Herramientas y saberes

Matemática

Recursos para el docente

Los conocedores segundo ciclo

segundo ciclo

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Los conocedores

Herramientas y saberes

Matemática 5

Recursos para el docente Índice Introducción

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Planificación

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1. Números naturales. Suma y resta. Figuras 6 2. Sistema de numeración. Las cuatro operaciones. Triángulos

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3. Múltiplos y divisores. Multiplicación. Triángulos

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4. Múltiplos y divisores. División. Cuadriláteros

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5. Fracciones. Cuadriláteros

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6. Comparación de fracciones. Operaciones con fracciones. Medida

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7. Fracciones y números decimales. Sistema sexagesimal de medida 18 8. Los decimales y la recta numérica. Suma y resta de decimales. Perímetro y área

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9. Decimales. Proporcionalidad y estadística. Área 22 Bibliografía sugerida para ampliar las discusiones planteadas

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Solucionario

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Proyecto didáctico y Dirección Editorial Pedro Saccaggio

Proyecto visual y Dirección de Arte Mariana Valladares

Autoría Pierina Lanza Flavia Guibourg

Diseño de tapa Mariana Valladares

Edición Andrés Albornoz

Diagramación Blaunt diseño editorial Sergio Israelson

Corrección Amanda Paltrinieri

Ilustración Tapa: Paula Ana Socolovsky Fotografía y documentación Mariana Jubany Preimpresión y producción gráfica Samanta Kalifón

© 2011, Edelvives. Av. Callao 224, 2º piso (C1022AAP) Ciudad Autónoma de Buenos Aires, Argentina. ISBN 978-987-642-098-3 Reservados todos los derechos de la edición por la Fundación Edelvives. Queda rigurosamente prohibida, sin la autorización escrita de los titulares del copyright, bajo las sanciones establecidas en las leyes, la reproducción total o parcial de esta obra por cualquier medio o procedimiento, comprendidos la reprografía y el tratamiento informático, y la distribución de los ejemplares de ella mediante alquiler o préstamo público. Queda hecho el depósito que dispone la ley 11.723.

Introducción En los múltiples haceres comprendidos en la tarea de enseñar, los docentes ponemos en acto más o menos explícitamente un conjunto de ideas sobre qué significa aprender Matemática y sobre cómo facilitar ese proceso de aprendizaje a los alumnos. Cada docente ha ido elaborando este conjunto de ideas a lo largo de los años, no solo a través de sus experiencias en la práctica docente, sino también en los años de su propia escolaridad. Por eso, habitualmente ese conjunto de ideas no tiene una cohesión interna relacionada en forma exclusiva con una línea teórica determinada. Este entretejido de ideas y experiencias se constituye en un marco referencial conceptual y operativo, es decir que no solo es el referente desde el cual se piensa la tarea de enseñar y el aprendizaje, sino que también es un referente operativo desde el cual se actúa en la situación de aula frente a la toma de decisiones. En esta guía docente del libro Matemática 5 de la serie Los conocedores les proponemos la interesante tarea de recorrer juntos algunas actividades a modo de ejemplo de un hacer matemático centrado en el enfoque teórico de los diseños y de los documentos actuales. Para comenzar, pongamos el foco en los aprendizajes relacionados con un saber matemático significativo que el alumno hace en la escuela y centrémonos en la construcción del saber. A la pregunta acerca de cómo es posible una construcción con sentido, qué facilita esa construcción y qué procesos y saberes están imbricados en ella, podemos decir que la teoría cognitiva del aprendizaje que sustenta este enfoque: • responde que un conocimiento genuino implica procesos de resolución de problemas: observar los indicios y combinarlos, reordenar las evidencias disponibles y, finalmente, observar el problema desde una perspectiva nueva; • aduce que un conocimiento significativo no puede ser introducido en el sujeto desde el exterior sino que ha de elaborarse y construirse desde el interior, y que el aprendizaje significativo es un proceso distinto de aprender de memoria; y • plantea que una persona que sabe es alguien que tiene comprensión y que posee medios para solucionar problemas nuevos. Aprender matemática implica no solo un hacer sino un hacer en el que se ponen en juego saberes previos de cierta manera. Por ejemplo, un alumno puede elaborar un saber que supera los anteriores y los incluye,

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Los conocedores

pero también puede construir un nuevo saber cuestionando y reformulando lo previo, circunscribiéndolo, desestimándolo, etc. ¿Cómo desarrolla esta actividad un alumno? Resolviendo problemas que necesiten de sus saberes previos para ser abordados y que, al mismo tiempo, pidan algo más. El enfoque centrado en la resolución de problemas facilita la producción matemática. Cuando hablamos de resolución de problemas, estamos hablando ampliamente, abarcando todos los ejes del quehacer matemático en el grado: numeración, operaciones, geometría y medida. Por eso, en los capítulos del libro, los problemas se plantean en cada eje y al inicio del trabajo sobre los temas. Para trabajar desde este enfoque son necesarias algunas condiciones: trabajar a partir de las hipótesis que plantean los alumnos y plantear verdaderos problemas que los desafíen para que busquen la construcción de un nuevo saber y, al mismo tiempo, les permitan poner en juego sus conocimientos previos para resolverlos. También en este enfoque hace falta equilibrar el trabajo grupal con el trabajo en parejas y el trabajo individual. El trabajo grupal y las puestas en común posteriores para recuperar lo hecho habilitan el debate, la argumentación, la validación de las hipótesis y de los procedimientos, el trabajo sobre los errores y las institucionalizaciones parciales. El trabajo en parejas facilita ciertas confrontaciones y un espacio más íntimo para que cada uno comparta sus hipótesis e ideas. El trabajo individual pone en contacto al alumno con lo que cada uno ha podido construir a partir del trabajo en conjunto. En el segundo ciclo es importante, además, tener en cuenta la necesidad de “algoritmizar” los procedimientos y de aplicar los saberes en otros contextos. Es nuestra intención que, al recorrer cada capítulo del libro, reflexionemos juntos sobre algunos aspectos de la didáctica de la matemática. Empleamos la palabra didáctica en un sentido amplio, ya que consideramos aspectos metodológicos, asuntos de la gestión de las clases, punteos sobre aspectos disciplinares específicos y su implicancia en la elección de las propuestas que les hacemos a los alumnos, etc. Cuando sea pertinente, incluiremos también notas sobre la dinámica de los grupos; por ejemplo, cuando se trata del trabajo sobre los errores, de las puestas en común y de la expresión del pensamiento propio a través de hipótesis, conjeturas y argumentaciones.

Marzo - Capítulo 1

Planificación. Matemática 5 Objetivos por eje. Que los alumnos...

Contenidos por eje

Numeración

Numeración

• Lean, escriban y usen números naturales mayores que 100.000. • Identifiquen y utilicen las propiedades del sistema decimal para interpretar, registrar, comunicar y comparar números y cantidades. • Profundicen el análisis del valor posicional de las cifras en el sistema de numeración decimal. • Argumenten sobre las equivalencias de las distintas descomposiciones de un número usando unidades de distintos órdenes.

• Sistema de numeración decimal. Regularidades. • Lectura y escritura de números naturales. Expresión de un número en términos de unidades, decenas, centenas, unidades de mil, etcétera. • Comparación de números naturales. Criterios de comparación. • Recta numérica. • Descomposición de números basada en la organización decimal del sistema. • Relaciones aditivas y multiplicativas que subyacen a un número.

Operaciones: resolución de problemas

• Operen con números naturales. • Sean capaces de sumar y restar con distintos significados, utilizando y organizando diferentes informaciones y procedimientos. • Sean capaces de evaluar la razonabilidad del resultado obtenido. • Sean capaces de elegir la estrategia de cálculo más pertinente en relación con los números y las operaciones involucrados.

Operaciones: estrategias de cálculo

• Elaboren estrategias de cálculo basadas en el análisis del valor posicional. • Analicen relaciones numéricas para formular reglas de cálculo.

• Cálculos mentales a partir del análisis de la escritura decimal. • Uso de cálculos conocidos para resolver otros. Sumas y restas de números redondos de 5 y 6 cifras.

• Reproduzcan y construyan figuras con ángulos rectos y arcos de circunferencia, usando regla, escuadra y compás. • Construyan figuras combinadas a partir de ciertas informaciones. • Utilicen el compás para transportar segmentos, dibujar circunferencias y medir ángulos. • Copien figuras y elaboren instrucciones para su reproducción.

Abril - Capítulo 2

• Suma y resta de números naturales. Diferentes significados: comparación de cantidades. Situaciones que involucren varios pasos. • Tratamiento de la información: situaciones presentadas de diferentes modos: cuadros de doble entrada, tablas, etcétera. • Estimación. Uso del cálculo aproximado.

Operaciones: estrategias de cálculo

Geometría

Mayo - Capítulo 3

Operaciones: resolución de problemas

Geometría

• Exploración de figuras poligonales que incluyan arcos de circunferencia y ángulos rectos. Construcción de figuras con ángulos rectos y arcos de circunferencia, usando regla, escuadra y compás. • Reproducción de figuras.

Numeración

Numeración

• Caractericen el sistema de numeración decimal y establezcan comparaciones entre nuestro sistema y otros sistemas de numeración.

• Otros sistemas de numeración. Comparación con nuestro sistema. • Sistema de numeración decimal. Comparación con otros sistemas.

Operaciones: resolución de problemas

Operaciones: resolución de problemas

• Operen con números naturales. • Resuelvan situaciones que involucran diferentes operaciones y pasos. • Resuelvan situaciones de comparación de cantidades. • Organicen informaciones y usen variados procedimientos de resolución.

• Situaciones que involucren varias operaciones. • Situaciones presentadas de diferentes modos: cuadros de doble entrada, tablas, etcétera. • Resolución de problemas: tratamiento de la información.

Operaciones: estrategias de cálculo

Operaciones: estrategias de cálculo

• Sean capaces de elegir la estrategia de cálculo más pertinente en relación con los números y las operaciones involucrados. • Utilicen la calculadora como herramienta para investigar, deducir e interpretar propiedades de los números.

• Cálculos mentales a partir del análisis de la escritura decimal de los números. • Redondeo y aproximación. • Uso de la calculadora.

Geometría

Geometría

• Describan, reconozcan y comparen triángulos teniendo en cuenta la longitud de sus lados y la amplitud de sus ángulos. • Utilicen la propiedad triangular en la construcción de triángulos. • Construyan triángulos a partir de ciertos datos. • Estudien y calculen la suma de los ángulos interiores de un triángulo. • Comprendan el concepto de altura de un triángulo. • Identifiquen las tres alturas que tiene un triángulo. • Clasifiquen triángulos según sus lados y según sus ángulos.

• Construcción de triángulos con regla, compás y transportador dados ciertos datos. • Propiedad triangular. • Condición necesaria y suficiente para la construcción de triángulos. • Suma de las medidas de los ángulos interiores de un triángulo. • Altura de un triángulo. • Clasificación de los triángulos según sus lados y ángulos.

Numeración

Numeración

• Encuentren y utilicen múltiplos y divisores. • Distingan números compuestos y números primos.

• Múltiplos y divisores. • Números compuestos y números primos.

Operaciones: resolución de problemas

Operaciones: resolución de problemas

• Encuentren y utilicen el DCM y el MCM para resolver situaciones. • Resuelvan problemas de proporcionalidad directa. • Analicen relaciones entre cantidades para determinar y describir regularidades, incluyendo la proporcionalidad. • Determinen cuándo dos variables se relacionan de modo proporcional. • Sean capaces de seleccionar los datos pertinentes y organizar la información para resolver un problema.

• Múltiplo común menor y divisor común mayor. • Multiplicación y división. Situaciones de proporcionalidad directa. • Identificación de situaciones de proporcionalidad directa. • Distinción entre situaciones proporcionales y situaciones no proporcionales.

Operaciones: estrategias de cálculo

• Utilicen la calculadora como herramienta para investigar, deducir e interpretar propiedades de los números y las operaciones. • Elaboren enunciados sobre las propiedades de las operaciones y argumenten sobre su validez. • Usen las propiedades de la multiplicación para resolver cálculos mentales. • Elaboren y comparen procedimientos de cálculo exacto para multiplicar por dos cifras. Geometría

• Construyan triángulos a partir de ciertos datos e indicaciones. • Estudien acerca de las condiciones necesarias y suficientes para la construcción de triángulos.

Operaciones: estrategias de cálculo

• Cálculos mentales de multiplicación sobre la base de las propiedades del sistema de numeración y las operaciones y multiplicación por la unidad seguida de cero. • Estimación de resultados. • Algoritmo de la multiplicación. • Las propiedades de la multiplicación. Geometría

• Construcción de triángulos. • Condición necesaria y suficiente para la construcción de triángulos. • Construcción de triángulos rectángulos e isósceles. • Construcción de un triángulo dada alguna altura.

Los conocedores

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Planificación. Matemática 5 Objetivos por eje. Que los alumnos...

Contenidos por eje

Numeración

Numeración

• Expliciten relaciones numéricas vinculadas a la multiplicación y la división: múltiplos y divisores. • Estudien acerca de los criterios de divisibilidad.

• Criterios de divisibilidad.

Junio - Capítulo 4

Operaciones: resolución de problemas

• Resuelvan problemas del campo multiplicativo: de reparto, de partición y de iteración. • Analicen la validez de considerar o no el resto. • Sean capaces de organizar la información para resolver una situación. • Elaboren y respondan preguntas a partir de diferentes informaciones, registren y organicen la información en tablas y gráficos sencillos. • Expliciten relaciones numéricas vinculadas a la multiplicación y la división: D = d × c + r. • Interpreten la relación entre divisor, dividendo, cociente y resto. Operaciones: estrategias de cálculo

• Utilicen la calculadora como herramienta para investigar, deducir e interpretar propiedades de los números y las operaciones. • Elaboren y comparen procedimientos de cálculo exacto para dividir por una y dos cifras. • Elaboren enunciados sobre las propiedades de las operaciones y argumenten sobre su validez. • Utilicen las propiedades de la división para resolver diversos cálculos mentales. • Seleccionen la estrategia de cálculo más pertinente en relación con los números y las operaciones involucradas.

Operaciones: resolución de problemas

• División. Tratamiento de la información. Análisis del resto. • Iteración de un proceso de adición o sustracción. • Utilización de las relaciones c × d + r = D y r < d para resolver problemas. Operaciones: estrategias de cálculo

• Cálculos mentales de división sobre la base de las propiedades del sistema de numeración y las operaciones. • La división por la unidad seguida de ceros. • Algoritmo intermedio de la división por dos cifras. • Estimación de resultados. • Selección de la estrategia de cálculo más pertinente en relación con los números y las operaciones. • Las propiedades de la división. Geometría

• Cuadriláteros: denominación y clasificación según las propiedades de las diagonales. • Cuadriláteros: construcción, elementos, definición y propiedades.

Geometría

Julio y agosto - Capítulos 5 y 6 (excepto el eje Medida)

• Analicen afirmaciones acerca de las propiedades de las figuras y argumenten sobre su validez. • Construyan cuadriláteros a partir de ciertos datos e indicaciones. • Estudien acerca de las propiedades de las diagonales de los cuadriláteros.

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Numeración

Numeración

• Realicen repartos equivalentes utilizando distintas estrategias. • Comprendan la relación que existe entre la división entera y la fracción. • Interpreten, registren, comuniquen y comparen el resultado de un reparto o una partición a través de distintas escrituras de fracciones. • Utilicen la recta numérica para representar y comparar números racionales. • Ubiquen números fraccionarios en intervalos dados, y determinen los intervalos para ubicar otros números dados. • Comparen números fraccionarios.

• Situaciones de reparto de enteros en partes iguales, análisis de los repartos, concepto de equivalencia. • Diferentes escrituras de expresiones con fracciones. • Concepto de equivalencia entre escrituras diferentes. • Las fracciones y la división: vinculación entre los números que intervienen en una división entera con la fracción que expresa el resultado de un reparto. • Representación de fracciones en la recta numérica. Ubicación de fracciones en la recta numérica a partir de diferentes informaciones. • Comparación de fracciones.

Operaciones: resolución de problemas

Operaciones: resolución de problemas

• Comprendan el concepto de número fraccionario y lo utilicen en diversos contextos. • Operen con fracciones. • Resuelvan situaciones en las que tienen que utilizar fracciones en el contexto de la medida.

• Fracciones en el contexto de la medición. • Situaciones problemáticas con fracciones en contexto de medida.

Operaciones: estrategias de cálculo

• Elaboren estrategias de cálculo mental pertinentes en relación con los números y las operaciones involucradas. • Estudien el procedimiento algorítmico para sumar y restar fracciones. Geometría

• Analicen las propiedades de los cuadriláteros. • Estudien acerca de las condiciones necesarias y suficientes para la construcción de cuadriláteros. • Construyan cuadriláteros a partir de ciertos datos. • Clasifiquen cuadriláteros según las propiedades de los lados y los ángulos.

Los conocedores

Operaciones: estrategias de cálculo

• Cálculos mentales para encontrar la fracción de un entero y para reconstruir una fracción o un entero usando fracciones de una o varias clases dadas. • Suma y resta de fracciones: algoritmos convencionales, resolución de problemas de adición y sustracción de fracciones. • Multiplicación y división de una fracción por un número natural en situaciones de partición, reparto y medida. Geometría

• Las diagonales de los cuadriláteros. • Cuadriláteros: denominación y clasificación según las propiedades de las diagonales. • Propiedades de las diagonales. Construcciones conociendo las medidas de los lados y las diagonales. Condiciones de posibilidad. • Los lados y los ángulos de los cuadriláteros. Construcciones conociendo las medidas de los lados y los ángulos. Condiciones de posibilidad. • Cuadriláteros: clasificación según las propiedades de los lados y los ángulos. Romboide.

Septiembre - Eje Medida del capítulo 6 y capítulo 7 Octubre - Capítulo 8

Objetivos por eje. Que los alumnos...

Contenidos por eje

Numeración

Numeración

• Interpreten, registren, comuniquen y comparen cantidades empleando expresiones decimales de uso cotidiano. • Interpreten la equivalencia entre expresiones decimales para una misma cantidad. • Analicen el valor posicional en la notación decimal.

• Fracciones decimales y números decimales: décimos y centésimos. Relación entre el sistema monetario y los decimales. • Escritura de expresiones que representan equivalencias entre cantidades. • Notación con coma para representar la posición de décimos, centésimos, milésimos. • Análisis del valor posicional en la notación decimal. • Lectura y escritura de números decimales.

Operaciones: resolución de problemas

• Elaboren criterios de comparación entre decimales. • Resuelvan situaciones de suma, resta y multiplicación en las que intervienen expresiones decimales. • Interpreten y organicen información recibida de variadas formas. Operaciones: estrategias de cálculo

• Elaboren estrategias de cálculo mental pertinentes en relación con los números y las operaciones involucradas. • Estudien el procedimiento algorítmico para sumar y restar decimales. • Analicen errores posibles y elaboren explicaciones acerca de ellos. Medida

• Suma y resta de decimales. Inicio en la comparación de decimales. • Tratamiento de la información: situación presentada en forma icónica. • Introducción al cálculo aproximado. • Introducción a la multiplicación de un entero por un decimal. Operaciones: estrategias de cálculo

• Procedimientos convencionales para sumar y restar decimales. • Análisis de errores.

• Comprendan el proceso de medir y la noción de magnitud. • Estimen medidas eligiendo el instrumento adecuado. • Establezcan equivalencias entre diversas unidades de longitud, peso y capacidad al interior de cada magnitud. • Organicen y comprendan el funcionamiento de las unidades de medida del simela. • Reconozcan y utilicen medidas de tiempo. • Identifiquen características del sistema sexagesimal. • Utilicen las unidades de medida de tiempo adecuadamente. • Realicen equivalencias entre diversas unidades de tiempo.

• Medidas de longitud. Unidades convencionales: metro, centímetro y kilómetro. • Medidas de peso. Unidades convencionales: gramo, centigramo, miligramo y kilogramo. • Medidas de capacidad. Unidades convencionales: litro y mililitro. • Estimación y comparación de longitudes, pesos y capacidades. • simela. • Tiempo: unidades de medida. Sistema sexagesimal. • Ángulos: unidades de medida. Sistema sexagesimal.

Numeración

Numeración

• Ubiquen decimales en una recta numérica a partir de ciertas informaciones dadas. • Representen en una recta los decimales que se indican. • Elaboren criterios útiles para comparar y ordenar expresiones decimales. • Utilicen la calculadora como herramienta para investigar y reflexionar sobre la estructura decimal de la notación decimal.

• Representación de decimales en la recta numérica. • Representación en la recta de expresiones decimales a partir de ciertas informaciones. • Noción de densidad de los decimales. • Resolución de problemas que exijan comparar y ordenar expresiones decimales. • Análisis del valor posicional en los números decimales. • Resolución de problemas que involucren el valor posicional en la notación decimal. • Utilización de la calculadora para reflexionar sobre la estructura decimal de la notación decimal.

Operaciones: resolución de problemas

• Resuelvan situaciones de suma y resta en las que intervienen expresiones decimales. • Identifiquen ciertas características de los números racionales al analizar posibles errores de cálculo. Operaciones: estrategias de cálculo

• Elijan la estrategia de cálculo adecuada de acuerdo con la operación que tienen que realizar y los números involucrados. • Elaboren estrategias de cálculo aproximado y redondeo de decimales. • Resuelvan situaciones de cálculo mental que pongan en juego la organización decimal de la notación. Medida

• Comprendan los conceptos de área y de perímetro. • Construyan superficies equivalentes a una dada. • Elaboren estrategias de comparación de superficies. Noviembre y diciembre - Capítulo 9

Operaciones: resolución de problemas

Medida

Operaciones: resolución de problemas

• Situaciones problemáticas con decimales. Tratamiento de la información. Estimación y redondeo. Operaciones: estrategias de cálculo

• Redondeo de expresiones decimales al entero más próximo. • Cálculo aproximado: estimación de resultados. • Resolución de situaciones de cálculo mental que pongan en juego la organización decimal de la notación. Medida

• Perímetro y área de una figura. • Áreas equivalentes.

Numeración

Numeración

• Establezcan relaciones entre fracciones decimales utilizando la organización decimal del sistema métrico como contexto. • Interpreten las equivalencias y utilicen las fracciones en situaciones de medición.

• Utilización de la organización decimal del sistema métrico como contexto para establecer relaciones entre fracciones decimales. • Situaciones de medición que exijan cambios de unidades.

Operaciones: resolución de problemas

• Analicen relaciones entre variables, seleccionen los datos pertinentes y organicen la información para resolver un problema. • Elaboren tablas y gráficos para comunicar datos y para resolver la situación.

Operaciones: resolución de problemas

• Relaciones entre variables. Estadística y proporcionalidad. • Relaciones de proporcionalidad directa. • Estadística: Interpretación de la información presentada en tablas y gráficos de barras. Confección de tablas y gráficos. Operaciones: estrategias de cálculo

• Elijan la estrategia de cálculo adecuada de acuerdo con la operación que tienen que realizar y los números involucrados. • Elaboren y comparen procedimientos de cálculo exacto para multiplicar un decimal por un natural.

• Multiplicación de un decimal por un número natural. • Estrategias de cálculo mental para determinar la distancia entre dos expresiones decimales. • Estrategias de cálculo mental con números decimales. Repertorio aditivo: completar un entero.

Medida

Medida

• Calculen el perímetro y el área de una figura dada. • Elaboren procedimientos para calcular áreas y perímetros de figuras. • Comparen áreas de figuras.

• Medición del área de una superficie. El cm2 como unidad de medida. • Área y perímetro. Área de una figura. • Superficies equivalentes.

Operaciones: estrategias de cálculo

Los conocedores

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Números naturales Suma y resta Figuras

Antes de entrar en los contenidos específicos de este capítulo, es importante destacar que en cada capítulo se presentan recuadros con juegos, desafíos e información. Los juegos permiten una entrada lúdica a los contenidos trabajados en las actividades numeradas del capítulo. Pueden jugarse al comienzo, durante el desarrollo o en el cierre del tema. Si se juegan al comienzo, pueden ser útiles para observar los saberes previos de los alumnos. Los desafíos proponen una nueva vuelta en la construcción de los contenidos trabajados a partir de las actividades numeradas del capítulo. Sugerimos presentarlos cuando el tema esté avanzado. Con ellos se intenta favorecer la búsqueda de estrategias de resolución diferentes, que escapen a lo convencional y que superen aspectos muy mecánicos a menudo presentes en las prácticas de resolución que habitualmente emplean los chicos. El trabajo con los desafíos y las situaciones de juego favorece la problematización de algunos conceptos matemáticos que es interesante poner en discusión. Los recuadros de información funcionan como ventanas al exterior y, a menudo, al pasado. Con ellos buscamos favorecer una mirada del conocimiento desde el punto de vista de la construcción, un conocimiento que la humanidad ha ido y continúa construyendo para dar respuesta a las necesidades e interrogantes que se van presentando. Por otra parte, los contenidos de cada capítulo están organizados en relación con los ejes que es necesario trabajar en una misma unidad temporal: Numeración, Operaciones: resolución de problemas, Operaciones: estrategias de cálculo y Geometría o Medida. En cada unidad de trabajo, de un mes aproximadamente, se abordan todos los ejes, de manera que lo que un alumno está construyendo en el eje Numeración sea puesto en foco al mismo tiempo en Estrategias de cálculo y en Resolución de problemas. En cada capítulo las actividades están identificadas según su eje, pero todas están relacionadas entre sí. Los contenidos de los ejes Geometría y Medida se construyen de un modo más sólido si se trabajan en forma constante a lo largo del año que si se abordan en bloque durante un tiempo breve. Por último, para afianzar la construcción de los contenidos y facilitar las institucionalizaciones teóricas, en las fichas, que irán pegadas en la carpeta, se encuentran los recuadros teóricos sintetizados y una propuesta de actividades relacionadas con el tema del recuadro. Es importante que el trabajo con las fichas se proponga a posteriori de la construcción de los conceptos.

