Razones, Proporciones, Tasas, Porcentajes y Variaciones Matemáticas I

Números racionales expresados como fracción

Matemáticas I


Dentro de los números reales, encontramos a los números racionales que se expresan como un cociente de dos números enteros.
Los enteros son racionales ya que se pueden representar en forma de fracción.
Los números racionales tienen una gran relación con las razones, proporciones, tasas, porcentajes y variaciones, ya que se pueden expresar como una fracción. 2

Razones

Matemáticas I


Una razón es una división entre dos enteros a y b.
La razón de “a” entre “b” también se puede leer como “a” contra “b” ó “a” respecto a “b” ó “a:b”.
La razón muestra la relación entre a y b.
Ejemplo: Un coche va a 80km/h y una bicicleta a 20km/h
La razón entre las velocidades es de 4:1, ya que 80 es 4 veces mayor respecto a 20:


80:20 ó 4:1, dado que

80 =4 20 3

Proporciones
La proporción es la igualdad de 2 razones:




y

c =x d

Matemáticas I

a =x
b

Entonces, “a” es a “c” como “b” es a “d” a→c b→d

a c = b d


Los extremos de la proporción son a y d, mientras b y c son llamados los medios. 4

Propiedad fundamental de las proporciones
El producto de los medios es igual al producto de los extremos: Sea:




Entonces: a × d = b × c

Matemáticas I

a c = b d





Ejemplo: 3 6 = 5 10

3 × 10 = 6 × 5

30 = 30

5

Porcentaje

Matemáticas I


Porcentaje se refiere a la cantidad de partes que corresponden proporcionalmente a 100, donde 100 es el todo.
Ejemplo:

1 25 = 0.25 = = 100 4 " veinticinco por ciento" = 25% 6

Ejemplo de porcentajes
En un salón de 30 alumnos, 15 son niñas. ¿Qué porcentaje representan las niñas respecto al total?




30 → 100 15 → ?

Matemáticas I




30 100 = 15 p

Entonces:

30 × p = 15 ×100 15 ×100 p= = 50% 30 7

Ejemplo de porcentajes: otro enfoque
El ejemplo anterior también se puede expresar de la siguiente manera:




Matemáticas I

cantidad a evaluar cantidad total

15 = 0.5 30

Entonces, para saber el porcentaje que representan 15 niñas del total de 30 alumnos, multiplicamos la fracción por 100:

p = 0.5 ×100 = 50%

8

Variaciones

Matemáticas I


Cuando dos variables son interdependientes, los cambios en el valor de una tendrán un efecto predecible en la otra.
Las variaciones son el crecimiento o decrecimiento de una variable “a” con respecto a otra “b”, por una razón o constante “k”.

9

Variaciones directas e inversas
Existen dos tipos de variaciones: directa e inversa.


Variación directa: cuando una variable aumenta cuando la otra aumenta. a→c

b→d


a c = b d

Matemáticas I

– Se puede expresar como: a = k x b, o bien, k = a / b – Las relaciones se expresan en la forma normal:

Variación inversa: cuando una variable disminuye cuando la otra aumenta. – Se puede expresar como: a = k / b, o bien, k = a b – Las relaciones se expresan en forma invertida respecto a la forma normal:

a→c

b→d

a d = b c

10

Ejemplo de variación directa
Para recorren 50km un coche necesita 2 litros de gasolina ¿Cuánto necesitara para recorrer 90km? 90 → L


Entonces:

50 × L = 2 × 90

50 2 = 90 L

Matemáticas I

50 → 2

2 × 90 L= = 3.6 litros 50


Ya que necesita recorrer una distancia más larga, entonces necesita más gasolina. Esta es una variación directa. 11

Ejemplo de variación inversa


Estos son ejemplos de variaciones inversas (cuando una variable disminuye cuando la otra aumenta).

Matemáticas I


Los problemas de variaciones que implican relaciones de velocidades o relaciones de trabajo pueden confundir a la gente, como en los ejemplos de las siguientes láminas.

12

Ejemplo de variación inversa
En una casa se utilizaron 4 pintores para pintar una habitación y se tardaron 3 horas. ¿Cuánto se tardarían 2 pintores en pintar la misma habitación?




Cuando analizamos el problema, llegamos a la conclusión que se trata de una relación inversa, en vez de directa, ya que mientras más pintores tenemos, menos tiempo les tomará el trabajo. Así, la solución correcta requiere que utilicemos una proporción inversa, invirtiendo una de las relaciones como sigue: 4→3 2 →T




Entonces:

2 ×T = 4 × 3

Matemáticas I




4 T = 2 3

T=

4×3 = 6 horas 2


Reafirmamos que ésta es una variación inversa, ya que a más pintores, menos tiempo, y a menos pintores, más tiempo.

13

Otro ejemplo de variación inversa

Puesto que I y R varían inversamente, la ecuación para la relación es I = V/R, o bien, V = R I, donde V es el voltaje constante. Por tanto, 9 x 4 = V. Además, 6 x I = V.
Las cantidades iguales a una misma constante son iguales entre sí, de modo que tenemos la siguiente igualdad:


6 × I = 9× 4

I=

Matemáticas I


La corriente que circula por un circuito eléctrico a voltaje constante varía inversamente a la resistencia del circuito. Si la corriente I es de 4 amperes, cuando la resistencia R es de 9 ohms, ¿cuál será la corriente cuando la resistencia es de 6 ohms?

36 = 6 amperes 6


Con un voltaje constante V, cuando la resistencia disminuye de 9 a 6 ohms, la corriente aumenta de 4 a 6 amperes (variación inversa).

14