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Cine y matemáticas

Matemáticas y efectos especiales (III)

En el número anterior (UNO, núm. 61) se introdujo un concepto imprescindible en la edición final de una producción cinematográfica en la actualidad, las CGI (Computer Generated Images), siglas que designan todo tipo de imágenes añadidas en una película artificialmente, con posterioridad a la filmación, o a la alteración de otras reales. Ejemplos conocemos muchos: desde la introducción de bichos variopintos en la reedición de la saga de las galaxias, y de dinosaurios en la jurásica, hasta el brillo diamantino en la piel de algunos de los integrantes de las películas de otra reciente franquicia crepuscular. En esta ocasión, vamos a tratar de sintetizar los procesos necesarios para introducir estos efectos en las películas, mencionando algunos de los tópicos matemáticos que deberían conocerse, al menos para manejar con cierto conocimiento de causa el software comercial que se utiliza. Los procesos efectuados sobre las imágenes se ejecutan generalmente en forma secuencial, distinguiéndose tres etapas: aplicación, geometría y rasterización. La primera fase, la de aplicación, la realiza completamente el software de la CPU, y consiste en la lectura de datos de los objetos que deseamos incorporar en la imagen. Estos se toman de objetos existentes en bancos de bases de datos (coordenadas de puntos que luego se unen, polígonos, coordenadas paramétricas de curvas y superficies, superficies dadas por sus ecuaciones implícitas, etc.) o son suministrados por el usuario (o modificados los anteriores a gusto del consumidor) mediante el ratón u otros periféricos (trackballs, guantes con sensores, etc.). También es posible incorporar imágenes ya digitalizadas a través de un escáner o una cámara digital. A continuación, se incorpora el objeto a la escena, entrando en la llamada fase geométrica, que comprende acciones diferentes: • Transformación de la vista del objeto, aplicando las transformaciones que sean necesarias (traslaciones, cambio de escala, rotaciones, deformaciones) para que aparezca como deseemos. Suelen utilizarse coordenadas homogéneas al aplicar esas transformaciones lineales. • Modificación de la perspectiva. El objeto debe percibirse por la cámara con la perspectiva adecuada. Para ello, se aplica una transformación de perspectiva que convierta las coordenadas 3D del objeto a coordenadas 2D de la pantalla. Debe, además, tenerse en cuenta el tamaño (los objetos lejanos tiene que aparecer más pequeños, y los más cercanos más grandes). • Eliminación de las superficies ocultas. Si el objeto que se incorpora se vislumbra parcialmente, porque está en un segundo

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plano (por ejemplo), es necesario eliminar las zonas que quedan tapadas. Sombreado. Un aspecto fundamental en la credibilidad de lo que se ve lo proporcionan los detalles de los reflejos y las sombras. Para conseguir esa naturalidad, hay que controlar perfectamente la dirección de la que procede la fuente de iluminación de la escena, la posición de la cámara, y las condiciones de iluminación, y estudiar los ángulos de incidencia en los objetos que hayamos incorporado a la imagen. También hay que tener en cuenta si se quiere realzar algún aspecto concreto con más cantidad de luz. En todo ello, es preciso decidir el color de cada uno de píxeles de la imagen, respetando el original de cada objeto y eliminando reflejos especulares. Normalmente, la iluminación adecuada se calcula y aplica de vértice a vértice del objeto.

Existen varias técnicas en el sombreado de objetos generados por ordenador. La más extendida es el sombreado Gouraud, descrito en 1971 por el francés Henri Gouraud. A grandes rasgos, se comienza aplicando una malla poligonal al objeto a iluminar. A continuación, se hace una estimación a la superficie normal de cada vértice, o bien un promedio de las superficies normales de los polígonos que confluyen en cada vértice. Con estas estimaciones, se realiza un cálculo de la intensidad de luz, basada en modelos de reflexión (por ejemplo el modelo de reflexión de Phong; describir este procedimiento es un poco extenso, baste decir que se basa en la combinación de las intensidades luminosas del medio ambiente en el que está el objeto, junto a las difusas y las especulares calculándolas para cada píxel, lo que lo convierte en un método preciso pero muy lento) para determinar las intensidades de los colores en cada vértice. Para cada píxel de la malla poligonal, las intensidades de color se interpolan a partir de los valores de color calculados en los vértices. Es, por tanto, un método interpolatorio que produce sombra continua, a diferencia de los procedimientos planos (flat) que asignan un único valor a toda una zona, como se aprecia en la imagen. Estas imágenes descritas mediante objetos geométricos constituyen un gráfico vectorial. La etapa final, conocida como rasterización, es el proceso por el cual una imagen descrita en un formato gráfico vectorial se convierte 104

