Carlos Seoane Prado Catedrático de Química Orgánica Universidad Complutense de Madrid
Matemáticas para estudiantes de Química Soledad Rodríguez Salazar Profesor Titular de Universidad Departamento de Arquitectura de computadores y automática Facultad de Ciencias Físicas. Universidad Complutense
1. NÚMEROS, RECTAS Y PARÁBOLAS .............................................................. 1.1. Introducción: números y funciones ............................................................ 1.2. Los números reales ..................................................................................... 1.3. El valor absoluto y los intervalos en la recta real .................................. 1.4. El orden en los números reales y el infinito ............................................... 1.5. Las rectas ................................................................................................... 1.6. Las parábolas .............................................................................................. 1.7. Los números complejos ............................................................................. 1.8. Ejercicios ....................................................................................................
19 19 20 21 22 23 23 26 27
2. POLINOMIOS Y FUNCIONES RACIONALES................................................. 2.1. Los polinomios y el teorema Fundamental del Álgebra............................. 2.2. Funciones racionales................................................................................... 2.3. Reducción de una función racional a fracciones simples ........................... 2.4. Ejercicios ....................................................................................................
31 31 34 35 41
3. FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS................................................................. 3.1. Introducción................................................................................................ 3.2. Características de algunas funciones .......................................................... 3.3. Composición de funciones.......................................................................... 3.4. La función inversa....................................................................................... 3.5. Las funciones trigonométricas. Medidas de ángulos. Funciones periódicas ..................................................................................
43 43 46 48 49 52
8
MATEMÁTICAS PARA ESTUDIANTES DE QUÍMICA
3.6. 3.7. 3.8. 3.9. 3.10. 3.11. 3.12
Las funciones seno y coseno....................................................................... Amplitud, frecuencia, longitud de onda...................................................... La función tangente .................................................................................... Otras funciones trigonométricas ................................................................. Funciones inversas de las funciones trigonométricas ................................. Coordenadas polares .................................................................................. Ejercicios ....................................................................................................
53 56 58 59 59 64 65
4. FUNCIONES EXPONENCIALES Y LOGARÍTMICAS. FUNCIONES ELEMENTALES........................................................................... 4.1. La función exponencial............................................................................... 4.2. La función logaritmo .................................................................................. 4.2.1. Propiedades de los logaritmos ........................................................ 4.2.2. Cambio de base ............................................................................... 4.3. Las funciones hiperbólicas ......................................................................... 4.4. Funciones elementales ................................................................................ 4.5. Funciones y magnitudes ............................................................................. 4.6. Ejercicios ....................................................................................................
67 67 72 74 75 76 80 81 82
5. FUNCIONES CONTINUAS Y DERIVABLES ................................................... 5.1. Límites y funciones continuas .................................................................... 5.2. Dos propiedades importantes de las funciones continuas .......................... 5.3. Funciones derivables................................................................................... 5.4. El primer problema fundamental del Cálculo: la recta tangente ................ 5.5. La recta tangente como aproximación lineal de la curva............................ 5.6. Algunas propiedades importantes de las funciones derivables .................. 5.7. La velocidad................................................................................................ 5.8. Ejercicios ....................................................................................................
85 85 93 97 98 102 103 109 109
6. CÁLCULO DE DERIVADAS.............................................................................. 6.1. Introducción................................................................................................ 6.2. Cálculo de algunas derivadas a partir de la definición ............................... 6.3. Derivada del producto................................................................................. 6.4. Derivada del cociente.................................................................................. 6.5. Derivadas del seno y el coseno ................................................................... 6.6. Derivada de la composición de funciones: regla de la cadena.................... 6.7. Derivada de la función inversa.................................................................... 6.8. Derivada de x a, a ............................................................................... 6.9. Derivadas sucesivas .................................................................................... 6.10. La notación diferencial ............................................................................... 6.11. Ejercicios ....................................................................................................
111 111 112 114 114 115 117 120 122 123 124 127
ÍNDICE
9
7. DERIVACIÓN IMPLÍCITA ................................................................................. 7.1. Funciones implícitas ................................................................................... 7.2. Derivación implícita ................................................................................... 7.3. Tangente a una curva dada en forma implícita ........................................... 7.4. Ejercicios ....................................................................................................
131 131 132 135 139
8. LA DERIVADA DE LAS FUNCIONES EXPONENCIAL Y LOGARÍTMICA ... 8.1. Introducción................................................................................................ 8.2. Derivada de la función exponencial............................................................ 8.3. Derivada de la función logaritmo................................................................ 8.4. Derivación logarítmica................................................................................ 8.5. Ejercicios ....................................................................................................
