ARTURO FRAILE

1. Sea f( x) una función no definida en el punto X o del intervalo [a, bJ Y uniforme y derivable en todos los demás puntos de dicho intervalo. Sea

NOTA NECROLÓGICA. -

Insertamos a continuación la nota redactada sobre la base de los originales incompletos dejados por el malogrado matemático español Arturo Fraile, muerto ellO de Julio de 1943 pocos días antes de cumplir 28 años. A pesar de su modesta canera de Perito industrial, y a pesar también de haber vivido siempre en León, ciudad alejada de todo movimiento científico, realizó en su efímera vida interesantes trabajos, uno de los cuales vió la luz en las páginas de esta revista; un trabajo póstumo titulado "Ampliación de la geometría analítica ordinaria" ha sido publicado en la Revista matemática Hispano-Americana; y el otro trabajo póstumo, piadosamente recopilado por su hermano de los papeles incompletos, es el que se inserta a continuación como sentido homenaje al malogrado joven que con muy escasos conocimientos matemáticos dió tan evidentes muestras de su talento.

por

(MANUSCRITOS POSTUMOS)

DERIVACION E INTEGRACION DE FUNCIONES DE VARIABLE REAL TOMADAS EN VALOR ABSOLUTO

85-

u·

y=~donde u= cp(x)

es

~)

y sg u = O. Ambas funciones tienen

. . da ' y por 1a lzqmer

~

u

~

tiene derivada en las raíces

de u = O Y es también nula. La función sg u, en los ceros de u,

con el convenio antes establecido,

tiene iguales - nuu las - las derivadas virtuales por la derecha y por la izquierda.;

lores de x. En los ceros de u, la función

valein 1 o - 1. Sus derivadas serán, pues, nulas para dichos va-

.{-;.1. Para todo x que no haga u = 0, las dos funciones y y sg u

1"ImIte l-l 1 · pecle: por i a d erech a tIenen

f

° puntos de discontinuidad de primera es-

(y =

en las raíces de u =

no está definida

uniforme y derivable. Esta función y no es, propiamente, sg u: pierde la identidad con ella en los ceros de u, en los cuales y

2. Consideremos la función

He aquí una justificación de este convenio: Si es f'(x) continua en [o, b], excepto, claro es, en x o, los límites de f'(x) en X o por ambos lados son iguales a t;, y la discontinuidad es evitable en este punto.

-

86-

u

ui

Ix-x-I

X-Xi

f~nción

i

ki i~l

Ui

IUi I }}.

Sea F(x) función primitiva de f(x). Podemos, por lo

una constante o en una

Con la existencia de estas funciones y la posibilidad de su manejo algébrico se desprende inmediatamente esta conclusión: «Las' funcionues primitivas de una dada se diferencian en

i~l

y' :Iki--!-+m.

n

y su derivada es, como veremos,

i~l

y-.:Eki/x-x¡/+mx+q,

n

Geométricamente se llega también 'a este tipo de funciones: La derivada de una poligonal rectilínea uniforme ha de ser \ una función que vaya tomando los valores de los coeficientes angulares. Problema éste resuelto ya ahora analíticamente: U na poligonal uniforme rectilínea tiene su ecuación del tipo (*)

1

nes son de tal naturaleza que, mientras la variable independiente recorre el campo real, ellas sólo toman los valores de un conjunto numerable; valores «separados» unos de otros por puntos de discontinuidad de primera especie, en los cuales no están de· ·das estas ' f · . 1 kIu ,I ,.,;;¡k ~ i -IU¡- I. f 1m uncIOnes. _ASI,' por eJempo,

-

87-

cr(x)

Xo

un

= f( x).

x-Xi

cr(x)

+ k Icr (.:11 donde

cr (x) sea una

Para 'que las oscilaciones en los ~ Xi valgan

todaJ 2k basta escribir: F (x)

siendo F' ( x)

1

'F (,) ,~Ji:i Ix-xii, rr: +.,.;;;" -,

punto de discontinuidad de primera especia' de oscilación 2k. Si f( x) es integrable, podemos obtener una función primitiva de f(x) que tenga discontinuidades de primera especie en los puntos que deseemos y con las oscilaciones que queramos. Si las discontinuidades han de presentarse en los puntos Xi (i = 1,2, ... , n) y queremos que las oscilaciones respectivas sean 2k¡, la función primitiva será

cr(x)

La función primitiva F(x) +k Icr(x) I tiene, pues, en

"'-+"'0+

lím [F(x)+k Icr(x)1] =a.+k.

