PROBLEMAS SOBRE LA TEORIA DE FUNCIONES DE VARIABLE COMPLEJA L.VOLKOVYSKI G.LUNTS I.ARAMANOVICH

r. JI. JIYHU, H. r . APAMAHOBH4

JI. H. BOnKOBhlCKHA.

C60PHHI( 3A,ll.Aq no TEOPHH YHKUHA KOMilJlEKCHoro nEPEMEHHoro

H3.llATEJlbCTBO ,,HAYl V3+4i; 8> V-2+2i; 9) ~,___4_+_3~i.

5. Demuestre que ambos valores de V z•- l se encuentran sobre la recta que pasa por el origen de coordenadas y es paralela a la bisectriz del ángulo interior del triángulo con vértices en los puntos - 1, 1 y z, trazada por el vértice z. 11

6. Sean m y n dos números enteros. Demuestre que ( íYz)"' toma n/ (n , m) diferentes valores, donde (n, m) es el máximo común divisor de los números m y n. Compruebe que los conjuntos de valores de (íYz)"' y de íY?' coinciden, si, y sólo si, (n, m) = 1, es decir, si n y m son primos entre sí. 7. Demuestre las siguientes desigualdades partiendo de consideraciones geométricas: 1) lz 1 +z,l~lz 1 l + lz, j; 2) jz,-z,l;;;a.l lz,l-lz,11. Demuestre estas mismas desigualdades algebraicamente. Explique en cada caso cuándo tiene lugar el signo de igualdad. 8. Demuestre las siguientes desigualdades partiendo de consideraciones geométricas 1)

h+;- 1 j~largzl; 2) lz - 1 l ~llzl- 1 l+lzllargzl.

9. Demuestre la identidad

lz, +z,I' + lz,-z,1'=2 (lz, l' + ¡z,I') y explique su significado geométrico. 10. Demuestre la identidad l l -z,z, l' - 1z, -z, I' = (l - 1z, I') ( 1-I z, I'). 11 . Demuestre la desigualdad

l

1z, + z, I;;;::. { +i sen 'P (fórmula de Euler) permite emplear para la notación de un número complejo la forma exponencial z = rel? en lugar de la forma trigonométrica z = r (cos 'J>+ i sen q>). En lo sucesivo, por

.59. Represente en la forma exponencial los números l, - 1, i, -i. l + i. 1- i. - 1 +t. -1-i. 60. Halle e±tti/2; e'"" (k =O, ±l. ±2. . .. ). 61. Halle los módulos y los valores principales de los argumenos de los números complejos es+ •"; e'-•i; e3 ...i; e-•-• 1;-ae1f(a O, lcp]~n); e-i"(lcpl~n); e'.. -e,.~(0~~ cx.~2n). 62. Halle las sumas: 1) l +cosx+cos2x+ . .. +cosnx; 2) sen x + sen 2x + ... +sen nx; 3} cosx+cos3x+ ... +cos{2n-l} x; 4) senx+sen3x + ... +sen{2n-l)x; 6) senx- sen2x+ ... +(-l)•- 1 sennx. 63. Halle las sumas: l) coscx. +cos(cx.+~)+ ... +cos(cx. + n~); 2} sena+sen(a+fi ... +sen(a +nf3. 64. Partiendo de la definición de las funciones correspondientes, demuestre que:

l) sen•z+cos•z= I; 2) senz=cos (~-z) + z,) =sen z, cos z, + cos z, sen z,; 4) cos (z1 + z,) = cos z, cos z,-sen z, sen z,;

3) sen {z,

5) lg 2z = 1 ~\~! z; 6) ch (z, + z1 )=ch z, ch z1 + sh z, sh z1 • 16

65. Demuestre que, si cos (z + (1)) = cos z para todo z, entonces, w=2nk (k=O, ± 1, ± 2, . .. ). 66. Demuestre que: 1) seniz=íshz; 2) cosiz.=chz; 3) tgiz=ithz; 4) ctgiz=-icthz. 67. Exprese en términos de funciones trigonométricas e hiperbó-

licas de variable real las partes real e imaginaria, así como los módulos de las funciones siguientes: 1) senz; 2) cosz; 3) tgz; 4) shz; 5) chz; 6) thz. 68. Halle las partes real e imaginaria de los siguientes valores de funciones: 1) cos(2+í); 2) sen2i; 3) tg(2-í); 4) ctg(~-iln2); 5) cth(2+i); 6) th(ln3+~). 69. Halle para cada una de las funciones e', cos z, sen z, tg z, ch z, cth z el conjunto de puntos z donde ellas toman: 1) valores reales: 2) valores imaginarios puros. 70. Halle todos los valores de z para los cuales 1) ltgzl= l; 2) jthzl = l. Por definición se toma Ln z = In r+ iq+ 2Jtik (k = O, ± 1, ±2•. .. ), In z = = In r + iq (-" < cp.;;;n) (In z se denomina oolor principalde la magnitud Ln z) .

