Matem´ aticas II

Magisterio (Primaria) Curso 2013-2014

Problemas de repaso 1. Calcula la medida del ´ angulo a de la figura.

a 116◦ 105◦

Sol: a = 49◦ . 2. Sabiendo que los puntos P , Q y R est´ an sobre una circunferencia de centro C, determina la medida del ´angulo ∠P RQ de la figura. Q 65◦

R

P C

Sol: ∠P RQ = 25◦ . 3. Sabiendo que el oct´ ogono de la figura es regular, demuestra que el tri´angulo ABC es rect´angulo. B

A

C

4. En la figura, las rectas AB, CD y EF son paralelas. Determina la medida de los ´angulos x, y, z. B

A 54◦ C

D 104

E

◦

z

y x

F

Sol: x = 54◦ , y = 50◦ , z = 76◦ . 5. Sabiendo que el pol´ıgono de la figura es un cuadril´atero cometa, calcula la medida del ´angulo ∠V U T . S

42◦ T

V

28◦

U

Sol: ∠V U T = 110◦ , 6. Demuestra que en cualquier paralelogramo los lados opuestos tienen la misma longitud. 7. En la figura, los cuadrados tienen 10 cm de lado, y las curvas son arcos de circunferencias del mismo radio y con centro en los v´ertices del cuadrado. Calcula el per´ımetro y el ´area de las regiones sombreadas. Da la soluci´ on de forma exacta.

Sol: Izquierda: P = 10π cm, A = 100 − 25π cm2 .

Derecha: P = 10π cm, A = 50(π − 2) cm2 .

8. El contorno de la figura est´ a formado por tres semicircunferencias: una mayor y dos m´as peque˜ nas, iguales. Sabiendo que el per´ımetro de la regi´on sombreada es de 20 π, a) calcula el radio de la semicircunferencia mayor. b) calcula el ´ area de la regi´ on sombreada. Sol: a) r = 10.

b) A = 50π.

9. Sabiendo que los puntos A y B est´ an en una circunferencia de centro O y radio 10 m, y que ◦ ∠AOB = 120 , calcula |AB|.

O

B

A

√ Sol: |AB| = 2 75 m. 10. En una piscina en calma colocamos una boya atada al fondo. Al d´ıa siguiente, el nivel del agua ha bajado 10 cm, y un fuerte viento ha desplazado la boya 50 cm (sigue atada al mismo punto del fondo). ¿Cu´ al era la profundidad de la piscina el primer d´ıa? (Para este problema se puede utilizar ´algebra). Sol: 130 cm 11. Los rect´angulos ABCD y CF ED son semejantes. Calcula la lontitud de los segmentos AE y AF . A

5 cm

D

E

C

F

4 cm

B

Sol: |AE| = 8, 2 cm.

|AF | ≈ 9, 12 cm

12. Demuestra que si los v´ertices del tri´ angulo sombreado son los puntos medios de los lados del tri´angulo ABC, entonces el ´ area sombreada es 1/4 del ´area total. A

B

C

13. Sabiendo que T P y T Q son tangentes a la circunferencia y que ∠T P Q = 67◦ , calcula la medida de ∠P T Q y ∠P OT .

P 67◦ O T

Q

Sol: ∠P T Q = 46◦

∠P OT = 67◦

14. Una barbacoa como la de la figura est´a construida partiendo por la mitad un cilindro. Queremos pintar el exterior de la barbacoa, y nos dicen que necesitamos 50 cl de pintura por cada metro cuadrado. ¿Cu´ antos litros de pintura necesitaremos? 70 cm 1,5 m

Sol: A = 6475π cm2 .