-

_~~ =

a

Uf

a

¡;¡'

y'=uIM.

21al

!lu

2u+L\u

.

o bien:

Ax ·lu+Aul+lul'

n

1

a Ivl

»

alul.

4°. Función:

Ivl

yM »

Derivada:

alul.

Uf.

u sg u. La.

mlul m - 1 u' M.

producto de fundones ordinarias para Iu 1, v, y ¡u [./ v /. ASÍ, pues, también es posible la integración por· partes. 3°. Se conserva la regla de derivación del cociente para

2°. Se conserva la regla de derivación

1

1°. d(.Iw;) =.Idw;, sean o no absolutas wi.

n

derivada de una función tomada en valor absoluto es igual a dicha función absoluta por la derivada de su logaritmo natural». Se demuestra:

ti;

a' Podemos escribir la derivada así: y' = Iu I~, o sea: «La

Uf •

Ax[lu+Aul+luIJ

Ax

y, tomando límites, y' =

(u+Au)2-u 2

88-

Ay _

-

89-

U

X----r ai -

u

a"

x-+a¡~

es nula, y, por lo Janto,

de M en a a¡

a la derecha y a la izquierda son del mismo \signiQ

x = ak. Cuando a alcanza un máximo o un mínimo en ,oí, los límites

y es continua en

lím ~= ± 1, la oscilación de y en

I ul

cambian los signos de los segundos miembros). En ambos casos la oscilación en ai es 2a. Si un cero ak de a lo es a la vez de v, como es lím v = O Y

'X-)-ai T

es límM.v=+a y límM.v=-a (si a es decreciente en a¡

creciente o decreciente en. los ,oi, la función y =M. v tiene un a .~unto de discontinuidad finita de .primera especie en cada uno de, los puntos de abscisa ai, pues si es lím v = a y a creciente en ai'

· 1 1a f orma Iu I. w, por ae sol uta nos han conducido a f unCIOnes a ello se hace necesario el estudio de estas úUtimas. Sean a y v fundones continuas y uniformes de x, y al' a 2, . .. , an los ceros de a. Si ningún. (Ji es cero de v y u les

6. Tanto la derivada como la integral de una función ab-

-

a

(u lineal,

e constante)

Comparemos

*-,

con la parábola ordinaria

[3],

[2J

b2 1 ra ello, C=-, y queda, en efecto, - lax+bl(ax+b). fu ~. b2 b Si es C [1] es discontinua en - - y la oscilación va~ a b2 le 2C--.

a

pa-

X2

+ bx + C habrá continuidad en -~;

Z

lo sea también de!!.-

b a

Según hemos visto, en este caso, sólo cuando la ráíz

f

es una constante C,

[1]

¡.t

90-

lax+bldx= lax+bl (!!'-x 2 +bx+C) . ax+b 2 .

Si

-

91-

u

f

u·

u

du dt=- ;

f

u

du + (Llul) .[u[du =[uJ¡+ (Llnllul) du; [ul-

f

u

du dY=lu[ - ;

Si suprimimos las barras a u tanto en la expresión subintegral como en el segundo miembro queda

jul. L[u[ =

mente:

t = L Iu 1, donde u es uniforme y derivable. Se tiene sucesiva-

8. Algunas in:tegra{,es. a) Sean dos funciones, y=lu¡,

con su punto de inflexión en (p, C); es continua en todo el campo real, y uniforme, y es la integral del contorno angular [u 1; y puede ser prevista con sólo atender a la gráfica de I u [ considerando la gráfica de su primitiva.

-

92-

_[