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unidad 1 contenidos

1. Números naturales y enteros 2. Números racionales. Potencias

3. Relaciones entre los números racionales y decimales 4. Números irracionales 5. Números reales. Representación 6. Conjuntos en la recta real 7. Aproximaciones decimales 8. Redondeos y truncamientos 9. Errores 10. Notación científica y orden de magnitud 11. Radicales 12. Operaciones con radicales 13. Racionalización de denominadores

Números reales

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7

Las Matemáticas que desarrollaron los griegos nos muestran que ya conocían los números naturales y fraccionarios. Fueron los primeros en descubrir los números irracionales, es decir, números que no pueden ser expresados a través de una fracción, al comparar la diagonal y el lado de un pentágono regular o la diagonal y el lado de un cuadrado. Uno de estos números irracionales es la razón que existe entre la diagonal y el lado de un pentágono regular. Este número dio nombre al rectángulo áureo, llamado así porque la razón entre sus lados es el número de oro. Para los antiguos griegos este rectángulo representaba la armonía, por eso, lo utilizaron en sus obras escultóricas y arquitectónicas. La fachada del Partenón es un rectángulo áureo perfecto a la vez que otros muchos elementos del edificio. Este conocimiento de los números por parte de los griegos no fue superado hasta veinticuatro siglos más tarde. Los matemáticos G. Cantor (1845-1918), R. Dedekind (1831-1916), K. Weierstrass (1815-1897) y B. Bolzano (1781-1848) fueron los que culminaron la obra, que duró medio siglo de investigaciones, sobre los números reales. Los conceptos de intervalo y entorno asociados a los números reales, así como una operación muy peculiar que crearon —denominada paso al límite—, consolidó y otorgó rigor al conjunto de conceptos y métodos infinitesimales que conforman la parte de las Matemáticas conocida como cálculo diferencial e integral.

cuestiones iniciales 1. Encuentra varios números que estén comprendidos entre los que se indican: 2 3 a)  y ; 5 5

b) 2,1 y 2,2;

c) 2,01 y 2,1.

2. Utilizando solamente las teclas de las operaciones elementales de tu 3

calculadora, describe un procedimiento que te permita calcular 10 . 3. Ordena de menor a mayor los siguientes números: 5,31; –4,21; 5,201; –4,201; 5,2101; –4,2101; 4,211; 4,201. 4. Elevando ambos miembros al cuadrado comprueba la igualdad: – 3 22  = 6 – 2  n

5. ¿Para qué valores de n y a se cumple a X ?

Y

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Unidad 1

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1. Números naturales y enteros  Leopold Kronecker (1823-1891)

Los números naturales surgen, de forma espontánea, ante la necesidad que tiene el hombre de contar todo cuanto le rodea. • El conjunto de los números naturales se representa por  y sus elementos son:  = {0, 1, 2, 3, 4, ...} Existen numerosas situaciones en las que los números naturales son insuficientes para resolverlas, como: • la cronología antes y después de Jesucristo. • las temperaturas sobre y bajo cero. • las soluciones de ecuaciones como: x + 3 = 1 debido a esto surgen los números enteros.

Fue un gran matemático alemán que estudió la Teoría de Números. Pronunció la siguiente frase: «El buen Dios creó los números naturales, todo lo demás es obra del hombre».

• El conjunto de los números enteros se representa por  y está formado por los números naturales (enteros positivos y cero) y por los números enteros negativos.  = –  {0}  + = {..., –2, –1, 0, 1, 2, ...}

Los números enteros se representan sobre una recta horizontal en la cual fijamos el origen, que designamos 0, y a partir de este colocamos sucesivamente un segmento, que tomamos como unidad, a la derecha del cero dando lugar a los enteros positivos y a la izquierda del cero dando lugar a los enteros negativos:

...

–3

–2

–1

0

1

2

3

...

Utilizamos la representación gráfica para comparar números enteros. • Un número entero a es menor que otro número entero b cuando en la representación gráfica a está situado a la izquierda de b. Se escribe:

 Valor absoluto de un número entero La definición de valor absoluto, simbólicamente, se puede escribir: |a| =

    

a si

a≥0

–a si

a a a

b

Un concepto asociado a los números enteros es el de valor absoluto, que es el número natural que resulta de suprimir el signo + ó – que precede al número entero.

