1 MATEMATICAS IV ESCUELA: FMO ASIGNATURA: MATEMATICAS IV TETRAMESTRE: CUARTO OBJETIVO: El alumno será capaz de analizar figuras geométricas planas mediante leyes de funciones trigonométricas y las aplicara a casos prácticos así como determinara la solución de operaciones con números complejos. UNIDAD

OBJETIVOS ESPECIFICOS

TEMAS Y SUBTEMAS 1. Ángulos

I

GEOMETRIA BASICA

2. Triángulos 3. Figuras geométricas

II

TEOREMA DE PITAGORAS

1. Teorema de Pitágoras 2. Aplicaciones 1. Función Seno 2. Función Coseno

III

FUNCIONES TRIGONOMETRICAS

3. Función Tangente 4. Función Cotangente 5. Función Secante 6. Función Cosecante

IV

LEY DE LOS SENOS

V

LEY DE LOS COSENOS

1. Ley de los senos 2. Aplicaciones 1. Ley de los cosenos 2. Aplicaciones 1. Los números complejos 2. Los números complejos en su forma rectangular 3. Grafica de los números complejos

VI

LOS NUMEROS COMPLEJOS

2. Suma de números complejos 3. Resta de números complejos 4. Multiplicación de números complejos 5. División de números complejos

VII

OPERACIONES CON NOTACIÓN CIENTÍFICA.

1. Operaciones con notación científica

2 UNIDAD I. GEOMETRIA BASICA 1. ÁNGULOS Un ángulo es la región del plano comprendida entre dos semirrectas con origen común. A las semirrectas se las llama lados y al origen común vértice.

El ángulo es positivo si se desplaza en sentido contrario al movimiento de las agujas del reloj y negativo en caso contrario. Para medir ángulos se utilizan las siguientes unidades: 1. Grado sexagesimal (°) Es la amplitud del ángulo resultante de dividir la circunferencia en 360 partes iguales. 1°= 60' =3600'' 1'= 60 '' 2. Radián (rad) Es la medida de un ángulo cuyo arco tiene la misma longitud que su radio. 2πrad = 360° πrad = 180° 1 rad= 57° 17' 44.8''

Ejemplos: 1. Convertir: 30º 30º(πrad/180°)= πrad/6

rad

2. Convertir π rad /3 º (π rad /3) (180°/ πrad)= 180°/3= 60° Nota: hacer ejercicios Practica 1. Determina la conversión de las siguientes medidas angulares según la unidad dada y pedida: 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7.

135 _ ͦ ______________rad 155 _ ͦ ______________rad 95 _ ͦ _______________rad 275 _ ͦ ______________rad 705 _ ͦ ______________rad 1005 _ ͦ _____________rad 335 _ ͦ ______________rad

8. 3 πrad /4___________________________ ͦ 9. 6 πrad /5___________________________ ͦ 10. 3 πrad /2___________________________ ͦ 11. 2 πrad /9___________________________ ͦ

3 12. 3 πrad /6___________________________ ͦ 13. 9 πrad /7___________________________ ͦ 14. 5 πrad /8___________________________ ͦ

Clasificación de los Ángulos I.

II.

Clasificación de ángulos según su medida Agudo < 90°

Recto = 90°

Obtuso>90°

Convexo < 180°

Llano = 180°

Cóncavo > 180°

Nulo = 0º

Completo = 360°

Negativo < 0º

Mayor de 360°

Tipos de ángulos según su posición

1. Ángulos consecutivos: son aquellos que tienen el vértice y un lado común.

2. Ángulos adyacentes: son aquellos que tienen el vértice y un lado común, y los otros lados situados uno en prolongación del otro. Forman un ángulo llano.

3. Ángulos opuestos por el vértice: Son los que teniendo el vértice común, los lados de uno son prolongación de los lados del otro. Los ángulos 1 y 3 son iguales. Los ángulos 2 y 4 son iguales.

