Matemáticas B – 4º E.S.O. – Tema 1 – Los números Reales

1

TEMA 1 – LOS NÚMEROS REALES 1.1 CLASIFICACIÓN DE LOS NÚMEROS REALES 3º

1.1.1 TIPOS DE NÚMEROS

3º

Los números naturales son : 1, 2, 3, ...., 10, 11, ...., 102, 103,.... . Hay infinitos. Al conjunto de todos ellos se les designa con la letra N.

3º

Los números enteros incluyen los naturales, sus opuestos y el cero: ..., -11, 10, ......, -2, -1, 0, 1, 2, ...., 10, 11, ..... Al conjunto de todos ellos se les designa con la letra Z.

3º

Los números fracciones son fracciones (a/b) donde el numerador no es múltiplo del denominador y el denominador es no nulo. Hay dos tipos:  Fracciones propias : Numerador < Denominador (Ejemplo: 2/3)  Fracciones impropias : Numerador > Denominador (Ejemplo: 3/2) Los números fraccionarios tienen una expresión como número decimal  Números decimales exactos : Número finito de decimales : 1,234  Números decimales periódicos puros : Número infinito de decimales tales que la parte decimal se repite : 1,234234234..... = 1, 234  Números decimales periódicos mixtos : Número infinito de decimales tales que hay alguna cifra decimal que no se repite: 1,2344444..... = 1,23 4

3º

Los números racionales incluyen los números enteros y los fraccionarios. Al conjunto de todos ellos se les designa con la letra Q.

3º

Los números irracionales son aquellos que no son racionales: , 1’01001.... (Números decimales no periódicos)

4º 4º

2,

1.1.2 ESQUEMA DE CLASIFICACIÓN DE LOS NÚMEROS   24     NATURALES (N)  0 ; 4 ; 6 ; 81......  ENTEROS (Z)    ENTEROS NO NATURALES  - 11 ; - 24 ; 3  8....   (Enteros negativos) 4      3  RACIONALES (Q)  Decimales exactos : 0,31 ; 4 ;...... REALES (R)      4  FRACCIONAR IOS .    Decimales periódicos puros : ;7, 31;.... (Racionale s no enteros) 3       Decimales periódicos mixtos : 7,3 1 .....       IRRACIONAL ES (I)  2 ; - 3 ; 3 5 ; ; Deci males no periódicos ..... 

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2

1.2 PASAR DE FRACCIÓN A DECIMAL Y VICEVERSA 3º

1.2.1 PASAR DE FRACCIÓN A DECIMAL

3º

Para obtener la expresión decimal de una fracción, se efectúa la división del numerador entre el denominador.

3º

Ejemplos: 8  = 2  Natural 4 9   2,25  Decimal exacto 4  4   1,333333....  1,3  Decimal periódico puro 3  7   1,166666....  1,16  Decimal periódico mixto 6

3º 3º

3º

1.2.2 PASAR DE DECIMAL A FRACCIÓN Decimales exactos: N = 2,38 100N = 238 238 N= 100

Multiplicar por la potencia de 10 adecuada para convertirlo en entero. Despejar N Simplificar la fracción, si es posible  N

=

119 50

Decimales periódicos puros: N = 2, 38 Multiplicar por la potencia de 10 adecuada obtener otro número con el mismo periodo.

100N = 238, 38 99N = 236 236 N= 99 3º

Restarlos Despejar N Simplificar la fracción, si es posible  N

=

236 99

Decimales periódicos mixto:  N = 2,3 8 Multiplicar por la potencia de 10 adecuada para convertirlo en periódico puro

10N = 23, 8 100N = 238, 8 90N = 215 215 N= 90

Multiplicar por la potencia de 10 adecuada obtener otro número con el mismo periodo. Restarlos Despejar N Simplificar la fracción, si es posible  N

=

43 18

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3

1.3 NÚMEROS APROXIMADOS 3º

1.3.1 EXPRESIÓN APROXIMADA SIGNIFICATIVAS.

DE

UN

NÚMERO.

CIFRAS

3º

Cuando utilizamos los números decimales para expresar mediciones concretas, se deben dar con una cantidad adecuada de cifras significativas.

3º

Se llaman cifras significativas a aquellas con las que se expresa un número aproximado. Sólo de deben utilizar aquellas cuya exactitud nos conste.

3º

Para expresar una cantidad con un número determinado de cifras significativas recurriremos al redondeo, si la primera cifra que despreciamos es mayor o igual que 5 aumentamos en una unidad la última cifra significativa y si es menor que cinco la dejamos como está. Ejemplos: Redondear con tres cifras significativas: 123.421  123.000 123.521  124.000 123.721  124.000 Al redondear números decimales, normalmente, nos quedamos con dos decimales. 1.3.2 CONTROL DEL ERROR COMETIDO

3º

Cuando damos una medida aproximada, estamos cometiendo un error.

3º

El Error Absoluto es la diferencia entre el Valor Real y el Valor de Medición, en valor absoluto (en positivo) Error Absoluto = | Valor Real – Valor de Medición |

4º

Pero no es lo mismo cometer un error de un centímetro al medir una tiza que una pizarra, por tanto definimos: El Error Relativo como es el cociente entre el error absoluto y el valor real Error Relativo =

Error Absoluto Valor Real

4º

Llamamos cotas de los errores a cantidades mayores o iguales que los errores con menor o igual número de cifras significativas.

4º

Al valernos de números decimales para dar valores aproximados, el error absoluto es inferior a una cantidad del orden de la última cifra significativa. El valor relativo es tanto menor cuantas más cifras significativas demos correctamente.

