compresión axial.

1+ N  14 A u

g

 

Vc =

f’c bw d 6

(6-8)

Nu en MPa A g

6.3.2.3 Cuando existe una tracción axial significativa. La armadura por corte debe diseñarse para que resista el corte total, o bien considerar que:

1 + N  3,5A u

g

 

Vc =

f’c bw d 6

(6-9)

si es que este resultado es positivo, considerando que Nu es negativa en tracción y

N

u

Ag

6.3.3 Armadura por corte 6.3.3.1 Resistencia Nominal al corte proporcionada por la armadura

Vs =

Av fy d s

Av

=

Sección del total de ramas

s

=

espaciamiento entre estribos

Vs =

Vu φ

78

- Vc

(6-10)

(6-11)

en MPa.

6. CALCULO DE SECCIONES

6.3.3.2 Armadura mínima bw x s

Avmin =

(6-12)

3 x fy

6.3.3.3 Limitaciones del espaciamiento de los estribos a)

Si Vn - Vc >

f’c x bw x d x smax d => ≤ 600 mm 3 4

(6-13)

b)

Si Vn - Vc ≤

f’c x bw x d x smax d => ≤ 600 mm 3 2

(6-14)

c)

Si Vn - Vc >

2 x f’c x bw x d x smax => Aumentar sección 3

(6-15)

6.4 TORSIÓN TU EN ELEMENTOS NO PRETENSADOS Se indica la condición para la cual no se realiza diseño a la torsión. Se considera la interacción entre las solicitaciones de torsión y de corte, para secciones sólidas y secciones huecas. Se entregan las expresiones para el cálculo de la resistencia nominal a la torsión Tn y se dan las limitaciones de espaciamiento de la armadura de torsión. Además se dan las expresiones para el cálculo de armadura longitudinal adicional y de armadura de corte adicional en caso de corte y torsión combinados.

6.4.1 Condiciones de diseño. φ Tn

≥

Tu

6.4.1.1 Si en la sección crítica, a una distancia d de la cara del apoyo, el esfuerzo de torsión Tu cumple con la siguiente condición, entonces no se considera torsión.

A Ρ

2

cp

cp

 

f’c 12

Tu ≤ φ

Acp

=

Area de la sección

Ρcp

=

Perímetro de la sección

(6-16)

79

6. CALCULO DE SECCIONES

6.4.1.2 Para torsión de compatibilidad se debe tomar Tu como el menor valor entre el T u aplicado y

3

 

Acp2 Ρcp

 

f’c

φ

(6-17)

6.4.1.3 La sección se debe dimensionar de modo que : Para secciones sólidas :

w

d

 

 b

2

+

Tu Ph

  1,7 A

2

oh

 

Vu

2

≤

φ

 

Vc

+

bw d

2

f’c

3

 

a)

(6-18)

b) Para secciones huecas :

 

w

+

 T P  1,7 A u

h

oh

2

 

u

≤

φ

 

Vc bw d

+

2 3

f’c

 

 V b d

(6-19)

(Si el espesor de la pared es menor que Aoh/Ph, el segundo término debe tomarse como: Tu 1,7 x Aoh x t Donde :

80

Aoh

=

Area encerrada por el eje de la armadura de torsión cerrada de la periferia.

t

=

espesor de la pared hueca

Ρh

=

Perímetro en la armadura de torsión cerrada de la periferia.

Vc

=

f’c x bw x d 6

6. CALCULO DE SECCIONES

6.4.2

Armadura por Torsión

6.4.2.1 La armadura transversal por torsión debe diseñarse usando: At = s

Tn 2 x Ao x fyv x cot θ

Donde: Ao

=

Area bruta encerrada por el eje del flujo de corte.

At

=

Sección de una rama de armadura cerrada.

fyv

=

Tensión de fluencia de la armadura de torsión ≤ 420 MPa

θ

=

Angulo de las bielas diagonales comprimidas de hormigón.

Para efectos prácticos usar: Ao

•

= 0,85 Aoh

y θ = 45°

Además, donde se requiera armadura por torsión según criterio indicado en 6.4.1.1, el área mínima de estribos cerrados, debe calcularse según: (Av + 2 x At) =

0,35 x bw x s fyv

•

El espaciamiento máximo de la armadura vertical por torsión es el mínimo entre Ph/8 y 300 mm

•

Extender los estribos una distancia bt + d, más allá del punto donde teóricamente no son necesarios; bt = ancho de la sección que contiene los estribos cerrados de torsión

6.4.2.2 La armadura longitudinal adicional debe calcularse como: AL =

Av x Ρh x fyv x cot2 θ s x fyl

y esta no debe ser inferior a: A Lmin =

5 x f’c x Acp 12 x fyl

-

At s

x Ph x

fyv fyl

Donde:

81

6. CALCULO DE SECCIONES

fyl =

Tensión de fluencia de la armadura longitudinal. At

≥ 0,175 x

s

bw fyv

• Las barras de la armadura transversal deben tener un diámetro al menos de s/24, pero no menor que ø10 mm, y debe haber al menos una barra en cada esquina del estribo. • fyv y fyL no debe exceder de 420 MPa. • Para torsión y corte combinado agregar armadura de corte de modo que: Av s

=

Vs fy x d

Donde: Vs = Vn - Vc V con Vn > u Φ Vc = f’c x bw x d 6

82

6. CALCULO DE SECCIONES

6.5 EJEMPLOS DE CALCULO Ejemplo 6.5.1 Diseñar a flexión la sección de la figura. Considerar H-30 (90%) con f’c=25 MPa, acero A63-42H, 35% de cargas vivas y 65% de cargas muertas.

55

60

30

1. MS = 20 T-m. 1,505 x 20

µ=

= 0,1734 < 0,3047 => A’=0 0,9 x 350,6 x 0,55 No se necesita armadura a compresión ω =1−

Α=

1-2 x µ = 0,1918

ω x 0,85 x f’c x b x d

2

2

= 16,01 cm => 2ø32 (16,08 cm )

fy 2. MS = 40 T-m

µ = 0,3468 > 0,3047 => se necesita armadura a compresión µlim + ω’ x σ s’ x (1 − δ’) = µ fy 2 0,3468 − 0,3047 ω’ = = 0,0463 => A’= 3,86 cm (2ø16) 1- 0,0909 2

a

a

ω = 0,3750 + ω’ = 0,4213 =>A = 35,17 cm (3ø32[1 C] + 2ø28[2 C]) 30

1mm 2ø16 60

2ø28

2 cm 3ø32

83

6. CALCULO DE SECCIONES

Como la armadura esta colocada en dos capas, es necesario hacer una corrección de la altura útil, y con esto de la armadura colocada: dreal = 60 - (24,13 x 4,6 + 12,32 x 12,6) = 52,7 36,45 Entonces la armadura requerida realmente es: dreal = 55 x Acolocado= 55 x 35,17 = 36,7 cm2 52,7 52,7 Pero Acolocado = 36,45 cm2 ⇒ ∆ = -0,7 % => Aceptable. Chequeamos la armadura:

ρ =

36,45 = 0,022 < 0,03 => Cuantía aceptable 30 x 55

Ejemplo 6.5.2 Diseñar la sección de la figura anterior, utilizando las ecuaciones para el diseño de flexión compuesta. Pu = 40T Mu = 36 T-m Φ = 0,7 µ = 36 + 40 x (0,55 - 0,30) = 0,3408 > 0,3047 0,7 x 350,6 x 0,55 0,3408 - 0,3047 = 0,0397 =>A’ = 3,31 cm2 (2ø16) ω’= 1 - 0,0909 40 υ = = 0,1629 0,7 x 350,6

ωο + ω’ - ω = υ 0,3750 + 0,0397 - ω = 0,1629 2 ω = 0,2518 =>A = 21,02 cm (2ø32 + 1ø25) 2 Atotal = 24,33 cm

84

6. CALCULO DE SECCIONES

Ejemplo 6.5.3 Diseñar la sección de la figura anterior, utilizando los ábacos de flexión compuesta. Nu = 40T Mu = 36 T-m Se utiliza el ábaco A = A’ para γ = 0,8 y calculando los adimensionales respectivos: Pu = 0,0888 f’c x Ag Pu x e = 0,1333 f’c x Ag x h y entrando con estos adimensionales en el ábaco 16, tenemos ρ = 0,018 Luego: 0,018 x 30 x 60 2 2 A = A’ = = 16,2cm (2ø32) => ATotal = 32,4cm 2 Si se comparan los diseños obtenidos en los ejemplos 6.5.2 y 6.5.3, se puede observar que para el ejemplo 6.5.2 se obtuvo una armadura de 24,33 cm2; mientras que en el ejemplo 6.5.3 se obtuvo un armadura de 32,4 cm2, por lo cual, el diseño con ecuaciones resulta mucho más eficiente. Ejemplo 6.5.4 Diseñar la sección de la figura anterior, utilizando los ábacos A =A’, γ = 0,8 (ábaco 16). Nu = 250 T Mu = 50 T-m f’c x Ag = 450 T Nu = 0,5555 f’c x Ag Nu x e = 0,1852 f’c x Ag x h Del ábaco se obtiene: 2 a a 2 ρ = 0,037 => A = A’ = 33,3 cm (3ø32[1 C]+2ø25[2 C]) = 33,95 cm Chequeamos si cabe la armadura: 30 cm - 4 cm - 2 cm - 3 x 3,2 = 14,4 cm => s = 7,2 cm OK Como la armadura esta colocada en 2 capas, es necesario corregir el factor γ 24,13 x 4,6 + 9,82 x 12,6 = 33,95 x x =>x = 6,91 =>γ = h - 2 x = 0,77 real

h =>A = Acalculado x

2 0,8 = 34,778cm 0,77

Así, la armadura colocada es un 2,38% inferior a la requerida, lo cual es aceptable.

85

6. CALCULO DE SECCIONES

Ejemplo 6.5.5 Diseñar la sección de la figura anterior utilizando los ábacos para flexión esviada. Nu = 36 T Muh = 40 T-m Mub = 15 T-m N 36 υ = u= x 0,01 = 2,0 MPa Ag 0,6 x 0,3 40 µh = x 0,01 = 3,70 MPa 0,3 x 0,6 x 0,6 15 µ = x 0,01 = 2,78 MPa b

0,3 x 0,6 x 0,3 µx = 3,70 µy = 2,78 Y ocupando δ = 0,1 obtenemos

ρg = 0,045 2 =>ATotal = 0,045 x 30 x 60 = 81 cm (6ø36 + 4ø25) Chequeamos los espaciamientos: En direccion h: s = 13,1 cm OK En direccion b: s = 8,4 cm OK

86

6. CALCULO DE SECCIONES

Ejemplo 6.5.6 Utilizar el método ruso para el ejemplo anterior. Φ

= 0,7

Nu

=

36

= 0,1467 ø x (0,85 x f’c x b x d) 0,7 x (0,85 x 2500 x 0,3 x 0,55) β = 0,7467 Mx 40 = = 1,1111 ex = Nu 36 My 15 = = 0,4167 ey = 36 Nu h ex = 2,666 > = 2 ey b 0,7467 x 0,6 e’x = ex + β’ x h x ey x 0,4167 = 1,733 => = 1,1111 + b 0,3 υ

=

Mux = Nu x e’x = 62,4 T-m µ = 0,5289 υ = 0,1467 ω’ = 0,2466 ω = 0,4749 =>ω < 0,6 ^ ω > 0,2 =>β no tiene correcciones Así, utilizando ábaco 16, para A=A’, γ = 0,8 y calculando los adimensionales para entrar al gráfico: Pu f’c x Ag

=

36 2500 x 0,3 x 0,6

= 0,08

Pu x e

36 x 1,733 = = 0,2311 f’c x Ag x h 2500 x 0,6 x 0,3 x 0,6 =>ρ = 0,0,4 =>ATotal = 72 cm2 => A = A’ = (3φ36 + 2φ22) Y utilizando el gráfico de armadura distribuida =>ρ = 0,05 2 => ATotal = 90 cm (12φ32)

Como se puede apreciar, con este método da más armaduras que cuando se utilizan las rosetas para el cálculo de flexión esviada.

87

6. CALCULO DE SECCIONES

Ejemplo 6.5.7 Diseñar el muro de la figura, utilizando ábacos para γ =0,9 Vu = 120 T Mu = 2250T - m Nu = 700 T e = 0,6428

30

500

Calculando los adimensionales para el uso de los ábacos: Pu f’c x Ag Pu x e f’c x Ag x

= 0,1866 = 0,12

Usando ábacos Pu- Mu con armadura en los bordes extremos, tenemos: 2

ρ = 0,011 =>A = A’= 82,5 cm

Usando ábacos para muros, (ábaco 47), considerando ρω = 0,0025 tenemos: 2

ρ = 0,05 =>A = A’= 0,05 x 25 x 30 = 37,5 cm

Donde A y A’ son las armaduras en las puntas de muros, y la armaduara vertical esta dada por:

ρw =

Asw h x Lw

=>Asw = 33,75 cm2 => DMV φ 8a13

Estudio Teórico • Considerando fs = fy Mue = 2250 + 700 x 2,35 = 3.895 T - m d = 485 cm 0,1 x f’c x Ag = 375 T =>Φ = 0,7 0,85 x f’c x b x d = 3.091,9 T 3.895 = 0,3712 > 0,3047 0,7 x 3.091,9 x 4,85 700 υ= = 0,3234 3.091,9 x 0,7

µ=

ω’ =

0,3712 - 0,3047

1- 0,0309 0,3750 + 0,06862 - ω = 0,3234 2 ω = 0,1202 =>A = 88,5 cm

88

2

= 0,06862 =>A’ = 50,52 cm

CAPITULO 7. DISEÑO SÍSMICO DE HORMIGÓN ARMADO 7.0 NOTACION Ac

=

Area del núcleo de un elemento sujeto a compresión reforzado con zuncho, medida hasta el diámetro exterior del zuncho, mm2.

Ach

=

Area de la sección transversal de un elemento estructural, medida entre los bordes exteriores de la armadura transversal, mm2.

Ag

=

Area total de la sección, mm2.

Ash

=

Area total de la armadura transversal (incluyendo trabas) dentro del espaciamiento s y perpendicular a la dimensión hc, mm2

As

=

Area total de armadura, mm2.

b

=

Ancho efectivo del ala comprimida de un elemento estructural., mm.

bw

=

Ancho del alma ó diámetro de la sección circular, mm

d

=

Altura útil de la sección.

db

=

Diámetro de la barra mm.

f’c

=

Resistencia especificada a la compresión del hormigón, MPa.

fyh

=

Tensión de fluencia especificada de la armadura transversal, MPa.

fy

=

Tensión de fluencia especificada de la armadura no pretensada, MPa.

hc

=

Dimensión transversal del núcleo de la columna, medida centro a centro de la armadura de confinamiento.

Mpr

=

Momento de flexión resistente probable de los elementos, con o sin carga axial, determinado usando las propiedades de los elementos en las caras de los nudos, suponiendo una resistencia a la tracción de las barras longitudinales de al menos 1,25 fy y un factor de reducción de la resistencia φ de 1,0.

s

=

Espaciamiento de la armadura transversal medido a lo largo del eje longitudinal del elemento estructural, mm.

Vc

=

Resistencia nominal al corte proporcionada por el hormigón.

Ve

=

Esfuerzo de corte de diseño, el cual se debe determinar a partir de las fuerzas estáticas en la parte del elemento comprendida entre las caras del nudo

ρ

=

Cuantía de armadura de tracción no pretensada.

ρmin

=

Cuantía de armadura mínima

ρs

=

Razón entre el volumen del zuncho y el volumen del núcleo confinado por el zuncho (medido entre bordes exteriores del zuncho)

φ

=

Factor de reducción de la resistencia.

89

7. DISEÑO SÍSMICO DE HORMIGÓN ARMADO

7.1 MATERIALES 7.1.1 Hormigón El ACI 318 recomienda tomar como límite inferior para la resistencia del hormigón un valor de f’c = 20 MPa. Esto equivale a un hormigón H-25. Sin embargo, la Comisión de Estructuras de la Cámara Chilena de la Construcción ha recomendado utilizar como mínimo un hormigón H-20 ( f’c = 16 MPa); mientras tanto se desarrollan experiencias para clarificar este punto.

7.1.2 Acero El grado máximo de acero a usar es el A63-42H, con un límite de fluencia máximo de 550 MPa y una tensión de rotura mínima de 560 MPa. La tensión de rotura, debe ser a lo menos 1,25 veces el valor límite de fluencia.

7.2 ELEMENTOS SOMETIDOS A FLEXIÓN Estos elementos se definen por las siguientes condiciones: • Tener una carga axial no mayor que (Ag f’c / 10). • Una razón luz libre / altura útil, no menor de 4. • Una razón ancho/altura, a lo menos de 0,3. • Ancho del alma no inferior a 250 mm., ni mayor que el ancho de apoyo más 3/4 de la altura del elemento, a ambos lados.

7.2.1 Armadura transversal • Los estribos deben terminar en un gancho de 135º con una extensión no menor que seis diámetros ni que 75 mm. (FIGURAS 12 y 13) • En la zona adyacente a las caras de las columnas y en una longitud 2 veces la altura útil de la viga, los estribos deben ser cerrados. Los mismos deben aplicarse en ambos lados de las puntas donde sea esperable una rótula plástica (es decir, 2d a ambos lados) • El primer cerco debe colocarse a una distancia menor que 50 mm de la cara del apoyo, y la separación máxima no debe exceder 1/4 de la altura útil, 8 veces el diámetro de la menor barra longitudinal, 24 veces el diámetro de la barra del cerco, ni que 300 mm. (FIGURA 14) • Cada dos barras longitudinales, y las de la esquina, deben estar amarradas por estribos o amarras. • Las amarras son barras rectas con un gancho a 135º en un extremo y uno de 90º en el otro, con extensiones de 6 veces el diámetro en ambos ganchos, que se colocan en forma alternada para amarrar barras longitudinales.

90

7. DISEÑO SÍSMICO DE HORMIGÓN ARMADO

• Donde no se requieren cercos (cerrados) se pueden utilizar estribos (abiertos) con una separación no mayor que 1/2 de la altura útil.

7.2.2 Armadura longitudinal • La cuantía mínima no debe ser menor que:

ρmin =

f’c 4 fy

≥

1,4

(7-1)

fy

• Debe estar constituida por a lo menos 2 barras, tanto arriba como abajo a lo largo de toda la longitud del elemento. • El momento resistente positivo en la cara de la columna, debe ser a lo menos 1/2 del momento resistente negativo, es decir:

Μ+n + ≥

Μ-n 2

(7-2)

• La capacidad a flexión tanto positiva como negativa a lo largo de toda la pieza, no debe ser menor que 1/4 de la máxima capacidad existente en cualquiera de los dos extremos. • La máxima cuantía de armadura longitudinal no debe sobrepasar a 0,025. • Los conectores mecánicos deben colocarse en las barras alternadas en una misma sección. En las barras adyacentes, deben estar separadas a lo menos 600 mm. • Los traslapos deben cumplir con las dos condiciones siguientes: 1- No deben usarse traslapos en los nudos ni dentro de una zona limitada por 2 veces la altura útil desde la cara de la columna, ni tampoco usarse en otras zonas posibles de plastificarse. 2- Los traslapos deben estar, en todo caso estar cruzados por cercos con un espaciamiento máximo de 1/4 de la altura útil ó de 100 mm.

