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contenidos

1. Magnitudes físicas

2. Instrumentos de medida 3. Sistema de unidades 4. Ecuación de dimensión 5. Notación científica y factores de conversión 6. Representaciones gráficas 7. Error e incertidumbre en la medida 8. Cifras significativas

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La actividad científica es inherente a la naturaleza humana en su afán por conocer, comprender, explicar y controlar el mundo que le rodea, y para ello lo primero que ha necesitado es medir. Desde siempre la humanidad ha necesitado conocer la distancia entre los pueblos, la altura de un árbol o la edad de las personas. El comercio entre las ciudades precisó de la representación, mediante objetos, de las unidades de longitud, volumen y masa. A la entrada de las ciudades, existía una piedra en la que se delimitaba, entre dos marcas, la unidad de longitud al uso. En caso de disputas, un juez de pesas y medidas intervenía en las medidas. Esta persona custodiaba los objetos que representaban las unidades utilizadas. Hoy este problema no existe debido a la creciente generalización y uso de un sistema internacional. En esta primera unidad se abordará algo tan importante en las ciencias experimentales, entre ellas la Química y la Física, como es el tratamiento de los datos obtenidos de forma experimental, profundizando en el análisis de los errores y las incertidumbres que acompañan a toda medida y el uso adecuado de la notación científica y de los factores de conversión entre las diversas unidades equivalentes de una misma magnitud física.

cuestiones iniciales 1. ¿Sabrías expresar la velocidad de 10,0 m/s en km/h? 2. ¿Hay alguna diferencia entre decir que la masa de una persona es 75 kg o 75 000 g? 3. Una persona mide la longitud de un campo de fútbol y dice que es de 100 m y comete un error de 1 m, mientras que otra mide la anchura de un folio y afirma que es 208 mm y comete un error de 2 mm. ¿Cuál de los dos personas ha realizado una mejor medida?

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1. Magnitudes físicas Para caracterizar un sistema material o describir un fenómeno físico o químico se precisa observar alguna propiedad de dicho sistema.  Magnitud física es toda propiedad de un sistema material o de un fenómeno físico o químico que se puede medir.  Medir es comparar dos magnitudes físicas de las mismas características, de forma que a una de ellas se le asigna el papel de unidad.  Cantidad es el valor numérico de una magnitud física.

Son ejemplos de magnitudes físicas: la altura de una vivienda, la duración de un día, la temperatura del cuerpo humano o la velocidad con la que circula un vehículo.

a Edificio Taipei 101 de Taiwán, inaugurado en el año 2004, tiene 101 pisos y una altura desde el nivel del suelo de 508 m.

No son magnitudes físicas aquellas propiedades que no se pueden medir, como por ejemplo: la belleza, la ira o el amor. Las magnitudes físicas se pueden clasificar atendiendo a varios criterios. Así:



a) En función de la cantidad de materia que tiene un sistema, las magnitudes físicas pueden ser: extensivas e intensivas.

Técnica de medida Todo proceso de medida necesita aplicar una técnica adecuada. Así, por ejemplo, al medir la anchura de una puerta, se la compara con una cantidad fija: el metro. Si no se dispone de una cinta métrica, se puede tomar otra unidad, como la longitud del pie de la persona y dando los pasos necesarios se mide la anchura de la puerta. La medida es distinta a la hecha con la cinta métrica, pero el proceso de medida realizado es correcto.

• Las magnitudes extensivas dependen de la cantidad de materia del sistema, como por ejemplo: el volumen y la masa. • Las magnitudes intensivas no dependen de la cantidad de materia del sistema, como por ejemplo: la temperatura y la densidad. b) Según los atributos necesarios para su descripción, las magnitudes físicas se clasifican en: escalares y vectoriales. • Una magnitud escalar es la que queda totalmente determinada por un número y una unidad, como por ejemplo: la masa o el volumen. • Una magnitud vectorial precisa para su descripción, además de un número y de su unidad, la dirección y el sentido en que se manifiesta. Estas magnitudes se representan gráficamente mediante un vector, que es un segmento orientado, y se escribe con una flecha encima de su sím   bolo. La fuerza, F, la velocidad, v, o la aceleración, a, son ejemplos de magnitudes vectoriales.

ACTIVIDADES PROPUESTAS 1. Del siguiente listado, separa las magnitudes escalares de las vectoriales: densidad

posición

energía

masa

peso

trabajo

calor

velocidad

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2. Instrumentos de medida Las magnitudes físicas se miden de forma directa o indirecta. La medida es directa si el resultado de la comparación de la magnitud medida con la unidad elegida es inmediato. Tal es el caso de la medida del volumen de un líquido con una probeta. La medida es indirecta cuando es consecuencia de la aplicación de una expresión algebraica en la que intervienen otras magnitudes. Por ejemplo, para hallar la superficie de un folio, se mide su largo y su ancho y luego se multiplican ambas medidas para obtener su superficie.

Dinamómetro analógico Un dinamómetro analógico indica el valor de una fuerza mediante la medida de la longitud que se ha estirado un muelle. La aplicación de la ley de Hooke permite calibrar el instrumento, de forma que indique el valor de la fuerza medida en la escala de longitud. Por tanto, este instrumento de medida analógico indica el valor de la magnitud medida (la fuerza) en una escala de una forma indirecta.

Características de los instrumentos de medida Un instrumento de medida adecuado debe tener las siguientes características: a) Rango de medida del instrumento, que es especificado por el fabricante e indica entre qué valores máximo y mínimo se puede medir con él. b) Fidelidad: un instrumento de medida es «fiel» cuando al repetir varias medidas de una misma magnitud física en las mismas condiciones, los resultados obtenidos son idénticos. c) Rapidez: un instrumento de medida es rápido si el dispositivo que utiliza para captar y registrar la medida necesita poco tiempo. Los instrumentos con sistemas digitales para indicar la medida en cifras son más rápidos que los analógicos, que indican los valores de la medida mediante una aguja o una marca luminosa en una escala numerada dotada de rayas divisoras.