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4

1.4 NOTACIÓN CIENTÍFICA 4º

1.4.1 INTRODUCCIÓN

4º

Los números siguientes están puestos en notación científica: 2,48 . 1014 = 248.000.000.000.000 (14 cifras a partir de la coma) -14 7,561. 10 = 0,00000000000007561 (14 cifras de la coma al 7)

4º

La notación científica tiene sobre la usual la siguiente ventaja: las cifras se nos dan contadas, con lo que el orden de magnitud del número es evidente. Esta notación es útil, sobre todo, para expresar números muy grandes o muy pequeños.

4º 4º

1.4.2 DEFINICIÓN Un número puesto en notación científica consta de : - Una parte entera formada por una sola cifra que no es el cero(la de las unidades) - El resto de las cifras significativas puestas como parte decimal. - Una potencia de base 10 que da el orden de magnitud del número. N = a , bcd...... x 10n a = Parte entera (sólo una cifra) bcd..... = Parte decimal 10n = Potencia entera de base 10

4º

4º 4º

Si n es positivo, el número N es “grande” Si n es negativo, el número N es “pequeño” 1.4.3 OPERACIONES CON NÚMEROS EN NOTACIÓN CIENTÍFICA En sumas y en restas hay que preparar los sumandos de modo que tengan todos la misma potencia de base 10 y así poder sacar factor común. 5,83 . 109 + 6,932 . 1012 – 7,5 . 1010 = 5,83 . 109 + 6932 . 109 – 75. 109 = = (5,83 + 6932 – 75) . 109 = = 6862,83 . 109 = 6,86283 . 1012  6,86 . 1012

4º

El producto, el cociente y la potencia son inmediatos, teniendo en cuenta: 10b. 10c = 10b+c

10b : 10c = 10b-c

10   10 b c

b. c

(5,24 . 106) . (6,3 . 108) = (5,24 . 6,3) . 106+8 = 33,012 . 1014 = 3,3012 . 1015  3,3. 1015 (5,24 . 106) : (6,3 . 108) = (5,24 : 6,3) . 106-8 = 0,8317 . 10-2 = 8,317 . 10-3  8,32. 10-3 (5,24 . 106)2 = (5,24)2 . 106.2 = 27,4576 . 1012 = 2,74576 . 1013  2,75. 1013

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1.4.3 CALCULADORA PARA NOTACIÓN CIENTÍFICA 09

significa 5,74901 . 109

4º

Interpretación: 5,74901

4º

Escritura: Para poner 5,74901 . 109  5,74901 “EXP” 9 Para poner 2,94 . 10-13  2,94 “EXP” 13 “”

4º

Operaciones: Las operaciones se encadenan como si fueran números cualesquiera. La propia calculadora, al presionar “=”, da el resultado en forma científica.

4º

Modo científico (SCI) : El modo SCI hace que la calculadora trabaje siempre con números en notación científica y, además, con la cantidad de cifras significativas que previamente le hayamos indicado. Por ejemplo si, con una calculadora en la que se accede al Modo SCI mediante la secuencia “MODE” “8”, deseamos trabajar con la notación científica con tres cifras significativas (dos decimales) para realizar la siguiente multiplicación: (3.475.980.000) . (1,27 . 10-5), haremos: - Preparar la calculadora: “MODE” “8” “3”  0.00 00 - Introducir el primer factor 3475980000 “x”  3,48 09 - Introducir el segundo factor 1,27 “EXP” 5 “” - Ejecutar el producto “=”  4,14 04

4º

Observaciones: Cuando la calculadora está en Modo SCI, admite expresiones no científicas, pero al darle a una tecla de operaciones o al “=”, pone el número en notación científica, con las cifras significativas deseadas, redondeando. La calculadora conserva en su memoria los dígitos que no exhibe en la pantalla. Si en el ejemplo anterior ponemos la calculadora en Modo NORMAL (“MODE” “9”), inmediatamente se muestra en la pantalla el resultado con todas las cifras: 44144,946.

4º 4º

1.4.5 ÓRDENES DE MAGNITUD Para designar órdenes de magnitud (grandes o pequeños), existen algunos prefijos: Giga

109

Mega 106

Kilo 103 Hecto 102 Deca 10

Deci 10-1 Centi 10-2 Mili 10-3

Micro 10-6 Nano 10-9

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1.5 NÚMEROS NO RACIONALES 3º 3º

3º 3º

1.5.1 INTRODUCCIÓN Números racionales son los que se pueden poner como cociente de dos números enteros. Hay números que no son racionales como, por ejemplo, 2 . 1.5.2 NÚMEROS IRRACIONALES Los números no racionales se llaman irracionales. 2 es irracional - Si p no es cuadrado perfecto, p es irracional. - En general, si p es un número entero y

n

p no es un número entero (es

decir, p no es una potencia n-ésima), entonces n p es irracional. -  es irracional - Los números decimales no periódicos son irracionales. 3º

La expresión decimal de un número irracional tiene infinitas cifras no periódicas. En cualquier intervalo de la recta, por pequeño que sea, hay infinitos números irracionales.

1.6 LOS NÚMEROS REALES 4º

1.6.1 DEFINICIÓN

4º

El conjunto formado por los números racionales y los irracionales se llama conjunto de números reales y se designa por R.

4º

Con los números reales podemos realizar las mismas operaciones que hacíamos con los números racionales: sumar, restar, multiplicar y dividir (salvo por el cero) y se siguen manteniendo las mismas propiedades. También podemos extraer raíces de cualquier índice (salvo raíces de índice par de números negativos) y el resultado sigue siendo un número real. Eso no ocurría con los números racionales.

4º 4º

1.6.2 LA RECTA REAL Cada punto de la recta corresponde a un número racional o a un número irracional. Por eso a la recta numérica la llamaremos recta real.