Mario Cosenza

Mec´ anica Cl´ asica

Versi´on A-2016

Mario Cosenza Universidad de Los Andes M´erida, Venezuela

Mec´anica Cl´asica Versi´ on A-2016

c

MMXVI

a Claudia

Mi prop´ osito es exponer una ciencia muy nueva que trata un tema muy antiguo. Quiz´ as nada hay en la naturaleza m´ as antiguo que el movimiento, respecto al cual los libros escritos por fil´ osofos no son ni pocos ni peque˜ nos; no obstante, he descubierto, experimentando, algunas propiedades que merecen ser conocidas.

Galileo Galilei, Di´ alogos Sobre Dos Nuevas Ciencias.

F´ormulas vectoriales Identidades A · (B × C) = (A × B) · C = C · (A × B) = (C × A) · B = B · (C × A)

(1)

A × (B × C) = B(A · C) − C(A · B)

(2)

(A × B) · (C × D) = (A · C)(B · D) − (A · D)(B · C)

(3)

Derivadas de sumas ∇(f + g) = ∇f + ∇g

(4)

∇ · (A + B) = ∇ · A + ∇ · B

(5)

∇ × (A + B) = ∇ × A + ∇ × B

(6)

Derivadas de productos ∇(f g) = f ∇g + g∇f

(7)

∇(A · B) = A × (∇ × B) + B × (∇ × A) + (A · ∇)B + (B · ∇)A

(8)

∇ · (f A) = f (∇ · A) + A · ∇f

(9)

∇ · (A × B) = B · (∇ × A) − A · (∇ × B)

(10)

∇ × (f A) = f (∇ × A) − A × (∇f )

(11)

∇ × (A × B) = A(∇ · B) − B(∇ · A) + (B · ∇)A − (A · ∇)B

(12)

Derivadas segundas ∇ × (∇ × A) = ∇(∇ · A) − ∇2 A

(13)

∇ · (∇ × A) = 0

(14)

∇ × (∇f ) = 0

(15)

Teoremas integrales Z

b

(∇f ) · dl = f (b) − f (a)

(16)

a

Z

I ˆ dS (∇ · A) dV = A·n Teorema de Gauss (divergencia) V S Z I ˆ dS = (∇ × A) · n A · dl Teorema de Stokes S C Z I ˆ dS (f ∇2 g − g∇2 f ) dV = (f ∇g − g∇f ) · n Teorema de Green V

S

(17) (18) (19)

´Indice general 1. Ecuaciones de movimiento 1.1. Leyes de Newton y mec´anica de una part´ıcula . . . . . 1.2. Mec´ anica de un sistema de part´ıculas . . . . . . . . . . 1.3. Coordenadas generalizadas . . . . . . . . . . . . . . . 1.4. Principios variacionales y ecuaciones de Euler . . . . . 1.5. Principio de m´ınima acci´on y ecuaciones de Lagrange . 1.6. Propiedades de las ecuaciones de Lagrange . . . . . . . 1.7. Ecuaciones de Lagrange para varios sistemas . . . . . 1.8. Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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9 9 20 26 32 43 45 49 64

2. Leyes de conservaci´ on y simetr´ıas 2.1. Momento conjugado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2. Teorema de Noether . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3. Homogeneidad del espacio y conservaci´on del momento lineal . 2.4. Isotrop´ıa del espacio y conservaci´on del momento angular . . . 2.5. Homogeneidad del tiempo y conservaci´on de la energ´ıa . . . . . 2.6. Teorema de Euler para la energ´ıa cin´etica . . . . . . . . . . . . 2.7. Fuerzas generalizadas: part´ıcula en un campo electromagn´etico 2.8. Sistemas integrables y sistemas ca´oticos . . . . . . . . . . . . . 2.9. Movimiento unidimensional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.10. Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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71 71 72 76 78 80 81 83 87 90 97

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101 101 108 113 115 125 133 139 142 150

3. Fuerzas centrales 3.1. Problema de dos cuerpos . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2. Potencial efectivo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3. Ecuaci´ on diferencial de la ´orbita . . . . . . . . . . . . 3.4. Fuerza gravitacional y problema de Kepler . . . . . . . 3.5. Leyes de Kepler y dependencia temporal . . . . . . . . 3.6. Estabilidad de ´ orbitas circulares y ´angulo de precesi´on 3.7. El vector de Laplace-Runge-Lenz . . . . . . . . . . . . 3.8. Dispersi´ on en campo de fuerza central . . . . . . . . . 3.9. Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

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8 4. Oscilaciones peque˜ nas 4.1. Oscilaciones en una dimensi´ on . . . . . . . . . . . . . . 4.2. Oscilaciones de sistemas con varios grados de libertad 4.3. Modos normales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.4. Oscilaciones forzadas y amortiguadas . . . . . . . . . . 4.5. Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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155 155 159 165 175 178

5. Movimiento de cuerpos r´ıgidos 5.1. Velocidad angular de un cuerpo r´ıgido . . . . . ´ 5.2. Angulos de Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.3. Energ´ıa cin´etica y tensor de inercia . . . . . . . 5.4. Momento angular de un cuerpo r´ıgido . . . . . 5.5. Ecuaciones de movimiento para cuerpos r´ıgidos 5.6. Ecuaciones de Euler para cuerpos r´ıgidos . . . . 5.7. Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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183 183 185 189 200 203 212 224

6. Din´ amica Hamiltoniana 6.1. Ecuaciones de Hamilton . . . . . . . . . . . . . 6.2. Sistemas din´ amicos y espacio de fase . . . . . . 6.3. Teorema de Liouville . . . . . . . . . . . . . . . 6.4. Par´entesis de Poisson . . . . . . . . . . . . . . . 6.5. Transformaciones can´ onicas . . . . . . . . . . . 6.6. Transformaciones can´ onicas infinitesimales . . . 6.7. Propiedades de las transformaciones can´onicas 6.8. Aplicaciones de transformaciones can´onicas . . 6.9. Ecuaci´ on de Hamilton-Jacobi . . . . . . . . . . 6.10. Variables de acci´ on-´ angulo . . . . . . . . . . . . 6.11. Integrabilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.12. Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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227 227 234 238 242 247 254 256 262 264 276 292 296

A. Lagrangiano de una part´ıcula relativista

305

B. Transformaciones de Legendre

319

C. Teorema del virial

321

D. Bibliograf´ıa

323

Cap´ıtulo 1

Ecuaciones de movimiento 1.1.

Leyes de Newton y mec´ anica de una part´ıcula

La Mec´ anica consiste en el estudio del movimiento; esto es, la evoluci´on de la posici´on de una part´ıcula o de la configuraci´on de un sistema de part´ıculas en el tiempo. La Mec´ anica Cl´ asica se refiere a movimientos que ocurren en escalas macr´oscopicas; es decir, no incluye fen´ omenos cu´ anticos (nivel at´omico). La Mec´anica Cl´asica provee descripciones v´ alidas de fen´ omenos en una extensa escala espacial que va desde el orden de 100 nm (R. Decca et al., Phys. Rev. Lett. 94, 240401 (2005)) hasta distancias cosmol´ogicas. Actualmente, la Mec´ anica Cl´asica se enmarca dentro de un campo de estudio m´as ´ general denominado Sistemas Din´ amicos. Estos son sistemas descritos por variables generales cuyos estados evolucionan en el tiempo de acuerdo a reglas deterministas, e incluyen sistemas f´ısicos, qu´ımicos, biol´ogicos, sociales, econ´omicos, etc. El origen del m´etodo cient´ıfico est´a directamente vinculado a la primeras formulaciones cuantitativas de la Mec´ anica Cl´asica realizadas por Galileo con base en sus experimentos. La Mec´ anica Cl´ asica constituye el eje esencial alrededor del cual se ha construido toda la F´ısica.

Figura 1.1: Galileo Galilei (1564-1642).

9

10

CAP´ITULO 1. ECUACIONES DE MOVIMIENTO

Durante el siglo XX, la Mec´ anica Cl´asica se encontr´o con varias limitaciones para explicar nuevos fen´ omenos. Las subsecuentes soluciones de estas dificultades condujeron a tres grandes revoluciones intelectuales en la F´ısica: i. Limitaci´ on para explicar fen´ omenos a altas velocidades o a altas energ´ıas, lo que condujo a la Teor´ıa de Relatividad (Especial y General). ii. Limitaci´ on para explicar fen´ omenos a escala at´omica o microsc´opica, lo cual dio origen a la Mec´ anica Cu´ antica. iii. Limitaci´ on en la capacidad de predicci´on en sistemas din´amicos deterministas no lineales, que condujo al desarrollo del Caos y eventualmente al estudio actual de Sistemas Complejos. Para describir el movimiento, se requiere la definici´on de algunos conceptos b´asicos. Un sistema de referencia es una convenci´on necesaria para asignar una posici´on o ubicaci´ on espacial a una part´ıcula u objeto con respecto a un origen o punto escogido O. Se asume que una part´ıcula tiene asociada una cantidad de masa, denotada por m. La posici´ on de una part´ıcula en un sistema de referencia puede describirse mediante un conjunto de tres coordenadas que definen un vector. Por ejemplo, en un sistema de coordenadas cartesianas, el vector de posici´on r = (x, y, z) da la ubicaci´on de una part´ıcula en el espacio con respecto a un origen O. Las componentes del vector de posici´on en coordenadas cartesianas tambi´en se denotan como x1 ≡ x, x2 ≡ y, x3 ≡ z.

Figura 1.2: Posici´on de una part´ıcula en un sistema de coordenadas cartesianas. La posici´ on de una part´ıcula puede depender del tiempo, r(t) = (x(t), y(t), z(t)). El cambio del vector de posici´ on en el tiempo constituye el movimiento de la part´ıcula. En Mec´ anica Cl´ asica, el tiempo t se considera un par´ametro real que permite establecer el orden en el cual ocurren los eventos; en particular, es necesario para especificar las posiciones sucesivas que una part´ıcula en movimiento ocupa en el espacio. Asumimos que el par´ ametro t posee la propiedad de incremento monot´onico a medida que r(t) var´ıa a trav´es de sucesivas posiciones: dados dos valores t1 y t2 tales que t2 > t1 , entonces la part´ıcula ocupa la posici´ on r(t2 ) despu´es de la posici´on r(t1 ). El vector de desplazamiento infinitesimal se define como dr = r(t + dt) − r(t).

(1.1)

´ 1.1. LEYES DE NEWTON Y MECANICA DE UNA PART´ICULA

11

La velocidad de una part´ıcula se define como dr . dt En coordenadas cartesianas, las componentes de la velocidad son v≡

(1.2)

dx dy dz , vy = , vz = . (1.3) dt dt dt Las componentes de la velocidad tambi´en se denotan como v1 = vx , v2 = vy , v3 = vz . La aceleraci´ on se define como vx =

dv d2 r (1.4) = 2. dt dt Se acostumbra usar la siguiente notaci´on para las derivadas con respecto al tiempo, a=

dx d2 x , x ¨≡ 2. (1.5) dt dt El momento lineal o cantidad de movimiento de part´ıcula con masa m que se mueve con velocidad a es la cantidad vectorial x˙ ≡

p = mv.

(1.6)

Una part´ıcula puede experimentar interacciones con otras part´ıculas. Las interacciones entre part´ıculas est´ an asociadas a sus propiedades intr´ınsecas y se manifiestan como fuerzas entre ellas. Por ejemplo, la interacci´on electromagn´etica est´a asociada a la carga el´ectrica, mientras que la interacci´on gravitacional depende de la masa. Las fuerzas son cantidades vectoriales. La suma de las fuerzas debido a interacciones con otras part´ıculas o con agentes externos se denomina fuerza total (neta) sobre la part´ıcula; se denota por F. La fuerza total sobre una part´ıcula puede afectar su estado de movimiento. Las Leyes de Newton describen el movimiento de una part´ıcula sujeta a una fuerza total: I. Primera Ley de Newton: Una part´ıcula permanece en reposo o en movimiento rectil´ıneo uniforme si la fuerza total sobre ella es nula. II. Segunda Ley de Newton: Existen sistemas de referencia en los cuales el movimiento de una part´ıcula con masa m y velocidad v est´a descrito por la ecuaci´on F=

d(mv) dp = . dt dt

(1.7)

III. Tercera Ley de Newton: Si Fji es la fuerza que ejerce una part´ıcula j sobre una part´ıcula i, y Fij es la fuerza que ejerce la part´ıcula i sobre la part´ıcula j, entonces Fji = −Fij .

(1.8)

12

CAP´ITULO 1. ECUACIONES DE MOVIMIENTO

Figura 1.3: Isaac Newton (1642-1727).

La Segunda Ley de Newton establece una relaci´on causa (fuerza) ↔ efecto (cambio de momento). La Primera Ley de Newton tambi´en se llama Ley de inercia, y es consecuencia de la Segunda Ley: si F = 0, entonces v = constante. La Tercera Ley tambi´en es conocida como Ley de acci´ on y reacci´ on. Las Leyes de Newton son leyes de la Naturaleza sustentadas en observaciones experimentales. La Segunda Ley de Newton es una ecuaci´on vectorial, es decir, equivale a tres ecuaciones, una para cada componente cartesiana: Fi =

dpi , dt

i = 1, 2, 3.

(1.9)

Si m es constante, d2 r . (1.10) dt2 Matem´ aticamente, la Segunda Ley de Newton, Ec (1.10), corresponde a una ecuaci´on diferencial de segundo orden para cada componente de r(t). La soluci´on r(t) est´a determinada por dos condiciones iniciales, r(to ), v(to ). Este es el principio del determinismo en Mec´ anica Cl´ asica, y que ha sido fundamental en el desarrollo del m´etodo cient´ıfico. A finales del siglo XX, se encontr´ o que el determinismo no necesariamente implica estabilidad de la predicci´ on: existen sistemas din´amicos no lineales en los cuales perturbaciones infinitesimales de las condiciones iniciales de sus variables pueden conducir a evoluciones muy diferentes de esas variables. Este es el origen del moderno campo de estudio del Caos. Los sistemas de referencia donde se cumple la Segunda Ley de Newton se denominan sistemas de referencia inerciales. En ausencia de fuerzas, una part´ıcula en reposo en un sistema inercial en un instante dado, sigue en reposo en todo instante. Los sistemas de referencia no inerciales son sistemas de referencia donde aparecen t´erminos adicionales en la Segunda Ley de Newton, no asociados a las fuerzas expl´ıcitas en el sistema. Esos t´erminos adicionales se denominan fuerzas ficticias y son debidos a la aceleraci´ on del sistema de referencia. F = ma = m

´ 1.1. LEYES DE NEWTON Y MECANICA DE UNA PART´ICULA

13

Ejemplos: 1. Un sistema no inercial: p´endulo en un sistema acelerado (x0 , y 0 , z 0 ).

Figura 1.4: P´endulo en un sistema acelerado. El sistema (x0 , y 0 , z 0 ) posee una aceleraci´on a en la direcci´on x, visto desde un sistema fijo (x, y, z). En el sistema acelerado, la componente en la direcci´on x0 de la fuerza que act´ ua sobre la masa del p´endulo es fx0 = T sin θ, pero esta masa est´a en reposo en ese sistema; esto implica que x ¨0 = 0. Luego, una fuerza adicional ficticia igual a −T sin θ debe anular a fx0 , de modo que no haya fuerza neta en la direcci´on x0 . En el sistema (x, y, z), la Segunda Ley de Newton da simplemente T sin θ = ma. La fuerza de Coriolis es otro ejemplo de una fuerza ficticia en un sistema de referencia en rotaci´ on (Cap. 5). 2. Oscilador arm´ onico simple.

Figura 1.5: Oscilador arm´onico simple.

La fuerza del resorte sobre la masa m es proporcional y opuesta al desplazamiento x desde la posici´ on de equilibrio, tomada como x = 0, i.e., F = −kxˆ x, donde k es la constante del resorte. Entonces, F = ma ⇒ −kx = m¨ x x ¨ + ω 2 x = 0,

(1.11)

donde ω 2 ≡ k/m. La Ec (1.11) es la ecuaci´on del oscilador arm´onico. Su soluci´on general es x(t) = A cos ωt + B sin ωt. (1.12)

CAP´ITULO 1. ECUACIONES DE MOVIMIENTO

14 Tambi´en se puede escribir

x(t) = C sin(ωt + φ),

(1.13)

con A = C sin φ, B = C cos φ. Los coeficientes A y B est´an determinados por las condiciones iniciales x(0) y x(0) ˙ = v(0), x(0) x(t) ˙

= A, =

(1.14)

v(0) −ωA sin ωt + Bω cos ωt ⇒ B = . ω

(1.15)

Luego, x(t) = x(0) cos ωt +

v(0) sin ωt. ω

(1.16)

3. Part´ıcula en un medio viscoso.

Figura 1.6: Part´ıcula en medio viscoso.

Experimentalmente se sabe que la fuerza ejercida por un medio viscoso sobre una part´ıcula que se mueve en ese medio es proporcional a la velocidad de la part´ıcula, F = −αv, donde α es un coeficiente de fricci´on caracter´ıstico del medio. Supongamos que la part´ıcula se mueve en la direcci´on x a partir de una posici´on inicial x(0) con velocidad inicial v(0). La Segunda Ley de Newton para la componente x de la fuerza da: dv −αv = m . (1.17) dt Integrando obtenemos, v(t) x(t)

dx = c1 e−(α/m)t = , dt Z = v(0) e−(α/m)t dt = −

c1 = v(0),

v(0)m −(α/m)t e + c2 . α

(1.18)

(1.19)

La constante c2 se determina usando la posici´on inicial x(0), c2

= x(0) +

v(0)m . α

(1.20)

Luego, x(t) = x(0) +

 v(0)m  1 − e−(α/m)t . α

(1.21)

´ 1.1. LEYES DE NEWTON Y MECANICA DE UNA PART´ICULA

15

4. Sistema de masa variable: movimiento de un cohete. Consideremos un cohete que se mueve verticalmente en el campo gravitacional de la Tierra. La masa del cohete en un tiempo t es m. La velocidad del cohete en t es v, y la velocidad del propelente expulsado es u. Sea dmp la masa del propelente expulsado en un instante t + dt. Entonces el cambio de masa del cohete en t + dt es dm = −dmp , puesto que la masa del cohete disminuye en el tiempo.

Figura 1.7: Cohete en movimiento vertical.

Aplicamos la Segunda Ley de Newton para la componente vertical y de la fuerza, −mg =

dp p(t + dt) − p(t) = . dt dt

(1.22)

Tenemos p(t) = mv, p(t + dt)

(1.23)

=

(m − dmp )(v + dv) + dmp u

(1.24)

=

mv + m dv − dmp v − dmp dv + dmp u.

(1.25)

Luego, p(t + dt) − p(t)

= m dv − dmp (v + dv − u) = m dv − dmp vrel ,

(1.26)

donde hemos empleado la velocidad del propelente relativa al cohete, dada por vrel = (v + dv) − u.

(1.27)

Sustituyendo en la Ec. (1.22), obtenemos −mg = m

dv dmp − vrel . dt dt

(1.28)

CAP´ITULO 1. ECUACIONES DE MOVIMIENTO

16

La tasa de expulsion del propelente se define como R = escribir la denominada ecuaci´ on del cohete como m

dmp . Luego, podemos dt

dv = vrel R − mg. dt

(1.29)

De la Ec. (1.28), se puede obtener la variaci´on de la velocidad del cohete en funci´on del cambio de su masa, dm dv + vrel = −g dt. (1.30) m Integrando entre un valor inicial de masa m0 en t0 = 0 y un valor final mf en t0 = t, tenemos Z t Z f Z f dm −g dt0 dv = −vrel m 0 0 0   m0 ⇒ vf = v0 + vrel ln − gt. (1.31) mf

Existen otros conceptos u ´tiles en Mec´anica, que definimos a continuaci´on. Consideremos una part´ıcula ubicada en la posici´on r y cuya velocidad es v. Se define el momento angular de la part´ıcula como la cantidad vectorial l ≡ r × p = mr × v.

(1.32)

El torque ejercido por una fuerza F sobre una part´ıcula ubicada en r se define como τ ≡ r × F.

(1.33)

La Ec. (1.33) se puede expresar como τ

dp dt d(r × p) dr = − ×p dt dt dl :0  p + = v× dt dl . ⇒ τ = dt =

r×F=r×

(1.34)

La Ec. (1.34) implica la conservaci´ on del momento angular : si el torque sobre una part´ıcula es τ = 0, entonces l = constante. Esto significa que cada componente del vector l es una constante. En particular, una fuerza de la forma F = f (r)ˆr, se denomina una fuerza central. La fuerza gravitacional es un ejemplo de una fuerza central. Para tales fuerzas, τ = 0. Luego, el momento angular de una part´ıcula se conserva en presencia de fuerzas centrales.

´ 1.1. LEYES DE NEWTON Y MECANICA DE UNA PART´ICULA

17

La energ´ıa cin´etica de una part´ıcula con masa m y velocidad v se define como la cantidad escalar 1 T ≡ mv 2 . (1.35) 2 Se define el trabajo realizado por una F externa sobre una part´ıcula para llevarla desde una posici´ on r1 hasta una posici´on r2 , como la integral de l´ınea Z 2 W12 ≡ F · ds, (1.36) 1

donde ds es el vector tangente a la trayectoria que une la posici´on r1 con la posici´on r2 .

Figura 1.8: Trayector´ıa de un part´ıcula entre r1 y r2 , sujeta a una fuerza F. Note que ds = dr = vdt. Luego, si m es constante, podemos escribir, Z 2  dv W12 = m · (v dt). dt 1 Usamos la relaci´ on d(v 2 ) = d(v · v) = 2v · dv, para expresar Z 2 Z 2 1 1 m W12 = v · dv = m d(v 2 ) 2 2 1 1 1 1 mv 2 − mv 2 , = 2 2 2 1 = T2 − T1 .

(1.37)

(1.38)

Luego, el trabajo realizado por una F externa para llevar una part´ıcula desde la posici´on r1 hasta la posici´ on r2 depende solamente de la diferencia entre la energ´ıa cin´etica que posee la part´ıcula en r2 y la energ´ıa cin´etica que posee en r1 . Note que, si se utiliza la misma fuerza F y la misma trayectoria, denotada por B, para ir del punto r1 al punto r2 y para volver de r2 a r1 , entonces Z 2 Z 1 F · ds = − F · ds ⇒ W12 (B) = −W21 (B), (1.39) 1 2 | {z } | {z } camino B

camino B

puesto que ds(1 → 2) = −ds(2 → 1) para la misma trayectoria.

CAP´ITULO 1. ECUACIONES DE MOVIMIENTO

18

Si W12 realizado por una F externa es independiente de la trayectoria entre r1 y r2 , entonces F se llama fuerza conservativa. Es decir; si F es conservativa y A y B son dos caminos diferentes para ir de 1 a 2, entonces 2

Z |1

Z

2

F · ds | 1 {z }

F · ds = {z }

camino A

(1.40)

camino B

Figura 1.9: Izquierda: dos trayectorias distintas A y B para ir del punto 1 al punto 2. Derecha: contorno cerrado C que encierra un a ´rea S.

Luego, si F es conservativa, las Ecs. (1.40) y (1.39) implican que Z |1

2

Z F · ds {z }

+

camino A

1

F · ds = 0. | 2 {z }

(1.41)

camino B

Puesto que los caminos A y B son arbitrarios, tenemos que para una F conservativa, I F · ds = 0, (1.42) C

donde C es un contorno cerrado arbitrario. Usando el Teorema de Stokes, la integral de contorno Ec. (1.42) se puede escribir como I Z F · ds = (∇ × F) · da = 0, (1.43) C

S

donde S es el ´ area encerrada por el contorno cerrado C. Puesto que C es arbitrario y por lo tanto S 6= 0, la Ec. (1.43) implica para una fuerza conservativa, ∇ × F = 0.

(1.44)

Por otro lado, para toda funci´ on escalar φ(r) se cumple la identidad vectorial ∇×∇φ = 0. Esto implica que la fuerza conservativa F debe ser proporcional al gradiente de alguna funci´ on escalar. Se define la funci´ on V (r) tal que F = −∇V (r).

(1.45)

´ 1.1. LEYES DE NEWTON Y MECANICA DE UNA PART´ICULA Luego, para una fuerza conservativa Z W12 = −

19

2

∇V · ds

1

Z =

− 1

=

2

3 X ∂V dxi ∂xi i=1

!

Z =−

2

dV 1

V1 − V2 .

(1.46)

Vimos que el trabajo W12 realizado por toda fuerza es igual al cambio de energ´ıa cin´etica, T2 − T1 , que es una funci´on escalar de la velocidad. La Ec. (1.46) muestra que, en sistemas conservativos, el trabajo W12 adem´as est´a relacionado con cambios de otra funci´ on escalar V que depende de las coordenadas, evaluada en los puntos 1 y 2. La funcion escalar V (r) se denomina energ´ıa potencial y expresa la energ´ıa almacenada en un sistema, relacionada con la posici´on o configuraci´on de los elementos constituyentes del sistema. Por ejemplo, un resorte estirado o comprimido una distancia x tiene una energ´ıa potencial almacenada V (x) = 12 kx2 , donde k es la constante del resorte. Un sistema de dos part´ıculas con masas m1 y m2 , separadas una distancia r y sujetas a una interacci´ on gravitacional, posee una energ´ıa potencial asociada V (r) = −Gm1 m2 /r, donde G es la constante universal gravitacional (Cap. 3). La Ec. (1.46) v´ alida para fuerzas conservativas, junto con la Ec. (1.38) que se cumple para cualquier fuerza, conduce a la relaci´on V1 − V2

=

T2 − T1 ,

⇒ T1 + V1

=

T2 + V2 .

(1.47)

La energ´ıa mec´ anica total de una part´ıcula se define como la cantidad escalar: E ≡ T + V.

(1.48)

E1 = E2 .

(1.49)

La Ec. (1.47) implica que Puesto que los puntos 1 y 2 son arbitrarios, la energia mec´anica total es constante en cualquier punto para sistemas conservativos, E = T + V = constante.

(1.50)

El signo menos en el gradiente de la energ´ıa potencial, Ec. (1.45), tiene significado f´ısico; las propiedades de las fuerzas correspondientes a esta definici´on son consistentes con los comportamientos observados de todas las fuerzas conservativas en F´ısica. Este signo menos implica que la cantidad constante asociada con una fuerza conservativa, denotada como energ´ıa mec´ anica total, se pueda definir como la suma de la energ´ıa cin´etica y de la energ´ıa potencial. Si la energ´ıa potencial depende tanto de las coordenadas como del tiempo, V (r, t) = V (x, y, z, t), la energ´ıa mec´ anica total puede no conservarse. Consideremos la derivada d dT dV dE = (T + V ) = + . dt dt dt dt

(1.51)

CAP´ITULO 1. ECUACIONES DE MOVIMIENTO

20 Calculamos dT dt

=

mv ·

dV (r, t) dt

=

3 X ∂V ∂V ∂V x˙ i + = ∇V · v + . ∂xi ∂t ∂t i=1

dv = F · v, dt

(1.52) (1.53)

Luego, dE dt

= F · v + ∇V · v +

∂V ∂t

= −∇V · v + ∇V · v + =

∂V ∂t

∂V . ∂t

(1.54)

donde hemos empleado F = −∇V , para un sistema conservativo. La Ec. (1.54) es la condici´ on para la conservaci´ on de la energ´ıa mec´ anica: la energ´ıa mec´anica total es constante si la energ´ıa potencial no depende explicitamente del tiempo, dE ∂V =0⇒ = 0 ⇒ E = constante. ∂t dt

(1.55)

La energ´ıa potencial V tambi´en puede ser definida para sistemas no conservativos; en esos casos V depende expl´ıcitamente tanto de la posici´on como del tiempo. La fuerza correspondiente puede expresarse como el gradiente de esta V . Sin embargo, el trabajo hecho para mover una part´ıcula entre los puntos 1 y 2 ya no es V1 − V2 , puesto que V cambia con el tiempo cuando la part´ıcula se mueve. La energ´ıa total tambi´en puede ser definida como E = T + V ; pero la cantidad E no se conserva durante el movimiento.

1.2.

Mec´ anica de un sistema de part´ıculas

Consideremos un conjunto de N part´ıculas en un sistema de referencia cartesiano. Sean mi y ri la masa y la posici´ on de la part´ıcula i, respectivamente, con i = 1, . . . , N . Definimos el vector de posici´ on relativa rij ≡ rj −ri , que va en la direcci´on de la part´ıcula i a la part´ıcula j. El vector de posici´ on del centro de masa de un sistema de part´ıculas se define como P P mi ri mi ri = i , (1.56) R ≡ Pi MT i mi P donde MT = i mi es la masa total del sistema. La velocidad del centro de masa es dR 1 X dri vcm = = mi . (1.57) dt MT i dt

´ 1.2. MECANICA DE UN SISTEMA DE PART´ICULAS

21

Figura 1.10: Sistema de N part´ıculas en un sistema de referencia cartesiano.

El momento lineal total del sistema de N part´ıculas es PT =

X i

pi =

X i

mi

dri dR = MT = MT vcm . dt dt

(1.58)

Luego, el momento total PT es equivalente al momento de una part´ıcula que posea la masa total del sistema, movi´endose con la velocidad del centro de masa del sistema. Supongamos que existen fuerzas sobre las part´ıculas, tanto internas como externas al sistema. Denotamos por Fji la fuerza que la part´ıcula j ejerce sobre la part´ıcula i, y por Fext (i) la fuerza total debida a influencias externas sobre la part´ıcula i. Recordemos que las fuerzas de interacci´ on entre dos part´ıculas i y j obedecen la Tercera Ley de Newton, Fji = −Fij .

(1.59)

Figura 1.11: Tercera Ley de Newton, en sus dos formas. Para fuerzas centrales, la Tercera Ley es m´as restrictiva. Si Fij es central, Fij = fij (|rij |)

rij , |rij |

(1.60)

CAP´ITULO 1. ECUACIONES DE MOVIMIENTO

22

entonces las fuerzas sobre las part´ıculas van en la direcci´on (paralela o antiparalela) del vector rij . Esta condici´ on sobre fuerzas centrales se conoce como forma fuerte de la ley de acci´ on y reacci´ on. Cabe recordar que no todas las fuerzas cumplen esta condici´on; por ejemplo, las fuerzas magn´eticas entre dos cargas en movimiento no siempre son centrales. La ecuaci´ on de movimiento para la part´ıcula i puede expresarse como X d dpi = (mi vi ), (1.61) Fji + Fext (i) = dt dt j6=i

PN

donde ıcula i, debido a las i6=j Fji es la suma de las fuerzas internas sobre la part´ interacciones con las otras part´ıculas. Para obtener la fuerza total sobre el sistema, sumamos sobre todas las part´ıculas en la Ec. (1.61), XX  X *0 X  d  p˙ i = (mi vi ). (1.62) F + Fext (i) = ji  dt  i j i i  El primer t´ermino es cero porque contiene sumas de pares de fuerzas Fji + Fij que se anulan debido a la Tercera Ley de Newton. Luego, si mi es constante ∀i, la Ec. (1.62) queda X X d2 r i Fext (i) = mi 2 . (1.63) dt i i Usando la definici´ on del centro de masa, la Ec. (1.56), se puede expresar como X X d2 ri d2 R Fext (i) = m i 2 = MT 2 . dt dt i i

(1.64)

Luego, Fext (total) ≡

X

Fext (i) =

i

dPT , dt

(1.65)

La Ec. (1.65) constituye una ecuaci´ on de movimiento para el centro de masa. La Ec. (1.65) implica que si la fuerza externa total sobre un sistema de part´ıculas es cero, entonces el momento lineal total PT del sistema se conserva. El momento angular de la part´ıcula i es li = ri × pi .

(1.66)

Entonces, el momento angular total del sistema de part´ıculas es X X X lT = li = (ri × pi ) = (ri × mi vi ). i

i

(1.67)

i

Si definimos la posici´ on r0i de la part´ıcula i con respecto al centro de masa del sistema como r0i = ri − R, (1.68) la velocidad de la part´ıcula i con respecto al centro de masa ser´a vi0 = vi − vcm .

(1.69)

´ 1.2. MECANICA DE UN SISTEMA DE PART´ICULAS

23

Figura 1.12: Posici´on relativa de una part´ıcula con respecto al centro de masa. Entonces, en t´erminos del centro de masa podemos escribir lT

X (r0i + R) × mi (vi0 + vcm )

=

i

! *0  X  0  mr × vcm × +  i i  i i ! ! *0  X X  0  mi vcm . +R × mi vi + R × 

X

=

(r0i

mi vi0 )

i

(1.70)

i

Para mostrar los t´erminos que se anulan en la Ec. (1.70), calculamos MT R

=

X

=

X

mi ri =

X

i

mi (r0i + R)

i

mi r0i

+ MT R

i

X

⇒

mi r0i = 0.

(1.71)

i

Del mismo modo, X

mi vi0

=

X

i

i

dr0 d mi i = dt dt

! X

mi r0i

= 0.

(1.72)

i

Entonces, la Ec. (1.70) para el momento angular total queda lT =

X

(r0i × p0i ) + R × (MT vcm ) .

(1.73)

i

El momento angular total lT de un sistema de part´ıculas contiene dos contribuciones: (i) el momento angular del centro de masa, R × (MP T vcm ); (ii) el momento angular relativo al centro de masa, i (r0i × p0i ).

CAP´ITULO 1. ECUACIONES DE MOVIMIENTO

24

Calculemos la derivada temporal de lT , dlT dt

=

=

N X X :0 X  d  mv (ri × pi ) = (v ri × p˙i i× i) +  dt i i=1 i   X X ri × Fext (i) + Fji  i

=

X i

j6=i

XX :0  F ri × Fext (i) + (r i× ji ).   ij6=i

(1.74)

El segundo t´ermino en la Ec. (1.74) contiene sumas de pares de la forma ri × Fji + rj × Fij = (rj − ri ) × Fij = rij × Fij ,

(1.75)

puesto que Fji = −Fij , de acuerdo a la Tercera Ley de Newton. Si adem´as suponemos que se cumple la Tercera Ley de Newton en forma fuerte, Fij = k|Fji |rij . Luego, rij ×Fij = 0 y el segundo t´ermino de la Ec. (1.74) se anula. Entonces, X dlT = ri × Fext (i) dt i X = τ i (externo) = τ T (externo). (1.76) i

La Ec. (1.76) expresa la conservaci´ on del momento angular total de un sistema de part´ıculas: si el torque externo total τ (externo total) = 0, entonces lT = constante. La energ´ıa cin´etica total de un sistema de part´ıculas es 1X Ttotal = mi vi2 . (1.77) 2 i En coordenadas del centro de masa, vi = vi0 + vcm , y podemos escribir 1X Ttotal = mi (vi0 + vcm ) · (vi0 + vcm ) 2 i X 1X 1 1X 2 = mi vcm + mi vi02 + 2vcm · mi vi0 . 2 i 2 i 2 i Pero

P

mi vi0 =

d P ( mi r0i ) = 0; luego dt 1 1X 2 Ttotal = MT vcm + mi vi02 . 2 2

(1.78)

(1.79)

Es decir, la energ´ıa cin´etica total de un sistema de part´ıculas contiene dos contribuciones: 2 ;P (i) la energ´ıa cin´etica del centro de masa, 21 MT vcm (ii) la energ´ıa cin´etica relativa al centro de masa, 12 mi vi02 .

´ 1.2. MECANICA DE UN SISTEMA DE PART´ICULAS

25

Para obtener la conservaci´on de energ´ıa mec´anica total de un sistema de part´ıculas, partimos de la ecuaci´ on de movimiento para una part´ıcula, Ec. (1.61), Fext (i) +

X

Fji =

j6=i

d (mi vi ). dt

(1.80)

Asumimos que las particulas interaccionan mediante fuerzas centrales que dependen de la distancia entre las part´ıculas; es decir, rij , (1.81) Fji ∝ fij (|rij |) |rij | rij = (rj − ri ). (1.82) Entonces, se puede definir una energ´ıa potencial de interacci´on Vij (|rij |) tal que Fji = −∇i Vji (|rij |),

(1.83)

donde denotamos ∇i = ∂/∂ri . Puesto que Fji = −Fij , las funciones fij = fji son sim´etricas con respecto al intercambio de i y j; luego debemos tener Vij (|rij |) = Vji (|rij |),

(1.84)

y, por lo tanto, ambas Fji y Fij son derivables a partir de una energ´ıa potencial de interacci´ on mutua entre la part´ıcula i y la part´ıcula j, Fji = −∇i Vij (|rij |),

Fji = −∇j Vij (|rij |).

(1.85)

Luego, suponiendo que las masas mi son constantes, la Ec. (1.80) se puede expresar como Fext (i) −

X

∇i Vij (|rij |) = mi

j6=i

dvi . dt

(1.86)

Tomando el producto escalar de la Ec. (1.86) con vi , obtenemos vi · Fext (i) − vi ·

X

∇i Vij (|rij |) =

j6=i

1 dvi2 mi . 2 dt

(1.87)

Sumando sobre todas las part´ıculas, obtenemos ! X XX d X1 2 mi vi = vi · Fext (i) − vi · ∇i Vij (|rij |) dt 2 i i i j6=i

=

X

=

X

=

X

i

i

i

1 XX vi · Fext (i) − [vi · ∇i Vij (|rij |) + vj · ∇j Vji (|rij |)] 2 i j6=i

1 XX vi · Fext (i) − [∇i Vij (|rij |) · vi + ∇j Vij (|rij |) · vj ] 2 i j6=i

1 XX d vi · Fext (i) − Vij (|rij |), 2 i dt j6=i

(1.88)

CAP´ITULO 1. ECUACIONES DE MOVIMIENTO

26

donde hemos usado Vij (|rij |) = Vji (|rij |). Entonces, podemos escribir   ! X X X X d  1 1 mi vi2 + Vij (|rij |) = vi · Fext (i). dt 2 2 i i i

(1.89)

j6=i

Si asumimos que las fuerzas externas son conservativas, Fext (i) = −∇Vext (i), tenemos, ! X X d X Vext (i) . (1.90) vi · Fext (i) = − vi · ∇Vext (i) = − dt i i i La Ec. (1.89) se puede expresar entonces como   ! X X X X 1 d  1 mi vi2 + Vij (|rij |) + Vext (i) = 0. dt 2 2 i i i

(1.91)

j6=i

Podemos identificar la energ´ıa cin´etica total del sistema, Ttotal =

X1 i

2

mi vi2 ,

(1.92)

y la energ´ıa potencial total del sistema como, Vtotal =

X

Vext (i) +

i

donde Vint ≡

1 XX Vij (|rij |), 2 i

(1.93)

j6=i

1 XX Vij (|rij |) 2 i

(1.94)

j6=i

es la energ´ıa potencial total de la interacci´on entre las part´ıculas. La Ec. (1.91) implica entonces que la energ´ıa total del sistema se conserva, Etotal = Ttotal + Vtotal = constante.

1.3.

(1.95)

Coordenadas generalizadas

Consideremos un sistema de N part´ıculas, i = 1, 2, . . . , N , cuyos vectores de posici´on son {r1 , r2 , . . . , rN }. Cada vector de posici´on posee tres coordenadas, ri = (xi , yi , zi ). El sistema de N part´ıculas con posiciones {r1 , r2 , . . . , rN } est´a descrito por 3N coordenadas. En general existen restricciones o ligaduras para algunas coordenadas; por ejemplo, el movimiento ocurre sobre un plano (z = cte), o sobre un c´ırculo (x2 + y 2 = cte), sobre una esfera (x2 + y 2 + x2 = cte), etc. En general, las restricciones se pueden expresar como relaciones algebraicas o funcionales entre las coordenadas.

1.3. COORDENADAS GENERALIZADAS

27

Si un sistema posee k restricciones, ´estas se puede expresar como k relaciones o funciones que ligan las coordenadas: f1 (r1 , r2 , . . . , t) = 0, f2 (r1 , r2 , . . . , t) = 0, .. .

(1.96)

fk (r1 , r2 , . . . , t) = 0. Las restricciones o ligaduras que se expresan en forma de relaciones algebraicas de la forma Ecs. (1.96) se llaman restricciones holon´ omicas. Las existencia de restricciones implica que no todas las 3N coordenadas son independientes. El n´ umero de coordenadas independientes cuando existen k restricciones holon´omicas es s = 3N − k. La cantidad s determina el n´ umero de grados de libertad del sistema, o el n´ umero m´ınimo de coordenadas independientes necesarias para describir el movimiento del sistema. Los grados de libertad definen un conjunto de coordenadas generalizadas, denotadas por {q1 , q2 , . . . , qs }. La evoluci´on temporal de estas coordenadas permite definir tambi´en un conjunto de velocidades generalizadas {q˙1 , q˙2 , . . . , q˙s }. En Mec´anica Cl´asica, el tiempo t no es considerado como una coordenada, sino como un par´ametro. Las coordenadas generalizadas no son necesariamente coordenadas cartesianas, sino que pueden consistir en otro tipo de coordenadas, tales como cantidades angulares, o inclusive pueden ser otras variables f´ısicas. Las coordenadas generalizadas {q1 , q2 , . . . , qs } est´ an relacionadas con las coordenadas cartesianas {r1 , r2 , . . . , rN } por un conjunto de transformaciones: r1 = r1 (q1 , q2 , . . . , t), r2 = r2 (q1 , q2 , . . . , t), .. .

(1.97)

rN = rN (q1 , q2 , . . . , t). En general, el conjunto de ligaduras fα (r1 , r2 , . . . , rN , t) = 0, α = 1, 2, . . . , k, y las transformaciones ri (q1 , q2 , . . . , qs , t) = ri , i = 1, 2, . . . , N , permiten expresar las coordenadas generalizadas en t´erminos de las coordenadas cartesianas, qj = qj (r1 , r2 , . . . , rN , t), j = 1, 2, . . . , s. Es decir, en principio, las transformaciones ri ↔ qj son invertibles. Tambi´en pueden existir restricciones no descritas por ecuaciones algebraicas, las cuales ´ se denominan restricciones no holon´ omicas. Estas se expresan como desigualdades o en forma de ecuaciones diferenciales para las coordenadas. Por ejemplo, la restricci´on de que un conjunto de part´ıculas con posiciones ri se mantenga dentro de una esfera de radio R es no holon´ omica, y se expresa como |ri | < R. Como veremos en este Cap´ıtulo, la formulaci´on Lagrangiana de la Mec´anica Cl´asica permite expresar las ecuaciones de movimiento del sistema directamente en t´erminos de sus s coordenadas generalizadas, en lugar las 3N ecuaciones de movimiento para las componentes cartesianas que tendr´ıa el sistema en la descripci´on Newtoniana.

CAP´ITULO 1. ECUACIONES DE MOVIMIENTO

28

Ejemplos. 1. P´endulo simple. Consiste en una part´ıcula (N = 1) con masa m colgada de un extremo de una varilla r´ıgida de longitud l y masa despreciable, cuyo otro extremo est´a fijo, tal que la varilla cual puede girar en un plano vertical.

Figura 1.13: P´endulo simple con longitud l y masa m.

Ubicamos el origen O del sistema de coordenadas en el extremo fijo del p´endulo. Hay k = 2 restricciones: z=0 ⇒ 2

2

x +y =l

2

⇒

f1 (x, y, z) = z = 0. 2

(1.98) 2

2

f2 (x, y, z) = x + y − l = 0.

(1.99)

Luego, s = 3(1)−2 = 1. Hay una coordenada generalizada. El diagrama del sistema sugiere escoger q = θ como coordenada generalizada. Las transformaciones r(q) son x

= l sin θ

(1.100)

y

= −l cos θ,

(1.101)

y la transformaci´ on q(r) es −1

θ = tan



x − y

 .

(1.102)

2. P´endulo doble. Consiste en un p´endulo plano que cuelga de otro p´endulo plano. Hay N = 2 part´ıculas y seis coordenadas cartesianas correspondientes a las componentes de r1 y r2 . Ubicamos el origen del sistema de coordenadas en el extremo fijo del p´endulo superior. Hay k = 4 restricciones: f1 f2 f3 f4

= z1 = 0 = z2 = 0 = x21 + y22 − l12 = 0 = (x2 − x1 )2 + (y2 − y1 )2 − l22 = 0.

(1.103)

1.3. COORDENADAS GENERALIZADAS

29

Figura 1.14: P´endulo doble.

Luego, hay s = 3(2) − 4 = 2 coordenadas generalizadas. La figura sugiere las coordenadas generalizadas q1 = θ1 y q2 = θ2 . Las transformaciones ri (qj ) son x1 = l1 sin θ1 , y1 = −l1 cos θ1 ,

x2 = l1 sin θ1 + l2 sin θ2 y2 = −l1 cos θ1 − l2 cos θ2 .

(1.104)

Las transformaciones inversas qj (ri ) son θ1 θ2

 x1 = tan − y1   x1 − x2 −1 = tan . y2 − y1 −1



(1.105) (1.106)

3. Part´ıcula dentro de un cono invertido con ´angulo de v´ertice α, cuyo eje es vertical.

Figura 1.15: Part´ıcula movi´endose dentro de un cono con su eje vertical. Hay N = 1 part´ıcula y 3 coordenadas cartesianas para su posici´on. Hay una restricci´ on, la relaci´ on r = z tan α que define al cono, la cual puede expresarse como f1 (x, y, z) = (x2 + y 2 )1/2 − z tan α = 0.

(1.107)

Entonces, hay s = 3(1) − 1 = 2 coordenadas generalizadas, que se pueden tomar como q1 = r, q2 = ϕ.

30

CAP´ITULO 1. ECUACIONES DE MOVIMIENTO Las transformaciones r(qj ) son x = r cos ϕ y = r sin ϕ z = r cot α,

(1.108)

y las transformaciones inversas qj (r) son ϕ = tan−1

y

r = z tan α.

x

(1.109)

4. Part´ıcula deslizando sobre un aro en rotaci´on uniforme sobre su diam´etro.

Figura 1.16: Part´ıcula deslizando sobre aro de radio a, el cual rota sobre su di´ametro vertical con velocidad angular ω. La velocidad angular de rotaci´ on del aro sobre eje z es ω, asumida constante. Luego, ϕ = ωt. Hay k = 2 restricciones: f1 (x, y, z)

=

x2 + y 2 + z 2 − a2 = 0,

(1.110) y = tan ϕ ⇒ f2 (x, y, z, t) = y − x tan ωt = 0. (1.111) x La funci´ on f2 es un ejemplo de ligadura que depende tanto de las coordenadas como del tiempo. Luego, s = 3(1) − 2 = 1. La coordenada generalizada apropiada es q = θ. Las transformaciones de coordenadas r(q) son z = a cos θ x = a sin θ cos ωt y = a sin θ sin ωt.

(1.112)

5. Polea simple (m´ aquina de Atwood). Hay N = 2 part´ıculas. Las restricciones se pueden expresar como f1 f2 f3 f4 f5

= = = = =

y1 + y2 − c1 = 0 x1 − c2 = 0 x2 − c3 = 0 z1 = 0 z2 = 0,

(1.113)

1.3. COORDENADAS GENERALIZADAS

31

donde c1 , c2 , c3 son constantes. Luego, k = 5 y s = 3(2) − 5 = 1. Se puede escoger q = y1 , o q = y2 como la coordenada generalizada.

Figura 1.17: Polea simple. 6. Restricci´ on no holon´ omica: aro rodando sin deslizar sobre un plano.

Figura 1.18: Izquierda: aro de radio R rodando sin deslizar sobre el plano (x, y). Derecha: condici´ on de rodar sin deslizar; P es el punto de apoyo instant´ aneo.

Existe la restricci´ on z = cte. Sea θ el ´angulo que forma el vector velocidad v con respecto a la direcci´ on x ˆ. La condici´on de rodar sin deslizar se expresa como ds = vdt = Rdϕ ⇒ v = Rϕ. ˙

(1.114)

Las componentes de la velocidad v son x˙ = v cos θ = Rϕ˙ cos θ y˙ = v sin θ = Rϕ˙ sin θ.

(1.115)

Esta relaciones diferenciales se pueden expresar como restricciones no holon´omicas, dx − R cos θ dϕ = 0, dy − R sin θ dϕ = 0.

(1.116)

Las coordenadas generalizadas son: (x, y) para ubicar el punto de apoyo instant´aneo P , θ para dar la direcci´ on de la velocidad de P y la orientaci´on del aro, y ϕ para ubicar un punto cualquiera sobre el aro. Luego s = 4.

CAP´ITULO 1. ECUACIONES DE MOVIMIENTO

32

1.4.

Principios variacionales y ecuaciones de Euler

En los problemas de extremos en el c´alculo diferencial buscamos el valor de una variable para el cual una funci´ on es m´axima o m´ınima. En cambio, los problemas de extremos en el c´ alculo variacional consisten en encontrar la funci´on que hace que una integral definida sea extrema. dy . Definimos una Supongamos una funci´ on y = y(x) que posee derivada y 0 (x) = dx 0 funcional como una funci´ on de varias variables de la forma f (y, y , x). En general, los argumentos de una funcional son funciones y sus derivadas. Una funcional es una funci´on de funciones dadas. Por ejemplo, consideremos la funcional f (y, y 0 , x) = y(x) + y 0 (x). Para la funci´ on y(x) = 3x + 2, tenemos f (y, y 0 , x) = 3x + 5; mientras que para y(x) = x2 , 0 f (y, y , x) = x2 + 2x. El valor resultante de una funcional dada depende de la funci´on y. Una funcional asigna un n´ umero a una funci´on, mientras que una funci´on asigna un n´ umero a otro n´ umero. El problema de extremos en el c´ alculo variacional se expresa mediante el requerimiento de que una integral definida de una funcional dada tome un valor m´aximo o m´ınimo.

Figura 1.19: Funci´on y(x) que pasa por dos puntos sobre el plano (x, y). Consideremos dos puntos fijos (x1 , y1 ) y (x2 , y2 ) en el plano (x, y), unidos por una funci´ on o trayectoria y = y(x), con derivada y 0 (x), x ∈ [x1 , x2 ], tal que y(x1 ) = y1 y y(x2 ) = y2 . Principio variacional: Dada una funcional f (y, y 0 , x), ¿cu´ al es la funci´on y(x) que hace que la integral definida Z x2 I= f (y, y 0 , x)dx , (1.117) x1

tenga un valor extremo (m´ aximo ´ o m´ınimo) entre x1 y x2 ?. Puesto que I es una integral definida, la cantidad I corresponde a un n´ umero cuyo valor depende de la funci´ on y(x) empleada en el argumento de la funcional dada f (y, y 0 , x). Si I es extremo de f para una y(x) (y por tanto y 0 (x)), entonces cualquier otra trayectoria cercana a y(x) definida entre x1 y x2 debe incrementar (o disminuir) en valor de la integral I, es decir, debe variar I. Se emplea la notaci´ on δI para indicar la variaci´on de I. Luego, δI = 0 significa que I es extremo.

1.4. PRINCIPIOS VARIACIONALES Y ECUACIONES DE EULER

33

El principio variacional sobre I requiere que δI = 0 para una f dada, lo cual implica una condici´ on sobre y(x). Para encontrar esta condici´on, supongamos que y(x) es la funci´ on que pasa por x1 y x2 , y que hace δI = 0. Ahora, consideremos una trayectoria cercana a y(x) definida como y(x, α) = y(x) + α η(x),

(1.118)

donde α es un par´ ametro que mide la desviaci´on con respecto a la funci´on y(x) y η(x) es una funci´ on arbitraria, pero diferenciable (es decir, existe η 0 (x)), tal que se anule en los puntos x1 y x2 : η(x1 ) = η(x2 ) = 0. Entonces y(x, α) tambi´en pasa por (x1 , y1 ), (x2 , y2 ): y(x1 , α) = y(x1 ) = y1 ;

y(x2 , α) = y(x2 ) = y2 .

(1.119)

Figura 1.20: Trayectoria y(x, α) = y(x) + α η(x). Note que y(x, 0) = y(x). Calculemos I para la trayectoria perturbada y(x, α), Z x2 I(α) = f (y(x, α), y 0 (x, α), x)dx; (1.120) x1

es decir, I es una funci´ on del par´ametro α. La condici´on δI = 0 cuando α = 0, implica que dI(α) = 0, (1.121) dα α=0

lo cual a su vez implica una condici´on sobre f y sobre y(x). Calculemos la derivada Z x2 dI df (y(x, α), y 0 (x, α), x) = dx (1.122) dα dα x1   Z x2 ∂f ∂y ∂f ∂y 0 = (x, α) + 0 (x, α) dx. ∂y ∂α ∂y ∂α x1 Pero, ∂y (x, α) = η(x); ∂α

∂y 0 ∂ (x, α) = ∂α ∂α



dy dx

 =

d dx



puesto que α y x son independientes. Luego,  Z x2  dI ∂f ∂f dη = η(x) + 0 dx. dα ∂y ∂y dx x1

∂y ∂α

 =

dη dx

(1.123)

(1.124)

34

CAP´ITULO 1. ECUACIONES DE MOVIMIENTO

R R El segundo t´ermino se integra por partes, usando uv 0 dx = uv − u0 vdx, x2 Z x2   Z x2 ∂f dη d ∂f ∂f η(x) − η(x)dx, dx = 0 ∂y 0 ∂y 0 x1 ∂y dx x1 dx x1 pero

x2 ∂f = ∂f η(x2 ) − ∂f η(x1 ) = 0, η(x) ∂y 0 ∂y 0 ∂y 0 x1

puesto que η(x2 ) = η(x1 ) = 0. Luego:   Z x2  dI ∂f d ∂f = − η(x)dx = 0. dα ∂y dx ∂y 0 x1 Evaluando en α = 0,   Z x2 Z x2  dI d ∂f ∂f − η(x)dx = = M (x)η(x) = 0 , dα α=0 ∂y dx ∂y 0 α=0 x1 x1 donde

 M (x) =

d ∂f − ∂y dx



∂f ∂y 0

(1.125)

(1.126)

(1.127)

(1.128)

 .

(1.129)

α=0

Cuando α = 0, el integrando es una funci´on de x solamente: M (x)η(x). Luego, la condI dici´ on dα = 0 ⇒ M (x)η(x) = 0. Pero como η(x) es una funci´on arbitraria no nula, α=0 entonces debemos tener M (x) = 0. Se acostumbra escribir esta condici´on en la forma   d ∂f ∂f − = 0. (1.130) dx ∂y 0 ∂y La Ec. (1.130) es la ecuaci´ on de Euler, y expresa la condici´on que debe satisfacer la funci´ on y(x) que hace δI = 0 para una integral definida I de una funcional f (y, y 0 , x) dada. La Ec. (1.130) es una ecuaci´ on diferencial de segundo orden para y(x), cuya soluci´on permite encontrar y(x) para las condiciones dadas.

Figura 1.21: Leonhard Euler (1707-1783).

1.4. PRINCIPIOS VARIACIONALES Y ECUACIONES DE EULER

35

Ejemplos. 1. Calcular la trayectoria y(x) que corresponde a la distancia m´as corta entre dos puntos dados en un plano.

Figura 1.22: Trayectoria m´as corta entre dos puntos del plano (x, y). El elemento de distancia sobre el plano es p ds = dx2 + dy 2 . La distancia entre entre dos puntos (x1 , y1 ) y (x2 , y2 ) del plano es s  2 Z 2 Z x2 Z x2 dy I= ds = 1+ dx = f (y, y 0 ) dx, dx 1 x1 x1 p donde f (y, y 0 ) = 1 + (y 0 )2 .

(1.131)

(1.132)

Buscamos la trayectoria y(x) que da el valor m´ınimo de la integral I; es decir, que hace δI = 0. La ecuaci´ on de Euler es la condici´on que satisface esa y(x),   d ∂f ∂f − = 0. (1.133) 0 dx ∂y ∂y Tenemos

∂f = 0, ∂y

∂f y0 =p . 0 ∂y 1 + (y 0 )2

(1.134)

= c = constante,

(1.135)

Luego, la ecuaci´ on de Euler conduce a y0 p

1 + (y 0 )2 y0 ⇒ y

c ≡a 1 − c2 = ax + b, =

√

(1.136) (1.137)

donde a y b son constantes que se pueden determinar a partir de los puntos dados.

CAP´ITULO 1. ECUACIONES DE MOVIMIENTO

36

2. Superficie m´ınima de revoluci´ on. Encontrar el perfil y(x) entre x1 , x2 que produce el ´area m´ınima de revoluci´on alrededor del eje y.

Figura 1.23: Superficie m´ınima de revoluci´on de y(x) alrededor de eje y. El elemento de ´ area de revoluci´ on alrededor de eje y es p dA = 2πx ds = 2πx dx2 + dy 2 .

(1.138)

El ´ area de revoluci´ on generada por y(x) es Z Z x2 p Z A = dA = 2π x 1 + (y 0 )2 dx = 2π

(1.139)

x1

x2

f (y, y 0 , x) dx.

x1

Identificamos en el integrando la funcional f (y, y 0 , x) = x la ecuaci´ on de Euler,   d ∂f ∂f − = 0. dx ∂y 0 ∂y

p

1 + (y 0 )2 que satisface (1.140)

Calculamos las derivadas, ∂f xy 0 =p . 0 ∂y 1 + y 02

∂f = 0, ∂y

(1.141)

Sustituyendo en la ecuaci´ on de Euler, obtenemos xy 0 p

1 + y 02 y0 ⇒y

= a = constante a dy =√ 2 dx x − a2 Z dx = a √ x2 − a2 p = a ln(x + x2 − a2 ) + k. =

(1.142) (1.143)

(1.144)

1.4. PRINCIPIOS VARIACIONALES Y ECUACIONES DE EULER

37

Los valores de las constantes a y k se determinan con (x1 , y1 ) y (x2 , y2 ). Si escribimos k = b − a ln a, la Ec. (1.144) tambi´en se puede expresar como ! √   x y−b x + x2 − a2 = cosh−1 (1.145) = ln a a a   y−b ⇒ x = a cosh , (1.146) a que es la ecuaci´ on de una catenaria. 3. Braquistocrona (del griego, “tiempo m´as corto”). Encontrar la trayectoria y(x) de una part´ıcula en el campo gravitacional terrestre que da el menor tiempo posible para ir de un punto (x1 , y1 ) a otro punto (x2 , y2 ) sin fricci´ on, partiendo del reposo (v0 = 0).

Figura 1.24: Problema de la braquistocrona. Fijamos el punto (x1 , y1 ) = (0, 0). Para este problema, escogemos la direcci´on del eje y hacia abajo, con el fin de obtener la funci´on y(x). Si v es la magnitud de la velocidad en un punto de la trayectoria, entonces el elemento de tiempo para recorrer una distancia infinitesimal ds a lo largo de la trayectoria es ds dt = . (1.147) v El tiempo total para ir del punto 1 al punto 2 es Z 2 Z 2p 2 ds dx + dy 2 t1→2 = = . (1.148) v 1 v 1 En el sistema de referencia escogido, la fuerza gravitacional sobre la part´ıcula es F = mg y ˆ, y por lo tanto la energ´ıa potencial es V = −mgy, tal que V (y = 0) = 0. Puesto que v0 = 0, la conservaci´on de la energ´ıa E = T + V da 0=

1 mv 2 − mgy 2

⇒

v=

p 2gy.

(1.149)

CAP´ITULO 1. ECUACIONES DE MOVIMIENTO

38

Luego, el tiempo total para ir del punto 1 al punto 2 es Z 2p 2 dx + dy 2 √ t1→2 = , 2gy 1

(1.150)

la cual se puede expresar como y2

Z t1→2 =

y1

s

1 + (x0 )2 dy . 2gy

(1.151)

La integral t1→2 es del tipo Z

y2

I=

f (x, x0 , y)dy ,

(1.152)

y1

donde hemos intercambiado los roles de las variables x y y. Identificamos la funcional s 1 + (x0 )2 0 f (x, x , y) = . (1.153) 2gy La ecuaci´ on de Euler correspondiente es   d ∂f ∂f = 0. − dy ∂x0 ∂x Puesto que

∂f ∂x

(1.154)

= 0, la ecuaci´ on de Euler queda ∂f x0 p =√ = c = constante. 0 ∂x 2gy 1 + (x0 )2

(1.155)

Note que la ecuaci´ on de Euler para la funcional f (x, x0 , y) resulta m´as sencilla que la ecuaci´ on correspondiente a una funcional f (y, y 0 , x) en este caso. Luego, s dx 2gc2 y x0 = = (1.156) dy 1 − 2gc2 y Z r Z s y y ⇒x = dy = dy, (1.157) 1 2R −y − y 2gc2 donde hemos llamado 2R ≡ 1/2gc2 . Haciendo el cambio de variable y = R(1 − cos θ),

dy = R sin θdθ,

(1.158)

tenemos Z s x = =

R

(1 − cos θ) sin θ dθ = R (1 + cos θ)

R(θ − sin θ) + k.

Z (1 − cos θ) dθ (1.159)

1.4. PRINCIPIOS VARIACIONALES Y ECUACIONES DE EULER

39

Luego, la trayectoria queda parametrizada en t´erminos de la variable θ, =

R(1 − cos θ),

(1.160)

x =

R(θ − sin θ),

(1.161)

y

la cual corresponde a una cicloide que pasa por (x1 , y1 ) = (0, 0), con k = 0. La constante R se determina con el punto (x2 , y2 ) y da al valor del radio de la circunferencia que genera la cicloide. La trayectoria de tiempo m´ınimo es un arco de cicloide que pasa por los puntos dados. Algunos puntos permiten trazar la cicloide, π π θ= ⇒ y = R, x = R; 2 2 θ = π ⇒ x = πR, y = 2R; θ = 2π

⇒ x = 2πR, y = 0.

Figura 1.25: Trayectoria de la cicloide en el problema de la braquistocrona. El problema de la braquistocrona es famoso en la historia de la F´ısica. Fue planteado originalmente por Galileo, quien pens´o que la trayector´ıa de menor tiempo entre dos puntos era un arco de circunferencia. El problema fue estudiado a˜ nos despu´es por Johann Bernoulli, cuyo trabajo contribuy´o a la fundaci´on del c´alculo variacional.

Figura 1.26: Johann Bernoulli (1667 -1748). 4. El Principio de Fermat establece que la luz se propaga entre dos puntos dados en un medio siguiendo la trayectoria que corresponde al tiempo m´ınimo. A partir de ´ este principio, pueden obtenerse las leyes de la Optica Geom´etrica.

CAP´ITULO 1. ECUACIONES DE MOVIMIENTO

40

Figura 1.27: Pierre de Fermat (1601-1665). Como ejemplo, consideremos la ley de refracci´on de la luz entre dos medios cuyos ´ındices de refracci´ on son n1 y n2 , con n1 < n2 , como muestra la figura. La velocidad de la luz en un medio con ´ındice de refracci´on n es v = c/n, donde c es la velocidad de la luz en el vac´ıo.

Figura 1.28: Ley de refracci´on de la luz. El tiempo para viajar entre los puntos 1 y 2 es t1→2

= =

2

Z 2 p 2 ds dx + dy 2 = n c 1 v 1 Z 1 x2 p n 1 + (y 0 )2 dx c x1

Z

(1.162)

El ´ındice de refracci´ on depende de y, n = n1 , para y > 0, y n = n2 , para y < 0, tal que dn = 6 0 s´ o lo en y = 0. En la Ec. (1.162) podemos identificar la funcional dy p 0 f (y, y , x) = n 1 + (y 0 )2 , la cual satisface la ecuaci´on de Euler,   d ∂f ∂f − = 0. (1.163) 0 dx ∂y ∂y Calculamos las derivadas, ∂f ny 0 p = , ∂y 0 1 + y 02

∂f = 0. ∂y

(1.164)

1.4. PRINCIPIOS VARIACIONALES Y ECUACIONES DE EULER Entonces,

ny 0 p

1 + y 02

= cte.

41

(1.165)

dy Note que y 0 = dx = − tan θ, donde θ es el ´angulo de la trayectoria con el eje y. Sustituyendo en la Ec. (1.165), obtenemos

−√

n tan θ = −n sin θ = cte. 1 + tan 2 θ

(1.166)

La Ec. (1.166) implica la ley de refracci´on, n1 sen θ1 = n2 sen θ2 .

Principios variacionales para funcionales de varias variables. Consideremos una funcional que depende de s funciones y de sus derivadas, f (yi (x), yi0 (x), . . . , x) ,

i = 1, 2, . . . , s

(1.167)

tal que la integral definida Z

x2

I=

f (yi (x), yi0 (x), x) dx

(1.168)

x1

adquiera un valor extremo, i.e., δI = 0, para las funciones yi (x), i = 1, 2, . . . , s, que pasan por x1 y x2 . Consideremos ahora la funcional de trayectorias perturbadas f (yi (x, α), yi0 (x, α), . . . , x) ,

i = 1, 2, . . . , s,

(1.169)

donde yi (x, α) = yi (x) + αηi (x), y las ηi (x) son funciones arbitrarias que satisfacen ηi (x1 ) = ηi (x2 ) = 0.

Figura 1.29: Trayectorias y1 (x) y y2 (x) en el espacio (x, y1 , y2 ).

(1.170)

CAP´ITULO 1. ECUACIONES DE MOVIMIENTO

42

Consideremos la integral definida con las funciones yi (x, α) como argumentos, Z

x2

I(α) =

f [yi (x, α), yi0 (x, α), x]dx.

(1.171)

x1

La condici´ on de que I(0) sea extremo, o que δI = 0, implica que dI = 0. dα α=0

(1.172)

Calculamos dI = dα

Z

x2

x1

 s  X ∂f ∂yi ∂f ∂yi0 + 0 dx, ∂yi ∂α ∂yi ∂α i=1

(1.173)

donde ∂yi0 (x, α) = ηi0 (x). ∂α

∂yi (x, α) = ηi (x); ∂α

(1.174)

El segundo t´ermino en la suma de la Ec. (1.173) se integra por partes: Z

x2

x1

0 Z x   x2 2 * ∂f 0 ∂f  d ∂f − η (x)dx = η (x) ηi (x)dx , i 0  ∂yi0 i ∂y ∂yi0 x1 dx x1  i

(1.175)

donde usamos la condici´ on de que las funciones ηi (x) se anulan en x1 y en x2 . Luego, Z

dI dα

x2

=

s  X ∂f

=

i=1

x1



∂f d − ∂yi dx



∂yi

x1

i=1 s Z x2 X

d dx



−

∂f ∂yi0



∂f ∂yi0



ηi (x)dx ηi (x)dx.

(1.176)

Puesto que las funciones ηi (x) son arbitrarias, la condici´on dI = 0, dα α=0

(1.177)

implica las s condiciones d dx



∂f ∂yi0

 −

∂f = 0, ∂yi

i = 1, 2, . . . , s

que corresponden a s ecuaciones de Euler, una para cada funci´on yi (x).

(1.178)

´ Y ECUACIONES DE LAGRANGE 1.5. PRINCIPIO DE M´INIMA ACCION

1.5.

43

Principio de m´ınima acci´ on y ecuaciones de Lagrange

Consideremos un sistema descrito por s coordenadas generalizadas {q1 , q2 , . . . , qs } y sus correspondientes s velocidades generalizadas {q˙1 , q˙2 , . . . , q˙s }. Definimos una funcional escalar de {qj }, {q˙j } y t, dada por L(qj , q˙j , t) ≡ T − V,

j = 1, 2, . . . , s,

(1.179)

donde T y V son la energ´ıa cin´etica y la energ´ıa potencial del sistema, respectivamente, expresadas en t´erminos de las coordenadas y velocidades generalizadas. La funcional L(qj , q˙j , t) se denomina Lagrangiano del sistema. En principio, todo sistema mec´anico se puede caracterizar por un Lagrangiano L. Supongamos que el estado del sistema, en los instantes de tiempo t = t1 y t = t2 , est´ a descrito por los correspondientes conjuntos de coordenadas y velocidades generalizadas, t1 : {qj (t1 )}, {q˙j (t1 )} ; t2 : {qj (t2 )}, {q˙j (t2 )}. (1.180) Principio de m´ınima acci´ on: La evoluci´ on del sistema entre el estado en t1 y el estado en t2 es tal que el valor de la integral definida Z t2 S= L(qj , q˙j , t) dt , (1.181) t1

denominada la acci´ on del sistema, sea m´ınima; es decir, δS = 0 (S es un extremo). El Principio de m´ınima acci´on es un principio variacional; implica que las ecuaciones de movimiento de un sistema, en t´erminos de sus coordenadas generalizadas, pueden formularse a partir del requerimiento de que una cierta condici´on sobre la acci´on S del sistema sea satisfecha. El Principio de m´ınima acci´ on fue formulado en distintas formas por Maupertuis y por Hamilton; tambi´en se llama Principio de Hamilton.