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III. Clases de ángulos según su suma 1. Ángulos complementarios: dos ángulos son complementarios si suman 90°.

2. Ángulos suplementarios: dos ángulos son suplementarios si suman 180°.

3. Ángulos correspondientes: Ángulos entre paralelas y una recta transversal

Nota: Los ángulos 1 y 2 son iguales.

4. Ángulos alternos internos: Los ángulos 2 y 3 son iguales

5. Ángulos alternos externos: Los ángulos 1 y 4 son iguales.

OPERACIONES CON ANGULOS I.

Suma de ángulos

1. Operación Gráfica

5 La suma de dos ángulos es otro ángulo cuya amplitud es la suma de las amplitudes de los dos ángulos iníciales.

2. Operación Numérica  1º Para sumar ángulos se colocan los grados debajo de los grados, los minutosdebajo de los minutos y los segundos debajo de los segundos; y se suman.

 2º Si los segundos suman más de 60, se divide dicho número entre 60; el resto serán los segundos y el cociente se añadirán a los minutos.

3º Se hace lo mismo para los minutos.

II.

Resta de ángulos

1. Operación Gráfica La resta de dos ángulos es otro ángulo cuya amplitud es la diferencia entre la amplitud del ángulo mayor y la del ángulo menor.

2. Operación Numérica  1º Para restar ángulos se colocan los grados debajo de los grados, los minutos debajo de los minutos y los segundos debajo de los segundos.

 2º Se restan los segundos. Caso de que no sea posible, convertimos un minuto del minuendo en 60 segundos y se lo sumamos a los segundos del minuendo. A continuación restamos los segundos.

6

 3º Hacemos lo mismo con los minutos.

III. Multiplicación de ángulos 1. Operación Gráfica La multiplicación de un número por un ángulo es otro ángulo cuya amplitud es la suma de tantos ángulos iguales al dado como indique el número.

2. Operación Numérica  1º Multiplicamos los segundos, minutos y grados por el número.

 2º Si los segundos sobrepasan los 60, se divide dicho número entre 60; el resto serán los segundos y el cociente se añadirán a los minutos.

 3º Se hace lo mismo para los minutos.

IV.

División de ángulos

1. Operación Gráfica La división de un ángulo por un número es hallar otro ángulo tal que multiplicado por ese número da como resultado el ángulo original.

/5 = 2. Operación Numérica Dividir 37º 48' 25'' entre 5  1º Se dividen los grados entre el número.

7  2º El cociente son los grados y el resto, multiplicando por 60, los minutos.

 3º Se añaden estos minutos a los que tenemos y se repite el mismo proceso con los minutos.

 4º Se añaden estos segundos a los que tenemos y se dividen los segundos.

Practica 2: Aplicación de operaciones con ángulos. 1. ¿Cuántos grados, minutos y segundos hay de la suma de 2 ángulos en donde el primero tiene una abertura de 23,209'' y el segundo de 37,298''? SUMA 2. Obtenga la medida del ángulo interno de un triángulo si dos de ellos miden 23° 47' 13'' y 84° 56' 59'' RESTA 3. Un soldador construye una protección en forma de arco con una abertura de un ángulo de 37º 48' 25'' si necesita 5 ángulos iguales, ¿Cuánto debe de medir cada uno? DIVISION 4. Encuentre la amplitud del ángulo total de un pedazo de tela necesaria para obtener 5 arcos de tela con un ángulo de 32° 23' 49''. MULTIPLICACION

2. TRIANGULOS Definición: Es el polígono de tres lados. Propiedades de los triángulos 1 Un lado de un triángulo es menor que la suma de los otros dos y mayor que su diferencia. 2 La suma de los ángulos interiores de un triángulo es igual a 180°. 3 El valor de un ángulo exterior es igual a la suma de los dos interiores no adyacentes. Clases de triángulos I. Según sus lados Triángulo equilátero Triángulo isósceles Triángulo escaleno

Tres lados iguales.

II.

Dos lados iguales.

