Tema 10

Funciones de variable compleja 10.1

Funciones complejas de variable compleja

Definici´ on 10.1 – Una funci´on compleja de variable compleja es una aplicaci´on f : A −→ C donde A ⊆ C. Para cada z ∈ A, f (z) ∈ C, luego f (z) = Re(f (z)) + i Im(f (z)) = u(z) + iv(z). Las funciones reales u, v: A −→ IR as´ı construidas se denominan partes real e imaginaria de la funci´on f y suele escribirse f = u + iv para indicar que u y v son las partes real e imaginaria de la funci´on f . Como C = IR2 , una funci´on compleja lleva asociada una funci´on f : A ⊆ IR2 −→ IR2 donde f (x, y) = f (x + iy) y que tiene por componentes, f = (u, v), las funciones u(x, y) = u(x + iy) y v(x, y) = v(x + iy). As´ı pues, toda funci´on compleja de variable compleja equivale a un par de funciones reales de dos variables reales. Ejemplo 10.2 – Para obtener las partes real e imaginaria de la funci´on f (z) = z 2 , ponemos z = x + iy y resulta f (x + iy) = (x + iy)2 = x2 − y 2 + i2xy con lo que u(x, y) = x2 − y 2 y v(x, y) = 2xy .

10.1.1

L´ımites y continuidad

Los conceptos de l´ımite y de continuidad para funciones complejas de variable compleja se definen como en el caso real: Definici´ on 10.3 – Se dice que una funci´on compleja de variable compleja f tiene por l´ımite l ∈ C, cuando z tiende hacia z0 , y se escribe lim f (z) = l,

z→z0

cuando para cada n´ umero real ε > 0 existe un n´ umero real δ > 0 tal que si 0 < |z − z0 | < δ , entonces |f (z) − l| < ε. Proposici´ on 10.4 – Sea f = u + iv una funci´on compleja y l = l1 + il2 , entonces lim f (z) = l ⇐⇒ lim u(z) = l1

z→z0

Es decir, se tiene que

z→z0

y

lim v(z) = l2 .

z→z0

lim f (z) = lim u(z) + i lim v(z).

z→z0

z→z0

z→z0

Demostraci´on: Basta tener en cuenta que |f (z) − l| = |(u(z) + iv(z)) − (l1 + il2 )| = |(u(z) − l1 ) + i(v(z) − l2 )| Teor´ ıa de variable compleja.

114

10.1 Funciones complejas de variable compleja

y la propiedad (c) de 9.6. De esta proposici´on y de que los resultados an´alogos son ciertos para funciones reales, se establece la validez de las proposiciones siguientes: Proposici´ on 10.5 – Sean f y g funciones complejas tales que lim f (z) = l1 y lim f (z) = l2 . z→z0

Entonces:

z→z0

a) lim (f (z) + g(z)) = l1 + l2 . z→z0

b) lim f (z)g(z) = l1 l2 . z→z0

f (z) z→z0 g(z)

c) lim

=

l1 l2

, si l2 6= 0.

Proposici´ on 10.6 – Si lim f (z) = l ∈ C, entonces f est´ a acotada en alg´ un E ∗ (z0 , r). z→z0

Si l 6= 0, entonces f (z) 6= 0, para todo z de alg´ un E ∗ (z0 , r). Proposici´ on 10.7 – Si f es una funci´on compleja, se tiene que a) lim |f (z)| = 0 ⇐⇒ lim f (z) = 0. z→z0

z→z0

³

´

b) lim f (z) = l ⇐⇒ lim f (z) − l = 0. z→z0

z→z0

Definici´ on 10.8 – Se dice que una funci´on compleja f tiene por l´ımite l ∈ C cuando z tiende a ∞ (en el sentido de |z| → ∞), y se escribe lim f (z) = lim f (z) = l,

z→∞

|z|→∞

cuando para cada ε > 0 existe un K > 0 tal que si |z| > K , entonces |f (z) − l| < ε. 1 = z→∞ z 1 lim y, para |z|→∞ z

Ejemplo 10.9 – Veamos que lim En efecto,

lim 1 z→∞ z

=

todo z tal que |z| > K , se tiene que

0. cada ε > 0, sea K > 0 tal que

|f (z) − 0| = | z1 | =

1 |z|

<

1 K

1 K

< ε. Entonces, para

< ε.

4

Definici´ on 10.10 – Se dice que una funci´on compleja de variable compleja f es continua en un punto z0 ∈ C cuando lim f (z) = f (z0 ). z→z0

Se dice continua en un conjunto A, si es continua en cada punto de A. Proposici´ on 10.11 – Sea f = u + iv una funci´on compleja, entonces f es continua en z0 s´ı, y s´olo si, u y v son continuas en z0 . Demostraci´on: Basta tener en cuenta que lim f (z) = f (z0 ) ⇐⇒ lim u(z) + i lim v(z) = u(z0 ) + iv(z0 ).

z→z0

z→z0

z→z0

De esta proposici´on y de que los resultados an´alogos son ciertos para funciones reales, se establece la validez de las tres proposiciones siguientes: Teor´ ıa de variable compleja.