Figura 1.30: Pierre-Louis Moreau de Maupertuis (1698-1759).

CAP´ITULO 1. ECUACIONES DE MOVIMIENTO

44

Para encontrar las ecuaciones de movimiento a partir del Principio de m´ınima acci´on, supongamos que qj (t), j = 1, . . . , s, son las trayectorias para las cuales S adquiere un valor extremo. Consideremos la variaci´ on de qj como qj (t) + δqj (t), y la variaci´on de q˙j como q˙j (t) + δ q˙j (t). Supongamos extremos fijos en t1 y t2 . Luego, δqj (t1 ) = δqj (t2 ) = 0. La variaci´ on de qj o de q˙j produce un incremento (o decremento) en el valor de S. La variaci´ on en S cuando qj (t) es reemplazado por qj (t) + δqj (t), y q˙j por q˙j (t) + δ q˙j (t), es Z δS

t2

Z

t2

L(qj + δqj , q˙j + δ q˙j , t)dt −

= =

L(qj , q˙j , t)dt t1

t1 Z t2

δL(qj , q˙j , t)dt t1 Z t2

= t1

s  X ∂L

 ∂L δqj + δ q˙j dt. ∂qj ∂ q˙j

j=1

(1.182)

Similarmente a la integral I en un principio variacional, podemos expresar el segundo t´ermino de la Ec. (1.182) como Z

t2

t1

t2 Z t2   d ∂L ∂L ∂L d (δqj ) dt = δqj − δqj . ∂ q˙j dt ∂ q˙j ∂ q˙j t1 dt t1

(1.183)

Puesto que los extremos son fijos, tenemos t2 ∂L δqj = 0. ∂ q˙j t1

(1.184)

El principio de m´ınima acci´ on requiere que Z

t2

δS = t1

s  X ∂L j=1

∂qj

−

d dt



∂L ∂ q˙j

 δqj dt = 0.

(1.185)

La condici´ on δS = 0 implica que se deben cumplir s ecuaciones para las qj (t): d dt



∂L ∂ q˙j

 −

∂L = 0, ∂qj

j = 1, . . . , s.

(1.186)

Las Ecs. (1.186) se denominan ecuaciones de Lagrange. Constituyen un conjunto de s ecuaciones diferenciales acopladas de segundo orden para las s coordenadas generalizadas qj (t), las cuales describen la evoluci´ on del sistema en el tiempo. Se pueden establecer las siguientes analog´ıas entre el Principio de m´ınima acci´on y un principio variacional: Z t2 Z x2 S= L(qj , q˙j , t)dt ↔ I = f (yi , yi0 , x)dx (1.187) t1

x1

1.6. PROPIEDADES DE LAS ECUACIONES DE LAGRANGE

45

L(qj , q˙j , t) ↔ f (yi , yi0 , x) t ↔ x qj

↔ yi

q˙j

↔ yi0

δqj (t) ↔ ηi (x) δ q˙j (t) ↔ ηi0 (x).

Figura 1.31: Joseph Louis de Lagrange (1736-1827).

1.6.

Propiedades de las ecuaciones de Lagrange

Las ecuaciones de Lagrange son equivalentes a la Segunda Ley de Newton si las coordenadas generalizadas corresponden a las coordenadas cartesianas de las part´ıculas del sistema. Para ver esto, consideremos N part´ıculas denotadas por α = 1, 2, . . . , N . Sea xj (α) la componente cartesiana j (j = 1, 2, 3) de la posici´on r(α) de la part´ıcula α. Asumamos las coordenadas cartesianas como coordenadas generalizadas; i. e., qj = xj (α). La energ´ıa cin´etica del sistema es T =

3 N X X 1 α=1 i=1

2

mα x˙ 2i (α).

(1.188)

La energ´ıa potencial es V =

N X

Vα (r(1), r(2), . . . , r(N )).

(1.189)

α=1

El Lagrangiano est´ a dado por L=T −V =

N X 3 X 1 α=1 i=1

2

mα x˙ 2i (α) −

N X

Vα (r(1), r(2), . . . , r(N )).

(1.190)

α=1

La ecuaci´ on de Lagrange para la coordenada xj (α) es   d ∂L ∂L − = 0. dt ∂ x˙ j (α) ∂xj (α)

(1.191)

CAP´ITULO 1. ECUACIONES DE MOVIMIENTO

46 Calculamos ∂L ∂ x˙ j (α) ∂L ∂xj (α)

∂T = m(α)x˙ j (α) = pj (α), ∂ x˙ j (α) ∂Vα = − = Fj (α). ∂xj (α)

=

Sustituci´ on en la ecuaci´ on de Lagrange para xj (α) da dpj (α) = Fj (α), dt

(1.192)

lo que corresponde a la Segunda ley de Newton para la componente j de las coordenadas cartesianas de la part´ıcula α. Las ecuaciones de Lagrange no constituyen una nueva teor´ıa del movimiento; los resultados de la formulaci´ on Lagrangiana o de la formulaci´on Newtoniana del movimiento de un sistema dado son los mismos; tan s´olo la descripci´on y el m´etodo usado para obtener esos resultados son diferentes. Son descripciones distintas de un mismo efecto f´ısico. Las leyes de Newton enfatizan causas externas vectoriales (fuerzas) actuando sobre un cuerpo, mientras que la formulaci´ on Lagrangiana se enfoca en cantidades escalares (energ´ıas cin´etica y potencial) asociadas con el cuerpo. La formulaci´on Newtoniana describe el movimiento de un sistema part´ıcula por part´ıcula. La formulaci´on Lagrangiana describe el movimiento como una propiedad de todo el sistema. En contraste con el punto de vista Newtoniano de causa-efecto para explicar el movimiento, el Principio de m´ınima acci´ on permite interpretar ´este como el resultado de un prop´ osito de la Naturaleza. En la formulaci´ on Newtoniana, las ligaduras entre las coordenadas requieren ser descritas como fuerzas actuando sobre las part´ıculas, mientras que en la formulaci´on Lagrangiana las ligaduras pueden incluirse dentro de las coordenadas generalizadas. Las ecuaciones de Lagrange son m´ as generales que la segunda Ley de Newton; son aplicables a cualquier conjunto de coordenadas generalizadas de un sistema. Adem´as de sistemas mec´ anicos cl´ asicos, las ecuaciones de Lagrange se pueden aplicar para todo sistema donde se puede definir un Lagrangiano, incluyendo medios cont´ınuos, campos, Mec´ anica Cu´ antica. El Principio de M´ınima acci´on sugiere una conexi´on profunda entre la F´ısica y la Geometr´ıa, una propiedad que ha sido empleada en el desarrollo de varias teor´ıas f´ısicas. Como veremos, una ventaja de la formulaci´on Lagrangiana es que permite descubrir simetr´ıas fundamentales presentes en sistemas f´ısicos. Las ecuaciones que describen la evoluci´on de muchos sistemas, adem´as de sistemas mec´ anicos, pueden derivarse a partir de alg´ un principio variacional. Por ejemplo, el Principio de Fermat establece que la propagaci´on de la luz entre dos puntos dados en un medio sigue la trayectoria que corresponde al tiempo m´ınimo. Como vimos en la Sec. 1.4, ´ a partir de ese principio pueden obtenerse las leyes de la Optica Geom´etrica. Las ecuaciones de Lagrange poseen las siguientes propiedades: 1. Las ecuaciones de movimiento de un sistema son invariantes si a su Lagrangiano se le agrega una derivada total temporal de una funci´on f (qj , t).

1.6. PROPIEDADES DE LAS ECUACIONES DE LAGRANGE

47

Sea L(qj , q˙j , t) el Lagrangiano del sistema para el cual δS = 0. Entonces, el nuevo Lagrangiano ser´ a df (qj , t) L0 (qj , q˙j , t) = L(qj , q˙j , t) + . (1.193) dt La nueva acci´ on es Z t2 L0 (qj , q˙j , t)dt S0 = t1 t2

Z

L(qj , q˙j , t)dt + f (qj (t2 ), t2 ) − f (qj (t1 ), t1 ).

=

(1.194)

t1

Luego, δS 0 = δS + δf (qj (t2 ), t2 ) − δf (qj (t1 ), t1 ).

(1.195)

Pero f (qj (t2 ), t2 ) y f (qj (t1 ), t1 ) son cantidades fijas cuya variaci´on es cero. Luego δS 0 = δS, y la condici´on δS = 0 ⇒ δS 0 = 0. Por lo tanto, las ecuaciones de movimiento que se derivan de L y de L0 son equivalentes. 2. La forma de las ecuaciones de Lagrange es invariante con respecto al conjunto de coordenadas generalizadas utilizadas en un sistema. La derivaci´ on de las ecuaciones de Lagrange no depende del conjunto de coordenadas generalizadas espec´ıficas; por lo tanto, la forma de las ecuaciones de Lagrange no depende de un conjunto particular de coordenadas {qi }. Se puede escoger otro conjunto de s coordenadas generalizadas independientes {Qi }, y las ecuaciones de Lagrange tambi´en se cumplen en esas coordenadas. Sea {qi }, i = 1, . . . , s, un conjunto de coordenadas generalizadas para un sistema con s grados de libertad y cuyo Lagrangiano es L(qi , q˙i , t). Las ecuaciones de Lagrange para estas coordenadas son   ∂L d ∂L − = 0. (1.196) dt ∂ q˙j ∂qj Supongamos una transformaci´on de las coordenadas {qi } a otro conjunto de coordenadas generalizadas {Qi }, i = 1, . . . , s, de la forma qi = qi (Q1 , Q2 , . . . , Qs , t),

(1.197)

la cual se conoce como una transformaci´ on puntual. Por ejemplo, la transformaci´on puntual qi = qi (Qj , t) entre coordenadas cartesianas {qi } = {x, y} y coordenadas polares {Qi } = {r, ϕ} en un plano es x = r cos ϕ, y = r sin ϕ. La invarianza de la forma de las ecuaciones de Lagrange significa que el Lagrangiano expresado como funci´ on de las nuevas coordenadas y velocidades generalizadas, L(Qi , Q˙ i , t), tambi´en satisface las ecuaciones de Lagrange   ∂L ∂L d − = 0. (1.198) ˙ dt ∂ Qi ∂Qi

CAP´ITULO 1. ECUACIONES DE MOVIMIENTO

48

Para demostrar esta invarianza, a partir de la Ec. (1.197) calculamos s

q˙i =

X ∂qi dqi ∂qi = Q˙ k + . dt ∂Qk ∂t

(1.199)

k=1

Luego, q˙i = q˙i (Q1 , . . . , Qs , Q˙ 1 , . . . , Q˙ s , t). Entonces, el Lagrangiano se puede expresar como funci´ on de las nuevas coordenadas y velocidades generalizadas como L(q1 , . . . , qs , t) = L[qi (Q1 , . . . , Qs , t), q˙i (Q1 , . . . , Qs , Q˙ 1 , . . . , Q˙ s , t), t].

(1.200)

Tenemos, s

X ∂L = ∂Qi j=1



∂L ∂ q˙j ∂L ∂qj + ∂qj ∂Qi ∂ q˙j ∂Qi

 ,

  0 s s X 7  ∂L ∂L ∂ q˙j  X ∂L ∂ q˙j  ∂L ∂qj = + = .   ˙ ∂qj ∂  ∂ q˙j ∂ Q˙ i ∂ q˙j ∂ Q˙ i ∂ Q˙ i j=1 j=1 Qi

(1.201)

(1.202)

Notemos que ∂ q˙j ∂ Q˙ i

=

s X ∂qj ∂ Q˙ k ∂Qk ∂ Q˙ i k=1

=

s X ∂qj ∂qj δik = . ∂Qk ∂Qi

(1.203)

k=1

Luego, d dt



∂L ∂ Q˙ i



   s s  d X ∂L ∂qj  X ∂L ∂qj ∂L ∂ q˙j ∂L = − + − ∂Qi dt j=1 ∂ q˙j ∂Qi ∂qj ∂Qi ∂ q˙j ∂Qi j=1     s  X ∂qj d ∂L ∂L ∂L d ∂qj ∂ q˙j = − + − (. 1.204) ∂Qi dt ∂ q˙j ∂qj ∂ q˙j dt ∂Qi ∂Qi j=1

El primer t´ermino en la Ec. (1.204) es cero, de acuerdo a la Ec. (1.196). Por otro lado,     ∂ dqj d ∂qj ∂ q˙j = = , (1.205) ∂Qi ∂Qi dt dt ∂Qi por lo cual, el segundo t´ermino en la Ec. (1.204) tambi´en se anula. Luego,   d ∂L ∂L − = 0. (1.206) dt ∂ Q˙ i ∂Qi Por lo tanto, la forma de las ecuaciones de Lagrange se conserva bajo transformaciones puntuales de las coordenadas generalizadas.

1.7. ECUACIONES DE LAGRANGE PARA VARIOS SISTEMAS

1.7.

49

Ecuaciones de Lagrange para varios sistemas

1. P´endulo simple.

Figura 1.32: Coordenada generalizada θ para el p´endulo simple.

Vimos que la coordenada generalizada es el ´angulo θ. Entonces, x = l sin θ, y = −l cos θ,

x˙ = lθ˙ cos θ y˙ = lθ˙ sin θ.

˙ Expresamos T y V en funci´on de θ y θ, T =

1 1 1 mv 2 = m(x˙ 2 + y˙ 2 ) = ml2 θ˙2 , 2 2 2 V = mgy = −mgl cos θ.

(1.207) (1.208)

Entonces, el Lagrangiano es L=T −V =

1 2 ˙2 ml θ + mgl cos θ. 2

(1.209)

La ecuaci´ on de Lagrange para θ es   d ∂L ∂L = 0. − dt ∂ θ˙ ∂θ

(1.210)

Calculamos los t´erminos ∂L = −mgl sin θ, ∂θ

∂L ˙ = ml2 θ, ∂ θ˙

d dt



∂L ∂ θ˙



¨ = ml2 θ.

(1.211)

Luego, la ecuaci´ on de Lagrange queda como ml2 θ¨ + mgl sin θ g ⇒ θ¨ + sin θ l

=

0

=

0,

que es la conocida ecuaci´on del p´endulo simple.

(1.212)

CAP´ITULO 1. ECUACIONES DE MOVIMIENTO

50 2. Part´ıcula libre.

La condici´ on de estar libre significa que no hay fuerza neta sobre la part´ıcula, F = −∇V = 0. Luego, V = constante para una part´ıcula libre. a) El Lagrangiano en coordenadas cartesianas es L=T =

1 m(x˙ 2 + y˙ 2 + z˙ 2 ). 2

Las ecuaciones de Lagrange   ∂L d ∂L − = 0, dt ∂ x˙ i ∂xi

i = 1, 2, 3,

(1.213)

(1.214)

conducen a

∂L = mx˙ i = constante, (1.215) ∂ x˙ i que expresan la conservaci´ on de la componente i del momento lineal de la part´ıcula. b) Lagrangiano en coordenadas esf´ericas.

Figura 1.33: Coordenadas esf´ericas para una part´ıcula.

Las coordenadas se expresan como x = r sin θ cos ϕ y = r sin θ sin ϕ z = r cos θ.

(1.216)

x˙ = r˙ sin θ cos ϕ + rθ˙ cos θ cos ϕ − rϕ˙ sin θ sin ϕ y˙ = r˙ sin θ sin ϕ + rθ˙ cos θ sin ϕ + rϕ˙ sin θ cos ϕ z˙ = r˙ cos θ − rθ˙ sin θ.

(1.217)

Las velocidades son

El Lagrangiano de una part´ıcula libre en coordenadas esf´ericas es L=

1 m(r˙ 2 + r2 θ˙2 + r2 ϕ˙ 2 sin2 θ). 2

(1.218)

1.7. ECUACIONES DE LAGRANGE PARA VARIOS SISTEMAS

51

3. Part´ıcula en el campo gravitacional terrestre.

Figura 1.34: Part´ıcula en el campo gravitacional terrestre. El movimiento en el campo gravitacional uniforme de la Tierra ocurre en un plano vertical; i.e., s = 2. Tomamos las coordenadas cartesianas (x, y) como coordenadas generalizadas. Supongamos que la part´ıcula posee posici´on inicial (xo , yo ) y velocidad inicial (vox , voy ). Entonces, 1 m(x˙ 2 + y˙ 2 ), V = mgy 2 1 L = T − V = m(x˙ 2 + y˙ 2 ) − mgy. 2 La ecuaci´ on de Lagrange para x es   d ∂L ∂L − = 0, dt ∂ x˙ ∂x T =

(1.219) (1.220)

(1.221)

la cual resulta en x ¨=0

⇒

x = b1 t + b2 ,

(1.222)

con b1 y b2 constantes. Usando las condiciones iniciales en t = 0, obtenemos x(t) = xo + vox t. La ecuaci´ on de Lagrange para y es   d ∂L ∂L − = 0, dt ∂ y˙ ∂y

(1.223)

(1.224)

lo que conduce a 1 y = − gt2 + c1 t + c2 . 2 Usando las condiciones iniciales, podemos expresar y¨ = −g

⇒

1 y(t) = yo + voy t − gt2 . 2 La trayectoria descrita por la part´ıcula es una par´ abola, g voy (x − xo ) − 2 (x − xo )2 . y(x) = yo + vox 2vox

(1.225)

(1.226)

(1.227)

La trayectoria parab´ olica corresponde a la minima acci´on; mientras que la cicloide corresponde al tiempo minimo entre dos puntos en el campo gravitacional terrestre.

CAP´ITULO 1. ECUACIONES DE MOVIMIENTO

52 4. Oscilador arm´ onico.

Figura 1.35: Oscilador arm´onico simple.

Usando la coordenada generalizada x, tenemos 1 2 kx , 2 1 1 L = T − V = mx˙ 2 − kx2 . 2 2 La ecuaci´ on de Lagrange para x es   d ∂L ∂L − = 0. dt ∂ x˙ ∂x T =

Calculamos

1 mx˙ 2 , 2

V =

∂L ∂L = mx˙ ; = −kx. ∂ x˙ ∂x

(1.228) (1.229)

(1.230)

(1.231)

Luego, obtenemos m¨ x + kx = 0, x ¨ + ω 2 x = 0,

(1.232)

donde ω 2 ≡ k/m. 5. Part´ıcula movi´endose sobre un cono invertido en el campo gravitacional terrestre.

Figura 1.36: Part´ıcula sobre un cono invertido con a´ngulo de v´ertice α.

Coordenadas generalizadas son q1 = ϕ y q2 = r. Entonces, x = r cos ϕ y = r sin ϕ z = r cot α.

(1.233)

1.7. ECUACIONES DE LAGRANGE PARA VARIOS SISTEMAS

53

Las velocidades correspondientes son x˙ = y˙ = z˙ =

r˙ cos ϕ − rϕ˙ sin ϕ r˙ sin ϕ + rϕ˙ cos ϕ r˙ cot α.

(1.234)

Energ´ıa cin´etica, T

= =

1 1 m(x˙ 2 + y˙ 2 + z˙ 2 ) = m[r˙ 2 (1 + cot2 α) + r2 ϕ˙ 2 ] 2 2 1 m(r˙ 2 csc2 α + rϕ˙ 2 ). 2

(1.235)

Energ´ıa potencial, V = mgz = mgr cot α.

(1.236)

Por lo tanto, el Lagrangiano L = T − V es 1 m(r˙ 2 csc2 α + r2 ϕ˙ 2 ) − mgr cot α. 2 La ecuaci´ on de Lagrange para ϕ es   d ∂L ∂L − = 0, dt ∂ ϕ˙ ∂ϕ L=

donde

∂L = 0, ∂ϕ

(1.237)

(1.238)

(1.239)

Luego, ∂L = mr2 ϕ˙ = cte ≡ lz . (1.240) ∂ ϕ˙ La cantidad constante es la componente lz del momento angular en t´erminos de las coordenadas generalizadas, lo que se puede verificar calculando la componente cartesiana lz = m(xy˙ − y x), ˙ y usando las Ecs. (1.233) y (1.234). La componente lz se conserva porque la componente τz del vector de torque total producido por las fuerzas actuantes sobre la part´ıcula (su peso y la fuerza normal ejercida por la superficie del cono) es cero. La ecuaci´ on de Lagrange para r es   d ∂L ∂L − = 0, dt ∂ r˙ ∂r donde

∂L = mrϕ˙ 2 − mg cot α, ∂r

(1.241)

∂L = mr˙ csc2 α. ∂ r˙

(1.242)

Luego, r¨ csc2 α − rϕ˙ 2 + g cot α 2

2

⇒ r¨ − rϕ˙ sin α + g sin α cos α

=

0,

=

0.

(1.243)

CAP´ITULO 1. ECUACIONES DE MOVIMIENTO

54 6. P´endulo doble.

Consiste en un p´endulo de longitud l1 y masa m1 , del cual cuelga un segundo p´endulo de longitud l2 y masa m2 .

Figura 1.37: P´endulo doble.

Coordenadas generalizadas son q1 = θ1 , q2 = θ2 . Luego, x1 = l1 sin θ y1 = −l1 cos θ x2 = l1 sin θ + l2 sin θ2 y2 = −l1 cos θ − l2 cos θ2

⇒ x˙ 1 = l1 θ˙1 cos θ1 ⇒ y˙ 1 = l1 θ˙1 sin θ1

⇒ x˙ 2 = l1 θ˙1 cos θ1 + l2 θ˙2 cos θ2 ⇒ y˙ 2 = l1 θ˙1 sin θ1 + l2 θ˙2 sin θ2

(1.244)

(1.245)

La energ´ıa cin´etica de part´ıcula 1 es T1 =

1 1 1 m1 v12 = m1 (x˙ 21 + y˙ 12 ) = m1 l12 θ˙12 . 2 2 2

(1.246)

La energ´ıa cin´etica de part´ıcula 2 es T2 =

1 m2 v22 2

= = =

1 m2 (x˙ 22 + y˙ 22 ) 2 1 m2 [l12 θ˙12 + l22 θ˙22 + 2l1 l2 θ˙1 θ˙2 (cos θ1 cos θ2 + sin θ1 sin θ2 )] 2 1 (1.247) m2 [l12 θ˙12 + l22 θ˙22 + 2l1 l2 θ˙1 θ˙2 cos(θ1 − θ2 )]. 2

Las energ´ıas potenciales de las part´ıculas se pueden expresar como V1 = m1 gy1

=

−m1 gl1 cos θ1

(1.248)

V2 = m2 gy2

=

−m2 g(l1 cos θ1 + l2 cos θ2 ).

(1.249)

La energ´ıa cin´etica del sistema es T = T1 +T2 y la energ´ıa potencial es V = V1 +V2 . El Lagrangiano del sistema es L = T − V , lo que conduce a L =

1 1 (m1 + m2 )l12 θ˙12 + m2 l22 θ˙22 + m2 l1 l2 θ˙1 θ˙2 cos(θ1 − θ2 ) 2 2 + (m1 + m2 )gl1 cos θ1 + m2 gl2 cos θ2 .

(1.250)

1.7. ECUACIONES DE LAGRANGE PARA VARIOS SISTEMAS

55

Ecuaci´ on de Lagrange para θ1 , d dt



∂L ∂ θ˙1

 −

∂L = 0, ∂θ1

(1.251)

donde ∂L = −m2 l1 l2 θ˙1 θ˙2 sin(θ1 − θ2 ) − (m1 + m2 )gl1 sin θ1 ∂θ1 ∂L = (m1 + m2 )l12 θ˙1 + m2 l1 l2 θ˙2 cos(θ1 − θ2 ) ∂ θ˙1   d ∂L = (m1 + m2 )l12 θ¨1 + m2 l1 l2 [θ¨2 cos(θ1 − θ2 ) − θ˙2 (θ˙1 − θ˙2 ) sin(θ1 − θ2 ]. dt ∂ θ˙1 Por lo tanto, la ecuaci´ on de Lagrange para θ1 queda (m1 +m2 )l12 θ¨1 +m2 l1 l2 θ¨2 cos(θ1 −θ2 )+m2 l1 l2 θ˙22 sin(θ1 −θ2 )+(m1 +m2 )gl1 sin θ1 = 0. (1.252) Ecuaci´ on de Lagrange para θ2 es d dt



∂L ∂ θ˙2

 −

∂L = 0, ∂θ2

(1.253)

donde ∂L = ∂θ2 ∂L = ∂ θ˙2   d ∂L = dt ∂ θ˙2

m2 l1 l2 θ˙1 θ˙2 sin(θ1 − θ2 ) − m2 gl2 sin θ2 , m2 l22 θ˙2 + m2 l1 l2 θ˙1 cos(θ1 − θ2 ), m2 l22 θ¨2 + m2 l1 l2 [θ¨1 cos(θ1 − θ2 ) − θ˙1 (θ˙1 − θ˙2 ) sin(θ1 − θ2 ].

Luego, la ecuaci´ on de Lagrange para θ2 queda m2 l22 θ¨2 + m2 l1 l2 θ¨1 cos(θ1 − θ2 ) − m2 l1 l2 θ˙12 sin(θ1 − θ2 ) + m2 gl2 sin θ2 = 0. (1.254) Despejando θ¨1 y θ¨2 de las Ecs. (1.252) y (1.254), las ecuaciones de Lagrange se pueden expresar como θ¨1

=

θ¨2

=

g(sin θ2 cos ∆θ − M sin θ1 ) − (l2 θ˙22 + l1 θ˙12 cos ∆θ) sin ∆θ , (1.255) l1 (µ − cos2 ∆θ) gM (sin θ1 cos ∆θ − sin θ2 ) − (M l1 θ˙12 + l2 θ˙22 cos ∆θ) sin ∆θ , (1.256) l2 (µ − cos2 ∆θ)

donde ∆θ ≡ θ1 − θ2 , y M ≡ 1 + m1 /m2 . Las ecuaciones de movimiento para las coordenadas θ1 y θ2 del p´endulo doble son acopladas y no lineales. Esto hace que el movimiento del p´endulo doble pueda ser muy irregular o ca´ otico, como veremos en el Cap. 2.

CAP´ITULO 1. ECUACIONES DE MOVIMIENTO

56

7. P´endulo con soporte deslizante horizontalmente sin fricci´on.

Figura 1.38: P´endulo con soporte deslizante. Coordenadas generalizadas son q1 = x1 y q2 = θ, x˙ 2 = x˙ 1 + lθ˙ cos θ, y˙ 2 = lθ˙ sin θ.

x2 = x1 + l sin θ, y2 = −l cos θ, Energ´ıa cin´etica, T =

1 1 ˙ cos θ). m1 x˙ 21 + m2 (x˙ 21 + l2 θ˙2 + 2x˙ 1 θl 2 2

(1.257)

Energ´ıa potencial, V = m2 gy2 = −m2 gl cos θ.

(1.258)

Lagrangiano, L=T −V =

1 1 ˙ cos θ) + m2 gl cos θ. (m1 + m2 )x˙ 21 + m2 (l2 θ˙2 + 2x˙ 1 θl 2 2

(1.259)

Ecuaci´ on de Lagrange para x1 , d dt donde

∂L = 0, ∂x1



∂L ∂ x˙ 1



∂L = 0, ∂x1

(1.260)

∂L ˙ cos θ. = (m1 + m2 )x˙ 1 + m2 θl ∂ x˙ 1

(1.261)

−

Luego, la ecuaci´ on para x1 queda (m1 + m2 )x˙ 1 + m2 lθ˙ cos θ = cte ≡ Px ,

(1.262)

esta ecuaci´ on expresa la conservaci´on de la componente Px del momento lineal total en direcci´ on del eje x, puesto que no hay fuerzas externas netas en esa direcci´on. Ecuaci´ on de Lagrange para θ, d dt



∂L ∂ θ˙

 −

∂L = 0, ∂θ

(1.263)

1.7. ECUACIONES DE LAGRANGE PARA VARIOS SISTEMAS

57

donde ∂L = −m2 lx˙ 1 θ˙ sin θ − m2 gl sin θ; ∂θ

∂L ˙ = m2 x˙ 1 l cos θ + m2 l2 θ. ∂ θ˙

(1.264)

Por lo tanto, la ecuaci´ on de Lagrange para θ es lθ¨ + x ¨1 cos θ − x˙ 1 θ˙ sin θ + x˙ 1 θ˙ sin θ + g sin θ ⇒ lθ¨ + x ¨1 cos θ + g sin θ

=

0,

=

0.

(1.265)

8. Aro rodando sin deslizar por un plano inclinado.

Figura 1.39: Aro rodando sin deslizar por un plano inclinado.

Un punto cualquiera en el aro puede ubicarse con dos coordenadas, x y θ, las cuales est´ an ligadas por una restricci´on no holon´omica, que es la condici´on de ˙ Luego, hay un grado de libertad; se puede escoger como rodar sin deslizar: x˙ = Rθ. coordenada generalizada a x ´o θ. La energ´ıa cin´etica del aro es la suma de la energ´ıa cin´etica del centro de masa m´as la energ´ıa cin´etica relativa al centro de masa, 0 T = Tcm + Trelativa al CM

(1.266)

donde Tcm es la energ´ıa cin´etica de translaci´on del centro de masa, Tcm =

1 mx˙ 2 , 2

(1.267)

0 y Trel. ıa cin´etica de rotaci´on, al CM es la energ´ 0 Trel. al CM =

1 ˙2 1 1 I θ = (mR2 )θ˙2 = mR2 θ˙2 . 2 2 2

(1.268)

La energ´ıa potencial es V = mgh = mg(l − x) sin α.

(1.269)

Entonces, el Lagrangiano es L=T −V =

1 1 mx˙ 2 + mR2 θ˙2 − mg(l − x) sin α. 2 2

(1.270)

CAP´ITULO 1. ECUACIONES DE MOVIMIENTO

58

Sustituyendo θ˙ = x/R ˙ en L, obtenemos L = mx˙ 2 + mgx sin α − mgl sin α.

(1.271)

El t´ermino constante mgl sin α se puede suprimir en L, pues no afecta las ecuaciones de movimiento. La ecuaci´ on de Lagrange para x es   d ∂L ∂L − =0 (1.272) dt ∂ x˙ ∂x donde

∂L = mg sin α, ∂x

∂L = 2mx. ˙ ∂ x˙

(1.273)

Luego,

g sin α = 0. (1.274) 2 El aro baja por el plano rodando sin deslizar, con la mitad de la aceleraci´on que tendr´ıa si simplemente deslizara sin fricci´on. x ¨−

9. P´endulo de longitud l y masa m cuyo soporte gira en un circulo de radio a en un plano vertical, con velocidad angular constante ω.

Figura 1.40: P´endulo con soporte en movimiento circular uniforme.

Expresamos φ = ωt. Luego, x = a cos ωt + l sin θ, y = a sin ωt − l cos θ,

x˙ = −ωa sin ωt + lθ˙ cos θ y˙ = ωa cos ωt + lθ˙ sin θ.

(1.275) (1.276)

Energ´ıa cin´etica, T =

1 1 ˙ m(x˙ 2 + y˙ 2 ) = m[a2 ω 2 + l2 θ˙2 + 2aωlθ(sin θ cos ωt − cos θ sin ωt)]. (1.277) 2 2

Energ´ıa potencial, V = mgy = mg(a sin ωt − l cos θ).

(1.278)

1 m[l2 θ˙2 + 2aωlθ˙ sin(θ − ωt)] + mgl cos θ, 2

(1.279)

El Lagrangiano es L=T −V =

1.7. ECUACIONES DE LAGRANGE PARA VARIOS SISTEMAS

59

df donde hemos omitido t´erminos constantes (a2 ω 2 ) y la derivada total = mga sin ωt, dt mga con f = − cos ωt. ω La ecuaci´ on de Lagrange para θ es   ∂L d ∂L − = 0. (1.280) dt ∂ θ˙ ∂θ donde ∂L = ∂θ ∂L = θ˙  ∂ d ∂L = dt ∂ θ˙

maωlθ˙ cos(θ − ωt) − mgl sin θ, ml2 θ˙ + maωl sin(θ − ωt), ml2 θ¨ + maωl(θ˙ − ω) cos(θ − ωt).

Sustituyendo en la ecuaci´on de Lagrange para θ, obtenemos l2 θ¨ + aωlθ˙ cos(θ − ωt) − aω 2 l cos(θ − ωt) − aωlθ˙ cos(θ − ωt) + gl sin θ = 0, (1.281) lo cual queda como g aω 2 cos(θ − ωt) + sin θ = 0. θ¨ − l l

(1.282)

Note que si ω = 0, la Ec. (1.282) corresponde a la ecuaci´on de movimiento de un p´endulo simple. La Ec. (1.282) describe el movimento de un p´endulo simple sujeto a una fuerza peri´ odica. La energ´ıa total E = T + V no se conserva en este sistema, puesto que ∂V ∂t 6= 0; se requiere un suministro externo de energ´ıa para mantener girando el soporte del p´endulo con velocidad angular ω constante. 10. P´endulo de resorte.

Figura 1.41: P´endulo de resorte.

CAP´ITULO 1. ECUACIONES DE MOVIMIENTO

60

El movimiento de la part´ıcula ocurre en el plano vertical (x, y). Definimos k como la constante del resorte, l es la longitud del resorte en reposo (en ausencia de la masa m), y r es la longitud del resorte con la masa m. Las coordenadas generalizadas son q1 = r y q2 = θ. Entonces, x= y= x˙ = y˙ =

r sin θ −r cos θ, rθ˙ cos θ + r˙ sin θ rθ˙ sin θ − r˙ cos θ.

(1.283)

1 1 m(x˙ 2 + y˙ 2 ) = m(r˙ 2 + r2 θ˙2 ). 2 2

(1.284)

1 k(r − l)2 − mgr cos θ. 2

(1.285)

La energ´ıa cin´etica es T = La energ´ıa potencial es V = Entonces, el Lagrangiano es L=T −V =

1 1 m(r˙ 2 + r2 θ˙2 ) − k(r − l)2 + mgr cos θ. 2 2

La ecuaci´ on de Lagrange para θ es   d ∂L ∂L = 0, − ˙ dt ∂ θ ∂θ

(1.286)

(1.287)

la cual se puede escribir como rθ¨ + 2r˙ θ˙ + g sin θ = 0. La ecuaci´ on de Lagrange para r es   d ∂L ∂L − = 0, dt ∂ r˙ ∂r

(1.288)

(1.289)

que da como resultado, k r¨ − rθ˙2 + (r − l) − g cos θ = 0. m

(1.290)

Las ecuaciones de movimiento para las coordenadas θ y r del p´endulo de resorte est´ an acopladas y son no lineales. Este sistema exhibe comportamiento ca´otico para ciertos valores de sus par´ ametros (Cap. 2).

1.7. ECUACIONES DE LAGRANGE PARA VARIOS SISTEMAS

61

11. El soporte de un p´endulo plano de masa m y longitud l rota sin fricci´on con velocidad angular uniforme ω alrededor del eje vertical z. a) Encontrar la ecuaci´ on de movimiento del p´endulo. b) Encontrar el ´ angulo de equilibrio del p´endulo.

Figura 1.42: P´endulo con soporte giratorio. a) La coordenada generalizada es q = θ. Para encontrar la ecuaci´on de movimiento, expresamos x = l sin θ cos ωt, y = l sin θ sin ωt, (1.291) z = −l cos θ, y las velocidades x˙ = lθ˙ cos θ cos ωt − lω sin θ sin ωt y˙ = lθ˙ cos θ sin ωt + lω sin θ cos ωt z˙ = lθ˙ sin θ.

(1.292)

La energ´ıa cin´etica es T =

 
1 1 m x˙ 2 + y˙ 2 + z˙ 2 = ml2 θ˙2 + ω 2 sin2 θ . 2 2

(1.293)

La energ´ıa potencial correspondiente es V = mgz = −mgl cos θ.

(1.294)

El Lagrangiano es L=T −V =

 1 2  ˙2 ml θ + ω 2 sin2 θ + mgl cos θ . 2

La ecuaci´ on de Lagrange para θ es   d ∂L ∂L − = 0, dt ∂ θ˙ ∂θ la cual resulta en

g θ¨ − ω 2 sin θ cos θ + sin θ = 0 . l

(1.295)

(1.296)

(1.297)

CAP´ITULO 1. ECUACIONES DE MOVIMIENTO

62

b) En un punto de equilibrio, la fuerza neta sobre la part´ıcula se anula y la aceleraci´ on se hace cero. El a´ngulo de equilibrio θo del p´endulo est´a dado por la condici´on θ¨ = 0 en la ecuaci´ on de movimiento, g (1.298) θ¨ = 0 ⇒ ω 2 sin θo cos θo = sin θo l Hay dos posibles soluciones, sin θo = 0 ⇒ θo = 0,  g  g . ω cos θ0 = ⇒ θo = cos−1 l ω2 l 2

(1.299) (1.300)

12. Regulador volante.

Figura 1.43: Regulador volante.

El punto O en extremo superior est´a fijo. La longitud a de las varillas es constante. La masa m2 se mueve sin fricci´ on sobre el eje vertical y que pasa por el punto O, mientras que las masas dos masas m1 giran con velocidad angular constante ω alrededor del eje y. Las coordenadas para m2 son x2 = 0, y2 = −2a cos θ, z2 = 0.

(1.301)

Las coordenadas para una de las masas m1 son y1 = −a cos θ, x1 = a sin θ sin ωt, z1 = a sin θ cos ωt.

(1.302)

Coordenadas para la otra masa m1 , y10 = y1 , x01 = −x1 , z10 = −z1 .

(1.303)

1.7. ECUACIONES DE LAGRANGE PARA VARIOS SISTEMAS

63

Hay un solo grado de libertad. Se puede tomar la coordenada generalizada q = θ. Tenemos, 1 1 2m1 (x˙ 21 + y˙ 12 + z˙12 ) + m2 y˙ 22 = m1 (a2 θ˙2 + ω 2 a2 sin2 θ) + 2m2 a2 θ˙2 sin2 θ. 2 2 V = 2m1 gy1 + m2 gy2 = −2m1 ga cos θ − 2m2 ga cos θ. L = T − V = m1 (a2 θ˙2 + ω 2 a2 sin2 θ) + 2m2 a2 θ˙2 sin2 θ + 2(m1 + m2 )ga cos θ. T

=

La ecuaci´ on de Lagrange para θ es   d ∂L ∂L − = 0, ˙ dt ∂ θ ∂θ

(1.304)

donde ∂L = θ˙  ∂ d ∂l = dt ∂ θ˙ ∂L = ∂θ

2m1 a2 θ˙ + 4m2 a2 θ˙ sin2 θ, 2m1 a2 θ¨ + 4m2 a2 (θ¨ sin2 θ + 2θ˙2 sin θ cos θ), 2m1 ω 2 a2 sin θ cos θ + 4m2 a2 θ˙2 sin θ cos θ − 2(m1 + m2 )ga sin θ,

Sustituyendo en la ecuaci´on de Lagrange, obtenemos ¨ 2 (m1 + 2m2 sin2 θ) + 4m2 a2 θ˙2 sin θ cos θ 2θa −2m1 ω 2 a2 sin θ cos θ + 2(m1 + m2 )ga sin θ = 0,

(1.305)

Note que si ω = 0 y m2 = 0, la ecuaci´on se reduce a g θ¨ + sin θ = 0, a que es la ecuaci´ on de un p´endulo simple.

(1.306)

CAP´ITULO 1. ECUACIONES DE MOVIMIENTO

64

1.8.

Problemas

1. El principio de Fermat establece que la propagaci´on de la luz entre dos puntos dados en un medio sigue la trayectoria de m´ınimo tiempo. Determine la trayectoria de un rayo de luz dentro de un disco cristalino de radio a, grosor despreciable, y cuyo ´ındice de refracci´ on n var´ıa radialmente como a) n(r) = a/r. b) n(r) = a/r2 . c) Encuentre n(r) tal que un rayo de luz dentro de este disco describa una trayectoria circular. 2. Calcule la trayectoria que da la distancia m´as corta entre dos puntos sobre la superficie de un cono invertido, con ´ angulo de v´ertice α. Use coordenadas cil´ındricas.

3. Determine la curva y(x), tal que y(0) = 0, y(π/2) = 1, para la cual alcanza su valor  R π/2  0 2 extremo la integral I = 0 (y ) − y 2 dx. 4. Calcule el valor m´ınimo de la integral Z 1  0 2  I= (y ) + 12xy dx, 0

donde la funci´ on y(x) satisface y(0) = 0 y y(1) = 1. 5. En los p´ aramos andinos se encuentra el pueblo A y, a una distancia de 2π Km al este de A, est´ a el pueblo B. El terreno entre estos dos pueblos es monta˜ noso y no hay carreteras asfaltadas. Sin embargo, la experiencia ha indicado que la velocidad de un ciclista en bicicleta monta˜ nera en esa zona se puede expresar aproximadamente como v = 10(Km/h) ey/3 , donde y es la distancia en Km medida perpendicularmente a la l´ınea recta que une A y B. ¿Cu´ al es el m´ınimo tiempo que tardar´ıa un ciclista entre los pueblos A y B?. 6. La forma adoptada por una cuerda de densidad uniforme ρ que cuelga suspendida entre dos puntos en un campo gravitacional corresponde al m´ınimo de su energ´ıa potencial. Determine esa forma. 7. Encuentre la geod´esica (i.e. la trayectoria de menor distancia) entre los puntos P1 = (a, 0, 0) y P2 = (−a, 0, π) sobre la superficie x2 + y 2 − a2 = 0. Use coordenadas cil´ındricas.

1.8. PROBLEMAS

65

8. Un cuerpo se deja caer desde una altura h y alcanza el suelo en un tiempo T . La ecuaci´ on de movimiento concebiblemente podr´ıa tener cualquiera de las formas y = h − g1 t,

1 y = h − g2 t2 , 2

1 y = h − g3 t3 ; 4

donde g1 , g2 , g3 son constantes apropiadas. Demuestre que la forma correcta es aquella que produce el m´ınimo valor de la acci´on. 9. El Lagrangiano de una part´ıcula de masa m es L=

m2 x˙ 4 + mx˙ 2 f (x) − f 2 (x), 12

donde f (x) es una funci´ on diferenciable de x. Encuentre la ecuaci´on de movimiento. 10. Encuentre la ecuaci´ on de movimiento de un p´endulo param´etrico, el cual consiste en un p´endulo de masa m cuya longitud se hace variar de la forma l = lo (1 + b sin ωt). 11. Una varilla de peso despreciable est´a suspendida de un extremo, de modo que puede oscilar en un plano vertical. Una part´ıcula de masa m se desliza sin fricci´on a lo largo de la varilla. a) Encuentre la energ´ıa de la part´ıcula. b) Obtenga las ecuaciones de movimiento de la part´ıcula. 12. Una part´ıcula de masa m se mueve sin fricci´on sobre un aro de radio R, el cual gira con velocidad angular uniforme ω alrededor de su di´ametro vertical. a) Derive la ecuaci´ on de movimiento de la part´ıcula. b) Encuentre la posici´ on de equilibrio de la part´ıcula. 13. Una part´ıcula de masa m se desliza sin fricci´on sobre un aro de radio a, el cual rota con velocidad angular constante ω alrededor de su di´ametro horizontal. ¿Cu´al es la ecuaci´ on de movimiento de la part´ıcula?.

14. Obtenga las ecuaciones de movimiento de un p´endulo esf´erico, es decir, una part´ıcula de masa m suspendida de una varilla r´ıgida, sin peso y sin fricci´on, cuya longitud es l 15. Un aro de radio R y masa despreciable cuelga de un punto de su borde de modo que puede oscilar en su plano vertical. Una part´ıcula de masa m se desliza sin fricci´on sobre el aro. Encuentre las ecuaciones de movimiento de la part´ıcula.

66

CAP´ITULO 1. ECUACIONES DE MOVIMIENTO

16. Un p´endulo compuesto est´ a formado por una varilla de masa despreciable y longitud l, con un extremo fijo y el otro conectado al punto medio de una segunda varilla sin masa de longitud a, (a < l), en cuyos extremos hay dos masas m1 y m2 . Las varillas pueden rotar sin fricci´ on en un mismo plano vertical. Encuentre las ecuaciones de movimiento de este sistema.

17. Un sistema consiste en una part´ıcula de masa m que se mueve verticalmente colgada de un resorte de constante k y de la cual cuelga a su vez un p´endulo de longitud l y masa m. Desprecie la masa de la varilla del p´endulo y considere que ´este se mueve en un plano vertical. Encuentre las ecuaciones de movimiento del sistema. 18. Encuentre la ecuaci´ on de movimiento para el par´ametro angular θ en el problema de la braquistocrona. 19. Una manera de simular gravedad en una nave espacial es mediante rotaci´on. Considere un p´endulo de longitud l y masa m dentro de una nave, y cuyo soporte gira en un c´ırculo de radio R con velocidad angular constante ω en el mismo plano del p´endulo. Calcule ω tal que el ´ angulo θ con respecto a la direcci´on radial describa el mismo movimiento que tendr´ıa este p´endulo colgado verticalmente de un punto fijo en el campo gravitacional terrestre.

20. Una part´ıcula de masa m y carga q1 se mueve sin fricci´on sobre la superficie de una esfera de radio R en el campo gravitacional terrestre. Otra carga q2 se encuentra fija en el punto m´ as bajo de la esfera. a) Encuentre las ecuaciones de movimiento de la primera carga. b) Encuentre la posici´ on de equilibrio de la primera carga.

1.8. PROBLEMAS

67

21. Una masa m unida a una cuerda se mueve sin fricci´on sobre una mesa tal que el otro extremo de la cuerda pasa a trav´es de un agujero en la mesa y est´a halado por alguien. Inicialmente, la masa se mueve en un c´ırculo, con energ´ıa E. La cuerda es halada a continuaci´ on, hasta que el radio del c´ırculo se reduce a la mitad. ¿Cu´anto trabajo se hizo sobre la masa?.

22. Una cuerda de masa despreciable pasa a trav´es una polea fija y soporta una masa 2m en un extremo. En el otro extremo de la cuerda se encuentra una masa m y, colgando de ´esta por medio de un resorte de constante k, hay otra masa m. a) Encuentre las ecuaciones de movimiento del sistema. b) Encuentre la posici´ on de la masa que cuelga del resorte en funci´on del tiempo.

23. Una part´ıcula de masa m1 cuelga de una varilla de masa despreciable y longitud l, cuyo punto de soporte consiste en otra part´ıcula de masa m2 que se mueve horizontalmente sujeta a dos resortes de constante k cada uno. Encuentre las ecuaciones de movimiento.

68

CAP´ITULO 1. ECUACIONES DE MOVIMIENTO

24. Un aro uniforme de radio a y masa m rueda sin deslizar dentro de un cilindro fijo de radio R, (R > a). Encuentre el per´ıodo para peque˜ nas oscilaciones del aro. 25. Dos masas, m1 y m2 , est´ an conectadas por una cuerda de longitud l a trav´es de un agujero en el v´ertice de un cono vertical con ´angulo de v´ertice α, de manera que m1 se mueve sobre la superficie interior del cono y m2 cuelga verticalmente. Desprecie la fricci´ on. a) Determine las ecuaciones de movimiento del sistema. b) Calcule el radio de equilibrio de m1 . 26. Una part´ıcula de masa m est´ a atada a una cuerda de masa despreciable fija a un cilindro de radio R. La part´ıcula se puede mover sobre un plano horizontal sin fricci´on. Inicialmente, la cuerda se encuentra totalmente enrollada alrededor del cilindro, de modo que la part´ıcula toca al cilindro. Se le da un impulso radial a la part´ıcula, tal que ´esta adquiere una velocidad inicial v0 y la cuerda comienza a desenrollarse. a) Encuentre la ecuaci´ on de movimiento en t´erminos de una coordenada generalizada apropiada. b) Encuentre la soluci´ on que satisface las condiciones iniciales. c) Calcule el momento angular de la part´ıcula con respecto al eje del cilindro, usando el resultado de (b).

27. Encuentre la ecuaci´ on de movimiento de una part´ıcula de masa m que se mueve en la dimensi´ on x, cuyo Lagrangiano es L=

1 m(x˙ 2 − ω 2 x2 )eγt , 2

(1.307)

donde las constantes γ y ω son cantidades reales y positivas. ¿Qu´e sistema describe la ecuaci´ on de movimiento?. 28. Una part´ıcula de masa m y carga q se desliza sin fricci´on sobre una varilla de masa despreciable que puede girar en un plano vertical alrededor de un extremo fijo. En el extremo fijo de la varilla hay una carga puntual fija −q, la cual est´a conectada a la part´ıcula m´ ovil mediante un resorte de constante k. a) Encuentre las ecuaciones de movimiento de la part´ıcula. b) Calcule la energ´ıa del sistema.

1.8. PROBLEMAS

69

29. Considere un p´endulo muy largo de longitud L, del cual cuelga una masa m que apenas toca la superficie terreste y que se mueve en un plano fijo. Desprecie el movimiento de la Tierra y asuma ´esta como una esfera uniforme de radio RT . a) Encuentre la ecuaci´ on de movimiento del p´endulo sin suponer que L es peque˜ no con respecto a RT . b) Encuentre la ecuaci´ on de movimiento si L  RT .

30. Una part´ıcula de masa m se desliza sin fricci´on por un cable recto muy largo, el cual est´ a conectado en un punto P perpendicularmente a una varilla de longitud l, formando un plano vertical en el campo gravitacional terrestre. La varilla gira con respecto a su otro extremo fijo O en el plano vertical, con velocidad angular constante ω. Las masas de la varilla y del cable son despreciales. a) ¿Se conserva la energ´ıa mec´anica de la part´ıcula?. b) Encuentre y resuelva la ecuaci´on de movimiento de la part´ıcula.

70

CAP´ITULO 1. ECUACIONES DE MOVIMIENTO

Cap´ıtulo 2

Leyes de conservaci´ on y simetr´ıas 2.1.

Momento conjugado

Dado un sistema caracterizado por un Lagrangiano L(qj , q˙j , t), se define la cantidad pj ≡

∂L ∂ q˙j

(2.1)

como el momento conjugado (o can´onico) asociado a la coordenada generalizada qj . La cantidad pj no tiene necesariamente unidades de momento lineal; puede tambi´en corresponder a momento angular u a otras cantidades. Si un Lagrangiano L de un sistema no contiene expl´ıcitamente una coordenada qj (puede contener q˙j , t), se dice que qj es una coordenada c´ıclica o ignorable. Si qj es c´ıclica, entonces ∂L = 0, (2.2) ∂qj y la ecuaci´ on de Lagrange para una coordenada c´ıclica qj resulta en   d ∂L dpj = = 0, dt ∂ q˙j dt ⇒ pj = cte.

(2.3) (2.4)

Es decir, el momento conjugado pj asociado a una coordenada ciclica qj es constante. Luego, la cantidad pj = cte constituye una cantidad conservada, llamada tambi´en una primera integral del movimiento. En general, si el Lagrangiano de un sistema no depende expl´ıcitamente de una coordenada que representa un desplazamiento en una direcci´on espacial dada, la componente del momento lineal correspondiente a esa direcci´on se conserva. 71

´ Y SIMETR´IAS CAP´ITULO 2. LEYES DE CONSERVACION

72

Similarmente, si un sistema posee un eje de simetr´ıa rotacional, o simetr´ıa axial, entonces su Lagrangiano no depende expl´ıcitamente de la coordenada que describe el angulo de rotaci´ ´ on alrededor de ese eje. Como consecuencia, la componente del momento angular del sistema correspondiente a ese eje, se conserva.

Ejemplo. 1. Part´ıcula sobre un cono invertido. Vimos en el Cap. 1 que el Lagrangiano de este sistema es L(r, ϕ, r, ˙ ϕ, ˙ t) =

1 m(r˙ 2 csc2 α + r2 ϕ˙ 2 ) − mgr cot α. 2

(2.5)

La coordenada ϕ, que representa el ´angulo de rotaci´on alrededor del eje z, es c´ıclica, ∂L ∂L = 0 ⇒ pϕ = = mr2 ϕ˙ = cte. ∂ϕ ∂ ϕ˙

(2.6)

El momento conjugado pϕ asociado con la coordenada angular ϕ es constante. Para identificar la cantidad pϕ , consideremos el momento angular de la part´ıcula, i j k l = r × mv = m x y z . (2.7) x˙ y˙ z˙ La componente z de l es lz = m(xy˙ − y x). ˙

(2.8)

En t´erminos de las coordenadas generalizadas r y ϕ, x = r cos ϕ, x˙ = r˙ cos ϕ − rϕ˙ sin ϕ, y = r sin ϕ, y˙ = r˙ sin ϕ + rϕ˙ cos ϕ.

(2.9)

Sustituyendo en la Ec. (2.8), podemos expresar lz = mr2 ϕ˙ ≡ pϕ .

(2.10)

La cantidad conservada pϕ es la componente z del momento angular de la part´ıcula.

2.2.

Teorema de Noether

Vimos en el Cap. 1 que las ecuaciones de movimiento son invariantes si el Lagrangiano de un sistema se transforma mediante la adici´on de una derivada total de alguna funci´on f (qj , t) dependiente solamente de las coordenadas y del tiempo.

2.2. TEOREMA DE NOETHER

73

En efecto, sea Z

t2

S=

L dt

(2.11)

t1

la acci´ on correspondiente a un Lagrangiano L. Consideremos la transformaci´on L0 = L + La acci´ on asociada con L0 es Z t2 Z S0 = L0 dt = =

df (qj , t) . dt

t2

t2

(2.12)



 df dt dt t1 t1 t1 S + [f (qj (t2 ), t2 ) − f (qj (t1 ), t1 )] = S + cte. Z

L dt +

(2.13)

Entonces, δS = δS 0 .

(2.14)

El principio de m´ınima acci´ on implica δS = δS 0 = 0. Luego, las ecuaciones de Lagrange derivadas de este principio usando L o L0 , tienen la misma forma; es decir, son invariantes ante la transformaci´ on (2.12). Una transformaci´ on infinitesimal del Lagrangiano L → L0 = L + δL que no modifica las ecuaciones de movimiento representa una simetr´ıa del sistema (tambi´en llamada simetr´ıa de la acci´ on). Se dice que la acci´on es invariante bajo tal transformaci´on. Teorema de Noether en Mec´ anica Cl´ asica. Si la acci´ on de un sistema con Lagrangiano L(qj , q˙j , t) es invariante bajo la transformaci´ on infinitesimal de coordenadas qj0 = qj + δqj que cambia el Lagrangiano a L0 = L + δL, tal que δL = f (qj , t), entonces la cantidad J=

df (qj ,t) , dt

para alguna funci´on

s X ∂L δqj − f ∂ q˙j j=1

(2.15)

constituye una cantidad conservada asociada a esa transformaci´on. La funci´ on J se denomina corriente de Noether. Demostraci´ on: La transformaci´ on qj0 = qj + δqj (donde t es fijo, δt = 0) produce la siguiente variaci´ on δL en el Lagrangiano L(qj , q˙j , t), δL(qj , q˙j , t) =

s s X X ∂L ∂L δqj + δ q˙j . ∂q ∂ q˙j j j=1 j=1

(2.16)

74

´ Y SIMETR´IAS CAP´ITULO 2. LEYES DE CONSERVACION Usando las ecuaciones de Lagrange, tenemos   s s X X d ∂L ∂L d δqj + (δqj ) dt ∂ q ˙ ∂ q˙j dt j j=1 j=1   s d X ∂L = δqj  . dt j=1 ∂ q˙j

δL =

Seg´ un el teorema, la variaci´ on δL se puede escribir δL =   s d X ∂L df (qj , t) δqj  = dt j=1 ∂ q˙j dt   s X ∂L δqj − f  ⇒J ≡ ∂ q ˙ j j=1

(2.17)

df (qj , t) ; luego dt 

⇒

 s d X ∂L δqj − f  = 0 dt j=1 ∂ q˙j

=

cte.



(2.18)

El Teorema de Noether establece que a cada simetr´ıa que posee un sistema, le corresponde una cantidad conservada. Las simetr´ıas y sus cantidades conservadas asociadas permiten conocer propiedades de un sistema y hacer predicciones sobre el comportamiento del mismo, sin necesidad de obtener soluciones exactas de las ecuaciones de movimiento del sistema (las cuales pueden ser dificiles de encontrar en muchos casos). Las ecuaciones de movimiento son ecuaciones diferenciales de segundo orden en el tiempo para las qj , mientras que las cantidades conservadas J contienen derivadas de primer orden para las qj , en principio posibles de resolver si existen suficientes simetr´ıas en el sistema.

Figura 2.1: Emily Noether (1882-1935).

El Teorema de Noether se extiende tambi´en a Mec´anica Cu´antica, Electromagnetismo, Teor´ıas de Campos, etc., y tiene una importancia fundamental en la F´ısica.

2.2. TEOREMA DE NOETHER

75

Ejemplos. ∂L = 1. Supongamos que la coordenada qi es c´ıclica para un Lagrangiano L; es decir, ∂q i 0 0 0. Entonces, la transformaci´on de coordenadas qi = qi +δqi , con δqi = cte, y qj = qj , δqj = 0, para i 6= j, no produce cambios en el Lagrangiano,

0 X ∂L X ∂L 0 7  ∂L > δL = δ q˙ =  δqi = 0. δqj + j ∂qj ∂ q˙j  ∂qi j j

(2.19)

Expresamos df = 0 ⇒ f = c = cte. dt La corriente de Noether conservada J es X ∂L J = δqj − f = cte ∂ q˙j j δL =

⇒ ⇒

∂L δqi − c = cte, ∂ q˙i ∂L ≡ pi = cte. ∂ q˙i

(2.20)

(2.21)

Luego, el momento conjugado pi asociado a la coordenada c´ıclica qi es constante. 2. El Lagrangiano de una part´ıcula en movimiento vertical en el campo gravitacional terrestre es 1 L = my˙ 2 − mgy. (2.22) 2 0 Consideremos la transformaci´on de coordenadas y = y + δy, con δy = cte. El correspondiente cambio en L es δL =

0 ∂L ∂L δy + δ y˙ = −mg δy. ∂y ∂ y˙

(2.23)

Escribimos

df = −mg δy dt Entonces, la cantidad conservada J es δL =

J

⇒

f = −mgt δy.

(2.24)

∂L δy − f = cte ∂ y˙ ⇒ my˙ δy + mgt δy = cte, =

⇒ y˙ + gt = cte.

(2.25)

La transformaci´ on de coordenadas empleada equivale a sumar una constante a la energ´ıa potencial, y deja invariante la ecuaci´on de movimiento de la part´ıcula.

76

2.3.

´ Y SIMETR´IAS CAP´ITULO 2. LEYES DE CONSERVACION

Homogeneidad del espacio y conservaci´ on del momento lineal

Como una aplicaci´ on del Teorema de Noether, demostraremos la relaci´on entre la conservaci´ on del momento lineal y la homogeneidad del espacio; es decir, la simetr´ıa de traslaci´ on en un sistema. Homogenidad del espacio significa que las propiedades mec´anicas de un sistema no cambian si todo el sistema es desplazado en una direcci´on arbitraria del espacio. Consideremos un sistema de N part´ıculas con posiciones rα = (x1 (α), x2 (α), x3 (α)), α = 1, . . . , N , caracterizado por el Lagrangiano L(rα , r˙ α , t). Supongamos la transformaci´ on de coordenadas r0α = rα + δr, donde δr = (δx1 , δx2 , δx3 ) es un vector infinitesimal cuyas componentes δxj son constantes; i. e., δ r˙ = 0. Esta transformaci´on corresponde a una translaci´ on infinitesimal del sistema en una direcci´on arbitraria del espacio.

Figura 2.2: Translaci´on espacial infinitesimal.

La homogeneidad del espacio implica que esta transformaci´on infinitesimal no introduce cambios en el Lagrangiano del sistema; es decir, δL = 0. Entonces, la cantidad conservada J, de acuerdo al teorema de Noether, es J

=

3 XX α j=1

⇒

3 XX α j=1

∂L δxj − f ∂ x˙ j (α) ∂L δxj = cte ∂ x˙ j (α)

X ∂L ⇒ · δr = cte, ∂ r˙ α α puesto que f y J son constantes, y donde hemos definido   ∂L ∂L ∂L ∂L ≡ , , . ∂ r˙ α ∂ x˙ 1 (α) ∂ x˙ 2 (α) ∂ x˙ 3 (α)

(2.26)

(2.27)

´ DEL MOMENTO LINEAL77 2.3. HOMOGENEIDAD DEL ESPACIO Y CONSERVACION Puesto que δr es constante, la Ec. (2.26) implica que la cantidad vectorial X ∂L PT ≡ = cte. ∂ r˙ α α

(2.28)

La cantidad PT es el momento lineal total del sistema. Para ver esto, consideremos el Lagrangiano de un sistema cuya energ´ıa potencial depende solamente de las coordenadas, 1X mα r˙ 2α − V (rα ). (2.29) L= 2 α Entonces, PT =

X ∂L X X = mα r˙ = mα vα . ∂ r˙ α α α α

(2.30)

Note que el momento lineal de una part´ıcula puede escribirse como pα = mα vα =

∂L . ∂ r˙ α

(2.31)

Luego, la Ec. (2.28) expresa la conservaci´on del momento total PT de un sistema debido a la homogeneidad del espacio. En un sistema donde existe simetr´ıa translacional en una direcci´ on espacial espec´ıfica, la componente del momento lineal del sistema en esa direcci´ on se conserva.

Ejemplo. P3 1. Consideremos una part´ıcula libre cuyo Lagrangiano es L = 12 m i=1 x˙ 2i . La variaci´ on de L bajo una transformaci´on infinitesimal de traslaci´on es 0 3 3 0 X X 7 ∂L  ∂L δL = δx˙>  δxi + i = 0. ∂x ∂ x˙ i i=1 i=1  i Esta variaci´ on puede ponerse en la forma δL = constante. La cantidad conservada J es J

=

⇒

df (qj ,t) dt

(2.32)

si escogemos f igual a una

3 X ∂L δxj − f = cte ∂ x˙ j j=1 3 X

mx˙ j δxj = cte.

(2.33)

j=1

Puesto que los δxj son constantes arbitrarias, la Ec. (2.33) implica que cada t´ermino en la suma es constante, mx˙ j ≡ pj = cte , ∀j. (2.34)

78

2.4.

´ Y SIMETR´IAS CAP´ITULO 2. LEYES DE CONSERVACION

Isotrop´ıa del espacio y conservaci´ on del momento angular

Isotrop´ıa espacial significa que las propiedades mec´anicas de un sistema no var´ıan cuando ´este es rotado en el espacio. El Teorema de Noether permite demostrar la relaci´on entre la isotrop´ıa del espacio y la conservaci´on del momento angular de un sistema.

Figura 2.3: Rotaci´on infinitesimal δϕ del vector r. Consideremos una part´ıcula en la posici´on r = (x, y, z) con origen en O. Supongamos una rotaci´ on infinitesimal del vector r alrededor de un eje que pasa por O, manteniendo su magnitud fija. Sea δϕ la magnitud constante del ´angulo rotado y cuya direcci´on de rotaci´ on δϕ sobre el eje est´ a definida por la regla de la mano derecha. El vector de posici´ on de la part´ıcula transformado por la rotaci´on infinitesimal es r0 = r + δr,

(2.35)

donde el vector δr tiene direcci´ on perpendicular al plano (r, δϕ) y magnitud δr = r sin θ δϕ, y donde θ es el a ´ngulo entre δϕ y r. Luego, se puede expresar δr = δϕ × r .

(2.36)

Consideremos un sistema de N part´ıculas con posiciones rα , α = 1, . . . , N , sujeto a una rotaci´ on infinitesimal δϕ. El cambio en el vector de posici´on de la part´ıcula α es δrα = δϕ × rα . La isotrop´ıa del espacio implica que esta transformaci´on infinitesimal no introduce cambios en el Lagrangiano del sistema; i. e., δL = 0. Expresando δL = df dt , obtenemos f = cte. Entonces, el teorema de Noether establece que J

=

3 XX α j=1

⇒

3 XX α j=1

∂L δxj (α) − f = cte ∂ x˙ j (α) ∂L δxj (α) = cte ∂ x˙ j (α)

X ∂L ⇒ · δrα = cte. ∂ r˙ α α

(2.37)

´ DEL MOMENTO ANGULAR79 2.4. ISOTROP´IA DEL ESPACIO Y CONSERVACION Sustituyendo pα = ∂∂L r˙ α y δrα = δϕ × rα , podemos escribir la Ec. (2.37) como X X X pα · (δϕ × rα ) = δϕ · (rα × pα ) = δϕ · rα × pα = cte, α

α

(2.38)

α

donde hemos usado la identidad vectorial: a · b × c = b · c × a. Puesto que el vector δϕ es constante, la Ec. (2.38) implica que X lT ≡ rα × pα = cte. (2.39) α

La cantidad vectorial lT es el momento angular total del sistema, y la Ec. (2.39) expresa su conservaci´ on si el sistema posee isotrop´ıa espacial. En general, si un sistema posee simetr´ıa rotacional alrededor de un eje (simetr´ıa axial), se conserva la componente del momento angular en la direcci´on de ese eje. Ejemplo. ˆ alrededor del eje z. Entonces 1. Consideremos una rotaci´on infinitesimal δϕ = δϕ z δr = δϕ × r, con r = (x, y, z), posee componentes δx = −y δϕ, δy = x δϕ,

δ x˙ = −y˙ δϕ δ y˙ = x˙ δϕ.

(2.40)

Consideremos un oscilador arm´onico bidimensional, que consiste en una part´ıcula de masa m movi´endose sobre el plano (x, y) sin fricci´on, sujeta a la fuerza de un resorte de constante k. El Lagrangiano puede escribirse como
1 1 L = m x˙ 2 + y˙ 2 − k(x2 + y 2 ). (2.41) 2 2 La variaci´ on de L bajo esta transformaci´on infinitesimal de rotaci´on resulta en X ∂L X ∂L δL = δxi + δ x˙ i ∂xi ∂ x˙ i i i = kxy δϕ − yx δϕ − mx˙ y˙ δϕ + my˙ x˙ δϕ = 0. La condici´ on δL = J

(2.42)

df (qj ,t) dt

implica que f = cte = c. La cantidad conservada J es X ∂L = δxj − f = m(−y x˙ + xy)δϕ ˙ − c = cte. (2.43) ∂ x˙ j j

Puesto que δϕ = cte, tenemos m(xy˙ − y x) ˙ ≡ lz = cte.

(2.44)

La componente del momento angular en la direcci´on z es constante. En coordenadas polares, L = 21 m(r˙ 2 + r2 ϕ˙ 2 ) + 12 kr2 , y la coordenada ϕ es c´ıclica. Entonces, ∂L ∂L = 0 ⇒ pϕ = = mr2 ϕ˙ ≡ lz = cte. ∂ϕ ∂ ϕ˙

(2.45)

80

2.5.

