Razones y Proporciones a Razon: Una raz´ on es el cuociente entre dos cantidades. Se escribe o a:b y se lee:“a es a b” en b donde a se denomina antecedente y b se denomina consecuente. x y Proporci´ on: Una proporci´ on es la igualdad de dos razones. Se escribe = Y se lee x es a a a b como y es a b; x y b se denominan extremos; a e y se denominan medios. Teorema Fundamental: En toda proporci´on, el producto de los extremos es igual al producto de los medios. (x : a = y : b) Observaci´ on: Si x : a = y : b , entonces existe una constante k, denominada constante de proporcionalidad, tal que: (x = ka, y = kb; k 6= 0) Proporcionalidad directa: Dos variables, x e y, son directamente proporcionales si el cuociente entre sus valores correspondientes es constante. x1 x2 x3 xn = = = ··· = =k y1 y2 y3 yn Observaci´ on: En una proporci´on directa, si una cantidad aumenta (disminuye) n veces, la otra aumenta (disminuye) el mismo n´ umero de veces. El gr´afico de una proporcionalidad directa corresponde a una l´ınea recta que pasa por el origen. Definici´ on: Dos variables, x e y, son inversamente proporcionales si el producto entre sus valores correspondientes es constante: (x1 × y1 = x2 × y2 = x3 × y3 = · · · = xn × yn = k) Observacion: En una proporcionalidad inversa, si una cantidad aumenta (o disminuye) n veces, la otra disminuye (o aumenta) el mismo n´ umero de veces. El gr´afico de una proporcionalidad inversa corresponde a una hip´erbola equil´atera.

Ejercicios 1. Dada la siguiente tabla:

A B

10 15 20 3 x 1, 5

¿Cu´al(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)?

a) S´olo I b) S´olo I y II c) S´olo I y III d) S´olo II y III e) I, II y III

I) A y B son directamente proporcionales. II) El valor de x es 2. III) La constante de proporcionalidad inversa es 30.

2. 2 electricistas hacen un trabajo en 6 d´ıas, trabajando 8 horas diarias. ¿Cu´al(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)? a) S´olo I b) S´olo I y II c) S´olo I y III d) S´olo II y III

I) 4 electricistas har´an el trabajo en 3 d´ıas, trabajando 8 horas diarias II) Los electricistas y las horas son directamente proporcionales III) La constante de proporcionalidad es 3.

e) I, II y III 3. En una quinta hay naranjos, manzanos y duraznos que suman en total 300 ´arboles. Si hay 120 naranjos y la raz´on entre los duraznos y manzanos es 7 : 3, entonces ¿cu´antos duraznos hay en la quinta? a) 54 b) 77 c) 84 d) 126 e) 210 4. y es inversamente proporcional al cuadrado de x, cuando y = 16, x = 1. Si x = 8, entonces y = 1 a) 2 b)

1 4

c) 2 d) 4 e) 9 1 5. Se sabe que a es directamente proporcional al n´ umero y cuando a toma el valor 15, el valor b de b es 4. Si a toma el valor 6, entonces el valor de b es: a) 10 b)

8 5

c)

5 8

d)

1 10

e)

15 4

6. En un mapa (a escala) se tiene que 2 cm en ´el corresponden a 25 km en la realidad. Si la distancia en el mapa entre dos ciudades es 5, 4 cm, entonces la distancia real es: a) 50 km. b) 65 km. c) 67, 5 km. d) 62, 5 km. e) Ninguno de los valores anteriores. 7. Dos variables N y M son inversamente proporcionales entre s´ı. Para mantener el valor de la constante de proporcionalidad, si M aumenta al doble, entonces N a) Aumenta el doble. b) Disminuye a la mitad c) Aumenta en dos unidades. d) Disminuye en dos unidades. e) Se mantiene constante. 1 8. En la tabla adjunta z es directamente proporcional a , seg´ un los datos registrados, el valor y a de , es: c a) 256 b) 16 c)