P Dinamómetro analógico y esquema de su funcionamiento.

a

d) Exactitud o veracidad: un instrumento de medida es exacto o veraz cuando la medida realizada con él proporciona justamente el «valor verdadero» de la magnitud física. En general no hay ningún instrumento de medida exacto o veraz, en el sentido absoluto de la palabra. 0

e) Sensibilidad: es la división más pequeña de la escala del instrumento de medida. Luego un instrumento es tanto más sensible cuanto más pequeña sea la cantidad que puede medir. Así, una balanza que aprecie miligramos es más sensible que otra que aprecie gramos. Se llama umbral de sensibilidad al valor de la menor división con el que se inicia la escala del instrumento. f) Precisión: es la mínima variación o dispersión de una magnitud física que un instrumento de medida puede determinar sin error. Un instrumento de medida es preciso si las desviaciones que se producen de lo que mide con respecto al «valor verdadero» son mínimas.

500

500 max. 5 kg min. 250 g d = 25 g.

4

e = 25 g.

Prohibido para toda transacción

1

a Detalle de balanza analógica de cocina. Las indicaciones del fabricante muestran que la sensibilidad de la balanza es 25 g, que el rango de medida está comprendido ente el valor mínimo de 250 g y el máximo de 5 kg. Por tanto, el umbral de sensibilidad de la balanza es 250 g.

Por tanto, la precisión de una medida indica el margen de error de la misma y la sensibilidad la diferencia entre las dos medidas más próximas que se puede realizar con un determinado instrumento de medida. Para una sola medida, y si el instrumento no indica otra cosa, la precisión coincide con la sensibilidad. Y

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3. Sistema de unidades Definiciones de unidades Las definiciones de las unidades fundamentales del Sistema Internacional han evolucionado. Así, actualmente se define: Metro es la unidad de longitud que se define como la distancia recorrida por la luz en el vacío durante 1/299 792 458 s. Segundo es la unidad de tiempo que se corresponde con la duración de 9 192 631 770 períodos de la radiación correspondientes a la transición entre dos niveles energéticos hiperfinos del estado fundamental del átomo 133Cs. Kilogramo es la unidad de masa de un prototipo que se guarda en la oficina internacional de pesos y medidas en Sèvres (Francia). Es la única unidad que se define en función de un objeto patrón.

Un sistema de unidades es un conjunto de magnitudes físicas, una serie de unidades de dichas magnitudes y unas reglas para nombrar y escribir los símbolos de las unidades, sus múltiplos y sus submúltiplos. Las magnitudes físicas se dividen en fundamentales y derivadas. Magnitudes fundamentales son las que se escogen arbitrariamente como tales y que no se definen en función de ninguna otra magnitud física. Las magnitudes derivadas se definen mediante una relación operativa entre dos o más magnitudes fundamentales. El número de magnitudes fundamentales elegido debe ser el menor posible, pero suficiente para definir coherentemente las magnitudes derivadas. Para establecer un sistema de unidades se procede de la siguiente forma: 1º. Elección de un conjunto de magnitudes fundamentales, que se definen por sí mismas y que son independientes entre sí. Por ejemplo, la masa. 2º. Determinación de la unidad de medida de cada magnitud fundamental. Así, el kilogramo es la unidad de la magnitud fundamental masa en el SI. 3º. Deducción de las magnitudes derivadas mediante relaciones matemáticas entre diversas magnitudes físicas. Por ejemplo, la magnitud vectorial fuer za es derivada y se halla a partir de la expresión: F = m · a. 4º. Obtención de las unidades derivadas a partir de las unidades fundamentales en las expresiones matemáticas que definen a las magnitudes derivadas. Así, la unidad de fuerza en el SI es el newton, N, donde: 1 N = 1 kg · 1 m/s2.

a

Detalle de cinta métrica.

Hay que tener en cuenta que toda unidad de medida es una magnitud que se elige como patrón de forma arbitraria y que cumple los requisitos siguientes: • Tener siempre el mismo valor, es decir, su valor no puede depender de la persona que la utilice, ni del tiempo transcurrido, ni de las condiciones de trabajo. • Ser universal, o lo que es lo mismo, debe ser fácilmente reproducible y utilizable en cualquier lugar del mundo.

ACTIVIDADES PROPUESTAS 2. ¿Crees que la yarda, definida en su día como unidad de longitud y equivalente a 914 mm, y obtenida por la distancia marcada en una vara entre la nariz y el dedo pulgar de la mano del rey Enrique I de Inglaterra con su brazo estirado, sería hoy un procedimiento adecuado para establecer una unidad de longitud? 3. Las unidades del SI han sufrido cambios en su definición a lo largo de la historia. Por ejemplo, el metro se definió en 1790 como la diezmillonésima parte del cuadrante del meridiano terrestre que pasa por París. En 1889 fue la distancia entre dos marcas en una barra de aleación de platino-iridio que se guarda en Sèvres. La definición actual es de 1983. ¿A qué se deben estos cambios?

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Sistema Internacional de Unidades, SI El Sistema Internacional de Unidades, SI, se basa en el uso de siete magnitudes fundamentales, dos magnitudes complementarias y las demás que son consideradas como magnitudes derivadas.

Múltiplos y submúltiplos decimales de las unidades del SI Prefijo

Símbolo

Factor

yotta

Y

1024

Magnitudes fundamentales del SI

Unidad

Símbolo

zetta

Z

1021

longitud

metro

m

exa

E

1018

masa

kilogramo

kg

peta

P

1015

tiempo

segundo

s

tera

T

1012

giga

G

109

temperatura

Kelvin

K

mega

M

106

corriente eléctrica

amperio

A

kilo

k

103

intensidad luminosa

candela

cd

hecto

h

102

cantidad de sustancia

Mol

mol

deca

da

101

deci

d

10-1

centi

c

10-2

Magnitudes fundamentales del SI

Unidad

Símbolo

mili

m

10-3

ángulo plano

radián

rad

micro

μ

10-6

ángulo sólido

estereoradián

sr

nano

n

10-9

pico

p

10-12

fempto

f

10-15

atto

a

10-18

zepto

y

10-21

yocto

z

10-24

Las reglas para escribir las unidades y sus símbolos son las siguientes: • Los nombres de las unidades de medida se escriben en minúscula. Por ejemplo, es correcto newton e incorrecto Newton. • Los símbolos de las unidades se escriben generalmente en minúsculas, excepto los de aquellas que proceden de nombres propios de algún científico ilustre, en cuyo caso se debe escribir el símbolo de la unidad en mayúscula. Así, el símbolo de la unidad de fuerza, el newton, es N, en honor del científico Isaac Newton. • Los símbolos de las unidades son invariantes, lo que quiere decir que no deben escribirse en plural, ni deben ir acompañados por un punto final, salvo que se encuentren al final de una frase. Por ejemplo, es correcto: g, m, s, N, e incorrecto: g, Grs, seg, m., cms. • El producto entre dos unidades se indica con un punto centrado entre ambos símbolos. Por ejemplo: N · m • La división de dos o más unidades puede indicarse con la barra horizontal, la barra oblicua y preferentemente como potencia negativa. m, s

