Matemática I

Mínimo Común Múltiplo Ing. Santiago Figueroa Lorenzo Correo: [email protected]

Temas • Primera Unidad: Elementos Algebraicos • Tema 3: Mínimo Común Múltiplo Mínimo Común Múltiplo

Objetivos  Adquirir y sistematizar los conocimientos acerca del mínimo común múltiplo de dos o más expresiones algebraicas.

Bibliografía

 Álgebra, Baldor A.

 Fundamentos de Matemáticas Modernas, Mehienbacher L.  Álgebra Moderna, Nichols E.  Álgebra y Trigonometría, Raymond B.  Álgebra Superior, Spiegel M.

Introducción Una vez comprendidos los procedimientos de descomposición factorial se procede a analizar los conceptos de máximo común divisor y mínimo común múltiplo para dar paso a la posterior reducción de fracciones algebraicas.

Múltiplo

Múltiplo

Un múltiplo de un número es otro número que lo contiene un número entero de veces

En otras palabras, un múltiplo de n es un número tal que, dividido por n, da por resultado un número entero (el resto de la división es cero)

Ejemplo: 18 es múltiplo de 9 a =18 b=9 a=2·b

Común Múltiplo Común Múltiplo Es la expresión algebraica que es divisible exactamente por cada una de las expresiones dadas.

Ejemplo: Determine el común múltiplo de las siguientes expresiones algebraicas

a) 8𝒂𝟓 𝒃𝟐 Común Múltiplo 𝟐𝒂𝟐

y

𝟒𝒂𝟑 𝒃𝟐

b) 𝟑𝒙𝟐 − 𝟗𝒙 + 𝟔 Común Múltiplo 𝒙 − 𝟐 y 𝒙𝟐 − 𝟑𝒙 + 𝟔 𝟑𝒙𝟐 − 𝟗𝒙 + 𝟔 = 𝟑(𝒙 − 𝟐)(𝒙 − 𝟏)

Mínimo Común Múltiplo Mínimo Común Múltiplo Es la expresión algebraica de menor coeficiente numérico y de menor grado que es divisible exactamente por cada una de las expresiones dadas.

Ejemplo: Determine el mínimo común múltiplo de

a) 𝟒𝒂 y 𝟔𝒂𝟐

mínimo común múltiplo

b) 𝟐𝒙𝟐 , 𝟔𝒙𝟑 y 𝟗𝒙𝟒

𝟏𝟐𝒂𝟐

mínimo común múltiplo

𝟏𝟖𝒙𝟒

Mínimo Común Múltiplo de monomios Mínimo Común Múltiplo (Regla) 1- Se halla el mínimo común múltiplo de los coeficientes 2- Se escriben todas las letras distintas, sean o no comunes

3- Se da a cada letra el mayor exponente que tenga en las expresiones dadas

Mínimo Común Múltiplo de monomios Ejemplo 1: Hallar el mínimo común múltiplo de 𝒂𝒙𝟐 y 𝒂𝒙𝟑 2- Letras distintas 𝒂 y 𝒙 3- Se le da a cada letra el mayor exponente que tenga 𝒂𝒙𝟑

𝒂 y 𝒙𝟑

Mínimo Común Múltiplo de monomios Mínimo Común Múltiplo (Regla) Ejemplo 2:

Hallar el mínimo común múltiplo de 𝟖𝒂𝒃𝟐 𝒄

y 𝟏𝟐𝒂𝟑 𝒃𝟐

𝟖𝒂𝒃𝟐 𝒄 = 𝟐𝟑 𝒂𝒃𝟐 𝒄 𝟏𝟐𝒂𝟑 𝒃𝟐 = 𝟐𝟐 𝟑𝒂𝟑 𝒃𝟐 1- Mínimo común múltiplo de los coeficientes 𝟐𝟐 𝟑 2- Letras distintas 𝒂 , 𝒃

y 𝒄

3- Se le da a cada letra el mayor exponente que tenga 𝟏𝟐𝒂𝟑 𝒃𝟐 𝒄

𝒂𝟑 ,

𝒃𝟐 y 𝒄

Mínimo Común Múltiplo de monomios Mínimo Común Múltiplo (Regla) Ejemplo 3: Hallar el mínimo común múltiplo de 𝟏𝟎𝒂𝟑 𝒙 𝟐𝟒𝒃𝟐 𝒎𝟒 𝟏𝟎𝒂𝟑 𝒙 = 𝟐 × 𝟓𝒂𝟑 𝒙 𝟑𝟔𝒂𝟐 𝒎𝒙𝟐 = 𝟐𝟐 𝟑𝟐 𝒂𝟐 𝒎𝒙𝟐 𝟐𝟒𝒃𝟐 𝒎𝟒 = 𝟐𝟑 𝟑𝒃𝟐 𝒎𝟒