1 16

z 8 a 1 1/4

y 2 4 16 b

d) 64 e)

1 64

9. Los cajones M y S pesan juntos K kilogramos. Si la raz´on entre los pesos de M y S es 3:4, entonces la razon S:K es a) 4:7 b) 4:3 c) 7:4 d) 3:7 e) 3:4

10. Una nutricionista mezcla tres tipos de jugos de fruta de modo que sus vol´ umenes est´an en la raz´on 1:2:3. Si el volumen del segundo tipo es de 4 litros, ¿cu´antos litros tiene la mezcla total? a) 6 litros. b) 10 litros. c) 12 litros. d) 14 litros. e) 16 litros. 11. A un evento asistieron 56 personas. Si hab´ıa 4 mujeres por cada 3 hombres, ¿cu´antas mujeres asistieron al evento? a) 8 b) 21 c) 24 d) 28 e) 32 12. Si h hombres pueden fabricar 50 art´ıculos en un d´ıa, ¿cu´antos hombres se necesitan para fabricar x art´ıculos en un d´ıa? hx a) 50 50x h x c) 50h

b)

d)

h 50x

e) Ninguno de los valores anteriores. 13. Las variables x, w, u, v son tales que: x es directamente proporcional a u, con constante de proporcionalidad 2, y w es inversamente proporcional a v, con constante de proporcionalidad 8. ¿Cu´ales de las siguientes relaciones entre dichas variables representan este hecho? x = 2 y w • v=8 a) u b) x − u = 2 y w + v = 8 c) x • u = 2 y

w =8 v

d) x + u = 2 y w − v = 8 e) x + w = 10

14. Un trabajador X, trabajando solo se demora t d´ıas en hacer un jard´ın, otro trabajador Y se demora t + 15 d´ıas en hacer el mismo jard´ın, y si ambos trabajan juntos se demoran 10 d´ıas. ¿Cu´antos d´ıas se demorar´a Y trabajando solo? a) 30 b) 28 c) 25 d) 20 e) 15 15. Si el ´ındice de crecimiento C de una poblaci´on es inversamente proporcional al ´ındice D de desempleo y en un instante en que C = 0, 5 se tiene que D = 0, 25, entonces entre ambos ´ındices se cumple: a) D = 0, 5 b) D = C 2 c) D =

0, 5 C

d) D = 0, 125C e) D =

0, 125 C

16. Para hacer arreglos en un edificio se contratar´a un cierto n´ umero de electricistas. Si se contratara 2 electricistas, ellos se demorar´ıan 6 d´ıas, trabajando 8 horas diarias, ¿cu´al(es) de las siguientes aseveraciones es(son) verdadera(s)? a) S´olo I I) Si se contrataran 4 electricistas, se demorar´ıan 3 d´ıas, tr b) S´olo III bajando 8 horas diarias. c) S´olo I y II d) Solo II y III e) I, II y III

II) El n´ umero de electricistas y el numero de d´ıas son variabl directamente proporcionales.

III) La constante de proporcionalidad entre las variables es 3.

17. n y m son directamente proporcionales y su constante de proporcionalidad es 3. ¿Cu´al de las siguientes tablas representa dicha relaci´on? m n 3 1 a) 6 2 m n 9 3 1 3 b) 6 0, 5 m n 12 0, 25 3 2 c) 9 6 m n 27 18 1 3 d) 2 6 m n 3 9 3 6 e) 6 12 9 18

Porcentaje El tanto por ciento es un caso particular de proporcionalidad directa en que uno de los t´erminos de la proporci´on es 100: Q P P = ⇒Q= C ⇒ Q = P %C C 100 100 P : es el tanto por ciento. C: es la cantidad de referencia. Q: es el porcentaje. El tanto por ciento P de una cantidad C expresado en fracci´on es P % de C=

