CONSIDERACIONES METODOLÓGICAS

Matemáticas Material de apoyo para el docente

UNIDAD 6

Preparado por: Héctor Muñoz Diseño Gráfico por: www.genesisgrafica.cl

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TEMAS DE GEOMETRÍA

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Matemáticas Unidad 6

Unidad 6 TEMAS DE GEOMETRÍA

1. DESCRIPCIÓN GENERAL DE LA UNIDAD La Unidad trata los siguientes puntos: Identificación y teoremas de igualdad referidos a ángulos opuestos por el vértice y a ángulos en paralelas cortadas por una transversal. Trazos interiores en un triángulo (alturas, bisectrices, transversales de gravedad). Discusión de casos especiales (triángulos rectángulos, isósceles y equiláteros). Verificación empírica del Teorema de Pitágoras y resolución de problemas que implican su aplicación. Volumen de prismas rectos de base rectangular. Identificación, interpretación y empleo de mm3, cm3 y m3 como unidades de medida de volumen. 2. DURACIÓN APROXIMADA 5 semanas. 3. CONTENIDOS -

Teoremas relativos a igualdad de ángulos Trazos interiores en un triángulo El teorema de Pitágoras Volumen de prismas rectos

4. APRENDIZAJES ESPERADOS 4.1 Teoremas relativos a igualdad de ángulos En geometría plana los teoremas relativos a igualdad de ángulos son especialmente relevantes.

APRENDIZAJES ESPERADOS Teoremas relativos a igualdad de ángulos

El primer aprendizaje esperado se refiere a la igualdad de los ángulos opuestos por el vértice.

· Identifican ángulos iguales en los ángulos formados por dos rectas que se cortan.

El segundo aprendizaje esperado considera otro importante teorema de igualdad de ángulos: el teorema relativo a los ángulos que se forman cuando dos rectas paralelas se cortan por una tercera recta.

· Identifican ángulos iguales en los ángulos formados en paralelas cortadas por una transversal.

El tercer aprendizaje esperado se refiere a la aplicación de los teoremas anteriores a diversas situaciones geométricas.

· Aplican estos teoremas para demostrar o establecer igualdad de ángulos en diferentes figuras

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4.2 Trazos interiores en un triángulo Los trazos interiores de un triángulo constituyen elementos relevantes en el estudio de las propiedades de estos polígonos. El primer aprendizaje esperado se centra en la identificación y caracterización de los trazos interiores en los triángulos, en especial, las transversales de gravedad, las alturas y las bisectrices. El segundo aprendizaje esperado se refiere a la capacidad para encontrar algunas propiedades de estos trazos interiores y a la forma en que estas propiedades se reflejan en distintos tipos de triángulos.

APRENDIZAJES ESPERADOS Trazos interiores en un triángulo

· Identifican y caracterizan trazos interiores en triángulos. · Establecen algunas propiedades de esos trazos interiores en diferentes tipos de triángulos.

4.3 El teorema de Pitágoras La teorema de Pitágoras es uno de los teoremas más conocidos en geometría. El primer aprendizaje esperado se refiere a la posibilidad de verificar empíricamente la validez de este teorema y del teorema recíproco en diferentes triángulos rectángulos. El segundo aprendizaje esperado se refiere a la capacidad para aplicar este teorema en la determinación, mediante cálculos, de la longitud del tercer lado de un triángulo rectángulo cuando se conoce la longitud de los otros dos lados. Dado que estas aplicaciones implican la determinación de cuadrados y de raíces cuadradas resulta conveniente utilizar calculadora para efectuar estos cálculos. El tercer aprendizaje esperado apunta a la capacidad de utilizar el teorema de Pitágoras en la resolución de problemas en contextos cotidianos o del ámbito científico o tecnológico.

APRENDIZAJES ESPERADOS El teorema de Pitágoras

· Verifican empíricamente que en triángulos rectángulos se cumplen el teorema de Pitágoras y su teorema recíproco. · Aplican el teorema de Pitágoras para determinar la longitud de la hipotenusa de un triángulo rectángulo cuando se conoce la longitud de sus catetos o para determinar la longitud de uno de los catetos cuando se conoce la longitud de la hipotenusa y del otro cateto. · Resuelven problemas en contextos reales con ayuda del teorema de Pitágoras.

