MATERIAL DIDÁCTICO DE APOYO AL SUBPROGRAMA MEJORAMIENTO DE LA ENSEÑANZA DE LAS MATEMÁTICAS.

DE

MATEMATICAS II UNIDAD 4: PERÍMETROS, ÁREAS Y VOLÚMENES. COORDINACIÓN: Trinidad García Camacho y Alejandro Cornejo Oviedo ELABORACIÓN y REVISIÓN: Alejandro Raúl Reyes Esparza, Tania Reyes Zúñiga, Francisco R. Ruz Ávila, Sofía B. Salcedo Martínez, María Edda Valencia Montalván, Ángel Pérez Quintanilla y Guadalupe Xóchitl Chávez Pérez

Agradecemos el apoyo de la Secretaría de Comunicación Institucional para la impresión de este material. Colegio de Ciencias y Humanidades Secretaría de Programas Institucionales, abril de 2008

PRESENTACIÓN Profesor(a): El material didáctico que tienen en sus manos, representa una acción más de varias que el Colegio realiza para que el Subprograma de Mejoramiento de la enseñanza de las matemáticas que se desarrolla en las nuevas aulas, tenga las condiciones académicas adecuadas para optimizar el trabajo educativo en los salones para 25 alumnos. Este documento, como guía de trabajo para profesores y alumnos, está orientado para apoyar la cuarta unidad de la asignatura de Matemáticas II; y como tal, ofrece un conjunto de sugerencias sobre cómo trabajar los contenidos estipulados en nuestro programa de estudios. De manera gradual, se han entregado textos como éste para las unidades del programa, de tal manera que dispongan de apoyos didácticos elaborados con un sentido colegiado por compañeros del área. Así, desde esta perspectiva, agradecemos las observaciones a la Unidad 2, y reiteramos la invitación a continuar enviando sugerencias y comentarios al presente material, así como sus propuestas para el contenido de la quinta y última unidad. En la Secretaría de Programas Institucionales, recibiremos con especial aprecio sus consideraciones. Nos pueden contactar a los teléfonos 56-16-21-65 y 56-22-23-78 y al correo electrónico: [email protected]/

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MATEMÁTICAS II PERÍMETROS, ÁREAS Y VOLÚMENES ÍNDICE Aprendizajes

4

Temática

5

Guía didáctica

6

Sesión 1

7

Sesión 2

11

Sesión 3

21

Sesión 4

25

Sesión 5 y 6

29

Sesión 7

37

Examen de autoevaluación

42

Solución al examen de autoevaluación

43

Solución de la serie de ejercicios

44

Bibliografía

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APRENDIZAJES Se espera que el alumno obtenga en esta unidad los siguientes aprendizajes: •

Comprende que la actividad de “medir” en geometría, una longitud, área o volumen, involucra contar cuántas veces cabe una unidad de medida en el objeto que se quiere medir.

•

Distingue la diferencia entre unidades de longitud, superficie y volumen.

•

Calcula el perímetro de triángulos, cuadriláteros y otros tipos de polígonos regulares.

•

Obtiene alguna de las fórmulas para calcular el área y el volumen de figuras y cuerpos por el método de descomposición y recomposición.

•

Utiliza las fórmulas obtenidas en la resolución de diversos problemas.

•

Establece la razón que existe entre la longitud de la circunferencia y el diámetro de un círculo.

•

Encuentra las dimensiones en algunas figuras geométricas, cuando se conoce su perímetro y/o su área.

•

Reconoce y aplica la razón que existe entre los perímetros de triángulos semejantes.

•

Reconoce y aplica la razón que existe entre las áreas de triángulos semejantes.

•

Aplica las propiedades de semejanza en la resolución de problemas sobre distancias inaccesibles.

•

Deduce empíricamente las fórmulas para obtener la longitud de la circunferencia y el área de un círculo.

•

Obtiene algunas fórmulas para calcular la superficie lateral y el volumen de prismas rectos.

•

Generaliza la fórmula del volumen de un prisma para obtener la que proporciona el volumen de un cilindro.

•

Deduce empíricamente que el volumen del cono recto, es la tercera parte del volumen del cilindro que tiene mismos radio y altura.