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en un conjunto de píxeles que van a ser utilizados en un medio de salida digital, como una pantalla de ordenador, una impresora electrónica, una imagen de mapa de bits o una pantalla de vídeo. Los gráficos rasterizados se caracterizan técnicamente por su altura y anchura (en píxeles) y por su profundidad de color (en bits por píxel). Esta última determina el número de colores distintos que se pueden almacenar en cada píxel y, por lo tanto, la calidad del color de la imagen. Este procedimiento se utiliza cuando se trabaja con imágenes de cierta complejidad (muchos objetos independientes, muchas capas) como sucede en la generación de un videojuego o escenas de una película. Antes de efectuar esta etapa, conviene haber realizado copias de seguridad de las imágenes previas, ya que una vez aplicado el procedimiento, se pierde toda información de los objetos vectoriales. Como en las anteriores, consta de varias fases: • Filtros anti-aliasing. El aliasing es una distorsión en la imagen producida cuando una señal de alta resolución se representa en una resolución más baja. El nombre proviene del hecho de que, en lugar de ver la imagen o apreciar el sonido original, percibimos un «alias», algo similar, pero no igual. Sucede cuando escuchamos la sirena de una ambulancia que pasa a gran velocidad, cuando vemos en una película girar las ruedas de un vehículo aparentemente en sentido contrario, o cuando un ventilador es iluminado por luz parpadeante. Este efecto se conoce también como fenómeno de Gibbs o efecto Nyquist, y en la imagen adjunta se presenta en los «dientes de sierra» de los lados de los cuadrados. Los filtros anti-aliasing se basan en la división de cada píxel distorsionado en varias regiones sobre las que se cambia el color, sustituyéndolo por la media de los colores que lo circundan. • Aplicación de texturas. La textura es un elemento fundamental que caracteriza a los objetos para que los percibamos como realmente son. En la fotografía fotoquímica tradicional, la textura queda determinada por el tipo de emulsión fotográfica empleada. Cuanto menos sensible (más lenta) es la película empleada, el

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grano fotográfico es menos visible, y mayor será la resolución de la imagen. Por el contrario, cuanto más sensible (más rápida) sea la emulsión fotográfica, menor será la resolución de la imagen, y más visible será el grano fotográfico. La mayor visibilidad del grano puede afectar a la nitidez de la imagen, hasta el punto de que carezca de profundidad espacial y parezca absolutamente plana. Con las técnicas de tratamiento digital se pueden imitar las texturas de cualquier objeto. La utilización de filtros digitales permite enmascarar la escasa calidad de una fotografía o construir imágenes singulares, que resulten impactantes o chocantes al espectador, que con los procedimientos tradicionales fotoquímicos son prácticamente imposibles de obtener, por su extraordinaria complejidad. Finalmente, se visualiza la composición final de la imagen, haciendo retoques diversos como cuantizar el color en conjunto, repasar los reflejos y las sombras en conjunto, y la iluminación global o ambiental que se añade a todos los cálculos de iluminación finales, para compensar arbitrariamente la ausencia de iluminación no calculada correctamente por la rasterización.

Alfonso Jesús Población Sáez

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Blogs de clase de matemáticas

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Muchos profesores de matemáticas consideran que la actividad de la clase debe salir del aula; no se resignan a que las únicas salidas matemáticas de la clase sean para hacer los deberes propuestos un día tras otro. El uso de Internet permite abrir ventanas a nuevas posibilidades para que los alumnos menos motivados o con dificultades de aprendizaje encuentren propuestas de trabajo a su alcance, mientras los más interesados o más capacitados descubren materiales adaptados a su nivel. Además, todos ellos pueden encontrar aplicaciones matemáticas a los temas que les atraen. Las páginas web amplían las posibilidades de los libros en papel: nuevas formas de estructurar el conocimiento con hipervínculos, animaciones y applets interactivos que acercan los conceptos matemáticos a los estudiantes, de los que ya hemos dado cuenta en esta sección en números anteriores. Con las nuevas formas de presentar el conocimiento en Internet, hasta las páginas web nos parecen ahora constreñidas por una estructura rígida mientras siguen apareciendo nuevos formatos que permiten ordenaciones, clasificaciones y búsquedas de los contenidos según diversos criterios. Es el caso de los blogs. Uno Revista de Didáctica de las Matemáticas | núm. 62 | abril 2013