91

7. DISEÑO SÍSMICO DE HORMIGÓN ARMADO

Figura 12 EJEMPLO DE ARMADURA TRANSVERSAL EN COLUMNAS

GANCHOS A 90° EXTENSION 6 db (≥ 75 mm)

X

GANCHOS A 135° EXTENSION 6 db (≥ 75 mm)

X

LAS AMARRAS CONSECUTIVAS DEBEN TENER LOS GANCHOS A 90° ALTERNADOS (EN LADOS OPUESTOS DE LA COLUMNA)

X

X X NO DEBE EXCEDER DE 350 mm

92

X

7. DISEÑO SÍSMICO DE HORMIGÓN ARMADO

Figura 13 ARMADURA TRANSVERSAL EJEMPLOS DE CERCOS TRASLAPADOS

B

A

A

C

C

LAS AMARRAS B CONSECUTIVAS DEBEN TENER LOS GANCHOS A 90° Y ALTERNADOS

6 db (≥ 75 mm) EXTENSION GANCHOS A 135°

Sc < 1/2 d

DETALLE - B 6 db

DE EXTENSION DETALLE - A

DETALLE - C

93

7. DISEÑO SÍSMICO DE HORMIGÓN ARMADO

Figura 14 SEPARACION MINIMA ENTRE ESTRIBOS

CERCO

d/4 s ≥

8 db (BARRA LONGITUDINAL) 2 db (BARRA DEL CERCO) 300 mm

50 mm

2h

94

s ≤ d/2

7. DISEÑO SÍSMICO DE HORMIGÓN ARMADO

7.3 ELEMENTOS SOMETIDOS A FLEXOCOMPRESIÓN Estos elementos de marco deben satisfacer las siguientes condiciones: • Carga axial mayor que Ag x f’c / 10. • Dimensión mínima de la sección transversal, no debe ser menor que 300 mm. • Razón entre la dimensión menor y la perpendicular al menos de 0,4. • Para asegurar el comportamiento viga débil - columna fuerte, se debe cumplir que: (7-3)

Σ Me ≥ (6/5) Σ Mg donde: Σ Me

=

suma de los momentos resistentes o nominales de las columnas que convergen en el nudo, correpondientes a la dirección de la carga lateral.

Σ Mg

=

suma de los momentos resistentes o nominales de las vigas que convergen en el nudo.

7.3.1 Armadura transversal • Colocar armadura transversal mínima de confinamiento en zonas críticas arriba y debajo de los nudos y en cualquier otra zona donde sea esperable una rótula plástica. Esta zona crítica queda definida por la profundidad de las columnas, 1/6 de la altura (luz) de la columna o 450 mm. • La armadura mínima se define en términos de la cuantía volumétrica, ρs que es la razón entre el volumen de la armadura transversal y el núcleo confinado por esta armadura. • Zunchos, espirales o cercos circulares: 0,12 f’c fyh

≥ 0,45

A A

g c

 

ρs ≥

- 1 f’c fy

(7-4)

95

7. DISEÑO SÍSMICO DE HORMIGÓN ARMADO

• Cercos rectangulares:

Ash ≥ 0,3

 sh f’   f  c

c

yh

Ag Ach

- 1 ≥ 0,09

shc f’c fyh

(7-5)

• En las zonas críticas, s no debe ser mayor que 1/4 de la dimensión transversal del elemento, ni menor que 100 mm. Las ramas de la armadura transversal no deben estar separadas por más de 350 mm. • Para las zonas fuera de la crítica, el espaciamiento s no debe exceder 6 veces el diámetro de la armadura longitudinal, ni 150 mm. • En el caso de columnas que soportan elementos rígidos (por ejemplo, un muro), se debe colocar la armadura transversal mínima del confinamiento a lo alto de toda la columna y penetrar tanto en el elemento rígido, arriba, como en la fundación, abajo, a lo menos 300 mm. • En el caso en que en un nudo no se cumpla con (7-3), las columnas deben tener la armadura mínima de confinamiento en las zonas críticas; pero no deben ser considerados como elementos que aporten resistencia lateral a la estructura. (FIGURA 15)

7.3.2 Armadura longitudinal • La razón entre el área total de armadura y la sección transversal de la columna, debe ser mayor que 0,01 y menor que 0,06, es decir: 0,01 ≤ ρg ≤ 0,06 • Los traslapos sólo pueden colocarse a media altura de la columna y deben dimensionarse como traslapes en tracción.

96

7. DISEÑO SÍSMICO DE HORMIGÓN ARMADO

Figura 15 ARMADURA DE CONFINAMIENTO Pe (a) ZUNCHO DE CONFINAMIENTO ALTURA h

a ≥

1/6 (LUZ LIBRE) 450 mm

a

h

Ps

≥

0,12 f’s fyh 0,45 ( Ag - 1) f’c Ach fyh

h

(b) ARMADURA DE CONFINAMIENTO AshCON CERCOS RECTANGULARES ALTURA h

s

≥

a

1/6 (LUZ LIBRE) 450 mm

s

≥

1/4 DIMENSION MENOR DEL ELEMENTO 100 mm

h

Ash ≥ h

0,09 Shc f’s f yh

0,3 Shc ( Ag - 1) f’c Ach fyh

97

7. DISEÑO SÍSMICO DE HORMIGÓN ARMADO

7.4 ESFUERZO DE CORTE 7.4.1 Vigas • Donde la carga axial es menor que Ag f’c/10, el esfuerzo de corte de diseño (demanda), se especifica como:

Ve =

Mpr1 + Mpr2 L

± w 2

(7-6)

Con: w = 0,75 (1,4 wd + 1,7 w1) L

(7-7)

Donde:

d - 2a 

 

Mpr =1,25 As fy

(7-8)

Se puede usar d - a ≅ 0,9d 2 Donde: Mpr

= Momento resistente probable en ambos extremos del elemento.

L

= Luz libre entre caras de los apoyos.

w

= Carga gravitacional de diseño.

wd

= Cargas muertas de diseño.

w1

= Cargas vivas de diseño.

w 2

= Reacción en ambos extremos provenientes de las cargas gravitacionales.

• Ve debe evaluarse para ambas direcciones del sismo. • La armadura transversal en la zona critica definida como la longitud de dos alturas útiles desde los apoyos, debe determinarse considerando Vc, cuando Mpr1 + Mpr2 sea la mitad o más de Ve y la carga axial sea inferior a Ag f’c/20. L

98

7. DISEÑO SÍSMICO DE HORMIGÓN ARMADO

7.4.2 Columnas • Cuando la carga axial sea mayor que Ag f’c /10, entonces : Ve =

Mpr1 + Mpr2 H

Donde, M pr1 y M pr2 son las capacidades a flexión de la columna arriba y abajo respectivamente, calculadas con 1,25 fy, y H es la distancia libre entre vigas. • Ve no debe ser menor en todo caso que el determinado a partir del análisis estructural. • En la zona crítica, definida como la mayor entre la profundidad de la columna, 1/6 de la altura libre y 450 mm, se debe dimensionar la armadura transversal suponiendo Vc = 0 cuando el corte incluido por el sismo, sea la mitad o más que el corte total requerido en dicha zona, y la carga axial mayorada sea menor que Ag f’c /20. (FIGURA 16)

99

7. DISEÑO SÍSMICO DE HORMIGÓN ARMADO

Figura 16 ESFUERZOS DE CORTE DE DISEÑO DE VIGAS PRINCIPALES Y COLUMNAS Ve =

PARA VIGAS

Mpr1 + Mpr2 w ± L 2

CARGAS GRAVITACIONALES DE DISEÑO W

Mpr2

M

pr1

Ve

Ve

L

Ve = Mpr1 + Mpr2 H

PARA COLUMNAS

P

P

Ve

Mpr1 H

100

Mpr2

7. DISEÑO SÍSMICO DE HORMIGÓN ARMADO

7.5 EJEMPLOS DE CALCULO Ejemplo 7.5.1 Diseño Dintel

6 φ 32 + 2 φ 32 64 cm2 52

4 φ 32 + 2 φ 28 44,3 cm2 70 Datos: Acero: A63-42H Hormigon: H-40 f’c= 35 MPa Luz libre:3,14 m Luz Calculo: 3,40 m Dintel 70/52

DL LL SISMO

MOMENTO T-m

CORTE T

7,74 3,83 53,62

9,99 4,85 30,47

1,4(DL+LL+S) => M(-) = 91,27 T-m => µ = 0,2405 -0,9DL + 1,4S => M(+) = 68,10 T-m => µ = 0,1902

2

=> A = 62,37 cm 2 => 6φ32[1aC]+2φ32[2aC] = 64 cm 2 => A = 42,43 cm 2 => 4φ32+2φ28 = 44,3 cm

Usando d = 45 cm => 0,85 f’c b d = 937 T Usando 1,4(DL+LL) => Vu = 63,43 T => Vc = 31,00 T Considerando disposicion 21.3.4.2 del ACI y sabiendo que φ = 0,6 para corte sísmico: Vu φ =>

= 105,7T < 4Vc = 124,00T =>Vc = 0

2 fest = 9,79 cm /m =>Estribos triples φ 12 a12 m

101

7. DISEÑO SÍSMICO DE HORMIGÓN ARMADO

Diseño por Capacidad: 2

A(-) = 64 cm => Mpr1 = 64 x 4,2 x 1,25 x 0,45 x 0,9 = 136,10 T 2

A(+) = 44,3 cm => Mpr1 = 44,3 x 4,2 x 1,25 x 0,45 x 0,9 = 94,19 T =>Ve = 136,1 + 94,19 + 9,99 + 4,85 = 82,57 T 3,4 f Usando φ = 0,85 y Vc = 0 => est = 8,99 cm2 / m => ET φ 12a12 m Si, para este mismo caso, consideramos mayor armadura que la requerida: 2

A’ = 6φ36[1aC]+2φ36[2aC] = 80 cm 2

A= 6φ36 = 80 cm Mpr1 = 170,1 T Mpr2 = 127,6 T

=>Ve = 102,39T =>

fest m

= 11,48 cm2 / m => ET φ12a10

Entonces, en el diseño por capacidad, al aumentar la armadura a flexión, también aumenta la armadura de corte.

Ejemplo 7.5.2 Unión Viga Pilar

50 102

80

50

100

7. DISEÑO SÍSMICO DE HORMIGÓN ARMADO

2

Pilar: 80/100 => 6φ32+6φ25 = 77,46 cm => ρ aprox. 0,01 Viga: 50/52 =>

2

A’= 4φ36 = 40 cm A = 4φ25+2φ25[2aC]

Para el pilar tenemos los siguientes esfuerzos: CORTE T 570 169 35,4

DL LL SISMO

=> Numax = 1084,2 T => => Numin = 477,6 T =>

Pu f’c x Ag Pu f’c x Ag

MOMENTO T-m 23,96 9,10 22,9

= 0,4840

= 0,2132

Con estos adimensionales, y ocupando el diagrama de interaccion Pu-Mu, Número 23, obtenemos que: Mmin/pilar = 0,088 x f’c x Ag x h = 246,4 T - m Por otra parte, el Mu producido por la viga, esta dado por la ecuacion (7-8) del presente capitulo:

 

 

Mu =1,25 x As x fy x d - a 2

= 1,25 x 40 x 10-4 x 1,25 x 0,47 x 0,9 = 88,83 T - m

} 0,9 x d

Considerando disposición 21.4.4.2 del ACI:

Factor

Me Mg

=

2 x 246,4 2 x 88,83

= 2,77 >

6 5

y 2,5

Factor 2,5 es lo recomendado por T. Paulay

103

7. DISEÑO SÍSMICO DE HORMIGÓN ARMADO

Verificación de Corte en el Nudo: Según disposicion 21.5.3 del ACI 318 Aj = Ancho = 100 cm Alto = 15 + 50 = 65 cm => Aj = 6.500 cm

2

A’ A

1,7 x

f’c x Aj = 653,7 T

FA’ = 40 x 4,2 x 1,25 = 210 T FA = 29,6 x 4,2 x 1,25 = 154,7 T => FA’ +FA = 364,67 T < 0,85 x 653,7 T = 555,04 T => OK

Longitud de anclaje: Según 21.5.4 ACI 318 Para barras φ 36 , fy = 420 MPa, f’c = 35 MPa =>

dh

= 473 mm para gancho 90°

d=

104

1.183 mm ó 1.656 mm recto.

Capitulo Nº 8 8.1.- DIAGRAMAS DE INTERACCION Pu - Mu

107

8.1 DIAGRAMAS DE INTERACCION NOTACION: Nombre/ f'c / fy / γ 1234567891011121314151617181920212223242526272829303132333435363738-

Armadura bordes extremos 20 / 420 /0,7 Armadura Perimetral 20 / 420 / 0,7 Armadura Lateral 20 /420 / 0,7 Armadura bordes extremos 25 / 420 / 0,7 Armadura Perimetral 25 / 420 / 0,7 Armadura Lateral 25 / 420 / 0,7 Armadura bordes extremos 30 /420 / 0,7 Armadura Perimetral 30 / 420 / 0,7 Armadura Lateral 30 / 420 / 0,7 Armadura bordes extremos 35 /420 / 0,7 Armadura Perimetral 35 / 420 / 0,7 Armadura Lateral 35 / 420 / 0,7 Armadura bordes extremos 20 / 420 / 0,8 Armadura Perimetral 20 / 420 / 0,8 Armadura Lateral 20 / 420 / 0,8 Armadura bordes extremos 25 / 420 / 0,8 Armadura Perimetral 25 /420 / 0,8 Armadura Lateral 25 / 420 / 0,8 Armadura bordes extremos 30 / 420 / 0,8 Armadura Perimetral 30 / 420 / 0,8 Armadura Lateral 30 / 420 / 0,8 Armadura bordes extremos 35 / 420 / 0,8 Armadura Perimetral 35 /420 / 0,8 Armadura Lateral 35 / 420 / 0,8 Armadura bordes extremos 20 / 420 / 0,9 Armadura Perimetral 20 / 420 / 0,9 Armadura Lateral 20 / 420 / 0,9 Armadura bordes extremos 25 / 420 / 0,9 Armadura Perimetral 25 / 420 / 0,9 Armadura Lateral 25 / 420 / 0,9 Armadura bordes extremos 30 / 420 / 0,9 Armadura Perimetral 30 / 420 / 0,9 Diagrama Armadura Lateral 30 / 420 / 0,9 Armadura bordes extremos 35 / 420 / 0,9 Armadura Perimetral 35 / 420 / 0,9 Armadura Lateral 35 / 420 / 0,9 Muros Armadura uniformemente distribuida, ρg:0,0025 a 0,02; ∆ρ=0,0025, 20 / 420 / 1,0 Muros Armadura uniformemente distribuida: ρg :0,0025 a 0,02; ∆ρ = 0,0025, 25 / 420 / 1,0

109

3940414243444546474849505152-

110

Muros Armadura uniformemente distribuida, ρg:0,0025 a 0,02; ∆ρ=0,0025, 30 / 420 / 1,0 Muros Armadura uniformemente distribuida, ρg:0,0025 a 0,02; ∆ρ=0,0025, 35 / 420 / 1,0 Muros Armadura uniformemente distribuida, ρg:0,01 a 0,08; ∆ρ=0,01, 20 / 420 / 1,0 Muros Armadura uniformemente distribuida, ρg:0,01 a 0,08; ∆ρ=0,01, 25 / 420 / 1,0 Muros Armadura uniformemente distribuida, ρg:0,01 a 0,08; ∆ρ=0,01, 30 / 420 / 1,0 Muros Armadura uniformemente distribuida, ρg:0,01 a 0,08; ∆ρ=0,01, 35 / 420 / 1,0 Muros Armadura Concentrada en extremos, ρω=0,0025; 20 / 420 / 0,9 Muros Armadura Concentrada en extremos, ρω=0,0050; 20 / 420 / 0,9 Muros Armadura Concentrada en extremos, ρω=0,0025; 25 / 420 / 0,9 Muros Armadura Concentrada en extremos, ρω=0,0050; 25 / 420 / 0,9 Muros Armadura Concentrada en extremos, ρω=0,0025; 30 / 420 / 0,9 Muros Armadura Concentrada en extremos, ρω=0,0050; 30 / 420 / 0,9 Muros Armadura Concentrada en extremos, ρω=0,0025; 35 / 420 / 0,9 Muros Armadura Concentrada en extremos, ρω=0,0050; 35 / 420 / 0,9

Pu / (f'c * Ag)

111

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

1,2

1,4

1,6

0

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

0.06

0.07

ργ = 0.08

0,1

e/h = 0.1

0,2

0,3 Pu / (f'c * Ag) * e/h

fs = 0

0.2

1- Diagrama de Interacción Pu - Mu Armadura bordes extremos

0.3

0,4

0.4

0.5

fs = fy

1.0

0,5

e

f'c = 20 MPa fy = 420 MPa γ = 0.7

2.0

b

γh

h

Pn

0,6

Pu / (f'c * Ag)

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

1,2

1,4

1,6

112

0

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

0.06

0.07

ργ = 0.08

0,1

e/h = 0.1

0,2

fs = 0

0,3 Pu / (f'c * Ag) * e/h

0.2

fs = fy

0.3

2- Diagrama de Interacción Pu - Mu Armadura perimetral

0,4

0.4

0.5

0,5

b

h

1.0

e

2.0

f'c = 20 MPa fy = 420 MPa γ = 0.7

γh

Pn

0,6

Pu / (f'c * Ag)

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

1,2

1,4

1,6

113

0

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

0.06

0.07

ργ = 0.08

0,1

fs = 0

e/h = 0.1

0,2

fs = fy

0,3 Pu / (f'c * Ag) * e/h

0.2

0.3

3- Diagrama de Interacción Pu - Mu Armadura lateral

0,4

0.4

0.5

2.0

1.0

0,5

b

h

f'c = 20 MPa fy = 420 MPa γ = 0.7

γh

e

Pn

0,6

Pu / (f'c * Ag)

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

1,2

1,4

1,6

114

0

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

0.06

0.07

ργ = 0.08

0,1

e/h = 0.1

0,2

fs = 0

0,3 Pu / (f'c * Ag) * e/h

0.2

4- Diagrama de Interacción Pu - Mu Armadura bordes extremos

0.3

0,4

fs = fy

0.4

0.5

0,5

2.0

f'c = 25 MPa fy = 420 MPa γ = 0.7

1.0

b

h γh

e

Pn

0,6

Pu / (f'c * Ag)

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

1,2

1,4

1,6

115

0

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

0.06

0.07

ργ = 0.08

0,1

fs = 0

e/h = 0.1

0,2

0,3 Pu / (f'c * Ag) * e/h

fs = fy

0.2

0.3

5- Diagrama de Interacción Pu - Mu Armadura perimetral

0,4

0.4

0.5

0,5

b

h

1.0

e

2.0

f'c = 25 MPa fy = 420 MPa γ = 0.7

γh

Pn

0,6

Pu / (f'c * Ag)

