´ ´ MATEMATICAS BASICAS

Autoras: Margarita Ospina Pulido Jeanneth Galeano Pe˜ naloza Edici´ on: Rafael Ballestas Rojano Universidad Nacional de Colombia Departamento de Matem´ aticas Sede Bogot´ a

Enero de 2015 Universidad Nacional de Colombia

Matem´ aticas B´ asicas

Funciones

1/1

Parte I Funciones

Universidad Nacional de Colombia

Matem´ aticas B´ asicas

Funciones

2/1

Funciones Una funci´on es una especie de m´aquina que toma elementos de un conjunto y despu´es de un proceso obtiene elementos de otro.

Universidad Nacional de Colombia

Matem´ aticas B´ asicas

Funciones

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Funciones Una funci´on es una especie de m´aquina que toma elementos de un conjunto y despu´es de un proceso obtiene elementos de otro. Por ejemplo: 1

La funci´on del conjunto de las palabras en el conjunto de las letras, que a cada palabra le asigna su letra inicial.

Universidad Nacional de Colombia

Matem´ aticas B´ asicas

Funciones

3/1

Funciones Una funci´on es una especie de m´aquina que toma elementos de un conjunto y despu´es de un proceso obtiene elementos de otro. Por ejemplo: 1

La funci´on del conjunto de las palabras en el conjunto de las letras, que a cada palabra le asigna su letra inicial.

2

La funci´on del conjunto de ciudadanos de un pa´ıs en el de las huellas digitales, que a cada ciudadano le asigna la huella digital de su ´ındice derecho.

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Matem´ aticas B´ asicas

Funciones

3/1

Funciones Una funci´on es una especie de m´aquina que toma elementos de un conjunto y despu´es de un proceso obtiene elementos de otro. Por ejemplo: 1

La funci´on del conjunto de las palabras en el conjunto de las letras, que a cada palabra le asigna su letra inicial.

2

La funci´on del conjunto de ciudadanos de un pa´ıs en el de las huellas digitales, que a cada ciudadano le asigna la huella digital de su ´ındice derecho.

3

La funci´on del conjunto de los reales en s´ı mismo, que a cada real le asigna su cuadrado.

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Funciones

3/1

Funciones De una manera m´as formal tenemos: Dados dos conjuntos no vac´ıos A y B, una funci´ on f de A en B, notada: f : A −→ B es un subconjunto de A × B (una relaci´ on de A en B) que cumple:

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Funciones

4/1

Funciones De una manera m´as formal tenemos: Dados dos conjuntos no vac´ıos A y B, una funci´ on f de A en B, notada: f : A −→ B es un subconjunto de A × B (una relaci´ on de A en B) que cumple: Para todo elemento a ∈ A existe un u ´nico b ∈ B tal que la pareja (a, b) ∈ f .

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Matem´ aticas B´ asicas

Funciones

4/1

Funciones De una manera m´as formal tenemos: Dados dos conjuntos no vac´ıos A y B, una funci´ on f de A en B, notada: f : A −→ B es un subconjunto de A × B (una relaci´ on de A en B) que cumple: Para todo elemento a ∈ A existe un u ´nico b ∈ B tal que la pareja (a, b) ∈ f . Como es u ´nico el elemento b relacionado con a, escribimos f (a) = b.

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Funciones

Si f : A −→ B es una funci´ on, A se llama el Dominio de f .

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Funciones

Si f : A −→ B es una funci´ on, A se llama el Dominio de f . B se llama el Codominio de f .

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5/1

Funciones

Si f : A −→ B es una funci´ on, A se llama el Dominio de f . B se llama el Codominio de f . {b ∈ B | existe a ∈ A tal que f (a) = b} se llama el Rango de f o el Recorrido de f o la Imagen de f .

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Ejemplos

f : R −→ R definida por f (x) = 2x − 1 Dom(f ) = R, Imagen de f = R.

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Funciones

6/1

Ejemplos

f : R −→ R definida por f (x) = 2x − 1 Dom(f ) = R, Imagen de f = R. g : R −→ R definida por g (x) = x 2 Dom(g ) = R, Imagen de g = [0, ∞).

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Funciones

6/1

Igualdad de funciones

Dos funciones f y g son iguales si tienen el mismo dominio y para todo elemento x del dominio f (x) = g (x).

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Funciones

7/1

Igualdad de funciones

Dos funciones f y g son iguales si tienen el mismo dominio y para todo elemento x del dominio f (x) = g (x). En este curso trabajaremos u ´nicamente funciones reales, es decir, funciones de dominio y codominio R o subconjuntos de R.

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Funciones

7/1

Igualdad de funciones

Dos funciones f y g son iguales si tienen el mismo dominio y para todo elemento x del dominio f (x) = g (x). En este curso trabajaremos u ´nicamente funciones reales, es decir, funciones de dominio y codominio R o subconjuntos de R. En este caso se acostumbra simplemente a identificar la funci´on con la expresi´on que define su efecto sobre la variable, suponiendo que el dominio es, el subconjunto m´as grande de R en el que se puede definir la funci´on y el codominio es R.

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Ejemplos

Si f (x) =

2x − 1 , entonces Dom(f ) = R − {3}. x −3

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Ejemplos

Si f (x) =

Si g (x) =

2x − 1 , entonces Dom(f ) = R − {3}. x −3 √

2 − 5x, entonces Dom(g ) = (−∞, 52 ].

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Dominio

Ejemplo Hallar el dominio de la funci´ on f (x) =

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x2

4 . − 8x + 7

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Dominio

Ejemplo Hallar el dominio de la funci´ on f (x) =

x2

4 . − 8x + 7

x 2 − 8x + 7 = 0

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Funciones

9/1

Dominio

Ejemplo Hallar el dominio de la funci´ on f (x) =

x2

4 . − 8x + 7

x 2 − 8x + 7 = 0 (x − 1)(x − 7) = 0

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9/1

Dominio

Ejemplo Hallar el dominio de la funci´ on f (x) =

x2

4 . − 8x + 7

x 2 − 8x + 7 = 0 (x − 1)(x − 7) = 0 Dominio de f : R − {1, 7}.

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Dominio

Ejemplo Para hallar el dominio de la funci´ on f (x) = desigualdad

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√

2x + 6, resolvemos la

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Funciones

10 / 1

Dominio

Ejemplo Para hallar el dominio de la funci´ on f (x) = desigualdad

√

2x + 6, resolvemos la

2x + 6 ≥ 0

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Funciones

10 / 1

Dominio

Ejemplo Para hallar el dominio de la funci´ on f (x) = desigualdad

√

2x + 6, resolvemos la

2x + 6 ≥ 0 2x ≥ −6

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10 / 1

Dominio

Ejemplo Para hallar el dominio de la funci´ on f (x) = desigualdad

√

2x + 6, resolvemos la

2x + 6 ≥ 0 2x ≥ −6 x ≥ −3

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Funciones

10 / 1

Dominio

Ejemplo Para hallar el dominio de la funci´ on f (x) = desigualdad

√

2x + 6, resolvemos la

2x + 6 ≥ 0 2x ≥ −6 x ≥ −3

Dominio de f : [−3, ∞).

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Funciones

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Dominio Ejemplo 1 − 7x √ . (x + 5) 3 − 2x Aqu´ı hay una combinaci´on de los dos casos, as´ı que empezamos por la expresi´on dentro del radical. Hallar el dominio de la funci´ on f (x) =

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Funciones

11 / 1

Dominio Ejemplo 1 − 7x √ . (x + 5) 3 − 2x Aqu´ı hay una combinaci´on de los dos casos, as´ı que empezamos por la expresi´on dentro del radical. Hallar el dominio de la funci´ on f (x) =

3 − 2x > 0

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Funciones

11 / 1

Dominio Ejemplo 1 − 7x √ . (x + 5) 3 − 2x Aqu´ı hay una combinaci´on de los dos casos, as´ı que empezamos por la expresi´on dentro del radical. Hallar el dominio de la funci´ on f (x) =

3 − 2x > 0 − 2x > −3

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Funciones

11 / 1

Dominio Ejemplo 1 − 7x √ . (x + 5) 3 − 2x Aqu´ı hay una combinaci´on de los dos casos, as´ı que empezamos por la expresi´on dentro del radical. Hallar el dominio de la funci´ on f (x) =