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Un blog consta de una serie de entradas organizadas en principio cronológicamente (el más nuevo arriba). Usualmente, cada entrada ofrece una oportunidad para los lectores de interactuar dejando sus comentarios, lo que permite incluir diálogos con una clase. Además, los blogs suelen ofrecer barras laterales que incluyen agrupaciones según otros criterios: por contenidos, cursos, niveles, etc. En una primera sección, se incluyen blogs de aula en los que encontraremos distintas formas de utilizarlos como complemento de la clase: • Incluir resúmenes y complementos para completar la clase con el fin de ayudar a los que tienen más dificultades. • Proponer ampliaciones, sugerencias para los más avanzados. • Presentar nuevos recursos mediante materiales o enlaces para favorecer la adquisición de los conocimientos. • Acercar a los alumnos al conocimiento matemático que se hace en la sociedad. • Proponer problemas para que los alumnos vayan aportando soluciones, las enriquezcan y también incluyan sus propios enunciados de problemas matemáticos para retar a los compañeros. Una segunda sección contiene blogs cuyo objetivo es contribuir al aprendizaje de las matemáticas de alumnos y ciudadanos. De ellos, el profesor podrá obtener sugerencias, ideas y materiales de clase. Blogs de aula Matemáticas Elaios, de José María Sorando (IES Elaios de Zaragoza)

Para José M. Sorando, el blog es una actividad voluntaria para los alumnos de la clase. Cada día uno de ellos hace un resumen de lo que ha ocurrido, de las tareas que se han realizado y de las propuestas para casa, lo que le permite reflejar qué ha ocurrido en la sesión. El profesor se dedica a aportar nuevos materiales de la red y ampliaciones a la clase. En la sección El «profesor propone» se incluyen videos, direcciones de páginas web, presentaciones con notas históricas, divertimentos y problemas, chistes y todo aquello que se considera que puede completar la formación de los estudiantes. Otras secciones muy desarrolladas son «Matemáticas a nuestro alrededor», con situaciones de estadística o geometría; «El problema de la semana», con enunciados y soluciones de los alumnos, y «Aplicaciones interactivas». http://mateselaios3.blogspot.com.es/ Uno Revista de Didáctica de las Matemáticas | núm. 62 | abril 2013

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Estoestodoamigos, de José Luis Muñoz y su clase de 4.º A (IES Salvador Dalí de Madrid)

Proviene de un blog realizado en la clase de 3.º del curso anterior que llevaba por título Multiplícate por cero. La evolución ha hecho que, de un curso para otro, la sección «Arte GeoGebra» se convierte en «Arte Curvo», en la que los alumnos componen sus diseños geométricos realizados mediante funciones, que van dejando mancha en el sistema de ejes cartesianos mientras se transforman y cambian de color. Las rutas matemáticas de Multiplícate por cero han dado paso a «Una visita matemática a la Alhambra» en Estoestodoamigos, en la que los participantes nos cuentan todo el proceso seguido (incluidas las rifas) hasta realizar el viaje. Hay secciones que se mantienen, como la revista matemática Simétrica realizada por los alumnos, en la que cada número consta de una página con un artículo y un problema. Y también la liga de problemas matemáticos propuestos por los propios alumnos. http://estoestodoamigos.wikispaces.com/Investigaciones Aula de Mates, de Carmen Fernandez Cedrón (IES Odra-Pisuerga de Melgar de Fernamental, Burgos)

Con videos de alumnos, presentaciones de fotografía matemática y enlaces a materiales libres en la red: los proyectos EDAD y Descartes, Educaplay, applets de GeoGebra etc. En la página principal aporta una buena selección de enlaces a sitios interactivos: páginas, wikis, blogs de aula de matemáticas y todo tipo de recursos que nos pueden ser de utilidad, incluida una colección de páginas para iniciarse en la creación de blogs. Tiene una sección para cada uno de sus cursos, en la que coloca materiales y enlaces para cada tema del curso. El objetivo es que sirva de cuaderno de trabajo en un aula de matemáticas. http://aula-mates.blogspot.com.es Los blogs de Eva María Perdiguero (IES Ribera del Bullaque, Ciudad Real)

El trabajo de Eva Perdiguero merece una atención especial: sus blogs han merecido varios premios CreArte del Ministerio de Educación y del Instituto de Tecnologías Educativas. El blog de aula para matemáticas y tecnología en bilingüe de 1.º ESO, http://matesporzuna-1eso.blogspot.com.es/, curso 2010-2011, con108