115

10.2 Derivabilidad de las funciones complejas

Proposici´ on 10.12 – Sean f y g dos funciones complejas de variable compleja continuas en un punto z0 ∈ C. Entonces las funciones f + g y f g son continuas en z0 . Si, adem´as, es g(z0 ) 6= 0, entonces la funci´on f /g es tambi´en continua en z0 . Proposici´ on 10.13 – Sean f y g dos funciones complejas de variable compleja. Si f es continua en z0 y g es continua en f (z0 ), entonces la funci´on compuesta g ◦ f es continua en z0 . Teorema de Weierstrass 10.14 – Sean A ⊆ C cerrado y acotado, y f : A −→ IR una funci´on continua real. Entonces f tiene un m´ınimo y un m´aximo en A, es decir, existen z1 , z2 ∈ A tales que f (z1 ) ≤ f (z) ≤ f (z2 ), para todo z ∈ A.

10.2

Derivabilidad de las funciones complejas

Definici´ on 10.15 – Sea A ⊆ C un conjunto abierto. Se dice que una funci´on f : A −→ C es derivable en un punto z0 ∈ A cuando existe el l´ımite lim

z→z0

f (z) − f (z0 ) . z − z0

En ese caso, dicho l´ımite se designa por f 0 (z0 ) y se llama derivada de f en el punto z0 . Poniendo z − z0 = h ∈ C, la definici´on de derivada se escribe tambi´en como f 0 (z0 ) = lim

h→0

f (z0 + h) − f (z0 ) . h

Proposici´ on 10.16 – Si f es derivable en z0 , entonces f es continua en z0 . Demostraci´on: ³ ´ Como lim f (z) = f (z0 ) ⇐⇒ lim f (z) − f (z0 ) = 0, se tiene que z→z0

z→z0

³

´

lim f (z) − f (z0 ) = lim

z→z0

z→z0

f (z) − f (z0 ) (z − z0 ) = f 0 (z0 ) · 0 = 0. z − z0

Proposici´ on 10.17 – Sean f y g dos funciones derivables en un punto z0 . Entonces las funciones f + g y f g son tambi´en derivables en z0 y (f + g)0 (z0 ) = f 0 (z0 ) + g 0 (z0 )

y

(f g)0 (z0 ) = f 0 (z0 )g(z0 ) + f (z0 )g 0 (z0 ).

Si adem´as es g(z0 ) 6= 0, entonces la funci´on f /g es tambi´en derivable en z0 y µ ¶0

f g

(z0 ) =

f 0 (z0 )g(z0 ) − f (z0 )g 0 (z0 ) (g(z0 ))2

.

Demostraci´on: La demostraci´on es id´entica a la del resultado para funciones reales de variable real. Regla de la cadena 10.18 – Si f es derivable en z0 y g es derivable en f (z0 ), entonces la funci´on compuesta h = g ◦ f es derivable en z0 y se verifica que h0 (z0 ) = g 0 (f (z0 ))f 0 (z0 ).

Teor´ ıa de variable compleja.

116

10.2 Derivabilidad de las funciones complejas

Demostraci´on: La demostraci´on es id´entica a la del caso de funciones reales de variable real. a) f (z) = k es derivable en todo C y f 0 (z) = 0, para todo z ∈ C.

Ejemplo 10.19 –

f (z + h) − f (z) k−k = lim = 0. h→0 h→0 h h

f 0 (z) = lim

b) f (z) = z es derivable en todo C y f 0 (z) = 1, para todo z ∈ C. f (z + h) − f (z) (z + h) − z h = lim = lim = 1. h→0 h→0 h→0 h h h

f 0 (z) = lim

c) f (z) = z n es derivable en todo C y f 0 (z) = nz n−1 . h)n

(z n +

zn

n ¡ ¢ P n i n−i ) − zn i h z

f (z + h) − f (z) (z + − i=1 = lim = lim h→0 h→0 h→0 h h h à ! à ! à ! n n X X n i−1 n−i n i−1 n−i n n−1 h z = lim = lim h z = z = nz n−1 . h→0 h→0 i i 1 i=1 i=1

f 0 (z) = lim

d) Si f (z) = a0 + a1 z + a2 z 2 + · · · + an z n entonces f 0 (z) = a1 + 2a2 z 1 + · · · + nan z n−1 , para todo z ∈ C. a0 + a1 z + · · · + an z n son derivables en cualquier z ∈ C b0 + b1 z + · · · + bm z m que no anule el denominador y su derivada se encuentra usando las reglas dadas en las proposiciones anteriores.

e) Las funciones racionales f (z) =

f) La funci´on f : C −→ C dada por f (z) = z no es derivable en ning´ un punto. En efecto, se tiene que lim

h→0

f (z+h)−f (z) h

= lim

h→0

z+h−z h

= lim

h→0

h h→0 h lim −h h→0 h

z+h−z h

¦ si tomamos h = h1 ∈ IR, como h = h se tiene lim

= 1; y

¦ si tomamos h = ih2 ∈ iIR, como h = −h es

= −1.

= lim hh , luego h→0

En consecuencia, el l´ımite no existe en ning´ un punto.