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

1,2

1,4

1,6

116

0

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

0.06

0.07

ργ = 0.08

0,1

fs = 0

e/h = 0.1

0,2

fs = fy

0,3 Pu / (f'c * Ag) * e/h

0.2

0.3

6- Diagrama de Interacción Pu - Mu Armadura lateral

0,4

0.4

0.5

2.0

1.0

0,5

b

h

f'c = 25 MPa fy = 420 MPa γ = 0.7

γh

e

Pn

0,6

Pu / (f'c * Ag)

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

1,2

1,4

1,6

117

0

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

0.06

0.07

ργ = 0.08

0,1

e/h = 0.1

0,2

fs = 0

0,3 Pu / (f'c * Ag) * e/h

0.2

fs = fy

7- Diagrama de Interacción Pu - Mu Armadura bordes extremos

0.3

0,4

0.4

0.5

0,5

2.0

f'c = 30 MPa fy = 420 MPa γ = 0.7

1.0

b

h γh

e

Pn

0,6

Pu / (f'c * Ag)

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

1,2

1,4

1,6

118

0

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

0.06

0.07

ργ = 0.08

0,1

fs = 0

e/h = 0.1

0,2

fs = fy

0,3 Pu / (f'c * Ag) * e/h

0.2

0.3

8- Diagrama de Interacción Pu - Mu Armadura perimetral

0,4

0.4

0.5

0,5

b

h

1.0

e

2.0

f'c = 30 MPa fy = 420 MPa γ = 0.7

γh

Pn

0,6

Pu / (f'c * Ag)

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

1,2

1,4

1,6

119

0

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

0.06

0.07

ργ = 0.08

0,1

fs = 0

e/h = 0.1

0,2

fs = fy

0,3 Pu / (f'c * Ag) * e/h

0.2

0.3

9- Diagrama de Interacción Pu - Mu Armadura lateral

0,4

0.4

0.5

2.0

1.0

0,5

b

h

f'c = 30 MPa fy = 420 MPa γ = 0.7

γh

e

Pn

0,6

Pu / (f'c * Ag)

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

1,2

1,4

1,6

120

0

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

0.06

0.07

ργ = 0.08

0,1

e/h = 0.1

0,2

fs = 0

0,3

fs = fy

Pu / (f'c * Ag) * e/h

0.2

10- Diagrama de Interacción Pu - Mu Armadura bordes extremos

0.3

0,4

0.4

0.5

0,5

1.0

b

2.0

f'c = 35 MPa fy = 420 MPa γ = 0.7

γh

h

e

Pn

0,6

Pu / (f'c * Ag)

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

1,2

1,4

1,6

121

0

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

0.06

0.07

ργ = 0.08

0,1

fs = 0

e/h = 0.1

0,2

fs = fy

0,3 Pu / (f'c * Ag) * e/h

0.2

0.3

11- Diagrama de Interacción Pu - Mu Armadura perimetral

0,4

0.4

0.5

0,5

b

h

1.0

e

2.0

f'c = 35 MPa fy = 420 MPa γ = 0.7

γh

Pn

0,6

Pu / (f'c * Ag)

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

1,2

1,4

1,6

122

0

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

0.06

0.07

ργ = 0.08

0,1

fs = 0

fs = fy

e/h = 0.1

0,2

0,3 Pu / (f'c * Ag) * e/h

0.2

0.3

12- Diagrama de Interacción Pu - Mu Armadura lateral

0,4

0.4

0.5

2.0

1.0

0,5

b

f'c = 35 MPa fy = 420 MPa γ = 0.7

γh

h

e

Pn

0,6

Pu / (f'c * Ag)

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

1,2

1,4

1,6

123

0

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

0.06

0.07

ργ = 0.08

0,1

e/h = 0.1

0,2

0,3 Pu / (f'c * Ag) * e/h

fs = 0

0.2

13- Diagrama de Interacción Pu - Mu Armadura bordes extremos

0.3

0,4

0.4

0.5

f'c = 20 MPa fy = 420 MPa γ = 0.8

0,5

fs = fy

1.0

b

γh

h

e

2.0

Pn

0,6

Pu / (f'c * Ag)

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

1,2

1,4

1,6

124

0

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

0.06

0.07

ργ = 0.08

0,1

e/h = 0.1

0,2

fs = 0

0,3 Pu / (f'c * Ag) * e/h

0.2

0.3

14- Diagrama de Interacción Pu - Mu Armadura perimetral

fs = fy

0,4

0.4

0.5

0,5

b

1.0

e

2.0

f'c = 20 MPa fy = 420 MPa γ = 0.8

γh

h

Pn

0,6

Pu / (f'c * Ag)

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

1,2

1,4

1,6

125

0

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

0.06

0.07

ργ = 0.08

0,1

fs = 0

e/h = 0.1

0,2

0,3 Pu / (f'c * Ag) * e/h

fs = fy

0.2

0.3

15- Diagrama de Interacción Pu - Mu Armadura lateral

0,4

0.4

0.5

2.0

1.0

0,5

b

h

f'c = 20 MPa fy = 420 MPa γ = 0.8

γh

e

Pn

0,6

Pu / (f'c * Ag)

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

1,2

1,4

1,6

126

0

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

0.06

0.07

ργ = 0.08

0,1

e/h = 0.1

0,2

fs = 0

0,3 Pu / (f'c * Ag) * e/h

0.2

16- Diagrama de Interacción Pu - Mu Armadura bordes extremos

0.3

0,4

0.4

fs = fy

0.5

0,5

2.0

f'c = 25 MPa fy = 420 MPa γ = 0.8

1.0

b

γh

h

e

Pn

0,6

Pu / (f'c * Ag)

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

1,2

1,4

1,6

127

0

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

0.06

0.07

ργ = 0.08

0,1

fs = 0

e/h = 0.1

0,2

0,3

fs = fy

Pu / (f'c * Ag) * e/h

0.2

0.3

17- Diagrama de Interacción Pu - Mu Armadura perimetral

0,4

0.4

0.5

0,5

b

h

1.0

e

2.0

f'c = 25 MPa fy = 420 MPa γ = 0.8

γh

Pn

0,6

Pu / (f'c * Ag)

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

1,2

1,4

1,6

128

0

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

0.06

0.07

ργ = 0.08

0,1

fs = 0

e/h = 0.1

0,2

fs = fy

0,3 Pu / (f'c * Ag) * e/h

0.2

0.3

18- Diagrama de Interacción Pu - Mu Armadura lateral

0,4

0.4

0.5

2.0

1.0

0,5

b

f'c = 25 MPa fy = 420 MPa γ = 0.8

γh

h

e

Pn

0,6

Pu / (f'c * Ag)

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

1,2

1,4

1,6

129

0

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

0.06

0.07

ργ = 0.08

0,1

e/h = 0.1

0,2

fs = 0

0,3 Pu / (f'c * Ag) * e/h

0.2

19- Diagrama de Interacción Pu - Mu Armadura bordes extremos

0.3

0,4

fs = fy

0.4

0.5

0,5

1.0

b

h

2.0

f'c = 30 MPa fy = 420 MPa γ = 0.8

γh

e

Pn

0,6

Pu / (f'c * Ag)

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

1,2

1,4

1,6

130

0

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

0.06

0.07

ργ = 0.08

0,1

fs = 0

e/h = 0.1

0,2

0,3 Pu / (f'c * Ag) * e/h

fs = fy

0.2

0.3

20- Diagrama de Interacción Pu - Mu Armadura perimetral

0,4

0.4

0.5

0,5

b

h

1.0

e

2.0

f'c = 30 MPa fy = 420 MPa γ = 0.8

γh

Pn

0,6

Pu / (f'c * Ag)

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

1,2

1,4

1,6

131

0

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

0.06

0.07

ργ = 0.08

0,1

fs = 0

e/h = 0.1

0,2

fs = fy

0,3 Pu / (f'c * Ag) * e/h

0.2

0.3

21- Diagrama de Interacción Pu - Mu Armadura lateral

0,4

0.4

0.5

2.0

1.0

0,5

b

h

f'c = 30 MPa fy = 420 MPa γ = 0.8

γh

e

Pn

0,6

Pu / (f'c * Ag)

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

1,2

1,4

1,6

132

0

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

0.06

0.07

ργ = 0.08

0,1

e/h = 0.1

0,2

fs = 0

0,3 Pu / (f'c * Ag) * e/h

0.2

fs = fy

22- Diagrama de Interacción Pu - Mu Armadura bordes extremos

0.3

0,4

0.4

0.5

0,5

1.0

b

h

2.0

f'c = 35 MPa fy = 420 MPa γ = 0.8

γh

e

Pn

0,6

Pu/ (f'c * Ag)

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

1,2

1,4

1,6

133

0

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

0.06

0.07

ργ = 0.08

0,1

fs = 0

e/h = 0.1

0,2

fs = fy

0,3 Pu/ (f'c * Ag) * e/h

0.2

0.

23- Diagrama de Interacción Pu - Mu Armadura perimetral

0,4

0.4

0.5

0,5

b

h

e

1.0

2.

f'c = 35 MPa fy = 420 MPa γ = 0.8

γh

Pn

0,6

Pu / (f'c * Ag)

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

1,2

1,4

1,6

134

0

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

0.06

0.07

ργ = 0.08

0,1

fs = 0

e/h = 0.1

0,2

fs = fy

0,3 Pu / (f'c * Ag) * e/h

0.2

0.3

24- Diagrama de Interacción Pu - Mu Armadura lateral

0,4

0.4

0.5

2.0

1.0

0,5

b

h

e

f'c = 35 MPa fy = 420 MPa γ = 0.8

γh

Pn

0,6

Pu / (f'c * Ag)

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

1,2

1,4

1,6

135

0

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

0.06

0.07

ργ = 0.08

0,1

e/h = 0.1

0,2

0,3

fs = 0

Pu / (f'c * Ag) * e/h

0.2

0.3

25- Diagrama de Interacción Pu - Mu Armadura bordes extremos

0,4

0.4

0.5

fs = fy

0,5

b

e

1.0

f'c = 20 MPa fy = 420 MPa γ = 0.9

γh

h

2.0

Pn

0,6

Pu / (f'c * Ag)

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

1,2

1,4

1,6

136

0

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

0.06

0.07

ργ = 0.08

0,1

e/h = 0.1

0,2

fs = 0

0,3 Pu / (f'c * Ag) * e/h

0.2

0.3

26- Diagrama de Interacción Pu - Mu Armadura perimetral

0,4

fs = fy

0.4

0.5

0,5

b

h

e

1.0

2.0

f'c = 20 MPa fy = 420 MPa γ = 0.9

γh

Pn

0,6

Pu / (f'c * Ag)

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

1,2

1,4

1,6

137

0

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

0.06

0.07

ργ = 0.08

0,1

fs = 0

e/h = 0.1

0,2

0,3

fs = fy

Pu / (f'c * Ag) * e/h

0.2

0.3

27- Diagrama de Interacción Pu - Mu Armadura lateral

0,4

0.4

0.5

2.0

1.0

0,5

b

e

f'c = 20 MPa fy = 420 MPa γ = 0.9

γh

h

Pn

0,6

Pu / (f'c * Ag)

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

1,2

1,4

1,6

138

0

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

0.06

0.07

ργ = 0.08

0,1

e/h = 0.1

0,2

0,3 Pu / (f'c * Ag) * e/h

fs = 0

0.2

28- Diagrama de Interacción Pu - Mu Armadura bordes extremos

0.3

0,4

0.4

0.5

fs = fy

0,5

e

2.0

f'c = 25 MPa fy = 420 MPa γ = 0.9

1.0

b

h γh

Pn

0,6

Pu / (f'c * Ag)

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

1,2

1,4

1,6

139

0

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

0.06

0.07

ργ = 0.08

0,1

0,2

fs = 0

e/h = 0.1

0,3 Pu / (f'c * Ag) * e/h

0.2

fs = fy

0.3

29- Diagrama de Interacción Pu - Mu Armadura perimetral

0,4

0.4

0.5

0,5

b

h

1.0

e

2.0

f'c = 25 MPa fy = 420 MPa γ = 0.9

γh

Pn

0,6

Pu / (f'c * Ag)

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

1,2

1,4

1,6

140

0

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

0.06

0.07

ργ = 0.08

0,1

fs = 0

e/h = 0.1

0,2

0,3 Pu / (f'c * Ag) * e/h

fs = fy

0.2

0.3

30- Diagrama de Interacción Pu - Mu Armadura lateral

0,4

0.4

0.5

2.0

1.0

0,5

b

h

f'c = 25 MPa fy = 420 MPa γ = 0.9

γh

e

Pn

0,6

Pu / (f'c * Ag)

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

1,2

1,4

1,6

141

0

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

0.06

0.07

ργ = 0.08

0,1

e/h = 0.1

0,2

fs = 0

0,3 Pu / (f'c * Ag) * e/h

0.2

31- Diagrama de Interacción Pu - Mu Armadura bordes extremos

0.3

0,4

fs = fy

0.4

0.5

0,5

1.0

b

h

e

2.0

f'c = 30 MPa fy = 420 MPa g = 0.9

γh

Pn

0,6

Pu / (f'c * Ag)

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

1,2

1,4

1,6

142

0

0.01

0.02

0.03

0.04

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0.06

0.07

ργ = 0.08

0,1

fs = 0

e/h = 0.1

0,2

0,3

fs = fy

Pu / (f'c * Ag) * e/h

0.2

0.3

32- Diagrama de Interacción Pu - Mu Armadura perimetral

0,4

0.4

0.5

0,5

b

e

1.0

2.0

f'c = 30 MPa fy = 420 MPa γ = 0.9

γh

h

Pn

0,6

Pu / (f'c * Ag)

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

1,2

1,4

1,6

143

0

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

0.06

0.07

ργ = 0.08

0,1

fs = 0

e/h = 0.1

0,2

fs = fy

0,3 Pu / (f'c * Ag) * e/h

0.2

0.3

33- Diagrama de Interacción Pu - Mu Armadura lateral

0,4

0.4

0.5

2.0

1.0

0,5

b

h

e

f'c = 30 MPa fy = 420 MPa γ = 0.9

γh

Pn

0,6

Pu / (f'c * Ag)

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

1,2

1,4

1,6

144

0

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

0.06

0.07

ργ = 0.08

0,1

e/h = 0.1

0,2

fs = 0

0,3 Pu / (f'c * Ag) * e/h

0.2

34- Diagrama de Interacción Pu - Mu Armadura bordes extremos

0.3

fs = fy

0,4

0.4

0.5

0,5

1.0

b

h

e

2.0

f'c = 35 MPa fy = 420 MPa g = 0.9

γh

Pn

0,6

Pu/ (f'c * Ag)

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

1,2

1,4

1,6

145

0

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

0.06

0.07

ργ = 0.08

0,1

fs = 0

e/h = 0.1

0,2

0,3 Pu/ (f'c * Ag) * e/h

fs = fy

0.2

0.3

35- Diagrama de Interacción Pu - Mu Armadura perimetral

0,4

0.4

0.5

0,5

b

h

1.0

e

2.0

f'c = 35 MPa fy = 420 MPa g = 0.9

γh

Pn

0,6

Pu / (f'c * Ag)

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

1,2

1,4

1,6

146

0

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

0.06

0.07

ργ = 0.08

0,1

fs = 0

e/h = 0.1

0,2

fs = fy

0,3 Pu / (f'c * Ag) * e/h

0.2

0.3

36- Diagrama de Interacción Pu - Mu Armadura lateral

0,4

0.4

0.5

2.0

1.0

0,5

b

e

f'c = 35 MPa fy = 420 MPa g = 0.9

γh

h

Pn

0,6

Pu / (f'c * Ag)

0,0 0,00

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

147

0,02

ρg = 0.0025

ρg = 0.02

0,04

0,06

0,08

fs = 0

e/l = 0.1

Pu / (f'c * Ag) * e/l

0,10

0,12

0.2

37- Diagrama Interacción Pu - Mu Muros Armadura Uniformemente Distribuida ρg :0.0025 a 0.02 ; ∆ρ=0.0025

0,14

fs = fy

0.3

ρ

L As hL

γL

0,16

0.4

0.5

Pn

0,18

2.0

1.0

f'c = 20 MPa fy = 420 MPa γ = 1.0

h

e

0,20

Pu / (f'c * Ag)

148

0,0 0,00

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,02

ρg = 0.0025

ρg = 0.02

0,04

0,06

fs = 0

0,08

e/l = 0.1

Pu / (f'c * Ag) * e/l

0,10

0,12

fs = fy

0.2

38- Diagrama Interacción Pu - Mu Muros Armadura Uniformemente Distribuida ρg :0.0025 a 0.02 ; ∆ρ=0.0025

0,14

0.3

0.4

0,16

ρ

L As hL

γL

0.5

0,18

2.0

1.0

f'c = 25 MPa fy = 420 MPa γ = 1.0

h

e

Pn

0,20

Pu / (f'c * Ag)

149

0,0 0,00

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,02

ρg = 0.0025

ρg = 0.02

0,04

0,06

fs = 0

0,08

e/l = 0.1

0,10 Pu / (f'c * Ag) * e/l

0,12

fs = fy

39- Diagrama Interacción Pu - Mu Muros Armadura Uniformemente Distribuida ρg :0.0025 a 0.02 ; ∆ρ=0.0025

0.2

0,14

0.3

0.4

0,16

ρ

L As hL

γL

0.5

0,18

2.0

1.0

f'c = 30 MPa fy = 420 MPa γ = 1.0

h

e

Pn

0,20

Pu / (f'c * Ag)

150

0,0 0,00

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,02

ρg = 0.0025

ρg = 0.02

0,04

0,06

fs = 0

0,08

e/l = 0.1

0,10 Pu / (f'c * Ag) * e/l

0,12

fs = fy

0.2

40- Diagrama Interacción Pu - Mu Muros Armadura Uniformemente Distribuida ρg :0.0025 a 0.02 ; ∆ρ=0.0025

0,14

0.3

0.4

0,16

ρ

L As hL

0.5

0,18

2.0

1.0

f'c = 35 MPa fy = 420 MPa γ = 1.0

h

γL

e

Pn

0,20

Pu / (f'c * Ag)

151

0,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

1,2

1,4

1,6

0,0

ρg = 0.01

ρg = 0.08

0,1

fs = 0

e/l = 0.1

0,2

0,3 Pu / (f'c * Ag) * e/l

0.2

fs = fy

0.3 0.4

0,4

41- Diagrama Interacción Pu - Mu Muros Armadura Uniformemente Distribuida ρg :0.01 a 0.08 ; ∆ρ=0.01

0.5

1.0

ρ

L As hL

0,5

2.0

f'c = 20 MPa fy = 420 MPa γ = 1.0

h

γL

e

Pn

0,6

Pu / (f'c * Ag)