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tiene enlaces a los materiales de la ESO de educación a distancia del CIDEAD. El blog de aula para matemáticas de 4.º ESO, http://matesporzuna4eso.blogspot.com.es/, curso 2009-2010, ha resultado premiado en Los materiales educativos del ITE. Y por último, un blog para matemáticas en inglés, Maths, indispensable para todo aquel profesor de matemáticas que empieza «a ciegas» en el bilingüismo: http://seccioneuropeamatesribera.blogspot.com.es/ Las propuestas de trabajo de Eva son especiales: lo que ella llama fotocopias es lo que la mayoría de profesores vemos en forma de materiales elaborados hasta el último detalle. Los enlaces dirigen a recursos de calidad, y los trabajos de los alumnos y las recopilaciones de la profesora nos dan la sensación de tareas bien dirigidas y realizadas a conciencia. http://evamate.blogspot.com.es/ Blogs para aprender matemáticas Aprender y enseñar matemáticas, del IES Cardenal Cisneros de Madrid

Sus autores señalan que este blog está hecho por profesores a los que les gusta aprender y enseñar matemáticas en equipo. Presta especial atención a la divulgación matemática y a la utilización de recursos en el aprendizaje de las matemáticas, especialmente videos. Clasifica los contenidos por nivel académico (curso al que se dirige), contenido matemático, recurso didáctico (software, cine, video, literatura, etc.). La sección Gabinete de matemáticas presenta interesantes actividades de laboratorio con las que podemos sorprender a los estudiantes al comprobar el papel que juegan las matemáticas en la resolución. http://aprender-ensenyar-matematicas.blogspot.com.es/ GeoGebreando, de Mariano Real

Contiene una amplia colección de applets creados con el software matemático GeoGebra. En unos casos van acompañados de explicaciones y comentarios a la construcción o una serie de preguntas que se podrán responder a partir de la manipulación del applet. Hay una sección dedicada al desarrollo de unidades didácticas con GeoGebra, tanto en geometría básica como las dedicadas al estudio de funciones. Incluye enlaces tanto a recursos realizados con GeoGebra como con otros softwares matemáticos: Wiris, Descartes, Wolfram, etc. http://geogebreando.blogspot.com.es/ Uno Revista de Didáctica de las Matemáticas | núm. 62 | abril 2013

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NoSoloMates, de David Acedo

NoSoloMates es un blog educativo que persigue hacer progresar a nuestros estudiantes (y a los ciudadanos) en su conocimiento matemático mediante una visión crítica de la utilización de las matemáticas en los medios de comunicación. Además, pretende promover la lectura y fomentar otras manifestaciones culturales y artísticas como el cine, la música, la prensa o la publicidad. La sección «Anumerismo» contiene entradas que revelan errores frecuentes, engaños, paradojas y curiosidades alrededor de las matemáticas en nuestro mundo. También presta gran atención las secciones dedicadas a los medios de comunicación: prensa, televisión e Internet. http://nosolomates.es/ Mati, una profesora muy particular, por Clara y Raquel

La presentación la hacen las mismas autoras en su blog: Esto va de una catalana y una andaluza que se asoman a esta ventana para haceros llegar matemáticas en la forma que ellas saben. Para ello nos colaremos en las historias de nuestra amiga Mati, sus amigos Sal, Ven y Gauss, el perro más listo de todos los perros. Cada semana, Mati ayudará a los pequeños Sal y Ven con sus tareas de mates. Cuando estos acaben y salgan a jugar al jardín con su perro, esta pelirroja gafotas nos contará anécdotas y curiosidades, siempre relacionadas con las matemáticas. Si os gustan Mati y sus amigos, podéis seguir sus aventuras de fin de semana en Mati y sus mateaventuras, blog ganador de los Premios 20Blogs 2011. Por cierto, la catalana es Raquel, autora de las ilustraciones, y la andaluza es Clara, responsable de la palabra —y la matemática— escrita. Los ladridos son cosa de Gauss. http://blogs.20minutos.es/mati-una-profesora-muy-particular/ Matemáticas interactivas y manipulativas, de Joaquín García Mollá

Une las nuevas tecnologías, ordenadores, videos, juegos interactivos y applets interactivos para el aprendizaje de las matemáticas con la manipulación de los materiales más diversos: espejos, plegado de papel, varillas o botes y cañitas de refresco. http://i-matematicas.com/blog/ 110