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Los conocedores

Numeración El propósito en este capítulo es el tratamiento del sistema de numeración decimal y, al mismo tiempo, el trabajo de este primer tiempo de clase constituye una síntesis de lo que se hizo en 4.º grado sobre numeración. Para no dejar esta mirada librada solamente a lo espontáneo, es necesario que el docente realice oportunamente intervenciones que provoquen ciertas reflexiones en pos de construir el conocimiento al que se apunta. En este sentido, en la sección Para conversar juntos se incluyen en las páginas del libro preguntas y sugerencias, con la certeza de que no es la explicitación por parte del docente de las propiedades y regularidades del sistema lo que hace que los alumnos se apropien del conocimiento, sino el trabajo constructivo a partir de propuestas que permiten a los chicos explorar, utilizar y analizar el comportamiento del sistema de numeración. Este tipo de preguntas dirigidas a la reflexión implican intervenciones del docente que son necesarias y apuntan a detenerse sobre aspectos del hacer que a menudo son intuitivos y pueden parecer de cierta obviedad, pero sin los cuales el avance queda librado a las posibilidades de cada chico. Este es el único capítulo del libro en el que se propone el trabajo con la recta numérica con números naturales. El uso de la recta es muy útil no solo en este campo numérico sino también en el trabajo con números racionales. Por eso, es necesario que los chicos comiencen comprendiendo su uso con los números naturales. Si el docente considera u observa que sus alumnos no cuentan con suficientes conocimientos previos sobre la recta numérica, puede recurrir a las actividades planteadas sobre ese tema en el libro de 4.° grado. Operaciones: resolución de problemas La noción de problema no debe confundirse con la realización de una operación y el hallazgo del resultado, ni debe significar la simple ejecución de un algoritmo. Tiene que ver, en cambio, con la construcción de nuevos objetos matemáticos. Algunos problemas surgen del interior de la propia disciplina (intramatemáticos). Estos son los problemas que encontraremos habitualmente en los ejes Numeración y Estrategias de cálculo. Otros, en cambio, provienen del mundo exterior, de la vida real (extramatemáticos). En la escuela se propicia la enseñanza de una Matemática relacionada con la faz instrumental; por eso, es conveniente para el trabajo escolar trabajar con situaciones que impliquen una matemática aplicada, contextualizada, relacionada con la interpretación del

mundo que rodea a los alumnos, con sus necesidades e intereses cotidianos, que paulatinamente les ofrecerán los elementos formales propios de la ciencia objeto de estudio. En los capítulos de este libro, hay problemas cuyo título proviene del contexto extramatemático en el que están encuadradas las situaciones, porque el objetivo es, al mismo tiempo, la construcción progresiva de las operaciones necesarias para resolverlos y el tratamiento de la información que se presenta. En este capítulo, tanto en Escalar montañas como en La feria de artesanos el trabajo se centra en la suma y la resta de números naturales, en los diferentes significados de estas operaciones, especialmente en la comparación de cantidades y en el tratamiento de la información: el uso de varios pasos, la selección de datos y el abordaje de situaciones presentadas de diferentes modos (cuadros de doble entrada, tablas, etcétera). Conviene recordar que, para estimar un resultado, como se pide en La feria de artesanos, es posible redondear los números del cálculo con el fin de transformarlo en un cálculo más sencillo de resolver mentalmente. Además de las situaciones, en todos los capítulos hay en este eje un análisis de posibles estrategias de resolución cuyo objetivo es facilitar la reflexión conjunta sobre las estrategias en función de la resolución de las situaciones. Operaciones: estrategias de cálculo Trabajemos recordando que la habilidad de calcular implica manejar propiedades relacionadas con la naturaleza de los números, con las reglas del sistema posicional decimal y con las propiedades de la operación en sí misma. Los cálculos mentales tienen las siguientes características. Son cálculos en los que se considera el número total; son reflexionados. Se puede recurrir al lápiz y papel, y a la calculadora, según sea la búsqueda que se realice con ella en función del cálculo propuesto. Estos cálculos se caracterizan por una diversidad de técnicas y de estrategias que guardan relación con los números en juego, con los conocimientos del sistema de numeración, con las operaciones que tiene disponibles quien los realiza y también con sus preferencias personales. En este capítulo se vuelve sobre algunas estrategias de cálculo que es deseable que los chicos hayan trabajado en años anteriores y que es útil actualizar. Al mismo tiempo, se propone un avance en la complejidad, ya que se aumenta el rango numérico. Una de estas estrategias es reconocer que no siempre respetar el signo

es lo más útil para resolver mentalmente un cálculo, tal como dicen los chicos en la página 17. En las actividades de la primera página de este eje el tema central es el valor posicional, es decir, el valor relacionado con la posición, para poder diferenciar claramente valor absoluto de valor relativo. Además, en este capítulo se continúa reflexionando acerca de la noción de sistema. Por eso, se aborda la resolución de problemas que exigen una profundización del análisis del valor posicional, tarea que ya fue trabajada extensamente en 4.° grado. Geometría Este enfoque implica un movimiento respecto de la postura “primero enseño y después lo usan”. Los desafíos tienen que ser de tal clase que, para resolverlos, los alumnos puedan usar sus conocimientos previos, pero que, al mismo tiempo, no les sean suficientes y experimenten la necesidad de construir otros saberes. Los juegos de adivinar la figura pueden parecer repetidos. Sin embargo, en los juegos de adivinar, en las actividades de construcción a partir de ciertos datos, en la elaboración de mensajes o en las actividades de reproducción de un modelo dado, vamos a ir observando y proponiendo un ajuste cada vez mayor en el vocabulario, ciertas restricciones en cuanto a la cantidad de preguntas que se pueden hacer para adivinar, y vamos también a ir aumentando la cantidad y la complejidad de las figuras que intervienen en el juego. Con las actividades propuestas, iremos viendo que se manifiestan diversos y variados procedimientos de resolución, si damos el espacio para que los chicos las resuelvan de forma autónoma y del modo que sepan hacerlo. En los momentos de análisis conjunto de las formas de resolución se va a ir institucionalizando el conocimiento que desde otro enfoque se daba en una clase. Es importante permitir que los chicos desarrollen sus procedimientos e hipótesis sin darles desde el adulto un formato previo, para que puedan elaborar progresivamente los objetos geométricos. En esta elaboración –con la intervención docente– irán logrando conceptualizaciones parciales que se convertirán en el saber previo para encarar la construcción de los conceptos matemáticos en los años siguientes. Es importante respetar el momento del intercambio para que los chicos tengan la posibilidad de argumentar, confrontar, corregir, preguntar y debatir. Todas estas acciones son fundantes en la construcción de los conceptos.

Los conocedores

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Sistema de numeración Las cuatro operaciones Triángulos

En los recuadros teóricos que aparecen a lo largo del libro, se presenta una síntesis de los contenidos matemáticos más relevantes de cada eje. Estos recuadros son el resultado de diversas institucionalizaciones parciales. La intención es sistematizar los haceres y los conceptos matemáticos que se fueron desplegando a partir de las propuestas de las actividades anteriores. Es un buen momento para que el docente se comprometa con la fase de institucionalización. Numeración El principal objetivo de estudiar otros sistemas de numeración es comparar con otros nuestro sistema decimal, con el fin de profundizar la explicitación de sus características y de avanzar en una reflexión que potencie su uso en las estrategias de cálculo que cada alumno va construyendo y desplegando. Otro objetivo importante es reflexionar sobre el hecho de que los saberes se han ido construyendo a lo largo del tiempo, con el aporte de muchas civilizaciones y como respuesta a las necesidades que se fueron presentando. Para poder hacer este análisis comparativo es necesario conocer algo de los otros sistemas. Por eso, hay algunas actividades de escritura y de “traducción” de un número de un sistema al otro. Las reglas de nuestro sistema están consignadas en un recuadro teórico en el Capítulo 1, de modo que los chicos ya cuentan con la información para reflexionar sobre el comportamiento y el funcionamiento de cada sistema y para realizar comparaciones. Operaciones: resolución de problemas Vidrieras para decorar y La investigación de Juan son situaciones que involucran varias operaciones y estrategias que se espera que los chicos hayan elaborado en 4.° grado: la consideración del resto en una división y el uso de estrategias de cálculo mental. Además, se continúa el trabajo sobre el tratamiento de la información, que se va a ir desplegando en cada uno los capítulos; en este caso, se trabaja con un cuadro de doble entrada y con la selección de la información pertinente para resolver una situación. En relación con el uso de las páginas tituladas Reflexionemos juntos sobre los problemas es necesario puntualizar que, antes de abordarlas, hay que poner en común las soluciones que desplegaron los alumnos, ya que la introducción de posibles soluciones, a menudo presentadas como realizadas por otros chicos, tiene como finalidad recrear procedimientos interesantes y ofrecerlos al análisis del grupo, al debate, considerando

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la posibilidad de que algunos de esos procedimientos no aparezcan en un grupo escolar, aunque sí hayan aparecido en otros. Hay que destacar que la presencia en el libro de los diferentes procedimientos no implica su enseñanza y que la reflexión sobre esos procedimientos no implica imponer una única manera de resolver las situaciones. Nuestra intención al incluirlos es facilitar la gestión de la clase. Si alguno de los alumnos hubiera presentado un procedimiento distinto, es conveniente tomarlo y presentarlo también. Operaciones: estrategias de cálculo En este eje se continúa el trabajo con nuestro sistema de numeración. En Comprobar con la calculadora, el objetivo es revisar estrategias que es esperable que hayan sido elaboradas en 4.° grado y, al mismo tiempo, ir más allá. En esta página se recorren variadas estrategias de cálculo, todas basadas en la organización decimal del sistema y en la interpretación y la utilización de la información contenida en la escritura decimal. En la página destinada al redondeo, el trabajo se inicia directamente con el planteo de una situación y un Para conversar y responder juntos (“¿Por qué la señora dice “gasté 50 + 100 + 100”? Conversen acerca de la utilidad del redondeo para hacer un cálculo aproximado. ¿Cómo redondeó la señora cada número?”). Con esto se busca favorecer la enunciación y la explicitación de las hipótesis de cada alumno antes de institucionalizar ciertas reglas del redondeo, que se ofrecen luego en el recuadro teórico. Finalmente, se propone redondear números según lo indicado en la tabla, en función de lo enunciado en el recuadro. El trabajo que se propone sobre algunas estrategias de cálculo puede parecer “poco”. La razón es que se espera que el abordaje de esas estrategias haya sido iniciado ya en 4.° grado. Si el docente encuentra que sus alumnos no cuentan con esos saberes previos y que hace falta un mayor desarrollo, puede utilizar las páginas del libro de 4.° grado en las que se inicia el trabajo con esas estrategias. Geometría En este capítulo se estudian dos propiedades fundamentales para evaluar la existencia del triángulo: la propiedad triangular y la suma de las medidas de los ángulos interiores de un triángulo. Estas propiedades también serán fundamentales para considerar la posibilidad de construcción de un triángulo. Asimismo, en este capítulo se aborda la clasificación de los triángulos según sus lados y según sus ángulos.

El trabajo que se intenta hacer en general a lo largo de las páginas del libro es claramente científico: a partir de diferentes pruebas, cálculos, etc., los niños elaborarán conjeturas que luego se corroborarán o refutarán. En la escuela primaria, los chicos no cuentan aún con elementos que les permitan llevar adelante procesos deductivos (de lo general a lo particular), característicos de la construcción del conocimiento matemático. De todas maneras, cuando sea posible, se presentarán algunas pruebas matemáticas. La actividad inicial de la página 34 apunta a que los chicos puedan hipotetizar acerca de la relación entre las medidas de los lados del triángulo. Por supuesto, no estamos en condiciones de demostrar que todo lado de un triángulo es menor que la suma de los otros dos; pero sí institucionalizaremos esta afirmación a partir de las diferentes afirmaciones elaboradas por los chicos luego de construir los diferentes triángulos. Sabemos, como dijimos antes, que no es un proceso deductivo, pero es el camino que ubica a los niños como hacedores del conocimiento matemático, del mismo modo que los matemáticos construyeron el conocimiento matemático cuando se les presentó un problema. En la página 35, a partir de la medición, pretendemos que los chicos elaboren también conjeturas acerca de la suma de las medidas de los ángulos interiores de un triángulo. No tenemos herramientas para demostrar esta propiedad, pero, en la actividad 24, “intentamos” despegarnos de la medición. Apoyándose en la definición de rectángulo y usando como herramienta la altura de un triángulo, los chicos podrán elaborar la afirmación de que la suma de las medidas de los ángulos interiores de un triángulo rectángulo es igual a 180º (la diagonal divide el rectángulo en dos triángulos rectángulos congruentes). Luego, en el Para conversar juntos, pretendemos que la discusión avance a cualquier triángulo. En las páginas 36 y 37, se continúa con el estudio de las propiedades mencionadas, pero ahora se considera la clasificación de los triángulos de acuerdo con sus lados y sus ángulos. Además, aunque tampoco se demuestre, se discute acerca de las medidas de los ángulos interiores de los triángulos isósceles y equiláteros. Es importante destacar que, aunque las condiciones de posibilidad para la construcción de triángulos aún no son objeto de estudio, sí se pretende que se discuta acerca de cuáles son las posibilidades para que el triángulo dibujado sea único, es decir, qué medidas es necesario indicar para que todos hagan el mismo triángulo. Por ejemplo, todos podemos dibujar un triángulo

isósceles y obtusángulo, pero si no se fijan las medidas de lados y ángulos, las construcciones no serán únicas. Finalmente, queremos destacar la necesidad de dejar siempre el espacio y el tiempo para las discusiones planteadas en los Para conversar juntos de estas páginas de Geometría. Estas discusiones son las que favorecen el encadenamiento de las institucionalizaciones parciales y progresivas que vamos realizando. Asimismo, las preguntas fueron incluidas oportunamente con el objetivo de cuidar epistemológicamente los objetos matemáticos. En las actividades de repaso de la página 39 se pretende que los chicos apliquen lo trabajado sobre triángulos en las páginas del capítulo. Sin embargo, aparece una actividad (la 43, en la que se les solicita que tracen las alturas de un triángulo obtusángulo) que podrá provocar mayor discusión entre los chicos y que necesita de un mayor acompañamiento. De todas maneras, esta actividad será recuperada en el capítulo siguiente. Por otra parte, en las fichas, hay más actividades para aplicar y reforzar todo lo visto. También es posible que algunas de las actividades de la sección Para volver a pasar por los temas sean utilizadas para evaluaciones parciales a lo largo del año, a fin de considerar el posicionamiento de los chicos en relación con los diferentes ejes conceptuales. El desafío que aparece en la página 34 tiene por objetivos desarrollar la imaginación espacial, colaborar en la construcción del concepto de triángulo y ayudar a la búsqueda de métodos sistemáticos para la resolución de problemas. El juego que aparece en estas páginas es útil para entrar en tema o para cerrarlo. Jugando, los chicos elaboran sus primeras afirmaciones en relación con la clasificación de los triángulos y, a partir del juego, revisan sus saberes elaborados en la clase. Es importante tener en cuenta que los juegos se deben jugar a lo largo del año en diferentes oportunidades, ya que permiten el avance y el afianzamiento de los contenidos.

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Múltiplos y divisores Multiplicación Triángulos

Numeración En 4.º grado se comenzó el trabajo con los conceptos de múltiplo y de divisor, y con las relaciones entre cociente, divisor, dividendo y resto. En 5.º grado se continúa la profundización en el tratamiento de la divisibilidad. En este capítulo se abordarán nuevamente los conceptos de múltiplo y de divisor, y además, los conceptos de números primos y compuestos. Para determinar los primeros números primos, se utiliza la criba de Eratóstenes. La divisibilidad es el estudio que se lleva a cabo sobre la división exacta y las conclusiones que surgen de él. Un número natural a tiene la propiedad de ser divisible por otro número natural b cuando, al efectuar la división entre a y b, el cociente es exacto. Como consecuencia de esta definición, surgen afirmaciones que comenzaremos a institucionalizar progresivamente en Segundo ciclo, a saber: • todo número es divisible por sí mismo y por la unidad; • el número 1 es divisor de todos los números porque todos los números son múltiplos de 1; • todo número tiene infinitos múltiplos porque podemos multiplicarlo por cualquiera de los números naturales y obtener un múltiplo; • si se multiplica un natural por cero el resultado es cero, por lo que el cero es múltiplo de todos los números; • todo número tiene una cantidad finita de divisores, porque solo todos los números naturales menores que él pueden generar cocientes exactos; y • todo número par es múltiplo de 2. En el conjunto de los números naturales se pueden reconocer tres subconjuntos disjuntos: el de los números primos (que son divisibles por sí mismos y por la unidad), el de los números compuestos (que tienen más de dos divisores) y el conjunto cuyo único elemento es el 1. En la totalidad del conjunto de los números naturales no podemos realizar esta partición, pero sí en el conjunto de los cien primeros, a partir de la construcción de la criba de Eratóstenes. El procedimiento utilizado es el siguiente. 1. Armamos una tabla con los números del 1 al 100, como la que se presenta en la página 41 del libro. 2. Tachamos el 1, que no es primo ni compuesto. 3. El 2 es primo, pero no son primos los múltiplos de 2; entonces, tachamos los números pares, salvo el 2. 4. El 3 es primo, pero no los múltiplos de 3; entonces, tachamos los múltiplos de 3 no tachados, salvo el 3. 5. El 5 es primo, pero no lo son los múltiplos de 5; entonces, tachamos los múltiplos del 5 a partir del 25 (el 10, el 15 y el 20 ya fueron tachados). 6. El 7 es primo, pero no lo son los múltiplos de 7; entonces, tachamos el 49, el 77 y el 91.

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7. El 11 es primo y sus múltiplos hasta 100 ya fueron tachados, entonces dejamos el 11 sin tachar. Los números que quedaron sin tachar, son los números primos menores que 100. Identificar los números primos y los números compuestos es fundamental para el estudio del divisor común mayor y el múltiplo común menor. Operaciones: resolución de problemas Sabemos que para lograr un aprendizaje significativo en Matemática hay que proponer situaciones que planteen problemas. Enfrentados al problema, las nociones matemáticas se constituyen en instrumentos necesarios para su resolución y, por lo tanto, se les otorga valor y sentido. Por ello, un conocimiento matemático solo puede considerarse aprendido cuando se ha funcionalizado, es decir, cuando es posible emplearlo como medio para resolver una situación o un problema. En estas páginas, en En el taller de arte, se presentan situaciones para el tratamiento de la divisibilidad en el conjunto de los números naturales: los conceptos de múltiplo común menor y divisor común mayor. El estudio de la divisibilidad, que fue iniciado en 4.º grado, se aborda ahora con mayor carga teórica, y se continuará en 6°. También se abordan los conceptos de múltiplo común y de divisor común y la interpretación de los pasos a seguir para determinar el menor de los múltiplos comunes no nulos y el divisor común mayor entre dos o más números. En Un torneo deportivo se continúa poniendo atención en el tratamiento de la información en torno a los problemas del campo multiplicativo, con situaciones de proporcionalidad y con la construcción del concepto de proporcionalidad directa, que implica no solo la identificación de situaciones de proporcionalidad directa sino también la distinción entre situaciones proporcionales y situaciones no proporcionales. En las situaciones de proporcionalidad nos interesa avanzar en el análisis de las propiedades –iniciado en Primer ciclo– a partir de las regularidades observadas en las tablas, pero con el objetivo de avanzar en el tratamiento de la multiplicación. Uno de los significados de la multiplicación lo otorgan las situaciones de proporcionalidad, por ejemplo, un problema clásico de Primer ciclo es: “¿Cuánto pagó Ana por 6 alfajores si cada uno cuesta $ 2?”. En este problema de proprcionalidad es posible representar la relación (“al doble de alfajores el doble de pesos”, “al triple de alfajores el triple de pesos”) en una tabla para analizar sus propiedades (por ejemplo, “si se suma el precio de 1 alfajor al de 2 alfajores, se obtiene el precio de 3 alfajores”). A partir de $ 2, que es el valor de la unidad, se puede

calcular el valor de cualquier cantidad de alfajores con una multiplicación (por ejemplo, para 4 alfajores: 4 × 2), o bien una suma (2 + 2 + 2 + 2). No es objetivo del Primer ciclo que los alumnos identifiquen las propiedades de la proporcionalidad, pero sí que las usen intuitivamente en la resolución de diversos problemas como “Una flor tiene 5 pétalos. ¿Cuántos pétalos tienen 9 flores?” o “Ariel le quiere regalar 4 caramelos a cada una de sus 4 primas. ¿Cuántos tiene que comprar?”. En cambio, en Segundo ciclo la proporcionalidad se convierte en objeto de estudio. Operaciones: estrategias de cálculo En este capítulo el trabajo se centra en el desarrollo de estrategias de cálculo mental ligadas a la multiplicación y basadas en el uso de las propiedades de la multiplicación. Este desarrollo implicará el uso de la multiplicación por la unidad seguida de ceros y el afianzamiento del algoritmo. Este es un buen momento para poner en duda, ratificar o rectificar algunas estrategias, obtener progresivamente algunas certezas, profundizar y generalizar. En relación con el estudio de las propiedades de la multiplicación, hay que tener presente que la búsqueda de sentido de las propiedades se da en el uso y que la definición de las propiedades ha de ser posterior a la resolución de problemas que impliquen su uso. En muchos momentos del libro se proponen actividades para hacer con calculadora. A veces se utiliza para verificar, otras para resolver y corregir, otras para explorar, etc. En este capítulo, la calculadora es un buen instrumento para explorar las propiedades de la multiplicación, ya que facilita poner el foco en las propiedades sin el esfuerzo de numerosas reiteraciones del procedimiento algorítmico y con una reducción favorable de posibles errores. En la página 48, presentamos la cuenta de multiplicar, que ya ha sido trabajada en años anteriores. Para poder discutir el uso correcto del algoritmo se presentan algunas cuentas con errores, cuyo análisis permitirá revisar las estrategias de cada alumno. En la página 49, a partir de la cuenta de multiplicar y de cálculos mentales, sintetizamos las propiedades de la multiplicación, que también se trabajan desde el Primer ciclo, aunque sin explicitarse. Geometría En este capítulo se abordan las condiciones necesarias y suficientes para la construcción de triángulos. Por un lado, las construcciones son objeto de estudio. Por otro, son una herramienta para lograr “el mejor dibujo” del objeto geométrico que queremos estudiar. A mayor precisión, mayores posibilidades tiene el chico de comenzar a identificar las propiedades que caracterizan al objeto.

El uso de la regla y el compás permite el transporte de segmentos y de ángulos y, por supuesto, otras construcciones que, siguiendo a la escuela griega, se consideran fundamentales: trazar la recta que une dos puntos (regla), hallar el punto de intersección de dos rectas (regla), trazar una circunferencia de centro y radio dados (compás), hallar la intersección de recta y circunferencia (regla y compás) y la intersección de dos circunferencias (compás). En particular, para poder construir un triángulo, hay que contar con los siguientes datos. • Dos lados a y b y el ángulo comprendido ^ C. La construcción se reduce al simple transporte de los datos. • Un lado a y dos ángulos ^ By^ C. Dados dos ángulos, puede hallarse el tercero construyendo por transporte el suplementario de su suma (que sumen 180º). Por eso, suponemos en la construcción que conocemos los ángulos contiguos al lado dado, transportamos sobre los extremos del lado ambos ángulos en un mismo semiplano y queda construido el triángulo. • Tres lados. El problema se reduce a hallar la intersección de dos circunferencias cuyos centros son los extremos de un lado a y sus radios son los otros dos lados, b y c. En estos tres casos, los triángulos que se obtienen con unos mismos datos son iguales, es decir que la solución es única. Con la construcción que sigue no ocurre lo mismo. • Dos lados a y b y el ángulo ^ A opuesto a uno de ellos. Sobre uno de los lados de ^ A llevamos el lado contiguo. Con centro en su extremo C y con radio a trazamos una circunferencia. Su intersección (dos posibilidades para B) con la recta del otro lado r determina el triángulo. Esta última posibilidad implica una discusión matemática que no será objeto de estudio en 5.º grado. Como un caso particular de los anteriores, es posible resolver fácilmente la construcción de un triángulo rectángulo si se conocen los dos catetos, un cateto y un ángulo, la hipotenusa y un ángulo o la hipotenusa y un cateto. También se puede resolver la construcción de un triángulo isósceles si se conocen un lado y un ángulo, la base y un ángulo, o la base y un lado. Estas diferentes construcciones son abordadas en las cuatro páginas de Geometría del capítulo. Además, en la última página del eje se analizan determinadas construcciones teniendo en cuenta como dato la altura. El objetivo del desafío presentado en la página 51 es el aprendizaje de la resolución de problemas. No alcanza con una primera vista para que el problema quede resuelto: es necesario realizar “nuevas observaciones”. Ante la pregunta de cuántos triángulos hay en la figura, es muy común que los chicos primero respondan 24. En las miradas posteriores, podrán determinar la totalidad de los triángulos.