10.2.1

4

Condiciones de Cauchy-Riemann [C-R]

Proposici´ on 10.20 – Si f = u+iv es derivable en un punto z0 = x0 +iy0 , entonces las funciones u y v tienen derivadas parciales en z0 = (x0 , y0 ) y verifican las condiciones de Cauchy-Riemann siguientes: ) D1 u(z0 ) = D2 v(z0 ) [C-R]. D2 u(z0 ) = −D1 v(z0 ) Adem´as, f 0 (z0 ) = D1 u(x0 , y0 ) + iD1 v(x0 , y0 ) = D2 v(x0 , y0 ) − iD2 u(x0 , y0 ). Demostraci´on:

Teor´ ıa de variable compleja.

117

10.2 Derivabilidad de las funciones complejas

Sea h = h1 + ih2 ∈ C. Por hip´otesis, existe ³

´

³

´

u(z0 + h) + iv(z0 + h) − u(z0 ) + iv(z0 ) f (z0 + h) − f (z0 ) = lim f 0 (z0 ) = lim h→0 h→0 h h ³ ´ ³ ´ = lim

u(z0 + h) − u(z0 ) + i v(z0 + h) − v(z0 )

h u(z0 + h) − u(z0 ) v(z0 + h) − v(z0 ) = lim + i lim . h→0 h→0 h h h→0

Entonces: ¦ Si h = h1 ∈ IR es u(x0 + h1 , y0 ) − u(x0 , y0 ) v(x0 + h1 , y0 ) − v(x0 , y0 ) + i lim h →0 h1 h1 1 = D1 u(x0 , y0 ) + iD1 v(x0 , y0 ).

f 0 (z0 ) = lim

h1 →0

¦ Si h = ih2 ∈ iIR, es f 0 (z0 ) = lim

h2 →0

v(x0 , y0 + h2 ) − v(x0 , y0 ) u(x0 , y0 + h2 ) − u(x0 , y0 ) + i lim h →0 ih2 ih2 2

1 = D2 u(x0 , y0 ) + D2 v(x0 , y0 ) = D2 v(x0 , y0 ) − iD2 u(x0 , y0 ). i Luego f 0 (z0 ) = D1 u(z0 ) + iD1 v(z0 ) = D2 v(z0 ) − iD2 u(z0 ), de donde se deducen las ecuaciones de Cauchy-Riemann. Teorema de Cauchy-Riemann 10.21 – La funci´on f = u + iv es derivable en un punto z0 = x0 + iy0 s´ı, y s´olo si la funci´on f = (u, v) es diferenciable en z0 = (x0 , y0 ) y sus funciones componentes verifican las condiciones de Cauchy-Riemann en el punto. Demostraci´on: Como, por la proposici´on anterior, si f es derivable en z0 tambi´en las funciones u y v verifican las condiciones [C-R], para h = (h1 , h2 ) = h1 + ih2 = h, se tiene en ambos casos que (no ponemos el punto por comodidad) ³

0

t

f (z0 )h

´t

ÃÃ

=

D1 u D2 u D1 v D2 v

!Ã

h1 h2

!!t

Ã

=

h1 D1 u + h2 D2 u h1 D1 v + h2 D2 v

!t

Ã

=

h1 D1 u − h2 D1 v h1 D1 v + h2 D1 u

!t

= (h1 D1 u − h2 D1 v, h1 D1 v + h2 D1 u) = h1 D1 u − h2 D1 v + i(h1 D1 v + h2 D1 u) = (D1 u(z0 ) + iD1 v(z0 ))(h1 + ih2 ) = f 0 (z0 )h Entonces, f (z0 + h) − f (z0 ) − f 0 (z0 )h = f (z0 + h) − f (z0 ) − (f 0 (z0 )ht )t y, en consecuencia, |f (z0 + h) − f (z0 ) − f 0 (z0 )h| kf (z0 + h) − f (z0 ) − (f 0 (z0 )ht )t k = lim h→0 |h| khk h→ 0 lim

lo que demuestra el resultado.

Teor´ ıa de variable compleja.

118

10.3 Algunas funciones complejas

Ejemplo 10.22 – La funci´on f : C −→ C dada por f (z) = |z|2 es derivable u ´nicamente en el punto 0. Soluci´on: En efecto, si z = x + iy , f (z) = |z|2 = x2 + y 2 luego u(x, y) = x2 + y 2 y v(x, y) = 0. Entonces D1 u(x, y) = 2x = 0 = D2 v(x, y) ⇐⇒ x = 0 D2 u(x, y) = 2y = 0 = −D1 v(x, y) ⇐⇒ y = 0 luego las condiciones [C-R] no se verifican en ning´ un punto z 6= 0. En z = 0, se tiene que u y v son diferenciables en (0, 0) y verifican las condiciones [C-R] en el punto, luego f es derivable en 0 y f 0 (0) = D1 u(0, 0) + iD1 v(0, 0) = 0. 4 Corolario 10.23 – Sea f = u+iv . Si las funciones u y v son de clase 1 en (x0 , y0 ) y se verifican las condiciones [C-R] en el punto, entonces f es derivable en z0 = x0 + iy0 .