´ Y SIMETR´IAS CAP´ITULO 2. LEYES DE CONSERVACION

Homogeneidad del tiempo y conservaci´ on de la energ´ıa

Homogeneidad del tiempo significa que las propiedades mec´anicas de un sistema no dependen del intervalo de tiempo en el cual se observen. Esta simetr´ıa est´a relacionada con la conservaci´ on de energ´ıa. En un sistema homog´eneo en el tiempo, el Lagrangiano L no depende expl´ıcitamente de t; es decir L = L(qj , q˙j ). Luego ∂L ∂t = 0. Calculemos el cambio total de L con respecto al tiempo en tal sistema: 0  s  7 ∂L dL X ∂L ∂L = q˙j + q¨j +  . (2.46) dt ∂qj ∂ q˙j ∂t j=1   d ∂L ∂L = dt Sustituimos la ecuaci´ on de Lagrange, ∂q ∂ q˙j , j  X  d  ∂L  dL ∂L = q˙j + q¨j dt dt ∂ q˙j ∂ q˙j j   X d ∂L = q˙j dt ∂ q˙j j   d X ∂L  q˙j . = (2.47) dt j ∂ q˙j Luego, " # d X ∂L q˙j − L = 0 dt i ∂ q˙j X ∂L q˙j − L = cte. ⇒ ∂ q˙j j Definimos la funci´ on de energ´ıa de un sistema como s X ∂L E(qj , q˙j ) ≡ q˙j − L . ∂ q˙j j=1

(2.48)

(2.49)

Luego, en sistemas homog´eneos en el tiempo, la funci´on de energ´ıa del sistema se conserva. E(qj , q˙j ) = cte.

(2.50)

La funci´ on de energ´ıa se puede calcular para cualquier sistema, pero es constante s´ olo si ∂L = 0. Los sistemas para los cuales E(qj , q˙j ) es constante, se llaman sistemas ∂t conservativos. Para establecer bajo qu´e condiciones la funci´on de energ´ıa es igual a T +V , utilizaremos a continuaci´ on un teorema debido a Euler. En el Cap. 6 veremos que la funci´ on de energ´ıa, expresada en t´erminos de las coordenadas qj y de sus momentos conjugados pj , recibe el nombre de Hamiltoniano del sistema Ps y se designa como H(qj , pj ) ≡ j=1 pj q˙j − L.

´ 2.6. TEOREMA DE EULER PARA LA ENERG´IA CINETICA

2.6.

81

Teorema de Euler para la energ´ıa cin´ etica

Una funci´ on de s variables f (y1 , . . . , ys ) es homog´enea de grado (orden) n si, ∀λ ∈ s), se llama superintegrable. Existen pocos sistemas superintegrables conocidos; el ejemplo m´as simple es una part´ıcula libre; otro ejemplo es el problema de dos cuerpos sujetos a interacci´on gravitacional (Cap. 3).

Ejemplos. Consideremos algunos sistemas estudiados en el Cap. 1: 1. Oscilador arm´ onico simple: s = 1; C1 = E = cte, n = 1; es integrable. 2. P´endulo simple: s = 1; C1 = E = cte, n = 1; es integrable. 3. Part´ıcula sobre un cono: s = 2, C1 = lz = cte, C2 = E = cte, n = 2; es integrable. 4. P´endulo doble: s = 2; C1 = E = cte, n = 1; no es integrable. 5. P´endulo cuyo soporte gira en un c´ırculo con velocidad angular constante: s = 1, n = 0; no es integrable. 6. P´endulo de resorte: s = 2; C1 = E = cte, n = 1; no es integrable. 7. Part´ıcula libre es superintegrable: s = 1; n = 2: C1 = E = cte, C2 = p = cte.

´ Y SIMETR´IAS CAP´ITULO 2. LEYES DE CONSERVACION

88

La integrabilidad puede ser considerada como un tipo de simetr´ıa presente en varios sistemas din´ amicos, y que conduce a soluciones con comportamiento regular (peri´odico o estacionario) en el tiempo. Sin embargo, la existencia de integrabilidad no es lo m´as com´ un; muchos sistemas din´ amicos no son integrables. Un sistema no integrable puede exhibir comportamiento ca´ otico para alg´ un rango de valores de sus par´ametros. El fen´ omeno de caos consiste en la evoluci´on irregular e impredecible de las variables de un sistema din´ amico determinista debido a la presencia de una extrema sensibilidad ante cambios infinitesimales en las condiciones iniciales de esas variables. La no integrabilidad es una condici´ on necesaria, pero no suficiente, para la existencia de caos en un sistema. Los sistemas con comportamiento ca´otico se caracterizan porque las ecuaciones que rigen su din´ amica poseen funciones no lineales de las variables (una funci´on f (x) es no lineal si f (x + y) 6= f (x) + f (y)). El p´endulo doble constituye un ejemplo de un sistema no lineal y no integrable que exhibe comportamiento ca´ otico. En el Cap. 1 obtuvimos las ecuaciones de Lagrange para los ´ angulos θ1 y θ2 que describen los grados de libertad de este sistema, θ¨1

=

θ¨2

=

g(sin θ2 cos ∆θ − M sin θ1 ) − (l2 θ˙22 + l1 θ˙12 cos ∆θ) sin ∆θ l1 (M − cos2 ∆θ) gM (sin θ1 cos ∆θ − sin θ2 ) − (M l1 θ˙2 + l2 θ˙2 cos ∆θ) sin ∆θ 1

l2 (M − cos2 ∆θ)

2

(2.97) ,

(2.98)

donde ∆θ ≡ θ1 − θ2 , y M ≡ 1 + m1 /m2 .

Figura 2.4: Izquierda: Coordenadas y par´ametros del p´endulo doble. Derecha: Movimiento ca´ otico de la part´ıcula m2 en el espacio.

En el p´endulo doble, dos trayectorias de una misma variable (por ejemplo, θ2 ) que parten de condiciones iniciales arbitrariamente cercanas, no se mantienen cercanas en el tiempo, sino que pueden evolucionar de maneras irregulares y muy diferentes (Fig. (2.5)), a pesar de que las Ecs. (2.97)-(2.98) que rigen la din´amica son deterministas.

´ 2.8. SISTEMAS INTEGRABLES Y SISTEMAS CAOTICOS

89

Figura 2.5: Realizaci´on experimental de caos en un p´endulo doble. Arriba: θ1 vs. t. Abajo: θ2 vs. t. En cada gr´ afica, partiendo del reposo, se muestra la evoluci´ on del ´ angulo a partir de dos condiciones iniciales muy cercanas, ∆θ1 (0) = ∆θ2 (0) = 10−3 .

Un sistema ca´ otico posee una extrema sensibilidad ante cambios infinitesimales en sus condiciones iniciales: una peque˜ na perturbaci´on en las condiciones iniciales de una variable resulta amplificada por la evoluci´on din´amica del sistema, hasta que alcanza un tama˜ no comparable al intervalo de definici´on de la variable. Esto conlleva a limitaciones pr´ acticas en la capacidad de predicci´on del comportamiento de sistemas ca´oticos. Las ecuaciones de movimiento del p´endulo doble, Ecs. (2.97)-(2.98), contienen funciones no lineales de θ1 y θ2 . Si consideramos el l´ımite de peque˜ nas amplitudes de las oscilaciones, θ1 → 0 y θ2 → 0, estas ecuaciones pueden linealizarse usando las aproximaciones sin x ≈ x y cos x ≈ 1, para x → 0, quedando en la forma θ¨1

≈

θ¨2

≈

g(θ2 − M θ1 ) , l1 (M − 1) gM (θ1 − θ2 ) . l2 (M − 1)

(2.99) (2.100)

En este caso no se observa caos; el movimiento del sistema consiste en la superposici´on de dos modos de oscilaci´ on peri´odica con sus correspondientes frecuencias (Cap. 4): un modo en fase (θ1 = θ2 ) y otro modo en fases opuestas (θ1 = −θ2 ). El l´ımite de peque˜ nas amplitudes equivale a valores peque˜ nos de la energ´ıa del sistema. Luego, el comportamiento del p´endulo doble puede ser regular para ciertas condiciones, a pesar de que el sistema es no integrable. Esto ilustra el hecho de que la condici´on de no integrabilidad es necesaria, pero no suficiente, para la existencia de caos en un sistema.

90

´ Y SIMETR´IAS CAP´ITULO 2. LEYES DE CONSERVACION

Otro ejemplo de un sistema no integrable y ca´otico, es el p´endulo de resorte, cuyas ecuaciones de movimiento tambi´en fueron calculadas en el Cap. 1, rθ¨ + 2r˙ θ˙ + g sin θ = 0, (2.101) k r¨ − rθ˙2 + (r − l) − g cos θ = 0. (2.102) m Este sistema exhibe comportamiento ca´otico para ciertos valores de su energ´ıa.

Figura 2.6: Movimiento en el plano (x, y) de la part´ıcula en el p´endulo de resorte, para diferentes valores de su energ´ıa E. Izquierda: comportamiento regular (peri´ odico). Derecha: caos. Note que no se requieren muchas variables (hay solamente dos grados de libertad en el p´endulo doble o en el p´endulo de resorte) para la ocurrencia de caos en un sistema. Se ha descubierto que el caos es un fen´omeno ub´ıcuo en la Naturaleza. Sistemas no lineales f´ısicos, qu´ımicos, bi´ ologicos, fisiol´ogicos, econ´omicos, sociales, etc. presentan comportamiento ca´ otico; el cual se manifiesta con propiedades universales, independientemente del contexto.

2.9.

Movimiento unidimensional

El caso m´ as simple de integrabilidad es un sistema con un s´olo grado de libertad, el cual se denomina sistema unidimensional. El Lagrangiano de un sistema unidimensional con coordenada q tiene la forma general 1 L = T (q˙2 ) − Vef (q) = aq˙2 − Vef (q) , (2.103) 2 donde el factor a representa algunos par´ametros, como masa, etc., y Vef (q) corresponde a un potencial efectivo que contiene t´erminos dependientes de la coordenada q.

2.9. MOVIMIENTO UNIDIMENSIONAL Puesto que

∂L ∂t

91

= 0, la energ´ıa es una cantidad conservada, E

= =

∂L q˙ − L ∂ q˙ 1 2 aq˙ + Vef (q) = cte. 2

(2.104)

Hay un grado de libertad y una cantidad conservada; el sistema es integrable. De la cantidad conservada E, se puede determinar t(q) en t´erminos de una integral expl´ıcita, r 2 dq q˙ = = (E − Vef (q)) (2.105) dt a r Z a dq p + cte. (2.106) t(q) = 2 E − Vef (q) Luego, en principio, se puede invertir t(q) para obtener q(t). Para que la soluci´on q(t) sea real, el movimiento puede ocurrir solamente para valores de q tales que E ≥ Vef (q). La condici´ on de integrabilidad de sistemas unidimensionales permite calcular el per´ıodo de movimientos oscilatorios en esos sistemas. Consideremos un sistema descrito por la coordenada cartesiana q = x y cuya energ´ıa potencial es Vef = V (x). Entonces, a ≡ m. El Lagrangiano del sistema es L = T − V = 21 mx˙ 2 − V (x) y la ecuaci´on de movimiento correspondiente es dV m¨ x=− . (2.107) dx La energ´ıa total es 1 E = mx˙ 2 + V (x) = cte. (2.108) 2 Puesto que 21 mx˙ 2 = E − V (x) ≥ 0, el movimiento s´olo puede ocurrir para valores de x tal que E ≥ V (x). En la Fig. (2.7), esto corresponde a las regiones x ∈ [x1 , x2 ]; x ≥ x3 .

Figura 2.7: Energ´ıa potencial de un sistema unidimensional con energ´ıa constante E. Movimiento puede ocurrir en los intervalos marcados en gris sobre el eje x. El punto xo es un punto de equilibrio estable; mientras que x0o es un punto de equilibrio inestable.

´ Y SIMETR´IAS CAP´ITULO 2. LEYES DE CONSERVACION

92

Los puntos de retorno (o estacionarios) son aquellos donde la velocidad instant´anea es cero, es decir, x˙ = 0. La Ec. (2.106) implica que los puntos de retorno corresponden a los valores de x tales que V (x) = E. En la Fig. (2.7), x1 , x2 y x3 son puntos de retorno, dados por: V (x1 ) = E, V (x2 ) = E, V (x3 ) = E. Los puntos de equilibrio x = xo son aquellos donde la fuerza instant´anea se anula, dV = 0, (2.109) f (xo ) = 0 ⇒ dx xo o equivalentemente, donde la aceleraci´ on es cero, x ¨ = 0. Note que un punto de equilibrio no es necesariamente un punto estacionario, y viceversa. Un punto est´ atico satisface ambas condiciones: x ¨ = 0, x˙ = 0. Un punto de equilibrio xo es estable si xo +δx, donde δx es una peque˜ na perturbaci´on, tiende en el tiempo al valor xo . Un punto de equilibrio estable corresponde a un m´ımino del potencial V (x). d2 V Si > 0, xo es un punto de equilibrio estable. (2.110) dx2 xo d2 V Si < 0, xo es un punto de equilibrio inestable. (2.111) dx2 xo

Si el rango del movimiento posible est´a entre dos puntos de retorno, x ∈ [x1 , x2 ], el movimiento es finito y oscilatorio. Entonces, debe existir un punto de equilibrio estable x = xo en el intervalo [x1 , x2 ]; es decir, existe un m´ınimo de V (x) en ese intervalo. El per´ıodo de oscilaci´ on entre los puntos de retorno es dos veces el intervalo de tiempo del movimiento entre esos puntos, r Z x2 m dx p T (E) = 2 . (2.112) 2 x1 E − V (x) Un sistema integrable con varios grados de libertad puede reducirse, en principio, a un sistema unidimensional con una energ´ıa de la forma Ec. (2.104).

Ejemplos. 1. Part´ıcula de masa m movi´endose sobre un cono vertical con ´angulo de v´ertice α. El Lagrangiano de este sistema fue calculado en el Cap. 1, L=T −V =

1 m(r˙ 2 csc2 α + r2 ϕ˙ 2 ) − mgr cot α . 2

(2.113)

Este sistema es integrable; posee dos grados grados de libertad, r y ϕ, y dos cantidades conservadas, C1 = lz y C2 = E, asociadas con la simetr´ıa axial alrededor del ∂L eje z, ∂L ∂ϕ = 0, y con la homogeneidad del tiempo, ∂t = 0, respectivamente.

2.9. MOVIMIENTO UNIDIMENSIONAL

93

Las cantidades conservadas son la componente z del momento angular lz = mr2 ϕ˙ = C1 ,

(2.114)

y la energ´ıa total del sistema E =T +V = Sustituyendo ϕ˙ =

1 m(r˙ 2 csc2 α + r2 ϕ˙ 2 ) + mgr cot α = C2 . 2

(2.115)

lz en la ecuaci´on para E, podemos expresar mr2 E

= =

1 2 2 1 lz2 mr˙ csc α + + mgr cot α 2 2 mr2 1 2 2 mr˙ csc α + Vef (r). 2

(2.116)

La Ec. (2.116) tiene la forma de la energ´ıa de un sistema unidimensional, Ec. (2.104), donde identificamos a = m csc2 α, y Vef (r) =

1 lz2 + mgr cot α . 2 mr2

Luego, de la Ec. (2.116) podemos obtener r Z m dr csc α p + cte. t(r) = 2 E − Vef (r)

(2.117)

(2.118)

Podemos obtener r(t) mediante inversi´on de la funci´on t(r) y, sustituyendo r(t) en la Ec. (2.114), podemos calcular ϕ(t). Las soluciones para las coordenadas r(t) y ϕ(t) se expresan en t´erminos de las cantidades conservadas lz y E. 2. Per´ıodo de un oscilador arm´onico con una E dada.

Figura 2.8: Energ´ıa potencial de un oscilador arm´onico con energ´ıa total E.

La energ´ıa potencial es V (x) = 21 kx2 , y la energ´ıa total es E =T +V =

1 1 mx˙ 2 + kx2 = cte. 2 2

(2.119)

´ Y SIMETR´IAS CAP´ITULO 2. LEYES DE CONSERVACION

94

Los puntos de retorno satisfacen la condici´on E = V (x); esto es, 1 2 kx 2r 2E = ± . k

E

=

⇒ x1,2 El per´ıodo se calcula como Z √ 2E √ k T (E) = 2m √ q −

2E k

= 2

E − 12 kx2

Usamos el cambio de variables, r x= tal que

r

dx

2E sin θ, k

x = 0 → θ = 0;

2m E

(2.120)

Z √ 2E k 0

dx q . k 2 x 1 − 2E

(2.121)

r

2E dx = cos θ dθ k r 2E π x= → θ= . k 2

Sustituyendo en la integral, obtenemos r r Z π2 2m 2E cos θ dθ p T (E) = 2 E k 0 1 − sin2 θ r m π 2π = 4 · = , k 2 ω

(2.122) (2.123)

(2.124) (2.125)

donde ω 2 ≡ k/m. El per´ıodo de un oscilador arm´onico simple es independiente de la energ´ıa y, por tanto, de la amplitud de la oscilaci´on. 3. Per´ıodo de un p´endulo simple con amplitud θ0 .

Figura 2.9: P´endulo simple con amplitud θ0 . La energ´ıa potencial es V (θ) = −mgl cos θ, y la energ´ıa total es E =T +V =

1 2 ˙2 ml θ − mgl cos θ. 2

(2.126)

2.9. MOVIMIENTO UNIDIMENSIONAL

95

˙ Despejamos θ, r 2 p ˙θ = dθ = E + mgl cos θ. dt ml2 Luego, la integral para el tiempo da r Z dθ m √ t=l . 2 E + mgl cos θ

(2.127)

(2.128)

Los puntos de retorno est´an dados por E = V (θ0 ) = −mgl cos θ0

⇒

θ1,2 = ±θ0 .

(2.129)

Calculamos el per´ıodo como 4 veces el intervalo de tiempo entre θ = 0 y θ = θ0 , r Z θ0 m dθ √ (2.130) T (E) = 4l 2 0 E + mgl cos θ s Z θ0 √ dθ l √ T (θ0 ) = 2 2 . (2.131) g 0 cos θ − cos θ0 Note que el per´ıodo del p´endulo es independiente de la masa, un resultado encontrado experimentalmente por Galileo. Usando cos θ = cos(2θ/2) = cos2 (θ/2) − sin2 (θ/2) = 1 − 2 sin2 (θ/2), la Ec. (2.131) se puede expresar como s Z dθ l θ0 q T (θ0 ) = 2 g 0 2 sin (θ0 /2) − sin2 (θ/2) s Z θ0 l 1 dθ q . =2 sin2 (θ/2) g sin(θ0 /2) 0 1 − sin 2 (θ /2) 0

(2.132)

(2.133)

Hacemos el siguiente cambio de variables: sin y =

sin(θ/2) sin(θ0 /2)

⇒

cos y dy =

cos(θ/2) dθ. 2 sin(θ0 /2)

(2.134)

Entonces, cos(θ/2)

= =

dθ

= =

q q

1 − sin2 (θ/2)

1 − sin2 (θ0 /2) sin2 y . cos y 2 sin(θ0 /2) dy cos(θ/2) 2 sin(θ0 /2) cos y q dy. 1 − sin2 (θ0 /2) sin2 y

(2.135)

(2.136)

´ Y SIMETR´IAS CAP´ITULO 2. LEYES DE CONSERVACION

96

Hacemos el cambio de l´ımites: θ = 0 → y = 0; θ = θ0 → y =

π . 2

Luego, la integral en la Ec. (2.133) queda s Z l π/2 dy q T (θ0 ) = 4 . g 0 1 − sin2 (θ0 /2) sin2 y

(2.137)

La integral definida (2.137) es una integral el´ıptica de la primera clase. Se puede obtener una aproximaci´ on de esta integral para θ0  1 (θ0 peque˜ no). Entonces, sin(θ0 /2) ≈ θ0 /2, y la Ec. (2.137) se convierte en s Z l π/2 dy r . (2.138) T (θ0 ) ≈ 4 g 0 θ02 2 sin y 1− 4 Usamos la siguiente expansi´ on de Taylor para x  1, (1 ± x)n −1/2

⇒ (1 − x)

≈ 1 ± nx + . . . 1 ≈ 1 + x + ... 2

(2.139) (2.140)

y obtenemos r Z π/2   l θ2 T (θ0 ) ≈ 4 1 + 0 sin2 y dy . 2 0 8

(2.141)

La integral del segundo t´ermino en la Ec. (2.141) se calcula como Z

π/2



2

sin y dy = 0

 π/2 π y sin(2y) = . − 2 4 4 0

(2.142)

Luego, hasta segundo orden en θ0 , s

T (θ0 ) ≈ ≈

 l π π + θ02 + . . . g 2 32 s   θ02 l 1+ . 2π g 16 4

(2.143)

El per´ıodo de un p´endulo simple depende, en segundo orden, de la amplitud θ0 y por tanto de la energ´ıa total E. En sus experimentos, Galileo encontr´o que el per´ıodo de un p´endulo es independiente de la amplitud, que es el resultado correcto hasta primer orden; i.e.; para amplitudes peque˜ nas.

2.10. PROBLEMAS

2.10.

97

Problemas

1. Dos part´ıculas con masas m1 y m2 est´an unidas por un resorte de constante k y longitud en reposo l, de manera que pueden deslizarse sin fricci´on sobre una mesa. Asuma que el resorte no se dobla. a) Encuentre las ecuaciones de movimiento del sistema. b) Encuentre e identifique las cantidades conservadas. c) Calcule el per´ıodo de una oscilaci´on a lo largo del resorte. 2. Una part´ıcula de masa m y carga q est´a sujeta a un potencial electromagn´etico dado por ϕ = 0 y A = 12 B × r, donde B es un campo magnetico uniforme y constante. a) Verifique que B = ∇ × A. b) Encuentre las ecuaciones de movimiento de la part´ıcula en coordenadas cil´ındricas. c) Encuentre las cantidades conservadas. 3. Considere un sistema con el siguiente Lagrangiano: L=

1 1 a(x˙ 2 sin2 y + y˙ 2 ) + b(x˙ cos y + z) ˙ 2, 2 2

donde a y b son constantes. a) Derive las ecuaciones de movimiento del sistema. b) Calcule e identifique las cantidades conservadas. ¿Es integrable este sistema?. c) Calcule la energ´ıa del sistema. d) Suponga que y(t) = yo = cte. es una soluci´on. ¿Cu´ales son x(t) y z(t) en este caso?. 4. Una part´ıcula de masa m se mueve con velocidad v sujeta al potencial V (r, v) = U (r) + n · l , donde r es el radio vector medido desde el origen del sistema de referencia, l es el momento angular con respecto a ese origen, n es un vector fijo en el espacio y U (r) es una funci´ on escalar. a) Encuentre la fuerza ejercida sobre la part´ıcula. b) Obtenga las ecuaciones de movimiento de la part´ıcula en coordenadas cartesianas. c) ¿Existe alguna cantidad constante?. 5. Una part´ıcula de masa m y energ´ıa total E se mueve en la direcci´on x con energ´ıa potencial V (x) = k|x|n (k, n constantes), tal que el per´ıodo del movimento es T . a) Encuentre los puntos de retorno de la part´ıcula. b) Calcule el per´ıodo resultante si la energ´ıa total se duplica. c) Demuestre que el per´ıodo no cambia si el potencial corresponde al de un oscilador arm´ onico simple. 6. Una part´ıcula de masa m puede moverse sin fricci´on sobre la superficie z = k(x2 +y 2 ), donde z es la direcci´ on vertical y k = cte. a) Encuentre las ecuaciones de movimiento de la part´ıcula. b) ¿Es integrable este sistema?.

98

´ Y SIMETR´IAS CAP´ITULO 2. LEYES DE CONSERVACION

7. Un aro de masa m y radio R puede girar libremente en un plano horizontal alrededor de un eje perpendicular que pasa por su centro. A lo largo del aro se encuentra enrollado un resorte de constante k, con un extremo fijo y el otro extremo conectado a una part´ıcula de masa m, la cual desliza sin fricci´on sobre el aro. a) Resuelva las ecuaciones de movimiento resultantes para este sistema. b) Demuestre que existen dos cantidades conservadas en el sistema.

8. Un p´endulo de masa m y longitud l est´a construido de modo que oscila en un plano perpendicular a un disco de masa M y radio R que puede rotar libremente sin fricci´on alrededor del eje vertical que pasa por su centro. Desprecie la masa de los soportes del p´endulo. a) Obtenga las ecuaciones de movimiento para este sistema. b) Identifique las cantidades conservadas. ¿Es integrable este sistema?. c) Determine las condiciones iniciales del p´endulo para que el disco rote con velocidad angular constante.

9. Dos masas, m1 y m2 , est´ an conectadas por una cuerda a trav´es de un agujero en una mesa sin fricci´ on, de manera que m1 se mueve sobre la superficie de la mesa y m2 cuelga de la cuerda, movi´endose verticalmente. a) Determine las ecuaciones de movimiento del sistema. b) Identifique las cantidades conservadas. c) Encuentre la posici´ on de equilibrio del sistema. d) Si m1 se encuentra inicialmente en reposo a una distancia a del agujero, determine la velocidad de m2 cuando m1 alcanza el agujero.

2.10. PROBLEMAS

99

10. Una part´ıcula de masa m se mueve en la direcci´on x con energ´ıa potencial V (x) = k|x| (k = constante), tal que en un instante dado su velocidad en el origen es vo . a) Obtenga la ecuaci´ on de movimiento de la part´ıcula. b) Calcule la frecuencia del movimiento. 11. Una part´ıcula de masa m est´a unida a un resorte de constante k y longitud en reposo Lo , de modo que puede moverse sin fricci´on sobre un plano horizontal. A la part´ıcula se le proporciona una velocidad vo perpendicular al resorte cuando ´este est´a en reposo. a) Encuentre las ecuaciones de movimiento de la part´ıcula. b) Calcule la velocidad de la part´ıcula cuando la longitud del resorte es 2Lo . 12. Una varilla de masa despreciable y longitud l tiene un extremo en una pared vertical y el otro en el suelo. En el punto medio de la varilla hay una part´ıcula fija de masa m. Ignore la fricci´ on. a) Encuentre la ecuaci´ on din´amica del sistema. b) Si la varilla se suelta del reposo, formando un ´angulo α con el suelo, calcule la velocidad de la masa cuando ´esta choca contra el suelo.

13. Una part´ıcula de masa m se mueve en el potencial unidimensional V0 . cosh2 αx a) Muestre que el movimiento de la part´ıcula es finito si su energ´ıa E < 0, y es infinito si E ≥ 0. b) Encuentre los puntos de retorno y el m´ınimo posible valor de E. c) Para el movimiento finito, encuentre el per´ıodo en funci´on de E. V (x) = −

14. Encuentre q(t) para una part´ıcula con masa m y energ´ıa E > k 2 = cte, que se mueve en el potencial k2 V (q) = . sin2 q 15. El Lagrangiano de un sistema se puede expresar como
k
m L= ax˙ 2 + 2bx˙ y˙ + cy˙ 2 − ax2 + 2bxy + cy 2 , 2 2 donde a, b, y c son constantes, pero sujetas a la condici´on b2 − ac 6= 0. Encuentre las ecuaciones de movimiento para este sistema.

100

´ Y SIMETR´IAS CAP´ITULO 2. LEYES DE CONSERVACION

16. Determine la trayectoria de una part´ıcula de masa m y carga q, movi´endose con ˆ , B = Bo z ˆ, donde Eo y Bo son velocidad v en el campo electromagn´etico E = Eo z constantes. 17. Una part´ıcula con carga q y masa m se mueve en el campo electromagn´etico E = (xEo , 0, 0), B = (0, 0, Bo ), en coordenadas cartesianas, donde Eo y Bo son constantes. a) Encuentre el Lagrangiano de este sistema. b) Encuentre las ecuaciones de movimiento de la part´ıcula. c) Encuentre los puntos est´ aticos de la part´ıcula en el espacio. 18. El campo magn´etico producido por un monopolo con carga magn´etica b tendr´ıa la forma B = bˆ r/r2 . Considere una part´ıcula de carga q en la posici´on r y movi´endose r es una constante con velocidad v en ese campo. Demuestre que la cantidad D ≡ l− bq cˆ del movimiento en este sistema, donde l es el momento angular de la part´ıcula y c es la velocidad de la luz. 19. Una part´ıcula que se mueve sobre una superficie esf´erica suave de radio R gira horizontalmente en la direcci´ on ecuatorial con frecuencia ω. Encuentre la distancia z que puede descender la part´ıcula, si ω 2 R  g, i.e., z  R.

20. Considere una m´ aquina de Atwood tal que una de las masas se mueve verticalmente mientras la otra puede oscilar libremente sobre un plano vertical en el campo gravitacional terrestre. La longitud de la cuerda que une las dos masas es fija. a) Encuentre las ecuaciones de movimiento para este sistema. b) Encuentre la energ´ıa total del sistema. c) ¿Es integrable este sistema?

Cap´ıtulo 3

Fuerzas centrales 3.1.

Problema de dos cuerpos

Consideremos dos part´ıculas con masas m1 y m2 ubicadas en posiciones r1 y r2 , respectivamente, con respecto a un origen O en un sistema de referencia inercial. Supongamos que las part´ıculas interaccionan mediante un potencial que depende solamente de sus posiciones relativas, V (r1 , r2 ) = V (r2 − r1 ). Este sistema se conoce como el problema de dos cuerpos.

Figura 3.1: Posiciones de las dos part´ıculas y de su centro de masa. El sistema posee 6 grados de libertad, correspondientes a las 3 coordenadas espaciales del vector de posici´ on r1 de la part´ıcula 1 y a las 3 coordenadas del vector de posici´on r2 de la part´ıcula 2. Definimos el vector de posici´ on relativa de la part´ıcula 2 con respecto a la part´ıcula 1, como r = r2 − r1 . (3.1) Se define el vector de posici´ on del centro de masa (CM) del sistema como R=

m1 r1 + m2 r2 . m1 + m2 101

(3.2)

CAP´ITULO 3. FUERZAS CENTRALES

102

Denotamos las posiciones relativas de las part´ıculas al centro de masa como r01 = r1 − R,

(3.3)

r02

(3.4)

= r2 − R,

las cuales se pueden expresar en funci´ on del vector r, r01 r02

m1 r1 + m2 r2 m2 (r1 − r2 ) m2 = =− r m1 + m2 (m1 + m2 ) (m1 + m2 ) m1 r1 + m2 r2 m1 (r2 − r1 ) m1 = r2 − = = r. m1 + m2 (m1 + m2 ) (m1 + m2 )

= r1 −

(3.5) (3.6)

Figura 3.2: Posiciones relativas al centro de masa (CM). La energ´ıa cin´etica total del sistema es la suma de la energ´ıa cin´etica del centro de masa m´ as la energ´ıa cin´etica relativa al centro de masa, T = Tcm + Trel , donde Tcm =

1 ˙ 2 = 1 (m1 + m2 )R ˙2, MT R 2 2

(3.7) (3.8)

y Trel

= = = =

y donde hemos definimos la

1 1 ˙ 02 m1 r˙ 02 1 + m2 r 2 2 2 1 m21 m2 1 m1 m22 r˙ 2 + r˙ 2 2 2 (m1 + m2 ) 2 (m1 + m2 )2 1 (m1 m22 + m21 m2 ) 2 1 m1 m2 r˙ = r˙ 2 2 (m1 + m2 )2 2 (m1 + m2 ) 1 2 µ˙r , 2 masa reducida, m1 m2 . µ≡ (m1 + m2 )

(3.9)

(3.10)

El Lagrangiano del sistema se puede expresar como ˙ L(r, R, r˙ , R)

= T − V (r2 − r1 ) 1 ˙ 2 + 1 µ˙r2 − V (r) . (m1 + m2 )R = 2 2

(3.11)

3.1. PROBLEMA DE DOS CUERPOS

103

Los 6 grados de libertad del sistema se describen mediante las componentes de los vectores r y R. Las componentes cartesianas de R son coordenadas c´ıclicas, lo que implica ˙ = cte, MT R

(3.12)

donde MT = m1 +m2 . Luego, el momento lineal total del sistema se conserva. Igualmente, debido a que no hay fuerzas externas sobre el sistema, puede verse que Fexterna total = 0

⇒

˙ = cte. P T = MT R

(3.13)

˙ = vcm = El centro de masa se mantiene en reposo o se mueve con velocidad constante, R cte. La conservaci´ on del momento lineal total est´a asociada a la homogeneidad espacial, o simetr´ıa traslacional, del problema de dos cuerpos. Luego, existen 3 cantidades conservadas correspondientes a las componentes del momento lineal total o, equivalentemente, a las tres componentes de la velocidad del centro de masa. El t´ermino Tcm correspondiente a la energ´ıa cin´etica del centro de masa es, por lo tanto, constante y se puede omitir en el Lagrangiano, Ec. (3.11), quedando L=

1 2 µ˙r − V (r) , 2

(3.14)

lo cual es equivalente al Lagrangiano de una part´ıcula de masa µ movi´endose con velocidad r˙ en el potencial V (r). El problema de dos cuerpos se reduce a encontrar las ecuaciones de movimiento de una part´ıcula de masa µ en la posici´on relativa r(t) con respecto a un origen O0 ubicado en una de las dos part´ıculas (Fig. 3.3). Note que este sistema de referencia centrado en una de las part´ıculas es un sistema no inercial, pues su origen O0 est´ a acelerado.

Figura 3.3: Equivalencia del problema de dos cuerpos. El problema puede simplificarse a´ un m´as si se consideran potenciales centrales; es decir, si V (r) es funci´ on de la magnitud |r| = r solamente. En ese caso, el potencial es V (r) y la fuerza sobre cualquiera de las part´ıculas, en coordenadas esf´ericas, es F = −∇V (r) = −

∂V ˆr = f (r)ˆr. ∂r

(3.15)

Una fuerza con la forma F = f (r)ˆr se denomina fuerza central. Una propiedad importante de esta tipo de fuerzas es que no ejercen torque neto sobre las part´ıculas, τ = r × f (r)ˆr = 0

(3.16)

⇒ l = r × p = cte.

(3.17)

CAP´ITULO 3. FUERZAS CENTRALES

104

El vector momento angular total l se conserva si la fuerza de interacci´on entre las dos part´ıculas es central. Luego, tanto la direcci´on como la magnitud de l son constantes, lo que proporciona una cuarta y una quinta cantidad conservada, respectivamente.

Figura 3.4: Coordenadas polares sobre el plano del movimiento perpendicular a l. Como l es perpendicular al plano (r, p), la constancia de la direcci´on de l implica que el movimiento siempre ocurre sobre ese plano. Luego, el movimiento de la part´ıcula de masa equivalente µ est´ a confinado al plano (r, p) y, por lo tanto, se puede describir mediante dos coordenadas. Si escogemos la direcci´on de l en la direcci´on z, el plano del movimento es (x, y). La simetr´ıa radial sugiere escoger coordenadas polares (r, θ) como coordenadas generalizadas sobre el plano del movimiento. Entonces, x = r cos θ ;

x˙ = r˙ cos θ − rθ˙ sin θ y˙ = r˙ sin θ + rθ˙ cos θ.

(3.18)

y = r sin θ ; (3.19)  
Luego, r˙ 2 = x˙ 2 + y˙ 2 = r˙ 2 + r2 θ˙2 , y el Lagrangiano Ec. (3.14) para un potencial central resulta en  1  L = µ r˙ 2 + r2 θ˙2 − V (r). (3.20) 2 El Lagrangiano en la Ec. (3.20) posee simetr´ıas que simplifican la obtenci´on de las ecuaciones de movimiento para las coordenadas r y θ. on de Lagrange para θ La coordenada θ es c´ıclica, pues ∂L ∂θ = 0. Entonces, la ecuaci´ da   d ∂L ∂L − =0 (3.21) dt ∂ θ˙ ∂θ ∂L ⇒ = µr2 θ˙ = cte. (3.22) ∂ θ˙ La cantidad conservada es el momento conjugado a la coordenada angular θ, y corresponde a la magnitud del momento angular de la part´ıcula de masa µ, l = µr2 θ˙ = cte.

(3.23)

3.1. PROBLEMA DE DOS CUERPOS

105

Por otro lado, L en la Ec. (3.20) es independiente del tiempo y el potencial es independiente de las velocidades, por lo que la energ´ıa mec´anica total se conserva, ∂L = 0 ⇒ E = T + V = cte. ∂t La energ´ıa E provee una sexta cantidad conservada,  1  2 µ r˙ + r2 θ˙2 + V (r) = cte. E = 2

(3.24)

(3.25)

Entonces, en el problema de dos cuerpos existen seis grados de libertad y al menos seis cantidades conservadas; por lo tanto, se trata de un sistema integrable. Las seis cantidades conservadas Ik (r1 , r2 , r˙ 1 , r˙ 2 ) = Ck (k = 1, . . . , 6) que permiten integrar las seis coordenadas en el problema de dos cuerpos sujetos a un potencial central V (|r2 − r1 |) = V (r) son: ˙ Se expresan como Las tres componentes del vector velocidad del centro de masa R. I1 = x˙ cm = cte, I2 = y˙ cm = cte, I3 = y˙ cm = cte. Esto reduce el problema al movimiento del vector de posici´on relativa r (tres coordenadas). La direcci´ on del momento angular l. Esto reduce el movimiento a un plano (dos coordenadas). Se puede expresar como I4 = z = 0. La magnitud del momento angular. Se expresa como I5 = µr2 θ˙ = l. La energ´ıa total. Corresponde a I6 = 21 µ(r˙ 2 + r2 θ˙2 ) + V (r) = E.

Figura 3.5: Coordenadas del movimiento de la masa reducida. Las cantidades conservadas E y l, Ecs. (3.23) y (3.25), permiten reducir el problema de dos cuerpos a un problema unidimensional equivalente y la integraci´on de las coordenadas r y θ. En efecto, podemos escribir E=

1 2 1 l2 µr˙ + + V (r) = cte. 2 2 µr2

(3.26)

La Ec. (3.26) corresponde a un problema de movimiento unidimensional en la coordenada r, el cual es integrable (Sec. 2.9). A partir de la Ec. (3.26) obtenemos s   2 l2 dr = E − V (r) − . (3.27) r˙ = dt µ 2µr2

106

CAP´ITULO 3. FUERZAS CENTRALES

Usando como condici´ on inicial en t = 0 los valores de coordenadas r = r0 , θ = θ0 , podemos obtener t(r), r Z r dr µ s t(r) = , (3.28) 2 r0 l2 E − V (r) − 2µr2 y, mediante inversi´ on, podemos obtener r(t) en funci´on de tres constantes de integraci´on: r0 , E, l. Del mismo modo, la Ec. (3.23) permite la integraci´on de θ, dθ l θ˙ = = 2 dt µr l ⇒ dθ = 2 dt µr l dt dθ = 2 . ⇒ dr µr dr

(3.29) (3.30) (3.31)

Sustituyendo la Ec. (3.27) en la Ec. (3.31), obtenemos r l µ dθ 1 s = 2 . dr µr 2 l2 E − V (r) − 2µr2

(3.32)

Usando las condiciones iniciales en t = 0, r = r0 , θ = θ0 , podemos expresar Z r l dr √ s θ= + θ0 , 2µ r0 l2 2 r E − V (r) − 2µr2

(3.33)

lo cual da θ(r). Sustituci´ on de r(t), da θ(r(t)) = θ(t), por lo que las coordenadas r y θ pueden determinarse en funci´ on del tiempo. En total hay cuatro constantes de integraci´ on, E, l, r0 , θ0 , para las coordenadas r y θ. Las cuatro constantes aparecen porque tenemos una ecuaci´ on de Lagrange para r y otra para θ, ambas de segundo orden, y las cuales requieren dos constantes de integraci´on cada una. Cabe observar que las constantes E y l aparecen tambi´en el problema de un potencial central en Mec´ anica Cu´ antica. Note que la integraci´ on expl´ıcita de θ en la Ec. (3.33) (y la de t en la Ec. (3.28)) en t´erminos de funciones elementales depende de la forma funcional del potencial V (r). El cambio de variable 1 1 u = ⇒ du = − 2 dr , (3.34) r r generalmente resulta u ´til al considerar integrales de potenciales centrales en el problema de dos cuerpos. Mediante este cambio, la Ec. (3.33) se convierte en

3.1. PROBLEMA DE DOS CUERPOS

107

1 u

Z θ = θ0 −

1 u0

du r

2µE 2µV (u) − − u2 l2 l2

.

(3.35)

Las formas funcionales f´ısicamente m´as relevantes de potenciales centrales son V (r) = krn+1 , donde k = cte. Las fuerzas correspondientes son de la forma ∂V ∝ rn . (3.36) ∂r Por ejemplo, el exponente n = −1 corresponde a V = cte y f (r) = 0, es decir a una part´ıcula libre. El valor n = −2 describe la fuerza gravitacional, mientras que n = 1 corresponde a un oscilador arm´onico esf´erico. Sustituci´ on de V (u) = ku−(n+1) en la Ec. (3.35) da la integral Z u1 du r , (3.37) θ = θ0 − 1 2µk 2µE u0 −(n+1) 2 − 2 u −u l2 l la cual es integrable en t´erminos de funciones elementales √ para ciertos valores de n. Si el integrando en la Ec. (3.37) tiene la forma R(u, au2 + bu + c), Z du √ , (3.38) R(u, au2 + bu + c) f (r) = −

la integral se puede expresar en t´erminos de funciones circulares sin−1 u, cos−1 u. Para que esto ocurra, el exponente de u−(n+1) en el integrando de la Ec. (3.37) debe tener, cuando mucho, un valor igual a 2; es decir, puede tomar los valores −(n + 1) = 0, 1, 2. Luego, los posibles valores de n para potenciales integrables en t´erminos de funciones circulares son n = −1, −2, −3. (3.39) Estos valores incluyen los casos n = −1 para el potencial V = cte, y n = −2 correspondiente al potencial gravitacional k V (r) = − . (3.40) r El caso n = 1, correspondiente al potencial de un oscilador arm´onico esf´erico V (r) = kr2 , tambien se puede integrar en la Ec. (3.37). Haciendo el cambio de variable dx x = u2 ⇒ du = √ , 2 x la integral en la Ec. (3.37) resulta en Z r 2

dx 2µE 2µk x − 2 − x2 l2 l

(3.41)

,

(3.42)

la cual tiene un integrando de la forma Ec. (3.38) y, por tanto, es integrable en t´erminos de funciones circulares.

CAP´ITULO 3. FUERZAS CENTRALES

108

3.2.

Potencial efectivo

Hemos encontrado que el Lagrangiano del problema de dos cuerpos que interactuan mediante el potencial central V (r) se reduce a  1  (3.43) L = µ r˙ 2 + r2 θ˙2 − V (r). 2 Vimos que la ecuaci´ on de Lagrange para la coordenada θ da l = µr2 θ˙ = cte. Por otro lado, la ecuaci´ on de Lagrange para la coordenada r,   ∂L d ∂L − = 0, dt ∂ r˙ ∂r resulta en µ¨ r=−

∂V + µrθ˙2 . ∂r

(3.44)

(3.45)

(3.46)

Sustituyendo θ˙ = µrl 2 , la ecuaci´ on Ec. (3.46) se convierte en una ecuaci´on de movimiento unidimensional para r, µ¨ r=−

∂V l2 + 3. ∂r µr

(3.47)

La fuerza radial f (r) debida al potencial central V (r) es f (r) = −

∂V . ∂r

(3.48)

Luego, tenemos µ¨ r = f (r) +

l2 , µr3

(3.49)

lo cual se puede expresar como µ¨ r = fef (r), donde fef (r) ≡ f (r) +

(3.50) l2 µr3

(3.51)

se denomina fuerza efectiva radial. Esta fuerza efectiva surge de las contribuciones de la ıfuga fuerza central f (r) = − ∂V ∂r y de la fuerza centr´ Fc ≡

l2 = µrθ˙2 . µr3

(3.52)

Esta fuerza centr´ıfuga es una fuerza repulsiva ficticia que aparece en el sistema de referencia no inercial que estamos usando para describir el movimiento, cuyo origen ubicado en una de las part´ıculas, se encuentra acelerado.

3.2. POTENCIAL EFECTIVO

109

Las fuerzas centr´ıfugas son t´ıpicas de movimientos en campos centrales con momento angular l 6= 0. Por ejemplo, en el movimiento circular uniforme de una part´ıcula de masa m que gira con velocidad angular constante θ˙ = ω, velocidad tangencial v = ωr, y posee momento angular l = rmv = mr2 ω, aparece una fuerza centr´ıfuga cuando se describe el movimiento desde la perspectiva de la part´ıcula, dada por Fc

=

mv 2 l2 . = mrω 2 = r mr3

(3.53)

Figura 3.6: Movimiento circular uniforme. A partir de la fuerza efectiva Ec. (3.51), se puede definir una energ´ıa potencial efectiva, Vef (r) ≡ V (r) +

l2 , 2µr2

(3.54)

tal que ∂Vef , ∂r La energ´ıa total Ec. (3.25) puede entonces expresarse como fef (r) ≡ −

1 2 l2 µr˙ + + V (r) 2 2µr2 1 = µr˙ 2 + Vef (r) = cte , 2

(3.55)

E=

(3.56)

lo que resulta equivalente a la energ´ıa total de una part´ıcula de masa µ, movi´endose en la dimensi´ on r con energ´ıa potencial Vef (r). El movimiento radial puede analizarse a partir de la Ec. (3.56). La condici´on r˙ 2 ≥ 0 implica que este movimento ocurre para valores de r tales que E ≥ Vef (r). Los puntos de retorno del movimiento radial est´an dados por la condici´on r˙ = 0 en la Ec. (3.56); es decir, E

= ⇒

l2 + V (r) 2µr2 l2 Er2 − V (r)r2 − = 0, 2µ

Vef (r) =

(3.57) (3.58)

CAP´ITULO 3. FUERZAS CENTRALES

110

la cual constituye una ecuaci´ on algebraica de grado al menos cuadr´atico en r; luego pueden existir al menos dos ra´ıces reales, r = rmin , r = rmax . Si existe un rango de valores r ∈ [rmin , rmax ] para el cual E ≥ Vef (r), entonces el movimiento est´a confinado a esa regi´ on anular en el plano (r, θ).

Figura 3.7: Movimiento radial y angular. Note que, si

rmax < ∞

⇒ movimiento es finito, oscilatorio en r,

(3.59)

si

rmax → ∞

⇒ movimiento sin retorno,

(3.60)

si

rmin = rmax

⇒ movimiento es circular.

(3.61)

l ≥ 0, µr2

(3.62)

Por otro lado, notamos que θ˙ =

lo cual significa que la velocidad angular θ˙ nunca cambia de signo; el ´angulo θ siempre se incrementa en el tiempo y, como consecuencia, el movimiento siempre ocurre en una misma direcci´ on sobre el plano del movimiento (r, θ). En cambio, la distancia radial r(t) puede aumentar o disminuir en el tiempo. La Ec. (3.56) permite encontrar la condici´on para que una part´ıcula caiga al centro de atracci´ on de un potencial central; es decir, para que rmin = 0. Esto significa que las dos part´ıculas chocan. La Ec. (3.56) implica que 1 2 µr˙ 2

= ⇒

l2 >0 2µr2 l2 Er2 − V (r)r2 − > 0. 2µ

E − V (r) −

(3.63)

Tomando el l´ımite r → 0, obtenemos la condici´on para caer al centro, l´ım [V (r)r2 ] < −

r→0

l2 . 2µ

(3.64)

3.2. POTENCIAL EFECTIVO

111

Consideremos un potencial atractivo de la forma V (r) = −k/rn . La condici´on Ec. (3.64) con l 6= 0 implica n > 2. El potencial V (r) = −k/r3 (n = 3) permite caer al centro, rmin = 0. Por otro lado, el potencial gravitacional V (r) = −k/r (n = 1) no permite l2 para alcanzar rmin = 0. El caso n = 2, correspondiente a V (r) = −k/r2 , requiere k > 2µ caer al centro de atracci´ on.

Ejemplos. 1. Dibujar esquem´ aticamente el potencial efectivo resultante del potencial V = − kr y analizar los tipos de movimiento posibles para diferentes valores de la energ´ıa. La fuerza correspondiente a este potencial es f (r) = −

∂V k = − 2. ∂r r

(3.65)

El potencial efectivo es Vef = V (r) +

l2 k l2 = − + . 2µr2 r 2µr2

(3.66)

Figura 3.8: Potencial efectivo para V (r) = − kr . El valor m´ınimo del potencial efectivo ocurre para un radio r = r0 dado por ∂Vef = 0. (3.67) ∂r r=r0 Posibles movimientos para diferentes valores de la energ´ıa E: a) E = E1 > 0 ⇒ rmin > 0 y rmax → ∞; ´orbita abierta. b) E = E2 = 0 ⇒ rmin > 0 y rmax → ∞; ´orbita abierta. c) E = E3 < 0 ⇒ r ∈ [rmin , rmax ]; movimiento radial oscilatorio. d ) E = E4 = Vef (min) < 0 ⇒; rmin = rmax = r0 ; ´orbita circular con r = r0 .

CAP´ITULO 3. FUERZAS CENTRALES

112

2. Potencial efectivo para el potencial V = arm´ onico tridimensional.

1 2 2 kr ,

correspondiente a un oscilador

El potencial efectivo es Vef (r) =

l2 1 2 . kr + 2 2µr2

(3.68)

.

Figura 3.9: Potencial efectivo para V (r) =

1 kr2 . 2

El movimiento radial ocurre en la regi´ on

r ∈ [rmin , rmax ]

. La condici´ on E ≥ Vef (r) implica que existen puntos de retorno rmin , rmax 6= 0; es decir, el movimiento radial es oscilatorio. La magnitud de la fuerza radial es f (r) = − ∂V ∂r = −kr. Las componentes de la fuerza radial f = −krˆr son fx = −kx ,

fy = −ky .

(3.69)

El movimiento radial es el resultado de dos oscilaciones simples, perpendiculares entre s´ı, con igual frecuencia ωx2 = ωy2 = k/µ. 3. Caracterizar los movimientos posibles en el potencial efectivo correspondiente al potencial V = − rk3 . El potencial efectivo es Vef (r) = −

k l2 + . r3 2µr2

(3.70)

El potencial efectivo exhibe un m´aximo Vef (max) que representa una barrera de potencial si E < Vef (max) . Los posibles movimientos son a) E = E1 > Vef (max) ; movimiento existe ∀ r. b) E = E2 < Vef (max) ; hay dos puntos de retorno r1 y r2 que satisfacen E = Vef . El movimiento ocurre para r ∈ [0, r1 ] y para r ≥ r2 . En Mec´anica Cl´asica, el movimiento es imposible para r ∈ [r1 , r2 ]. c) E < 0; movimiento ocurre para r ∈ [0, r1 ].

´ DIFERENCIAL DE LA ORBITA ´ 3.3. ECUACION

113

Figura 3.10: Potencial efectivo para V = − rk3 . Movimiento radial para E = E2 < Vef (max)

ocurre en las regiones r ≤ r1 y r ≥ r2 .

3.3.

Ecuaci´ on diferencial de la o ´rbita

En la Sec. 3.1 vimos que, dado V (r) y cuatro constantes (E, l, r0 , θ0 ), se pueden determinar t(r) (y por tanto r(t)) y θ(r), mediante integraci´on y que, en particular, existen formas de potenciales V (r) integrables expl´ıcitamente en t´erminos de funciones circulares. Consideremos ahora el problema inverso; es decir, dada una ´orbita r(θ) determinar el potencial V (r) (y la fuerza f (r)) que produce ´esta ´orbita. Esto es posible mediante la obtenci´ on de la ecuaci´ on diferencial de la o ´rbita. Consideremos la ecuaci´ on de movimiento Ec (3.49) para r(t), µ¨ r−

∂V l2 = f (r) = − . µr3 ∂r

(3.71)

La Ec. (3.71) se puede transformar en una ecuaci´on diferencial para r(θ). Las derivadas temporales de r(t) se pueden expresar como r˙ =

dr dθ l dr dr = = 2 , dt dθ dt µr dθ

(3.72)

donde hemos usado θ˙ = µrl 2 . En general, para una funci´on g(θ),

⇒

dg dt d dt

= =

dg dθ l dg = 2 dθ dt µr dθ l d . µr2 dθ

(3.73) (3.74)

Luego, r¨ = =

    d dr d l dr = dt dt dt µr2 dθ   l d l dr . µr2 dθ µr2 dθ

(3.75)

CAP´ITULO 3. FUERZAS CENTRALES

114 Sustituci´ on en la Ec. (3.71) da l d r2 dθ



l dr µr2 dθ

 −

∂V l2 =− . µr3 ∂r

(3.76)

Usando el cambio de variables u = 1/r, tenemos du 1 dr dr =− 2 = −u2 , dθ r dθ dθ

(3.77)

y expresando el lado derecho de la Ec. (3.76) en t´erminos de u, ∂V ∂u 1 ∂V ∂V ∂V = =− 2 = −u2 , ∂r ∂u ∂r r ∂u ∂u la Ec. (3.76) se puede escribir como   l2 2 d du l2 ∂V u + u3 = −u2 ; µ dθ dθ µ ∂u

(3.78)

(3.79)

es decir,   l2 d2 u ∂V +u =− . µ dθ2 ∂u

(3.80)

La Ec. (3.80) constituye la ecuaci´ on diferencial de la ´ orbita para r(θ) = 1/u(θ) en t´erminos del potencial V (r) = V (1/u). Esta ecuaci´ on de la ´ orbita se puede usar para encontrar el potencial (o la fuerza) central que da lugar a una ´ orbita dada, o para determinar la ´orbita resultante de un potencial (o fuerza) dado.

Ejemplo. 1. Encontrar el potencial V (r) que produce la ´orbita espiral r(θ) = ro e−aθ , con ro , a constantes. Tenemos u=

1 aθ 1 = e . r ro

(3.81)

Luego, d2 u a2 aθ = e = a2 u. dθ2 ro

(3.82)

Sustituyendo en la Ec. (3.80) para la ´orbita, se obtiene ∂V l2 2 (a + 1)u = − . µ ∂u

(3.83)

3.4. FUERZA GRAVITACIONAL Y PROBLEMA DE KEPLER

115

Entonces, V (u) ⇒ V (r)

l2 2 (a + 1)u2 2µ l2 2 k = − 2 , con k = (a + 1) = cte. r 2µ = −

(3.84)

Note que k > l2 /2µ, por lo que, seg´ un la condici´on Ec. (3.64), una part´ıcula sujeta a este potencial cae al centro de atracci´on, r = 0, describiendo la ´orbita espiral dada.

3.4.

Fuerza gravitacional y problema de Kepler

La fuerza gravitacional entre dos part´ıculas con masas m1 y m2 , separadas por una distancia r es una fuerza central atractiva dada por f (r) = −

Gm1 m2 , r2

(3.85)

donde G = 6,674 × 10−11 N (m/Kg)2 es la constante universal gravitacional. La forma de la fuerza gravitacional (ley de gravitaci´ on) fue descubierta por Isaac Newton y la constante G fue determinada experimentalmente por Henry Cavendish (1731-1810). La energ´ıa potencial gravitacional correspondiente es Gm1 m2 . (3.86) r La fuerza gravitacional que una part´ıcula de masa m1 ejerce sobre otra part´ıcula de masa m2 , que se encuentra en una posici´on r desde la primera part´ıcula, es V (r) = −

Gm1 m2 ˆr. (3.87) r2 Se define la intensidad del campo gravitacional creado por m1 en la posici´on r de la part´ıcula m2 como la cantidad vectorial F(r) = −

g(r) ≡

F(r) Gm1 = − 2 ˆr. m2 r

(3.88)

El campo g(r) corresponde a la fuerza gravitacional por unidad de masa producida por m1 en la posici´ on r. Puesto que F(r) = −∇V (r), donde V (r) es la energ´ıa potencial de interacci´ on gravitacional entre m1 y m2 , el campo g(r) se puede expresar como g(r) = −∇ϕ(r),

(3.89)

donde definimos el potencial gravitacional ϕ(r) producido por m1 como la cantidad escalar V (r) Gm1 ϕ(r) ≡ =− . (3.90) m2 r

CAP´ITULO 3. FUERZAS CENTRALES

116

Figura 3.11: Izquierda: Flujo del campo gravitacional de una part´ıcula a trav´es de una superficie S. Derecha: Elemento de a ´rea contenido en un elemento de a ´ngulo s´ olido dΩ a una distancia r.

Consideremos una part´ıcula de masa m dentro de una superficie arbitraria y cerrada S que contiene un volumen V. Se define el flujo del campo gravitacional a trav´es de la superficie S como la integral cerrada de ´area I Φ= g · dA, (3.91) S

ˆ es un elemento de ´area de S cuyo vector normal donde g se eval´ ua sobre S y dA = dA n ˆ . Entonces, unitario es n I I 1 ˆ. g · dA = −Gm dA ˆr · n (3.92) 2 S S r El elemento diferencial de ´ angulo s´ olido dΩ con origen en m encierra un ´area dA cos θ a la distancia r. Luego, por definici´ on, dΩ =

ˆ · ˆr dA cos θ dA n = . 2 r r2

(3.93)

Entonces, I

I g · dA = −Gm

S

dΩ = −4πGm;

(3.94)

S

es decir, el flujo del campo gravitacional a trav´es de S es proporcional a la masa de la part´ıcula encerrada por S, independientemente de la ubicaci´on de la part´ıcula dentro de la superficie S. Por extensi´ on, para un conjunto de part´ıculas con masas mi , i = 1, . . . , N , encerradas por la superficie S, se obtiene I g · dA = −4πG S

N X

mi = −4πG Menc ,

(3.95)

i=1

donde Menc es la masa total encerrada por S. La Ec. (3.95) es la ley de Gauss para la gravitaci´ on en su formal integral.

3.4. FUERZA GRAVITACIONAL Y PROBLEMA DE KEPLER

117

Usando el teorema de la divergencia para el campo g, tenemos I Z g · dA = ∇ · g dV,

(3.96)

S

V

donde dV es un elemento del volumen V encerrado por S. Si llamamos ρ(r) a la funci´on que describe la densidad de masa contenida en el volumen V, tenemos Z Menc = ρ dV. (3.97) V

Entonces, la ley de Gauss, Ec. (3.95), puede expresarse como Z Z ∇ · g dV = −4πG ρ dV. V

(3.98)

V

Puesto que el volumen V es arbitrario, debemos tener ∇ · g = −4πGρ.

(3.99)

La Ec. (3.99) es la ley de Gauss para la gravitaci´on en su forma diferencial. Ambas formas de la ley de Gauss son consecuencia de la dependencia con la distancia 1/r2 de la fuerza gravitacional. Usando g = −∇ϕ, podemos escribir la Ec. (3.99) como ∇2 ϕ = 4πGρ,

(3.100)

que constituye una ecuaci´ on de Poisson para el potencial gravitacional ϕ. La Ec. (6.71) es una manera alternativa de expresar la ley de gravitaci´on de Newton.

Figura 3.12: Monumento a Tycho Brahe (1546-1601) y Johannes Kepler (1571-1630) en Praga. El problema de Kepler se refiere al c´alculo de la ´orbita de una part´ıcula en un campo central correspondiente a la fuerza gravitacional f (r) = − kr , con k = Gm1 m2 .

CAP´ITULO 3. FUERZAS CENTRALES

118

La ´ orbita r(θ) correspondiente al potencial gravitacional V (r) = − kr puede ser determinada a partir de la ecuaci´ on diferencial de la ´orbita, Ec. (3.80), con u = 1/r,   ∂V l2 d2 u + u =− , (3.101) µ dθ2 ∂u El potencial gravitacional puede expresarse como V = −ku. Sustituyendo, obtenemos µ d2 u +u=k 2 , 2 dθ l

(3.102)

que es una ecuaci´ on diferencial ordinaria inhomog´enea de segundo orden. Su soluci´on es u(θ) = uh + up ,

(3.103)

donde up es una soluci´ on particular y uh es la soluci´on de la ecuaci´on homog´enea u00h + uh = 0.

(3.104)

La soluci´ on de la ecuaci´ on homog´enea se puede expresar como uh = A cos(θ − θ0 ) ,

A, θ0 ctes,

(3.105)

mientras que una soluci´ on particular de la Ec. (3.102) es up = k

µ . l2

(3.106)

Luego, la soluci´ on general de la Ec. (3.102) es kµ + A cos(θ − θ0 ) l2

(3.107)

1 kµ = 2 [1 + e cos(θ − θ0 )] , r l

(3.108)

u(θ) = ⇒

que corresponde la ecuaci´ on de una secci´on c´onica en coordenas polares, cuya forma general est´ a dada por q = 1 + e cos θ, (3.109) r con θ0 = 0, donde q y e son constantes. La constante e se denomina excentricidad y la constante q es el latus de la c´ onica. La ´ orbita tambi´en puede obtenerse por integraci´on expl´ıcita mediante la Ec. (3.35), Z du r θ = θ0 − , (3.110) 2µE 2µV (u) 2 − −u l2 l2 la cual, con V (u) = −ku, queda Z θ = θ0 −

du r

2µE 2µk + 2 u − u2 l2 l

.

(3.111)

3.4. FUERZA GRAVITACIONAL Y PROBLEMA DE KEPLER La integral es del tipo Z

√

  du 1 (b + 2au) −1 √ √ = cos − , −a au2 + bu + c b2 − 4ac

donde a = −1,

b=

2µk , l2

c=

119

(3.112)

2µE , l2

2   2µk 2E 2 b − 4ac = 1+ l2 µk 2    2µk l2 u . b + 2au = 1− l2 µk 

2

Luego,  θ = θ0 − cos

s 1+

−1

2



 l u−1   µk  s     2El2  1+ µk 2

2El2 l2 cos(θ0 − θ) = u − 1. 2 µk µk

Escogiendo la condici´ on inicial θ0 = 0 para t = 0 y despejando u = 1/r, s ! 2El2 1 µk = 2 1+ 1+ cos θ r l µk 2

(3.113)

(3.114)

(3.115)

obtenemos que la ´ orbita r(θ) tiene la forma general de la ecuaci´on de una secci´on c´onica en coordenadas polares cuyo origen se encuentra en uno de los focos, Ec. (3.109). Comparando con la Ec. (3.109), identificamos la excentricidad de la ´orbita, s 2El2 , (3.116) e= 1+ µk 2 y el latus de la c´ onica, q=

l2 . µk

(3.117)

El latus corresponde al valor q = r( π2 ). La distancia m´ınima al foco ubicado en rmin se denomina perihelio (si se trata de orbita alrededor del Sol) o perigeo (si es una ´orbita alrededor de la Tierra), y corresponde ´ al ´ angulo θ = 0, q r(0) = = rmin . (3.118) 1+e

CAP´ITULO 3. FUERZAS CENTRALES

120

Figura 3.13: Latus q y perihelio rmin de la o´rbita en el problema de Kepler. Sustituyendo q y e, obtenemos l2 µk

 rmin =



s 1+

.

(3.119)

2El2 1+ µk 2

El movimiento de la masa reducida µ en el potencial V = −k/r sigue la trayectoria de una c´ onica dada por la Ec. (3.115). El tipo de c´onica (circunferencia, elipse, par´abola, hip´erbola) que describe la part´ıcula de masa µ en el potencial V (r) = −k/r depende del valor de la excentricidad e y, por tanto, de la energ´ıa total E, segun la Ec. (6.151). La ´ orbita de cada una de las part´ıculas m1 y m2 , separadas por una distancia r, es una secci´ on c´ onica con un foco en el centro de masa del sistema. El movimiento radial en el problema de Kepler ocurre en el potencial efectivo Vef (r) = −

l2 k + . r 2µr2

(3.120)

Figura 3.14: Potencial efectivo para el problema de Kepler. Las ´ orbitas posibles descritas por la Ec. (3.115), y cuyo movimiento radial es compatible con este potencial efectivo [Fig. (3.14)], son las siguientes:

3.4. FUERZA GRAVITACIONAL Y PROBLEMA DE KEPLER

121

´ 1. Orbita circular. La ecuaci´ on de la c´ onica Ec. (3.109) con e = 0 describe una part´ıcula con energ´ıa E=−

µk 2 , 2l2

(3.121)

movi´endose en una ´ orbita circular de radio ro = q =

l2 k = . µk 2|E|

El radio ro corresponde al valor m´ınimo de la Vef , ∂Vef = 0. ∂r ro

(3.122)

(3.123)

La energ´ıa de la ´ orbita circular es igual al m´ınimo de la Vef , E = Vef (ro ) = −

k l2 . + ro 2µro2

La velocidad angular del movimiento circular con radio ro es s k ˙θ = l = . 2 µro µro3

(3.124)

(3.125)

´ 2. Orbita el´ıptica. La ecuaci´ on de la c´ onica Ec. (3.109) q = 1 + e cos θ , r

(3.126)

para e < 1 (E < 0) corresponde a una elipse en coordenadas polares con centro en uno de los focos.

Figura 3.15: Par´ametros de la o´rbita el´ıptica.

CAP´ITULO 3. FUERZAS CENTRALES

122

Los puntos de retorno del movimiento radial con E < 0 est´an dados por q , 1+e q = . 1−e

θ = 0 ⇒ r = rmin =

(3.127)

θ = π ⇒ r = rmax

(3.128)

El movimiento radial es finito y oscilatorio, con r ∈ [rmin , rmax ]. Estos valores de rmin y rmax tambi´en corresponden a las ra´ıces de la ecuaci´on E = Vef , E = Vef = −

k l2 + r 2µr2

⇒

Er2 + kr −

l2 = 0, 2µ

(3.129)

de donde obtenemos rmin

rmax

s

! 2El2 1− 1+ , µk 2 s ! 2El2 k =− 1+ 1+ . 2E µk 2

k =− 2E

(3.130)

(3.131)

Se pueden escribir como k (1 − e) , 2 |E| k = (1 + e) . 2 |E|

rmin =

(3.132)

rmax

(3.133)

La distancia rmin se llama perihelio y la cantidad rmax se denomina afelio, para ´orbitas el´ıpticas alrededor del Sol (para ´ orbitas alrededor de la Tierra estas cantidades se llaman perigeo y apogeo, respectivamente). El semieje mayor de la elipse a satisface la relaci´on (Fig. (3.15)) rmin + rmax = 2a;

(3.134)

luego, a=

k , 2 |E|

o

a=

q . 1 − e2

(3.135)

Se puede expresar tambi´en rmin = a (1 − e) ,

(3.136)

rmax = a (1 + e) .

(3.137)

La distancia entre el centro geom´etrico de la elipse y cualquier foco es a − rmin = ae.

(3.138)

3.4. FUERZA GRAVITACIONAL Y PROBLEMA DE KEPLER

123

Figura 3.16: Coordenadas cartesianas (x0 , y 0 ) con origen O0 en el centro geom´etrico de la elipse. La ecuaci´ on de la elipse, Ec. (3.126), tambi´en puede expresarse en coordenadas cartesianas (x, y) con origen O en el foco. En coordenadas cartesianas (x0 , y 0 ) con origen O0 en el centro geom´etrico de la elipse, la ecuaci´ on Ec. (3.126) corresponde a x02 y 02 + 2 = 1, 2 a b

(3.139)

donde a y b son los semiejes mayor y menor de la elipse, respectivamente. Mediante la transformaci´ on x0 = x + ae,

y0 = y ,

(3.140)

la ecuaci´ on de la elipse Ec. (3.109) puede escribirse en coordenas cartesianas con centro en el foco de atracci´ on, y2 (x + ae)2 + = 1. (3.141) a2 b2 El semieje menor b puede obtenerse evaluando el punto (x = 0, y = q) en la Ec. (3.141), p q b= √ (3.142) = a 1 − e2 . 1 − e2 ´ 3. Orbita parab´ olica. La ecuaci´ on de la c´ onica Ec. (3.109) con e = 1 describe una par´abola q = 1 + cos θ . r

(3.143)

La energ´ıa correspondiente de la part´ıcula es E = 0. La distancia rmin corresponde a θ=0

⇒

rmin =

q l2 = , 2 2µk

(3.144)

mientras que θ=π

⇒

rmax → ∞ .

