TEMA 1: NÚMEROS REALES 3º ESO Matemáticas Apuntes para trabajo del alumnos en el aula.

1. Fracciones. Números racionales •  Si se multiplican o dividen el numerador y el denominador

de una fracción por un mismo número distinto de cero, se obtiene otra fracción equivalente. simplificar

1 3

amplificar

12 36

3 9 :3

:4

168 504

24 72 ⋅2

⋅7

1. Fracciones. Números racionales Todas las fracciones equivalentes a una dada determinan un mismo número que se llama número racional

1 = 3 9 3

€

€

12 = 36

€

24 168 = = 72 504 El conjunto de los números racionales se designa con la letra Q €

1. Fracciones. Números racionales EJERCICIO 1 *Página 8. Ejercicio 3 •  Expresa estas fracciones con el mismo denominador

Triángulos Semejantes: “Dos triángulos son semejantes si tienen los ángulos correspondientes iguales y sus lados son proporcionales entre si” —  Teorema de Tales: “Si

por un triángulo se traza una línea paralela a cualquiera de sus lados, se obtienen dos triángulos semejantes.”

2. Representación de números racionales EJEMPLO 1

Representar

€

3 4

2. Representación de números racionales

2. Representación de números racionales

2. Representación de números racionales

2. Representación de números racionales AE AD = AC AB

€ “AC es a AE como AB lo es a AD” 1 unidad en la línea verde es a una unidad € 3 en la línea negra como en la línea verde 4 3 lo son a 4 en la línea negra

€

1u AD = 1u * 3 u * 4 3 1u AD = u *⋅ 4 1u *

3 AD = u 4

2. Representación de números racionales 3 4

Observa que es una fracción propia. ¿Cómo podemos representar las impropias? 5 2 5 EJEMPLO 2

Representar € = 1+ 3 3 3

€

€

2. Representación de números racionales EJERCICIO 2 *Página 9. Ejercicio 10 •  Utiliza el teorema de tales para representar en la recta

real los siguientes números:

2. Representación de números racionales EJERCICIO 3 *Página 9. Ejercicio 13 •  Calcula los valores de las abcisas de los puntos de cada

figura

3. Operaciones con números racionales •  Suma y diferencia Se reducen primero a común denominador y se suman o restan los numeradores

3 4 9 8 17 + = + = 4 6 12 12 12

€

€

3. Operaciones con números racionales Producto, inversa y cociente

•  Producto

•  Inversa

€ •  Cociente

€

€

a c a⋅ b ⋅ = b d c⋅d

3 2 6 ⋅ = 5 6 30

a b a⋅ b ⋅ = =€1 b a b⋅ a

3 5 15 ⋅ = =1 5 3 15

a c a d a⋅ d : = ⋅ = b d b c€ b ⋅ c

€

3 2 3 6 18 : = ⋅ = 5 6 5 2 10

€

4. Expresiones fraccional y decimal de un número racional De la expresión fraccionaria a la decimal

La expresión decimal de una fracción es el número que se obtiene al dividir el numerador entre el denominador

EJEMPLOS −5 = −5 1 174 = 1,74 100 ⌢ 25 = 2, 7 9 ⌢ 124 = 1,37 90

anteperíodo Entera Decimal exacta o finita

ˆ 1,37

Decimal periódica pura Decimal periódica mixta

Parte entera

período

4. Expresiones fraccional y decimal de un número racional De la expresión decimal a la fraccionaria

•  Todo decimal exacto o periódico puede escribirse en

forma de fracción de acuerdo con la siguiente fórmula Número entero formado por las cifras de la parte entera, el anteperíodo y el período.

Número entero formado por las cifras de la parte entera y el anteperíodo.

x= Tantos nueves como cifras tenga el período.

Tantos ceros como cifras tenga el anteperíodo.

