Alberto Entero Conde Maite González Juarrero

Problemas PAU. Sistemas de ecuaciones.

MATEMÁTICAS II

SISTEMAS DE ECUACIONES 1. Considérese el siguiente sistema de ecuaciones lineales (en él, a, b y c son datos; las incógnitas son x,y, z ay + bx = c  cx + az = b bz + cy = a  Si a, b y c son no nulos, el sistema tiene solución única. Hallar dicha solución. Madrid: Junio 96

Ordenamos el sistema para trabajar con mayor comodidad: =c bx + ay  + az = b  cx  cy + bz = a  b a 0 El determinante de su matriz de coeficientes vale: ∆ = c 0 a = −2 a b c y como a, b y c son no 0 c b nulos por hipótesis, ∆ ≠ 0 y en consecuencia el sistema tiene solución única, que encontraremos por el método de Cramer. c a 0 b c 0 b a b b a x= b c

0 c a 0

0 c

a b − a 2 + b2 + c 2 = ; 0 2b c a

c 0 y= b c

b

b a a 0

0 c

a c 0 2 2 2 b 0 c a −b +c = ; z= 0 b a 2ac a c 0

c 0 a 2 + b2 − c2 = 0 2ab a

b

b

0 c

 x −2 y + z −3v = −4  x +2 y + z +3v = 4  2. Resuelve el siguiente sistema:   2 x −4 y +2 z −6v = −8  2 x +2 z =0 Madrid: septiembre 2008

Aplicando el método de Gauss:

1 −2 1 −3 −4 1 2 1 3

4

2 −4 2 −6 −8 2 0 2 0

0

1 −2 1 −3 −4 0 2 0 3

1 −2 1 −3 −4

4

0 4 0 6  →

8

0 0 0 0

0

0 4 0 6

8

rang ( A ) = rang ( A* ) = 2

El sistema propuesto es equivalente a: -1-

1 −2 1 −3 −4  →

0 4 0 6

F2 → F2 2  →

8

Sistema compatible indeterminado con tantas soluciones como elementos tiene ℝ 2

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MATEMÁTICAS II

 x −2 y + z −3v = −4 z =α  x −2 y = −4 − α + 3β  x = −α → ⇒  ν = β 2y +3v = 4 2y = 4 − 3β    y = 2 − 3β 2

( x, y, z , v ) = ( −α , 2 − 32 β ,α , β ) = ( 0, 2, 0, 0 ) + α ( −1, 0,1, 0 ) + β ( 0, −3 2, 0,1) ∀ (α , β ) ∈ ℝ 2 x − y = 3  3. Dado el sistema de ecuaciones:  2 x − 3 y = 2k : 3 x − 5 y = k a) Discutirlo para los distintos valores del parámetro k. b) Resolverlo cuando sea posible. Madrid: prueba tipo 08_09

a) Como

1 −1 ≠ 0, el rango de la matriz de coeficientes es 2 para cualquier valor de k. 2 −3

El

sistema tiene solución si y sólo si rang ( A* ) = 2.

1 − 3    rang  2 −3 2k  = 2 ⇔  3 −5 k   

1 −1 3 2 −3 2k

= 0 ⇔ 3k − 3 = 0 ⇔ k = 1

3 −5 k

• Si k = 1 ⇒ rang ( A ) = rang ( A* ) = 2 ⇒ Sistema compatible determinado • Si k ≠ 1 ⇒ rang ( A ) = 2 ≠ rang ( A* ) = 3 ⇒ Sistema incompatible b) Para k = 1 el sistema es equivalente a:

{

x− y =3 ⇒ x =7∧ y = 4 2x − 3y = 2

4. Para cada valor del parámetro real k se considera el sistema de ecuaciones: x − y = 3  2 x − 3 y = 2k  2 3 x − 5 y = k a) Discutir el sistema según los valores de k. b) Resolver el sistema en los casos que sea compatible. Madrid: Prueba tipo 02-03

a) Como

1 −1 ≠ 0 ⇒ el rango de la matriz de coeficientes es 2, por lo que el sistema será 2 −3

1

−1

3

compatible si y solo si rang ( A ) = 2 ⇔ 2 − 3 2k = 0 ⇔ −k 2 + 4k − 3 = 0 ⇔ k = 1 ∨ k = 3 3 −5 k2 *

 k ≠ 1 ∧ k ≠ 3 ⇒ rang ( A ) = 2 ≠ rang ( A* ) = 3 ⇒ Sistema incompatible   *  k = 1 ∨ k = 3 ⇒ rang ( A ) = rang ( A ) = 2 ⇒ Sistema compatible determinado

-2-

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MATEMÁTICAS II

b) En cualquiera de los dos casos en los que el sistema es compatible, se puede prescindir de la tercera ecuación y resolver con las dos primeras. Aplicamos el método de Gauss y después particularizamos para cada valor de k. 3   x = 9 − 2k  1 −1 3  F2 −2 F1  1 −1   →  ⇒  2 −3 2k   0 −1 2k − 6   y = 6 − 2k k =1⇒ x = 7 ∧

y=4

y

k =3⇒ x =3 ∧

y=0

NOTA: También podríamos haber resuelto por separado, sustituyendo k por 1 y después por 3.

 x + 2y =1  5. Dado el sistema:  3x + y = −a , se pide: −3x + 2ay = 7  a) Discutirlo para los diferentes valores del parámetro a. b) Resolverlo cuando sea compatible. Prueba tipo 2011_12

1 2 1 1 2 * ≠ 0 ⇒ rang ( A ) = 2 ∀a. rang ( A ) depende de ∆ = 3 1 −a = 2a 2 + 12a − 32 3 1 −3 2a 7 ∆ = 0 ⇔ a = 2 ∨ a = −8.

a)

•

Si a = 2 ∨ a = −8 ⇒ rang ( A ) = rang ( A* ) = 2. Sistema compatible determinado.

•

Si a ≠ 2 ∧ a ≠ −8 ⇒ rang ( A ) = 2 ≠ rang ( A* ) = 3. Sistema incompatible.

b) El sistema es compatible si a = 2 ∨ a = −8, en cuyo caso una de las ecuaciones, por ejemplo la tercera, es combinación lineal de las otras dos, por lo que basta resolver: x = −1  x + 2y =1 a=2→ ⇒ y =1  3 x + y = −2

x=3  x + 2y =1 a =8→ ⇒ y = −1  3x + y = 8

2 x − y = λ  6. Dado el sistema λ x − 2 y = 4 , se pide: 3 x − y = 2 a) Discutir el sistema según los valores del parámetro λ . b) Resolver el sistema cuando sea posible. Madrid: Junio de 2009

a)

2 −1 3 −1

= 1 ≠ 0 ⇒ rang ( A ) = 2 ∀λ

La compatibilidad del sistema depende de:

2 −1 λ |A ∗ | =

λ −2 4

A* = 0 ⇔ λ = 2 ∨ λ = 6

= 8λ − λ 2 − 12

3 −1 2 -3-

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MATEMÁTICAS II

•

λ = 2 ∨ λ = 6 ⇒ rang ( A ) = rang ( A* ) = 2 El sistema es compatible determinado

•

λ ≠ 2 ∧ λ ≠ 6 ⇒ rang ( A ) = 2 ≠ rang ( A* ) = 3 . Sistema incompatible

b) Se comprueba que para λ = 2 la solución es x = 0 ∧ y = −2 y para λ = 6 : x = −4 ∧ y = −14 .

{

x − ay = 2 , se pide: ax − y = a + 1 a) Discutir el sistema según los valores del parámetro a. Resolverlo cuando la solución sea única. b) Determinar para que valor o valores de a el sistema tiene una solución en la que y = 2.

7. Dado el sistema de ecuaciones lineales:

Madrid: Junio 2008

a)

Δ=

1 −a

= a 2 − 1;

Δ=0

a −1

a=1 a = −1

Caso 1: a ≠ 1 ∧ a ≠ −1. Sistema compatible determinado, siendo la solución: 2 −a a + 1 −1 a 2 + a − 2 ( a + 2 )( a − 1) a+2 x= = = ⇔ x= 2 2 a −1 a −1 a +1 ( a + 1)( a − 1) 1 y=

2

a a + 1 −a + 1 −a + 1 −1 = 2 = ⇔ y= 2 a −1 a − 1 ( a + 1)( a − 1) a +1

Caso 2: a = 1

{

x− y =2 x− y =2

Sistema compatible indeterminado.

Caso 3: a = −1

{

x+ y =2 −x − y = 0

b)

y =2⇒

Sistema incompatible.

{

{

x − 2a = 2 ⇒ x = 2a + 2 a =1 ⇒ a ( 2a + 2 ) − 2 = a + 1 ⇒ 2a 2 + a − 3 = 0 ⇒ ax − 2 = a + 1 a = −3 2

Para a = 1 o a = −3 2 el sistema tiene una solución en la que y = 2. A esta misma conclusión llegamos razonando de la siguiente forma: o Si a = 1 el sistema es compatible indeterminado, siendo sus soluciones las de la ecuación x − y = 2, una de las cuales es x = 0 e y = 2 . o Si a = −1 el sistema es incompatible, por lo que no tiene solución, en particular no puede haber una en la que y = 2 . −1 : o En cualquier otro caso el sistema es compatible determinado, siendo: y = a +1

-4-

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2=

−1 ⇒ a = −3 2 a +1

mx + y = 0  8. Dado el sistema de ecuaciones lineales:  x + my = 0 mx + my = 0  a) Discutirlo según los valores de m. b) Resolverlo cuando sea compatible indeterminado Madrid, prueba tipo 2014-15

a) Por ser un sistema homogéneo, es compatible ∀m ∈ ℝ. El número de soluciones depende del rango de la matriz de coeficientes, que a su vez depende de los determinantes: m 1 m 1 ∆1 = = m2 − 1 y ∆2 = = m2 − m 1 m m m ∆1 = 0 ⇔ m = 1 ∨ m = −1

∆2 = 0 ⇔ m = 1∨ m = 0

rang ( A ) = 1 ⇔ ∆1 = 0 ∧ ∆ 2 = 0 ⇔ m = 1. Para m ≠ 1 es rang ( A ) = 2, pues al menos unos de los menores anteriores es no nulo.  m = 1 ⇒ rang ( A ) = rang ( A* ) = 1 ⇒ sistema compatible indeterminado   *  m ≠ 1 ⇒ rang ( A ) = rang ( A ) = 2 ⇒ sistema compatible determinado. Solución trivial b) Es compatible indeterminado para m = 1, siendo el sistema equivalente a: x=λ x + y = 0   → ( x, y ) = ( λ , −λ ) ⇔ ( x, y ) = λ (1, −1) ∀λ ∈ ℝ

 2 − 3  . Para cada número real λ definimos la matriz B = A − λI , donde 9. Sea la matriz A =  1 − 2 I es la matriz identidad 2 × 2 . a) Hallar los valores de λ que hacen que el determinante de B sea nulo.  x  0 b) Resolver el sistema B   =   para los diferentes valores de λ .  y  0 Madrid, prueba tipo 01-02

−3  2−λ −3  2 − 3 1 0  2 − λ  − λ   =   ⇒ B = B =  = λ2 − 1 , que se anula para − 2 − λ 1 −2−λ  1 − 2 0 1  1 λ = 1 y λ = −1 b) Para λ ≠ 1 y λ ≠ −1 se trata de un sistema compatible determinado, que al ser homogéneo, su única solución es la trivial: x = y = 0 a)