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Múltiplos y divisores División Cuadriláteros

Numeración En este capítulo, el estudio se orienta a los criterios de divisibilidad. Las cifras que componen un número nos indican las posibilidades que ese número tiene de ser divisible por otro. Las condiciones que se describen para esas cifras determinan los criterios de divisibilidad que permiten averiguar el número por el cual es divisible otro dado sin necesidad de hacer la cuenta de dividir. Por ejemplo, un número es divisible por 11 cuando la suma de las cifras de los lugares pares menos la suma de las cifras de los lugares impares es múltiplo de 11 (4.357 no es múltiplo de 11 porque (3 + 7) – (4 + 5) = 1, que no es múltiplo de 11). En 5.º grado se construirán algunos criterios de divisibilidad y en 6.º se construirán otros; pero la intención, tanto en 5.º como en 6.º, es que los chicos “exploren” los números para elaborar dichos criterios. Operaciones: resolución de problemas El objetivo de los apartados Para conversar juntos es mirar, con otros, diferentes soluciones y tratar de descentrar la mirada de la propia producción, esto es, observar con más objetividad lo hecho por uno mismo y analizar los procedimientos y las estrategias utilizados por los compañeros. Desde el punto de vista del aprendizaje matemático, estas prácticas en el aula generan avances sobre los conocimientos y su interrelación: el comportamiento de los números, las relaciones entre ellos, las operaciones posibles, la diversidad de caminos de resolución. Por otra parte, en un enfoque que toma en cuenta la construcción del saber matemático, el pedido de validación posterior (al hacer la reflexión sobre la propia acción) y la argumentación basada en lo hecho son fundantes del avance progresivo, que es uno de nuestros objetivos. Es necesario tener en cuenta que cuando hablamos de recuperar saberes previos nos referimos no solo a los que los chicos ya tienen, sino a las actualizaciones que puedan hacer de esos saberes para encarar la nueva situación. Los niños deberían saber en qué viejos conceptos pueden apoyarse e ir estableciendo las relaciones que existen entre la división, la multiplicación, la suma y la resta. Es función de la escuela favorecer el trabajo con diferentes situaciones y contextos que permitan a los chicos aprender a distinguir cuál es la operación o las operaciones que resuelven una situación. En muchas ocasiones, las preguntas que se plantean tienen como propósito generar un avance respecto del tratamiento del mismo tema en 4.° grado.

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En Cooperativa “La catamarqueña”, ¿Cuántas veces? y Los problemas y la cuenta de dividir, las situaciones que se plantean apuntan a abordar variadas situaciones que continúan centrándose en la generación de un avance en la construcción del concepto de división. Se hace foco en el hecho de que un chico tenga la posibilidad de resolver diversos problemas a través de la división. Por ejemplo, que encuentre que la división le permite: • averiguar en cuántas partes se puede repartir una cantidad dada y saber cuánto le corresponde a cada una (problemas de partición); • averiguar cuánto le corresponde a cada parte dentro de un reparto (problemas de reparto); • averiguar cuántas veces se repite un período determinado (problemas de iteración); • analizar qué sucede con el resto, donde se pone en evidencia que el resultado de la cuenta no es siempre la respuesta al problema, y • establecer la relación entre dividendo, divisor, cociente y resto. Es importante que el chico le pueda poner un nombre a cada una de estas partes, según el contexto del problema, y que pueda identificar a qué se refiere cada una. A eso responde el pedido de elaborar un problema que se responda con cada parte del algoritmo de la división, una complejidad mayor que la planteada en 4.° para el trabajo con este tema. Operaciones: estrategias de cálculo Es esperable que los alumnos hayan ido transitando por variadas estrategias de cálculo mental en torno a la multiplicación y la división, lo que implica la construcción de un repertorio y el trabajo sobre las propiedades de las operaciones y los números, con el doble objetivo de la construcción y el uso. Para resolver una situación, los chicos exploran diversas estrategias heurísticas; es un objetivo de 4.º comenzar a utilizar el algoritmo convencional, y de 5.° avanzar en la construcción y afianzar su uso con un mayor dominio de las propiedades de la multiplicación y la división que se están poniendo en juego en su resolución. Es necesario transitar por diversas estrategias de cálculo mental antes de “registrar” el algoritmo como el procedimiento óptimo para encontrar el resultado de una división. Y es esperable que en 4.° se haya trabajado sobre las más significativas para abordar la construcción del algoritmo. En este capítulo se avanza en el análisis del algoritmo de la división por dos cifras y se pide expresar en palabras una explicación (“Busquen una manera de explicar el procedimiento que utilizó Marina a alguien que no lo conozca.”).

En la página 64 presentamos la cuenta de dividir que ya ha sido trabajada en años anteriores. Para poder discutir el uso correcto del algoritmo se presentan algunas cuentas con errores. El análisis de estos errores permitirá revisar las estrategias de cada alumno. En la página 65, a partir de cálculos mentales, sintetizamos las propiedades de la división. Para explorar las propiedades también nos apoyamos en el uso de la calculadora. Es responsabilidad de la escuela enseñar a usar la calculadora. Una forma de hacerlo es mediante la resolución de cálculos que permitan un uso reflexivo de la calculadora. Por ejemplo: ¿Por qué 3 + 4 x 5 no es 35? Si quiero obtener este resultado, ¿qué pasos debo seguir para resolverlo? Geometría En este capítulo nos ocuparemos de estudiar los cuadriláteros. Para entrar en tema comenzaremos elaborando mensajes. Esto les permitirá a los niños determinar qué contenidos tienen disponibles y cuáles necesitan para resolver la situación. Para definir los diferentes cuadriláteros tenemos en cuenta el paralelismo de los lados. Cuando un cuadrilátero tiene solo un par de lados opuestos paralelos se llama trapecio. Si, en cambio, son paralelos los dos pares se llama paralelogramo. Se debe prestar especial atención a la definición de cuadriláteros que se presenta a los chicos. No es lo mismo decir “un trapecio es el que tiene al menos un par de lados paralelos” que “un trapecio tiene un solo par de lados paralelos”. En el capítulo se trabaja con la segunda definición. Si lo hacemos con la primera, los paralelogramos también serían trapecios. Considerando esta última definición, los rectángulos, los rombos y los cuadrados pertenecen al conjunto de los paralelogramos. Cada uno puede definirse como un paralelogramo del siguiente modo: • el rectángulo es un paralelogramo que tiene todos los ángulos iguales (equiángulo), • el rombo es un paralelogramo que tiene todos sus lados iguales (equilátero), y • el cuadrado es un paralelogramo equilátero y equiángulo. Entonces, el cuadrado es rectángulo y rombo. Otra consecuencia de estas relaciones es que todo rectángulo, rombo o cuadrado tiene todas las propiedades del paralelogramo. Precisamente, la actividad 23 apunta a reflexionar sobre estas propiedades en el marco del método deductivo.

En este capítulo comenzamos a abordar la construcción de cuadriláteros. Se pretende la construcción con el auxilio de la regla no graduada y el compás para que el razonamiento deductivo sea el fundamento de esa construcción. En diferentes actividades se propone el uso de otros instrumentos geométricos, como la regla graduada y el transportador. La intención es que los niños elaboren conjeturas sobre las relaciones entre los elementos de las figuras y las propiedades. Progresivamente se irá avanzando hacia el uso de la regla no graduada y el compás con el objetivo de que no solo “aparezcan” argumentos hipotéticos deductivos, sino también argumentos deductivos. La conjetura es central en el trabajo matemático de la escuela primaria y el razonamiento deductivo lo será en la escuela secundaria. El Para conversar juntos que se encuentra a continuación de la actividad 20 apunta a la elaboración de una afirmación y su justificación. Los chicos no cuentan con herramientas desde el marco metodológico-matemático, en particular, con la demostración; pero sí pueden, a partir de los datos indicados, “observar” las relaciones entre los triángulos que conforman la representación de la figura.

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Fracciones Cuadriláteros

Numeración En este capítulo se inicia el trabajo con los números racionales, que se desplegará hasta el capítulo el 9. El concepto de fracción es central en el segundo ciclo. Por eso, teniendo en cuenta el avance en la complejidad del objeto matemático, resulta indispensable definir qué aspectos de aquel deberán ser abordados en cada uno de los años del ciclo. En 4.º grado el foco estuvo puesto en el concepto de fracción y en ciertas estrategias de cálculo que confluyen en la construcción del concepto, ya que un buen trabajo sobre el concepto crea una base sólida para todos los contenidos que se trabajan con fracciones. En 5.° grado, la entrada a las fracciones también se propone desde las situaciones de reparto de enteros en partes iguales, el análisis de esos repartos y el concepto de equivalencia. Es esperable que en 4.° el concepto haya sido elaborado y que, cuando el tema se trate en 5.°, los alumnos estén en condiciones de abordar el aspecto de la escritura de las fracciones, las diferentes escrituras de expresiones con fracciones y el concepto de equivalencia entre escrituras diferentes. En La cuenta de dividir y las fracciones se avanza respecto del trabajo hecho en 4.° al enunciar la relación entre las fracciones y la división, expresando en el recuadro teórico la vinculación entre los números que intervienen en una división entera con la fracción que expresa el resultado de un reparto. Si el docente considera que sus alumnos no cuentan con suficientes saberes previos para iniciar este análisis como se propone en estas páginas, sugerimos utilizar algunas de las actividades propuestas en el libro de 4.° grado. Operaciones: resolución de problemas El trabajo con fracciones se sigue proponiendo desde la perspectiva del cálculo mental y no del cálculo algorítmico. El cálculo mental se define como un conjunto de procedimientos que no refieren a un algoritmo. Es un conjunto de estrategias y procedimientos que va desplegando quien los hace, a partir del análisis de los datos con los que cuenta. Son cálculos que se utilizan para obtener resultados exactos o aproximados. Las estrategias pueden ser muy diversas y no se espera un único camino para llegar a la resolución; por esto las estrategias que se analizan son propias del cálculo mental y se hacen preguntas y propuestas que apuntan a que cada alumno valide su solución; por ejemplo: “Compartan cómo resolvieron cada uno de los repartos y cómo escribieron las fracciones que obtuvieron como resultado.”.

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Podemos afirmar que, para llegar a un aprendizaje significativo, el alumno debe construir por sí solo el conocimiento matemático, y los problemas son el motor que lo motivan a indagar entre sus saberes previos para decidir qué le conviene hacer y lo conducen a la investigación de nuevos saberes. Estos le permitirán revisar y reorganizar sus estructuras cognitivas. La búsqueda de procedimientos para resolver las diferentes situaciones va otorgando sentido a los conceptos matemáticos. Para favorecer esta búsqueda de sentido, el docente debe contextualizar los conocimientos que desea que los alumnos aprendan y vincularlos con una gran variedad de situaciones en las que puedan emplearse. Este enfoque propone una forma de trabajar centrada en la construcción; por eso, cuando se trata de resolver problemas se alienta a los chicos a que lo hagan con los saberes y las estrategias con las que cuentan. Así avanzan gradualmente y de manera segura hacia la comprensión del sentido de las operaciones. Es posible que algunos utilicen procedimientos adquiridos mecánicamente, y está en la gestión del docente indagar si son sólidos y comprendidos, solo mecánicos o un poco de cada manera. El momento de compartir lo hecho y reflexionar sobre algunos aspectos de la tarea o de los contenidos es muy importante porque, en el caso de este eje, les permitirá a los chicos avanzar en la comprensión de los enunciados y en la construcción de estrategias de resolución y, progresivamente, en la comprensión de la operación. Operaciones: estrategias de cálculo En Las fracciones y los enteros se enfoca la relación entre las partes y los enteros (un tema central en 4.°) y se avanza en los recursos de cálculo mental para encontrar la fracción de un entero; el recuadro teórico da cuenta del cómo y sistematiza un enunciado. En Reconstruir una fracción se ofrecen situaciones que permiten componer una cantidad a partir de otras expresadas en fracciones y se trabaja con magnitudes continuas y discretas, ya que al momento de identificar la parte y el todo, presentan dificultades diferentes. Recordemos que para el tratamiento de las operaciones es importante considerar diferentes tipos de problemas y diferentes estrategias de cálculo. En el caso de las operaciones con fracciones, las estrategias de cálculo mental son fundamentales para poder comprender los algoritmos convencionales. Por ejemplo, pensar en escrituras equivalentes para reconstruir un entero o una fracción nos permite comprender más fácilmente la suma o resta de fracciones; hacemos el camino inverso

a partir del trabajo con fracciones usuales: “¿Cuántos octavos necesito para obtener un medio? Y para comprar 1 kilo y medio de yerba, ¿cuántos paquetes de 1/4 kg puedo llevar?”. Ambas situaciones, una de contexto real y otra de contexto intramatemático, nos permiten aproximarnos a las escrituras equivalentes de un número. Si empezamos de esta manera será mucho más sencillo comprender por qué 1/4 + 1/8 representa 3/8; la búsqueda de fracciones equivalentes para realizar la suma indicada resulta una estrategia inmediata de resolución. Geometría En este capítulo seguimos explorando las propiedades de los cuadriláteros en relación con las diagonales, los lados y los ángulos. Asimismo, continuamos estudiando las condiciones de posibilidad de las construcciones de cuadriláteros. La intención del estudio de las diagonales del rectángulo es conjeturar sobre su medida. Los chicos “observarán” que para todos los rectángulos las diagonales son congruentes. No pretendemos que hagan una demostración matemática, pero sí podemos hacer algunas afirmaciones, producto de razonamientos lógico-matemáticos. Por ejemplo, en el rectángulo ABCD, podemos “comparar” los triángulos ACD y BCD: el lado CD es compartido por los dos triángulos, los lados AC y BD son congruentes por ser lados opuestos del rectángulo, y los ángulos C y D son rectos por ser ABCD rectángulo. Estas afirmaciones nos permiten concluir que los triángulos son congruentes, lo que significa que también lo son los lados AD y BC, que son las diagonales del rectángulo. A

B

C

D

En las actividades siguientes, a partir de ciertas pautas de construcción, pretendemos que los chicos puedan definir el cuadrilátero. Por ejemplo, si las diagonales son diferentes, se cortan en su punto medio y son perpendiculares, sabemos que se trata de un rombo. A partir de las construcciones, los chicos no solo definen, sino también establecen las propiedades, en este caso, relacionadas con las diagonales: “las diagonales de un rectángulo son iguales”, “las diagonales de un rombo son perpendiculares entre sí y se bisecan mutuamente”, “las diagonales de un rombo son bisectrices de los ángulos de los vértices que unen”, “las diagonales de un rombo forman cuatro triángulos congruentes”. En las páginas 84 y 85 “observamos” qué sucede con las medidas de los ángulos y de los lados. Cabe aclarar algo muy importante que no se suele tener en cuenta: los cuadriláteros se clasifican según el paralelismo de los lados; lo que sucede con la medida de los ángulos y de los lados es consecuencia de esa definición y no parte de la definición: las diagonales de un paralelogramo se cortan en su punto medio. Este punto es centro de simetría del paralelogramo. Los lados opuestos son iguales entre sí, y los ángulos opuestos también (por ser homólogos en dicha simetría). Los ángulos consecutivos son suplementarios (por ser conjugados respecto de dos lados opuestos cortados por el lado común). Aunque esto último no será objeto de discusión, debemos cuidar la adecuada transposición didáctica del objeto matemático. En la página 85 caracterizamos y definimos el romboide, que no es ni trapecio, ni paralelogramo. Sin embargo, podemos determinar que algunos paralelogramos son romboides, como el rombo. En la página 87 reforzamos el trabajo con construcciones, especialmente el referido a cuáles son las condiciones de posibilidad para una construcción.

A los chicos no les plantearemos que hemos trabajado con uno de los criterios de igualdad de triángulos, aplicado a los triángulos rectángulos: “Dos triángulos rectángulos de catetos respectivamente iguales son iguales.” Si bien esta discusión sobre los criterios de congruencia de triángulos será un objetivo de trabajo en la escuela secundaria, es necesario –como venimos sosteniendo a lo largo de estas páginas– iniciar a los chicos en el camino argumentativo matemático.

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Comparación de fracciones Operaciones con fracciones Medida

Numeración La recta numérica es un instrumento muy interesante para avanzar en la representación y la comprensión del sistema de numeración y, al mismo tiempo, ofrece algunas dificultades a muchos niños (en 4.° la utilizaron para ubicar naturales y fracciones). En 5.° solo le hemos dedicado una rápida mirada con los números naturales en el capítulo 1; ahora, en Representar fracciones en la recta numérica entramos de lleno con fracciones de diferente denominador. Reiteramos la sugerencia sobre los saberes previos. Como la recta numérica no es un contenido de estudio sino un instrumento, algunos docentes no la toman en consideración al planificar las actividades. Por eso, si los alumnos no hubieran tenido contacto con la recta para ubicar fracciones, es necesario comenzar ubicando fracciones de igual denominador. La recta se convierte en un excelente instrumento para avanzar en el concepto de fracciones y elaborar el de densidad de los racionales, que se ampliará y profundizará en 6.º. Sugerimos que el docente observe las posibilidades de su grupo mientras los deja explorar la recta, acompañando y guiando el debate posterior, por ejemplo, con intervenciones del tipo: “Compartan qué estrategias utilizaron para decidir dónde representar los números en las rectas y elaboren una explicación posible de lo que hicieron.” o “Compartan cómo pensaron la ubicación de 1/8 en la segunda recta. ¿Todos lo ubicaron en el mismo lugar? ¿Por qué?”. A lo largo del libro, en numerosas ocasiones se les pide a los alumnos que expliquen con sus palabras (“¿Es cierto que dos fracciones son equivalentes si representan la misma parte de un entero? ¿Cómo lo explicarían?”). Esto se debe a que cada intento de explicación implica necesariamente una objetivación del concepto, de la estrategia, de las ideas que se tienen sobre el tema; y la distancia y la objetivación son un objetivo importante en 5.°. En la primera página se trabajan las relaciones entre fracciones y nos adentramos en estrategias de cálculo para comparar fracciones. Una de estas estrategias será considerar si la fracción equivale a un entero o si es mayor o menor que él, tal como se presentan en las actividades 2 y 3. Es esperable que los alumnos puedan recurrir a cálculos mentales que impliquen la relación entre el numerador y el denominador. La mirada ha de dirigirse a la relación entre el numerador y el denominador. Aún hay textos escolares en los que se clasifica las fracciones en propias (numerador menor que denominador), impropias (numerador mayor que denominador) y aparentes (la relación entre numerador y denominador da como resultado un entero

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igual o mayor que 1). Detengámonos sobre la utilidad de esta clasificación desde el punto de vista del saber matemático. Pensar en una clasificación de las fracciones como menores que 1, iguales a 1, mayores que 1 y equivalentes a un entero facilita el trabajo de comparación y ubica en un contexto que posibilita la resolución de situaciones. Tengamos nuevamente en cuenta que es fundamental generar un espacio que favorezca el trabajo colectivo de reflexión y análisis de los problemas planteados, sobre todo con la descontextualización que implican los que aquí proponemos, para promover la comunicación y explicitación de las distintas conclusiones, y observar cuáles son los conocimientos de los que parten los chicos y cuáles utilizan. Operaciones: resolución de problemas En 5.º se intensifica el trabajo con fracciones en el contexto de la medición; por eso se plantean situaciones problemáticas con fracciones en contexto de medida, como en los problemas de En la carpintería. Es tarea de 5.º el estudio de las relaciones entre fracciones. En distintas actividades del capítulo (no solo de este eje) el objetivo es comparar fracciones apelando a diferentes argumentos y se debe trabajar también con algunas actividades que permitan la reconstrucción de la unidad conociendo la medida de una fracción de esa unidad. Por ejemplo: “¿Cuál sería la medida de las tablas si la unidad de medida fuera la mitad de la tabla usada anteriormente? ¿Y si fuera el doble?”. Operaciones: estrategias de cálculo En las páginas 94 y 95 nos ocupamos de los algoritmos convencionales para sumar y restar fracciones. Las operaciones entre fracciones son una extensión de las operaciones con números naturales a los racionales no enteros. Tienen las mismas propiedades y pueden ser interpretadas con los mismos criterios que sirvieron de base para el análisis y el desarrollo de las operaciones entre naturales. Pero debemos prestar especial atención a la propuesta de trabajo que desarrollemos en el aula; si no, incurriremos fácilmente en errores ocasionados por obstáculos epistemológicos y didácticos. Por ejemplo, para sumar 1/5 + 2/6, los chicos, apoyados en sus saberes sobre los números naturales, suelen hacer (1 + 2)/(5 + 6) = 3/11; este error tiene su origen en un obstáculo de origen epistemológico. Estos obstáculos están estrechamente ligados al saber matemático. La construcción del conocimiento matemático se enfrenta con ellos y se apoya en ellos.

Por ejemplo, la presentación que se hace de las fracciones (las pizzas, los chocolates, etc.) constituye un verdadero obstáculo didáctico para la comprensión de la fracción como número racional. Los obstáculos de origen didáctico se deben a las decisiones que toman el docente o el propio sistema educativo en relación con algunos conocimientos matemáticos. Las fracciones surgieron como una necesidad de interpretar y cuantificar la cantidad continua y se interpretan como descripción de un estado parte-todo o como descripción de un proceso de reparto. Asimismo, una fracción es la síntesis de dos acciones u operadores enteros: uno que divide (“estar contenido en”) y otro que multiplica (“medida”). Por eso, las operaciones propias de las fracciones son la multiplicación y la división. En las páginas 96 y 97 centramos el trabajo en la multiplicación y la división de una fracción por un número natural. Como se trata de un estado inicial fraccionario (multiplicando) y un operador entero (multiplicador) no resultará difícil para el niño encontrar una estrategia de resolución: repetir o seriar partes de un todo entero. En el caso de la división, se trata de la composición de dos operadores sucesivos que dividen, aplicados al numerador de la fracción. Medida Comenzamos una serie de capítulos (6, 7, 8 y 9) en los que se va tomar el eje Medida. Sugerimos al docente relevar los saberes previos de sus alumnos y las experiencias realizadas en torno a la medida, antes de iniciar el trabajo con las situaciones propuestas en este capítulo, el único que aborda el trabajo con las medidas de longitud, peso y capacidad. Este relevamiento tiene por objeto considerar si es posible comenzar con el tema tal como se plantea en estas páginas o si hace falta comenzar por el tema tal como está planteado en el libro de 4.°, de manera que los alumnos puedan recuperar algunas ideas centrales sobre los problemas de la medición. Este comentario se basa en que la medida es a menudo un tema al que se le dedica poco espacio en los primeros años de la escolaridad; al querer comenzar en 5.° sin haber pasado por experiencias clave anteriores, los alumnos no cuentan con los saberes necesarios para construir los conceptos que se abordan en estas páginas. El trabajo con la medida debe contemplar los siguientes puntos: • el hecho de medir, el concepto de medida; • el concepto de magnitud: todo lo que puede medirse recibe el nombre de magnitud; • los instrumentos que se usan y para qué son apropiados;

• las unidades de medida cotidianas y más accesibles; • el concepto de equivalencia de medidas; • las equivalencias posibles a partir de las unidades de medida vistas durante las actividades que se proponen; • el uso de fracciones en el contexto de la medida: 1/2, 1/4, 3/4; • la estimación de una medida. A partir de las actividades de este capítulo lo que se va a ir recuperando con los alumnos es que: • medir es elegir una unidad y determinar cuántas veces entra en el objeto que se mide; • el resultado de la medición depende de la unidad elegida; • al medir, muchas veces hace falta fraccionar, partir la unidad de medida elegida (“mide 1 y 1/2...”); • la elección de las unidades de medida depende del objeto que se mide; • la medición siempre es aproximada; sin embargo hay instrumentos y procedimientos que garantizan una medición de mayor exactitud; • cada magnitud cuenta con diferentes instrumentos de medida. Con cada magnitud de las tres que se enfocan en este capítulo se propone el mismo trabajo: ver unidades convencionales, realizar estimaciones y comparaciones, hallar equivalencias. Es posible que el docente evalúe que es conveniente que algunas o todas las actividades sean resueltas en pequeños grupos, en parejas o en un grupo grande. Las intervenciones del docente en relación con las estimaciones son necesarias y apuntan a detenerse sobre un aspecto del hacer que a menudo es intuitivo y puede parecer obvio. Pero sin esa reflexión el avance queda librado a la posibilidad de cada uno; de allí la importancia de compartir lo que cada uno hizo en sus páginas. Es evidente que existe un tipo de conocimiento matemático que puede ser construido, adquirido, desarrollado fuera de la escuela, en diferentes contextos sociales y a través de diversas prácticas habituales en la cultura en la que se vive, y la medida es buen ejemplo para esto. Pero podemos decir que, si bien en la vida práctica ese conocimiento suele ser eficaz, al mismo tiempo desconoce las condiciones de su propia producción. El aprendizaje escolar pide una organización de la tarea donde las metas, los contenidos, las actividades, la organización sean muy diferentes de los de la vida cotidiana y complementen sus saberes con reflexiones conjuntas y sistematizaciones teóricas cada vez más avanzadas.

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Fracciones y números decimales Sistema sexagesimal de medida

Numeración En las actividades de estas páginas el objetivo es que los chicos se enfrenten con escrituras decimales, establezcan la relación entre pesos, centavos y décimos (las monedas de 10 centavos), interpreten escrituras, establezcan relaciones entre la lectura y la escritura de los decimales, interpreten la información que ofrece el numero con coma, analicen que un mismo valor puede formarse de variadas maneras (usando diferentes monedas) y compartan acerca de la expresión numérica de las equivalencias establecidas e incluyan los milésimos, que en 4.° no tuvieron mucho lugar. Además, se les plantea un trabajo en relación con los mismos números expresados como fracción decimal y como números con coma. No se trata de una nueva clase de números, sino de la notación no fraccionaria de los no enteros: notación decimal. Ya sabemos que en todo sistema numérico posicional los valores relativos de las cifras están determinados por la posición ocupada. En particular, en nuestro sistema decimal puede expresarse cualquier número entero positivo sobre la base de canjes de a 10 entre un orden y el siguiente. De la misma forma, los números con coma requieren canjes de a 10 entre las partes y la unidad, y entre las partes de un orden y el siguiente. Entonces, descomponer un número significa indicar el valor relativo de sus cifras, referidas a la unidad. El propósito no es solamente avanzar hacia la reflexión sobre la relación de los decimales y el sistema monetario, poniendo en juego un saber sobre el dinero que muchos chicos ya tienen desde lo cotidiano, sino también que, a partir de estos nombres que ya conocen, puedan validar y argumentar con base matemática. La notación decimal y la notación fraccionaria no permiten un reconocimiento inmediato del mismo número; el número expresado de ambas formas no es inmediatamente reconocido. Por eso proponemos situaciones de pasaje que hacen observables diferentes aspectos y, al mismo tiempo, su equivalencia. El juego Decimal de la memoria involucra estos saberes. Es interesante subrayar que el juego resulta una herramienta efectiva para el aprendizaje de determinados contenidos. Por eso es conveniente señalar la diferencia entre el uso didáctico del juego y su uso social. Mientras el chico siempre tiene como propósito ganar y jugar, el docente tiene como propósito que el alumno aprenda el contenido involucrado en el juego. Operaciones: resolución de problemas En estas páginas comenzamos el tratamiento de las operaciones con números decimales y la comparación de números decimales.