Según sus ángulos

Tres lados desiguales

8 Triángulo acutángulo obtusángulo

Tres ángulos agudos obtuso.

Triángulo rectángulo

Un ángulo recto

Triángulo

Un ángulo

El lado mayor es la hipotenusa. Los lados menores son los catetos ÁREA Y PERÍMETRO DE UN TRIÁNGUL O PERÍMETRO Suma de sus lados P= b + c + d Triángulo Equilátero Triángulo Isósceles Triángulo Escaleno

ÁREA El área de un triángulo es el producto de uno de sus lados por la altura sobre él dividido entre dos

Base de un triángulo es cualquiera de sus lados, y la altura es el segmento perpendicular a la base por el vértice opuesto

AREA DE UN TRIANGULO Caso1 A. DE UN TRIANGULO CUALQUIERA: Cuando es conocida su base y altura El área de un triángulo es igual a base por altura partido por 2. La altura es la recta perpendicular trazada desde un vértice al lado opuesto (o su prolongación)

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Ejemplo

Hallar el área del siguiente triángulo: Caso 2 A. DE UN TRIANGULO EQUILATERO: Cuando es conocido uno de sus lados

A= (bxh)/2, donde b=L/2 Por T. de P. resolvemos el ∆Rectángulo para calcular h sabiendo que: L²= h²+ (L/2)² => h²= L²-(L/2)²= L²-L²/4= (4 L²- L²)/4= 3 L²/4=>h=√3(L)/2

Aplicando A= (bxh)/2, donde la b=L, tenemos:

Ejemplo Calcular el área de un triángulo equilátero de 10 cm de lado. Caso 3 A. DE UN TRIANGULO RECTANGULO: Cuando son conocidos sus 2 catetos El área de un triángulo rectángulo es igual al cociente del producto de sus 2 catetos entre 2.

Ejemplo Calcular el área del triángulo rectángulo cuyos catetos miden 3 y 4 cm.

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3. FIGURAS GEOMETRICAS Áreas de las figuras geométricas planas Definición de área: es la medida de la región o superficie encerrada por de una figura geométrica plana. Área de un triángulo

Ejemplo: Hallar el área del siguiente triángulo: Área de un cuadrado

Ejemplo: Calcular el área de un cuadrado de 5 cm de lado.

A = 52 = 25 cm2

Área de un rectángulo

Ejemplo: Calcular el área de un rectángulo de 10 cm de base y 6 cm de altura. A = 10 · 6 = 60 cm2 Área de un rombo

Ejemplo: Calcular el área de un rombo cuyas diagonales miden 30 y 16 cm, y su lado mide 17 cm.

Área del romboide

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A=b·h

Ejemplo: Calcular el área de un romboide de 4 y 4.5 cm de lados y 4 cm de altura. A = 4 · 4 = 16 cm2 Área del trapecio

Ejemplo: Calcular el área del siguiente trapecio: Área de un polígono regular

Ejemplos Calcular el área de un pentágono regular de 6 cm de lado.

=>

=> P = 5 · 6 = 30 cm=>

Calcular el área de un hexágono regular inscrito en una circunferencia de 4 cm de radio.

=>

=> P = 6 · 4 = 24 cm=>

Área de un polígono

El área se obtiene triangulando el polígono ysumando el área de dichos triángulos. A=T1+T2+T3+T4 Ejemplo Calcular el área del siguiente polígono:

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AD = BC; AB = DC Romboide A=AR+AT A = 11 · 12 + (12 · 5 ) : 2 = 162 cm2

Practica 3 Observa y analiza los siguientes problemas y ejercicios resueltos de áreas

1. Hallar la diagonal, el perímetro y el área del cuadrado: P = 4 · 5 = 20 cm A = 52 = 25 cm2

1. Hallar la diagonal, el perímetro y el área del rectángulo: P = 2 · ( 10 + 6) = 32 cm A = 10 · 6 = 60 cm2

2. Hallar el perímetro y el área del trapecio rectángulo:

P = 8 + 6 + 10 + 6.32 = 30.32 cm 3. Hallar el perímetro y el área del trapecio isósceles:

=> Observe: el 3 resulta de 10-4=6 y =>6/2∆ rectángulos iguales P = 2 · 5 + 4 + 10 = 24 cm 4. Hallar el perímetro y el área del triángulo equilátero:

=> P = 3 · 10 = 30 cm 5. Hallar el perímetro y el área del pentágono regular:

=>

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=>

P = 6 · 5 = 30 cm

7. Hallar el área de un hexágono inscrito en una circunferencia de 4 cm de radio.

=> 8. Hallar el área de un cuadrado inscrito en una circunferencia de 5 cm de radio.

=> A = 7.07 2 = 50 cm 2 9. Calcular el área de un triángulo equilátero inscrito en una circunferencia de radio 6 cm. El centro de la circunferencia es el baricentro. Por tanto:

=> 10. Determinar el área del cuadrado inscrito en una circunferencia de longitud 18.84 cm.

Pcir=πD => D=2r => = L² 12. El perímetro de un trapecio isósceles es de 110 m, las bases miden 40 y 30 m respectivamente. Calcular los lados no paralelos y el área.

14 15. En una circunferencia de radio igual a 4 m se inscribe un cuadrado y sobre los lados de este y hacia el exterior se construyen triángulos equiláteros. Hallar el área de la estrella así formada.

17. En una circunferencia una cuerda de 48 cm y dista 7 cm del centro. Calcular el área del círculo.

18. Los catetos de un triángulo inscrito en una circunferencia miden 22.2 cm y 29.6 cm respectivamente. Calcular la longitud de la circunferencia y el área del círculo.

=>

=>

MATERIAL DE APOYO http://www.edu.xunta.es/centros/iesasbarxas/system/files/ejercicios+triangulos+bru%C3%B1 o.pdf https://www.youtube.com/watch?v=AuL2BK64v4k https://www.youtube.com/watch?v=NNCvHedbz84

UNIDAD 2. TEOREMA DE PITÁGORAS a. TEOREMA DE PITAGORAS En un triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos.

De esta fórmula se obtienen las siguientes:

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Practica 4: Observa y analiza los siguientes ejercicios resueltos del Teorema de Pitágoras:

Practica 5. Resuelve los siguientes problemas aplicando el TEOREMA DE PITÁGORAS

1 Calcula la altura de un triángulo equilátero de 14 cm de lado

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2 Calcula la diagonal de un cuadrado de 9 cm de lado.

3 Calcula la altura de un rectángulo cuya diagonal mide 6,8 cm y la base 6 cm.

4 Calcula el perímetro (usa el lado) de un rombo cuyas diagonales miden 32 m y 24 m

5 Una escalera de 65 dm de longitud está apoyada sobre la pared. El pie de la escalera dista 25 dm de la pared. a) ¿A qué altura se apoya la parte superior de la escalera en la pared?

b) ¿A qué distancia de la pared habrá que colocar el pie de esta misma escalera para que la parte superior se apoye en la pared a una altura de 52 dm?

6 Calcula los centímetros de cuerda que se necesitan para formar las letras N, Z y X de las siguientes dimensiones.

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MATERIAL DE APOYO http://www.lasalette.com.ar/Instituto_archivos/Matematica%202015%202CBT/Otros%20ejercicios% 20pitagoras.pdf https://www.youtube.com/watch?v=ifiHSM6QhYM https://www.youtube.com/watch?v=6-VV3USF-AU

