MATEMÁTICAS I

OBJETIVO DE LA ASIGNATURA: RESOLVERÁ PROBLEMAS O SITUACIONES DONDE UTILICE MÉTODOS ALGEBRAICOS Y SU INTERPRETACIÓN GRÁFICA EN MODELOS MATEMÁTICOS COMO OPERACIONES CON POLINOMIOS, ECUACIONES LÍNEALES, SIMULTÁNEAS DE DOS Y TRES VARIABLES Y ECUACIONES CUADRÁTICAS, EN UN AMBIENTE DE RESPONSABILIDAD, TOLERANCIA Y RESPETO.

1

UNIDAD I OBJETIVO:

Construirá el lenguaje algebraico generalizando modelos aritméticos, de razones, proporciones, series y sucesiones, mediante la resolución de problemas o situaciones en un ambiente cooperativo, de respeto y de tolerancia.

2

1.1.

ARITMÉTICA

Es rama de la Matemáticas que estudia los números, las operaciones y sus propiedades elementales. Etimológicamente, Aritmética, es el arte de contar o de calcular. La palabra se deriva del griego arithmētikē, que combina dos palabras: arithmos, que significa ‘número’, y technē, que se refiere a un arte o habilidad.

1.1.1.

NUMEROS REALES

Los Número Reales se componen de la unión de los números Racionales Q y los Irracionales I. Se simboliza con la letra R

REALES R IRRACIONALES I

POR EJEMPLO:

2 = 1.414213... π = 3.1415926 ... e = 2.7182818284...

1.1.1.1 EJERCICIOS Y OPERACIONES CON NUMEROS ENTEROS CONOCIMIENTOS PREVIOS:

Los Racionales Q, son aquellos números que pueden escribirse como el cociente a/b de dos enteros, siendo el denominador diferente de cero.

Los números Naturales N son: 1,2,3,4,5,6,… ∞+ Los Enteros Z son: ∞-…-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3,… ∞+ Los Racionales Q son todos los N, Z y a/b, pueden ser decimales exactos o periódicos. Los Irracionales son los que no son decimales periódicos ni exactos: como 2 , e, π

 a a,b ∈ Z ;b ≠ 0 Q =   b Los Irracionales I son aquellos que resultan en decimales que no son periódicos ni exactos.

Los números Reales son el conjunto de números N, Z, Q e I es decir, todos los números que utilizamos R = Q ∪ I 3

PROCEDIMIENTOS SUMA de ENTEROS ALGORITMO 1.- Identifique que sea una suma, los signos de los números deben ser iguales. 2.- Realice la suma de los números, antepóngale el signo común. 3.- El número resultante es la solución. RESTA de ENTEROS ALGORITMO 1.- Identifique que sea una resta o diferencia, los signos de los números deben ser diferentes. 2.- Realice la resta, al numero de mayor valor absoluto réstale el de menor valor absoluto, al resultado antepóngale el signo del número que tiene mayor valor absoluto. 3.- El número resultante es la solución. SUMA y RESTA de ENTEROS ALGORITMO 1.- Identifique que sea suma y resta, hay números con signos positivos y con signos negativos. 2.- Realice la suma de los números que tienen signos iguales, quedarán 2 números que tienen signos opuestos, uno positivo y otro negativo. 3.- Realice la resta o diferencia de los números obtenidos en el paso 2. 4.- El número resultante es la solución. MULTIPLICACION de ENTEROS ALGORITMO 1.- Identifique que sea multiplicación, entre los números existe un signo tal como x, ( ), {}, ⋅, ó [ ]. 3.- Aplique la ley de los signos de la multiplicación, y multiplique los números. 4.- El número resultante es la solución. DIVISION de ENTEROS ALGORITMO 1.- Identifique que sea división, entre los números existe un signo tal como ÷ , −, ó ⁄. 2.- Aplique la ley de los signos de la división, y divida los números. 4.- Si da entero ésa es la solución, si no da entero simplifique al máximo. Después de simplificar, si la fracción es propia ésa es la solución; si es impropia puede escribirse en forma mixta 3.- El número resultante es la solución. ¿QUÉ HAY DE LOS SIGNOS DE AGRUPACION? Cuando uno ya sabe cómo resolver a conciencia las operaciones básicas; podemos trabajar tranquilamente con los signos de agrupación. ¿QUÉ ES LO QUE DEBEMOS TENER EN MENTE? Los signos de agrupación nos indican que la o las operaciones contenidas en ella, deben realizarse primero. 4