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En los números con coma, mientras mayor sea el número de cifras, menor será el valor relativo; mientras que para los enteros, a mayor cantidad de cifras le corresponde mayor valor relativo. Entonces, para comparar expresiones decimales es necesario tener en cuenta si se trata de expresiones del mismo valor relativo (misma cantidad de cifras decimales) o expresiones de distinto valor relativo (distinta cantidad de cifras decimales). Esta noción también implica una posible constitución de obstáculos. Por ejemplo, el siguiente de un número es siempre una unidad mayor que él: el siguiente de 34 es 35. Pero este conocimiento tiene un dominio de validez limitado: el conjunto de los números naturales; cuando los chicos lo aplican al dominio de los números decimales, les provocan errores persistentes que conllevan pérdida de sentido; por ejemplo: “el siguiente de 2,3 es 2,4”. Para el tratamiento de las operaciones tenemos en cuenta la descomposición polinómica del número decimal. La intención es abordar, progresivamente, el tratamiento algorítmico de las operaciones con decimales. En las páginas 110 y 111 también se aborda el trabajo con el cálculo aproximado. Es importante que, a lo largo de la escuela primaria, los chicos aprendan diferentes tipos de cálculo con el fin de poder decidir cuál es el cálculo más conveniente en función de la situación que se deba resolver. El cálculo puede ser mental o algorítmico, exacto o aproximado y estimativo. El dominio de los algoritmos no es suficiente para el dominio del cálculo, no alcanza con “hacer bien las cuentas”. Los chicos deben aprender a estimar resultados, a evaluar la necesidad de encontrar un resultado exacto o aproximado, a utilizar adecuadamente la calculadora, a utilizar diversas estrategias de cálculo, y a controlar los resultados. También en estas páginas se aborda el tratamiento de la información. Es un objetivo de aprendizaje la resolución de problemas, y no solo la propuesta metodológica para aprender Matemática. Son actividades posibles para aprender a resolver problemas, por ejemplo: • plantear, a partir de una serie de datos, posibles preguntas que se puedan responder con esos datos; • indicar los datos que sirven y los que no sirven para contestar la pregunta; • dar una serie de cálculos e indicar cuál o cuáles permiten resolver el problema. A partir de una situación presentada en forma icónica, en el capítulo les solicitamos a los niños que respondan a una serie de preguntas. Esta es otra posible

actividad que permite el tratamiento de la información. El desafío de la página 111 ofrece la posibilidad de desplegar diferentes estrategias para determinar todas las soluciones del problema. Además, los chicos no están acostumbrados a considerar más de una respuesta para un problema; generalmente, los problemas escolares tienen una única solución. Operaciones: estrategias de cálculo Anteriormente hemos ido puntualizando que la habilidad de calcular implica manejar propiedades relacionadas con la naturaleza de los números, con las reglas del sistema posicional decimal y, al mismo tiempo, con las propiedades de la operación en sí misma. En Sumar y restar decimales se propone un trabajo directamente ligado a los algoritmos, mostrando dos cuentas de sumar en las que se pide que se detecten posibles errores y se les busque una explicación. Al operar con números decimales hay errores muy frecuentes que devienen de considerarlos como naturales; en la actividad 21 se propone la detección y el análisis de estos posibles errores. Son variadas las dificultades que los alumnos van experimentando desde que tienen los primeros contactos con estos números hasta que pueden reconocerlos en distintas situaciones, utilizarlos de forma correcta, operar con ellos, comprender su significado e integrarlos en sus esquemas de conocimientos como nuevos números que incluyen a los enteros pero que tienen propiedades diferentes. Si bien el repertorio matemático de los chicos aún es muy limitado, ya que disponen de pocos conocimientos matemáticos, también podemos identificar errores sistemáticos y persistentes, cuyo origen se encuentra en un conocimiento anterior que se constituye en un obstáculo para un nuevo conocimiento. Resulta entonces necesario, en pos de buenos aprendizajes, poner especial cuidado en el tratamiento de estos errores. Medida La medida resulta accesible para el niño alrededor de los 6 años. A esta edad usa espontáneamente instrumentos de medida, como un vaso, pero no los considera unidades parciales posibles de ser repetidas consecutivamente un número de veces. Aproximadamente a los 7 años reconoce la unidad de medida y la necesidad de una unidad de medida universal. En particular, en 5.º los chicos aprenderán el sistema de medición de ángulos y el del tiempo. El concepto de ángulo comienza a trabajarse en el Segundo ciclo. Se reproducen poligonales abiertas y cerradas, se

utilizan instrumentos no convencionales para transportar el ángulo (por ejemplo, las varillas articuladas). Se identifica el ángulo en una figura y se miden los ángulos para comunicar informaciones que permiten reproducir un polígono. Además, se identifican los ángulos agudos, rectos y obtusos, y se comienza con el uso del transportador. Se miden ángulos usando el ángulo recto como unidad de medida; se usa el transportador para medir y comparar ángulos; se usa el grado como unidad de medida de los ángulos, y se utiliza el sistema sexagesimal de medición de ángulos. Este sistema, que se aprenderá en 5.º, considera como unidad de medida un grado sexagesimal, que es la noventava parte de un ángulo recto. En cuanto al tiempo, los trabajos desde los primeros grados se organizan en torno a dos aspectos: • la noción de duración, que con sus especificidades responde aproximadamente a los trabajos de otras magnitudes, y • los sistemas convencionales de medida del tiempo, que juegan un importante papel desde el inicio en la construcción de la magnitud. Esto, particularmente, no ocurre en el aprendizaje de las otras magnitudes. El sistema sexagesimal de los antiguos mesopotámicos tiene como base el número 60. A pesar de que 60 es muy grande para utilizarlo como base de un sistema de notación, todavía lo utilizamos al dividir la hora en 60 minutos, el minuto en 60 segundos, y el círculo en 6 veces 60º. El número 60 tiene la ventaja de que es divisible por 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30 y 60; además, para los mesopotámicos, que eran ávidos astrónomos, la base 60 encajaba con su división del año en 360 días. Las actividades propuestas en las páginas de medida apuntan al uso convencional de estos sistemas de medición y, aunque se muestra cómo se suman o restan tiempos y ángulos, no es un objetivo fundamental el uso de los algoritmos convencionales. Por ejemplo, en la página 116 se suman y restan ángulos, pero a partir de la aplicación de la suma de los ángulos interiores de un polígono.

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Los decimales y la recta numérica Suma y resta de decimales Perímetro y área

Numeración Hemos dicho que la recta numérica es un muy buen instrumento, un buen recurso para trabajar el concepto de densidad de los racionales. Algunos aspectos sobre el uso de la recta ya fueron elaborados por los alumnos con las fracciones. Aquí se trata de recuperar lo aprendido y reinvertirlo en relación con los decimales. A los niños les sorprende el hecho de que siempre es posible ubicar otros números entre dos números decimales. Este es el motivo por el que se realizan preguntas como esta: “Entre un número decimal y otro de la recta numérica, ¿cuántos números decimales es posible ubicar?”. Para que este concepto se afiance, es importante no apresurarse y compartir estrategias, reflexiones e hipótesis, tal como se propone en el Para conversar y responder juntos de la página 120 (“Compartan la estrategia que utilizaron para ubicar 0,25 y 0,5 en la recta. ¿Todos emplearon la misma estrategia? Si usaron varias, ¿cuál les parece más práctica?”). Es necesario que todas las afirmaciones, tanto las del alumno como las del docente y las de los compañeros, estén abiertas al cuestionamiento, la reflexión y la elaboración en el aula. Los alumnos necesitan aprender a ser capaces de explicar, justificar y argumentar acerca de lo que han pensado. Las rectas se van escalonando en dificultad y hace falta detenerse lo necesario en cada una antes de avanzar. El concepto de densidad también cuestiona la idea de encontrar “el anterior y el posterior”, una actividad extensamente recorrida con los naturales desde primer grado. Por eso, después de realizar un trabajo con diversas actividades que los ponen en contacto con la resolución de problemas que exigen comparar y ordenar expresiones decimales, el Para conversar y responder juntos de la página 123 les pide que expliquen qué hace falta tener en cuenta para ordenar un grupo de números decimales como los presentados y por qué decimos que no existe un número siguiente a otro número decimal. Las actividades con calculadora facilitan el análisis del valor posicional, ya que el cálculo se ve facilitado y la comprobación es veloz. Algunos docentes no ven con buenos ojos el uso de la calculadora, debido a la idea de que su uso inhibe el aprendizaje de las operaciones y el desarrollo del pensamiento asociado al cálculo. Cabe explicitar que muchas veces los problemas presentados requieren usos de la calculadora que no son la obtención de un resultado (como lo hemos ido transitando en las distintas actividades hasta aquí), y la calculadora se convierte en una herramienta apta para explorar propiedades, encontrar

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regularidades, rectificar o ratificar de manera inmediata el resultado de la anticipación que se le ha pedido. En estas páginas se la aprovecha para resolver problemas que involucren el valor posicional en la notación decimal y para reflexionar sobre la estructura decimal de la notación decimal. Operaciones: resolución de problemas En las situaciones planteadas en el capítulo, el foco está puesto en el tratamiento de la información y en el uso del redondeo y la estimación. Es esperable que los alumnos puedan resolver los cálculos que se piden empleando estrategias de cálculo mental que han venido elaborando juntos. Cabe puntualizar en este caso que el cálculo mental, que exige la puesta en juego de estrategias específicas en función de los números con los que se trabaja, habilita un mayor control de las propiedades que hacen válida la estrategia que se despliega. Las razones fundamentales para incluir la estimación en la escuela son: • se emplea en multitud de situaciones reales, • atiende a la razonabilidad de los resultados, • potencia el empleo e invención de estrategias propias. Las personas que han adquirido la habilidad de estimar, la emplean en situaciones cotidianas, más frecuentemente que las técnicas exactas, como las que hacen uso del cálculo con lápiz y papel. La enseñanza escolar debe abarcar el doble carácter de la Matemática, exacto y aproximado, y debe proporcionar a los alumnos actividades que les permitan apreciar en qué circunstancias conviene utilizar una u otra. Operaciones: estrategias de cálculo El sentido de las operaciones es una construcción vinculada tanto a las situaciones problemáticas como a los procesos que llevan a su resolución, y se construye paralelamente en el ámbito de la resolución de los problemas y en el de las estrategias y recursos de cálculo. En estas actividades miramos los mismos temas que se trabajaron en numeración y en resolución de problemas con el propósito de elaborar esos conocimientos desde la perspectiva de las estrategias de cálculo. Recordemos que las actividades de cálculo mental requieren una gestión muy cercana de la clase; no es fructífero proponer los cálculos y dar la consigna de “hacerlos mentalmente”. Es necesario que, al mismo tiempo, la serie de cálculos se proponga como objeto de reflexión, ya que son la pregunta del docente y la reflexión conjunta las

que favorecerán la aparición y el tratamiento de relaciones y propiedades de números y operaciones. En estas páginas se estudia la aproximación por defecto y por exceso. Si vamos a operar con un número decimal, lo más frecuente es que no necesitemos tantas cifras decimales. Por ello es conveniente aproximar un número a la unidad que sea más adecuada en cada caso mediante el redondeo o truncamiento. El redondeo se puede hacer por defecto o por exceso. Cuando redondeamos por defecto, el valor aproximado es menor que el verdadero. Por ejemplo, para 3,247, si deseamos aproximar a los décimos, nos fijamos en la cifra que ocupa el lugar de los centésimos, que es 4. Lo comparamos con 5 y, como 4 es menor que 5, dejamos la cifra de los décimos que teníamos. El número sería 3,2. Cuando redondeamos por exceso, el valor aproximado es mayor que el verdadero. Por ejemplo, para 3,247, si deseamos aproximar a los centésimos, nos fijamos en la cifra de los milésimos, que es 7. La comparamos con 5 y, como 7 es mayor que 5, aumentamos un centésimo y queda el número 3,25. También podemos aproximar el número por truncamiento. Por ejemplo, si queremos aproximar 3,247 a los décimos, considerando iguales a cero a todas las cifras que le siguen hacia la derecha, todas esas cifras son decimales; por lo tanto, no las escribimos, y queda el número 3,2. Medida En las páginas de medida nos ocuparemos de los conceptos de perímetro y área. Comenzamos a articular geometría y medida, y medimos superficies que tienen forma de figuras poligonales. En relación con el perímetro, construiremos las fórmulas para diferentes polígonos y las aplicaremos a la solución de algunos problemas. En cuanto al concepto de área, se comienza con el estudio de superficies equivalentes. Las figuras formadas por la suma de figuras congruentes son equivalentes en superficie. La noción de conservación de una superficie, aunque sus partes se distribuyan de diferente manera, se basa en la idea de que la adición y sustracción de partes equivalentes de dos estados equivalentes en superficie genera superficies también equivalentes. Es importante destacar la diferencia entre superficie y área. Una superficie plana es una parte del plano, una superficie es un conjunto de puntos. El área es una propiedad de la superficie, es una cantidad. También se estudia la relación entre perímetro y área. El niño supone que, conservadas las superficies, se

conservan los perímetros; tiene dificultades para decidir si las variaciones y la conservación de las superficies se corresponden o no con las variaciones y la conservación de los respectivos perímetros. El recurso que se usa en estas páginas es el tangram. Los tangrams, juegos de cubrimiento del plano con regiones, son muy importantes porque favorecen las experiencias de construcción de regiones de igual área y la práctica en transformaciones de figuras planas. Además, desarrollan la noción de conservación del área, permiten la búsqueda de relaciones entre las figuras del tangram y la comparación de áreas y perímetros de figuras construidas con él. El juego planteado con el tangram fomenta la posibilidad de probar, experimentar, argumentar y generalizar, todas prácticas propias del hacer matemático, un verdadero trabajo científico matemático. Para que el concepto de área se alcance, es importante un espacio de discusión sostenido en el tiempo. Recordemos que los conceptos se construyen progresivamente; no podemos usar y “cerrar” los conceptos apresuradamente. Se avanza y se retrocede continuamente para la recuperación, revisión y reestructuración de los saberes previos, que permitirá una “nueva mirada” del concepto. Además, los alumnos necesitan aprender a ser capaces de explicar, justificar y validar sus producciones. Entonces pondremos el foco en los procedimientos y no solo en los resultados; las estrategias utilizadas para resolver el problema son tan importantes como el resultado. En Matemática, la discusión sobre lo producido permite construir saberes sobre la argumentación. No solo proponemos el trabajo con determinados conceptos matemáticos; también son objetivos de enseñanza la resolución de problemas y los procesos de argumentación específicos de la Matemática.

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Decimales Proporcionalidad y estadística Área

Numeración En estas páginas volvemos sobre la relación entre las diferentes escrituras de los números racionales, y enfocamos el uso de estos números en el contexto de la medida y el reconocimiento de equivalencias. Es esperable que los alumnos puedan basarse en las estrategias elaboradas y en las reflexiones compartidas para utilizar la organización decimal del sistema métrico como contexto para establecer estas relaciones entre fracciones decimales. Las actividades son diversas y recorren un espectro amplio de este pasaje entre escrituras. En las actividades 1 y 2, se estudian las relaciones de base 10 en el contexto de la medida, mientras que, en las actividades 3 y 4, se estudian las relaciones entre las fracciones decimales y las expresiones decimales. En el sistema decimal existen órdenes, en los que los valores quedan determinados por la posición de la cifra, a partir de canjes sucesivos de 10 y sus potencias. Si los valores corresponden a un entero, se llaman decenas, centenas, unidades de mil, etc. Si se trata de cifras decimales, el valor posicional se rige por las mismas relaciones, pero invertidas. Para indicar las relaciones entre las partes y la unidad, o entre partes de distinto orden, hablamos de décimos, centésimos, milésimos, etc. Por ejemplo, 7/2 = 3 + 1/2 (como expresión fraccionaria; 3 enteros y un medio) y 7/2 = 3,5 (como expresión decimal; 3 enteros y 5 décimos). En particular, cuando la expresión decimal tiene una cantidad finita de cifras decimales hablamos de número decimal. Los números decimales provienen de las fracciones decimales. Las fracciones ordinarias (o de denominador no correspondiente a la base del sistema) pueden convertirse en fracciones decimales si sus denominadores son 2 o 5 y sus múltiplos. Y a estas les corresponden, a su vez, expresiones exactas con coma (el cociente indicado conduce en algún momento a resto cero en alguna de las cifras no enteras). A continuación presentamos una caracterización del conjunto de los números reales. En el Segundo ciclo estudiamos los números naturales y los números racionales. La idea de número natural es de las más antiguas en Matemática. Su aplicación para contar y describir resulta evidente. El conjunto de los números naturales es N = ⎨1, 2, 3, 4, 5, ..., 28, 29, ...⎬. Pero este sistema numérico resulta insuficiente, pues en él la sustracción no siempre es posible, es decir, la diferencia entre dos números naturales no siempre es otro número natural. La operación a – b no tiene sentido dentro del campo de los números naturales, cuando a < b. Se supera esta restricción con la introducción del cero (puesto que

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a – a = 0) y con la introducción de los números negativos (se introducen los símbolos –1, –2, –3, etc., junto con la definición a – b = – (b – a) para a < b. Los números naturales, el cero y los números negativos constituyen las tres subclases de los números enteros. Sin embargo, este campo numérico también resulta insuficiente, pues el cociente entre dos números enteros no siempre es otro número entero. El cociente a : b de dos números enteros a y b solamente será un entero cuando b sea un divisor de a. Pero si no es así, a : b es un número fraccionario. • Si a > b, pero a no es múltiplo de b, a : b es un fraccionario mayor que la unidad. Por ejemplo, 3 : 2 = 3/2 = 1 1/2 = 1,5. • Si a < b, a : b es un fraccionario menor que la unidad. Por ejemplo, 1 : 5 = 1/5 = 0,2. Entonces, en un caso el cociente es un número fraccionario; en el otro, un entero. En ambos casos es un número racional. Los enteros y las fracciones forman la clase de los números racionales. En este conjunto siempre es posible la división, excepto la división por cero. Asimismo, todo número racional puede ser escrito en forma decimal simplemente con hacer la división entre el numerador y el denominador. Por ejemplo las expresiones decimales o son finitas: 0,5 (1/2 = 0,5), o son infinitas periódicas: 0,333... (1/3 = 0,333...). En definitiva, podemos decir que todo número racional tiene una cantidad finita o infinita periódica de cifras decimales. Los números que no se pueden escribir como cociente de números enteros se llaman números irracionales. Un ejemplo muy conocido es el número π. El número irracional aparece en cuanto una medida es inconmensurable con la unidad (cuando no puede compararse con ella un número exacto de veces), como ocurre con la longitud de la circunferencia respecto a su diámetro (número π) o con la diagonal del cuadrado respecto a su lado (√2). La unión de los dos tipos de números, racionales e irracionales, constituye los números reales. Operaciones: resolución de problemas En este capítulo nos ocupamos de algunos conceptos de estadística y de las relaciones de proporcionalidad entre variables. La estadística es el estudio de los mejores modos de acumular y analizar datos, y de establecer conclusiones acerca del colectivo del que se han recogido tales datos. Por otra parte, la estadística es la ciencia que estudia el comportamiento matemático del azar, midiendo y controlando los riesgos de los fenómenos aleatorios. Los datos resultantes de un trabajo estadístico suelen

presentarse de dos maneras inseparables y complementarias: mediante una tabla de datos y mediante una gráfica apropiada. La gráfica permitirá ver de una manera rápida y esquemática el resultado global. La tabla de datos permitirá un análisis más detallado de la situación. Los gráficos más utilizados son: diagramas de barras, histogramas, polígonos de frecuencias, diagramas de sectores y pictogramas. Las situaciones de estadística que se abordan en el capítulo requieren del uso de gráficos de barras y del concepto de frecuencia. En el caso de las situaciones de proporcionalidad se hace hincapié en las de proporcionalidad directa. En 5.º grado se comienza a trabajar el concepto de proporcionalidad. Recién en este año la proporcionalidad tiene estatus de conocimiento. Durante los años anteriores, los chicos han abordado situaciones de proporcionalidad, pero como uno de los significados posibles de la multiplicación. Como es la primera aproximación al concepto, los chicos comenzarán a hacer uso de distintos procedimientos para la resolución de los problemas. Operaciones: estrategias de cálculo En el trabajo con estrategias de cálculo mental, los números múltiplos, especialmente los de 25, tienen un lugar propio, incrementan el repertorio aditivo con naturales basados en el complemento a 100. Esas estrategias elaboradas con naturales son útiles, en este caso, con los racionales, y piden un ajuste acorde con los números en cuestión. En estas actividades retomamos estas estrategias de cálculo con los múltiplos de 25 y las de “el complemento a 10, 100, 1.000” y las reutilizamos para calcular la distancia entre un numero decimal y un entero, tanto cuando “le falta” como cuando “se pasa”. El juego Aproximaciones es una nueva vuelta sobre el tema, desde un contexto lúdico. El trabajo con los juegos es una vía para la adquisición de conocimientos matemáticos. Pero para que esto sea posible, los chicos deben verse enfrentados con una actividad en la que tengan que tomar decisiones sobre qué conocimientos utilizar, para luego poder argumentar sobre ellos. Si no hay proyecto de enseñanza, el juego solo se limita a la reproducción de indicaciones externas, a un momento de juego y no de aprendizaje de un contenido matemático. Luego de jugar, en la gestión de la clase, el maestro deberá instalar la reflexión acerca de lo que hicieron, permitir la discusión y la confrontación sobre los diferentes procedimientos utilizados y la validación de lo producido.

En el Para conversar y responder juntos se plantean numerosos interrogantes con el propósito de orientar la reflexión y lograr una objetivación de las estrategias: “¿Qué opinan de las estrategias utilizadas por los chicos? ¿Por qué el chico dice que son parecidas, aunque diferentes? ¿En qué se parecen y en qué se diferencian? ¿Cómo pueden usar estas estrategias para resolver el cálculo de restar de la actividad anterior?”. Al resolver la actividad 20 (“Resuelvan los cálculos. Agrupen los números de la manera que crean más conveniente”), es esperable que los alumnos puedan decidir cómo agrupar los números, y no necesariamente respetar el orden en que están presentados, de tal manera que puedan pensar en ir armando enteros y pensar primero en 1,5 + 6,5 y en 4,75 + 3,25; y después incluso en sumar las partes decimales primero y luego agregar los enteros. Medida En este capítulo se continúa avanzando con el concepto de área: cómo se mide el área de una superficie y el uso del cm2 como unidad de medida. Una unidad cuadrada es la superficie que encierra un cuadrado, cuyo lado es una unidad de longitud. También se avanza en la construcción de la fórmula para determinar el área de un rectángulo. Cuando medimos una cantidad, necesitamos establecer una unidad de medida y, en función de ella, asignamos un número a la cantidad, que se llama su medida. Dicho matemáticamente, sea una magnitud medible A (por ejemplo longitud, peso, etc.) con una unidad de medida u y sea a cualquier cantidad en A; entonces, existe un único número m tal que a = m . u, al cual se le llama medida de a respecto de u. Es decir que la medida de la cantidad a expresa el número de veces que a contiene a u. La medida de una cantidad depende de la unidad cuyo uso se convenga, pero la cantidad es independiente de que se la mida o no. De hecho, cuando se expresa el valor de una cantidad respecto de diferentes unidades de medida, se evidencia la conservación de la cantidad. En particular, en 5.º grado comenzaremos a ocuparnos de las medidas de superficie. Para la construcción de cualquiera de las magnitudes, el chico debe considerar y percibir una magnitud como una propiedad de los objetos, aislándola de otros atributos que esos objetos puedan presentar. El chico debe identificar qué cambios en el objeto dejan invariante la propiedad característica de la magnitud y debe poder realizar ordenaciones respecto de la magnitud. Asimismo, debe poder establecer correspondencias entre números y cantidades de magnitud (la capacidad de medir).

Los conocedores

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Solucionario Capítulo 1

Desafío

1) Los números seña7 0 4 9 9 9 0 5 4 lados con un rec0 2 1 6 4 0 0 8 5 tángulo son los que 3 0 0 0 1 1 6 0 0 hay que buscar en 0 0 2 0 2 0 1 2 0 la sopa. Los números 3 2 0 1 0 1 1 1 6 señalados con una 1 8 0 5 0 3 4 2 0 elipse corresponden 1 2 0 0 3 9 7 0 6 a la actividad 3. Los números resalta5 1 1 0 0 1 9 0 8 dos son: • Nove0 1 4 0 6 1 8 0 0 cientos treinta y seis 2 8 1 9 2 0 0 2 0 mil setenta y ocho. • Ochocientos cinco mil treinta y cuatro. • Novecientos veinte mil veinte.

2000 2011 2100 1810

1

1700

9 3

600

400

6 0

1492

7

1400

1 800

200

8

105

5 4

1100

2

2) 936.078 > 920.020 > 805.034 > 704.999 > 618.004 > 450.060 > 311.502. 3) Hay muchas posibilidades. Los señalados en la sopa se escriben así: • Doscientos dos mil doce. • Cien mil ciento noventa.

9) Armazones de lámparas: $ 320. Cable: $ 100. Cristales de color: $ 300. Hilos: $ 100. Papeles estampados: $ 100. Pegamento: $ 55. Con el redondeo, es posible indicar que el dinero le alcanzará. Mónica gastó exactamente $ 963. 10) Al dueño del negocio le alcanza el dinero, ya que pagaría en total $ 1.745. 11) a) 1.530 km. b) 1.410 km. c) 1.675 km.