18 UNIDAD 3. FUNCIONES TRIGONOMETRICAS 1. FUNCION SENO

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2. FUNCION COSENO

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3. FUNCION TANGENTE

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4. FUNCION COTANGENTE

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5. FUNCION SECANTE

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36 6. FUNCION COSECANTE

37 Practica 6. Construye y analiza para los ángulos más comunes las gráficas seno, coseno y tangente. MATERIAL DE APOYO http://www.prepa5.unam.mx/wwwP5/profesor/publicacionMate/05II.pdf https://www.youtube.com/watch?v=Dkdxks2ifBs https://www.youtube.com/watch?v=Dkdxks2ifBs https://www.youtube.com/watch?v=zqdoZpv2tiA https://matematicasiesoja.files.wordpress.com/2013/10/ejercicios_resueltos_trigonometria_i. pdf UNIDAD IV. LEY DE SENOS 1. LEY DE LOS SENOS La ley de Senos es una relación de tres igualdades que siempre se cumplen entre los ángulos y lados de los triángulos. Es de suma utilidad cuando se quiere resolver ciertos tipos de problemas con triángulos, especialmente con los triángulos que carecen de ángulos rectos. Ley de Senos: “En todo triángulo (RECTO Y OBLICUANGULO), los lados son directamente proporcionales a los senos de los ángulos opuestos”.

Donde: A, B y C son los lados del triángulo a, b, y c son los ángulos del triángulo. Las letras minúsculas se encuentras separadas al opuesto de su letra mayúscula. Resolución de triángulos por la ley de los Senos: Nota: Existen problemas de triángulos que no se pueden resolver con la ley de senos. Por lo tanto LA LEY DE SENOS solo es aplicada cuando te brinda como datos:  2 ángulos y 1 lado opuesto a uno de ellos.  2 lados y 1 ángulo opuesto a uno de ellos.

Problema 1: Para el triángulo de la figura, C=102.3 grados, B=28.7 grados y b=27.4 metros. Encontrar el ángulo y lados restantes.

c

A

B

b C

a El tercer ángulo del triángulo es A = 180 - B - C = 49 grados. Por la ley de los senos tenemos que:

38 Usando b = 27.4 se obtiene, a = 27.4/ Sen 28.7 x Sen 49 = 43.06 mts, Y c = 27.4/ Sen 28.7 x Sen 102.3 = 55.75 mts.

2. APLICACIONES DE LA LEY DE LOS SENOS Una de las aplicaciones más importantes de la ley de senos es la resolución de todo tipo de triángulos ya sean oblicuángulos o rectángulos (ángulo de 90 ͦ). Su aplicación es más común en los triángulos oblicuángulos. Recordando la Ley del Seno, tenemos que:

Practica 7. Observa y analiza los siguientes problemas resueltos

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Practica 8

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MATERIAL DE APOYO http://www.cajondeciencias.com/Descargas%20mate2/ER%20teoremas%20seno%20y%20cos eno.pdf http://www.aprendematematicas.org.mx/LaTeX2e/ejercicios/LeySenosyCosenos.pdf https://www.youtube.com/watch?v=OHt3eKd83S4 https://www.youtube.com/watch?v=yizdJXO2yME

42 UNIDAD V. LEY DE LOS COSENOS “En todo triángulo (RECTO Y OBLICUANGULO) el cuadrado de un lado es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados menos el doble producto de ellos, por el coseno del ángulo que forman” Nota: si te dan (2) lados y el ángulo que hacen esos (2) lados, se usa la ley del coseno. Esta ley, ayuda a resolver ciertos problemas con triángulos, como los triángulos que carecen de un ángulo de 90º Teorema del coseno Dado un triángulo abc, siendo α, β, γ, los ángulos, y a, b, c, los lados respectivamente opuestos a estos ángulos entonces: a²= b²+c²-2bc cosα b² = a² +c²-2ac cosβ c² = a²+b² -2ab cos γ Donde: a, b y c son los lados del triángulo α, β y γ son los ángulos del triángulo. Nota: La ley del Coseno solo se usa cuando se tienen:  Los (2) lados y el ángulo que forman los lados, ó  Los 3 lados del triángulo oblicuángulo De lo contrario se usa la Ley de Senos. Recuerda que para resolver uno de los ángulos internos del triángulo, la suma de los (3) ángulos dará 180º.Entonces: γ = 180º - α – β Por lo tanto:

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Practica 10. Observa y Analiza los siguientes ejercicios de triángulos oblicuángulos.

