Matemáticas financieras

1.1. Razones y proporciones

MATEMÁTICAS FINANCIERAS PROFESOR: MARCEL RUIZ MARTÍNEZ. [email protected]; [email protected]; [email protected]; [email protected]; Contenido del curso: Unidad I. Fundamentos de matemáticas. Unidad II. Interés y descuento simple. Unidad III. Interés compuesto. Unidad IV. Anualidades. Unidad V. Amortización de créditos. Unidad VI. Fondos de amortización.

Periodos de exámenes: Examen

Página del curso:

http://marcelrzm.comxa.com/BienvenidaUAG.htm Ponderación del curso: Exámenes parciales Teóricos Acumulativos Hábito de Estudio diario Portafolio de evidencias Prácticas clase y trabajo Experiencias de Aprendizaje

50% 5% 5% 20% 20%

Tareas y talleres Requisitos mínimos para recibir tareas: Las tareas deben estar hechas de forma ordenada y limpia, puede entregarse de manera impresa (siempre separada de la libreta) o por correo electrónico SIEMPRE CON COPIA A LOS 4 CORREOS: [email protected]; [email protected], [email protected],mx, [email protected]). Deben cumplir con los requisitos específicos para cada tipo de producto o actividad (Reporte, ensayo, resumen o práctica de ejercicios). Consulta los requisitos en la página de internet del curso; el acceso directo es:

http://marcelrzm.comxa.com/Rubricas/Rubricas.htm

LA-2011

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Mi 15/feb/12

Mi 15/feb/12

2

Mi 14/mar/12

Mi 14/mar/12

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Mi 18/abr/12

Mi 18/abr/12

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Mi 16/may/12

Mi 16/may/12

LA-2011

LA-2010

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Vi 10/feb/12

Vi 10/feb/12

2

Vi 9/mar/12

Vi 9/mar/12

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Vi 30/mar/12

Vi 30/mar/12

4

Vi 11/may/12

Vi 11/may/12

Experiencias de aprendizaje. Experiencia de aprendizaje

Asistencia. Según las políticas de la universidad. Bibliografía y fuentes de información (todos estos libros están en la biblioteca de la UAG Tabasco): José Luis Villalobos (2004) Matemáticas Financieras. Prentice Hall. (PUEDE COMPRARSE EN LÍNEA) Héctor Manuel Vidaurri (2004). Matemáticas Financieras. ECAFSA. Abraham Hernández Hernández (2004). Matemáticas Financieras, teoría y práctica . ECAFSA. Díaz Mata Alfredo (2004) Matemáticas Financieras Mc Graw Hill. 2004Estadística para administradores. Levin, Richard I. Prentice Hall.

Elaboró: MC. Marcel Ruiz Martínez

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Matemáticas financieras

UNIDAD I. FUNDAMENTOS DE MATEMÁTICAS 1.1. Razones y proporciones Razones: Una razón es la división de un número sobre otro; 1 normalmente se indica con números enteros; por ejemplo: 2 Considerando este ejemplo: El número indicado arriba es el numerador (1), y el que divide es el denominador (2). Ejemplo 1: En un alimento se encuentran 30 gramos de azúcar por cada 3 gramos de grasa; indicarlo en forma de una razón: Solución: 30 gramos de azúcar = 30 3 gramos de grasa 3 Ejemplo 2. Una empresa mantiene en efectivo en su cuenta bancaria $400,000; y tiene en deudas con proveedores en el corto plazo un monto de $850,000; el contador compara mediante una razón la cantidad de dinero en efectivo sobre las deudas que requieren pago en el corto plazo para determinar la liquidez de la empresa. ¿Cuál es el resultado? Solución: $400,000 = 0.47 $ en banco $850,000 $ en deudas en el corto plazo Esta razón simplificada por cuestiones didácticas, es usada como un indicador por algunas instituciones financieras para determinar si conviene darle un préstamo a una empresa; no es el único criterio determinante por que se analizan varios factores en conjunto, pero si es una razón importante que se denomina Razón de liquidez.

1.1. Razones y proporciones

Proporción. La variación proporcional describe relaciones entre dos cantidades o variables; se puede clasificar en directa, inversa o mixta, en este curso solo se analizarán las dos primeras. Variación proporcional directa. Una variable “x” (por ejemplo el incremento en la deuda de una persona) aumenta de forma directamente proporcional al tiempo “y” que transcurre sin pagar dicha deuda. Esta relación se expresa mediante el símbolo α de la siguiente manera: x∝ y Para que dicha expresión sirva en operaciones matemáticas, debemos sustituir el símbolo de proporcionalidad α por una igualdad; al hacerlo debemos incluir lo que se conoce como una constante de proporcionalidad “k” quedando de la siguiente forma. x= ky (fórmula para una relación directamente proporcional) Ejemplo 4. Se conoce que la variable financiera “x” aumenta de forma directamente proporcional al valor de la variable “y”; se sabe que en un mes, la variable x = 10 y la variable y=30; determine lo siguiente: a) El valor de la constante de proporcionalidad x = ky. b) El valor de “x” si el valor de “y” cambia a y=40.