(3.145)

La condici´ on E = 0 en la Ec. (3.25) implica que la velocidad radial r˙ de la part´ıcula en rmax = ∞ es cero.

CAP´ITULO 3. FUERZAS CENTRALES

124

´ Figura 3.17: Orbita parab´ olica. Un punto P de la par´ abola satisface d1 = d2 .

Geom´etricamente, una par´ abola es el conjunto de puntos P tales que d1 = d2 , donde d1 es la distancia al foco de atracci´ on f y d2 es la distancia perpendicular a la recta denominada directriz, Fig.(3.17). El punto correspondiente a (θ = π/2, r = q) indica que la distancia perpendicular entre el eje y y la recta directriz es igual a q. ´ 4. Orbita hiperb´ olica. Corresponde a la Ec. (3.109) de una c´ onica con e > 1, (E > 0). La ´orbita es abierta, rmax = ∞, y el perihelio corresponde a q θ = 0 ⇒ rmin = . (3.146) 1+e ´ Orbitas hiperb´ olicas aparecen en problemas de dispersi´on en campos de fuerzas centrales y ser´ an estudiadas en la Sec. 3.7. La Fig. (3.18) muestra las cuatro ´ orbitas posibles en el problema de Kepler.

Figura 3.18: Tipos de o´rbitas en el potencial de Kepler V (r) = −k/r, correspondientes a un mismo valor de rmin = ro = l2 /µk.

3.5. LEYES DE KEPLER Y DEPENDENCIA TEMPORAL

3.5.

125

Leyes de Kepler y dependencia temporal

La Primera Ley de Kepler establece que los planetas describen ´orbitas el´ıpticas alrededor del Sol. En efecto, hemos visto que una part´ıcula (planeta) sujeta al potencial gravitacional V (r) = −k/r, con E < 0, describe una ´orbita el´ıptica. Por otro lado, vimos en la Sec. 3.1 que un potencial central V (r) implica la conservaci´ on del momento angular l = µr2 θ˙ = cte. (3.147) La constancia de la cantidad l puede interpretarse geom´etricamente.

´ Figura 3.19: Izquierda: Area barrida por el radio vector r(t) en un intervalo de tiempo dt.

El diferencial de ´ area barrida por el radio vector r en un tiempo infinitesimal dt es dA =

1 1 (rdθ)r = r2 dθ . 2 2

(3.148)

El ´ area barrida por unidad de tiempo es 1 dθ 1 ˙ dA = r2 = r2 θ. dt 2 dt 2

(3.149)

Usando la Ec. (3.147), dA dt dA ⇒ dt

= =

  1 2 l r 2 µr2 l = cte. 2µ

(3.150)

La Ec. (3.150) constituye la Segunda Ley de Kepler : la velocidad areal es constante bajo fuerzas centrales, i.e., el radio vector barre ´areas iguales en tiempos iguales. En ´ orbitas el´ıpticas, la Segunda Ley de Kepler implica que la velocidad angular aumenta cerca del centro (foco) de atracci´on y disminuye lejos de ´este. En particular, 2 2 rmin θ˙max = rmax θ˙min ,

(3.151)

donde θmax y θmin son los valores m´aximo y m´ınimo de la velocidad angular, respectivamente.

CAP´ITULO 3. FUERZAS CENTRALES

126

Figura 3.20: Segunda Ley de Kepler para una o´rbita el´ıptica. Si la o´rbita es finita, r ∈ [rmin , rmax ], el ´area A encerrada por la ´orbita es finita y resulta barrida por el radio r en un tiempo igual al per´ıodo del movimiento Tp , Z Tp l l A= Tp . (3.152) dt = 2µ 0 2µ En particular, si la ´ orbita es una elipse en el potencial V (r) = −k/r, el ´area encerrada es A = πab, donde a es el semieje mayor, y b es el semieje menor de la elipse. Vimos que √ b = a 1 − e2 y q = a(1 − e2 ); luego p A = πa2 1 − e2 = πa3/2 q 1/2 s l2 = πa3/2 , (3.153) µk donde hemos usado q = tenemos

l2 µk .

Igualando la Ec. (3.152) con la Ec. (3.153), y despejando Tp , r µa3 Tp = 2π . (3.154) k La Ec (3.154) constituye la Tercera Ley de Kepler en su forma exacta. En el sistema solar, supongamos que M es la masa del Sol, situado en el foco, y m es la masa del planeta que describe una ´orbita el´ıptica. Entonces, podemos asumir m/M  1. La masa reducida correspondiente al sistema Sol-planeta es Mm Mm  m −1 µ= = 1+ ≈ m. (3.155) M +m M M

Entonces, usando k = GM m, la Ec (3.154) puede escribirse en forma aproximada como 4π 2 3 a GM ⇒ Tp2 ∝ a3 ,

Tp2 ≈

(3.156) (3.157)

3.5. LEYES DE KEPLER Y DEPENDENCIA TEMPORAL

127

donde la constante de proporcionalidad es la misma para todos los planetas del sistema solar. La Ec. (3.157) es la forma de la Tercera Ley formulada originalmente por Kepler. La Tercera Ley de Kepler se ha empleado en el descubrimiento de nuevos planetas fuera del sistema solar, denominados exoplanetas. El per´ıodo orbital se puede determinar a partir de la observaci´ on del per´ıodo del corrimiento Doppler en el espectro de la estrella, la cual gira alrededor del centro de masa del sistema exoplaneta-estrella. La masa de la estrella puede conocerse en muchos casos mediante t´ecnicas espectrales. Entonces la Tercera Ley de Kepler permite calcular la distancia a de la ´orbita del exoplaneta.

Figura 3.21: Diagrama de masa versus distancia de exoplanetas y planetas del sistema solar, identificados por sus iniciales. (Physics Today, p. 46, mayo 2009).

En resumen, tenemos las tres Leyes de Kepler : 1. Primera Ley: los planetas describen ´orbitas el´ıpticas alrededor del Sol, el cual se encuentra en uno de los focos de la elipse. (Consecuencia de la forma V (r) = − kr ). 2. Segunda Ley: el ´ area barrida por unidad tiempo por el radio vector que va desde el Sol al planeta es constante: A˙ = cte. (Consecuencia del potencial central V (r) y, por tanto, de la conservaci´on de l). 3. Tercera Ley: el cuadrado del per´ıodo del movimiento es proporcional al cubo del semieje mayor de la ´orbita, para todos los planetas: Tp2 ∝ a3 . (Consecuencia de l = cte y de la forma V (r) = − kr ).

CAP´ITULO 3. FUERZAS CENTRALES

128 Ecuaci´ on de Kepler.

La dependencia temporal de la coordenada radial r(t) en una ´orbita el´ıptica puede obtenerse por integraci´ on de la Ec. (3.28) para el potencial V = −k/r, r Z µ dr s t= , (3.158) 2 l2 k E− + 2µr2 r donde

k < 0. 2a Expresemos l en t´erminos de los par´ ametros de la elipse a y e, E=−

l2 2El2 =1− 2 µk aµk 2 2 ⇒ l = (1 − e )aµk.

e2 = 1 +

Sustituyendo en la integral Ec. (3.158), tenemos r Z µ dr r t = 2 k (1 − e2 )ak k − − + 2a 2r2 r r Z µ r dr r = 2 kp 2 −r − (1 − e2 )a2 + 2ra 2a r Z µa rdr p = . 2 2 k e a − (r − a)2

(3.159)

(3.160) (3.161)

(3.162)

Haciendo el cambio de variables r = a(1 − e cos ψ) ,

(3.163)

dr = ae sin ψ dψ ,

(3.164)

la integral Ec. (3.162) queda t

r

µa k

r

µa3 k

= = r =

Z

a(1 − e cos ψ) ae sin ψ dψ p ea 1 − cos2 ψ

Z (1 − e cos ψ) dψ

µa3 (ψ − e sin ψ) + cte. k

(3.165)

Escogemos la condici´ on inicial r(0) = rmin = a(1 − e) en t = 0; lo que implica ψ = 0 para t = 0; luego la constante es igual a cero en la Ec. (3.165).

3.5. LEYES DE KEPLER Y DEPENDENCIA TEMPORAL

129

Usando la Tercera Ley de Kepler, r Tp = 2π

µa3 , k

definimos la frecuencia angular del movimiento s 2π k . ω≡ = Tp µa3

(3.166)

(3.167)

Luego, la dependencia temporal del radio en una ´orbita el´ıptica en el problema de Kepler puede expresarse mediante las relaciones param´etricas ωt = ψ − e sin ψ,

(3.168)

r = a(1 − e cos ψ),

(3.169)

que se conocen como ecuaciones de Kepler. Estas ecuaciones permiten encontrar la distancia radial r(t) en funci´ on del tiempo, a trav´es del par´ametro ψ, dados los par´ametros geom´etricos de la elipse a y e. Consecuentemente, puede encontrarse el ´angulo θ(t) mediante la ecuaci´ on q = 1 + e cos θ(t) . (3.170) r(t) El par´ ametro ψ en la ecuaci´on de Kepler se denomina anomal´ıa exc´entrica de la elipse y puede interpretarse geom´etricamente. Consideremos la Fig. (3.22).

Figura 3.22: Definici´on de la anomal´ıa exc´entrica ψ. donde, P es un punto sobre la elipse con semiejes a y b, y excentricidad e. Q es un punto sobre la circunferencia de radio a que circunscribe la elipse. ψ es el ´ angulo denominado anomal´ıa exc´entrica. θ se denomina anomal´ıa verdadera. a es el semieje mayor. b es el semieje menor.

CAP´ITULO 3. FUERZAS CENTRALES

130 rmin = a(1 − e) es el perihelio. rmax = a(1 + e) es el afelio. q = a(1 − e2 ) es el latus.

El punto P (x, y) satisface la ecuaci´ on de la elipse en coordenadas cartesianas, Ec. (3.141), y2 (x + ae)2 + = 1. a2 b2

(3.171)

De la Fig. (3.22) tenemos, x + ae , (3.172) a y sustituyendo en la ecuaci´ on de la elipse en coordenadas cartesianas, podemos obtener cos ψ =

y = sin ψ . b

(3.173)

En t´erminos de a y e, x = a(cos ψ − e), p y = b sin ψ = a 1 − e2 sin ψ,

(3.174) (3.175)

√ (usando b = a 1 − e2 ). La coordenada radial r del punto P puede expresarse r 2 = x2 + y 2

= a2 (cos ψ − e)2 + a2 (1 − e2 ) sin2 ψ = a2 (1 − e cos ψ)2 .

(3.176)

r = a(1 − e cos ψ) ,

(3.177)

Luego, que es el cambio de variable usado en la Ec. (3.163) para la integraci´on de t. La Ec. (3.177) corresponde a la ecuaci´ on de la ´ orbita el´ıptica en t´erminos de la anomal´ıa exc´entrica. La relaci´ on entre los ´ angulos θ y ψ puede determinarse comparando la Ec. (3.177) con la ecuaci´ on de la elipse en coordenadas polares, q = 1 + e cos θ . r

(3.178)

Empleando la relaci´ on q = a(1 − e2 ), obtenemos (1 − e2 ) 1 + e cos θ e + cos θ cos ψ = . 1 + e cos θ

1 − e cos ψ = ⇒

(3.179) (3.180)

3.5. LEYES DE KEPLER Y DEPENDENCIA TEMPORAL

131

Ejemplos. ´ 1. Area encerrada por una ´orbita el´ıptica con par´ametros q y e. El elemento diferencial de ´area en coordenadas polares es dA =

1 2 r dθ . 2

(3.181)

La ´ orbita el´ıptica con e < 1 est´a dada por q . 1 + e cos θ

r(θ) =

(3.182)

El ´ area encerrada por la elipse corresponde a la integraci´on 1 A= 2

Z

2π

1 r (θ) dθ = q 2 2 2 2

0

Z

π

0

dθ . (1 + e cos θ)2

La integral puede encontrarse en tablas matem´aticas en la forma   Z dθ 2 −1 (1 − e) tan(θ/2) = tan (1 + e cos θ)2 (1 − e2 )3/2 (1 − e2 )1/2 e sin θ . − (1 − e2 )(1 + e cos θ)

(3.183)

(3.184)

El segundo t´ermino en la expresi´on Ec. (3.184) se anula al ser evaluado en los l´ımites θ = 0 y θ = π, mientras que el primer t´ermino contribuye en tan−1



 π (1 − e) tan(θ/2) π = 2. (1 − e2 )1/2 0

(3.185)

Luego, A

= q2

Z 0

=

π

dθ (1 + e cos θ)2

πq 2 . (1 − e2 )3/2

(3.186)

Usando las relaciones q = a(1 − e2 ) y b = a(1 − e2 )1/2 , el ´area de la elipse tambi´en puede expresarse como A

= πq 1/2 a3/2

(3.187)

= πab.

(3.188)

CAP´ITULO 3. FUERZAS CENTRALES

132

2. Similitud mec´ anica y per´ıodo orbital para potenciales centrales V (r) = −kr−n . Una similitud mec´ anica es una transformaci´on de las escalas de longitud y de tiempo que deja invariante la forma de la ecuaci´on de movimiento de una part´ıcula. Consideremos la ecuaci´ on de movimiento de una part´ıcula de masa m en el potencial V (r) = −kr−n , m¨r = −∇V (r) = −k n r−(n+1) ˆ r. (3.189) Sea a = (rmin + rmax )/2 la longitud que caracteriza el tama˜ no de una ´orbita finita; por ejemplo el semieje mayor en una ´orbita el´ıptica, y sea T el tiempo requerido para recorrer esa distancia; por ejemplo, el per´ıodo de una ´orbita el´ıptica ser´ıa 2T . Consideremos la transformaci´ on r0 = λr,

t0 = τ t,

(3.190)

donde λ y τ son constantes. Entonces dr dt d2 r dt2

τ dr0 , 0 λ dt     τ d dr0 d dr τ 2 d2 r0 = = . dt dt λ dt dt0 λ dt02

= =

(3.191) (3.192)

La ecuaci´ on de movimiento en las nuevas variables r0 y t0 se transforma como  2 τ kn m¨r0 = −λ(n+1) 0(n+1) ˆ r0 . (3.193) λ r La transformaci´ on es una similitud mec´anica; i. e., la ecuaci´on de movimiento preserva su forma, si τ = λ(n+2)/2 . (3.194) La longitud caracter´ıstica a y el tiempo caracter´ıstico T se transforman como a0 = λa,

T 0 = τ T.

(3.195)

Luego, T0 a0

= ⇒

        τ T T a n/2 T n/2 =λ = λ a a a0 a  (n+2)/2  0 (n+2)/2 T T = . a a0

(3.196) (3.197)

Entonces, podemos escribir T ∝ a(n+2)/2 .

(3.198)

Para n = 1 tenemos el potencial gravitacional y la Ec. (3.198) reproduce la Tercera Ley de Kepler, T ∝ a3/2 . Para n = −2, el potencial corresponde a un oscilador arm´ onico tridimensonal, y la Ec. (3.198) indica que el per´ıodo de la ´orbita es independiente de su tama˜ no o amplitud.

´ ´ ´ 133 3.6. ESTABILIDAD DE ORBITAS CIRCULARES Y ANGULO DE PRECESION

3.6.

Estabilidad de ´ orbitas circulares y ´ angulo de precesi´ on

El radio ro de una ´ orbita circular descrita por una part´ıcula sujeta a un potencial efectivo l2 , (3.199) Vef (r) = V (r) + 2µr2 est´ a dado por la condici´ on ∂Vef =0 ∂r ro

(3.200)

∂V l2 ⇒ − 3 = 0. ∂r ro µro

(3.201)

La ´ orbita circular es estable si ro corresponde al valor m´ınimo del potencial efectivo Vef (min) = Vef (ro ); es decir, ∂ 2 Vef >0 ∂r2 ro

(3.202)

3l2 ∂ 2 V + > 0. ⇒ ∂r2 ro µro4

(3.203)

La fuerza central sobre una part´ıcula en la ´orbita circular de radio ro es ∂V l2 f (ro ) = − =− 3, ∂r ro µro

(3.204)

donde el signo menos indica que la fuerza es atractiva. Luego, en t´erminos de f (ro ), la condici´ on de estabilidad de una ´orbita circular de radio ro , Ec. (3.203), se puede expresar como ∂f 3f (ro ) − − >0 ∂r ro ro ⇒

3f (ro ) + f 0 (ro ) < 0. ro

(3.205)

Supongamos que la energ´ıa de la part´ıcula es E > Vef (ro ), donde ro es el radio de la ´rbita circular estable. Entonces, los valores posibles de r ocurren en el intervalo entre o rmin y rmax que contiene al radio ro . Consideremos una oscilaci´on radial de peque˜ na amplitud η alrededor del radio de la orbita circular ro , tal que η/ro  1. ´ r = ro + η.

(3.206)

CAP´ITULO 3. FUERZAS CENTRALES

134

Figura 3.23: Desviaci´on η de una o´rbita circular de radio ro en un potencial efectivo Vef . Entonces, el potencial efectivo para este valor de r cercano a ro se obtiene mediante la expansi´ on de Taylor de la funci´ on Vef (r) alrededor de ro , 0 >  1 ∂ 2 Vef ∂Vef Vef (r) = Vef (ro ) +  (r − ro ) + (r − ro )2 + . . . 2 ∂r 2 ∂r ro ro 

(3.207)

El primer t´ermino en la Ec. (3.207) es una constante, Vef (ro ) = cte, la cual puede ser suprimida del potencial efectivo, y el segundo t´ermino se anula en virtud de la Ec. (3.201). Luego, podemos escribir hasta segundo orden en el par´ametro peque˜ no η, 2 1 ∂ Vef 1 Vef (r) = (r − ro )2 + . . . ≈ Kη 2 , (3.208) 2 2 ∂r ro 2 donde hemos llamado K≡

∂ 2 Vef = cte . ∂r2 ro

(3.209)

La fuerza efectiva correspondiente es fef (r) = −

∂Vef ∂ 2 Vef ≈− (r − ro ) = −Kη . ∂r ∂r2 ro

(3.210)

La ecuaci´ on de movimiento radial, Ec. (3.50), µ¨ r = fef (r)

(3.211)

µ¨ η = −Kη ,

(3.212)

para r = ro + η resulta en puesto que r¨ = r¨0 + η¨ = η¨, (ro = cte). Esta ecuaci´on corresponde a un oscilador arm´onico, η¨ + ωr2 η = 0 ,

(3.213)

con frecuencia de oscilaci´ on radial ωr2

K 1 ∂ 2 Vef = = . µ µ ∂r2 r0

(3.214)

´ ´ ´ 135 3.6. ESTABILIDAD DE ORBITAS CIRCULARES Y ANGULO DE PRECESION

Figura 3.24: Oscilaciones radiales alredededor de una ´orbita circular de radio ro . Se denomina ´ angulo de precesi´ on ∆θ al ´angulo recorrido por la direcci´on del perihelio en el plano del movimiento durante un per´ıodo de oscilaci´on radial Tr . Luego, θ˙ , (3.215) ∆θ = θ˙ Tr = 2π ωr donde l θ˙ = 2 (3.216) µr0 es la velocidad angular de la o´rbita circular. Sustituyendo en la Ec. (3.215), tenemos !−1/2 l 1 ∂ 2 Vef . (3.217) ∆θ = 2π 2 µr0 µ ∂r2 r0 La direcci´ on del perihelio rmin cambia en un ´angulo ∆θ durante la precesi´on de la orbita. La condici´ ´ on para que ocurra precesi´on es que ∆θ < 2π; es decir, θ˙ < ωr .

´ Figura 3.25: Angulo de precesi´ on ∆θ durante un per´ıodo de oscilaci´ on radial.

Una ´ orbita es cerrada si las coordenadas r y θ (m´odulo 2π) se repiten peri´odicamente. Para que una ´ orbita sea cerrada, ´esta debe ser finita, r ∈ [rmin , rmax ]. La ´ orbita se cierra si m ∆θ = 2π , m, n, enteros; (3.218) n es decir, si ∆θ es una fracci´ on racional de 2π.

CAP´ITULO 3. FUERZAS CENTRALES

136

De la definici´ on, Ec. (3.215), obtenemos la condici´on para que una ´orbita sea cerrada, θ˙ m = ωr n

⇒

nTr = mTθ ;

(3.219)

˙ r es un n´ La ´ orbita se cierra si el cociente θ/ω umero racional. Despu´es de n per´ıodos radiales (rmin → rmax → rmin ), el perihelio completa m revoluciones (m2π) y la ´orbita ˙ r es un n´ se cierra (se repite). Si θ/ω umero irracional, la ´orbita resultante se denomina cuasiperi´ odica y nunca se cierra. Recordemos que el ´ angulo θ en funci´on de r puede calcularse mediante la Ec. (3.33), Z r dr l √ s + θ0 . (3.220) θ= 2µ r0 l2 2 r E − V (r) − 2µr2 El ´ angulo de precesi´ on barrido por el perihelio durante un per´ıodo de oscilaci´on radial, rmin → rmax → rmin , corresponde a Z rmax dr 2l √ s ∆θ = . (3.221) 2µ rmin l2 2 r E− − V (r) 2µr2 El valor del ´ angulo de precesi´ on ∆θ dado por la Ec. (3.221) depende de V (r). En particular, el hecho de que la ´ orbita sea cerrada (i.e. ∆θ/2π es una fracci´on racional) depende de la forma del potencial central V (r). Teorema de Bertrand: Las u ´nicas formas funcionales de potenciales centrales V (r) que producen ´orbitas cerradas son V (r) ∝ 1r (gravitacional) y V (r) ∝ r2 (oscilador arm´onico).

Figura 3.26: Joseph Louis Francois Bertrand (1822-1900). Las ´ orbitas el´ıpticas en el potencial V (r) ∝ 1/r son cerradas y, como veremos, no precesan. La mayor´ıa de las ´ orbitas observadas en el Universo (sistemas planetarios, estrellas binarias, etc) son cerradas. Las peque˜ nas desviaciones detectadas de ´orbitas cerradas se pueden atribuir a la presencia de otros cuerpos. Por otro lado, las ´orbitas en el potencial V (r) ∝ r2 pueden exhibir precesi´on y formar figuras cerradas de Lissajous.

´ ´ ´ 137 3.6. ESTABILIDAD DE ORBITAS CIRCULARES Y ANGULO DE PRECESION

Ejemplos. 1. Determinar los valores del exponente n que producen ´orbitas circulares estables para la fuerza f (r) = −krn (k > 0). La condici´ on de estabilidad Ec. (3.205) da −3kron−1 − nkron−1 < 0, ⇒ n > −3 .

(3.222)

En particular, la fuerza gravitacional (n = −2) y la fuerza de un resorte (n = 1) producen ´ orbitas circulares estables. 2. Dibujar la ´ orbita resultante si ∆θ = 2π/3. La Ec. (3.219) da m = 1 y n = 3; luego, la ´orbita se cierra despu´es de 3 per´ıodos de oscilaci´ on radial, Fig. (3.27).

´ Figura 3.27: Orbita cerrada con ∆θ/2π = 1/3.

3. Calcular el ´ angulo de precesi´on ∆θ para oscilaciones radiales alrededor de una orbita circular de radio ro para una part´ıcula en el potencial V (r) = g(r) − kr , ´ donde g(r) es una funci´ on de r y k=cte. El potencial efectivo es Vef (r)

= V (r) +

l2 l2 k = g(r) − + , 2 2µr r 2µr2

(3.223)

El radio ro satisface ∂Vef k l2 = g 0 (ro ) + 2 − 3 = 0 , ∂r ro ro µro

(3.224)


l2 = µ g 0 (ro )ro3 + kro .

(3.225)

de donde obtenemos La frecuencia radial es ωr2

  1 ∂ 2 Vef 1 2k 3l2 00 = = g (ro ) − 3 + 4 . µ ∂r2 ro µ ro µr0

(3.226)

CAP´ITULO 3. FUERZAS CENTRALES

138 Sustituyendo l2 , ωr2

= =

  1 00 3 2k g (ro ) − 3 + 4 (g 0 (ro )ro3 + kro ) µ ro ro   1 3 k g 00 (ro ) + g 0 (ro ) + 3 . µ ro ro

(3.227)

La velocidad angular es θ˙ =

  0 1/2 1 g (ro ) l k = . + µro2 µ ro ro3

(3.228)

El ´ angulo de precesi´ on es 1/2 g 0 (ro ) k +   ro r03  = 2π  0   g (r ) k o 00 g (ro ) + 3 + 3 ro r0  1/2 0 2 g (ro )ro + k = 2π . g 00 (ro )ro3 + 3g 0 (ro )ro2 + k 

∆θ = 2π

θ˙ ωr

!

(3.229)

Notemos que si g = 0 (o constante); entonces ∆θ = 2π, i.e., no hay precesi´on. Esto significa que el potencial gravitacional V (r) = −k/r no produce precesi´on. Una ´ orbita el´ıptica en el problema de Kepler no precesa (mantiene la direcci´on del perihelio constante). Si se observa precesi´on, debe existir alguna perturbaci´on adicional al potencial V (r) = −k/r. En el sistema solar, la ´orbita del planeta Mercurio presenta una precesi´ on de 4300 (segundos de arco) por siglo, cuya explicaci´on, como una correcci´ on a ese potencial, fue dada por Einstein usando la Teor´ıa de Relatividad General.

Figura 3.28: Precesi´on de la o´rbita del planeta Mercurio.

3.7. EL VECTOR DE LAPLACE-RUNGE-LENZ

3.7.

139

El vector de Laplace-Runge-Lenz

Vimos que la ´ orbita correspondiente al problema de Kepler con el potencial central V (r) = −k/r y la fuerza gravitacional f (r) = f (r)ˆr, f (r) = −k/r2 , es una secci´on c´onica, q = 1 + e cos θ, (3.230) r q 2 donde q = l2 /µk, e = 1 + 2El µk2 . Sustituyendo q, la Ec. (3.230) puede escribirse como rA cos θ = l2 − µkr,

(3.231)

A ≡ µke.

(3.232)

donde hemos definido La cantidad A puede expresarse como s p 2El2 = µ2 k 2 + 2µEl2 = cte. A = µk 1 + 2 µk

(3.233)

El lado izquierdo de la Ec. (3.231) se puede expresar como el producto escalar Ar cos θ = r · A,

(3.234)

donde A es un vector cuya magnitud es constante, dada por la Ec. (3.233), y su direcci´on debe estar en la direcci´ on del perihelio. Si esa direcci´on yace sobre el eje x, entonces ˆ. A = µke x

´ Figura 3.29: Angulo entre r y la direcci´ on fija de A (µ ≈ m, masa del planeta).

Entonces, la ecuaci´ on de la c´onica, Ec. (3.230), puede escribirse como r · A = l2 − µkr.

(3.235)

Para determinar el vector A, expresamos los t´erminos del lado derecho de la Ec. (3.235) como l2 = l · l = l · (r × p) = r · (p × l), r r = r · ˆr = r · . r

(3.236) (3.237)

CAP´ITULO 3. FUERZAS CENTRALES

140 Sustituyendo en la Ec. (3.235), obtenemos

r · A = r · [(p × l) − µkˆr] ,

(3.238)

A ≡ p × l − µkˆr.

(3.239)

de donde podemos identificar El vector A se denomina vector de Laplace-Runge-Lenz y, como demostraremos, constituye otra cantidad conservada en el problema de Kepler. De la expresi´on de A se puede ver que A · l = 0, (3.240) puesto que l es perpendicular a p × l y a r. De la ortogonalidad entre A y l, se deriva que el vector A debe yacer sobre el plano del movimiento, el cual es perpendicular a la direcci´ on de l. Consideremos la derivada total con respecto al tiempo del vector A, dA d dˆr = (p × l) − µk . dt dt dt

(3.241)

0 dp dl
 dp d (p × l) = ×l+p×
= × (r × µv) , dt dt dt
dt

(3.242)

Calculemos el primer t´ermino

puesto que l es constante en un campo de fuerza central. Por otro lado, dp r = f (r) = f (r)ˆr = f (r) . dt r

(3.243)

   f (r) dr d (p × l) = µ r× r× . dt r dt

(3.244)

Luego,

Usando la identidad vectorial a × (b × c) = b(a · c) − c(a · b), tenemos     d f (r) dr dr (p × l) = µ r r· − r2 . dt r dt dt

(3.245)

Esta expresi´ on puede ser simplificada notando que d dr d dr (r · r) = 2r · = (r2 ) = 2r ; dt dt dt dt

(3.246)

  d dr dr (p × l) = µf (r) r − r . dt dt dt

(3.247)

luego,

Esta expresi´ on puede simplicarse a´ un m´as si notamos que   d r dr 1 r dr d r dr dr = − 2 ⇒ −r2 =r −r . dt r dt r r dt dt r dt dt

(3.248)

3.7. EL VECTOR DE LAPLACE-RUNGE-LENZ

141

Luego, d d r . (3.249) (p × l) = −µf (r)r2 dt dt r Sustituyendo la fuerza gravitacional en el problema de Kepler, f (r) = −k/r2 , obtenemos d dˆr d r = µk . (p × l) = µk (3.250) dt dt r dt Luego, la Ec. (3.241) da dA = 0, (3.251) dt lo cual implica que el vector de Laplace-Runge-Lenz es constante, A = p × l − µkˆr = cte.

(3.252)

Figura 3.30: Vector de Laplace-Runge-Lenz en varias posiciones sobre una o´rbita Kepleriana. La magnitud del vector A (Ec. (3.233)) es dependiente de otras integrales del movimiento, l y E; pero la direcci´ on de A, correspondiente a la direcci´on del perihelio, provee una nueva cantidad conservada en el problema de Kepler. La constancia de la direcci´on de A implica que una ´ orbita en el potencial V (r) = −k/r no presenta precesi´on.

Figura 3.31: Izquierda: Pierre-Simon Laplace (1749 -1827). Centro: Carl Runge (1856-1927). Derecha: Wilhem Lenz (1888-1957).

El sistema de dos cuerpos sujetos a la fuerza gravitacional que var´ıa como el inverso del cuadrado de la distancia constituye un sistema superintegrable, pues existen seis grados de libertad (tres para cada part´ıcula) y siete cantidades conservadas: las tres componentes de la velocidad del centro de masa vcm , la direcci´on del momento angular l, su magnitud l, la energ´ıa E y la direcci´ on del vector de Laplace-Runge-Lenz A.

CAP´ITULO 3. FUERZAS CENTRALES

142

3.8.

Dispersi´ on en campo de fuerza central

Dispersi´ on (scattering) en un campo de fuerza central consiste en la desviaci´on de la trayectoria de una part´ıcula con E > 0 debida a la interacci´on en un potencial V (r), que puede ser atractivo o repulsivo. La part´ıcula describe una trayectoria abierta desde r = ∞ hasta r = rmin y retorna a r = ∞, cambiando la direcci´on de su velocidad v. El ´ angulo entre la direcci´ on de la velocidad inicial y la direcci´on de la velocidad final se denomina ´ angulo de dispersi´ on χ. En el problema de Kepler, la trayectoria de una part´ıcula con E > 0 describe una ´ orbita hiperb´ ´ olica. Esta puede ser de dos tipos: 1) Potencial de Kepler atractivo, V (r) = − kr , correspondiente a la fuerza gravitacional entre dos part´ıculas o a la fuerza de Coulomb entre cargas el´ectricas de signo opuesto. Consideremos la ecuaci´ on de la ´ orbita, Ec. (3.80), l2 00 dV (u + u) = − , µ du

(3.253)

donde u = 1/r. Para V = −ku, esta ecuaci´on resulta en µk . l2

(3.254)

u = uh + up ,

(3.255)

u00 + u = Su soluci´ on tiene la forma

donde uh es la soluci´ on de la ecuaci´ on homog´enea u00h + uh = 0

(3.256)

uh = A cos(θ − θ0 ) ,

(3.257)

correspondiente a y up es la soluci´ on particular kµ . l2

(3.258)

kµ 1 = 2 (1 + e cos θ) , r l

(3.259)

up = Luego, la solucion se puede expresar como u=

con la condici´ on θ = 0 → r = rmin y e = cte. Esta corresponde a la hip´erbola q = 1 + e cos θ, r donde l2 q= , µk puesto que E > 0.

s e=

1+

2El2 > 1, µk 2

(3.260)

(3.261)

´ EN CAMPO DE FUERZA CENTRAL 3.8. DISPERSION

143

De la Ec. (3.260) obtenemos q , para θ = 0 , (3.262) 1+e 1 π rmax → ∞ para cos θmax = − ⇒ θmax > . (3.263) e 2 El potencial atractivo produce una desviaci´on de la trayectoria que encierra al foco. El ´ angulo de dispersi´ on χ corresponde al ´angulo entre las as´ıntotas: χ = 2θmax − π. rmin =

´ Figura 3.32: Orbita hiperb´ olica para V (r) = −k/r.

2) Potencial de Kepler repulsivo V (r) = kr ; por ejemplo, correspondiente a la fuerza de Coulomb entre dos cargas el´ectricas del mismo signo, f (r) = rk2 ˆr. La ecuaci´ on de la ´ orbita en este caso es kµ u00 + u = − 2 , (3.264) l y su soluci´ on es u = uh + up , donde uh es la solucion de la ecuaci´on homog´enea, Ec. (3.256), y up es la soluci´ on particular up = −

kµ . l2

(3.265)

Luego, se puede expresar µk 1 = 2 (e cos θ − 1) r l con la condici´ on θ = 0 → r = rmin . Con q = µk l2 , esto es u=

q = e cos θ − 1, r lo que corresponde a un hip´erbola que no encierra al foco. De la Ec. (3.267) obtenemos q , para θ = 0 , rmin = e−1 1 π rmax → ∞ , para cos θmax = ⇒ θmax < . e 2

(3.266)

(3.267)

(3.268) (3.269)

144

CAP´ITULO 3. FUERZAS CENTRALES

´ hiperb´ olica para V (r) = k/r. Figura 3.33: Orbita

La ´ orbita no tiene intersecci´ on con el eje y. El potencial repulsivo causa una desviaci´on de la trayectoria hacia fuera del foco. El ´angulo de dispersi´on es χ = π − 2θmax . ´ Angulo de dispersi´ on y secci´ on eficaz en un potencial central. Consideremos un potencial de interacci´on V (r) entre una part´ıcula de masa M situada en el foco y una part´ıcula con masa m  M (µ ≈ m) incidente desde r → ∞ y que describe una ´ orbita sim´etrica con respecto al perihelio (eje x). Asumimos que la energ´ıa inicial es E = 21 mv02 , donde v0 es la velocidad inicial de la part´ıcula incidente. El ´ angulo de dispersi´ on χ es el ´ angulo entre la direcci´on del vector velocidad inicial v0 y la direcci´ on del vector velocidad final vf .

Figura 3.34: Dispersi´on en un potencial repulsivo V (r). Se define el par´ ametro de impacto b como la distancia perpendicular entre la direcci´on de la velocidad inicial v0 de la part´ıcula incidente y la as´ıntota adyacente. Los datos iniciales que se emplean generalmente en problemas de dispersi´on en campos centrales son b y E. De la Fig. (3.35), obtenemos la magnitud del momento angular, l = rp sin(π − α) = mv0 r sin α = mv0 b.

(3.270)

l2 = m2 v02 b2 = 2Emb2 .

(3.271)

Luego,

´ EN CAMPO DE FUERZA CENTRAL 3.8. DISPERSION

145

Figura 3.35: Par´ametro de impacto. Notemos tambi´en que se puede expresar s r  2 2 2El 2Eb e= 1+ = 1 + . mk 2 k El ´ angulo θmax est´ a dado por la integral Z rmax l θmax = √ 2m rmin Z =

∞

b rmin

dr r

l2 E − V (r) − 2mr2 dr r , 2 b V (r) − 2 r2 1 − E r

(3.272)

,

(3.273)

r2

(3.274)

donde hemos sustituido l. Con el cambio de variable u = 1/r, la integral Ec. (3.274) se convierte en Z um du r θmax = b , (3.275) V (u) 0 2 2 −b u 1− E donde los nuevos l´ımites son u = 0 (r → ∞) y um = 1/rmin . Conociendo θmax , el ´ angulo de dispersi´on χ puede determinarse geom´etricamente. Generalmente se emplea un haz de part´ıculas id´enticas en experimentos de dispersi´on. Las diferentes part´ıculas en el haz tienen distintos par´ametros de impacto con respecto al centro de fuerza y, por lo tanto, son dispersadas con diferentes ´angulos χ.

Figura 3.36: Flujo de part´ıculas incidentes sobre un blanco situado en f. Se define la intensidad del flujo I como el n´ umero de part´ıculas incidentes por unidad de a ´rea y por unidad de tiempo, # part. I= . (3.276) A×t

CAP´ITULO 3. FUERZAS CENTRALES

146

Las part´ıculas en el haz incidente que poseen un mismo valor de b son dispersadas en un cono con v´ertice en el foco f y ´ angulo de v´ertice χ, puesto que el problema posee simetr´ıa axial. Este cono encierra un ´ angulo s´olido Ω.

Figura 3.37: Dispersi´on en a´ngulo s´olido dΩ. El diferencial de ´ angulo s´ olido dΩ es (Fig. (3.37)) dΩ =

dA (2πr sin χ)(rdχ) = = 2π sin χdχ. r2 r2

(3.277)

Sea n(Ω) el n´ umero part´ıculas que son desviadas dentro del ´angulo s´olido Ω por unidad de tiempo. Se define la secci´ on eficaz de dispersi´ on σ(Ω) como la fracci´on de part´ıculas incidentes que son desviadas dentro del ´angulo s´olido Ω por unidad de tiempo, σ(Ω) =

n(Ω) . I

(3.278)

Note que la secci´ on eficaz posee unidades de ´area. Luego, la expresi´on σ(Ω) dΩ =

n(Ω) dΩ, I

(3.279)

corresponde a la fracci´ on de part´ıculas dispersadas por unidad de tiempo en dΩ; es decir, representa la probabilidad de dispersi´ on en un diferencial de ´angulo s´olido dΩ. La conservaci´ on del n´ umero de part´ıculas implica que el n´ umero de part´ıculas incidentes en el anillo de radio b y ancho db por unidad de tiempo debe ser igual al n´ umero de part´ıculas dispersadas en el diferencial de ´angulo dΩ por unidad de tiempo, n(Ω)dΩ. Esto es, I2πb db = Iσ(Ω) dΩ, 2πb db = σ(Ω)2π sin χ dχ.

(3.280)

Luego, la secci´ on eficaz σ(Ω) en funci´on del ´angulo de dispersi´on χ se puede expresar como

´ EN CAMPO DE FUERZA CENTRAL 3.8. DISPERSION

σ(χ) =

b sin χ

db , dχ

147

(3.281)

donde se toma el modulo de la derivada para garantizar que la candidad σ(χ) sea positiva, puesto que representa una probabilidad. Como un ejemplo, calculemos el ´angulo de dispersi´on de una part´ıcula incidente con energ´ıa E > 0 y par´ ametro de impacto b en un potencial central repulsivo V (r) = k/r. La integral Ec. (3.275) para este potencial es Z um du r θmax = b , (3.282) k 0 1 − u − b2 u 2 E Usando la integral Ec. (3.112), obtenemos    um 2b2 E  1+    um u    2b2 E k −1 1 −1   1+ u . θmax = cos  s  2  = cos e k  0 2bE  1+ k

(3.283)

0

De la ecuaci´ on de una hip´erbola en un potencial de Kepler repulsivo, Ec. (3.267), tenemos q rmin = , (3.284) e−1 l2 um = e − 1, (3.285) mk 2Eb2 ⇒ 1+ um = e. (3.286) k Luego, θmax ⇒ cos θmax

:0   −1 (1) =  cos − cos−1 =

1 

1 =s e 1+

2bE k

  1 e

2 ,

(3.287)

que es el mismo resultado que se obtiene directamente de la ´orbita hiperb´olica correspondiente a un potencial de Kepler repulsivo, Ec. (3.269). Entonces,  2 2bE 1 = − 1 = tan2 θmax , 2 k cos θmax 2bE ⇒ tan θmax = . (3.288) k

CAP´ITULO 3. FUERZAS CENTRALES

148

El ´ angulo de dispersi´ on χ para un potencial de Kepler repulsivo es χ = π − 2θmax

⇒

θmax =

π χ − . 2 2

(3.289)

Luego, tan θmax =

χ cos(χ/2) sin(π/2 − χ/2) . = = cot cos(π/2 − χ/2) sin(χ/2) 2

(3.290)

Sustituyendo en Ec. (3.288), obtenemos cot

χ 2

=

2bE , k

(3.291)

lo que permite expresar el ´ angulo de dispersi´on en funci´on de datos iniciales b, E, y de la constante k del potencial V (r) = k/r. Consideremos los casos l´ımites:
1. b = 0 ⇒ cot χ2 = 0 ⇒ χ = π. Choque frontal; la part´ıcula retrocede completamente.
2. b → ∞ ⇒ cot χ2 → ∞ ⇒ χ = 0. La part´ıcula pasa muy lejos del centro repulsivo; no hay dispersi´on. Como una aplicaci´ on del c´ alculo de la secci´on eficaz de dispersi´on, Ec. (3.281), consideremos el experimento de Rutherford que condujo al descubrimiento del n´ ucleo at´omico. En este caso, tenemos un potencial de Coulomb repulsivo V (r) = qq 0 /r, donde el n´ ucleo, que act´ ua como centro dispersor, tiene una carga q = +Ze (Rutherford emple´o ´atomos de oro, Z = 79) y las part´ıculas incidentes son part´ıculas α (n´ ucleos de helio), con carga q 0 = +2e, de modo que k = qq 0 = 2Ze2 , donde e es la carga del electr´on.

Figura 3.38: Experimento de Rutherford. De la Ec. (3.291), tenemos b=

χ k cot , 2E 2

(3.292)

luego,   db = k csc2 χ . dχ 4E 2

(3.293)

´ EN CAMPO DE FUERZA CENTRAL 3.8. DISPERSION

149

Sustituyendo en la Ec. (3.281), encontramos la secci´on eficaz σ(χ)

= = =

1 k k cot(χ/2) csc2 (χ/2) sin χ 2E 4E k 2 cot(χ/2) csc2 (χ/2) 8E 2 2 sin(χ/2) cos(χ/2)  2 χ 1 k . csc4 4 2E 2

(3.294)

Figura 3.39: Secci´on eficaz de dispersi´on en funci´on de χ en el experimento de Rutherford. Notemos que el valor de σ(χ) es grande para χ → 0; lo que indica que la mayor´ıa de las part´ıculas α pasan sin desviarse mucho. Sin embargo, para χ = π, σ(π) alcanza su valor m´ınimo no nulo; es decir, existe una probabilidad peque˜ na de observar part´ıculas α dispersadas completamente hacia atr´as. Estos comportamientos fueron observados por Rutherford, quien determin´ o experimentalmente la secci´on eficaz Ec. (3.294) que se deriva de un potencial central de Coulomb repulsivo V (r) = qq 0 /r. Este experimento demostr´o la existencia del n´ ucleo at´ omico: la carga positiva del ´atomo est´a concentrada en una regi´on muy peque˜ na comparada con el tama˜ no del ´atomo1 .

Figura 3.40: Ernest Rutherford (1871-1937).

1 Una

expresi´ on similar para σ(χ) se obtiene en Mec´ anica Cu´ antica con el potencial V (r) = k/r.

CAP´ITULO 3. FUERZAS CENTRALES

150

3.9.

Problemas

1. La velocidad angular m´ axima de cierto sat´elite alrededor del Sol es cuatro veces su velocidad angular m´ınima. a) Encuentre la excentricidad de la ´ orbita del sat´elite. b) Determine en cu´ anto debe disminuir su energ´ıa para caer en una ´orbita circular con el mismo momento angular que su ´orbita original. 2. Dos part´ıculas se mueven una alrededor de la otra en ´orbitas circulares con per´ıodo T , bajo la influencia de su mutua atracci´on gravitacional. Suponga que el movimiento de ambas part´ıculas es detenido repentinamente en un instante dado, y que las part´ıculas se dejan caer una hacia la otra. Encuentre el tiempo que tardan en chocar. 3. Una part´ıcula de masa m se mueve sin fricci´on sobre la superficie z = r2 (coordenadas cil´ındricas), donde z es la direcci´ on vertical. a) Encuentre la condici´ on de estabilidad de una ´orbita circular de radio ro sobre esta superficie. b) Encuentre la frecuencia de peque˜ nas oscilaciones radiales alrededor de esta ´orbita circular. 4. La sonda espacial Mariner IV fue dise˜ nada para viajar de la Tierra a Marte en una orbita el´ıptica alrededor del sol, con perihelio igual al radio de la ´orbita terrestre, ´ RT = 1UA, y afelio igual al radio de la ´orbita de Marte, RM = 1,5UA. Ambas ´orbitas pueden considerarse aproximadamente circulares. Desprecie los efectos gravitacionales de ambos planetas sobre el Mariner IV. a) ¿Cu´ antos meses tard´ o el Mariner IV en llegar a Marte?. b) Calcule con qu´e velocidad relativa a la Tierra debi´o ser lanzado el Mariner IV y con cu´ al direcci´ on. 5. Un cometa de masa m se mueve en una trayectoria parab´olica alrededor del sol y cruza la ´ orbita terrestre. Suponga que la ´orbita terrestre es circular y que est´a en el mismo plano que la trayectoria del cometa. Encuentre el m´aximo n´ umero de d´ıas que el cometa puede permanecer dentro de la ´orbita de la Tierra. 6. Una part´ıcula se mueve en el potencial V (r) =

b a + 2. r r

a) Determine la ´ orbita de la part´ıcula. b) Dibuje esquem´ aticamente el potencial efectivo para este sistema. 7. Una part´ıcula con momento angular l describe la ´orbita r = a(1 + cos θ). a) Encuentre la fuerza central que produce esta ´orbita. b) Calcule el per´ıodo de esta ´ orbita. c) Determine la energ´ıa m´ınima que debe tener la part´ıcula para escapar de esta orbita. ´ 8. Encuentre la relaci´ on entre la distancia radial y el tiempo para un asteroide con energ´ıa igual a cero, sujeto a la atracci´on solar.

3.9. PROBLEMAS

151

9. Una part´ıcula de masa m se mueve en el potencial de Yukawa V (r) = −

k −r/a e , r

donde k > 0 y a > 0 son constantes. a) Encuentre la condici´ on de estabilidad de una ´orbita circular de radio ro . b) Determine el per´ıodo de peque˜ nas oscilaciones radiales alrededor de esta ´orbita circular. 10. Un planeta de masa m gira alrededor de una estrella de masa M . La estrella est´a rodeada por un plasma de densidad uniforme ρ, que alcanza a envolver la ´orbita del planeta. a) Calcule el per´ıodo de una ´orbita circular estable de radio r = ro para el planeta. b) Calcule el momento angular de esta ´orbita circular. c) Encuentre el ´ angulo de precesi´on, si la ´orbita circular es ligeramente perturbada. 11. Una part´ıcula describe la o´rbita r = aθ2 , con a = constante. Encuentre la fuerza que causa esta ´ orbita. 12. Se observa que un cometa est´a a 108 km del Sol y se mueve con una velocidad de 50,9 km/s que forma un ´ angulo de 45o con el radio vector dirigido desde el Sol. a) Determine los par´ ametros e y q de la ´orbita del cometa. b) Calcule el ´ angulo al cual fue observado el cometa. c) Calcule el per´ıodo del cometa. 13. Una part´ıcula se mueve en el potencial V (r) = a/rp +b/rq , donde a y b son constantes. a) Encuentre los valores de p y q que producen la ´orbita r = kθ2 , con k constante. b) Encuentre los valores de las constantes a y b en ese caso. c) Determine y dibuje el potencial efectivo para esta ´orbita. 14. Un sat´elite se encuentra en una ´orbita circular de radio ro alrededor de la Tierra. En un instante dado, los cohetes propulsores incrementan la velocidad tangencial del sat´elite en un 20 %. a) Calcule la excentricidad de la ´orbita resultante. b) Calcule el apogeo de la ´orbita resultante del sat´elite. 15. Una part´ıcula de masa m gira en un c´ırculo de radio a, sometida a la fuerza central f (r) = −kr (oscilador arm´onico esf´erico). a) Encuentre la frecuencia de peque˜ nas oscilaciones radiales alrededor de la ´orbita circular, si ´esta es ligeramente perturbada. b) Calcule el ´ angulo de precesi´on durante una oscilaci´on radial. 16. Dos part´ıculas con masas m1 y m2 se sueltan en reposo cuando est´an separadas por una distancia R. Calcule las velocidades de las part´ıculas cuando la separaci´on entre ellas es r.

152

CAP´ITULO 3. FUERZAS CENTRALES

17. El perihelio de un asteroide es la mitad del radio de la ´orbita terrestre alrededor del Sol (supuesta circular), y su velocidad en el perihelio es el doble de la velocidad orbital de la Tierra. Suponga que la ´ orbita de la Tierra se encuentra en el mismo plano que la orbita del asteroide. Ignore los efectos de la Tierra y otros planetas sobre el asteroide. ´ a) Encuentre la velocidad del asteroide cuando ´este cruza la ´orbita terrestre. b) Determine si el asteroide escapa del sistema solar. 18. Imagine una “escalera espacial“ que consiste en sat´elite terrestre formado por una larga varilla uniforme alineada a lo largo de la direcci´on radial desde el centro de la Tierra y colocada en ´ orbita estacionaria ecuatorial. El extremo inferior de la varilla alcanza a tocar la superficie de la Tierra. Calcule la longitud de la varilla en km.

19. La trayectoria de una part´ıcula con momento angular l en un campo central se puede describir por r = a cos θ. a) Encuentre el potencial asociado a esta trayectoria. b) Si la part´ıcula se encuentra a una distancia a del centro de atracci´on, calcule el tiempo que la part´ıcula tarda en caer al centro. c) Determine la energ´ıa total de la part´ıcula. 20. Una part´ıcula describe una ´ orbita circular bajo la influencia de una fuerza central atractiva f (r) = −k/rn , dirigida hacia un punto fijo en el c´ırculo. a) Demuestre que la fuerza debe variar como el inverso de la quinta potencia de la distancia, es decir, n = 5. b) Demuestre que la energ´ıa total de la part´ıcula es cero. c) Encuentre el per´ıodo del movimiento. 21. Una part´ıcula se mueve en una ´ orbita dada por r = R e−αθ , donde R y α son constantes. a) Encuentre la fuerza que causa esta ´orbita. b) Si la part´ıcula se encuentra inicialmente a una distancia R del centro de atracci´on, calcule el tiempo que tarda en caer al centro. c) ¿Cu´ antas revoluciones completa la part´ıcula hasta alcanzar el centro?. 22. La Tierra se mueve en una ´ orbita casi circular de radio 1.5 × 108 km alrededor del Sol con una velocidad de 30 km/s. Se observa que la velocidad de un cometa alrededor del Sol es 50 km/s en su perihelio y 10 km/s en su afelio. a) Calcule la distancia del afelio para el cometa. b) Calcule el per´ıodo del cometa alrededor del Sol.

3.9. PROBLEMAS

153

23. Una part´ıcula de masa m y momento angular l se mueve en el potencial V = −k/r2 . a) Encuentre la condici´ on para que la part´ıcula caiga al centro de atracci´on. b) Determine la ´ orbita descrita por la part´ıcula para alcanzar el centro. 24. Considere el movimiento de una part´ıcula de masa m en el potencial V = kr1/2 . a) Encuentre el potencial efectivo para esta part´ıcula. b) Encuentre la relaci´ on entre el per´ıodo y el radio ro de una ´orbita circular. 25. Un cometa de masa MT /8 y velocidad −5vT tiene una colisi´on completamente inel´astica con la Tierra (i.e., el cometa y la Tierra quedan unidos despu´es de la colisi´on), donde MT y vT son la masa y la velocidad orbital de la Tierra, respectivamente. La ´orbita terrestre puede asumirse circular alrededor del Sol con un radio R. a) Calcule el afelio y el perihelio de la ´orbita de la Tierra despu´es de la colisi´on. b) ¿Cu´ antos d´ıas dura un a˜ no terrestre despu´es de la colisi´on? 26. Determine la ´ orbita de una √ part´ıcula de masa m que incide con par´ametro de impacto √ b 2 y momento angular k/b sobre un punto que ejerce una fuerza central atractiva f (r) = −k/r5 . 27. Calcule el a ´ngulo de precesi´on del perihelio de una part´ıcula con momento angular l y masa m movi´endose alrededor de una estrella de masa M que produce el potencial GM m  V (r) = − + 2 , donde  es una constante muy peque˜ na. r r 28. Calcule la secci´ on eficaz σ(χ) para dispersi´on de part´ıculas con velocidad vo en el potencial V (r) = k/r2 . 29. La secci´ on eficaz total de dispersi´on σT se define como Z Z π σT = σ(Ω)dΩ = 2π σ(χ)dχ, 0

donde χ es el ´ angulo de dispersi´on. Calcule σT para part´ıculas con energ´ıa E en el potencial ( k k − , r < a. V (r) = r a 0, r > a. 30. Una part´ıcula con masa m y velocidad vo incide en el potencial atractivo V (r) = −k/rn , donde n > 2. a) Determine el m´ aximo par´ametro de impacto para que la part´ıcula caiga al centro de atracci´ on. b) Calcule la secci´ on eficaz total de dispersi´on para que la part´ıcula caiga al centro.

154

CAP´ITULO 3. FUERZAS CENTRALES

Cap´ıtulo 4

Oscilaciones peque˜ nas 4.1.

Oscilaciones en una dimensi´ on

Consideremos un sistema con un grado de libertad, o reducible a un problema unidimensional co coordenada q. La energ´ıa total se puede expresar como E=

1 2 aq˙ + Vef (q) , 2

(4.1)

donde a representa par´ ametros constantes del sistema, como la masa de la part´ıcula, etc, y Vef (q) corresponde a un potencial efectivo. El Lagrangiano correspondiente es L=

1 2 aq˙ − Vef (q) , 2

(4.2)

La ecuaci´ on de movimiento para q, obtenida del Lagrangiano, se puede escribir como a¨ q = fef (q) ,

(4.3)

donde la fuerza efectiva fef (q) es fef (q) = −

∂Vef . ∂q

La posici´ on de equilibrio q0 de la coordenada q est´a dada por la condici´on ∂Vef fef (q0 ) = 0 ⇒ = 0. ∂q q0

(4.4)

(4.5)

El equilibrio es estable si Vef (q0 ) corresponde a un m´ımino del potencial efectivo Vef (q); es decir, ∂Vef2 > 0. (4.6) ∂q 2 q0 155

˜ CAP´ITULO 4. OSCILACIONES PEQUENAS

156

Figura 4.1: Peque˜no desplazamiento η alrededor de la posici´on de equilibrio estable q0 . Consideremos un desplazamiento peque˜ no η alrededor de un punto de equilibrio estable q0 , η q = q0 + η, con  1. (4.7) q0 El valor del potencial Vef (q) = Vef (q0 + η) cerca del punto de equilibrio q0 se puede obtener mediante una expansi´ on de Taylor de Vef (q) alrededor de q = q0 , 0 >  ∂Vef 1 ∂ 2 Vef Vef (q) = Vef (q0 + η) = V (q0 ) +  η + η2 + · · · , 2 ∂q 2 ∂q q q 0 0 

(4.8)

donde Vef (q0 ) es un valor constante y el segundo t´ermino se anula debido a la condici´on de equilibrio Eq. (4.5). Luego, despreciando t´erminos muy peque˜ nos en potencias de η de orden superior al cuadr´ atico, se puede escribir el potencial cerca del punto de equilibrio Vef (q) = Vef (q0 + η) =

1 Kη 2 , 2

donde η = q − q0 es el desplazamiento desde el equilibrio y ∂ 2 Vef K≡ = constante > 0 . ∂q 2 q0

(4.9)

(4.10)

Luego, cerca del valor de equilibrio q0 , el potencial corresponde al de un oscilador arm´onico. La ecuaci´ on de movimiento para η se obtiene sustituyendo q = q0 + η en la Ec. (4.3), a¨ η = a¨ η =

∂Vef ∂η ∂Vef (q0 + η) = − ∂q ∂η ∂q −Kη. −

(4.11)

Entonces, la ecuaci´ on de movimiento para el peque˜ no desplazamiento η es η¨ + ω 2 η = 0,

(4.12)

´ 4.1. OSCILACIONES EN UNA DIMENSION donde

K 1 ∂ 2 Vef ω ≡ = a a ∂q 2 q0 2

157

(4.13)

es la frecuencia angular de las peque˜ nas oscilaciones alrededor de q0 . La Eq. (4.12) tiene soluci´ on η(t) = c1 cos ωt + c2 sin ωt = A cos(ωt + ϕ),

(4.14)

donde A es la amplitud de las oscilaciones y ϕ es la fase. En general, se emplea la notaci´on compleja ei(ωt+ϕ) = cos(ωt + ϕ) + i sin(ωt + ϕ). (4.15) Luego, η(t) = Re[Aei(ωt+ϕ) ] = Re(aeiωt ), donde a = Ae

iϕ

(4.16)

es la amplitud compleja. Se acostumbra escribir simplemente η(t) = aeiωt ,

(4.17)

sobreentendi´endose que se toma la parte real de esta expresi´on para η. Las soluciones de ecuaciones de movimiento para sistemas oscilatorios escritas en forma compleja son convenientes porque la expresi´on eix no cambia su forma bajo integraci´on o diferenciaci´on.

Ejemplo. 1. Encontrar la frecuencia de peque˜ nas oscilaciones alrededor de un radio de equilibrio r0 para una part´ıcula de masa m movi´endose sobre un cono vertical con ´angulo de v´ertice α.

Figura 4.2: Peque˜nas oscilaciones alrededor de radio r0 para una part´ıcula sobre un cono. El Lagrangiano de este sistema fue calculado en los cap´ıtulos anteriores. La energ´ıa cin´etica es 1 1 T = m(x˙ 2 + y˙ 2 + z˙ 2 ) = m(r˙ 2 csc2 α + r2 θ˙2 ) . (4.18) 2 2

˜ CAP´ITULO 4. OSCILACIONES PEQUENAS

158 La energ´ıa potencial es

V = mgz = mgr cot α .

(4.19)

El Lagrangiano es L=T −V =

1 m(r˙ 2 csc2 α + r2 θ˙2 ) − mgr cot α . 2

La ecuaci´ on de movimiento para θ es   ∂L d ∂L − = 0. dt ∂ θ˙ ∂θ

(4.20)

(4.21)

El ´ angulo θ es una coordenada c´ıclica, ∂L =0 ∂θ

⇒

∂L = mr2 θ˙ = lz = cte. ∂ θ˙

(4.22)

La ecuaci´ on para r es d dt



∂L ∂ r˙

 −

∂L = 0, ∂r

(4.23)

la cual resulta en m¨ r csc2 α − mrθ˙2 + mg cot α = 0 .

(4.24)

lz Sustituyendo θ˙ = , podemos expresar la Ec. (4.24) como mr2 m¨ r=

lz2 sin2 α − mg sin α cos α , mr3

(4.25)

la cual tiene la forma de un problema unidimensional Ec. (4.3), con m = a, y donde podemos identificar la fuerza efectiva fef (r) = −

∂Vef l2 = z 3 sin2 α − mg sin α cos α . ∂r mr

(4.26)

La posici´ on de equilibrio ro est´ a dada por ∂Vef fef (r0 ) = − =0 ∂r r0 cos α lz2 =g 3 2 m r0 sin α 2 l tan α ⇒ r03 = z 2 . m g

⇒

(4.27) (4.28) (4.29)

El potencial efectivo es Vef (r) =

lz2 sin2 α + mgr sin α cos α , 2mr2

(4.30)

4.2. OSCILACIONES DE SISTEMAS CON VARIOS GRADOS DE LIBERTAD

159

luego, 3lz2 sin2 α ∂ 2 Vef 3mg = = sin α cos α ≡ K . ∂r2 r0 mr04 r0 La frecuencia angular para peque˜ nas oscilaciones alrededor de r0 es 3g K 1 ∂ 2 Vef 2 = ω = = sin α cos α, 2 m m ∂r r0 r0

(4.31)

(4.32)

y el movimiento de la peque˜ na oscilaci´on η = r − r0 se puede expresar en la forma de la Ec. (4.12).

4.2.

Oscilaciones de sistemas con varios grados de libertad

Consideremos un sistema con s grados de libertad {qi : i = 1, . . . , s} cuya energ´ıa potencial es V (q1 , . . . , qs ). La configuraci´on de equilibrio de este sistema corresponde a un conjunto de valores {q0i : i = 1, . . . , s}; donde los q0i est´an dados dados por las s condiciones ∂V = 0, i = 1, 2, . . . , s. (4.33) ∂qi q0i

La configuraci´ on de equilibrio {q0i } = (q01 , . . . , q0s ) es estable si los valores q0i , ∀i, corresponden a un m´ınimo de V (q1 , q2 , . . . , qs ): ∂ 2 V > 0. (4.34) ∂qi2 q0i

Figura 4.3: Potencial V (q1 , q2 ), mostrando las posiciones de equilibrio (q01 , q02 ).

˜ CAP´ITULO 4. OSCILACIONES PEQUENAS

160

Consideremos peque˜ nas oscilaciones alrededor de las posiciones de equilibrio estable q0i . La peque˜ na desviaci´ on del equilibrio correspondiente a la coordenada qi la denotaremos por ηi , ηi  1. (4.35) qi = q0i + ηi , con q0i El valor del potencial V (q1 , . . . , qs ) cerca de la configuraci´on de equilibrio se puede obtener mediante la expansi´ on de Taylor en varias variables de V (q1 , . . . , qs ) alrededor de {q0i }, con qi = q0i + ηi , * 0 1 X X  ∂2V   X  ∂V    ηi + ηi ηj + · · · , V (q1 , . . . , qs ) = V (q01 , . . . , q0s ) +   ∂q 2 i j ∂qi ∂qj {q0i } i  i {q0i } (4.36) donde V (q01 , . . . , q0s ) es un valor constante y las derivadas parciales est´an evaluadas en {q0i } = (q01 , . . . , q0s ). Luego, cerca de la configuraci´on de equilibrio qi = q0i + ηi , el potencial se puede expresar como V (q1 , . . . , qs ) = V (η1 , . . . , ηs ) =

1X Vij ηi ηj , 2 i,j

(4.37)

donde definimos los coeficientes  Vij ≡

∂2V ∂qi ∂qj

 .

(4.38)

{q0i }

Estos coeficientes son sim´etricos, i.e., Vij = Vji , y dependen de propiedades locales del potencial cerca de la configuraci´ on de equilibrio y, por tanto, son caracter´ısticos de cada sistema. La energ´ıa cin´etica del sistema cerca de la configuraci´on de equilibrio tambi´en puede expresarse en funci´ on de los peque˜ nos desplazamientos ηi , T =

0 0 1X 1X > + η˙ i )(q˙0j  > + η˙ j ) ,  Tij q˙i q˙j = Tij ( q˙0i  2 i,j 2 i,j

(4.39)

(los valores q0i son constantes). Luego, T =

1X Tij η˙ i η˙ j , 2 i,j

(4.40)

donde los coeficientes Tij = Tji representan par´ametros constantes que dependen de propiedades del sistema (masas, longitudes, etc.). El Lagrangiano del sistema cerca de la configuraci´on de equilibrio es L=T −V =

1X (Tij η˙ i η˙ j − Vij ηi ηj ) 2 i,j

i, j = 1, 2, . . . , s.

(4.41)

4.2. OSCILACIONES DE SISTEMAS CON VARIOS GRADOS DE LIBERTAD La ecuaci´ on de movimiento para una peque˜ na desviaci´on del equilibrio ηk es   d ∂L ∂L − = 0. dt ∂ η˙ k ∂ηk

161

(4.42)

Evaluamos los t´erminos ∂L ∂ η˙ k

=

∂L ∂ηk

= −

1X 2

i,j

  X X X 1 Tkj η˙ j + Tik η˙ i  = Tkj η˙ j , Tij (δik η˙ j + δjk η˙ i ) =  2 j i j

X 1X (Vij δik ηj + Vij δjk ηi ) = − Vkj ηj . 2 i,j j

Luego, la ecuaci´ on de movimiento Ec. (4.42) para la desviaci´on ηk queda X (Tkj η¨j + Vkj ηj ) = 0 ,

(4.43)

j

donde cada t´ermino de la suma tiene la forma de una ecuaci´on para un oscilador arm´onico. Existen s ecuaciones de movimiento de este tipo para el sistema, k = 1, 2, . . . , s. La soluci´ on de la Ec. (4.43) tiene la forma ηj (t) = aj eiωt ,

(4.44)

donde ω es la frecuencia del movimiento oscilatorio. Sustituyendo en la Ec. (4.43), junto con η¨j = −ω 2 aj eiωt , obtenemos X

(−ω 2 Tkj + Vkj )aj eiωt = 0

j

⇒

X

(Vij − ω 2 Tij )aj = 0 ,

(4.45)

j

donde hemos renombrado el ´ındice k → i. El conjunto de ecuaciones Ec. (4.45) para los grados de libertad i = 1, 2, . . . , s constituye un sistema de s ecuaciones lineales homog´eneas para los coeficientes aj , con j = 1, 2, . . . , s. Como ejemplo, consideremos el sistema Ec. (4.45) con s = 2, i = 1 : (V11 − ω 2 T11 )a1 + (V12 − ω 2 T12 )a2 = 0 i = 2 : (V21 − ω 2 T21 )a1 + (V22 − ω 2 T22 )a2 = 0.

(4.46)

En general, existe soluci´ on no trivial ηj (t) 6= 0 si aj 6= 0, ∀j. Esta condici´on se cumple para los coeficientes a1 , . . . , as en el sistema Ec. (4.45) si el determinante de estos coeficientes es cero:

˜ CAP´ITULO 4. OSCILACIONES PEQUENAS

162

det Vij − ω 2 Tij = 0 .

(4.47)

La condici´ on Ec. (4.47) constituye una ecuaci´on algebraica de grado s para ω 2 , que se denomina ecuaci´ on caracter´ıstica. Las s ra´ıces de la ecuaci´on caracter´ıstica dan como resultado s valores para las frecuencias ω 2 , llamadas frecuencias caracter´ısticas del sistema, que corresponden a s diferentes modos de oscilaci´on del sistema alrededor de su configuraci´ on de equilibrio. Las frecuencias caracter´ısticas ω deben ser reales para que las soluciones tengan sentido f´ısico. Si alguna ω es compleja, entonces se puede escribir como ω = a + bi y, por lo tanto, eiωt = eiat e−bt . Como consecuencia, la soluci´on η(t) ∝ e−bt crece o decrece en el tiempo y la energ´ıa no se conservar´ıa, E ∝ e−bt .

Ejemplos. 1. Encontrar las frecuencias de un sistema de dos part´ıculas de masa m conectadas mediante resortes horizontales, cada uno con constante k y longitud en reposo l. El sistema posee dos grados de libertad (s = 2). Consideremos peque˜ nos desplazamientos del equilibrio η1 y η2 , con xi = x0i + ηi , como se muestra en la Fig. (4.4).

Figura 4.4: Oscilaciones de dos part´ıculas conectadas mediante resortes horizontales. La energ´ıa cin´etica en funci´ on de los peque˜ nos desplazamientos del equilibrio es T =

1 1 1X mη˙ 12 + mη˙ 22 = Tij η˙ i η˙ j 2 2 2 i,j

(4.48)

donde identificamos los coeficientes T11 = m,

T22 = m,

T12 = T21 = 0.