3 − 2x > 0 − 2x > −3 3 x< 2

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11 / 1

Dominio Ejemplo 1 − 7x √ . (x + 5) 3 − 2x Aqu´ı hay una combinaci´on de los dos casos, as´ı que empezamos por la expresi´on dentro del radical. Hallar el dominio de la funci´ on f (x) =

3 − 2x > 0 − 2x > −3 3 x<  2 S = −∞,

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3 2

 ∗

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11 / 1

Dominio Ejemplo 1 − 7x √ . (x + 5) 3 − 2x Aqu´ı hay una combinaci´on de los dos casos, as´ı que empezamos por la expresi´on dentro del radical. Hallar el dominio de la funci´ on f (x) =

3 − 2x > 0 − 2x > −3 3 x<  2 S = −∞,

3 2

 ∗

∗ ¿Por qu´e el intervalo es abierto en 32 ? Universidad Nacional de Colombia

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11 / 1

Dominio

Ejemplo (Cont.) Hallar el dominio de la funci´ on f (x) =

1 − 7x √ . (x + 5) 3 − 2x

Adem´as, el denominador se hace cero cuando x = −5

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Dominio

Ejemplo (Cont.) Hallar el dominio de la funci´ on f (x) =

1 − 7x √ . (x + 5) 3 − 2x

Adem´as, el denominador se hace cero cuando x = −5, as´ı que el dominio de f es     3 3 Dom(f ) = −∞, − {−5} = (−∞, −5) ∪ −5, . 2 2

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Gr´aficas de funciones La gr´afica de una funci´on real es la representaci´ on en el plano cartesiano de {(x, f (x)) | x ∈ Dom(f )} .

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13 / 1

Gr´aficas de funciones La gr´afica de una funci´on real es la representaci´ on en el plano cartesiano de {(x, f (x)) | x ∈ Dom(f )} .

Si f (x) = 2x − 1, su gr´afica es la recta y = 2x − 1.

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Funciones

13 / 1

Gr´aficas de funciones La gr´afica de una funci´on real es la representaci´ on en el plano cartesiano de {(x, f (x)) | x ∈ Dom(f )} .

Si f (x) = 2x − 1, su gr´afica es la recta y = 2x − 1. Si g (x) = x 2 − 2x + 1, su gr´afica es la par´abola y = x 2 − 2x + 1.

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Funciones

13 / 1

Gr´aficas de funciones La gr´afica de una funci´on real es la representaci´ on en el plano cartesiano de {(x, f (x)) | x ∈ Dom(f )} .

Si f (x) = 2x − 1, su gr´afica es la recta y = 2x − 1. Si g (x) = x 2 − 2x + 1, su gr´afica es la par´abola y = x 2 − 2x + 1. N´ otese que una gr´afica en el plano cartesiano representa una funci´on real, si toda recta vertical corta la gr´afica en a lo sumo un punto.

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Funci´on id´entica o funci´on identidad Dado cualquier conjunto no vac´ıo A definimos IA : A −→ A a 7−→ a

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14 / 1

Funci´on id´entica o funci´on identidad Dado cualquier conjunto no vac´ıo A definimos IA : A −→ A

y

a 7−→ a En particular, la funci´ on id´entica de R IR : R −→ R

x

x 7−→ x

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14 / 1

Funci´on id´entica o funci´on identidad Dado cualquier conjunto no vac´ıo A definimos IA : A −→ A

y

a 7−→ a En particular, la funci´ on id´entica de R

y =x

IR : R −→ R

x

x 7−→ x

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Funciones

14 / 1

Funci´on id´entica o funci´on identidad Dado cualquier conjunto no vac´ıo A definimos IA : A −→ A

y

a 7−→ a En particular, la funci´ on id´entica de R

y =x

IR : R −→ R

x

x 7−→ x

Dom(IR ) = R Im(IR ) = R Universidad Nacional de Colombia

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14 / 1

Funci´on constante

y f : R −→ R x 7−→ c donde c es una constante. x

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Funci´on constante

y f : R −→ R x 7−→ c

c

y =c

donde c es una constante. x

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Funciones

15 / 1

Funci´on constante

y f : R −→ R x 7−→ c

c

y =c

donde c es una constante. x Dom(f ) = R Im(f ) = {c}

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15 / 1

Funci´on lineal

f : R −→ R

y

x 7−→ mx + b donde m y b son constantes.

x

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16 / 1

Funci´on lineal

f : R −→ R

y

x 7−→ mx + b donde m y b son constantes.

x y = mx + b

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Funciones

16 / 1

Funci´on lineal

f : R −→ R

y

x 7−→ mx + b donde m y b son constantes. Dom(f ) = R Im(f ) = R, si m 6= 0

x y = mx + b

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Funciones

16 / 1

Funci´on lineal

f : R −→ R

y

x 7−→ mx + b donde m y b son constantes. Dom(f ) = R Im(f ) = R, si m 6= 0

x y = mx + b

¿Qu´e pasa si m = 0? ¿C´omo es la gr´afica de f en este caso?

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16 / 1

Funci´on cuadr´atica

f : R −→ R x 7−→ ax 2 + bx + c donde a, b y c son constantes y a 6= 0.

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17 / 1

Funci´on cuadr´atica

f : R −→ R x 7−→ ax 2 + bx + c donde a, b y c son constantes y a 6= 0. Dom(f ) = R Im(f ) =?

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Funciones

17 / 1

Funci´on cuadr´atica

f : R −→ R x 7−→ ax 2 + bx + c donde a, b y c son constantes y a 6= 0. Dom(f ) = R Im(f ) =? ¿C´omo es la gr´afica de f ?

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Funciones

17 / 1

Funci´on cuadr´atica

y

f : R −→ R x 7−→ ax 2 + bx + c donde a, b y c son constantes y a 6= 0.

x Dom(f ) = R Im(f ) =? ¿C´omo es la gr´afica de f ?

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Funciones

17 / 1

Funci´on cuadr´atica

y

f : R −→ R x 7−→ ax 2 + bx + c donde a, b y c son constantes y a 6= 0.

x Dom(f ) = R Im(f ) =? Caso a > 0 ¿C´omo es la gr´afica de f ?

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Funci´on valor absoluto

f : R −→ R x 7−→ |x|

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Funci´on valor absoluto

f : R −→ R x 7−→ |x| Dom(f ) = R Im(f ) =

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18 / 1

Funci´on valor absoluto

f : R −→ R x 7−→ |x| Dom(f ) = R Im(f ) = ¿C´omo es la gr´afica de f ?

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18 / 1

Funci´on valor absoluto

y 5

f : R −→ R

4

x 7−→ |x|

3 2

Dom(f ) = R Im(f ) =

1 -5 -4 -3 -2 -1 -1

1

2

3

4

5

x

-2

¿C´omo es la gr´afica de f ?

-3 -4 -5

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Funciones

18 / 1

Funci´on valor absoluto

y 5

f : R −→ R

4

x 7−→ |x|

3 2

Dom(f ) = R Im(f ) =

1 -5 -4 -3 -2 -1 -1

1

2

3

4

5

x

-2

¿C´omo es la gr´afica de f ?

-3 -4 -5

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Funciones

18 / 1

Funci´on valor absoluto

y 5

f : R −→ R

4

x 7−→ |x|

2

Dom(f ) = R Im(f ) =

y = |x|

3 1 -5 -4 -3 -2 -1 -1

1

2

3

4

5

x

-2

¿C´omo es la gr´afica de f ?

-3 -4 -5

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Funciones

18 / 1

Funci´on valor absoluto

y 5

f : R −→ R

4

x 7−→ |x|

2

Dom(f ) = R Im(f ) = [0, ∞)

y = |x|

3 1 -5 -4 -3 -2 -1 -1

1

2

3

4

5

x

-2

¿C´omo es la gr´afica de f ?

-3 -4 -5

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18 / 1

Funci´on parte entera

f : R −→ R x 7−→ [x] donde [x] es el mayor entero menor o igual que x.