P C 100

Observaci´ on: Dos o mas tantos por cientos de una misma cantidad se pueden sumar o restar. a % de C ±b % de C = (a ± b) % de C El tanto por ciento del tanto por ciento de una cantidad es igual al producto de los tantos por cientos. a % del b % de C =

a b C 100 100

Definici´ on de inter´ es simple: Una cantidad C crece a una tasa del i % por unidad de tiempo en un periodo de n unidades, en un r´egimen de crecimiento simple, si el crecimiento en cada unidad de tiempo es fijo. La cantidad final CF despu´es de cumplido el periodo n est´a dada por la f´ormula:   i CF = C 1 + n 100 Observaci´ on: Un capital est´a sometido a un r´egimen de inter´ es simple cuando, al finalizar el periodo m´ınimo de dep´osito, los intereses son retirados. En este caso el capital permanece inalterable. Definici´ on de inter´ es compuesto: Una cantidad C crece a una tasa del i % por unidad de tiempo en un periodo de n unidades, en un r´egimen de crecimiento compuesto, si el crecimiento en cada unidad de tiempo se agrega a C de modo que al final de cada unidad hay una nueva cantidad. La f´ormula para calcular la cantidad final CF despu´es de cumplido el periodo n es:  n i CF = C 1 + 100 Observaci´ on: Un capital est´a sometido a un r´egimen de inter´es compuesto cuando, al finalizar el periodo m´ınimo de dep´osito, los intereses no se retiran y se a˜ naden al capital para producir nuevos intereses.

Ejercicios 1. En un supermercado hay supervisores, cajeros y reponedores. Si el 60 % de los trabajadores son reponedores, 18 son supervisores y ´estos son un tercio de los cajeros, ¿cu´al es el total de trabajadores? a) 108 b) 72 c) 180 d) 90 e) 54 2. Una persona deposita $1.000 y en tres a˜ nos gana $157, 5. Calcular el inter´es simple anual. a) 5 % b) 5, 25 % c) 5.5 % d) 5, 75 % e) 15, 75 % 3. Un par de zapatos m´as dos pantalones valen $70.000 en una tienda. Se ofrece una oferta, al comprar dos o m´as pares de zapatos del mismo precio se descuenta un 10 % en cada par y por tres o m´as pantalones del mismo precio un 15 % en cada pantal´on. Juan paga por tres pantalones $38.250 y luego, compra dos pares de zapatos. ¿Cu´anto pag´o Juan por los dos pares de zapatos? a) $45.000 b) $50.000 c) $57.150 d) $72.000 e) $81.900 4. Un vendedor recibe 215.000 de sueldo, al mes, m´as un 8 % de las ventas por comisi´on. ¿Cu´anto debe vender para ganar 317.000 en el mes? a) $254.625 b) $532.000 c) $1.275.000 d) $1.812.500 e) $3.962.500

5. En una tienda un televisor de 29 pulgadas se ofrece con un 40 % de descuento, si el precio normal es de $ 250000, entonces el precio a pagar es: a) $ 416667 b) $ 240000 c) $ 178571 d) $ 150000 e) $ 100000 6. Si un grupo de 8 alba˜ niles levantan una pared en 8 horas, entonces ¿en cu´anto tiempo levantar´an la misma pared 4 alba˜ niles? a) 4 horas b) Las mismas 8 horas c) 12 horas d) El doble de las horas que demoraron el grupo de 8 alba˜ niles e) El cu´adruplo de las horas que demoraron el grupo de 8 alba˜ niles 7. El 30 % de 30 cent´esimos es igual a: a) 900 b) 90 c) 9 d) 0, 9 e) 0, 09 8. Si el di´ametro de un c´ırculo es incrementado en un 100 %, entonces su ´area se incrementa en un: a) 100 % b) 200 % c) 300 % d) 400 % e) Otro porcentaje