m/s,

m · s–1 a

Balanza analógica. Y

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4. Ecuación de dimensión En un sistema de unidades, las magnitudes derivadas se determinan utilizando relaciones matemáticas entre magnitudes fundamentales.  Ecuación de dimensión es una expresión matemática que relaciona las magnitudes derivadas con las fundamentales. De esta forma, a cada magnitud se le asigna una característica denominada dimensión, que se indica representándola entre corchetes. Así, si se designan simbólicamente por L, M y T las magnitudes fundamentales de longitud, masa y tiempo, se deduce, por ejemplo, que las ecuaciones de dimensión de la superficie y de la densidad son: [superficie] = L2 Polímetro digital que se utiliza para la medida de diversas magnitudes eléctricas.

a

[densidad] =

[masa] M = = M · L −3 [volumen] L 3

El análisis dimensional de una ecuación matemática de una expresión física o química es muy útil a la hora de comprobar ecuaciones deducidas, pues estas deben ser homogéneas; es decir, los dos miembros de la ecuación matemática deben tener las mismas dimensiones. No es posible, por ejemplo, igualar un volumen a un tiempo o una longitud a una temperatura.

ACTIVIDADES RESUELTAS Comprueba que la ecuación: v = 2· g · h , que determina la velocidad de caída libre de un objeto es homogénea. Aplicando la definición de velocidad y de aceleración, se tiene: ⎡ Δr ⎤ L [v ] = ⎢ ⎥ = = L ·T –1 ⎣ Δt ⎦ T

⎡ Δv ⎤ L · T –1 L , ⎢ Δt ⎥ = T = T 2 y [h] = L ⎣ ⎦

Como el número 2 es una cantidad adimensional, se tiene que la ecuación de dimensión del segundo miembro de la ecuación del enunciado es: ⎡ 2 · g · h ⎤ = L · L = L = L ·T −1 , con lo que se comprueba que la ecuación del enunciado es homogénea. 2 ⎣ ⎦ T T Deduce la ecuación de dimensión de la magnitud fuerza y la expresión de su unidad, el newton, en función de las unidades del SI. Aplicando la definición de fuerza y utilizando la ecuación de dimensión de la aceleración, deducida en el ejercicio anterior, se tiene que: [F] = [m] · [a] = M · L · T–2 Escribiendo en la ecuación de dimensión las magnitudes fundamentales en unidades del SI, se deduce que la expresión de la unidad el newton es: 1 N = 1 kg · m · s–2

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5. Notación científica y factores de conversión El resultado de una medida puede dar lugar a un número muy grande o muy pequeño, por lo que para expresar estas cantidades con sencillez se recurre a la notación exponencial o científica, que consiste en escribir las cantidades en forma de potencia de 10. Por ejemplo, si la distancia de la Tierra al Sol es de 150 000 000 000 m, se puede escribir como 1,5 · 1011 m. Además, las magnitudes físicas se expresan en múltiplos o submúltiplos de unidades del SI y con frecuencia también en otras unidades que no son del SI. La conversión entre distintas unidades se realiza utilizando los factores de conversión.  Un factor de conversión es la relación entre dos cantidades iguales expresadas en unidades diferentes. El factor de conversión entre dos unidades se obtiene de la relación que define una unidad en función de la otra. Al multiplicar la cantidad inicial por el factor de conversión y simplificar, desaparece la unidad inicial y aparece la unidad pedida.

a

Calculadora científica.

Por ejemplo, aplicando la igualdad 1 km = 1000 m, que define la relación entre ambas unidades, se tiene que el factor para convertir en m una distancia expresada en km es:

1 000 m o bien: 1 km

103 m 1 km

Así, la distancia 12,5 km se convierte en m de la siguiente forma: distancia = 12, 5 km = 12, 5 km ·

1 000 m = 12 500 m 1km

De igual forma, para expresar en km una distancia indicada en m, el factor de conversión es:

1 km 1 km o bien: 1 000 m 103 m

Por lo que: distancia = 12500 m = 12500 m ·

1km = 12, 5 km 1 000 m

ACTIVIDADES RESUELTAS Expresa la velocidad de 72 km/h en la unidad del SI. Para expresar la velocidad en m/s se utilizan conjuntamente las siguientes relaciones entre unidades: 1 km = 1 000 m, 1 h = 60 min y 1 min = 60 s, que proporcionan los correspondientes factores de conversión, de forma que: v = 72

km km 1 000 m 1 h 1 min m = 72 · · · = 20 h h 1 km 60 min 60 s s

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6. Representaciones gráficas Las escalas en la gráfica

Los resultados experimentales procedentes de las medidas realizadas se agrupan en tablas de datos que contienen toda la información relevante. Normalmente las tablas de datos de valores no muestran regularidades fáciles de descubrir entre las magnitudes que se relacionan, mientras que su representación gráfica informa sobre la relación que existe entre las magnitudes, la calidad del experimento y la singularidad de algunos valores.

4

2 1

0

1

2

4

v

La escala de una representación gráfica no tiene por qué ser la misma en los dos ejes. Muchas veces conviene que sea distinta con el fin de destacar alguna parte de una gráfica. Se recomienda que la división más pequeña de la gráfica coincida con la unidad más pequeña que detecte el instrumento de medida utilizado. Si con esta norma la gráfica es oscura, muy grande o pequeña, no se debe tener en cuenta. El origen de las escalas no necesariamente debe coincidir con el punto de intersección de los ejes (0,0). Muchas veces se consigue más claridad desplazando alguna de las escalas, en este caso se realiza un corte de ejes para indicar el desplazamiento. Si las divisiones de la cuadrícula de la gráfica coinciden con números sencillos fáciles de operar, tales como: 1, 2, 3, etc. o potencias de diez, se facilita la realización de operaciones matemáticas.