Asimismo, indican que debemos multiplicar, y cuando lo hacemos, los eliminamos. EJEMPLO: 1.- Resuelva la operación siguiente: a) 3 − 2[3 − 7(4 − 2)] =

b) 3 − 2[3 − 7(2)] =

c) 3 − 2[3 − 14)] =

Se resuelve la operación dentro del paréntesis más interno de la operacion Se elimina ese paréntesis, haciendo la multiplicación

d) 3 − 2[− 11] = e) 3 + 22 = 25

Resuelva la operación siguiente: 2.a) 3 − 2( −2) + 3(5) − 4( 2) + 4( −2) = Se eliminan los paréntesis, haciendo la multiplicación b) 3 + 4 + 15 − 8 − 8 = c) 22 − 16 = d) 22 − 16 = 6 EJERCICIO 1. Resuelve los ejercicios siguientes, identifica la operación que realizarás. a) 10 – 2 b) -3 – 6 – 9 – 20 = c) 9 – 11 = d) (3)(-2)(-1)= e) (-2)(-5)(-6)= f) 8 ÷ -2 = g) 12 ÷ 8 = h) i) j) k) l) m) n)

3 + (4 + 5) = 5 + (2 – 7) = -7 + (-2 - 9) = -10 + (8+7) = -10 ÷ 5(-2) =

− 3 + 2{− 2 + ( 4 − 6)} =

− 2(4) − 5(−2) + 7( −4) =

PROBLEMAS. 1.- El costo total de un automóvil es de $194 000, incluyendolos cargos por financiamiento, esto tiene que amortizarse en 48 abonos iguales. ¿Cuánto suma cada abono?

2.- Una mañana Ud arrancó su automóvil y la temperatura era de -16°C. Más tarde alguien le dijo que la temperatura había subido a 24°C respecto a la mañana. ¿Cuál es la temperatura en este momento? 5

1.1.1.2 EJERCICIOS Y OPERACIONES CON NUMEROS ENTEROS OPERACIONES BASICAS CON NUMEROS RACIONALES (FRACCIONES) RECORDAR: El denominador de El signo de una fracción Toda fracción contiene: Numerador a cualquier número entero se puede escribir de laas b Denominador es 1. siguientes formas: −a a a a 7 = =− 7= b b b b 1 a a −a a =− = Número primo es aquel que solo Factores: Son números b −b −b b tiene dos divisores, el uno y él que se van a multiplicar. Por convención, el signo mismo. Entre 1 y 100 hay 25 La división de dos se escribe delante de la números primos: 2, 3, 5, 7, 11, 13, raya de la fracción. 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, números iguales es 1. 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89 y 97 Los números compuestos, se pueden decomponer en un producto de factores primos; con éste recurso podremos simplificar fracciones con la seguridad de que el resultado es el más simplificado posible; ya que no será necesario tantear con mitades, tercias, cuartas, quintas, etc.

5 =1 5

8 =1 8

La ley de los signos de la multiplicación es: signos iguales da positivo, signos diferentes da negativo

La ley de los signos de la división es: signos iguales da positivo, signos diferentes da negativo

¿CÓMO SE PUEDEN SIMPLIFICAR LAS FRACCIONES DE FORMA MÁS CERTERA? ALGORITMO 1.- Descomponga tanto el numerador como el denominador en sus factores primos. 2.- Cancele o elimine los factores iguales. 3.- Los números que quedan (sobran) en el numerador y en el denominador, se multiplican. 4.- La fracción resultante es la más simplificada posible. Podemos aplicarlo en el ejemplo siguiente: a) Simplifique la fracción siguiente: 1.2.3.4.-

360 420

Las descomposiciones son:

360 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 3 ⋅ 5 = = 420 2⋅ 2⋅3⋅5⋅ 7 360 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 3 ⋅ 5 = = 420 2⋅2⋅3⋅5⋅7 360 2 ⋅ 3 6 = = 420 7 7 360 6 = 420 7

360

2

420

2

180

2

210

2

90

2

105

3

45

3

35

5

15

3

7

7

5

5

1

1

6

b) Simplifique

84 30 Las descomposiciones son:

1.2.3.4.-

84 30 84 30 84 30 84 30

2⋅2⋅3⋅7 = 2⋅3⋅5 2⋅2⋅3⋅7 = 2⋅3⋅5 2 ⋅ 7 14 = = 5 5 14 = 5

84

2

30

2

42

2

15

3

21

3

5

5

7

7

1

1

SUMA Y RESTA de FRACCIONES CON DENOMINADORES IGUALES 1.- Identifique que todas las fracciones tengan el mismo denominador 2.- Si los denominadores son iguales, escríbalo como denominador común en el resultado. 3.- Escriba los numeradores, con su propio signo, en la posición del numerador en el resultado. 4.- Realice la suma y resta de los números colocados en el numerador. 5.- Aplique la ley de los signos de la división y la fracción obtenida es la solución inicial 6.- Si el resultado inicial se puede dividir y da entero, ese entero es la solución final. Si al dividirlo no da entero, se debe simplificar al máximo. Si la fracción simplificada es propia, ésa es la solución final. Si la solución simplificada es impropia, puede escribirse en forma mixta, ésa es la solución final. Ejemplo 1:

3 1.- 4

+

1 6 1 − + = 4 4 4

Denominadores iguales

2.-

3 1 6 1 + − + = 4 4 4 4

3.-

3 1 6 1 3 + 1 – 6 + 1 + − + = = 4 4 4 4 4

4

3 1 6 1 3 + 1 – 6 + 1 + − + = = 4.- 4 4 4 4 4 3

1

6

1

5.- 4 + 4 − 4 + 4 =

3

1

6

1

6.- 4 + 4 − 4 + 4 =

3 + 1 – 6 + 1 4

=

3 + 1 – 6 + 1 = 4

5-6 4

=

-1 4

5-6 4

=

-1 4

5-6 4 7

=

-1 4

=

1 4 El resultado no puede dividirse, Ni simplificarse, y es una fraccion propia, esta es la solución final

=

1 4

Ejemplo 2 1.

1 7 5 3 − + − = 6 6 6 6

2.-

1 7 5 3 − + − = 6 6 6 6

3.-

1 7 5 3 − + − = 1 - 7 + 5 - 3 = 6 6 6 6 6 1

4.- 6

1

−

6

-4 7 5 3 6 - 10 + − = 1 - 7 + 5 - 3 = = 6 6 6 6 6 6

7

5

3

5.- 6 − 6 + 6 − 6 =

1 - 7 + 5 - 3 6

=

1 7 5 3 − + − = 6 6 6 6

1 - 7 + 5 - 3 6

=

6.-

6 - 10

6

6 - 10

6

=

-4 6

=

=

-4 6

=

4 6

4 6

No se puede dividir. Se simplifica, queda una fraccion propia

=−

2⋅2 2 =− 2⋅3 3

SUMA Y RESTA de FRACCIONES CON DENOMINADORES DIFERENTES 1.- Identifique que en las fracciones hayan denominadores diferentes. 2.- Si los denominadores son diferentes, calcule el Mínimo Común múltiplo de los denominadores. 3.- Escriba el MCM de los denominadores en la posición del denominador en el resultado, éste es el denominador común. 4.- Divida el denominador común entre cada denominador (Dará entero) y multiplique el resultado por el numerador correspondiente. 5.- Escriba cada resultado, con su propio signo, en la posición del numerador en el resultado. 6.- Realice la suma y resta de los números colocados en el numerador. 7.- Aplique la ley de los signos de la división y la fracción obtenida es la solución inicial 8.- Si el resultado inicial se puede dividir y da entero, ese entero es la solución final. Si al dividirlo no da entero, se debe simplificar al máximo. Si la fracción simplificada es propia, ésa es la solución final. Si la solución simplificada es impropia, puede escribirse en forma mixta, ésa es la solución final.

8

EJEMPLO:

5 8 1 − + = 1.- 3 4 6 Denominadores diferentes

Cálculo del MCM

2.-

5 3.- 3

4, 5.-

−

8 1 + = 4 6

3

4

6

2

3

2

3

2

3

1

3

3

1

1

1

12

12

5 8 1 20 − 24 + 2 − + = = 3 4 6 12

5 8 1 20 − 24 + 2 22 − 24 −2 − + = = = = 3 4 6 12 12 12 6.-

Solución inicial

5 8 1 20 − 24 + 2 22 − 24 −2 2 =− − + = = = 3 4 6 12 12 12 12

Solución final

7.-

8.-

5 8 1 20 − 24 + 2 22 − 24 −2 2 1⋅ 2 1 1 =− =− − + = = = =− = 3 4 6 12 12 12 12 2⋅2⋅3 2⋅3 6