Ra´ıces Si n es un entero par positivo y a es un real no negativo, entonces tal que bn = a √ n a = b ⇔ bn = a, b ≥ 0

√ n

a es el u ´nico real b, no negativo,

Si n es un entero impar positivo y a es un real cualquiera, entonces bn = a √ n a = b ⇔ bn = a, b ∈ R

√ n

a es el u ´nico real b, tal que

Observaciones √ 1. Si n es un entero par positivo y a es un real negativo, entonces n a No es real. √ n 2. La expresion √ ak , con a real no negativo, se puede expresar como una potencia de exponente k n fraccionario ak = a n √ 3. a2 = |a|, para todo numero real.

Propiedades Si

√ n

ay

√ n

b estan definidas en R se cumplen las siguientes propiedades:

Multiplicaci´ on de ra´ıces de igual ´ındice √ √ √ n n n a· b= a·b Divisi´ on de ra´ıces de igual ´ındice r √ n a a √ = n , b 6= 0 n b b Potencia de una ra´ız √ n

√ am = ( n a)m , a > 0

Ra´ız de una ra´ız q n

√ m

a=

√

n·m

a

Amplificaci´ on y simplificaci´ on del orden de una ra´ız √ n

a=

√

m·n

am , m ∈ Z+ , a ∈ R+

Producto de ra´ıces de distinto ´ındice √ n

a·

√ m

b=

√

m·n

am · bn , a, b ∈ R+

Factor de una ra´ız como factor subradical b·

√ n

a=

√ n

bn · a, b ∈ R+

Racionalizaci´ on Consiste en “eliminar” las raices del denominador de una fracci´on. B´asicamente se distinguen tres casos: 1. Que el denominador sea una ra´ız cuadrada: en este caso se multiplica numerador y denominador por la misma ra´ız. Ejemplo: √ √ 5 5 2 5 2 √ =√ ·√ = 2 2 2 2 2. Que el denominador no sea una ra´ız cuadrada: en este caso se multiplica numerador y denominador por una ra´ız del mismo ´ındice que el denominador, pero con un radicando elevado a un exponente que pueda eliminar ra´ız del denominador. Ejemplo: √ √ 3 22 5 5 534 √ = √ ·√ = 3 3 2 2 2 3 22 3. Que el denominador sea un binomio con ra´ıces cuadradas: en este caso debemos de multiplicar numerador y denominador por el conjugado. Ejemplo: √ √ √ √ 2 2 · (5 + 3) 10 + 2 3 10 + 2 3 10 + 2 3 √ = √ √ = √ = = 25 − 3 22 5− 3 (5 − 3) · (5 + 3) 52 − ( 3)2

Ejercicios √ √ 1. 5 12 − 2 27 = √ a) 16 3 √ b) 4 3 √ c) 2 3 √ d) 3 3 e) No se puede determinar. r r r 1 1 4 + 8− = 2. 6 + − 5 + 4 16 25 61 20 √ √ 7 6 2 b) − + 2 4 5 151 c) 20 √ √ √ 7 d) 6 − 5 + 8 + 20 e) Ninguno de los valores anteriores. √ √ 3 3 3. a2x+2 · ax+1 = a)

a) a3x+3 √ 6 b) a3x+3 c) a3x d ) ax+3 e) ax+1 4. ¿Cu´al(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s) cuando la variable x toma los tres valores 0, 1 y −1? a) S´olo I b) S´olo II

I)

√

c) S´olo III

II)

√

III)

√

d ) S´olo I y III

e) Ninguna de ellas. √ √ √ √ 5. ( 2 − 2)3 ( 2 + 2)4 + ( 2 − 2)4 ( 2 + 2)3 es un n´ umero: a) Racional positivo. b) Racional negativo. c) Irracional positivo. d ) Irracional negativo. e) No real.

x2 = −x x2 = |x| x2 = x

6.