44 Practica 11. Observa y Analiza los siguientes ejercicios de triángulos oblicuángulos.

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48

MATERIAL DE APOYO https://www.youtube.com/watch?v=IfLo2SI59r0 http://inbacespaciomatematico.wikispaces.com/file/view/Ley%20de%20Senos%20y%20Cose nos.pdf https://www.youtube.com/watch?v=_XYwYrzgJaw https://www.youtube.com/watch?v=NrAgurzj8WM

49 UNIDAD VI. LOS NUMEROS COMPLEJOS 1. Los números complejos

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2. Los números complejos en su forma rectangular

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Practica: Observa y analiza los siguientes ejemplos de números complejos en su forma rectangular:

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Practica 12: Representa los siguientes números complejos, sus opuestos y sus conjugados: Nota: el opuesto de un numero complejo se define como el mismo número en la parte tanto real como imaginaria PERO CON SIGNO CONTRARIO, ej. 4 -7i su opuesto es -4 + 7i. Su conjugado se define como la parte real (a) FIJA y la parte imaginaria (bi) CON SIGNO CONTRARIO a la parte original, cuya fórmula es (a +bi) (a – bi), cualquiera de los 2 factores puede a completar la parte que lo hace conjugado. Lo anterior puede observarlo en los siguientes ejemplos:

Practica 13: Representa los siguientes números complejos, sus opuestos y sus conjugados: 1) -12 + 10i 2) 12 - 10i 3) -12 - 10i 4) 12 + 10i 5) -4 + 9i 6) 4 + 9i 7) -4 - 9i

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3. Los números complejos en su forma Polar

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Ejemplos: Pasar a la forma polar los siguientes números complejos: 1.

2.

3.

55

4.

5.

6.

7.

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Practica 14. Dado lo anterior, convertir los siguientes números complejos en polar a la forma binómica: 1. 2. 3. 4.

4. Suma de números complejos Para sumar números complejos sumamos las partes reales y las partes imaginarias. La sustracción se hace similarmente. En la multiplicación aplicamos la propiedad distributiva.

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Practica 15: Determina la suma de los siguientes números complejos: 1) 2) 3) 4) 5)

(4 + 5i) + (1 - 7i) = (9 - 2i) + (6 + 5i) = 2+ (5 + 3i) = 3i + (1 + 4i) = (3 - 2i) + (1 + 5i) = 5. Sustracción (Resta) de números complejos

Para restar dos números complejos restamos las dos partes por separado: (a,b) + (c,d) = (a-c, b-d) Ejemplo: (3 + 2i) + (1 + 7i) = (2 - 5i)

Practica 16: Determina la sustracción de los siguientes números complejos: 1) 2) 3) 4) 5)

(4 + 5i) - (1 - 7i) = (9 - 2i) - (6 + 5i) = 2- (5 + 3i) = 3i - (1 + 4i) = (3 - 2i) - (1 + 5i) = 6. Multiplicación de números complejos

No olvidar que:  (i) = i1 = √-1= i  (i) (i)= i2= -1  (i) (i) (i)= i3= (i2)(i)= -i  (i) (i)(i)(i)= i4= 1

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Practica 17. Determina la multiplicación de los siguientes números complejos:

1) (4 + 5i) (1 - 7i) = 2) (9 - 2i) (6 + 5i) = 3) (24 - 5i) (-2 - 7i) = 4) (10 - 2i) (-8 + 9i) = 7. División de números complejos El principio de la división es multiplicar dicha operación por el conjugado del denominador tanto por el numerador como por el denominador a fin de convertir la parte imaginaria en real.