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El Método Lekuona, blog de Goyo Lekuona

La idea principal del método Lekuona consiste en que los alumnos hagan un uso activo de las nuevas tecnologías dentro del currículo; que analicen los programas a su disposición y estudien las posibilidades que les ofrecen en sus trabajos. Ha creado varias unidades didácticas para el aprendizaje de las matemáticas con hojas de cálculo. En un ambiente distendido y con grandes dosis de humor, Goyo nos propone problemas, nos cuenta historias ocurridas en sus clases o las matemáticas que encuentra en la calle y en los medios de comunicación. Una de las características reseñables de su blog es su versatilidad: podemos elegir la forma de presentación: clásico (lo más nuevo arriba), tarjetas con título que puedes voltear para ver el contenido, o disponer las entradas en forma de mosaico o revista. http://lekuona.blogspot.com.es/ Catálogo de recursos para matemáticos

Contiene un gran catálogo de material para el aprendizaje de las matemáticas con páginas y recursos en Internet de fácil aplicación al aula de matemáticas. Está clasificado según nivel (material de aula, ampliación o repaso), curso (secundaria y bachillerato y las relaciones con primaria), tipo de material (apuntes, material interactivo, software, ejercicios fotocopiables, vídeos) y mejor forma de uso en clase (análisis de las aplicaciones didácticas para cada recurso). http://demates.wordpress.com/2011/03/22/278/

Bibliografía MORALES, M.E. (2010): «¡Anímate!... Pon un blog en tu vida». Números. Revista de Didáctica de las Matemáticas, vol. 75, pp. 21-28. SORANDO, J. (2009): «Matemáticas por todos los caminos». XV JAEM. Girona. José Antonio Mora

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Eso no estaba en mi libro de matemáticas: Curiosidades matemáticas para despertar tu mente MEAVILLA, V. Almuzara Córdoba, 2012 248 páginas

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Las primeras palabras del prólogo sirven muy bien para describir la obra que presentamos: Eso no estaba en mi libro de matemáticas, manual dedicado a las matemáticas, no es un texto convencional en el que se desarrollan de forma ordenada ciertos tópicos aritméticos, geométricos o algebraicos. Por el contrario, este librito es un cajón de sastre que da cabida a diversos contenidos matemáticos inconexos y variados que se distribuyen en doce capítulos. Ni que decir tiene que cada uno de ellos puede leerse sin prestar atención a los restantes. Por las páginas que configuran este popurrí desfilan personajes, problemas, procedimientos, recreaciones y paradojas que pueden interesar a un público variopinto (profesores de matemáticas, alumnos de diversos niveles educativos, historiadores de la ciencia, padres de hijos en edad escolar, topógrafos…). En multitud de ocasiones, los profesores y profesoras echamos en falta materiales que nos sirvan para completar la imagen de las matemáticas que dan los libros de textos que usamos habitualmente. Ello puede estar motivado por causas varias: explicar el origen de algunas ideas matemáticas, profundizar en algunos problemas históricos, acercar a los alumnos y alumnas a las demostraciones, ilustrar con ejemplos la aplicabilidad de las matemáticas al mundo que nos rodea, etc. En esta obra podemos encontrar muchos y variados recursos para llevar a cabo cualquiera de las ideas anteriores. El libro se estructura en doce capítulos, de los que pasamos a describir brevemente su contenido: 1. «La edad del simbolismo matemático». Un recorrido por el origen de los símbolos matemáticos más usuales. 2. «¿Por qué algunas expresiones se llaman notables?». Importancia de algunas identidades algebraicas en la resolución de algunos problemas (extracción de raíces cuadradas y cúbicas, ecuaciones de segundo y tercer grado…). 3. «El Teorema de Pitágoras». Recopilación de demostraciones del teorema. 4. «Algunas estrategias ingeniosas para sumar potencias». Cálculo de sumas de potencias de números naturales consecutivos, a partir del triángulo de Tartaglia. 5. «Lecciones de geometría práctica». Ejemplos históricos de cálculo indirecto de longitudes. 6. «Geometría analítica en el mundo real». Estudio de dos problemas de modelización matemática: las casas árbol del arquitecto holandés Piet Blom y un envase de perfume. Uno Revista de Didáctica de las Matemáticas | núm. 62 | abril 2013