Y

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Números reales

9

2. Números racionales. Potencias Los números enteros también son insuficientes para resolver muchas situaciones como por ejemplo: 5x = 3 Debido a esto surgen los números racionales. • El conjunto de los números racionales se representa por  y está formado por: a  =  a, b   y b ≠ 0 b







 Representación de números racionales 2 • Representamos 5

Los números racionales se representan sobre una recta horizontal de forma análoga a los números enteros, dividiendo cada unidad en tantas partes como indica el denominador, como se muestra en el margen. Al igual que en los números enteros utilizamos la representación gráfica para comparar números racionales siguiendo el mismo criterio que en aquellos.

0

El concepto de potencia de base un número racional y exponente natural es el mismo que el de base un número entero y exponente natural ya conocido: 4

( )

=

2

2 5

Potencias de números racionales

2 5

1

• Representamos

7 3

4 2 2 2 2 2·2·2·2 · · · = = 24 5 5 5 5 5·5·5·5 5

• La potencia de base un número racional, a , y exponente entero se deb fine por: a b

n

a b

0

( ) ( ) ( ) ( )

• Si el exponente es entero positivo: • Si el exponente es cero:

a b

• Si el exponente es entero negativo:

n

a bn

=

0

1

2

3

4

7 3

=1

–n

n

b a

=

n = bn a

Estas potencias tienen las mismas propiedades que las potencias de base un número entero. 1

1)

( )

3)

( ) ( ) ( )

5)

[( ) ( )] ( ) ( )

a b a b

=

n

:

a b a b

a c · b d

m

=

n

a b

a = b

c · d

m

n+m

( ) ( ) ( )

4)

[( ) ] ( )

6)

[( ) ( )] ( ) ( )

n–m

n

n

2)

n

a b

a b

·

a b

n m

=

c a : d b

a b

=

a b

n

n·m

a = b

n

c : d

n

Y

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Unidad 1

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3. Relaciones entre los números racionales y decimales  Conversión de racional a decimal

Cualquier número racional se puede escribir como un número decimal exacto, periódico puro o periódico mixto sin más que dividir numerador entre denominador.

•

131 20 = 22 · 5 = 6,55 20 d. exacto

•

514 257 9 = 32 = 28,5 = 18 9 d. p. puro

•

68 55 = 5 · 11 272 = 1,236 = 220 55 d. p. mixto

[

]

]

]

(

[

(

[

Como recordarás del curso pasado, entre los números racionales y decimales existe una estrecha relación.

• Un número racional m (m y n primos entre sí) se convierte en: n • decimal exacto si los únicos factores primos que tiene el denominador son 2 ó 5. • decimal periódico puro si entre los factores primos del denominador no se encuentra ni el 2 ni el 5. • decimal periódico mixto si entre los factores primos del denominador se encuentra el 2 ó el 5.

 Conversión de decimal a racional • 6,55 = (

• 28,5 =

655 131 = 100 20

De todo lo anterior deducimos la siguiente propiedad:

285 – 28 257 = 9 9

( • 1,236 =

Análogamente, cualquier número decimal exacto, periódico puro o periódico mixto se puede expresar como un número racional, como puedes ver en el margen.

• El conjunto de los números racionales equivale al conjunto formado por los decimales exactos, los periódicos puros y los periódicos mixtos.

68 1 236 – 12 = 990 55

decimales decimales  = decimales  periódicos  periódicos

 exactos  

puros

 

mixtos



ACTIVIDADES RESUELTAS 1. En una determinada ciudad se han contabilizado al final del año 4 250 vehículos, de los cuales una parte han sido adquiridos durante ese año. De los no adquiridos durante ese año el 54,545454...% son coches y el 10,2777...% motocicletas. ¿Cuántos vehículos se adquirieron ese año? Convertimos los decimales dados en fracciones:

(

•

54,545454... 100

=

54,54 100

=

5 454 – 54 9 900

=

6 11

•

10,27 100

=

1 027 – 102 9 000

=

37 360

Por tanto, el número de vehículos no adquiridos ese año ha de ser múltiplo de 11 y de 360 y menor de 4 250. El número más pequeño que lo verifica es mcm (11,360) = 3 960, con lo que ese año se adquieron 4 250 – 3 960 = 290 vehículos.

Y

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Números reales

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4. Números irracionales Las relaciones que hemos descubierto entre los números racionales y decimales nos aseguran que los números racionales coinciden con los decimales exactos y decimales periódicos. Sin embargo, existen números decimales con infinitas cifras decimales y que no son periódicos, como, por ejemplo: • 2,010010001…

 Godefroy Harold Hardy (1877-1947)

• 427,232233222333…

A estos números los llamamos irracionales. • El conjunto de los números irracionales, , está formado por aquellos números que, cuando los expresamos en forma decimal, aparecen infinitas cifras decimales pero no son periódicos. Los números irracionales, por tanto, no se pueden expresar en forma de fracción. Algunos de los números irracionales más conocidos o más importantes son: • El número p. Es el primer número irracional que manejamos. π = 3,14159265... • El número 2  que aparece al calcular la medida de la diagonal de un cuadrado de lado 1.