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19 / 1

Funci´on parte entera

f : R −→ R x 7−→ [x] donde [x] es el mayor entero menor o igual que x. Por ejemplo [π] = 3

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19 / 1

Funci´on parte entera

f : R −→ R x 7−→ [x] donde [x] es el mayor entero menor o igual que x. Por ejemplo [π] = 3

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[8.27] = 8

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Funciones

19 / 1

Funci´on parte entera

f : R −→ R x 7−→ [x] donde [x] es el mayor entero menor o igual que x. Por ejemplo [π] = 3

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[8.27] = 8

Matem´ aticas B´ asicas

[12] = 12

Funciones

19 / 1

Funci´on parte entera

f : R −→ R x 7−→ [x] donde [x] es el mayor entero menor o igual que x. Por ejemplo [π] = 3

[8.27] = 8

[12] = 12

[−2] = −2

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Funciones

19 / 1

Funci´on parte entera

f : R −→ R x 7−→ [x] donde [x] es el mayor entero menor o igual que x. Por ejemplo [π] = 3

[8.27] = 8

[−2] = −2

[−1,5] = −2

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[12] = 12

Funciones

19 / 1

Funci´on parte entera

f : R −→ R x 7−→ [x] donde [x] es el mayor entero menor o igual que x. Por ejemplo [π] = 3

[8.27] = 8

[12] = 12

[−2] = −2

[−1,5] = −2

[−π] = −4

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19 / 1

Funci´on parte entera

Ejercicio Haga la gr´afica de y = [x] y encuentre su imagen.

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Funci´on parte entera f (x) = [x] y 5 4 3 2 1 -5 -4 -3 -2 -1 -1 -2 -3 -4 -5

1

2

3

4

5

x

Funci´on parte entera f (x) = [x] y 5 4

y = [x]

3 2 1 -5 -4 -3 -2 -1 -1

1

2

3

4

5

x

-2 -3 -4 -5

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Funciones

21 / 1

Funci´on parte entera f (x) = [x] y 5 4

y = [x]

3 2 1 -5 -4 -3 -2 -1 -1

1

2

3

4

5

x

-2 -3 -4 -5

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Funciones

21 / 1

Funci´on parte entera f (x) = [x] y 5 4

y = [x]

3 2 1 -5 -4 -3 -2 -1 -1

1

2

3

4

5

x

-2 -3 -4 -5

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Funciones

21 / 1

Funci´on parte entera f (x) = [x] y 5 4

y = [x]

3 2 1 -5 -4 -3 -2 -1 -1

1

2

3

4

5

x

-2 -3 -4 -5

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Funciones

21 / 1

Funci´on parte entera f (x) = [x] y 5 4

y = [x]

3 2 1 -5 -4 -3 -2 -1 -1

1

2

3

4

5

x

-2 -3 -4 -5

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Funciones

21 / 1

Funci´on parte entera f (x) = [x] y 5 4

y = [x]

3 2 1 -5 -4 -3 -2 -1 -1

1

2

3

4

5

x

-2 -3 -4 -5

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Funciones

21 / 1

Funci´on parte entera f (x) = [x] y 5 4

y = [x]

3

Im(f ) =

2 1

-5 -4 -3 -2 -1 -1

1

2

3

4

5

x

-2 -3 -4 -5

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21 / 1

Funci´on parte entera f (x) = [x] y 5 4

y = [x]

3

Im(f ) = Z

2 1

-5 -4 -3 -2 -1 -1

1

2

3

4

5

x

-2 -3 -4 -5

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21 / 1

Funciones definidas a trozos

Consideremos la funci´on definida como sigue   si x < −4 3 f (x) = x + 1 si −4 ≤ x ≤ −2   2 x si x > −2. Veamos su gr´afica.

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22 / 1

Funciones definidas a trozos

  3 f (x) = x + 1   2 x

si x < −4 si −4 ≤ x ≤ −2 si x > −2.

y 5 4 3 2 1

-5 -4 -3 -2 -1 -1

1

2

3

4

5

x

-2 -3

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Matem´ aticas B´ asicas

Funciones

23 / 1

Funciones definidas a trozos

  3 f (x) = x + 1   2 x

si x < −4 si −4 ≤ x ≤ −2 si x > −2.

y 5 4 3 2 1

-5 -4 -3 -2 -1 -1

1

2

3

4

5

x

-2 -3

Universidad Nacional de Colombia

Matem´ aticas B´ asicas

Funciones

23 / 1

Funciones definidas a trozos

  3 f (x) = x + 1   2 x

si x < −4 si −4 ≤ x ≤ −2 si x > −2.

y 5 4 3 2 1

-5 -4 -3 -2 -1 -1

1

2

3

4

5

x

-2 -3

Universidad Nacional de Colombia

Matem´ aticas B´ asicas

Funciones

23 / 1

Funciones definidas a trozos

  3 f (x) = x + 1   2 x

si x < −4 si −4 ≤ x ≤ −2 si x > −2.

y 5 4 3 2 1

-5 -4 -3 -2 -1 -1

1

2

3

4

5

x

-2 -3

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Matem´ aticas B´ asicas

Funciones

23 / 1

Funciones definidas a trozos

  3 f (x) = x + 1   2 x

si x < −4 si −4 ≤ x ≤ −2 si x > −2.

y 5 4 3 2 1

-5 -4 -3 -2 -1 -1

1

2

3

4

5

x

-2 -3

Universidad Nacional de Colombia

Matem´ aticas B´ asicas

Funciones

23 / 1

Funciones definidas a trozos

Consideremos la funci´on definida como   2 f (x) = −x 2 + 1   2x − 6

sigue si x < −2 si −2 ≤ x < 2 si x ≥ 2.

Veamos su gr´afica.

Universidad Nacional de Colombia

Matem´ aticas B´ asicas

Funciones

24 / 1

Funciones definidas a trozos

  2 f (x) = − x 2 + 1   2x − 6

si x < −2 si −2 ≤ x < 2 si x ≥ 2.

y 5 4 3 2 1

-5 -4 -3 -2 -1 -1

1

2

3

4

5

x

-2 -3

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Matem´ aticas B´ asicas

Funciones

25 / 1

Funciones definidas a trozos

  2 f (x) = − x 2 + 1   2x − 6

si x < −2 si −2 ≤ x < 2 si x ≥ 2.

y 5 4 3 2 1

-5 -4 -3 -2 -1 -1

1

2

3

4

5

x

-2 -3

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Matem´ aticas B´ asicas

Funciones

25 / 1

Funciones definidas a trozos

  2 f (x) = − x 2 + 1   2x − 6

si x < −2 si −2 ≤ x < 2 si x ≥ 2.

y 5 4 3 2 1

-5 -4 -3 -2 -1 -1

1

2

3

4

5

x

-2 -3

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Matem´ aticas B´ asicas

Funciones

25 / 1

Funciones definidas a trozos

  2 f (x) = − x 2 + 1   2x − 6

si x < −2 si −2 ≤ x < 2 si x ≥ 2.

y 5 4 3 2 1

-5 -4 -3 -2 -1 -1

1

2

3

4

5

x

-2 -3

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Matem´ aticas B´ asicas

Funciones

25 / 1

Funciones definidas a trozos

  2 f (x) = − x 2 + 1   2x − 6

si x < −2 si −2 ≤ x < 2 si x ≥ 2.

y 5 4 3 2 1

-5 -4 -3 -2 -1 -1

1

2

3

4

5

x

-2 -3

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Matem´ aticas B´ asicas

Funciones

25 / 1

Gr´aficas

Ejercicio Bosqueje la gr´afica de las siguientes funciones:  2  si x < 0 x f (x) = 2 si 0 ≤ x < 1   1 − x si x > 1   −4 f (x) = |x| + 1   2x

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si x < −1 si −1 ≤ x ≤ 1 si x > 1

Matem´ aticas B´ asicas

Funciones

26 / 1

Parte II Propiedades de funciones

Universidad Nacional de Colombia

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Funciones

27 / 1

Funciones pares

Definici´on Una funci´on f es par si f (−x) = f (x) para toda x en el dominio de f .

Universidad Nacional de Colombia

Matem´ aticas B´ asicas

Funciones

28 / 1

Funciones pares

Definici´on Una funci´on f es par si f (−x) = f (x) para toda x en el dominio de f .

1

Si f es par, la expresi´ on y = f (x) no cambia si se sustituye x por −x.

Universidad Nacional de Colombia

Matem´ aticas B´ asicas

Funciones

28 / 1

Funciones pares

Definici´on Una funci´on f es par si f (−x) = f (x) para toda x en el dominio de f .

1

Si f es par, la expresi´ on y = f (x) no cambia si se sustituye x por −x.

2

f (x) = |x| y f (x) = x 2 son ejemplos de funciones pares.

Universidad Nacional de Colombia

Matem´ aticas B´ asicas

Funciones

28 / 1

Funciones pares

Definici´on Una funci´on f es par si f (−x) = f (x) para toda x en el dominio de f .