•

Resuelve algunos problemas que involucran algunos de los siguientes elementos: Teorema de Pitágoras, semejanza, congruencia, fórmulas sobre perímetros, áreas, superficies laterales y volúmenes.

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TEMÁTICA •

Medida en geometría -

¿Qué es medir longitudes, áreas y volúmenes?

-

Perímetro de un polígono regular.

-

Medida aproximada de la longitud de la circunferencia. Obtención empírica de la fórmula.

•

-

Área del rectángulo.

-

Volumen de un prisma recto.

Cálculo de áreas por descomposición y recomposición de figuras. -

Obtención de la fórmula del área del: triángulo, rectángulo, trapecio, rombo y paralelogramo.

-

Obtención de la fórmula del área de un polígono regular dado el apotema.

•

Cálculo aproximado del área del círculo. Obtención empírica de la fórmula.

•

Razón entre perímetros y entre áreas de triángulos semejantes.

•

Problemas de longitudes y áreas que involucren semejanza, congruencia y teorema de Pitágoras.

•

Problemas que involucren áreas y volúmenes de prismas, cilindros rectos y conos rectos, donde sea necesario aplicar conocimientos de congruencia, semejanza y el Teorema de Pitágoras.

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GUÍA DIDÁCTICA El material aquí presentado es una propuesta para desarrollar los contenidos temáticos y para lograr que los alumnos adquieran los aprendizajes propuestos en la Unidad 4 del programa de Matemáticas II. El material desarrollado de acuerdo con el programa de la asignatura se debe tratar en 15 horas, lo cual correspondería a 9 sesiones en el aula. Sin embargo, considerando que hay algunos(as) profesores(as) que aplican un examen por unidad y los diferentes ritmos que se establecen en un curso, se ha dividido el material en 7 sesiones, con algunas actividades prácticas, las cuales se pueden extender dependiendo del nivel alcanzado por el grupo y de las decisiones del docente. Se propone que cada sesión: • Inicie con un planteamiento de situaciones o problemas que no contemplen gran dificultad operatoria y cuya solución requiera: el concepto, el procedimiento o las características que se van a estudiar. Tomar en cuenta conocimientos previos que se relacionen con el nuevo contenido, lo cual podrá resolverse en equipo o en forma individual. • Continúe con el análisis de los enunciados de los diferentes problemas planteados en forma conjunta estudiante-profesor, con el propósito de que el alumno adquiera esta habilidad y pueda aplicarla de manera autónoma. • Prosiga con la solución de diversos ejemplos y la realización de algunos ejercicios para que el alumno atienda el desarrollo conceptual, practique los procedimientos básicos, compare sus resultados con otros compañeros, a partir de ideas o estrategias unificadoras de acuerdo al enfoque del programa. • Retome el planteamiento presentado al inicio de la sesión y promueva la formación de significados, tratando de que éstos surjan a partir de la resolución de los problemas planteados en la unidad. • Favorezca el trabajo en equipos para: la exploración de características, relaciones y propiedades tanto de conceptos como de procedimientos; la discusión razonada; la ayuda mutua a través de la comunicación oral a partir de las observaciones y resultados encontrados. • Considere el trabajo de los estudiantes en cada sesión para revisar, corregir, complementar y construir el proceso de evaluación. Durante el desarrollo de las distintas sesiones se sugiere propiciar sistemáticamente el tránsito entre distintas formas de representación matemática. Si este material se proporciona a los estudiantes, es conveniente que realicen una lectura de comprensión del mismo, y en caso de que haya palabras o términos que no entiendan, busquen su significado en algún libro o consulten a un profesor. Se sugiere que los estudiantes resuelvan otros ejercicios fuera de su horario de clase, para reforzar el logro de los aprendizajes de la unidad. 6

SESIÓN 1 Para reflexionar: El señor López tiene un terreno rectangular de 150 metros de largo y 95 metros de ancho y desea cercarlo con tres líneas de alambre de púas. Si ya tiene colocados los troncos de madera a cada 5 metros, ¿cuántos rollos de alambre requiere comprar, si cada rollo tiene 60 metros de alambre?