No se puede dividir, se simplifica y se obtiene una fracción propia, siendo la solución final

Nota: El ejemplo se realiza paso a paso, observándose la utilidad del algoritmo. Cuando hagan los ejercicios deben hacerse como en el paso 8, en una línea. 9

MULTIPLICACION de FRACCIONES

a c ac ⋅ = b d bd 1.- Identifique que sea multiplicación de fracciones, observando los signos x, ( ), {}, ⋅, ó [ ]. 2.- Multiplique los numeradores y colóquelo como numerador del resultado, escríbale el signo correspondiente. 3.- Multiplique los denominadores y colóquelo como denominador del resultado, escríbale el signo correspondiente. 4.- Aplique la ley de los signos de la división y escríbalo en medio de la línea de división 5.- Si el resultado inicial se puede dividir y da entero, ese entero es la solución final. Si al dividirlo no da entero, se debe simplificar al máximo. Si la fracción simplificada es propia, ésa es la solución final. Si la solución simplificada es impropia, puede escribirse en forma mixta, ésa es la solución final. Probablemente este caso es más simple que hacer suma o resta de fracciones, vamos al ejemplo: EJEMPLO: 1.-

5 6 1 2 ⋅ ⋅ ⋅ = 3 4 2 5

2,3.-

5 6 1 2 60 ⋅ ⋅ ⋅ = 3 4 2 5 120

4.-

5 6 1 2 60 ⋅ ⋅ ⋅ =+ = 3 4 2 5 120

5.-

5 6 1 2 60 1 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 5 1 ⋅ ⋅ ⋅ = = = 3 4 2 5 120 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 5 2

Se multiplican los numeradores y los denominadores

El signo positivo se puede omitir.

No se puede dividir, se simplifica y resulta en una fracción propia

EJEMPLO: 1.-

 − 3 5  − 6   4   − 2   3  =

2,3.-

 − 3   5   − 6  + 90  4   − 2   3  = − 24 =

4.-

90  − 3   5   − 6  + 90  4   − 2   3  = − 24 = − 24

5.-

90 2⋅3⋅3⋅5 3⋅5 15  − 3   5   − 6  + 90  4   − 2   3  = − 24 = − 24 = − 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 3 = − 2 ⋅ 2 = − 4 =

Se multiplican los numeradores y los denominadores

El signo negativo no se puede omitir.

10

3 90 2⋅3⋅3⋅5 3⋅5 15  − 3   5   − 6  + 90  4   − 2   3  = − 24 = − 24 = − 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 3 = − 2 ⋅ 2 = − 4 = −3 4 No se puede dividir, se simplifica y resulta en una fracción impropia, por ello se escribe en forma mixta. Observe el signo del resultado, nunca hay que olvidarlo.

DIVISION de FRACCIONES DIVIDENDO O NUMERADOR

a c a d ad ÷ = ⋅ = b d b c bc DIVISOR O DENOMINADOR

DIVISOR O DENOMINADOR INVERTIDO

ALGORITMO: 1.- Identifique que sea división de fracciones, observando los signos ÷ , −, ó ⁄. 2.- Identifique la fracción que es denominador o divisor, inviértalo de posición; así cambia a ser una multiplicación de fracciones. 3.- Una vez aplicado el paso 2, resuélvalo siguiendo los pasos de una multiplicación.

EJEMPLO 1: 1).-

2).3).-

−3 5 ÷ = 4 −2 −3 5 −3 −2 ÷ = ⋅ = 4 −2 4 5 −3 5 −3 −2 6 2⋅3 3 3 ÷ = ⋅ = = = = 4 −2 4 5 20 2 ⋅ 2 ⋅ 5 2 ⋅ 5 10

EJEMPLO 2:

1)

2)

3)

−2 4 = −2 ÷ 7 = 7 4 3 3 −2 4 = −2 ÷7 = −2⋅3 = 7 4 3 4 7 3 −2 4 = − 2 ÷ 7 = − 2 ⋅ 3 = − 6 = − 6 = − 2⋅3 = − 3 7 4 3 4 7 28 28 2⋅2⋅7 14 3 11

EJERCICIO 2

12

1.1.2. RAZÓN Y PROPORCIÓN DEFINICIONES: RAZÓN: Es la comparación por cociente de dos magnitudes que tienen las mismas unidades.

a b

Antecedente

OTRAS FORMAS DE ESCRIBIRLO

“a es a b”

a:b

a

Consecuente

b

La razón es un número abstracto, pues no tiene unidades. Al cociente obtenido se le llama “Constante”. PROPORCION: Es la igualdad de dos razones.