71. Calcule: 1) Ln4, Ln(- 1), ln(-1); 2) Lni, lni; 3) Ln~ii; 4) Ln(2 -3i), Ln(-2+3i). 72. Halle el error en los razonamientos que conducen a la paradoja de J. Bernoulli: (-z)1 =z•; por esto, 2Ln(-z)=2Lnz y, por consiguien\e, Ln (- z) = Ln z (!). 73. El valor inicial de lm f (z) para z = 2 se ha tomado igual a cero. El punto z realiza una vuelta completa en el sentido opuesto al del movimiento de las agujas del reloj, manteniéndose en la circunferencia de centro en el punto z = O y volviendo al punto z = 2. Aceptando que f (z) varía continuamente durante el movimiento del punto z, señale el valor de lm f (z) después de dicha vuelta, si: t· l ) f(z)=2Lnz; 2) f(z) = Lnz-; 3) f(z)=Lnz - Ln(z+l); 4) f(z)=Lnz + Ln(z + l ). Por definición, cualesquiera que sean los números complejos a loma a• = exp (ex. Ln al o bien a• = eªLna si continuamos comprendiendo expz coino e' 11 •

;O O y ex, se

(1)

11 De acuerdo con (1) e'=ex p{zlne} =exp {z(l+2nik}. Sin embargo, si es que no se dice lo contrario, tomaremos k = O, es decir, e' =exp z, al igual que antes.

2 3aK. 103:!

17

74. Halle todos los valores de las potencias siguientes: 1) ¡V2; 2) (-2)Yf; 3) 21; 4) 1- 1; 5) i 1;

6) (1¡~)1+'; 7) (3 -4i)' ... '; 8) (-3+4i)«·1• 75. Pruebe que en el caso de un exponente racional (ex= m/n) la definición general de potencia z• coincide con la definición corriente: '" zñ = {~/zr

(véase asimismo el problema 6). 76. ¿Coinciden los conjuntos de valores de a'", (a•)' y (at)•? Por definición, la igualdad w = Arccos z es equivalente a la Igualdad z = cos w. Análogamente se definen las funciones Arcsen z. Arctg z, Arttlg z y las funciones hiperbólicas Inversas Arch z, Arsh z, Arth z, Arcth z. 77. Demuestre fas siguientes igualdades (se toman en conside· ración todos los valores de las raíces): l) Arccosz = - i Ln (z + Vz' - 1); 2) Arcsenz= - i Ln i (z+ VZCT); i i+ z 1 l +iz 3) Arctgz= 2 Lnr=z=2i'Ln 1 _ 1z; 4) Arcctg z

=f Ln ~=;~ ; 5) Arch z = Ln (z +V z•

6) Arshz = Ln(z+Vz•+1); 8) Arcth

z=

+

l);

7) Arthz=+Ln::=::

Ln~~: .

78. Demuestre que cualquiera que sea el valor de Arccos z se

puede escoger el valor de Arcsen z de manera que la suma de estos valores sea igual a n/2. Demuestre una proposición análoga para Arctg z y Arcctg z. Observaci6n. Las Igualdades Arcsen z + Arccos z = n/2 y Arctg z+ Arcctg z = = n/2 siempre se entienden en el sentído indicado en el problema anterior.

79. Compruebe que todos los valores de Arccos z están contenidos en la fórmula Arccosz=±iln(z + Vz• l). donde por V z• 1 se entiende uno de sus valores. 80. 1) ¿Para qué valores de z todos los valores de las funciones Arccos z, Arcsen z y Arctg z son reales? 2) ¿Para qué valores de z la función Arsh z toma valores imaginarios puros? 8 1. Halle todos los valores de las siguientes funciones: 1) Arcsen 1/2; 2) Arccos 1/2; 3) Arccos 2; 4) Arcsen i; 5) Arctg (1+2i); · 6) Arch 2i; 7-) Arth (1-i). 18

82. Halle todas las raíces de las siguientes ecuaciones: 1) senz + cosz=2; 2) senz-cosz=3; 3) senz-cosz=i; 4) chz-shz= 1; 5) shz-chz=2i; 6) 2chz+shz=i. 83. Halle todas las ralees de las siguientes ecuaciones: 1) cos z = ch z; 2) sen z = i sh z; 3) cos z = i sh 2z. § 3. SUCESIONES Y SE IH ES NUMERICAS

84. Demuestre que, si la serie

f cn converge

n=l

la strie converge absolutamente.

y 1argen1 ~a

-i,

..

...

85. Sean convergentes las series ~ en y }.; e~. Demuestre que

..

na l

fl ;;:; I

siendo Re en~ O, también converge la serie ~ 1en I'.

.

na l

86. La serie },; en posee la propiedad de que las cuatro partes n :I

suyas, compuestas por los términos pertenecientes a un mismo cuadrante cerrado del plano, convergen. Demuestre que la serie dada converge absolutamente. 87. Demuestre la fórmula (transformación de Abel) n

n- 1

k~m

•• m

~ ª•b• = ~ S.(b.-b.+ 1 )-5., _,b,..+Snbn,

...

88. Demuestre que para la convergencia de Ja serie ~ anb,,, n3 1

donde 11,. O, es suficiente que sean acotadas las sumas parciales

...

de la serie ~ an y que la sucesión de números {b,,) tienda monó· n=l

lonamente hacia el cero (criterio de Dirichlet). Sugerencía . Recurra a la transformación de Abel.