r

2 √ = 3 2 √ a) 3 4 √ b) 3 2 √ c) 6 8 √ d) 6 2

e) 1 √ √ √ 7. Si 2 = a,√ 3 = b y 5 = c, entonces ¿cu´al(es) de las expresiones siguientes es(son) equivalentes a 60? a) S´olo I b) S´olo II c) S´olo III d ) S´olo I y II e) S´olo I y III √ √ 2 7 + 14 √ resulta: 8. Al simplificar la expresi´on 7 √ a) 2 3 √ b) 2 + 14 √ c) 2 + 2 √ √ d) 2 7 + 2 e) 4 √ √ √ √ 9. 12 − 2 + 8 − 3 = √ √ a) 3 + 2 √ b) 15 √ √ c) 10 + 5 √ √ d ) 20 − 5

e) Ninguno de los valores anteriores. √ √ √ √ 10. ( 50 + 512 − 242) : 2 = a) 10

√ b) 10 2 √ c) 8 5

d ) 32 e) 40

I) 2bc √ 4 II) a4 b2 c2 √ III) a2 bc

√ 55 + 55 + 55 + 55 + 55 11. √ = 3 55 + 55 + 55 + 55 + 55 a) 5 5

b) 5 6 c) 1

2

d) 53

3

e) 5 2 p p √ √ 12. Si 2 + 3 − 2 − 3 = t, entonces el valor de t2 − 2 es: √ a) 2 3 − 2 b) 0

√ c) 2 3

d) 2 e) −2 p 13. (0, 25)1−a =
−a a) 12
1−a b) 12
− a c) 12 2
a d ) 12 2
a e) 12

14. ¿Cu´al(es) de los siguientes pares ordenados es(son) soluci´on(es) de y = a) S´olo I b) S´olo II

I) (2, 5)

c) S´olo III

II) (2, −5)

d ) I, II y III

III) (2, −1)

e) Ninguno de ellos. 15. ¿Cu´al(es) de los siguientes n´ umeros es(son) irracional(es)? a) S´olo I b) S´olo II c) S´olo III d ) S´olo I y III e) S´olo II y III

I)

√

√

8 √ II) 3 + 3 3 √ 6 III) √ 24 √

2·

√

x2 + 5 +

√

x2 ?

16.

6 3 √ − √ = 2+ 2 2− 2 a) 0 b)

3 √

2 2

√ c) 6 − 9 2 √ 6−9 2 d) 2 √ 6−3 2 e) 2 17. Si 0 < x < 1 ¿cu´al de las siguientes opciones es verdadera? √ a) x > x √ b) x1 < x √ c) x1 > x d) x < 1 e) x < |x| √ 3 18. 27x · 27−3 = a) 27x · 27−9 b) 33x · 3−9 c) 3x+3

d ) 9x+3 e) 3x−3 √ √ 11 √ 1 19. Dados los n´ umeros reales −3 2, − , − 7, −2 3, −4 √ al ordenarlos de menor a mayor, 3 3 el t´ermino que queda en el centro es: √ a) −2 3 √ b) −3 2 √ c) − 7 11 d) − 3 1 e) −4 √ 3 √ √ √ √ 20. (5 2 − 3)( 3 + 5 2) = √ a) −25 5 √ b) 24 5 c) 7 d ) 47 e) 0

21. El n´ umero

√ 216 es igual a:

a) 24 √ b) 32 √ c) ( 2)4 d ) 214 e) Ninguno de los valores anteriores. r !2 r 5 3 ¿cu´al es el valor de 15y + 1? + 22. Si y = 3 5 a) 65 b) 64 64 c) 15 34 d) 15 4 e) 15