Medición de longitudes, áreas y volúmenes A tu alrededor puedes observar libros, paredes, puertas, mesas, sillas, árboles, etc. Estos objetos son cuerpos que ocupan un lugar en el espacio y tienen forma, tamaño, peso, color, textura, etc. Cuando en estos objetos se considera únicamente su forma tridimensional se les denomina sólidos geométricos. En una primera aproximación se puede considerar que las caras de estos sólidos geométricos son superficies planas o curvas; mientras que una línea es lo que separa una superficie de otra. Un procedimiento común para medir un segmento de recta es hacer coincidir una regla graduada, en centímetros y milímetros, con el segmento y efectuar la lectura de la medida. Sin embargo, para medir un segmento de curva se puede realizar el siguiente procedimiento: 1. Se marcan algunos puntos sobre él y se unen con segmentos de recta como se muestra en la figura. ¿La suma de la longitud de los tres segmentos es mayor, menor o igual a la longitud de la curva? C●

●D

A

B

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2. Para obtener una medida más aproximada, se agregan más puntos, se construyen los segmentos de recta (ver la figura siguiente), se miden y se suman sus longitudes; es decir, mientras más segmentos se tengan sobre la curva, su medición será más aproximada. No obstante, existe un pequeño error ya que la medición no es exacta. C ● B

E ●F

●

●G

A

B

Cabe mencionar que las unidades de longitud son de una sola dimensión. Ahora bien, si se desea medir la superficie que encierra una línea curva, por ejemplo un semicírculo, se traza una cuadrícula y se cuentan los cuadros completos que hay en su interior para obtener una aproximación de la medida correcta. En la figura siguiente se puede revisar que son 30 cuadros o unidades cuadradas. A esta medida se le conoce con el nombre de medida por defecto, porque no se consideran los cuadrados incompletos.

Se puede efectuar otra medida en la que se consideren todos los cuadros por los que atraviesa el contorno de la semicircunferencia. En este caso son 44 cuadros, es decir, 14 cuadros más los 30 cuadros que anteriormente se obtuvieron en la medida por defecto; a esta medida se le conoce como medida por exceso.

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Una manera de calcular una mejor medida es dividir los cuadrados a la mitad y realizar el mismo procedimiento para disminuir la diferencia por defecto y por exceso. Este proceso puede continuarse indefinidamente. Sin embargo, en algunas ocasiones se toma el promedio entre las mediciones por defecto y por exceso como una buena estimación de la superficie. Las unidades de superficie son unidades cuadradas o de dos dimensiones y las de volumen son cúbicas o de tres dimensiones. En resumen, medir es comparar una magnitud con otra considerada como unidad de medida. Medir longitudes, superficies y volúmenes en geometría, es contar cuantas veces cabe una unidad de medida en el objeto que se quiere medir.

Perímetro de un polígono regular Los polígonos son figuras o superficies planas limitadas por segmentos de recta, a los cuales se llaman lados del polígono; de la misma manera, un polígono es una figura cerrada, que se forma mediante la unión de segmentos rectilíneos. De acuerdo con la magnitud de sus lados y de sus ángulos, los polígonos se dividen en regulares e irregulares. Un polígono regular es el que tiene todos sus lados y sus ángulos iguales. Los triángulos son los polígonos de tres lados ¿todos los triángulos son regulares? Los cuadriláteros son los polígonos de cuatro lados y

se clasifican en paralelogramos

(cuadrado, rectángulo, rombo y romboide), trapecios (rectángulo, isósceles y escaleno) y trapezoides ¿existe algún cuadrilátero regular? El triángulo equilátero es el único polígono regular de tres lados

y el único

cuadrado.

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polígono regular de cuatro lados es el

Los polígonos que tienen más de cuatro lados son: pentágono (5 lados), hexágono (6 lados), heptágono (7 lados), octágono (8 lados), eneágono (9 lados), decágono (10 lados), endecágono (11 lados), dodecágono (12 lados). Los polígonos que tienen más de doce lados se les nombra simplemente como polígonos de 13, 14, 15, …..n lados, con excepción del polígono de 20 lados al que denomina icoságono. El perímetro de un polígono es la suma de las longitudes de sus lados. Si el polígono es de lados iguales, entonces el perímetro es igual al número de lados por la longitud de uno de ellos.