..

89. Demuestre que para la convergencia de la serie ~ a0 b0 , n ;;; 1

donde b,, son números reales, es suficiente que converja la serie

_t a.

y que la sucesión {b,.} sea monótona y acotada (criterio de

n •I

Abel). 19

., 90. Demuestre que para la com·ergencia de Ja serie ~ a"b" n= l es suficiente que se verifiquen las siguientes condiciones: "" 1) límYñbn = O; 2) la serie ~Vn l bn - bn + t l converja: n-oo

11!:

3) la sucesión

91. Sea lím 11- ~

.~"' r n

donde sn =

V'Jc;J =

1

±.

k~ t

a¡., sea acotada.

.,

q. Demues tre que la serie ~ e,, converge

(absolutamente), si q < l, y diverge, si q 92. Tomando como ejemplo las series 1

1

1

i+u+s- + 4 + ... y

o:.+~• +'cz• + ~· +.. .

..

n= J

l.

(lo:. ~)

(0 o: ~ 1),

compruebe que la serie ~ en puede ser convergente aun cuando nal

lím ¡en+• 1 l.

n .. oo

Cn

93. Demuestre que, si 1ím 1e,.+ ' j = l, para la convergencia abson -

serien~ e,,

!uta de la

oo

Cn

es suficiente que sea

}'.~. .n(l c·~: ' l-1) - 1 (criterio

de Raabe).

94. Demuestre el criterio de Gauss: si donde a no depende de n y a lutamente.

-

j c,,e,..q j= 1 + ~n +o(..!...) , n

1, la serie

1; en

converge abso-

n= •

Analice la convergencia de las series ~en en los problemas n= I

95-104. n = (Zi)" . 96. Cn = eln? ein 99. c,.=n. JOO. c,.= 7 .

95.

Cn

ni

(In)" •

101.

97. en = efn.

98.

ei11

c,,=n-.

c,, = 111 enJtn.

102 . e =a (ex+ 1) ... (cx+n -1) 1111+1) ... ll+n - 1) (serie hiper"

ni vv+ 1) .. .(y+n-1)

geométrica), Re (o:.+~ -y) O. _ !3:!.}!!_ n sen in 103 · C,.- 2n 104. Cn = ~. 20

105. Halle los puntos de acumulación de los conjuntos:

1) Z= l +( - l)n n~J (n = I, 2, ... ); 2) z = ...!... m

+ !_n

(m, n son números enteros arbitrarios);

3) 2 = L+ i .!L m n (m,

n, p y q son números enteros arbitrarios):

4) \zl l. 106. Demuestre que de una sucesión (znl acotada de puntos se puede extraer una subsucesión convergente. 107. Demuestre las siguientes proposiciones· l) La convergencia de la sucesión \zn = X -r iyn} equivale a la convergencia sumultánea de las sucesiones {xJ e {y,.}. 2) Para que exista el limite lim zn =!=O es necesario y suficiente n - "'

que existan los límites lim 1z,, \=!=O y (de!iniendo convenientemente n-"' arg zn) lim arg Zn· .Si el lim z,, no es un número negati vo, se puede n-co n-"' aceptar, por ejemplo, que -n arg z,. ~ :n. ¿En qué casos la convergencia de la sucesión ¡z,,} equivale a la convergencia de la sucesión {j zn ll solamente? 108. Basándose en los resultados del problema 107 demuestre que: 1) lim ( 1 +.!.)"=e"' (cos y+ i sen y); n-co\

2) lím ,, -

n

[n (íYz-1)l = lnr+iq¡ +2nik

(k = O, 1, 2, ... ).

(11)

§ 4. FUNCIONES DE VARIABLE COMPLEJA FUNCIONES COMPL EJAS DE VARIABLE REAL

En los problemas 95-115 se requiere determinar las curvas definidas por las ecuaciones dadas. 110. Z= l+it•; -oo t oo. 109. Z= l-it; O~t ~2 . 111. Z=l' + it'; -oo f oo. 3 112. z = a(cos t + isenl); .;.~ t~ 2n; a O. j

113. Z= l + -¡; - oo t O. 114. 1) Z= t+iVl-f1 ; -l~t~l; 2) Z= - t -1- iVI (se toma el valor aritmético de Ja raíz). 115. 1) Z=a(t+i - ie- 11 ); -oo t oo, a O; 2) z= ia + at-ibe- 1';

