¿MAPAS MENTALES? LA VARIABLE COMPLEJA Y LA TOPOGRAF´IA DE LA CORTEZA CEREBRAL Dr. R. Michael Porter K. Depto. de Matem´aticas CINVESTAV–Quer´etaro

“CIENCIA Y HUMANISMO” ACADEMIA MEXICANA DE LAS CIENCIAS ENERO 2012

IMPORTANCIA DE LOS MAPAS Desde la remota antig¨uedad el hombre ha encontrado la necesidad de hacer mapas de su mundo, sea para controlar sus dominios o viajar largas distancias.

En el mundo moderno la tecnolog´ıa requiere mapas a todas las escalas, desde lo microsc´opico hasta los l´ımites del universo. Exploraremos algo de las matem´aticas implicadas en hacer un mapa de la superficie del cerebro humano.

No es posible en general, hacer un mapa de una superficie curva a una plana de manera que se conserven las distancias entre puntos correspondientes.

¡Un mapa “a escala” de la tierra no existe!

Transformaci´ on Conforme: una para la cual cualquier par de curvas que se intersectan, corresponde a a un par de curvas que forman el mismo ´angulo. (Condici´on menos rigurosa que conservar distancias) f

´ang (γ1, γ2) = ´ang (f (γ1), f (γ2 ))

Como ejemplo, el estiramiento horizontal de un rect´angulo no es conforme.

Problema: Dada una superficie, encontrar una transformaci´on conforme en una regi´on plana.

´ DE MERCATOR PROYECCION

El caso m´as sencillo de una transformaci´on conforme es de un disco a s´ı mismo. Se puede expresar f´acilmente en t´erminos de la adici´on y multiplicaci´on de los n´umeros complejos z = x + iy. (x = desplazamiento horizontal) (y = desplazamiento vertical) (i2 = −1)

(z = x − iy)

Hay una transformaci´on conforme del disco en s´ı mismo, que env´ıa cualquier punto a cualquier otro punto. (“Cualquier punto puede verse como el centro.”) Transformaci´ on de M¨ obius z

az + b w = f (z) = bz + a w

´ EL JUEGO DE LAS COORDENADAS ISOTERMICAS

´ EL JUEGO DE LAS COORDENADAS ISOTERMICAS

´ EL JUEGO DE LAS COORDENADAS ISOTERMICAS

´ EL JUEGO DE LAS COORDENADAS ISOTERMICAS

´ COORDENADAS ISOTERMICAS

( = PROBLEMA DE LA TRANSFOR´ CONFORME EN EL PLANO) MACION

Las coordenadas isot´ermicas se presentan de manera natural en muchas situaci´ones de la F´ısica. Por lo tanto las transformaciones conformes se relacionan con todas esta situaciones. El punto clave es que la transformaci´on conforme es u´nica, cuando las condiciones de frontera est´an especificadas.

´ FENOMENO DEL AMONTONAMIENTO

.1,.2,. . . ,.9

´ FENOMENO DEL AMONTONAMIENTO

.91,.92,. . . ,.99

´ FENOMENO DEL AMONTONAMIENTO

.991,.992,. . . ,.999

El amontonamiento complica el arte de la transformaci´on conforme y la hace tan interesante. Una transformaci´on conforme puede calcularse en t´erminos de sus puros valores en la frontera. Hay una f´ormula de A.-L. Cauchy: para un punto interior z,

Z

1/2πi f (ζ) dζ C ζ −z donde C es el contorno frontera, que encierra el dominio D. Para calcular esta integral s´olo hay que conocer los valores de la transformaci´on f para puntos ζ en el contorno C. f (z) =

¡Esta observaci´on reduce el problema de calcular una transformaci´on conforme de dos dimensiones a uno!

´ EXISTEN CIENTOS DE METODOS PARA CALCULAR LAS TRANSFORMACIONES CONFORMES ´ NUMERICAMENTE

´ (P. Koebe) M´etodo de OSCULACION ∗s •

• √

•

∗s •

´ (P. Koebe) M´etodo de OSCULACION

M´etodo de EMPACAMIENTO DE CIRCULOS (W. Thurston)

M´etodo de EMPACAMIENTO DE CIRCULOS (W. Thurston)

M´etodo de EMPACAMIENTO DE CIRCULOS (W. Thurston)

En general los m´etodos de transformaci´on conforme de regiones en el plano aplican diversos teoremas relacionadas con funciones de una variable compleja.

Volvemos al problema: Dada una superficie, encontrar una transformaci´on conforme en una regi´on plana.

?

p(x, y, a(x, y)) = (x, y)

(x, y)

@ @ @ @ @ @ @ @ R @

conforme

ϕ

?

p(x, y, a(x, y)) = (x, y) ?

(x, y)

f

-

Para que ϕ sea conforme, la funci´on f tiene que “deshacer” la distorsi´on hecha por la proyecci´on p(x, y, a(x, y)) = (x, y). Calculemos la ecuaci´on que f debe satisfacer para lograr esto.

El ´angulo en la superficie entre dos curvas γ1(t) = ( x1(t), y1(t), a(x1(t), y1(t)) ) γ2(t) = ( x2(t), y2(t), a(x2(t), y2(t)) ) es ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ) + Gy y + x y + F (x x Ex 1 y2 2 1 1 2 1 2 −1 p cos p ′2 ′ ′ ′ ′ ′2 ′2 (Ex1 + 2F, x1y1 + Gy1 ) (Ex′2 2 + 2F, x2 y2 + Gy2 )

donde



2

∂a E = 1+    ∂x ∂a ∂a F = ∂x ∂y  2 ∂a G = 1+ ∂y

La condici´on para que ϕ sea conforme es que la funci´on f = u + iv satisfaga las ecuaciones de Beltrami

 ∂v = ± √ 1    ∂x

EG−F

   ∂v = ± √ 1 ∂y

EG−F

  ∂u − E ∂u F 2 ∂x ∂y   ∂u − F ∂u G 2 ∂x ∂y

´ DE BELTRAMI ECUACION ´ EN NUMEROS COMPLEJOS: ∂f ∂f =µ ∂z ∂z donde

µ=

(E − G) + (2F )i √ E + G + 2 EG − F 2

Se dice que f es una funci´on µ-conforme cuando satisface la ecuaci´on de Beltrami.

LOS GRUPOS KLEINIANOS Y EL ATAQUE FATAL DE LOS FRACTALES (Fricke, Klein, Poincar´e)

GRUPOS FUCHSIANOS

GRUPO CASIFUCHSIANO

Las transformaciones de M´obius que definen un grupo fuchsiano pueden alterarse para formar un grupo casifuchsiano, que ya no se basa en un c´ırculo redondo, sino en una curva fractal llamada un casic´ırculo.

Por tener fractales en los conjuntos l´ımites, para estudiar las deformaciones de los grupos fuchsianos y casifuchsianos es necesario manejar derivadas de Beltrami que no sean diferenciables en todo punto. Para ello se desarroll´o la teor´ıa de las transformaciones casiconformes.

HISTORIA DE LA ´ DE BELTRAMI ECUACION

∂f /∂z =µ ∂f /∂z

— µ real-anal´ıtica: (1825) Gauss — µ H¨older-continua: (1912-1916) Korn-Lichtenstein — µ medible: (1938) Morrey — teor´ıa general de transformaciones casiconformes: (1950-1960) Ahlfors-Bers

Existen varios m´etodos para resolver la ecuaci´on de Beltrami num´ericamente. Todos son bastante t´ecnicos, y sigue siendo un ´area de investigaci´on activa.

¡GRACIAS!