Matemático inglés, recoge en su libro Autojustificación de un matemático dos famosos teoremas de la matemática griega clásica. El primero de ellos afirma que existen infinitos números primos y el segundo afirma que  2 es irracional.

A

2 = 1,41421356... 3

También son irracionales 3, 5, 7, 2, etc. • El número de oro F (número áureo) que aparece como razón entre la diagonal de un pentágono regular y su lado. 1 + 5 F =  = 1,61803398… 2

B

C

Φ=

AC AB

Y

Este número aparece como razón entre los lados del «rectángulo áureo». Para los antiguos griegos este rectángulo representaba «la armonía».

( )

1 y= 1+— x

• El número e aparece en múltiples procesos biológicos, químicos, físicos, etc. Es el número al que tiende la función que figura en el margen cuando x tiende a + ∞ ó – ∞.

x

e

+1

e = 2,71828182845904...

–1

0

X

Y

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Unidad 1

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5. Números reales. Representación El conjunto de los números racionales junto con los irracionales forma el conjunto de los números reales, y se denotan por la letra mayúscula .



 



números números  = racionales q irracionales =q

A continuación podemos ver la relación que existe entre los distintos conjuntos numéricos.

Enteros 

Enteros positivos  Cero 0

+

Enteros negativos 

Racionales 

Reales  Decimales

Naturales  –

Decimales exactos Decimales periódicos

Irracionales 

En los epígrafes anteriores hemos representado sobre la recta los números naturales, enteros y racionales. Los puntos de la recta que no están ocupados por números racionales son ocupados por los números irracionales hasta llenar todos los huecos. • Los números reales llenan por completo la recta, de ahí que la llamemos recta real. • Dado un origen y una unidad, a cada punto de la recta le corresponde un número real, y a cada número real le corresponde un punto de la recta.

Representación Ya sabemos representar en la recta números naturales, enteros y racionales. Nos quedarían por representar los números irracionales. Vamos a representar, solamente, los números irracionales de la forma √n con n natural. Estos números se pueden representar en la recta real mediante procedimientos geométricos que se basan en el teorema de Pitágoras, como puedes ver a continuación. 2

3

5

0

1

1

2 Φ = 1+ 5 2

3

4

–1

0

1

2

3

2

5

6

1+ 5

Los restantes números irracionales se representan en la recta real, de forma aproximada, mediante sus aproximaciones decimales.

Y

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Números reales

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6. Conjuntos en la recta real Dentro de la recta real podemos definir una serie de subconjuntos, entre los que se encuentran los intervalos y los entornos. Estos subconjuntos tienen gran importancia en el estudio de las funciones. Su definición está basada en la relación de orden de los números reales.

 Unión de dos conjuntos A q B es el conjunto formado por todos los elementos de A y de B. Intersección de dos conjuntos A Q B es el conjunto formado por los elementos comunes de A y de B.

• Un número real a es menor o igual que otro número real b cuando en la recta real a está a la izquierda de b o superpuesto con él. Simbólica y gráficamente: a ≤ b ⇔ ———— ó ———— a b a = b

A

B

A

El símbolo ⇔ se lee «sí y sólo si» e indica equivalencia.

B

A q B

A continuación podemos ver la relación que existe entre los distintos conjuntos numéricos.

A Q B

CONJUNTOS EN LA RECTA REAL SUBCONJUNTOS

SÍMBOLO

Intervalo abierto

(a, b)

DEFINICIÓN

REPRESENTACIÓN GRÁFICA

(a, b) = {x Z  | a < x < b} El intervalo abierto de extremos a y b es el conjunto de números reales comprendidos entre a y b

a

b

a

b

[a, b] = {x Z  | a ≤ x ≤ b} Intervalo cerrado

Intervalo semiabierto o semicerrado

[a, b]

El intervalo cerrado de extremos a y b es el conjunto de números reales comprendidos entre a y b e incluidos estos

[a, b)

[a, b) = {x Z  | a ≤ x < b}

(a, b]

(a, b] = {x Z  | a < x ≤ b}

Entorno simétrico

E(a, r)

Entorno reducido

E *(a, r)

Entorno lateral a la izquierda

E (a, r)