O ~ t ~2n ,

t•;

a O. b O. 21

FUNCIONES DE VARIABLE COMPLEJA

116. Dada la transformación w= z• se requiere: l ) hallar las imágenes de las curvas x=C, y = C, x = y, lzl i= R y arg z = a y explicar cuáles de estas curvas se transformarr biuní· vocamente; 2) hallar las preimágenes (en el z-plano) de las curvas u = C y o = C (w=u + io). t 17. Dada la transformación w = 1/z, halle: - 1) las Imágenes de las curvas x=C, g = C.• /z/= R, argz=a: y lz- 11= 1; 2) las preimágenes de las curvas u = e y ti = e. 118. Para las transformaciones w = z +~y w = z-+ halle las imágenes de las circunferencias 1z 1= R. 119. Para la transformación w = z + ..!.. z halle en el z-plano la preimagen de la red rectangular (u = C, ti = C) del plano w. 120. ¿En qué se transforma la circunferencia 1z1 = 1 mediante la transformación w = z /( 1 - z)'? 121. Para la transformación w =e' halle: l ) las imágeneS de las curvas x= C, y=C y x= y; 2) las preímágenes de la curva p =e (O..;;; e oó). 122. Halle en qué transforman la red rectangular (x=C, y=C) del plano z las funciones: l) w= z'+z; 2) w = cthz; 3) w= ez'. 123. ¿En qué transforma la función w = e'+ z los segmentos de las rectas X = C y las rectas y= C pertenecientes a la franja 0 ..;;;y..;;;n? 124. ¿Qué corresponde en el z-plano a la red polar lwl=R, arg w= a en las transformaciones: 1) W = e 11•; 2) w= ez'? CONTIN UIDA D

125. Una función f (z), definida en una vecindad de un punto z0 , se llama continua según Heine en el punto z0 , si para cualquier sucesión {znl, convergente hacia z0 , se verifica la condición lim f (zn)= =/ (z0 ); esta misma función se llama continua según Cauchy ,"°si para cualquier e > O existe un ll (e) > O, tal que de la desigualdad 1z- z0 11 (~. r¡), donde q> y 'I> son funciones armónicas conjugadas, la función transformada será armónica. (De aquí se desprende, en particular, la proposición anterior). 4) Sean u (x, y) y v (x, y) dos funciones armónicas conjugadas y sea el jacobiano : ~~'. :~ diferente de cero en un recinto. Entonces las funciones inversas x (u, v) e y (u, v) también serán armónicas y conjugadas. 163. Demuestre que para toda función u (x, y), armónica en un recinto simplemente conexo G, existe una familia de funciones armó· nicas conjugadas que se diferencian una de otra en una constante aditiva (.r.11)

v(x, y)=

5 -avdx+ ax dy+c. éJu

iJu

(x,, l/ol

2) Demuestre que, si el recinto Ges múl tiplemente conexo y está limitado por el contorno exterior r. y por los contomons interio· 26

res rl. r, ..... rn (fig. l) (cada uno de los cu:iles puede degenerar en un punto), la función u (x, y) puede resultar multiforme y la fórmula general para sus valores será (x.

u(x,y) =

vi

S

n

-:; dx+;;dy+L,m4 n4 +C.



.

•~ 1

La integral se toma a lo largo de un camino perteneciente a G, m" son números enteros y 1t1t=

S

-

ou d x+axdy, ou

oy

Y•

donde v. son contornos cerrados simples, cada uno de los cuales contiene en su interior una parte conexa de la frontera cr.) (los números ll1t se llaman períodos de la integral o constan.tes cíclicas) .

Para que la función u (x, y) sea uniforme es necesario y suficiente que todos los números n" sean iguales a cero.

d

CY Cf• o

Obseruación. El contorno r 0 puede no existir siempre que la función u (x, g) sea armónica en el punto infinito. Esto signlfica. por definición, FIG. 1 que la función U(,, r¡), obtenida de la función u (x, g) mediante la transformación de inversión (véase el problema 152, 2). es armónica en el origen de coordenadas. Se puede demostrar que en este caso

154. Suponiendo conocido el hecho de que toda la función ana· lítica es infinitamente diferenciable, demuestre los siguientes teoremas: 1) Las partes real e imaginaria de una función analítica f (z) = = u+ iv son funciones armónicas conjugadas. 2) has derivadas (de cualquier orden) de una función armónica son también funciones armónicas. 155. 1) ¿Será armónica la función u". siendo armónica la función u? 2) Sea u una función armónica. ¿Para qué funciones f la función f (u) también será armónica? 156. ¿Serán armónicas las funciones 1f (z) l. arg f (z), y In 1f(z)1. siendo f (z) una función analítica? 157. Transforme el operador de La place ó.u = 0•11 ox• ª'" oy• a lasco· ordenadas polares (r, qi) y halle Ja solución de la ecuación de Laplace ó.u = O dependiente sólo de r. 158. Calcule para n = 1, 2, 3, 4 los polincmios armónicos Pn (x, y) y q. (x, y) definidos por la igualdad zn = p.+ iq•. Encuentre la forma general de p. y q. en el sistema polar de coordenadas.