Para λ = 1 el sistema es compatible indeterminado, con tantas soluciones como ℜ . y =α como ecuación principal: x − 3 y = 0  → ( x, y ) = (3α ,α ) ∀α ∈ ℜ Para λ = −1 el sistema es compatible indeterminado, con tantas soluciones como ℜ . y =α Tomando como ecuación principal: x − y = 0  → ( x, y ) = (α ,α ) ∀α ∈ ℜ -5-

Tomando

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 x + 2 y + 3z = 1 10. a) Resolver el sistema de ecuaciones:  2 x + y − z = 2 b) Hallar las constantes α y β de manera que al añadir al sistema anterior una tercera ecuación 5x + y + α z = β , el sistema resultante sea compatible indeterminado. Madrid: junio de 2005

a) Se comprueba que el sistema es compatible indeterminado, cuya solución es: ( x, y, z ) = (1 + 5 3 λ , −7 3 λ , λ )

 x + 2 y + 3z = 1  b) 2 x + y − z = 2 5 x + y + α z = β  1 2

cosa que ocurre si:

3

2 1 −1 5 1

Sigue siendo compatible indeterminado si rang ( A ) = rang ( A* ) = 2

1 2 1 = 0 ⇔ −3α − 18 = 0  α = −6

= 0 ⇔ 15 − 3β = 0  β = 5

2 1 2

∧

5 1 β

α

Las constantes buscadas son: α = −6 ∧ β = 5 Por Gauss 1 2 3 1 2 1 −1 2 5 1 α β

→

1 2

3

1

0 −3

−7

0

0 −9 α − 15 β − 5

→

1 2

3

1

0 −3

−7

0

0 −9 α − 15 β − 5

→

1 2

3

1

0 −3

−7

0

0 0 α+6 β−5

Para que el sistema sea compatible indeterminado tiene que ser rang ( A ) = rang ( A* ) , cosa que ocurre si la última fila se anula: α + 6 = 0 ⇒ α = −6 ∧ β − 5 = 0 ⇒ β = 5  x + 2 y − 3z = 3 11. Dado el sistema de ecuaciones:  , se pide: 2 x + 3 y + z = 5 a) Calcular a y b de manera que al añadir una tercera ecuación de la forma ax + y + bz = 1 el sistema resultante tenga las mismas soluciones que el sistema original. b) Calcular las soluciones del sistema dado tales que la suma de los valores de las incógnitas sea igual a 4. Madrid: septiembre de 2007

a)

El sistema original es compatible indeterminado, pues rang ( A ) = rang ( A* ) = 2 . Para que esto

 x + 2 y − 3z = 3  se mantenga al ampliarlo con una nueva ecuación: 2 x + 3 y + z = 5 , los dos determinantes deben ax + y + bz = 1  ser nulos:

-6-

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1 2 3 2 3 5

Problemas PAU. Sistemas de ecuaciones.

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2 −3 3 =0 a=0

3 1 5

a 1 1

= 0  b = −7

1 b 1

b) Las soluciones pedidas en el segundo apartado son las del sistema:

x + 2y − 3z = 3 2x + 3y + z = 5  x = 25 , y = − 11 , z = − 2 3 3 3 x+y+z = 4 12. Se considera el sistema S y el determinante D:  a1 x + b1 y = c1  S a2 x + b2 y = c2 a x + b y = c 3 3  3

a1

b1

c1

D = a2 a3

b2 b3

c2 c3

a) Si S es compatible, ¿se verifica entonces que D = 0 ? b) Si D = 0 , ¿se verifica entonces que S es compatible?

Madrid: prueba tipo curso 98-99

Las matrices de coeficientes y ampliada del sistema son, respectivamente:  a1 b1   a1 b1 c1      * A =  a2 b2  y A =  a2 b2 c2  a b  a b c   3 3 3  3 3 a) La primera afirmación es cierta, pues si el sistema es compatible, como rang( A) ≤ 2 , para que rang ( A ) = rang ( A* ) , necesariamente tiene que ser D = 0 .

b) La segunda no es cierta, pues D = 0 ⇒ rang( A* ) ≤ 2 . Es fácil encontrar un ejemplo en el que sea rang ( A* ) = 2 y r ( A) = 1

x + y = 1  x + y = 1 x + y = 0   3x − 2 y + z = m  13. Discutir según los valores de m el sistema:  5 x − 8 y + 9 z = 3.  y − 3 z = −1 2 x + Madrid: septiembre 97

Método de Gauss

-7-

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 2 si m = 1 3 rang ( A* ) =  3 si m ≠ 1 3

rang ( A ) = 2 ∀m,

Si Sistema compatible indeterminado con tantas soluciones como elementos tiene ℝ.

• m = 1 3 ⇒ rang ( A ) = rang ( A* ) • m ≠ 1 3 ⇒ rang ( A ) = 2 ≠ rang ( A* ) = 3

Sistema incompatible

Utilizando determinantes

3 −2 1 3 −2 Como ≠ 0 ⇒ r ( A) ≥ 2 . Por otra parte, 5 − 8 9 = 0 , por lo que definitivamente el 5 −8 2 1 −3 rango de A es 2. El sistema será compatible si el rango de la matriz ampliada también es 2, y esto depende exclusivamente del determinante: 3 −2 m 5 −8 3 = 21m − 7 2 1 −1 Si m ≠ 1 3 el sistema es compatibe determinado Resumiendo:  Si m = 1 3 el sistema es compatible indetermindo  x + ky + k 2 z = 1  14. Dado el sistema de ecuaciones:  x + ky − kz = k 2  − x + ky − k 2 z = k 2  a) Discutirlo según los distintos valores de k. b) Resolverlo para k = −1

Madrid: prueba tipo 2006_07

Método de Gauss: 1 1

k2

1

k −k

k2

2

2

k

−1 k −k

k

1 k

 →

0 0 0 2k

k2 −k 2

−k

0

1

1 k2 2

−1

k +1

F2 ↔ F3

→

k

0 2k

k2 0

1 2

k +1

2

0 0 −k − k k 2 − 1

rang ( A ) ≥ 1 ∀k , el valor definitivo del rango depende de lo que ocurra con las dos últimas filas. La última fila se anula para k = 0 ∨ k = −1 , mientras que la segunda se anula para k = 0 , por lo que 3 si k ≠ 0 ∧ k ≠ −1  rang ( A ) =  2 si k = −1 1 si k =0  k ≠ 0 ∧ k ≠ −1

rang ( A ) = rang ( A* ) = 3 Sistema compatible determinado.

-8-

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k =0 ⇒ A =

1 0 0

1

0 0 0

1

→

1 0 0 1

rang ( A ) = 1 ≠ rang ( A* ) = 2

0 0 0 1

Sistema incompatible

0 0 0 −1 1 −1 1 1

k = −1 ⇒ A =

0 −2 0 2 0

0

Problemas PAU. Sistemas de ecuaciones.

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rang ( A ) = rang ( A* ) = 2

1 −1 1 1

→

0 −2 0 2

0 0

Sistema compatible indeterminado, tantas soluciones como elementos de ℝ

x − y + z = z =α b) Si k = −1 , el sistema es equivalente a   → ( x, y , z ) = ( −1 − α , −1, α ) ∀α ∈ ℝ y − 2 = 2  Método de los menores: 1 k A=

k2

det ( A ) = 0 ⇒

 detA = 2k 2 + 2k 3

1 k −k −1 k −k 2

k ≠ 0 ∧ k ≠ −1

k =0

1 0 0 1 , M A* =

1 0 0 −1 0 0

1 0 0 0

rang ( A ) = 1 ≠ rang ( A* ) = 2

−1 0 0 0

Sistema incompatible

1 −1 1

k = −1

A=

k =0 k = −1

rang ( A ) = rang ( A* ) = 3 Sistema compatible determinado. 1 0 0

A=

{

1 −1 1

, AM* ==

1 −1 1 1

rang ( A ) = rang ( A* ) = 2

1 −1 1 1

Sistema compatible indeterminado

−1 −1 −1 1

−1 −1 −1

1 −1 , tenemos como ecuaciones principales: − 1 −1  x − y + z = 1 z =α  x − y + z = 1 → ⇒ ( x, y , z ) = ( 2 − α , −1, α ) ∀α ∈ ℝ  − x − y − z = 1 − x − y − z = 1

Tomando como menor de orden 2 no nulo:

 x + y − mz = 5  15. Dado el sistema de ecuaciones lineales: 2 x − y + ( m + 1) z = 0 , se pide: x + 2 y − z = 3  a) Discutirlo según los valores del parámetro m. b) Resolverlo cuando sea posible. c) Encontrar todas las soluciones de la forma ( x,1, z ) . Madrid junio de 2011

a) Por Gauss 1 1

−m

5

2 −1 m + 1 0 1 2

−1

3

1 2 →

−1

3

2 −1 m + 1 0 1 1

−m

1 2 →

−1

0 −5 m + 3 −6 0 −1 1 − m 2

5

-9-

1 2

3

→

−1

3

0 −1 1 − m 2 0 −5 m + 3 −6

→

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MATEMÁTICAS II

1 2

3

−1

0 −1 1 − m

→

2

0 0 6m − 2 −16

 2 si m = 1 3 rang ( A ) =  3 si m ≠ 1 3

rang ( A* ) = 3 ∀m

Utilizando determinantes 1 1 ≠ 0 ⇒ rang ( A ) ≥ 2 ∀m ∈ ℝ. 2 −1 1

1

−m

2 −1 m + 1 1

2

1

1

−1 5

2 −1 0 1

2

 2 si m = 1 3 = 2 − 6m ⇒ rang ( A ) =   3 si m ≠ 1 3

( )

* = 16 ⇒ ⇒ rang A = 3∀m ∈ ℝ

3

si m ≠ 1 3 sistema compatible determinado  si m = 1 3 sistema incompatible b) El sistema tiene solución si m ≠ 1 3 , siendo en ese caso:

5

1

1

−m

0 −1 m + 1 3 x=

2

−1

2 − 6m

5

1

−m

2 −0 m + 1 =

5m + 1 3m − 1

1 y=

3

−1

2 − 6m

5

1 −1 0 =

2m − 6 3m − 1

c) Para que la solución sea del tipo ( x,1, z ) , debe verificarse y = 1 ⇔ en ese caso x =

1

1 z=

2

3

2 − 6m

=

−8 3m − 1

4m − 12 = 1 ⇒ m = −5 , siendo 6m − 2

10m + 2 3 −16 1 = y z= = . 6m − 2 2 6m − 2 2

La única solución de la forma ( x,1, z ) es ( 3 2,1,1 2 ) y se da cuando m = −5 16. Se considera el sistema de ecuaciones lineales 1 m  3  3   x       1 − 1   +  − 1 z =  0   5 − 3  y   − 2  6       a) Discutirlo según los valores de m b) Resolverlo para el caso m = 2