Entorno lateral a la derecha

E (a, r)

a

E(a, r) = (a – r, a + r) = {x Z  | |x – a| < r}

b

r

r

El entorno simétrico de centro a y radio r positivo es el intervalo abierto de extremos a – r y a + r

a–r

a

a+r

E*(a, r) = E(a – r) – {a}

a–r

a

a+r

–

E –(a, r) = (a – r, a)

a–r

a

+

E +(a, r) = (a, a + r)

a

a+r

Y

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Unidad 1

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 El número π Existe un poema de Manuel Golmayo que permite recordar las 20 primeras cifras de π, contando el número de letras de cada palabra: «Soy y seré a todos definible 3 1

4

1

5

9

mi nombre tengo que daros, 2

6

5

3

5

7. Aproximaciones decimales Los números irracionales y los números decimales periódicos tienen infinitas cifras decimales por lo cual, para trabajar con ellos, necesitamos utilizar aproximaciones de los mismos. El número irracional π es: π = 3,14159265358979323846... por lo que podemos considerar las siguientes desigualdades:

cociente diametral siempre inmedible 8

9

7

3 1 ó d > –5} d) (–1, 4]  (0, 3)

13. Expresa de forma simbólica los siguientes conjuntos: a)

d)

1

–1

b)

0

1

e) E(5, 2) f) (–∞, –5]

2

3

e) –2

2

c)

–3

f) –4

–1

1

3

5

–5

4

5

7

14. Dado el número 1 724,157203... indica cuáles de las siguientes aproximaciones decimales del número anterior son redondeos. En los casos en que lo sean, anota la cota de error. 1 725

1 724,16

1 724,2

1 724,1

1 720

1 724,158

1 724,1572

221 15. Calcula, aproximadamente, el error absoluto y relativo que se comete al tomar  como valor aproximado de π. 71 16. Calcula, aproximadamente, el error absoluto y relativo que se comete al redondear el número de oro Φ a centésimas. 17. Expresa en notación científica las siguientes cantidades, y determina el orden de magnitud: a) Distancia Tierra-Luna: 384 000 km c) Virus de la gripe: 0,0000000022 m b) Distancia Tierra-Sol: 150 000 000 km d) Radio del protón: 0,00000000005 m

e) 623 cienmilésimas f) 0,035 millones

18. La capacidad de memoria de un ordenador se mide en: byte = 23 bits;

k-byte = 210 bytes;

Megabyte = 210 k-bytes;

Gigabyte = 210 Megabytes

Expresa como potencia y en notación científica la capacidad de los siguientes ordenadores y disquetes en bytes y bits: a) Disco duro de 127 gigas

b) Disquete de 1,44 megas

c) Un CD-ROM de 650 megas

19. Calcula las siguientes raíces: 3

25a2 b4 a) 

4

b)  64a6 b3

c)  81a8

20. Expresa en forma de potencia las raíces, o en forma de raíz las potencias: 3 4 1 1 a) a b) a5 c)  d)  e) 22/3 f) 51/2 3 2 3 a a  

g) 3–3/2

h) a–2/3

21. Pon bajo un único radical las siguientes expresiones: a)

 8 3

b)

3 3 3

 a  3

c)





3

d)  a2b

5

e)

b  a 3

4

a  a 4

f)

3

8

22. Extrae todos los factores posibles de los radicales siguientes: 3

000 a) 1 

b) 8a 5

5 7 c) 16a b 

2 d) 4a +4  

23. Introduce los factores en el radical: 4

a) 42 

3

b) 33 2

3

c) 3 a

d) 2aba2

e) a2b4 2ab3

3

f) 4a a2b

24. Efectúa, presentando el resultado en forma de raíz y en forma de potencia: 3

3

a) 2  · 22

5

5

b) 2a 4 : 2a 3

6

6

c) 3 33 5 : 

d) a · a2

3

e) a–1 · a

f) a : a

Y

UNIDAD 01 11/12/07 12:10 Página 28

Unidad 1

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ACTIVIDADES FINALES 25. Efectúa las siguientes operaciones: 2 4 a) 32  –  2 + 52 –  2 3 5 3 4 1 4 1 4 b)  3  +  3 –  3 3 4 2