(4.49)

La energ´ıa potencial del sistema en t´erminos de los peque˜ nos desplazamientos del equilibrio es V =

1 2 1 0 1 1 kη + k(l − l)2 + kη22 = k[η12 + (η2 − η1 )2 + η22 ] , 2 1 2 2 2

(4.50)

4.2. OSCILACIONES DE SISTEMAS CON VARIOS GRADOS DE LIBERTAD

163

donde hemos usado la siguiente relaci´on, observando la Fig. (4.4), l0 − l = (x2 − x1 ) − (x02 − x01 ) = η2 − η1 .

(4.51)

Luego, V =

1 1X [2kη12 + 2kη22 − 2kη1 η2 ] = Vij ηi ηj , 2 2 i,j

(4.52)

donde podemos identificar los los coeficientes V11 = 2k,

V22 = 2k,

V12 = V21 = −k.

La condici´ on Ec. (4.47) para este sistema es V11 − ω 2 T11 V12 − ω 2 T12 V21 − ω 2 T21 V22 − ω 2 T22 Sustituyendo los coeficientes Tij y Vij , tenemos 2k − ω 2 m −k −k 2k − ω 2 m

= 0.

= 0.

(4.53)

(4.54)

(4.55)

La ecuaci´ on caracter´ıstica resultante es (2k − ω 2 m)2 − k 2 = 0,

(4.56)

2k − ω 2 m = ±k, 2k ± k . ⇒ ω2 = m

(4.57) (4.58)

Luego, r ω1 =

3k , m

r ω2 =

k . m

(4.59)

2. Encontrar las frecuencias para peque˜ nas oscilaciones de un p´endulo doble.

Figura 4.5: P´endulo doble. Las energ´ıas cin´etica y potencial de este sistema fueron calculadas en el Cap. 1 en t´erminos de las coordenadas generalizadas θ1 y θ2 , T =

1 1 (m1 + m2 )l12 θ˙12 + m2 l22 θ˙22 + m2 l1 l2 θ˙1 θ˙2 cos(θ1 − θ2 ) , 2 2

(4.60)

˜ CAP´ITULO 4. OSCILACIONES PEQUENAS

164

V = −(m1 + m2 )gl1 cos θ1 − m2 gl2 cos θ2 . Las posiciones de equilibrio est´ an dadas por ∂V ∂V = 0, =0 ⇒ ∂θ1 θ01 ∂θ2 θ02

θ01 = 0,

(4.61)

θ02 = 0.

(4.62)

La energ´ıa potencial es m´ınima para estos valores de las coordenadas en el equilibrio. Consideremos peque˜ nas oscilaciones alrededor de la configuraci´on de equilibrio, θ1 = θ01 + η1 = η1 ,

θ2 = θ02 + η2 = η2 ,

(4.63)

donde η1 y η2 son peque˜ nos. Luego, cerca del equilibrio, cos θ1 = cos η1 ' 1 −

η12 , 2

η22 , 2

(4.64)

1 2 (η1 − η2 ) . 2

(4.65)

cos θ2 = cos η2 ' 1 −

cos(θ1 − θ2 ) = cos(η1 − η2 ) ' 1 −

Manteniendo t´erminos hasta segundo orden, obtenemos T =

1 1 (m1 + m2 )l12 η˙ 12 + m2 l22 η˙ 22 + m2 l1 l2 η˙ 1 η˙ 2 , 2 2

(4.66)

1 1 (m1 + m2 )gl1 η12 + m2 gl2 η22 , 2 2

(4.67)

V =

donde se han suprimido t´erminos constantes en V . Comparando con las formas generales cerca del equilibrio, T =

1X Tij η˙ i η˙ j , 2 i,j

V =

1X Vij η1 ηj , 2 i,j

(4.68)

obtenemos los coeficientes T11 = (m1 + m2 )l12 , T22 = m2 l22 , T12 = T21 = m2 l1 l2 , V11 = (m1 + m2 )gl1 , V22 = m2 gl2 , V12 = V21 = 0.

(4.69)

Los coeficientes Vij tambi´en pueden obtenerse directamente como  V11

= 

V22 V12

=

∂2V ∂θ12



∂2V ∂θ22



= V21 =

= (m1 + m2 )gl1 ,

(4.70)

= m2 gl2 ,

(4.71)

(θ01 ,θ02 )

(θ01 ,θ02 )  2 

∂ V ∂θ1 ∂θ2

= 0. (θ01 ,θ02 )

(4.72)

4.3. MODOS NORMALES

165

La condici´ on Ec. (4.47) para estos coeficientes es V11 − ω 2 T11 −ω 2 T12 −ω 2 T21 V22 − ω 2 T22

= 0.

(4.73)

La ecuaci´ on caracter´ıstica es 2 (V11 − ω 2 T11 )(V22 − ω 2 T22 ) − (ω 2 )2 T12 = 0.

(4.74)

Con el cambio de notaci´on ω 2 ≡ x, tenemos la ecuaci´on cuadr´atica 2 V11 V22 − (T11 V22 + T22 V11 )x + (T11 T22 − T12 )x2 = 0,

(4.75)

cuya soluci´ on es x=

(T11 V22 + T22 V11 ) ±

p (T11 V22 + T22 V11 )2 − 4(T11 T22 − T12 )V11 V22 . (4.76) 2(T11 T22 − T12 )2

Sustituimos los t´erminos T11 V22 − T22 V11

=

(m1 + m2 )m2 gl12 l2 − (m1 + m2 )m2 gl1 l22

=

(m1 + m2 )m2 gl1 l2 (l1 − l2 ),

2 T12

=

(m1 + m2 )m2 l12 l22 − m22 l12 l22 = m1 m2 l12 l22 ,

V11 V22

=

(m1 + m2 )m2 g 2 l1 l2 ,

T11 T22 −

y obtenemos, i h p g (m1 + m2 )(l1 + l2 ) ± (m1 + m2 )[(m1 + m2 )(l1 + l2 )2 − 4m1 l1 l2 ] . 2m1 l1 l2 (4.77) En el caso m1  m2 , las frecuencias tienden a los valores correspondientes a oscilaciones independientes de dos p´endulos simples, 2 ω1,2 =

2 ω1,2

= ⇒

4.3.

g [m1 (l1 + l2 ) ± m1 (l1 − l2 )] 2m1 l1 l2 g g ω22 = . ω12 = , l1 l2

(4.78) (4.79)

Modos normales

Hemos visto que las s ecuaciones de movimiento para un sistema con s grados de libertad que realiza peque˜ nas oscilaciones {η1 , η2 , . . . , ηs } alrededor de los valores de equilibrio de sus coordenadas generalizadas {q01 , q02 , . . . , q0s } son X (Tij η¨j + Vij ηj ) = 0, i = 1, 2, . . . , s. (4.80) j

˜ CAP´ITULO 4. OSCILACIONES PEQUENAS

166

La soluci´ on particular de la forma ηj (t) = aj eiωt conduce a las s ecuaciones X (Vij − ω 2 Tij )aj = 0 i = 1, 2, . . . , s.

(4.81)

j

La condici´ on Ec. (4.47) det Vij − ω 2 Tij = 0 ,

(4.82)

implica la existencia de soluciones no triviales aj 6= 0, ∀j, y permite calcular las s frecuencias de las peque˜ nas oscilaciones mediante las soluciones del polinomio caracter´ıstico resultante de la Ec. (4.47). Denotamos estas frecuencias por wk , k = 1, 2, . . . , s. Para cada ωk , existe una soluci´ on ηj (t) = aj (ωk )eiωk t y, por lo tanto, existe un sistema de s ecuaciones del tipo Ec. (4.81) para los coeficientes aj (ωk ). Puesto que las frecuencias ωk son reales, los coeficientes aj (ωk ) tambi´en deben ser reales. Por ejemplo, para s = 2, i=1: i=2:

(V11 − ωk2 T11 )a1 + (V12 − ωk2 T12 )a2 = 0 (V21 − ωk2 T21 )a1 + (V22 − ωk2 T22 )a1 = 0 .

(4.83)

Hay 2 ecuaciones para cada ωk , (k = 1, 2). Sustituci´on de una ωk da 2 ecuaciones lineales para a1 (ωk ) y a2 (ωk ) que permiten obtener las amplitudes relativas a1 (ωk )/a2 (ωk ). La soluci´ on general de la ecuaci´ on de movimiento para el peque˜ no desplazamiento ηj (t) consiste en la superposici´ on de las soluciones particulares correspondientes a cada ωk , X ηj (t) = ck aj (ωk )eiωk t , (4.84) k

donde ck son coeficientes que representan la fase compleja. Cabe recordar que se debe tomar la parte real para tener las soluciones oscilatorias f´ısicas. Definimos las coordenadas o modos normales del sistema como ξk ≡ ck eiωk t ,

k = 1, 2, . . . , s.

(4.85)

aj (ωk )ξk ,

(4.86)

Luego, se puede escribir ηj (t) =

X k

es decir, la soluci´ on general es una combinaci´on lineal de las coordenadas normales. En el caso de s = 2, las soluciones generales para los peque˜ nos desplazamientos son η1 = a1 (ω1 )ξ1 + a1 (ω2 )ξ2 ,

η2 = a2 (ω1 )ξ1 + a2 (ω2 )ξ2 .

(4.87)

Cada coordenada normal ξk satisface la ecuaci´on ξ¨k + ωk2 ξk = 0 ,

(4.88)

que corresponde a un oscilador arm´ onico simple. Luego, cada ξk describe una oscilaci´on global del sistema con una sola frecuencia ωk : todas las part´ıculas oscilan con la misma

4.3. MODOS NORMALES

167

frecuencia ωk , pero con amplitudes aj (ωk ) que pueden ser distintas entre s´ı. Por ejemplo, para el modo normal ξ2 , con s = 2, tenemos η1 = a1 (ω2 )ξ2 ,

η2 = a2 (ω2 )ξ2 ;

(4.89)

es decir, cada uno de los 2 grados de libertad oscila con la frecuencia ω2 alrededor de su posici´ on de equilibrio, pero con amplitudes respectivas a1 (ω2 ) y a2 (ω2 ). En general, la configuraci´on de un modo normal ξk est´a dada por las amplitudes relativas correspondientes a ese modo; es decir, por los cocientes de las amplitudes ai (ωk )/aj (ωk ). En sistemas que presentan oscilaciones peque˜ nas con varios grados de libertad, la frecuencia mayor corresponde al modo normal con amplitudes en fases opuestas.

Ejemplos. 1. Encontrar las frecuencias y la configuraci´on de los modos normales de vibraci´on en un modelo de la mol´ecula lineal CO2 .

Figura 4.6: Modelo de la mol´ecula triat´omica lineal CO2 .

M es la masa del ´ atomo C; m es masa de los ´atomos O; l es la separaci´on entre las posiciones de equilibrio de los ´atomos; la constante k describe la interacci´on C-O como un resorte; l1 , l2 , miden las distancias entre los ´atomos fuera del equilibrio. Sean x01 , x02 , x03 las posiciones de equilibrio de las tres part´ıculas, respectivamente. Consideremos peque˜ nos desplazamientos del equilibrio, ηi = xi − x0i ,

i = 1, 2, 3.

(4.90)

La energ´ıa cin´etica es T

= =

1 mx˙ 21 + 2 1 mη˙ 2 + 2 1

1 1 M x˙ 22 + mx˙ 23 2 2 1 1 M η˙ 22 + mη˙ 32 . 2 2

(4.91)

˜ CAP´ITULO 4. OSCILACIONES PEQUENAS

168 La energ´ıa potencial es V =

1 1 k(l1 − l)2 + k(l2 − l)2 , 2 2

(4.92)

donde l1 − l = (x2 − x1 ) − (x02 − x01 ) = η2 − η1 ,

(4.93)

l2 − l = (x3 − x2 ) − (x03 − x02 ) = η3 − η2 .

(4.94)

Luego, V

= =

1 1 k(η2 − η1 )2 + k(η3 − η2 )2 2 2 1 k(η12 + 2η22 + η32 − 2η1 η2 − 2η2 η3 ). 2

(4.95)

Comparando con las formas generales cerca del equilibrio, 1X 1X T = Tij η˙ i η˙ j , V = Vij ηi ηj , 2 i,j 2 i,j

(4.96)

identificamos los coeficientes Tij , T11 = m T21 = 0 T31 = 0

T12 = 0 T22 = M T32 = 0

T13 = 0 T23 = 0 T33 = m,

(4.97)

V11 = k V21 = −k V31 = 0

V12 = −k V22 = 2k V32 = −k

V13 = 0 V23 = −k V33 = k.

(4.98)

y los coeficientes Vij ,

Las frecuencias est´ an dadas por la condici´on det |Vij − ω 2 Tij | = 0; es decir, k − ω2 m −k 0 2 = 0, M −k −k 2k − ω (4.99) 0 −k k − ω2 m la cual conduce a la siguiente ecuaci´on caracter´ıstica c´ ubica para ω 2 ,   (k − ω 2 m) (2k − ω 2 M )(k − ω 2 m) − k 2 − k 2 (k − ω 2 m) = 0   ⇒ ω 2 (k − ω 2 m) k(M + 2m) − ω 2 M m = 0.

(4.100) (4.101)

con soluciones r ω1 = 0 ,

ω2 =

k , m

s ω3 =

k m



2m 1+ M

 .

(4.102)

4.3. MODOS NORMALES

169

Las frecuencias ω2 y ω3 para la mol´ecula de CO2 se encuentran en el infrarrojo. La frecuencia angular ω1 = 0 corresponde a una traslaci´on uniforme de la mol´ecula, puesto que la Ec. (4.88) implica ζ¨1 = 0

⇒

ζ˙1 = cte

⇒

reposo o velocidad constante.

La ecuaci´ on para las amplitudes aj X (Vij − ωk2 Tij )aj = 0,

(4.103)

(4.104)

j

equivale a un sistema de 3 ecuaciones para cada ωk , i=1: (k − ωk2 m)a1 − ka2 i = 2 : −ka1 + (2k − ωk2 M )a2 − ka3 i=3: −ka2 + (k − ωk2 m)a3

= = =

0 0 0.

(4.105)

Para ω1 , a1 (ω1 ) = a2 (ω1 ) = a3 (ω1 ).

(4.106)

Figura 4.7: Configuraci´on del modo normal correspondiente a ω1 .

Para ω2 , k − ω22 m = 0,

(4.107)

luego, a2 (ω2 ) = 0,

a1 (ω2 ) = −a3 (ω2 ).

(4.108)

Figura 4.8: Configuraci´on del modo normal correspondiente a ω2 .

Para ω3 , tenemos   2m 2mk k − ω32 m = k − k 1 + =− M M

(4.109)

˜ CAP´ITULO 4. OSCILACIONES PEQUENAS

170 luego,

a1 (ω3 ) = a3 (ω3 ) k − ω32 m 2m a2 (ω3 ) = a1 (ω3 ) = − a1 (ω3 ) k M

(4.110) (4.111)

Figura 4.9: Configuraci´on del modo normal correspondiente a ω3 .

La configuraci´ on de los modos normales refleja el hecho que el momento lineal total de la mol´ecula es constante, puesto que la fuerza externa total sobre la mol´ecula es cero. 2. Encontrar las frequencias de peque˜ nas oscilaciones y los modos normales de un p´endulo con soporte deslizante horizontalmente.

Figura 4.10: P´endulo con soporte deslizante horizontalmente.

El Lagrangiano de este sistema ya fue obtenido en el Cap. 1. La energ´ıa cin´etica es T =

1 1 (m1 + m2 )x˙ 21 + m2 (l2 θ˙2 + 2lx˙ 1 θ˙ cos θ) , 2 2

(4.112)

y la energ´ıa potencial, V = −m2 gl cos θ.

(4.113)

Las posiciones de equilibrio son θ0 = 0, x0 ; luego η1 = x1 − x0 ,

η2 = θ − θ0 = θ.

Para peque˜ nos desplazamientos, cos θ = cos η ≈ 1 − T =

(4.114)

η2 . Luego, 2

1 1 (m1 + m2 )η˙ 12 + m2 (l2 η˙ 22 + 2lη˙ 1 η˙ 2 ) 2 2

(4.115)

4.3. MODOS NORMALES

171

1 m2 glη22 . 2 Comparando con las formas generales cerca del equilibrio, 1X Vij ηi ηj , V = 2 i,j V =

T =

(4.116)

(4.117)

1X Tij η˙ i η˙ j , 2 i,j

(4.118)

identificamos los coeficientes Vij , V11 = 0, V21 = 0,

V12 = 0 V22 = m2 gl

(4.119)

y los coeficientes Tij , T11 = (m1 + m2 ), T12 = m2 l T21 = m2 l, T22 = m2 l2 .

(4.120)

Las frecuencias est´ an dadas por la condici´on det |Vij − ω 2 Tij | = 0, −ω 2 T11 −ω 2 T12 −ω 2 T21 V22 − ω 2 T22 , = 0

(4.121)

la cual conduce a la siguiente ecuaci´on caracter´ıstica cuadr´atica para ω 2 , 2 (ω 2 )2 T12 + ω 2 T11 (V22 − ω 2 T22 ) = 0,

(4.122)

cuyas soluciones son ω12 = 0, ω22 =

T11 V22 (m1 + m2 )m2 gl 2 = (m + m )m l2 − m2 l2 = T11 T22 − T12 1 2 2 2

(4.123)  1+

m2 m1



g . l

(4.124)

Note que si m1 → ∞ (soporte fijo), entonces ω22 = g/l, correspondiente a la frecuencia para peque˜ nas oscilaciones de un p´endulo simple. La ecuaci´ on para las amplitudes aj X (Vij − ωk2 Tij )aj = 0,

(4.125)

j

equivale a un sistema de 2 ecuaciones para cada ωk , i=1: i=2:

−ωk2 (m1 + m2 )a1 − ωk2 m2 la2 −ωk2 m2 la1 − (m2 gl − ωk2 m2 l2 )a2

= =

0 0.

(4.126)

Para ω1 = 0, las amplitudes del modo correspondiente resultan en a2 (ω1 ) = 0,

a1 (ω1 ) = arbitrario.

(4.127)

˜ CAP´ITULO 4. OSCILACIONES PEQUENAS

172

Figura 4.11: Configuraci´on del modo normal correspondiente a ω1 .

Para ω2 , m2 l a1 (ω2 ) =− < 0, a2 (ω2 ) (m1 + m2 )

(4.128)

es decir, en este modo las part´ıculas se mueven siempre con amplitudes opuestas.

Figura 4.12: Configuraci´on del modo normal correspondiente a ω2 .

3. Dos osciladores arm´ onicos con masas m1 y m2 , acoplados verticalmente mediante resortes de constante k y longitud en reposo l.

Figura 4.13: Osciladores arm´onicos acoplados verticalmente.

Las posiciones de equilibrio de las masas m1 y m2 son y01 y y02 , respectivamente. Los peque˜ nos desplazamientos del equilibrio son η1 = y1 − y01 , η2 = y2 − y02 .

4.3. MODOS NORMALES

173

La energ´ıa potencial del sistema es V =

1 1 k(y1 − l)2 + k(y2 − y1 − l)2 − m1 gy1 − m2 gy2 . 2 2

Las posiciones de equilibrio est´an dadas por ∂V ∂V = 0, = 0; ∂y1 (y01 ,y02 ) ∂y2 (y01 ,y02 )

(4.129)

(4.130)

esto es, ∂V = k(y01 − l) − k(y02 − y01 − l) − m1 g = 0 ∂y1 (y01 ,y02 ) ∂V = k(y02 − y01 − l) − m2 g = 0, ∂y2

(4.131) (4.132)

(y01 ,y02 )

lo que conduce a y01 = l +

(m1 + m2 )g , k

y02 = y01 + l +

m2 g . k

(4.133)

La energ´ıa potencial, Ec. (4.129), se puede expresar en t´erminos de los peque˜ nos desplazamientos, 1X ∂ 2 V V = Vij ηi ηj , donde Vij = . (4.134) 2 i,j ∂yi ∂yj (y01 ,y02 ) Luego,

V12

∂ 2 V = 2k ∂y12 (y01 ,y02 ) ∂ 2 V =k = ∂y22 (y01 ,y02 )

V11 =

(4.135)

V22

(4.136)

∂ 2 V = = −k = V21 . ∂y1 ∂y2 (y01 ,y02 )

(4.137)

La energ´ıa potencial del sistema para peque˜ nos desplazamientos del equilibrio se puede obtener directamente de las contribuciones de la energ´ıa potencial de los resortes como 1 1 V = kη12 + k(η2 − η1 )2 , (4.138) 2 2 lo que da los coeficientes Vij ya encontrados. La energ´ıa cin´etica es T =

1 1 1 1 m1 y˙ 12 + m2 y˙ 22 = m1 η˙ 12 + m2 η˙ 22 . 2 2 2 2

(4.139)

˜ CAP´ITULO 4. OSCILACIONES PEQUENAS

174 Comparando con la forma

T =

1X Tij η˙ i η˙ j , 2 i,j

(4.140)

tenemos T11 = m1 ,

T12 = 0 = T21 ,

T22 = m2 .

(4.141)

Las frecuencias de oscilaci´ on est´ an dadas por la condici´on det |Vij − ω 2 Tij | = 0, V11 − ω 2 T11 V12 − ω 2 T12 2k − ω 2 m1 −k =0 (4.142) = 2 V21 − ω 2 T21 V22 − ω 2 T22 −k k − ω m2 Note que la energ´ıa potencial gravitacional no influye en las frecuencias de las oscilaciones, s´ olo cambia las posiciones de equilibrio de las part´ıculas. Luego, (2k − m1 ω 2 )(k − m2 ω 2 ) − k 2 = 0.

(4.143)

Llamando x = ω 2 , tenemos m1 m2 x2 − k(m1 + m2 )x + k 2 = 0 ,   q k 2 2 2 x = ω± = (m1 + 2m2 ) ± m1 + 4m2 . 2m1 m2 P Las ecuaciones para las amplitudes j (Vij − ω 2 Tij )aj = 0, resultan (2k − ωk2 m1 )a1 − ka2 = 0 −ka1 + (k − ωk2 m2 )a2 = 0 ⇒

m2 ωk2 a1 (ωk ) =1− . a2 (ωk ) k

(4.144) (4.145)

(4.146)

(4.147)

Para ω1 = ω+ ,    s 2   a1 (ω1 ) 1 m2 m2  =1−  1+2 + 1+4 < 0. a2 (ω1 ) 2 m1 m1

(4.148)

En el modo normal correspondiente a ω1 = ω+ , las amplitudes est´an siempre en fases opuestas. Para ω2 = ω− ,     s  2 a1 (ω2 ) 1 m2 m2  =1− 1+2 − 1+4 > 0. a2 (ω2 ) 2 m1 m1 Para el modo normal asociado a ω2 = ω− , las amplitudes est´an en fase.

(4.149)

4.4. OSCILACIONES FORZADAS Y AMORTIGUADAS

4.4.

175

Oscilaciones forzadas y amortiguadas

Consideremos el movimiento de peque˜ nas oscilaciones de un sistema sobre el cual act´ ua una fuerza externa. Supongamos, adem´as, que el movimiento ocurre en un medio cuyo efecto sobre el movimento no puede ser despreciado. Cuando una part´ıcula se mueve en un medio, ´este ejerce una fuerza de resistencia o fricci´on sobre la part´ıcula que tiende a retrasar su movimiento. La energ´ıa suministrada por la fuerza externa a la part´ıcula en movimiento eventualmente se disipa en el medio en forma de calor. Los movimientos oscilatorios en presencia de fuerzas externas y de fricci´on, se denominan oscilaciones forzadas y amortiguadas. Para velocidades suficientemente peque˜ nas, se sabe experimentalmente que la fuerza de fricci´ on sobre un cuerpo que se mueve en un medio es opuesta a la direcci´on de la velocidad del cuerpo y proporcional a su magnitud. Esto es, ffr = −αv, donde α > 0 es el coeficiente de fricci´ on caracter´ıstico del medio. La fuerza externa puede tener cualquier forma; aqui consideraremos el caso de fuerzas oscilatorias porque tienen mucho inter´es y aplicaciones en sistemas f´ısicos. Esto es, supondremos fuerzas externas de la forma Fext = f cos νt, donde f y ν son la amplitud y la frecuencia angular de la fuerza, respectivamente. Por simplicidad, consideremos un part´ıcula que realiza un movimiento oscilatorio con un grado de libertad, sujeto a una fuerza externa y amortiguado. Tomando en cuenta las consideraciones anteriores, la ecuaci´on de movimiento de la part´ıcula es m¨ x ⇒ m¨ x

= −kx + ffr + Fext = −kx − αx˙ + f cos νt.

(4.150)

Esta ecuaci´ on tambi´en describe el movimiento de un modo normal de un sistema con varios grados de libertad, forzado y amortiguado en un medio homog´eneo. La Ec. (4.150) se puede escribir como x ¨ + 2λx˙ + ω 2 x =

f cos νt, m

(4.151)

donde ω 2 = k/m y hemos definido la constante 2λ ≡ α/m. La Ec. (4.151) se puede escribir en forma compleja como x ¨ + 2λx˙ + ω 2 x =

f iνt e . m

(4.152)

La Ec. (4.152) es una ecuaci´on diferencial ordinaria no homog´enea. Su solucion tiene la forma x = xh + xp , donde xh es la soluci´on de la ecuaci´on homog´enea y xp es una soluci´ on particular de la Ec. (4.152). La soluci´on de la Ec. (4.151) corresponde a la parte real de la soluci´ on de la Ec. (4.152). Buscamos una soluci´ on particular de la Ec. (4.152) en la forma xp = B eiνt = b ei(νt+δ) ,

(4.153)

˜ CAP´ITULO 4. OSCILACIONES PEQUENAS

176

donde B = b eiδ es una amplitud compleja, y b, δ ∈ < son par´ametros a determinar. Sustituci´ on de xp en la Ec. (4.152) conduce a −ν 2 b + i2λνb + ω 2 b =

f −iδ e . m

(4.154)

Igualando la parte real y la parte imaginaria en ambos lados de la Ec. (4.154), tenemos b(ω 2 − ν 2 )

=

2λνb =

f cos δ, m f − sin δ, m

(4.155) (4.156)

de donde obtenemos tan δ

=

b =

2λν , ν 2 − ω2 1 f . m [(ω 2 − ν 2 )2 + 4ν 2 λ2 ]1/2

(4.157) (4.158)

Tomando la parte real de xp , tenemos xp = b cos(νt + δ).

(4.159)

La soluci´ on xh satisface la ecuaci´ on homog´enea x ¨h + 2λx˙ h + ω 2 xh = 0.

(4.160)

Buscamos una soluci´ on en la forma xh = eirt , donde r es un par´ametro a determinar. Sustituci´ on en la Ec. (4.160) conduce a la siguiente ecuaci´on para r, r2 − i2λr − ω 2 = 0. La Ec. (4.161) da dos valores complejos para r, p r1,2 = iλ ± ω 2 − λ2 = iλ ± γ,

(4.161)

(4.162)

donde hemos definido γ≡

p ω 2 − λ2 ,

(4.163)

y hemos asumido que ω > λ, de manera que exista movimiento oscilatorio para tiempo asint´ otico. Luego, la soluci´ on general de la ecuaci´on homog´enea Ec. (4.160) debe ser la combinaci´ on lineal de eir1 t y eir2 t , que son complejos conjugados. Entonces, podemos expresar xh como   xh = e−λt Aeiγt + A∗ e−iγt   = 2 e−λt Re A eiγt , (4.164)

4.4. OSCILACIONES FORZADAS Y AMORTIGUADAS

177

donde A = (a/2) eiφ es una amplitud compleja, con a, φ ∈   X X X  = 0 , (5.29) mj vcm · (Ω × rj ) = mj rj · (vcm × Ω) = (vcm × Ω) ·  m j rj  j j j  puesto que en el sistema de coordenadas (x1 , x2 , x3 ) con origen en el centro de masa P j mj rj = 0. (5.30) Rcm = M El tercer t´ermino en la Ec. (5.27) se puede evaluar usando la identidad vectorial (a × b) · (c × d) = (a · c)(b · d) − (a · d)(b · c), la cual da 

(Ω × rj )2 = (Ω × rj ) · (Ω × rj ) = Ω2 rj2 − (Ω · rj )2 . Sustituyendo en la Ec. (5.27), tenemos   1 1X 2 T = M vcm + mj Ω2 rj2 − (Ω · rj )2 2 2 j = Tcm + Trot ,

(5.31)

(5.32) (5.33)

donde el primer t´ermino es la energ´ıa cin´etica de traslaci´on del cuerpo y el segundo t´ermino corresponde a la contribuci´ on debida a la rotaci´on del cuerpo r´ıgido. Se puede expresar X Ωi = Ωk δik , i, k = 1, 2, 3, (5.34) k

Ω

2

=

X

Ω2i =

i

X

Ωi

i

X

Ωk δik =

k

! 2

(Ω · rj )

=

X i

X

Ωi xi (j)

Ωi Ωk δik ,

(5.35)

i,k

! X k

Ωk xk (j)

=

X i,k

Ωi Ωk xi (j)xk (j) .

(5.36)

´ 5.3. ENERG´IA CINETICA Y TENSOR DE INERCIA

191

En lo que sigue, suprimiremos el ´ındice j de las part´ıculas en la componentes de rj , i.e., xk (j) → xk . Luego, Trot

=

cuerpo X
1 X mj Ωi Ωk rj2 δik − Ωi Ωk xi xk 2 j

i,k

=

1X 2

Ωi Ωk

X


mj rj2 δik − xi xk ,

(5.37)

j

i,k

donde i, k = 1, 2, 3 y el ´ındice j cuenta las part´ıculas del cuerpo. La Ec. (5.37) se puede escribir en la forma Trot =

1X Iik Ωi Ωk , 2

(5.38)

i,k

donde hemos definido el tensor de inercia del cuerpo r´ıgido como X
Iik ≡ mj rj2 δik − xi xk .

(5.39)

j

El tensor de inercia se puede expresar como una matriz,   I11 I12 I13 I =  I21 I22 I23  I31 I32 I33 P P  P  mj (x22 + x23 ) − m x x − j m j x1 x3 jP P j 2j 1 22 P mj (x1 + x3 ) − j mj x2 x3  . =  − Pj mj x2 x1 jP P − j m j x3 x1 − j m j x3 x2 mj (x21 + x22 )

(5.40)

El tensor de inercia es sim´etrico, Iik = Iki , por lo que posee solamente seis componentes independientes. El tensor Iik es una propiedad del cuerpo r´ıgido que caracteriza la distribuci´ on de masa del cuerpo en torno a los ejes (x1 , x2 , x3 ). F´ısicamente, cada componente del tensor de inercia expresa la resistencia o inercia de un cuerpo a ser rotado en torno a un eje dado. Por ejemplo, I33 mide la resistencia del cuerpo a ser rotado alrededor del eje x3 . Con una escogencia adecuada de los ejes (x1 , x2 , x3 ) para cuerpos sim´etricos, es posible hacer que I sea diagonal: Iik = 0, si i 6= k. En ese caso, 1 (I11 Ω21 + I22 Ω22 + I33 Ω23 ). 2

(5.41) R Para una distribuci´ on continua de masa, pasamos al l´ımite continuo j mj → ρdV , donde ρ es la densidad y dV = dx1 dx2 dx3 es el elemento de volumen del cuerpo. En ese caso, el tensor de inercia se expresa como Z Iik = ρ(r)[r2 δik − xi xk ] dV . (5.42) Trot =

P

CAP´ITULO 5. MOVIMIENTO DE CUERPOS R´IGIDOS

192

Teorema de los ejes paralelos. Sea Iik el tensor de inercia de un cuerpo r´ıgido, expresado en el sistema de coordenadas (x1 , x2 , x3 ) con origen en el centro de masa del cuerpo. Entonces, en un sistema diferente de coordenadas fijas (x01 , x02 , x03 ), cuyo origen O0 se encuentra en una posici´on a con respecto al centro de masa del cuerpo, el tensor de inercia es X 0 Iik = Iik + mj (a2 δik − ai ak ). (5.43) j

Figura 5.9: Diferentes sistemas de coordenadas fijas para un cuerpo r´ıgido.

Demostraci´ on: El tensor de inercia en el sistema de coordenadas (x1 , x2 , x3 ) con origen en el centro de masa del cuerpo, es X
Iik = mj rj2 δik − xi xk . (5.44) j

Supongamos un sistema diferente de coordenadas fijas (x01 , x02 , x03 ), cuyo origen O0 se encuentra en una posici´ on a con respecto al centro de masa del cuerpo. La posici´on de un punto P del cuerpo en el sistema (x1 , x2 , x3 ) es rj ⇒ xi

=

a + r0 j ,

(5.45)

=

x0i .

(5.46)

ai +

Luego, en el sistema de coordenadas (x01 , x02 , x03 ), tenemos X 0 Iik = mj (rj02 δik − x0i x0k ) ,

(5.47)

j

donde rj02 = (rj − a)2 = rj2 + a2 − 2

X l

xl al .

(5.48)

´ 5.3. ENERG´IA CINETICA Y TENSOR DE INERCIA

193

Sustituyendo, " 0 Iik

=

X

rj2 + a2 − 2

mj

j

=

#

! X

xl al

δik − (xi − ai )(xk − ak )

(5.49)

l

X


X mj rj2 δik − xi xk + mj (a2 δik − ai ak )

j

(5.50)

j

−2

X

mj

X

j

xl al δik +

X

mj xi ak +

j

l

X

mj xk ai .

(5.51)

j

Pero en el sistema de coordenadas (x1 , x2 , x3 ), tenemos   *0    X   = 0, m mj xi ak = ak  j xi (j)  j j   *0    X X   = 0. m mj xk ai = ai  j xk (j)   j  j

X

(5.52)

(5.53)

Adem´ as,  *0    X   al  m = 0. j xl (j)  j  

X j

mj

X

xl al =

l

X l

(5.54)

Luego tenemos, 0 Iik = Iik +

X

mj (a2 δik − ai ak ).



(5.55)

j

En particular, si i = k, el teorema de ejes paralelos implica que X 0 I33 = I33 + mj (a2 − a23 ) X = I33 + mj (a21 + a22 ) = I33 + M a2⊥ , donde M es la masa total del cuerpo y a⊥ = ejes x3 y x03 . En general,

a21

+

(5.56) a22

es la distancia perpendicular entre

Iii0 = Iii + M a2⊥ , donde a⊥ es la distancia perpendicular entre ejes xi y x0i .

(5.57)

CAP´ITULO 5. MOVIMIENTO DE CUERPOS R´IGIDOS

194

Ejemplos. 1. Momentos de inercia de un cuerpo r´ıgido plano.

Figura 5.10: Cuerpo r´ıgido plano. Llamemos (x1 , x2 ) al plano del cuerpo r´ıgido. Entonces el eje x3 es perpendicular al cuerpo y rj = (x1 (j), x2 (j), 0), ∀j. Luego, X I11 = mj x22 , (5.58) j

I22

=

X

mj x21 ,

(5.59)

mj (x21 + x22 ) = I11 + I22 .

(5.60)

j

I33

=

X

2. Momentos de inercia de un aro uniforme, de masa M y radio R.

Figura 5.11: Aro. Sea x3 el eje perpendicular al plano del aro. Entonces, Z Z 2 2 2 I33 = (x1 + x2 )ρ dV = R ρ dV = M R2 .

(5.61)

El aro posee simetr´ıa axial con respecto al eje x3 ; luego I11 = I22 . Adicionalmente, puesto que el aro es un cuerpo r´ıgido plano, tenemos I33 1 I11 = I22 = = M R2 . (5.62) 2 2

´ 5.3. ENERG´IA CINETICA Y TENSOR DE INERCIA

195

3. Momentos de inercia de un cilindro uniforme de altura h, radio R y masa M .

Figura 5.12: Cilindro. M . El elemento de volumen de un πR2 h cascar´ on cil´ındrico se puede expresar como dV = 2πrh dr, donde r2 = x21 + x22 . Entonces, Z I33 = ρ (x21 + x22 ) dV Z R = 2π ρ h r2 r dr La densidad de masa del cilindro es ρ =

0

=

1 M R2 . 2

Notemos que, por definici´on, Z Z I11 + I22 = ρ(x21 + x22 + 2x23 ) = I33 + 2 ρ x23 dV.

(5.63)

(5.64)

Adicionalmente, por la simetr´ıa axial, los momentos de inercia I11 = I22 . Luego, Z I33 + ρ x23 dV. (5.65) I11 = I22 = 2 Usando el elemento de volumen dV = πR2 dx3 , correspondiente a una secci´on transversal (disco) de espesor dx3 , calculamos  3 Z Z h/2 h 1 2 2 2 22 = M h2 . (5.66) ρ x3 dV = ρπR x3 dx3 = ρπR 3 2 12 −h/2 Entonces, I11 =

1 1 M R2 + M h2 = I22 . 4 12

(5.67)

A partir de los resultados para un cilindro, pueden obtenerse los momentos de inercia correspondientes a otros cuerpos r´ıgidos.

CAP´ITULO 5. MOVIMIENTO DE CUERPOS R´IGIDOS

196

Si R → 0, tenemos una varilla uniforme de longitud h y masa M .

Figura 5.13: Varilla de longitud L. En ese caso, I33 I11 = I22

=

0, 1 = M L2 , 12

(5.68) (5.69)

donde hemos llamado h = L. Por otro lado, si h → 0 tenemos un disco uniforme de masa M y radio R. Entonces, 1 I33 = M R2 . (5.70) 2 I33 I11 = I22 = . (5.71) 2 0 4. Sea una varilla de longitud L y masa M . Calcular el momento de inercia I22 con 0 respecto a un eje x2 que pasa por un extremo de la varilla, paralelo al eje x2 .

Figura 5.14: Ejes paralelos x2 y x02 para un varilla de longitud L. Tenemos a = (0, 0, −L/2) y a⊥ = a = L/2. Luego, 0 I22

= I22 + M a2⊥ L2 1 1 = I22 + M = M L2 + M L2 4 12 4 1 = M L2 . 3

(5.72) (5.73) (5.74)

´ 5.3. ENERG´IA CINETICA Y TENSOR DE INERCIA

197

5. Momentos de inercia de una esfera uniforme, de masa M y radio R.

Figura 5.15: Cuerpo r´ıgido esf´erico. La simetr´ıa esf´erica implica que I11 = I22 = I33 . Por otro lado, la suma X X I11 + I22 + I33 = 2 mj (x21 + x22 + x23 ) = 2 mj rj2 j

⇒ I11

=

2X mj rj2 . 3 j

Para una distribuci´ on continua y uniforme de masa, tenemos Z 2 I11 = ρ r2 dV 3 Z R 2 R5 2 ρ r2 (4πr2 ) dr = 4πρ , = 3 0 3 5

(5.75)

j

(5.76)

(5.77)

donde hemos empleado el elemento de volumen dV = 4πr2 dr. Sustituyendo la 3M densidad de masa ρ = , obtenemos 4πR3 2 I11 = I22 = I33 = M R2 . (5.78) 5 Si tenemos un cascar´ on esf´erico de radio R y masa M , la densidad de masa se puede M δ(r − R), donde δ(r − R) es la funci´on delta de Dirac, tal expresar como ρ = 4πR2 que δ(r − R) = 0 si r 6= R. La integral de volumen de esta densidad da la masa del cascar´ on, Z Z ∞ M ρ dV = 4πr2 δ(r − R) dr = M. (5.79) 4πR2 0 Luego, los momentos de inercia de un cascar´on esf´erico de radio R y masa M son Z 2 I11 = I22 = I33 = r2 ρ dV 3 Z R 2 M = 4πr4 δ(r − R) dr 3 4πR2 0 2 = M R2 . (5.80) 3

CAP´ITULO 5. MOVIMIENTO DE CUERPOS R´IGIDOS

198

6. Energ´ıa cin´etica de un elipsoide (I11 6= I22 6= I33 ) que rota sobre eje AB con velocidad angular ω, y sobre eje CD con velocidad angular ν, como se muestra en la Fig. (5.16).

Figura 5.16: Elipsoide en rotaci´on simult´anea sobre dos ejes perpendiculares. Escogemos eje AB en la direcci´ on x3 . Entonces los ejes x1 y x2 rotan alrededor de AB = x3 . La direcci´ on de ω es a lo largo de x3 y la direcci´on de ν est´a sobre el plano (x1 , x2 ).

Figura 5.17: Velocidad angular ν sobre el plano (x1 , x2 ). La velocidad angular del cuerpo es Ω = (Ω1 , Ω2 , Ω3 ), donde Ω3

= ω,

(5.81)

Ω1

= ν cos ωt,

(5.82)

Ω2

= ν sin ωt.

(5.83)

Luego, T = Trot

= =

1 1 1 I11 Ω21 + I2 Ω222 + I33 Ω23 2 2 2 1 1 2 (I11 cos ωt + I22 sin2 ωt)ν 2 + I33 ω 2 . 2 2

(5.84)

´ 5.3. ENERG´IA CINETICA Y TENSOR DE INERCIA

199

7. Energ´ıa cin´etica de un cilindro de masa M y radio a, rodando sin deslizar dentro de una superficie cil´ındrica de radio R > a.

Figura 5.18: Izquierda: Cilindro rodando sin deslizar dentro de otro cilindro. Derecha: Condici´on de rodar sin deslizar para el cilindro de radio a

La energ´ıa cin´etica es T = Tcm + Trot ,

(5.85)

donde

1 2 M vcm . 2 La velocidad de traslaci´ on del centro de masa es Tcm =

(5.86)

vcm = (R − a)φ˙ .

(5.87)

˙ y ˆ 3 , con Ω3 = ψ, Sea x3 = z el eje del cilindro rodante. Entonces Ω = Ω3 x Trot =

1 1 I33 Ω23 = I33 ψ˙ 2 . 2 2

(5.88)

La condici´ on de rodar sin deslizar implica que ˙ vcm = aψ.

(5.89)

Luego, vcm (R − a)φ˙ = . ψ˙ = a a Sustituci´ on en la Ec. (5.85) da T =

1 1 (R − a)2 ˙ 2 M (R − a)2 φ˙ 2 + I33 φ . 2 2 a2

(5.90)

(5.91)

Para el cilindro rodante, I33 = 12 M a2 . Sustituyendo, T

= =

1 1 M (R − a)2 φ˙ 2 + M (R − a)2 φ˙ 2 2 4 3 2 ˙2 M (R − a) φ . 4

(5.92)

CAP´ITULO 5. MOVIMIENTO DE CUERPOS R´IGIDOS

200

5.4.

Momento angular de un cuerpo r´ıgido

El momento angular de un sistema depende del conjunto de coordenadas con respecto al cual est´en definidas las posiciones de las part´ıculas del sistema. Para un cuerpo r´ıgido, es conveniente escoger el sistema de coordenadas (x1 , x2 , x3 ) con origen en el centro de masa para definir el momento angular del cuerpo, X X l= rj × pj = mj (rj × vj ), (5.93) j

j

donde rj es el vector de posici´ on de la particula j en las coordenadas (x1 , x2 , x3 ).

Figura 5.19: Sistema de referencia para definir el momento angular de un cuerpo r´ıgido. La velocidad de la part´ıcula j en este sistema se debe s´olo a la rotaci´on del cuerpo, y est´ a dada por vj = Ω × rj , (5.94) donde Ω es la velocidad angular instant´anea del cuerpo. Luego, X l= mj rj × (Ω × rj ).

(5.95)

j

Usando la identidad vectorial A × (B × C) = (A · C)B − (A · B)C, podemos expresar X l= mj [rj2 Ω − (rj · Ω)rj ] (5.96) j

Consideremos la componente i del vector l en la Ec. (5.96), " # X X 2 li = mj rj Ωi − xi (j) xk (j)Ωk j

k

" =

X

mj

# X

j

=

X

=

k

mj

X

j

k

X

Ωk

X

k

j

Ωk rj2 δik −

X

xi (j)xk (j)Ωk

k

Ωk [rj2 δik − xi (j)xk (j)]   mj rj2 δik − xi (j)xk (j) .

(5.97)

5.4. MOMENTO ANGULAR DE UN CUERPO R´IGIDO Recordemos que el tensor de inercia es X Iik = mj [rj2 δik − xi (j)xk (j)].

201

(5.98)

j

Luego, podemos escribir la componente i del vector l como li =

3 X

Iik Ωk .

(5.99)

k=1

En forma vectorial esto es l = I Ω,

(5.100)

donde I es la forma matricial del tensor de inercia, Ec. (5.40). En particular, si I es diagonal, l1

= I11 Ω1 ,

(5.101)

l2

= I22 Ω2 ,

(5.102)

l3

= I33 Ω3 .

(5.103)

Note que, en general, el momento angular l no es paralelo a la direcci´on de la velocidad angular Ω.

Figura 5.20: Momento angular l y velocidad angular Ω de un cuerpo r´ıgido. Si el vector Ω posee solamente una componente sobre un eje xk , tenemos Ω = Ωˆ xk y entonces l = Ikk Ωˆ xk ; es decir, el momento angular l es paralelo a la velocidad angular Ω. Igualmente, para cuerpos esf´ericos, I11 = I22 = I33 , y l = I11 Ω; l es paralelo a Ω.

Ejemplo. 1. Rotaci´ on libre de un trompo. Un trompo es un cuerpo r´ıgido que posee dos momentos principales de inercia iguales, por ejemplo I11 = I22 6= I33 . Se escoge x3 como el eje de simetr´ıa axial. Los ejes x1 y x2 pueden apuntar en cualquier direcci´on, manteniendo su mutua perpendicularidad.

CAP´ITULO 5. MOVIMIENTO DE CUERPOS R´IGIDOS

202

Un trompo libre de torque tiene τ = 0 y, por lo tanto l = cte. Por ejemplo, la fuerza de gravedad no ejerce torque sobre un trompo en ca´ıda libre o sobre un sat´elite artificial en ´ orbita. Escogemos la direcci´on constante del vector l en la direcci´on del eje z, sobre el plano (x2 , x3 ). Entonces, l1 = 0. La simetr´ıa axial implica que la descripci´ on del movimiento no depende del valor del ´angulo ψ; podemos fijar ψ = 0. Esto equivale a escoger la direcci´on del eje x1 paralela a la linea nodal.

Figura 5.21: Rotaci´on de un trompo libre. Sea θ el ´ angulo entre la direcci´ on de l y el eje x3 . Las componentes de l son entonces l1

=

0,

(5.104)

l2

=

l sin θ,

(5.105)

l3

=

l cos θ.

(5.106)

En t´erminos de los ´ angulos de Euler, las componentes de l (con ψ = 0) se pueden expresar como (5.107)

l2

˙ = I11 Ω1 = I11 θ, = I22 Ω2 = I11 φ˙ sin θ,

l3

= I33 Ω3 = I33 (ψ˙ + φ˙ cos θ).

(5.109)

0 = I11 θ˙

(5.110)

l1

(5.108)

Luego, ⇒

θ = cte ,

es decir, no hay movimiento de nutaci´on en un trompo libre. Por otro lado, l sin θ = I11 φ˙ sin θ

⇒

l φ˙ = = cte , I11

(5.111)

es decir, el eje axial x3 del trompo precesa con velocidad angular constante φ˙ alrededor de la direcci´ on fija de l, describiendo un cono con v´ertice en el centro de masa del trompo y cuyo ´ angulo de v´ertice es θ. Entonces, todo el plano (x2 , x3 ) rota con velocidad angular φ˙ = cte alrededor de l.

5.5. ECUACIONES DE MOVIMIENTO PARA CUERPOS R´IGIDOS

203

La velocidad angular de rotaci´on del trompo sobre su eje de simetr´ıa x3 se obtiene de l cos θ = I33 (ψ˙ + φ˙ cos θ) l cos θ (I11 − I33 ) ⇒ ψ˙ = = cte . I11 I33

(5.112) (5.113)

Las componentes de la velocidad angular Ω son Ω1

=

Ω2

=

Ω3

=

θ˙ = 0, l sin θ = cte, I11 l cos θ = cte; I33

(5.114) (5.115) (5.116)

por lo tanto, el vector Ω yace siempre sobre el plano (x2 , x3 ). Como el plano (x2 , x3 ) rota alrededor de l, entonces Ω tambi´en precesa alrededor de la direcci´on fija de l con velocidad angular φ˙ = cte.

5.5.

Ecuaciones de movimiento para cuerpos r´ıgidos

Las ecuaciones de Lagrange para cuerpos r´ıgidos pueden plantearse en t´erminos de los ´ angulos de Euler, que describen los grados de libertad correspondientes al movimiento de rotaci´ on del cuerpo. La energ´ıa cin´etica de rotaci´on de un cuerpo r´ıgido est´a dada por la Ec. (5.38), 1X Trot = Iik Ωi Ωk , (5.117) 2 i,k

Las componentes Ωi de la velocidad angular pueden expresarse en funci´on de los a´ngulos de Euler (θ, φ, ψ) y de sus correspondientes velocidades, (5.118)

=

φ˙ sin θ sin ψ + θ˙ cos ψ, φ˙ sin θ cos ψ − θ˙ sin ψ,

=

ψ˙ + φ˙ cos θ.

(5.120)

Ω1

=

Ω2 Ω3

(5.119)

La energ´ıa potencial del cuerpo corresponde a la energ´ıa potencial de su centro de masa, y en general tambi´en puede expresarse en t´erminos de los ´angulos de Euler. Luego, el Lagrangiano de un cuerpo r´ıgido puede expresarse como ˙ φ, ˙ ψ, ˙ t). L = T − V = L(θ, φ, ψ, θ,

(5.121)

En general, las ecuaciones de Lagrange para cuerpos r´ıgidos pueden ser complicadas. Los casos mas simples son los que presentan simetr´ıas, como los cuerpos con simetr´ıa axial (trompos) o con simetr´ıa esf´erica.

CAP´ITULO 5. MOVIMIENTO DE CUERPOS R´IGIDOS

204

Ejemplos. 1. Trompo de Lagrange. Consideremos un trompo de masa m en el campo gravitacional terrestre, y cuyo punto inferior O est´ a fijo. Sea d la distancia, sobre el eje de simetr´ıa del trompo, desde su centro de masa al punto fijo O. cm cm cm En este problema, denotamos como I11 = I22 6= I33 a los momentos de inercia del trompo con respecto a un sistema de coordenadas fijo en su centro de masa.

Es conveniente tomar el sistema del laboratorio (x, y, z) y un sistema de coordenadas (x1 , x2 , x3 ) fijo en el cuerpo, ambos con origen en el punto O. Denotamos por d = (0, 0, d) el vector de posici´ on del centro de masa del trompo con respecto a O en el sistema de coordenadas (x1 , x2 , x3 ).

Figura 5.22: Trompo con punto inferior fijo. Consideremos los momentos de inercia con respecto al sistema de coordenadas (x1 , x2 , x3 ) fijo en el cuerpo con origen en O, el cual est´a ubicado en a = −d con respecto al centro de masa. De acuerdo al teorema de ejes paralelos, los momentos de inercia con respecto a los ejes (x1 , x2 , x3 ) del sistema centrado en O son cm Iik = Iik + m(a2 δik − ai ak ).

(5.122)

Luego, =

cm I11 + md2 ,

(5.123)

I22

=

2

+ md ,

(5.124)

I33

=

cm I22 cm I33

6= I11 = I22 .

(5.125)

I11

La energ´ıa potencial del trompo, con respecto a O, es V = mgz = mgd cos θ.

(5.126)

5.5. ECUACIONES DE MOVIMIENTO PARA CUERPOS R´IGIDOS

205

La energ´ıa cin´etica de traslaci´on del centro de masa puede ser considerada constante (el trompo no se traslada con respecto al punto fijo O; la magnitud del vector d es constante). La energ´ıa cin´etica de rotaci´on es Trot =

1 (I11 Ω21 + I22 Ω22 + I33 Ω23 ), 2

(5.127)

donde las componentes de la velocidad angular Ω se pueden expresar en funci´on de los ´ angulos de Euler, Ec. (5.118). Sustituci´on da Trot =

1 1 I11 (θ˙2 + φ˙ 2 sin2 θ) + I33 (ψ˙ + φ˙ cos θ)2 . 2 2

(5.128)

Tambi´en hubi´eramos podido tomar ψ = 0 (eje x1 igual a la linea nodal) en las componentes de la velocidad angular, debido a la simetr´ıa axial del trompo alrededor del eje x3 . El Lagrangiano del sistema es L=T −V =

1 1 I11 (θ˙2 + φ˙ 2 sin2 θ) + I33 (ψ˙ + φ˙ cos θ)2 − mgd cos θ. 2 2

(5.129)

El sistema posee tres grados de libertad, dados por los ´angulos de Euler θ, φ y ψ. La ecuaci´ on de Lagrange para ψ es   d ∂L ∂L = 0. − ˙ dt ∂ ψ ∂ψ

(5.130)

La coordenada ψ es c´ıclica, ∂L ∂ψ ∂L ⇒ ∂ ψ˙

=

0

= I33 (ψ˙ + φ˙ cos θ) = I33 Ω3 = l3 = cte.

La ecuaci´ on de Lagrange para φ es   d ∂L ∂L − = 0. dt ∂ φ˙ ∂φ

(5.131) (5.132)

(5.133)

La coordenada φ tambi´en es c´ıclica, ∂L ∂φ ∂L ⇒ ∂ φ˙

=

0

(5.134)

=

(I11 sin2 θ + I33 cos2 θ)φ˙ + I33 ψ˙ cos θ = lz = cte.

(5.135)

CAP´ITULO 5. MOVIMIENTO DE CUERPOS R´IGIDOS

206

Para interpretar las cantidades conservadas relacionadas con las coordenas c´ıclicas ψ y φ, notamos que el torque ejercido por el peso del trompo (fuerza externa) es ˆ 3 ), el cual tiene direcci´on perpendicular al plano (x3 , z), τ = −mgˆ z ×d = mgd(ˆ z×x al igual que el vector dl del cambio de momento angular del trompo. Luego, no hay ˆ 3 ni z ˆ, como tampoco hay cambios del componentes del torque en las direcciones x vector momento angular en esas direcciones, por lo que l3 = cte y lz = cte.

Figura 5.23: La direcci´on del torque τ es igual a la direcci´on del cambio de momento angular dl.

La energ´ıa constituye una tercera cantidad conservada en este sistema, ∂L =0 ∂t

⇒

E = T + V = cte.

(5.136)

Luego, 1 1 I11 (θ˙2 + φ˙ 2 sin2 θ) + I33 (ψ˙ + φ˙ cos θ)2 + mgd cos θ = cte. (5.137) 2 2 Las tres cantidades conservadas, l3 , lz y E, hacen que este sistema sea integrable. Despejando ψ˙ y φ˙ de la Ecs. (5.132) y (5.135) en t´erminos de θ, tenemos E=

φ˙

=

ψ˙

=

(lz − l3 cos θ) 0 sin2 θ I11 l3 − I33 φ˙ cos θ I33

(5.138) =

l3 (lz − l3 cos θ) cos θ − . 0 sin2 θ I33 I11

(5.139)

Sustituyendo estas expresiones para ψ˙ y φ˙ en la ecuaci´on Ec. (5.137), obtenemos E=

1 (lz − l3 cos θ)2 l32 I11 θ˙2 + + + mgd cos θ, 0 sin2 θ 2 2I33 2I11

(5.140)

lo cual se puede escribir como E0 =

1 I11 θ˙2 + Vef (θ) = cte, 2

(5.141)

donde E0

=

Vef (θ)

=

l32 = cte, 2I33 (lz − l3 cos θ)2 + mgd cos θ. 2I11 sin2 θ

E−

(5.142) (5.143)

5.5. ECUACIONES DE MOVIMIENTO PARA CUERPOS R´IGIDOS

207

Figura 5.24: Esquema del potencial efectivo Vef (θ). La Ec. (5.141) constituye un problema unidimensional equivalente para la coordenada θ, con un potencial efectivo Vef (θ) dado por la Ec. (5.143). Notemos que Vef (θ = 0) → ∞,

Vef (θ = π) → ∞.

(5.144)

El potencial efectivo Vef (θ) posee un valor m´ınimo para un ´angulo θ0 tal que ∂Vef = 0. (5.145) ∂θ θ0 El movimiento posible del ´angulo θ ocurre para valores tales que E 0 ≥ Vef (θ). Los puntos de retorno θ1 y θ2 est´an dados por las soluciones de la ecuaci´on E 0 = Vef (θ) =

(lz − l3 cos θ)2 + mgd cos θ; 2I11 sin2 θ

(5.146)

luego, el movimiento ocurre en el intervalo θ ∈ [θ1 , θ2 ]. De la Ec. (5.141) obtenemos dθ θ˙ = = dt

s

2(E 0 − Vef (θ)) I11

(5.147)

y t(θ) =

p Z p I11

dθ 2 (E 0

− Vef (θ))

.

(5.148)

La integral en la Ec. (5.148) corresponde a una integral de funciones el´ıpticas. En principio, t(θ) permite obtener θ(t) por inversi´on. Sustituci´on de θ(t) en las Ecs. (5.138) y (5.139) permite calcular ψ(t) y φ(t) por integraci´on directa. Luego, el trompo de Lagrange es un sistema integrable: existen tres grados de libertad ψ, φ y θ, y tres cantidades conservadas, l3 , lz y E, asociadas a simetr´ıas del sistema. El per´ıodo de nutaci´ on es Tnut

p Z = 2 I11

θ2

θ1

dθ p

2 (E 0

− Vef (θ))

.

(5.149)

208

CAP´ITULO 5. MOVIMIENTO DE CUERPOS R´IGIDOS ˙ dada por la Ec. (5.138), cambia su direcci´on La velocidad angular de precesi´ on φ, instant´ anea en los puntos de retorno θ1 y θ2 , dependiendo del signo de (lz − l3 cos θ) en esos puntos, seg´ un los siguientes casos: a) φ˙ > 0 siempre (lz > l3 cos θ, ∀ θ). b) φ˙ cambia de signo en θ1 ´ o en θ2 (el sentido del movimiento depende de condiciones iniciales). c) φ˙ = 0 en θ1 ´ o en θ2 (lz = l3 cos θ1,2 ).

Figura 5.25: Movimiento de nutaci´on en θ y de precesi´on en φ. Izquierda: φ˙ > 0, no cambia de signo. Centro: φ˙ cambia de signo en θ = θ1 . Derecha: φ˙ = 0 en θ = θ1 .

Puesto que el trompo tiene simetr´ıa axial, se puede tomar ψ = 0 en las componentes ˙ La velocidad angular de nutaci´on θ˙ es una de la velocidad angular; luego Ω1 = θ. funci´ on peri´ odica (con un per´ıodo largo) en el tiempo.

Figura 5.26: Velocidad angular de nutaci´on θ˙ = Ω1 en funci´on del tiempo para un trompo sim´etrico, I11 = I22 6= I33 con su punto inferior fijo. 2. Trompo de Kovalevskaya. Adem´ as del trompo de Lagrange, se conoce otro caso integrable de un trompo sim´etrico en un campo gravitacional con un punto fijo a una distancia d de su centro de masa.

5.5. ECUACIONES DE MOVIMIENTO PARA CUERPOS R´IGIDOS

209

Supongamos que el vector de posici´on d del centro de masa con respecto al punto fijo O es perpendicular al eje de simetr´ıa del trompo, y supongamos que los momentos principales de inercia con respecto al sistema fijo en el cuerpo satisfacen la condici´on I11 = I22 = 2I33 .

(5.150)

Este sistema se conoce como el trompo de Kovalevskaya, y es un problema famoso de la Mec´ anica.

Figura 5.27: Trompo de Kovalevskaya. Izquierda: Posici´on d del centro de masa con respecto al punto fijo O. Derecha: Proyecci´ on del vector d en la direcci´ on z corresponde a la altura del centro de masa.

Escogemos el punto fijo O como origen, tanto para el sistema del laboratorio (x, y, z) como para el sistema de coordenadas (x1 , x2 , x3 ) fijo en el cuerpo, tal que x3 corresponde al eje de simetr´ıa del trompo. Entonces, el vector de posici´on d del centro de masa del trompo con respecto a O se encuentra sobre el plano (x1 , x2 ). Podemos escoger el vector d = (d, 0, 0) en la direcci´on x1 . Note que si d = (0, 0, d), en la direcci´ on x3 , tenemos el caso de un trompo de Lagrange con momentos de inercia dados por la Ec. (5.150). Definimos el vector unitario en la direcci´on del eje z, ˆ z = (z1 , z2 , z3 ),

(5.151)

cuyas componentes en el sistema de coordenadas (x1 , x2 , x3 ) fijo en el cuerpo son z1

=

sin θ sin ψ,

(5.152)

z2

=

sin θ cos ψ,

(5.153)

z3

=

cos θ.

(5.154)

La energ´ıa cin´etica del trompo se debe a su rotaci´on, y est´a dada por T = Trot =

1 (I11 Ω21 + I22 Ω22 + I33 Ω23 ). 2

(5.155)

CAP´ITULO 5. MOVIMIENTO DE CUERPOS R´IGIDOS

210

La energ´ıa potencial del trompo corresponde a la energ´ıa potencial de su centro de masa en el campo gravitacional terrestre, V = mgz = mg ˆ z · d = mgd sin θ sin ψ.

(5.156)

El Lagrangiano del sistema, en t´erminos de los ´angulos de Euler, es  2  2 L = I33 φ˙ sin θ sin ψ + θ˙ cos ψ + I33 φ˙ sin θ cos ψ − θ˙ sin ψ 2 0  I33 ψ˙ + φ˙ cos θ − mgd sin θ sin ψ + 2 2 I33  ˙ = I33 (θ˙2 + φ˙ 2 sin2 θ) + ψ + φ˙ cos θ − mgd sin θ sin ψ. (5.157) 2 La coordenada φ es c´ıclica, por lo que su momento conjugado es constante,   ∂L = 2I33 φ˙ sin2 θ + I33 ψ˙ + φ˙ cos θ cos θ ∂ φ˙ h i ˙ + sin2 θ) + ψ˙ cos θ ≡ lz = cte. = I33 φ(1 (5.158) La cantidad conservada es la componente z del momento angular, puesto que el torque ejercido por la fuerza gravitacional es perpendicular a la direcci´on z. El Lagrangiano no depende explicitamente del tiempo, lo que implica que la energ´ıa mec´ anica total se conserva, E

=

T + V = cte.

=

2 I33  ˙ ψ + φ˙ cos θ + mgd sin θ sin ψ. (5.159) I33 (θ˙2 + φ˙ 2 sin2 θ) + 2

El sistema posee tres grados de libertad (los ´angulos de Euler) y dos cantidades conservadas E y lz , relacionadas con las simetr´ıas expl´ıcitas del Lagrangiano del sistema. Sof´ıa Kovalevskaya encontr´ o una tercera cantidad conservada no trivial,  2  2 mgd mgd K ≡ Ω21 − Ω22 − z1 + 2Ω1 Ω2 − z2 = cte. I33 I33

(5.160)

Sustituci´ on de Ω1 , Ω2 , z1 y z2 en t´erminos de los ´angulos de Euler, conduce a la expresi´ on  i  2 mgd h 2 θ − φ˙ 2 sin2 θ sin ψ − 2θ˙φ˙ sin θ cos ψ sin θ K = θ˙2 − φ˙ 2 sin2 θ + 2 I33  2 mgd + sin2 θ = cte. (5.161) 0 I33 La existencia de la constante de Kovalevskaya K, junto con E y lz , permite que este sistema sea integrable, aunque el procedimiento matem´atico para resolver las

5.5. ECUACIONES DE MOVIMIENTO PARA CUERPOS R´IGIDOS

211

ecuaciones de movimiento es bastante laborioso. La constante K no tiene una interpretaci´ on f´ısica directa, como E, lz o l3 . La simetr´ıa asociada con la cantidad conservada K no es en absoluto evidente. El m´etodo desarrollado por Kovalevskaya para encontrar esta cantidad conservada no trivial sigue siendo un tema abierto de investigaci´ on. Se han descubierto unos pocos sistemas din´amicos que poseen cantidades conservadas no triviales para ciertos valores de sus par´ametros, y que est´an relacionadas con simetr´ıas no evidentes (tambi´en llamadas ocultas) del sistema.

Figura 5.28: Izquierda: Sof´ıa Kovalevskaya (1850 -1891). Derecha: Movimiento del eje del trompo de Kovalevskaya en el espacio. A pesar de su apariencia, el movimiento no es ca´ otico. 3. Consideremos un trompo asim´etrico, I11 6= I22 6= I33 , con un punto fijo sobre su eje x3 . En ese caso, no existen suficientes simetr´ıas en el sistema, por lo que ´este no es integrable. Bajo estas condiciones, el movimiento del cuerpo es ca´otico para ciertos valores de par´ ametros.

Figura 5.29: Movimiento ca´otico de un trompo asim´etrico con su punto inferior fijo sobre su eje x3 . (a) Ω1 vs. t. (b) Diferencia ∆Ω1 vs. t para dos trayectorias correspondientes a dos condiciones iniciales separadas en ∆Ω1 (0) = 10−6 . (c) Movimiento ca´ otico del eje del trompo en el espacio.

212

5.6.

CAP´ITULO 5. MOVIMIENTO DE CUERPOS R´IGIDOS

Ecuaciones de Euler para cuerpos r´ıgidos

En el ejemplo de un trompo sim´etrico con su punto inferior fijo, vimos como las ecuaciones de movimiento de un cuerpo r´ıgido se pueden derivar a partir del Lagrangiano del sistema expresado en t´erminos de los ´angulos de Euler. Alternativamente, es posible derivar las ecuaciones de movimiento a partir de las relaciones de tranformaci´ on de cantidades vectoriales, desde el sistema de coordenadas del laboratorio (x, y, z) al sistema (x1 , x2 , x3 ) con origen en el centro de masa y que se mueve con el cuerpo. Para hacer esto, consideremos que los or´ıgenes de ambos sistemas de coordenadas coinciden y observemos un vector A en ambos sistemas. El sistema (x1 , x2 , x3 ) puede rotar con una velocidad angular intant´anea Ω. Un cambio infinitesimal en el vector A observado en ambos sistemas de coordenadas solamente puede diferir debido al efecto causado por la rotaci´ on de los ejes (x1 , x2 , x3 ), es decir, dA(x,y,z) = dA(x1 ,x2 ,x3 ) + dArot .

(5.162)

El cambio dArot causado por la rotaci´on de (x1 , x2 , x3 ) no modifica la magnitud del vector A, sino su direcci´ on, al igual que un vector posici´on r de una part´ıcula del cuerpo r´ıgido mantiene su magnitud en el sistema de coordenadas fijo en el cuerpo. En ese caso, vimos que un cambio dr es el resultado de una rotaci´on infinitesimal dΦ alrededor de un eje instant´ aneo que pasa por el origen del sistema (x1 , x2 , x3 ), y est´a dado por la Ec. (5.5), dr = dΦ × r. Luego, dArot = dΦ × A, (5.163) donde dΦ = Ω dt. La variaciones temporales del vector A, vistas por dos observadores en los sistemas de coordenadas (x, y, z) y (x1 , x2 , x3 ), est´an relacionadas por     dA dA = + Ω × A. (5.164) dt (x,y,z) dt (x1 ,x2 ,x3 ) Esta relaci´ on es general para cualquier vector A. En particular, si A = l,     dl dl = + Ω × l. (5.165) dt (x,y,z) dt (x1 ,x2 ,x3 )   dl Pero el torque en el sistema (x, y, z) es τ = . Luego, podemos escribir dt (x,y,z)   dl τ = + Ω × l. (5.166) dt (x1 ,x2 ,x3 ) P Las componentes de l en el sistema (x1 , x2 , x3 ) est´an dadas por li = k Iik Ωk . Luego, la componente i de la Ec. (5.166) es X τi = Iik Ω˙ k + (Ω × l)i , i = 1, 2, 3. (5.167) k

Las Ecs. (5.166) constituyen las ecuaciones de Euler para cuerpos r´ıgidos.