- 10 -

Prueba tipo curso 97-98

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MATEMÁTICAS II

La relación dada se convierte en un sistema de ecuaciones lineales al hacer las operaciones entre matrices: 1 m  3  3  mx + y   3z   3  mx + y + 3 z = 3   x             z= 0  1 − 1   +  − 1 z =  0  ⇔  x − y  +  − z  =  0  ⇔  x − y − 6  5 − 3  y   − 2   5x − 3 y   − 2 z   6   5x − 3 y − 2 z = 6              3  m 1   La matriz de coeficientes es: A =  1 − 1 − 1  , cuyo determinante vale: A = 3 − m .  5 − 3 − 2   Se pueden presentar dos casos: m ≠ 3 ⇒ A ≠ 0 ⇒ rang( A) = rang( A* ) = 3 sistema compatible determinado m=3

3

1

3

− 1 0 = −18 ≠ 0 , rang( A* ) = 3 sistema incompatible. 5 −3 6

rang( A) = 2 y como 1

Para m = 2 es un sistema de Cramer con A = 3 − 2 = 1 :

2 x + y + 3 z = 3  z= 0  x− y− 5x − 3 y − 2 z = 6  Y sus soluciones son: 3 1 3 0 −1 −1 6 −3 −2 x= = 9; A

2 3 2 0 y=

3 −1

5 6 −2 A

λx + y  17. Se considera el sistema de ecuaciones:  x − y  x + λy 

2 2 = 21 ;

z=

1 3 −1 0

5 −3 5 A

= −12

+ z =1 =λ + z =1

a) Discutir su compatibilidad en función del parámetro λ . b) Hallar, cuando existan, sus soluciones. Madrid, prueba tipo 98-99

1 1 λ   1 1 Como en la matriz de coeficientes A =  1 − 1 0  es ≠ 0 , rang( A) ≥ 2 . Este rango −1 0  1 λ 1   podría ser tres, dependiendo de A . λ

1 1

Se comprueba que 1 − 1 0 = 0 ∀λ ∈ ℜ , por lo que rang( A) = 2 ∀λ 1 λ 1

- 11 -

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Problemas PAU. Sistemas de ecuaciones.

MATEMÁTICAS II

El sistema será compatible cuando el rango de la matriz ampliada también sea 2, es decir cuando 1 1 1 − 1 0 λ = λ2 − λ = 0 , o lo que es lo mismo, cuando λ = 0 o λ = 1

λ

1 1

λ=0

rang( A) = rang( A* ) = 2 ⇒ sistema compatible indeterminado con tantas soluciones como ℝ 1

1

Como

= 1 ≠ 0 , tomamos como ecuaciones principales las dos primeras e y, z como −1 0 incógnitas principales. x =α y + z = 1 x =α  →  y =α  =0 x − y z = 1−α λ =1 rang( A) = rang( A* ) = 2 ⇒ sistema compatible indeterminado con tantas soluciones como ℝ Seguimos tomando como ecuaciones principales las dos primeras e principales.

y, z como incógnitas

x =α  x + y + z = 1 x =α →  y = −1 + α  =1 x − y z = 2 − 2α 18. Discutir el sistema según los valores del parámetro a. ax + 2 y + 6 z = 0  2 x + ay + 4 z = 2 2 x + ay + 6 z = a − 2  Resolverlo para a = 2.

Madrid, junio 99

a 2 6 2 4 2 6

≠ 0 ⇒ rang( A) ≥ 2 ∀ a .

2 a 4 = 2a 2 − 8 ; 2 a 6

A = 0 ⇒ a = −2

o a=2

Si a ≠ 2 y a ≠ −2 A ≠ 0 ⇒ rang( A) = rang( A* ) = 3 ⇒ Sistema compatible determinado:

 −2 2 6   −2 2 6 0      * Si a = −2  → A =  2 −2 4  y A =  2 −2 4 2   2 −2 6   2 −2 6 −4      En este caso observamos que en ambas matrices es C2 = − C1 , por lo que prescindimos de una de ella. Sabemos que r ( M ) = 2 , mientras que en M: - 12 -

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MATEMÁTICAS II

−2 6

0

2 4 2 = 128 2 6 −4 por lo que r ( M ) = 3 y en consecuencia el sistema es incompatible.

2 2 6   Si a = 2  → A =  2 2 4 2 2 6  

y

 2 2 6 0   A =  2 2 4 2  2 2 6 0   *

En este caso es rang( A) = 2 y el de A* depende del determinante:

2 6 0 2 4 2 , que es nulo, pues son iguales la primera y tercera fila, por lo que rang( A* ) = 2 2 6 0 El sistema es compatible indeterminado con tanta soluciones como elementos tiene ℝ . 2 6 ≠ 0 , tomamos como incógnitas principales y, z y como no principal x = α . Las ecuaciones 2 4 principales serán entonces las dos primeras: z = −1 2 y + 6 z = −2α  y + 3 z = −α  y + 3 z = −α ⇔ ⇒ ⇒ .  y = 3 −α  y + 2z = 1 − α  − y − 2 z = −1 + α 2 y + 4 z = 2 − 2α Es decir, las soluciones son las ternas de la forma: (x, y , z ) = (α ,3 − α ,−1) = (0,3,−1) + α (1,−1,0 ) 19. Dado el sistema

− x + λy + 2 z = λ  z= 2  2 x + λy −  λx − y + 2 z = λ  a) Discutirlo según los valores de λ. b) Resolverlo para λ = −1 c) Resolverlo para λ = 2

Madrid, prueba tipo 99-00

−1 λ 2 −1 2 2 a) ≠ 0 ⇒ r ( A) ≥ 2 ∀λ y como 2 λ − 1 = −3λ2 − 6λ − 3 = −3 (λ + 1) , resulta: 2 −1 λ −1 2  −1 −1 2  −1 −1    * λ = −1 A =  2 − 1 − 1 y A =  2 −1  −1 −1 2  −1 −1    compatible indeterminado con tantas soluciones como λ ≠ −1

2 −1  −1 2  2 −1 ℝ

rang( A) = rang( A* ) = 2 Sistema

rang( A) = rang( A* ) = 3 Sistema compatible determinado. - 13 -

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Problemas PAU. Sistemas de ecuaciones.

MATEMÁTICAS II

b) λ = −1 Es evidente que en este caso la primera y la tercera ecuación son iguales, por lo que prescindimos de una de ellas. Aplicando Gauss: x = 1+α  − 1 − 1 2 ⋮ − 1  − 1 − 1 2 ⋮ − 1     ⇒ y = α →   2 −1 −1 ⋮ 2  0 − 3 3 ⋮ 0 z =α c) Para λ = 2 , como λ ≠ −1 , el sistema es compatible determinado. Resolviendo para λ = 2 resulta: x = 2 3 , y = 2 3, z = 2 3 20. Discutir el sistema según los valores del parámetro a y resolverlo cuando sea posible. (a + 1)x + 2 y + z = a + 3  ax + y = a   ax + 3 y + z = a + 2  Madrid, septiembre 99

1 0 ≠ 0 ⇒ r ( A) ≥ 2 ∀ a 3 1

a +1 2 1 y como

1 0 = a + 1 , hay que distinguir dos casos: 3 1

a a

a ≠ −1 Se trata de un sistema de Cramer, siendo sus soluciones: a+3 2 1 a +1 a + 3 1

x=

a 1 0 a+2 3 1 a +1

a a

y=

= 1,

a 0 a+2 1 a +1

= 0,

z=

a +1 2 a + 3 a 1 a a 3 a+2 a +1

=2

a = −1

 0 2 1   En este caso: A =  − 1 1 0   − 1 3 1  

y

 0 2 1 2   A =  −1 1 0 −1  −1 3 1 1   *

2 1 *

Ya sabemos que rang( A) = 2 y para encontrar el de A sólo hay comprobar que:

2

1 0 −1 = 0 , 3 1 1

por lo que rang( A) = rang( A* ) = 2 ⇒ Sistema compatible indeterminado, con tantas soluciones como elementos tiene ℜ . 2y + z = 2 (a + 1)x + 2 y + z = a + 3    a =−1 ax + y = a  → − x + y = −1   − x + 3 y + z = 1 ax + 3 y + z = a + 2   0

2

−1 1

≠ 0 determina las ecuaciones e incógnitas principales

2y +   y − x +

x =α 2 z =α  → y = 1 − α 2 ∀α ∈ ℝ = −1 z = 2 −α 2

z=

- 14 -

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Problemas PAU. Sistemas de ecuaciones.

MATEMÁTICAS II

21. Consideramos el sistema de ecuaciones:

y+ z= 1 (λ − 1)x + y+ z= λ x + (λ − 1) y − z = 0 a) Discutir según los valores del parámetro λ b) Resolver para λ = 0. c) Resolver para λ = 3.

Madrid: septiembre de 2000

λ = 0  1 1 = λ − 1 0 0 = λ ⋅ (λ − 1) ⇒ A = 0 ⇔  o a) A = λ − 1 λ = 1 1 λ −1 −1 1 λ 0  0

1

1

0

1 1

Si λ ≠ 0 y λ ≠ 1 rango( A) = rango( M ) = 3 ⇒ sistema compatible determinado Si λ = 0 :

0 1 1  0 1 1 1     A =  −1 1 1  y M =  −1 1 1 0  1 − 1 − 1  1 −1 −1 0     En este caso es inmediato comprobar que rango( A) = rango( M ) = 2 , porque en ambas es F3 = − F2 , por lo que es un sistema compatible indeterminado con tantas soluciones como elementos tiene ℜ . Si λ = 1 : 0 1 1  0 1 1 1     A = 0 1 1  y M = 0 1 1 1  1 0 − 1 1 0 −1 0     0 1 ≠ 0 . También rango( M ) = 2 , pues F1 = F2 . También 1 0 ahora se trata de un sistema compatible indeterminado con tantas soluciones como elementos tiene ℜ . En este caso rango( A) = 2 con

b) Vimos en el apartado anterior que para λ = 0 tenemos un sistema compatible indeterminado, y observando la matriz M, equivalente a: x − y − z = 0 z =α →  (x, y , z ) = (1,1 − α ,α ) = (1,1,0 ) + α (0,−1,1) ∀α ∈ ℜ y + z =1 c) También por el apartado anterior sabemos que para λ = 3 el sistema es compatible determinado: x =1 y+ z = 1 2x + y+ z = 3 ⇒ y =0 z =1 x + 2y − z = 0

- 15 -

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MATEMÁTICAS II

22. a) Discutir en función del parámetro k y resolver el sistema.  x + y + 5z = 0  = 0 S1 2 x − ky  x− y+ z = 0  b) Discutir en función de λ y resolver cuando sea posible. y + 5z = 0  x+ 2 x − 3 y = 0  S2  y+ z= 0  x−  x + 2 y + 2λz = λ Madrid: septiembre 2000

a) El sistema es homogéneo, por lo que siempre tiene solución, el número de éstas depende de: 1 1 5

∆ = 2 − k 0 = 4k − 12 1 −1 1 Si k ≠ 3 , el sistema es compatible determinado, cuya única solución es la trivial x = y = z = 0 . Si k = 3 el sistema es compatible determinado con ran( A) = ran( M ) = 2 . Tomando como ecuaciones principales la primera y tercera: x = −3α x + y = −5α ⇒ y = −2α x − y = −α z =α b) Si comparamos este sistema con el anterior, vemos que las tres primeras ecuaciones de este segundo, es el caso anterior con k = 3 , es decir, precisamente el caso en el que una de las ecuaciones era combinación lineal de las demás, por lo que podemos prescindir de una de ellas. Prescindimos de la segunda. y + 5z = 0 x +  y+ z= 0 x −  x + 2 y + 2λz = λ 

1

1

5

1 −1 1 = 14 − 4λ 1 2 2λ Si λ ≠ 7 2 el sistema es compatible determinado, siendo su solución: 0 1 5 1 0 5 0 −1 1 λ 2 2λ x=

14 − 4λ

=

3λ , 7 − 2λ

1 0 1 1 λ 2λ y=

14 − 4λ

=

2λ , 7 − 2λ

1

1 −1 0 1 2 λ z=

14 − 4λ

Si λ = 7 2 comprobamos que ran( A) ≠ ran( M ) ⇒ sistema incompatible.