1

Si f es par, la expresi´ on y = f (x) no cambia si se sustituye x por −x.

2

f (x) = |x| y f (x) = x 2 son ejemplos de funciones pares.

3

La gr´afica de una funci´ on par es sim´etrica con respecto al eje y .

Universidad Nacional de Colombia

Matem´ aticas B´ asicas

Funciones

28 / 1

Funciones pares y 5 4 3 2 1 -5 -4 -3 -2 -1 -1

1

2

3

4

5

x

-2 -3 -4 -5

Universidad Nacional de Colombia

Matem´ aticas B´ asicas

Funciones

29 / 1

Funciones impares

Definici´on Una funci´on f es impar si f (−x) = −f (x) para toda x en el dominio de f .

Universidad Nacional de Colombia

Matem´ aticas B´ asicas

Funciones

30 / 1

Funciones impares

Definici´on Una funci´on f es impar si f (−x) = −f (x) para toda x en el dominio de f .

1

f (x) = x y f (x) = x 3 son ejemplos de funciones impares.

Universidad Nacional de Colombia

Matem´ aticas B´ asicas

Funciones

30 / 1

Funciones impares

Definici´on Una funci´on f es impar si f (−x) = −f (x) para toda x en el dominio de f .

1

f (x) = x y f (x) = x 3 son ejemplos de funciones impares.

2

La gr´afica de una funci´ on impar es sim´etrica con respecto al origen.

Universidad Nacional de Colombia

Matem´ aticas B´ asicas

Funciones

30 / 1

Funciones impares y 5 4 3 2 1 -5 -4 -3 -2 -1 -1

1

2

3

4

5

x

-2 -3 -4 -5

Universidad Nacional de Colombia

Matem´ aticas B´ asicas

Funciones

31 / 1

Funciones pares e impares Determinar si f es par, impar o ninguna de las dos.

Universidad Nacional de Colombia

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Funciones

32 / 1

Funciones pares e impares Determinar si f es par, impar o ninguna de las dos. f (x) = 4x 2 + 5x 6 − 3x 8

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Matem´ aticas B´ asicas

Funciones

32 / 1

Funciones pares e impares Determinar si f es par, impar o ninguna de las dos. f (x) = 4x 2 + 5x 6 − 3x 8 es par, pues

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Matem´ aticas B´ asicas

Funciones

32 / 1

Funciones pares e impares Determinar si f es par, impar o ninguna de las dos. f (x) = 4x 2 + 5x 6 − 3x 8 es par, pues f (−x)

Universidad Nacional de Colombia

Matem´ aticas B´ asicas

Funciones

32 / 1

Funciones pares e impares Determinar si f es par, impar o ninguna de las dos. f (x) = 4x 2 + 5x 6 − 3x 8 es par, pues f (−x) = 4(−x)2 + 5(−x)6 − 3(−x)8

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Matem´ aticas B´ asicas

Funciones

32 / 1

Funciones pares e impares Determinar si f es par, impar o ninguna de las dos. f (x) = 4x 2 + 5x 6 − 3x 8 es par, pues f (−x) = 4(−x)2 + 5(−x)6 − 3(−x)8 = 4x 2 + 5x 6 − 3x 8

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Matem´ aticas B´ asicas

Funciones

32 / 1

Funciones pares e impares Determinar si f es par, impar o ninguna de las dos. f (x) = 4x 2 + 5x 6 − 3x 8 es par, pues f (−x) = 4(−x)2 + 5(−x)6 − 3(−x)8 = 4x 2 + 5x 6 − 3x 8 = f (x)

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Matem´ aticas B´ asicas

Funciones

32 / 1

Funciones pares e impares Determinar si f es par, impar o ninguna de las dos. f (x) = 4x 2 + 5x 6 − 3x 8 es par, pues f (−x) = 4(−x)2 + 5(−x)6 − 3(−x)8 = 4x 2 + 5x 6 − 3x 8 = f (x) f (x) = 12x 5 − 6x 3 − 3x

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Matem´ aticas B´ asicas

Funciones

32 / 1

Funciones pares e impares Determinar si f es par, impar o ninguna de las dos. f (x) = 4x 2 + 5x 6 − 3x 8 es par, pues f (−x) = 4(−x)2 + 5(−x)6 − 3(−x)8 = 4x 2 + 5x 6 − 3x 8 = f (x) f (x) = 12x 5 − 6x 3 − 3x es impar, pues

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Matem´ aticas B´ asicas

Funciones

32 / 1

Funciones pares e impares Determinar si f es par, impar o ninguna de las dos. f (x) = 4x 2 + 5x 6 − 3x 8 es par, pues f (−x) = 4(−x)2 + 5(−x)6 − 3(−x)8 = 4x 2 + 5x 6 − 3x 8 = f (x) f (x) = 12x 5 − 6x 3 − 3x es impar, pues f (−x)

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Funciones

32 / 1

Funciones pares e impares Determinar si f es par, impar o ninguna de las dos. f (x) = 4x 2 + 5x 6 − 3x 8 es par, pues f (−x) = 4(−x)2 + 5(−x)6 − 3(−x)8 = 4x 2 + 5x 6 − 3x 8 = f (x) f (x) = 12x 5 − 6x 3 − 3x es impar, pues f (−x) = 12(−x)5 − 6(−x)3 − 3(−x)

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Funciones

32 / 1

Funciones pares e impares Determinar si f es par, impar o ninguna de las dos. f (x) = 4x 2 + 5x 6 − 3x 8 es par, pues f (−x) = 4(−x)2 + 5(−x)6 − 3(−x)8 = 4x 2 + 5x 6 − 3x 8 = f (x) f (x) = 12x 5 − 6x 3 − 3x es impar, pues f (−x) = 12(−x)5 − 6(−x)3 − 3(−x) = −12x 5 + 6x 3 + 3x

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Funciones

32 / 1

Funciones pares e impares Determinar si f es par, impar o ninguna de las dos. f (x) = 4x 2 + 5x 6 − 3x 8 es par, pues f (−x) = 4(−x)2 + 5(−x)6 − 3(−x)8 = 4x 2 + 5x 6 − 3x 8 = f (x) f (x) = 12x 5 − 6x 3 − 3x es impar, pues f (−x) = 12(−x)5 − 6(−x)3 − 3(−x) = −12x 5 + 6x 3 + 3x = −f (x)

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Funciones

32 / 1

Funciones pares e impares

Determinar si f es par, impar o ninguna de las dos.

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Funciones

33 / 1

Funciones pares e impares

Determinar si f es par, impar o ninguna de las dos. f (x) = 3x 7 + 9x 5 − 3x 8

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Funciones

33 / 1

Funciones pares e impares

Determinar si f es par, impar o ninguna de las dos. f (x) = 3x 7 + 9x 5 − 3x 8 no es par ni impar, pues

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Matem´ aticas B´ asicas

Funciones

33 / 1

Funciones pares e impares

Determinar si f es par, impar o ninguna de las dos. f (x) = 3x 7 + 9x 5 − 3x 8 no es par ni impar, pues f (−x)

Universidad Nacional de Colombia

Matem´ aticas B´ asicas

Funciones

33 / 1

Funciones pares e impares

Determinar si f es par, impar o ninguna de las dos. f (x) = 3x 7 + 9x 5 − 3x 8 no es par ni impar, pues f (−x) = 3(−x)7 + 9(−x)5 − 3(−x)8

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Matem´ aticas B´ asicas

Funciones

33 / 1

Funciones pares e impares

Determinar si f es par, impar o ninguna de las dos. f (x) = 3x 7 + 9x 5 − 3x 8 no es par ni impar, pues f (−x) = 3(−x)7 + 9(−x)5 − 3(−x)8 = −3x 7 − 9x 5 − 3x 8

Universidad Nacional de Colombia

Matem´ aticas B´ asicas

Funciones

33 / 1

Funciones pares e impares

Determinar si f es par, impar o ninguna de las dos. f (x) = 3x 7 + 9x 5 − 3x 8 no es par ni impar, pues f (−x) = 3(−x)7 + 9(−x)5 − 3(−x)8 = −3x 7 − 9x 5 − 3x 8 = −(3x 7 + 9x 5 + 3x 8 )

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Funciones

33 / 1

Funciones pares e impares

Ejercicio Determinar si f es par, impar o ninguna de las dos.