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«Dos soluciones inteligentes a un problema clásico de la matemática griega». Expone dos soluciones, de Diocles y Arquitas de Tarento, de uno de los tres problemas clásicos: el de la duplicación del cubo. 8. «Matemática recreativa valenciana». Un análisis de las recreaciones matemáticas de la obra Arithmetica practica (1602) del científico valenciano Gerónimo Cortés. 9. «Así calculaban los arquitectos del siglo XVII». Muestra el método usado por el arquitecto Juan de Torija (1624-1666) para el cálculo aproximado del área de una bóveda esquifada. 10. «Paradojas matemáticas». Paradojas aritméticas y geométricas. 11. «Dividir con criterio». Presenta los criterios de divisibilidad entre 2, 3…11. 12. «Antología de problemas matemáticos y estrategias de resolución». Estudio y resolución de algunos enunciados de problemas clásicos en los que se usan algunas estrategias de interés: método de inversión, regla de una falsa posición o de dos falsas posiciones. Este breve vistazo a los temas desarrollado nos permite resaltar que el álgebra elemental y las geometrías, clásica y analítica, son los temas preferidos del profesor Meavilla, casi siempre tratados desde una perspectiva histórica, que es una constante a lo largo de muchas de sus obras. También hay temas que nos resultan conocidos de sus artículos anteriores, algunos de ellos ya clásicos en la literatura de la educación matemática española. De ahí que nos resulte difícil pronunciarnos sobre lo que más nos ha gustado del libro; todos los capítulos tienen interés para la clase y para los distintos niveles educativos. Aún así, los capítulos 6, 7 y 9 nos parecen los más originales y útiles para el bachillerato, esa etapa educativa tan olvidada, con tanta parálisis en cuanto a la innovación educativa y, como dijo en su día nuestro recordado Miguel de Guzmán, tan llena de ideas inertes. Los problemas tratados en ellos son ejemplos imprescindibles sobre la utilidad didáctica de la historia de las matemáticas, a través de algunos de sus problemas más fecundos; y de la realidad, a través de la modelización o del proceso de matematización. En fin, Eso no estaba en mi libro de matemáticas consigue aunar un adecuado nivel de rigor matemático con una claridad y una ligereza propias de las buenas obras de divulgación científica. Por ello no debe faltar en la biblioteca de ningún departamento de matemáticas de nuestros centros educativos, ni en la del profesor o profesora interesado en los conocimientos específicos de su profesión. Constantino de la Fuente

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El cerebro de los matemáticos: Los grandes matemáticos y sus formas de pensar RUELLE, D. Antoni Boch Barcelona, 2012 203 páginas

La mente matemática plantea una pregunta, muy provocadora, acerca de los matemáticos más brillantes y excéntricos del mundo: ¿fueron brillantes gracias a su excentricidad, o a pesar de ella? En este entretenido y estimulante libro, David Ruelle, el célebre físico matemático que ayudó a formular la teoría del caos, nos brinda una singular crónica de los célebres matemáticos que ha conocido y de sus rarezas, manías, tragedias personales, fechorías, enajenamientos, trágicos finales y de la sublime e inefable belleza de sus descubrimientos más impresionantes. Sirvan las palabras anteriores, sacadas de la contraportada de El cerebro de los matemáticos, como introducción a nuestro comentario sobre el ensayo del catedrático emérito de física matemática del Institut de Hautes Études Scientífiques de París, David Ruelle. La obra no es una continuación de las reflexiones que sobre diferentes aspectos del pensamiento matemático iniciaron Poincaré y Hadamard, también franceses, en la segunda mitad del siglo pasado. Estos últimos se centraron en el proceso de creación y descubrimiento en matemáticas y, por el contrario, el profesor Ruelle presenta una panorámica de temas matemáticos, entre los que se encuentra el anterior. Como dice la presentación del libro: Ruelle no se muerde la lengua al exponer sus opiniones personales, reveladoras y profundas, acerca de Turing y otros matemáticos como Alexander Grothendieck, René Thonnnnm, Bernhard Rieman y Felix Klein. Pero este libro es mucho más que una serie de confidencias matemáticas. Cada capítulo examina una idea matemática trascendental y las mentes visionarias que la produjeron y, sobre esa base, el autor explora las consecuencias filosóficas de la misma, ilustrando con perspicacia los singulares y creativos procesos mentales de los matemáticos, demostrando que las matemáticas son el marco más propicio para plantear preguntas acerca del significado, la belleza y la naturaleza de la realidad. La obra se estructura en 23 capítulos, cuyos títulos son los siguientes: «1. El pensamiento científico»; «2. ¿Qué son las matemáticas?»; «3. El programa de Erlangen»; «4. Matemáticas e ideología»; «5. La unidad de las matemáticas»; «6. Un vistazo a la geometría algebraica y a la aritmética»; «7. Viaje a Nancy con Alexander Grothendieck»; «8. Estructuras»; «9. El ordenador y el cerebro»; «10. Textos matemáticos»; «11. Honores»; «12. El infinito: la cortina de humo de los dioses»; «13. Fundamentos»; «14. Estructuras y creación de conceptos»; «15. La