- 16 -

1 0

=

−λ 7 − 2λ

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Problemas PAU. Sistemas de ecuaciones.

MATEMÁTICAS II

x− y =2   23. Dado el sistema: ax + y + 2 z = 0  x − y + az = 1  a) Discutir el sistema según los valores del parámetro a b) Resolver el sistema para a = −1 c) Resolver el sistema para a = 2

x

y

z

y

x

z

Madrid: Junio 2002

y

x

z

0 ⋮ 2  1 −1 0 ⋮ 2  −1 1 0 ⋮ 2  −1 1  C1 ↔ C 2     a)  1 2 ⋮ 0   →  1 a 2 ⋮ 0   →  0 a + 1 2 ⋮ 2  a  1 − 1 a ⋮ 1  − 1 1 a ⋮ 1 0 0 a ⋮ − 1      Para a = 0 r ( A) = 2 ≠ r ( A+ ) = 3 ⇒ Sistema incompatible. Para a = −1 las dos últimas filas son proporcionales: r ( A) = 2 = r ( A+ ) ⇒ Sistema compatible indeterminado con tantas soluciones como ℜ Para a ≠ 0 y a ≠ −1 r ( A) = ( A+ ) = 3 ⇒ Sistema compatible determinado. b) Para a = −1 el sistema dado es equivalente a: x = 2 +α − y + x = 2 y =α → y = α ⇔ (x, y , z ) = (2,0,1) + α ⋅ (1,1,0 ) ∀α ∈ ℜ   z = 1 z =1 x =1 − y + x = 2  c) Para a = 2 es equivalente a: 3x + 2 z = 2 ⇒ y = −1 z = −1 2 2 z = −1 24. Se considera el sistema de ecuaciones: ( m + 2 ) x + ( m − 1) y − z = 3  −y +z = 2  mx  x + my −z = 1  a) Discutirlo para los distintos valores de m b) Resolverlo para m = 1

Madrid: junio de 2003

 m + 2 m −1  a)  m −1  1 m  m + 2 m − 1 −1 F → F + F m+2 2 2 1 F3 → F3 − F1 m −1 1 → 2m + 2 1 −1 −m − 1 m m ≠ 0 y m ≠ −1 sistema compatible determinado. - 17 -

−1 3   1 2 −1 1  m − 1 −1 m−2 1

0 0

⇒ A = −m 2 − m

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MATEMÁTICAS II

Problemas PAU. Sistemas de ecuaciones.

2 −1 3 m=0

rango( A) = 2 y como 0 −1 2 = −1 rango( A* ) = 3 sistema incompatible 1 0 1

b) Para m = 1 , según el apartado anterior, el sistema es compatible determinado, resultando:  3 0 −1  x   3   x = 3 2         1 −1 1  ⋅  y  =  2  ⇒  y = 3 2  1 1 −1  z   1   z = 1        25. Dado el sistema de ecuaciones: ( m − 1) x + y + z = 3  mx + ( m − 1) y + 3 z = 2m − 1   x + 2 y + ( m − 2) z = 4 a) Discutirlo según los distintos valores del parámetro m. b) Resolverlo cuando sea compatible indeterminado. Madrid: junio de 2005

1 1   m −1   A= m m −1 3  ⇒ A = m3 − 5m 2 + 2m + 8 = (m + 1)(m − 2)(m − 4)  1 m − 2  2  m ≠ −1 ∧ m ≠ 2 ∧ m ≠ 4

rang ( A ) = rang ( A* ) = 3 ⇒ sistema compatible determinado.

 −2 1 1   −2 1 1 3  rang ( A ) = 2 ≠ rang ( A* ) = 3 .     A = − 1 − 2 3 A * = − 1 − 2 3 − 3 m = −1     Sistema incompatible.  1 2 −3   1 2 −3 4      1 1 1 1 1 1 3 rang ( A ) = 2 ≠ rang ( A* ) = 3 .     A =  2 1 3 A* =  2 1 3 3  m=2 Sistema incompatible. 1 2 0 1 2 0 4     3 1 1  3 1 1 3 rang ( A ) = rang ( A* ) = 2 .     A =  4 3 3 A* =  4 3 3 7  m=4 Sistema compatible 1 2 2 1 2 2 4 indeterminado     3 x + y + z = 3 z =α 3 x + y = 3 − α 3x + y = 3 − α  y = 9 5 −α ⇒ ⇒ ⇒ −5 y = −9 + 5α ⇒  x + 2 y + 2z = 4 x + 2 y = 4 − 2α −3 x − 6 y = −12 + 6α x = 2 5 x = 2 5  Solución:  y = 9 5 − α z = α 

- 18 -

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Problemas PAU. Sistemas de ecuaciones.

MATEMÁTICAS II

 x + ( k + 1) y + 2 z = −1  26. Dado el sistema de ecuaciones lineales: kx + y + z = k , se pide: ( k − 1) x − 2 y − z = k + 1  a) Discutirlo según los distintos valores del parámetro k. b) Resolverlo cuando tenga infinitas soluciones. Madrid: septiembre de 2007

 1 k +1 2  1 1   Sea A =  k 1 1  , como = 1 ≠ 0 ⇒ rang ( A ) ≥ 2 ∀λ ∈ ℝ . − 2 − 1  k − 1 −2 −1  

1 |A| =

k+1 2

k

1

1

k−1

−2

−1

= 2k 2 − 5k + 2

λ ≠1 2 ∧ λ ≠ 2

Caso I

rang ( A ) = rang ( A* ) = 3 .

Sistema compatible determinado

λ =1 2

Caso II

A=

1

3 2

2

1 2

1

1

A∗ =

− 12 −2 −1

1

3 2

2 −1

1 2

1

1

− 12 −2 −1

rang ( A ) = 2 ≠ rang ( A* ) = 3

1 2

Sistema incompatible

3 2

λ=2

Caso III

A=

A = 0 ⇒ λ =1 2 ∨ λ = 2

1 3

2

2 1

1

1 −2 −1

A∗ =

1 3

2 −1

2 1

1

2

1 −2 −1 3

rang ( A ) = rang ( A* ) = 2

Sistema compatible indeterminado, con tantas soluciones como elementos tiene ℝ

 4 x + 4λ y + 2 z = 2 λ  27. Dado el sistema:  λ x + y − λ x = λ , se pide:  4λ x + 4λ y + λ z = 9 a) Discutir el sistema según los valores del parámetro λ . b) Resolver el sistema para λ = −1

4 4λ 2 |A| =

λ

1 −λ

4λ 4λ λ

Madrid: Junio de 2009

4 4λ 2 = λ λ 1 −λ 4 4

2

= λ 24λ − 4 − 20λ 

1

- 19 -

λ = 0  A = 0 ⇒ λ = 1 λ = 1 5

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Problemas PAU. Sistemas de ecuaciones.

MATEMÁTICAS II

a) Si λ ≠ 0 ∧ λ ≠ −1 ∧ λ ≠ 1 5 rang ( A ) = rang ( A* ) = 3 ⇒ sistema compatible determinado. Se comprueba que tanto para λ = 0 ∨ λ = −1 ∨ λ = 1 5 es rang ( A ) = 2 ≠ rang ( A* ) = 3 ⇒ sistema incompatible. b) Para λ = −1 sabemos que el sistema es compatible determinado. Por Gauss:  −1 1 1 −1  4 −4 2 −2   −1 1 1 −1       →  4 −4 2 −2   →  0 0 6 −6  .  −1 1 1 −1    −4 −4 −1 9   −4 −4 −1 9   0 −8 −5 13        x = −1  − x + y + z = −1  El sistema es equivalente a:  − 8 y − 5 z = 13 ⇒ y = −1  z = −1 6 z = −6

28. Discutir según los valores del parámetro λ y resolver cuando sea posible: 6 x + 4 y + 2λ z = 2  =2 λ x + y − z 5 x + 3 y + 3 z = 2λ  Madrid: prueba tipo 03/04

 6 4 2λ 2  1 −1   λ 1 − 1 2 Como ≠ 0 ⇒ rang ( A ) ≥ 2 ∀λ ∈ ℝ   3 3  5 3 3 2λ     λ =1  −1 = 2·(3λ − 11λ + 8) ⇒ A = 0 ⇔  ∨ λ = 8 3 3 

6 4 2λ λ 1 5 3

2

Para λ ≠ 1 ∧ λ ≠ 8 3 es un sistema compatible determinado, sistema de Cramer 2

4 2λ

2

1

2λ 3 x=

−1 2

3

2·(3λ 2 − 11λ + 8)

=−

2·(λ − λ + 3) 3λ 2 − 11λ + 8 6

4

2

λ 1

2

y=

6

2

2λ

λ

2

−1

5

2λ

3

2·(3λ 2 − 11λ + 8)

4λ 2 − 9λ + 3) z= =− 2 2·(3λ 2 − 11λ + 8) 3λ − 11λ + 8 5

3 2λ

Para λ = 1 rang ( A ) = 2 ≠ rang ( A* ) = 3 ⇒ sistema incompatible. Para λ = 8 3 rang ( A ) = 2 ≠ rang ( A* ) = 3 ⇒ sistema incompatible.

- 20 -

=

2λ 3 − 7λ + 13) 3λ 2 − 11λ + 8

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Problemas PAU. Sistemas de ecuaciones.

MATEMÁTICAS II

29. Dado el sistema: (1 − a ) x − 2 y + 4 z = 0   x − (1 + a ) y + z = 0  − x + ay − z = 0 

a) Estudiar su compatibilidad según los valores del parámetro a. b) Resolver el sistema anterior cuando sea compatible indeterminado. Madrid:

junio de 2004

Se trata de un sistema homogéneo, por lo que siempre será compatible. 1− a 4 −2

1 −1

−(1 + a) 1 = −a − 3 a −1

Si a ≠ −3 ⇒ rang ( A ) = 3 ⇒ sistema compatible determinado, cuya única solución es la trivial. Si a = −3 ⇒ rang ( A ) = 2 ⇒ sistema compatible indeterminado, que resolvemos por Gauss.  4 −2 4 0   1 2 1 0 1 2 1 0       →  4 −2 4 0   →  0 −10 0 0   1 2 1 0    −1 −3 −1 0   −1 −3 −1 0   0 −1 0 0        x = α x + 2 y + z = 0 x=α   →  y = 0 ∀α ∈ ℝ El sistema es equivalente a y=0  z = −α 

λ x + 2 y + z = 0  30. Dado el sistema: λ x − y + 2 z = 0 , se pide:  x − λ y + 2 z = 0 a) Obtener los valores del parámetro λ para los cuales el sistema tiene soluciones distintas de x = y = z = 0. b) Resolver el sistema para λ = 5 Madrid: septiembre de 2009

a) El sistema homogéneo tiene solución distinta de la trivial si y sólo si rang ( A ) ≤ 3 ⇔ A = 0

λ 2 1 |A| =

λ −1 2

= λ 2 − 6λ + 5,

|A| = 0 ⇔ λ = 1 ∨ λ = 5

1 −λ 2 El sistema tiene solución distinta de la trivial si λ = 1 ∨ λ = 5 . b) Para λ = 5 es rang ( A ) = rang ( A* ) = 2 . x = α 5 x + 2 y + z = 0 x =α 2 y + z = −5α   → ⇒  y = −α − y + 2 z = −5α 5x − y + 2 z = 0  z = −3α

- 21 -

Alberto Entero Conde Maite González Juarrero

Problemas PAU. Sistemas de ecuaciones.