,

𝟑𝟔𝒂𝟐 𝒎𝒙𝟐

y

Mínimo Común Múltiplo de monomios 1- Mínimo común múltiplo de los coeficientes 𝟐𝟑 𝟑𝟐 𝟓 2- Letras distintas 𝒂 , 𝒙 ,

𝒃 y 𝒎

3- Se le da a cada letra el mayor exponente que tenga 𝒃𝟐 y 𝒎𝟒 𝟑𝟔𝟎𝒂𝟑 𝒙𝟐 𝒃𝟐 𝒎𝟒

𝒂𝟑 , 𝒙𝟐 ,

Factores Primos Expresión Algebraica Prima • Una expresión algebraica es prima cuando solo es divisible por ella misma y por la unidad. 𝒂 , 𝒃 , 𝒂 + 𝒃 y 𝟐𝒙 − 𝟏

Son expresiones algebraicas primas

• Dos expresiones algebraicas son primas entre si cuando el único divisor común que tienen entre ellas es la unidad.

Ejemplo: Determine si siguientes expresiones algebraicas son primas entre si

a) 𝟐𝒙 y 𝟑𝒃 b) 𝒂 + 𝒃 y 𝒂 − 𝒙

Mínimo Común Múltiplo de monomios y polinomios Mínimo Común Múltiplo (Regla) 1- Se descomponen las expresiones dadas en sus factores primos

2- Se escriben todos los factores primos que sean comunes o no comunes 3- Se da a cada factor el mayor exponente que tenga en las expresiones dadas

Mínimo Común Múltiplo de monomios y polinomios Ejemplo 1: Hallar el mínimo común múltiplo de

𝟔 y 𝟑𝒙 − 𝟑

1- Descomponer las expresiones 𝟔 = 𝟐 × 𝟑 y 𝟑𝒙 − 𝟑 = 𝟑(𝒙 − 𝟏) 2- Factores distintos 𝟐 , 𝟑 y 𝒙 − 𝟏 3- Se le da a cada letra el mayor exponente que tenga 𝟐 , 𝟑 y 𝒙 − 𝟏 𝟐 × 𝟑 × 𝒙 − 𝟏 = 𝟔 𝒙 − 𝟏 = 𝟔𝒙 − 𝟔

Mínimo Común Múltiplo de monomios y polinomios Mínimo Común Múltiplo (Regla) Ejemplo 2: Hallar el mínimo común múltiplo de 𝟏𝟒𝒂𝟐

y 𝟕𝒙 − 𝟐𝟏

1- Descomponer las expresiones 𝟏𝟒𝒂𝟐 = 𝟐 × 𝟕 × 𝒂𝟐 y 𝟕𝒙 − 𝟐𝟏 = 𝟕(𝒙 − 𝟑) 2- Factores distintos 𝟐 , 𝟕 , 𝒂 y 𝒙 − 𝟑 3- Se le da a cada letra el mayor exponente que tenga 𝟐 , 𝟕 , 𝒂𝟐 y 𝒙 − 𝟑 𝟐 × 𝟕 × 𝒙 − 𝟑 = 𝟏𝟒𝒂𝟐 𝒙 − 𝟑

Mínimo Común Múltiplo de monomios y polinomios Mínimo Común Múltiplo (Regla) Ejemplo 3: Hallar el mínimo común múltiplo de 𝟐𝟒𝒂𝟐 𝒙 , 𝟏𝟖𝒙𝒚𝟐 , 𝟐𝒙𝟑 + 𝟐𝒙𝟐 − 𝟒𝟎𝒙 y 𝟖𝒙𝟒 − 𝟐𝟎𝟎𝒙𝟐 1- Descomponer las expresiones 𝟐𝟒𝒂𝟐 𝒙 = 𝟐𝟑 × 𝟑𝒂𝟐 𝒙 𝟏𝟖𝒙𝒚𝟐 = 𝟐 × 𝟑𝟐 𝒙𝒚𝟐 𝟐𝒙𝟑 + 𝟐𝒙𝟐 − 𝟒𝟎𝒙 = 𝟐𝒙(𝒙 + 𝟓)(𝒙 − 𝟒) 𝟖𝒙𝟒 − 𝟐𝟎𝟎𝒙𝟐 = 𝟖𝒙𝟐 (𝒙 + 𝟓)(𝒙 − 𝟓)

Mínimo Común Múltiplo de polinomios Mínimo Común Múltiplo (Regla) 1- Se descomponen las expresiones dadas en sus factores primos 2- Se escriben todos los factores primos que sean comunes o no comunes 3- Se da a cada factor el mayor exponente que tenga en las expresiones dadas