3 4 7 e)  8  – 50  +  18  –  98  5 2 4

3 3 1 3 c) 216  – 554  +  250  5 3

3

3

d) 6 x7 + x2x – 3x2 27x 

f) 54x  – 336x  + 25x  – 6x

26. Reduce a índice común, y ordena de menor a mayor, las raíces de cada apartado: 5

3

a) 2 , 5

5

4

b) 10 , 100 

6

4

c) 4 , 6

3

3

d) 2 , 2, 2

9

4

e) 2 , 3, 5

–1 –3 f) 3 , 5  

27. Opera: 3

4

6

a) 5  · 2 · 6

5

10

8

b)  a 5 ·  a 3 : a

6

4

c)  ab3 ·  2a2 b2

d) 2ab 8a3b  : 

f)

3 3   3

2

28. Realiza las siguientes operaciones simplificando lo más posible los resultados: a)

2 2 –  2 

b)

(27 + 3)

2

2

– 47  (7 + 3)

c)

(2 + 2 ) (2 – 2 ) – (2 + 2 )

e) (3  + 22 ) (2 – 3 ) 3

d)

(418  – 212  + 32  ) · 22

f)

29. Racionaliza las siguientes fracciones: 3 2 2 a)  b)  c)  3 2 3   5 2

2

3 d)  4 2 3

7 e)  3 7 · 3

(72  – 20  – 2 ) (2 + 28 + 25 )

3 f)  2 +  2

3 g)  2 – 3 

7 + 1 h)  2 7+5

30. Realiza las operaciones, racionalizando previamente: 5 3 a)  96 – 189  2 7 b)

3  35 –

5

3 + 2 2 1 c)  –  3 – 2 2 2

2 6 e)  +  6 – 2 6

2 2 d)  –  1 +  3 1 –  3

f)

2 18 – 5 8  2

31. Efectúa y simplifica: a)

49 72 9      3

b)

+ 7 – 8 1  14 

c) (250  – 16  ) · 4 3

4

3

3

d)

5  5   5 5  5

e)



 3–1  3+1

32. Calcula, simplificando al máximo el valor de: a)

4  ·  245 + 580 – 5 125 5 3

4 75 2 b)  –  + 8  27  8

c) (7  – 2)2 – (7 – 2) (7 + 2)

33. Racionaliza, efectúa y simplifica la expresión: 2 2 3 a)  – (6  + 2) 3 – 2

2 3–3 1 b)  –  2 3+3 2 3



5 + 2 c)  5 – 2



2

1 de su peso; la naranja pelada pierde al exprimirla para hacer zumo un 30% de su peso. 5 ¿Cuántos kg de naranjas hemos de comprar para obtener 2 400 kg de zumo?

34. La naranja al pelarla pierde

12 35. La cantidad de azúcar morena que se obtiene de la caña es  de su peso. La cantidad de azúcar blanca que se ob19 4 tiene de refinar el azúcar morena es  de su peso. ¿Cuánta caña de azúcar se necesita para obtener 10 toneladas de 3 azúcar blanca?

Y

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Números reales

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AUTOEVALUACIÓN 1. El resultado de la operación 6 – [5 – 4 + 2 · 6 + 5] + [(3 – 6)2 · (7 – 8)3]2 es: a) –69

b) 69





c) 6,9



5 5 4 4 2. El resultado de operar  +  : 1 –  ·  expresado como fracción irreducible es: 8 8 11 11 68 87 8 a) –  b)  c)  87 68 11

)

)

3–2 · 93 · 16 · 45 3. Si operamos y simplificamos  obtenemos como fracción irreducible: 3–4 · 95 · 46 9 4 3 a)  b)  c)  4 9 16

)

)

4. Expresamos cada decimal en forma de fracción y operamos 2,4 – 3,42 + 1,7; el resultado en forma decimal es: a) 0,72

b) 0,72

c) 0,72

5. El intervalo resultante de la intersección (– ∞, 5]  [2, 6) es: a) [2, 5]

b) [5, 6)

c) (2, 6]

6. El resultado en notación científica con tres cifras significativas de la siguiente expresión es: [(2,45 · 10–8) · (3,01 · 109)] + [(4,5 · 10–3) · (2,8 · 105 )] a) 1,33 · 10–3

b) 1,33 · 103

c) 3,31 · 106

5–1/2 · 53/4 7. Si expresamos el resultado de  como una única potencia obtenemos: 3 52 5 ·  a) 511/12

b) 5–12/11

c) 5–11/12

8. El resultado de operar 158  – 527  – 572  + 375  es: b) 23 

a) 0

c) 32 

2

9. Al operar (5  – 3 ) + 215 , obtenemos: a) 15 

b) –215 

c) 8

3 10. Si racionalizamos el denominador de la fracción  obtenemos: 12 – 3  a) 3 + 23 

b) 2 + 33 

3 3 +  c)  12  Y