Se llama variable a toda magnitud física que influye y provoca cambios en los resultados de una experiencia. Una variable puede ser independiente o dependiente. Una variable independiente (x) es la magnitud que el experimentador modifica con criterio y a su voluntad, mientras que una variable dependiente (y) es la magnitud que toma distintos valores, dependiendo de cómo se modifique la variable independiente. Así, si se observa la variación de la masa de una sustancia líquida frente a las variaciones de su volumen, la variable independiente es el volumen y la dependiente la masa. Por tanto, la información de una tabla de datos está formada por los valores de la variable independiente y su dependiente (x,y). La representación gráfica más utilizada es la de coordenadas cartesianas, que está formada por las rectas perpendiculares que constituyen los ejes de coordenadas, que se cortan en un punto, llamado origen de coordenadas. En la representación en un plano existen dos ejes de coordenadas, que se llaman eje de abscisas y de ordenadas. En el eje de abscisas, eje X, se representa la variable independiente, mientras que en el eje de ordenadas, eje Y, la variable dependiente. En dicha representación, a cada pareja de valores de la tabla de datos le corresponde un punto en el plano. En cada eje se debe anotar la magnitud representada y la unidad de medida. Nombre de la magnitud variable dependiente (unidad)

p (atm)

Para la representación de los datos se recurre normalmente a puntos gruesos (•) o aspas (x) para que no se confundan con defectos del papel utilizado.

a

12 000 11 000

Cada punto es la representación de una pareja de valores de las variables

10 000 9 000 8 000 7 000 6 000 5 000 Corte de ejes 0

10

Representación gráfica.

20

30

40

50

60

70

80

90 100 110 120

Nombre de la magnitud variable independiente (unidad)

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Línea de ajuste de una gráfica

Y

y = mx + b P2 (x 2, y2)

 Línea de ajuste es la línea que muestra la tendencia general de la distribución de puntos de una gráfica. Puede se una línea recta o una curva. b

La línea de ajuste no se obtiene uniendo todos los puntos dibujados para obtener así una línea quebrada. Hay que tener en cuenta que cada punto es el resultado de una medida experimental y puede tener un cierto grado de error.

P1 (x1, y1) X

Y

La línea de ajuste debe pasar por el mayor número posible de puntos y se debe procurar que las distancias desde los puntos que caen fuera de la línea de ajuste hasta la propia línea estén compensadas a ambos lados de la línea.

y = k · x2

Si la línea de ajuste es una línea recta entre las variables (x,y) es porque obedecen a la ecuación general de la recta: y = m · x + b, donde b es la ordenada en el origen (punto de corte con el eje de ordenadas) y m la pendiente de la recta, que se calcula hallando la tangente del ángulo de inclinación.

X

Y

y·x=k

Si la línea de ajuste es una curva, la relación matemática depende del tipo de curva. Así, puede ser: • Parabólica, con vértice en el origen de coordenadas y de eje vertical, que obedece a la ecuación: y = k · x2, donde k es una constante. • Hiperbólica, si obedece a la ecuación: y · x = k.

X a

Diferentes tipos de gráficas.

ACTIVIDADES RESUELTAS De un determinado líquido se mide con una balanza la masa que corresponde a distintas cantidades de su volumen y se obtiene la siguiente tabla de datos: Masa (g) Volumen (cm3)

8,0

16,0

24,0

32,0

40,0

48,0

56,0

64,0

72,0

80,0

10,0

20,0

30,0

40,0

50,0

60,0

70,0

80,0

90,0

100,0

El volumen, V, es la variable independiente y la masa, m, la variable dependiente y al llevar dichos valores a una gráfica de la masa en el eje de ordenadas frente al volumen en el eje de abscisas se obtiene: La ecuación que describe el proceso es del tipo: y = m · x, pues b = 0. Para hallar el valor de la pendiente m, se eligen dos puntos de la recta y se determina sobre la gráfica, la variación de las variables entre esos dos puntos. Así, si por ejemplo un punto es P2 (x2,y2) = (90,72) y el otro P1 (x1,y1) = (60,48), resulta que: 72, 0 g − 48, 0 g Δy y 2 − y1 m= = = = 0, 8 g/cm3 Δx x 2 − x1 90, 0 cm3 − 60, 0 cm3 La pendiente coincide con el valor de la densidad de dicho líquido.

m (g)

Representa dichos valores en una gráfica y deduce la relación entre ambas variables representadas. 80 70 64 56 48 40 32 24 16 8 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100

V (cm3)

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7. Error e incertidumbre en la medida Toda medida experimental de una magnitud física está sujeta a una incertidumbre, y a error que puede deberse a múltiples causas, por lo que no se pude hablar del «valor verdadero» de una medida. El error en la medida puede deberse a dos causas principales: 1) Errores debidos al instrumento de medida utilizado, porque tiene algún defecto de fabricación o porque puede verse afectado por un cambio de las condiciones ambientales de la medida. Por ejemplo, un fuerte viento puede afectar la medida de algunos aparatos expuestos a la intemperie o una situación de alta temperatura puede provocar una ligera dilatación de algún engranaje fundamental del instrumento de medida.

Balanza digital con una sensibilidad de 0,01 g.

a

 Distinción entre error e incertidubre Siempre que se conozca el valor verdadero de una medida se puede utilizar el término error de la medida, pero lo normal es que no se pueda conocer con certeza dicho valor, en cuyo caso se sustituye el concepto error por el de incertidumbre en la medida.