Solución: a) El valor de la constante de proporcionalidad x = ky.

x = ky

Se plantea la ecuación de proporcionalidad

10 = k ( 30 )

Se sustituyen los datos x = 10; y=30.

k ( 30 ) = 10 Acomodar la ecuación. k=

Ejemplo 3. La razón a la cual un auto al viajar consume gasolina es de 10 kilómetros por cada litro; expresarlo como una razón: Solución: 10km = 10km 1L L Elaboró: MC. Marcel Ruiz Martínez

10 30

k = 13

Despejar (si 30 multiplica, pasa dividiendo)

Simplificar (este es el resultado del inciso a)

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Matemáticas financieras

1.1. Razones y proporciones

Solución: b) El valor de “x” si el valor de “y” cambia a y=40. Los datos para este inciso son: x = ?, y = 40, k = 1/3 (NOTA IMPORTANTE: las variables x, y pueden cambiar en el problema pero la CONSTANTE de proporcionalidad, NO CAMBIA, de ahí su nombre “Constante”).

2 = k(7-4) se sustituyen los datos. 2 = k(3) se realiza la resta indicada k(3)=2 acomodar la ecuación. k=2/3 despejar (RESPUESTA) Solución: c) Calcular el valor de x cuando w = 3 y z = 9. Ecuación que relaciona las variables z = k ( x − w)

x = ky

9=

Se plantea la ecuación de proporcionalidad

1 x =   ( 40 ) 3  1  40  x =     3  1  40 x= 3

Se sustituyen los datos k = 1/3; y=40. Acomodar la ecuación para la multiplicación. Multiplicar (y simplificar cuando se requiera) El resultado es x = 40/3

Ejemplo 5. El valor de “z” varía directamente proporcional a la resta de variables “x – w”; en un momento dado los valores de las variables son: x = 7, w = 4, z = 2. Determine: a) La expresión que relaciona las variables. b) El valor de la constante de proporcionalidad. c) Calcular el valor de x cuando w = 3 y z = 9. Puedes ver la solución de este problema en YOU TUBE siguiendo este link: http://www.youtube.com/watch?v=Wr2Leut7vAo

( x − 3) 9 = 23 x − 23 ( 3) 2 2 3 x − 3 ( 3) = 9 2 2 3 3 x − 3 (1) = 9 2 3

2 3

x − 63 = 9

2 3

x−2=9

2 3

x =9+2

2 3

x = 11

Sustituir los datos z=9, k=2/3, w=3. Simplificar y despejar x.

11*3 2 33 x= 2 x=

Resultado x = 33/2. Otros ejemplos similares: http://www.youtube.com/watch?v=Yyczv7U2a04 http://www.youtube.com/watch?v=QpKiWVYayng

Solución: a) La expresión que relaciona las variables. Se indica que “z” varia directamente proporcional a “x-w”: z = k(x-w) (RESPUESTA) Solución: b) El valor de la constante de proporcionalidad. En este caso se requieren los datos x = 7, w = 4, z = 2. z = k(x-w) se escribe la ecuación que relaciona las variables. Elaboró: MC. Marcel Ruiz Martínez

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Matemáticas financieras

Ejemplo 6. Cinco teléfonos celulares cuestan $4000 ¿Cuánto costarán 8 celulares iguales a los anteriores? Solución: Para este tipo de problemas debemos comprender que el costo es directamente proporcional al número de celulares comprados; a ambas cantidades debemos identificarlas con una variable; podemos usar “c” para el costo y “t” para los teléfonos celulares comprados. Expresado en forma de ecuación queda: c = kt El texto indica que t = 5 celulares costaron c = $4000; por lo tanto al sustituir los datos tenemos: c = kt $4000 = k(5) k = 4000/5 = 800. Nótese que es el costo de cada celular. Ahora ¿Cuál será la respuesta? (El alumno debe contestar este ejemplo). Variación proporcional inversa. Se presenta cuando al aumentar una cantidad o variable, hay otra variable que disminuye su valor. Si al aumentar el valor de “x” el valor de “y” disminuye de forma proporcional, matemáticamente la expresión se indica: 1 x∝ y Nuevamente para expresarlo como una igualdad se requiere incluir una constante de proporcionalidad. 1 x=k y O también se puede expresar: k x= y