152

0,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

1,2

1,4

1,6

0,0

ρg = 0.01

ρg = 0.08

0,1

fs = 0

e/l = 0.1

0,2

0,3

fs = fy

Pu / (f'c * Ag) * e/l

0.2

0.3 0.4

0,4

42- Diagrama Interacción Pu - Mu Muros Armadura Uniformemente Distribuida ρg :0.01 a 0.08 ; ∆ρ=0.01

0.5

1.0

ρ

L As hL

γL

0,5

2.0

f'c = 25 MPa fy = 420 MPa γ = 1.0

h

e

Pn

0,6

Pu / (f'c * Ag)

153

0,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

1,2

1,4

1,6

0,0

ρg = 0.01

ρg = 0.08

0,1

fs = 0

e/l = 0.1

0,2

0,3 Pu / (f'c * Ag) * e/l

fs = fy

0.2

0.3 0.4

0,4

43- Diagrama Interacción Pu - Mu Muros Armadura Uniformemente Distribuida ρg :0.01 a 0.08 ; ∆ρ=0.01

0.5

1.0

ρ

L As hL

γL

0,5

2.0

f'c = 30 MPa fy = 420 MPa γ = 1.0

h

e

Pn

0,6

Pu / (f'c * Ag)

154

0,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

1,2

1,4

1,6

0,0

ρg = 0.01

ρg = 0.08

0,1

fs = 0

e/l = 0.1

0,2

0,3 Pu / (f'c * Ag) * e/l

fs = fy

0.2

0.3 0.4

0,4

44- Diagrama Interacción Pu - Mu Muros Armadura Uniformemente Distribuida ρg :0.01 a 0.08 ; ∆ρ=0.01

0.5

1.0

ρ

L As hL

γL

0,5

2.0

f'c = 20 MPa fy = 420 MPa γ = 1.0

h

e

Pn

0,6

Pu / (f'c * Ag)

155

0,0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,0

ρg = 0.01

ρg = 0.09

e/l = 0.1

0,1

fs = 0

Pu / (f'c * Ag) * e/l

0.2

0.3

0,2

fs = fy

0.4

45- Diagrama Interacción Pu - Mu Muros Armadura Concentrada en Extremos. ρw = 0.0025

0.5

2.0

1.0

γL ρw

f'c = 20 MPa fy = 420 MPa γ = 0,9

Lbe

ρ

ρ

Pn

Lbe L L ρ= As ρw= Asw =0.0050 hLbe hLw

h

e

0,3

Pu / (f'c * Ag)

156

0,0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,0

ρg = 0.01

ρg = 0.09

e/l = 0.1

0,1

fs = 0

Pu / (f'c * Ag) * e/l

0.2

0.3

0,2

fs = fy

0.4

46- Diagrama Interacción Pu - Mu Muros Armadura Concentrada en Extremos. ρw = 0.0050

0.5

2.0

1.0

ρ Lbe

ρw

Lbe

ρ

Pn

f'c = 20 MPa fy = 420 MPa γ = 0,9

L L ρ= As ρw= Asw =0.0050 hLbe hLw

h

γL

e

0,3

Pu / (f'c * Ag)

157

0,0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,0

ρg = 0.01

ρg = 0.09

e/l = 0.1

0,1

fs = 0

Pu / (f'c * Ag) * e/l

0.2

fs = fy

0.3

0,2

0.4

47- Diagrama Interacción Pu - Mu Muros Armadura Concentrada en Extremos. ρw = 0.0025

0.5

2.0

1.0

γL ρw

f'c = 25 MPa fy = 420 MPa γ = 0,9

Lbe

ρ

ρ

Pn

Lbe L L ρ= As ρw= Asw =0.0050 hLbe hLw

h

e

0,3

Pu / (f'c * Ag)

158

0,0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,0

ρg = 0.01

ρg = 0.09

e/l = 0.1

0,1

fs = 0

Pu / (f'c * Ag) * e/l

0.2

fs = fy

0.3

0,2

0.4

48- Diagrama Interacción Pu - Mu Muros Armadura Concentrada en Extremos. ρw = 0.0050

0.5

2.0

1.0

ρ Lbe

ρw

Lbe

ρ

Pn

f'c = 25 MPa fy = 420 MPa γ = 0,9

L L ρ= As ρw= Asw =0.0050 hLbe hLw

h

γL

e

0,3

Pu / (f'c * Ag)

159

0,0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,0

ρg = 0.01

ρg = 0.09 fs = 0

e/l = 0.1

0,1

fs = fy

Pu / (f'c * Ag) * e/l

0.2

0.3

0,2

0.4

49- Diagrama Interacción Pu - Mu Muros Armadura Concentrada en Extremos. ρw = 0.0025

0.5

2.0

1.0

γL ρw

f'c = 30 MPa fy = 420 MPa γ = 0,9

Lbe

ρ

ρ

Pn

Lbe L L ρ= As ρw= Asw =0.0050 hLbe hLw

h

e

0,3

Pu / (f'c * Ag)

160

0,0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,0

ρg = 0.01

ρg = 0.09 fs = 0

e/l = 0.1

0,1

fs = fy

Pu / (f'c * Ag) * e/l

0.2

0.3

0,2

0.4

50- Diagrama Interacción Pu - Mu Muros Armadura Concentrada en Extremos. ρw = 0.0050

0.5

2.0

1.0

Lbe

ρ

γL ρw

Lbe

ρ

Pn

f'c = 30 MPa fy = 420 MPa γ = 0,9

L L ρ= As ρw= Asw =0.0050 hLbe hLw

h

e

0,3

Pu / (f'c * Ag)

161

0,0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,0

ρg = 0.01

ρg = 0.09 fs = 0

e/l = 0.1

0,1 Pu / (f'c * Ag) * e/l

fs = fy

0.2

0.3

0,2

0.4

51- Diagrama Interacción Pu - Mu Muros Armadura Concentrada en Extremos. ρw = 0.0025

0.5

2.0

1.0

γL ρw

f'c = 35 MPa fy = 420 MPa γ = 0,9

Lbe

ρ

ρ

Pn

Lbe L L ρ= As ρw= Asw =0.0050 hLbe hLw

h

e

0,3

Pu / (f'c * Ag)

162

0,0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,0

ρg = 0.01

ρg = 0.09

0,1

fs = 0

e/l = 0.1

fs = fy

Pu / (f'c * Ag) * e/l

0.2

0.3

0.4

0,2

52- Diagrama Interacción Pu - Mu Muros Armadura Concentrada en Extremos. ρw = 0.0050

0.5

1.0

2.0

γL ρw

f'c = 35 MPa fy = 420 MPa γ = 0,9

Lbe

ρ

ρ

Pn

Lbe L L ρ= As ρw= Asw =0.0050 hLbe hLw

h

e

0,3

Capitulo Nº 8 8.2.- FLEXION BIAXIAL EN COLUMNAS RECTANGULARES

163

8.2

1234567891011121314151617181920212223242526272829303132333435363738-

FLEXION BIAXIAL EN COLUMNAS RECTANGULARES NOTACION: δ / f'c / fy / RANGO DE ρg 0,05 / 16 / 280 / 0,5-8% 0,05 / 16 / 420 / 0,5-8% 0,05 / 20 / 280 / 0,0-8, 0% 0,05 / 20 / 420 / 0,5-8,0% 0,05 / 20 / 420 / 0,1-4,0% 0,05 / 25 / 280 / 0,5-8,0% 0,05 / 25 / 420 / 0,5-8,0% 0,05 / 25 / 420 / 0,1-4,0% 0,05 / 30 / 280 / 0,5-8,0% 0,05 / 30 / 420 / 0,5-8,0% 0,05 / 30 / 420 / 0,1-4,0% 0,05 / 35 / 280 / 0,5-8,0% 0,05 / 35 / 420 / 0,5-8,0% 0,05 / 35 / 420 / 0,1-4,0% 0,05 / 40 / 280 / 0,5-8,0% 0,05 / 40 / 420 / 0,5-8,0% 0,1 / 16 / 280 / 0,5-8,0% 0,1 / 16 / 420 / 0,5-8,0% 0,1 / 20 / 280 / 0,5-8,0% 0,1 / 20 / 420 / 0,5-8,0% 0,1 / 20 / 420 / 0,1-4,0% 0,1 / 25 / 280 / 0,5-8,0% 0,1 / 25 / 420 / 0,5-8,0% 0,1 / 25 / 420 / 0,1-4,0% 0,1 / 30 / 280 / 0,5-8,0% 0,1 / 30 / 420 / 0,5-8,0% 0,1 / 30 / 420 / 0,1-4,0% 0,1 / 35 / 280 / 0,5-8,0% 0,1 / 35 / 420 / 0,5-8,0% 0,1 / 35 / 420 / 0,1-4,0% 0,1 / 40 / 280 / 0,5-8,0% 0,1 / 40 / 420 / 0,5-8,0% 0,15 / 16 / 280 / 0,5-8,0% 0,15 / 16 / 420 / 0,5-8,0% 0,15 / 20 / 280 / 0,5-8,0% 0,15 / 20 / 420 / 0,5-8,0% 0,15 / 20 / 420 / 0,1-4,0% 0,15 / 25 / 280 / 0,5-8,0%

165

3940414243444546474849505152535455565758596061626364-

166

0,15 / 25 / 420 / 0,5-8,0% 0,15 / 25 / 420 / 0,1-4,0% 0,15 / 30 / 280 / 0,5-8,0% 0,15 / 30 / 420 / 0,5-8,0% 0,15 / 30 / 420 / 0,1-4,0% 0,15 / 35 / 280 / 0,5-8,0% 0,15 / 35 / 420 / 0,5-8,0% 0,15 / 35 / 420 / 0,1-4,0% 0,15 / 40 / 280 / 0,5-8,0% 0,15 / 40 / 420 / 0,5-8,0% 0,2 / 16 / 280 / 0,5-8,0% 0,2 / 16 / 420 / 0,5-8,0% 0,2 / 20 / 280 / 0,5-8,0% 0,2 / 20 / 420 / 0,5-8,0% 0,2 / 20 / 420 / 0,1-4,0% 0,2 / 25 / 280 / 0,5-8,0% 0,2 / 25 / 420 / 0,5-8,0% 0,2 / 25 / 420 / 0,1-4,0% 0,2 / 30 / 280 / 0,5-8,0% 0,2 / 30 / 420 / 0,5-8,0% 0,2 / 30 / 420 / 0,1-4,0% 0,2 / 35 / 280 / 0,5-8,0% 0,2 / 35 / 420 / 0,5-8,0% 0,2 / 35 / 420 / 0,1-4,0% 0,2 / 40 / 420 / 0,5-8,0% 0,2 / 40 / 420 / 0,5-8,0%

1.- FLEXION BIAXIAL EN COLUMNAS RECTANGULARES CUANTIA DE ACERO PARA EL DISEÑO ρg Mb

A g = b·h δ = dh/h = db/b

db

δ=

dh

0.05

f 'c= 16 [MPa] fy = 280 [MPa]

µh = Mh/(A g·h) [MPa] µb = Mb/(A g·b) [MPa] ν = P u/Ag [MPa]

h

ρg: 0.5 - 8.0%

Mh

ρg = A s /Ag µx = Máx { µh, µb } µy = Mín { µh , µb }

µy

10

8

b

6

4

µx

2

2

4

6

8

10

10

10 ν = 21.0

8

ν = 0.0

8

8

ν = 17.5

6

ν =1.6

4

8 8

8

µx

2

4

µx

4 4

8

2

6 4

4

2

2

4 8 4

4

4

8

6

8

ν = 14.0

ν = 3.5

8

6 8

ν = 10.5

10

µy

µy

10

8

6

ν = 7.0

4

2

µx

2

4

6

10 8

10

µy

Las curvas incorporan el factor de reducción de resistencia φ. As es el área total del acero. La curva más externa corresponde a ρg = 8.0 %, en las interiores ρg disminuye en intervalos de 1.0 %. En los casos que existan nueve curvas, la última corresponde a ρg = 0.5 %.

167

2.- FLEXION BIAXIAL EN COLUMNAS RECTANGULARES CUANTIA DE ACERO PARA EL DISEÑO ρg Mb

A g = b·h δ = dh/h = db/b

db

δ=

dh

0.05

f 'c= 16 [MPa] fy = 420 [MPa]

µh = Mh/(A g·h) [MPa] µb = Mb/(A g·b) [MPa] ν = P u/Ag [MPa]

h

ρg: 0.5 - 8.0%

Mh

ρg = A s /Ag µx = Máx { µh, µb } µy = Mín { µh , µb }

µy

10

8

b

6

4

µx

2

2

4

10

ν = 22.5

6

8

10

ν = 0.0

8 ν = 1.6

4

4 8

2

4

8

µx

µx

4 4

2

8

2

4

8 4

4

4

8

6

ν = 18.0

ν = 4.5

8

8 ν = 13.5

10

8

6

ν = 9.0

4

2

µx

2

4

6

10 8

10

Las curvas incorporan el factor de reducción de resistencia φ. As es el área total del acero. La curva más externa corresponde a ρg = 8.0 %, en las interiores ρg disminuye en intervalos de 1.0 %. En los casos que existan nueve curvas, la última corresponde a ρg = 0.5 %.

168

6 8

10

µy

6 4

8

2

µy 10

8

ν = 27.0

8

6

µy

3.- FLEXION BIAXIAL EN COLUMNAS RECTANGULARES CUANTIA DE ACERO PARA EL DISEÑO ρg Mb

A g = b·h δ = dh/h = db/b

db

δ=

dh

0.05

f 'c= 20 [MPa] fy = 280 [MPa]

µh = Mh/(A g·h) [MPa] µb = Mb/(A g·b) [MPa] ν = P u/Ag [MPa]

h

ρg: 0.5 - 8.0%

Mh

ρg = A s /Ag µx = Máx { µh, µb } µy = Mín { µh , µb }

µy

10

8

b

6

4

µx

2

2

4

6

8

10

10

10 ν = 24.0

8

ν = 0.0

8

8

ν = 20.0

6

ν =2.0

4

8 8

8

µx

2

4

µx

4 4

8

2

2

4

8 4

4

4

8

6

6 4

4

2

8

ν = 16.0

ν = 4.0

8

6 8

ν = 12.0

10

µy

µy

10

8

6

ν = 8.0

4

2

µx

2

4

6

10 8

10

µy

Las curvas incorporan el factor de reducción de resistencia φ. As es el área total del acero. La curva más externa corresponde a ρg = 8.0 %, en las interiores ρg disminuye en intervalos de 1.0 %. En los casos que existan nueve curvas, la última corresponde a ρg = 0.5 %.

169

4.- FLEXION BIAXIAL EN COLUMNAS RECTANGULARES CUANTIA DE ACERO PARA EL DISEÑO ρg Mb

A g = b·h δ = dh/h = db/b

db

δ=

dh

0.05

f 'c= 20 [MPa] fy = 420 [MPa]

µh = Mh/(A g·h) [MPa] µb = Mb/(A g·b) [MPa] ν = P u/Ag [MPa]

h

ρg: 0.5 - 8.0%

Mh

ρg = A s /Ag µx = Máx { µh, µb } µy = Mín { µh , µb }

µy

10

8

b

6

4

µx

2

2

4

6

8

10

10

µy 10

8

ν = 27.0

8

ν = 0.0

8

ν = 22.5

6

ν = 2.0

6

4

4

4 8 8 4

2

2

8

µx

µx

4 4

2

2

4

8 4

8

4

4

4

6

ν = 18.0

8

ν = 4.5

8

8

8 ν = 13.5

10

µy

10

8

6

ν = 9.0

4

2

µx

2

4

6

10 8

10

Las curvas incorporan el factor de reducción de resistencia φ. As es el área total del acero. La curva más externa corresponde a ρg = 8.0 %, en las interiores ρg disminuye en intervalos de 1.0 %. En los casos que existan nueve curvas, la última corresponde a ρg = 0.5 %.

170

6

µy

5.- FLEXION BIAXIAL EN COLUMNAS RECTANGULARES CUANTIA DE ACERO PARA EL DISEÑO ρg Mb

A g = b·h δ = dh/h = db/b

db

δ=

dh

0.05

f 'c= 20 [MPa] fy = 420 [MPa]

µh = Mh/(A g·h) [MPa] µb = Mb/(A g·b) [MPa] ν = P u/Ag [MPa]

h

ρg: 0.1 - 4.0%

Mh

ρg = A s /Ag µx = Máx { µh, µb } µy = Mín { µh , µb }

µy

6

5

b

4

3

2

µx

1

1

2

3

4

5

6

6

6 ν = 27.0

5 4

ν = 0.0

4

ν = 22.5

5 ν = 2.0

4 3

3 4

2 1

2 1

0.5

µx

0.5

4

4

1

0.5

µx

0.5

1

0.5

4

2 3

2 3

4

ν = 18.0

4 5

ν = 4.5

4

ν = 13.5

4 5

ν = 9.0

6

µy

µy

6 6

5

4

3

2

1

µx

1

2

3

4

5

6

µy

Las curvas incorporan el factor de reducción de resistencia φ. As es el área total del acero. La curva más externa corresponde a ρg = 8.0 %, en las interiores ρg disminuye en intervalos de 1.0 %. En los casos que existan nueve curvas, la última corresponde a ρg = 0.5 %.

171

6.- FLEXION BIAXIAL EN COLUMNAS RECTANGULARES CUANTIA DE ACERO PARA EL DISEÑO ρg Mb

A g = b·h δ = dh/h = db/b

db

δ=

dh

0.05

f 'c= 25 [MPa] fy = 280 [MPa]

µh = Mh/(A g·h) [MPa] µb = Mb/(A g·b) [MPa] ν = P u/Ag [MPa]

h

ρg: 0.5 - 8.0%

Mh

ρg = A s /Ag µx = Máx { µh, µb } µy = Mín { µh , µb }

µy

10

8

b

6

4

µx

2

2

4

6

8

10

10

µy 10

ν = 27.0

ν = 0.0

8

8

8

ν = 22.5

6

ν =2.5 4

4

6 4

8

2

8

µx

2

4

8

µx

4 8

2

4

2

8 4 4

4 8

6

4 8

ν = 18.0

ν = 4.5

8

8 ν = 13.5

10

µy

10

8

6

ν = 9.0

4

2

µx

2

4

6

10 8

10

Las curvas incorporan el factor de reducción de resistencia φ. As es el área total del acero. La curva más externa corresponde a ρg = 8.0 %, en las interiores ρg disminuye en intervalos de 1.0 %. En los casos que existan nueve curvas, la última corresponde a ρg = 0.5 %.

