MATEMÁTICAS BÁSICAS UNIVERSIDAD NACIONAL DE COLOMBIA - SEDE MEDELLÍN EXPONENTES Y RADICALES POTENCIACIÓN Y RADICACIÓN (Tomado de: Stewart, James. "Precálculo". Quinta Edición. Sección 1.2.) Si a; x 2 R; una expresión de la forma ax se llama expresión exponencial, el número a se llama base, y el número x se conoce como exponente. Aunque x puede ser cualquier número real, en este capítulo trabajaremos solamente exponentes enteros y racionales. Exponentes enteros a) Exponentes enteros positivos ó naturales Si a 2 R; el producto a:a:::a, se denota por an , donde n 2 N indica el número de veces que se repite el factor a; y se llama la n-ésima potencia de a: an = a:a:::a | {z } n factores.

Ejemplos:

1 2

4

=

1 1 1 1 1 = 2 2 2 2 16

( 5)6 = ( 5) ( 5) ( 5) ( 5) ( 5) ( 5) = 15:625 56 =

(5 5 5 5 5 5) =

15:625

05 = 0:0:0:0:0 = 0: b) Exponente 0 Si a 6= 0 es un número real, de…nimos a0 = 1: Nota: La expresión 00 no tiene sentido, ya que de…nimos a0 ; para a 6= 0: Ejemplos

3 2

0

=1

( 5)0 = 1 c) Exponentes enteros negativos Si a 2 R, a 6= 0 y n es un entero positivo, es decir, n > 0; entonces 1 De…nimos a n = n . a Ejemplos

1

n < 0; o sea,

n es un entero negativo.

2

3

1

( 5) 1

x

1 1 = 2 3 9

=

=

1 1

( 5)

=

1 = 5

1 5

1 1 = : x1 x

=

Propiedades de los exponentes enteros: También conocidas como "leyes de los exponentes" Si a; b 2 R y m; n 2 Z: m+n 1. am an = am+n ; ya que am an = a:a:a:a:::a : | {z } = a | {z } : a:a:a:a:::a m | factores {z n factores}

m + n factores

Ejemplo

53 56 = 53+6 = 59 am = am an

2.

n

; a 6= 0; ya que

am 1 = am : n = am :a an a

n

= am

n

:

Ejemplo 47 = 47 42

2

= 45 :

n

m m m m:n 3. (am ) = amn ; ya que (am )n = a | :a {z::::a } = a:a:a:::::a | {z } : a:a:a::::::a | {z } :::: |a:a:a::::::a {z } = a : n factores |m factores m factores m factores} {z

m:n factores

Ejemplo 76

3

= 76 3 = 718 n

4. (ab) = an bn Ejemplo 4

(5 8) = 54 84 a b

5.

n

=

an ; con b 6= 0 bn

Ejemplo 9 4

2

=

6.

92 42

a b

n

=

b a

n

; con a y b no nulos.

Ejemplo 5 3

2

=

3 2 5

2

7.

a b

n m

=

bm ; con a y b no nulos an

Ejemplo 4 7

3 5

=

75 43

Ejercicios: 1. Escribir las siguientes expresiones con exponentes enteros positivos: a) x3 x6 = x3+6 = x9 b) z c)

3 5

3+5

z =z

54 = 54 58

d) t3

2

8

=5

= z 2 ; z 6= 0 4

=

1 54

= t 3 2 = t6

3

e) (5y) = 53 y 3 = 125y 3 f)

2 x

4

=

24 16 = 4 ; x 6= 0 x4 x

2. Simpli…car las siguientes expresiones, expresando la respuesta con exponentes positivos: a) 4a4 b3 b)

3xy 2 2xz 2

2

5a2 b5 2

x2 z 2 3y 2

:

Solución a) 4a4 b3

2

5a2 b5

= =

42 a4

2

b3

2

5a2 b5 = 16a8 b6

5a2 b5

(16)(5)a8 a2 b6 b5 = 80a10 b11 :

b) 3xy 2 2xz 2

2

2

x2 z 2 3y 2

= = =

3. Simpli…car la expresión

xy 2 z x2 y 3 z

3 4

32 x2 y 2 x2 z 2 32 x2 x2 y 4 z 2 = 22 x2 z 4 3y 2 4 3x2 y 2 z 4 2 4 4 2 2 1 3 x y z 3 3 = x4 x 2 y 4 y 2 z 2 z 2 2 4 4 3x y z 4 3 2 2 2 3x2 y 2 x y z = : 4 4z 2

4

3

y escribir el resultado con exponentes positivos.

