Postítulo Docente Especialización Superior en Enseñanza de la Matemática para el Nivel Primario

MÁS ACTIVIDADES DE COMPARACIÓN DE ÁREAS

Aquí proponemos algunos problemas que permiten retrabajar y perfeccionar la técnica de comparación de áreas como magnitudes. FUNDAMENTACION: Para dominar una técnica hay que hacerla trabajar sobre muchos problemas distintos. En palabras de CHEVALLARD, Estudiar Matemáticas, Capítulo 4: "Cuando crees tener un principio de técnica, cuando has intentado utilizar una manera de hacer con uno, dos o tres ejemplos, no es muy seguro que la técnica de que dispones funcione con un cuarto ejemplo. Tienes que ponerla a prueba con otros ejemplos, para ver si es resistente. En general, te darás cuenta de que tu técnica inicial era muy rudimentaria y que hay que complicarla un poco para aumentar su alcance, para que sea realmente eficaz. (...) Hay que convertir en rutina lo que se ha creado, para poder seguir creando. (...) no se trata sólo de dominar una técnica, sino de crearla. Y para ello hay que hacerla trabajar sobre muchos problemas distintos, para asegurarse de que será operativa cuando la pongamos realmente en práctica. (...) Se trabaja la técnica para evitar que su aplicación se reduzca a un tipo restringido de problemas, para poder utilizarla de manera flexible, adaptándola a nuevos problemas. En eso consiste la rutinización." Al mismo tiempo, los invitamos a inventar sus propias figuras. Mencionamos algunas cuestiones que se pueden tener en cuenta al diseñar las situaciones: -

No siempre comparar "de a pedacitos" es la estrategia más conveniente. Para favorecer otras estrategias se pueden poner figuras donde también se puedan comparar pedazos "grandes".

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Para comparar áreas no es necesario comparar figuras congruentes, sino que alcanza comparar figuras de igual área. Se puede inducir este trabajo eligiendo figuras donde los "pedazos" a comparar no sean congruentes. Así

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se contribuye a delinear mejor la idea de congruencia de figuras, al contrastarla con la conservación de otro aspecto de las figuras que no es la forma, en este caso, el área. -

A veces es necesario trazar líneas adicionales, a veces convendria no ver líneas que están dibujadas. Reconstruir la figura puede ayudar a la visualización de ciertas relaciones.

-

Cuando los alumnos no encuentran las relaciones entre las figuras que son necesarias para comparar las áreas solicitadas, una intervención posible es pedirles que reconstruyan la figura.

Problema 1 a) Comparar las dos áreas sombreadas.

b) En la siguiente figura, ABCD es un paralelogramo y ABEF es un rectángulo. Los puntos D, C, E y F están alineados. G es la intersección de BC con AF. GH es paralela a AB. Comparar el área del triángulo AGD con el área del trapecio GFHB. A B G

D

C

H

F

E

c) Variante de b): A B G H D

C

F

E

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d) En la siguiente figura ABCD es un rectángulo. E es un punto de sobre la diagonal AC. Por E se traza PQ paralelo a DC y RS paralelo a AD. PS y AE se cortan O. Comparar el área del cuadrilátero DEOP y del cuadrilátero ABQE. R

D

C

E P

Q O

S

A

B

e) En la siguiente figura ABCD es un rectángulo, G es un punto de la diagonal DB. Por G se ha trazado la perpendicular a DC que corta a AB en M y a DC en L y por G se ha trazado la perpendicular a AD que corta a AD en F y a BC en J. H es la intersección de GB y MJ. Comparar las áreas de los cuadriláteros GHJL y GHMF. M

A

B

H

F

J G

D

C

L

Problema 2 a) Dado el rectángulo ABCD, encontrar otro rectángulo distinto que tenga la misma área. D

C A

B

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b) Construir un rectángulo de igual área que el rectángulo PQRS y cuya base sea igual al segmento MN.

S

R

M P

N

Q

Problema 3 Consideremos dos rectángulos ABCD y APQR que tienen un vértice en común. Se sabe que P pertenece a la recta que determinan B y C, y que D pertenece a la recta que determinan R y Q. La situación se ilustra en la figura siguiente:

A

B

D

C

R

P Q Comparar las áreas de los dos rectángulos. Problema 4 a) Dado un triángulo cualquiera, encontrar un paralelogramo que tenga la misma área que el triángulo. b) Dado un cuadrilátero cualquiera, encontrar otro cuadrilátero que tenga la misma área que el cuadrilátero dado. c) Dado un cuadrilátero cualquiera, encontrar un pentágono que tenga la misma área que el cuadrilátero. d) Dado un cuadrilátero cualquiera, encontrar un triángulo que tenga la misma área que el cuadrilátero.