MATEMÁTICAS II

31. Discutir razonadamente, en función del parámetro k, el siguiente sistema:  x + ky + z = k + 2  kx + y + z = k   x + y + kz = −2 ( k + 1) Madrid: prueba tipo 09_10

1 k 1 k 1 1

2+k 2+k 2+k =

1 1 k

1 1 1

k

1

1

= k + 2 k 1 1

1

1

k

1 1 k

1

1

1

= k + 2 k − 1 0

0

0

= −k + 2k − 1 2

0 k−1

Para k ≠ −2 ∧ k ≠ 1 el sistema es compatible determinado

1 1 1 3 k =1

rang ( A ) = 1 ≠ rang ( A* ) = 2

1 1 1 1

Sistema incompatible.

1 1 1 −4 1 −2 1 k = −2

−2 1 1

0

rang ( A ) = rang ( A* ) = 2

1 −2

Sistema compatible indeterminado

1 −2 2

 x + ky − z = 0  32. Dado el sistema homogéneo: 2 x − y + 2 z = 0 ,  x − 4 y + kz = 0  a) Determínese para qué valores de k el sistema tiene soluciones distintas de la trivial. b) Resuélvase para el caso k = 3

Madrid: junio de 2010, general: A-3

a) El sistema tiene soluciones distintas de la trivial cuando A = 0 1 |A| =

k

−1

2 −1

2

1 −4

k

= − 2k 2 + k + 15 ⇒ |A| = 0  −2k 2 + k + 15 = 0 ⇒ k = −5 2 ∨ k = 3

No se pide, pero podemos añadir que dado que

2 −1 1 −4

= −7 ≠ 0 ⇒ rang ( A ) ≥ 2∀k ∈ ℝ :

•

Si k ≠ −5 2 ∧ k ≠ 3 ⇒ rang ( A ) = rang ( A* ) = 3. Sistema compatible determinado, cuya

•

única solución es la trivial. Si k = −5 2 ∨ k = 3 ⇒ rang ( A ) = rang ( A* ) = 2. Sistema compatible indeterminado con tantas soluciones como elementos tiene ℝ.

b) Como se ha dicho anteriormente, para k = 3 el sistema es compatible indeterminado, equivalente a:

- 22 -

Alberto Entero Conde Maite González Juarrero

Problemas PAU. Sistemas de ecuaciones.

MATEMÁTICAS II

 x = −5 7 α β =α 7  2 x − y + 2 z = 0 z =α 2 x − y + 2 z = −2α   → ⇒  y = 4 7 α ∀α ∈ ℝ ⇔   x − 4 y + 3z = 0  x − 4 y + 3 z = −3α z = α   x + ay − z = a  33. Dado el sistema: ax +2z = −2 , se pide:  x + z = −2  a) Discutirlo para los distintos valores del parámetro a. b) Resolverlo para a = 0 .

a) Discusión del sistema:

 x = −5β   y = 4β ∀β ∈ ℝ  z = 4β 

Madrid: junio de 2010, general: B-2

1 −1 = 2 ≠ 0 ⇒ rang ( A ) ≥ 2 ∀a. 1 1 1 a −1

|A| =

• •

a 0

2

1 0

1

= 2a − a 2 ; |A| = 0 ⇔ a = 0 ∨ a = 2

Si a ≠ 0 ∧ a ≠ 2, entonces rang ( A ) = rang ( A* ) = 3. Sistema compatible determinado.

1 −1 0  1 0 −1 0    Si a = 0 ⇒ rang ( A ) = 2 y A =  0 0 2 −2  . 0 2 −2 = 0 ⇒ rang ( A* ) = 2 .  1 0 1 −2  1 1 −2   rang ( A ) = rang ( A* ) = 2 ⇒ sistema compatible indeterminado con tantas soluciones como *

elementos tiene ℝ

 1 2 −1 2  1 2 2   • Si a = 2 ⇒ rang ( A ) = 2 y A =  2 0 2 −2  . 2 0 −2 = 4 ≠ 0 ⇒ rang ( A* ) = 3.  1 0 1 −2  1 0 −2   * rang ( A ) = 2 ≠ rang ( A ) = 3 ⇒ sistema incompatible. *

b) Resolución para a = 0 . Hemos visto que en este caso el sistema es compatible indeterminado, equivalente a:  x = −1 x − z = 0  ∀y = α ⇒  y = α ⇔ ( x, y, z ) = ( −1, 0, −1) + α ( 0,1, 0 )   2 z = −2  z = −1 

2 x + my + 3 z = 3  34. Se considera el sistema:  x + y − 2 z = 0 .  5 x + (m + 1) y + z = 9 a) Discútase según los valores de m. b) Resuélvase para m = 0.

- 23 -

Madrid: junio de 2010, específica: B-3

Alberto Entero Conde Maite González Juarrero

a) Discusión del sistema:

|A| =

2

3

1 −2

≠ 0 ⇒ rang ( A ) ≥ 2 ∀m .

2

m

3

1

1

−2

5 m+1

•

Problemas PAU. Sistemas de ecuaciones.

MATEMÁTICAS II

A = 0 ⇔ m = −3 2

= − 4m − 6.

1

Si m ≠ −3 2 , rang ( A ) = rang ( A* ) = 3. Sistema compatible determinado.

 2 −3 2 3 3  2   • Si m = −3 2 , rang ( A ) = 2 y A* =  1 1 −2 0  . 1  5 −1 2 1 9  5   Sistema incompatible. + 3z = 3 2 x  b) Resolución para m = 0.  x + y − 2 z = 0 . Para este valor 5 x + y + z = 9  determinado. 2 0

3

3

1 1 −2 0 5 1

1

9

1 1 −2 0

→

2 0

3

3

5 1

1

9

1

1

0 −2

→

3

−2 0 ≠ 0 ⇒ rang ( A* ) = 3 1 9

de m el sistema es compatible

−2 0 7

1

3

→

0 −4 11 9

 x + y − 2z = 0  Sistema equivalente a:  − 2 y + 7 z = 3 ⇒  − 3z = 3 

a)

−2 0

0 −2

7

0

−3 3

0

3

Septiembre de 2012: B-2

4 0

−k 3 k 2 k 1

1

x = 3   y = −5  z = −1 

= 4k  2x + 4 y  3 2 35. Dado el sistema: −k x + k y + kz = 0 , se pide:  x + ky = k2  a) Discutirlo según los valores del parámetro k. b) Resolverlo para k = 1. c) Resolverlo para k = 2 2

3

2 4 = −k

1 k

= −k2k − 4

k 0

•

Si k ≠ 0 ∧ k ≠ 2 ⇒ rang ( A ) = rang ( A* ) = 3. Sistema compatible determinado.

•

Si k = 0 ⇒ rang ( A ) = rang ( A* ) = 2. Sistema compatible indeterminado con tantas

•

soluciones como elementos tiene ℝ. Si k = 2 ⇒ rang ( A ) = rang ( A* ) = 2. Sistema compatible indeterminado con tantas soluciones como elementos tiene ℝ.

b) Para k = 1, y aplicando Gauss: - 24 -

Alberto Entero Conde Maite González Juarrero

2 4 0   −1 1 1 1 1 0 

Problemas PAU. Sistemas de ecuaciones.

MATEMÁTICAS II

1 1 1 0 1  1 1 0 1  F2 + F1   F3 − F2   0   →  0 2 1 1   →  0 2 1 1 F3 − 2 F1 0 2 0 2  0 0 −1 1 4      =1 x=0 x + y  El sistema propuesto es equivalente a:  2 y + z = 1 ⇒ y = 1  −z = 1 z = −1  c) Para k = 2, y operando como en el caso anterior: 2 −k

4 1 1 0  F1 ↔ F3  0  →  −1 1 1 2 4 0 1  

4 0 4k 3

1

k

2

k

2 k=2

0



4 0 8

k 0 k2

1

1

F1 = 2 F3  → F2 → F2 2

−8 4 2 0

2 0 4

1 

−4 2 1 0

2 0 4

2 0

4

0 10 1 16

x = 4 − 2α =4 x + 2 y y =α El sistema propuesto es equivalente a:   → y =α ∀α ∈ ℝ  10 y + z = 16 z = 16 − 10α

ax + 7 y + 5 z = 0  36. Dado el sistema:  x + ay + z = 3 , se pide:  y + z = −2  a) Discutirlo según los valores de a. b) Resolverlo cuando a = 4. c) Resolverlo cuando a = 2

Junio 2013

a 7 5 a)

∆ = 1 a 1 = a 2 − a − 2. 0 1 1

∆ = 0 ⇒ a = 2 ∨ a = −1

a ≠ 2 ∧ a ≠ −1 rang ( A ) = rang ( A* ) = 3 Sistema compatible determinado. 2 7 5

0

1 2 1

3

1 2 1

3

2 7 5

0

1 2 1

3 1 2 1

a=2

→

0 1 1 −2

0 3 3 −6

→

0 1 1 −2

→

3

0 1 1 −2

0 1 1 −2

rang ( A ) = rang ( A* ) = 2. Sistema compatible indeterminado, con tantas soluciones como elementos tiene ℝ. b) Para

a = 4, es sistema es compatible determinado:

4 7 5

0

1 4 1

3

0 1 1 −2

→

1 4 1

3

4 7 5

0

0 1 1 −2

1 →

4

1

3

0 −9 1 −12 0

1

1 −2

- 25 -

→

1

4

1

0

1

1

3 −2

0 −9 1 −12

→

1 4 1

3

0 1 1

−2

0 0 10 −30

Alberto Entero Conde Maite González Juarrero

Problemas PAU. Sistemas de ecuaciones.

MATEMÁTICAS II

x + 4 y + z = 3 x=2  El sistema es equivalente a  y + z = −2 ⇒ y = 1  10 z = −30 z = −3 

c) Para a = 2 el sistema es compatible indeterminado.