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34 / 1

Funciones pares e impares

Ejercicio Determinar si f es par, impar o ninguna de las dos. f (x) = 2x 7 + 3x 5 − 6x 6 + 1 f (x) = 8x 6 + 3x 4 − x + 4 √ f (x) = 2 x + 4 f (x) = (x − 1)2 + x 4 f (x) = 3 − (x + 2)3

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Funciones

34 / 1

Funciones inyectivas y sobreyectivas

Definici´on Sea f : A −→ B una funci´ on,

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Funciones

35 / 1

Funciones inyectivas y sobreyectivas

Definici´on Sea f : A −→ B una funci´ on, f se dice inyectiva o uno a uno si se cumple que f (a) = f (b) implica que a = b.

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Funciones

35 / 1

Funciones inyectivas y sobreyectivas

Definici´on Sea f : A −→ B una funci´ on, f se dice inyectiva o uno a uno si se cumple que f (a) = f (b) implica que a = b. f se dice sobreyectiva o sobre si su rango es todo el conjunto B.

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Funciones

35 / 1

Funciones inyectivas y sobreyectivas

Definici´on Sea f : A −→ B una funci´ on, f se dice inyectiva o uno a uno si se cumple que f (a) = f (b) implica que a = b. f se dice sobreyectiva o sobre si su rango es todo el conjunto B. f se dice biyectiva si es uno a uno y sobre.

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Funciones

35 / 1

Funciones inyectivas y sobreyectivas

Ejemplo Considere las siguientes funciones

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Funciones

36 / 1

Funciones inyectivas y sobreyectivas

Ejemplo Considere las siguientes funciones f1 (x) = 4

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Funciones

36 / 1

Funciones inyectivas y sobreyectivas

Ejemplo Considere las siguientes funciones f1 (x) = 4 no es uno a uno ni sobre.

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Matem´ aticas B´ asicas

Funciones

36 / 1

Funciones inyectivas y sobreyectivas

Ejemplo Considere las siguientes funciones f1 (x) = 4 no es uno a uno ni sobre. f2 (x) = 2x + 3

Universidad Nacional de Colombia

Matem´ aticas B´ asicas

Funciones

36 / 1

Funciones inyectivas y sobreyectivas

Ejemplo Considere las siguientes funciones f1 (x) = 4 no es uno a uno ni sobre. f2 (x) = 2x + 3 es uno a uno y es sobre.

Universidad Nacional de Colombia

Matem´ aticas B´ asicas

Funciones

36 / 1

Funciones inyectivas y sobreyectivas

Ejemplo Considere las siguientes funciones f1 (x) = 4 no es uno a uno ni sobre. f2 (x) = 2x + 3 es uno a uno y es sobre. f3 (x) = x 2

Universidad Nacional de Colombia

Matem´ aticas B´ asicas

Funciones

36 / 1

Funciones inyectivas y sobreyectivas

Ejemplo Considere las siguientes funciones f1 (x) = 4 no es uno a uno ni sobre. f2 (x) = 2x + 3 es uno a uno y es sobre. f3 (x) = x 2 no es uno a uno y no es sobre.

Universidad Nacional de Colombia

Matem´ aticas B´ asicas

Funciones

36 / 1

Funciones inyectivas y sobreyectivas

Ejemplo Considere las siguientes funciones f1 (x) = 4 no es uno a uno ni sobre. f2 (x) = 2x + 3 es uno a uno y es sobre. f3 (x) = x 2 no es uno a uno y no es sobre. f4 (x) = x 3

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Matem´ aticas B´ asicas

Funciones

36 / 1

Funciones inyectivas y sobreyectivas

Ejemplo Considere las siguientes funciones f1 (x) = 4 no es uno a uno ni sobre. f2 (x) = 2x + 3 es uno a uno y es sobre. f3 (x) = x 2 no es uno a uno y no es sobre. f4 (x) = x 3 es uno a uno y sobre.

Universidad Nacional de Colombia

Matem´ aticas B´ asicas

Funciones

36 / 1

Funciones inyectivas y sobreyectivas

Ejemplo Considere las siguientes funciones f1 (x) = 4 no es uno a uno ni sobre. f2 (x) = 2x + 3 es uno a uno y es sobre. f3 (x) = x 2 no es uno a uno y no es sobre. f4 (x) = x 3 es uno a uno y sobre. f5 (x) = |x|

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Matem´ aticas B´ asicas

Funciones

36 / 1

Funciones inyectivas y sobreyectivas

Ejemplo Considere las siguientes funciones f1 (x) = 4 no es uno a uno ni sobre. f2 (x) = 2x + 3 es uno a uno y es sobre. f3 (x) = x 2 no es uno a uno y no es sobre. f4 (x) = x 3 es uno a uno y sobre. f5 (x) = |x| no es uno a uno ni sobre.

Universidad Nacional de Colombia

Matem´ aticas B´ asicas

Funciones

36 / 1

Funciones inyectivas y sobreyectivas

Ejemplo Considere las siguientes funciones f1 (x) = 4 no es uno a uno ni sobre. f2 (x) = 2x + 3 es uno a uno y es sobre. f3 (x) = x 2 no es uno a uno y no es sobre. f4 (x) = x 3 es uno a uno y sobre. f5 (x) = |x| no es uno a uno ni sobre. ¿C´ omo determinar por medio de la gr´afica si una funci´on es uno a uno?

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Funciones

36 / 1

Funciones inyectivas y sobreyectivas

Prueba de la recta horizontal Una funci´on f es uno a uno si y s´ olo si toda recta horizontal corta la gr´afica de f m´aximo en un punto.

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Funciones

37 / 1

Funciones inyectivas y sobreyectivas

Prueba de la recta horizontal Una funci´on f es uno a uno si y s´ olo si toda recta horizontal corta la gr´afica de f m´aximo en un punto. Una funci´on de codominio R es sobreyectiva si toda recta horizontal corta su gr´afica.

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Funciones

37 / 1

Parte III Operaciones entre funciones

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Funciones

38 / 1

Operaciones entre funciones

Definici´on Sean f y g dos funciones. Definimos

Universidad Nacional de Colombia

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Funciones

39 / 1

Operaciones entre funciones

Definici´on Sean f y g dos funciones. Definimos Suma (f + g )(x) = f (x) + g (x)

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Matem´ aticas B´ asicas

Funciones

39 / 1

Operaciones entre funciones

Definici´on Sean f y g dos funciones. Definimos Suma (f + g )(x) = f (x) + g (x) Diferencia (f − g )(x) = f (x) − g (x)

Universidad Nacional de Colombia

Matem´ aticas B´ asicas

Funciones

39 / 1

Operaciones entre funciones

Definici´on Sean f y g dos funciones. Definimos Suma (f + g )(x) = f (x) + g (x) Diferencia (f − g )(x) = f (x) − g (x) Producto (fg )(x) = f (x)g (x)

Universidad Nacional de Colombia

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Funciones

39 / 1

Operaciones entre funciones

Definici´on Sean f y g dos funciones. Definimos Suma (f + g )(x) = f (x) + g (x) Diferencia (f − g )(x) = f (x) − g (x) Producto (fg )(x) = f (x)g (x)   f f (x) Cociente (x) = , siempre que g (x) 6= 0. g g (x)

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Funciones

39 / 1

Operaciones entre funciones

Ejemplo Sean f (x) = 2x + 1 y g (x) = 3x 2 − 4. Entonces

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Matem´ aticas B´ asicas

Funciones

40 / 1

Operaciones entre funciones

Ejemplo Sean f (x) = 2x + 1 y g (x) = 3x 2 − 4. Entonces (f + g )(x) = 2x + 1 + 3x 2 − 4 = 3x 2 + 2x − 3

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Funciones

40 / 1

Operaciones entre funciones

Ejemplo Sean f (x) = 2x + 1 y g (x) = 3x 2 − 4. Entonces (f + g )(x) = 2x + 1 + 3x 2 − 4 = 3x 2 + 2x − 3 (f − g )(x) = 2x + 1 − (3x 2 − 4) = −3x 2 + 2x + 5

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Funciones

40 / 1

Operaciones entre funciones

Ejemplo Sean f (x) = 2x + 1 y g (x) = 3x 2 − 4. Entonces (f + g )(x) = 2x + 1 + 3x 2 − 4 = 3x 2 + 2x − 3 (f − g )(x) = 2x + 1 − (3x 2 − 4) = −3x 2 + 2x + 5 (fg )(x) = (2x + 1)(3x 2 − 4) = 6x 3 + 3x 2 − 8x − 4

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Funciones

40 / 1

Operaciones entre funciones

Ejemplo Sean f (x) = 2x + 1 y g (x) = 3x 2 − 4. Entonces (f + g )(x) = 2x + 1 + 3x 2 − 4 = 3x 2 + 2x − 3 (f − g )(x) = 2x + 1 − (3x 2 − 4) = −3x 2 + 2x + 5 (fg )(x) = (2x + 1)(3x 2 − 4) = 6x 3 + 3x 2 − 8x − 4   f 2x + 1 (x) = 2 g 3x − 4

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Funciones

40 / 1

Operaciones entre funciones

Ejemplo Sean f (x) = 2x + 1 y g (x) = 3x 2 − 4. Entonces (f + g )(x) = 2x + 1 + 3x 2 − 4 = 3x 2 + 2x − 3 (f − g )(x) = 2x + 1 − (3x 2 − 4) = −3x 2 + 2x + 5 (fg )(x) = (2x + 1)(3x 2 − 4) = 6x 3 + 3x 2 − 8x − 4   f 2x + 1 (x) = 2 g 3x − 4 ¿Cu´al es el dominio de estas funciones?