172

6

µy

7.- FLEXION BIAXIAL EN COLUMNAS RECTANGULARES CUANTIA DE ACERO PARA EL DISEÑO ρg Mb

A g = b·h δ = dh/h = db/b

db

δ=

dh

0.05

f 'c= 25 [MPa] fy = 420 [MPa]

µh = Mh/(A g·h) [MPa] µb = Mb/(A g·b) [MPa] ν = P u/Ag [MPa]

h

ρg: 0.5 - 8.0%

Mh

ρg = A s /Ag µx = Máx { µh, µb } µy = Mín { µh , µb }

µy

10

b

8

6

4

µx

2

2

4

10

6

8

ν = 30.0

8

10

µy 10

ν = 0.0

8

8 ν = 25.0

6

ν = 2.5

4

4

6 4

8

8 4

8

2

µx

2

µx

4

4

2

2

4

8 4

4

8

4

4

6

ν = 20.0

8

ν = 5.0

8

8

8 ν = 15.0

10

µy

6

10

8

6

ν = 10.0

4

2

µx

2

4

6

8

10 10

µy

Las curvas incorporan el factor de reducción de resistencia φ. As es el área total del acero. La curva más externa corresponde a ρg = 8.0 %, en las interiores ρg disminuye en intervalos de 1.0 %. En los casos que existan nueve curvas, la última corresponde a ρg = 0.5 %.

173

8.- FLEXION BIAXIAL EN COLUMNAS RECTANGULARES CUANTIA DE ACERO PARA EL DISEÑO ρg Mb

A g = b·h δ = dh/h = db/b

db

δ=

dh

0.05

f 'c= 25 [MPa] fy = 420 [MPa]

µh = Mh/(A g·h) [MPa] µb = Mb/(A g·b) [MPa] ν = P u/Ag [MPa]

h

ρg: 0.1 - 4.0%

Mh

ρg = A s /Ag µx = Máx { µh, µb } µy = Mín { µh , µb }

µy

6

5

b

4

3

2

µx

1

1

3

2

4

5

6

6

µy 6

4

ν = 30.0

5 4

ν = 0.0

5

ν = 25.0

ν = 2.5

4 3

3 4

2 1

2 1

0.5 0.5

4

µx

µx

0.5

1

4

1

0.5 0.5

2

2 4

3

3 4

ν = 20.0

4

ν = 5.0

4

4

5

ν = 15.0

5

ν = 10.0

6

6

µy

6

5

4

3

2

1

µx

1

2

3

4

5

6

Las curvas incorporan el factor de reducción de resistencia φ. As es el área total del acero. La curva más externa corresponde a ρg = 8.0 %, en las interiores ρg disminuye en intervalos de 1.0 %. En los casos que existan nueve curvas, la última corresponde a ρg = 0.5 %.

174

µy

9.- FLEXION BIAXIAL EN COLUMNAS RECTANGULARES CUANTIA DE ACERO PARA EL DISEÑO ρg Mb

A g = b·h δ = dh/h = db/b

db

δ=

dh

0.05

f 'c= 30 [MPa] fy = 280 [MPa]

µh = Mh/(A g·h) [MPa] µb = Mb/(A g·b) [MPa] ν = P u/Ag [MPa]

h

ρg: 0.5 - 8.0%

Mh

ρg = A s /Ag µx = Máx { µh, µb } µy = Mín { µh , µb }

µy

10

b

8

6

4

µx

2

2

4

6

8

10

10

µy 10

ν = 30.0

ν = 0.0

8

8 8

ν = 25.0

6

ν =3.0 4

4

6 4

8

2

8

8

µx

2

4

µx

4 4

2

4

2

8

8 4

4

4

4

6

8

ν = 20.0

ν = 5.0

8

8

8 ν = 15.0

10

µy

6

10

8

6

ν = 10.0

4

2

µx

2

4

6

8

10 10

µy

Las curvas incorporan el factor de reducción de resistencia φ. As es el área total del acero. La curva más externa corresponde a ρg = 8.0 %, en las interiores ρg disminuye en intervalos de 1.0 %. En los casos que existan nueve curvas, la última corresponde a ρg = 0.5 %.

175

10.- FLEXION BIAXIAL EN COLUMNAS RECTANGULARES CUANTIA DE ACERO PARA EL DISEÑO ρg Mb

A g = b·h δ = dh/h = db/b

db

δ=

dh

0.05

f 'c= 30 [MPa] fy = 420 [MPa]

µh = Mh/(A g·h) [MPa] µb = Mb/(A g·b) [MPa] ν = P u/Ag [MPa]

h

ρg: 0.5 - 8.0%

Mh

ρg = A s /Ag µx = Máx { µh, µb } µy = Mín { µh , µb }

µy

10

8

b

6

4

µx

2

2

4

6

8

10

µy

8

10

10 ν = 36.0

ν = 0.0

8

8 ν = 30.0

6

ν = 3.0

4 8

4 8

2

6 4

4

2

8

µx

µx

4

2

2

8

4 8 4

4

4 4

6

ν = 24.0

ν = 6.0

8

6

8

8

8 ν = 18.0

10

µy

10

8

6

ν = 12.0

4

2

µx

2

4

6

8

10 10

Las curvas incorporan el factor de reducción de resistencia φ. As es el área total del acero. La curva más externa corresponde a ρg = 8.0 %, en las interiores ρg disminuye en intervalos de 1.0 %. En los casos que existan nueve curvas, la última corresponde a ρg = 0.5 %.

176

µy

11.- FLEXION BIAXIAL EN COLUMNAS RECTANGULARES CUANTIA DE ACERO PARA EL DISEÑO ρg Mb

A g = b·h δ = dh/h = db/b

db

δ=

dh

0.05

f 'c= 30 [MPa] fy = 420 [MPa]

µh = Mh/(A g·h) [MPa] µb = Mb/(A g·b) [MPa] ν = P u/Ag [MPa]

h

ρg: 0.1 - 4.0%

Mh

ρg = A s /Ag µx = Máx { µh, µb } µy = Mín { µh , µb }

µy

6

5

b

4

3

2

1

µx

1

3

2

4

5

6

6

µy 6

4

ν = 36.0

5 4

ν = 0.0

5

ν = 30.0

ν = 3.0

4 3

3 4

2 1

0.5

2 1

0.5

µx

µx 0.5

4

1

0.5

1

2

2 0.5 4

3 ν = 24.0

4

3 ν = 6.0

4

4

5

ν = 18.0

5

ν = 12.0

6

µy

4

6 6

5

4

3

2

1

µx

1

2

3

4

5

6

µy

Las curvas incorporan el factor de reducción de resistencia φ. As es el área total del acero. La curva más externa corresponde a ρg = 8.0 %, en las interiores ρg disminuye en intervalos de 1.0 %. En los casos que existan nueve curvas, la última corresponde a ρg = 0.5 %.

177

12.- FLEXION BIAXIAL EN COLUMNAS RECTANGULARES CUANTIA DE ACERO PARA EL DISEÑO ρg Mb

A g = b·h δ = dh/h = db/b

db

δ=

dh

0.05

f 'c= 35 [MPa] fy = 280 [MPa]

µh = Mh/(A g·h) [MPa] µb = Mb/(A g·b) [MPa] ν = P u/Ag [MPa]

h

ρg: 0.5 - 8.0%

Mh

ρg = A s /Ag µx = Máx { µh, µb } µy = Mín { µh , µb }

µy

10

b

8

6

4

µx

2

2

4

6

8

10

10

µy 10

ν = 30.0

ν = 0.0

8

8 8

ν = 25.0

6

ν =3.5 4

4

6 4

8 8

2

2

4

8 4

µx

µx

4

2

4

2

8 8

4 6

ν = 20.0

4

4

4

8

ν = 5.0

8

8

8 ν = 15.0

10

µy

10

8

6

ν = 10.0

4

2

µx

2

4

6

8

10 10

Las curvas incorporan el factor de reducción de resistencia φ. As es el área total del acero. La curva más externa corresponde a ρg = 8.0 %, en las interiores ρg disminuye en intervalos de 1.0 %. En los casos que existan nueve curvas, la última corresponde a ρg = 0.5 %.

178

6

µy

13.- FLEXION BIAXIAL EN COLUMNAS RECTANGULARES CUANTIA DE ACERO PARA EL DISEÑO ρg Mb

A g = b·h δ = dh/h = db/b

db

δ=

dh

0.05

f 'c= 35 [MPa] fy = 420 [MPa]

µh = Mh/(A g·h) [MPa] µb = Mb/(A g·b) [MPa] ν = P u/Ag [MPa]

h

ρg: 0.5 - 8.0%

Mh

ρg = A s /Ag µx = Máx { µh, µb } µy = Mín { µh , µb }

µy

10

b

8

6

4

2

2

4

6

8

10

8

10

µy 10

ν = 36.0

ν = 0.0

8

8 ν = 30.0

6

ν = 3.5

4 8

4

6 4

8 8

2

4

µx

2

4

µx

4

2

2

4

8

8

4

4

6

ν = 24.0

ν = 6.0 8

8

8

ν = 18.0

10

µy

4

4

10

8

6

8 ν = 12.0

4

2

µx

2

4

6

6

8

10 10

µy

Las curvas incorporan el factor de reducción de resistencia φ. As es el área total del acero. La curva más externa corresponde a ρg = 8.0 %, en las interiores ρg disminuye en intervalos de 1.0 %. En los casos que existan nueve curvas, la última corresponde a ρg = 0.5 %.

179

14.- FLEXION BIAXIAL EN COLUMNAS RECTANGULARES CUANTIA DE ACERO PARA EL DISEÑO ρg Mb

A g = b·h δ = dh/h = db/b

db

δ=

dh

0.05

f 'c= 35 [MPa] fy = 420 [MPa]

µh = Mh/(A g·h) [MPa] µb = Mb/(A g·b) [MPa] ν = P u/Ag [MPa]

h

ρg: 0.1 - 4.0%

Mh

ρg = A s /Ag µx = Máx { µh, µb } µy = Mín { µh , µb }

µy

6

5

b

3

4

2

1

1

2

3

4

6

5

6

µy 6

4

ν = 36.0

5 4

ν = 0.0

5

ν = 30.0

ν = 3.5

3

3 4

2 1

2 1

0.5

µx

0.5

4

1

4

µx 1

0.5 0.5

2

2

3

4

0.5

ν = 24.0

4

3 ν = 6.0

4

ν = 18.0

5

ν = 12.0

6

6 6

5

4

3

2

1

µx

1

2

3

4

5

6

Las curvas incorporan el factor de reducción de resistencia φ. As es el área total del acero. La curva más externa corresponde a ρg = 8.0 %, en las interiores ρg disminuye en intervalos de 1.0 %. En los casos que existan nueve curvas, la última corresponde a ρg = 0.5 %.

180

4

4

5

µy

4

µy

15.- FLEXION BIAXIAL EN COLUMNAS RECTANGULARES CUANTIA DE ACERO PARA EL DISEÑO ρg Mb

A g = b·h δ = dh/h = db/b

db

δ=

dh

0.05

f 'c= 40 [MPa] fy = 280 [MPa]

µh = Mh/(A g·h) [MPa] µb = Mb/(A g·b) [MPa] ν = P u/Ag [MPa]

h

ρg: 0.5 - 8.0%

Mh

ρg = A s /Ag µx = Máx { µh, µb } µy = Mín { µh , µb }

µy

10

b

8

6

4

µx

2

2

4

6

8

10

10

µy 10

ν = 33.0

ν = 0.0

8

8

8

ν = 27.5

6

ν =4.0 4

4

6 4

8 8

2

2

8

4 4

µx

µx 4

2

4

2

8 8

4

4

6

ν = 22.0

4

4

8

ν = 5.5

8

8

8 ν = 16.5

10

µy

6

10

8

6

ν = 11.0

4

2

µx

2

4

6

8

10 10

µy

Las curvas incorporan el factor de reducción de resistencia φ. As es el área total del acero. La curva más externa corresponde a ρg = 8.0 %, en las interiores ρg disminuye en intervalos de 1.0 %. En los casos que existan nueve curvas, la última corresponde a ρg = 0.5 %.

181

16.- FLEXION BIAXIAL EN COLUMNAS RECTANGULARES CUANTIA DE ACERO PARA EL DISEÑO ρg Mb

A g = b·h δ = dh/h = db/b

db

δ=

dh

0.05

f 'c= 40 [MPa] fy = 420 [MPa]

µh = Mh/(A g·h) [MPa] µb = Mb/(A g·b) [MPa] ν = P u/Ag [MPa]

h

ρg: 0.5 - 8.0%

Mh

ρg = A s /Ag µx = Máx { µh, µb } µy = Mín { µh , µb }

µy

10

b

8

6

4

µx

2

2

4

6

8

10

8

10

µy 10

ν = 39.0

ν = 0.0

8

8 ν = 32.5

6

ν = 4.0

4

4

6 4

8

8 4

2

2

8

µx

4

µx

4

2

2

4

8

8

4

4

4 4

6

ν = 26.0

ν = 6.5 8

8 ν = 19.5

10

µy

8

10

8

6

8 ν = 13.0

4

2

µx

2

4

6

8

10 10

Las curvas incorporan el factor de reducción de resistencia φ. As es el área total del acero. La curva más externa corresponde a ρg = 8.0 %, en las interiores ρg disminuye en intervalos de 1.0 %. En los casos que existan nueve curvas, la última corresponde a ρg = 0.5 %.

182

6

µy

17.- FLEXION BIAXIAL EN COLUMNAS RECTANGULARES CUANTIA DE ACERO PARA EL DISEÑO ρg Mb

A g = b·h δ = dh/h = db/b

db

δ=

dh

0.10

f 'c= 16 [MPa] fy = 280 [MPa]

µh = Mh/(A g·h) [MPa] µb = Mb/(A g·b) [MPa] ν = P u/Ag [MPa]

h

ρg: 0.5 - 8.0%

Mh

ρg = A s /Ag µx = Máx { µh, µb } µy = Mín { µh , µb }

µy

10

8

b

6

4

µx

2

2

4

6

8

10

10

10 ν = 21.0

ν = 0.0

8

8 8

ν = 17.5

6 4

ν =1.6

8

2

8

8

4

µx

µx

4 4

8

2

4

4

8

2

4

4

8

6

6 4

4

2

8

ν = 14.0

ν = 3.5

8

6 8

ν = 10.5

10

µy

µy

10

8

6

ν = 7.0

4

2

µx

2

4

6

10 8

10

µy

Las curvas incorporan el factor de reducción de resistencia φ. As es el área total del acero. La curva más externa corresponde a ρg = 8.0 %, en las interiores ρg disminuye en intervalos de 1.0 %. En los casos que existan nueve curvas, la última corresponde a ρg = 0.5 %.

183

18.- FLEXION BIAXIAL EN COLUMNAS RECTANGULARES CUANTIA DE ACERO PARA EL DISEÑO ρg Mb

A g = b·h δ = dh/h = db/b

db

δ=

dh

0.10

f 'c= 16 [MPa] fy = 420 [MPa]

µh = Mh/(A g·h) [MPa] µb = Mb/(A g·b) [MPa] ν = P u/Ag [MPa]

h

ρg: 0.5 - 8.0%

Mh

ρg = A s /Ag µx = Máx { µh, µb } µy = Mín { µh , µb }

µy

10

8

b

6

4

µx

2

2

4

6

8

10

µy 10

10 ν = 27.0

ν = 0.0

8

8

8

ν = 22.5

6

ν = 1.6

6

4

4

4 8

2

2

8 8

4

µx

µx

4 8

4

2

2

8

4 4

4

4 8 8

6

ν = 18.0

ν = 4.5

8

8 ν = 13.5

10

µy

10

8

6

ν = 9.0

4

2

µx

2

4

6

10 8

10

Las curvas incorporan el factor de reducción de resistencia φ. As es el área total del acero. La curva más externa corresponde a ρg = 8.0 %, en las interiores ρg disminuye en intervalos de 1.0 %. En los casos que existan nueve curvas, la última corresponde a ρg = 0.5 %.

184

6

µy

19.- FLEXION BIAXIAL EN COLUMNAS RECTANGULARES CUANTIA DE ACERO PARA EL DISEÑO ρg Mb

A g = b·h δ = dh/h = db/b

db

δ=

dh

0.10

f 'c= 20 [MPa] fy = 280 [MPa]

µh = Mh/(A g·h) [MPa] µb = Mb/(A g·b) [MPa] ν = P u/Ag [MPa]

h

ρg: 0.5 - 8.0%

Mh

ρg = A s /Ag µx = Máx { µh, µb } µy = Mín { µh , µb }

µy

10

b

8

6

4

µx

2

2

4

6

8

10

10

µy 10

ν = 24.0

ν = 0.0

8

8 8

ν = 20.0

6 4

ν =2.0

4

4 8

2

8

8

µx

2

4

µx

4 4

8

2

6

2

8

4 4

4

4

8 8

6

ν = 16.0

ν = 4.0

8

8 ν = 12.0

10

µy

6

10

8

6

ν = 8.0

4

2

µx

2

4

6

10 8

10

µy

Las curvas incorporan el factor de reducción de resistencia φ. As es el área total del acero. La curva más externa corresponde a ρg = 8.0 %, en las interiores ρg disminuye en intervalos de 1.0 %. En los casos que existan nueve curvas, la última corresponde a ρg = 0.5 %.

185

20.- FLEXION BIAXIAL EN COLUMNAS RECTANGULARES CUANTIA DE ACERO PARA EL DISEÑO ρg Mb

A g = b·h δ = dh/h = db/b

db

δ=

dh

0.10

f 'c= 20 [MPa] fy = 420 [MPa]

µh = Mh/(A g·h) [MPa] µb = Mb/(A g·b) [MPa] ν = P u/Ag [MPa]

h

ρg: 0.5 - 8.0%

Mh

ρg = A s /Ag µx = Máx { µh, µb } µy = Mín { µh , µb }

µy

10

8

b

6

4

µx

2

2

4

6

8

10

10

µy 10

ν = 27.0

ν = 0.0

8

8

8

ν = 22.5

6

ν = 2.0

6

4

4

4

8 8

2

2

8

4

µx

µx

4 4 8

2

2

4 8

4 4

4

4

8

6

8

ν = 18.0

ν = 4.5

8

8 ν = 13.5

10

µy

10

8

6

ν = 9.0

4

2

µx

2

4

6

10 8

10

Las curvas incorporan el factor de reducción de resistencia φ. As es el área total del acero. La curva más externa corresponde a ρg = 8.0 %, en las interiores ρg disminuye en intervalos de 1.0 %. En los casos que existan nueve curvas, la última corresponde a ρg = 0.5 %.

186

6

µy

21.- FLEXION BIAXIAL EN COLUMNAS RECTANGULARES CUANTIA DE ACERO PARA EL DISEÑO ρg Mb

A g = b·h δ = dh/h = db/b

db

δ=

dh

0.10

f 'c= 20 [MPa] fy = 420 [MPa]

µh = Mh/(A g·h) [MPa] µb = Mb/(A g·b) [MPa] ν = P u/Ag [MPa]

h

ρg: 0.1 - 4.0%

Mh

ρg = A s /Ag µx = Máx { µh, µb } µy = Mín { µh , µb }

µy

5

4

b

3

2

µx

1

1

2

3

4

5

5

µy 5

ν = 27.0

4

ν = 0.0

4

4 ν = 22.5

3

ν = 2.0

3 2

2 4

1

1

0.5 0.5

µx

µx

4

0.5 4

1

1 0.5 4

2

2 4

3

ν = 18.0

ν = 4.5

4

4

4 ν = 13.5

5

µy

3

5

4

3

ν = 9.0

2

1

µx

1

2

3

5 4

5

µy

Las curvas incorporan el factor de reducción de resistencia φ. As es el área total del acero. La curva más externa corresponde a ρg = 8.0 %, en las interiores ρg disminuye en intervalos de 1.0 %. En los casos que existan nueve curvas, la última corresponde a ρg = 0.5 %.