3

Solución xy 2 z x2 y 3 z

3 4

3

=

x2 y 3 z xy 2 z

4

3

= xy 5 z

3

13

= x3 y 15 z

3

=

x3 y 15 : z3

4. ¿Cuándo decimos que un número está escrito en notación cientí…ca? Solución Un número x está escrito en notación cientí…ca si está expresado en la forma x=a donde 1

10n

jaj < 10:

Ejemplos El número 325:32 escrito en notación cientí…ca es 3:2532 0:000354 = 3:54 2 = 25

8

10

10 2

4

102 :

:

:

Tarea: ¿Cómo se suman, restan, multiplican y dividen números escritos usando notación cientí…ca? Exponentes racionales p

Vamos a considerar ahora las expresiones de la forma a q , con a 2 R y exponenciales en las cuales el exponente es un número racional.

p 2 Q; es decir, expresiones q

1

1. Expresiones exponenciales de la forma a n ; n 2 N: p 1 1 , con n 2 N; la expresión a n se escribe n a y se llama raíz n p p n-ésima principal de a: En particular, si n = 2; la expresión 2 a; se escribe a y se llama la raíz cuadrada principal de a:

Cuando el número racional es de la forma

De…nición:

p 2

Como a = b2 entonces a

a = b signi…ca que b2 = a y b 0: p 0; es decir, la expresión a tiene sentido sólo cuando a

De…nición: Si n 2 N;

p n

a = b signi…ca que bn = a:

Si n es par, bn 0; entonces a 0 y además b 0. Si n es impar, bn 0 si b 0; y en ese caso a 0 y bn En resumen

p n

0:

0 si b

0 y en este caso a

0:

a está de…nida para todo a 2 R; si n es impar; y sólo está de…nida para a

Ejemplo p a) 4 625 = 5 ya que 54 = 625 4

0 si n es par.

b)

p 3

27 =

c)

p 4

81 no está de…nida puesto que 4 es par, y

3 ya que ( 3)3 =

27 81 < 0:

p Importante: Si a 2 R; a2 = jaj : Ejemplo p p 32 = 3; pero ( 3)2 6=

3, porque

3 < 0;de hecho

Propiedades

p

( 3)2 = 3 = j 3j :

Sean a y b números reales y n 2 N, con a y b positivos si n es par p p p 1. n ab = n a n b Ejemplo p 3

p 3

27 64 =

p 27 3 64 = ( 3)(4) =

12

r p n a a 2. n = p n b b Ejemplo r p 4 4 2 =p = 9 3 9 p p p 3. m n a = mn a

Ejemplo p p p 3 729 = 6 729 = 3 p 4. n an = jaj si n es par Ejemplo p 4

5.

34 = 3 y p n

q 4

4

( 5) = j 5j = 5

an = a si n es impar

Ejemplo q 7 7 ( 2) =

2

p p p 6. a n b + c n b = (a + c) n b Ejemplo p p p 345+645=945 Ejercicio: Simpli…car las siguientes expresiones:

5

p

a2 b6 p b) 3 x3 y 9 p p c) 4 48 4 3: a)

Solución q p p 2 a2 b6 = jaj (b3 ) = jaj b3 q p p 3 3 3 b) 3 x3 y 9 = x3 (y 3 ) = xy 3 p p p p p p p p c) 4 48 4 3 = 4 16 3 4 3 = 4 16 4 3 4 3 = 2 4 3 a)

p

a2 b6 =

p 4

3=

p 4

3:

m

2. Expresiones exponenciales de la forma a n ; m y n 2 N y n 6= 0 Recordemos que si la expresión de…nida.

p n

1

a está de…nida, puede escribirse como a n ; :es decir,

p n

1

a = a n ; si

p n

a está

Aplicando leyes de exponentes tenemos que: p n En general, si

a

n

1

= an

n

n

= a n = a:

m 2 Q, y n > 0, tenemos: n m p 1 p m 1 m m = na a n = an ó, en forma equivalente, a n = (am ) n = n am :

con a > 0; si n es par. Como m y n son números enteros y n > 0; y las leyes para exponentes enteros, o de exponentes de la forma 1 m también se cumplen para expresiones de la forma a n , siempre y cuando estén de…nidas. n Ejemplo Evaluar las siguientes expresiones:

a)

1 2

4 9

2 3

27 8

b)

:

Solución

a)

b)

4 9

p 9 3 = = 1 =p = 2 4 42 p 2 2 2 2 3 27 27 3 ( 27) 3 ( 3) 9 = = = = : p 2 2 2 3 8 2 4 (8) 3 8 1 2

9 4

1 2

1

92

Ejercicio: Simpli…car las siguientes expresiones, expresando la respuesta con exponentes positivos: 6

a)

b)

2x4 y y 10 z (y

3

4 5

5

8y 2

2 3

1 5 1

2z3) 3

:

Solución

a)

b)

2x4 y y 10 z (y

3

4 5

5

8y 2

1 5 1

2z3) 3

=

y

10 5

y

2 3

= 8x12 y

z 2 3

5 5 3

z3

=

y2 z y

2 3

p 3

12 5

2

1

z

2

8

=

4

4

y 3 = 32x12 y 3 8

y2 y 3 y3 = 2: zz z

7

12 5

= 32x12 y

16 15

=

32x12 16

y 15