√ √ 23. Si p = 3 5 − 2 y q = 5 + 3, entonces p · q = √ a) 9 + 7 5 √ b) 8 5 + 1 √ c) 3 5 + 1 √ d) 7 5 − 9 e) Ninguno de los valores anteriores. √ 3 24. a6n−6 = a) a2n−6 b) a2n−2 1

c) a 2n−2 1

d ) a 2n−6 e) a6n−2 25. Para todo m > 0 la expresi´on a) m √ 8 b) m7 √ c) m5 √ 5 d ) m7 √ 6 e) m7

√ 3

m4 ·

√ 3

m2 ·

√

m es igual a:

26. Si

p < 0, ¿cu´al(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)? q a) S´olo I p q 2 = |p| + |q| p p II) p2 + q 2 = p + q p p III) p2 + q 2 > 0 I)

b) S´olo II c) S´olo III d ) S´olo I y III e) S´olo II y III p √ 27. a a = √ a) 4 a √ 4 b) a3 √ c) a √ d) a a √ e) a 4 a 28. Para la expresi´on

√

p

p2 +

2x − 3 sea real, es necesario y suficiente que:

a) x ≥ 3 2 b) x ≤ 3 3 c) x ≥ 2 3 d) x ≤ 2 2 e) x ≥ 3 29. De las afirmaciones siguientes, ¿cu´al(es) es(son) verdadera(s)? a) S´olo I b) S´olo II c) S´olo III d ) I, II y III e) Ninguna de las anteriores. √ √ √ √ 30. 3( 2 + 3 − 8) = √ a) 3 − 6 √ b) 3 + 6 √ √ c) 3 − 6 √ √ d) 3 + 6 e) 3

I)

√ √

a2 − b 2 =

√

a2 −

a2 + b 2 = a + b √ √ III) a b = b a II)

√

b2

31. Determina el valor de a) b) c)

√

√

√

√

15 − √ 5

√

5

3−1

15 − 1 3

d) 2 √ e) 75 − 5 32. ¿Cu´al es el resultado de (2 −

√

9)2 ?

a) −7 b) −5 c) −1

d) 1

e) 13 33. ¿Cu´al es el valor de (ax2 + 1), cuando a =

√ √ 3 y x = 4 12?

a) 37 b) 36

√ c) 12 3 + 1 √ d ) 4 36 + 1 e) 7 34. Al racionalizar √ a)

√

√

5+1

5−1 √ c) 4( 5 + 1) √ d ) 4( 5 − 1) √ 5+1 e) 4 b)

4 se obtiene: 5−1

√ 5 35. ¿Por cu´al de los siguientes terminos se puede amplificar la fracci´on √ , para que su deno5 4 minador sea un n´ umero racional? √ a) 5 4 √ b) 5 8 √ c) 5 16 √ d ) 5 64 √ e) 5 45

36. Si el volumen de un cubo se calcula como a3 siendo a la arista, determine la longitud de la arista de un cubo cuyo volumen es 54 u3 . √ a) 33 2 u b) 3 u √ c) 54 u d) 9 u e) 18 u 37. El ´area de un circulo es π · r2 , siendo r el radio y π una constante cuyo valor aproximaremos √ a 3, entonces ¿cu´al es el valor aproximado del ´area de un c´ırculo si el radio es 3 3 cm? a) 34 cm2 √ b) 27 3 cm2 √ c) 9 3 cm2 d ) 9 cm2 √ e) 54 cm2 √ 38. El valor de 0, 0049 es: a) 0, 007 b) 0, 07 c) 0, 0007 d ) 0, 00007 e) Ninguna de las anteriores. 39. La expresi´on a) b) c) d) e)



121 100

− 23

es igual a:

10 11 11 10 1331 1000 1000 1331 Ninguna de las anteriores.

40. Se puede determinar que el resultado de (a − 1)4 ser´a un n´ umero par positivo si: (1) a es impar. (2) a 6= 1 a) (1) por s´ı sola. b) (2) por s´ı sola. c) Ambas juntas (1) y (2). d ) Cada una por s´ı sola (1) ´o (2). e) Se requiere informacion adicional.