2) Uso incorrecto del instrumento por la persona que realice la medida, ya sea porque esté enferma, tenga dificultades de visión o porque incluso haga mal las operaciones matemáticas. Otras veces el error puede deberse a la utilización de una mala técnica de medida. En los instrumentos de medida analógicos es muy común cometer el error de paralaje, que es un defecto en la observación y consiste en que al estar la aguja del instrumento por delante de la escala, si no se mira perpendicularmente al plano de la escala se produce una lectura errónea. En las medidas de líquidos con probetas o matraces el error de paralaje se comete cuando la visión no se hace en la dirección de la línea tangente de la curvatura que forma la superficie del nivel del líquido en el recipiente. La incertidumbre se relaciona con la posible falta de certeza en la medida que proporciona un instrumento determinado

7.1. Cálculo de la incertidumbre realizando una única medida  Si se realiza una única medida, la cantidad leída se expresa con una incertidumbre absoluta Ea, que es igual a la sensibilidad del instrumento de medida utilizado.

a)

b)

c)

Así, si al medir una diferencia de potencial entre dos puntos de un circuito eléctrico con un polímetro digital, que el fabricante dice que tiene una sensibilidad de ± 0,1 unidades, y aparece en la pantalla la indicación 6,2 V, significa que la unidad de medida de la magnitud de dicho instrumento es 0,1 V y la medida se expresa como: 6,2 V ± 0,1 V, lo que significa que su valor está comprendido entre: 6,2 V – 0,1 V y 6,2 V + 0,1 V

a Error de paralaje en la medida de líquidos con una probeta.

a) y b) son observaciones incorrectas y c) es la observación correcta.

La incertidumbre absoluta marca los límites inferior y superior entre los que se encuentra el valor verdadero de la medida de la magnitud que se desea conocer.

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7.2. Valor verdadero e incertidumbre absoluta Cuando el valor verdadero de una magnitud física no se puede conocer, se considera como tal al valor medio, –x, de las medidas efectuadas, xi. n

x=

∑ xi i

n

Supongamos que con un polímetro, cuya sensibilidad es de 0,1 unidades, se mide cinco veces la diferencia de potencial entre dos puntos de un circuito eléctrico, en voltios, V, y con los datos se construye la tabla de valores: Medida, i

Valor obtenido xi (V)

Desviación – |xi – x| (V)

1

7,5

0,0

2

7,7

0,2

3

7,5

0,0

4

7,4

0,1

5

7,6

0,1

Número de medidas n=5

Valor medio: – x

Desviación estándar: σ

n

El valor medio es: x =

∑ xi i

= 7,54 V y como el polímetro tiene una sensibin lidad de 0,1 V, el valor que se considera como verdadero es 7,5 V. Para hallar el intervalo en el que están comprendidas las medidas realizadas se hallan los valores absolutos de las desviaciones de cada medida respecto al valor considerado como verdadero: |xi – x–| y, a continuación, se calcula la desviación estándar, σ, que se considera como el valor medio de las desviaciones de los datos respecto del valor considerado como verdadero, x. Si el número de medidas no es muy elevado, σ se define por la ecuación: n

σ=

∑ xi

−x

a Balanza digital analítica, cuya sensibilidad es de 0,0001 g.

 Desviación media Si no se usa el concepto estadístico de la desviación estándar, se suele utilizar la desviación media simple definida mediante: n

Δx =

∑ xi − x i

n

2

i

, de forma que en este caso: σ = 0,12 V y redondeando con ( n − 1) el número de cifras adecuado: σ = 0,1 V  La incertidumbre absoluta, Ea, es igual al valor de la mayor de las dos cantidades siguientes: sensibilidad del instrumento y la desviación estándar. Y el valor de de la magnitud medida está comprendido entre: x– – Ea y x– + Ea. En este caso, Ea = 0,1 V y el valor de de la magnitud medida está comprendido entre: 7,5 V – 0,1 V y 7,5 V + 0,1 V, o bien se expresa como: 7,5 V ± 0,1 V.

a Cinta de costura para la medida de longitudes de telas. Su sensibilidad es de 1 mm.

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7.3. Incertidumbre relativa La precisión de una medida se determina mediante el cálculo de la incertidumbre relativa , Er, que es igual al cociente entre la incertidumbre absoluta y el valor considerado como verdadero. Si se expresa dicho cociente en forma de tanto por ciento se obtiene la imprecisión relativa porcentual. Cuanto menor es la imprecisión relativa, mayor es la calidad de la medida. E r (%) = Polímetro analógico con varias escalas para la medida de diversas magnitudes eléctricas.

Ea · 100 Valor consideradocomo verdadero

a

7.4. Incertidumbre en las medidas indirectas En la determinación de magnitudes de forma indirecta intervienen operaciones algebraicas que propagan las incertidumbres de las medidas a los resultados. Así, supongamos, por ejemplo, que se desean sumar las dos cantidades siguientes: x ± Δ x, y ± Δ y. De esta forma: S ± Δ S = (x ± Δ x) + (y ± Δ y) ⇒ Δ S = ± (Δ x + Δ y)  La incertidumbre absoluta en una suma es igual a la suma de las incertidumbres absolutas de las medidas. Si se desea multiplicar las cantidades anteriores: x ± Δx, y ± Δy, entonces: P ± ΔP = (x ± Δx) · (y ± Δy) = x · y ± Δ(x · Δy) ± Δ(y · Δx) ± Δ(Δx · Δy) Despreciando el último sumando, por ser muy pequeño, en el caso más desfavorable se tiene: Δy ΔP x · Δy + y · Δx Δx ΔP = x · Δy + y · Δx ⇒ + = = x y P x ·y  La incertidumbre relativa en un producto es igual a la suma de las incertidumbres relativas cometidas en la medida de las magnitudes.

ACTIVIDADES RESUELTAS ¿Cuál de las dos siguientes medidas es más precisa: la anchura de un folio de papel, que es 210 ± 1 mm, o la distancia entre dos ciudades, que es 225 ± 1 km. 1 mm 1 km ·100 =0,48 % y Er ciudades= · 100 = 0,44 % La imprecisión relativa porcentual que se comete en las medidas es: Er folio = 210 mm 225 km Luego la medida de la distancia entre las dos ciudades es la más precisa. Si con un polímetro analógico se mide la diferencia de potencial de una pila de 1,5 V, ¿qué escala es la más adecuada para realizar la medida, la de 0 a 50 V o la de 0 a 10 V? En el primer caso, la aguja se queda casi en el fondo de la escala, pues el valor de la menor división es 1 V y este valor es casi igual al voltaje a medir: la imprecisión relativa porcentual cometido es: 1V Er = ·100 = 66,7 % 15 , V En el segundo caso, la menor división de medida es 0,2 V y la imprecisión relativa es: 0,2 V Er = ·100 = 13,3 % 15 , V Luego se debe usar la escala de 0 a 10 V.