2 7 5

0

1 2 1

3

1 2 1

3

2 7 5

0

1 2 1

3 1 2 1

→

0 1 1 −2

0 3 3 −6

→

0 1 1 −2

0 1 1 −2

→

3

0 1 1 −2

x = 7 +α x + 2 y + z = 3 Equivalente a  ⇒ y = −2 − α  y + z = −2 z =α

 x + y + mz = m + 2  , se pide: 37. Dado el sistema de ecuaciones: 2 x + ( m + 1) y + ( m + 1) z = −m  ( m + 2 ) x + 3 y + ( 2m + 1) z = 3m + 4 a) Discutirlo según los distintos valores del parámetro real m b) Resolverlo cuando tenga infinitas soluciones. Madrid: Prueba tipo curso 2007_08

a)

1 Δ=

1

= 3m − m 3 − 2 ⇔ ∆ = 0 ⇒ m = 1 ∨ m = −2

m+1 m+1

2 m+2

Caso I

m

3

2m + 1

m ≠ 1 ∧ m ≠ −2 rang ( A ) = rang ( A* ) = 3

Caso II

Sistema compatible determinado

m =1

1 1 1 A=

2 2 2

1 1 1 3 ⇒ rang ( A ) = 1

A∗ =

3 3 3

2 2 2 −1

⇒ rang ( A* ) = 2

3 3 3 7 Sistema incompatible.

Caso III m = −2

1 1 −2 A=

2 −1 −1

1 1 −2 0 ⇒ rang ( A ) = 2

A = ∗

0 3 −3

2 −1 −1 2 0 3 −3 −2

Sistema compatible indeterminado. - 26 -

⇒ rang ( A* ) = 2

Alberto Entero Conde Maite González Juarrero

Problemas PAU. Sistemas de ecuaciones.

MATEMÁTICAS II

b) Hay que resolver para m = −2 . Tomando como ecuaciones principales las dos últimas: x = 2 3 + α 2 x − y − z = 2 z =α 2 x − y = 2 + α   →    ⇒  y = −2 3 + α ∀α ∈ ℝ 3 y − 3z = −2 3 y = −2 + 3α   z = α 38. Se considera el sistema en las incógnitas x, y, z, t z = 0  x + 2y +  y + 2z + t = 0  2 x + 2λy − t= 0  a) Encuentra los valores de λ para los que el rango de la matriz de coeficientes del sistema es 2 b) Resolver el sistema anterior para λ = 0 Madrid: junio 1998

Es un sistema homogéneo, por lo que tiene solución 1 2  A = 0 1  2 2λ 

∀ λ , su número depende del rango de:

0  2 1 0 − 1 1

El estudio de este rango lo hacemos por el método de Gauss, para lo que conviene desplazar el parámetro λ todo lo posible hacia la parte inferior derecha de la matriz: x t z y

 1 2 1 0 ⋮ 0  1 0 1 2 ⋮ 0   C2 ↔C4   1 2 1 ⋮ 0    →  0 1 2 1 ⋮ 0  → 0  2 2λ 0 − 1 ⋮ 0   2 − 1 0 2λ ⋮ 0      x t z y x t z y 1 2 ⋮ 0 2 ⋮ 0 1 0 1 0 1     1 2 1 ⋮ 0  →  0 1 2 1 ⋮ 0 0  0 − 1 − 2 2λ − 4 ⋮ 0   0 0 0 2λ − 3 ⋮ 0      rang ( A ) = 2 ⇔ λ = 3 2 1 2 NOTA: También podríamos haberlo hecho con menores. Como deben anularse simultáneamente: 1 2 1

0 1 2 = 6 − 4λ 2 2λ 0

1 y

2

0 1

≠ 0 , para que rang ( A) = 2

0

0 1 1 = 3 − 2λ 2 2λ − 1

Ambos se anulan para λ = 3 2 . Para este valor del parámetro es rang( A) = 2 b) Para λ = 0 es rang( A) = 3 , por lo que el sistema tiene tantas soluciones como ℝ - 27 -

Alberto Entero Conde Maite González Juarrero

Problemas PAU. Sistemas de ecuaciones.

MATEMÁTICAS II

x t

z

y

2 ⋮ 0 1 0 1   1 ⋮ 0 0 1 2 0 0 0 − 3 ⋮ 0   El sistema es equivalente a: x =α z+ 2y = 0 x + t + y=0  =α t + 2z + y = 0 z→   z =α  − 3y = 0  t = −2α

1 1 1 λ    x   1 1 λ   1 39. Se considera el sistema de ecuaciones:   y = 1 λ 1   1     λ 1 1   z   1      a) Discutirlos según los valores de λ b) Resolverlo para λ = −3 c) Resolverlo para λ = 1

Madrid, junio de 2001

a) La matriz A no es cuadrada, pero sí A* , por lo que podemos empezar calculando A*

A* =

1 1 1 λ 1 1 λ 1 1 λ 1 1 λ 1 1 1 Ci −C4

=

3+ λ 3+ λ 3+ λ 3+ λ 1 1 λ 1 =

λ 1

1 λ

(3 + λ )

0 0

1 1

1 1 0 1 λ −1 1

0 0

0 λ −1 λ −1 0

0 0

1 1

1 1 1 1 1 1 λ 1 Ci −C4 = (3 + λ ) = 1 λ 1 1 λ 1 1 1

3

= ( 3 + λ )( λ − 1)

λ ≠ −3 ∧ λ ≠ 1 rang ( A* ) = 4 > rang ( A ) ≤ 3 ⇒ Sistema incompatible.

λ = −3

1  1 1  λ

1 1 λ  1   1 λ 1  1 → λ 1 1  1   1 1 1   −3

1 −3  1   −3 1  F4 →∑ F1  1  → 1 −3 1 1    1 1 1 0 1 1

1 −3    1 1 1 −3  −3 1    →  0 0 −4 4  →  −3 1 1     0 −4 0 4  0 0 0 1 1

 1 1 1 −3    *  0 −4 0 4  rang ( A ) = rang ( A ) = 3 ⇒ Sistema compatible determinado  0 0 −4 4   

- 28 -

Alberto Entero Conde Maite González Juarrero

λ =1

1  1 1  λ

1 1 λ  1   1 λ 1  1 → λ 1 1  1   1 1 1  1

Problemas PAU. Sistemas de ecuaciones.

MATEMÁTICAS II

1 1 1 Sistema compatible  1 1 1 indeterminado con tantas rang ( A ) = rang ( A* ) = 1 ⇒ soluciones como elementos tiene 1 1 1  ℝ2. 1 1 1

b) Para λ = −3 el sistema dado es equivalente a: x + y + z = −3

y z

x = −1 = −1  → y = −1 z = −1 = −1

x = 1−α − β c) Para λ = 1 la única ecuación independiente es: x + y + z = 1  → y = α z=β NOTA: Discusión por Gauss 1 1 1 λ 3+ λ 3+ λ 3+ λ 3+ λ      1 1 λ 1  F1 → ∑ Fi  1 1 λ 1   → 1 λ 1 1  1 λ 1 1      1 1 1  λ 1 1 1   λ y =α z=β

λ ≠ −3 En ese caso podemos dividir la primera fila por 3 + λ ≠ 0 :

1 1 1  1 1 λ 1 λ 1  λ 1 1

1  1 1 1 1  1 1 1 1       1  0 0 λ −1 1  F4 → F2 + F3 + F  0 0 λ −1 1  →  →  0 λ −1 1  0 λ − 1 0 1  0 1       1  0 1 − λ 1 − λ 1 − λ  0 0 1 − λ  0

Si además de ser λ ≠ −3 es

λ ≠ 1 , ninguna de las filas de la matriz es nula, por lo que tanto A

como A tienen el máximo rango que sus dimensiones permiten: rang ( A ) = 3 ≠ rang ( A* ) = 4 ⇒ *

sistema incompatible. Para finalizar el estudio de la compatibilidad habría que analizar los casos λ = −3 y λ = 1, que haríamos como se ha visto anteriormente.

1 m 1   m −1   40. Dada la matriz A =  1 m −1 m 1  , se pide:  1 1 2 m − 1  a) Estudiar el rango de A según los valores del parámetro m. x   0 y b) En el caso m = 0, resolver el sistema A ⋅   =  0  . z     0 t  Madrid: septiembre de 2010 - 29 -

Alberto Entero Conde Maite González Juarrero

Problemas PAU. Sistemas de ecuaciones.

MATEMÁTICAS II

a) Si nos fijamos en las columnas, vemos que C3 = C1 + C2 , por lo que podemos prescindir de ella

1 1   m −1   al estudiar el rango: rang ( A ) = rang  1 m −1 1 .  1 1 m − 1  m −1 1 1 m +1 m +1 m +1 ∆=

1 1

m −1 1 = 1 m −1 1

1

1 1

1

1

1

m −1 1 = ( m + 1) 1 m − 1 1 = 1 m −1 1 1 m −1

1 2

( m + 1) 0

m−2 0 = ( m + 1)( m − 2 ) . 0 0 m−2

∆ = 0 ⇔ m = −1 ∨ m = 2

m ≠ −1 ∧ m ≠ 2 En este caso rang ( A ) = 3 .

 −2 1 1  −2 1   m = −1 rang ( A ) = rang  1 −2 1  = 2, pues ≠ 0. 1 − 2  1 1 −2     1 1 1   m = 2 rang ( A ) = rang  1 1 1 = 1.  1 1 1   b) Se trata de resolver un sistema homogéneo, y lo hacemos por Gauss:  −1 1 0 1 0   −1 1 0 1 0       1 −1 0 1 0  →  0 0 0 2 0  . El sistema es equivalente a:  1 1 2 −1 0   0 2 2 0 0      −x + y + t = 0

 x = y y =λ  2 y + 2 z = 0 ⇒  z = − y → ( x, y , z, t ) = ( λ , λ , −λ , 0 ) ∀λ ∈ ℝ es solución del sistema t = 0 2t = 0 

 1 3   1 2 λ   y B =  λ 0  con λ ∈ ℝ . 41. Se consideran las matrices A =   1 − 1 − 1  0 2   a) Encuentra los valores de λ para los que A B es invertible. b) Encuentra los valores de λ para los que BA es invertible. c) Dados a y b números reales cuales quiera, ¿puede ser compatible determinado el sistema:  x   a A⋅ y  =  ?  x b   Madrid, junio 99

- 30 -

Alberto Entero Conde Maite González Juarrero

1 1 2 λ   AB =   ⋅ λ  1 −1 −1  0 −1 ∃ (A ⋅ B) ⇔

a)

b)

Problemas PAU. Sistemas de ecuaciones.

MATEMÁTICAS II

3   1 + 2λ 3 + 2λ   ⇒ A ⋅ B = 2λ2 + 3λ − 2 0  =  1 − λ 1  2   2λ2 + 3λ − 2 ≠ 0 , es decir, si λ ≠ −2 y λ ≠ 1 2 .

4 −1 λ − 3  1 3  4 − 1 λ − 3 F1 − 4 F3   1 2 λ    2  =  λ 2λ B ⋅ A =  λ 0  ⋅  λ  ⇒ B ⋅ A = 2λ 1 2 λ = F2 − F 1 − 1 − 1    0 2 2 −2 −2  1 −1 −1     0

3

λ +1

3 λ +1 = 2λ 0 3 λ + 1 = 2λ = 0 ∀λ . Es decir, B ⋅ A nunca tiene inversa. 3 λ +1 1 −1 1 c) El sistema nunca puede ser compatible determinado, ya que tiene tres incógnitas mientras que r ( A) = 2 ∀ λ , a, b 42. Dadas las matrices:  −2 4 2   −2   x       A =  −1 m m  , B =  0  , X =  y  ,  −1 2 1   −1  z       a) Estudiar el rango de A según los valores de m. b) Calcular el determinante de A20 . c) Para m = −2, resolver el sistema AX = O. d) Para m = 0, resolver el sistema AX = B.