Mínimo Común Múltiplo de polinomios Ejemplo 1: Hallar el mínimo común múltiplo de 𝟒𝒂𝒙𝟐 − 𝟖𝒂𝒙𝒚 + 𝟒𝒂𝒚𝟐 y 𝟔𝒃𝟐 𝒙 − 𝟔𝒃𝟐 𝒚 1- Descomponer las expresiones 𝟒𝒂𝒙𝟐 − 𝟖𝒂𝒙𝒚 + 𝟒𝒂𝒚𝟐 = 𝟐𝟐 𝒂 𝒙 − 𝒚 𝟐 = 𝟐𝟐 𝒂 𝒙 − 𝒚 𝟐 𝟔𝒃𝟐 𝒙 − 𝟔𝒃𝟐 𝒚 = 𝟐 × 𝟑 × 𝒃𝟐 (𝒙 − 𝒚) 2- Factores distintos 𝟐 , 𝟑 , 𝒂 , 𝒙 , 𝒙 − 𝒚 , 𝒃 3- Se le da a cada letra el mayor exponente que tenga 𝟐𝟐 , 𝟑 , 𝒂 , 𝒙 , 𝒙 + 𝒚 , 𝒙 − 𝒚 𝟐 , 𝒃𝟐 𝟐𝟐 × 𝟑 × 𝒂 × 𝒃𝟐 × 𝒙 − 𝒚 𝟐 = 𝟏𝟐𝒂𝒃𝟐 𝒙 − 𝒚 𝟐

Mínimo Común Múltiplo de monomios y polinomios Mínimo Común Múltiplo (Regla) Ejemplo 2:

Hallar el mínimo común múltiplo de (𝒂 − 𝒃)𝟐 , 𝒂𝟐 − 𝒃𝟐 , (𝒂 + 𝒃)𝟐 y 𝒂𝟐 + 𝒃𝟐 1- Descomponer las expresiones (𝒂 − 𝒃)𝟐 𝒂𝟐 − 𝒃𝟐 = (𝒂 + 𝒃) (𝒂 − 𝒃) (𝒂 + 𝒃)𝟐 (𝒂𝟐 +𝒃𝟐 ) 2- Factores distintos (𝒂 − 𝒃) , (𝒂 + 𝒃) y 𝒂𝟐 + 𝒃𝟐 3- Se le da a cada letra el mayor exponente que tenga (𝒂𝟐 +𝒃𝟐 ) ,(𝒂 + 𝒃)𝟐 , (𝒂 − 𝒃)𝟐 (𝒂 − 𝒃)𝟐 (𝒂 + 𝒃)𝟐 (𝒂𝟐 + 𝒃𝟐 )

Mínimo Común Múltiplo de monomios y polinomios Mínimo Común Múltiplo (Regla) Ejemplo 3: Hallar el mínimo común múltiplo de 𝟏𝟓𝒙𝟑 + 𝟐𝟎𝒙𝟐 + 𝟓𝒙 , 𝟑𝒙𝟑 − 𝟑𝒙 + 𝒙𝟐 − 𝟏 y 𝟐𝟕𝒙𝟒 + 𝟏𝟖𝒙𝟑 + 𝟑𝒙𝟐

Mínimo Común Múltiplo de monomios y polinomios 1- Descomponer las expresiones 𝟏𝟓𝒙𝟑 + 𝟐𝟎𝒙𝟐 + 𝟓𝒙 = 𝟓𝒙(𝟑𝒙 + 𝟏)(𝒙 + 𝟏) 𝟑𝒙𝟑 − 𝟑𝒙 + 𝒙𝟐 − 𝟏 = 𝟑𝒙 𝒙𝟐 − 𝟏 + 𝒙𝟐 − 𝟏 = (𝒙𝟐 − 𝟏)(𝟑𝒙 + 𝟏) 𝟐𝟕𝒙𝟒 + 𝟏𝟖𝒙𝟑 + 𝟑𝒙𝟐 = 𝟑𝒙𝟐 (𝒙𝟐 − 𝟏)(𝟑𝒙 + 𝟏)𝟐 2- Factores distintos

𝟓 , 𝟑 , 𝒙 , 𝟑𝒙 + 𝟏 , 𝒙𝟐 − 𝟏

3- Se le da a cada letra el mayor exponente que tenga (𝟑𝒙 + 𝟏)𝟐 , 𝒙𝟐 − 𝟏

𝟓, 𝟑 , 𝒙𝟐 ,

𝟓 × 𝟑 × (𝟑𝒙 + 𝟏)𝟐 × 𝒙𝟐 − 𝟏 = 𝟏𝟓𝒙𝟐 (𝟑𝒙 + 𝟏)𝟐 𝒙𝟐 − 𝟏

Tareas Extraclase • Ejercicios propuestos en el Sitio Web Tarea Extraclase 11.

Conclusiones  Se analizó como determinar el Mínimo Común Múltiplo de expresiones algebraicas.