+

27

Valiéndose de las fórmulas del problema 153, halle en los problemas 159-163 las funciones conjugadas a las funciones armónicas dadas en los recintos señalados. 159. u(x, y)=x•-y•+x, O~lzl < oo. )f,

160. 11(x,y) = x•+y•• O t ienc l.1 forma canónica

di~tinlos

w- z, =- k z- z, W-

Z2

puntos inmóviles

11

y z,

1

Z-Z2

~¡

z1 ;é e.e, z2 ;t= oo )' w- z1 - k (z - z 1 ), si z• = oo; unn transformación con dos di>lintos Jlulltos Inmóviles se dcnominn ltipubólica, si k > O. ellplica, si k = el• y

a .,, O. y loxodrómico. si k = oel'. d 2, y parabólica, cuando !ct+ 0 < q>, < q>, ~ q>0 + n). Aceptando que el punto z0 es próximo a la circunferencia unidad, demuestre que para la longitud r de la imagen del arco q>, ~

"'•-;'I'•]+O(e'),

donde e = l - r 0 • TRANSFORMACIONES DB RECI NTOS BICONBXOS:.l!LEMENTALl!S

252. Demuestre que, si la transformación lineal del circulo ¡ z 1 1 en si mismo no se reduce a una rotación, no existe anillo concéntrico alguno de ct:ntro en el origen de coordenadas que se transforme en un anillo concéntrico. Obsrtuad6n. Esta proposición es un caso particular del siguiente teorema: Para c¡ue exista una transformación conforme del anll lo '• < 1z1 < '• en el anlllo R, lcof R 1 esnec:esario y sullcientequese cumpla la cond ic1ónR 1/R 1 = - r,/r ,. Ademh, en este caso ta función que realiu la transformación puede tener sólo

dos formas: o bien w = oz o bien w = o/ z. La lransformación queda determina· da unfvocamente al especificar un par de puntos frontera correspondientes (vense. por ejemplo, 12. cap. 11, § 31).

253. 1) Transforme el anillo 2 1z 15 en el anillo 4 1w1 de manera que w(S)= - 4.



10

2) Transforme el anillo 1 l z-2i l 2en el anillo 2 l!i•-3 1 4 de manera que w (O) = - 1 - 2i.

+ 2i 1

Tiene lugar e l siguiente teorema: Toda región bkonexa, cuyas fronleras no degeneran en punlos, puede ser transformada conformemente en un an illo concfotrioo con la razón bien definida µ de los radios de las circunferencias inlerior y exterior (µ se denomina módulo del recinto biconexo).

254. Transforme el semi plano Re z O sin el circulo 1z - h I R en el anillo p /w/ 1 le manera que el eje imaginario se convierta en la circunferencia 1w1 = l. Halle p.

(h

R)

Sugeancio. Conslruya la circu11lcrenria de ecn lro en el origen cfo coordena. das y ortogonal a la circunferencia 1~ - h J = R: encuentre la transformación li· neal que transforma el eje real y la circunferencia construida en dos rectns que se inte rsecan (ortogonalmente) y compruebe que el recinto ron$iócrado se frans· forma en este caso en un unillo conc~ntrico. Oemuestr~ que el cent ro M este anillo coincide con e l origen de coordenados, si los puntos ele interstcción de la circunferencia construida en e l eje real pasan o O y a l oo.

255. Transforme el serniplano Re z O sin el círculo j z-11) 1, l. en el anillo 1 l •11 I 2. Halle h. 256 . Transforme el anillo excéntrico comprendido entre las cir. cunferencias 1z-3l=9 y l z-81 = 16 en el anillo p 1w1 1. Halle p. 257. Transforme el recinto biconexo cornprendino entre las cír· cunfercncias l z-z,J = r 1 y lz-z.l = r. (donde o bien lz 2 l-lz 1 I r, + r, o bien 1z,-z,1 lr,- r,!J en un anil lo circular conccntrico de centro en el origen de coordenadas. Halle el módulo (µ) del recinto.

h



Sugerencia. Halle un par de puntos simétricos respecto a ambos carcunfe. rencla.s y transforme uno de ellos en O y otro en el oo. Obseruaci6n. Es fác il ver que el método de solución recomendado en las sugerencias a los problemas 254 y 257 es el mismo.

258. Empleando la solución del problema anterior, halle los módulos de los recintos biconexos comprendidos entre las circunfe. rem:ias dadas: 1) jz-ij= 2 , Jz+i1=5; 2) lz-3i) = I. lz-41=2. PROPllHA DES DE GRUPO DE TRANSl'ORMACIONES HOMOORAPICAS

La transformación T (z) = T 1 (T 1 (z)J se denomina producto de las transfor· mociones T 1 y T 1 y se denota en la forma T "'T1T 1 (el orden tiene import ancia ya que, en general, r,r, ~ T 1T 1 ). El conjunto u oe transformaciones T forma un grupo, si contiene el prod ucto de dos cualesquiera translormodoncs pertenc· clentu a él y si junto a la transformación T contiene la transformación r- 1 inv~sa a ésta. El grupo compuesto por las potencias T" y de una trans· formación T se denomina clcllco. Si el grupo O se obtiene a pnrtir de las trans·

r-n

38

formaciones T 1 , T., .... T n construyendo todas las transformaciones inversas, todos los productos de las transformaciones dadas y todas las transformaciones inversas a los mismos, se dice que estas transformacíones generan el grupo O. Los puntos que se obtíenen a partir de un punto lijo z mediante todas las trans· formacíones del grupo O se denominan equi1.1alenfes o congrnenles respecto al grupo O. Se llama recinto fundamental del grupo O a todo recinto (conexo o no co· nexo) que no contiene ningún par de puntos equivalentes uno al otro respecto al grupo dado y tal que unn vecindad de todo punto frontera contíene puntos equivnlentes a tos puntos del recinto.