141 141 141 143 144 146
9. PUNTOS ESTACIONARIOS. MÁXIMOS Y MÍNIMOS ................................... 9.1. Introducción................................................................................................ 9.2. Máximos y mínimos relativos..................................................................... 9.3. Puntos de inflexión ..................................................................................... 9.4. Concavidad y convexidad ........................................................................... 9.5. Problemas de optimización......................................................................... 9.6. Ejercicios ....................................................................................................
149 149 149 155 158 160 166
10. REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE FUNCIONES ........................................... 10.1. Introducción................................................................................................ 10.2. Comportamiento en el infinito de una función........................................... 10.3. Representación gráfica de funciones en forma explícita............................ 10.4. Representación gráfica de funciones en forma implícita ........................... 10.5. Representación de curvas en coordenadas polares ..................................... 10.6. Ecuaciones paramétricas de una curva ....................................................... 10.7. Ejercicios ....................................................................................................
169 169 171 176 178 179 182 184
11. FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES............................................................ 11.1. Introducción .............................................................................................. 11.2. Funciones reales de dos variables reales................................................... 11.3. Representación gráfica de superficies. Curvas de nivel ........................... 11.4. Algunas superficies................................................................................... 11.5. Funciones continuas.................................................................................. 11.6. Ejercicios ..................................................................................................
187 187 188 190 195 205 205
12. DERIVADAS PARCIALES.................................................................................. 12.1. Derivación parcial ..................................................................................... 12.2. Derivadas sucesivas................................................................................... 12.3. Regla de Schwarz de las derivadas cruzadas ............................................ 12.4. Derivadas parciales en funciones de tres o más variables......................... 12.5. Derivada parcial inversa............................................................................
207 207 209 210 211 212
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MATEMÁTICAS PARA ESTUDIANTES DE QUÍMICA
12.6. Derivación parcial para expresiones implícitas......................................... 12.7. El diferencial total..................................................................................... 12.8. Sentido geométrico de las derivadas parciales. El plano tangente y la aproximación lineal............................................................................ 12.9. El plano tangente y la aproximación lineal para expresiones implícitas ... 12.10. Regla de la cadena. Cambio de variable ................................................... 12.10.1. Regla de la cadena para funciones escalares.............................. 12.10.2. Cambio de variable .................................................................... 12.11. Regla del –1 .............................................................................................. 12.12. Ejercicios .................................................................................................
214 216 218 224 225 225 226 232 234
13. MÁXIMOS Y MÍNIMOS EN FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES........... 13.1. Puntos estacionarios.................................................................................. 13.2. Máximos y mínimos locales. Puntos de silla............................................ 13.3. Criterio de las segundas derivadas para la determinación de máximos, mínimos y puntos de silla ......................................................................... 13.4. Aplicación al método de los mínimos cuadrados .................................... 13.5. Extremos condicionados ........................................................................... 13.6. Máximos y mínimos absolutos ................................................................. 13.7. Ejercicios ..................................................................................................
237 237 240 242 244 252 264 268
14. DIFERENCIALES EXACTAS. FUNCIÓN POTENCIAL. GRADIENTE. DERIVADAS DIRECCIONALES ...................................................................... 14.1. Introducción .............................................................................................. 14.2. Diferenciales exactas y función potencial en dos dimensiones ................ 14.3. Relación de reciprocidad de Euler ............................................................ 14.4. Gradientes ................................................................................................. 14.5. Diferenciales exactas y función potencial en tres dimensiones ................ 14.6. Derivadas direccionales ............................................................................ 14.7. Derivada de un vector ............................................................................... 14.8. Ejercicios ..................................................................................................
273 273 273 274 278 279 283 296 297
15. LA INTEGRAL INDEFINIDA ............................................................................ 15.1. Introducción .............................................................................................. 15.2. La primitiva............................................................................................... 15.3. Algunas primitivas elementales ................................................................ 15.4. Métodos de integración............................................................................. 15.4.1. Cambio de variable ...................................................................... 15.4.2. Integración por partes .................................................................. 15.4.3. Integración de funciones racionales............................................. 15.4.4. Integración de algunas funciones trigonométricas....................... 15.4.5. Integración de algunas funciones irracionales............................. 15.4.6. Nota sobre los cambios de variable..............................................