Para conversar y responder juntos • Para leer correctamente un número hay que tener en cuenta el valor posicional de cada cifra y la cantidad de cifras que tiene. Para escribirlo correctamente sucede lo mismo, pero además debemos “pensar” en qué lugares ubicar ceros. • No. • Hay 71 decenas de mil y 712 unidades de mil.

12) Si eligen la autopista en lugar de la ruta que bordea la costa, recorren 120 km menos (1.530 km – 1.410 km). 13) Si eligen los caminos internos en lugar del camino más corto, recorren 265 km de más (1.675 km – 1.410 km). 14) Harían en total 3.085 km (1.410 km + 1.675 km).

4) a) La persona más joven es Agustina. b) La de mayor edad es Juan. c) Lucía y Alberto tienen edades similares. 5) 7.696.777 < 12.500.987 < 12.555.777 < 15.434.222 < 19.933.121 < 34.111.999. 6)

900.000 0

1.500.000 2.100.000

1.000.000

2.000.000

3.000.000

Para conversar juntos • Una posible estrategia sería ubicar primero 1.500.000, que se encuentra en el punto medio entre 1.000.000 y 2.000.000, y luego dividir en 5 partes iguales el segmento comprendido entre 1.000.000 y 1.500.000, para poder determinar la ubicación de 900.000 y 2.100.000. Otra posibilidad es que los chicos comiencen dividiendo por 10 el segmento entre 0 y 1.000.000 para luego ubicar todos los puntos.

15) La distancia entre las ciudades por autopista es: • Puerto de La Hoja - Los Albatros: 345 km. • Los Albatros - Mar de las Caracolas: 365 km. • Mar de las Caracolas - La Aldea de la Arena: 380 km. La distancia entre las ciudades por los caminos internos es: • Puerto de La Hoja - Los Albatros: 410 km. • Los Albatros - Mar de las Caracolas: 430 km. • Mar de las Caracolas - La Aldea de la Arena: 455 km. Para conversar juntos • En este caso, es importante recuperar las producciones diferentes –correctas o incorrectas– para cada problema. Por ejemplo, resulta importante discutir cómo, para resolver un problema “de resta”, a veces resulta más fácil entrar por la resta y otras veces por la suma. Por ejemplo, en el problema 12, para determinar la diferencia entre 1.530 y 1.410 pueden hacer: de 1.410 km a 1.500 km hay 90 km + 30 km = 120 km. 16) a)

7) Sami: 1.201.000. Lucas: 1.010.200. Jazmín: 1.111.000. 8) 1.201.000 > 1.111.000 > 1.010.200. Para conversar juntos • Sí, porque en la tabla se indica cuántas veces sacaron cada una de las cantidades. En este caso, todos sacaron 1.000.000. Observando la siguiente unidad, vemos que Sami sacó más veces 100.000 que el resto de los chicos. No es necesario mirar las demás cantidades para saber que Sami salió primera.

1.000 menos 35.398.108 7.599.240

Número 35.399.108 7.600.240

1.000 más 35.400.108 7.601.240

10.000 menos 1.465.030 35.389.108 7.590.240

Número 1.475.030 35.399.108 7.600.240

10.000 más 1.485.030 35.409.108 7.610.240

b)

Los conocedores

25

c)

b) 100.000 menos 1.375.030 35.299.108 7.500.240

Número 1.475.030 35.399.108 7.600.240

100.000 más 1.575.030 35.499.108 7.700.240

1.000.000 menos 475.030 34.399.108 6.600.240

Número 1.475.030 35.399.108 7.600.240

1.000.000 más 2.475.030 36.399.108 8.600.240

d)

19) a) 35.980. b) 42.110. c) 53.750. d) 300.000. Para conversar y responder juntos • Es muy importante rescatar este comentario de los chicos, ya que las estrategias que plantean están claramente asociadas al trabajo con cálculos mentales.

Entre 720.540 253.101 672.000 2.173.559

Número 720.541 253.102 672.001 2.173.560

10 menos 754.090 124.990 399.990 1.300.048

Número 754.100 125.000 400.000 1.300.058

10 más 754.110 125.010 400.010 1.300.068

c)

17) a) 84.450. b) 50.800. c) 190.000. d) 770.300. e) 47.000. f) 50.700. g) 230.900. h) 420.600. 18) a) 37.970. b) 56.540. c) 48.230. d) 460.200.

Número 720.539 253.100 671.999 2.173.558

26) Por ejemplo: a) 5.009.364. b) 8.999.994. c) 3.500.718. d) 12.000.783. 27) 270.100 < 277.099 < 277.100 < 405.000 < 405.088 < 405.090 < 405.098 < 450.000. 28) a) Un millón cien mil uno. b) Quinientos cincuenta y cinco mil cinco. c) Novecientos nueve mil noventa. 29) b y c.

20) Producción personal. 30) La población de Tierra del Fuego es de 101.079 personas. 21) 31) a) Le faltan 493 palabras. b) Sí, lo puede presentar. 5 cm

32) a) Recorrió 1.250 km. b) Le faltan 1.550 km para llegar. c) Habrá recorrido aproximadamente 5.600 km.

1,5 cm

Para conversar y responder juntos • Todas las construcciones deberían quedar iguales. Si hay diferencias, se deben a que no interpretaron bien el instructivo o consideraron medidas incorrectas. En el primer caso se obtendría una figura diferente y, en el segundo, posiblemente, una figura semejante. 22) Dibujá una semicircunferencia de radio 3 cm y el diámetro que une ambos extremos de la semicircunferencia. Con centro en el centro de la semicircunferencia, dibujá una circunferencia de radio 1 cm y otra semicircunferencia de radio 2 cm externa a la primera dibujada, con los extremos que coincidan con el diámetro dibujado. 23) Producción personal. Para conversar y responder juntos • En la primera figura se utiliza solo la regla porque la cuadrícula permite copiar adecuadamente la figura. En la segunda también, porque alcanza con contar los cuadraditos. En la tercera se necesita la escuadra y el compás, porque hay que dibujar un rectángulo y un círculo centrado y considerar medidas.

34) a) 650. b) 4.000. c) 5.500. 35) Producción personal.

Capítulo 2 1) 3.240. Para conversar y responder juntos • El sistema egipcio no es posicional. Es un sistema aditivo caracterizado por la presencia de un símbolo distinto para cada una de las potencias de la base, por esto se denomina de agrupamiento múltiple. El desorden en la escritura de los números no es un problema para tener en cuenta. Para conversar y responder juntos • 9.362:

1.054:

• El cero es necesario y útil para expresar la carencia de unidades de cualquier orden.

24) 77.007. 25) a) Uno menos 235.008 399.999 2.709.078 3.688.098

26

33) a) 88.400. b) 250.000. c) 980.300. d) 78.000. e) 120.700. f) 630.900. g) 44.200. h) 92.400. i) 55.100. j) 380.000. k) 78.500. l) 21.400. m) 37.700. n) 930.000.

Los conocedores

Número 235.009 400.000 2.709.079 3.688.099

Uno más 235.010 400.001 2.709.080 3.688.100

2) La escritura de Gamal tiene más símbolos porque en la escritura de Tarek aparece la cuerda enrollada que representa al 100 y en la escritura de Gamal la herradura que representa al 10 (en total, 6). El sistema egipcio no tiene límite para la cantidad de símbolos necesarios, pero si para el número de repeticiones de los símbolos: como máximo 10.

3) En el sistema indio importa el orden de la escritura porque una cifra a la izquierda de otra representa potencias de la base inmediatamente superiores y porque cada cifra tiene dos valores, uno según su forma y otro por el lugar que ocupa, de modo que la primera de la derecha expresa unidades simples, la segunda, unidades de segundo orden, etc.

14) Hay que hacer este cálculo:

4) El sistema indio es más práctico, ya que reúne tres características fundamentales: es decimal, cifrado y posicional.

15) Hay aproximadamente 16.400 ciervos.

7.000 40 70 40 7

11 636,3

16) Se ocupan al menos 11.500 hectáreas en esta actividad. 5) El sistema egipcio es aditivo de agrupamiento múltiple. El sistema romano es aditivo. El sistema de la antigua India es decimal, cifrado y posicional. En particular, nuestro sistema de numeración escrita tiene estas características, pero el oral es multiplicativo ordenado. Desafío El 14 se dice Chunka Tawayoq y el 15, Chunka Pichqayoq. 6) a)

b)

17) a) Aproximadamente 45 crías. b) Aproximadamente con 200 saltos. c) Pesan aproximadamente 1.875 kilos. Para conversar y responder juntos • La señora, para determinar el gasto, redondeó las cantidades. • La señora redondeó 48 y 99 hacia arriba y 102 hacia abajo. El redondeo resulta útil para determinar cálculos aproximados, por ejemplo, en situaciones de compra y venta.

c) 18)

7) Para multiplicar por 10, basta con efectuar un corrimiento de signos. × 10 a) 7: b) 35:



c) 740:



8) a) 7 × 10 = 70. b) 35 × 10 = 350. c) 740 × 10 = 7.400. 9) Posibles observaciones al multiplicar por 10: en el sistema egipcio, se mantiene la cantidad de símbolos y, en el decimal, se agrega un cero; en el sistema egipcio, cambian los símbolos y, en el decimal, no, solo se agrega el cero. 10) Al multiplicar por una potencia de 10 en el sistema decimal se agregan tantos ceros como tiene dicha potencia. En el sistema egipcio se mantiene la cantidad de símbolos, pero los símbolos son diferentes. Para conversar juntos • En el sistema decimal se utilizan 3 símbolos iguales para escribir el 888. En el sistema egipcio, 24 símbolos.

Número 897.889 231.192 342.607 109.999

A las decenas 897.890 231.190 342.610 110.000

A las centenas 897.900 231.200 342.600 110.000

A las unidades de mil 898.000 231.000 343.000 110.000

A las decenas de mil 900.000 230.000 340.000 110.000

19) a) 15.000 + 2.500, 88.888 + 11.111 y 17.300 – 10.000. b) 1.000 × 70 + 289. c) 30.000 + 5.000 + 200 + 70 + 6. d) Se obtiene con el primer cálculo y con el tercero. 20) a) 16.000. b) 150.000. c) 450.000. Para conversar juntos • Para hacer las anticipaciones nos basamos en el análisis de la escritura decimal de los números y en el uso del redondeo. Para conversar juntos • Los chicos podrán armar 7 triángulos distintos: • 3, 5 y 5 • 3, 8 y 8 • 3, 8 y 10 • 5, 5 y 8 • 5, 8 y 8 • 5, 8 y 10 • 8, 8 y 10. • Como la medida de cada lado debe ser menor que la suma de las medidas de los otros dos, con estas combinaciones no es posible armar un triángulo: • 3, 5 y 8 • 3, 5 y 10 • 5, 5 y 10. 21)

11) En el sistema egipcio se considera la misma base que en nuestro sistema. El indio tiene exactamente las mismas características. En el romano no es posible encontrar ninguna de las características.

8 cm 5 cm

12) Ventajas de nuestro sistema de numeración: una cantidad mínima de símbolos que permite construir los infinitos números; el cero, que permite expresar la carencia de unidades; es posicional; es decimal. 13) Provincia La Pampa Buenos Aires Neuquén Chubut San Luis Entre Ríos Santa Fe

Cantidad de criaderos 11 14 12 2 3 3 1

Cantidad de ciervos colorados 7.000 5.500 3.000 200 400 200 100

10 cm 8 cm

5 cm 3 cm

3 cm

5 cm

8 cm

8 cm

10 cm 5 cm

8 cm

8 cm

5 cm 5 cm

8 cm

8 cm

10 cm

3 cm

8 cm

Los conocedores

27

c)

5c

5

m

m

35º 4 cm

5 cm

c)

cm

m

5c

b) 45º

5

5c

5c

27 a) cm

b) m

22) a)

30º

7 cm

Para conversar juntos • No en todos los casos se dibuja el mismo triángulo. En el inciso c, al no fijarse un tercer dato, la construcción no es única. Desafío Se pueden armar 44 triángulos en total.

Para conversar juntos • En el inciso a, la construcción no es única porque solo se indica la medida de un ángulo. Lo mismo sucede con la construcción del inciso b. En cambio, en el inciso c, la construcción es única porque en el equilátero todos los lados son congruentes y entonces no hace falta indicar otra condición. • Los ángulos de un triángulo equilátero miden 60°. • En un triángulo isósceles los ángulos de la base son congruentes. 28) En el número... El 9 vale El 2 vale El 4 vale El 6 vale El 1 vale

69.241 9.000 200 40 60.000 1

41.926 900 20 40.000 6 1.000

16.492 90 2 400 6.000 10.000

En el número...

14.926

24.169

El 9 vale

900

El 2 vale

20

91.624 9.000 90.000 200 20

20.000

El 4 vale

4.000

4

400 4.000

El 6 vale

6

60

El 1 vale

1.000 10.000

60 600 100 1.000

29)

23) a) 70°, 70°, 40°. b) 90°, 30°, 60°. c) 20°, 27°, 133°. Para conversar juntos • La suma de los ángulos interiores de los triángulos es 180°. Esto vale para cualquier triángulo. 24) La suma de los ángulos interiores de ambos triángulos es de 180°. Para conversar juntos • La suma de las medidas de los ángulos es 180°.

9

100

30) a) 76.410. b) 10.467.

Para conversar juntos • Tiene razón Luli, porque el triángulo es isósceles acutángulo.

31) Por ejemplo: a) 341.976. b) 542.861. c) 129.657. d) 346.980. e) 967.013. f) 649.237. 32) Se obtiene el número 935.451 con los cálculos b y d.

25) a)

b) 33) a) Eran 241 personas. b) El total de los gastos fue de $ 16.147. 34) En el libro hay aproximadamente 75.200 palabras. 35) Las hojas le alcanzarán. Necesitará 945.

Para conversar juntos • No todos dibujaron los mismos triángulos porque, para que sean congruentes, es necesario fijar las medidas. 26) Equilátero Acutángulo Rectángulo

Obtusángulo

28

No es posible

No es posible

Los conocedores

Isósceles

Escaleno

36) a) Laura nació en 2001. b) Su hermano nació en 2006. c) Cuando Laura tenga 27, el padre tendrá 61 y el hermano, 22. 37) Sofía, de 14 años, y Lucía, de 17, coleccionan estampillas. Comenzaron a hacerlo hace 3 años y juntan aproximadamente 150 por año. Tienen que pegarlas en un álbum nuevo, ya que el anterior se les rompió. El álbum tiene 50 páginas. ¿Cuántas estampillas deberán pegar en cada página? 38) A las decenas A las centenas A las unidades de mil A las decenas de mil A las centenas de mil

502.671 502.670 502.700 503.000 500.000 500.000

769.286 769.290 769.300 769.000 770.000 800.000

399.222 399.220 399.200 399.000 400.000 400.000

39) a) 12.000. b) 69.000. c) 250.000.

6) Para hacer 40 banderines necesitan 1.000 cm de tela.

40) a) 18.400 – 2.400. b) 49.500 – 500. c) 49.500 – 9.000. d) 49.500 – 1.500.

7) Tienen que llevar 12 botellas de agua y 18 de gaseosa.

41) a)

Para conversar juntos • Otra estrategia es, para el caso de las botellas, hacer 36 : 6 = 6 y, entonces, multiplicar por 6 cada una de las cantidades de botellas de agua y de gaseosa.

b)

5 cm

m 6c

6

cm

40º 3 cm

5 cm

• En ambos casos la construcción es única porque se fijan tres condiciones. 42) 54° (ángulo agudo) en el triángulo rectángulo y 126° (ángulo obtuso) en el triángulo obtusángulo. 43) Al

ra

Altura

Altu

ra

tu

44)

8) a) 1 1/2 kg de lentejas. Es de proporcionalidad directa, porque el aumento de las cantidades se da de manera proporcional. b) $ 30. Es de proporcionalidad directa. La justificación es la misma que la del inciso a. c) $ 22. No es de proporcionalidad directa, porque la oferta significa una disminución del precio unitario. d) No es de proporcionalidad directa y tampoco se puede saber la respuesta, porque el aumento de la altura en función del tiempo transcurrido no se da de manera proporcional. e) No, porque dentro de 20 años, tendrá 45 años y su mamá, 70 años, y 45 no es la mitad de 70. No es de proporcionalidad directa, porque no hay un cociente constante, aunque si una diferencia constante: 25 años. Para conversar juntos • Para identificar si las situaciones son de proporcionalidad directa se puede observar si hay un aumento o una disminución proporcional de las cantidades. • a) Si para 10 personas necesito 1/2 kg de lentejas, para 30, como representa 3 veces 10, hago 1/2 kg × 3 o 1/2 + 1/2 + 1/2. b) Se resuelve de modo similar al caso anterior. 9) 290 × 12 : 2. 10) a) 328 × 4. b) 328 × 8. c) 214 × 9. d) 214 × 27. e) 155 × 16. f) 127 × 25.

45) En el primer caso no es posible, ya que la suma del segundo y el tercer lado no es mayor a 8. En el segundo caso sí es posible, ya que la suma de los ángulos es igual a 180°.

Capítulo 3

11) Por ejemplo: a) 200 × 4 × 2 o 200 × 16 : 2. b) 315 × 44 × 2 o 315 × 22 × 4. c) 400 × 2 × 30 o 4 × 2 × 100 × 30. d) 440 × 2 × 7 o 220 × 4 × 7. e) 222 × 4 × 12 o 444 × 2 × 12. f) 444 × 2 × 4 × 2 o 444 × 2 × 16 : 2 (444 × 16). 12) 27 × 500 : 100.

1) • 15. • En este caso, si consideramos los que tienen solo 4 divisores, la única posibilidad es el 14; si consideramos los que tienen al menos 4, podría ser el 12. • 17. • 49. 2) El cuarto múltiplo de 6 es 24. El sexto múltiplo de 7 es 42. 30 es múltiplo de 6, porque 5 × 6 = 30; se puede encontrar un factor entero que, multiplicado por 6, da exactamente 30. 3) Los números compuestos y sus divisores son los siguientes. • 10: 1, 2, 5, 10. • 16: 1, 2, 4, 8, 16. • 18: 1, 2, 3, 6, 9, 18. • 21: 1, 3, 7, 21. • 32: 1, 2, 4, 8, 16, 32. • 48: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24, 48. 4) Estos números se llaman primos: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97. 5) Hay varias posibilidades. a) 30: 3 × 10; 2 × 15; 2 × 3 × 5. b) 25: 5 × 5; 1 × 25; 1 × 5 × 5. c) 60: 12 × 5; 6 × 10; 2 × 2 × 3 × 5. d) 78: 2 × 39; 2 × 3 × 13; 6 × 13. e) 63: 3 × 21; 3 × 3 × 7; 1 × 3 × 21. f) 136: 2 × 68; 2 × 2 × 34; 2 × 2 × 2 × 17.

13) Por un lado, a = c = f. Por el otro, b = d = e = g. Una forma posible de pensarlo es obtener primero 18 y, luego, ver si queda multiplicado por 10 o por 100. 14) a) 2.880 (288 × 10). b) 2.880 (288 × 10). c) 28.800 (288 × 10 × 10). d) 28.800 (288 × 100). e) 144 (288 : 2). f) 1.440 (288 × 10 : 2). g) 1.440 (288 × 5). h) 14.400 (288 × 10 × 5). Para conversar y responder juntos • Una posible explicación es que un número admite diversas descomposiciones en factores primos y/o compuestos. 15) a) a y b. b) c y d. c) e. d) f y g. e) h. 16) El resultado correcto es 94.335. La a y la d están resueltas correctamente. En la b, el error es colocar 35.445 en lugar de 31.445 (cuando hace 6.000 × 5 le da 30.000; con los 1.000 “que se había llevado”, debería obtener 31.000 y no 35.000). En la c, el error está en 6.289; corresponde 62.890. 17) El resultado es el mismo porque para la multiplicación se verifica la propiedad conmutativa.

Los conocedores

29

18) a) V. b) V. c) V. d) F. e) V. f) V. g) F. h) V. i) V. 19)

m

5c

30º 10 cm

Para conversar juntos • La construcción es única porque se fijan 3 condiciones. 20)

Para conversar juntos • No se pueden construir triángulos en los siguientes casos: a) Cuando los lados miden 4 cm, 5 cm y 9 cm, porque la medida de cada lado debe ser menor que la suma de las medidas de los otros dos lados. c) Cuando los ángulos miden 35°, 45° y 120°; o 35°, 100° y 120°; o 45°, 100° y 120°. También en el caso que el lado mida 5 cm y los ángulos adyacentes al mismo 100° y 120°; o que los ángulos midan 100° y 120° y el lado que se opone a 100° mida 5 cm; o que los ángulos midan 100° y 120° y el lado que se opone a 120° mida 5 cm.

50º

2, 5

100º

22) Producción personal.

30

Los conocedores

3,5 cm

c) 3,8

2,

5

cm

cm

5,4 cm

Desafío Hay 72 triángulos diferentes.

4 cm

24) a)

5 cm

b) Hay dos soluciones posibles: para que la solución sea única, se debería indicar que el ángulo sea adyacente o contiguo al lado de 4 cm.

4 cm

4 cm 30º

30º

5

cm

d)

50º

6

cm

4 cm

c)

40º

Para conversar juntos • En el caso de los triángulos rectángulos solo me alcanza con indicar dos datos porque el tercer dato es el ángulo recto. c) cm

a)

3

25)

cm

21) a) Se pueden construir 8 triángulos diferentes (4, 5 y 7; 4, 7 y 9; 4, 5 y el ángulo comprendido entre los dos lados mide 35°; 4, 7 y el ángulo comprendido entre los dos lados mide 35°; 4, 9 y el ángulo comprendido entre los dos lados mide 35°; 5, 7 y el ángulo comprendido entre los dos lados mide 35°; 5, 9 y el ángulo comprendido entre los dos lados mide 35°; 7, 9 y el ángulo comprendido entre los dos lados mide 35°). b) Se pueden construir 16 triángulos diferentes (4, 5 y 7; 4, 5 y el ángulo comprendido entre los dos lados mide 35°; 4, 7 y el ángulo comprendido entre los dos lados mide 35°; 5, 7 y el ángulo comprendido entre los dos lados mide 35°; 4, 5 y el ángulo comprendido entre los dos lados mide 45°; 4, 7 y el ángulo comprendido entre los dos lados mide 45°; 5, 7 y el ángulo comprendido entre los dos lados mide 45°; 4 y los ángulos adyacentes al mismo miden 35° y 45°; 5 y los ángulos adyacentes al mismo miden 35° y 45°; 7 y los ángulos adyacentes al mismo miden 35° y 45°; 35°, 45° y el lado opuesto a 35° mide 4 cm; 35°, 45° y el lado opuesto a 35° mide 5 cm; 35°, 45° y el lado opuesto a 35° mide 7 cm; 35°, 45° y el lado opuesto a 45° mide 4 cm; 35°, 45° y el lado opuesto a 45° mide 5 cm; 35°, 45° y el lado opuesto a 45° mide 7 cm). c) Se puede construir, aunque la construcción no es única, un triángulo cuyos ángulos miden 35°, 45° y 100°. Se pueden construir 5 triángulos con un lado de 5 cm y sus ángulos adyacentes de 35° y 45°, de 35° y 100°, de 35° y 120°, de 45° y 100°, de 45° y 120°. Se pueden construir 2 triángulos diferentes con dos ángulos que miden 35° y 45° y el lado opuesto a 35° mide 5 cm, o el lado opuesto a 45° mide 5 cm. Se pueden construir 2 triángulos diferentes con dos ángulos que miden 35° y 100° y el lado opuesto a 35° mide 5 cm, o el lado opuesto a 100° mide 5 cm. Se pueden construir 2 triángulos diferentes con dos ángulos que miden 35° y 120° y el lado opuesto a 35° mide 5 cm, o el lado opuesto a 120° mide 5 cm. Se pueden construir 2 triángulos diferentes con dos ángulos que miden 45° y 100° y el lado opuesto a 45° mide 5 cm, o el lado opuesto a 100° mide 5 cm. Se pueden construir 2 triángulos diferentes con dos ángulos que miden 45° y 120° y el lado opuesto a 45° mide 5 cm, o el lado opuesto a 120° mide 5 cm.

30º 120º 3 cm

45º

Para conversar juntos • Los chicos posiblemente construirán diferentes triángulos porque, fijando 3 medidas angulares, logramos construir triángulos semejantes y no congruentes.

3

30º

b) cm

23) a)

50º 4 cm

b) m

3c

30º

Para conversar juntos • Para los triángulos isósceles basta con indicar dos datos porque el tercer dato es el lado congruente.

30) Los números primos son 13, 19 y 29, porque los únicos divisores que admiten son el 1 y el mismo número. 31) a) 810 = 405 × 2 = 162 × 5 = 81 × 2 × 5. b) 54 = 27 × 2 = 3 × 9 × 2 = 18 × 3. c) 75 = 15 × 5 = 25 × 3 = 5 × 5 × 3. d) 120 = 60 × 2 = 3 × 4 × 10 = 3 × 2 × 2 × 2 × 5.

26)

32) a) 100 - 125 - 150 - 175. b) 48 - 60 - 72 - 84. c) 44 - 55 - 66 - 77. d) 104 - 112 - 120 - 128. 33) 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29 y 31. 34) 6, 8, 9, 10, 12 y 14. 35) a) 12. b) 15. c) 24. d) 18.

Para conversar juntos • Las alturas se cortan en un punto interior o exterior al triángulo. Es exterior en el caso del triángulo obtusángulo. • El triángulo rectángulo tiene 3 alturas, pero sucede que dos de ellas coinciden con los catetos. • La respuesta se encuentra en uno de los recuadros teóricos de la página.