5.6. ECUACIONES DE EULER PARA CUERPOS R´IGIDOS

213

Si Iik es diagonal, podemos escribir las ecuaciones de Euler como τ1 = I11 Ω˙ 1 + Ω2 Ω3 (I33 − I22 ), τ2 = I22 Ω˙ 2 + Ω1 Ω3 (I11 − I33 ), τ3 = I33 Ω˙ 3 + Ω1 Ω2 (I22 − I11 ).

(5.168)

Las ecuaciones de Euler representan una alternativa u ´til para analizar el movimiento de cuerpos r´ıgidos en muchas situaciones. Las ecuaciones de Euler son ecuaciones diferenciales de primer orden para las componentes Ωi de la velocidad angular, mientras que las ecuaciones de Lagrange corresponden a ecuaciones diferenciales de segundo orden para los ´ angulos de Euler, que son las coordenadas generalizadas para un cuerpo r´ıgido. Puesto que las componentes Ωi se pueden expresar en t´erminos de ´angulos de Euler, ambas descripciones son equivalentes.

Ejemplos. 1. Trompo de Euler. Consiste en cuerpo r´ıgido asim´etrico, I11 6= I22 6= I33 , y libre de torque, τ = 0. Puesto que no hay torque, l = cte, i.e., la direcci´on y la magnitud del vector momento angular son constantes. Por otro lado, el Lagrangiano de este sistema es independiente del tiempo; luego la energ´ıa E se conserva. Existen tres grados de libertad (los tres ´ angulos de Euler) y tres cantidades conservadas (direcci´on de l, magnitud l y E); por lo tanto, este sistema es integrable. Este sistema puede considerarse como un trompo asim´etrico con su centro de masa fijo en el campo gravitacional terrestre; esto es; la distancia desde un punto fijo a su centro de masa es d = 0. El trompo de Lagrange (d = (0, 0, d)), el trompo de Kovasvkaya (d = (d, 0, 0)) y el trompo de Euler (d = (0, 0, 0)) constituyen los casos conocidos de cuerpos r´ıgidos en un campo gravitacional que son sistemas integrables. Supongamos los momentos de inercia tales que I33 > I22 > I11 . El movimiento se analiza m´ as f´ acilmente en t´erminos de las componentes Ωi de la velocidad angular en el sistema de coordenadas (x1 , x2 , x3 ), usando las ecuaciones de Euler para cuerpos r´ıgidos, Ecs. (5.168). La direcci´ on del vector l, vista en el sistema de coordenadas (x1 , x2 , x3 ) fijo en el cuerpo, no es constante; pero la magnitud l y la energ´ıa, que son cantidades escalares, s´ı lo son. La magnitud de la velocidad angular en el sistema de coordenadas (x1 , x2 , x3 ) es 2 2 2 l2 = l12 + l22 + l32 = I11 Ω21 + I22 Ω22 + I33 Ω23 = cte,

donde hemos utilizado li = Iii Ωi .

(5.169)

CAP´ITULO 5. MOVIMIENTO DE CUERPOS R´IGIDOS

214 La energ´ıa es

E=


1 I11 Ω21 + I22 Ω22 + I33 Ω23 = cte. 2

(5.170)

Luego, las componentes de l satisfacen el par de ecuaciones l22 l32 l12 + + = 1, 2EI11 2EI22 2EI33 l12 + l22 + l32 = l2 .

(5.171) (5.172)

La on describe un elipsoide √ecuaci´ √ √ en las componentes (l1 , l2 , l3 )√con semiejes √ primera 2EI11 , 2EI22 y 2EI33 , donde 2EI33 es el semieje mayor y 2EI11 es el semieje menor. La segunda ecuaci´on corresponde a una esfera de radio igual a l en el sistema (x1 , x2 , x3 ). Ambas ecuaciones deben satisfacerse simult´aneamente. Luego, el movimiento relativo del vector l descrito en el sistema de coordenadas (x1 , x2 , x3 ) debe ocurrir sobre una trayectoria de intersecci´on de las dos superficies, el elipsoide y la esfera, vistas en ese sistema. La condici´on para que exista tal intersecci´ on es que el radio de la esfera se encuentre entre el semieje menor y el semieje mayor del elipsoide, es decir, 2EI11 < l2 < 2EI33 .

(5.173)

Figura 5.30: Movimiento de l en (x1 , x2 , x3 ) para un cuerpo r´ıgido asim´etrico libre. Las intersecciones de la esfera con el elipsoide corresponden a curvas cerradas alrededor de los ejes x1 y x3 . Luego, el movimiento del vector l relativo al sistema (x1 , x2 , x3 ) fijo en el cuerpo debe ser peri´odico; durante un per´ıodo de oscilaci´on el vector l describe una especie de superficie c´onica alrededor de x1 o de x3 , y regresa a su posici´ on original. Las ecuaciones de Euler (5.168) para un cuerpo asim´etrico libre, con τ1 = τ2 = τ3 = 0, son I11 Ω˙ 1 + Ω2 Ω3 (I33 − I22 ) = 0, (5.174) I22 Ω˙ 2 + Ω1 Ω3 (I11 − I33 ) = 0, ˙ I33 Ω3 + Ω1 Ω2 (I22 − I11 ) = 0.

5.6. ECUACIONES DE EULER PARA CUERPOS R´IGIDOS

215

Estas tres ecuaciones, junto con las dos cantidades conservadas l (Ec. (5.169)) y E (Ec. (5.170)), son integrables. En efecto, multiplicando la Ec. (5.170) por 2I33 y restando la Ec. (5.169), obtenemos 2EI33 − l2 = I11 (I33 − I11 )Ω21 + I22 (I33 − I22 )Ω22 .

(5.175)

Despejamos Ω1 en funci´on de Ω2 , Ω21 =

(2EI33 − l2 ) − I22 (I33 − I22 )Ω22 . I11 (I33 − I11 )

(5.176)

Por otro lado, multiplicando la Ec. (5.170) por 2I11 y restando ´esta de la Ec. (5.169), tenemos l2 − 2EI11 = I22 (I22 − I11 )Ω22 + I33 (I33 − I11 )Ω23 . (5.177) Despejando Ω3 en funci´ on de Ω2 , Ω23 =

(l2 − 2EI11 ) − I22 (I22 − I11 )Ω22 . I33 (I33 − I11 )

(5.178)

Sustituyendo las expresiones de Ω1 y de Ω2 en la segunda de las ecuaciones Ec. (5.174), (I33 − I11 ) Ω˙ 2 = Ω1 Ω2 , I22

(5.179)

obtenemos una ecuaci´ on diferencial que depende solamente de Ω2 ,  1/2 dΩ2 1 Ω˙ 2 = = (2EI33 − l2 ) − I22 (I33 − I22 )Ω22 1/2 dt I22 [I11 I33 ]  1/2 × (l2 − 2EI11 ) − I22 (I22 − I11 )Ω22 .

(5.180)

De la Ec. (5.180), podemos calcular t = t(Ω2 ) mediante integraci´on expl´ıcita en t´erminos de funciones el´ıpticas y, por inversi´on, obtenemos Ω2 (t). Sustituci´on de Ω2 (t) en Ec. (6.323) y en la Ec. (5.178) permite obtener Ω1 (t) y Ω3 (t), respectivamente. La dependencia temporal de los ´angulos de Euler (θ, φ, ψ) para el cuerpo r´ıgido as´ımetrico puede obtenerse sustituyendo las soluciones Ωi (t) en las Ecs. (5.22); sin embargo, el procedimiento es laborioso. Este ejemplo ilustra las dificultades matem´aticas generadas por la presencia de no linealidades en las ecuaciones de evoluci´on de sistemas din´amicos, aunque ´estos sean integrables. Puesto que el movimiento del vector l relativo al sistema (x1 , x2 , x3 ) es peri´odico, podemos simplificar las ecuaciones Ecs. (5.174) considerando el movimiento de peque˜ nas oscilaciones de l alrededor de los ejes x1 , x2 y x3 .

CAP´ITULO 5. MOVIMIENTO DE CUERPOS R´IGIDOS

216

i) Peque˜ nas oscilaciones de l alrededor de x1 . Supongamos que las componentes l2 y l3 son peque˜ nas. Entonces, las relaciones l2 = I22 Ω2 ,

l3 = I33 Ω3 ,

(5.181)

implican que tambi´en las componentes Ω2 y Ω3 son peque˜ nas. Luego, el producto Ω2 Ω3 es muy peque˜ no y puede ser despreciado en la ecuaci´on de Euler para Ω˙ 1 en las Ecs. (5.174), lo cual da Ω˙ 1 ≈ 0

⇒

Ω1 ≈ cte.

(5.182)

Entonces, la segunda y la tercera de las ecuaciones de Euler Ecs. (5.174) dan Ω˙ 2

=

Ω˙ 3

=

(I33 − I11 ) Ω1 Ω3 , I22 (I22 − I11 ) − Ω1 Ω 2 . I33

(5.183) (5.184)

Derivando respecto al tiempo la Ec. (5.183) o la Ec. (5.184), y sustituyendo el resultado en la otra ecuaci´ on, tenemos ¨ 2,3 = − (I33 − I11 )(I22 − I11 ) Ω21 Ω2,3 , Ω I22 I33

(5.185)

la cual se puede escribir como la ecuaci´on de un oscilador arm´onico, ¨ 2,3 = −ω 2 Ω2,3 , Ω x1

(5.186)

con ωx21 > 0, donde s ωx1 = Ω1

(I33 − I11 )(I22 − I11 ) , I22 I33

(5.187)

es la frecuencia de peque˜ nas oscilaciones estables del vector l alrededor del eje x1 . ii) Peque˜ nas oscilaciones de l alrededor del eje x3 . En este caso, asumimos que las componentes l1 y l2 son peque˜ nas y, por lo tanto, Ω1 y Ω2 tambi´en son peque˜ nas. Despreciando el producto Ω1 Ω2 en la ecuaci´on de ˙ 3 en las Ecs. (5.174), obtenemos Euler para Ω I33 Ω˙ 3 ≈ 0

⇒

Ω3 ≈ cte.

(5.188)

La primera y la segunda de las ecuaciones Ecs. (5.174) dan Ω˙ 1

=

Ω˙ 2

=

(I33 − I22 ) Ω3 Ω2 , I11 (I33 − I11 ) Ω3 Ω 1 , I22

−

(5.189) (5.190)

5.6. ECUACIONES DE EULER PARA CUERPOS R´IGIDOS

217

las cuales conducen a ¨ 1,2 Ω ¨ 1,2 Ω

(I33 − I22 )(I33 − I11 ) 2 Ω3 Ω1,2 I11 I22 = −ωx23 Ω1,2 , = −

(5.191) (5.192)

con ωx23 > 0, donde s ωx3 = Ω3

(I33 − I22 )(I33 − I11 ) . I11 I22

(5.193)

es la frecuencia de peque˜ nas oscilaciones estables del vector l alrededor del eje x3 . iii) Peque˜ nas oscilaciones de l alrededor del eje x2 . Entonces, tomamos las componentes l1 y l3 peque˜ nas y tambi´en Ω1 y Ω3 . Entonces el producto Ω1 Ω3 puede despreciarse en la ecuaci´on de Euler para Ω˙ 3 en las Ecs. (5.174), lo cual da I22 Ω˙ 2 ≈ 0

⇒

Ω2 ≈ cte.

(5.194)

La primera y la tercera de las ecuaciones Ecs. (5.174) dan Ω˙ 1 Ω˙ 3

(I33 − I22 ) Ω 3 Ω2 , I11 (I22 − I11 ) = − Ω 2 Ω1 . I33 = −

(5.195) (5.196)

las cuales llevan a ¨ 1,3 Ω ¨ 1,3 Ω

(I33 − I22 )(I22 − I11 ) 2 Ω2 Ω1,3 I11 I33 = ωx22 Ω1,3 , =

(5.197) (5.198)

con ωx22 > 0, donde s ωx2 = Ω2

(I33 − I22 )(I22 − I11 ) . I11 I33

(5.199)

En este caso, las soluciones Ω1,3 = Keωx2 t crecen con el tiempo y, por lo tanto, las componentes l1 y l3 aumentan. Luego, el vector l se aleja del eje x2 y el movimiento de peque˜ nas oscilaciones de l alrededor de x2 es inestable. 2. Movimiento libre de un trompo sim´etrico (I11 = I22 6= I33 ). Este sistema fue analizado en la Sec. (5.4) considerando la conservaci´on de su momento angular. Tambi´en puede verse como un caso especial del trompo de Euler. Las ecuaciones de Euler (5.168) se reducen a I11 Ω˙ 1 = −Ω2 Ω3 (I33 − I11 ) I11 Ω˙ 2 = Ω1 Ω3 (I33 − I11 ) I33 Ω˙ 3 = 0.

(5.200)

CAP´ITULO 5. MOVIMIENTO DE CUERPOS R´IGIDOS

218

La tercera equaci´ on da Ω3 = cte. Puesto que l3 = l cos θ, tenemos l3 = I33 Ω3 = l cos θ

⇒

Ω3 =

l cos θ = cte I33

⇒

θ = cte.

(5.201)

La primera y la segunda ecuaci´ on se pueden entonces escribir como Ω˙ 1 Ω˙ 2

=

−ωΩ2 ,

(5.202)

=

−ωΩ1 ,

(5.203)

donde definimos ω=

(I33 − I11 ) (I33 − I11 ) Ω3 = l cos θ = cte. I11 I11 I33

(5.204)

Luego, ¨ 1 = −ω Ω˙ 2 Ω

⇒

¨ 1 = −ω 2 Ω1 . Ω

(5.205)

Las soluciones para Ω1 y Ω2 son Ω1 = A cos ωt, Ω2 = A sin ωt,

(5.206)

donde A = (Ω21 + Ω22 )1/2 es constante. Si tomamos la direcci´ on constante de l en la direcci´on z, entonces Ω rota con respecto a la direcci´ on de l, manteniendo su proyecci´on Ω3 sobre el eje x3 constante, mientras que su proyecci´ on sobre el plano (x1 , x2 ) rota con velocidad angular constante ω.

Figura 5.31: Movimiento libre de un trompo. ˙ tanto del eje x3 como del vector Ω, alrededor La velocidad angular de precesi´ on φ, de l (eje z) se puede calcular a partir de l2 = I22 Ω2 = l sin θ.

(5.207)

5.6. ECUACIONES DE EULER PARA CUERPOS R´IGIDOS

219

Sustituyendo la expresi´ on de Ω2 en t´erminos de los ´angulos de Euler, y tomando ψ = 0 (usando la simetr´ıa axial del trompo), tenemos I22 φ˙ sin θ = l sin θ ⇒ φ˙ =

l . I11

(5.208)

La velocidad angular de rotaci´on ψ˙ del trompo sobre su eje x3 se puede calcular usando Ω3 ⇒ ψ˙

= = = =

ψ˙ + φ˙ cos θ Ω3 − φ˙ cos θ l l cos θ − cos θ I33 I11 (I33 − I11 ) l cos θ = ω. I11 I33

(5.209) (5.210) (5.211) (5.212)

El vector Ω ejecuta dos rotaciones, vistas desde los dos sistemas de referencia: una rotaci´ on en el sistema (x, y, z) describiendo un cono alrededor de la direcci´on ˙ y una rotaci´on en el sistema (x1 , x2 , x3 ) z = l, con velocidad angular de precesi´on φ; describiendo otro cono alrededor del eje x3 del trompo, con velocidad angular ω = ˙ El vector l tambi´en rota con velocidad angular ψ˙ alrededor de x3 , visto desde el ψ. sistema (x1 , x2 , x3 ).

Figura 5.32: Rotaci´on del vector Ω en los sistemas de referencia (x, y, z) y (x1 , x2 , x3 ). 3. El girocomp´ as. Es un instrumento usado en la navegaci´on que permite indicar el Norte geogr´afico sin referencia al campo magn´etico terrestre. Consiste en un disco con momentos principales de inercia I11 = I22 6= I33 , el cual gira con velocidad angular constante ω alrededor del eje perpendicular a su plano, que llamamos x3 . Simult´aneamente, el disco puede rotar libremente un ´angulo θ alrededor de un eje perpendicular a x3 , como se muestra en la Fig. (5.33).

220

CAP´ITULO 5. MOVIMIENTO DE CUERPOS R´IGIDOS

Figura 5.33: Girocomp´as. Sea ν la magnitud de la velocidad angular de la Tierra alrededor de su eje NorteSur, y supongamos que ω  ν. Llamemos α al ´angulo de latitud sobre el Ecuador del instrumento. Consideremos el sistema de coordenadas (x, y, z) fijo en la Tierra y el sistema (x1 , x2 , x3 ) con origen en el centro de masa del disco, como se indica en la Fig. (5.34).

Figura 5.34: Sistemas de referencia (x, y.z) y (x1 , x2 , x3 ) para el girocomp´as. Izquierda: velocidad angular de la Tierra y latitud α del instrumento. Derecha: vista instant´ anea del girocomp´ as ˙ La direcci´ desde el eje x2 , paralelo al eje y y a la direcci´ on de θ. on Norte-Sur local, NS, corresponde al eje z.

Las componentes de la velocidad angular de la Tierra en (x, y.z) son νx

=

0,

(5.213)

νy

=

ν sin α,

(5.214)

νz

=

ν cos α.

(5.215)

Supongamos que la direcci´ on de θ˙ en un instante dado est´a sobre el eje x2 (simetr´ıa del disco permite esta simplificaci´on). Entonces, las componentes de la velocidad

5.6. ECUACIONES DE EULER PARA CUERPOS R´IGIDOS

221

angular instant´ anea Ω del disco en (x1 , x2 , x3 ) se pueden expresar como (Fig. (5.34)) −νz sin θ = −ν cos α sin θ, ˙ νy + θ˙ = ν sin α + θ,

Ω1

=

Ω2

=

Ω3

= νz cos θ + ω = ν cos α cos θ + ω.

(5.216) (5.217) (5.218)

Puesto que el instrumento es libre de rotar sobre el eje y, no hay componente del torque en direcci´ on de y, que corresponde en este instante al eje x2 . Entonces, consideremos la ecuaci´ on de Euler Ec. (5.168) correspondiente a τ2 = 0, τ2 = I22 Ω˙ 2 + Ω1 Ω3 (I11 − I33 ) = 0.

(5.219)

Sustituci´ on de las componentes de Ω da I11 θ¨ + (I33 − I11 )ν cos α sin θ (ν cos α cos θ + ω) = 0,

(5.220)

donde hemos usado I11 = I22 . Pero ω  ν, lo cual implica que ω  ν cos α cos θ. Luego, podemos escribir I11 θ¨ + (I33 − I11 )νω cos α sin θ ≈ 0.

(5.221)

La Ec. (5.221) tiene la misma forma que la ecuaci´on de movimiento de un p´endulo simple. En el l´ımite de peque˜ nas oscilaciones en θ, tenemos sin θ ≈ θ. Luego, (I33 − I11 ) νω cos α θ ≈ 0. θ¨ + I11

(5.222)

La Ec. (5.222) es similar a la ecuaci´on de un oscilador arm´onico, θ¨ + ωc2 θ ≈ 0,

(5.223)

donde

(I33 − I11 ) νω cos α, (5.224) I11 es la frecuencia para peque˜ nas oscilaciones del eje x3 del disco alrededor del eje z, que apunta hacia el Norte. Luego, el punto de equilibrio θ = 0 de la oscilaci´on del eje x3 se˜ nala la direcci´ on del Norte geogr´afico. ωc2 =

Notemos que la medida directa de la frecuencia de oscilaci´on ωc en la Ec. (5.223) permite a su vez calcular la latitud α sin ninguna referencia externa. Por ejemplo, ωc = 0 ⇒ ωc = m´axima ⇒

α=

π 2,

α = 0,

Polo Norte.

(5.225)

Ecuador.

(5.226)

4. Efecto Coriolis. Una aplicaci´ on importante de la Ec. (5.164) es la descripci´on del movimiento de una part´ıcula en un sistema en rotaci´on, y por tanto, no inercial.

222

CAP´ITULO 5. MOVIMIENTO DE CUERPOS R´IGIDOS

Figura 5.35: Gaspard-Gustave de Coriolis (1792-1843).

Sean (x, y, z, ) un sistema inercial (por ejemplo, con respecto a las estrellas fijas) y (x1 , x2 , x3 ) un sistema de coordenadas en rotaci´on (por ejemplo, la Tierra) con velocidad angular constante Ω relativa al sistema inercial. Entonces, la Ec. (5.164) aplicada al vector de posici´ on r de la part´ıcula desde el origen com´ un de ambos sistemas da v = vrot + Ω × r, (5.227) donde suprimimos el sub´ındice (x, y, z) en las cantidades referidas al sistema inercial y usamos el sub´ındice “rot” en lugar de (x1 , x2 , x3 ) para las cantidades medidas en el sistema en rotaci´ on. La derivada temporal del vector v vista por dos observadores en los sistemas de coordenadas (x, y, z) y (x1 , x2 , x3 ) est´a dada a su vez por la Ec. (5.164),   dv dv = + Ω × v. (5.228) dt dt rot Sustituyendo Ec. (5.227) en la Ec. (5.228), tenemos   dvrot dv + Ω × vrot + Ω × (vrot + Ω × r) = dt dt  rot dvrot = + 2Ω × vrot + Ω × (Ω × r). dt rot Multiplicando por la masa de la part´ıcula m, la Ec. (5.229) queda   dv dvrot m =m + 2mΩ × vrot + mΩ × (Ω × r). dt dt rot

(5.229)

(5.230)

La ecuaci´ on de movimiento en el sistema inercial (x, y, z) es simplemente F=m

dv . dt

(5.231)

5.6. ECUACIONES DE EULER PARA CUERPOS R´IGIDOS

223

Entonces, la Ec. (5.230) puede expresarse como  F − 2mΩ × vrot − mΩ × (Ω × r) = m

dvrot dt

 .

(5.232)

rot

Luego, para un observador en el sistema en rotaci´on, el movimiento de la part´ıcula se describe como si ´esta estuviera sujeta a una fuerza efectiva   dvrot , (5.233) Fef = m dt rot donde Fef = F + Fco + Fc ,

(5.234)

e identificamos Fc = −mΩ × (Ω × r)

(5.235) 2

como la fuerza centr´ıfuga, cuya magnitud es la expresi´on familiar Fc = mΩ r sin θ, donde θ es el ´ angulo entre Ω y r, mientras que el t´ermino Fco = 2m vrot × Ω

(5.236)

se denomina fuerza de Coriolis. Tanto la fuerza de Coriolis como la fuerza centr´ıfuga son fuerzas ficticias, introducidas por un observador en el sistema no inercial en rotaci´on para describir el movimiento de una part´ıcula. En particular, la fuerza de Coriolis es un ejemplo de una fuerza dependiente de la velocidad.

Figura 5.36: Desviaci´on de la trayectoria de un proyectil en la Tierra debida al efecto Coriolis. Izquierda: hemisferio Norte. Derecha: hemisferio Sur.

CAP´ITULO 5. MOVIMIENTO DE CUERPOS R´IGIDOS

224

5.7.

Problemas

1. Una moneda de masa m y radio a est´a rodando sin deslizar por el suelo con velocidad de magnitud constante v, describiendo una circunferencia de radio R y manteniendo un ´ angulo constante θ con respecto al suelo. Determine θ. 2. Un placa uniforme, formada por un tri´angulo con dos lados iguales de longitud a, rota con velocidad angular ω alrededor de un eje que pasa por uno de esos lados. a) Calcule el vector de momento angular de la placa. b) Calcule la energ´ıa cin´etica de la placa. 3. Un trompo uniforme de masa M con su extremo inferior fijo en el suelo est´a girando sobre su eje de simetr´ıa con velocidad angular Ω, inicialmente en posici´on vertical (θ = 0, θ˙ = 0). Los momentos principales de inercia son I3 , I1 = I2 . El centro de masa se ubica a una distancia a del punto inferior del trompo. a) Encuentre las cantidades conservadas en el sistema en funci´on de las condiciones iniciales. b) Calcule el ´ angulo m´ aximo que se puede inclinar el trompo. 4. Un disco uniforme de masa m y radio a est´a girando con velocidad angular constante Ω alrededor de un eje que pasa por su centro y que forma un ´angulo θ con la normal a la superficie del disco. a) Calcule el valor de θ para que el ´angulo entre la velocidad angular y el momento angular del disco sea de 15o . b) Encuentre la energ´ıa cin´etica del disco. 5. Calcule los momentos principales de inercia de un cono uniforme de masa M , altura h y base circular de radio R. 6. Una placa semicircular uniforme de masa m y radio a se encuentra sobre una superficie plana. Calcule la frecuencia de peque˜ nas oscilaciones de la placa alrededor de su posici´ on de equilibrio.

7. Un aro de masa M y radio R est´ a girando con velocidad angular constante Ω alrededor de un eje que pasa por su centro y que forma un ´angulo α con la normal al plano del aro. Calcule la magnitud y direcci´ on del momento angular del aro. 8. Un cilindro de densidad uniforme ρ, radio R y altura h gira con velocidad angular constante ω alrededor de su eje longitudinal. El cilindro tiene una cavidad esf´erica de radio R/2 tangente a su eje. Calcule la energ´ıa cin´etica del cilindro.

5.7. PROBLEMAS

225

9. Una varilla uniforme de longitud 2l posee sus extremos en contacto sin fricci´on con un aro vertical fijo de radio R > l. Calcule la frecuencia de peque˜ nas oscilaciones de la varilla.

10. Un hemisferio s´ olido y uniforme de masa M y radio R se encuentra sobre una superficie plana. Calcule la frecuencia de peque˜ nas oscilaciones del hemisferio alrededor de su posici´ on de equilibrio.

11. Una varilla de masa m y longitud l tiene un extremo en una pared y el otro en el suelo. Desprecie la fricci´ on. a) Encuentre la ecuaci´ on de movimiento de la varilla. b) Si la varilla se suelta desde el reposo, formando un ´angulo α con el suelo, calcule la velocidad de su centro de masa cuando la varilla choca contra el suelo. c) Determine el tiempo que tarda en chocar.

226

CAP´ITULO 5. MOVIMIENTO DE CUERPOS R´IGIDOS

12. Una placa rectangular uniforme, de masa m y lados a y 2a, est´a rotando con velocidad angular constante ω alrededor de una de sus diagonales. a) Encuentre la energ´ıa cin´etica de rotaci´on de la placa. b) Determine la magnitud del momento angular de la placa. c) Encuentre el ´ angulo entre el momento angular y la velocidad angular. 13. Encuentre la frecuencia para peque˜ nas oscilaciones de un p´endulo plano formado por varilla de masa despreciable, con un extremo fijo y el otro extremo unido a una esfera de radio R y masa M . 14. Tres estrellas, con masas m1 , m2 y m3 , se encuentran ubicadas en el espacio formando los v´ertices de un tri´ angulo equil´ atero. Determine la velocidad angular del movimiento de rotaci´ on tal que esta configuraci´ on permanezca invariante. 15. Un cono circular uniforme de altura h, ´angulo de v´ertice α y masa m rueda sobre su lado sin deslizar sobre el plano horizontal (x, y). a) Encuentre la energ´ıa cin´etica. c) Calcule el tiempo requerido para retornar a la posici´on original del cono. b) Calcule las componentes del momento angular del cono.

16. Una bola de densidad uniforme rueda sin deslizar sobre un disco que gira en un plano horizontal con velocidad angular Ω. La bola se mueve en un c´ırculo de radio r centrado en el eje del disco, con velocidad angular ω. Encuentre ω.

Cap´ıtulo 6

Din´ amica Hamiltoniana 6.1.

Ecuaciones de Hamilton

La formulaci´ on de la Mec´anica a partir del Lagrangiano L(qi , q˙i , t), i = 1, 2, . . . , s, describe el movimiento de un sistema en t´erminos de sus coordenadas y velocidades generalizadas, lo cual se denomina el espacio de configuraci´ on (qi , q˙i ). Otra descripci´ on alternativa del movimiento de un sistema es posible en t´erminos de sus coordenadas generalizadas qi y de sus momentos conjugados pi , lo cual se llama el espacio de fase (pi , qi ) del sistema. El espacio de fase es empleado para representar la evoluci´ on de sistemas en diversas ´areas de la F´ısica, tales como Mec´anica Estad´ıstica y Sistemas Din´ amicos. Veamos c´ omo transformar la descripci´on del movimiento desde el espacio de configuraci´ on (q1 , q˙i ) al espacio de fase (pi , qi ). Consideremos un sistema cuyo Lagrangiano es L(qi , q˙i , t). El diferencial total del Lagrangiano como funci´on de sus argumentos es X ∂L X ∂L ∂L dL(qi , q˙i , t) = dqi + dq˙i + dt. (6.1) ∂q ∂ q ˙ ∂t i i i i Los momentos conjugados asociado a las coordenadas generalizadas {qi } son pi =

∂L = pi (qi , q˙i , t) i = 1, 2, . . . , s. ∂ q˙i

(6.2)

A partir del conjunto de Ecs. (6.2) es posible, en principio, obtener las velocidades generalizadas q˙i como funci´ on de los momentos pi , las coordenadas qi y t, q˙i = q˙i (pi , qi , t) i = 1, 2, . . . , s. Las ecuaciones de Lagrange correspondientes se pueden escribir   ∂L d ∂L = dt ∂ q˙i ∂qi ∂L ⇒ p˙i = . ∂qi 227

(6.3)

(6.4) (6.5)

´ CAP´ITULO 6. DINAMICA HAMILTONIANA

228 Sustituci´ on en la Ec. (6.1) da dL =

X

p˙i dqi +

X

i

pi dq˙i +

i

∂L dt , ∂t

(6.6)

lo que se puede expresar como ! dL =

X

p˙i dqi +

i

X

d(pi q˙i ) −

X

i

q˙i dpi

+

i

∂L dt ; ∂t

(6.7)

es decir, ! d

X

pi q˙i − L

=

X

i

q˙i dpi −

X

i

p˙i dqi −

i

∂L dt . ∂t

(6.8)

El lado izquierdo de la Ec. (6.8) corresponde al diferencial total de una funci´on de varias variables. El lado derecho de la Ec. (6.8), que contiene los diferenciales dpi , dqi y dt, indica que los argumentos de esta funci´on son (pi , qi , t). Si expresamos las velocidades generalizadas q˙i = q˙i (pi , qi , t), podemos definir esta funci´on como X X H(pi , qi , t) ≡ pi q˙i − L = pi q˙i (pi , qi , t) − L(qi , q˙i (pi , qi , t), t) . (6.9) i

i

La funci´ on H(pi , qi , t) se llama el Hamiltoniano del sistema. Entonces, la Ec. (6.8) se puede escribir como dH(qi , pi , t) =

X

q˙i dpi −

i

X

p˙i dqi −

i

∂L dt . ∂t

(6.10)

Por otro lado, como funci´ on de sus argumentos (qi , pi , t), el diferencial total del Hamiltoniano es X ∂H X ∂H ∂H dH(qi , pi , t) = dt. (6.11) dqi + dpi + ∂q ∂p ∂t i i i Comparando t´erminos en las Ecs. (6.10) y (6.11), tenemos

q˙i p˙i

adem´ as de

∂H , ∂pi ∂H , = − ∂qi =

(6.12) (6.13)

∂H ∂L =− . (6.14) ∂t ∂t Las ecuaciones Ecs. (6.12) y (6.13) se denominan ecuaciones de Hamilton y constituyen un sistema de 2s ecuaciones diferenciales de primer orden con respecto al tiempo para qi

6.1. ECUACIONES DE HAMILTON

229

y pi , i = 1, 2, . . . , s. Las soluciones qi (t) y pi (t) de las ecuaciones de Hamilton requieren 2s constantes de integraci´ on relacionadas con las s condiciones iniciales qi (0) para las coordenadas y las pi (0) s condiciones iniciales para los momentos. El estado din´amico del sistema en un tiempo t se puede representar como un punto (qi (t), pi (t)) en el espacio euclideano 2s-dimensional (qi , pi ), denominado espacio de fase, donde cada coordenada qi y cada momento pi corresponde a un eje cartesiano de ese espacio. Las soluciones de las ecuaciones de Hamilton corresponden a una trayectoria (qi (t), pi (t)) en el espacio de fase 2s-dimensional (qi , pi ) que pasan por el punto (qi (0), pi (0)).

Figura 6.1: Trayectoria en el espacio de fase. Note que el Hamiltoniano H es equivalente a la funci´on de energ´ıa (Cap. 1) expresada en variables del espacio de fase, E(qi , q˙i )

X ∂L q˙i − L(qi , q˙i , t) ∂ q˙i i X = pi q˙i − L = H(qi , pi , t) =

en coordenadas (qi , pi ).

(6.15)

i

Por otro lado, dH (qi , pi , t) dt

= =

X ∂H ∂H X ∂H + q˙i + p˙i ∂t ∂qi ∂pi i i ∂H X ∂H ∂H X ∂H ∂H ∂H + − = . ∂t ∂q ∂p ∂p ∂q ∂t i i i i i i

Es decir, si el Hamiltoniano no depende explicitamente del tiempo, entonces H(qi , pi ) es constante. Similarmente, si el Lagrangiano L no depende explicitamente de t, la funci´on de energ´ıa es constante. Si el Hamiltoniano es constante, la ecuaci´on H(qi , pi ) = cte representa una superficie de (2s − 1) dimensiones sobre la cual se mueve la trayectoria (qi (t), pi (t)) en el espacio de fase 2s-dimensional. La trayectoria correspondiente a un sistema oscilatorio debe ser una curva cerrada sobre la superficie H(qi , pi ) = cte, de modo que los valores de las coordenadas y de los momentos del sistema se repiten en el tiempo.

´ CAP´ITULO 6. DINAMICA HAMILTONIANA

230

Un sistema caracterizado por un Lagrangiano siempre tiene un Hamiltoniano asociado. En la formulaci´ on Lagrangiana, el movimiento de un sistema con s grados de libertad se describe en t´erminos de s ecuaciones diferenciales ordinarias de segundo orden en el tiempo para las coordenadas generalizadas qi , (i = 1, 2, . . . , s); mientras que en la formulaci´ on Hamiltoniana, la din´ amica del sistema se expresa mediante 2s ecuaciones diferenciales de primer orden con respecto al tiempo: s ecuaciones para las coordenadas qi y s ecuaciones para los momentos conjugados pi . Las coordenadas y los momentos conjugados poseen el mismo estatus en la formulaci´on Hamiltoniana. Formalmente, el Hamiltoniano corresponde a una transformaci´on de Legendre del Lagrangiano (Ap´endice B). Desde el punto de vista matem´atico, ambas formulaciones son equivalentes. Sin embargo, la formulaci´on Hamiltoniana permite conectar la Mec´anica Cl´ asica con otras ´ areas de la F´ısica, tales como Sistemas Din´amicos, Mec´anica Estad´ıstica y Teor´ıas de Campos.

Figura 6.2: William Rowan Hamilton (1805-1865).

Ejemplos. 1. Encontrar las ecuaciones de movimiento de un oscilador arm´onico en la formulaci´on Hamiltoniana. El Lagrangiano es 1 2 1 2 mq˙ − kq . 2 2 Puesto que s = 1, hay un momento conjugado: L=T −V =

p=

∂L = mq˙ ∂ q˙

⇒

q˙ =

p . m

(6.16)

(6.17)

El Hamiltoniano es 1 1 H(q, p) = pq˙ − L = pq˙ − mq˙2 + kq 2 . 2 2

(6.18)

6.1. ECUACIONES DE HAMILTON Sustituyendo q˙ =

231

p , m H(q, p) =

p2 1 + kq 2 . 2m 2

(6.19)

Las ecuaciones de Hamilton son q˙ p˙

∂H p = , ∂p m ∂H = − = −kq. ∂q =

(6.20) (6.21)

Las ecuaciones de Hamilton para el oscilador arm´onico se pueden resolver, al igual que la correspondiente ecuaci´on de Lagrange. Derivando la Ec. (6.21) obtenemos, p¨ = −k q˙ = −

k p, m

(6.22)

cuya soluci´ on es p(t) = A cos(ωt + ϕ),

ω2 =

k . m

(6.23)

Sustituyendo en la Ec. (6.20), obtenemos q(t) =

A sin(ωt + ϕ). mω

El Hamiltoniano es independiente del tiempo, H(q, p) =

(6.24)

∂H = 0, lo cual implica que ∂t

p2 1 + kq 2 = cte. 2m 2

(6.25)

La funci´ on H(q, p) = cte describe una elipse (curva unidimensional) en el espacio de fase bidimensional (q, p) y determina los valores posibles de q(t) y p(t) para todo tiempo t. La trayectoria descrita por q(t), p(t) se mueve sobre la elipse H = cte.

Figura 6.3: La funci´on H(q, p) = cte para un oscilador arm´onico en su espacio de fase.

´ CAP´ITULO 6. DINAMICA HAMILTONIANA

232

2. Encontrar las ecuaciones de Hamilton para una part´ıcula de masa m movi´endose sobre un cono vertical cuyo ´ angulo en el v´ertice es α. El Lagrangiano fue calculado en el Cap. 1, L=

1 2 2 1 mr˙ csc α + mr2 ϕ˙ 2 − mgr cot α. 2 2

(6.26)

Los momentos conjugados a las coordenadas r y ϕ son ∂L ∂ r˙ ∂L pϕ = ∂ ϕ˙ pr =

= mr˙ csc2 α,

(6.27)

= mr2 ϕ. ˙

(6.28)

Luego, r˙

=

ϕ˙ =

pr , m csc2 α pϕ . mr2

El Hamiltoniano es X 1 1 H= pi q˙i − L = pr r˙ + pϕ ϕ˙ − mr˙ 2 csc2 α − mr2 ϕ˙ 2 + mgr cot α. 2 2 i

(6.29) (6.30)

(6.31)

Sustituyendo r˙ y ϕ, ˙ obtenemos H(r, ϕ, pr , pϕ )

=

p2ϕ p2r + + mgr cot α. 2 2m csc α 2mr2

(6.32)

Las ecuaciones de Hamilton son ϕ˙ = r˙

=

p˙ϕ

=

p˙r

=

∂H pϕ = ∂pϕ mr2 ∂H pr = ∂pr m csc2 α ∂H − = 0 ⇒ pϕ = mr2 ϕ˙ = cte ∂ϕ p2ϕ ∂H − = − mg cot α. ∂r mr3

(6.33) (6.34) (6.35) (6.36)

Adicionalmente, ∂H = 0 ⇒ H(r, ϕ, pr , pϕ ) = cte. (6.37) ∂t La funci´ on H(r, ϕ, pr , pϕ ) = cte describe una hipersuperficie 3-dimensional en el espacio de fase 4-dimensional correspondiente a las coordenadas y momentos (r, ϕ, pr , pϕ ).

6.1. ECUACIONES DE HAMILTON

233

3. Hamiltoniano de una part´ıcula de masa m y carga q, movi´endose con velocidad v, en un campo electromagn´etico E(r, t) y B(r, t). El Lagrangiano de una part´ıcula en un campo electromagn´etico es (Cap. 2) 1 q mv 2 − qφ + A · v, (6.38) 2 c donde el potencial escalar φ(r, t) y el potencial vector A(r, t) est´an relacionados con los campos E(r, t) y B(r, t) mediante L(r, r˙ , t) =

1 ∂A , B = ∇ × A. c ∂t En coordenadas cartesianas, L se puede expresar como E = −∇φ −

L=

3 3 1 X 2 qX m x˙ i − qφ + Ai x˙ i . 2 i=1 c i=1

(6.39)

(6.40)

Los momentos conjugados son pj =

q ∂L = mx˙ j + Aj ; ∂ x˙ j c

(6.41)

1  q  pj − Aj . m c

(6.42)

luego, x˙ j = El Hamiltoniano de la part´ıcula es H=

X

pj x˙ j − L.

(6.43)

j

Sustituyendo la velocidad x˙ j de la Ec. (6.42), obtenemos el Hamiltoniano para una part´ıcula en un campo electromagn´etico, 1 X  q  1 X q 2 H(r, p, t) = pj pj − Aj − p j − Aj m j c 2m j c  1 qX q  + qφ − Aj pj − Aj mc j c   1 q  1  q 2 1 q q  = p· p− A − p − A + qφ − A· p− A m c 2m c mc c 1  q   q  1  q 2 = p− A · p− A − p − A + qφ m c c 2m c 1  q 2 = p − A + qφ . (6.44) 2m c Cabe destacar que el Hamiltoniano para una part´ıcula en un campo electromagn´etico en Mec´ anica Cu´ antica tiene la misma forma que en la Mec´anica Cl´asica, Ec. (6.44).

´ CAP´ITULO 6. DINAMICA HAMILTONIANA

234

6.2.

Sistemas din´ amicos y espacio de fase

El estado de un sistema general (f´ısico, qu´ımico, biol´ogico, econ´omico, etc) puede describirse mediante un conjunto de variables que corresponden a cantidades observables (presi´ on, temperatura, velocidad, posici´on, densidad, etc). El estado de un sistema din´ amico descrito por n variables xi (t), i = 1, . . . , n, en un instante t se puede representar por un vector definido en un espacio euclideano n-dimensional (x1 , x2 , . . . , xn ), donde cada dimensi´ on representa una variable, denominado espacio de fase del sistema, tal que x(t) = (x1 (t), x2 (t), . . . , xn (t)) .

(6.45)

Un sistema cuyo estado (conjunto de variables) evoluciona de acuerdo a reglas determinadas constituye un sistema din´ amico. Las reglas especifican c´omo cambia el estado del sistema a partir de un estado dado. Estas reglas pueden consistir en ecuaciones diferenciales, funciones iterativas, o en un algoritmo (conjunto de instrucciones). La evoluci´ on del estado x(t) en un subespacio U ⊆ 0. Estas son las condiciones que producen el atractor de Lorenz en la Fig. (6.5).

6.4.

Par´ entesis de Poisson

Consideremos una funci´ on general f (qi , pi , t) definida en el espacio de fase (qi , pi ), i = 1, . . . , s, de un sistema mec´ anico. La derivada total con respecto al tiempo de esta funci´ on es  X  ∂f ∂f df ∂f = q˙i + p˙i + . (6.68) dt ∂q ∂p ∂t i i i Las ecuaciones de Hamilton para este sistema son q˙i =

∂H , ∂pi

p˙i = −

∂H . ∂qi

Sustituyendo las ecuaciones de Hamilton en la Ec. (6.68), tenemos  X  ∂f ∂H ∂f ∂H ∂f df = − + . dt ∂qi ∂pi ∂pi ∂qi ∂t i Definimos el par´entesis de Poisson de H con f como la operaci´on  X  ∂f ∂H ∂f ∂H [f, H] ≡ − . ∂qi ∂pi ∂pi ∂qi i

(6.69)

(6.70)

(6.71)

´ 6.4. PARENTESIS DE POISSON

243

Luego, podemos escribir df ∂f = [f, H] + . (6.72) dt ∂t Si f es una cantidad conservada en el espacio de fase, o una primera integral del movimiento, entonces df dt = 0, y f satisface ∂f + [f, H] = 0. ∂t

(6.73)

Si, adicionalmente, la integral del movimiento f no depende expl´ıcitamente del tiempo, tenemos [f, H] = 0. (6.74) En general, dadas dos funciones f (qi , pi , t) y g(qi , pi , t) en el espacio de fase, podemos definir el par´entesis de Poisson de f y g como la operaci´on  X  ∂f ∂g ∂f ∂g [f, g] ≡ − . (6.75) ∂qi ∂pi ∂pi ∂qi i El par´entesis de Poisson puede ser considerado como una operaci´on entre dos funciones definidas en un espacio algebraico que asigna otra funci´on en ese espacio.

Figura 6.14: Sim´eon Denis Poisson (1781-1840). El par´entesis de Poisson es una operaci´on que posee las siguientes propiedades (caracter´ısticas de lo que se denomina ´ algebra de Lie): 1. [f, g] = −[g, f ] , 2. [f, c] = 0 ,

[f, f ] = 0

(antisimetr´ıa).

si c = cte.

3. [af1 + bf2 , g] = a[f1 , g] + b[f2 , g], 4. [f1 f2 , g] = f1 [f2 , g] + f2 [f1 , g],

a, b = ctes.

(operador lineal).

(no asociativo).

5. [f, [g, h]] + [g, [h, f ]] + [h, [f, g]] = 0 (suma de permutaciones c´ıclicas es cero). Esta propiedad se conoce como la identidad de Jacobi. Estas propiedades pueden demostrarse directamente a partir de la definici´on en la Ec. (6.71).

´ CAP´ITULO 6. DINAMICA HAMILTONIANA

244

Adicionalmente, puesto que los pi y qi representan coordenadas independientes en el espacio de fase, tenemos ∀f ,  0  X  ∂qi ∂f 7 ∂f  X ∂f ∂qi ∂f δik [qi , f ] = −  = , (6.76)  = ∂qk ∂pk  ∂pk ∂qk ∂pk ∂pi k

k

  0 X  ∂pi X 7 ∂f ∂f ∂pi ∂f  ∂f [pi , f ] = δik − =− .   =− ∂q ∂p ∂p ∂q ∂q ∂q k k k i  k k k k

(6.77)

Note que si f = pj , ´ o f = qj , [qi , qj ] = 0,

[pi , pj ] = 0,

[qi , pj ] = δij .

(6.78)

Utilizando par´entesis de Poisson, las ecuaciones de Hamilton pueden escribirse q˙i = p˙i =

∂H = ∂pi ∂H − = ∂qi

[qi , H]

(6.79)

[pi , H].

(6.80)

En Mec´ anica Cu´ antica, la operaci´ on [A, B] = AB − BA se denomina el conmutador de los operadores u observables A y B. La estructura algebraica de la Mec´anica Cl´asica se preserva en la Mec´ anica Cu´ antica. En particular, [qi , pj ] = i~δij .

Ejemplos. 1. Calcular [r, p], donde r = (x2 + y 2 + z 2 )1/2 . ˆ [r, p] = [r, px ] ˆi + [r, py ] ˆj + [r, pz ] k.

(6.81)

Calculamos la componente [r, px ]

=

 X  ∂r ∂px ∂r ∂px − ∂qi ∂pi ∂pi ∂qi i

=

∂r ∂px x = . ∂x ∂px r

Similarmente, [r, py ] = Luego, [r, p] =

y , r

[r, pz ] =

(6.82) z . r

xˆ yˆ z ˆ r i + j + k = = ˆr . r r r r

(6.83)

(6.84)

´ 6.4. PARENTESIS DE POISSON

245

2. Las componentes del momento angular l = r × p son lx = ypz − zpy ,

ly = zpx − xpz ,

lz = xpy − ypx .

(6.85)

Calcular los siguientes par´entesis de Poisson para las componentes de p y l:

a) [py , lx ]

=

b) [px , lx ]

=

c) [pz , ly ]

=

d) [px , ly ]

=

e) [lx , ly ]

∂lx = −pz ∂y ∂lx − =0 ∂x ∂ly − = −px ∂z ∂ly = pz − ∂x  X ∂lx ∂ly −

(6.86) (6.87) (6.88) (6.89) 

∂lx ∂ly ∂p i ∂qi i       ∂lx ∂ly ∂lx ∂ly ∂lx ∂ly ∂lx ∂ly ∂lx ∂ly ∂lx ∂ly = − + − + − ∂x ∂px ∂px ∂x ∂y ∂py ∂py ∂y ∂z ∂pz ∂pz ∂z = (−py )(−x) − ypx =

∂qi ∂pi

−

=

xpy − ypx = lz .

(6.90)

f) [ly , lz ]

=

lx .

(6.91)

g) [lz , lx ]

=

ly .

En general, [li , lj ] = ijk lk . En Mec´anica Cu´antica, estas relaciones corresponden a [li , lj ] = ijk i~lk .

Teorema de Poisson. Si f y g son ambas constantes de movimiento, entonces, [f, g] = cte. Demostraci´ on: Si f y g son constantes de movimiento, entonces satisfacen df = 0, dt Calculemos

dg = 0. dt

d ∂ [f, g] = [f, g] + [[f, g], H]. dt ∂t

(6.92)

(6.93)

246

´ CAP´ITULO 6. DINAMICA HAMILTONIANA Calculemos la derivada parcial  X  ∂ 2 f ∂g ∂ ∂f ∂ 2 g ∂ 2 f ∂g ∂f ∂ 2 g [f, g] = + − − ∂t ∂t∂qi ∂pi ∂qi ∂t∂pi ∂t∂pi ∂qi ∂pi ∂t∂qi i    X     X  ∂  ∂f  ∂g ∂ ∂f ∂g ∂f ∂ ∂g ∂f ∂ ∂g = − + − ∂qi ∂t ∂pi ∂pi ∂t ∂qi ∂qi ∂pi ∂t ∂pi ∂qi ∂t i i     ∂f ∂g = , g + f, . (6.94) ∂t ∂t Usando la identidad de Jacobi, tenemos [[f, g], H] = − [[g, H] , f ] − [[H, f ] , g] . Sustituyendo Ec. (6.94) y Ec. (6.95) en Ec. (6.93), tenemos     ∂f ∂g d [f, g] = , g + f, − [[g, H] , f ] − [[H, f ] , g] dt ∂t ∂t     ∂f ∂g , g + f, = + [f, [g, H]] + [[f, H] , g] ∂t ∂t     ∂f ∂g = + [f, H] , g + f, + [g, H] ∂t ∂t     df dg = , g + f, =0 dt dt ⇒ [f, g] = cte. 

(6.95)

(6.96) (6.97)

El Teorema de Poisson puede ser u ´til para encontrar una nueva constante de movimiento en un sistema, si se conocen dos de ellas. La condici´ on de integrabilidad de un sistema en la formulaci´on Hamiltoniana puede expresarse en el lenguaje de los par´entesis de Poisson, de la siguiente manera, denominada integrabilidad de Liouville: Un sistema con s grados de libertad es integrable si existen s funciones independientes Ik (q1 , . . . , qs , p1 , . . . , ps ), k = 1, . . . , s, denominadas constantes del movimiento, cuyos par´entesis de Poisson mutuos son cero, [Ik , Ij ] = 0.

∀k, j = 1, . . . , s.

(6.98)

En ese caso, se dice que las s funciones Ik (qi , pi ) est´an en involuci´ on. Luego, Ik (qi , pi ) = Ck , donde cada Ck es una constante, debido a la propiedad 2 de los par´entesis de Poisson. En sistemas conservativos, el Hamiltoniano H(qi , pi ) expl´ıcitamente independiente del tiempo es una de las constantes del movimiento.

´ 6.5. TRANSFORMACIONES CANONICAS

247

La trayectoria qi (t), pi (t) de un sistema integrable con s grados de libertad debe satisfacer simult´ aneamente las s condiciones Ik (q1 , . . . , qs , p1 , . . . , ps ) = Ck en su espacio de fase 2s-dimensional. Cada relaci´on Ik (qi , pi ) = Ck representa una superficie (2s − 1)dimensional sobre la cual se encuentra la trayectoria qi (t), pi (t). La trayectoria debe estar en la intersecci´ on de las s superficies (2s − 1)-dimensionales. Cada intersecci´on de dos superficies representa un subespacio que posee una dimensi´on menor que la dimensi´on de las superficies. Luego, la trayectoria yace sobre un subespacio o superficie s-dimensional que corresponde a la intersecci´on de las s superficies Ik (qi , pi ) = Ck . Por ejemplo, una part´ıcula movi´endose sobre un cono vertical invertido (Sec. 6.1) posee s = 2 grados de libertad y dos constantes de movimiento, el Hamiltoniano H y el momento angular pφ . Cada constante de movimiento representa una superficie 3dimensional en el espacio de fase de 4 dimensiones (r, φ, pr , pφ ). La trayectoria del sistema en su espacio de fase ocurre sobre una superficie bidimensional resultante de la intersecci´ on de las dos superficies H = cte y pφ = cte, la cual puede representarse como un toroide, como veremos en este Cap´ıtulo.

6.5.

Transformaciones can´ onicas

La escogencia del conjunto espec´ıfico de coordenadas generalizadas {qi } es arbitraria. Por ejemplo, las posiciones de un sistema de part´ıculas en el espacio pueden ser descritas por diferentes sistemas de coordenadas {qi }: cartesianas, esf´ericas, cil´ındricas, etc. Las ecuaciones de Lagrange en t´erminos de un conjunto dado {qi } tienen la forma   ∂L d ∂L − = 0. (6.99) dt ∂ q˙i ∂qi En la Sec. 1.6, vimos que la derivaci´on de las ecuaciones de Lagrange no depende del conjunto de coordenadas generalizadas espec´ıficas; por lo tanto, la forma de las ecuaciones de Lagrange no depende de un conjunto particular de coordenadas {qi }. Se puede escoger otro conjunto de s coordenadas independientes {Qi = Qi (qj , t)}, y las ecuaciones de Lagrange tambi´en se cumplen en esas coordenadas,   ∂L d ∂L − = 0. (6.100) dt ∂ Q˙ i ∂Qi En la formulaci´ on Hamiltoniana, las coordenadas qi y los momentos conjugados pi son considerados como un conjunto de 2s variables independientes en un espacio de fase 2s-dimensional. En t´erminos de estas variables, el Hamiltoniano es H(qi , pi , t). Las ecuaciones de Hamilton correspondientes son ∂H , ∂pi ∂H p˙i = − . ∂qi q˙i =

(6.101) (6.102)

248

´ CAP´ITULO 6. DINAMICA HAMILTONIANA

Consideremos un cambio de variables en el espacio de fase que incluya tanto las coordenadas como momentos, Qi = Qi (qj , pj , t),

Pi = Pi (qj , pj , t).

(6.103)

Este tipo de transformaciones se denomina transformaciones puntuales en el espacio de fase y, en principio, son invertibles, i.e., qi = qi (Qj , Pj , t), pi = pi (Qj , Pj , t). Denotamos por H 0 (Qi , Pi , t) al Hamiltoniano en t´erminos de las nuevas variables {Qi , Pi }. En contraste con la formulaci´ on Lagrangiana, la forma de las ecuaciones de Hamilton, en general, no se preserva en las nuevas coordenadas y momentos {Qi , Pi }. Por ejemplo, supongamos un sistema con Hamiltoniano H(qi , pi ) en el cual se cumplen las ecuaciones de Hamilton (6.101)-(6.102), y consideremos la siguiente transformacion puntual {qi , pi } → {Qi , Pi } en el espacio de fase, Qi = −pi ,

Pi = qi .

(6.104)

El Hamiltoniano en la nuevas variables ser´a H 0 (Qi , Pi ). Las ecuaciones de Hamilton en las variables {Qi , Pi } se transforman de acuerdo a  X  ∂H 0 ∂Qk ∂H 0 ∂H 0 ∂Pk ∂H ˙ =⇒ Pi = = + q˙i = ∂pi ∂pi ∂Qk ∂pi ∂Pk ∂pi k X ∂H 0 ∂H 0 =− δik = − . (6.105) ∂Qk ∂Qi k  X  ∂H 0 ∂Qk ∂H ∂H 0 ∂H 0 ∂Pk p˙i = − =⇒ −Q˙ i = − =− + ∂qi ∂qi ∂Qk ∂qi ∂Pk ∂qi k 0 X ∂H ∂H 0 =− δik = − . (6.106) ∂Pk ∂Pi k

Luego, en las variables {Qi , Pi } tambi´en se satisfacen las ecuaciones de Hamilton. Sin embargo, es f´ acil notar que la transformaci´on puntual Qi = pi ,

Pi = qi ,

(6.107)

no preserva la forma de las ecuaciones de Hamilton en las variables {Pi , Qi }. Una transformaci´ on puntual de variables del espacio de fase que mantiene invariante la forma de las ecuaciones de Hamilton, se denomina transformaci´ on can´ onica. H(qi , pi , t) → Transformaci´on can´onica → ∂H q˙i = Qi = Qi (qj , pj , t) ∂pi ∂H p˙i = − Pi = Pi (qj , pj , t) ∂qi

H 0 (Qi , Pi , t) ∂H 0 Q˙ i = ∂Pi

(6.108) 0

∂H P˙i = − ∂Qi

´ 6.5. TRANSFORMACIONES CANONICAS

249

Las transformaciones can´ onicas son particularmente u ´tiles cuando aparecen coordenadas c´ıclicas en las nuevas variables {Qi , Pi }, es decir, cuando el Hamiltoniano transformado H 0 (Qi , Pi , t) no depende expl´ıcitamente de alguna coordenada Qj o momento conjugado Pj . En ese caso, la derivada de H 0 con respecto a esa coordenada o momento se hace cero en la correspondiente ecuaci´on de Hamilton y, por lo tanto, existe una cantidad conservada asociada a la variable c´ıclica. La condici´ on para que una transformaci´on {qi , pi } → {Qi , Pi } sea can´onica puede derivarse a partir de la equivalencia del Principio de M´ınima Acci´on en ambos conjuntos de variables del espacio de fase. Consideremos el Principio de M´ınima Acci´on para las variables {qi , pi }, Z t2 S = L dt t1

Z

t2

δS = 0 ⇒ δ

 L dt = 0,

(6.109)

t1

el cual implica que se cumplen las ecuaciones de Lagrange y, por lo tanto, las ecuaciones de Hamilton en las variables {qi , pi }. En t´erminos del Hamiltoniano X H(qi , pi , t) = pi q˙i − L, (6.110) i

tenemos Z

t2

δS = δ t1

! X

pi q˙i − H

dt = 0.

En las variables {Qi , Pi } se debe cumplir el Principio de M´ımina Acci´on, ! Z t2 X 0 0 ˙ Pi Qi − H dt = 0, δS = δ t1

(6.111)

i

(6.112)

i

para que tambi´en se cumplan las ecuaciones de Hamilton en {Qi , Pi }. Ambas formulaciones del Principio de M´ınima Acci´on conducen a ecuaciones equivalentes si los integrandos en la Ec. (6.109) y la Ec. (6.112) difieren, a lo sumo, en una derivada total con respecto al tiempo de una funci´on arbitraria F de las variables {Qi , Pi }, {qi , pi } y t; esto es, X X dF , (6.113) pi q˙i − H = Pi Q˙ i − H 0 + dt i i pues, en este caso, 0

Z

t2

δS = δS + δ t1

 dF dt = δS 0 + δ[F (t2 ) − F (t1 )] = δS 0 . dt

(6.114)

Por lo tanto, las ecuaciones de Hamilton que se derivan de la condici´on δS = 0 en las variables {qi , pi } tienen la misma forma que las ecuaciones de Hamilton que se deducen de la condici´ on δS 0 = 0 en las variables {Qi , Pi }.

´ CAP´ITULO 6. DINAMICA HAMILTONIANA

250

Luego, la condici´ on para que una transformaci´on {qi , pi } → {Qi , Pi } sea can´onica puede escribirse como X X dF = pi q˙i − Pi Q˙ i + (H 0 − H). dt i i

(6.115)

La funci´ on F se llama funci´ on generadora de la transformaci´on can´onica {qi , pi } → on {Qi , Pi }. Dada una F (qi , pi , Qi , Pi , t), su derivada total dF dt debe satisfacer la condici´ Ec. (6.115) para que la transformaci´ on {qi , pi } → {Qi , Pi } sea can´onica. Entonces, las derivadas parciales de F con respecto a sus argumentos, contenidas en la expresi´on de dF dt , permiten establecer la relaci´ on entre las variables {Qi , Pi } y {qi , pi }. Luego, la funci´on F genera una conexi´ on entre ambos conjuntos de coordenadas y momentos que garantiza que las ecuaciones de Hamilton preserven su forma bajo esta transformaci´on. Las funciones generadores pueden no depender de todas las variables (qi , pi , Qi , Pi , t) y tener forma arbitraria. Para ver c´ omo una transformaci´on can´onica surge de una funci´on generadora, consideremos las siguientes formas de funciones generadoras b´ asicas: 1. F1 = F1 (qi , Qi , t). Calculemos la derivada total con respecto al tiempo,  X  ∂F1 dF1 ∂F1 ˙ ∂F1 = q˙i + Qi + . dt ∂qi ∂Qi ∂t i

(6.116)

Compararando con la condici´ on Ec. (6.115) para funciones generadoras, tenemos ∂F1 = pi (q, Q, t) ∂qi ∂F1 Pi = − = Pi (q, Q, t) ∂Qi ∂F1 H0 = H + ∂t pi =

(6.117) (6.118) (6.119)

La funci´ on F1 genera la transformaci´on can´onica pi = pi (q, Q, t), Pi = Pi (q, Q, t), a trav´es de sus derivadas parciales. 2. F2 = F2 (qi , Pi , t). X dF2 = dt i



∂F2 ∂F2 ˙ q˙i + Pi ∂qi ∂Pi

 +

∂F2 ∂t

(6.120)

Para comparar con la condici´ on Ec. (6.115), X X dF = pi q˙i − Pi Q˙ i + (H 0 − H), dt i i sustituimos d d (Pi Qi ) = Pi Q˙ i + Qi P˙i → Pi Q˙ i = (Pi Qi ) − Qi P˙i , dt dt

(6.121)

´ 6.5. TRANSFORMACIONES CANONICAS

251

de modo que la concici´ on Ec. (6.115) se puede expresar como !  X X d F+ Pi Qi = pi q˙i + Qi P˙i + (H 0 − H), dt i i

(6.122)

donde el lado izquierdo es la derivada total de una funci´on arbitraria de (Qi , Pi , qi , pi ). Comparando con la Ec. (6.120), obtenemos ∂F2 = pi (q, P, t) ∂qi ∂F2 = = Qi (q, P, t) ∂Pi X = F+ Pi Qi

pi

(6.123)

=

Qi F2

(6.124) (6.125)

i

H0

= H+

∂F2 . ∂t

(6.126)

3. F3 = F3 (pi , Qi , t) X dF3 = dt i



∂F3 ∂F3 ˙ Qi p˙i + ∂pi ∂Qi

 +

∂F3 ∂t

La condici´ on Ec. (6.115) puede expresarse como !  X X d F− pi qi = −qi p˙i − Pi Q˙ i + H 0 − H dt i i donde hemos sustituido pi q˙i =

d (pi qi ) − qi p˙i dt

(6.127)

(6.128)

(6.129)

Comparando con la Ec. (6.127), tenemos qi Pi F3

∂F3 = qi (p, Q, t) ∂pi ∂F3 = − = Pi (p, Q, t) ∂Qi X = F− pi qi =

−

(6.130) (6.131) (6.132)

i

H0

= H+

∂F3 . ∂t

(6.133)

4. F4 = F4 (p, P, t). X dF4 = dt i



∂F4 ∂F4 ˙ p˙i + Pi ∂pi ∂Pi

 +

∂F4 ∂t

(6.134)

´ CAP´ITULO 6. DINAMICA HAMILTONIANA

252

La condici´ on Ec. (6.115) puede expresarse como !  X X X d F− pi qi + Qi Pi = −qi p˙i + Qi P˙i + H 0 − H dt i i i donde hemos sustituido d d pi q˙i = (pi qi ) − qi p˙i , Pi Q˙ i = (Pi Qi ) − Qi P˙i dt dt Comparando con la Ec. (6.134), tenemos qi Qi F4

∂F4 = qi (p, P, t) ∂pi ∂F4 = Qi (p, P, t) = ∂Pi X X = F+ Pi Qi − pi qi = −

i

H0

= H+

(6.135)

(6.136)

(6.137) (6.138) (6.139)

i

∂F4 . ∂t

(6.140)

La transformaci´ on can´ onica asociada a una funci´on generadora F es una propiedad caracter´ıstica de la funci´ on F ; no depende del Hamiltoniano de un sistema espec´ıfico. Por lo tanto, una transformaci´ on can´ onica dada {qi , pi , t} → {Qi , Pi , t} puede emplearse para transformar diversos Hamiltonianos; su utilidad en cada caso depender´a del problema espec´ıfico. La relaci´ on entre el Hamiltoniano H(qi , pi , t) y el Hamiltoniano transformado H 0 (Qi , Pi , t) resultante de la transformaci´on can´onica {qi , pi , t} → {Qi , Pi , t} generada por una F siempre es ∂F H0 = H + . (6.141) ∂t Luego, si F es independiente del tiempo, entonces H = H 0 . Dada una funci´ on generadora F , es posible encontrar una transformaci´on can´onica asociada a F . El problema inverso tambien se puede plantear en algunos casos: dada una transformaci´ on can´ onica, en principio es posible obtener la funci´on generadora que produce esa transformaci´ on. Por ejemplo, consideremos una transformaci´on pi = pi (q, Q, t),

(6.142)

Pi = Pi (q, Q, t),

(6.143)

la cual posee la forma de la transformaci´ on can´onica asociada a una funci´on generadora de tipo F1 (qi , Qi , t). Luego, podemos escribir las siguientes ecuaciones en derivadas parciales para F1 , ∂F1 = pi (q, Q, t), ∂qi ∂F1 = Pi (q, Q, t), ∂Qi las cuales, en principio, pueden integrarse para encontrar la funci´on F1 .

(6.144) (6.145)

´ 6.5. TRANSFORMACIONES CANONICAS

253

Ejemplos. 1. Encontrar la transformaci´on can´onica generada por la funci´on F2 (qi , Pi ) =

P

i qi Pi .

Las transformaciones entre las coordenadas (qi , pi ) y (Qi , Pi ) producidas por una funci´ on generadora de tipo F2 (qi , Pi , t) conducen a pi

=

Qi

=

∂F2 = Pi ∂qi ∂F2 = qi . ∂Pi

(6.146) (6.147)

Luego, la transformaci´ on can´onica {qi , pi } → {Qi , Pi } generada por esta F2 corresponde a la transformaci´ on identidad. 2. Encontrar la transformaci´on can´onica {qi , pi } → {Qi , Pi }, i = 1, 2, generada por la funci´ on G = q1 (P1 + 2p2 ) + p2 P2 . La funci´ on es de la forma G(q1 , P1 , p2 , P2 ). Calculamos la derivada dG dt

∂G ∂G ∂G ˙ ∂G ˙ P1 + P2 q˙1 + p˙2 + ∂q1 ∂P1 ∂p2 ∂P2 = (P1 + 2p2 )q˙1 + q1 P˙1 + (2q1 + P2 )p˙2 + p2 P˙2 . =

(6.148)

Debemos comparar con la condici´on general Ec. (6.115) que debe cumplir una transformaci´ on can´ onica, dF dt

=

2 X

pi q˙i −

i=1

2 X

Pi Q˙ i + (H 0 − H)

i=1

= p1 q˙1 + p2 q˙2 − P1 Q˙ 1 − P2 Q˙ 2 + (H 0 − H).

(6.149)

Para llevar la Ec. (6.149) a la forma de la Ec. (6.148), expresamos p2 q˙2

=

P1 Q˙ 1

=

P2 Q˙ 2

=

d (p2 q2 ) − q2 p˙2 dt d (P1 Q1 ) − Q1 P˙1 dt d (P2 Q2 ) − Q2 P˙2 dt

y sustituimos en la Ec. (6.149), dF d = p1 q˙1 − q2 p˙2 + Q1 P˙1 + Q2 P˙2 + (p2 q2 − P1 Q1 − P2 Q2 ) + (H 0 − H) (6.150) dt dt d (F + P1 Q1 + P2 Q2 − p2 q2 ) = p1 q˙1 − q2 p˙2 + Q1 P˙1 + Q2 P˙2 + (H 0 − H). (6.151) dt

´ CAP´ITULO 6. DINAMICA HAMILTONIANA

254

El lado izquierdo es la derivada total de una funci´on que depende de las variables (qi , pi , Qi , Pi ), i = 1, 2, por lo tanto, la Ec. (6.151) sigue correspondiendo a la condici´ on general para una transformaci´on can´onica, Ec. (6.115). Comparando Ec. (6.148) y Ec. (6.151), tenemos G = F + P1 Q1 + P2 Q2 − p2 q2 p1 = P1 + 2p2 ,

Q1 = q1

−q2 = 2q1 + P2 ,

Q2 = p2

Luego, la transformaci´ on can´ onica {qi , pi } → {Qi , Pi } generada por G es

6.6.