4. Expresión fraccional y decimal de un número racional. •  ¿Cómo podemos saber si un número racional tiene

representación decimal exacta, periódica pura o periódica mixta? •  Atendiendo al denominador de la fracción irreducible: •  Si tiene sólo como factores doses y cincos: su desarrollo decimal

es finito •  En otro caso será periódico. •  Si tiene doses, cincos y otros: será periódico mixto •  Si no tiene doses ni cincos será periódico puro

4. Expresión fraccional y decimal de un número racional. EJERCICIO 4 *Página 12. Ejercicio 27 •  Sin hacer la división, di que tipo de expresión decimal

corresponde a cada fracción

4. Expresión fraccional y decimal de un número racional. •  ¿Cómo podemos pasar de decimal a fracción? Decimal exacto Caso 1

Pasar 3,25 de decimal a fracción

Como es un decimal exacto, multiplicamos por 100 (dos decimales) y construimos la fracción con el número obtenido como numerador y el 100 como denominador.

325 100

4. Expresión fraccional y decimal de un número racional. Caso 2

Pasar

de decimal a fracción

Decimal periódico Puro

x = 1,23232323232323.... Multiplicamos por 100

100 ⋅ x = 123,232323232323....

Restamos Despejamos x

€

€ €

€

100 ⋅ x − x = 123,2323....−1,232323... 99x = 122 122 x= 99

4. Expresión fraccional y decimal de un número racional. Caso 3

Pasar 1,46ˆ de decimal a fracción

Decimal periódico Mixto

x = 1,466666666 € Multiplicamos por 100

100 ⋅ x = 146,666666...

Multiplicamos por 10

10 ⋅ x = 14,666666...

Restamos Despejamos x

€ 100 ⋅ x −10x = 146, 6666.... −14, 666... € 90x = 132 132 x= € 90

5. Números irracionales •  Los números con expresión decimal ni exacta ni periódica

pura se llaman números irracionales. •  No pueden expresarse como una fracción de términos enteros •  Observa:

8,10100100010000100000 1

2

3

4

5

5. Números irracionales •  Otro ejemplo:

7,73773777377773777773 1

2

3

4

5

5. Números irracionales •  Las raíces no exactas dan lugar a expresiones decimales

no periódicas, es decir a números irracionales. •  La diagonal de un cuadrado lado 4 es un número irracional. •  Aplicando pitágoras:

d 2 = 4 2 + 4 2 ⇒ d 2 = 32 ⇒ d = 32

El número

π

Es ilimitado y no periódico. Es decir es irracional. Es el cociente entre el perímetro y el diámetro de una circunferencia. El número π con 1000 cifras decimales 3,141592653589793238462643383279502884197169399375105820974944 59230781640628620899862803482534211706798214808651328230664 70938446095505822317253594081284811174502841027019385211055 59644622948954930381964428810975665933446128475648233786783 16527120190914564856692346034861045432664821339360726024914 12737245870066063155881748815209209628292540917153643678925 90360011330530548820466521384146951941511609433057270365759 59195309218611738193261179310511854807446237996274956735188 57527248912279381830119491298336733624406566430860213949463 95224737190702179860943702770539217176293176752384674818467 66940513200056812714526356082778577134275778960917363717872 14684409012249534301465495853710507922796892589235420199561 12129021960864034418159813629774771309960518707211349999998 37297804995105973173281609631859502445945534690830264252230 82533446850352619311881710100031378387528865875332083814206 17177669147303598253490428755468731159562863882353787593751 95778185778053217122680661300192787661119590921642.

6. Números reales. Valor absoluto REALES"

Enteros (Z)" Naturales" (N)"

Irracionales (I)"

Racionales (Q)"

6. Números reales. Valor absoluto. •  El valor absoluto de un número real x es el número en

positivo, y se denota por |x| •  Geométricamente representa la distancia de “x” al punto cero (0) en la recta numérica.

−5 = 5

€

+2 = 2

€

7. Aproximación decimal de los números reales APROXIMAR Aproximar un número es sustituirlo por otro cercano a él POR DEFECTO: el número es menor que el sustituido POR EXCESO: el número es mayor que el sustituido POR REDONDEO: elegir la aproximación por defecto si la primera cifra suprimida es menor que 5, y la aproximación por exceso si es mayor o igual que 5

7. Aproximación decimal de los números reales Para redondear un número a un orden dado: Se observa la primera cifra eliminada SI

3

€

x ≥3

EJERCICIO 13

*Ejercicio 88

Escribe en forma fraccionaria los siguientes números decimales: A) 45,77777.... B) 1,2323232323....