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Funciones

40 / 1

Operaciones entre funciones

El dominio de f + g , f − g , fg es la intersecci´ on I de los dominios de f y f de g , mientras que el dominio de g est´a formado por los puntos x de I tales que g (x) 6= 0.

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Funciones

41 / 1

Operaciones entre funciones

El dominio de f + g , f − g , fg es la intersecci´ on I de los dominios de f y f de g , mientras que el dominio de g est´a formado por los puntos x de I tales que g (x) 6= 0.

Ejemplo x . 4−x Hallar una expresi´on para las siguientes funciones y sus dominios, Sean f (x) = 5x + 3 y g (x) =

f + g,

Universidad Nacional de Colombia

f − g,

fg ,

f , g

g , f

Matem´ aticas B´ asicas

g . f +g

Funciones

41 / 1

Ejemplo (cont.)

Sean f (x) = 5x + 3 y g (x) =

Universidad Nacional de Colombia

x . 4−x

Matem´ aticas B´ asicas

Funciones

42 / 1

Ejemplo (cont.)

Sean f (x) = 5x + 3 y g (x) =

Universidad Nacional de Colombia

x . Dom(f ) = R y Dom(g ) = R − {4}. 4−x

Matem´ aticas B´ asicas

Funciones

42 / 1

Ejemplo (cont.)

Sean f (x) = 5x + 3 y g (x) = (f + g )(x) = 5x + 3 +

Universidad Nacional de Colombia

x . Dom(f ) = R y Dom(g ) = R − {4}. 4−x x 4−x

Matem´ aticas B´ asicas

Funciones

42 / 1

Ejemplo (cont.)

Sean f (x) = 5x + 3 y g (x) = (f + g )(x) = 5x + 3 +

Universidad Nacional de Colombia

x . Dom(f ) = R y Dom(g ) = R − {4}. 4−x x 4−x

Dom(f + g ) = R − {4}

Matem´ aticas B´ asicas

Funciones

42 / 1

Ejemplo (cont.)

Sean f (x) = 5x + 3 y g (x) =

x . Dom(f ) = R y Dom(g ) = R − {4}. 4−x

x 4−x x (f − g )(x) = 5x + 3 − 4−x (f + g )(x) = 5x + 3 +

Universidad Nacional de Colombia

Dom(f + g ) = R − {4}

Matem´ aticas B´ asicas

Funciones

42 / 1

Ejemplo (cont.)

Sean f (x) = 5x + 3 y g (x) =

x . Dom(f ) = R y Dom(g ) = R − {4}. 4−x

x 4−x x (f − g )(x) = 5x + 3 − 4−x (f + g )(x) = 5x + 3 +

Universidad Nacional de Colombia

Dom(f + g ) = R − {4} Dom(f − g ) = R − {4}

Matem´ aticas B´ asicas

Funciones

42 / 1

Ejemplo (cont.)

Sean f (x) = 5x + 3 y g (x) =

x . Dom(f ) = R y Dom(g ) = R − {4}. 4−x

x 4−x x (f − g )(x) = 5x + 3 − 4 −  x  x (fg )(x) = (5x + 3) 4−x (f + g )(x) = 5x + 3 +

Universidad Nacional de Colombia

Dom(f + g ) = R − {4} Dom(f − g ) = R − {4}

Matem´ aticas B´ asicas

Funciones

42 / 1

Ejemplo (cont.)

Sean f (x) = 5x + 3 y g (x) =

x . Dom(f ) = R y Dom(g ) = R − {4}. 4−x

x 4−x x (f − g )(x) = 5x + 3 − 4 −  x  x (fg )(x) = (5x + 3) 4−x 5x 2 + 3x = 4−x (f + g )(x) = 5x + 3 +

Universidad Nacional de Colombia

Dom(f + g ) = R − {4} Dom(f − g ) = R − {4}

Matem´ aticas B´ asicas

Funciones

42 / 1

Ejemplo (cont.)

Sean f (x) = 5x + 3 y g (x) =

x . Dom(f ) = R y Dom(g ) = R − {4}. 4−x

x 4−x x (f − g )(x) = 5x + 3 − 4 −  x  x (fg )(x) = (5x + 3) 4−x 5x 2 + 3x = 4−x (f + g )(x) = 5x + 3 +

Universidad Nacional de Colombia

Dom(f + g ) = R − {4} Dom(f − g ) = R − {4}

Dom(fg ) = R − {4}

Matem´ aticas B´ asicas

Funciones

42 / 1

Ejemplo (cont.) Sean f (x) = 5x + 3 y g (x) =

Universidad Nacional de Colombia

x . 4−x

Matem´ aticas B´ asicas

Funciones

43 / 1

Ejemplo (cont.) Sean f (x) = 5x + 3 y g (x) =

Universidad Nacional de Colombia

x . Dom(f ) = R y Dom(g ) = R − {4}. 4−x

Matem´ aticas B´ asicas

Funciones

43 / 1

Ejemplo (cont.) Sean f (x) = 5x + 3 y g (x) =

x . Dom(f ) = R y Dom(g ) = R − {4}. 4−x

  f 5x + 3 (x) = x g 4−x

Universidad Nacional de Colombia

Matem´ aticas B´ asicas

Funciones

43 / 1

Ejemplo (cont.) Sean f (x) = 5x + 3 y g (x) =

x . Dom(f ) = R y Dom(g ) = R − {4}. 4−x

  f 5x + 3 (x) = x g 4−x =

Universidad Nacional de Colombia

(5x + 3)(4 − x) x

Matem´ aticas B´ asicas

Funciones

43 / 1

Ejemplo (cont.) Sean f (x) = 5x + 3 y g (x) =

x . Dom(f ) = R y Dom(g ) = R − {4}. 4−x

  f 5x + 3 (x) = x g 4−x (5x + 3)(4 − x) x 20x − 5x 2 + 12 − 3x = x =

Universidad Nacional de Colombia

Matem´ aticas B´ asicas

Funciones

43 / 1

Ejemplo (cont.) Sean f (x) = 5x + 3 y g (x) =

x . Dom(f ) = R y Dom(g ) = R − {4}. 4−x

  f 5x + 3 (x) = x g 4−x (5x + 3)(4 − x) x 20x − 5x 2 + 12 − 3x = x 2 −5x + 17x + 12 = x =

Universidad Nacional de Colombia

Matem´ aticas B´ asicas

Funciones

43 / 1

Ejemplo (cont.) Sean f (x) = 5x + 3 y g (x) =

x . Dom(f ) = R y Dom(g ) = R − {4}. 4−x

  f 5x + 3 (x) = x g 4−x (5x + 3)(4 − x) x 20x − 5x 2 + 12 − 3x = x 2 −5x + 17x + 12 = x   f Dom = R − {0, 4}. g =