301 301 301 304 305 305 307 308 313 320 325
ÍNDICE
11
15.5. Sobre la diferencial exacta y la función potencial .................................... 327 15.6. Ejercicios .................................................................................................. 328 16. LA INTEGRAL DEFINIDA ................................................................................ 16.1. Introducción .............................................................................................. 16.2. El área y la integral definida..................................................................... 16.3. Teorema Fundamental de Cálculo............................................................. 16.4. Áreas limitadas por dos curvas ................................................................. 16.5. Propiedades de la integral definida........................................................... 16.6. Promedio integral. Teorema del Valor Medio para la integral .................. 16.7. Derivación bajo el signo integral .............................................................. 16.8. Cálculo de integrales definidas................................................................. 16.9. Ejercicios ..................................................................................................
331 331 334 335 340 342 345 347 351 355
17. INTEGRALES IMPROPIAS ............................................................................... 17.1. Introducción .............................................................................................. 17.2. Integrales impropias de primera especie................................................... 17.3. Integrales impropias de segunda especie .................................................. 17.4. Criterios de comparación .......................................................................... 17.5. La campana de Gauss ............................................................................... 17.6. Ejercicios ..................................................................................................
357 357 358 364 366 371 375
18. APLICACIONES DE LA INTEGRAL ................................................................ 18.1. Longitud de una curva .............................................................................. 18.2. Volumen de un sólido de revolución......................................................... 18.3. Área de una superficie de revolución ....................................................... 18.4. Ejercicios ..................................................................................................
377 377 380 386 389
19. INTEGRALES DE LÍNEA .................................................................................. 19.1. Introducción .............................................................................................. 19.2. Integral de línea de una función escalar.................................................... 19.3. Integral de línea de una forma diferencial ................................................ 19.4. Integral de línea de una función vectorial. Campos conservativos........... 19.5. Ejercicios ..................................................................................................
393 393 394 396 407 410
20. SERIES DE NÚMEROS REALES ...................................................................... 20.1. Sucesiones................................................................................................. 20.2. Sucesiones geométricas ............................................................................ 20.3. Sucesiones convergentes........................................................................... 20.4. Propiedades de las sucesiones................................................................... 20.4.1. Suma de límites............................................................................ 20.4.2. Producto por un escalar................................................................ 20.4.3. Producto de límites ...................................................................... 20.4.4. Cociente de límites.......................................................................
415 415 416 420 422 422 422 422 422
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MATEMÁTICAS PARA ESTUDIANTES DE QUÍMICA
20.4.5. Regla del Sándwich...................................................................... 20.4.6. Regla del valor absoluto............................................................... 20.4.7. Regla de la monotonía ................................................................. Series numéricas ....................................................................................... Series geométricas .................................................................................... Criterio integral de convergencia de series ............................................... El número e .............................................................................................. Criterios de comparación .......................................................................... Criterios del cociente y de la raíz.............................................................. Series alternadas ....................................................................................... Convergencia absoluta .............................................................................. Cálculo de la suma de una serie de números reales .................................. Ejercicios ..................................................................................................
21. SERIES DE POTENCIAS.................................................................................... 21.1. Introducción .............................................................................................. 21.2. Series de potencias.................................................................................... 21.3. Desarrollo de una función en series de potencias ..................................... 21.4. Los polinomios de Taylor como aproximadores de la función ................. 21.5. Aplicación al cálculo de límites................................................................ 21.6. Teorema de Taylor..................................................................................... 21.7. Operaciones con series de potencias......................................................... 21.7.1. Suma de Series............................................................................. 21.7.2. Sacar factor común ...................................................................... 21.7.3. Producto de dos series.................................................................. 21.7.4. Derivación e integración de una serie de potencias ..................... 21.8. Series de potencias y polinomios de Taylor en torno a un punto distinto del origen ..................................................................................... 21.9. Series cuyos términos pueden ser complejos. Fórmula de Euler.............. 21.10. Ejercicios ..................................................................................................
457 457 457 461 470 473 476 477 478 478 478 479
PRÁCTICAS DE AUTOAPRENDIZAJE DEL PROGRAMA DERIVE .................... Práctica 1. Funciones de una variable. Resolución de ecuaciones ....................... Práctica 2. Límites, derivadas y tangentes ............................................................ Práctica 3. Curvas en paramétricas y polares ....................................................... Práctica 4. Gráficas en 3D .................................................................................... Práctica 5. Mínimos cuadrados............................................................................. Práctica 6. Integrales............................................................................................. Práctica 7. Series. Polinomios de Taylor...............................................................