MATE 3013

RAZON DE CAMBIO INSTANTANEO Y LA DERIVADA DE UNA FUNCION

Resumen razón de cambio promedio La pendiente de la recta secante que conecta dos puntos en la gráfica de una función representa la razón de cambio promedio en el intervalo (x, f(x)). Esta razón se puede determinar con el cociente de diferencias ∆ 𝑦 𝑦2 − 𝑦1 𝑓 𝑥 + ℎ − 𝑓(𝑥) = = ∆ 𝑥 𝑥2 − 𝑥1 ℎ

Razón de cambio promedio -aplicaciones Una piedra cae desde una altura de 50 metros. ¿Cuál es la rapidez promedio

a) durante los 2 primeros segundos de la caída b) del segundo 1 al segundo 2? si la caída esta gobernada por la siguiente ecuación f(t) = 5.1𝑡 2 , donde f(t) se mide en metros? 5.12   5.10 y  10.2 m/s  20 t 2

a) los primeros 2 segundos:

y 5.12   5.11  15.3 m/s  2 1 t 2

b) del segundo 1 al 2:

2

2

Razón de cambio promedio -aplicaciones (1)Determinar la razón de cambio promedio de 𝑓 𝑥 entre x = -2 y x = -1.

•

𝑦2 −𝑦1 𝑥2 −𝑥1

• 𝑓 −2 = 9 • 𝑓 −1 = 8

•

9−8 −2−(−9)

=

-1

Razón de cambio promedio -aplicaciones (2) Determinar la ecuación de la recta secante a 𝑓 𝑥 = 𝑥 3 + 𝑥 2 − 5𝑥 + 3 entre x = -2 y x = -1. Como la razón de cambio promedio que calculamos en la parte 1 de este ejercicio es la pendiente de la recta secante, tenemos que y = mx + b y = -x + b Sustituimos uno de los puntos: 9 = -(-2) + b 9=2+b 9–2=b b=7 La ecuación de la recta secante es: y = – x + 7 o y = 7 – x

Razón de cambio instantáneo Exploración 1: Un submarino lanza un proyectil, …. f (x) = -12x2 + 72x – 60 donde x es el tiempo en segundos. a) ¿Cuál es la razón de cambio instantáneo en x = 2? • Hasta ahora hemos mirado razón de cambio promedio. • Para mirar la razón de cambio instantánea, calculemos la razón de cambio promedio en una vecindad pequeño alrededor de 2, por la izquierda.

Razón de cambio instantáneo Exploración 1: Un submarino lanza un proyectil, …. f (x) = -12x2 + 72x – 60 donde x es el tiempo en segundos. a) ¿Cuál es la razón de cambio instantáneo en x = 2? Razón de cambio promedio en una vecindad pequeño alrededor de 2, por la izquierda…: 𝑓(1.97) − 𝑓(1.95) = 0.02

24.96

𝑓(1.98) − 𝑓(1.97) = 24.6 0.01

𝑓(1.99) − 𝑓(1.98) = 24.36 0.01

𝑓(1.999) − 𝑓(1.99) = 24.132 0.009 𝑓(1.9999) − 𝑓(1.999) = 24.0132 0.0009

Razón de cambio instantáneo Exploración 1: : Un submarino lanza un proyectil, …. f (x) = -12x2 + 72x – 60 donde x es el tiempo en segundos. a) ¿Cuál es la razón de cambio instantáneo en x = 2?

Calculemos la razón de cambio promedio en una vecindad pequeño alrededor de 2, por la derecha. 𝑓(2.1) − 𝑓(2.15) = −0.05 𝑓(2.05) − 𝑓(2.1) = −0.05

21

22.22

𝑓(2.01) − 𝑓(2.05) = 23.28 −0.04

𝑓(2.001) − 𝑓(2.01) = 23.87 −0.009 𝑓(2.0001) − 𝑓(2.001) = 23.99 0.0009

Razón de cambio instantáneo Exploración 1: : Un submarino lanza un proyectil, …. f (x) = -12x2 + 72x – 60 donde x es el tiempo en segundos. a) ¿Cuál es la razón de cambio instantáneo en x = 2? La razón promedio en una vecindad pequeña alrededor de x=2 (por la izquierda y por la derecha) se acerca al mismo número. Por lo tanto, la razón de cambio instantáneo en x=2 es 24 metros/segundo.

El Límite de la cociente de diferencias DEFINICION: La razón de cambio instantánea de f(x) en x es un límite. m  lim h0

f x  h   f x  . h

La razón de cambio instantánea de f(x) es la pendiente de la recta tangente en (x, f(x)).

Rectas tangentes DEFINICION: Una línea que toca un círculo en exactamente un punto que se llama una línea tangente. Esta noción se puede extender a cualquier curva suave: una línea tangente toca una curva en un solo punto.

L es una recta tangente a la curva. M no es una recta tangente a la curva.

Rectas tangentes Identifique las rectas tangentes en la figura.

.

Si una curva es suave (no tiene esquinas), entonces cada punto de la curva tendrá una línea tangente única, es decir, exactamente una línea tangente es posible en cualquier punto dado.

Rectas tangentes En los puntos de máximo o mínimo, la recta tangente es horizontal ( es decir, la pendiente es 0)

m=0 m>0

m