Universidad Nacional de Colombia

Matem´ aticas B´ asicas

Funciones

43 / 1

Ejemplo (cont.) Sean f (x) = 5x + 3 y g (x) =

Universidad Nacional de Colombia

x . 4−x

Matem´ aticas B´ asicas

Funciones

44 / 1

Ejemplo (cont.) Sean f (x) = 5x + 3 y g (x) =

Universidad Nacional de Colombia

x . Dom(f ) = R y Dom(g ) = R − {4}. 4−x

Matem´ aticas B´ asicas

Funciones

44 / 1

Ejemplo (cont.) Sean f (x) = 5x + 3 y g (x) = g  f

Universidad Nacional de Colombia

x . Dom(f ) = R y Dom(g ) = R − {4}. 4−x

(x) =

x 4−x

5x + 3

Matem´ aticas B´ asicas

Funciones

44 / 1

Ejemplo (cont.) Sean f (x) = 5x + 3 y g (x) = g  f

x . Dom(f ) = R y Dom(g ) = R − {4}. 4−x

(x) = =

Universidad Nacional de Colombia

x 4−x

5x + 3 x (5x + 3)(4 − x)

Matem´ aticas B´ asicas

Funciones

44 / 1

Ejemplo (cont.) Sean f (x) = 5x + 3 y g (x) = g  f

x . Dom(f ) = R y Dom(g ) = R − {4}. 4−x

(x) =

x 4−x

5x + 3

x (5x + 3)(4 − x) x = 2 20x − 5x + 12 − 3x =

Universidad Nacional de Colombia

Matem´ aticas B´ asicas

Funciones

44 / 1

Ejemplo (cont.) Sean f (x) = 5x + 3 y g (x) = g  f

x . Dom(f ) = R y Dom(g ) = R − {4}. 4−x

(x) =

x 4−x

5x + 3

x (5x + 3)(4 − x) x = 2 20x − 5x + 12 − 3x x = 2 −5x + 17x + 12 =

Universidad Nacional de Colombia

Matem´ aticas B´ asicas

Funciones

44 / 1

Ejemplo (cont.) Sean f (x) = 5x + 3 y g (x) = g  f

x . Dom(f ) = R y Dom(g ) = R − {4}. 4−x

(x) =

x 4−x

5x + 3

x (5x + 3)(4 − x) x = 2 20x − 5x + 12 − 3x x = 2 −5x + 17x + 12 g  3 Dom = R − {4, − }. f 5 =

Universidad Nacional de Colombia

Matem´ aticas B´ asicas

Funciones

44 / 1

Ejemplo (cont.) Sean f (x) = 5x + 3 y g (x) =

Universidad Nacional de Colombia

x . 4−x

Matem´ aticas B´ asicas

Funciones

45 / 1

Ejemplo (cont.) Sean f (x) = 5x + 3 y g (x) =

Universidad Nacional de Colombia

x . Dom(f ) = R y Dom(g ) = R − {4}. 4−x

Matem´ aticas B´ asicas

Funciones

45 / 1

Ejemplo (cont.) Sean f (x) = 5x + 3 y g (x) = 

g f +g

Universidad Nacional de Colombia

x . Dom(f ) = R y Dom(g ) = R − {4}. 4−x

 (x) =

x 4−x

5x + 3 +

x 4−x

Matem´ aticas B´ asicas

Funciones

45 / 1

Ejemplo (cont.) Sean f (x) = 5x + 3 y g (x) = 

g f +g

x . Dom(f ) = R y Dom(g ) = R − {4}. 4−x

 (x) = =

Universidad Nacional de Colombia

x 4−x

5x + 3 +

x 4−x

x 4−x (4−x)(5x+3)+x 4−x

Matem´ aticas B´ asicas

Funciones

45 / 1

Ejemplo (cont.) Sean f (x) = 5x + 3 y g (x) = 

g f +g

x . Dom(f ) = R y Dom(g ) = R − {4}. 4−x

 (x) = = =

Universidad Nacional de Colombia

x 4−x

5x + 3 +

x 4−x

x 4−x (4−x)(5x+3)+x 4−x

−5x 2

x + 17x + 12 + x

Matem´ aticas B´ asicas

Funciones

45 / 1

Ejemplo (cont.) Sean f (x) = 5x + 3 y g (x) = 

g f +g

x . Dom(f ) = R y Dom(g ) = R − {4}. 4−x

 (x) = =

x 4−x

5x + 3 +

x 4−x

x 4−x (4−x)(5x+3)+x 4−x

x + 17x + 12 + x x = −5x 2 + 18x + 12 =

Universidad Nacional de Colombia

−5x 2

Matem´ aticas B´ asicas

Funciones

45 / 1

Ejemplo (cont.) Sean f (x) = 5x + 3 y g (x) = 

g f +g

x . Dom(f ) = R y Dom(g ) = R − {4}. 4−x

 (x) = =

x 4−x

5x + 3 +

x 4−x

x 4−x (4−x)(5x+3)+x 4−x

x + 17x + 12 + x x = −5x 2 + 18x + 12 √   g 9 ± 141 Dom = R − {4, }. f +g 5 =

Universidad Nacional de Colombia

−5x 2

Matem´ aticas B´ asicas

Funciones

45 / 1

Composici´on de funciones

Si f y g son funciones se define (g ◦ f )(x) = g (f (x)).

Universidad Nacional de Colombia

Matem´ aticas B´ asicas

Funciones

46 / 1

Composici´on de funciones

Si f y g son funciones se define (g ◦ f )(x) = g (f (x)). De esta manera g ◦ f es una funci´ on cuyo dominio es {x ∈ Dom(f ) | f (x) ∈ Dom(g )} .

Universidad Nacional de Colombia

Matem´ aticas B´ asicas

Funciones

46 / 1

Ejemplo 1 Si f (x) = 2x + 3 y g (x) = x 2 − 2x + 1 tenemos:

Universidad Nacional de Colombia

Matem´ aticas B´ asicas

Funciones

47 / 1

Ejemplo 1 Si f (x) = 2x + 3 y g (x) = x 2 − 2x + 1 tenemos: (g ◦ f )(x)

Universidad Nacional de Colombia

Matem´ aticas B´ asicas

Funciones

47 / 1

Ejemplo 1 Si f (x) = 2x + 3 y g (x) = x 2 − 2x + 1 tenemos: (g ◦ f )(x) = g (2x + 3)

Universidad Nacional de Colombia

Matem´ aticas B´ asicas

Funciones

47 / 1

Ejemplo 1 Si f (x) = 2x + 3 y g (x) = x 2 − 2x + 1 tenemos: (g ◦ f )(x) = g (2x + 3) = (2x + 3)2 − 2(2x + 3) + 1

Universidad Nacional de Colombia

Matem´ aticas B´ asicas

Funciones

47 / 1

Ejemplo 1 Si f (x) = 2x + 3 y g (x) = x 2 − 2x + 1 tenemos: (g ◦ f )(x) = g (2x + 3) = (2x + 3)2 − 2(2x + 3) + 1 = 4x 2 + 12x + 9 − 4x − 6 + 1

Universidad Nacional de Colombia

Matem´ aticas B´ asicas

Funciones

47 / 1

Ejemplo 1 Si f (x) = 2x + 3 y g (x) = x 2 − 2x + 1 tenemos: (g ◦ f )(x) = g (2x + 3) = (2x + 3)2 − 2(2x + 3) + 1 = 4x 2 + 12x + 9 − 4x − 6 + 1 = 4x 2 + 8x + 4

Universidad Nacional de Colombia

Matem´ aticas B´ asicas

Funciones

47 / 1

Ejemplo 1 Si f (x) = 2x + 3 y g (x) = x 2 − 2x + 1 tenemos: (g ◦ f )(x) = g (2x + 3) = (2x + 3)2 − 2(2x + 3) + 1 = 4x 2 + 12x + 9 − 4x − 6 + 1 = 4x 2 + 8x + 4 En este caso Dom(g ◦ f ) = R.