a :b = c :d medios Extremos

byd≠0

SE LEE:

OTRAS FORMAS DE ESCRIBIRLO

a c = b d a : b :: c : d

La forma de escribir una razón es muy similar a una fracción; pero debemos notar que en una fracción a y b son números enteros, mientras que en una razón a y b son números reales

SE LEE: “a es a b como c es a d”

También se llama proporción DISCONTINUA d se llama Cuarta proporcional de a, b y c. Cada uno de ellos puede ser cuarta proporcional geométrica

REGLA O PROPIEDAD: El producto de los extremos es igual al producto de los medios.

a :b = c :d ad = bc PROPORCION CONTINUA:

a :b = b :c Los medios son iguales, entonces, b se llama “Media proporcional geométrica” y c ó a es la “Tercera proporcional geométrica”

13

Calcule el valor de “x” 1) 2) 3) 4) 5)

3 12 = x 5 3 : x = 12 : 5 3(5) = 12( x) 12 x = 3(5) 15 3⋅5 5 1 x= = = =1 12 2 ⋅ 2 ⋅ 3 4 4

1) Identifique que sea una proporción 2) Si es necesario reescriba el ejercicio 3) Aplique la regla: “producto de extremos es igual a producto de medios”. 4) si la incógnita se halla en el segundo miembro, puede aplicar la propiedad simétrica de la igualdad. 5) Despeje la incógnita 6) si da entero ya es la solución, si no da entero, es una fracción y simplifique al máximo; luego identifique que el tipo de fracción, si es propia ya es la solución, si es impropia puede escribirlo en forma mixta.

14

1.2. LENGUAJE ALGEBRÁICO 1.2.1. ALGORITMOS GEOMÉTRICOS Y ARITMÉTICOS. SUCESION DE FIBONACCI La sucesión de Fibonacci es la sucesión infinita de números naturales 1; 1; 2; 3, 5; 8; 13; 21; 34; 55; 89, 144.... donde cada elemento es la suma de los dos anteriores. Cada elemento se llama número de Fibonacci. Tiene numerosas aplicaciones en ciencias de la computación, matemáticas y teoría de juegos. Fibonacci es conocido entre los matemáticos precisamente por la curiosa sucesión de números antes mencionada: 1; 1; 2; 3, 5; 8; 13; 21; 34; 55; 89, 144.... que colocó en el margen de su Liber abaci junto al conocido "problema de los conejos" que más que un problema parece un acertijo de matemáticas recreativas. El problema en lenguaje actual diría:

"Una pareja de conejos tarda un mes en alcanzar la edad fértil, a partir de ese momento cada vez engendra una pareja de conejos, que a su vez, tras ser fértiles engendrarán cada mes una pareja de conejos. ¿Cuántos conejos habrá al cabo de un determinado número de meses?."

En este gráfico vemos que el número de parejas a lo largo de los meses coincide con los términos de la sucesión. Existe otra curiosidad, el cociente entre cada término y el anterior se va acercando cada vez más a un número muy especial, ya conocido por los griegos y aplicado en sus esculturas y sus templos: el número áureo.

=1.618039....

Los números de la sucesión de Fibonacci sorprenderán a todos los biólogos. Como muy bien nos enseña la filotaxia, las ramas y las hojas de las plantas se distribuyen buscando siempre recibir el máximo de luz para cada una de ellas. Por eso ninguna hoja nace justo en la vertical de la anterior. La distribución de las hojas alrededor del tallo de las plantas se produce siguiendo secuencias basadas exclusivamente en estos números. 15

El número de espirales en numerosas flores y frutos también se ajusta a parejas consecutivas de términos de esta sucesión: los girasoles tienen 55 espirales en un sentido y 89 en el otro, o bien 89 y 144. Las margaritas presentan las semillas en forma de 21 y 34 espirales. Y cualquier variedad de piña presenta siempre un número de espirales que coincide con dos términos de la sucesión de los conejos de Fibonacci, 8 y 13; o 5 y 8. Parece que el mundo vegetal tenga programado en sus códigos genéticos del crecimiento los términos de la sucesión de Fibonacci.