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manzana de Turing»; «16. La invención matemática: psicología y estética»; «17. El teorema del círculo y un laberinto de dimensiones infinitas»; «18. ¡Error!; 19. La sonrisa de la Mona Lisa»; «20. El bricolaje y la construcción de teorías matemáticas»; «21. La estrategia de la invención matemática»; «22. La física matemática y el comportamiento emergente»; «23. La belleza de las matemáticas». La mayoría de las ideas tratadas, a pesar de la complejidad de algunas de ellas, son presentadas por Ruelle de una manera sencilla, comprensible y con el punto justo de profundización. Por ejemplo, en la actualidad, la comunidad matemática intenta recuperarse del shock recibido por el error encontrado en la demostración de Perelman sobre la Conjetura de Poincaré. En el capítulo 18, «¡Error!», Ruelle nos habla sobre las demostraciones con ordenador y el papel de este último para visualizar objetos, confirmar la verosimilitud de algunas hipótesis o invalidar otras, en lo que denomina fase heurística de los problemas matemáticos. También incide en el declive de los valores morales de las ciencias exactas, denunciado por Grothendieck, a propósito de la proliferación de demostraciones realizadas con ordenador y las demostraciones extremadamente largas. A este respecto, podemos leer: La probabilidad de que una demostración no tenga errores desciende de forma exponencial (o peor) en relación a su longitud. ¡Y un solo error puede acabar con una demostración! Como ampliación de la lista de títulos, que en algunos casos no ilustra suficientemente su contenido, resaltamos algunas de las ideas temáticas que contienen que nos han parecido originales: la introspección, el uso político de las matemáticas, relaciones entre cerebro y ordenador, los buenos estudiantes y la falta de imaginación, la longitud de las demostraciones, el bricolaje y principios estratégicos para la creación, los matemáticos como personas, las cualidades del investigador matemático de éxito, la doble naturaleza de las matemáticas, etc. Como puede verse, aunque no hemos puesto ningún nombre propio (ni de personajes, ni de conocimientos) hay una gran variedad de temas matemáticos interesantes, alguno que ni siquiera hemos mencionado, como por ejemplo la belleza de las matemáticas, un buen tópico para finalizar esta presentación: ¿Qué es lo que hace bellas a las matemáticas? Propongo una respuesta: creo que la belleza de las matemáticas reside en revelar la sencillez y complejidad ocultas que coexisten en el rígido marco lógico impuesto por la propia disciplina. Constantino de la Fuente

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El día de Geogebra

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Desde que, en el año 2002, el matemático austriaco Markus Hohenwarter creara como trabajo de fin de máster el programa de geometría dinámica Geogebra, la implantación de dicho programa en el mundo educativo matemático ha sido exponencial. El creador del programa lo ofreció como software libre a la comunidad matemática, y eso permitió no sólo que cualquiera pudiera utilizarlo, sino también que el programa alcanzase unas realidades impensables en el momento de su creación. En la actualidad, se tiene constancia de su utilización en un mayor número de países que los que forman la ONU. Al mismo tiempo, la aparición de los llamados Institutos de Geogebra –agrupaciones nacionales de usuarios del programa– es imparable. En nuestro país, que es un caso único en el mundo, existen ya siete institutos de Geogebra: en Cataluña, Cantabria, Andalucía, Galicia, Valencia, Madrid y Castilla La Mancha. Los siete institutos, coordinados por Agustín Carrillo de Albornoz, actual coordinador estatal de los institutos de Geogebra que, durante este año, corresponde al instituto de Andalucía, convocaron el pasado 24 de Noviembre de 2012 el Día de Geogebra, a imagen del celebrado en 2010 en Salamanca. En esta ocasión, la concentración de seguidores del programa se realizó en Segovia en las instalaciones del Campus María Zambrano de la Universidad de Valladolid; unos edificios con apenas tres meses de vida. Allí nos dimos cita unos 150 profesores de todas las comunidades, incluyendo algunos compañeros del Instituto de Geogebra de Portugal. El denso día comenzó, tras la inauguración de las autoridades pertinentes, con una conferencia del padre de la criatura, Markus Hohenwarter, quien nos presentó una breve historia sobre la evolución del programa y del movimiento a su alrededor, así como algunas actividades variadas. Un programa por el que han pasado más de 200 desarrolladores y del que ya existen más de 120 institutos repartidos por todo el mundo. Puesto que prácticamente todos los asistentes conocíamos el programa en mayor o menor medida, la segunda parte fue la más interesante, pues nos mostró las líneas de desarrollo en las que se trabaja actualmente. En primer lugar, comentó que a mediados de diciembre estaba prevista la aparición de la versión definitiva del Geogebra 4.2, versión que incorpora el cálculo simbólico con la ventaja —sobre otros programas como Derive o Maxima— de que el incluido en Geogebra es Uno Revista de Didáctica de las Matemáticas | núm. 62 | abril 2013