Aprox. 1 litro

15. El s´olido de la figura est´ a generado por la regi´on P QRS al desplazarse a lo largo del segmento QV , que es perpendicular al plano que contiene a P QRS. P QRO es un rect´angulo y RS es un arco de circunferencia con centro en O. Calcula el ´area total y el volumen (en litros) del s´olido resultante. V

34 cm

Q

R

13 cm P

O

S

21 cm

Sol: At = 25, 95 dm2

V ≈ 8, 05 litros

16. Un contenedor est´ a formado por un cilindro recto circular, de radio 6 cm y altura 12 cm, y un cono recto circular, con altura 6 cm y radio de la base 6 cm. Colocamos el contenedor apoyado en el lateral del cilindro y comprobamos que est´a lleno de agua hasta la mitad. a) Calcula el volumen del agua.

b) Si apoyamos el contendor en la base del cilindro, ¿qu´e altura alcanza ahora el agua? c) Si colocamos el contendor sobre el v´ertice del cono, y lo mantenemos vertical, ¿qu´e altura alcanza ahora el agua? Sol: a) V = 252π cm3

b) h = 7 cm

c) h = 5 cm

17. Un cono circular recto tiene radio de la base 7’7 cm y altura 26’4 cm. Calcula el volumen y el ´ area total. (Para el ´ area lateral, no se puede usar la f´ormula Al = πrg). Sol: V ≈ 1638, 3 cm3

A ≈ 851 cm2 .

18. Una esfera de radio 10 cm se corta por un plano que est´a a distancia 6 cm del centro de la esfera. Calcula el ´area del c´ırculo que ha producido el corte (sombreado en la figura).

Sol: 64π cm2 . 19. En la figura, |AV | = |BV | y |AP | = |BP |. Demuestra que: a) ∠AP V = ∠BP V

b) |AQ| = |BQ| A

P

Q

V

B

20. Sabiendo que los tri´ angulos ABC y BDE son equil´ateros, y que los puntos A, B y D est´an en una recta, demuestra que |AE| = |CD|. C E

A

B

D

21. Sabiendo que DE y AB son paralelos, que el ´area del tri´angulo ABC es 108 m2 , el ´area del tri´angulo DEC es 12 m2 y |CM | = 18 m, calcula la altura del tri´angulo DEC relativa a la base DE. C

D

A

E

B

M

Sol: h = 6 m 22. Calcula el ´area del cuadril´ atero ABCD de la figura. P

D

|AD| = 12 C B

|BC| = 3 |DP | = 16

A

Sol: A = 120 23. En la figura de la izquierda se muestra un tronco de cono. La figura de la derecha es la vista desde arriba, donde se ve que las bases son dos c´ırculos (cuyos centros coinciden al verlos desde arriba) y de radios 5 cm y 10 cm. Sabemos adem´as que |AB| = 13 cm. Se pide: a) el ´area lateral del tronco de cono, en forma exacta b) el volumen aproximado del tronco de cono, en litros A

B

Sol: a) Al = 195π cm2

b) V ≈ 2, 2 litros

24. En la figura se muestra una circunferencia con centro en O. Sabemos que el di´ametro QS corta a la cuerda P R en el punto M , que es el punto medio de la cuerda. Si ∠P OQ = 136◦ , calcula: a) ∠P RQ

b) ∠RP Q

c) ∠RSQ

Debes justificar adecuadamente los pasos del razonamiento.

Q

O

M

P

R S

Sol: los tres miden

68◦ .

25. Se tira un dado como el de la figura, y otro normal y se consideran los sucesos A ≡ “la suma obtenida es 6”

B ≡ “en al menos uno de los dados sale un n´ umero par”. a) Calcula la probabilidad del suceso A. b) Estudia si los sucesos A y B son independientes.

Sol: a) P (A) = 1/6. b) P (B) = 3/4, P (A ∩ B) = 1/12. A y B no son independientes. 26. Tiramos 3 monedas al aire y consideramos los sucesos: A ≡ “sale al menos 1 vez cara”

B ≡ “salen exactamente 2 caras”. a) Calcula la probabilidad del suceso A y la del suceso B. b) Describe los sucesos A ∪ B y A ∩ B. ¿Son A y B independientes? Sol: a) P (A) = 7/8, P (B) = 3/8. b) A ∪ B = A, A ∩ B = B. A y B no son independientes.