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APRENDIZAJES ESPERADOS Volumen de prismas rectos

4.4 Volumen de prismas recto En años anteriores los estudiantes han conocido procedimientos para determinar perímetros y áreas de distintas figuras geométricas planas. Ahora se estudian procedimientos que permiten calcular el volumen de cuerpos geométricos. El primer aprendizaje esperado se refiere al reconocimiento y empleo de unidades de volumen de uso frecuente. El segundo aprendizaje esperado apunta a la capacidad para aplicar la fórmula que permite calcular el volumen de un prisma recto de base rectangular a partir de la longitud de sus aristas. Este aprendizaje esperado incluye el adecuado empleo de las unidades de volumen que corresponda en cada caso.

· Interpretan el mm3, el cm3 y el m3 como unidades de volumen. · Conocen y aplican una fórmula para calcular el volumen de un prisma recto de base rectangular o cuadrada, expresando el resultado en la unidad de medida que corresponda. · Resuelven problemas relativos al volumen de objetos de forma similar a un prisma recto.

El tercer aprendizaje esperado se refiere a la capacidad para aplicar estos conocimientos en la resolución de problemas que implican cálculos de volúmenes en contextos reales. 5. PROFUNDIZACIÓN DE CONTENIDOS Y RECOMENDACIONES METODOLÓGICAS 5.1 La demostración de teoremas en geometría. Las demostraciones de teoremas geométricos constituyen ejemplos clásicos de razonamiento matemático. Si bien en años anteriores los estudiantes han tenido numerosas oportunidades de conocer formas de razonamiento matemático, el estudio de algunos teoremas geométricos, sus demostraciones y sus aplicaciones en la demostración de nuevos teoremas proporciona una muy buena oportunidad para que los estudiantes tomen conciencia de un tipo de forma de razonamiento que hasta ahora han realizado sin prestarle la debida atención. Los teoremas de geometría tienen la ventaja de que pueden mostrar la línea de razonamiento en una forma muy clara, lo que le da a la enseñanza de la geometría un valor especial en el marco de la educación matemática. Pero para que las demostraciones geométricas puedan entregar su riqueza debemos cuidar la forma en que se presentan a los estudiantes. Es importante que los estudiantes se den cuenta de la fuerza del razonamiento que permite asegurar, si la demostración es correcta, que una determinada propiedad se cumplirá en todos los casos particulares en que sean válidas las condiciones establecidas en la hipótesis. Es necesario resaltar la estructura “si p, entonces q” de los teoremas geométricos. Esta estructura nos permite asegurar que si se cumple p, también se cumplirá necesariamente q. Gracias a los teoremas podemos obtener información que no está dada explícitamente. Así, por ejemplo, si puedo mostrar que un determinado triángulo es un triángulo rectángulo, entonces no solo puedo afirmar que uno de sus ángulos mide 90º. También puedo asegurar que el lado opuesto al ángulo recto es mayor que los otros dos lados, que los ángulos que no son rectos son necesariamente agudos, que su suma es necesariamente 90º, que la transversal de gravedad es igual a la mitad de la hipotenusa, que la suma de los cuadrados de los catetos es igual al cuadrado de la hipotenusa, etc., etc., etc.