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8. Cifras significativas Al comunicar el resultado de una medida experimental hay que expresarlo adecuadamente, ya que la medida no puede ser más precisa que lo que determine el instrumento de medida utilizado. Así, por ejemplo, al expresar la longitud 12,97 m, se indica que la cinta métrica usada está graduada en cm. Para evitar interpretaciones erróneas, las medidas deben expresarse con sus cifras significativas correspondientes.  Las cifras significativas son el número de dígitos o cifras que se obtienen al realizar una medida con un instrumento. En el ejemplo anterior la medida de longitud se ha realizado con cuatro cifras significativas. La cantidad 12,97 m se puede expresar también como 1 297 cm o en notación científica como 1,297 · 103 cm.

Reglas para considerar cifras significativas Las normas para considerar cifras significativas son las siguientes: • Toda cifra distinta de cero es significativa. • Todo cero situado entre dos cifras significativas es significativo. Por ejemplo, el número 4,2067 · 105 tiene cinco cifras significativas. • No son significativos todos los ceros situados a la izquierda del primer dígito significativo no nulo. Así, el número 0,008403 tiene cuatro cifras significativas. • Cualquier cero final o la derecha de una coma decimal es significativo, si la sensibilidad del instrumento de medida así lo indica.

a

Termohigrómetro digital.

 Redondeo Para redondear un resultado hay que tener en cuenta las siguientes normas: • Si el dígito a eliminar es menor que 5, el último dígito que se conserva no cambia de valor. Así, el número 3,84 se redondea a décimas escribiendo 3,8. • Si el dígito que se elimina es 5 o mayor que 5, el último dígito que se conserva se aumenta en 1. Así, el número 9,851 redondeado a décimas es 9,9. • Si se escriben las cantidades en notación científica se consigue que el número de cifras significativas de una medida no dependa de las unidades elegidas.

En las operaciones algebraicas hay que respetar las reglas siguientes respecto a las cifras significativas del resultado: • En una suma o en una resta se deben alinear los decimales de las cantidades y expresar el resultado con tantas cifras como se tenga en el número con menos cifras significativas después de la coma decimal, pues el resultado no puede tener una mayor precisión que la de cualquiera de los datos que intervienen. • En un producto o en un cociente el resultado se debe expresar con el número de cifras significativas que tenga el operando con menor número de cifras significativas. Por ello en ambos casos se debe redondear el resultado, lo que significa eliminar las cifras que van más allá de la precisión con la que se debe dar un resultado numérico. Así, la suma de 8,4 m más 6,325 m es igual a 14,7 m.

El avance de la astronomía está directamente ligado a la perfección de las medidas. a

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PARA SABER MÁS El conocimiento empírico Cualquier conocimiento empírico se basa en observaciones, que se hacen de dos modos diferentes: a) Manteniéndose el observador pasivamente, como en el caso de mirar las estrellas. b) O bien, realizando una experiencia. Es decir, asumiendo un papel activo, que consiste en crear las situaciones en lugar de esperar a que la naturaleza nos las ofrezca, por ejemplo, realizar una reacción química en un laboratorio.

La construcción de la ciencia La ciencia es el estudio sistemático que realizan las personas, de sí mismas y de su entorno. Es algo más que una observación y clasificación del objeto estudiado, puesto que implica una explicación y comprensión del mismo. Las observaciones hechas pueden revelar ciertas repeticiones o regularidades, por ejemplo: la luz del día sigue a la oscuridad de la noche; los objetos caen cuando los soltamos; al calentar una barra metálica, se dilata; etc. La generalización de las múltiples observaciones realizadas sobre un mismo hecho conduce al establecimiento de una ley científica, que es un enunciado que expresa las regularidades observadas de la forma más exacta posible. Con respecto a las observaciones, hay que decir que la visión de un objeto no está determinada sólo por las imágenes formadas en la retina del ojo del observador, sino que también dependen de su experiencia pasada, del conocimiento previo, de sus expectativas y hasta del estado anímico del observador. Al establecimiento de una ley científica se llega por inducción. Así, si hemos comprobado en diez experimentos diferentes que una barra de hierro se dilata al calentarla, podremos afirmar que el hierro caliente se dilata. Pero una vez establecida la ley, debe cumplir otro requisito, que es la deducción. Siguiendo con el ejemplo de la dilatación de los metales, la ley que expresa dicho fenómeno debe servir para predecir que, si queremos construir un tendido de raíles de ferrocarril, se debe dejar un hueco entre raíl y raíl que prevea la dilatación del metal de los raíles en los meses de verano, si deseamos que un tren circule sin sufrir accidente alguno. Para que un conjunto de observaciones puedan originar una ley científica deben cumplir las siguientes condiciones: 1º. El número de observaciones debe ser grande. 2º. Las observaciones se deben repetir dentro de una gran variedad de condiciones. 3º. Ninguna observación particular puede contradecir la ley aceptada. La forma más simple de una ley es su forma cualitativa. Por ejemplo, al aplicar una presión sobre un gas, éste disminuye su volumen, y viceversa. El fenómeno mismo no contiene nada numérico. Somos nosotros quienes asignamos números a la naturaleza. En la ciencia, naturalmente, se trata de obtener leyes cuantitativas. Así, para una misma masa de gas, sin variar la temperatura, el producto de su presión por su volumen permanece constante, lo cual constituye la expresión de la ley de Boyle-Mariotte: p · V = constante Un conjunto de leyes pueden reunirse convenientemente en el seno de una teoría. Por tanto, las teorías son más generales que las leyes, pero no se puede llegar a ellas, simplemente generalizando un poco más las leyes. Una teoría científica es la expresión de una serie de fenómenos conocidos y relacionados entre sí, que se apoya en observaciones y leyes, de forma que, constituye un modelo que explica el comportamiento de los fenómenos que abarca la teoría.

La precisión de los instrumentos de laboratorio es algo fundamental en el trabajo del científico.

a

Una teoría no se enuncia como una generalización de hechos, sino como una hipótesis o suposición que se hace para obtener luego de ella una consecuencia.

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Las sociedades científicas El gran avance de la Física y la Química a partir del siglo XVII se debe a la aparición de Sociedades Científicas, que fueron lugar de encuentro de científicos, la más importante es la Royal Society, fundada en Londres en 1602.

a

Según la teoría cinética, las partículas de un gas se encuentran en continuo movimiento.