€

€

EJERCICIO 13 (continuación)

*Ejercicio 88

Escribe en forma fraccionaria los siguientes números decimales: 0,53636... D) C) 3,42222....

€

€

EJERCICIO 14 •  Escribe y representa los intervalos o semirrectas descritos a

continuación. a)  b)  c)  d)  e) 

Al menos 20 euros. Como poco 13 años, pero no llega a 20 No menos de 5 ni más de 7 km. Entre 750 g y un kilo y medio. De −1 a 12, ambos inclusive.

EJERCICIO 15 Halla los valores que faltan en la tabla

EJERCICIO 16

*Ejercicio 93

Clasifica estos números en racionales o irracionales. Justifica la respuesta

EJERCICIO 17 Determina el valor de un denominador adecuado para convertir cada fracción en una expresión decimal del tipo que se indica.

EJERCICIO 18

*Ejercicio 82

Realiza las siguientes operaciones:

EJERCICIO 19

*Ejercicio 85

Encuentra una fracción que esté situada entre

€

€

4 y5 7 3

EJERCICIO 20 *Ejercicio 86 Observa la siguiente operación:

a) ¿Qué prioridad no se ha tenido en cuenta en ella?

b) Introduce los paréntesis que se necesitan para que la solución sea correcta

EJERCICIO 21

*Ejercicio 94

¿Se pueden encontrar dos números enteros cuyo cociente sea 7,414114111...? Justifica la respuesta.

EJERCICIO 22

*Ejercicio 95

Explica si son ciertas o falsas estas afirmaciones. a)  Todo número entero es racional. b)  Todo número real es racional. c)  Muchos números racionales son naturales. d)  Un número racional tiene una sola expresión fraccionaria. e)  Los números irracionales forman el conjunto de todos los números con infinitas cifras decimales.

EJERCICIO 23

*Ejercicio 97

Clasifica los siguientes números en racionales e irracionales.

EJERCICIO 24

*Ejercicio 98

Realiza estas aproximaciones del número 463,2673 a) b) c) d)

Aproxima por defecto a la centésima. Aproxima por exceso a la milésima. Redondea a la parte entera. Redondea a la décima.

EJERCICIO 25

*Ejercicio 100

Calcula los errores absoluto y relativo que se cometen al elegir 5,67 como aproximación de

17 3

€

EJERCICIO 26

*Ejercicio 102

El resultado del cálculo de la diagonal del rectángulo de la figura es 5,831.

Determina el error absoluto y el error relativo.

EJERCICIO 27

*Ejercicio 106

Representa en la recta real el número

€

7

EJERCICIO 28

*Ejercicio 118

En el triángulo equilátero de la figura: a)  Determina la altura redondeando a la milésima b)  Expresa la altura mediante un número racional de dos decimales.

EJERCICIO 29

*Ejercicio 116

116. El radio de la Luna es de 1737 kilómetros. a)  Calcula el perímetro de su ecuador, tomando para π el valor 3,14. Redondea el resultado a las unidades. b)  Calcúlalo ahora con la aproximación que usaban los babilonios: π = 3. c)  Compara los resultados obtenidos. Si el valor verdadero es el del apartado a, ¿qué errores absoluto y relativo cometían los babilonios? d)  Calcula el error relativo en %

EJERCICIO 30

*Ejercicio 110

Indica los intervalos que representan los siguientes dibujos.

EJERCICIO 31

*Ejercicio 109 Representa cada uno de estos números irracionales en una recta.

EJERCICIO 32

*Ejercicio 80

Representa estas fracciones utilizando el teorema de Tales.

EJERCICIO 33 Calcula la fracción generatriz de las siguientes expresiones decimales:

B) 7,452323232323....

A) 5,222222....

€

€

€

EJERCICIO 34

Representa usando un gráfico y un intervalo, el conjunto de números que satisface la desigualdad:

x ≤5

x ∈[−5,5] €

€

MATEMÁTICAS PARA EDUCACIÓN SECUNDARIA Números reales. 2014-2015 http://losmaledukados.wordpress.com/