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5.3 El teorema de Pitágoras. Lo importante no es que los estudiantes aprendan demostraciones y las puedan repetir. Lo importante es comprender la línea de razonamiento que lleva a demostrar lo que se quiere demostrar, comprender las consecuencias que se desprenden de las conclusiones logradas, visualizar las posibilidades de demostrar nuevos teoremas a partir de los ya demostrados, e incluso aplicar teoremas geométricos para resolver problemas del mundo real. 5.2 Ángulos en paralelas cortadas por una transversal. Al trazar una recta de modo que corte a dos rectas que son paralelas, se forman 8 ángulos. Si dicha recta es perpendicular a las rectas paralelas, los 8 ángulos son rectos y, por lo tanto, todos son iguales entre sí. Si la recta no es perpendicular a las rectas paralelas se formarán 4 ángulos agudos y 4 ángulos obtusos. Lo interesante es que los 4 ángulos agudos son iguales entre sí y los 4 ángulos obtusos son iguales entre sí. Además los ángulos agudos y los ángulos obtusos son suplementarios entre sí. Es decir, su suma es 180º. Para demostrar estas igualdades de ángulos podemos partir estableciendo la igualdad de uno de los ángulos que se forman en torno a una de las paralelas con el correspondiente ángulo en torno a la otra paralela. Consideremos, a modo de ejemplo, la figura 1. En esta figura, las rectas P y Q son paralelas entre sí y son cortadas por la recta T. Se han formado 8 ángulos que se han designado con los números del 1 al 8. Si trasladamos la recta Q paralelamente a sí misma, el ángulo 6 que forma la recta Q con la recta T se mantiene igual a sí mismo, de modo que irá a coincidir totalmente con el ángulo 2. Importante es subrayar que cuando trasladamos la recta Q paralelamente a sí misma, esta solo llegará a coincidir con la recta P si las rectas P y Q son paralelas entre sí. Las igualdades de ángulos que veremos a continuación sólo se cumplen si P y Q son paralelas. De modo que tenemos que: áng 6 = áng 2. Pero el ángulo 7 es opuesto por el vértice con el ángulo 6 y el ángulo 4 es opuesto por el vértice con el ángulo 2. Por lo tanto: áng 6 = áng 7 áng 2 = áng 4 Y por lo tanto, el ángulo 2, el ángulo 4, el ángulo 6 y el ángulo 7 son iguales entre sí. Asimismo, utilizando el hecho que estos ángulos son suplementarios con el ángulo 1, el ángulo 3, el ángulo 5 y el ángulo 8, resulta que estos últimos ángulos son también iguales entre sí. En resumen, cada vez que tengamos 2 rectas paralelas entre sí, cualquier otra recta que las corte formará 8 ángulos entre los cuales se deben cumplir las igualdades que acabamos de ver.

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En el ajuste curricular, no se contempla introducir demostraciones del teorema de Pitágoras. Se habla solo de “verificación, en casos particulares, en forma manual o mediante el uso de un procesador geométrico”. Conviene, sin embargo, llamar la atención al hecho que existen cientos de demostraciones de este teorema. De hecho, en 1927 el profesor de Matemáticas estadounidense E. Loomis publicó un libro con 367 demostraciones diferentes para este teorema. Varias de ellas se pueden encontrar en textos de matemáticas y en páginas de internet. Es necesario insistir una y otra vez en que el teorema de Pitágoras establece una relación entre los cuadrados de los lados del triángulo rectángulo. Es común que algunos estudiantes “simplifiquen” el teorema y transformen a2 + b2 = c2 en a + b = c. 5.4 Acerca de las unidades de volumen. De acuerdo con el Sistema Internacional de Unidades (SI), las unidades de volumen se construyen como unidades derivadas de las unidades de longitud. En especial, a partir del metro (m) se construye el metro cúbico (m3). Un cubo de 1 m de arista tiene un volumen de 1 m3. A su vez, un cubo de 1 cm de arista tiene un volumen de 1 cm3 y un cubo de 1 mm de arista tiene un volumen de 1 mm3. La equivalencia entre estas unidades de volumen puede establecerse a partir de razonamientos similares a los siguientes. Consideremos un cubo de 1 m de arista. Si expresamos la longitud de la arista en centímetros, tendremos que su volumen sería: V = 100 cm · 100 cm · 100 cm = 106 cm3. Si consideramos un cubo de 1 cm de arista y expresamos la longitud de la arista en milímetros, tendremos que su volumen sería: V = 10 mm · 10 mm · 10 mm = 103 mm3. Como vemos, 1 m3 = 106 cm3 y 1 cm3 = 103 mm3. Es importante recalcar estas equivalencias pues algunos estudiantes tienen la tendencia a generalizar las equivalencias entre unidades de longitud a las unidades de área y volumen y creen que 1 metro cúbico debe ser igual a 100 centímetros cúbicos, o que 1 centímetro cúbico debe ser igual a 10 milímetros cúbicos. El litro es también una unidad de volumen. Se define a través de su equivalencia con el metro cúbico: 1 m3 = 103 litros Según el SI el símbolo de litro es una L mayúscula. Otra unidad de uso frecuente es el mililitro (mL) que equivale a 10-3 L. De acuerdo con esta definición, 1 mL equivale exactamente a 1 cm3.