0   O =  0  , se pide: 0  

Madrid prueba tipo 2014-15

a) Aplicando Gauss −2 4 2 −1 m m

→

−1 2 1

−1 m m −1 2 1

→

1 −2 −1 −1 m

m

1 →

−2

−1

0 m−2 m−1

rang ( A ) = 2 ∀m , porque la segunda fila no se anula para ningún valor de m. Usando determinantes  −1 rang ( A ) = rang   −1 −1 ∆1 = −1

m m  ≥ 1 ∀m, siendo 1 si se anulan simultáneamente: 2 1 m −1 m = m−2 y ∆2 = = m −1 2 −1 1

Como ∃m ∈ ℝ ∆1 = ∆ 2 = 0, definitivamente rang ( A ) = 2 ∀m F1 = 2 F2

b) A = 0 ∀m ⇒ A20 = 0 ∀m c) Par m = −2 , y aplicando el método de Gauss: - 31 -

Alberto Entero Conde Maite González Juarrero −2 4

2 0 1 2 2 0

−1 −2 −2 0 −1 2

Problemas PAU. Sistemas de ecuaciones.

MATEMÁTICAS II

→

1 0

1 2 2 0 →

−1 2 1 0

0 4 3 0

El sistema es equivalente a:  x = −λ 2 λ =−4α  z =λ   →  y = −3λ 4 ∀λ ∈ ℝ ⇔ 4 y + 3z = 0 z = λ 

x + 2 y + 2z = 0

 x = 2α   y = 3α ∀α ∈ ℝ  z = −4α 

d) Hacemos m = 0 y aplicamos Gauss −2 4 2 −2 −1 0 0 0

→

−1 2 1 −1

−1 0 0 0 −1 2 1 −1

1 0 0 0 →

0 2 1 −1

El sistema es equivalente a: x=0 y =λ  → 2 y + z = −1

x = 0  ∀λ ∈ ℝ y = λ  z = −1 − 2λ 

 1 0   2 0 − 2  43. Siendo las matrices: A =  1 − 1 y B =  3 − 1 1    − 2 2   a) ¿Se cumple la igualdad rango( A ⋅ B ) = rango( A) ⋅ rango(B ) ? Justifica la respuesta. a b c   tales que X A = I b) Encuentra todas las matrices X =  d e f  c) ¿Existe alguna matriz Y cuadrada de orden 2, tal que A Y = B t ? Justifica la respuesta. Madrid: septiembre de 1998

a) Es inmediato comprobar que r ( A) = r ( B) = 2 ⇒ r ( A) ⋅ r ( B) = 4 , mientras que A ⋅ B es una matiz 3× 3 , por lo que su rango es menor o igual que 3, por lo es imposible que se cumpla la igualdad  a + b − 2c = 1  1 0  − b + 2c = 0   1 0 a b c     ⇔   ⋅  1 − 1 =  b) X A = I ⇔   d e f   − 2 2 0 1 d + e − 2 f = 0   − e + 2 f = 1 Este sistema, si observamos dos a dos sus ecuaciones, sumando las dos primeras se obtiene que a = 1 y de la segunda se obtiene b = 2 c . Sumando las dos últimas se obtiene que d = 1 y de la cuarta ecuación resulta e = 2 f − 1 Resumiendo, la matriz X es de la forma: α 1 2α  X =  1 2 β − 1 β  El sistema se pude resolver recurriendo a un método más general, por ejemplo el de Gauss:

- 32 -

Alberto Entero Conde Maite González Juarrero

a

MATEMÁTICAS II

b

c d

e

Problemas PAU. Sistemas de ecuaciones.

f

1 −2 0 0 0 1  2 0 0 0 0 −1 0 0 0 1 1 −2  0 0 0 0 −1 2 

⋮ 1  ⋮ 0 ⋮ 0  ⋮ 1

Que se convierte en triangular, si llevamos la columna de los coeficientes de c al final. Efectivamente: a b d e f c 1 0 0 0 − 2 ⋮ 1 1   0 0 2 ⋮ 0 0 −1 0 0 0 1 1 −2 0 ⋮ 0   0  0 0 − 1 2 0 1 ⋮   Al resolverlo se obtiene el resultado anterior, pero siempre que sea posible separarlo en “sistemas independientes”, será más cómoda su resolución.

44. Estudia, en función de m, el a  b existe una matriz X =  c  d 

c d a b

 1 1 m m   rango de M =  m m 1 1  . Para m = 0 , comprueba si  1 m 1 m   a  c tal que M ⋅ X = I . b  d 

Hacemos la discusión por el método de Gauss

 1 1 m m   F2 ↔ F3  m m 1 1   →  1 m 1 m  

 1 1 m m  F2 → F2 − F1   F3 → F3 − mF1 →  1 m 1 m     m m 1 1   

La última fila se anula para m = ±1 . Para m por lo que el rango es: 3  r ( A) = 2 1 

1 m m  1   0  0 m −1 1− m 0 0 1 − m 2 1 − m 2  

= 1 también se anula la segunda, pero no para m = −1 ,

si m ≠ 1 y m ≠ −1 si si

Para el caso m = 0 , resulta:

- 33 -

m = −1 m =1

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MATEMÁTICAS II

Problemas PAU. Sistemas de ecuaciones.

a c a  1 0 0  1 1 0 0   a + b c + d a + c  1 0 0   b d c       M ⋅ X = I ⇔ 0 0 1 1 ⋅  = 0 1 0 ⇔ c + d a + b b + d  =  0 1 0   1 0 1 0  c a b   0 0 1  a + c a + c a + b  0 0 1   d b d          a + b = 1 c + d = 0  Es decir:  , cuya matriz de coeficientes es: a + c = 0 b + d = 0 1  0 1  0 

1 0 0 ⋮ 1 1 1   0 1 1 ⋮ 0 0 0  →   0 1 0 ⋮ 0 0 −1     1 0 1 ⋮ 0 1 0

1 1  0 −1 0 0  0 0 

0 1 1 1

0 0 1 1

1  ⋮ − 1  → ⋮ 0  ⋮ − 1 ⋮

0 0 ⋮ 1 1 0 1   1 1 ⋮ 0 0 −1 1  →   1 0 ⋮ −1 0 0 1     0 1 ⋮ 0 1 0 0

1 0 1  0 − 1 1 0 0 1  0 0 0 

0 0 1 0

1  ⋮ − 1 ⋮ 0  ⋮ − 1

0 ⋮ 1  0 ⋮ − 1  → 1 ⋮ 0  1 ⋮ 0 

⋮

El sistema es incompatible, es decir no existe la matriz X.

1 1 1    45. Se considera la matriz A(t ) =  t 2 t 2  0 1 0    a) Determina los valores del número real t para los que el determinante de A(t ) es cero. b) Hallar la inversa de la matriz A(t ) para t = −1 c) Resolver para t = 1 el sistema:  x   1     A(t )  y  =  0   z   − 1     Prueba tipo curso 96-97

1 1

1

a) A(t ) = t 2 t 2 = t − t 2 , que se anula para t = 0 y t = 1 . 0 1 0 b) Como A(−1) = −2 ≠ 0 , A(−1) tiene inversa. Llevando t = −1 en la expresión de A(t ) y obteniendo la correspondiente matriz de adjuntos, resulta: −1  1 1 1 1 2 − 1 2 1 2      0 1   −1 2 1 =  0  0 1 0 1 2 1 2 − 3 2      d) Lo resolvemos para t = 1 aplicando el método de Gauss: - 34 -

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Problemas PAU. Sistemas de ecuaciones.

MATEMÁTICAS II

1 1 1 ⋮ 1  1 1 1 ⋮ 1      →  0 1 0 ⋮ − 1 el sistema es equivalente a: 1 2 1 ⋮ 0    0 1 0 ⋮ −1  0 1 0 ⋮ − 1     x =α  x + y + z = 1 x =α →  y = −1  y = −1  z = 2 −α 1 − 1 λ −1   46. Dada la matriz A =  0 λ − 2 1  , se pide:  λ 0 2   a) Encontrar los valores de λ para los que A tiene inversa. b) Para λ = 2 , hallar la inversa de A y comprobar el resultado.  x   0     c) Resolver el sistema A y  =  0  para λ = 1  z   0     Madrid: prueba tipo 99-00

−1

a) ∃A ⇔ A ≠ 0 . Como:

− (λ − 1)

1 1 = 3λ − 2 2

λ −1

1

0 λ

λ −2 0

(λ − 1)(3λ − 4) ,

−1

λ −1

−1

1

1 = λ −1 λ −1 2 3λ − 2 2

λ −1 λ −1 0 = −1 = 3λ − 2 2 0

∃ A−1 ⇔ λ ≠ 1 y λ ≠ 4 3

 1 1 − 1   b) Para λ = 2 es A =  0 0 1  y A = 2 ⇒ ∃ A−1 . Obteniendo la matriz de adjuntos, resulta: 2 0 2    0 −1 1 2    −1 A =  1 2 −1 2 0 1 0    c) λ = 1 era unos de los valores que anulaban el determinante, por lo que en este caso el sistema no es de Cramer. Lo discutimos, y si procede resolvemos, por el método de Gauss.

0 1 −1 ⋮  0 −1 1 ⋮ 1 0 2 ⋮ 

0 1 0 2 ⋮  F1 ↔ F3  0  →  0 − 1 1 ⋮ 0 1 −1 ⋮ 0  

0  2 − F3  1 0 2 ⋮ 0  F →  0 1 −1 ⋮  0

0 . 0 

Es sistema es compatible indeterminado, equivalente a:  x = −2α x + 2 z = 0 z =α  →   y = α ⇔ (x, y , z ) = (0,0,0 ) + α (− 2,1,1) ∀α ∈ ℜ y−z =0 z = β 

- 35 -

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Problemas PAU. Sistemas de ecuaciones.

MATEMÁTICAS II

 2a −2 a 2    47. Dada la matriz A =  −1 a −1  2 1 a   a) Calcula el rango de A en función de los valores de a.  x   2     b) Para el caso a = 2, discute el sistema A  y  =  1  en función de los valores de b y  z  b     resuélvelo cuando sea posible.  x   −1     c) Para a = 1, resuelve A  y  =  2  . z  2      Junio 2011: A-1

2a −2 a 2

a)

−1 2

−1 = 4 − a 2 ⇒ A = 0 ⇔ a = ±2 . Por otra parte, si sustituimos estos valores en a

a 1

−1 a −1 2 −1 −2  3 si a ≠ 2 ∧ a ≠ −2 , resulta: ≠0 y ≠ 0, con lo que: rang ( A ) =  2 1 2 1 2 1  2 si a = 2 ∨ a = 2

 4 −2 4    b) Para a = 2 ⇒ A =  −1 2 −1 y rang ( A ) = 2. El rango de la matriz ampliada depende del 2 1 2   −2 4 2 −1 1 = 18 − 6b : 2 b

valor de 2 1

Si a = 2 ∧ b ≠ 3 el sistema es incompatible. Si a = 2 ∧ b = 3 el sistema es compatible indeterminado, equivalente a: x = 1−α  − x + 2 y − z = 1 z =α  − x + 2 y = 1 + α −2 x + 4 y = 2 + 2α   → → ⇒  y = 1 ∀α ∈ ℝ  2 x + y + 2 z = 3 2 x + y = 3 − 2α  2 x + y = 3 − 2α z = α  c) Según el primer apartado, el sistema propuesto es compatible determinado. Resolvemos aplicando el método de Gauss. • •

2

−2

1

−1

−1

1

−1

2

2

1

1

2

→

−1

1

−1

2

2

−2

1

−1

2

1

1

2

−1 1 −1 2

→

0

0 −1 3

0

3 −1 6

x=2 − x + y − z = 2  3y − z = 6 ⇒ y = 1 El sistema propuesto es equivalente a:   −z = 3 z = −3  - 36 -

−1 1 −1 2

→

0

3 −1 6

0

0 −1 3

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Problemas PAU. Sistemas de ecuaciones.