P1

=

p1 − 2p2 ,

Q1

=

q1

P2

=

−2q1 − q2

Q2

=

p2 .

Transformaciones can´ onicas infinitesimales

En el Cap´ıtulo 2 vimos que una transformaci´on infinitesimal de coordenadas, qi0 = qi + δqi , en el espacio de configuraci´ on de un sistema, que deja invariante las ecuaciones de Lagrange, constituye una simetr´ıa del sistema e implica la existencia de una cantidad conservada asociada a esa simetr´ıa. Denominamos corriente de Noether a la cantidad conservada. Podemos extender el concepto de transformaciones infinitesimales al espacio de fase {qi , pi }, mediante una transformaci´ on de las coordenadas y momentos conjugados. Consideremos una transformaci´ on infinitesimal de la forma Qi

=

qi +  fi (qj , pj ),

(6.152)

Pi

=

pi +  gi (qj , pj ),

(6.153)

donde fi (qj , pj ), gi (qj , pj ) son funciones dadas y  → 0. Para que la transformaci´on Ecs. (6.152)-(6.153) sea can´ onica, debe existir una funci´on generadora para ella. Podemos considerar las Ecs. (6.152)-(6.153) como una desviaci´on infinitesimal de una transformaci´ on identidad, P la cual, como vimos en un ejemplo anterior, posee la funci´on generadora F2 (qi , Pi ) = i qi Pi . Entonces, podemos asumir que la funci´on generadora de la transformaci´ on infinitesimal Ecs. (6.152)-(6.153) corresponde a una peque˜ na desviaci´on de la funci´ on generadora de la transformaci´ on identidad; esto es, X F2 (qi , Pi ) = qi Pi +  G(qi , Pi ), (6.154) i

donde G(qi , Pi ) es una funci´ on a ser determinada.

´ 6.6. TRANSFORMACIONES CANONICAS INFINITESIMALES

255

La transformaci´ on can´ onica generada por esta funci´on de tipo F2 (qi , Pi ) es pi

=

Qi

=

∂F2 ∂G = Pi +  ∂qi ∂qi ∂F2 ∂G = qi +  . ∂Pi ∂Pi

(6.155) (6.156)

Comparando las Ecs. (6.152)-(6.153) y Ecs. (6.155)-(6.156), obtenemos las condiciones para G(qi , Pi ), fi (qj , pj ) gi (qj , pj )

∂G , ∂Pi ∂G = − . ∂qi =

(6.157) (6.158)

Si existe tal funci´ on G(qi , Pi ), entonces la transformaci´on infinitesimal Ecs. (6.152)(6.153) es can´ onica. La funci´on G(qi , Pi ) es la funci´on generadora de esa transformaci´ on can´ onica infinitesimal. Por otro lado, si la funci´on F2 (qi , Pi ) y, por tanto G(qi , Pi ), est´ a dada, entonces la correspondiente transformaci´on infinitesimal puede determinarse mediante las Ecs. (6.155)-(6.156). Podemos expresar la funci´on fi , hasta primer orden en , como  X  ∂G ∂pj ∂G ∂G ∂qj fi (qj , pj ) = = + ∂Pi ∂pj ∂Pi ∂qj ∂Pi j   X ∂G ∂G = δij + O() = + O(). (6.159) ∂pj ∂pi j Consideremos el comportamiento del Hamiltoniano bajo una transformaci´on can´onica infinitesimal generada por una funci´on G. Supongamos una funci´on general K(qi , pi ) definida en el espacio de fase. El cambio en la funci´on K debido a una transformaci´on can´ onica infinitesimal, Ecs. (6.152)-(6.153), hasta primer orden en , es δK

=

K(Qi , Pi ) − K(qi , pi )

=

K(qi + fi , pi + gi ) − K(qi , pi )  X  ∂K ∂K fi + gi  ∂qi ∂pi i X  ∂K ∂G ∂K ∂G   − ∂qi ∂pi ∂pi ∂qi i

= = =

 [K, G].

(6.160)

Supongamos ahora que K = H; entonces el cambio en el Hamiltoniano bajo una transformaci´ on can´ onica infinitesimal est´a dado por δH =  [H, G].

(6.161)

´ CAP´ITULO 6. DINAMICA HAMILTONIANA

256

Si el Hamiltoniano es invariante ante la transformaci´on can´onica infinitesimal, debemos tener δH = 0 y, por lo tanto, [H, G] = 0 ⇒ puesto que

∂G ∂t

dG = 0, dt

(6.162)

= 0. Luego, δH = 0 ⇒ G = cte. Tenemos el siguiente resultado:

Si el Hamiltoniano de un sistema es invariante bajo una transformaci´on can´onica infinitesimal, la funci´ on generadora de esa transformaci´on es una cantidad conservada. Este resultado establece la conexi´ on entre simetr´ıas y leyes de conservaci´on para un sistema, y es equivalente al Teorema de Noether en el formalismo Hamiltoniano. En comparaci´ on con la descripci´ on Lagrangiana, la relaci´on entre invariancia y constantes de movimiento se expresa de manera m´as simple en la formulaci´on Hamiltoniana. Como una importante aplicaci´ on de una funci´on generadora de una transformaci´ on can´ onica infinitesimal, supongamos que G(q, P ) = H(q, p) y  = dt en F2 (qi , Pi ), Ec. (6.154), Entonces, hasta primer orden en dt, podemos escribir las Ecs. (6.155)-(6.156) como Pi Qi

∂H dt, ∂qi ∂H ∂H = qi + dt ' qi + dt. ∂Pi ∂pi = pi −

(6.163) (6.164)

Usando las ecuaciones de Hamilton q˙i =

∂H , ∂pi

p˙i = −

∂H , ∂qi

(6.165)

podemos expresar Pi

= pi + p˙i dt ' pi (t + dt),

(6.166)

Qi

' qi + q˙i dt ' qi (t + dt).

(6.167)

Entonces, el Hamiltoniano es la funci´on generadora de la transformaci´on can´onica infinitesimal que corresponde a la evoluci´on temporal de las coordenadas y momentos de un sistema en su espacio de fase.

6.7.

Propiedades de las transformaciones can´ onicas

Consideremos una transformaci´ on can´onica Qi

= Qi (qj , pj , t),

(6.168)

Pi

= Pi (qj , pj , t).

(6.169)

Entonces se cumplen las siguientes propiedades:

´ 6.7. PROPIEDADES DE LAS TRANSFORMACIONES CANONICAS

257

1. Los par´entesis de Poisson entre ambos conjuntos de variables satisfacen [Qi , Pj ](p,q) = δij = [qi , pj ](p,q) = [Qi , Pj ](P,Q) .

(6.170)

Igualmente, [Pi , Pj ](p,q)

=

[Pi , Pj ](P,Q) = 0,

(6.171)

[Qi , Qj ](p,q)

=

[Qi , Qj ](P,Q) = 0.

(6.172)

2. El par´entesis de Poisson de dos funciones es invariante bajo una transformaci´on can´ onica, [f, g](p,q) = [f, g](P,Q) , (6.173) donde [f, g](p,q)

=

[f, g](P,Q)

=

 X  ∂f ∂g ∂f ∂g − , ∂qk ∂pk ∂pk ∂qk k  X  ∂f ∂g ∂f ∂g − . ∂Qk ∂Pk ∂Pk ∂Qk

(6.174) (6.175)

k

Demostraci´ on de la Propiedad 1: Supongamos que en las variables (p, q) se cumplen las ecuaciones de Hamilton para un H(q, p), q˙k =

∂H (q, p) , ∂pk

p˙k = −

∂H (q, p) ∂qk

(6.176)

Si la transformaci´ on (p, q) → (P, Q) es can´onica, entonces existe un Hamiltoniano transformado H 0 (P, Q) tal que ∂H 0 Q˙ i = (Q, P ) , ∂Pj

0

∂H P˙i = − (Q, P ) , ∂Qj

(6.177)

y existe una funci´ on generadora F de la transformaci´on can´onica, tal que H = H0 −

∂F . ∂t

(6.178)

Por otro lado, Q˙ i (pj , qj , t) =

X  ∂Qi k

∂qk

q˙k +

∂Qi p˙k ∂pk

 +

∂Qi . ∂t

(6.179)

´ CAP´ITULO 6. DINAMICA HAMILTONIANA

258

Sustituyendo las Ecs. (6.176), tenemos  X  ∂Qi ∂H ∂Qi ∂H ∂Qi ˙ Qi = − + ∂qk ∂pk ∂pk ∂qk ∂t k   X ∂Qi ∂H 0 ∂Qi ∂ 2 F ∂Qi ∂H 0 ∂Qi ∂ 2 F ∂Qi + = − − + ∂qk ∂pk ∂qk ∂pk ∂t ∂pk ∂qk ∂pk ∂qk ∂t ∂t k    X ∂Qi X  ∂H 0 ∂Qj ∂H 0 ∂Pj   = + ∂qk ∂Qj ∂pk ∂Pj ∂pk j k    0 X ∂Qi X  ∂H 0 ∂Qj ∂H ∂P j   − + ∂pk ∂Q ∂q ∂P ∂q j k j k j k    X  ∂  ∂F  ∂Qi ∂ ∂F ∂Qi ∂Qi − . (6.180) + + ∂qk ∂t ∂pk ∂pk ∂t ∂qk ∂t k

Reagrupando terminos y cambiando el orden de las sumas, tenemos " # X ∂H 0 X  ∂Qi ∂Pj ∂Q ∂P i j Q˙ i = − ∂Pj ∂qk ∂pk ∂pk ∂qk j k " # X ∂H 0 X  ∂Qi ∂Qj ∂Qi ∂Qj + − ∂Qj ∂qk ∂pk ∂pk ∂qk j k   ∂Qi ∂F , Qi ; (6.181) + + ∂t ∂t (p,q) es decir, Q˙ i

=

X ∂H 0 ∂Pj

j



[Qi , Pj ](p,q) +

∂F + , Qi ∂t

X ∂H 0 j

 + (p,q)

∂Qj

[Qi , Qj ](p,q)

∂Qi . ∂t

(6.182)

∂H 0 Para que se satisfaga Q˙ i = en la Ec. (6.182), debemos tener necesaria∂Pi mente, i) [Qi , Pj ](p,q) = δij . El primer t´ermino en la Ec. (6.182) entonces da X ∂H 0 ∂H 0 δij = . ∂Pj ∂Pi j ii) [Qi , Qj ](p,q) = 0. El segundo t´ermino en la Ec. (6.182) entonces se anula.

(6.183)

´ 6.7. PROPIEDADES DE LAS TRANSFORMACIONES CANONICAS

259



 ∂F ∂Qi iii) , Qi + = 0. ∂t ∂t 0

∂H Si calculamos P˙i (p, q, t) y comparamos con P˙i = − , obtenemos adicio∂Qi nalmente [Pi , Pj ](p,q) = 0.  (6.184)

Demostraci´ on de la propiedad 2:  X  ∂f ∂g ∂f ∂g [f, q](p.q) = − (6.185) ∂qk ∂pk ∂pk ∂qk k    X  X X  ∂f ∂Qj ∂f ∂Pj ∂g ∂Qj ∂g ∂Pj   = + + ∂Q ∂q ∂P ∂q ∂Q ∂p ∂P j k j k j k j ∂pk j j k    X  X X  ∂f ∂Qj ∂f ∂Pj ∂g ∂Qj ∂g ∂Pj   − . + + ∂Q ∂p ∂P ∂p ∂Q ∂q ∂P j k j k j k j ∂qk j j k

Reagrupando t´erminos y cambiando el orden de las sumas, tenemos " # X ∂f ∂g X  ∂Qj ∂Pj ∂Qj ∂Pj [f, q](p.q) = − ∂Qj ∂Pj ∂qk ∂pk ∂pk ∂qk j k " # X ∂f ∂g X  ∂Qj ∂Pj ∂Qj ∂Pj − − ∂Pj ∂Qj ∂qk ∂pk ∂pk ∂qk j k  X X ∂f ∂Qj ∂g ∂Qj ∂f ∂Pj ∂g ∂Pj + + ∂Q ∂q ∂Q ∂p ∂P j k j k j ∂qk ∂Pj ∂pk j k  ∂f ∂Qj ∂g ∂Qj ∂f ∂Pj ∂g ∂Pj − − . (6.186) ∂Qj ∂pk ∂Qj ∂qk ∂Pj ∂pk ∂Pj ∂qk El tercer t´ermino (doble suma) es igual a cero; luego podemos reagrupar los dos primeros t´erminos  X  X  ∂f ∂g ∂f ∂g ∂Qj ∂Pj ∂Qj ∂Pj [f, g](p,q) = − − ∂Qj ∂Pj ∂Pj ∂Qj ∂qk ∂pk ∂pk ∂qk j k

=

[f, g](P,Q) [Qj , Pj ](p,q) ,

(6.187)

pero [Qj , Pj ](p,q) = 1; luego, [f, g](p,q) = [f, g](P,Q) .



´ CAP´ITULO 6. DINAMICA HAMILTONIANA

260

Ejemplos. 1. Demostrar que la evoluci´ on temporal de una condici´on inicial en el espacio de fase es una transformaci´ on can´ onica.

Figura 6.15: Evoluci´on infinitesimal en el espacio de fase. Consideremos la evoluci´ on de una condici´on inicial en el espacio de fase en un intervalo de tiempo infinitesimal, (qi (t0 ), pi (t0 )) → (qi (t0 + dt), pi (t0 + dt)).

(6.188)

Sean qi = qi (t0 ) y pi = pi (t0 ), y definamos las nuevas coordenadas y momentos como Pj ≡ pj (t0 + dt) = pj (t0 ) + p˙j dt + · · · = pj + p˙j dt + · · · (6.189) Qj ≡ qj (t0 + dt) = qj (t0 ) + q˙j dt + · · · = qj + q˙j dt + · · · Luego, manteniendo solamente t´erminos de primer orden en dt, obtenemos  X  ∂Qi ∂Pj ∂Qi ∂Pj − [Qi , Pj ](p,q) = ∂qk ∂pk ∂pk ∂qk k X ∂Qi ∂Pj = ∂qk ∂pk k    X ∂qi ∂ q˙i ∂pj ∂ p˙j = + dt + dt ∂qk ∂qk ∂pk ∂pk k   X ∂ q˙i ∂ p˙j = δik + dt δjk + dt ∂qk ∂pk k     X ∂ p˙j ∂ q˙i + δik dt = δik δjk + δjk ∂qk ∂pk k   ∂ q˙i ∂ p˙j = δij + + dt . (6.190) ∂qj ∂pi

´ 6.7. PROPIEDADES DE LAS TRANSFORMACIONES CANONICAS

261

Usamos las ecuaciones de Hamilton en la Ec. (6.190), q˙i =

∂H , ∂pi

p˙j = −

∂H , ∂qj

(6.191)

y tenemos,  ∂2H ∂2H − δt = δij . (6.192) ∂qj ∂pi ∂pi ∂qj Por lo tanto, la transformaci´on infinitesimal Ec. (6.189) es can´onica. Esta transformaci´ on puede escribirse en la forma 

[Qi , Pj ](p,q) = δij +

Pj

=

Qj

=

∂H (qi (t0 ), pi (t0 )) dt + · · · ∂qi ∂H qj (t0 ) + (qi (t0 ), pi (t0 )) dt + · · · . ∂pj

pj (t0 ) −

(6.193) (6.194)

Comparando las Ecs. (6.193)-(6.194) con las Ecs. (6.155)-(6.156), vemos que el Hamiltoniano act´ ua como la funci´on generadora de la transformaci´on can´onica infinitesimal {qi (t0 ), pi (t0 )} → {qi (t0 +dt), pi (t0 +dt)}. Puesto que la condici´on inicial puede tomarse en cualquier punto de la trayectoria, concluimos que la evoluci´on temporal de un sistema en su espacio de fase es una transformaci´on can´onica inducida por el Hamiltoniano del sistema. 2. Demostrar que la siguiente transformaci´on es can´onica: P1 = p1 − 2p2 , P2 = −2q1 − q2 ,

Q1 = q1 Q2 = p2 .

(6.195)

Las transformaciones can´onicas deben satisfacer la propiedad [Qi , Pj ](p,q) = δij , ∀i, j. Calculamos, para la transformaci´on Ec. (6.195), los siguientes par´entesis de Poisson,  X  ∂Q1 ∂P1 ∂Q1 ∂P1 [Q1 , P1 ](p,q) = − ∂qi ∂pi ∂pi ∂qi i     ∂Q1 ∂P1 ∂Q1 ∂P1 ∂Q1 ∂P1 ∂Q1 ∂P1 = − + − = 1. ∂q1 ∂p1 ∂p1 ∂q1 ∂q2 ∂p2 ∂p2 ∂q2  [Q2 , P2 ](p,q)

=

[Q2 , P1 ](p,q)

=

[Q1 , P2 ](p,q)

=





∂Q2 ∂P2 ∂Q2 ∂P2 − ∂q1 ∂p1 ∂p1 ∂q1



∂Q2 ∂P1 ∂Q2 ∂P1 − ∂q1 ∂p1 ∂p1 ∂q1



∂Q1 ∂P2 ∂Q1 ∂P2 − ∂q1 ∂p1 ∂p1 ∂q1



 +  +  +

Luego la transformaci´ on Ec. (6.195) es can´onica.

∂Q2 ∂P2 ∂Q2 ∂P2 − ∂q2 ∂p2 ∂p2 ∂q2



∂Q2 ∂P1 ∂Q2 ∂P1 − ∂q2 ∂p2 ∂p2 ∂q2



∂Q1 ∂P2 ∂Q1 ∂P2 − ∂q2 ∂p2 ∂p2 ∂q2



= 1.

= 0.

= 0.

´ CAP´ITULO 6. DINAMICA HAMILTONIANA

262

6.8.

Aplicaciones de transformaciones can´ onicas

Una transformaci´ on can´ onica {qi , pi , t} → {Pi , Qi , t} es particularmente conveniente cuando el cambio de variables es tal que alguna coordenada Qj o momento Pk no aparece expl´ıcitamente en el Hamiltoniano transformado H 0 (Qi , Pi , t). Se dice que esa coordenada o momento es c´ıclica para H 0 . Por ejemplo, si ∂H 0 = 0, ∂Qj

(6.196)

entonces, la ecuaci´ on de Hamilton para el momento Pj es 0

∂H P˙j = − =0 ∂Qj

⇒

Pj = cte.

(6.197)

Es decir, el momento Pj es una cantidad conservada. En este caso, las ecuaciones de Hamilton resultan m´ as f´ aciles de integrar en las nuevas variables (Pi , Qi ) que en las variables originales (qi , pi ). Una vez encontradas las soluciones Pi (t) y Qi (t), la transformaci´ on can´ onica puede ser empleada para expresar la soluci´on en las variables originales qi = qi (Qi (t), Pi (t), t) y pi = pi (Qi (t), Pi (t), t). Como una aplicaci´ on de este procedimiento, consideremos un oscilador arm´onico simple cuyo Hamiltoniano es p2 1 1 2 + kq 2 = (p + m2 ω 2 q 2 ), ω 2 = k/m. (6.198) 2m 2 2m Busquemos una transformaci´ on can´onica {p, q} → {P, Q} donde Q sea c´ıclica en el nuevo Hamiltoniano H 0 (Q, P ). La forma de H (suma de dos t´erminos cuadr´aticos) en la Ec. (6.198) sugiere una transformaci´ on can´onica del tipo H(q, p) =

p=

f (P ) cos Q, (6.199) f (P ) sin Q, q= mω donde f (P ) es una funci´ on de P a ser determinada. Sustituyendo la transformaci´on Ecs. (6.199) en H(q, p), tenemos el Hamiltoniano transformado en las nuevas variables  1 1  2 (p(Q, P ))2 + m2 ω 2 (q(Q, P ))2 = H 0 (Q, P ) = [f (P )] , (6.200) 2m 2m el cual es independiente de Q. Para encontrar la funci´on f (P ), busquemos la funci´on generadora que produce la transformaci´on Ecs. (6.199). De estas ecuaciones obtenemos p = mωq cot Q

⇒

p = p(q, Q),

(6.201)

lo cual corresponde a una transformaci´on asociada a una funci´on generadora del tipo F1 (q, Q), pues recordemos que ∂F1 = p(q, Q), ∂q ∂F1 P =− = P (q, Q). ∂Q p=

(6.202) (6.203)

´ 6.8. APLICACIONES DE TRANSFORMACIONES CANONICAS

263

Sustituyendo la Ec. (6.201) en la Ec. (6.202), tenemos ∂F1 = mωq cot Q, ∂q

(6.204)

lo cual implica que F1 (q, Q) =

mωq 2 cot Q, 2

(6.205)

mientras que P =−

∂F1 mωq 2 = csc2 Q . ∂Q 2

(6.206)

2P sin Q = q(Q, P ). mω

(6.207)

Despejando q, r q=

Sustituyendo q en la Ec. (6.201), obtenemos √ p=

2mωP cos Q = p(Q, P ).

(6.208)

Comparando con la forma de la transformaci´on propuesta, Ecs. (6.199), vemos que 1/2

f (P ) = (2mωP )

.

(6.209)

Luego, H 0 (Q, P ) = ωP.

(6.210)

∂F1 = 0, tenemos ∂t

Por otro lado, puesto que

H(q, p) = H 0 (Q, P ).

(6.211)

Adicionalmente, tenemos ∂H =0 ∂t

⇒

H = E = cte,

(6.212)

donde E es la energ´ıa total del sistema. Entonces, H 0 = ωP = E. Las ecuaciones de Hamilton para Q y P dan P˙

∂H 0 E = 0 ⇒ P = cte ⇒ P = . ∂Q ω ∂H 0 = ω ⇒ Q(t) = ωt + ϕ . ∂P

= −

Q˙ =

(6.213)

264

´ CAP´ITULO 6. DINAMICA HAMILTONIANA

Sustituyendo en q(P, Q) y p(P, Q) en las Ecs. (6.207)-(6.208), obtenemos las soluciones para las coordenadas y momentos originales, r 2E q(t) = sin(ωt + ϕ), (6.214) mω 2 √ p(t) = 2Em cos(ωt + ϕ), (6.215) 1/2  2E es la amplitud de la oscilaci´on y ϕ es la fase. donde mω 2

6.9.

Ecuaci´ on de Hamilton-Jacobi

Hemos visto que una transformaci´ on can´onica {qi , pi , t} → {Pi , Qi , t}, i = 1, . . . , s, puede ser usada para encontrar las soluciones de las ecuaciones de Hamilton para un sistema con un Hamiltoniano H(qi , pi , t), mediante las soluciones de esas ecuaciones para un Hamiltoniano transformado en nuevas variables H 0 (Qi , Pi , t), tal que alguna (o varias) coordenada Qj sea c´ıclica en H 0 . Una vez encontrada la soluci´on en las nuevas variables (Qi (t), Pi (t)), donde el momento conjugado Pj = cte, las relaciones de la transformaci´on can´ onica pueden ser empleadas para expresar la soluci´on en las variables originales, qi = qi (Qi (t), Pi (t), t) ,

pi = pi (Qi (t), Pi (t), t).

(6.216)

Este procedimiento puede ser generalizado. Supongamos que encontramos una transformaci´ on can´ onica {qi , pi , t} → {Pi , Qi , t} tal que las 2s nuevas coordenadas y momentos (Pi , Qi ) correspondan a constantes. En este caso, el nuevo Hamiltoniano H 0 (Qi , Pi ) es constante y todas las Qi y Pi son c´ıclicas en H 0 . A su vez, las 2s cantidades constantes Qi y Pi pueden expresarse en funci´ on de las 2s condiciones iniciales (qi (0), pi (0)); es decir, Qi = q(qj (0), pj (0)), Pi = p(qj (0), pj (0)). Entonces, las ecuaciones de la transformaci´ on can´ onica que relacionan las nuevas y viejas variables proporcionan directamente la soluci´ on del problema del movimiento, qi = q(qj (0), pj (0), t) ,

pi = p(qj (0), pj (0), t).

(6.217)

En particular, si requerimos que la transformaci´on can´onica que conduce a nuevos momentos y coordenadas constantes, Pi ≡ αi = cte, Qi ≡ βi = cte, sea tal que H 0 (Qi , Pi ) = 0, entonces debe existir una funci´on generadora F tal que ∂F + H = 0. ∂t

(6.218)

La condici´ on que debe cumplirse para que tal transformaci´on can´onica exista, es la ecuaci´ on de Hamilton-Jacobi, y corresponde a la Ec. (6.218) para una F apropiada. Para derivar la ecuaci´ on de Hamilton-Jacobi y encontrar la funci´on generadora apropiada, consideremos la acci´ on de un sistema, Z t2 S= L(qi , q˙i , t) dt . (6.219) t1

´ DE HAMILTON-JACOBI 6.9. ECUACION

265

El valor de la acci´ on S, como integral definida, depende del conjunto de trayectorias {qi (t)}. En particular, para las trayectorias que satisfacen la ecuaciones de Lagrange correspondientes, el valor de S es m´ımino (extremo).

Figura 6.16: Trayectoria qi (t) que pasa por los puntos qi (t1 ) y qi (t2 ). Supongamos que el tiempo t2 es variable, i.e, t2 = t. Entonces, la acci´on depender´a de las trayectorias y del tiempo, S = S(qi , t). Luego, como funci´on de sus argumentos qi y t, la derivada temporal de la acci´on es X ∂S dS ∂S = q˙i + . dt ∂q ∂t i i

(6.220)

Por otro lado, si t2 = t, la definici´on de la acci´on Ec. (6.219) implica que X dS =L= pi q˙i − H(pi , qi , t). dt i

(6.221)

Comparando la Ec. (6.220) con la Ec. (6.221), obtenemos las relaciones ∂S (qi , t) , ∂qi

(6.222)

∂S (qi , t) + H(pi , qi , t) = 0 , ∂t

(6.223)

pi =

las cuales se pueden expresar mediante la ecuaci´on   ∂S ∂S (qi , t) + H , qi , t = 0 . ∂t ∂qi

(6.224)

La Ec. (6.224) es la ecuaci´ on de Hamilton-Jacobi. Comparando la Ec. (6.218) con la ecuaci´on de Hamilton-Jacobi Ec. (6.224), vemos que la acci´ on S puede interpretarse como una funci´on generadora capaz de producir la transformaci´ on can´ onica buscada. M´as a´ un, la acci´on S puede interpretarse como una funci´ on generadora de tipo F2 (qi , Pi , t), Ec. (6.120), que satisface la Ec. (6.218) y tal que Pi = αi = cte, Qi = βi = cte.

´ CAP´ITULO 6. DINAMICA HAMILTONIANA

266

Figura 6.17: Carl Gustav Jacobi (1804-1851). Calculamos la derivada total de F2 (qi , Pi , t),  X  ∂F2 dF2 ∂F2 ˙ ∂F2 = Pi + . q˙i + dt ∂qi ∂Pi ∂t i Usando la relaci´ on pi =

(6.225)

∂F2 ∂qi

satisfecha por las funciones generadoras de tipo F2 , la condici´ on Ec. (6.218) que debe cumplir F = F2 , y el hecho que P˙i = 0, tenemos X dF2 = pi q˙i − H, dt i

(6.226)

que es an´ aloga a la Ec. (6.221) satisfecha por S. Luego, la acci´on debe poseer la forma S(qi , Pi , t), donde Pi = αi = cte. Si comparamos las relaciones satisfechas por una funci´on F2 (qi , Pi , t) y por S(qi , Pi , t), tenemos ∂F2 ∂S pi = pi = (qi , Pi , t) (qi , Pi , t) = pi (qi , Pi , t) ∂qi ∂q i ∂F2 ∂S (6.227) Qi = (qi , Pi , t) Qi = (qi , Pi , t) = Qi (qi , Pi , t) ∂Pi ∂Pi ∂F2 ∂S H+ = H0 H+ =0 ∂t ∂t donde Pi = cte = αi y Qi = cte = βi . Entonces H 0 (Pi , Qi ) = cte. Luego, para que exista una transformaci´ on can´ onica {pi , qi } → {Pi , Qi } = {αi , βi }, Ec. (6.227), generada por F2 = S, tal que H 0 (Pi , Qi ) = 0, debe cumplirse la ecuaci´on de Hamilton-Jacobi, ∂S + H = 0. ∂t

(6.228)

Note que la soluci´ on S(qi , Pi , t) de la ecuaci´on de Hamilton-Jacobi, o m´as bien, las derivadas parciales de S, proporcionan la transformaci´on {pi , qi , t} → {Pi , Qi , t}. Por otro lado, las constantes Pi y Qi se pueden expresar, en principio, en t´erminos de las

´ DE HAMILTON-JACOBI 6.9. ECUACION

267

2s condiciones iniciales (qi (0), pi (0)). Luego, el proceso de soluci´on de la ecuaci´on de Hamilton-Jacobi para un sistema suministra la trayectoria qi (t) = qi (qi (0), pi (0), t) y pi (t) = pi (qi (0), pi (0), t) como resultado adicional. Consequentemente, la ecuaci´on de Hamilton-Jacobi constituye el m´etodo m´as poderoso para encontrar la integraci´on general de las ecuaciones de movimiento de un sistema. Matem´ aticamente, la ecuaci´on de Hamilton-Jabobi corresponde a una ecuaci´on en derivadas parciales de primer orden para S(qi , t) en s + 1 variables,   ∂S ∂S ∂S ∂S (q1 , . . . , qs , t) + H q1 , . . . , qs , , ..., , t = 0. ∂t ∂q1 ∂q2 ∂qs

(6.229)

La soluci´ on de la ecuaci´ on de Hamilton-Jacobi, Ec. (6.229), para la acci´on S(qi , t) requiere de s+1 constantes de integraci´on. Pero S no figura expl´ıcitamente como inc´ognita en la Ec. (6.229), s´ olo aparecen sus derivadas con respecto a las qi y t. Luego, si S es soluci´ on de la Ec. (6.229), entonces S + cte, tambi´en es una soluci´on. Por lo tanto, una de las (s + 1) constantes de integraci´on es irrelevante para la soluci´on. Las s constantes deben ser las Pi = αi , para que la acci´on tenga la forma S(qi , Pi , t). Luego, la soluci´on de la ecuaci´ on de Hamilton-Jacobi puede expresarse en la forma S = S(q1 , . . . , qs , P1 , . . . , Ps , t) = S(qi , αi , t),

i = 1, . . . , s.

(6.230)

Si el Hamiltoniano H es independiente del tiempo, entonces H es constante e igual a la energ´ıa total del sistema, H(qi , pi ) = cte = E. En ese caso, se puede buscar una soluci´ on de la ecuaci´ on de Hamilton-Jacobi, Ec. (6.229), por separaci´on de variables; esto es, suponemos que la soluci´ on S tiene la forma S(qi , Pi , t) = S(qi , αi , t) = W (qi , Pi ) − E t = W (qi , αi ) − E t,

(6.231)

donde una de las s constantes αi es E. La funci´on W (qi , Pi ) = W (qi , αi ) se llama funci´ on caracter´ıstica o principal de Hamilton. En ese caso, sustituci´on de S en la Ec. (6.229) resulta en una ecuaci´ on para la funci´on W (qi , Pi ), de la forma  H

∂W (qi , E, Pj ), qi ∂qi

 = E,

(6.232)

donde escogemos P1 = α1 = E, Pj = αj , j = 2, . . . , s. La Ec. (6.232) se denomina ecuaci´ on de Hamilton-Jacobi independiente del tiempo. En particular, si el Hamiltoniano es independiente del tiempo, la coordenada constante Q1 = β1 asociada a P1 = E satisface Q1

= =

∂S ∂S = ∂P1 ∂E ∂W − t = β1 . ∂E

(6.233)

´ CAP´ITULO 6. DINAMICA HAMILTONIANA

268

Las relaciones de la transformacion can´onica en t´erminos de la funci´on caracter´ıstica W (qi , Pi ) corresponden a pi

=

Qi

=

∂S ∂W = , ∀i, ∂qi ∂qi ∂S ∂W = , i 6= 1. ∂Pi ∂Pi

(6.234) (6.235)

Entonces, la condici´ on H(qi , pi ) = E se puede expresar como   ∂W H (qi , Pi ), qi = E , ∂qi

(6.236)

que es la ecuaci´ on de Hamilton-Jacobi independiente del tiempo satisfecha por la funci´on caracter´ıstica W (qi , Pi ). El m´etodo de separaci´ on de variables para buscar una soluci´on de la ecuaci´on de Hamilton-Jacobi tambi´en puede emplearse cuando una coordenada es c´ıclica. Una coordenada qk c´ıclica no aparece expl´ıcitamente en el Hamiltoniano y, por lo tanto, tampoco aparece en la correspondiente ecuaci´ on de Hamilton-Jacobi. Si el Hamiltoniano es constante, entonces se puede buscar una soluci´on de esta ecuaci´on en la forma S(qi , Pi , t) = W (qj , Pi ) + Pk qk − Et,

j 6= k.

(6.237)

Entonces, ∂S = Pk = αk = cte. (6.238) ∂qk La constante Pk = αk es justamente el valor constante del momento conjugado pk asociado a la variable c´ıclica qk . La presencia del t´ermino −Et en la expresi´on Ec. (6.237) para un sistema conservativo corresponde a la separaci´on de la variable t, que no aparece expl´ıcitamente en el Hamiltoniano. En ciertos sistemas, es posible encontrar una soluci´on por separaci´on de variables en forma aditiva; esto es, suponemos la acci´on de la forma pk =

S(qi , Pi , t) = W (qi , Pi ) − Et =

s X

Wk (qk , Pi ) − Et,

(6.239)

k=1

donde cada funci´ on Wk depende solamente de una coordenada qk . Si una coordenada qk es c´ıclica, tomamos Wk = Pk qk . Las relaciones de la transformacion can´onica se convierten en

pk

=

Qk

=

∂Wk (qk , P1 , . . . , Ps ) , ∂qk s X ∂Wi (qk , P1 , . . . , Ps ) − δ1i t . ∂Pk i=1

En este caso, se dice que el sistema es completamente separable.

(6.240) (6.241)

´ DE HAMILTON-JACOBI 6.9. ECUACION

269

Para sistemas completamente separables es posible reducir el problema de la ecuaci´ on de Hamilton-Jacobi a un conjunto de s ecuaciones diferenciales de primer orden, Ecs. (6.240); una ecuaci´ on para cada funci´on Wk que depende de qk y de constantes Pi = αi . Cada ecuaci´ on permite encontrar la correspondiente Wk mediante una integraci´ on expl´ıcita sobre la coordenada qk . Adicionalmente, las s Ecs. (6.241) permiten obtener, por inversi´ on, las coordenadas qk = qk (Qi , Pi , t). Aunque la ecuaci´ on de Hamilton-Jacobi para un sistema din´amico dado puede ser completamente separable en un sistema de coordenadas, puede no serlo en otro. En general, no existen condiciones de separabilidad a priori; aunque consideraciones de simetr´ıa pueden ayudar. Por ejemplo, un problema con simetr´ıa esf´erica usualmente puede ser separable en coordenadas esf´ericas. La ecuaci´ on de Hamilton-Jacobi, cuando es separable, es el m´etodo m´as poderoso para encontrar la soluci´ on general de las ecuaciones de movimiento para un sistema.

Ejemplos. 1. Ecuaci´ on de Hamilton-Jacobi para un oscilador arm´onico simple y obtenci´on de la trayectoria (q(t), p(t)) y de la acci´on asociada a este sistema. El Hamiltoniano es H(q, p) =


1 p2 + m2 ω 2 q 2 . 2m

(6.242)

La acci´ on para este sistema con s = 1 tiene la forma S(q, t). La ecuaci´on de Hamilton-Jacobi es ∂S (q, t) + H(p, q) = 0. (6.243) ∂t Hay una s´ ola relaci´ on para el momento, p=

∂S (q, t) ∂q

(6.244)

y, sustituyendo en la Ec. (6.243), obtenemos la ecuaci´on de Hamilton-Jacobi para el oscilador arm´ onico, 1 ∂S + ∂t 2m

"

∂S ∂q

2

# 2

2 2

+m ω q

= 0.

(6.245)

Puesto que ∂H ıa total del ∂t = 0, el Hamitoniano es constante e igual a la energ´ sistema, H = E. Luego, podemos buscar una soluci´on de la Ec. (6.245) mediante separaci´ on de variables, S(q, E, t) = W (q, E) − E t,

(6.246)

´ CAP´ITULO 6. DINAMICA HAMILTONIANA

270

donde P = E = α es la u ´nica constante de integraci´on para la Ec. (6.245). Sustituci´ on en la Ec. (6.245) da " # 2 1 ∂W 2 2 2 (6.247) +m ω q =E. 2m ∂q Calculamos W (q, E), ∂W = (2mE − m2 ω 2 q 2 )1/2 , ∂q Z W (q, E) = (2mE − m2 ω 2 q 2 )1/2 dq.

(6.248) (6.249)

Luego, Z S(q, E, t) =

(2mE − m2 ω 2 q 2 )1/2 dq − Et.

(6.250)

La funci´ on S(q, E, t) permite encontrar las relaciones de la transformaci´on can´onica generada por S a partir de sus derivadas parciales, ∂W ∂S = , ∂q ∂q

(6.251)

∂S ∂S = = β = cte. ∂P ∂E

(6.252)

p= Q=

Derivando S con respecto a E en la Ec. (6.250), la relaci´on Ec. (6.252) da r Z ∂S m dq r − t. (6.253) Q= = ∂E 2E mω 2 q 2 1− 2E Integrando la Ec. (6.253), obtenemos  r  1 m −1 Q+t= sin ωq , ω 2E

(6.254)

y despejando q, r q(Q, E, t) =

2E sin(ωt + β 0 ), mω 2

β 0 = Qω = cte.

(6.255)

La relaci´ on Ec. (6.251) da p=

p ∂W = 2mE − m2 ω 2 q 2 , ∂q

y sustituyendo q de la Ec. (6.255), tenemos √ p(Q, E, t) = 2mE cos(ωt + β 0 ).

(6.256)

(6.257)

´ DE HAMILTON-JACOBI 6.9. ECUACION

271

Las constantes Q = β y P = E se pueden expresar en t´erminos de las condiciones iniciales q(0) = q0 y p(0) = p0 . Evaluando las Ecs. (6.255) y (6.257) en t = 0, tenemos r 2E sin(ωQ), (6.258) q0 = mω 2 √ p0 = 2mE cos(ωQ). (6.259) Luego, q0 tan(ωQ) = mω p0

⇒

  1 q0 −1 Q = tan mω . ω p0

(6.260)

Evaluando la Ec. (6.256) en t = 0, E=


1 p20 + m2 ω 2 q02 = P. 2m

(6.261)

Las Ecs. (6.255) y (6.257), junto con las relaciones (6.260) y (6.261), expresan la soluci´ on de las ecuaciones de Hamilton para el oscilador arm´onico en t´erminos de las condiciones iniciales, p = p(q0 , p0 , t) y q = q(q0 , p0 , t). Aunque la soluci´ on expl´ıcita para la acci´on S no es necesaria para la obtenci´on de la trayectoria p(q0 , p0 , t) y q(q0 , p0 , t), la cantidad S puede encontrarse a partir de la integraci´ on de la Ec. (6.250), Z r mω 2 q 2 2mE 1− dq − Et 2E Z r √ q2 2mE 1 − 2 dq − Et a "  # 1/2   √ 1 q2 −1 q 2mE q 1 − 2 + a sin − Et, 2 a a √ S(q, E, t)

= = =

(6.262)

r

2E . Sustituyendo q de la Ec. (6.255) en la Ec. (6.262), podemos mω 2 obtener S como funci´ on de t,

donde a ≡

S(t)

= = =

  1 √ a 2mE sin(ωt + β 0 ) cos(ωt + β 0 ) + sin−1 (sin(ωt + β 0 )) − Et 2   E 1 0 0 sin[2(ωt + β )] + (ωt + β ) − Et ω 2 E sin[2(ωt + β 0 )], (6.263) 2ω

donde las constantes han sido suprimidas en la Ec. (6.263).

´ CAP´ITULO 6. DINAMICA HAMILTONIANA

272

2. Relaci´ on entre la ecuaci´ on de onda de Schr¨odinger de la Mec´anica Cu´antica y la ecuaci´ on de Hamilton-Jacobi de la Mec´anica Cl´asica. Consideremos, por simplicidad, la ecuaci´on de Schr¨odinger unidimensional para la funci´ on de onda Ψ(x, t) de una part´ıcula de masa m en el potencial V (x, t), i~

∂Ψ ~2 ∂ 2 Ψ + V (x, t)Ψ . =− ∂t 2m ∂x2

(6.264)

Figura 6.18: Erwin Schr¨odinger (1887-1961). Suspongamos una soluci´ on de la forma i

Ψ(x, t) = R(x, t)e ~ S(x,t) ,

(6.265)

donde R(x, t) es la parte real que da la amplitud de la funci´on de onda y S(x, t) es la fase correspondiente. Calculamos las derivadas parciales   ∂Ψ ˙ = Re ˙ ~i S + i RSe ˙ ~i S = R˙ + i RS˙ e ~i S . =Ψ (6.266) ∂t ~ ~ Ψ0 =

Ψ00 =

∂2Ψ ∂x2

∂Ψ = ∂x

  i i R0 + RS 0 e ~ S . ~

(6.267)

 = =

   i i i i 0 iS R00 + (R0 S 0 + RS 00 ) e ~ S + R0 + RS 0 S e~ ~ ~ ~   i i i 1 R00 + 2 R0 S 0 + RS 00 − 2 RS 02 e ~ S . (6.268) ~ ~ ~

Sustituyendo las derivadas de Ψ en la Ec. (6.264), tenemos     i ~2 i i 1 i~ R˙ + RS˙ = − R00 + 2 R0 S 0 + RS 00 − 2 RS 02 + V R. ~ 2m ~ ~ ~

(6.269)

En el l´ımite cl´ asico ~ → 0, la Ec. (6.269) queda −RS˙ =

1 RS 02 + V R, 2m

(6.270)

´ DE HAMILTON-JACOBI 6.9. ECUACION

273

la cual se puede escribir como ∂S 1 + ∂t 2m



∂S ∂x

2 + V = 0.

(6.271)

Pero el Hamiltoniano de la part´ıcula es p2 + V, 2m y el momento, en t´erminos de la acci´on cl´asica S, es H=

(6.272)

∂S . (6.273) ∂x Luego, la Ec. (6.271) es la ecuaci´on de Hamilton-Jacobi para la fase S(x, t).   ∂S ∂S +H , x = 0. (6.274) ∂t ∂x p=

En el l´ımite cl´ asico, la fase S(x, t) de la funci´on de onda Ψ(x, t) corresponde a la acci´ on y satisface la ecuaci´on de Hamilton-Jacobi. 3. Separaci´ on de variables en la ecuaci´on de Hamilton-Jacobi en coordenadas esf´ericas en un sistema cuyo potencial posee simetr´ıa azimutal. Consideremos una part´ıcula en un potencial con simetr´ıa azimutal alrededor del eje z (independiente del ´angulo φ) en coordenadas esf´ericas de la forma, b(θ) . (6.275) r2 donde a(r) y b(θ) son funciones dadas. Por ejemplo, el potencial de un campo gravitacional uniforme o el potencial el´ectrico de un dipolo, ambos expresados en coordenadas esf´ericas, poseen simetr´ıa azimutal. En particular, el problema de Kepler corresponde a a(r) = −k/r y b(θ) = 0. V (r, θ) = a(r) +

El Lagrangiano para este sistema, en coordenadas esf´ericas, es   1 b(θ) 2 2 2 ˙2 2 2 L = m(r˙ + r θ + r ϕ˙ sin θ) − a(r) + 2 . 2 r Para este sistema, se obtiene el siguiente Hamiltoniano !   2 2 p 1 p b(θ) φ 2 θ H(r, θ, φ, pr , pθ , pφ ) = pr + 2 + 2 2 + a(r) + 2 . 2m r r r sin θ

(6.276)

(6.277)

La acci´ on para este sistema es una funci´on S(r, θ, φ, t). Los momentos conjugados satisfacen ∂S pr = , (6.278) ∂r ∂S pθ = , (6.279) ∂θ ∂S pφ = . (6.280) ∂φ

274

´ CAP´ITULO 6. DINAMICA HAMILTONIANA La ecuaci´ on de Hamilton-Jacobi es ∂S + H = 0. ∂t

(6.281)

Sustituyendo H y los momentos en la Ec. (6.281), obtenemos la ecuaci´on de HamiltonJacobi para este sistema, "   2   2 #  2 1 ∂S 1 ∂S 1 ∂S ∂S b(θ) + + 2 + 2 2 + a(r) + 2 = 0. ∂t 2m ∂r r ∂θ r r sin θ ∂φ (6.282) Puesto que el Hamiltoniano es independiente del tiempo y la coordenada φ es c´ıclica, podemos buscar una soluci´on en la forma separable S(r, θ, φ, P1 , P2 , P3 , t) = Wr (r, E, Pφ , P3 ) + Wθ (θ, E, Pφ , P3 ) + Pφ φ − Et, (6.283) donde hemos tomado Wφ = Pφ φ, y P1 = E, P2 = Pφ y P3 son constantes. Las Ecs. (6.280) y (6.283) implican que pφ = Pφ = cte. La cantidad constante pφ es el valor de la componente lz del momento angular. Sustituyendo S en la Ec. (6.282), obtenemos " #  2 2 p2φ 1 ∂Wθ ∂Wr 1 + a(r) + + 2m b(θ) + = E, (6.284) 2 2m ∂r 2mr ∂θ 2mr2 sin2 θ lo cual se puede expresar como " #  2 2 p2φ ∂Wr ∂Wθ 2 2 2 r . (6.285) + 2mr a(r) − 2mr E = − + 2m b(θ) − ∂r ∂θ sin2 θ En t´erminos de las coordenadas, el lado izquierdo del la Ec. (6.285) corresponde a una funci´ on que depende solamente de r, mientras que el lado derecho representa a una funci´ on dependiente solamente de θ. Entonces, para que ambos lados sean iguales en la Ec. (6.285), ambas funciones deben ser iguales a una misma constante,  2 p2φ ∂Wθ + 2m b(θ) + = P3 , (6.286) ∂θ sin2 θ  2 ∂Wr 2 r + 2mr2 a(r) − 2mr2 E = −P3 , (6.287) ∂r donde hemos fijado la constante como −P3 , puesto que las funciones Wr y Wθ deben depender de las tres constantes E, pφ , P3 . Despejando, tenemos " #1/2 p2φ ∂Wθ = P3 − 2m b(θ) − , (6.288) ∂θ sin2 θ   1/2 ∂Wr P3 = 2m E − − a(r) . (6.289) ∂r 2mr2

´ DE HAMILTON-JACOBI 6.9. ECUACION

275

Mediante integraci´ on obtenemos #1/2 Z " p2φ Wθ (θ, pφ , P3 ) = P3 − 2m b(θ) − dθ, sin2 θ 1/2 Z  P3 dr, Wr (r, E, P3 ) = 2m (E − a(r)) − 2 r

(6.290) (6.291)

y ya teniamos Wφ = pφ φ. Luego, el sistema es completamente separable. La acci´ on correspondiente es s Z r Z p2φ P3 S= 2m (E − a(r)) − 2 dr + P3 − 2m b(θ) − dθ + pφ φ − E t. r sin2 θ (6.292) Las coordenadas constantes Q1 , Q2 y Q3 de la transformaci´on can´onica generada por S satisfacen las relaciones Q1

=

Q2

=

Q3

=

∂S = ∂E ∂S = ∂pφ ∂S = ∂P3

∂Wr (r, E, P3 ) − t = Q1 (r, E, P3 , t), ∂E ∂Wθ (θ, pφ , P3 ) + φ = Q2 (θ, φ, pφ , P3 ), ∂pφ ∂Wr ∂Wθ + = Q3 (r, θ, E, φ, P3 ). ∂P3 ∂P3

(6.293) (6.294) (6.295)

La Ec. (6.293) permite encontrar la soluci´on r = r(E, P3 , Q1 , t). Esta soluci´on para r se puede sustituir en la Ec. (6.295), y entonces las Ecs. (6.294) y (6.295) constituyen un sistema de dos ecuaciones para θ y φ, las cuales pueden resolverse dando como resultado θ = θ(E, pφ , P3 , Q1 , Q2 , Q3 , t) y φ = φ(E, pφ , P3 , Q1 , Q2 , Q3 , t). Por otro lado, consideremos las Ecs. (6.278)-(6.279) para los momentos pr

=

pθ

=

∂S ∂Wr = = pr (r, E, P3 ), ∂r ∂r ∂S ∂Wθ = = pθ (θ, P3 , pφ ). ∂θ ∂θ

(6.296) (6.297)

Sustituci´ on de las soluciones para las coordenadas r y θ en estas ecuaciones conduce a las soluciones para los momentos pr y pθ (pφ es una constante) en funci´on del tiempo y de las constantes E, pφ , P3 , Q1 , Q2 , Q3 . Luego, el m´etodo de la ecuaci´on de Hamilton-Jacobi permite obtener la soluci´on completa de las ecuaciones de movimiento (coordenadas y momentos) en t´erminos de seis constantes (E, pφ , P3 , Q1 , Q2 , Q3 ).

´ CAP´ITULO 6. DINAMICA HAMILTONIANA

276

6.10.

Variables de acci´ on-´ angulo

Supongamos que tenemos un sistema din´amico con las siguientes condiciones: (1) su Hamiltoniano H(qi , pi ) es constante, (2) el sistema es completamente separable, (3) sus movimientos son finitos. La condici´ on (1) implica que podemos escribir la ecuaci´on Hamilton-Jacobi independiente del tiempo para el sistema,   ∂W H (qi , Pi ), qi = E , (6.298) ∂qi donde Pi = αi = cte. La funci´ on caracter´ıstica de Hamilton W (qi , Pi ), que satisface la Ec. (6.298), puede interpretarse como una funci´ on generadora de tipo F2 (qi , Pi ), independiente del tiempo, que produce una transformaci´ on can´ onica (qi , pi ) → (Qi , Pi ) tal que las coordenadas Qi son c´ıclicas en el nuevo Hamiltoniano; es decir, H 0 (Pi ). En efecto, con esta condici´ on sobre H 0 , los nuevos momentos Pi son constantes, pues 0

∂H (Pi ) P˙i = − = 0 ⇒ Pi = αi = cte. ∂Qi

(6.299)

Entonces, H 0 (Pi ) = H 0 (αi ) = cte. La funci´on generadora F2 (qi , Pi ) = W (qi , Pi ) = W (qi , αi ) satisface la relaci´ on H0 = H +

∂F2 ∂t

⇒

H 0 = H.

(6.300)

Puesto que H(qi , pi ) = E, tenemos H(qi , pi ) = E = H 0 (Pi ).

(6.301)

Las relaciones de la transformacion can´onica generada por W (qi , Pi ) corresponden a pi

=

Qi

=

∂W , ∂qi ∂W . ∂Pi

Luego, la relaci´ on H(qi , pi ) = E se puede expresar como   ∂W (qi , Pi ), qi = E , H ∂qi

(6.302) (6.303)

(6.304)

que es la ecuaci´ on de Hamilton-Jacobi independiente del tiempo satisfecha por la funci´on caracter´ıstica W (qi , Pi ).

´ ANGULO ´ 6.10. VARIABLES DE ACCION-

277

Debido a la condici´ on (2), podemos expresar la funci´on caracter´ıstica de Hamilton como s X W (q1 , . . . , qs , α1 , . . . , αs ) = Wi (qi , α1 , . . . , αs ). (6.305) i=1

Entonces, las relaciones de la transformaci´on can´onica (qi , pi ) → (Qi , αi ) generada por W (qi , Pi ) = W (qi , αi ) est´ an dadas por pi

=

Qi

=

∂Wi (qi , α1 , . . . , αs ) , ∂qi ∂Wi (qi , α1 , . . . , αs ) . ∂αi

(6.306) (6.307)

El nuevo Hamiltoniano entonces tiene la forma H 0 (α1 , . . . , αs ) = E. La Ec. (6.306) implica la relaci´on funcional pi = pi (qi , α1 , . . . , αs ),

(6.308)

la cual define una curva o trayectoria sobre el plano (qi , pi ) que depende de los par´ametros α1 , . . . , αs . Esta curva es una proyecci´on sobre el plano (qi , pi ) de la trayectoria del sistema en su espacio de fase 2s-dimensional. Adicionalmente, la condici´on (3) implica que esta curva debe ser una ´ orbita cerrada o peri´odica en el plano (qi , pi ), que denotamos por Ci . Existe una tal ´ orbita Ci en cada uno de los planos (qi , pi ) del espacio de fase.

Figura 6.19: (a) Libraci´on. (b) Rotaci´on. (c) Libraci´on y rotaci´on en el espacio de fase de un p´endulo simple.

La ´ orbita Ci en un plano (qi , pi ) refleja la periodicidad de las variables conjugadas pi y qi , y puede ser de dos tipos:

´ CAP´ITULO 6. DINAMICA HAMILTONIANA

278

1. Libraci´ on: ocurre cuando los valores de ambos, qi y pi , se repiten, trazando una orbita cerrada. En este caso, tanto qi como pi , son funciones peri´odicas en el tiempo. ´ El oscilador arm´ onico y el problema de Kepler con E < 0 son ejemplos de este tipo de ´ orbitas. Las ´ orbitas de libraci´ on son curvas cerradas que no siempre son elipses. 2. Rotaci´ on: corresponde a una ´ orbita tal que pi es una funci´on peri´odica de qi , con per´ıodo qi0 . Los valores de pi est´ an acotados, pero los de qi pueden incrementarse indefinidamente. Ejemplos son los movimientos de un cuerpo r´ıgido libre y de un trompo sim´etrico con un punto fijo, donde la coordenada qi es un ´angulo que puede incrementarse en 2π sin cambio en la configuraci´on del sistema. En general, la coordenada qi asociada a este tipo de ´orbita corresponde a un ´angulo de rotaci´on. Ambos tipos de ´ orbitas peri´ odicas pueden aparecer en un sistema din´amico, dependiendo de los valores de sus par´ ametros.

Ejemplo. 1. El p´endulo simple es un ejemplo cl´asico, donde la coordenada q es el ´angulo θ con respecto a la vertical. La energ´ıa del sistema es E=

p2 − mgl cos q , 2ml2

(6.309)

de donde obtenemos la ´ orbita en el plano (q, p), p p(q, E) = ± 2ml2 (E + mgl cos q) . Si E < mgl, entonces q oscila entre los puntos de retorno q1,2 = ± cos−1



(6.310)  E − mgl ,

para los cuales p = 0. Bajo estas condiciones, la trayectoria en el plano (q, p) es una orbita cerrada y corresponde a un movimiento peri´odico de libraci´on. Por otro lado, ´ si E > mgl, todos los valores del ´ angulo q son f´ısicamente posibles, y q se incrementa indefinidamente para producir un movimiento peri´odico del tipo de rotaci´on. En este caso, el p´endulo posee suficiente energ´ıa para dar la vuelta en una direcci´on por encima de la posici´ on vertical invertida q = π y, por lo tanto, contin´ ua rotando en esa direcci´ on.

Cada o´rbita Ci tiene un per´ıodo asociado; es decir, las variables qi y pi en el plano (qi , pi ) se repiten en el tiempo. En general, los per´ıodos de las ´orbitas Ci pueden ser distintos entre s´ı; como consequencia la trayectoria de todo el sistema en su espacio de fase puede no ser peri´ odica, en el sentido de que todas las 2s variables qi y pi se repitan al cabo de un determinado intervalo de tiempo. Recordemos que las ´orbitas Ci son proyecciones en los distintos planos (qi , pi ) de la trayectoria del sistema en su espacio de fase; todas las proyecciones no tienen que cerrarse necesariamente despu´es de un per´ıodo de tiempo dado.

´ ANGULO ´ 6.10. VARIABLES DE ACCION-

279

Las variables de acci´ on-´ angulo son un conjunto de coordenadas y momentos que resultan convenientes para describir la coexistencia de m´ ultiples movimientos peri´odicos en la din´ amica de sistemas completamente separables con movimientos finitos, i. e., que satisfacen las condiciones (1), (2) y (3). Para esta clase de sistemas, podemos introducir una transformaci´ on can´ onica {qi , pi } → {ϕi , Ji } tal que las nuevas coordenadas ϕi , denominadas variables de a ´ngulo, sean c´ıclicas en el nuevo Hamiltoniano, i. e., H 0 (J1 , . . . , Js ). Definimos los nuevos momentos Ji como las variables de acci´ on I 1 pi dqi , (6.311) Ji ≡ 2π Ci donde la integral se realiza sobre un ciclo completo de la coordenada qi a lo largo de la ´rbita Ci que yace en el plano (qi , pi ), ya sea retornando al valor inicial de qi (libraci´on) o o sobre un intervalo qi0 (rotaci´on). Puesto que el sistema es completamente separable, podemos usar la Ec. (6.306) para escribir I 1 ∂Wi Ji = (qi , α1 , . . . , αs ) dqi 2π Ci ∂qi = Ji (α1 , . . . , αs ) = cte, (6.312) debido a que las αi son constantes. La Ec. (6.312) constituye un sistema de s ecuaciones para las s variables de acci´ on Ji en funci´on de las αi , las cuales puede ser invertidas para obtener αi = αi (J1 , . . . , Js ). Luego, las variables Ji son un conjunto de funciones independientes que pueden ser usadas como los nuevos momentos constantes. Entonces, el nuevo Hamiltoniano se puede expresar como H 0 (J1 , . . . , Js ) = E = cte. La funci´ on caracter´ıstica de Hamilton, que es generadora P de la transformaci´on can´onica {qi , pi } → {ϕi , Ji }, debe tener la forma W (qi , Ji ) = i Wi (qi , J1 , . . . , Js ). Entonces, las relaciones de la transformaci´on can´onica son ∂Wi pi = (qi , J1 , . . . , Js ) , (6.313) ∂qi ∂Wi (qi , J1 , . . . , Js ) . (6.314) ϕi = ∂Ji Para entender el significado de las variables de ´angulo, calculemos el cambio de una variable ϕi en un ciclo completo de la coordenada qi sobre una ´orbita Ci , dado por   I I I ∂ ∂Wi ∂ ∂Wi ∆ϕi = dϕi = dqi = dqi ∂q ∂J ∂J i i i Ci ∂qi Ci Ci I ∂ ∂Ji = pi dqi = 2π = 2π. (6.315) ∂Ji Ci ∂Ji Luego, un ciclo completo de qi corresponde a un cambio de ϕi en 2π; la variable ϕi se puede interpretar como un ´angulo de rotaci´on tal que el per´ıodo de la ´orbita Ci equivale a una rotaci´ on completa de ϕi manteniendo Ji constante. Puesto que no todas las ´ orbitas tienen el mismo per´ıodo, no todas las variables de ´angulo ϕi realizan una rotaci´ on completa al mismo tiempo, aunque todas las variables de acci´on correspondientes se mantienen constantes.

´ CAP´ITULO 6. DINAMICA HAMILTONIANA

280

Las ecuaciones de Hamilton en las nuevas variables son ∂H 0 (Jj ) J˙i = − = 0, ∂ϕi ∂H 0 (Jj ) ≡ ωi (Jj ) = cte. ϕ˙ i = ∂Ji

(6.316) (6.317)

Las Ecs. (6.316) confirman que las Ji son constantes, mientras las Ecs. (6.317) definen s funciones constantes ωi (Jj ). Adicionalmente, las Ecs. (6.317) conducen a ϕi = ωi t + θi ,

(6.318)

donde θi equivale a una fase inicial para cada variable ϕi . Cada nueva coordenada ϕi se comporta efectivamente como un ´ angulo que se incrementa con una correspondiente velocidad angular constante ωi ; de alli su nombre variables de ´ angulo. El per´ıodo correspondiente de ϕi es 2π , (6.319) Ti = ωi (Jj ) el cual es igual al per´ıodo de la ´ orbita Ci . Entonces, las Ecs. (6.317) permiten obtener directamente las frecuencias de las ´ orbitas peri´odicas del sistema, sin hacer aproximaciones de peque˜ nos desplazamientos y sin necesidad de resolver expl´ıcitamente las ecuaciones de movimiento. En resumen, el empleo de las variables de acci´on-´angulo permite encontrar las m´ ultiples frecuencias del movimiento de un sistema caracterizado por un Hamiltoniano H(qi , pi ) que satisface las condiciones (1)-(3), mediante el siguiente procedimiento: 1. Escribir la ecuaci´ on de Hamilton-Jacobi independiente del tiempo,   ∂Wi H (qi , α1 , . . . , αs ), qi = E . ∂qi 2. Separar la Ec. (6.320) en s ecuaciones para las derivadas separaci´ on provee las constantes α1 = E, α2 , . . . , αs .

(6.320)

∂Wi ∂qi (qi , α1 , . . . , αs ).

3. Calcular las variables de acci´ on, I I 1 1 ∂Wi pi dqi = (qi , α1 , . . . , αs ) dqi Ji = 2π Ci 2π Ci ∂qi = Ji (α1 , . . . , αs ).

La

(6.321)

4. Invertir las s relaciones Ji = Ji (α1 , . . . , αs ) para obtener αi = αi (J1 , . . . , Js ). i 5. Sustituir αi (J1 , . . . , Js ) en las derivadas ∂W ∂qi (qi , α1 , . . . , αs ) que aparecen en el Hamiltoniano (lado izquierdo) de la Ec. (6.320), para obtener H 0 (J1 , . . . , Js ).

6. Calcular las frecuencias ωi (Jj ) =

∂H 0 (J1 , . . . , Js ). ∂Ji

(6.322)

´ ANGULO ´ 6.10. VARIABLES DE ACCION-

281

La descripci´ on del movimiento de un sistema finito completamente separable resulta simple en t´erminos de las variables de acci´on-´angulo: cada ´orbita Ci trazada sobre el plano (qi , pi ) es equivalente a una rotaci´on sobre una circunferencia de un ´angulo ϕi con velocidad ´ angular constante ωi . El radio de la circunferencia corresponde al valor constante Ji . En lenguaje topol´ ogico, cada curva cerrada Ci se distorsiona continuamente en una circunferencia, denotada en topolog´ıa por el s´ımbolo S1 , debido a la transformaci´on can´onica {qi , pi } → {ϕi , Ji }. La trayectoria en el espacio de fase de las variables {ϕi , Ji } yace en todas esas s circunferencias simult´aneamente. Si s = 2, hay 2 circunferencias; para cada punto (ϕ1 , J1 ) de la primera circunferencia S1 existe una segunda circunferencia S1 con valores de (ϕ2 , J2 ). Es decir, a cada punto de S1 est´a asociada otra S1 . Esto describe un toroide, designado por T2 = S1 × S1 . Entonces, la trayectoria transcurre sobre el toroide T2 . Aunque esto se puede visualizar con uno o dos grados de libertad; es m´as dif´ıcil de hacerlo para s en general. En ese caso, la trayectoria tiene lugar sobre un toroide s-dimensional Ts = S1 × · · · × S1 descrito por las variables de acci´on-´angulo {ϕi , Ji }. Las variables de acci´ on-´ angulo proveen una representaci´on geom´etrica elegante del movimiento de un sistema completamente separable.

Figura 6.20: Variables de acci´on-´angulo y una trayectoria sobre un toroide para un sistema con s = 2.

La trayectoria sobre un toroide T2 es cerrada si el cociente de las frecuencias ω1 /ω2 es un n´ umero racional. En tal caso, se dice que la trayectoria es peri´odica. Si ω1 /ω2 es igual a un n´ umero irracional; entonces la trayectoria se denomina cuasiperi´ odica, y en su evoluci´ on cubre uniformemente toda la superficie del toroide. Del mismo modo, una trayectoria sobre un toroide s-dimensional Ts es cerrada o peri´odica si el cociente de las frecuencias ωi /ωj es racional ∀i, j, mientras que una trayectoria sobre Ts es cuasiperi´odica si ωi /ωj es irracional ∀i, j. Mediante variables de acci´on-´angulo, diferentes sistemas con el mismo n´ umero s de grados de libertad pueden ser mapeados sobre un toroide s-dimensional. Luego, el movimiento sobre un toroide Ts constituye un tipo de sistema din´amico universal que abarca la din´ amica de sistemas separables aparentemente diferentes.

´ CAP´ITULO 6. DINAMICA HAMILTONIANA

282

Ejemplos. 1. Encontrar la frecuencia de un oscilador arm´onico usando variables de acci´on-´angulo. El Hamiltoniano es  H(q, p) =

p2 1 + kq 2 2m 2

 = E = cte.

(6.323)

Las ´ orbitas H(q, p) = cte en el plano (q, p) corresponden a elipses.

´ Figura 6.21: Orbitas en espacio de fase (q, p) para el oscilador arm´ onico y variables de acci´ ona ´ngulo (J, ϕ) correspondientes.

El momento es p=

∂W . ∂q

Sustituyendo en la Ec. (6.323), tenemos  2 ∂W 1 1 + kq 2 = E, 2m ∂q 2 de donde ∂W = ∂q

s

  1 2 2m E − kq . 2

(6.324)

(6.325)

(6.326)

La variable de acci´ on es J

=

1 2π

=

1 2π

=

1 2π

I

I 1 ∂W p dq = dq 2π C ∂q C r I √ k 2 q dq 2mE 1− 2E C Z qmax r √ k 2 2mE 4 1− q dq, 2E 0

(6.327)

puesto que un ciclo C equivale a cuatro q veces la variaci´on de la coordenada q desde el valor q = 0 hasta el valor qmax = 2E k , para el cual p = 0.

´ ANGULO ´ 6.10. VARIABLES DE ACCIONCon el cambio variables sin x = J

= =

q

k 2E

283

q, obtenemos

r Z π/2 1 √ 2E cos2 x dx 4 2mE 2π k 0 r r 4 m π m E = E. π k 4 k

(6.328)

Luego, el Hamiltoniano en t´erminos de J es r 0

H (J) = E =

k J. m

(6.329)

La frecuencia del movimiento es ∂H 0 = ϕ˙ = ω = ∂J

r

k . m

(6.330)

Note que las variables de acci´on-´angulo (ϕ, J) corresponden a las variables (Q, P ) en la transformaci´ on can´onica {q, p} → {Q, P } empleada para el oscilador arm´onico en la Sec. 6.8, tal que la coordenada Q sea c´ıclica en el Hamiltoniano transformado H 0 (P ). 2. Encontrar el per´ıodo del movimiento de una part´ıcula de masa m y velocidad v que choca el´ asticamente entre dos paredes paralelas separadas por una distancia L.

Figura 6.22: Part´ıcula chocando el´asticamente entre dos paredes paralelas. Izquierda: espacio f´ısico. Derecha: espacio de fase (q, p).

La energ´ıa de la part´ıcula es constante, E=

1 mv 2 = cte , 2

(6.331)

p2 = E. 2m

(6.332)

∂W , ∂q

(6.333)

y el Hamiltoniano correspondiente es H= Usando p=

´ CAP´ITULO 6. DINAMICA HAMILTONIANA

284

obtenemos la ecuaci´ on de Hamilton-Jacobi independiente del tiempo, 1 2m Luego, p=



∂W ∂q

2 = E.

(6.334)

√ ∂W = 2mE . ∂q

(6.335)

La variable de acci´ on da J

= =

I 1 √ 2mE dq 2π C C Z L 1 √ L√ 2mE 2 dq = 2mE . 2π π 0 1 2π

I

p dq =

(6.336)

Luego, p = πJ/L. El Hamiltoniano como funci´on de J es H 0 (J) =

π2 J 2, 2mL2

(6.337)

y la frecuencia del movimiento est´a dada por ϕ˙ = ω

= =

∂H 0 π2 = J ∂J mL2 π2 L √ π 2mE = v. mL2 π L

(6.338) (6.339)

Luego, el per´ıodo resulta en T =

2L 2π = . ω v

(6.340)

3. Una part´ıcula se mueve sin fricci´ on sobre un cilindro vertical de radio R en el campo gravitacional terrestre, conservando su energ´ıa E y alcanzando una altura m´axima h despues de cada choque contra el suelo. Encontrar las frecuencias del movimiento usando variables de acci´ on-´ angulo.