187

22.- FLEXION BIAXIAL EN COLUMNAS RECTANGULARES CUANTIA DE ACERO PARA EL DISEÑO ρg Mb

A g = b·h δ = dh/h = db/b

db

δ=

dh

0.10

f 'c= 25 [MPa] fy = 200 [MPa]

µh = Mh/(A g·h) [MPa] µb = Mb/(A g·b) [MPa] ν = P u/Ag [MPa]

h

ρg: 0.5 - 8.0%

Mh

ρg = A s /Ag µx = Máx { µh, µb } µy = Mín { µh , µb }

µy

10

8

b

6

4

µx

2

2

4

6

8

10

10

µy 10

ν = 27.0

ν = 0.0

8

8 8

ν = 22.5

6 4

ν =2.5

6 4

4 8

2

8

8

2

4

µx

µx 4 4

2

8

2

8

4 4

4

4

8 8

6

ν = 18.0

ν = 4.5

8

8 ν = 13.5

10

µy

10

8

6

ν = 9.0

4

2

µx

2

4

6

10 8

10

Las curvas incorporan el factor de reducción de resistencia φ. As es el área total del acero. La curva más externa corresponde a ρg = 8.0 %, en las interiores ρg disminuye en intervalos de 1.0 %. En los casos que existan nueve curvas, la última corresponde a ρg = 0.5 %.

188

6

µy

23.- FLEXION BIAXIAL EN COLUMNAS RECTANGULARES CUANTIA DE ACERO PARA EL DISEÑO ρg Mb

A g = b·h δ = dh/h = db/b

db

δ=

dh

0.10

f 'c= 25 [MPa] fy = 420 [MPa]

µh = Mh/(A g·h) [MPa] µb = Mb/(A g·b) [MPa] ν = P u/Ag [MPa]

h

ρg: 0.5 - 8.0%

Mh

ρg = A s /Ag µx = Máx { µh, µb } µy = Mín { µh , µb }

µy

10

8

b

6

4

µx

2

2

4

6

8

10

10

µy 10

ν = 30.0

ν = 0.0

8

8

8 ν = 25.0

6

ν = 2.5

6

4

4

4 8 8

2

µx

2

4

8 4

µx

4 4

2

2

8 8

4 4

4

4

8

6

ν = 20.0

ν = 5.0

8

8

8 ν = 15.0

10

µy

6

10

8

6

ν = 10.0

4

2

µx

2

4

6

8

10 10

µy

Las curvas incorporan el factor de reducción de resistencia φ. As es el área total del acero. La curva más externa corresponde a ρg = 8.0 %, en las interiores ρg disminuye en intervalos de 1.0 %. En los casos que existan nueve curvas, la última corresponde a ρg = 0.5 %.

189

24.- FLEXION BIAXIAL EN COLUMNAS RECTANGULARES CUANTIA DE ACERO PARA EL DISEÑO ρg Mb

A g = b·h δ = dh/h = db/b

db

δ=

dh

0.10

f 'c= 25 [MPa] fy = 420 [MPa]

µh = Mh/(A g·h) [MPa] µb = Mb/(A g·b) [MPa] ν = P u/Ag [MPa]

h

ρ g: 0.1 - 4.0%

Mh

ρg = A s /Ag µx = Máx { µh, µb } µy = Mín { µh , µb }

µy

5

4

b

3

2

µx

1

1

2

5

3

4

ν = 30.0

4

5

µy 5

ν = 0.0

4

4 ν = 25.0

3

ν = 2.5

2

2

4

1

3

1

0.5 0.5

µx

4

µx 0.5

4

1

0.5

4

0.5

2 3

ν = 20.0

2 ν = 5.0

4 4

4

5

4

3

ν = 10.0

2

1

µx

1

2

3

4

5 5

Las curvas incorporan el factor de reducción de resistencia φ. As es el área total del acero. La curva más externa corresponde a ρg = 8.0 %, en las interiores ρg disminuye en intervalos de 1.0 %. En los casos que existan nueve curvas, la última corresponde a ρg = 0.5 %.

190

3 4

ν = 15.0

5

µy

1

µy

25.- FLEXION BIAXIAL EN COLUMNAS RECTANGULARES CUANTIA DE ACERO PARA EL DISEÑO ρg Mb

A g = b·h δ = dh/h = db/b

db

δ=

dh

0.10

f 'c= 30 [MPa] fy = 280 [MPa]

µh = Mh/(A g·h) [MPa] µb = Mb/(A g·b) [MPa] ν = P u/Ag [MPa]

h

ρg: 0.5 - 8.0%

Mh

ρg = A s /Ag µx = Máx { µh, µb } µy = Mín { µh , µb }

µy

10

8

b

6

4

µx

2

2

4

6

8

10

10

µy 10

ν = 30.0

ν = 0.0

8

8 8

ν = 25.0

6 4

ν =3.0

4

4 8

2

µx

2

4

8

8

µx

4 8

2

6

4

2 8

4 4

4 8

6

4 8

ν = 20.0

ν = 5.0

8

8 ν = 15.0

10

µy

6

10

8

6

ν = 10.0

4

2

µx

2

4

6

8

10 10

µy

Las curvas incorporan el factor de reducción de resistencia φ. As es el área total del acero. La curva más externa corresponde a ρg = 8.0 %, en las interiores ρg disminuye en intervalos de 1.0 %. En los casos que existan nueve curvas, la última corresponde a ρg = 0.5 %.

191

26.- FLEXION BIAXIAL EN COLUMNAS RECTANGULARES CUANTIA DE ACERO PARA EL DISEÑO ρg Mb

A g = b·h δ = dh/h = db/b

db

δ=

dh

0.10

f 'c= 30 [MPa] fy = 420 [MPa]

µh = Mh/(A g·h) [MPa] µb = Mb/(A g·b) [MPa] ν = P u/Ag [MPa]

h

ρg: 0.5 - 8.0%

Mh

ρg = A s /Ag µx = Máx { µh, µb } µy = Mín { µh , µb }

µy

10

8

b

6

4

µx

2

2

4

10

6

10

µy 10

8

ν = 36.0

8

ν = 0.0

8

8 ν = 30.0

6

ν = 3.0

6

4

4

4

8 4

2

2

8

8

µx

µx 4

2

4

2

8 4

8

4

4

4 8

6

ν = 24.0

ν = 6.0

8

8

8 ν = 18.0

10

µy

10

8

6

ν = 12.0

4

2

µx

2

4

6

8

10 10

Las curvas incorporan el factor de reducción de resistencia φ. As es el área total del acero. La curva más externa corresponde a ρg = 8.0 %, en las interiores ρg disminuye en intervalos de 1.0 %. En los casos que existan nueve curvas, la última corresponde a ρg = 0.5 %.

192

6

µy

27.- FLEXION BIAXIAL EN COLUMNAS RECTANGULARES CUANTIA DE ACERO PARA EL DISEÑO ρg Mb

A g = b·h δ = dh/h = db/b

db

δ=

dh

0.10

f 'c= 30 [MPa] fy = 420 [MPa]

µh = Mh/(A g·h) [MPa] µb = Mb/(A g·b) [MPa] ν = P u/Ag [MPa]

h

ρg: 0.1 - 4.0%

Mh

ρg = A s /Ag µx = Máx { µh, µb } µy = Mín { µh , µb }

µy

5

4

b

3

2

1

µx

1

2

3

4

5

4

5 ν = 36.0

µy 5

ν = 0.0

4

4 ν = 30.0

3

ν = 3.0 4

2 1

3 2 1

0.5

0.5

µx

µx 0.5

0.5

4

1

1 4

2

2

0.5

3

ν = 24.0

ν = 6.0

4 4

4 ν = 18.0

5

µy

5

4

3

4 ν = 12.0

2

1

µx

1

2

3

3

4

5 5

µy

Las curvas incorporan el factor de reducción de resistencia φ. As es el área total del acero. La curva más externa corresponde a ρg = 8.0 %, en las interiores ρg disminuye en intervalos de 1.0 %. En los casos que existan nueve curvas, la última corresponde a ρg = 0.5 %.

193

28.- FLEXION BIAXIAL EN COLUMNAS RECTANGULARES CUANTIA DE ACERO PARA EL DISEÑO ρg Mb

A g = b·h δ = dh/h = db/b

db

δ=

dh

0.10

f 'c= 35 [MPa] fy = 280 [MPa]

µh = Mh/(A g·h) [MPa] µb = Mb/(A g·b) [MPa] ν = P u/Ag [MPa]

h

ρg: 0.5 - 8.0%

Mh

ρg = A s /Ag µx = Máx { µh, µb } µy = Mín { µh , µb }

µy

10

8

b

6

4

µx

2

2

4

6

8

10

10

µy 10

ν = 30.0

ν = 0.0

8

8 8

ν = 25.0

6 4

ν =3.5

4

4 8

8

8

2

6

2 4

4

µx

µx 4

4

2

4

4

4

4 8

8

6

2

8

8

ν = 20.0

ν = 5.0

8

8 ν = 15.0

10

µy

10

8

6

ν = 10.0

4

2

µx

2

4

6

8

10 10

Las curvas incorporan el factor de reducción de resistencia φ. As es el área total del acero. La curva más externa corresponde a ρg = 8.0 %, en las interiores ρg disminuye en intervalos de 1.0 %. En los casos que existan nueve curvas, la última corresponde a ρg = 0.5 %.

194

6

µy

29.- FLEXION BIAXIAL EN COLUMNAS RECTANGULARES CUANTIA DE ACERO PARA EL DISEÑO ρg Mb

A g = b·h δ = dh/h = db/b

db

δ=

dh

0.10

f 'c= 35 [MPa] fy = 420 [MPa]

µh = Mh/(A g·h) [MPa] µb = Mb/(A g·b) [MPa] ν = P u/Ag [MPa]

h

ρg: 0.5 - 8.0%

Mh

ρg = A s /Ag µx = Máx { µh, µb } µy = Mín { µh , µb }

µy

10

8

b

6

4

µx

2

2

4

10

6

10

µy 10

8

ν = 36.0

8

ν = 0.0

8

8 ν = 30.0

6

ν = 3.5

6

4

4

4

8 8

2

8

2

4

µx

4

µx

4

2

2

4

8

8

4

4

4

6

ν = 24.0

ν = 6.0

8

8

8

8 ν = 18.0

10

µy

6

10

8

6

ν = 12.0

4

2

µx

2

4

6

8

10 10

µy

Las curvas incorporan el factor de reducción de resistencia φ. As es el área total del acero. La curva más externa corresponde a ρg = 8.0 %, en las interiores ρg disminuye en intervalos de 1.0 %. En los casos que existan nueve curvas, la última corresponde a ρg = 0.5 %.

195

30.- FLEXION BIAXIAL EN COLUMNAS RECTANGULARES CUANTIA DE ACERO PARA EL DISEÑO ρg Mb

A g = b·h δ = dh/h = db/b

db

δ=

dh

0.10

f 'c= 35 [MPa] fy = 420 [MPa]

µh = Mh/(A g·h) [MPa] µb = Mb/(A g·b) [MPa] ν = P u/Ag [MPa]

h

ρg: 0.1 - 4.0%

Mh

ρg = A s /Ag µx = Máx { µh, µb } µy = Mín { µh , µb }

µy

5

4

b

3

2

µx

1

1

2

3

4

µy

5

4

5 ν = 36.0

5 ν = 0.0

4

4 ν = 30.0

3

ν = 3.5

2

3 2

4 0.5

1

1

0.5 4

µx

µx 0.5

1

1 4

4

0.5

2

2 0.5

3

ν = 24.0

ν = 6.0 4

4

µy

4

ν = 18.0

5 5

4

3

ν = 12.0

4

2

1

µx

1

2

3

4

5 5

Las curvas incorporan el factor de reducción de resistencia φ. As es el área total del acero. La curva más externa corresponde a ρg = 8.0 %, en las interiores ρg disminuye en intervalos de 1.0 %. En los casos que existan nueve curvas, la última corresponde a ρg = 0.5 %.

196

3

µy

31.- FLEXION BIAXIAL EN COLUMNAS RECTANGULARES CUANTIA DE ACERO PARA EL DISEÑO ρg Mb

A g = b·h δ = dh/h = db/b

db

δ=

dh

0.10

f 'c= 40 [MPa] fy = 280 [MPa]

µh = Mh/(A g·h) [MPa] µb = Mb/(A g·b) [MPa] ν = P u/Ag [MPa]

h

ρg: 0.5 - 8.0%

Mh

ρg = A s /Ag µx = Máx { µh, µb } µy = Mín { µh , µb }

µy

10

8

b

6

4

µx

2

2

4

6

8

10

10

µy 10

ν = 33.0

ν = 0.0

8

8 8

ν = 27.5

6

ν =4.0

4

4

4 8

2

6

8

8

2

4 4

µx

µx 4

2

4

2

8

8

4

4

4

4

8

6

ν = 22.0

ν = 5.5

8

8

8 ν = 16.5

10

µy

6

10

8

6

ν = 11.0

4

2

µx

2

4

6

8

10 10

µy

Las curvas incorporan el factor de reducción de resistencia φ. As es el área total del acero. La curva más externa corresponde a ρg = 8.0 %, en las interiores ρg disminuye en intervalos de 1.0 %. En los casos que existan nueve curvas, la última corresponde a ρg = 0.5 %.

197

32.- FLEXION BIAXIAL EN COLUMNAS RECTANGULARES CUANTIA DE ACERO PARA EL DISEÑO ρg Mb

A g = b·h δ = dh/h = db/b

db

δ=

dh

0.10

f 'c= 40 [MPa] fy = 420 [MPa]

µh = Mh/(A g·h) [MPa] µb = Mb/(A g·b) [MPa] ν = P u/Ag [MPa]

h

ρg: 0.5 - 8.0%

Mh

ρg = A s /Ag µx = Máx { µh, µb } µy = Mín { µh , µb }

µy

10

8

b

6

4

µx

2

2

4

6

8

10

10

µy 10

8

ν = 39.0

ν = 0.0

8

8 ν = 32.5

6

ν = 4.0

6

4

4

4

8 8

8

2

4

2 4

µx

µx

4

2

2

4

8

8

4

4

4 4

6

ν = 26.0

8

ν = 6.5

8

8

8 ν = 19.5

10

µy

10

8

6

ν = 13.0

4

2

µx

2

4

6

8

10 10

Las curvas incorporan el factor de reducción de resistencia φ. As es el área total del acero. La curva más externa corresponde a ρg = 8.0 %, en las interiores ρg disminuye en intervalos de 1.0 %. En los casos que existan nueve curvas, la última corresponde a ρg = 0.5 %.

198

6

µy

33.- FLEXION BIAXIAL EN COLUMNAS RECTANGULARES CUANTIA DE ACERO PARA EL DISEÑO ρg Mb

A g = b·h δ = dh/h = db/b

db

δ=

dh

0.10

f 'c= 16 [MPa] fy = 280 [MPa]

µh = Mh/(A g·h) [MPa] µb = Mb/(A g·b) [MPa] ν = P u/Ag [MPa]

h

ρg: 0.5 - 8.0%

Mh

ρg = A s /Ag µx = Máx { µh, µb } µy = Mín { µh , µb }

µy

10

8

b

6

4

µx

2

2

4

6

8

10

10

µy 10

ν = 21.0

ν = 0.0

8

8 ν = 17.5

6

ν =1.6

8

6 4

4 4 8

2

8

8

µx

2

4

µx

4 8

4

2

4

8

2

4

8

4

4

8

6

ν = 14.0

ν = 3.5

8

8 ν = 10.5

10

µy

6

10

8

6

ν = 7.0

4

2

µx

2

4

6

10 8

10

µy

Las curvas incorporan el factor de reducción de resistencia φ. As es el área total del acero. La curva más externa corresponde a ρg = 8.0 %, en las interiores ρg disminuye en intervalos de 1.0 %. En los casos que existan nueve curvas, la última corresponde a ρg = 0.5 %.

199

34.- FLEXION BIAXIAL EN COLUMNAS RECTANGULARES CUANTIA DE ACERO PARA EL DISEÑO ρg Mb

A g = b·h δ = dh/h = db/b

db

δ=

dh

0.10

f 'c= 16 [MPa] fy = 420 [MPa]

µh = Mh/(A g·h) [MPa] µb = Mb/(A g·b) [MPa] ν = P u/Ag [MPa]

h

ρg: 0.5 - 8.0%

Mh

ρg = A s /Ag µx = Máx { µh, µb } µy = Mín { µh , µb }

µy

10

8

b

6

4

µx

2

2

4

6

8

10

10

10 ν = 27.0

ν = 0.0

8

8 ν = 22.5

6

ν = 1.6

8

4

4 8

8

µx

2

4

µx

4 4

8

2

2

8 4

4

4

4

8

6

8

ν = 18.0

ν = 4.5

8

6 8

ν = 13.5

10 10

8

6

ν = 9.0

4

2

µx

2

4

6

10 8

10

Las curvas incorporan el factor de reducción de resistencia φ. As es el área total del acero. La curva más externa corresponde a ρg = 8.0 %, en las interiores ρg disminuye en intervalos de 1.0 %. En los casos que existan nueve curvas, la última corresponde a ρg = 0.5 %.

200

6 4

8

2

µy

µy

µy

35.- FLEXION BIAXIAL EN COLUMNAS RECTANGULARES CUANTIA DE ACERO PARA EL DISEÑO ρg Mb

A g = b·h δ = dh/h = db/b

db

δ=

dh

0.10

f 'c= 20 [MPa] fy = 280 [MPa]

µh = Mh/(A g·h) [MPa] µb = Mb/(A g·b) [MPa] ν = P u/Ag [MPa]

h

ρg: 0.5 - 8.0%

Mh

ρg = A s /Ag µx = Máx { µh, µb } µy = Mín { µh , µb }

µy

10

8

b

6

4

µx

2

2

4

6

8

10

10

µy 10

ν = 24.0

ν = 0.0

8

8 ν = 20.0

6

ν =2.0

8

6 4

4 4 8

2 8

µx

2

4

8

µx

4 8

4

2 4

8

6

2

8

4

4

8

ν = 16.0

ν = 4.0

8

8 ν = 12.0

10

µy

6

10

8

6

ν = 8.0

4

2

µx

2

4

6

10 8

10

µy

Las curvas incorporan el factor de reducción de resistencia φ. As es el área total del acero. La curva más externa corresponde a ρg = 8.0 %, en las interiores ρg disminuye en intervalos de 1.0 %. En los casos que existan nueve curvas, la última corresponde a ρg = 0.5 %.