10.2.2

Funciones anal´ıticas

Definici´ on 10.24 – Sea A subconjunto abierto de C. Se dice que una funci´on f : A −→ C es anal´ıtica en un punto z0 ∈ A, si f es derivable en alg´ un entorno E(z0 , r) ⊆ A. Se dice que f es anal´ıtica en A cuando es anal´ıtica en todo punto de A. Una funci´on entera es una funci´on anal´ıtica en todo C. Ejemplo.- Toda funci´on polin´omica es una funci´on entera. Una funci´on racional es anal´ıtica en todo punto que no anule al denominador. Proposici´ on 10.25 – Sea A ⊆ C. Si f : A −→ C es anal´ıtica en un punto z0 ∈ A, entonces f es anal´ıtica en alg´ un entorno E(z0 , r) ⊆ A. Demostraci´on: Es claro, pues si f es anal´ıtica en z0 ∈ A, f es derivable en alg´ un entorno E(z0 , r) ⊆ A y, para cada z ∈ E(z0 , r), existe un E(z, δ) ⊆ E(z0 , r). Luego f es derivable en E(z, δ) ⊆ A y, en consecuencia, f es anal´ıtica en cada z ∈ E(z0 , r).

10.3

Algunas funciones complejas

10.3.1

La exponencial compleja

Definici´ on 10.26 – La funci´on f : C −→ C definida, si z = x + iy , por f (z) = f (x + iy) = ex (cos y + i sen y) se llama exponencial compleja y se representa por f (z) = ez . Proposici´ on 10.27 – Se verifican las siguientes propiedades: a) Si z = x ∈ IR entonces la exponencial compleja coincide con la exponencial real. b) ez+w = ez ew , para todo z, w ∈ C. c) Si z = iy ∈ iIR, entonces |eiy | = 1. d) Si z = x + iy , entonces |ez | = ex .

Teor´ ıa de variable compleja.

119

10.3 Algunas funciones complejas

e) ez 6= 0, para todo z ∈ C. f) ez = ez

y

(ez )−1 = e−z .

g) La funci´on f (z) = ez es entera y f 0 (z) = ez , para todo z ∈ C. h) La funci´on f (z) = ez es peri´odica de per´ıodo 2πi y si ez = ew , entonces z − w = 2kπi, con k ∈ ZZ. i) ez = 1 si, y s´olo si, z = 2kπi, con k ∈ ZZ. Demostraci´on: a) Si z = x ∈ IR, ez = ex+i0 = ex (cos 0 + i sen 0) = ex (1 + i0) = ex . b) Si z = x1 + iy1 y w = x2 + iy2 se tiene ³

´

ez ew = ex1 (cos y1 + i sen y1 )ex2 (cos y2 + i sen y2 ) = ex1 +x2 cos(y1 + y2 ) + i sen(y1 + y2 ) = e(x1 +x2 )+i(y1 +y2 ) = ez+w . c) Si y ∈ IR, iy

|e | = |e

0+iy

0

| = |e (cos y + i sen y)| = | cos y + i sen y| =

q

cos2 y + sen2 y = 1.

d) Si z = x + iy entonces |ez | = |ex ||eiy | = ex 1 = ex . e) Si z = x + iy , por la propiedad anterior, |ez | = ex 6= 0 para todo x ∈ IR, luego ez 6= 0 para todo z ∈ C. f) Si z = x + iy , ez = ex cos y + iex sen y = ex cos y − iex sen y = ex cos(−y) + iex sen(−y) = ex−iy = ez y, tambi´en, (ez )−1 =

1 ez ez ex−iy ex e−iy = = = = = e−x e−iy = e−x−iy = e−z . ez |ez |2 (ex )2 e2x e2x

g) La parte real u(x, y) = ex cos y y la parte imaginaria v(x, y) = ex sen y de f son de clase 1 en todo punto (x, y) y se verifican las condiciones de [C-R] D1 u(x, y) = ex cos y = ex cos y = D2 v(x, y) D2 u(x, y) = −ex sen y = −ex sen y = −D1 v(x, y) en todo punto. Luego f es derivable en todo punto y f 0 (z) = D1 u(x, y) + iD1 v(x, y) = ex cos y + iex sen y = ez , para todo z ∈ C.

Teor´ ıa de variable compleja.

120

10.3 Algunas funciones complejas

h) Para cada z ∈ C se verifica ez+2πi = ez e2πi = ez (cos 2π + i sen 2π) = ez 1 = ez . Por otra parte, z = x1 + iy1 y w = x2 + iy2 , entonces si ez = ew se tiene que |ez | = |ew | de donde ex1 = ex2 y, por tanto, que x1 = x2 . De la igualdad ex1 eiy1 = ex2 eiy2 , como x1 = x2 , se tiene que eiy1 = eiy2 y, por consiguiente, 1=

eiy1 = ei(y1 −y2 ) = cos(y1 − y2 ) + i sen(y1 − y2 ) eiy2

luego cos(y1 − y2 ) = 1 y sen(y1 − y2 ) = 0, de donde se deduce que y1 − y2 = 2kπ , con k ∈ ZZ. En consecuencia, z − w = x1 − x2 + i(y1 − y2 ) = 2kπi, con k ∈ ZZ. i) Si ez = 1, entonces ez = e0 y, por la propiedad anterior, ez = 1 s´ı, y s´olo si, z = 2kπi, con k ∈ ZZ. La funci´on exponencial compleja transforma rectas paralelas al eje real en semirectas dirigidas al origen y las rectas paralelas al eje imaginario en circunferencias de centro el origen (como ez tiene periodo 2πi, cada segmento de longitud 2π de estas rectas se transforma en una circunferencia completa). Obs´ervese la figura 10.1 siguiente. f (z) = ez

2π 3

π

ex+i 3

R

π 2π 3

π 3

0 −π 3

−π

ex+i

e3+iy eiy

ex+iπ

ex

−2π 3

−3

0

3 ex−i

2π 3

π

ex−i 3

Fig. 10.1. La funci´on exponencial.