Así, la teoría cinética de los gases supone que las partículas de un gas se encuentran en incesante movimiento. Así, la presión se puede obtener del choque con las paredes del recipiente que las contiene y la temperatura está directamente relacionada con la energía cinética media de las partículas del gas. A continuación, se pone a prueba la hipótesis, viendo si de ella pueden derivarse leyes empíricas, como la de Boyle-Mariotte, e incluso si puede permitir la derivación de otras nuevas leyes, las cuales, a su vez, serán sometidas a prueba mediante la observación de otros hechos.

a Sede actual de la Royal Society en Londres.

La confrontación positiva de la hipótesis con la experiencia, hace que ésta se convierta en teoría.

Revistas científicas

Toda teoría precisa la creatividad de un científico, capaz de establecer interconexiones abstractas de una gran utilidad. La teoría cinética de los gases fue establecida por Daniel Bernoulli en 1738, pero su trabajo quedó en el olvido, hasta que, en 1860, Maxwell desarrolló en forma matemática la vieja teoría de Bernoulli, aplicando las técnicas estadísticas del cálculo de probabilidades, pero sin tocar los principios ingeniosos de Bernoulli, referentes al movimiento de las partículas de los gases.

La aparición de revistas científicas fue muy importante para el intercambio y difusión de ideas y experimentos.

Se llama método científico al método que guía a los científicos para hacer descubrimientos científicos. Los pasos esenciales del método científico son los siguientes: 1º. Detectar la existencia de un problema, como el estudio de la relación de la presión y el volumen de un gas, reuniendo todos los datos que inciden en el mismo. 2º. Elaborar una generalización provisional que describa todos los datos, de la manera más simple, con el establecimiento de una hipótesis. 3º. Establecer con la hipótesis experimentos para su confrontación. 4º. Contrastar la hipótesis confrontándola con los datos y experimentos realizados. 5º. Si la confrontación no es satisfactoria, es necesaria la corrección de la hipótesis, del procedimiento empleado o de los datos utilizados en la obtención de la solución incorrecta. 6º. Si el resultado es positivo, termina la investigación. Se acepta la hipótesis y entra dentro del marco de una ley o teoría. Este punto final suele ser el comienzo de otro ciclo de investigación.

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ACTIVIDADES FINALES 1. Del siguiente listado separa las propiedades que son magnitudes físicas de las que no lo son: temperatura

ductilidad

odio

color

presión

brillo

bondad

dureza

olor

sensación de frío

2. Escribe la cantidad 0,009204 m en notación científica, cuando las cifras significativas son: dos, tres y cuatro. 3. Deduce la ecuación de dimensión de la magnitud física trabajo, definida matemáticamente como: W = F · Δr, e indica la expresión de su unidad, el julio, en función de las unidades fundamentales del SI. 4. La energía intercambiada en forma de calor por un objeto al modificarse su temperatura se determina mediante la expresión: Q = m · ce · ΔT. Determina la unidad del SI en la que se mide la constante calor específico ce. 5. Determina la densidad de un objeto en la unidad del SI, si tiene una masa de 4,756 g y ocupa un volumen de 4,8 cm3. 6. Dada la longitud 3,2 m ± 0,1 m. Determina la incertidumbre relativa porcentual de la medida. 7. La incertidumbre relativa porcentual de una medida de la longitud de una habitación es del 4 %, si el valor de la medida realizada es de 1,85 m, determina la incertidumbre absoluta cometida. 8. Señala el número de cifras significativas en las siguientes medidas de longitud: 1,55 m;

9,02 m;

0,010 cm;

1,00 · 103 cm;

2 500 cm;

9. Expresa las siguientes medidas en el SI, respetando el número de cifras significativas que poseen: 29 cm

100,0 dag

144 km/h

34,65 dm2

10. Se realizan dos medias de volumen de líquidos, una con una probeta, que tiene una sensibilidad de ± 1 mL, y otra con una micropipeta, que tiene una sensibilidad de 0,05 mL a) Si con la probeta se miden 50 mL y con la pipeta 1,1 mL, ¿qué medida es más precisa? b) ¿Se puede medir con la probeta una cantidad de 20,15 mL? 11. ¿Cuando se comete mayor imprecisión, al afirmar que un bebé tiene una edad de 10 meses o al decir que una persona tiene 20 años? 12. Calcula la incertidumbre relativa porcentual cuando se aproxima el valor de la aceleración de la gravedad g = 9,81 m/s2 al valor de 10 m/s2. 13. Un estudiante efectúa mediciones para calcular el tiempo que tarda en ir de su casa al colegio. Para diferentes días registra la hora de salida de casa y la hora de llegada al colegio y obtiene los siguientes valores: Día

Lunes

Martes Miércoles

Jueves

Viernes

Sábado

Lunes

Martes Miércoles

Jueves

Salida

7:12

7:00

7:15

7:30

7:08

7:21

7:06

7:19

7:11

7:10

Llegada

7:40

7:24

7:45

7:55

7:37

7:47

7:31

7:48

7:37

7:38

Halla: a) El tiempo promedio empleado en este trayecto. b) La desviación estándar. 14. La sensibilidad de una balanza que mide hasta 10 kg es de ± 10 g, mientras otra mide hasta 10 g y tiene una sensibilidad de ± 1 g. ¿Cuál es la mejor balanza de las dos? 15. Expresa en la unidad adecuada del sistema internacional las magnitudes expresadas por las siguientes ecuaciones de dimensión: a) MLT–2. b) ML–3. c) LT–1. d) ML2T–2.

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16. Se mide la longitud de un lápiz nueve veces y se obtienen los siguientes valores: L (cm)

14,31

14,30

14,38

14,32

14,35

14,32

14,39

14,31

14,36

Halla la longitud del lápiz, expresada con su incertidumbre absoluta. 17. Calcula las incertidumbres absolutas que proporcionan dos balanzas que se utilizan para medir la masa de un mismo objeto, realizando en cada caso cinco medidas y obteniendo los siguientes resultados: Balanza 1 (g)

25,55

25,56

25,54

25,57

25,53

Balanza 2 (g)

25,55

25,59

25,51

25,58

25,52

18. En la siguiente tabla se muestran los resultados de siete mediciones de la longitud de un objeto: L (cm)

2,83

2,85

2,87

2,84

2,86

2,84

2,86

Determina: a) El valor considerado como verdadero de la medida. b) Las imprecisiones relativas porcentuales que se cometen en la tercera y en la cuarta medida. 19. Calcula el perímetro y la superficie de una hoja de papel que mide 297 mm de largo y 210 mm de ancho, considerando como incertidumbre absoluta de cada medida 1 mm.