Universidad Nacional de Colombia

Matem´ aticas B´ asicas

Funciones

47 / 1

Ejemplo 1 Si f (x) = 2x + 3 y g (x) = x 2 − 2x + 1 tenemos: (g ◦ f )(x) = g (2x + 3) = (2x + 3)2 − 2(2x + 3) + 1 = 4x 2 + 12x + 9 − 4x − 6 + 1 = 4x 2 + 8x + 4 En este caso Dom(g ◦ f ) = R. (f ◦ g )(x)

Universidad Nacional de Colombia

Matem´ aticas B´ asicas

Funciones

47 / 1

Ejemplo 1 Si f (x) = 2x + 3 y g (x) = x 2 − 2x + 1 tenemos: (g ◦ f )(x) = g (2x + 3) = (2x + 3)2 − 2(2x + 3) + 1 = 4x 2 + 12x + 9 − 4x − 6 + 1 = 4x 2 + 8x + 4 En este caso Dom(g ◦ f ) = R. (f ◦ g )(x) = f (g (x))

Universidad Nacional de Colombia

Matem´ aticas B´ asicas

Funciones

47 / 1

Ejemplo 1 Si f (x) = 2x + 3 y g (x) = x 2 − 2x + 1 tenemos: (g ◦ f )(x) = g (2x + 3) = (2x + 3)2 − 2(2x + 3) + 1 = 4x 2 + 12x + 9 − 4x − 6 + 1 = 4x 2 + 8x + 4 En este caso Dom(g ◦ f ) = R. (f ◦ g )(x) = f (g (x)) = f (x 2 − 2x + 1)

Universidad Nacional de Colombia

Matem´ aticas B´ asicas

Funciones

47 / 1

Ejemplo 1 Si f (x) = 2x + 3 y g (x) = x 2 − 2x + 1 tenemos: (g ◦ f )(x) = g (2x + 3) = (2x + 3)2 − 2(2x + 3) + 1 = 4x 2 + 12x + 9 − 4x − 6 + 1 = 4x 2 + 8x + 4 En este caso Dom(g ◦ f ) = R. (f ◦ g )(x) = f (g (x)) = f (x 2 − 2x + 1) = 2(x 2 − 2x + 1) + 3

Universidad Nacional de Colombia

Matem´ aticas B´ asicas

Funciones

47 / 1

Ejemplo 1 Si f (x) = 2x + 3 y g (x) = x 2 − 2x + 1 tenemos: (g ◦ f )(x) = g (2x + 3) = (2x + 3)2 − 2(2x + 3) + 1 = 4x 2 + 12x + 9 − 4x − 6 + 1 = 4x 2 + 8x + 4 En este caso Dom(g ◦ f ) = R. (f ◦ g )(x) = f (g (x)) = f (x 2 − 2x + 1) = 2(x 2 − 2x + 1) + 3 = 2x 2 − 4x + 5

Universidad Nacional de Colombia

Matem´ aticas B´ asicas

Funciones

47 / 1

Ejemplo 1 Si f (x) = 2x + 3 y g (x) = x 2 − 2x + 1 tenemos: (g ◦ f )(x) = g (2x + 3) = (2x + 3)2 − 2(2x + 3) + 1 = 4x 2 + 12x + 9 − 4x − 6 + 1 = 4x 2 + 8x + 4 En este caso Dom(g ◦ f ) = R. (f ◦ g )(x) = f (g (x)) = f (x 2 − 2x + 1) = 2(x 2 − 2x + 1) + 3 = 2x 2 − 4x + 5 De nuevo Dom(f ◦ g ) = R.

Universidad Nacional de Colombia

Matem´ aticas B´ asicas

Funciones

47 / 1

Ejemplo 1 Si f (x) = 2x + 3 y g (x) = x 2 − 2x + 1 tenemos: (g ◦ f )(x) = g (2x + 3) = (2x + 3)2 − 2(2x + 3) + 1 = 4x 2 + 12x + 9 − 4x − 6 + 1 = 4x 2 + 8x + 4 En este caso Dom(g ◦ f ) = R. (f ◦ g )(x) = f (g (x)) = f (x 2 − 2x + 1) = 2(x 2 − 2x + 1) + 3 = 2x 2 − 4x + 5 De nuevo Dom(f ◦ g ) = R. N´ otese que en general (f ◦ g ) 6= (g ◦ f ). Universidad Nacional de Colombia

Matem´ aticas B´ asicas

Funciones

47 / 1

Ejemplo 2 Si f (x) = 2x + 3 y g (x) =

Universidad Nacional de Colombia

√ x tenemos:

Matem´ aticas B´ asicas

Funciones

48 / 1

Ejemplo 2 Si f (x) = 2x + 3 y g (x) =

√ x tenemos:

(g ◦ f )(x)

Universidad Nacional de Colombia

Matem´ aticas B´ asicas

Funciones

48 / 1

Ejemplo 2 Si f (x) = 2x + 3 y g (x) =

√ x tenemos:

(g ◦ f )(x) = g (2x + 3)

Universidad Nacional de Colombia

Matem´ aticas B´ asicas

Funciones

48 / 1

Ejemplo 2 Si f (x) = 2x + 3 y g (x) =

√ x tenemos:

(g ◦ f )(x) = g (2x + 3) √ = 2x + 3

Universidad Nacional de Colombia

Matem´ aticas B´ asicas

Funciones

48 / 1

Ejemplo 2 Si f (x) = 2x + 3 y g (x) =

√ x tenemos:

(g ◦ f )(x) = g (2x + 3) √ = 2x + 3 Dom(g ◦ f ) = {x ∈ R | 2x + 3 ≥ 0}

Universidad Nacional de Colombia

Matem´ aticas B´ asicas

Funciones

48 / 1

Ejemplo 2 Si f (x) = 2x + 3 y g (x) =

√ x tenemos:

(g ◦ f )(x) = g (2x + 3) √ = 2x + 3 Dom(g ◦ f ) = {x ∈ R | 2x + 3 ≥ 0} = [− 23 , ∞).

Universidad Nacional de Colombia

Matem´ aticas B´ asicas

Funciones

48 / 1

Ejemplo 2 Si f (x) = 2x + 3 y g (x) =

√ x tenemos:

(g ◦ f )(x) = g (2x + 3) √ = 2x + 3 Dom(g ◦ f ) = {x ∈ R | 2x + 3 ≥ 0} = [− 23 , ∞). (f ◦ g )(x)

Universidad Nacional de Colombia

Matem´ aticas B´ asicas

Funciones

48 / 1

Ejemplo 2 Si f (x) = 2x + 3 y g (x) =

√ x tenemos:

(g ◦ f )(x) = g (2x + 3) √ = 2x + 3 Dom(g ◦ f ) = {x ∈ R | 2x + 3 ≥ 0} = [− 23 , ∞). (f ◦ g )(x) = f (g (x))

Universidad Nacional de Colombia

Matem´ aticas B´ asicas

Funciones

48 / 1

Ejemplo 2 Si f (x) = 2x + 3 y g (x) =

√ x tenemos:

(g ◦ f )(x) = g (2x + 3) √ = 2x + 3 Dom(g ◦ f ) = {x ∈ R | 2x + 3 ≥ 0} = [− 23 , ∞). √ (f ◦ g )(x) = f (g (x)) = f ( x)

Universidad Nacional de Colombia

Matem´ aticas B´ asicas

Funciones

48 / 1

Ejemplo 2 Si f (x) = 2x + 3 y g (x) =

√ x tenemos:

(g ◦ f )(x) = g (2x + 3) √ = 2x + 3 Dom(g ◦ f ) = {x ∈ R | 2x + 3 ≥ 0} = [− 23 , ∞). √ (f ◦ g )(x) = f (g (x)) = f ( x) √ =2 x +3

Universidad Nacional de Colombia

Matem´ aticas B´ asicas

Funciones

48 / 1

Ejemplo 2 Si f (x) = 2x + 3 y g (x) =

√ x tenemos:

(g ◦ f )(x) = g (2x + 3) √ = 2x + 3 Dom(g ◦ f ) = {x ∈ R | 2x + 3 ≥ 0} = [− 23 , ∞). √ (f ◦ g )(x) = f (g (x)) = f ( x) √ =2 x +3 Dom(f ◦ g ) = {x ∈ [0, ∞) |

Universidad Nacional de Colombia

√

x ∈ R}

Matem´ aticas B´ asicas

Funciones

48 / 1

Ejemplo 2 Si f (x) = 2x + 3 y g (x) =

√ x tenemos:

(g ◦ f )(x) = g (2x + 3) √ = 2x + 3 Dom(g ◦ f ) = {x ∈ R | 2x + 3 ≥ 0} = [− 23 , ∞). √ (f ◦ g )(x) = f (g (x)) = f ( x) √ =2 x +3 Dom(f ◦ g ) = {x ∈ [0, ∞) |

Universidad Nacional de Colombia

√

x ∈ R} = [0, ∞).

Matem´ aticas B´ asicas

Funciones

48 / 1

Composici´on de funciones

Ejercicio Si f (x) =

1 1 − x2

y

g (x) =

√

1 − x,

defina (f ◦ g ) y encuentre su dominio. ¡CUIDADO!

Universidad Nacional de Colombia

Matem´ aticas B´ asicas

Funciones

49 / 1