1.1. Razones y proporciones

Cualquiera de las tres expresiones indicadas anteriormente puede ser usada en la solución de problemas de proporcionalidad inversa. Ejemplo 7. Una variable “x” disminuye al aumentar la variable “y” de forma proporcional, cuando el valor de x = 20 el valor de y = 60. Determine lo siguiente: a) Expresión que relaciona ambas variables. b) Valor de la constante de proporcionalidad c) Determine cuál será el nuevo valor de y cuando x = 10 Solución: a) Expresión que relaciona ambas variables Dado que la relación es inversamente proporcional: xy = k RESPUESTA INCISO A b) Valor de la constante de proporcionalidad xy = k Se escribe de nuevo la ecuación que relaciona x, y 20 * 60 = k Se sustituyen los datos x = 20, y = 60. Se multiplica 1200 = k RESPUESTA INCISO B. k = 1200 c) Determine cuál será el nuevo valor de y cuando x = 10 xy = k Se escribe de nuevo la ecuación que relaciona x, y y *10 = 1200 Se sustituyen los datos y =?, x = 10, k = 1200. y = 1200 Si “10” multiplica a la “y” pasa dividiendo 10 y = 120 RESPUESTA INCISO C.

Algunos autores prefieren multiplicar ambas variables, quedando:

xy = k

Elaboró: MC. Marcel Ruiz Martínez

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Matemáticas financieras

Ejemplo 8. Si 3 hombres necesitan 24 días para hacer un trabajo, ¿cuántos días emplearán 18 hombres para realizar el mismo trabajo? Solución: Debemos reconocer que la cantidad de hombres es inversamente proporcional al tiempo que tardan en realizar un trabajo. Entre más hombres haya trabajando, menor será el tiempo en el cual se tardan en terminarlo. Número de hombres = n; tiempo tardado en días = d.

dn = k k = dn k = 3men * 24days k = 72men * days dn = k k d= n 72men * days d= = 4days 18men RESPUESTA: 4 DIAS.

1.1. Razones y proporciones

ACTIVIDAD 1.1. Realice los proporcionalidad directa e inversa.

siguientes

ejercicios

de

1.- Si y es directamente proporcional a x; determine el valor de y cuando x = 20; si se sabe que cuando x = 16, el valor de y = 90. 2.- Si “u” es directamente proporcional a “x”; determine el valor de “u” cuando x = 15; si se sabe que cuando x = 10, el valor de u = 130. 3.- Si y es INVERSAMENTE proporcional a x; determine el valor de y cuando x = 20; si se sabe que cuando x = 16, el valor de y = 90. 4.- Si “u” es INVERSAMENTE proporcional a “x”; determine el valor de “u” cuando x = 15; si se sabe que cuando x = 10, el valor de u = 130. 5.- El artículo 87 de la ley federal del trabajo establece que los trabajadores que laboraron el año completo tienen derecho a un aguinaldo anual equivalente a 15 días de salario. ¿Cuánto recibirá un trabajador que laboró 8 meses y 20 días? 6.- Dos llaves de agua idénticas llenan un tanque de agua en 5 horas ¿Cuánto tiempo se tardarán en llenar el mismo tanque 3 llaves? 7.- Por un corte de casimir de 3 metros de longitud una persona pago $2000 cuantos pagará por 9.6 metros de longitud. 8.- Una persona pinta ¾ de su casa en 5 horas, ¿Cuánto tiempo requiere para pintar toda su casa? 9.- Mil acciones de Zirtrec cuestan 430,000 USD; cuanto tendrá que invertir una persona para comprar 1200 acciones. 10.- Una fotografía muestra a un niño parado al lado de un árbol, si en la foto el niño mide 1.5cm y el árbol 8.12cm; cual será la altura real del árbol si el niño mide en realidad 1m.

¿Quieres saber más del tema? ¿Más ejercicios? Busca este tema en el libro en línea: Héctor Manuel Vidaurri Aguirre (2008) Matematicas financieras. CENAGE Learning. 4ta Edición. Liga directa: O puedes buscarlo en google books: http://books.google.com.mx/books http://books.google.com.mx/books?id=fL_d28kW6VQC&lpg=PP6&dq=Matematicas%20financieras%2F%20Financial%20Mathematics%20Escrito%20por%20H%C3%A9ctor%20Manuel%20Vidaurri%20Aguirre&pg=PP6#v=onepage&q=&f=false

Elaboró: MC. Marcel Ruiz Martínez

Elaboren una PRÁCTICA DE EJERCICIOS con los ejercicios anteriores de acuerdo a las rúbricas indicadas en la siguiente liga: http://marcelrzm.comxa.com/Rubricas/Rubricas.htm Puede enviar el documento final por correo electrónico a las siguientes direcciones: [email protected]; [email protected]; [email protected] y [email protected] 5