10.3.2

Funciones trigonom´ etricas complejas

Definici´ on 10.28 – Las funciones seno, sen z , y coseno, cos z , complejas se definen para cada z ∈ C por eiz + e−iz eiz − e−iz y cos z = . sen z = 2i 2 Proposici´ on 10.29 – Se verifican las siguientes propiedades: a) sen2 z + cos2 z = 1, para todo z ∈ C. b) sen(z + w) = sen z cos w + cos z sen w , para todo z, w ∈ C. c) cos(z + w) = cos z cos w − sen z sen w , para todo z, w ∈ C.

Teor´ ıa de variable compleja.

121

10.3 Algunas funciones complejas

d) sen z = 0 si, y s´olo si, z = kπ , con k ∈ ZZ. e) cos z = 0 si, y s´olo si, z =

π 2

+ kπ , con k ∈ ZZ.

f) Las funciones f (z) = sen z y g(z) = cos z son enteras y f 0 (z) = cos z y g 0 (z) = − sen z , para todo z ∈ C. g) Para todo z ∈ C, sen(z + 2kπ) = sen z y cos(z + 2kπ) = cos z , con k ∈ ZZ. Demostraci´on: (eiz + e−iz )2 − (eiz − e−iz )2 (eiz − e−iz )2 (eiz + e−iz )2 + = −4 4 ´³ 4 ³ ´ iz −iz iz −iz iz −iz iz (e +e )+(e −e ) (e +e )−(e −e−iz ) 2eiz 2e−iz = = = 1. 4 4

sen2 z + cos2 z = a)

eiz − e−iz eiw + e−iw eiz + e−iz eiw − e−iw · + · 2i 2 2 2i i(z+w) −i(z+w) 2e − 2e = = sen(z + w). 4i

sen z cos w + cos z sen w = b)

c) An´alogo a b). d) sen z = 0 ⇐⇒ eiz = e−iz ⇐⇒ 2iz = 2kπi, con k ∈ ZZ, ⇐⇒ z = kπ , con k ∈ ZZ. e) cos z = 0 ⇐⇒ eiz = −e−iz ⇐⇒ eiz = eiπ e−iz ⇐⇒ 2iz−iπ = 2kπi ⇐⇒ z =

π 2 +kπ .

eiz + e−iz ieiz + ie−iz = = cos z . 2i 2 ieiz − ie−iz −eiz + e−iz (cos z)0 = = = − sen z . 2 2i

f) (sen z)0 =

g) Como ez es peri´odica de per´ıodo 2πi, se tiene que sen(z + 2kπ) =

eiz − e−iz eiz+2kπi − e−iz−2kπi = = sen(z). 2i 2i

An´alogamente, para el cos z . Definici´ on 10.30 – Las funciones tangente, tg z , y cotangente, cotg z , complejas se definen por

10.3.3

π + kπ, con k ∈ ZZ 2

tg z =

sen z , cos z

si z 6=

cotg z =

cos z , sen z

si z 6= kπ, con k ∈ ZZ.

Funciones hiperb´ olicas complejas

Definici´ on 10.31 – Las funciones seno hiperb´olico, sh z , y coseno hiperb´olico, ch z , est´an definidas para cada z ∈ C por ez − e−z ez + e−z sh z = y ch z = . 2 2 Proposici´ on 10.32 – Las siguientes propiedades relacionan las funciones trigonom´etricas complejas con las hiperb´olicas complejas:

Teor´ ıa de variable compleja.

122

10.3 Algunas funciones complejas

a) sh z = −i sen(iz) y ch z = cos(iz), para todo z ∈ C. b) sen(z + iw) = sen z ch w + i cos z sh w , para todo z, w ∈ C. c) cos(z + iw) = cos z ch w − i sen z sh w , para todo z, w ∈ C. d) Las funciones sen z y cos z no est´an acotadas en C. Demostraci´on: a) i sen(iz) =

e−z −ez 2

= − sh z ;

cos(iz) =

e−z +ez 2

= ch z .

b)

sen(z + w) = sen z cos(iw) + cos z sen(iw) = sen z ch w − 1i cos z sh w = sen z ch w + i cos z sh w.

c)

cos(z + w) = cos z cos(iw) − sen z sen(iw) = cos z ch w + 1i sen z sh w = cos z ch w − i sen z sh w.

