PLAN DE ESTUDIOS DE MS Temario para desarrollar a lo largo de las clases 11 y 12.
CLASE 11: I.
ELEMENTOS DE ÁLGEBRA LINEAL. a) Revisión de conceptos
Estructura de espacio vectorial. Propiedades de los espacios vectoriales. Subespacios vectoriales. Combinación lineal de vectores. Dependencia e independencia lineal de vectores. Base y dimensión de un espacio vectorial. Cambio de base. Ejercicios del tema. b) Matrices Definiciones. Nomenclatura. Operaciones con matrices. Álgebra con matrices. Principales tipos de matrices. Ejercicios del tema. c) Determinantes de una matriz cuadrada: Propiedades Determinante de una matriz cuadrada. Determinantes de segundo y tercer orden. Menor complementario y adjunto de un elemento. Desarrollo de un determinante por adjuntos de una línea. Propiedades de los determinantes. Regla de Chio para el cálculo de determinantes de orden superior a tres. Producto de determinantes. Matrices asociadas a una matriz cuadrada. Matriz inversa. Rango de una matriz. Ejercicios del tema. d) Sistemas de ecuaciones lineales Definiciones. Teorema fundamental de equivalencia. Regla de Cramer. Aplicación a cualquier sistema compatible. Teorema de Rouche-Frobenius. Sistemas homogéneos. Sistemas de ecuaciones con solución y sin solución. Sistemas de ecuaciones de un parámetro. Método de Gauss. Ejercicios del tema.
II.
INTRODUCCIÓN: DERIVADAS. a) La derivada y sus aplicaciones
Derivada: Aplicación. Consecuencias. Interpretaciones. Derivadas elementales. Derivada de la función logarítmica. F(x) = loga x. F(x) = ln x. F(x) = loga u. F(x) = ln u. Derivada de la función exponencial. F(x) = ax. F(x) = au. F(x) = ex. F(x) = eu. Derivación logarítmica. F(x) = uv. Ejercicios del tema. b) Derivadas de las funciones circulares y ciclométricas Derivada de la función seno. F(x) = sen x. F(x) = cos x. F(x) = sen u. F(x) = cos u. Derivada de la función tangente. F(x) = tg x. F(x) = tg u. Derivada de la función cotangente. F(x) = cotg x. F(x) =cotg u. Derivada de la función secante. F(x) = sec x. F(x) = sec u. Derivada de la función cosecante. F(x) = cosec x. F(x) = cosec u. Derivada de la función arco seno. F(x) = arcsen x. F(x) = arcsen u. Derivada de la función arco coseno. F(x) = arccos x. F(x) = arccos u. Derivada de la función arco tangente. F(x) = arctg x. F(x) = arctg u. Derivada de la función arco cotangente. F(x) = arccotg x. F(x) = arccotg u. Ejercicios del tema. c) Tabla de derivadas Aplicaciones. Ejercicios del tema. d) Derivadas sucesivas Aplicaciones y ejercicios. e) Interpretación geométrica de la derivada. Definiciones. Aplicaciones al cálculo de tangentes y normales a una curva en un punto. Ejercicios del tema.
III.
INTRODUCCIÓN INTEGRALES. a) Integral indefinida. Función primitiva.
Propiedades de la integral indefinida. Integrales inmediatas. Tabla de integrales inmediatas. Ejercicios del tema.
CLASE 12: I.
CÁLCULO INTEGRAL. a) Revisión de conceptos
Ejercicios de integrales inmediatas. Integración por cambio de variable. Integración por partes. Integración de funciones racionales. Integración por funciones trigonométricas. Integración de algunas funciones irracionales. Ejercicios del tema. b) Integral definida Introducción. Conceptos de integral definida. Propiedades de la integral definida. Regla de Barrow. Cálculo de la integral definida. Cálculo de áreas de figuras planas. El problema de aplicación a la aproximación y cálculo del volumen de un cuerpo de revolución. Ejercicios del tema.
II.
CONTINUIDAD DE UNA FUNCIÓN. a) Introducción
Funciones continuas. Tipos de discontinuidades. Propiedades generales de las funciones continuas. Ejercicios del tema. b) Continuidad y Derivabilidad Teorema de la continuidad. Ejercicios.
III.
TEOREMAS RELATIVOS A FUNCIONES DERIVABLES. a) Teorema de Rolle
Interpretación geométrica. Ejercicios.
b) Teorema del valor medio o de Cauchy Interpretación geométrica. Ejercicios. c) Teorema de los incrementos finitos Interpretación geométrica. Ejercicios.
IV.
PROPIEDADES DE LAS FUNCIONES DERIVABLES. a) Límites
Regla de L´Hopital. Indeterminaciones. Límites indeterminados. Ejercicios. b) Estudio local de una función Polinomios de Taylor. Fórmula de Taylor. Fórmula de Mac Laurin. Ejercicios. c) Representación de curvas Gráfica de una función. Campo de definición. Simetrías. Periodos. Intervalos de crecimiento y decrecimiento. Intervalos de concavidad y convexidad. Máximos y mínimos. Puntos de inflexión. Asíntotas. Puntos de corte con los ejes. Puntos auxiliares. Curvas del tipo y = ln x; y = f(x)/g(x); y = √f(x); y = | f(x)|.
V.
GEOMETRÍA. a) Rectas y planos
Puntos y vectores. Primeros resultados analíticos. Ecuaciones de la recta. Ecuaciones del plano. Ejercicios. b) Incidencia, paralelismo e intersección
Incidencia entre puntos, rectas y planos. Estudio analítico de las posiciones relativas entre rectas y planos. Ejercicios. c) Espacio Euclideo Producto escalar. Espacio euclídeo. Propiedades del producto escalar. Norma. Vectores unitarios y ortogonales. Ángulo entre dos vectores. Producto vectorial. Propiedades. Producto mixto. Propiedades. Ejercicios. d) Problemas métricos Distancia entre dos puntos. Ángulo de dos rectas. Ángulo de dos planos. Ángulo entre recta y plano. Distancias. Área de un triángulo. Volumen de un tetraedro. Ejercicios de aplicación.