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Crónicas

cálculo interactivo; es decir, si se cambia algún elemento en los cálculos realizados, se actualiza todo lo posterior a ese dato. También nos mostró algo que fue especialmente bien recibido: las versiones que pueden trabajar sin necesidad de utilizar la máquina Java; con lo que podrán ser usadas en tabletas, iPhone y demás artilugios móviles, en los que hasta el momento no podían ser utilizadas porque no había versiones del programa java para ellos. El día terminó con las conferencia de los profesores Rafael Losada Liste y José Luis Álvarez García, del Instituto de Geogebra de Cantabria, y desarrolladores del Proyecto Gauss (del que se ha hablado en nuestra revista varias veces), un material organizado por el INTEF (Instituto Nacional de Tecnologías Educativas y Formación del Profesorado) tomando como base el programa Geogebra. El proyecto, que fue parado antes de su finalización por los cambios y recortes en el Ministerio de Educación, Cultura y Deporte, incluye multitud de actividades para primaria, secundaria y bachillerato. En la conferencia, los profesores nos hablaron de la estructura de los materiales, de sus objetivos y mostraron ejemplos de actividades variadas. Esos materiales están a disposición de cualquier profesor que quiera utilizarlos. Se pueden descargar libremente, pues se ofrecen con licencia Creative Commons. La dirección para acceder a ellos es http://recursostic.educacion.es/gauss/web/ Entre las dos conferencias se desarrolló una compacta jornada de trabajo, con apenas hora y media para comer, en la que se incluyó un total de 25 comunicaciones, donde se presentaron experiencias tan diversas como el estudio de espirales, el diseño de una silla utilizando la versión beta en tres dimensiones, el uso de los colores dinámicos como escáner, su relación con elementos como Moodle o Python, o su aplicación a contenidos concretos como la regresión lineal. Por la tarde, con los consiguientes problemas digestivos dado el lugar, se desarrollaron un total de cinco talleres con temáticas muy interesantes. Fueron los siguientes: • «Geogebra. Moodle y Python: un trío de ases», por Joseph Lluís Cañadilla y Antonio Gomá, de la Asociación Catalana de Geogebra. • «Introducción al diseño de actividades y presentaciones dinámicas con Geogebra», por M.ª Carmen Monzó, Bernardino del Campo y Rafael Pérez, del Instituto de Geogebra de Castilla La Mancha. • «Rectas y curvas de colores», por José Antonio Mora, del Instituto de Geogebra de Valencia.

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«Afianzando Geogebra 4 con cónicas y probabilidad», por Esperanza Gesteira, Ignacio Larrosa, Enrique de La Torre y Fernando Zacarías, del grupo Weodín, perteneciente al Instituto de Geogebra de Galicia. «Geogebra en el bloque de análisis», por Miguel Ángel Fresno, María Peñas y Ana Belén Heredia, del Instituto de Geogebra de Andalucía.

En la clausura del encuentro se comentó la próxima creación del Instituto de Geogebra de Castilla y León, y de eventos regionales como las jornadas celebradas por la Asociación Catalana de Geogebra los días 15 y 16 de Febrero de 2013 (http://acgeogebra.cat/) y las del Instituto Geogebra de Andalucía los días 5 y 6 de abril (http://thales.cica.es/geogebra/). Información http://diageogebra.info/ José Muñoz Santonja

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Uno Revista de Didáctica de las Matemáticas | núm. 62 | abril 2013