36) No le alcanza el dinero. Debería pagar $ 580 (25 × $ 12 + 70 × $ 4) y tiene $ 500. Con $ 500 la cantidad máxima de mercadería que podría comprar, si no quiero que me sobre dinero es, por ejemplo, 25 autitos y 50 mazos de cartas o 20 autitos y 65 mazos de cartas. 37) Se pueden formar 9 parejas diferentes. 38) a) Necesita 356 azulejos. b) Tiene que comprar 18 cajas. 39) a, b y e.

3 cm

27) a) Para que sea posible construir el triángulo, el lado del que se habla debe ser la base del triángulo porque es imposible que la medida de la altura supere a la medida de los lados congruentes. La altura respecto de la base divide el triángulo isósceles en dos triángulos rectángulos, donde la altura es un cateto y el lado diferente de la base, la hipotenusa, y la medida de la hipotenusa es mayor que la medida de los catetos. b)

6 cm

Para conversar juntos • El triángulo isósceles queda dividido en dos triángulos rectángulos e isósceles. • Para construir un triángulo rectángulo isósceles se necesita la medida de un cateto, o la medida de la hipotenusa.

40) En cada caja grande hay 2.400 galletitas (20 × 15 × 8). En 10 cajas grandes hay 24.000 galletitas. 41) No, solo le alcanzará para 336 fotos. 42) La maestra juntará $ 644 (28 × (15 + 8)). 43) 21.300. 44) a) 7.690. b) 76.900. c) 769.000. d) 648. e) 6.480. f) 6.480. g) 64.800. h) 64.800. 45) 50 × 30 × 2. 46) 50 × 20 × 3. 47) 50 × 12 × 3. 48) a) ACD. b) ABD. Hipotenusa: AD. Catetos: AB y BD. / ABC. Hipotenusa: AC. Catetos: AB y BC.

28) Son todas falsas. 49) AEB. / CED. Lados iguales: CE y ED. Base: CD. Para conversar juntos • a) Un triángulo escaleno sí puede ser acutángulo. b) Un triángulo rectángulo tiene 3 alturas, pero dos de ellas coinciden con los catetos. c) Si los ángulos del triángulo miden 30° y 90°, el triángulo no puede ser isósceles. Si lo fuera, dos ángulos deberían medir 90°, lo cual es imposible, porque el tercer ángulo mediría 0°; o dos ángulos deberían medir 30°, lo cual también es imposible, porque entonces la suma de las medidas de los ángulos interiores del triángulo sería 150°. d) Si el triángulo es obtusángulo no puede tener un ángulo recto porque la suma de las medidas de los ángulos supera 180°. e) No puede, porque 11 cm no es menor que 5 cm más 5 cm. f) Si dos ángulos de un triángulo miden 100° y 30°, es imposible que sea isósceles, porque el tercer ángulo mediría 50°.

50) 3,5

4,5

cm

cm

7 cm

51) Si el ángulo comprendido debe estar entre los lados indicados es imposible, el ángulo no mide 40°. Si los lados iguales miden 5,5 cm y el ángulo comprendido 40° también, porque la base no mide 9 cm. Lo mismo sucede si los lados iguales miden 9 cm. Puedo construir un triángulo, pero no será isósceles, aunque perceptiblemente lo parezca.

29) a) 7, 14, 21, 28. b) 25, 50, 75, 100. c) 50, 100, 150, 200.

Los conocedores

31

3 cm

52)

9 cm

ciente me indica la cantidad de veces que resto 24. • Para resolver los problemas, los chicos posiblemente realizarán sumas o restas sucesivas; o directamente harán una división, que es la que resulta más útil. 6) Al cumpleaños fueron 29 amigos.

53) a) No. Para que sea única la construcción debo indicar si el ángulo está comprendido entre los lados dados o es opuesto a alguno de los lados dados. b) No. Se construye una serie de triángulos semejantes. c) No. Debería indicar, por ejemplo, la medida de uno de los lados.

Capítulo 4 1) a) No, porque 225 no es múltiplo de 8. b) Podría poner 28 acrílicos en cada estante pero sobraría uno. 2) Pondrá 17 pinceles en cada frasco. Para conversar y responder juntos • No hace falta hacer la división para encontrar la respuesta. Se pueden tener en cuenta los criterios de divisibilidad.

Para conversar y responder juntos • a) Tenía 317 figuritas. Si completé 12 páginas de un álbum y me sobraron 17 figuritas, ¿cuántas puse en cada página? b) Completé 12 páginas de un álbum poniendo 25 figuritas por página. Si me sobraron 17 figuritas, ¿cuántas tenía? c) Tengo 317 figuritas para pegar en un álbum. Si quiero poner 25 por página, ¿cuántas páginas podré completar? d) Tenía 317 figuritas. Si completé 12 páginas de un álbum con 25 figuritas por página, ¿cuántas figuritas quedaron sin pegar? • Tengo 317 figuritas para pegar en un álbum. Si quiero poner 25 en cada página, ¿cuántas páginas podré completar? Si quiero dejar pegadas todas las figuritas, ¿cuántas páginas ocuparé? Desafío 10 (1.270 – 63 × 20). 7) 367.000 : 1.000 = 367.

3) Múltiplos de 2: 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, 22, 24, 26, 28, 30, 32, 34, 36, 38, 40, 42, 44, 46, 48, 50, 52, 54, 56, 58, 60, 62, 64, 66, 68, 70, 72, 74, 76, 78, 80, 82, 84, 86, 88, 90, 92, 94, 96, 98, 100. Múltiplos de 5: 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40, 45, 50, 55, 60, 65, 70, 75, 80, 85, 90, 95, 100. Múltiplos de 10: 10, 20, 30, 40, 50, 60, 70, 80, 90, 100. Para conversar juntos • Se explicita en el recuadro teórico de la página. 4)

4_.542

3.2_0

45_

2._37

Divisible por 6 Divisible por 4 Divisible por 3 Divisible por 9 40.542 40.542 43.542 43.542 43.542 46.542 46.542 49.542 49.542 3.210 3.200 3.210 3.240 3.240 3.220 3.240 3.270 3.240 3.270 3.260 3.280 450 452 450 450 456 456 453 459 456 459 2.037 2.637 2.337 2.637 2.937

Para conversar juntos • Un número es divisible por 3 cuando la suma de sus cifras es múltiplo de 3. Un número es divisible por 9 cuando la suma de sus cifras es múltiplo de 9. Un número es divisible por 4 si el número formado por las dos últimas cifras es un múltiplo de 4. 5) a) Si hoy es sábado, en 30 días no puede ser sábado porque de sábado a sábado pasan 7 días. Será sábado en 28 días. b) 12 veces. c) 17 veces. Llegamos al 3. d) Hace la última parada en el km 3. Antes de llegar al km 0 hará 6 paradas. Para conversar juntos • Ambos chicos tienen razón. Se puede restar sucesivamente 24 hasta llegar a 0; o directamente dividir 360 por 24. El co-

32

Los conocedores

8) 738.000 : 1.000 = 738. 9) 738.000 : 100 : 10 = 738 o 738.000 : 10 : 100 = 738. 10) a = b = c y e = f. Para conversar y responder juntos • Una posible explicación es que las cuentas son diferentes porque aparecen operaciones y cantidades diferentes, pero que, al descomponer los números, generamos expresiones equivalentes. 11) 3.765. Al multiplicar por 3 y dividir por 3, está multiplicando directamente por 1. 12) 25.200 : 20 × 2. 13) a = e; b = f y c = d. 14) a) 12 × 1. Cálculo mental previo: 3 : 3 = 1. b) 12 × 2. Cálculo mental previo: 6 : 3 = 2. c) 2 × 3. Cálculo mental previo: 12 : 6 = 2. d) 12 × 1/2. Cálculo mental previo: 3 : 6 = 1/2. 2 × 3. Cálculo mental previo: 12 : 6 = 2. e) 12 × 1. Cálculo mental previo: 6 : 6 = 1. f) 4 × 6. Cálculo mental previo: 12 : 3 = 4. 15) a) I. b) C. c) C. d) I. e) C. f) I. g) I. h) C. Desafío Por ejemplo: • 6.216 : 16 × 2. • (3.000 – 3) : 18 × 2. Para conversar y responder juntos • La única que está mal es la de Simona, que olvidó poner el cero después del 2 al hacer 10 : 24. • Una explicación posible es: “Se fue aproximando por números redondos, 2 × 24 = 48 y tenía que llegar al 49.000. Entonces, multiplicó por 1.000. Le quedaron 1.032. Del mismo modo, probó con 40 y, finalmente, le quedaron 72 y probó con 3. Luego, sumó todos los resultados parciales.” 16) 14.

Para conversar y responder juntos • La respuesta del nene es correcta porque aplicó adecuadamente la propiedad distributiva: 168 : 12 = (120 + 48) : 12 = 120 : 12 + 48 : 12 = 10 + 4 = 14. La respuesta de la nena es incorrecta porque aplicó mal la propiedad distributiva: 168 : 12 = 168 : (6 + 6) = 168 : 6 + 168 : 6 = 28 + 28 = 56.

Para conversar juntos • No todos dibujaron los mismos cuadriláteros, salvo en el inciso c, porque no se indicaban en cada caso todas las condiciones necesarias para que el cuadrilátero sea único. 22) a)

Para conversar y responder juntos • La respuesta del nene es incorrecta, porque considera esta equivalencia incorrecta: 1.484 : (10 + 4) = 1.484 : 10 : 4. • Esta situación se parece a las de las remeras en que en ambos casos se aplica incorrectamente la propiedad distributiva.

m 3c 30º

4,5 cm

b)

17) a) V. b) F. c) F. d) V. e) F. 18) a) Dibujá un trapecio isósceles con la base mayor de 3,9 cm, la base menor de 2 cm y la altura de 1,7 cm. Dibujá su simétrico respecto de la base mayor. Luego, uní el vértice superior izquierdo del primer trapecio dibujado con el punto medio de la base mayor. Finalmente, uní el vértice inferior izquierdo del segundo trapecio dibujado con el punto medio indicado anteriormente. b) Dibujá un rectángulo de 4 cm × 3 cm. Trazá sus diagonales y el segmento que une los puntos medios de los lados de 4 cm. c) Dibujá un rectángulo de 5 cm × 3 cm. En uno de los lados de 5 cm marcá un punto que se encuentra a 3,5 cm de uno de los vértices. Luego, unilo con los vértices del otro lado de 5 cm. Para conversar juntos • Para elaborar los mensajes hay que conocer las definiciones de trapecio, rectángulo, rombo y triángulo. Además, hay que poder identificar sus elementos: vértices, diagonales y bases. También es necesario saber cuándo una figura es simétrica a otra. 19) Un cuadrado es un rombo, porque la definición de rombo dice que es un paralelogramo que tiene 4 lados iguales, y el cuadrado cumple con esas condiciones. 20)

3,5 cm

c)

50º 3 cm

2,5 2,5 cm cm

d)

7 cm

Para conversar juntos • Las construcciones fueron únicas porque se indicaron las condiciones necesarias y suficientes. 23) a) F. b) F. c) V. d) F. e) V. f) F. g) V. h) V. i) F. j) F. k) V. 24) a) Trapecio isósceles.

4 cm

5 cm

b) Paralelogramo propiamente dicho.

Para conversar juntos • La figura que queda determinada es un rombo con sus diagonales. Podemos afirmar que es un rombo porque quedan dibujados 8 triángulos rectángulos iguales y, por lo tanto, un paralelogramo con cuatro lados iguales. 21) a) 35º

b)

25) Dibujen un rombo de 4 cm de lado con un ángulo de 60°.

c)

26)

35º

d)

Para conversar y responder juntos • Si quisiéramos una construcción única deberíamos indicar, en el caso del paralelogramo, la medida de los lados y el ángulo comprendido, y, en el caso del trapecio, la medida de los lados y los ángulos de la base.

5 cm

e) 60º

60º

Número 38 124 105 8.640 140 3.024

Múltiplo de… 2 2y4 3y5 2, 3, 4, 5, 6, 8 y 9 2, 4 y 5 2, 3, 4, 6, 8 y 9

Los conocedores

33

44)

4 cm

27) 35, porque termina en 5. 28) c.

68º 6,5 cm

29) 1, 2, 3, 6, 9 y 18. 30) No les conviene, porque si los compran por su cuenta en total pagarían $ 750. 31) a) Tienen que contratar 7 micros. b) Les conviene contratar la combi para llevar algunas personas. Si van todos en micro, gastan 400 × 7 = 2.800. En cambio, si contratan una combi para llevar a las 7 personas que sobran si contratan 6 micros, gastan 400 × 6 + 15 × 7 = 2.505 o 400 × 6 + 15 × 12 = 2.580, si es que tienen que pagar por los asientos vacíos.

45) 60º 4 cm

Capítulo 5 1) Los procedimientos utilizados son equivalentes. 2) Dolores

32) a) Colocó 40 filas. b) El patio mide 10,5 m × 12 m (estamos suponiendo que las baldosas tienen forma cuadrada). 33) Hay muchas respuestas posibles. Por ejemplo, para las manzanas, unas posibles ofertas serían: “Lleve 2 kg y pague $ 11”, “Lleve 5 kg y pague $ 26” y “Lleve 10 kg y pague $ 50”.

Mateo

34) a = c = f / b = e = h / d = g. Sol

35) 639.900 : 10 : 3. 36) a) 14.550 : 50. b) 24.936 : 6. c) 15.993 : 9. d) 370.500 : 300. 37) Entre 10 y 100: c. Entre 100 y 1.000: a, d y e. Entre 1.000 y 10.000: b. 38) Producción personal.

3) Dolores: 1 2/6. Mateo: 8/6. Sol: 1 1/3. Para conversar juntos • Es probable que todos hayan arribado a las mismas soluciones.

39) a) V. b) F. c) V. d) F. 40) Se pueden dibujar infinitos paralelogramos. Por ejemplo:

Para conversar y responder juntos • Es correcto, porque 2/3, 10/15 y 6/9 son equivalentes.

3,

5

cm

4) a) 3/4. b) 1/2. c) 1/4. d) 3/4. e) 1/4. f) 1/2. g) 1/4. h) 1/4. i) 3/4. j) 1/2. 5)

7 cm

41) Un rombo de 5 cm de lado y un ángulo interior de 120°. Un trapecio isósceles con la base mayor de 7 cm, la base menor de 4 cm y el ángulo contiguo a la base menor de 120°. Un rectángulo cuyos lados consecutivos miden 4 cm y 7 cm. Un paralelogramo cuyos lados consecutivos miden 5 cm y 7 cm, y el ángulo comprendido, 120°.

Móviles Cantidad de cartón

1

3

4

6

8

10

15

18

1/4

3/4

1

6/4

8/4

10/4

15/4

18/4

6) Tienen que comprar 5 planchas. 7) Les conviene hacer 20 móviles. 8) Pueden armar 4 móviles.

42) Si quiero usar los tres datos en la misma figura solo es posible construir un paralelogramo. De otra manera, podría considerar casos particulares del paralelogramo, por ejemplo un cuadrado de lado 5 cm o un rectángulo cuyos lados consecutivos midan 5 cm y 8 cm.

Para conversar y responder juntos • Es probable que para completar la tabla sumen los cuartos, y para determinar la cantidad de móviles determinen cuántos cuartos hay en la cantidad de cartón indicada. • Alba tiene razón porque 2 2/4 es lo mismo que 8/4 + 2/4 = 10/4.

43) 2,5 cm

9) a) 3 4/5. b) 8 1/2. c) 6 3/4. 101º 4 cm

34

Los conocedores

10) Le dio torta a 8 amigos. Un modo de darse cuenta es determinando cuántas veces entran 3/8 en un entero: en cada torta 2 veces y sobran 2/8. Son 3 tortas, entonces tengo 6 veces 3/8 y sobran 6 veces 2/8, es decir 2 veces 3/8.

11) En la c.

Para conversar y responder juntos • a) Paralelogramo propiamente dicho. b) Rombo. c) Cuadrado.

13) a) F. b) F. c) F. d) V. e) V. f) V. Para conversar juntos • a) 3 1/4. b) 3 1/4. c) 2 1/3. Para conversar y responder juntos • El cálculo no siempre dará exacto, como en 155 : 4 = 38,75. 14) a) 60. b) 60. c) 51. d) 40. e) 330. f) 120. g) 180. h) 204. i) 120. j) 12. 15) Por ejemplo, para Adela: 1 paquete de 1/2 kg y dos paquetes de 1/8 kg, y para Inés: 6 paquetes de 1/8 kg. 16) 3 paquetes. 17) 6 paquetes. 18) 12 paquetes. 19) Debe darle 2 paquetes de 1/10 a cada uno de sus amigos.

Cuadrilátero Paralelogramo Rectángulo Rombo Cuadrado Trapecio isósceles Trapecio rectángulo Trapecio escaleno

… son perpendiculares

X X

Las diagonales … miden lo … se cortan en mismo el punto medio X X X X X X X

Para conversar juntos • Paralelogramo: triángulos acutángulos (u obtusángulos) y escalenos. Rectángulo: triángulos rectángulos y escalenos. Rombo: triángulos acutángulos (u obtusángulos) e isósceles. Cuadrado: triángulos rectángulos e isósceles. Trapecio isósceles: triángulos acutángulos u obtusángulos; y escalenos o isósceles. Trapecio rectángulo: se pueden formar los diferentes tipos de triángulos. Trapecio escaleno: se pueden formar triángulos acutángulos y obtusángulos; isósceles, equiláteros y escalenos. • Si consideramos los triángulos determinados por las dos diagonales, por ejemplo en el caso del cuadrado, quedan cuatro triángulos congruentes isósceles y rectángulos; en el caso del rombo, cuatro triángulos congruentes rectángulos y escalenos; y en el caso del rectángulo, cuatro triángulos isósceles, dos congruentes y acutángulos y dos congruentes y obtusángulos. 24) a)

5

20) Se puede armar de diferentes modos: • 1/3 + 1/12+ 1/12. • 1/12 + 1/12 + 1/12 + 1/12 + 1/12 + 1/12.

b) 5 cm

Desafío La mitad de 13 es 13/2. La mitad de 1/4 es 1/8. La mitad de 2/4 es 1/4 o 2/8. 4/5 es mayor que 7/10.

23)

cm

12) a) De cada torta se llevan 3/4. De cada tarta, 6/4. De cada matambre, 1/2. b) Cada uno lleva menos que una torta (3/4 < 1) y más que una tarta (6/4 > 1). c) Dividieron 28 bombones, en partes iguales, entre 4.

7 cm

7 cm

Para conversar y responder juntos • Al multiplicar por una cantidad cada vez más chica, aumenta la cantidad de paquetes. Además, cada vez obtengo el doble de paquetes porque divido por una cantidad que representa el doble de la anterior. 21) Por ejemplo,

m

8c

c)

6 cm

2 cm

d)

6 cm

22) a)

e)

g) 30º

5 cm

3 cm

b) 5 cm

f) cm

h)

m

4c

3 cm

7 cm

3 cm

c)

4 cm 3 cm

5

3 cm

Para conversar juntos • Todas las diagonales se cortan en un punto. Se cortan en el punto medio. En todos los casos son iguales. Cuando el rectángulo es cuadrado, forman un ángulo de 90°.

Para conversar juntos • Las construcciones son únicas, salvo en los incisos a, c y f. En el inciso a, para que la construcción sea única, debemos fijar un tercer dato, por ejemplo el ángulo comprendido entre los lados. En el inciso c, debemos fijar, por ejemplo, el ángulo

Los conocedores

35

comprendido entre las diagonales. En el inciso f, hay que indicar la medida de alguno de los ángulos interiores.

29) 27/18 = 3/2. 30) 8 de dulce de membrillo, 3 de dulce de leche y 1 de crema.

25) Por ejemplo,

31) Compró 12 botones. 32) Había 50 tornillos. 33) a) Azúcar (en kg) Cantidad de galletitas

1/4

1/2

3/4

1

1 1/4

12

24

36

48

60

Chocolate en polvo (en kg) Cantidad de budines

1/4

3/4

1

1 1/2

2

3

9

12

18

24

b) Para conversar juntos • En los diferentes paralelogramos podemos observar que los ángulos interiores y opuestos son congruentes. Otra observación posible es que si sumamos dos ángulos interiores consecutivos, ambos suman 180°. 26) a)

b) 2 cm

2 cm m 2c 35º

40º

37) Por ejemplo: • 6/10 + 8/10. • 5/10 + 4/10 + 5/10.

4 cm 2

38) Por ejemplo: • 1/2 + 1/2 + 1/2. • 1/2 + 1/2 + 4/8.

cm

39) Por ejemplo: • 1/3 + 1/12 + 1/12. • 1/12 + 1/12 + 1/12 + 1/12 + 1/12 + 1/12. • 1/3 + 1/3 – 1/12 – 1/12.

Para conversar y responder juntos • a) Rectángulo. b) Rombo. c) Trapecio isósceles • Paralelogramo: dos lados consecutivos y un ángulo. Considerando también las diagonales: dos lados consecutivos y una diagonal; un lado, una diagonal y un ángulo; un lado y las dos diagonales. Rectángulo: los lados. Considerando también las diagonales: un lado y la diagonal. Rombo: el lado y uno de los ángulos. Considerando también las diagonales: el lado y una diagonal. Cuadrado: el lado. Considerando también las diagonales: la diagonal. 27) Cuadrilátero

Tienen dos pares de lados opuestos que miden lo mismo

Paralelogramo Rectángulo Rombo Cuadrado Trapecio isósceles Trapecio rectángulo Trapecio escaleno

X X X X X

35) a) 30. b) 30. c) 20. d) 12. e) 25. f) 15. g) 150. h) 90. i) 60. j) 48. k) 50. l) 45. 36) a) 4. b) 25. c) 9. d) 16. e) 5. f) 2. g) 3. h) 4. i) 2. j) 2. k) 2.

3 cm

c)

34) a) 4/6 = 2/3. b) 3/8. c) 9/12 = 3/4. d) 5/7.

Tienen dos pares de lados consecutivos que miden lo mismo

X X

Tienen cuatro lados que miden lo mismo

40) a) V. b) F. c) V. d) F. e) V. f) V. g) V. h) V. 41) a) No es posible, porque armaría un cuadrado o un rectángulo. b) Sí. c) No, porque armaría un cuadrado. d) No, porque armaría un cuadrado o un rombo. 42) a) Sí, porque construiría un trapecio isósceles como el de la figura. b) No, porque la suma de los ángulos interiores no puede superar los 360°. 43) 90º

X X

44) No, tendría que tener dos ángulos rectos para que el trapecio sea isósceles. 45) No es única, porque dependerá de la medida de los lados.

Para conversar juntos • El rombo y el cuadrado. 60º

28) a) Los paralelogramos y el romboide. b) Los paralelogramos. c) El rectángulo, el cuadrado y el trapecio rectángulo. d) El rectángulo y el cuadrado. e) El rectángulo y el cuadrado. Para conversar juntos • El romboide tiene un par de ángulos que miden lo mismo y las diagonales son perpendiculares.

36

Los conocedores

46) 3,5

cm

118º

3,5

cm

Capítulo 6

8) a) 1/4 = 2/8, 3/12, 4/16. b) 2/4 = 1/2, 3/6, 4/8. c) 1/2 = 2/4, 3/6, 4/8. d) 6/4 = 3/2, 9/6, 12/8. e) 24/8 = 12/4, 6/2, 3.

1) 0

1/3 2/6

2/3

1

3/2 5/3 9/6

9) Los dos chicos tienen razón, ya que en ambos casos se obtiene como resultado una fracción equivalente. Ambas operaciones son inversas.

2

Para conversar y responder juntos • Una posible estrategia es considerar las fracciones que tienen denominador 3, dividir las unidades en 3 partes iguales y ubicarlas. Luego, considerar las de denominador 6, dividir los tercios en dos partes iguales y ubicarlas. Finalmente, ubicar 3/2 dividiendo las unidades en dos partes iguales. • Dos fracciones que están ubicadas en el mismo punto de la recta son equivalentes.

10) a) Falta pintar 3/8 de pared. b) Quedan disponibles 3/12 o su equivalente, 1/4 de pared. c) Quedó 1/10 de helado.

2) Son menores que un entero: 1/3, 1/2, 2/3,1/4, 3/8, 2/6 y 3/5. 3) Son mayores que un entero: 4/3, 3/2, 7/3, 5/2, 9/5 y 7/4.

13) a) Comieron 9/4 o 2 1/4 de pizza y sobraron 3/4. b) Juan tiene $ 420 y le faltan $ 140. c) Le dará 1/4 l de jugo de naranja a cada sobrino. d) Pesarían 24/10 kg.

4) a)

14) a) 6. b) 16. c) 4. d) 94. e) 250. f) 144.

0

1/3

1

4/3

2

5/2

11) En general, los chicos para encontrar la respuesta utilizarán procedimientos similares a los presentados en el texto. 12) a) 8/10 = 4/5. b) 10/9. c) 11/6. d) 15/12 = 5/4. e) 1/6. f) 1/8. g) 1/10. h) 5/12.

15) a) 3/2. b) 16/9. c) 8/3. d) 5/6. 16) a) 1/10. b) 1/12. c) 2/10 = 1/5. d) 4/12 = 2/6 = 1/3.

b) 0 1/8 1/4

1/2

1

Para conversar juntos • Al dividir por 2 una fracción, el resultado lo puedo obtener multiplicando por 2 el denominador.