d) No est´an acotados pues, de b) y c) se tiene sen z = sen(x + iy) = sen x ch y + i cos x sh y y cos z = cos(x + iy) = cos x ch y − i sen x sh y , y las funciones sh y y ch y no est´an acotadas en IR. Propiedades 10.33 – Las funciones hiperb´olicas verifican las siguientes propiedades: a) ch2 z − sh2 z = 1, para todo z ∈ C. b) sh(z + w) = sh z ch w + ch z sh w , para todos z, w ∈ C. c) ch(z + w) = ch z ch w + sh z sh w , para todos z, w ∈ C. d) sh z = 0 si, y s´olo si, z = kπi, con k ∈ ZZ. e) ch z = 0 si, y s´olo si, z = (2k + 1) π2 i, con k ∈ ZZ. f) sh z y ch z son funciones enteras y sh0 z = ch z y ch0 z = sh z , para todo z ∈ C. g) Para todo z ∈ C, sh(z + 2kπi) = sh z y ch(z + 2kπi) = ch z , con k ∈ ZZ. Demostraci´on: a) ch2 z − sh2 = cos2 (iz) − (−i sen(iz))2 = cos2 (iz) + sen2 (iz) = 1. b)

sh(z + w) = −i sen(iz + iw) = −i sen(iz) cos(iw) − i cos(iz) sen(iw) = sh z ch w + ch z sh w.

c)

ch(z + w) = cos(iz + iw) = cos(iz) cos(iw) − sen(iz) sen(iw) = ch z ch w − (i sh z)(i sh w) = ch z ch w + sh z sh w).

d) sh z = 0 ⇐⇒ ez = e−z ⇐⇒ 2z = 2kπi ⇐⇒ z = kπi. e) ch z = 0 ⇐⇒ ez = −e−z ⇐⇒ ez = e−z+iπ ⇐⇒ 2z − iπ = 2kπi ⇐⇒ z = (2k + 1) π2 i. f) (sh z)0 =

ez + e−z = ch z ; 2

(ch z)0 =

ez − e−z = sh z . 2

g) sh(z + 2kπi) = −i sen(i(z + 2kπi)) = −i sen(iz − 2kπ) = −i sen(iz) = sh z. ch(z + 2kπi) = cos(i(z + 2kπi)) = cos(iz − 2kπ) = cos(iz) = ch z.

Teor´ ıa de variable compleja.

123

10.3 Algunas funciones complejas

Definici´ on 10.34 – Las funciones tangente hiperb´olica, th z , y cotangente hiperb´olica, coth z , complejas se definen por

10.3.4

th z =

sh z ch z

π si z 6= (2k + 1) i, con k ∈ ZZ; 2

coth z =

ch z sh z

si z 6= kπi, con k ∈ ZZ.

Logaritmo complejo

Definici´ on 10.35 – Sea z un n´ umero complejo no nulo. Se dice que un n´ umero complejo w es w un logaritmo de z , y se escribe w = log z , cuando e = z . Proposici´ on 10.36 – Sea z un n´ umero complejo no nulo. El n´ umero complejo Log(z) = ln |z| + i Arg(z) es un logaritmo de z , que se llama logaritmo principal de z . Cualquier otro logaritmo de z verifica log(z) = Log(z) + 2kπi, con k ∈ ZZ. Demostraci´on: Como eLog z = eln |z| ei Arg(z) = |z|ei Arg(z) = z , Log z es una soluci´on de la ecuaci´on w e = z y, si w es otra soluci´on, se tiene ew = eLog z y, por tanto, w − Log z = 2kπi, con k ∈ ZZ.

Proposici´ on 10.37 – Sea A0 = {z ∈ C : z = x + 0i, x ≤ 0}. La funci´on Log z es anal´ıtica en 1 C − A0 y (Log(z))0 = para cada z ∈ C − A0 . z Demostraci´on: La parte real de Log z es la funci´on q

x2 + y 2 =

u(x, y) = ln |z| = ln

1 ln(x2 + y 2 ) 2

de clase 1 en IR2 − {(0, 0)} y, para cada z = (x, y) ∈ C − A0 , se tiene que D1 u(x, y) =

x2

x ; + y2

D2 u(x, y) =

x2

y . + y2

Para cada z = (x, y) ∈ C − A0 , la parte imaginaria de Log z es la funci´on v(x, y) = Arg(z) = 2 arctg

y y p = 2 arctg x + |z| x + x2 + y 2

de clase 1 en IR2 − A0 (en A0 no es continua) y se tiene que ³

´ x x2 +y 2 x2 +y 2 )2

−y 1+ √

√

D1 v(x, y) = 2

(x+

³

1+

√y

x+

p

³√

´2 = 2

(x +

2

x +y √

−y

2 +x

´

x2 +y 2

−y(

√ 2 2 √x +y +x) x2 +y 2

p =2 p 2 x2 + y 2 )2 + y 2 2 x + y 2 (x + x2 + y 2 )

p

x2 +y 2

−y −y( x2 + y 2 + x) p = = −D2 u(x, y) = 2 2 x + y2 (x + y 2 )(x + x2 + y 2 ) Teor´ ıa de variable compleja.