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Problema 5 Consideremos el cuadrado ABCD y un punto P interior al mismo. Al unir P con los vértices A, B, C y D quedan determinados cuatro triángulos. Según donde se ubique el punto P, se cumplirán o no ciertas condiciones sobre estos triángulos.

D

Analizar dónde habrá que ubicar el punto P dentro del cuadrado para lograr que:

C

1. el área del triángulo APB sea mayor que el área del triángulo DPC.

P A

2. la suma de las áreas de ABP y CDP sea mayor que la suma de las áreas de los otros dos triángulos.

B

Problema 6 En la siguiente figura, ACMN y BRSC son cuadrados y ABC es un triángulo rectángulo en A. Comparar las áreas de los triángulos ASC y BCM.

S M C

N

R A B

Problema 7 ABC es un triángulo y DE es una paralela al lado AB. Comparar las áreas de los triángulos AEC y BDC.

A

D B E C Especialización Superior en Enseñanza de la Matemática para el Nivel Primario Escuela de Capacitación - CePA

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Problema 8 En el siguiente triángulo Q es un punto sobre el lado PR. Determinar, si es posible, un punto T sobre la semirrecta MQ, de manera que el área del triángulo MPT sea la mitad del área del triángulo PMR. Si piensan que no es posible, expliquen por qué. Si consideran que sí es posible, expliquen y justifiquen detalladamente cada paso de la construcción.

P

M

Q

R Problema 9 1) En la siguiente figura ABCD es un paralelogramo, M es el punto medio de AB, N es el punto medio de DC, I es el punto medio de AD y J es el punto medio de BC. Además, el punto E y el punto F se encuentran en la recta AB. HJ es paralela a AB y KI es paralela a DC. Comparar las áreas de los triángulos EKD y de los triángulos FHN.

2) En la siguiente figura, ABCD es un paralelogramo, M es el punto medio de AB, N es el punto medio de DC, I es el punto medio de BC y J es el punto medio de AD. Especialización Superior en Enseñanza de la Matemática para el Nivel Primario Escuela de Capacitación - CePA

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Además el punto E se encuentra en la recta AB y el punto F se encuentra sobre el segmento DC. HJ es paralela a AB y KI es paralela a DC. Comparar las áreas de los triángulos EHD y KBF.

3) En la figura, ABCD es un paralelogramo. M, N, O y P son los puntos medios de sus lados. F es el punto medio del segmento MB y E es un punto cualquiera del segmento DN. Los segmentos RO y PS son paralelos a AB. Comparar las áreas de los triángulos sombreados EMS y NRF.

4) ABCD es un paralelogramo, E es el punto medio de AB y F es el punto medio de DC. I es un punto de la recta AB. H es el punto de intersección de DI y EF. Comparar las áreas del trapecio AEHD y del cuadrilátero HICF.

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5) En la siguiente figura, ABCD es un paralelogramo, E es un punto sobre la recta DC, F es el punto intersección de las rectas BD y AE, Comparar las áreas de los triángulos AFD y BFE.

6) ABCD es un cuadrado y ABE es un triangulo equilátero ¿Cuál es el área del triángulo ADE?

7) ABCD es un cuadrado y cada lado se encuentra divido en tres partes iguales. Determinen qué parte del cuadrado representa el área sombreada.

8) En cada caso, comparen las áreas indicadas. a) ABCD es rectángulo, MN//BC, PQ// AB. Comparar las áreas del triángulo DON y el rectángulo MBQO.

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b) ABCD es rectángulo. Comparar las áreas de los triángulos QDC y BCP.

c) ABCD es rectángulo, MN//BC, PQ//AB. Comparar las áreas de los pentágonos AMROP y área RQCNO.

d) ABCD es rectángulo. MN//BC y P//AB. Comparar las áreas de PCN y RQNC.

e) ABCD es rectángulo. Comparar las áreas de DGC y BCF.

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f) FDGE es cuadrado. Comparar las áreas de FDGE y EQWU

D F

E

G

U

Q W

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