259. Sean T; transformaciones lineales:

T.(z) = a;z + bi 1 C¡Z ·f· d¡'

ll; = Iª' b; l=;'.'0 (s = l, 2, ... ). C¡ d;

Demuestre las siguientes proposiciones: 1) T = T,T, es una transformación lineal con determinante

t:J. = ll,t:J.,.

2) El producto de las transformaciones es asociativo, es decir, (T,T,) T, = T 3 (T.T,). 1 3) Para toda transformación T, existe la inversa , es decir, T¡T¡' = T,- •T; = J, donde J (z) = z es la transformación idéntica. 4) El producto de transformaciones no es, en general, conmu· ta\ivo (dé ejemplos), 260. Demuestre que la~ transtormaciones 1 T 1 T ~. z- t z T, = z . T • , = l - z.T, = 1- z' • z • T. = z- t

r,-

- z-·

forman un grupo (el grupo de razones a11armó11icas). 26 1. Demuestre que es grupo ciclico el conjunto de transformaciones 1ineales consistentes en la rotación del plano alrededor del origen de coordenadas en ángulos múltiplos de a. ¿En qué caso este grupo estará compuesto por un número finito de transformaciones? 262. 1) Demuestre que el conjunto de transformaciones de la forma w= :;~:. donde a, b, e y d son números reales enteros y ad-be = 1, es un grupo (este grupo se denomina modular). 2) Demuestre que, si a, b, e y d wn números enteros complejos (es decir, números de forma m + ni, donde m y n son números reales enteros) que satisfacen la condición ad- be = 1, el conjunto de transformaciones del punto 1) también constituye un grupo (el grupo Picard). 263. Halle los recintos fundamentales de los grupos generados por las transformaciones: 1} T (z) = e"'''" z (n es un número natural); 2) T, (z) =e"'''" z, 1

T, == z-; 3) T(z) = z+w; 4) T,(z) ..: z+w, T,(z)=-z; 5) T,(z)= 39

;';O)

=z + oo,. T, (z) = z+ oo, ( l m~ (grupo doblemente periódico); 6) T,(z) =z+oo1 , T 2 (z)=z+oo1 , T,(z) = -z; 7) T,(z) = z+(J); T ,(z)=iz; 8) T 1 (z)=z+oo, Ti (z)=e""1'•z; 9) T, (z)=z+oo, T. (z)=e""'''z. 264. Halle Jos grupos de transformaciones lineales que corresponden en la proyección estereográfica a la rotación de la esfera l) alrededor del diámetro vertical; 2) alrededor del diámetro paralelo al eje real ; 3) alrededor del diámetro paralelo al eje imaginario; 4) alrededor de aquel diámetro para el que el punto a es la proyección estereográfica de uno de sus extremos. Sugerencia. Si z1 )' z1 son las Imágenes de punlos de la esfera diametral· mente opuestos, se tiene z,Z.=-1 (véase el problema 49).

265. 1) Demuestre que el grupo de transformaciones lineales, que corresponden a la rotación de la esfera y que transforman los puntos con las proyecciones estereo.eráficas a y b uno en otro, se define mediante la relación w~/J l+bw

=e'"

z-_a . t+az

!.::;

2) Demuestre que la diferencial ds = 1 Iª es invarianle res· pecto a las transformaciones de este grupo y representa la longitud esférica del elemento de arco dz (es decir, la longitud de la imagen de este elemento en la esfera). TRANSFORMACIONES LINEALES Y LA OEOMETRIA DE L0BACHBVSK1

Cuando la geometría de Lobachevskl se interpreta en el círculo unidad I, el papel de las rectas lo desempeñan los arcos de las circunferencias

1z 1

ortogonales 11 la circunferencia onidad pertenecientes a este circulo; el papel del

movimiento lo desempeñan IM translormaciones llneales del circulo unidad en si mismo y el papel de la distancia entre los puntos z 1 y z1 lo desempeña la megnltud p (: 1 , zJ=-} In (a, ~. z1 , t 1) , donde a y ~ son los puntos de ínter·

sección de la ~recta" que pasa por los puntos z 1 y z, con la circunlerencia unl· dad (el orden de los puntos es el siguiente: a, z1 • z,, ~). mientras que (a, ~. z1 , z1) es la razón anarmónica de los puntos señalaaos. Los ángulos se miden l~uel que en la geomelrla de Euclides (véase, por ejemplo, JI, cap. 11, § 4, n 8)).

266. Demuestre que p (z" z1 ) O, si z 1 =foz,, y que p (z, z) =O. 267. Demuestre que p(z1 , z.)~p(z,, z,)+p(z,, z8 ) y que el signo de igualdad debe tomarse si, y sólo si, el punto zs se encuen· tra en el ~segmento" que une los puntos z, y z 1 • 268. Demuestre que, si uno de lo.s puntos z, o z1 tiende hacia un ponto de la circunferencia unidad (o ambos tienden hacia dife. rentes punto.s de la circunferencia unidad), la longitud no euclí40

diana p (z11 z,) tiende hacia el Infinito (es decir, los puntos de la circunferencia unidad corresponden a los puntos del infinito del plano no euclidiano). 269. Demuestre que la diferencial ds= 1 ~~J .(!zl 1) es lnva· rlante respecto al i{l'UPO de transformaciones lineales que transfor· man el circulo 1z1 < l en si mismo y representa la longitud no euclidiana del elemento de arco dz.