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Practica 18: Determina la solución de las siguientes divisiones con números complejos: 1) 2) 3) 4)

(3-4i)/(8-7i)= (-3+7i)/(2+9i)= (-3-2i)/(3-5i)= (10-4i)/(8-12i)=

MATERIAL DE APOYO http://cdigital.dgb.uanl.mx/la/1020119520/1020119520_003.pdf https://www.fing.edu.uy/imerl/Calculo1_anual/MaterialTeorico/complejosTeorico.pdf https://www.youtube.com/watch?v=KVyPfsxbmVQ https://www.youtube.com/watch?v=ygJ6Tvda_Uc https://www.youtube.com/watch?v=aeDlSR3x3GI

UNIDAD VII. OPERACIONES CON NOTACION CIENTIFICA 1. Operaciones con notación científica Una de las aplicaciones más importantes en el uso de números en notación científica es la medición de cantidades demasiadas pequeñas o demasiadas grandes, en ciencias exactas esto es una realidad como por ejemplo en la medición de la velocidad de la luz, las distancias entre los planetas, la masa de partículas subatómicas, la longitud, peso de un microorganismo, etc. La necesidad de lo anterior llevó al hombre a inventar los números con notación científica, cuya base es el número 10 con exponentes negativos y positivos para generar cantidades pequeñísimas o demasiado grandes respectivamente en conjunto con la cantidad representativa llamada coeficiente. Notación de Cantidades en notación científica: 1) 234x10-14 Donde: 234= coeficiente 10=base 14= exponente Observe que tanto el coeficiente como el exponente pueden llevar signos positivo o negativo. 2) -708x1034

1. Operaciones matemáticas con notación científica Suma y resta de números expresados en notación científica Siempre que las potencias de 10 sean las mismas, se deja la potencia de 10 con el mismo grado y se suman los números que multiplican a las potencias de 10 (o sea, se deben sumar las mantisas).

60 En caso de que no tengan el mismo exponente hay que hacer una transformación previa para obtener el mismo exponente, para ello la mantisa se multiplica o divide por 10 tantas veces como sea necesario hasta conseguir el mismo exponente. Ejemplos:   

a) 2×105 + 3×105 = 5×105 b) 3×105 - 0.2×105 = 2.8×105 c) 2×104 + 3 ×105 - 6 ×103 = (tomamos el exponente 5 como referencia) = 0,2 × 105 + 3 × 105 - 0,06 ×105 = 3,14 ×105

Producto de números expresados en notación científica Para multiplicar cantidades escritas en notación científica se multiplican las mantisas y se suman los exponentes (basta recordar cómo se multiplican potencias de la misma base).

Ejemplos:  

a) (4×1012)×(2×105) = 8×1017 b) (3×1012)×(2×10-7) = 6×105

División de números que están expresados en notación científica Para dividir cantidades escritas en notación científica se dividen las mantisas y se restan los exponentes (el del numerador menos el del denominador, o sea el del dividendo menos el del divisor).

Ejemplos: 

a) (4×1012)/(2×105) = 2×107 Esto es:



b) (24×1012)/(8×10-7) = 3×1019 Escrito en forma de fracción sería:

61 La potenciación de números en notación científica Se eleva la mantisa a la potencia y se multiplican los exponentes.

Ejemplo: 

(3×106)2 = 9×1012

Radicación de números escritos en notación científica Se debe extraer la raíz de la mantisa y se divide el exponente por el índice de la raíz.

Ejemplos:

Practica 19. Determina las siguientes operaciones en notación científica: 1) 2) 3) 4) 5)

2×105 + 3×105 = 3×105 - 0.2×105= 2×104 + 3 ×105 - 6 ×103 = (4×1012)×(2×105) = (48×10-10)/(12×10-1) =

MATERIAL DE APOYO https://www.youtube.com/watch?v=fFaxRXmvFn0 http://www.aulamatematica.com/BC1/01_Reales/Resueltos/Not_Cient_BC1_Resueltos_01.pdf https://www.youtube.com/watch?v=p13w6D277Ws https://www.youtube.com/watch?v=PQM-ZVo6FLA