MATEMÁTICAS II

48. a) Discutir, según los valores de m, el sistema de ecuaciones AX = B, donde:

1 m − 1  0  x     A= 0 m −1 1 , x =  y, m−2 z 0 0     b) Resolver el sistema en los casos m = 0 y m = 1 0 a)

1

0 m −1 m−2 0

m −1 1 0

0 F1 → F1 + F2

→ 0 m

b)

m

 m    B= m   m + 2   Junio 2011: B-2

0

m

1

1

0 m −1 1 = m 0 m −1 1 = m−2 0 0 m−2 0 0 1

1 2

0 m − 2 0 = −m ( m − 2 ) . m−2 0 0

•

m ≠ 0 ∧ m = 2, rang ( A ) = rang ( A* ) = 3 ⇒ sistema compatible determinado

•

1 m −1 m   0 1 −1 0   0     F1 =− F2 m = 0,  0 m −1 1 m  →  0 −1 1 0  ⇒ rang ( A ) = rang ( A* ) = 2 m−2 0 0 m + 2   −2 0 0 2   Sistema compatible indeterminado

•

1 m −1 m   0 1 −1 2   0     m = 2,  0 m −1 1 m  →  0 −1 1 2  ⇒ rang ( A ) = 1 ≠ rang ( A* ) = 2 m−2 0 0 m + 2   0 0 0 4   Sistema incompatible  x = −1 z =α Para m = 0, el sistema es equivalente a   → y − z = 0 

 x = −1   y = α ∀α ∈ ℝ z = α 

Para m = 1 la solución del sistema es: x = −3, y = 1, z = 1

 k k k2  12   4  x         49. Dadas las matrices: A =  1 −1 k  , B =  3  , C =  3  y X =  y  , se pide: 3  3 z  2k −2 2          a) Hallar el rango de A, en función de los valores de k. b) Para k = 2, hallar, si existe, la solución del sistema AX = B. c) Para k = 1, hallar, si existe, la solución del sistema AX = C . Junio 2012: A-1

- 37 -

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k

k

k2

1

1

Problemas PAU. Sistemas de ecuaciones.

MATEMÁTICAS II

k

1

1

k

2

0

2k

k

1 a

•

1 −1 k

= 2k 1 −1 k

2k −2 2

k −1 1

= 4k k+1 k+1

= 4kk 2 − 1

k+1 0 k+1

Si k ≠ 0 ∧ k ≠ 1 ∧ k ≠ −1 ⇒ rang ( A ) = 3. 0

•

= 2k

Si k = 0 ⇒ A =

0

0

⇒ rang ( A ) = 2

1 −1 0 0 −2 2 1

•

Si k = 1 ⇒ A =

1

1

⇒ rang ( A ) = 2

1 −1 1 2 −2 2 1

−1 −1

•

Si k = −1

A=

1

⇒ rang ( A ) = 2

−1 −1 2

−2 −2

b) Para k = 2, independientemente de la matriz de términos independientes, el sistema es compatible determinado 2

2

4 12

1 −1 2

6

4 −2 2

8

1 −1 2 

2

2

6

4 12

4 −2 2



8

1 −1

2

6

0

4

0

0

0

2

−6 −16



1 −1

2

6

0

1

−3 −8

0

1

0

0

x=2 3  x − y + 2z = 6  El sistema es equivalente a  y − 3 z = −8 ⇒ y = 0  y =0 z =8 3 

c) Si k = 1 ⇒ rang ( A ) = 2, el sistema es indeterminado o incompatible: 1

1

1 4

1 −1 1 3 2 −2 2 3

1 

1

1

4

0 −2 0 −1 0 −4 0 −5

1 

1

1

4

0 −2 0 −1 0

0

0 −3

El sistema es incompatible 1 1 a a  x 0       a 1 1 a y 0   50. Dada las matrices A = , X= y O =   , se pide: a a 1 1 z 0       a a a 1 t 0 a) Calcular el determinante de A. Determinar el rango de A según los valores de a. b) Resolver el sistema homogéneo AX = O en el caso a = 1. c) Resolver el sistema homogéneo AX = O para a = −1.

Septiembre 2013

- 38 -

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Problemas PAU. Sistemas de ecuaciones.

MATEMÁTICAS II

a) 1 1 a a

1

a 1 1 a

1

a

a

0 1−a 1−a

Fi → Fi − aF1  →

2

a − a2

a a 1 1

0

0

1 − a2 1 − a2

a a a 1

0

0

a − a2 1 − a2

De este resultado deducimos que: 1 1 − a2 1− a2 2 A = (1 − a ) = 1 − a 1 − a ( ) ( ) a (1 − a ) a − a2 1− a2

1 a

2

= (1 − a ) (1 − a 2 )

1

(1 − a )(1 + a )

=

1 2 2 = (1 − a ) (1 − a 2 ) ⇔ A = (1 − a ) (1 − a 2 ) (1 + a ) ⇒ A = 0 ⇔ a = 1 ∨ a = −1

Si a ≠ 1 ∧ a ≠ −1 ⇒ rang ( A ) = 4 1

1

1

a

1 1 1 1

a

0 1−a 1−a

2

0

0

1−a

2

0

0

a − a2 1 − a2

1

a

a−a 1−a

2 2

a=1 →

0 0 0 0

1 1 −1 −1

0 1−a 1−a 0

0

1−a

2

0

0

a − a2 1 − a2

1−a

Si a = 1 ⇒ rang ( A ) = 1

0 0 0 0

a 2

a−a

0 0 0 0

2 2

a=−1  →

0 2

0

−2

0 0

0

0

0 0 −2

0

Si a = −1 ⇒ rang ( A ) = 3

 4 si a ≠ 1 ∧ a ≠ −1  rang ( A ) = 1 si a =1  3 si a = −1   x = −α − β − γ y =α  ∀α , β , γ ∈ ϒ. b) Para a = 1 el sistema es equivalente a: x + y + z + t = 0 ⇒  z = β t = γ Observa que tiene tantas soluciones como elementos ℝ 4−1 = ℝ 3 x = 0 x+ y − z −t = 0 y =α  t =α y c) Para a = −1 el sistema es equivalente a: − t = 0 → ∀α ∈ ϒ  t = α  z =0  z = 0 Observa que tiene tantas soluciones como elementos ℝ 4−3 = ℝ - 39 -

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Problemas PAU. Sistemas de ecuaciones.

MATEMÁTICAS II

 3 2 −1  x     51. Dada la matriz A =  −1 0 1  , determina todas las matrices X =  y  no nulas tales que  −1 −2 3  z     AX = λ X para algún λ ∈ ℝ.

Madrid, prueba tipo 2003_04

AX = λ X ⇔ AX − λ X = O ⇔ ( A − λ I ) X = O , siendo O la matriz columna nula de orden tres. Se trata de averiguar para qué valores de λ , el sistema homogéneo ( A − λ I ) X = O tiene soluciones distintas de la trivial. Estas soluciones no triviales existen si rang ( A − λ I ) < 3 ⇔ A − λ I = 0 3−λ 2

A − λI =

−1 1

−1

−λ

−1

−2 3 − λ

= − λ 3 + 6λ 2 − 12λ + 8;

1 λ = 2  A − λI =

−λ 3 + 6λ 2 − 12λ + 8 = 0 ⇔ λ = 2

2 −1

−1 −2 1

→

1 2 −1

−1 −2 1

 x = −2α + β  Para λ = 2 el sistema ( A − λ I ) X = O es equivalente a x + 2 y − z = 0  →y = α z = β  y =α z=β

La ecuación matricial AX = λ X tiene soluciones distintas de la trivial cuando λ = 2 . En ese caso t las soluciones son X = ( −2α + β α β ) ∀α ∈ ℝ ∧ β ∈ ℝ 52. Considera el sistema de ecuaciones lineales:  x − y + mz = 0  mx + y − z = 0 donde m ∈ ℝ  ( m + 1) x + z=0 a) Determina para qué valores de m el sistema es compatible determinado. b) Determina para qué valores m el sistema es compatible indeterminado y calcula sus soluciones.  m    −1 c) Calcula A B , siendo A la matriz de coeficientes del sistema, B =  m  y m > 3 .  m + 2   Indicación: no se necesita calcular A−1

1 a) A =

m m +1

−1 m 1 0

−1 = −m 2 + m + 2 = ( m + 1)(2 − m) 1

Si m ≠ −1 ∧ m ≠ 2 ⇒ rang ( A) = 3. El sistema es compatible determinado (solución trivial)

- 40 -

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MATEMÁTICAS II

Problemas PAU. Sistemas de ecuaciones.

b) Si m = −1 Si m = 2  1 −1 −1  1 −1 2      A =  −1 1 −1 ⇒ rango( A) = 2 . A =  2 1 −1 ⇒ rango( A) = 2 0 0 1 3 0 1      Prescindiendo de la segunda ecuación, el Prescindiendo de la segunda ecuación, el sistema sistema es equivalente a x=λ x − y + 2 z = 0  x =α es equivalente a  ⇒ y = −5λ x − y − z = 0 3x +z =0  ⇒ y = α  z = −3λ z =0  z=0 c) Sea A−1 B = Y , la matriz buscada. Multiplicamos en esta igualdad por la izquierda por la matriz A. A ⋅ A−1 B = A ⋅ Y ⇒ B = A ⋅ Y Es decir el producto que se nos pide Y, es la solución del sistema original con términos independientes la matriz B.  1 −1  1  m m +1 0  independientes

m   −1 m  Si observamos bien esta matriz ampliada, la columna de los términos 1 m + 2  es suma de las tres columnas de la matriz de coeficientes. Esto supone que el valor 1   −1 de las tres incógnitas tiene que ser 1 ⇒ A B = 1  1   m

53. Se considera un sistema S de m ecuaciones lineales con n incógnitas, que es compatible determinado. Sea S’ el sistema que resulta de prescindir en S de la última ecuación. Contesta de forma razonada: a) ¿Puede ser incompatible el sistema S’? b) ¿Es compatible el sistema S’? c) ¿Ha de ser compatible indeterminado el sistema S’? Madrid: septiembre 1997

a) No. Si con m condiciones no había incompatibilidad, tampoco puede haberla con m − 1 . b) Sí, por la razón anterior. c) No necesariamente, si m > n , al eliminar una ecuación el sistema seguiría siendo compatible determinado. En el caso particular de que fuera m = n + 1 , el sistema resultante sería un sistema de Cramer.

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