124

10.4 Series de potencias complejas

x+

D2 v(x, y) = 2

√

√

y x2 +y 2 x2 +y 2 )2

x2 +y 2 −y √

(x+

³

1+

x2 +y 2 (x+

√

x+

√y

p

√

√

´2 = 2

(x +

p

√ 2 2 2 √x +y +x

x2 +y 2 )−y 2

x

x2 +y 2

x2 +y 2

p =2 p 2 x2 + y 2 )2 + y 2 2 x + y 2 (x + x2 + y 2 )

x2 +y 2

x( x2 + y 2 + x) x p = 2 = = D1 u(x, y). 2 x + y2 (x + y 2 )(x + x2 + y 2 ) Por consiguiente, en todo punto del abierto C − A0 , se verifican las condiciones [C-R] y las partes real e imaginaria de Log z tienen derivadas parciales continuas, luego Log z es anal´ıtica en C − A0 y (Log z)0 = D1 u(x, y) + iD1 v(x, y) =

1 x − iy z z = 2 = = . 2 2 x +y |z| zz z

Observaci´ on 10.38 – Las propiedades del logaritmo real no se verifican, en general, para el Log(z). Por ejemplo, 3 Log i = 3( π2 i) 6= Log(i3 ) = Log(−i) = − π2 i. Definici´ on 10.39 – Dados dos n´ umeros complejos z y w , con z 6= 0, se designa por z w cualquiera de los n´ umeros complejos ew log z = ew(Log z+2kπi) = ew(ln |z|+i Arg(z)+2kπi) y al n´ umero complejo ew Log z = ew(ln |z|+i Arg(z)) se le llama valor principal de z w .

10.4

Series de potencias complejas

10.4.1

Sucesiones y series de n´ umeros complejos

Definici´ on 10.40 – Se dice que una sucesi´on {zn }∞ umeros complejos tiene por l´ımite n=1 de n´ z0 , y se escribe lim zn = z0 cuando para cada ε > 0 existe un n0 ∈ IN tal que |zn − z0 | < ε, n→∞ para todo n ≥ n0 . El c´alculo de l´ımites de sucesiones complejas se reduce al de sucesiones reales gracias al siguiente resultado: Proposici´ on 10.41 – Si zn = xn + iyn y z0 = x0 + iy0 , entonces lim zn = z0 ⇐⇒ lim xn = x0

n→∞

n→∞

y

lim yn = y0 .

n→∞

Es decir, lim zn = lim xn + i lim yn . n→∞

n→∞

n→∞

Demostraci´on: Cierto por serlo para funciones, ya que una sucesi´on es una funci´on de IN −→ C. Definici´ on 10.42 – Se dice que una serie de n´ umeros complejos

n=1

sucesi´on de sumas parciales {wn }∞ n=1 , definida por wn = z1 + z2 + · · · + zn =

∞ P

n X

zn es convergente cuando la

zk

k=1 Teor´ ıa de variable compleja.

125

10.4 Series de potencias complejas

converge. En este caso, si lim wn = w ∈ C, se escribe n→∞

∞ P

de la serie

n=1

∞ P n=1

zn = w , y se dice que w es la suma

zn .

Proposici´ on 10.43 – Sea {zn }∞ n=1 , con zn = xn + iyn . Entonces, la serie ∞ P

s´olo si, las dos series reales

n=1

xn y

∞ P n=1

∞ X

∞ P n=1

zn converge si, y

yn convergen. En este caso,

zn =

n=1

∞ X

∞ X

xn + i

n=1

yn .

n=1

Demostraci´on: Basta tener en cuenta que lim wn = lim

n→∞

n→∞

n X

zk = lim

n→∞

k=1

n ³X

xk + i

k=1

n X

´

n X

yk = lim

n→∞

k=1

∞ P

∞ P n=1

∞ P n=1

n=1

Proposici´ on 10.45 –

n→∞

k=1

Definici´ on 10.44 – Se dice que una serie de n´ umeros complejos vergente cuando la serie

xk + i lim

n X

yk .

k=1

zn es absolutamente con-

|zn | es convergente.

|zn | converge ⇐⇒ las series

∞ P n=1

|xn | y

∞ P n=1

|yn | convergen.

Demostraci´on: Usando que |xn | ≤ |zn | e |yn | ≤ |zn | se tiene una implicaci´on, y usando que |zn | ≤ |xn | + |yn | se tiene la otra. Proposici´ on 10.46 – Si

∞ P n=1

Demostraci´on: ∞ P

|zn | converge =⇒

n=1 ∞ P

serie

n=1

10.4.2

|zn | es convergente, entonces la serie

∞ P n=1

|xn | y

∞ P n=1

|yn | convergen =⇒

∞ P n=1

∞ P n=1

zn es convergente.

xn y

∞ P n=1

yn convergen =⇒ la

zn es convergente.

Series de potencias

Definici´ on 10.47 – Una serie de la forma

∞ P n=0

an (z − z0 )n donde z0 y los an son n´ umeros com-

plejos, se llama serie de potencias centrada en z0 . Para simplificar la escritura, consideramos series de potencias centradas en 0, es decir, series de la forma

∞ P

n=0

an z n .