5/4

Para conversar juntos • Una forma posible, en el inciso a, es ubicar 1/3, luego conociendo la medida de 1/3 ubicar 4/3. Finalmente ubicar 5/2, determinando cuántos enteros y cuántos medios hay. En el inciso b, la forma es ubicar la unidad y luego las fracciones de modo similar a como se hizo en la actividad 1. • Todos ubicarán 1/8 en el mismo lugar porque es la mitad de 1/4. Desafío • 12 cm. • 16 cm, sería mas larga. 5) a) Ariel usó mayor cantidad de témpera. Si representamos las dos fracciones en la recta numérica, podremos observar que 3/4 está más cerca de la unidad que 3/5. Esto nos indica que Ariel ha usado mayor cantidad de témpera. 0

3/5

3/4

3/8

6/10

Para conversar juntos • Por ejemplo, 200 mm / cualquier otra cantidad. 18) a) Aproximadamente 60 cm. b) Aproximadamente 180 cm. c) Por ejemplo, un pie. d) Por ejemplo, el alto de la puerta. 19) Las medidas que se indican son aproximadas porque dependerá de quién las tome. Las estimaciones serán personales. • El largo de mi mano: 15 cm. • El ancho de mi mano: 8 cm. • La distancia entre mi casa y la escuela: 800 m. • El largo de un auto: 2 m. • La distancia entre el techo de mi aula y el suelo: 3 m. 20) a) 11 mm. b) 23 mm. c) 46 mm.

1

b) Celeste tiene el álbum más completo. En la recta numérica: 0

17) Puede usar la ficha de 0,002 hm (0,002 hm es equivalente a 2 dm) o la de 0,35 dm (0,35 dm es equivalente a 3,5 cm).

21) a) 1 cm y 2 mm. b) 2 cm y 5 mm. c) 4 cm y 1 mm. 22) a) 2 kg aproximadamente. b) 5 kg aproximadamente. c) Por ejemplo, un tomo de una enciclopedia. d) Por ejemplo, una lámpara.

1

Para conversar y responder juntos • Cualquiera de las estrategias planteadas es válida. • Si dos fracciones representan la misma parte del entero son equivalentes. Una manera fácil de comprenderlo es a través de la recta numérica.

23) Las medidas que se indican son aproximadas, porque dependerá de quién las tome. Las estimaciones serán personales. • Una cartuchera con lápices: 400 g. • Un cuaderno: 300 g. • Una naranja: 200 g. • Tres naranjas: 600 g. • Un libro: 500 g. 24) a) 0,003 kg. b) 0,013 kg. c) 0,00237 kg. d) 0,125 kg. e) 1,145 kg. f) 5,8 kg.

6) a) 2/3. b) 3/4. c) 4/5. 7)

25) a) 7 g. b) 23 g. c) 4.025 g. d) 345 g. e) 7.008 g. f) 3.129 g. 0 1/4 2/4 2/8 4/8 1/2

1

6/4

2

3 24/8

26) a) Por ejemplo, 250 ml. b) Por ejemplo, 12.000.000 ml. c) Por ejemplo, la pileta del lavadero.

Los conocedores

37

27) • 5 ml: una cuchara. • 25 ml: una taza de café. • 125 ml: un frasco de perfume. • 250 ml: una jarra para café. • 1 l: un cartón de leche. • 2 l una olla grande para cocinar. • 5 l: una regadera de jardín. • 10 l: nada de lo presentado. • 100 l: un tanque de agua de una casa.

6) a) 5. b) 40. c) 67. d) 11. e) 68. f) 124.

28) Equivale a 0,001 l.

9) a) Todas, salvo 0,050. b) 0,25 y 25/100. c) 75/10 y 7,5.

29) a) 3.000 ml. b) 3.400 ml. c) 2.347.000 ml.

10) a) 6/10 + 4/100. b) 2/10 + 6/100 + 7/1.000. c) 1 + 3/10 + 5/100.

30) a) 0,003 l. b) 0,0025 l. c) 0,00401 l. 31) a) 2.348,342 l. b) 2.349,347 l. c) 2.348,854 l.

11) • 0,5 = 1/2 = 5/10 = cero enteros, cinco décimos. • 0,125 = 1/8 = 125/1.000 = cero enteros, ciento veinticinco milésimos. • 0,25 = 1/4 = 25/100 = cero enteros, veinticinco centésimos.

32) a) 4/12. b) 3/12. c) 2/8. d) 4/6. e) 1/3. f) 2/3. g) 1/2. h) 2/4.

12) En total se gastaría $ 44,09.

33) a) Son equivalentes. b) No son equivalentes. c) No son equivalentes. d) Son equivalentes. e) Son equivalentes. f) No son equivalentes. g) Son equivalentes.

13) Gastarían en total $ 21,98.

34) a) >. b) =. c) . 35) a) 10/14 = 5/7. b) 14/12 = 7/6. c) 8/18 = 4/9. d) 9/10. e) 3/12 = 1/4. f) 5/10 = 1/2. g) 19/40.

7) En los casos d y e recibirá $ 0,05 de vuelto. 8) $ 2,05 y 205/100.

Para conversar juntos • Posiblemente, algunos resolverán a partir de la suma, otros usando la multiplicación y otros aproximando a $ 11. 14) a) Ana compró 1 kg de leche en polvo y un budín. ¿Cuánto gastó? b) Ernestina compró 1 kg de arroz y 1 detergente. Si pagó con $ 20, ¿cuánto le dieron de vuelto?

36) Quedó 1/10 de tarta. 15) Tiene que gastar $ 5,97. 37) Vilma recorrió en total 5/4 de pista. Por lo tanto, podemos decir que recorrió la pista una vez y 1/4 más. 38) No es posible llenar una botella de 2 l, ya que la suma da 29/20 l, es decir que faltaría 11/20 para completar los 2 l. 39) Completaron más de la mitad y les falta 7/20 para terminar. 40) a) 4/3. b) 12/7. c) 14/3. d) 15/4. e) 20/5 = 4. f) 24/8 = 3. g) 18/4 = 9/2. h) 15/6 = 5/2.

16) Cuestan $ 5,96. 17) Le darían de vuelto $ 24,23 (50 – 3 × 8,59). 18) No le alcanzará el dinero porque debería gastar $ 27,23 (13,70 + 2 × 1,27 + 10,99). 19) Cuesta más 1 kg de queso cremoso. La diferencia es de $ 9. Desafío

41) Tendrán 9/4 m o su equivalente 2 1/4 m. 42) Recorre en colectivo 3 km. 43) a) 100 cm equivalen a 1 m. b) 1.000 m equivalen a 1 km. c) 10 kg equivalen a 10.000 g. d) 1 kg equivale a 1.000 g. 44) a) 30 cm. b) 470 cm. c) 2 cm. d) 314 cm. e) 1.275 cm. 45) a) 5 m. b) 80 m. c) 4.170 m. d) 7.468 m.

Capítulo 7 1) 10, 4, 2, 20 y 10 respectivamente. 2) a) $ 0,20. b) $ 0,50. c) $ 0,25. 3) a) 1/2. b) 1/10. 4) a) 58. b) 22. c) 41. d) 9. Para conversar juntos • Una respuesta posible, por ejemplo, es calcular la cantidad de monedas por cada peso. 5) 1/10, 1/100 y 1/1.000, respectivamente.

38

Los conocedores

Porción de fugazzeta rellena: $ 1,80 2 1 1 1 1 2 2 0 0 0 0 0 0 3

Porción de muzzarella: $ 1,20 2 0 1 2 3 1 0 0 1 2 3 4 5 0

Porción de fainá: $ 0,60 0 7 5 3 1 2 4 10 8 6 4 2 0 1

20) La cuenta de Ignacio está resuelta correctamente. La cuenta de Micaela no, porque sumó mal las cifras decimales: sumó como si fueran enteros y no fracciones del entero. Para conversar y responder juntos • Una posibilidad es justificarlo de la siguiente manera: 235,495 = 235 enteros + 4 décimos + 9 centésimos + 5 milésimos + 61,328 = 61 enteros + 3 décimos + 2 centésimos + 8 milésimos 296 enteros + 7 décimos + 11 centésimos + 13 milésimos

Como 10 milésimos forman 1 centésimo: 13 milésimos = 10 milésimos + 3 milésimos = 1 centésimo + 3 milésimos. Entonces, 296 enteros + 7 décimos + 11 centésimos + 13 milésimos = 296 enteros + 7 décimos + 12 centésimos + 3 milésimos. Como 10 centésimos forman 1 décimo, 12 centésimos = 10 centésimos + 2 centésimos. Entonces, 296 enteros + 7 décimos + 12 centésimos + 3 milésimos = 296 enteros + 8 décimos + 2 centésimos + 3 milésimos = 296,823.

• La medida del resto de los ángulos interiores –los no coloreados– también se podría determinar. Cada cuadrilátero, al ser dividido por la diagonal, queda descompuesto en dos triángulos congruentes, entonces también serán congruentes las medidas de los ángulos simétricos. 30) a) 22° 55' 49". b) 56° 43' 6". c) 14° 4' 13". d) 43° 17' 51". 31) a) 35° 30'. b) 48° 2' 23". 32) a) 44°. b) 32° 38'. 33) a) F. b) V. c) V.

21) a) I, porque se suma incorrectamente la parte decimal (como si fueran números enteros y no fracciones del entero). b) C. c) I, por la misma razón que a. d) I, porque se suma incorrectamente la parte entera (se olvida sumar una decena: “el 1 que se llevó”) y la parte decimal (se ubica incorrectamente la decena de 17). Para conversar y responder juntos • El procedimiento de Martina es correcto. Al agregar un cero, pensó en la siguiente equivalencia: 4 décimos es lo mismo que 40 centésimos. Se podría justificar de la siguiente manera: 27,4 = 27 enteros + 4 décimos = 27 enteros + 3 décimos + 10 centésimos y 3,25 = 3 enteros + 2 décimos + 5 centésimos Si restamos, quedaría: 24 enteros + 1 décimo + 5 centésimos = 24,15.

34) a) 85. b) 452. c) 3. d) 3. e) 27. 35) $ 2,45 ($ 1,20 + $ 1 + $ 0,25). 36) a) Un entero y noventa y nueve centésimos. b) Ochocientos doce milésimos. c) Treinta y seis enteros y setenta y cinco centésimos. d) Dos enteros y ochenta y cuatro milésimos. 37) a) 2/20 = 3/30 = 10/100. b) 8/20 = 12/30 = 40/100. c) 3 = 300/100 = 3.000/1.000. d) 10/1.000 = 100/10.000 = 2/200. e) 14/200 = 21/300 = 28/400. f) 17/20 = 170/200 = 850/1.000. g) 45/20 = 9/4 = 2.250/1.000. 38) a) 0,95 - 0,950 - 95/100. b) 0,74 - 0,740 - 74/100.

22) 2 horas y 20 minutos entre los dos primeros comienzos, y luego 2 horas y 25 minutos en el resto de los casos.

39) a) 7/10 + 3/100. b) 81/10 + 5/100 y 80/10 + 15/100. c) 2 + 6/10 + 9/100 + 4/1.000 y 26/10 + 9/100 + 4/1.000.

23) 14:33 - 16:38 - 18:53 - 21:03 - 23:18.

40) a) 8/10 + 7/100. b) 1 + 99/100. c) 56/10 + 12/1.000.

24) Puede verla a las 19:25. Debe esperar 1 hora y 40 minutos.

41) Sergio pesa 85 kg.

Para conversar y responder juntos • Una posibilidad es transformar las diferentes medidas en minutos y calcular las diferencias o sumas, y luego transformar las cantidades encontradas en horas y minutos.

42) Gastan en total $ 38,75. 43) a) 127,58. b) 772,31. c) 104,05. d) 1.300,659. 44) a) 02:45. b) 10:50. c) 21:10. d) 24:20.

25) a) 1 hora y 27 minutos. b) 2 horas y 37 minutos. 45) Sale de la escuela a las 13:15. 26) a) 9 horas y 25 minutos. b) 10 horas y 43 minutos. c) 11 horas. d) 13 horas y 48 minutos. Para conversar juntos • Como no puedo restar 45 minutos a 25 minutos, podemos hacer lo siguiente:

9 h 10 h – 9h 0 h

85' 25' 45' 40'

30" 15" 15"

46) El vuelo duró 2 horas y 25 minutos. 47) Durmió 7 horas y 45 minutos. 10:35 p. m. y 6:20 a. m. 48) a) 6.334. b) 86.102. c) 106.463. 49) 00:05 - 8:30 a. m. - 15:35 - 7:05 p. m. - 22:40. 50) a) 960 minutos. b) 1.105 minutos. c) 1.080 segundos. d) 64.800 segundos.

27) a) 0:02 a. m. b) 2:00 a. m. c) 8:00 p. m. d) 11:58 p. m. 28) a) 02:30. b) 15:15. c) 07:40. d) 18:45.

Capítulo 8

29) a) 64° 30'. b) 27° 30'. c) 78° 30'. d) 34°.

1)

Para conversar y responder juntos • En los incisos a y c, como los ángulos son rectángulos, a 90° se le resta el ángulo indicado. En el b, como es un rombo, cada uno de los triángulos que lo componen es isósceles, entonces se puede hacer: 180° – 23° = 157° y luego 157° : 2 = 78° 30'. En el d, hacemos: 180° – 35° 30' – 110° 30'= 34°.

0 0,25 0,5

1

1,5

2

2,4

3

2) Con azul: 0,99 - 0,01 - 0,001 - 0,2. Con rojo: 1,34 - 1,333 1,08. Con verde: 2,17 - 2,058.

Los conocedores

39

Para conversar y responder juntos • Una posible estrategia es ubicar 0,5 y luego 0,25 porque 0,5 es la mitad de 1 y 0,25 la mitad de 0,5. Para conversar y responder juntos • Ambos tienen razón, entre dos números reales hay infinitos números reales. El conjunto de los números reales es denso. Entre 1,2 y 1,3, por ejemplo, puedo considerar aquellos números que representan centésimos. 3)

2,15

12) a) 11. b) 10. c) 26. d) 7. e) 5. 13) a) 0,05. b) 0,2. c) 0,02. d) 0,8. e) 0,05. f) 0,7. g) 0,01. h) 0,1. i) 0,2. j) 0,001. k) 0,4. l) 0,05. 14) a)

2,65

2 2,1 2,2 2,3 2,4 2,5 2,6 2,7 2,8 2,9 3

4) 3,4 3,41 3,42 3,43 3,44 3,45

3,5



Luego, hizo este cálculo: – 0,005 – 0,09 – 0,2 –1 – 0,036 – 0,43 – 0,006

Y en el visor apareció: 31,29 31,205 31,095 277,436 278,4 278,006 278,43

En la calculadora, primero anotó: 361,255 361,255 361,255 64,7 64,7 64,089 64,089

Luego, hizo este cálculo: + 0,1 + 0,01 + 0,001 + 0,8 + 0,089 + 0,7 + 1,7

Y en el visor apareció: 361,355 361,265 361,256 64,78 64,789 64,789 65,789

b)

5) 6 6,1 6,2 6,3

En la calculadora, primero anotó: 31,295 31,295 31,295 278,436 278,436 278,436 278,436

7

Para conversar y responder juntos • Para el punto 3 seguramente se tuvo en cuenta que 2,15 representa el punto medio entre 2,1 y 2,2. Lo mismo sucede con 2,65. En el punto 4, posiblemente se dividió en 5 partes iguales el segmento que se encuentra entre 3,4 y 3,45. En el 5, como la distancia entre 6,1 y 6,2 es 0,1, seguramente se ubicó el 6 a una distancia de 1/10 de unidad respecto de 6,1 y al 7 a una distancia de 7/10 de unidad respecto del 6,3. • El intervalo entre 3,4 y 3,5 se divide en 10 partes iguales. • Entre un número decimal y otro de la recta numérica es posible ubicar infinitos números decimales.

15) 17,33.

Para conversar y responder juntos • Todas las afirmaciones son correctas, salvo la primera.

17) a) 5. b) 4. c) 4. d) 5. e) 37. f) 37. g) 38. h) 38. i) 115. j) 114. k) 114. l) 115.

6) El número que está más cerca del 8 es 7,99.

18) a) Mayor que 10: 3,16 + 7,09 y 5,63 + 4,70. Menor que 10: 2,88 + 7,1, 13,75 – 3,9 y 24,36 – 14,99. b) Mayor que 20: 12,45 + 11,3 y 10,88 + 9,99. Menor que 20: 9,15 + 8,77, 35,06 – 15,78 y 23,04 – 12,87.

Para conversar y responder juntos • Una posibilidad es determinar el valor absoluto de la diferencia entre 8 y cada uno de los números. 7) El menor es 4,04 y el mayor, 4,44. Una posibilidad para darse cuenta es observar la cantidad de décimos, centésimos y milésimos que tienen los números. 8) Por ejemplo: a) 5,3 - 5,46 - 5,6. b) 5,72 - 5,74 - 5,79. c) 5,714 - 5,716 - 5,718. d) 5,7114 - 5,7117 - 5,7119. 9) 7,88 < 7,9 < 8,077 < 8,09 < 8,155 < 8,69 < 8,7. Para conversar y responder juntos • Para ordenar un grupo de decimales hay que tener en cuenta primero la parte entera, luego la decimal y en esta, primero los décimos, después los centésimos, etc. • No hay un número siguiente a otro número decimal porque siempre se puede encontrar otro número decimal entre dos decimales.

16) 25,90. Desafío 0,509.

Para conversar y responder juntos • Se observa la cifra de los décimos: si es mayor o igual que 5 se suma 1 a la parte entera, si es menor que 5 la parte entera no se modifica. • Para completar las tablas de la actividad 18, en el caso de las sumas, primero se puede sumar la parte entera y luego la parte decimal, pero realizando una aproximación. Otra posibilidad es redondear al entero cada uno de los números y luego sumarlos. En el caso de la resta, se procede del mismo modo: se aproxima al entero y luego se realiza la resta. 19) Por ejemplo: • 1 = 0,5 + 0,5 = 0,72 + 0,28 = 0,99 + 0,01. • 0,1 = 0,022 + 0,078 = 0,04 + 0,06 = 0,001 + 0,099. • 0,01 = 0,0055 + 0,0045 = 0,001 + 0,009 = 0,003 + 0,007. 20) a) 6,34. b) 7,1. c) 3,85. d) 6,9. 21) a) 9,22. b) 16. c) 7,42. d) 14,2.

10) 5 < 5,3 < 5,46 < 5,6 < 5,7 < 5,71 < 5,711 < 5,7114 < 5,7117 < 5,7119 < 5,712 < 5,714 < 5,716 < 5,718 < 5,72 < 5,74 < 5,79 < 5,8 < 6. 11) Un décimo: 0,1. Un centésimo: 0,01.

40

Los conocedores

Para conversar y responder juntos • En el caso de sumar 0,1, simplemente sumamos 1 al décimo de cada uno de los números. Lo mismo sucede cuando necesitamos restar. Pero si tengo que restar 0,1 a un número

entero, desarmamos el entero, por ejemplo: 4 – 0,1 = 3,9 + 0,1 – 0,1. En el caso de sumar o restar 0,9, podemos resolver como explicitamos a continuación. • El procedimiento que utiliza el niño es correcto, porque en definitiva hace lo siguiente: 23,65 + 0,9 = 23,65 + 1 – 0,1. • Por ejemplo, para hacer 8,32 – 0,9 podemos hacer: 8,32 – 0,9 = 8,32 – (1 – 0,1) = 8,32 – 1 + 0,1.

Para conversar juntos • En algunos casos no todos construyen la misma figura. Por ejemplo, se puede armar un cuadrado con dos piezas utilizando los dos triángulos pequeños o utilizando los dos triángulos grandes. En este caso el área variará. Hay casos en los que se mantendrá el valor del área, pero variará la forma; por ejemplo, utilizando el paralelogramo y los dos triángulos pequeños podemos construir un triángulo o un paralelogramo.

22) a) 12 cm. b) 12 cm. c) 6 cm. d) 12 cm. e) 8 cm. f) 7 cm. Para conversar juntos • a) Triángulo rectángulo y escaleno. b) Rectángulo. c) Rombo. d) Hexágono regular. e) Cuadrado. f) Triángulo acutángulo e isósceles. • En todos los casos podemos directamente sumar todos los lados, pero en función de determinadas características de las figuras podemos simplificar los procedimientos así: a) P = 4 cm + 5 cm + 3 cm. b) P = 2 × 2 cm + 2 × 4 cm. c) P = 4 × 1,5 cm. d) P = 6 × 2 cm. e) P = 4 × 2 cm. f) P = 2 cm + 2 × 2,5 cm.

30) Todas las figuras ocupan la misma superficie (8 cm2), aunque varíe la forma. El perímetro del triángulo es 9,6 cm; el del cuadrado, 8 cm; y el del paralelogramo, 9,6 cm. Para conversar y responder juntos • Aunque el área se mantenga constante, no necesariamente sucede lo mismo con el perímetro. 31) a) Azules: 8. Violetas: 8. Verdes: 16. Rojas: 8. Amarillas: 4. b) Azul: 1/8. Violeta: 1/8. Verde: 1/16. Roja: 1/8. Amarilla:1/4. 32)

23) a) P = 4 (cantidad de lados) × longitud del lado. b) P = 3 (cantidad de lados) × longitud del lado. c) P = 2 (cantidad de lados iguales) × longitud del lado + longitud del lado restante. d) P = 2 (un par de lados paralelos) × longitud del lado + 2 (el otro par de lados paralelos) × longitud del lado. e) P = 2 (par de lados iguales) × longitud del lado + longitud de la base menor + longitud de la base mayor. 24) a) P = 400 m. b) P = 440 m. c) P = 472 m.

0

0,75 0,1

0,6

0,7

8,6

8,7

1

33) 8

8,1

8,2

8,4

8,8

34)

25) Sus lados pueden medir, considerando solo cantidades enteras: 1 cm, 1 cm, 15 cm y 15 cm - 2 cm, 2 cm, 14 cm y 14 cm - 3 cm, 3 cm, 13 cm y 13 cm - 4 cm, 4 cm, 12 cm y 12 cm - 5 cm, 5 cm, 11 cm y 11 cm - 6 cm, 6 cm, 10 cm y 10 cm - 7 cm, 7 cm, 9 cm y 9 cm - 8 cm, 8 cm, 8 cm y 8 cm. Si consideramos no solo medidas enteras, la cantidad de soluciones es infinita. Si uno de los lados mide 10 cm, el resto de los lados medirá 10 cm, 6 cm y 6 cm.

4

4,2

4,3

4,4

5

35) a) 0,33 - 0,7 - 0.98. b) 2,1 - 2,5 - 2,81. c) 0,84 - 0,86 - 0,88. d) 0,251 - 0,253 - 0,259. e) 0,1113 - 0,1117 - 0,1118. 36) El número que está más cerca del 5 es el 5,07.

26) 11,25 cm.

37) El menor es 2,002 y el mayor, 2,222. Me doy cuenta comparando la cantidad de décimos, centésimos y milésimos.

27)

38) 1,389 < 1,4 < 1,532 < 1,55 < 1,6. 39) a) Tiene varias opciones. Por ejemplo, tres porciones de papas fritas a $ 34,50; tres de ensalada rusa a $ 29,97; una de canelones de espinaca y dos de ensalada rusa a $ 34,78; una porción de ravioles con tuco y dos porciones de ensalada rusa a $ 34,68, etc. b) Gastó $ 51,70 y le dieron $ 8,30 de vuelto.

28) Producción personal. 40) a) 8,47. b) 8,67. c) 71,15. d) 72,95. e) 16,2. f) 18. Para conversar juntos • Todas ocupan la misma superficie, aunque no tienen la misma forma, porque para todas utilizamos las mismas figuras. 29) Cantidad de piezas 2 3 4 5 6

Triángulo Cuadrado Sí Sí Sí Sí No

Sí Sí Sí Sí No

Rectángulo

Romboide

Trapecio

No Sí Sí Sí No

No No No No No

Sí Sí Sí Sí Sí

41) a) Medida: 16 cm. b) Medida: 14 cm. c) Medida: 18 cm. Las estimaciones son personales. 42) a) cm. b) m o cm. c) m. d) m o cm. e) hm, dam o m. f) hm, dam o m. 43)

P = 10 cm

P = 12 cm P = 12 cm

Los conocedores P = 12 cm

P = 12 cm

P = 12 cm

41

P = 10 cm

P = 12 cm P = 12 cm

11)

P = 12 cm

P = 12 cm

Cantidad de jugo 1/4 litro 1 litro 1 1/2 litro 2 litros 2 1/2 litros 4 litros

P = 12 cm

44) Por ejemplo, las dos primeras figuras de la actividad 43. 45) Por ejemplo:

Cantidad de vasos 1 4 6 8 10 16

Para conversar juntos • Todas las situaciones anteriores son de proporcionalidad directa, salvo la primera, porque aunque ambas cantidades aumentan no lo hacen proporcionalmente.

Capítulo 9 1) a) 3,05 m. b) 4,599 m. c) 20 cm. d) 21 cm. e) 21,5 cm. 2) Las medidas están expresadas como fracciones del metro. a) 7/100. b) 247/100. c) 991/1.000. d) 9/1.000. e) 1.325/1.000. f) 1 = 10/10 = 100/100.

12) a) En la semana 4. b) En la semana 1. c) Semana 1: 2.000 espectadores. Semana 2: 2.750 espectadores. Semana 3: 2.500 espectadores. Semana 4: 3.750 espectadores. d) 1.750. e) 11.000. 13) a) 150. b) El jugo. c) La barrita de cereales. d) Bebidas.

3) a) 0,768. b) 9,262. c) 52,075. 14) Producción grupal. 4) a) 0,235 = 2/10 + 3/100 + 5/1.000. b) 39/100 = 3/10 + 9/100. c) 7,045 = 7 + 4/100 + 5/1.000.

15) a) 0,75. b) 0,36. c) 0,50. d) 0,992. e) 0,25. f) 0,975.

5)

16) a) 0,25. b) 5,125. c) 4,50. d) 8,005. e) 3,05. f) 1,75. ¿Cuánto es…?