Función generadora Una función generadora para una sucesión

es la función , es decir, un polinomio donde cada

coeficiente es un elemento de la secuencia. Los números de Fibonacci tienen la función generadora

ALGORITMO DE GAUSS Nació : 30 de Abril 1777 en Brunswick, (Ahora Alemania) Falleció : 23 de Febrero 1855 en Göttingen, Hanover (Ahora Alemania) A los siete años, tras serios esfuerzos de Dorothea para convencer al padre, Gauss ingresa en la escuela primaria, una vieja escuela, la Katherinen Volkschule, dirigida por J.G Büttner, donde compartirá aula con otros cien escolares. La disciplina férrea parecía ser el único argumento pedagógico de Büttner, y de casi todos los maestros de la época. A los nueve años Gauss asiste a su primera clase de Aritmética. Büttner propone a su centenar de pupilos un problema terrible: calcular la suma de los cien primeros números. Nada más terminar de proponer el problema, el jovencito Gauss traza un número en su pizarrín y lo deposita en la mesa del maestro exclamando: “Ligget se!” (¡Ahí está!). Había escrito 5.050. La respuesta correcta. Ante los ojos atónitos de Büttner y del resto de sus compañeros, Gauss había aplicado, por supuesto sin saberlo, el algoritmo de la suma de los términos de una progresión aritmética. Se había dado cuenta de que la suma de la primera y la última cifra daba el mismo resultado que la suma de la segunda y la penúltima, etc., es decir: 1+ 100 = 2 + 99 = 3 + 98 = ... = 101 Como hay 50 parejas de números de esta forma el resultado se obtendrá multiplicando 101 . 50 = 5.050 Gauss había deducido la fórmula que da la suma de n términos de una progresión aritmética de la que se conocen el primero y el último término:

dónde a1 es el primer término, an el último, y n es el número de términos de la progresión. 16

1.2.2. SUCESIONES Y SERIES LINEALES DEFINICIONES: SUCESIÓN O PROGRESIÓN

SUCESION ARITMÉTICA

SUCESIÓN GEOMÉTRICA

- Conjunto de números dispuestos en cierto orden. - Los términos de una sucesión son: a1, a2, a3, etc.

- Es aquella donde cada término se obtiene a partir del término precedente al sumar un numero fijo denominado Diferencia Común d

- Es aquella en la que cada término se obtiene al multiplicar el término precedente por un número fijo llamado razón común r

“a” es la variable a la cual se le asocia un numero Natural “n” an se denomina TERMINO GENERAL DE LA SUCESIÓN La expresión {an} suele representar el n-ésimo término y las llaves indican que es una sucesión

an = a1 + (n − 1)d an = término enésimo ó general a1 = primer término de la sucesión n = número de términos de la sucesión, con que se trabaja. d = diferencia común

an = r n −1a1 an = término enésimo a1 = primer término de la sucesión n = numero de términos de la sucesión r = Razón Común r

r=

d = an − an −1

an a n −1

Recalcamos, el valor de n es un número natural, representa el número de términos con el que trabajamos.

 n   n + 2

EJEMPLO: Encuentre los siete primeros términos de la sucesión 

Como uno tiene que calcularlos y el patrón es la fórmula del término enésimo o general. Empezamos con n=1, luego n=2 y asi sucesivamente hasta hallar los términos que nos piden. Conocimientos previos, ley de los exponentes, despejes, operaciones aritméticas, potenciación (lo que indica el exponente), propiedad simétrica de la igualdad

1) identifique que se da la fórmula general o del término enésimo an 2) Sustituya y resuelva, cada resultado es un término de la sucesión. SOLUCIÓN:

n  n   es lo mismo que: a n = n+2 n + 2

Esta forma 

a1 =

1 1 1 = = (1) + 2 1 + 2 3 17

2 2 2 1 = = = (2) + 2 2 + 2 4 2 3 3 3 a3 = = = (3) + 2 3 + 2 5 a2 =

Asi Sucesivamente hasta terminar con el término 7. La solución es 1/3, ½, 3/5, 2/3, 5/7, ¾, 7/9.