Como en el caso real se demuestran las siguientes proposiciones: Lema de Abel. 10.48 – Si una serie de potencias

∞ P n=0

an z n converge para un z1 6= 0, entonces

la serie converge absolutamente para todo z ∈ C con |z| < |z1 |. Si una serie de potencias

∞ P

n=0

an z n no converge para un z2 6= 0, entonces la serie no converge

y diverge en m´odulo para todo z ∈ C con |z| > |z2 |. Teor´ ıa de variable compleja.

126

10.5 Ejercicios

Demostraci´on: Es id´entica a la demostraci´on del Lema de Abel para series reales (ver 8.14). Al verificarse el lema de Abel, el comportamiento de las series de potencias complejas en m´odulo es identico al de las series de potencias reales, por lo que podemos asegurar la existencia del radio de convergencia y de propiedades an´alogas a las que cumplen las series de potencias reales: ½

Definici´ on 10.49 – Al valor ρ = sup |z| :

n=0

vergencia de la serie. Si

∞ P

n=0

y si

∞ P

n=0

∞ P

¾

an z n converge

lo llamaremos radio de con-

an z n converge u ´nicamente en {0}, diremos que el radio de convergencia es cero, ρ = 0,

an z n converge en todo C, diremos que tiene radio de convergencia infinito y escribiremos

ρ = +∞. Si ρ > 0, al entorno E(0, ρ) lo llamaremos c´ırculo de convergencia de la serie. p n

Proposici´ on 10.50 – Si lim

n→∞

de la serie de potencias

∞ P n=0

an

Proposici´ on 10.51 – La serie en el c´ırculo de convergencia.

|an+1 | = n→∞ |an | 

|an | = L ´ o lim

  +∞, si L = 0

zn

viene dado por ρ =

∞ P n=0

 

1 L,

si L ∈ (0, ∞) 0, si L = ∞.

an z n converge uniformemente en cualquier cerrado contenido

∞ P

Proposici´ on 10.52 – Si f (z) =

L, entonces el radio de convergencia ρ

n=0

an z n en E(0, ρ), entonces f es continua en E(0, ρ).

Proposici´ on 10.53 – Si ρ > 0 es el radio de convergencia de la serie de potencias entonces la serie

∞ P n=1

nan z n−1 converge absolutamente en E(0, ρ), la funci´on f (z) =

es derivable en E(0, ρ) y f 0 (z) =

∞ P n=1

Corolario 10.54 – Si f (z) =

∞ P n=0

∞ P n=0 ∞ P

an z n ,

n=0

an z n

nan z n−1 , para todo z ∈ E(0, ρ).

an (z − z0 )n en E(z0 , ρ), entonces

a) f es an´alitica en E(z0 , ρ). b) f es infinitamente derivable en E(z0 , ρ). c) an =

10.5

f n) (z0 ) , n!

para n = 0, 1, 2, . . ..

Ejercicios

10.1 Sea f una funci´on anal´ıtica en una regi´on A (conjunto abierto y conexo). Probar que: a) Si f 0 (z) = 0 en A, entonces f es constante en A. b) Si la parte real o la parte imaginaria de f es constante en A, entonces f es constante en A.

Teor´ ıa de variable compleja.

127

10.5 Ejercicios

c) Si |f (z)| es constante en A, entonces f es constante en A. 10.2 Expresa en forma bin´omica los valores de ei , sen i, sh( π2 i) y ch(πi). 10.3 Probar, que para todo x ∈ IR se verifican las igualdades siguientes: Ã !

à !

à !

n n n cos x + cos 2x + cos 3x + · · · + cos(n + 1)x = 2n cosn 1 2 n

x 2

cos n+2 2 x.

n n n sen x + sen 2x + sen 3x + · · · + sen(n + 1)x = 2n cosn 1 2 n

x 2

sen n+2 2 x.

à !

à !

à !

10.4 Probar, que para todo x ∈ (0, 2π) se verifica que ´

³

1 + cos θ + cos 2θ + cos 3θ + · · · + cos nθ =

sen (n + 1) 2θ cos(n 2θ ) sen 2θ

.

10.5 Determinar las partes real e imaginaria de la funci´on f (z) = tg(z). 10.6 Determinar las partes real e imaginaria de las funciones sh(z), ch(z) y th(z). 10.7 Determinar una funci´on f = u + iv anal´ıtica en C, sabiendo que f (0) = 0 y que su parte real es la funci´on u(x, y) = −x + 2 sen x ch y . 10.8 Estudiar la derivabilidad y la analiticidad de las funciones: a) f (z) = ez . b) f (z) = cos(|z|2 ). c) f (z) = sh(z + z1 ). d) f (z) = Log(ez + 1). 10.9 Resolver la ecuaci´on 4 cos z + 5 = 0. 1

1

10.10 Probar que de la f´ormula z n = e n (Log z+2kπi) , se obtienen las n raices n-´esimas de z , al tomar k = 0, 1, . . . , n − 1. 10.11 Hallar los radios de convergencia de las siguientes series de potencias: a)

∞ P

in (z + i)n ;

n=0

Teor´ ıa de variable compleja.

b)

´n ∞ ³ P z ; 1−i

n=0

c)

∞ ³ P n=1

z Log(−in)

´n

;

d)

∞ P (z−2πi)n n=1

2πn

.

128