201

36.- FLEXION BIAXIAL EN COLUMNAS RECTANGULARES CUANTIA DE ACERO PARA EL DISEÑO ρg Mb

A g = b·h δ = dh/h = db/b

db

δ=

dh

0.10

f 'c= 20 [MPa] fy = 420 [MPa]

µh = Mh/(A g·h) [MPa] µb = Mb/(A g·b) [MPa] ν = P u/Ag [MPa]

h

ρg: 0.5 - 8.0%

Mh

ρg = A s /Ag µx = Máx { µh, µb } µy = Mín { µh , µb }

µy

10

b

8

6

4

µx

2

2

4

6

8

10

µy 10

10 ν = 27.0

ν = 0.0

8

8 8

ν = 22.5

6

ν = 2.0

4

4

4 8

8

2

2

4

8

µx

6

µx

4 4 4

8

2

2

8

4 4

4

4 8

8

6

ν = 18.0

ν = 4.5

8

8 ν = 13.5

10

µy

10

8

6

ν = 9.0

4

2

µx

2

4

6

10 8

10

Las curvas incorporan el factor de reducción de resistencia φ. As es el área total del acero. La curva más externa corresponde a ρg = 8.0 %, en las interiores ρg disminuye en intervalos de 1.0 %. En los casos que existan nueve curvas, la última corresponde a ρg = 0.5 %.

202

6

µy

37.- FLEXION BIAXIAL EN COLUMNAS RECTANGULARES CUANTIA DE ACERO PARA EL DISEÑO ρg Mb

A g = b·h δ = dh/h = db/b

db

δ=

dh

0.15

f 'c= 20 [MPa] fy = 420 [MPa]

µh = Mh/(A g·h) [MPa] µb = Mb/(A g·b) [MPa] ν = P u/Ag [MPa]

h

ρg: 0.1 - 4.0%

Mh

ρg = A s /Ag µx = Máx { µh, µb } µy = Mín { µh , µb }

µy

5

4

b

3

2

µx

1

1

2

3

4

5

5

µy 5

ν = 27.0

ν = 0.0

4

4

4

ν = 22.5

3

ν = 2.0

2

3 2

4

1

1

0.5 0.5

µx

µx

4 0.5 4

1

1 4

0.5

2

2 4 4

3

ν = 18.0

ν = 4.5

4

4 ν = 13.5

5

µy

3

5

4

3

ν = 9.0

2

1

µx

1

2

3

5 4

5

µy

Las curvas incorporan el factor de reducción de resistencia φ. As es el área total del acero. La curva más externa corresponde a ρg = 8.0 %, en las interiores ρg disminuye en intervalos de 1.0 %. En los casos que existan nueve curvas, la última corresponde a ρg = 0.5 %.

203

38.- FLEXION BIAXIAL EN COLUMNAS RECTANGULARES CUANTIA DE ACERO PARA EL DISEÑO ρg Mb

A g = b·h δ = dh/h = db/b

db

δ=

dh

0.15

f 'c= 25 [MPa] fy = 280 [MPa]

µh = Mh/(A g·h) [MPa] µb = Mb/(A g·b) [MPa] ν = P u/Ag [MPa]

h

ρg: 0.5 - 8.0%

Mh

ρg = A s /Ag µx = Máx { µh, µb } µy = Mín { µh , µb }

µy

10

b

8

6

4

µx

2

2

4

6

8

10

10

µy 10

ν = 27.0

ν = 0.0

8

8 ν = 22.5

6

ν =2.5

6

8

4

4 4 8

2 8

8

2

4

µx

µx 4 4

8

2

2 4

8 4

4

4

8

6

8

ν = 18.0

ν = 4.5

8

8 ν = 13.5

10

µy

10

8

6

ν = 9.0

4

2

µx

2

4

6

10 8

10

Las curvas incorporan el factor de reducción de resistencia φ. As es el área total del acero. La curva más externa corresponde a ρg = 8.0 %, en las interiores ρg disminuye en intervalos de 1.0 %. En los casos que existan nueve curvas, la última corresponde a ρg = 0.5 %.

204

6

µy

39.- FLEXION BIAXIAL EN COLUMNAS RECTANGULARES CUANTIA DE ACERO PARA EL DISEÑO ρg Mb

A g = b·h δ = dh/h = db/b

db

δ=

dh

0.15

f 'c= 25 [MPa] fy = 420 [MPa]

µh = Mh/(A g·h) [MPa] µb = Mb/(A g·b) [MPa] ν = P u/Ag [MPa]

h

ρg: 0.5 - 8.0%

Mh

ρg = A s /Ag µx = Máx { µh, µb } µy = Mín { µh , µb }

µy

10

8

b

6

4

µx

2

2

4

6

8

10

10

µy 10

ν = 30.0

ν = 0.0

8

8 8

ν = 25.0

6

ν = 2.5

6

4

4

4 8

2

8

8

2

4

µx

µx

4 4 8

2

4

2 8

4 4

4

4

8 8

6

ν = 20.0

ν = 5.0

8

8 ν = 15.0

10

µy

6

10

8

6

ν = 10.0

4

2

µx

2

4

6

8

10 10

µy

Las curvas incorporan el factor de reducción de resistencia φ. As es el área total del acero. La curva más externa corresponde a ρg = 8.0 %, en las interiores ρg disminuye en intervalos de 1.0 %. En los casos que existan nueve curvas, la última corresponde a ρg = 0.5 %.

205

40.- FLEXION BIAXIAL EN COLUMNAS RECTANGULARES CUANTIA DE ACERO PARA EL DISEÑO ρg Mb

A g = b·h δ = dh/h = db/b

db

δ=

dh

0.15

f 'c= 25 [MPa] fy = 420 [MPa]

µh = Mh/(A g·h) [MPa] µb = Mb/(A g·b) [MPa] ν = P u/Ag [MPa]

h

ρg: 0.1 - 4.0%

Mh

ρg = A s /Ag µx = Máx { µh, µb } µy = Mín { µh , µb }

µy

5

4

b

3

2

µx

1

1

2

3

4

5

µy 5

5 ν = 30.0

ν = 0.0

4

4

4 ν = 25.0

3

ν = 2.5

3 2

2 4

1

1

0.5 0.5

µx

µx

4

4

0.5 0.5

1

1 4

0.5

2

2

4

3

ν = 20.0

ν = 5.0

4

4

4 ν = 15.0

5

µy

5

4

3

ν = 10.0

2

1

µx

1

2

3

4

5 5

Las curvas incorporan el factor de reducción de resistencia φ. As es el área total del acero. La curva más externa corresponde a ρg = 8.0 %, en las interiores ρg disminuye en intervalos de 1.0 %. En los casos que existan nueve curvas, la última corresponde a ρg = 0.5 %.

206

3

µy

41.- FLEXION BIAXIAL EN COLUMNAS RECTANGULARES CUANTIA DE ACERO PARA EL DISEÑO ρg Mb

A g = b·h δ = dh/h = db/b

db

δ=

dh

0.15

f 'c= 30 [MPa] fy = 280 [MPa]

µh = Mh/(A g·h) [MPa] µb = Mb/(A g·b) [MPa] ν = P u/Ag [MPa]

h

ρg: 0.5 - 8.0%

Mh

ρg = A s /Ag µx = Máx { µh, µb } µy = Mín { µh , µb }

µy

10

b

8

6

4

µx

2

2

4

6

8

10

10

µy 10

ν = 30.0

ν = 0.0

8

8 ν = 25.0

6

ν =3.0

8

4

4

4 8

2

µx

2

4

8

8

µx

4 4

8

2

2

8

4 4

4

6

4

8 8

6

ν = 20.0

ν = 5.0

8

8 ν = 15.0

10

µy

6

10

8

6

ν = 10.0

4

2

µx

2

4

6

8

10 10

µy

Las curvas incorporan el factor de reducción de resistencia φ. As es el área total del acero. La curva más externa corresponde a ρg = 8.0 %, en las interiores ρg disminuye en intervalos de 1.0 %. En los casos que existan nueve curvas, la última corresponde a ρg = 0.5 %.

207

42.- FLEXION BIAXIAL EN COLUMNAS RECTANGULARES CUANTIA DE ACERO PARA EL DISEÑO ρg Mb

A g = b·h δ = dh/h = db/b

db

δ=

dh

0.15

f 'c= 30 [MPa] fy = 420 [MPa]

µh = Mh/(A g·h) [MPa] µb = Mb/(A g·b) [MPa] ν = P u/Ag [MPa]

h

ρg: 0.5 - 8.0%

Mh

ρg = A s /Ag µx = Máx { µh, µb } µy = Mín { µh , µb }

µy

10

8

b

6

4

µx

2

2

4

6

8

10

10

µy 10

ν = 36.0

ν = 0.0

8

8 8

ν = 30.0

6

ν = 3.0 4

4

4 8

2

8

8

6

2

4

µx

µx 4 4

8

2

2

8 4

4

4 8

6

4 8

ν = 24.0

ν = 6.0

8

8 ν = 18.0

10

µy

10

8

6

ν = 12.0

4

2

µx

2

4

6

8

10 10

Las curvas incorporan el factor de reducción de resistencia φ. As es el área total del acero. La curva más externa corresponde a ρg = 8.0 %, en las interiores ρg disminuye en intervalos de 1.0 %. En los casos que existan nueve curvas, la última corresponde a ρg = 0.5 %.

208

6

µy

43.- FLEXION BIAXIAL EN COLUMNAS RECTANGULARES CUANTIA DE ACERO PARA EL DISEÑO ρg Mb

A g = b·h δ = dh/h = db/b

db

δ=

dh

0.15

f 'c= 30 [MPa] fy = 420 [MPa]

µh = Mh/(A g·h) [MPa] µb = Mb/(A g·b) [MPa] ν = P u/Ag [MPa]

h

ρg: 0.1 - 4.0%

Mh

ρg = A s /Ag µx = Máx { µh, µb } µy = Mín { µh , µb }

µy

5

4

b

3

2

1

µx

1

2

3

4

5

5

µy 5

ν = 36.0

ν = 0.0

4

4

4 ν = 30.0

3

ν = 3.0

3 2

2 4

1

0.5

1

0.5

µx

µx 0.5

0.5

4

1

1 4

2

2

0.5 4

3

ν = 24.0

ν = 6.0

3

4

4

4 ν = 18.0

5

µy

5

4

3

ν = 12.0

2

1

µx

1

2

3

4

5 5

µy

Las curvas incorporan el factor de reducción de resistencia φ. As es el área total del acero. La curva más externa corresponde a ρg = 8.0 %, en las interiores ρg disminuye en intervalos de 1.0 %. En los casos que existan nueve curvas, la última corresponde a ρg = 0.5 %.

209

44.- FLEXION BIAXIAL EN COLUMNAS RECTANGULARES CUANTIA DE ACERO PARA EL DISEÑO ρg Mb

A g = b·h δ = dh/h = db/b

db

δ=

dh

0.15

f 'c= 35 [MPa] fy = 280 [MPa]

µh = Mh/(A g·h) [MPa] µb = Mb/(A g·b) [MPa] ν = P u/Ag [MPa]

h

ρg: 0.5 - 8.0%

Mh

ρg = A s /Ag µx = Máx { µh, µb } µy = Mín { µh , µb }

µy

10

b

8

6

4

µx

2

2

4

6

8

10

10

10 ν = 30.0

ν = 0.0

8

8 8

ν = 25.0

6 4

ν =3.5

8

8 8

2

4 4

µx

µx

4

2

4

2

8

8 4

4

4 8

6

4 8

ν = 20.0

ν = 5.0

8

6 8

ν = 15.0

10 10

8

6

ν = 10.0

4

2

µx

2

4

6

8

10 10

Las curvas incorporan el factor de reducción de resistencia φ. As es el área total del acero. La curva más externa corresponde a ρg = 8.0 %, en las interiores ρg disminuye en intervalos de 1.0 %. En los casos que existan nueve curvas, la última corresponde a ρg = 0.5 %.

210

6 4

4

2

µy

µy

µy

45.- FLEXION BIAXIAL EN COLUMNAS RECTANGULARES CUANTIA DE ACERO PARA EL DISEÑO ρg Mb

A g = b·h δ = dh/h = db/b

db

δ=

dh

0.15

f 'c= 35 [MPa] fy = 420 [MPa]

µh = Mh/(A g·h) [MPa] µb = Mb/(A g·b) [MPa] ν = P u/Ag [MPa]

h

ρg: 0.5 - 8.0%

Mh

ρg = A s /Ag µx = Máx { µh, µb } µy = Mín { µh , µb }

µy

10

8

b

6

4

µx

2

2

4

6

8

10

10

µy 10

ν = 36.0

ν = 0.0

8

8

8

ν = 30.0

6

ν = 3.5 4

4

6 4

8 8

2

2

4

8

µx

µx

4

4

2

4

2

8

8 4

4

4

4 8

6

8

ν = 24.0

ν = 6.0

8

8 ν = 18.0

10

µy

6

10

8

6

ν = 12.0

4

2

µx

2

4

6

8

10 10

µy

Las curvas incorporan el factor de reducción de resistencia φ. As es el área total del acero. La curva más externa corresponde a ρg = 8.0 %, en las interiores ρg disminuye en intervalos de 1.0 %. En los casos que existan nueve curvas, la última corresponde a ρg = 0.5 %.

211

46.- FLEXION BIAXIAL EN COLUMNAS RECTANGULARES CUANTIA DE ACERO PARA EL DISEÑO ρg Mb

A g = b·h δ = dh/h = db/b

db

δ=

dh

0.15

f 'c= 35 [MPa] fy = 420 [MPa]

µh = Mh/(A g·h) [MPa] µb = Mb/(A g·b) [MPa] ν = P u/Ag [MPa]

h

ρg: 0.1 - 4.0%

Mh

ρg = A s /Ag µx = Máx { µh, µb } µy = Mín { µh , µb }

µy

5

4

b

3

2

µx

1

1

2

3

4

5

5

µy 5

ν = 36.0

4

ν = 0.0

4

4 ν = 30.0

3

ν = 3.5

2

3 2

4 0.5

1

1

0.5

µx

4

µx 0.5

1

1

4 0.5

4

2 0.5

3

ν = 24.0

ν = 6.0 4

4

4 ν = 18.0

5

µy

2

5

4

3

4 ν = 12.0

2

1

µx

1

2

3

4

5 5

Las curvas incorporan el factor de reducción de resistencia φ. As es el área total del acero. La curva más externa corresponde a ρg = 8.0 %, en las interiores ρg disminuye en intervalos de 1.0 %. En los casos que existan nueve curvas, la última corresponde a ρg = 0.5 %.

212

3

µy

47.- FLEXION BIAXIAL EN COLUMNAS RECTANGULARES CUANTIA DE ACERO PARA EL DISEÑO ρg Mb

A g = b·h δ = dh/h = db/b

db

δ=

dh

0.15

f 'c= 40 [MPa] fy = 280 [MPa]

µh = Mh/(A g·h) [MPa] µb = Mb/(A g·b) [MPa] ν = P u/Ag [MPa]

h

ρg: 0.5 - 8.0%

Mh

ρg = A s /Ag µx = Máx { µh, µb } µy = Mín { µh , µb }

µy

10

b

8

6

4

µx

2

2

4

6

8

10

µy 10

10 ν = 33.0

ν = 0.0

8

8 8

ν = 27.5

6 4

ν =4.0

4

4 8

8

2

2

4

8 4

µx

6

µx

4

2

4

2

8

8 4

4

4

4 8

6

8

ν = 22.0

ν = 5.5

8

8 ν = 16.5

10

µy

6

10

8

6

ν = 11.0

4

2

µx

2

4

6

8

10 10

µy

Las curvas incorporan el factor de reducción de resistencia φ. As es el área total del acero. La curva más externa corresponde a ρg = 8.0 %, en las interiores ρg disminuye en intervalos de 1.0 %. En los casos que existan nueve curvas, la última corresponde a ρg = 0.5 %.

213

48.- FLEXION BIAXIAL EN COLUMNAS RECTANGULARES CUANTIA DE ACERO PARA EL DISEÑO ρg Mb

A g = b·h δ = dh/h = db/b

db

δ=

dh

0.15

f 'c= 40 [MPa] fy = 420 [MPa]

µh = Mh/(A g·h) [MPa] µb = Mb/(A g·b) [MPa] ν = P u/Ag [MPa]

h

ρg: 0.5 - 8.0%

Mh

ρg = A s /Ag µx = Máx { µh, µb } µy = Mín { µh , µb }

µy

10

8

b

6

4

µx

2

2

4

6

8

10

10

10 ν = 39.0

ν = 0.0

8

8

8

ν = 32.5

6

ν = 4.0 4

4 8

2

4

8

µx

µx

4

4

2

4

2

8

8

4

4

6

4

4 8

8

ν = 26.0

ν = 6.5

8

6 8

ν = 19.5

10 10

8

6

ν = 13.0

4

2

µx

2

4

6

8

10 10

Las curvas incorporan el factor de reducción de resistencia φ. As es el área total del acero. La curva más externa corresponde a ρg = 8.0 %, en las interiores ρg disminuye en intervalos de 1.0 %. En los casos que existan nueve curvas, la última corresponde a ρg = 0.5 %.

214

6 4

8

2

µy

µy

µy

49.- FLEXION BIAXIAL EN COLUMNAS RECTANGULARES CUANTIA DE ACERO PARA EL DISEÑO ρg Mb

A g = b·h δ = dh/h = db/b

db

δ=

dh

0.2

f 'c= 16 [MPa] fy = 280 [MPa]

µh = Mh/(A g·h) [MPa] µb = Mb/(A g·b) [MPa] ν = P u/Ag [MPa]

h

ρg: 0.5 - 8.0%

Mh

ρg = A s /Ag µx = Máx { µh, µb } µy = Mín { µh , µb }

µy

10

b

8

6

4

µx

2

2

4

6

8

10

µy 10

10 ν = 21.0

ν = 0.0

8

8 ν = 17.5

6

ν =1.6 8

4

6 4

4

2

8

8

µx

µx

4 8

2

4 8

4

2

4

8

8

4 6

2

8

4

4

ν = 14.0

ν = 3.5

8

8 ν = 10.5

10

µy

6

10

8

6

ν = 7.0

4

2

µx

2

4

6

10 8

10

µy

Las curvas incorporan el factor de reducción de resistencia φ. As es el área total del acero. La curva más externa corresponde a ρg = 8.0 %, en las interiores ρg disminuye en intervalos de 1.0 %. En los casos que existan nueve curvas, la última corresponde a ρg = 0.5 %.

215

50.- FLEXION BIAXIAL EN COLUMNAS RECTANGULARES CUANTIA DE ACERO PARA EL DISEÑO ρg Mb

A g = b·h δ = dh/h = db/b

db

δ=

dh

0.20

f 'c= 16 [MPa] fy = 420 [MPa]

µh = Mh/(A g·h) [MPa] µb = Mb/(A g·b) [MPa] ν = P u/Ag [MPa]

h

ρg: 0.5 - 8.0%

Mh

ρg = A s /Ag µx = Máx { µh, µb } µy = Mín { µh , µb }

µy

10

8

b

6

4

µx

2

2

4

6

8

10

10

µy 10

ν = 27.0

ν = 0.0

8

8 ν = 22.5

6

ν = 1.6

8

4

6 4

4

2

µx

2

8

4

8

8

µx

4 4 8

2

8

4

2

4 8 8

4 6

4

ν = 18.0

ν = 4.5

8

8 ν = 13.5

10

µy

10

8

6

ν = 9.0

4

2

µx

2

4

6

10 8

10

Las curvas incorporan el factor de reducción de resistencia φ. As es el área total del acero. La curva más externa corresponde a ρg = 8.0 %, en las interiores ρg disminuye en intervalos de 1.0 %. En los casos que existan nueve curvas, la última corresponde a ρg = 0.5 %.