DADO ALGUNOS TÉRMINOS DE LA SUCESIÓN, IDENTIFIQUE DE QUÉ TIPO ES: ARITMÉTICA O GEOMÉTRICA?. Algoritmo 1.- Tome un término y réstele el término anterior (precedente). 2.- Tome otro término y réstele el anterior. 3.- Si la diferencia obtenida en los pasos 1 y 2 son iguales, la sucesión o progresión es Aritmética. 4.- Si la diferencia obtenida en 1 y 2 no son iguales, entonces continúe con el paso 5. 5.- Tome un término y divídalo entre el término anterior (precedente). 6.- Tome otro término y divídalo entre el término anterior. 7.- Si la razón obtenida en los pasos 5 y 6 son iguales, la sucesión o progresión es Geométrica. ¿CÓMO SE TRABAJA CON LA FÓRMULA DE SUCESIONES ARITMÉTICAS O GEOMÉTRICAS? Una vez que se ha identificado el tipo de sucesión de que se trata, entonces sabremos qué fórmulas se van a utilizar, para esto es necesario contar con la fórmula y tenerlo a la mano. Si la sucesión es aritmética, hay que observar qué datos tenemos, debemos contar con todos los datos excepto uno, que es el que se va a calcular. Los datos son: an , a1, n , y d Así, se sustituye en la fórmula y se despeja la cantidad desconocida.

Ahora, si fuese una sucesión geométrica, entonces se debe contar con los datos siguientes: a n , a 1, n , y

r excepto uno de ellos, que es el que se va calcular.

DESPEJE: Consiste en dejar sola o aislada la variable desconocida (incógnita) y para ello se vale de la transposición de términos. TRANSPOSICIÓN DE TÉRMINOS: Consiste en cambiar un término o parte de un término de un miembro al otro. Si está sumando o restando, al transponerlo cambia de signo. Si está multiplicando pasa dividiendo y no cambia de signo Si está dividiendo pasa multiplicando y no cambia de signo.

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ALGORITMO DEL CALCULO DE UNA SUCESIÓN GEOMÉTRICA O ARITMETICA 1.- Identifique qué tipo de sucesión es. 2.- Escriba la fórmula que corresponde al tipo de sucesión. 3.- Sustituya todos los datos conocidos y desconocido 4.- Despeje el término desconocido. 5.- El valor obtenido es el resultado.

EJEMPLO: Obtenga el término numero 23 de la sucesión: 2, 5, 8, 11, 14, …

1) d = 5 – 2 = 3 2) La fórmula es:

d = 11 – 8 = 3 se identifica que es una sucesión Aritmética.

a n = a1 + (n − 1)d 3) a 23 = 2 + ( 23 − 1)(3) a 23 = 2 + (22)(3) = 2 + 66 = 68 a 23 = 68 En este caso no hubo que despejar nada, pues el valor a calcular era el término enesimo

4.- La solución es: el término numero 23 es 68. Ejemplo 2. Obtenga el valor de a1 si sabemos que el término numero 16 es 124, y que la diferencia común d = 6 1) La sucesión es aritmética, hay un dato de diferencia común d=6 2) a n = a1 + ( n − 1)d 3)

a16 = a1 + (16 − 1)(6)

124 = a1 + (16 − 1)(6) = a1 + (96 − 6) = a1 + (90) 124 = a1 + 90 a1 + 90 = 124 a1 = 124 − 90 4)

a1 = 34

RESUELVA: 1.- Obtenga los 6 primeros términos de la sucesión: a)

an =

1 n(n − 1)

b) a n =

2n − 1 2n + 1

c) a n = (n + 1) 2

2.-Identifique el tipo de sucesión y calcule el valor solicitado. a) 1, 9, 17, … (noveno término) SOL: 65 b) 8, -4, 2, (décimo término) 19

c) 3, -2, 1 (décimo término) d) 2/3, ½, 1/3, (octavo término) 2.- Para una sucesión aritmética a5=9 y a6=24 ¿Cuál es el término a1? 3.- Para una sucesión geométrica a4=9 y a5=3 ¿Cuál es el término a1? 4.- Para una sucesión aritmética a1=5 y an=8 y d=4 ¿Cuál es el valor de n?

SERIE:

SERIE FINITA

- Es la suma de los términos -Si los términos de una de una sucesión. sucesión son 4: a1 + a2 n + a3 + a4 Termina en a4 ak = a1 + a2 + a3 + ... + an entonces es una serie k =1 finita

∑

∑ (letra griega SIGMA) indica sumatoria k Índice de la sumatoria, indica el LA término en que inicia la suma. n indica el término con que termina la suma ak indica qué términos se sumarán

-Si los términos de una sucesión son: a1 + a2 + a3 + a4 + … , los puntos suspensivos indican que no termina en a4 por lo tanto es una serie infinita