Figura 6.23: Part´ıcula movi´endose sobre un cilindro vertical.

´ ANGULO ´ 6.10. VARIABLES DE ACCION-

285

Hay dos grados de libertad, θ y z. El Lagrangiano del sistema es 1 m(R2 θ˙2 + z˙ 2 ) − mgz. 2

(6.341)

p2z p2θ + + mgz = E = cte. 2mR2 2m

(6.342)

L= El Hamiltoniano es H=

La ecuaci´ on de Hamilton-Jacobi independiente del tiempo tiene la forma   ∂W , qi , αi = E. H ∂qi

(6.343)

Buscamos soluci´ on por separaci´on de variables. Asumimos la funci´on caracter´ıstica de Hamilton en la forma W = Wθ (θ, α1 , α2 ) + Wz (z, α1 , α2 ), con α1 = E. Los momentos correspondientes son pθ

=

pz

=

∂Wθ , ∂θ ∂Wz . ∂z

(6.344) (6.345)

Sustituyendo en la Ec. (6.342), tenemos 1 2mR2



∂Wθ ∂θ

2 +

1 2m



∂Wz ∂z

2 + mgz = E,

(6.346)

lo cual se puede expresar como 1 2m



∂Wz ∂z

2

1 + mgz = E − 2mR2



∂Wθ ∂θ

2 (6.347)

El lado izquierdo en la Ec. (6.347) es funci´on de z solamente y el lado derecho es una funci´ on de θ. Ambos lados deben ser iguales a la misma constante, α2 = cte. Entonces, podemos escribir 1 2m E−

∂Wz ∂z

2

1 2mR2





+ mgz ∂Wθ ∂θ

= α2

(6.348)

= α2

(6.349)

2

Luego, p √ ∂Wθ = R 2m E − α2 = cte , ∂θ

(6.350)

´ CAP´ITULO 6. DINAMICA HAMILTONIANA

286

y la variable de acci´ on Jθ est´ a dada por I 1 Jθ = pθ dθ 2π Cθ  I  ∂Wθ 1 dθ = 2π Cθ ∂θ I p √ 1 = R 2m E − α2 dθ 2π Cθ p √ = R 2m E − α2 = pθ .

(6.351)

Por otro lado, p ∂Wz = 2mα2 − 2m2 gz , ∂z y la variable de acci´ on Jz correspondiente es I I p 1 1 pz dz = Jz = 2mα2 − 2m2 gz dz . 2π Cz 2π Cz

(6.352)

(6.353)

´ Figura 6.24: Izquierda: Orbita Cz en el plano (z, pz ). En z = 0, el momento pz cambia de signo √

´ de −p∗z a p∗z = m 2gh. Derecha: Orbita Cθ en el plano (θ, pθ ).

La integral sobre la ´ orbita Cz corresponde a un ciclo de z = 0 a z = h y viceversa. Z hp 1 Jz = 2 2mα2 − 2m2 gz dz (6.354) 2π 0 Z hr 1p 2 α2 = 2m g − z dz (6.355) π mg 0  3/2 0 1 p 2 2 α2 = 2m g −z (6.356) π 3 mg h  3/2 α2 2 p 2 2m g (6.357) = 3π mg 1 √ (2α2 )3/2 . = (6.358) 3πg m

´ ANGULO ´ 6.10. VARIABLES DE ACCION-

287

Para escribir H 0 (Jz , Jθ ), debemos expresar pz y pθ en t´erminos de Jz y Jθ . Obtuvimos Jθ = pθ . De la Ec (6.358) tenemos √ (3πg m Jz )2/3 α2 = , (6.359) 2 luego, p2z

 =

∂Wz ∂z

2 =

2mα2 − 2m2 gz

=

(3πgm2 Jz )2/3 − 2m2 gz.

(6.360)

Sustituyendo en H, obtenemos H 0 (Jz , Jθ ) =

1 1 J2 + (3πm2 gJz )2/3 = E. 2mR2 θ 2m

(6.361)

Las frecuencias est´ an dadas por ϕ˙ θ = ωθ =

∂H 0 ∂Jθ

=

ϕ˙ z = ωz =

∂H 0 ∂Jz

=

pθ Jθ = , mR2 mR2  1/3 (3πm2 g)2 1 . 3m Jz

(6.362) (6.363)

Podemos expresar las frecuencia en t´erminos de E y h. Cuando z = h, el momento pz = 0. Entonces, de la Ec (6.360) obtenemos α2 = mgh

(6.364)

y Jz =

2 mp 2gh3 . 3 π

(6.365)

De la Ec (6.351), podemos expresar pθ = R

√

2m

p E − mgh .

(6.366)

Luego, ωθ

=

ωz

=

√ r 2 E − gh , R m r g π . 2h

(6.367) (6.368)

El per´ıodo del movimiento en z es 2π Tz = =2 ωz

s

2h , g

(6.369)

que es igual al tiempo de vuelo entre dos choques consecutivos contra el suelo.

´ CAP´ITULO 6. DINAMICA HAMILTONIANA

288

4. Encontrar las frecuencias del movimiento en el problema de Kepler utilizando variables de acci´ on-angulo. El problema de Kepler se refiere en el potencial central V (r) = − kr . Puesto que el vector momento angular se conserva en un potencial central, el movimiento ocurre en un plano perpendicular a la direcci´on de ese vector. Usando coordenadas polares (r, θ) sobre el plano del movimiento, el Hamiltoniano de una part´ıcula de masa reducida µ en un potencial V (r) se puede expresar como   p2θ 1 2 (6.370) pr + 2 + V (r) = E. H(r, θ, pr , pθ ) = 2µ r Asumimos separaci´ on de variables; luego escribimos los momentos pr

=

pθ

=

∂Wr , ∂r ∂Wθ . ∂θ

(6.371) (6.372)

Sustituyendo en H, obtenemos 1 2µ



∂Wr ∂r

2 +

1 2µr2



∂Wθ ∂θ

2 + V (r) = E,

lo cual se puede escribir como " # 2  2  2 ∂W ∂W ∂Wθ r θ 2 r + + 2µ (V − E) = − . ∂r ∂θ ∂θ

(6.373)

(6.374)

El lado izquierdo de la Ec. (6.374) depende solamente de r, mientras que el lado derecho depende de θ. Luego, ambos lados deben ser constantes e iguales. Entonces debemos tener ∂Wθ = αθ = cte, (6.375) ∂θ  2 ∂Wr α2 + 2µ (V − E) = − 2θ . (6.376) ∂r r La Ec. (6.375) implica que pθ = αθ = cte. El valor constante de pθ es la magnitud del momento angular l. Entonces,  I I  I 1 1 1 ∂Wθ Jθ = pθ dθ = dθ = αθ dθ = αθ . (6.377) 2π Cθ 2π Cθ ∂θ 2π Cθ De las Ecs. (6.376) y (6.377), obtenemos r J2 ∂Wr = 2µ(E − V ) − θ2 . ∂r r

(6.378)

´ ANGULO ´ 6.10. VARIABLES DE ACCION-

289

La variable de acci´ on Jr est´a dada por Jr

1 2π

=

1 2π

=

I

1 pr dr = 2π Cr I r

I



Cr

2µ(E − V ) − Cr

∂Wr ∂r

 dr

Jθ2 dr. r2

(6.379)

Puesto que consideramos movimientos finitos, en un ciclo Cr la coordenada radial var´ıa dos veces entre los valores r = rmin y r = rmax . Entonces,

Jr

 Z rmax s  J2 1 k 2 2µ E + − θ2 dr 2π r r rmin Z rmax q 1 1 2µEr2 + 2µkr − Jθ2 dr. π rmin r

= =

(6.380)

Recordemos del Cap. 3 (Sec. 3.4) que rmin y rmax son las ra´ıces de 2µEr2 + 2µkr − l2 = 2µEr2 + 2µkr − Jθ2 = 0 ,

(6.381)

(puesto que Jθ = l) dadas por 

s

k  1− 1+ 2E   s 2 2EJθ  k  1+ 1+ . =− 2E µk 2

rmin = −

rmax



2EJθ2  , µk 2

(6.382)

(6.383)

Para realizar la integraci´on en la Ec. (6.380) de una manera m´as simple, usamos el siguiente artilugio. Obtenemos primero la derivada parcial µ ∂Jr = ∂E π

Z

rmax

rmin

p

2µEr2

r dr . + 2µkr − Jθ2

(6.384)

La integral en la Ec. (6.384) es de la forma Z

r √ dr = 2 ar + br + c

√

ar2 + br + c b + sin−1 a 2(−a)3/2



b + 2ar b2 − 4ac

 ,

(6.385)

´ CAP´ITULO 6. DINAMICA HAMILTONIANA

290

donde identificamos a = 2µE, b = 2µk y c = −Jθ2 . Evaluamos k , 2 2µ (−E)3/2 s 2EJθ2 2 b − 4ac = 2µk 1 + µk 2 s 2EJθ2 b + 2armax = −2µk 1 + , µk 2 s 2EJθ2 b + 2armin = 2µk 1 + . µk 2 b 2(−a)3/2

=

√

(6.386) (6.387)

(6.388)

(6.389)

El primer t´ermino en la integraci´on Ec. (6.385) se anula al evaluarlo en ambos l´ımites rmin y rmax . Entonces la integral Ec. (6.384) evaluada en esos l´ımites da ∂Jr ∂E

= =

µ k √ π π 2 2µ (−E)3/2 r k µ (−E)−3/2 . 2 2

(6.390)

En el problema de Kepler tenemos E < 0 para una ´orbita finita. Ahora integramos la Ec. (6.390) y obtenemos r µ Jr = C + k (−E)−1/2 , 2

(6.391)

donde C es una constante de integraci´on. Para determinar C, notamos que la expresi´ on Ec. (6.391) debe ser v´ alida para cualquier ´orbita con E < 0 en el problema de Kepler. En particular, consideremos una ´orbita circular con r = cte. Entonces, rmin = rmax y Jr = 0 para esa ´ orbita. La energ´ıa correspondiente a una ´orbita circular es µk 2 E=− 2. (6.392) 2Jθ Entonces, la Ec. (6.391) para una ´orbita circular da r s 2 µ 2Jθ 0=C +k ⇒ C = −Jθ . 2 µk 2

(6.393)

Luego, r

µ (−E)−1/2 . (6.394) 2 El Hamiltoniano en funci´ on de las variables de acci´on se puede expresar como Jr = −Jθ + k

H 0 (Jr , Jθ ) = E = −

µk 2 . 2(Jr + Jθ )2

(6.395)

´ ANGULO ´ 6.10. VARIABLES DE ACCION-

291

Las frecuencias est´ an dadas por ωθ

=

ωr

=

∂H 0 µk 2 , = ∂Jθ (Jr + Jθ )3 ∂H 0 µk 2 . = ∂Jr (Jr + Jθ )3

(6.396) (6.397)

Las frecuencias radial y angular son iguales, lo que implica que la ´orbita es cerrada, como se espera. Para expresar la frecuencia en funci´on de la energ´ıa, sustituimos r µ Jr + Jθ = k 2(−E)

(6.398)

en la Ec. (6.396) y obtenemos 2 ωθ = k

r

2 2 (−E)3/2 = µ k

r

2 |E|3/2 . µ

(6.399)

Recordemos del Cap. 3 (Sec. 3.4) que el semieje mayor de una ´orbita el´ıptica est´a relacionado con la energ´ıa por k a= . (6.400) 2|E| Entonces, podemos escribir ωθ en funci´on del semieje mayor como s k −3/2 2π ωθ = a = , (6.401) µ Tθ donde Tθ es el per´ıodo de la ´orbita. Luego, r µ 3/2 a , Tθ = 2π k

(6.402)

que es la Tercera Ley de Kepler (Cap. 3). 5. La temprana formulaci´ on de la Mec´anica Cu´antica de Bohr y Sommerfeld para el atomo de hidr´ ´ ogeno, inclu´ıa los siguientes postulados: a) Cuantizaci´ on de las variables de acci´on, I 1 Jk ≡ pk dqk = nk ~ , 2π Ck

(6.403)

donde ni es un n´ umero entero y ~ es la constante de Planck dividida por 2π. b) La frecuencia de la radiaci´on emitida cuando un electr´on cambia discontinuamente su movimiento, desde una ´orbita con energ´ıa Ei a otra ´orbita con energ´ıa Ef , es Ei − Ef ν= . (6.404) h

´ CAP´ITULO 6. DINAMICA HAMILTONIANA

292

El potencial del ´ atomo de hidr´ ogeno corresponde al potencial de Coulomb, V (r) = −e2 /r, que es similar al potencial de Kepler con k = e2 . Luego, en t´erminos de las variables de acci´ on, la energ´ıa del electr´on en una ´orbita est´a dada por la Ec. (6.395), E=−

mk 2 . 2(Jr + Jθ )2

(6.405)

donde hemos tomado µ ≈ m, masa del electr´on. Utilizando la hip´otesis de cuantizaci´ on, obtenemos me4 E=− 2 2, (6.406) 2~ n donde n es un n´ umero entero, ya que la suma de dos n´ umeros enteros es otro entero. Entonces, la frecuencia emitida en una transici´on Ei → Ef satisface ! 1 me4 1 1 ν= − 2 . (6.407) h 2~2 n2f ni Usando ν = c/λ, podemos expresar la longitud de la onda emitida como ! 1 1 1 = R∞ − 2 , λ n2f ni

(6.408)

donde

me4 , (6.409) 4πc~3 es la constante de Rydberg. Esta teor´ıa temprana permiti´o explicar las longitudes de onda de las l´ıneas principales observadas en el espectro del hidr´ogeno. R∞ ≡

6.11.

Integrabilidad

En el Cap. 2, establecimos que un sistema con s grados de libertad {q1 , . . . , qs } es integrable si posee s cantidades conservadas o constantes del movimiento. En la formulaci´ on Hamiltoniana, la condici´ on de integrabilidad de un sistema puede caracterizarse por la existencia de s funciones independientes y constantes Ik (qi , pi ) = Ck , k = 1, . . . , s, tales que [Ik , Ij ] = 0; ∀k, j, siendo el Hamiltoniano H(qi , pi ) una de esas funciones. Esta es la condici´ on de integrabilidad de Liouville. Cada funci´ on Ik (qi , pi ) = Ck representa una superficie (2s − 1)-dimensional Σk sobre la cual evoluciona la trayectoria (qi (t), pi (t)) en el espacio de fase 2s-dimensional del sistema. Puesto que la trayectoria (qi (t), pi (t)) debe satisfacer simult´aneamente las s condiciones Ik (q1 , . . . , qs , p1 , . . . , ps ) = Ck , esta trayectoria yace sobre el subespacio de la intersecci´ on de las s superficies Σk , el cual corresponde a una superficie s-dimensional definida como Σs ≡ Σ1 ∩ Σ2 ∩ · · · ∩ Σs .

6.11. INTEGRABILIDAD

293

Teorema de Liouville-Arnold. Para sistemas integrables seg´ un la condici´on de Liouville se cumple que: (i) la superficie Σs es difeom´ orfica (i.e., se puede transformar continuamente) a un toroide sdimensional Ts ; y (ii) existe un conjunto can´onico de coordenadas y momentos {ϕi , Ji } tales que las J1 , J2 , . . . , Js definen el toroide Ts y ϕ˙ i = 0 sobre Ts (i.e., {ϕi , Ji } son variables de acci´ on-´ angulo). Aunque la demostraci´ on de este teorema requiere conceptos avanzados de topolog´ıa, podemos visualizar su plausibilidad para sistemas finitos completamente separables. En este caso, vimos que la trayectoria en el espacio de fase de las variables de acci´on-´angulo del sistema efectivamente se puede describir sobre un toroide s-dimensional Ts . Recordemos que un sistema es completamente separable si la soluci´on de su correspondiente ecuaci´ on de Hamilton-Jacobi puede encontrarse por separaci´on de variables en forma aditiva de s funciones Wk , tal que cada funci´on Wk depende de una sola coordenada qk y de un conjunto de s constantes {P1 , . . . , Ps }. En ese caso, es posible reducir la ecuaci´ on de Hamilton-Jacobi a un conjunto de s ecuaciones diferenciales de primer orden para las funciones Wk (qk ); cada ecuaci´on permite encontrar la correspondiente funci´on Wk (qk ) en t´erminos de una integral expl´ıcita sobre la coordenada qk . Luego, un sistema completamente separable siempre es integrable y posee s constantes del movimiento, i.e., {P1 , . . . , Ps }. Por otro lado, un sistema integrable no siempre es completamente separable. Un ejemplo de este tipo de sistemas de enorme inter´es en la F´ısica, es la famosa red de Toda. Morikazu Toda (1917–2010) introdujo un modelo simple para un cristal unidimensional que consiste en una cadena peri´odica de part´ıculas con potenciales de interacci´on exponenciales entre vecinos mas cercanos. Para una red de Toda con tres part´ıculas de igual masa, el Hamiltoniano del sistema se puede expresar como i 1 √ 1 h (2y+2√3x) 1 + e(2y−2 3x) + e−4y − , (6.410) e H = (p2x + p2y ) + 2 24 8 el cual representa un sistema con s = 2 grados de libertad. Puesto que H es independiente del tiempo, H es una constante del movimiento. No existen otras simetr´ıas aparentes que sugieran alguna cantidad conservada adicional en este sistema. No obstante, este sistema posee la siguiente cantidad conservada no trivial, √ √ √ √ I = 8px (p2x − 3p2y ) + (px + 3py )e(2y−2 3x) + (px − 3py )e(2y+2 3x) − 2px e−4y . (6.411) La demostraci´ on de la conservaci´on de la cantidad I se deja para los problemas de este Cap´ıtulo. La existencia de las constantes de movimiento H e I hacen que la red de Toda sea un sistema integrable y, por lo tanto, satisface el Teorema de Liouville-Arnold. Una manera de visualizar la topolog´ıa toroidal del espacio de fase de la red de Toda es dibujar las intersecciones de la trayectoria con una secci´on de superficie dada en el espacio de fase del sistema. Consideremos la intersecci´on de la trayectoria con la superficie x = 0 para H = E = cte. Fijamos x = 0 y despejamos px = px (py , y, I) de la Ec. (6.411); sustituimos px en la Ec. (6.410) para obtener la funci´on H(py , y, I) = E, con I, E constantes.

294

´ CAP´ITULO 6. DINAMICA HAMILTONIANA

La Fig. (6.25) muestra las curvas H(py , y, I) = E as´ı obtenidas, proyectadas en el plano (y, py ).

Figura 6.25: Proyecciones de las trayectorias sobre el plano (y, py ) con x = 0 para el Hamiltoniano H = E de la red de Toda, Ec. (6.410), con valores de energ´ıa E = 1 (izquierda) y E = 256 (derecha), para diferentes valores de I. Las flechas indican los valores m´ aximos de y y py . Las curvas mostradas, correspondientes a valores E = 1 y E = 256, son suaves y cerradas. Esto indica que las variables (x, y, px , py ) son susceptibles de ser transformadas a variables can´ onicas de acci´ on-´ angulo (ϕ1 , ϕ2 , J1 , J2 ) que describen un toroide T2 . Se puede verificar que la ecuaci´ on de Hamilton-Jacobi asociada al Hamiltoniano Ec. (6.410) no es separable en forma aditiva de 2 funciones Wx (x) y Wy (y), debido a la forma no lineal de H. Esto significa que la red de Toda es un sistema integrable, pero no completamente separable. El trompo de Kovaleskaya constituye otro ejemplo de un sistema integrable no trivial. La red de Toda y el trompo de Kovaleskaya revelan que las cantidades conservadas en un sistema din´ amico no siempre est´ an asociadas con simetr´ıas conocidas. El estudio de la integrabilidad y de sistemas con simetr´ıas ocultas o no triviales tiene mucho inter´es en la F´ısica contempor´ anea. En 1986, Nick Tufillaro encontr´o un sistema integrable sorprendentemente simple, con una simetr´ıa oculta. Se trata de una m´aquina de Atwood con dos grados de libertad, tal que una masa (m2 ) se mueve verticalmente mientras la otra masa (m1 ) puede oscilar libremente sobre un plano vertical. Podemos escribir el Hamiltoniano de este sistema como   1 p2r p2 H= + θ 2 + gr(m2 − m1 cos θ), (6.412) 2 m1 + m2 m1 r el cual es una cantidad constante.

6.11. INTEGRABILIDAD

295

Figura 6.26: M´aquina de Atwood con dos grados de libertad, r y θ. Tufillaro demostr´ o que, para valores m2 /m1 = 3, este sistema posee adem´as la siguiente cantidad conservada,          θ pθ θ θ θ 2pθ 2 2 I= sin p cos − + gr sin cos , (6.413) r 4m21 2 r 2 2 2 la cual no es susceptible de ser asociada con ninguna simetr´ıa evidente en el sistema. Luego, al menos para estos valores particulares de par´ametros, este sistema es integrable. La integrabilidad no es una propiedad gen´erica; sino que depende de la existencia de suficientes simetr´ıas en un sistema, algunas de las cuales pueden no resultar obvias. Esta condici´ on es mas bien restrictiva. En realidad, la lista de sistemas integrables conocidos en Mec´ anica Cl´ asica es corta; entre ellos se encuentran: - Un sistema con un grado de libertad. - El oscilador arm´ onico con s grados de libertad. - El problema de 2 cuerpos sujetos a una fuerza central. - Los trompos de Lagrange, Euler y Kovaleskaya. - La m´ aquina de Atwood, donde una masa se mueve verticalmente mientras la otra oscila sobre un plano vertical, para ciertos valores de par´ametros. - La red de Toda. Los sistemas integrables exhiben trayectorias regulares (peri´odicas o cuasiperi´odicas) en su espacio de fase. Sin embargo, la gran mayor´ıa de los sistemas din´amicos son no integrables, como sucede en sistemas disipativos y en muchos sistemas no lineales cuyo espacio de fase posee dimensi´on mayor que dos. La no integrabilidad es una condici´on necesaria, pero no suficiente para la ocurrencia del fen´omeno de caos en un sistema (trayectoria irregular en el espacio de fase, con sensibilidad extrema en las condiciones iniciales). La insuficiencia de simetr´ıas implica la no integrabilidad, y abre las puertas al caos en muchos sistemas din´ amicos en una variedad de contextos.

´ CAP´ITULO 6. DINAMICA HAMILTONIANA

296

6.12.

Problemas

1. Considere una varilla de peso despreciable suspendida por un extremo fijo, de modo que puede oscilar en un plano vertical. Una part´ıcula de masa m se mueve sin fricci´on a lo largo de la varilla. a) Obtenga las ecuaciones de movimiento en la formulaci´on Hamiltoniana. b) Indique si hay alguna cantidad conservada. 2. El Lagrangiano de un sistema se puede expresar L = q˙1 2 +

q˙2 2 + k1 q12 + k2 q˙1 q˙2 , a + bq1

donde a, b, k1 , k2 son constantes. Encuentre las ecuaciones de movimiento en la formulaci´ on Hamiltoniana. 3. El Hamiltoniano de una part´ıcula es p2 − a · p − b · r, 2m donde a y b son vectores constantes. a) Encuentre las ecuaciones de movimiento. b) Si inicialmente la part´ıcula se encuentra en reposo en la posici´on ro , encuentre su posici´ on en funci´ on del tiempo. c) Determine el Lagrangiano del sistema. H=

4. El Lagrangiano de un sistema es p y˙ + cx˙ y˙ + f y 2 x˙ z˙ + g y˙ − k x2 + y 2 , x donde a, b, c, f, g y k son constantes. a) Encuentre el Hamiltoniano del sistema. b) Encuentre las cantidades conservadas en el sistema. L = ax˙ 2 + b

5. El modelo de Lotka-Volterra para la din´amica de predadores z y presas c se describe mediante las ecuaciones c˙ = αc − βcz z˙

= −γz + δcz,

donde α, β, γ, δ son par´ ametros positivos. a) Encuentre las condiciones para que este sistema sea conservativo. b) Encuentre las transformaciones de variables que permiten expresar estas ecuaciones en la forma adimensional x˙ =

x(1 − y)

y˙

µy(x − 1).

=

c) Encuentre una cantidad conservada en t´erminos de las variables adimensionales.

6.12. PROBLEMAS

297

6. Considere un p´endulo formado por una varilla de longitud l y masa despreciable de la cual cuelga una part´ıcula de masa m1 . El soporte del p´endulo consiste en otra part´ıcula de masa m2 , libre de moverse en una direcci´on horizontal. Encuentre las ecuaciones de movimiento para este sistema en la formulaci´on hamiltoniana. 7. El elemento de volumen de un ensemble en el espacio de fase n-dimensional para el dx = f (x) es sistema din´ amico dt ∆Γ =

n Y

dxi .

i=1

Demuestre que d(∆Γ) = ∇ · f ∆Γ. dt 8. La ecuaci´ on de movimiento unidimensional amortiguado y forzado de una part´ıcula de masa m sujeta a un resorte de constante k es x ¨ + 2λx˙ + ω 2 x = A cos νt, donde ω 2 = k/m, λ > 0 es el coeficiente de fricci´on del medio, A es la amplitud de la fuerza externa que act´ ua sobre la part´ıcula y ν es la frecuencia de esa fuerza. Demuestre que este sistema es disipativo. 9. El atractor de R¨ ossler se genera con el siguiente sistema: x˙ =

−y − z

y˙

=

x + ay

z˙

=

b + xz − cz

donde a, b, c son par´ ametros. a) Encuentre la condici´ on para que este sistema sea disipativo. b) Calcule los puntos fijos de este sistema en funci´on de los par´ametros. 10. El Hamiltoniano de un sistema es H = q1 p1 − q2 − p2 − aq12 + bq22 , donde a y b son constantes. a) Obtenga las ecuaciones de Hamilton para este sistema. b) ¿Cu´ ales de las siguientes funciones son integrales de movimiento para este sistema? f=

p1 − aq1 ; q2

g = q1 q2 ;

h = p1 p22 .

11. a) Encuentre las ecuaciones de movimiento en la formulaci´on Hamiltoniana de un p´endulo de masa m y longitud l, cuyo soporte se mueve sin fricci´on sobre la par´abola y = ax2 en el plano vertical (x, y). b) Determine si existe alguna cantidad conservada en el sistema.

´ CAP´ITULO 6. DINAMICA HAMILTONIANA

298

12. a) Encuentre las ecuaciones de movimiento de un p´endulo esf´erico de longitud a y masa m, con coordenadas (θ, φ), en la formulaci´on Hamiltoniana. b) Eval´ ue el siguiente par´entesis de Poisson para este sistema: [lx , pφ ]. 13. El Hamiltoniano de una part´ıcula que se mueve en dos dimensiones es: H = |p|n − a|r|−n ,

a = cte.

a) Encuentre las ecuaciones de Hamilton para el movimiento. b) Determine el Lagrangiano del sistema. c) ¿Cu´ al de las siguientes funciones es una integral de movimiento para este sistema? f=

r·p − Ht , n

g = |p|.

14. El siguiente Hamiltoniano bidimensional i 1 √ 1 1 h (2y+2√3x) + e(2y−2 3x) + e−4y − , H = (p2x + p2y ) + e 2 24 8 aparece asociado a una red de Toda, un sistema de gran inter´es en F´ısica No Lineal. a) Encuentre las ecuaciones de movimiento para este sistema. b) Demuestre que este sistema posee la siguiente cantidad conservada, √ √ √ √ I = 8px (p2x − 3p2y ) + (px + 3py )e(2y−2 3x) + (px − 3py )e(2y+2 3x) − 2px e−4y . La existencia de las constantes de movimiento H e I hace que este sistema sea integrable. Sin embargo, la cantidad I no est´a relacionada con ninguna simetr´ıa evidente del sistema. c) Calcule I en el l´ımite de x y y peque˜ nos. 15. El Lagrangiano de un trompo con momentos principales de inercia I11 = I22 = 2I33 y un punto fijo, movi´endose en el campo gravitacional terrestre, en t´erminos de los angulos de Euler es ´ 2   I  33 L = I33 θ˙2 + φ˙ 2 sin2 θ + ψ˙ + φ˙ cos θ − mgd sin θ sin ψ, 2 donde I33 es el momento de inercia con respecto al eje de simetr´ıa axial del trompo, m es su masa, y d es la distancia entre el punto fijo del trompo y su centro de masa. Este sistema se conoce como el trompo de Kovalevskaya. a) Encuentre las ecuaciones de movimiento en la formulaci´on Hamiltoniana. b) ¿Cu´ ales son las cantidades conservadas para este sistema? c) Demuestre que la siguiente cantidad, denominada la constante de Kovalevskaya y no asociada a ninguna simetr´ıa obvia, se conserva en este sistema,  2  i mgd h 2 K = θ˙2 − φ˙ 2 sin2 θ + 2 θ − φ˙ 2 sin2 θ sin ψ − 2θ˙φ˙ sin θ cos ψ sin θ I33  2 mgd + sin2 θ. I33

6.12. PROBLEMAS

299

16. El vector de Laplace-Runge-Lenz para el problema de Kepler se define como A = p × l − mkˆr. Calcule [Ai , lj ]. 17. Eval´ ue los siguientes par´entesis de Poisson: a) [l, (r · p)]; b) [p, rn ]; c) [p, (a · r)n ]; donde a es un vector constante. 18. Considere la transformaci´ on de coordenadas q 2m = Q2 + P 2 ,

P = Q tan np ;

donde m y n son constantes. a) Determine los valores de m y n para los cuales esta transformaci´on es can´onica. b) Encuentre una funci´ on generadora de tipo F3 (p, Q) para esta transformaci´on can´onica. 19. Una part´ıcula de masa m = 1 se mueve sin fricci´on a lo largo de una varilla que gira extendida sobre una superficie horizontal con velocidad angular constante ω. a) Demuestre que las soluciones de las ecuaciones de Hamilton para este sistema son q = iλ [P e−ωt + Qeωt ] , p = −iλω [P e−ωt − Qeωt ] ; donde q es la coordenada que describe la posici´on de la part´ıcula sobre la varilla, p es el momento, y P, Q y λ son constantes. b) Calcule el valor de λ para que una transformaci´on de variables (q, p) a (Q, P ) sea can´ onica.

20. Considere la transformaci´ on de coordenadas y momentos Q = q α eβp ,

P = q α e−βp ;

donde α y β son constantes. a) Determine α y β tal que esta transformaci´on sea can´onica. b) Demuestre que una funci´on generadora de esta transformaci´on es F =−

Q2 2p e . 2

´ CAP´ITULO 6. DINAMICA HAMILTONIANA

300

21. a) Demuestre que la siguiente transformaci´on es can´onica: 1 p ( 2P1 sin Q1 + P2 ), mω 1 p √ ( 2P1 cos Q1 + Q2 ), mω p 1√ mω( 2P1 cos Q1 − Q2 ), 2 p 1√ mω(− 2P1 sin Q1 + P2 ). 2 √

x = y

=

px

=

py

=

b) Encuentre las ecuaciones de movimiento en la formulaci´on hamiltoniana en t´erminos de las variables (Q1 , Q2 , P1 , P2 ) para una part´ıcula de masa m y carga q que se mueve en el plano (x, y), sujeta al potencial vector A = (−yB/2, xB/2, 0), usando ω = qB/mc. 22. Considere la transformaci´ on infinitesimal de traslaci´on R = r +  a,

P = p,

donde a es un vector fijo en el espacio y  es un par´ametro infinitesimal. Encuentre G tal que esta transformaci´ on sea generada por la funci´on F2 = r · P + G(r, P). 23. Una part´ıcula de masa m se mueve en una dimensi´on q con una energ´ıa potencial V (q) y sujeta a una fuerza de fricci´ on −2mγ q. ˙ a) Demuestre que el Lagrangiano del sistema es   1 L = e2γt mq˙2 − V (q) . 2 b) Encuentre las ecuaciones de Hamilton para la part´ıcula. c) Si V (q) = 21 mω 2 q 2 , ω = cte, demuestre que la funci´on generadora F2 (q, P, t) = eγt qP permite transformar a un Hamiltoniano constante. 24. Las ecuaciones de transformaci´ on entre dos conjuntos de coordenadas son Q= P =

√ log(1 + q cos p), √ √ 2(1 + q cos p) q sin p.

a) Demuestre que la transformaci´ on es can´onica. b) Demuestre que la funci´ on generadora de esta transformaci´on es F3 (p, Q) = −(eQ − 1)2 tan p.

6.12. PROBLEMAS

301

25. Considere la transformaci´ on infinitesimal de rotaci´on R= P=

r + (Φ × r) p + (Φ × p) ,

donde Φ es el vector a lo largo del eje de rotaci´on, |Φ| = φ es el ´angulo de rotaci´on y  es un par´ ametro infinitesimal. a) Demuestre que esta transformaci´on es can´onica. b) Suponga que esta transformaci´on es generada por la funci´on F2 = r · P + G(r, P). Determine G. 26. Una part´ıcula de masa m se suelta en reposo desde una altura h a lo largo de un plano inclinado sin fricci´ on, el cual forma un ´angulo α con el suelo. a) Encuentre la posici´ on de la part´ıcula sobre el plano en funci´on del tiempo, a partir de la correspondiente ecuaci´on de Hamilton-Jacobi para este sistema. b) Encuentre el momento de la part´ıcula en funci´on del tiempo. 27. La energ´ıa cin´etica relativista de una part´ıcula de masa m es p T = (cp)2 + (mc2 )2 , donde c es la velocidad de la luz. Considere una part´ıcula relativista sujeta a la fuerza gravitacional terrestre F = −mgˆ y, tal que inicialmente se suelta del reposo en y = 0. Determine la trayectoria de la part´ıcula en funci´on del tiempo a partir de la correspondiente ecuaci´ on de Hamilton-Jacobi para este sistema. 28. Encuentre la expresi´ on de la acci´on correspondiente a un p´endulo simple a partir de la ecuaci´ on de Hamilton-Jacobi para este sistema. 29. a) Empleando la correspondiente ecuaci´on de Hamilton-Jacobi, calcule la posici´on en funci´ on del tiempo para una part´ıcula libre con masa m y energ´ıa E que se encuentra en el origen en t = 0. b) Encuentre la acci´ on en funci´on del tiempo. 30. Una part´ıcula de masa m y energ´ıa E se mueve en el potencial unidimensional V (q) = k/q 2 , donde k es constante. a) Encuentre la acci´ on S(q, t) asociada a esta part´ıcula. b) Encuentre la posici´ on de la part´ıcula en funci´on del tiempo. 31. Una part´ıcula sujeta a un potencial unidimensional posee el siguiente Hamiltoniano, H=

p2 − λ tx, 2m

λ = cte.

a) ¿Es conservativo este sistema din´amico en su espacio de fase? b) Si inicialmente la part´ıcula se encuentra en reposo en x = 0, calcule su trayectoria. c) Demuestre que la funci´ on f (x, p) = 9λm2 x2 − 2p3 es una integral de movimiento para este sistema. d) ¿Es este sistema completamente separable?

302

´ CAP´ITULO 6. DINAMICA HAMILTONIANA

32. Un proyectil de masa m se lanza con velocidad vo desde el suelo, formando un ´angulo α con la horizontal. a) Encuentre la trayectoria del proyectil en funci´on del tiempo, usando el formalismo de Hamilton-Jacobi. b) Encuentre la acci´ on para este sistema. 33. Considere un oscilador arm´ onico bidimensional de masa m y cuyas constantes de resorte son kx y ky en las direcciones x y y, respectivamente. a) Encuentre las coordenadas y momentos de la part´ıcula en funci´on del tiempo utilizando ecuaci´ on de Hamilton-Jacobi para este sistema. b) Encuentre la acci´ on para este sistema. 34. Una part´ıcula con carga q y masa m se mueve en un plano sujeta a un potencial central V = 21 kr2 y a un campo magn´etico perpendicular al plano, tal que A = 12 B × r. a) Determine la ecuaci´ on de Hamilton-Jacobi para este sistema, en coordenadas polares. b) Encuentre la soluci´ on para la trayectoria de la part´ıcula en t´erminos de integrales expl´ıcitas. 35. Considere una curva cerrada C(t) en un instante t en el espacio de fase (qi , pi ) de un sistema. Demuestre que la integral XI I= pi dqi i

C(t)

es una constante del movimiento. 36. Una part´ıcula de masa m se encuentra inicialmente en x = 0 con velocidad vo x ˆ y se mueve en el potencial unidimensional x x V (x) = k sin2 ∈ [−π/2, π/2], , a a y V (x) = ∞, para xa ∈ / [−π/2, π/2], con k, a constantes. Utilizando la ecuaci´on de Hamilton-Jacobi, encuentre el per´ıodo de oscilaci´on de la part´ıcula en este potencial si x  a. 37. Una part´ıcula con masa m y energ´ıa E se mueve peri´odicamente en el potencial unidimensional V = k|x|, k = cte. Usando variables de acci´on-´angulo, encuentre el per´ıodo del movimiento de la part´ıcula. 38. Una part´ıcula de masa m se mueve en una dimensi´on sujeta al potencial V (x) = k sec2 (x/a). a) Encuentre una expresi´ on para la acci´on S utilizando ecuaci´on de Hamilton-Jacobi para este sistema. b) Encuentre la frecuencia de las oscilaciones de la part´ıcula usando variables de acci´ on-´ angulo. Calcule esta frecuencia en el l´ımite de peque˜ nas amplitudes.

6.12. PROBLEMAS

303

39. Una part´ıcula de masa m y energ´ıa E se mueve en el potencial unidimensional V (q) =

1 2 λ kq + 2 , 2 q

k, λ = cte, q > 0.

a) Dibuje el espacio de fase del sistema. b) Calcule la variable de acci´on. 40. Considere un oscilador arm´onico con masa m y constante de resorte k que puede moverse en un plano. a) Encuentre el Hamiltoniano del sistema en coordenadas polares. b) Calcule las frecuencias del movimiento usando variables de acci´on-´angulo. 41. Utilizando el m´etodo de las variables de acci´on-´angulo, demuestre que el per´ıodo de libraci´ on de un p´endulo simple, de masa m y longitud l, y cuya amplitud inicial es θ0 , se puede expresar como s Z θ0 √ dθ l √ T =2 2 . g 0 cos θ − cos θ0 42. Considere una part´ıcula de masa m sujeta a moverse sin fricci´on sobre un cono invertido, con ´ angulo de vertice β, en el campo gravitacional terrestre. Calcule las frecuencias del movimiento mediante el uso de variables de acci´on-´angulo para este sistema. 43. Considere el Hamiltoniano H(qi , pi ) =

s X

βk Gk (qi , qi ),

k=i

donde los coeficientes βk son constantes y Gk (qi , qi ) = ap2k + (b + c)pk qk + dqk2 − (ad − bd)

X (pi qk − qk pi )2 i6=k

αk − αi

,

k = 1, . . . , s,

con a, b, c, d y αk distintas constantes. Demuestre que las funciones Gk (qi , qi ) son constantes del movimiento y, por lo tanto, este sistema es integrable.

304

´ CAP´ITULO 6. DINAMICA HAMILTONIANA

Ap´ endice A

Lagrangiano de una part´ıcula relativista Hacia finales del siglo XIX, la F´ısica consist´ıa en dos grandes teor´ıas para explicar la mayor´ıa de los fen´ omenos conocidos hasta entonces: Mec´ anica, expresada en las leyes de Newton, que presentaba una descripci´on unificada de los fen´ omenos del movimiento. Electromagnetismo, contenido en las ecuaciones de Maxwell, que representaba la unificaci´ on de la descripci´on de los fen´omenos el´ectricos, magn´eticos y ´opticos, y que condujo al descubrimiento de las ondas electromagn´eticas y de la naturaleza de la luz. En sus estudios sobre el movimiento, Galileo estableci´o el principio de relatividad: Principio de Relatividad de Galileo. Las leyes de la Mec´ anica son las mismas en diferentes sistemas de coordenadas inerciales que se encuentran en movimiento relativo uniforme. Dados dos sistemas de coordenadas S con origen O, y S’ con origen O0 , tal que O0 se mueve con velocidad constante v con respecto a O, las transformaciones de Galileo entre estos sistemas de coordenadas son r0 = r − vt t0 = t.

(A.1)

Si v = vˆ x, las transformaciones de Galileo resultan en x0 = x − vt y0 = y z0 = z t0 = t. 305

(A.2)

´ APENDICE A. LAGRANGIANO DE UNA PART´ICULA RELATIVISTA

306

Figura A.1: Transformaciones de Galileo para sistemas inerciales en movimiento relativo. Derivando con respecto al tiempo la Ec. (A.1), se obtiene la suma de velocidades, dr dr0 = 0 +v dt dt ⇒ u = u0 + v,

(A.3)

puesto que dt = dt0 y donde u es la velocidad de una part´ıcula medida en S y u0 corresponde a la velocidad de esa part´ıcula medida en S’. En particular, si v = vˆ x, la suma de velocidades da u0x = ux − v. (A.4) La forma de las leyes de Newton es invariante bajo las transformaciones de Galileo. Consideremos la Segunda Ley de Newton en S’, m

d2 r0 = −∇0 V (r0 ) = F(r0 ). dt02

(A.5)

Tenemos, dr dr0 = − v, dt0 dt   d2 r0 d dr d2 r − v = = . dt02 dt dt dt2

(A.6) (A.7)

Por otro lado, notamos que para cualquier f , ∂f ∂f ∂x ∂f = = , ∂x0 ∂x ∂x0 ∂x

(A.8)

y similarmente ∂f ∂f = , 0 ∂y ∂y

∂f ∂f = . 0 ∂z ∂z

(A.9)

Luego, ∇0 =



∂ ∂ ∂ , 0, 0 0 ∂x ∂y ∂z



 =

∂ ∂ ∂ , , ∂x ∂y ∂z

 = ∇.

(A.10)

307 La coordenada r0 se puede expresar, en general, como la distancia entre la part´ıcula en consideraci´ on y otra part´ıcula (o influencia externa) con la cual aquella interact´ ua. Es decir, r0 = r0i − r0j = ri − rj = r. (A.11) Luego, ∇0 V (r0 ) = ∇V (r). De acuerdo a las transformaciones de Galileo Ec. (A.1), la Ec. (A.5) en el sistema de referencia S’ se expresa en el sistema S como m

d2 r = −∇V (r) = F(r). dt2

(A.12)

Por lo tanto, la Segunda ley de Newton es invariante (conserva su forma) bajo las transformaciones de Galileo, y el principio de relatividad de Galileo es v´alido para estas transformaciones. Sin embargo, en contraste con el comportamiento de las leyes de la Mec´anica, las leyes del Electromagnetismo no son invariantes ante las transformaciones de Galileo. Las ecuaciones de Maxwell para los campos E(r, t) y B(r, t) en el sistema S son ∇ · E = 4πρ 1 ∂B ∇×E+ =0 c ∂t ∇·B=0 1 ∂E 4π ∇×B− = J. c ∂t c

(A.13) (A.14) (A.15) (A.16)

donde c es la velocidad de la luz en el vac´ıo. Las ecuaciones de Maxwell fuera de las fuentes (ρ = 0, J = 0) implican que, tanto el campo el´ectrico E como el campo magn´etico B, satisfacen la ecuaci´on de onda electromagn´etica en S, 1 ∂2ψ ∇2 ψ − 2 2 = 0, (A.17) c ∂t donde ψ = Ej , o ψ = Bj (componente j del campo el´ectrico o del campo magn´etico). Consideremos la componente Ej (r0 , t0 ) en S’. Entonces, X ∂Ej ∂x0 X ∂Ej ∂Ej ∂Ej ∂Ej 0 0 i (r , t ) = + = − 0 ∂t0 0 vi + ∂t , 0 ∂t0 ∂x ∂t ∂x i i i i

(A.18)

donde hemos usado las transformaciones de Galileo x0i = xi − vi t, t0 = t ∂x0i ∂x0i ⇒ = = −vi . 0 ∂t ∂t

(A.19) (A.20)

Luego, ∂Ej ∂Ej = + v · ∇0 Ej . ∂t ∂t0

(A.21)

308

´ APENDICE A. LAGRANGIANO DE UNA PART´ICULA RELATIVISTA

Por lo tanto, las ecuaciones de Maxwell son invariantes bajo las transformaciones de Galileo s´ olo si v = 0; es decir, conservan su forma solamente en un sistema de referencia inercial en reposo con respecto al medio en el cual se propaga una onda electromagn´etica. (El “medio” correspondiente al vac´ıo se denominaba ´eter ). Ante esta situaci´ on, se presentan los siguientes escenarios posibles: 1. Las transformaciones de Galileo son correctas, tanto para la Mec´anica como para el Electromagnetismo, lo cual implica que las ecuaciones de Maxwell son incorrectas. 2. Las transformaciones de Galileo son v´alidas para la Mec´anica en todo sistema inercial, pero las ecuaciones de Maxwell s´olo son v´alidas en un sistema inercial en reposo con respecto al ´eter (v = 0). 3. Tanto las leyes de la Mec´ anica como las del Electromagnetismo son invariantes en todo sistema inercial, pero no bajo las transformaciones de Galileo. Esto implica que las leyes de Newton son incorrectas y que se requiere otra transformaci´on de coordenadas. El ´exito de las ecuaciones de Maxwell en la predicci´on de las ondas electromagn´eticas (experimentos de Hertz, Marconi, y otros) sugiere descartar el escenario (i). Por otro lado, la falla en la detecci´ on del movimiento relativo al ´eter (experimento de MichelsonMorley) requiere descartar la posibilidad (ii). El escenario (iii) fue el camino elegido por Einstein en 1905. Postulados de la Relatividad Especial. 1) Las leyes de la Naturaleza (los resultados de los experimentos) son las mismas en todos los sistemas inerciales. 2) La velocidad de la luz es constante en todos los sistemas inerciales. Seg´ un el postulado 1, la ecuaci´ on de onda electromagn´etica se cumple en los sistemas de referencia S y S’. El postulado 2 implica que la forma de una onda electromagn´etica debe ser igual en los sistemas de referencia inerciales S y S’. Entonces, consideremos un pulso esf´erico de luz emitido en el origen O de S en el instante t = t0 = 0, cuando ambos or´ıgenes O y O0 coinciden.

Figura A.2: Pulso electromagn´etico emitido en O cuando los or´ıgenes O y O0 coinciden.

309 Luego, En S: |r| = ct En S’: |r0 | = ct0 ,

(A.22)

donde c es la magnitud constante de la velocidad de la luz en ambos sistemas. En t´erminos de las coordenadas en cada sistema, tenemos x2 + y 2 + z 2 = c2 t2 x02 + y 02 + z 02 = c2 t02 .

En S: En S’:

(A.23)

Las relaciones (A.23) no son compatibles con las transformaciones de Galileo. Esto se puede verificar sustituyendo las transformaciones Ecs. (A.2) en la relaci´on (A.23) para S’, lo que da x2 − 2vxt + v 2 t2 + y 2 + z 2 = c2 t2 , (A.24) y lo cual es distinto de la expresi´on correspondiente en S. Las transformaciones compatibles con los postulados de la Relatividad deben ser lineales en t y en x para preservar la forma de una onda esf´erica en ambos sistemas de coordenadas. Adem´ as, deben tender a las transformaciones de Galileo cuando la velocidad relativa entre los dos sistemas es peque˜ na, puesto que la suma de velocidades derivada de esas transformaciones, Ec. (A.3), funciona en las pr´actica en tales situaciones. La simetr´ıa de los sistemas sugiere invarianza en las coordenadas y, x perpendiculares a la direcci´ on del movimiento. Entonces, si la velocidad de O0 es v = vˆ x, supongamos unas transformaciones lineales de la forma x0 = γ(x − vt) t0 = γ(t − f x) y0 = y z 0 = z,

(A.25)

donde γ y f son factores a determinar, tales que γ → 1 y f → 0 cuando v es peque˜ na. Sustituci´ on de las transformaciones (A.25) en la relaci´on (A.23) para S’ consistente con el segundo postulado, da   v2 2 2 2 2 2 2 2 2 x γ (1 − c f ) + 2(f c − v)γ xt + y + z = 1 − 2 γ 2 c2 t2 . (A.26) c Comparando con la relaci´ on (A.23) para S, requerimos f c2 − v = 0  v2 1− 2 =1 c

(A.27)

γ 2 (1 − f 2 c2 ) = 1

(A.29)

γ2



(A.28)

lo cual conduce a f=

v , c2

 γ=

1−

v2 c2

−1/2 .

(A.30)

310

´ APENDICE A. LAGRANGIANO DE UNA PART´ICULA RELATIVISTA Luego, las transformaciones buscadas son x − vt x0 = r v2 1− 2 v c t − 2x t0 = r c v2 1− 2 c y0 = y z 0 = z.

(A.31)

Las Ecs. (A.31) son las transformaciones de Lorentz. La ecuaci´on de una onda electromagn´etica y, por tanto, las ecuaciones de Maxwell, son invariantes bajo estas transformaciones. Se acostumbra emplear la notaci´ on β ≡ v/c, con la cual las transformaciones de Lorentz se escriben en forma compacta como x0 = γ(x  − βct) β t0 = γ t − x c y0 = y z 0 = z.

(A.32)

Note que β ≤ 1 y γ ≥ 1. En el l´ımite de peque˜ nas velocidades v  c, tenemos β  1 y γ ≈ 1, y las transformaciones de Lorentz se aproximan a las transformaciones de Galileo, x0 ≈ x − vt t0 ≈ t.

(A.33)

Las transformaciones de Lorentz inversas se pueden obtener haciendo v → −v, x → −x0 , t → t0 , en las Ecs. (A.32), 0 0 x = γ(x  + βct ) β t = γ t 0 + x0 c y = y0 z = z0.

(A.34)

A partir de las transformaciones de Lorentz se obtiene la regla de adici´on de velocidades,   dx0 dx dt 0 ux = 0 = γ − βc 0 , dt dt0 dt (A.35) dx dx dt dt = = ux 0 , dt0 dt dt0 dt

311 luego, u0x

dt = γ (ux − βc) 0 = γ (ux − βc) dt   dt0 β = γ 1 − ux , dt c



dt0 dt

−1 ,

(A.36) (A.37)

lo cual conduce a

ux − v . (A.38) β 1 − ux c La relaci´ on inversa de la suma de velocidades se obtiene haciendo v → −v, ux → u0x , en la Ec. (A.38), u0 + v ux = x . (A.39) β 1 + u0x c u0x =

Contracci´ on de la longitud. Consideremos un objeto de longitud Lo en reposo a lo largo del eje x en el sistema S. Luego, independiente de t, Lo = x2 − x1 , (A.40) Consideremos la longitud del objeto medida en el sistema S’. Un observador en S’ debe realizar una medida de los extremos x02 y x01 simult´aneamente en S’, es decir, para un mismo tiempo t0 , L0 = x02 (t0 ) − x01 (t0 ). (A.41)

Figura A.3: Contracci´on de la longitud. Las transformaciones de Lorentz, Ecs. (A.32), dan las coordenadas x1 y x2 en S para un mismo tiempo t0 en S’ , x2 = γ(x02 + βct0 ) x1 = γ(x01 + βct0 ) ⇒ x2 − x1 = γ(x02 − x01 ) .

(A.42)

312

´ APENDICE A. LAGRANGIANO DE UNA PART´ICULA RELATIVISTA

Luego, Lo L = = Lo γ

r

0

1−

v2 . c2

(A.43)

Como γ > 1, la longitud L0 del objeto medida en S’ es menor que la longitud Lo en S donde el objeto se encuentra en reposo. Dilataci´ on del tiempo. Un observador con un reloj en S, presente en dos eventos que ocurren en las mismas coordenadas con respecto al observador, mide el tiempo propio entre esos eventos. El tiempo propio entre dos eventos que ocurren en un mismo punto x de S es τ ≡ t2 (x) − t1 (x).

(A.44)

Las transformaciones de Lorentz inversas, Ecs. (A.34), dan para ese intervalo de tiempo en S’,     β β 0 0 0 (A.45) ∆t = t2 − t1 = γ t2 − x − γ t1 − x = γ(t2 − t1 ). c c Luego, ∆t0 = γτ = r

τ v2 1− 2 c

.

(A.46)

Figura A.4: Un observador en S mide el tiempo propio entre dos eventos que ocurren en las mismas coordenadas en S. Puesto que γ > 1, el intervalo de tiempo medido en S’ es mayor que el tiempo propio medido en S. En general, el tiempo propio es el intervalo de tiempo m´as corto posible entre dos eventos.

313 Din´ amica relativista. Los postulados de la Relatividad y las transformaciones de Lorentz son compatibles con las ecuaciones de Maxwell, pero requieren modificaciones de las leyes de Newton. Einstein propuso redefinir el momento lineal de una part´ıcula que se mueve con velocidad u en un sistema S, del siguiente modo pi = m

dxi , dτ

(A.47)

donde τ es el tiempo propio (el tiempo medido en el sistema donde la part´ıcula est´a en reposo), el cual est´ a definido un´ıvocamente (tiene el mismo valor) para todos los observadores inerciales. Tenemos, dxi dxi dt = = γui . (A.48) dτ dt dτ Luego, el momento relativista es p = mγu = r

mu u2 1− 2 c

,

(A.49)

donde u es la velocidad de la part´ıcula en el sistema de referencia S. La Segunda Ley de Newton relativista se escribe entonces, F=

dp . dt

(A.50)

donde p est´ a definido en la Ec. (A.49). En esta forma, la Segunda Ley de Newton es invariante bajo las transformaciones de Lorentz, dp dp0 = 0. dt dt u Note que en el l´ımite de bajas velocidades, β =  1, obtenemos p ≈ mu. c

(A.51)

Invariantes relativistas. Existen cantidades escalares que tienen el mismo valor en todos los sistemas inerciales. Una cantidad cuyo valor es independiente del sistema de coordenadas se denomina invariante de Lorentz. Por ejemplo, la invariancia de la cantidad s2 = (ct)2 − x2 − y 2 − z 2 ,

(A.52)

se deduce inmediatamente de las Ecs. (A.23). Un invariante de Lorentz es el intervalo entre dos eventos, definido como ∆s2 = (c∆t)2 − ∆x2 − ∆y 2 − ∆z 2 , lo cual se demuestra directamente usando las transformaciones de Lorentz.

(A.53)

´ APENDICE A. LAGRANGIANO DE UNA PART´ICULA RELATIVISTA

314

Igualmente, la cantidad γ 2 (1 − β 2 ) = 1

(A.54)

tiene el mismo valor en todos los sistemas. Multiplicando la Ec. (A.54) por la constante m2 c4 , obtenemos otra cantidad invariante, m2 c4 γ 2 − p2 c2 = m2 c4 = cte.

(A.55)

E ≡ γmc2 ,

(A.56)

Energ´ıa relativista. Si definimos la cantidad

entonces podemos expresar la Ec. (A.55) como E 2 − p2 c2 = m2 c4 = cte.

(A.57)

E 2 − p2x c2 − p2y c2 − p2z c2 = cte.

(A.58)

lo cual equivale a

Los t´erminos en la Ec. (A.57) poseen unidades de energ´ıa al cuadrado. Luego, la cantidad E es un tipo de energ´ıa que se puede interpretar f´ısicamente si hacemos una expansi´on v en t´erminos de β =  1, c   1 E = mc2 (1 − β 2 )−1/2 = mc2 1 + β 2 − O(β 4 ) (A.59) 2 Luego, 1 E = mc2 + mv 2 + · · · 2

(A.60)

El primer t´ermino en la Ec. (A.60) es constante y no depende de la velocidad de la part´ıcula, Eo = mc2 ,

(A.61)

por lo que representa la energ´ıa en reposo de la masa m. El segundo t´ermino en la Ec. (A.60) corresponde a la energ´ıa cin´etica de la part´ıcula para bajas velocidades. Luego, la cantidad E se interpreta como la energ´ıa total relativista de una part´ıcula libre, E=r

mc2 2

v 1− 2 c

= mc2 + Trel .

(A.62)

315 Transformaciones relativistas del momento y de la energ´ıa. Comparando la Ec. (A.58) con la Ec. (A.52), podemos inferir que las cantidades E/c2 , px , py y pz deben transformarse del mismo modo como lo hacen t, x, y y z, respectivamente. Esto es, p0x = γ(px − βc E) E 0 = γ(E − βcpx ) p0y = py p0z = pz .

(A.63)

Lagrangiano para una part´ıcula relativista. Las leyes de Newton se cumplen en Relatividad con la definici´on apropiada de p, dada en la Ec. (A.49). Luego, las ecuaciones de Lagrange tambi´en se deben cumplir para un Lagrangiano L definido apropiadamente,   d ∂L ∂L − = 0. (A.64) dt ∂ x˙ i ∂xi Consideremos una part´ıcula con velocidad v y posici´on r en un potencial V (r). Luego, ∂L = pi = γmx˙ i , ∂ x˙ i

∂L ∂V = = Fi . ∂xi ∂xi

(A.65)

Supongamos la velocidad a lo largo del eje xi , i.e., x˙ i = v. Entonces, ∂L ∂L = = γmv , ∂ x˙ i ∂v luego, la dependencia funcional del Lagrangiano con la velocidad es Z Z v dv β dβ p L(v) = m r = mc2 , 2 1 − β2 v 1− 2 c

(A.66)

(A.67)

lo cual da L(v) = −mc2 (1 − β 2 )1/2 .

(A.68)

Para β  1, L(v) se aproxima a la energ´ıa cin´etica newtoniana L(v) ≈

1 mv 2 + · · · 2

(A.69)

Luego, el Lagrangiano para una part´ıcula relativista debe tener la forma L = L(v)−V (r), es decir, r v2 2 L = −mc 1 − 2 − V (r). (A.70) c

´ APENDICE A. LAGRANGIANO DE UNA PART´ICULA RELATIVISTA

316

Note que L 6= E − V , y L 6= Trel − V . Sin embargo, puesto que L no depende expl´ıcitamente del tiempo, la funci´ on de energ´ıa es una cantidad constante para este sistema, X ∂L x˙ i − L = cte. (A.71) E= ∂ x˙ i i Utilizando L de la Ec. (A.70), obtenemos P p x˙ i x˙ i E = mp i + mc2 1 − β 2 + V, 1 − β2 lo cual se reduce a E=p

mc2 1 − β2

+ V = E + V = cte.

(A.72)

(A.73)

La inclusi´ on de potenciales dependientes de la velocidad no representa problema, y se hace del mismo modo que en el caso no relativista. En particular, recordemos que en Mec´ anica Cl´ asica la energ´ıa potencial de una part´ıcula con carga q que se mueve con velocidad v en un campo electromagn´etico caracterizado por los potenciales ϕ y A est´ a dada por q V = qϕ − A · v . (A.74) c La fuerza de Lorentz sobre una part´ıcula en un campo electromagn´etico se deriva de este potencial. Luego, el Lagrangiano relativista para una part´ıcula en un campo electromagn´etico es r v2 q 2 L = −mc 1 − 2 − qϕ + A · v. (A.75) c c

Ejemplo. 1. Part´ıcula con masa m sujeta a la fuerza F = ma, donde a es una constante. El potencial es V = −max y el Lagrangiano relativista es p L = −mc2 1 − β 2 + max, donde β = x/c. ˙ La ecuaci´ on de Lagrange para x da: ! d β a p = . dt c 1 − β2

(A.76)

(A.77)

Integrando, tenemos β p

1−

β2

=

at + α c

⇒

β=p

at + α c2

+ (at + α)2

(A.78)

317 donde α es una constante de integraci´on. Integrando otra vez, Z (at + α)dt x=c p (A.79) c2 + (at + α)2  p c p 2 x − x0 = c + (at + α)2 − c2 + a2 (A.80) a donde hemos introducido la condici´on inicial x = x0 en t = 0. Si la part´ıcula se encuentra en reposo x(0) ˙ = 0 en el origen x0 en t = 0, entonces α = 0 y tenemos 

c2 x+ 2 a

2

− c2 t 2 =

c4 , a2

(A.81)

lo cual corresponde a una hip´erbola en el plano (x, t). Note que en el l´ımite no relativista, β  1, la Ec. (A.78) da la trayectoria par´abolica usual en el plano (x, t), 1 x ≈ at2 + αt + x0 . (A.82) 2

318

´ APENDICE A. LAGRANGIANO DE UNA PART´ICULA RELATIVISTA

Ap´ endice B

Transformaciones de Legendre Dada una funci´ on f (x), con x como variable, una transformaci´on de Legendre permite encontrar otra funci´ on g(y) que contiene la misma informaci´on que f (x), usando como argumento la pendiente y = f 0 (x).

Figura B.1: Transformaci´on de Legendre.

Cada punto (f, x) en la curva f (x) define una l´ınea recta que pasa por un punto (0, b) con pendiente y = f 0 (x). El conjunto de todas las rectas (y, b) describe las envolventes de la curva f (x) y contiene la misma informaci´ on que f (x). Ambas descripciones, en t´erminos de (f, x) o de (y, b), son equivalentes. De la Fig. (B.1), tenemos y=

f −b ⇒ (−b) = yx − f x

(B.1)

Por otro lado, y(x) =

df ⇒ x = x(y) dx 319

(inversi´on).

(B.2)

´ APENDICE B. TRANSFORMACIONES DE LEGENDRE

320 Definimos la funci´ on

g(y) ≡ yx(y) − f (x(y)).

(B.3)

La funci´ on g(y) se denomina la transformada de Legendre de f (x). Matem´aticamente, los puntos (g, y) corresponden a (−b, y) y, por lo tanto, describen la misma curva que f (x). Si tenemos una funci´ on de s variables f (x1 , x2 , . . . , xs ), existen s derivadas yi =

∂f = yi (x1 , x2 , . . . , xs ), ∂xi

(i = 1, 2, . . . , s).

(B.4)

Mediante inversi´ on, es posible obtener las s variables xi = xi (y1 , y2 , . . . , ys ).

(B.5)

La transformada de Legendre de f (x1 , x2 , . . . , xs ) se define como g(y1 , y2 , . . . , ys ) =

s X

xi yi − f (x1 , x2 , . . . , xs )

(B.6)

i=1

donde las variables xi se sustituyen usando las Ecs. (B.5). La transformada de Legendre se puede aplicar a un subconjunto de los argumentos de una funci´ on. Por ejemplo, si tenemos f (zi , xi ), se puede definir su transformada X g(zi , yi ) = zi yi − f (zi , xi ), (B.7) i=1

donde yi =

∂f (zi , xi ) = yi (xi , zi ) ∂xi

⇒

xi = xi (zi , yi ).

(B.8)

Las transformadas de Legendre se emplean en Termodin´amica y en otras ´areas de la F´ısica para introducir descripciones alternativas que resultan u ´tiles para diversos sistemas. En particular, si tenemos un sistema caracterizado por el Lagrangiano L(qi , q˙i , t), los momentos conjugados son ∂L = pi (q1 , . . . , qs ). (B.9) pi = ∂ q˙i Entonces, el Hamiltoniano del sistema corresponde a la transformada de Legendre del Lagrangiano, s X H(qi , pi ) = qi pi − L(qi , q˙i , t). (B.10) i=1

Ap´ endice C

Teorema del virial Se trata de un teorema estad´ıstico en Mec´anica. Se refiere a promedios temporales de cantidades din´ amicas. Consideremos un sistema de N part´ıculas cuyas masas, posiciones y velocidades est´an dados por mi , ri y vi , respectivamente, i = 1, 2, . . . , N . Entonces, la ecuaci´on de movimiento de la part´ıcula i se puede expresar como Fi = p˙ i ,

(C.1)

donde Fi es la fuerza neta sobre la part´ıcula i y pi = mi vi . La energ´ıa cin´etica total del sistema es T

= = =

1X mi vi2 2 i 1X (mi vi · vi ) 2 i 1X (pi · vi ). 2 i

(C.2)

Luego, 2T

=

X

pi · vi

i

=

X d X (pi · ri ) − (ri · p˙ i ). dt i i

(C.3)

Recordemos que el promedio de una variable g que toma valores discretos g1 , g2 , . . . , gN , corresponde a la cantidad N 1 X hgi = gi . (C.4) N i=1 321

´ APENDICE C. TEOREMA DEL VIRIAL

322

Si g(t) es una funci´ on que toma valores continuos en el tiempo, su promedio temporal se define como Z 1 τ hgi ≡ l´ım g(t)dt. (C.5) τ →∞ τ 0 Si g(t) =

df , para una funci´ on f acotada, |f (t)| < ∞, entonces dt Z 1 τ df f (τ ) − f (0) hgi = l´ım dt = l´ım = 0. τ →∞ τ 0 dt τ →∞ τ

(C.6)

Si tomamos el promedio temporal en todos los t´erminos de la Ec. (C.3), y suponiendo que los movimientos de las part´ıculas son finitos, obtenemos el teorema del virial, X 2hT i = −h ri · Fi i. (C.7) i

Si Fi = −∇V (ri ) (fuerzas conservativas), el teorema del virial tiene la forma * + 1 X ri · ∇V (ri ) . hT i = 2 i

(C.8)

Como una aplicaci´ on, consideremos una part´ıcula en campo central V (r) = krn . Entonces, el teorema del virial para esta fuerza conservativa establece que   1 ∂V n hT i = (C.9) r = hV i. 2 ∂r 2 Para el potencial de Kepler, con n = −1, el teorema del virial, Ec. (C.9), da 1 hT i = − hV i. 2

(C.10)

El promedio de la energ´ıa total se puede expresar como hEi = hT i + hV i = constante = E

(C.11)

E = −hT i < 0,

(C.12)

puesto que hT i siempre es una cantidad positiva. El hecho de que la energ´ıa total sea negativa es compatible con un movimiento finito de la part´ıcula en el potencial de Kepler (Cap´ıtulo 3). El potencial de un oscilador arm´ onico corresponde a n = 2. En este caso, la Ec. (C.9) resulta en hT i = hV i, (C.13) y la energ´ıa total es positiva, como se espera, E = hT i + hV i = 2hT i > 0.

(C.14)

Ap´ endice D

Bibliograf´ıa 1. H. Iro, A modern approach to Classical Mechanics, World Scientific (2002). 2. L. D. Landau and E. M. Liftshitz, Mechanics, 3rd. Edition, Pergamon Press (1976). 3. H. Goldstein, C. Poole and J. Safko, Classical Mechanics, 3rd. edition, Addison-Wesley (2002). 4. J. Jos´e and E. J. Saletan, Classical Mechanics: a contemporary approach, Cambridge University Press (1998). 5. T. T´el and M. Gruiz, Chaotic Dynamics: an introduction based on Classical Mechanics, Cambridge University Press (2006). 6. F. Scheck, Mechanics: From Newton’s Laws to Deterministic Chaos, 5th. edition, Springer (2010). 7. J. L. McCauley, Classical Mechanics: transformations, flows, integrable and chaotic dynamics, Cambridge University Press (1997). 8. J. Michael Finn, Classical Mechanics, Infinity Science Press LLC (2008). 9. T. W. B. Kibble and F. H. Berkshire, Classical Mechanics, Imperial College Press (2004). 10. G. J. Sussman and J. Wisdom, Structure and Interpretation of Classical Mechanics, MIT Press (2001). 11. A. J. Lichtenberg and M.A. Lieberman, Regular and Chaotic Dynamics, 2nd. Edition, Springer-Verlag (1992). 12. D. Ter Haar, Elements of Hamiltonian Mechanics, Pergamon Press (1971). 13. G. L. Kotkin and V. G. Serbo, Collection of problems in Classical Mechanics, Pergamon Press (1971). 14. G. L. Baker and J. A. Blackburn, The pendulum: a case study in Physics, Oxford University Press (2005). 323

324

´ APENDICE D. BIBLIOGRAF´IA