Escritura equivalente como expresión decimal 0,01 0,001 0,0001 0,008 0,003

Fracción decimal 1/100 1/1.000 1/10.000 8/1.000 30/10.000

1/10 de 1/10 1/10 de 1/100 1/10 de 1/1.000 1/10 de 8/100 1/10 de 30/1.000

Para conversar y responder juntos • Otra forma de pensarlo es como una multiplicación. 6) 3/7 = 0,428571, que es distinto de 3,7 = 37/10. 7) Por ejemplo, si consideramos 2,35 escribimos 235 en el numerador y la unidad seguida de tantos ceros como lugares después de la coma hay en el denominador. Si, en cambio, tenemos la fracción decimal, por ejemplo 48/1.000, sabemos que tendremos 3 lugares después de la coma (tengo 3 ceros luego de la unidad) y entonces antes del 48 y después de la coma hay que ubicar un cero: 0,048. 8) Alfajores Precio ($)

1 12

2 24

3 24

4 36

5 48

6 48

7 60

8 72

9 72

… …

Por 28 cajas habrá que pagar $ 228. 9) Compró 15 llaveros del mismo precio. 10) Cantidad de litros de jugo 1 2 5 10 15 30

42

Los conocedores

Cantidad de litros de jugo concentrado 1/4 1/2 1 1/4 2 1/2 3 3/4 7 1/2

17) a) 4,75. b) 2,75. c) 4,50. d) 1,25. e) 3,50. f) 0,75. 18) a) 1,25. b) 4,25. c) 2,50. d) 0,75. e) 3,50. f) 5,75. Para conversar juntos • Algunas posibles estrategias son: • En la actividad 15, puedo pensar cuánto debo sumarle al número para obtener 1 (observo la parte decimal). • En la actividad 16, puedo restar 1 (observo la parte entera). • En la actividad 17, puedo pensar cuánto debo sumarle al número para obtener 5 (primero “completo” la parte decimal hasta el entero más próximo y luego veo cuántos enteros faltan). • En la actividad 18, puedo restar 5 (observo la parte entera). 19) a) 10. b) 5,75. Para conversar y responder juntos • Para resolver el primer cálculo se puede observar primero la parte decimal y luego sumar todos los enteros. En el segundo cálculo, podemos restar primero la parte entera: 9 – 3 = 6, y luego a 6 sacarle 0,25 (descomponiendo el 6 en sumandos de tal forma que uno de ellos sea el 0,25: 5 + 0,75 + 025 – 0,25 = 5,75). Una forma de agrupar los sumandos en el primer cálculo es: 2,75 + 2,25 y 3,5 + 1,5. Para conversar y responder juntos • Ambas estrategias son válidas. Se parecen en que tienen en cuenta la parte decimal de los números, pero se diferencian en que en un caso desarman y reagrupan y en el otro conmutan y reagrupan inicialmente para realizar el cálculo. • Para resolver 9 – 3,25 podemos hacer: 9 – 3 – 0,25 o 9,00 – 0,25 = 8 + 1 – 0,25. 20) a) 16. b) 9. c) 10. d) 15,5. 21) 7,62.

Para conversar juntos • Es posible que lo haya pensado de la siguiente manera: 2,54 × 3 = (2 + 0,5 + 0,04) × 3 = (2 + 5/10 + 4/100) × 3 = 2 × 3 + 5/10 × 3 + 4/100 × 3 = 6 + 15/10 + 12/100 = 6 + 10/10 + 5/10 + 1/10 + 2/100 = 7 + 6/10 + 2/100 = 7,62.

36) a) 1,75. b) 1,50. c) 1,25. d) 0,75. e) 0,50. f) 0,25.

22) 7 ramos cuestan $ 45,50.

38) a) 12. b) 20. c) 15. d) 11.

23) 9 mazos cuestan $ 78,75.

39) a) 9 y 10. b) 11 y 12. c) 4 y 5. d) 14 y 15.

24) Usó 4 metros de cinta.

40) Son de proporcionalidad directa las relaciones: alfajoresprecio y cajas-bombones, porque las cantidades aumentan de manera proporcional.

25) a) 343,76. b) 65,709. c) 91,112. d) 67,64. Para conversar juntos • Siempre hay la misma cantidad de cifras decimales en el resultado y en el número decimal que multiplicamos. Esa es la regularidad.

9/100. f) 2/10 + 3/100.

37) a) 0,25. b) 0,50. c) 5,50. d) 2,25. e) 0,75. f) 3,75.

41) Deberían haber pagado $ 600. 42) Puedo comprar 6 paquetes. 43) a) 50. b) La televisión. c) El juego. d) 12. e) 8. f) 3.

26) 19 kg de cerezas cuestan $ 256,50. 44) Producción personal. 27) 23 litros cuestan $ 741,75. 45) Producción personal. 28) a) 9. b) 16. c) 8.

32) a) P = 16 cm. A = 12 cm2. b) P = 14 cm. A = 12 cm2. Para conversar juntos • Como el rectángulo puede descomponerse, a partir de una de las dos diagonales, en dos triángulos congruentes, para hallar el área del triángulo podemos hacer el producto de los lados y dividir por 2. 33) a) 22 m2. b) 550 baldosas. c) 22 m. d) $ 552 (porque debería comprar 46 cajas de 12 baldosas). Desafío Se pueden dibujar estas figuras: Un rectángulo de lados 1,5 cm y 6 cm. Un triángulo de base 6 cm y altura 3 cm. Un paralelogramo con un lado de 3 cm, altura de 3 cm y uno de los ángulos de 45°. Un rectángulo de lados 1 cm y 9 cm. 34) a) 0,849. b) 5,315. c) 43,17. d) 39,015. 35) a) 5/10 + 4/100. b) 8/10 + 9/100 + 2/1.000. c) 2/10 + 1/100 + 6/1.000. d) 1 + 2/10 + 3/100 + 5/1.000. e) 3 + 7/10 +

Miércoles

12 10 8 6 4 2 0

Martes

Asistencia de las chicas:

Lunes

Para conversar juntos • Una conclusión es que, para obtener las medidas, cuando consideramos 1 cm2, podemos tener en cuenta directamente las medidas de los elementos de las figuras. Si queremos encontrar el área de un cuadrado, podemos hacer l × l.

Viernes

31) a) 4 cm2. b) Aproximadamente 10 cm2. c) 10 cm2. d) Aproximadamente 5 cm2. e) 6 cm2.

Viernes

30) a) 8 cuadraditos. b) 16 cuadraditos.

Lunes

12 10 8 6 4 2 0

Para conversar juntos • Sí. La justificación se presenta en el recuadro teórico.

Jueves

47) Asistencia de los chicos:

Jueves

29) a) 4. b) 3. c) 2.

Miércoles

46) a) Faltaron más los chicos (10) que las chicas (6). b) Lunes, martes y miércoles faltaron más chicos que chicas y el viernes faltaron más chicas que chicos. c) El jueves. d) Lunes: 14; martes: 17; miércoles: 17; jueves: 20 y viernes: 15.

Martes

Para conversar juntos • Para encontrar la medida determinamos cuántas veces cabe la unidad en la figura a medir.

48) El área de las dos figuras es de 8 cm2. 49) Largo 7 cm 5 cm 5 cm 10 cm

Ancho 6 cm 4 cm 8 cm 10 cm

Área 42 cm2 20 cm2 40 cm2 100 cm2

Perímetro 26 cm 18 cm 26 cm 40 cm

Ficha 1 1) El menor número posible es 102.578 y el mayor, 875.210. 2) a) El menor número posible es 30.269 y el mayor, 39.620. b) El menor número posible es 60.239 y el mayor, 69.320. 3) 875.210 > 102.578 > 69.320 > 60.239 > 39.620 > 30.269.

Los conocedores

43

Ficha 2

Ficha 8

1) a)

1) 300 350 400

b) 25.000

50.000

100.000

150.000

200.000

2) 320.000

380.000

300.000

425.000 450.000 475.000 400.000

500.000

3) 0

200

300

400

Ficha 3 1) Pagó $ 50. No gastaron todo el dinero, le sobraron $ 10. a) 548, 27 y 10. b) Veinticinco compañeros. c) Para responder la pregunta hay que multiplicar 25 (cantidad de compañeros) por 2 (valor de cada pincel). Luego, una vez sumadas las cantidades de dinero disponibles ($ 60), hay que restarles $ 50. d) Veinticinco compañeros.

1.000.000

X X X X X

102.456 40.899 102.500 200.888 580.610 1.003.745

2) 70.700 150.304 805.789 1.630.450 109.300 200.420

1.000 X X

10.000

100.000

1.000.000

X X X X

2) a) Es posible. 2.900 + 4.100 + 5.000 = 12.000. b) No es posible. 9.100 + 8.000 + 2.800 = 19.900. c) Es posible. 1.900 + 11.200 + 3.100 = 16.200.

Ficha 9 1) b, d y e) Se pueden construir, ya que siempre que se suman dos lados el resultado es mayor que la medida del tercero. a) No se puede construir, ya que la suma de los lados que miden 3 cm y 4 cm no es mayor que el tercer lado (8 cm). c) No se puede construir, ya que la suma de los lados que miden 2 cm y 4 cm no es mayor que el tercer lado (7 cm). f) No se puede construir, ya que la suma de los lados que miden 3 cm y 5 cm no es mayor que el tercer lado (11 cm). 2) b)

d)

3 cm

100.000 X

69.700 149.304 705.789 630.450 99.300 190.420

3) Por ejemplo: a) 3.498 + 1.000 = 4.498. b) 99.623 + 10.000 = 109.623. c) 897.000 + 100.000 = 997.000. d) 65.179 + 1.000.000 = 1.065.179. e) 100.458 – 1.000 = 99.458. f) 12.982 – 10.000 = 2.982. g) 1.000.892 – 100.000 = 900.892. h) 1.005.614 – 1.000.000 = 5.614.

Ficha 5

e)

2 cm

3 cm

1) a, b y d) Se pueden construir, ya que la suma de las medidas de los ángulos es igual a 180°. c) No se puede construir, ya que la suma de las medidas de los ángulos es igual a 240°. e) No se puede construir, ya que la suma de las medidas de los ángulos es igual a 285°. f) No se puede construir, ya que la suma de las medidas de los ángulos es igual a 130°. a) 2)

b)

75º

45º

15º 45º

d)

55º 105º

Ficha 11 1) a)

d)

b)

e)

Ficha 6 Producción personal.

Ficha 7 1) a) Egipcio. b) Egipcio. c) Indio. d) Egipcio. e) Indio. f) Indio. g) Indio. h) Indio. i) Egipcio. j) Indio. k) Egipcio. l) Egipcio.

c)

f)

44

Los conocedores

1 cm

Ficha 10

1) a) 42.580 (suma). b) 44.127 (resta). c) 5.970 (resta). d) 4.850 (suma). 2) a) 6.600. b) 6.200. c) 73.000. d) 45.000. e) 4.400. f) 5.100. g) 60.000. h) 37.000.

A las decenas de mil 600.000 280.000 360.000

4 cm

10.000

601.240 283.860 359.930

A las unidades de mil 601.000 284.000 360.000

m

1.000

601.239 283.861 359.928

A las centenas 601.200 283.900 359.900

3c

1) 2.456 39.899 92.500 190.888 579.610 3.745

A las decenas

3 cm

Ficha 4

Número

4 cm

200

m

50 100

3c

0

20º

Ficha 16

f)

1) a)

A

30º

5 cm

140º B

C

b)

A 3 cm

Ficha 12 1) a) Rectángulo isósceles. b) Equilátero. c) Escaleno. d) Escaleno obtusángulo. e) Isósceles. 2) a) No es posible que existan triángulos equiláteros y obtusángulos, ya que los tres ángulos del triángulo equilátero miden 60° y, entonces, no puede tener un ángulo obtuso. b) Es posible que existan triángulos escalenos y rectángulos ya que, al ser rectángulo, uno de los ángulos medirá 90° y los demás serán cualquier par de ángulos que sume 90°. Por lo tanto, siempre que tenga todos los ángulos diferentes, tendré triángulos escalenos.

B

c)

2) a) 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24. b) 1, 3, 9, 27, 81. c) 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30. 3) Por ejemplo: a) 21, 35, 49. b) 6, 14, 20. c) 15, 45, 75. d) 88, 121, 220.

d)

75º 3 cm

C

4 cm

4 cm

Ficha 13

C

4 cm

C

A

50º B

80º

A

B

Ficha 17 1) a)

b)

c)

2,5 cm

1) a) Sí, ya que 300 : 3 da como resultado un número entero, es decir, es un múltiplo de 3. b) Sí, ya que 330 : 3 da como resultado un número entero, es decir, es un múltiplo de 3. c) No, ya que 307 : 3 da como resultado una expresión decimal, es decir, no es múltiplo de 3. d) Sí, ya que 321 : 3 da como resultado un número entero, es decir, es un múltiplo de 3. e) No, ya que 310 : 3 da como resultado una expresión decimal, es decir, no es múltiplo de 3.

2 cm

3 cm

30º

45º 2 cm

4 cm

d) No es posible la construcción.

Ficha 18 1) a) Hay dos posibilidades 50º

Ficha 14 50º

b) Hay dos posibilidades

35º

35º 4 cm

2) 20 80 10 500

5 20 2 100

12 48 30 1.500

1 4 1 50

c)

d)

4 cm

4 200

2 8

5 cm

Cantidad de paquetes Cantidad de milanesas de soja Cantidad de latas Cantidad de galletitas

3,5 cm

3,5 cm

4 cm

1) a) No es posible pensarlo como de proporcionalidad directa, ya que el peso que una persona aumenta por año varía según la edad, entre otras cosas. b) Es posible pensarlo como de proporcionalidad directa, ya que el aumento es proporcional. c) Es posible pensarlo como de proporcionalidad directa, ya que el aumento es proporcional. d) No es posible pensarlo como de proporcionalidad directa, ya que tenemos una cantidad predeterminada de dientes (32 dientes) que comienzan a formarse en la primera infancia y son definitivos alrededor de los 7 años.

Ficha 15 1) a) 10 × 9 = 9 × 10. b) (3 × 7) × 10 = (7 × 10) × 3. c) (11 + 2) × 3 = 11 × 3 + 2 × 3. 2) a) 540. b) 540. c) 2.700. d) 2.700.

3 cm

3 cm

Ficha 19 1) • Un número es divisible por 2 cuando la cifra de las unidades es divisible por 2 (número par). Ejemplos: 34, 48, 64, 72 y 108.

Los conocedores

45

• Un número es divisible por 3 si la suma de los valores absolutos de sus cifras es múltiplo de 3. Ejemplos: 48, 168, 165, 183 y 234. • Un número es divisible por 6 cuando es divisible por 2 y por 3. Ejemplos: 24, 48, 72, 126 y 312. • Un número es divisible por 9 si la suma de los valores absolutos de sus cifras es múltiplo de 9. Ejemplos: 27, 36, 45, 72 y 135. • Un número es múltiplo de 5 cuando las cifras de las unidades es múltiplo de 5. Ejemplos: 25, 75, 100, 105 y 180. • Un número es divisible por 10 si la cifra de las unidades es cero. Ejemplos: 10, 20, 60, 100 y 150. • Un número es múltiplo de 4 cuando el número formado por las dos últimas cifras es múltiplo de 4. Ejemplos: 24, 16, 112, 248 y 252. 2) a) 528. b) 212. c) 324. d) 711.

c) Hay infinitas soluciones, que dependen de las medidas de los lados. Por ejemplo: c) 45º

45º

d) Hay infinitas soluciones, que dependen de las medidas de los lados. Por ejemplo: 25º

Ficha 25 1)

Ficha 20 1) D: dividendo, d: divisor, c: cociente y r: resto. 2) 317 = 25 × 12 + 17 y 17 < 25. 3) a) 70. b) 2.055. c) 2.

Cantidad de personas Carne (en kilos)

4 2

1 1/2

3 3/2

10 5

11 15 11/2 15/2

20 10

27 27/2

Cantidad de personas Bebida (en litros)

4 6

1 3/2

3 9/2

10 15

11 15 33/2 45/2

20 30

27 81/2

2) a) 3/4. b) 4/8 = 1/2 (50 centavos cada uno). c) 5/10 = 1/2. d) 2/5. e) 4/12 = 1/3. f) 3/6 = 1/2.

Ficha 21 1) a) 15. b) 11. c) 18. d) 134.

3) Cada una comió 3/5 de pizza.

2) Esteban preparó 86 pancitos y quiere poner 6 en cada bolsita. Si quiere embolsar todos los pancitos, ¿cuántas bolsitas necesitará?

4) Usó 0,2 m, es decir 1/5 m.

Ficha 22

1) 4 sobrinas recibieron figuritas.

Ficha 26

1) a) 239. b) 762. c) 563. d) 42. e) 9. f) 6. g) 13. h) 22. i) 31. j) 6. k) 12. l) 11.

2) Cada uno recibe 3 2/7 de chocolate.

2) Bruno podría dividir nuevamente por 10.

3) A cada chico le tocan 4 5/9 de turrón.

3) Dan lo mismo, por un lado, a, b y c, y por el otro, d y e.

4) La división cuyo resultado es mayor que 4 2/6 es la c.

4) a) V. b) F. c) F. d) V. e) F.

Ficha 27

Ficha 23

1) a) 40. b) 30. c) 24. d) 20. e) 15. f) 80. g) 90. h) 72. i) 40. j) 90.

1) Un trapecio no es un paralelogramo porque tiene dos lados paralelos (bases), a diferencia del paralelogramo, que tiene ambos pares de lados opuestos paralelos.

2) Tiene 6 autos de carrera y 9 réplicas de autos antiguos.

2) Un cuadrado es un rectángulo, ya que es un paralelogramo con cuatro ángulos rectos.

Ficha 28

3) Un cuadrado es un rombo, ya que es un paralelogramo con los cuatro lados iguales.

2) Se puede construir un cuadrado con las diagonales b.

1) Se puede construir un paralelogramo con las diagonales c.

3) Se puede construir un rombo con las diagonales c. 4)

5)

Ficha 29 1) El otro par de lados opuestos es CD y AB. 2) Otro par de lados consecutivos es AC y CD. 3) a) ^ D y^ B . b) ^ A y^ B . c) ^ C y^ A.

Ficha 24 b)

4)

m

cm 2,5 70º

G

L

2c

1) a)

55º 3,5 cm F

46

Los conocedores

P

Ficha 30 1) a) F. b) V. c) V. d) F. e) V. f) F. g) V. h) V. i) F. j) F. k) V. l) V. m) F. n) V. ñ) V. o) V. p) F. q) V. r) V.

Ficha 31 1) b) Entre 2 y 3. c) Entre 1 y 2. d) Entre 0 y 1. (Cabe aclarar que el 0 no es natural, pero a veces se considera el conjunto de los naturales incluyendo el 0: N0). e) Entre 1 y 2. f) Entre 0 y 1. g) Entre 2 y 3. h) Entre 0 y 1. i) Entre 1 y 2. j) Entre 3 y 4. k) Entre 2 y 3. l) Entre 0 y 1. m) Entre 2 y 3. n) Entre 0 y 1.

1) 3,09 y 309/100. 2) • 0,47: cuarenta y siete centésimos. • 4,7: cuarenta y siete décimos. • 4,70: cuatro enteros siete décimos. • 0,047: cuarenta y siete milésimos. 3) a) 0,52 = 5/10 + 2/100. b) 0,93 = 9/10 + 3/100. c) 2,128 = 21/10 + 2/100 + 8/1.000.

Ficha 39 1) a) 618,04. b) 629,821. c) 1.119,66.

1/8

2) 0

1/4

10/8 1

3/2

2 9/4

3

Ficha 32 1) a) 5/4. b) 3/4. c) 3/4. d) 6/9. e) 7/8. f) 6/9. g) 3/10. h) 2/3. i) 6/10. 2) Compró más el señor, porque 1/5 es menor que 1/4.

Ficha 33 1) Por ejemplo: a) 4/10, 6/15 y 8/20. b) 2/3, 8/12 y 12/18. c) 12/3, 8/2 y 48/12. d) 6/8, 9/12 y 12/16. e) 4/6, 6/9 y 8/12. f) 15/5, 9/3 y 90/30. 2) Se cortó 29/36 de cinta. Quedó en el rollo 7/36 de cinta.

2) a) 963,12 (olvidó “llevarse el 1”). b) Correcta. c) 1.201,54 (sumó la parte decimal como si fueran números enteros).

Ficha 40 1) a) 47,36. b) 64,5. c) 50,8. d) 42,65. 2) a) Correcta. b) 234,02 (hizo 48 – 5). c) 395,45 (se olvidó el 1 que “pidió prestado”).

Ficha 41 1) a) Macarena: 11' 59". Gisela: 12' 58". Federico: 11' 43". b) Macarena: 719". Gisela: 778". Federico: 703". c) Ninguno. 2) Llegó a las 16 h 45'.

Ficha 42 1) a) 69° 20'. b) 37° 9' 23".

3) Se prepararon 8 3/4 litros de jugo.

Ficha 34

2) a) 35°. b) 62° 42'.

1) Le faltan 120 figuritas.

3) a) 129° 35'. b) 44° 15'.

2) A cada sobrino le tocó 1/8 de galletitas.

Ficha 43 1) a)

3) Compró 1 1/2 kg de cerezas.

Ficha 35

0 0,2

0,7

1 1,1

2 2,2

1 1,25

2

3

3,3

1) a) mm. b) cm. c) m. d) dm. b) 2) a) 170. b) 230. c) 190. d) 210. 3) a) 400. b) 3.000. c) 2.300. d) 12.000.

0,75 0

0,5

2,5

Ficha 36 1) a) kg. b) g. c) mg. d) kg. 2) a) 3.000. b) 1,5. c) 1.500. 3) a) l. b) ml. c) cl.

2) • De menor a mayor, los números marcados con un punto son: 3,1, 3,2, 3,5, 3,6 y 3,8. • 3,25 se ubica en el punto medio entre 3,2 y 3,3. • 3,75 se ubica en el punto medio entre 3,7 y 3,8.

Ficha 44

4) a) 2.000. b) 3,5.

1) a) 2,45 m. b) 2,47 m.

Ficha 37

2) Por ejemplo: a) 3,1 - 3,2 - 3,8. b) 3,12 - 3,14 - 3,18. c) 3,221 - 3,225 - 3,228.

1) a) 5. b) 40. c) 67. d) 11 (y sobran 5 centavos). e) 68 (y sobran 5 centavos). f) 124.

3) 9,99 - 9,9 - 9,5 - 9,19 - 9,111 - 9,09. 2) a) 5/10. b) 675/100. c) 53/100. d) 6.752/1.000. e) 67/10. f) 105/100.

Ficha 45 1) 5,44.

3) a) 0,5. b) 0,75. c) 0,25. d) 0,025. 2) 5,35. 4) a) 5/10. b) 25/100. c) 75/100. d) 125/1.000.

Ficha 38

3) 2,51, 2,61, 2,91, 3,01 y 4,21.

Los conocedores

47

3) a) 1/100. b) 1/1.000. c) 1/10. 4) Ninguna representa una longitud de 5 cm. En la calculadora, Luego, hizo este primero anotó: cálculo:

Y en el visor apareció:

78,24

+ 0,1

78,34

12,35

+ 0,006

12,356

39,66

+ 0,01

39,67

85,42

– 0,01

85,41

103,57

– 0,1

103,47

5) d y f.

Ficha 50 1) a) 250. b) Las cartas. c) 50.

100

Ficha 46 1) Le alcanza para comprar los 3 regalos, pero entre los crayones y la caja de marcadores deberá optar por los crayones.

Ficha 47 1) Sus lados miden 12 cm. 2) Sus lados miden 9 cm.

80 60 40 20 0

2) a) 133. b) 208. c) 79. d) 78. e) 306. f) 721. g) 111. h) 112. 3) Por ejemplo: a) 45,67 + 68,24. b) 39,5 + 58,95.

120

2) Alumnos

4)

0

1

2 Hermanos

3

Más de 3

Ficha 51 1) a) 2,75. b) 3,5. c) 1,25. d) 0,9. e) 0,91. f) 2,5. g) 3,25. h) 1,75. i) 0,89. j) 0,1. 2) a) 0,25. b) 0,09. c) 0,1. d) 0,5. e) 0,912. f) 0,75. g) 1,27. h) 2,05.

3) Tiene que comprar 13 m de puntilla. 4) Hay más de una posibilidad. Por ejemplo, un rectángulo que tenga 2 cuadraditos de un lado y 9 del otro.

Ficha 48 1) Hay más de una posibilidad. Por ejemplo, un rectángulo que tenga 3 cuadraditos en uno de los lados y 10 en otro. 2) a) Se puede armar un rectángulo que tenga, por ejemplo, 2 cuadraditos en uno de los lados y 9 en otro. b) Se puede armar un rectángulo que tenga, por ejemplo, 3 cuadraditos en uno de los lados y 6 en otro. c) Se puede armar un rectángulo que tenga, por ejemplo, 1 cuadradito en uno de los lados y 18 en otro.

Ficha 49

3) a) 0,75. b) 1,25. c) 2,5. d) 1,25. e) 2,5. f) 8,5. g) 6,75. h) 3,25. i) 0,75. j) 1,25. k) 12,5. l) 1,25. m) 7,5. n) 4,5. ñ) 1,75. o) 5,25.

Ficha 52 1)

a) Valor aproximado: 325. Valor exacto: 325,08. b) Valor aproximado: 45. Valor exacto: 44,56. c) Valor aproximado: 148. Valor exacto: 147,958. d) Valor aproximado: 4.000. Valor exacto: 3.744.

2) a) 32 litros de leche cuestan $ 132,8. b) 18 kilos de manzanas cuestan $ 94,5. c) 27 metros de tela cuestan $ 375,3.

Ficha 53 1) a) Área: 12 cm2. b) Área: 9 cm2. 2) Área: 6 cm2.

1) a) 0,381. b) 47,529. c) 15,063. 3) Área: 4,5 cm2. 2) a) 2 + 6/10 + 7/100. b) 4 + 2/10 + 1/100 + 5/1.000. c) 9 + 3/10 + 8/1.000

Ficha 54 1) a) El área del terreno es de 4.200 m2. b) El área de la casa es de 200 m2. c) El área de la huerta es de 100 m2.

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Los conocedores