EXPRESIÓN n NOS INDICA QUE HALLEMOS LA ak SUMA DE: ∑ k =1 a1, a2, a3,…, an; pero si lo hacemos por partes, y obtenemos la suma Sn de los n primeros términos, haremos: S1 = a1 S2 = a1 + a2 S3 = a1 + a2 + a3 . . . Sn = a1 + a2 + a3 + … + an =

Serie ARITMETICA

SERIE INFINITA

SUMAS PARCIALES n

∑a

k

k =0

Series GEOMÉTRICAS INFINITAS

Serie GEOMÉTRICA

- SUMA Sn DE LOS n SUMA Sn DE LOS n ES UNA SERIE INFINITA PRIMEROS TÉRMINOS DE PRIMEROS TÉRMINOS PORQUE NO TIENE ULTIMO UNA SUCESION ARITMETICA. DE UNA SUCESION TÉRMINO GEOMETRICA. ∞ -

Sn =

n(a1 + an ) 2

a1 es el primer término an el n-ésimo término n número de términos

1− r n S n = a1 1− r a1 es el primer término r es la razón comun n número de términos

∑ ak = a

1

+ a2 + a3 + ... + an + ...

k =1

El símbolo ∞ se lee “infinito”

S=

a1 1− r

Si r ≥ 1 diverge. 20

la serie

Series CONVERGENTES SI LAS SUMAS PARCIALES DE UNA SERIE INFINITA TIENDE O SE APROXIMA A UN LIMITE FINITO (UN NUMERO) DECIMOS QUE LA SERIE ES CONVERGENTE; EN CASO CONTRARIO ES DIVERGENTE. TODAS LAS SERIES ARITMETICAS SON DIVERGENTES.

•

En este caso, basta con saber qué tipo de sucesión es geométrica o aritmética, finita o infinita y cuántos términos se desea sumar, para luego aplicar las fórmula correspondiente.

•

A veces es necesario calcular el término enésimo an antes aplicar la fórmula de la suma, dependerá de los datos.

ALGORITMO DEL CALCULO DE LA SUMA DE UNA SUCESIÓN GEOMÉTRICA O ARITMETICA 1.- Identifique qué tipo de sucesión es. 2.- Escriba la fórmula que corresponde a la suma tipo de sucesión. 3.- Sustituya todos los datos conocidos y desconocido, si falta el término enésimo an se calcula antes de usar la fórmula de suma. 4.- Despeje el término desconocido. 5.- El valor obtenido es el resultado.

Ejemplo:

a) Determine la suma de los 10 primeros términos de la sucesión 4, 12, 36, 108, … Es una sucesión geométrica, tiene una razón común r = 3 1− rn La fórmula es: S n = a1 1− r Se necesitan los datos siguientes: a1 = 4, r=3 n = 10 porque son diez términos los que se trabajan en este caso.

1− r n Se sustituye en la fórmula: S n = a1 1− r − 59048 1 − (3)10 1 − (3)10 1 − 59049 = 4⋅ = 4⋅ = 4⋅ −2 1− 3 1− 3 −2 4 − 59048 − 236192 S10 = ⋅ = = 118096 1 −2 −2 S10 = 4 ⋅

S10 = 118096

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b) Determine la suma de los 12 primeros términos de la sucesión: 3, 8, 13, 18, 23, 28, … 1) Es una sucesión aritmética, tiene una diferencia común d = 5 n( a1 + a n ) 2) La fórmula es: Sn = 2 3) Revisión de los datos conocidos: a1 = 3, n = 12 porque son doce términos los que se trabajan en este caso. an= El término enésimo, o lo que es lo mismo el término número 12: a12 2) Como hace falta a12 primero se calcula éste valor.

a n = a1 + (n − 1)d = 3 + (12 − 1)5 = 3 + (11)5 = 3 + 55 = 58

a12 = 58 Ahora se sustituye en la fórmula:

Sn =

n(a1 + a n ) 2

12(3 + 58) 12(61) 732 = = = 366 2 2 2 S12 = 366 S12 =

Series infinitas
Calcular la suma de todos los términos de la progresión: 0,3; 0,15; 0,075;... Resolución: • Se trata de una progresión geométrica decreciente cuyo primer término

 Sumar todos los términos de la progresión geométrica -7, 7/3, -7/9, 7/27... Resolución:

EJERCICIO 1) Encuentre la suma de los 14 primeros términos de la sucesión aritmética 9, 3, -3, Sol: a14 =-69 S14 = -420 … 2) Encuentre la suma de los 10 primeros términos de la sucesión geométrica; 4, -8, 16, -32, … Sol: S10 = - 1364

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