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Hasta hace algún tiempo era frecuente utilizar la abreviatura cc para referirse al centímetro cúbico. Conviene insistir en que el símbolo para el centímetro cúbico de acuerdo con el SI es cm3. Otro aspecto que debemos tener en cuenta es que el SI no hace distinción entre “volumen” y “capacidad”. Como sabemos, el Sistema Métrico en su forma inicial distinguía estos dos términos y consideraba al metro cúbico y sus derivados como unidades de volumen, en tanto que el litro y sus derivados eran considerados como unidades de capacidad y se referían fundamentalmente a líquidos o gases. El SI desestimó estas diferencias y consideró que el concepto de volumen es aplicable también a lo que anteriormente se conoció como capacidad. De acuerdo con esto, el litro y sus derivados deben ser considerados como unidades de volumen al igual que el metro cúbico y sus derivados. Esta decisión del SI eliminó, asimismo, eventuales confusiones con la capacidad eléctrica que es una magnitud propia de la electricidad y que no tiene ninguna relación con el concepto de volumen ni con lo que el Sistema Métrico denominaba capacidad. 6. DESCRIPCIÓN DEL MATERIAL DE TRABAJO PARA EL AULA GUÍA DE TRABAJO Nº 1 (TRABAJO GRUPAL) ÁNGULOS OPUESTOS POR EL VÉRTICE En esta guía se introduce y demuestra el teorema relativo a la igualdad de los ángulos opuestos por el vértice. El enunciado del teorema se resalta en un recuadro y queda a la vista de los estudiantes durante todo su trabajo en la guía. La guía contiene asimismo actividades que implican aplicaciones del teorema en diferentes figuras geométricas. GUÍA DE TRABAJO Nº 2 (TRABAJO GRUPAL) RECTAS PARALELAS CORTADAS POR UNA TRANSVERSAL (I) En esta guía se presenta el teorema relativo a la igualdad entre ángulos correspondientes cuando dos paralelas son cortadas por una transversal. Al igual que en el caso del teorema relativo a los ángulos opuestos por el vértice, el enunciado del teorema se reproduce en un recuadro. GUÍA DE TRABAJO Nº 3 (TRABAJO GRUPAL) RECTAS PARALELAS CORTADAS POR UNA TRANSVERSAL (II) En esta guía se completa la situación anterior estableciendo la igualdad de los ángulos alternos internos y de los ángulos alternos externos. Se pone énfasis en la demostración de estos teoremas sobre la base de los dos teoremas demostrados anteriormente. De esta forma, los estudiantes pueden ver un ejemplo de aplicación de teoremas ya demostrados para demostrar teoremas nuevos. GUÍA DE TRABAJO Nº 4 (TRABAJO GRUPAL) APLICACIONES DE LOS TEOREMAS RELATIVOS A IGUALDAD DE ÁNGULOS En esta guía se proponen situaciones que pueden ser resueltas mediante la aplicación de los teoremas demostrados en las guías anteriores. Con el fin de centrar la atención del estudiante en los razonamientos, la guía reproduce en un recuadro el enunciado de los teoremas demostrados. Las aplicaciones implican tanto la determinación de la medida de ángulos como la demostración de nuevos teoremas.

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GUÍA DE TRABAJO Nº 5 (TRABAJO INDIVIDUAL) TRAZOS INTERIORES EN TRIÁNGULOS En esta guía se presentan las transversales de gravedad, las alturas y las bisectrices de un triángulo y se establecen empíricamente algunas de sus propiedades más relevantes. Se analizan asimismo los casos especiales del triángulo isósceles y del triángulo equilátero. GUÍA DE TRABAJO Nº 6 (TRABAJO GRUPAL) EL TEOREMA DE PITÁGORAS En esta guía se presenta y verifica empíricamente el teorema de Pitágoras y se presenta el teorema recíproco. La guía plantea diversas situaciones problemáticas que pueden ser resueltas mediante la aplicación del teorema de Pitágoras o de su teorema recíproco. GUÍA DE TRABAJO Nº 7 (TRABAJO INDIVIDUAL) EL VOLUMEN DE UN PRISMA RECTO En esta guía se estudia un procedimiento de cálculo del volumen de un prisma recto de base rectangular. Antes de comenzar a trabajar con esta guía se se recomienda comentar el concepto de volumen y contrastarlo con los conceptos de área y perímetro. Es útil establecer paralelos con el tratamiento que se da al concepto de volumen en el sector de Ciencias Naturales.

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