21. La velocidad del sonido depende de la temperatura del medio. Con objeto de estudiar la relación entre ambas variables, se mide la velocidad de propagación del sonido en el aire a diferentes temperaturas. Los valores obtenidos se reflejan en la siguiente tabla: Temperatura del aire (°C) Velocidad del sonido (m/s)

Volumen (hL)

20. Un depósito contiene una cierta cantidad de agua y se está llenando con una manguera, de forma que los datos referidos al volumen de agua en determinados tiempos se representan en la gráfica adjunta. a) Dibuja la recta que mejor se adapte a los puntos representados y encuentra la ecuación matemática de la misma. b) ¿Cuál es el contenido inicial del depósito? c) ¿Qué cantidad de agua vierte la manguera en un minuto?

190 170 150 130 110 9

a

14

19

29 Tiempo (min)

24

Actividad 20

8

17

30

42

53

66

336

342

349

356

362

369

a) Representa gráficamente los datos. b) ¿Cuál es la relación entre las dos variables? c) Calcula la velocidad del sonido a 25 °C. d) Un determinado sonido tarda 8 s en recorrer una distancia de 2 700 m, ¿cuál es la temperatura del aire?

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CIENCIA Y SOCIEDAD El origen del Sistema Internacional de Unidades, SI El SI se adoptó en la undécima sesión de la Conferencia General de Pesos y Medidas (1960) por convenio entre 36 países (entre ellos España). El SI utiliza siete magnitudes fundamentales y proviene del sistema métrico decimal, adoptado en la primera Conferencia General de Pesos y Medidas, con estatus de organismo internacional y con sede en Sèvres (Francia), ratificado en 1875 por 15 países (entre ellos España) y que se basa en el sistema de medidas adoptado por Francia en 1799 para acabar con la confusión que suponía la diversidad de unidades en uso que existía hasta entonces de longitud, masa y volumen. La unidad de tiempo es la unidad que a lo largo de la historia ha sufrido menos variación, mientras que la de longitud es la que ha experimentado más modificación. El sistema métrico decimal se gestó durante la Revolución Francesa de finales del siglo XVIII, y originó las unidades de longitud, el metro; de masa, el kilogramo; y de capacidad, el litro, con el complemento de múltiplos y submúltiplos decimales. La definición actual de metro tiene su origen en la conferencia general de pesos y medidas de 1983, la del segundo es de 1967 y la

del kilogramo de 1901. En cuanto a la temperatura hay que recordar que en la conferencia de 1967 se sustituyó la escala Celsius por la Kelvin, la unidad de corriente eléctrica, el amperio, es de 1948, el mol, como unidad de cantidad de sustancia, es de 1971 y la candela, como unidad de intensidad luminosa, es de 1979. Todavía en el inicio del siglo XXI, el SI no se ha impuesto en todo el mundo y naciones tan importantes como Estados Unidos y Reino Unido aún no lo han generalizado. En cualquier caso, el SI no es imprescindible, pues por ejemplo el hombre llegó y volvió de la Luna contando en millas, pies por segundo y galones, pero es recomendable ya que cambiar de un sistema de unidades a otro cuesta un gran esfuerzo humano y material, pues no hay que olvidar que el accidente espacial del 23 de septiembre de 1999, en el que la nave Mars Climate Orbiter se estrelló en Marte fue debido a una confusión de unidades. Hay que reconocer que el uso del SI se va generalizando poco a poco en todo el mundo frente a los sistemas de unidades antiguos, pues es más ágil y está preparado mejor que otros para futuros cambios.

I N V E S T I G A 1. Busca y halla la relación de la milla, el pie por segundo y el galón con sus unidades del Sistema Internacional. 2. Da una explicación de por qué Reino Unido se resiste tanto a abandonar su Sistema Imperial de unidades. 3. Consulta una hemeroteca o en el buscador Google y da una explicación de por qué tuvo el accidente la nave espacial Mars Climate Orbiter.

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EN RESUMEN LA MEDIDA

Magnitudes físicas

Instrumentos de medida y sus características

Sistema de unidades

• Sistema Internacional de Unidades, SI • Ecuación de dimensión • Notación científica y factores de conversión

Representaciones gráficas

Representación de la línea de ajuste

Error e incertidumbre en la medida • Cálculo de la incertidumbre realizando una única medida • Valor verdadero e incertidumbre absoluta • Incertidumbre relativa • Incertidumbre en las medidas indirectas

Cifras significativas

Reglas para considerar cifras significativas

AMPLÍA CON… • Legislación de Metrología (Pesas y Medidas) (1999). Bo• GARCÍA, A. y PADILLA, J. (1975): Nuevas normas: Magnitudes, ecuaciones y unidades físicas. IUPAP. Ediciones EMEGE. Además incluye otros sistemas de unidades y contiene muchos ejercicios para poder realizar en clase. • SENA L.A. (1979): Unidades de las magnitudes físicas y sus dimensiones. Editorial Mir. Texto clásico que sirve como consulta para una visión en profundidad.

letín Oficial del Estado (BOE). • Metrología abreviada (2005). Ministerio de Industria, Turismo y Comercio. • http://www.cem.es es la página web del Centro Español de Metrología, con abundante información sobre el tema.

• GÓMEZ, V. (1987): Infinito y medida. Ediciones Juan Gránica. Se trata de un estudio interdisciplinar sobre el tema, con conexiones con la Filosofía y las humanidades. • GUTIÉRREZ, B. (1998): La ciencia empieza en la palabra. Análisis e historia del lenguaje científico. Península. Interesante libro sobre el lenguaje científico, en donde las magnitudes y unidades tienen un importante papel.

• http://enciclopedia.us.es es la dirección de la Enciclopedia Libre Universal en español donde se puede encontrar información sobre el Sistema Internacional de Unidades. • Pesos y medidas (1997). Fundación Serveis de Cultura Popular. Vídeo de duración de 45 minutos. • Metrología (2001). Centro Español de Metrología.

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