216

6

µy

51.- FLEXION BIAXIAL EN COLUMNAS RECTANGULARES CUANTIA DE ACERO PARA EL DISEÑO ρg Mb

A g = b·h δ = dh/h = db/b

db

δ=

dh

0.20

f 'c= 20 [MPa] fy = 280 [MPa]

µh = Mh/(A g·h) [MPa] µb = Mb/(A g·b) [MPa] ν = P u/Ag [MPa]

h

ρg: 0.5 - 8.0%

Mh

ρg = A s /Ag µx = Máx { µh, µb } µy = Mín { µh , µb }

µy

10

b

8

6

4

µx

2

2

4

6

8

10

10

µy 10

ν = 24.0

ν = 0.0

8

8 ν = 20.0

6

ν =2.0

6

8

4

4 4

2

2

8

4

8 8

µx

µx

4 4 8

8

2

4 8

4 6

2

4 8

4

ν = 16.0

ν = 4.0

8

8 ν = 12.0

10

µy

6

10

8

6

ν = 8.0

4

2

µx

2

4

6

8

10 10

µy

Las curvas incorporan el factor de reducción de resistencia φ. As es el área total del acero. La curva más externa corresponde a ρg = 8.0 %, en las interiores ρg disminuye en intervalos de 1.0 %. En los casos que existan nueve curvas, la última corresponde a ρg = 0.5 %.

217

52.- FLEXION BIAXIAL EN COLUMNAS RECTANGULARES CUANTIA DE ACERO PARA EL DISEÑO ρg Mb

A g = b·h δ = dh/h = db/b

db

δ=

dh

0.20

f 'c= 20 [MPa] fy = 420 [MPa]

µh = Mh/(A g·h) [MPa] µb = Mb/(A g·b) [MPa] ν = P u/Ag [MPa]

h

ρg: 0.5 - 8.0%

Mh

ρg = A s /Ag µx = Máx { µh, µb } µy = Mín { µh , µb }

µy

10

8

b

6

4

µx

2

2

4

6

8

10

10

µy 10

ν = 27.0

ν = 0.0

8

8 ν = 22.5

6

ν = 2.0

8

4

4

4

2

6

8

8 8

2

4

µx

µx

4 4 4

8

2

8

2

4 4 8

4

4

8

6

ν = 18.0

ν = 4.5

8

8 ν = 13.5

10

µy

10

8

6

ν = 9.0

4

2

µx

2

4

6

10 8

10

Las curvas incorporan el factor de reducción de resistencia φ. As es el área total del acero. La curva más externa corresponde a ρg = 8.0 %, en las interiores ρg disminuye en intervalos de 1.0 %. En los casos que existan nueve curvas, la última corresponde a ρg = 0.5 %.

218

6

µy

53.- FLEXION BIAXIAL EN COLUMNAS RECTANGULARES CUANTIA DE ACERO PARA EL DISEÑO ρg Mb

A g = b·h δ = dh/h = db/b

db

δ=

dh

0.20

f 'c= 20 [MPa] fy = 420 [MPa]

µh = Mh/(A g·h) [MPa] µb = Mb/(A g·b) [MPa] ν = P u/Ag [MPa]

h

ρg: 0.1 - 4.0%

Mh

ρg = A s /Ag µx = Máx { µh, µb } µy = Mín { µh , µb }

µy

5

4

b

3

2

µx

1

1

2

3

4

5

5

µy 5

ν = 27.0

ν = 0.0

4

4 4

ν = 22.5

3

ν = 2.0

2

3 2

4

1

1

0.5 0.5

µx

µx

4 0.5

4

1

1 0.5

4

2

2 4

3

4

ν = 18.0

ν = 4.5

4

4 ν = 13.5

5

µy

3

5

4

3

ν = 9.0

2

1

µx

1

2

3

5 4

5

µy

Las curvas incorporan el factor de reducción de resistencia φ. As es el área total del acero. La curva más externa corresponde a ρg = 8.0 %, en las interiores ρg disminuye en intervalos de 1.0 %. En los casos que existan nueve curvas, la última corresponde a ρg = 0.5 %.

219

54.- FLEXION BIAXIAL EN COLUMNAS RECTANGULARES CUANTIA DE ACERO PARA EL DISEÑO ρg Mb

A g = b·h δ = dh/h = db/b

db

δ=

dh

0.20

f 'c= 25 [MPa] fy = 280 [MPa]

µh = Mh/(A g·h) [MPa] µb = Mb/(A g·b) [MPa] ν = P u/Ag [MPa]

h

ρg: 0.1 - 4.0%

Mh

ρg = A s /Ag µx = Máx { µh, µb } µy = Mín { µh , µb }

µy

10

8

b

6

4

µx

2

2

4

6

8

10

10

µy 10

ν = 27.0

ν = 0.0

8

8 ν = 22.5

6

ν =2.5

6

8

4

4 4

2

µx

4

µx

4

4

8

2

8 4

2

4

8

4 6

2

8

8

8

4

8

ν = 18.0

ν = 4.5

8

8 ν = 13.5

10

µy

10

8

6

ν = 9.0

4

2

µx

2

4

6

10 8

10

Las curvas incorporan el factor de reducción de resistencia φ. As es el área total del acero. La curva más externa corresponde a ρg = 8.0 %, en las interiores ρg disminuye en intervalos de 1.0 %. En los casos que existan nueve curvas, la última corresponde a ρg = 0.5 %.

220

6

µy

55.- FLEXION BIAXIAL EN COLUMNAS RECTANGULARES CUANTIA DE ACERO PARA EL DISEÑO ρg Mb

A g = b·h δ = dh/h = db/b

db

δ=

dh

0.20

f 'c= 25 [MPa] fy = 420 [MPa]

µh = Mh/(A g·h) [MPa] µb = Mb/(A g·b) [MPa] ν = P u/Ag [MPa]

h

ρg: 0.5 - 8.0%

Mh

ρg = A s /Ag µx = Máx { µh, µb } µy = Mín { µh , µb }

µy

10

8

b

6

4

µx

2

2

4

6

8

10

10

µy 10

ν = 30.0

ν = 0.0

8

8 ν = 25.0

6

ν = 2.5

8

4

4

4

2

6

8

2

8 4

8

µx

µx

4 4 4

8

2 4

4

4

8

6

2

8 4

8

ν = 20.0

ν = 5.0

8

8 ν = 15.0

10

µy

6

10

8

6

ν = 10.0

4

2

µx

2

4

6

8

10 10

µy

Las curvas incorporan el factor de reducción de resistencia φ. As es el área total del acero. La curva más externa corresponde a ρg = 8.0 %, en las interiores ρg disminuye en intervalos de 1.0 %. En los casos que existan nueve curvas, la última corresponde a ρg = 0.5 %.

221

56.- FLEXION BIAXIAL EN COLUMNAS RECTANGULARES CUANTIA DE ACERO PARA EL DISEÑO ρg Mb

A g = b·h δ = dh/h = db/b

db

δ=

dh

0.20

f 'c= 25 [MPa] fy = 420 [MPa]

µh = Mh/(A g·h) [MPa] µb = Mb/(A g·b) [MPa] ν = P u/Ag [MPa]

h

ρg: 0.1 - 4.0%

Mh

ρg = A s /Ag µx = Máx { µh, µb } µy = Mín { µh , µb }

µy

5

4

b

3

2

µx

1

1

2

3

4

5

5

µy 5

ν = 30.0

ν = 0.0

4

4

4

ν = 25.0

3

ν = 2.5

3 2

2 4

1

1

0.5 0.5

µx

µx

4

0.5

0.5

4

1

1 0.5

4

2

2 4

3

4

ν = 20.0

ν = 5.0

4

4 ν = 15.0

5

µy

5

4

3

ν = 10.0

2

1

µx

1

2

3

4

5 5

Las curvas incorporan el factor de reducción de resistencia φ. As es el área total del acero. La curva más externa corresponde a ρg = 8.0 %, en las interiores ρg disminuye en intervalos de 1.0 %. En los casos que existan nueve curvas, la última corresponde a ρg = 0.5 %.

222

3

µy

57.- FLEXION BIAXIAL EN COLUMNAS RECTANGULARES CUANTIA DE ACERO PARA EL DISEÑO ρg Mb

A g = b·h δ = dh/h = db/b

db

δ=

dh

0.20

f 'c= 30 [MPa] fy = 280 [MPa]

µh = Mh/(A g·h) [MPa] µb = Mb/(A g·b) [MPa] ν = P u/Ag [MPa]

h

ρg: 0.1 - 4.0%

Mh

ρg = A s /Ag µx = Máx { µh, µb } µy = Mín { µh , µb }

µy

10

b

8

6

4

µx

2

2

4

6

8

10

10

µy 10

ν = 30.0

ν = 0.0

8

8 ν = 25.0

6

ν =3.0

8

6 4

4 4 8

2 8

µx

8

2

4

µx

4 4

8

2

2

8 4

4

4

8

6

4

8

ν = 20.0

ν = 5.0

8

8 ν = 15.0

10

µy

6

10

8

6

ν = 10.0

4

2

µx

2

4

6

8

10 10

µy

Las curvas incorporan el factor de reducción de resistencia φ. As es el área total del acero. La curva más externa corresponde a ρg = 8.0 %, en las interiores ρg disminuye en intervalos de 1.0 %. En los casos que existan nueve curvas, la última corresponde a ρg = 0.5 %.

223

58.- FLEXION BIAXIAL EN COLUMNAS RECTANGULARES CUANTIA DE ACERO PARA EL DISEÑO ρg Mb

A g = b·h δ = dh/h = db/b

db

δ=

dh

0.20

f 'c= 30 [MPa] fy = 280 [MPa]

µh = Mh/(A g·h) [MPa] µb = Mb/(A g·b) [MPa] ν = P u/Ag [MPa]

h

ρg: 0.5 - 8.0%

Mh

ρg = A s /Ag µx = Máx { µh, µb } µy = Mín { µh , µb }

µy

10

8

b

6

4

µx

2

2

4

6

8

10

10

µy 10

ν = 36.0

ν = 0.0

8

8 8

ν = 30.0

6

ν = 3.0

4

4

4 8

2 8

2

4

8

µx

µx

4 4

8

2

6

2 8

4 4

4 6

4

8

8

ν = 24.0

ν = 6.0

8

8 ν = 18.0

10

µy

10

8

6

ν = 12.0

4

2

µx

2

4

6

8

10 10

Las curvas incorporan el factor de reducción de resistencia φ. As es el área total del acero. La curva más externa corresponde a ρg = 8.0 %, en las interiores ρg disminuye en intervalos de 1.0 %. En los casos que existan nueve curvas, la última corresponde a ρg = 0.5 %.

224

6

µy

59.- FLEXION BIAXIAL EN COLUMNAS RECTANGULARES CUANTIA DE ACERO PARA EL DISEÑO ρg Mb

A g = b·h δ = dh/h = db/b

db

δ=

dh

0.20

f 'c= 30 [MPa] fy = 420 [MPa]

µh = Mh/(A g·h) [MPa] µb = Mb/(A g·b) [MPa] ν = P u/Ag [MPa]

h

ρg: 0.1 - 4.0%

Mh

ρg = A s /Ag µx = Máx { µh, µb } µy = Mín { µh , µb }

µy

5

b

4

3

2

µx

1

1

2

3

4

5

5

µy 5

ν = 36.0

ν = 0.0

4

4

4

ν = 30.0

3

ν = 3.0

3 2

2 4

1

0.5

µx

1

0.5

µx

4

0.5

4

0.5

1

1 4

2

2

0.5 4

3

ν = 24.0

ν = 6.0

4

4

4 ν = 18.0

5

µy

3

5

4

3

ν = 12.0

2

1

µx

1

2

3

4

5 5

µy

Las curvas incorporan el factor de reducción de resistencia φ. As es el área total del acero. La curva más externa corresponde a ρg = 8.0 %, en las interiores ρg disminuye en intervalos de 1.0 %. En los casos que existan nueve curvas, la última corresponde a ρg = 0.5 %.

225

60.- FLEXION BIAXIAL EN COLUMNAS RECTANGULARES CUANTIA DE ACERO PARA EL DISEÑO ρg Mb

A g = b·h δ = dh/h = db/b

db

δ=

dh

0.20

f 'c= 35 [MPa] fy = 280 [MPa]

µh = Mh/(A g·h) [MPa] µb = Mb/(A g·b) [MPa] ν = P u/Ag [MPa]

h

ρg: 0.5 - 8.0%

Mh

ρg = A s /Ag µx = Máx { µh, µb } µy = Mín { µh , µb }

µy

10

8

b

6

4

µx

2

2

4

6

8

10

10

µy 10

ν = 30.0

ν = 0.0

8

8 ν = 25.0

6

ν =3.5

8

4

6 4

4 8

8

2

2

8

4 4

µx

µx 4

4

8

2

2

8 4

4

4

4 8

8

6

ν = 20.0

ν = 5.0

8

8 ν = 15.0

10

µy

10

8

6

ν = 10.0

4

2

µx

2

4

6

8

10 10

Las curvas incorporan el factor de reducción de resistencia φ. As es el área total del acero. La curva más externa corresponde a ρg = 8.0 %, en las interiores ρg disminuye en intervalos de 1.0 %. En los casos que existan nueve curvas, la última corresponde a ρg = 0.5 %.

226

6

µy

61.- FLEXION BIAXIAL EN COLUMNAS RECTANGULARES CUANTIA DE ACERO PARA EL DISEÑO ρg Mb

A g = b·h δ = dh/h = db/b

db

δ=

dh

0.20

f 'c= 35 [MPa] fy = 420 [MPa]

µh = Mh/(A g·h) [MPa] µb = Mb/(A g·b) [MPa] ν = P u/Ag [MPa]

h

ρg: 0.5 - 8.0%

Mh

ρg = A s /Ag µx = Máx { µh, µb } µy = Mín { µh , µb }

µy

10

8

b

6

4

µx

2

2

4

6

8

10

10

10 ν = 36.0

ν = 0.0

8

8 ν = 30.0

6

ν = 3.5

8

4

4

8

8

2

4

µx

µx

4 4 8

2

4

2

8 4

4

4

4

8

6

6 4

8

2

8

ν = 24.0

ν = 6.0

8

6 8

ν = 18.0

10

µy

µy

10

8

6

ν = 12.0

4

2

µx

2

4

6

8

10 10

µy

Las curvas incorporan el factor de reducción de resistencia φ. As es el área total del acero. La curva más externa corresponde a ρg = 8.0 %, en las interiores ρg disminuye en intervalos de 1.0 %. En los casos que existan nueve curvas, la última corresponde a ρg = 0.5 %.

227

62.- FLEXION BIAXIAL EN COLUMNAS RECTANGULARES CUANTIA DE ACERO PARA EL DISEÑO ρg Mb

A g = b·h δ = dh/h = db/b

db

δ=

dh

0.20

f 'c= 35 [MPa] fy = 420 [MPa]

µh = Mh/(A g·h) [MPa] µb = Mb/(A g·b) [MPa] ν = P u/Ag [MPa]

h

ρg: 0.1 - 4.0%

Mh

ρg = A s /Ag µx = Máx { µh, µb } µy = Mín { µh , µb }

µy

5

4

b

3

2

1

1

2

3

4

5

5

µy 5

ν = 36.0

ν = 0.0

4

4

4

ν = 30.0

3

ν = 3.5

2

2

4 0.5

1

1

0.5

µx

µx

4

0.5

4

1

3

1 4

0.5

2

2 0.5

3

ν = 24.0

ν = 6.0

4

3

4

4

4 ν = 18.0

5

µy

5

4

3

ν = 12.0

2

1

µx

1

2

3

4

5 5

Las curvas incorporan el factor de reducción de resistencia φ. As es el área total del acero. La curva más externa corresponde a ρg = 8.0 %, en las interiores ρg disminuye en intervalos de 1.0 %. En los casos que existan nueve curvas, la última corresponde a ρg = 0.5 %.

228

µy

63.- FLEXION BIAXIAL EN COLUMNAS RECTANGULARES CUANTIA DE ACERO PARA EL DISEÑO ρg Mb

A g = b·h δ = dh/h = db/b

db

δ=

dh

0.20

f 'c= 40 [MPa] fy = 280 [MPa]

µh = Mh/(A g·h) [MPa] µb = Mb/(A g·b) [MPa] ν = P u/Ag [MPa]

h

ρg: 0.5 - 8.0%

Mh

ρg = A s /Ag µx = Máx { µh, µb } µy = Mín { µh , µb }

µy

10

8

b

6

4

µx

2

2

4

6

8

10

10

µy 10

ν = 33.0

ν = 0.0

8

8 ν = 27.5

6

ν =4.0

8

4

4

4 8

8

2

8

2

4 4

µx

µx

4 4

8

2

6

2 8

4

4

4

8

6

4 8

ν = 22.0

ν = 5.5

8

8 ν = 16.5

10

µy

6

10

8

6

ν = 11.0

4

2

µx

2

4

6

8

10 10

µy

Las curvas incorporan el factor de reducción de resistencia φ. As es el área total del acero. La curva más externa corresponde a ρg = 8.0 %, en las interiores ρg disminuye en intervalos de 1.0 %. En los casos que existan nueve curvas, la última corresponde a ρg = 0.5 %.

229

64.- FLEXION BIAXIAL EN COLUMNAS RECTANGULARES CUANTIA DE ACERO PARA EL DISEÑO ρg Mb

A g = b·h δ = dh/h = db/b

db

δ=

dh

0.20

f 'c= 40 [MPa] fy = 420 [MPa]

µh = Mh/(A g·h) [MPa] µb = Mb/(A g·b) [MPa] ν = P u/Ag [MPa]

h

ρg: 0.5 - 8.0%

Mh

ρg = A s /Ag µx = Máx { µh, µb } µy = Mín { µh , µb }

µy

10

8

b

6

4

µx

2

2

4

6

8

10

10

µy 10

ν = 39.0

ν = 0.0

8

8 8

ν = 32.5

6

ν = 4.0

4

4

6 4

8 8

2

2

8

4

µx

4

4

4

8

2

µx 2

8 4

4

4

4

8 8

6

ν = 26.0

ν = 6.5

8

8 ν = 19.5

10

µy

10

8

6

ν = 13.0

4

2

µx

2

4

6

8

10 10

Las curvas incorporan el factor de reducción de resistencia φ. As es el área total del acero. La curva más externa corresponde a ρg = 8.0 %, en las interiores ρg disminuye en intervalos de 1.0 %. En los casos que existan nueve curvas, la última corresponde a ρg = 0.5 %.

230

6

µy