1

l' I270. Indique métodos de construcción deª las b

Sugtrt11&la. Obtenga lo lorma general de la transformación del circulo 1 en s1 mismo que transtorma e1 punto en e1 punto b 1 r 1. 1).

ª

siguientes curvas: l) del haz de "rectas" que pasan por el punto z0 ; 2) de la "recta" que pasa por los puntos z, y z,; 3) de la equidistante de una "recta" (es decir, del lugar geométrico de los puntos "equidistantes" de la "recta" dada); 4) de las curvas limite (es decir, de las curvas ortogonales a un haz de "rectas paralelas"). 271. l) Demuestre que para un triángulo "rectilíneo" de ángu· los cp,, cp, y q1 es válida la desigualdad q, + q, + cp, n. 2) Demuestre que, salvo un "movimiento", un triángulo "recti· lineo" se define mediante sus ángulos q., cp, y q1 • Omstruya el triángulo "rectilíneo" a partir de sus ángulos. § 3. FUNCIONES RACIONA L ES Y ALGEBRA I CAS

La lransformaci6n general de un círculo o de un semiplano fn un rec in to simplemente conexo del w-plano es de la forma w - cp (1 (z)J. donde cp (z) es una t ransformación particular y 1 es una transformación homográflca cualquiera del círculo o del semlpl ano en si mismo (la traruformación Inversa es de la forma z = 1 (i! (w)J). Es necesario lener en cuenta est;i observación siempre ~ue se busque una transformación normad;i, es decir, una transformación que verifique delerminadas condiciones complementarias. Si no se seña lan las condiciones de normalización, en la respuesta se indica, generalmente, una de las funciones transformadoras. Un papel importante en In construcción práctica de las transformaciones conformes lo desempeñan ciertos principios generales (véase, por ejemplo, ti. ca p. VIII.§ 7 n• 1 y cap. V,§ 3, nº 6) o (2, cap 11. §§ 1 y 3)). Principio dt sitmlria de Rltmann·Schwatz Sea D, un recinto. cuya frontera contiene un arco C de una circunferencia (en parlicular, un segmento rectilineo), y sea o;,=/1 (z) una función que realiza Ja transformación conforme de este recinto en un rednto o; de manera que el arco C se transforma de nuevo en un arco de una circunlerencla o en un seg. mento rectlllneo e•. Entonces, la !unción {1 (z), que en los puntos simttrlcos respecto a C toma valores simétricos a los valores de f 1 (z) respecto a e• 1l,

., Si C y e• son segmentos de los ejes reales (esto siempre se puede logrer realizando transformaci ones homográlicas complementari11.S), se tiene /,(z) = / 1(z) .

41

será analítica en el recinto 0 1 simétrico al recinto 0 1 r~pedo a C y fo lrans· formará en un recinto si métrico a respecto a La función { 1 (z) en D, w= { f 1(z) =fa(z) en C, f, (z) en D, realiza la t ranslormación conforme del recinto D, C 0 2 en el recin to

o;

o;

e-.

+ +

o;+c• +o; 11.

Principio de correspondencia de fronteras Sean O y o• 1los recintos s implemente conexos y sean C y e• sus lronteras, con la particularidad de que el recinto o• pertenece intcgramente a una parte linita del plano. Sí la función w = f (z) es anali tka en D y continua en 75 y realiza una transformación bhmivoca de C en e• conservando el sentido del recorrido, realiza una transformación biunívoca y conforme del recinto D

en o• .

Al resolver los problemas de este parágrnlo. asi como del siguicnt~. se re· comienda, en los casos en que la transformación se realiza mediante una rama de uJJa !unción multiforme, vigilar Ja correspondencia de los puntos de las fron. teras del recinto que se trnnsforma y de su imagen (e.5to se refiere especialmente a los problemas de transformación de recintos c.011 cortes).

272. Mediante la función w ,,.=z• y su inversa halle la lransfor· mación conforme de los siguientes recintos: 1) del interior de la rama derecha de la hipérbola equilateral x'-y' = a' en el semiplano superior; 2) del exterior de fa parábola y• = 2px, p > O (es decir, del recinto limitado por esta parábola que no contiene su foco) en el semiplano superior. Observación. Acerca de la translormi1ción d~ recintos limitados por curvas de segundo grado, véanse también los problemas 302, 303, 330-332 y 367.

273. Empleando las funciones del problema anterior, transforme: 1) el interior de la circunferencia r = acosO) en el inter ior de la cardioide p = { ( 1 + cos 6); 2} el interior de la misma circunferencia en el interior de la rama derecha de la lemniscata p "-' Vcos 20; 3) en el círculo 1z1 < 1 en el interior de la cardioide p = = A (1+cos6}, A > O, de manera que sea w(O} = A ¡8 y w' (O} > O. 274. Halle el recinto en el que la función w = R (z mz•), R >O, O:::;;; m:::;;; 1/2 transforma el circulo 1z1 < 1. Halle las imágenes de Ja red polar del z - plan:>. 275. Halle el recinto en el que la función w = z + z• transforma el semicirculo 1z1 < 1, Re z > O. 276. 1) Halle el recinto en el que fa función w = R ( z+~), R >O, n es un número entero, n > 1, transforma el circulo J zj < l.

+

11 ~orno

42

La translormación será blun(voca, siempre que los recintos 0 1 y D,, así

v; y v;

no se íntersequen.

2) Halle el recinto en el que la íunción w=R(z+n!.). R > O. n un es número entero, n > 1, transfor ma el exterior del circulo unidad l z 1> l. · Obstn' O); 3) el ángulo O < arg 7. < a. ~ 2n; 4) el sector /z/ < l, 0 < argz < a: < 2rr; 5) el anillo r, < 1z1 < r, con un corte a lo largo del segmento [r ,r ,] . La parte real y la parte imaginaria de la función

w = ~ + i•1 '~ 111ªa -+ zz se denominan coordenadas bipolares del pun!o Z= x+iv res¡:eclo a los polo5

±a (o::>

O) .

341. I) Demuestre que la función w transforma univalentemente

todo el z - plano con cortes a lo largo de (- oo, -a] y (a, oo) en la franja - n ~ T\ ~ n del plano w , con la particularidad de que a las orillas superiores de los corles corresponde la recta T\ = n, mientras que a las inferiores, la recta 11 = - n (fig. 5).

FIG. f> 2) Demuestre la validez de las relaciones: x _

a sh ~

- ch€+ cosr¡'

a sen

Y

V J\·• + Y•-_ ' -_ a ,JI/

t1

ch t +cos 11' c ll ~- cos r¡ ch t+ tos 11 '

las preimágenes de los segmentos ~=to. n son las circunferencias de A polonio

3) Demuestre que

- n

~ T\ ~

(x -

a cth ~)•+

y• = ( 5 :~ 0 )'

respecto a los puntos ±a (la prcimagen del segrr.ento ; =O, - n ~ T\ ~ n es el eje de c rdenadas) (fig. 6). 50

4) Demuestra que las preimágenes de las curvas T\ = '"111 son los arcos de las circunferencias

x'+(y + actg ~)' =

(-ª-)', sen 'lo

que pasan por los puntos ±a y que pertenecen al semiplano superior, si llo >O, y al semlplano inferior, si 1lo l, lm2 >0. (el semiplano superior con semicírculos excluidos). 62

353. El recinto comprendido entre las parábolas confocales y' = 4(x+ 1) e y1 =8(x+2). Suguencla. Véase el problema 272, 2).

354. Halle la función w (z) . el recorrido de contorn s simples {es decir. que no se intcrsccan consi¡:" n1isrnc>s) cerrndos se realiza en la dirección po· sith·:J.

§ l. INTfGRACtON Of FUNCIONES DE VAR IABLE COMPLEJA

386. 11\ediante la sumadón directa demuestre las siguientes igualdades: 1)

'1~

íl

z.

lo

1

Jdz = z,-z0 ; 2) J zdz = -;¡(zr-z:J.

387. Sea C un contorno simple cerrado que limita el área S. Demuestre las siguientes· igualdades:

1) ~xdz = iS; 2) ~ydz =-S; 3) ~zdz = 2iS. e e e 388. Calcule las integ;ales / 1 = ) xdz e 1, = ) y dz siguiendo los caminos siguientes: 1) a lo largo del radio vector del punto z = 2 + i; 2) a lo largo de la semicircunfc rencia 1z1 = 1, O~ arg z ~ n (el camino se inicia en el punto z = I); 3) a lo largo de la c ircunferencia 1z-a 1= R. 389. Calcule la integral ~ 1z 1dz siguiendo los caminos siguientes: 1) a lo largo del radio vector del punto z=2-i; 2) a lo largo de la semicircunferencia 1z 1= l, O ~ arg z ~ n (el camino se inicia en el punto z = 1): SS

3) a lo largo de la semicircunferencia ~

-i

1z1 = I,

-~ ~ arg z ~

(el camino se inicia en el punto z = - i);

4) a lo largo de Ja circunferencia 390. Calcule la integral

sI

z

1z1 =R. ·

z I dz, donde C es un cent orno

e cerrado compuesto por la semicircunferencia superior el segmento - 1 ~x~ I, y = O.

1z1 = l

y por

f

391. Calcule la integralS dz, donde C es la frontera del se· e: mianillo representado en la rig. 11. !/

FI G. ti

392. Calcule· la integral ) (z- a)" dz (11 e~ un número enkro): 1) a Jo largo de la semicircunferencia 1z-a ¡,,, R. O,.¡;;; arg(z - a)~ ~ n (el camino se inicia en el punto z .,. a , R); 2) a lo largo de la circunferencia 1z - a ¡ ~~ R; 3) a lo largo del perímetro del cuadraJo de centro en el punto a y de lados paralelos a los ejes de coordenadas. En los problemas 393-396 la rama de la función mulliforme que figura

tomo integrando se determina esp