Serie de ejercicios 1 1. Calcula el perímetro de un cuadrado si uno de sus lados tiene 5 m de longitud. 2. Determina el perímetro de un terreno que tiene forma de pentágono regular si cada uno de sus lados mide 13 m de largo. 3. ¿Cuánto mide el perímetro de un decágono regular si cada uno de sus lados mide 25 m? 4. Si el perímetro de un triángulo equilátero es de 99 m ¿cuánto mide por lado? 5. Un terreno en forma de cuadrado tiene 400 m de perímetro ¿cuánto mide la diagonal de dicho terreno?. 6. El señor López tiene un terreno rectangular de 150 metros de largo y 95 metros de ancho y desea cercarlo con tres líneas de alambre de púas. Si ya tiene colocados los troncos de madera a cada 5 metros, ¿cuántos rollos de alambre requiere comprar, si cada rollo tiene 60 metros de alambre? 7. Determina el perímetro de un cuadrado cuyo lado mide 28 cm. 8. Determina el perímetro de un octágono regular cuyo lado mide 39 cm. 9. Determina el área de un triángulo equilátero cuyo lado mide 14 cm.

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Sesión 2 Para reflexionar: La Señora Pérez desea cambiar el piso de la sala de su casa que mide 4.5 metros de largo por 3.75 metros de ancho. El costo de la loseta que quiere colocar es de $200.00 por metro cuadrado. La persona que colocará la loseta cobra $75.00 por metro cuadrado o fracción del mismo. Además, necesita comprar bultos de pega-azulejo, cada uno cuesta $80.00 y rinde para 3 metros cuadrados. ¿Cuánto pagará con la tarjeta de crédito para que el costo sea mínimo?

Medida aproximada de la longitud de la circunferencia. Obtención de la fórmula Una circunferencia es una línea curva cerrada y plana cuyos puntos se encuentran a igual distancia de un punto fijo llamado centro. Se llama círculo a la superficie limitada por la circunferencia, de modo que el perímetro del círculo corresponde a la longitud de la circunferencia.

Circunferencia Radio Diámetro

Existe una relación entre la longitud de una circunferencia y la longitud de su diámetro, que fue descubierta por los antiguos griegos. Para determinar empíricamente esta relación se recomienda la siguiente actividad.

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Actividad: Materiales: latas de conservas de base circular, tapas de frascos, aros o bastidores circulares, un metro de listón, regla o escuadra graduada. Procedimiento: 1. Coloca el listón y marca con la mayor precisión posible la longitud necesaria para medir la circunferencia de uno de los objetos circulares. 2. Mide con una regla la longitud del listón empleado en el paso anterior y anota el resultado como circunferencia 1. 3. Mide con la mayor precisión posible el diámetro de la circunferencia 1. 4. Divide la longitud de la circunferencia 1 entre la longitud del diámetro, hasta obtener por lo menos 4 cifras decimales y anota tu resultado. 5. Repite los pasos 1 al 4 con tres objetos más, compara los resultados obtenidos y llena la siguiente tabla:

Objeto

Longitud de la

Longitud del

Perímetro entre

circunferencia

diámetro

longitud del diámetro

Uno Dos Tres Cuatro

Efectivamente como habrás observado, si el perímetro de cada uno de los diferentes círculos se divide entre la longitud de su diámetro respectivo, en todos los casos, se obtiene un valor aproximado a la constante denominada pi ( π ). Esta relación tiene validez universal, no importa el tamaño del círculo, ni quién lo haya trazado.

perímetro D del D círculo longitud D de D la D circunferencia = = 3.14159........ = π longitud del diámetro D longitud del diámetro D

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Simbólicamente se tiene

P =π D

∴

P = D π o bien, P = 2rπ

En donde, P es el perímetro del círculo o la longitud de la circunferencia, D es el diámetro y π es una constante universal cuyo valor corresponde a un número irracional, cuyas primeras cifras son 3.14159

Cálculo de áreas El área de una figura es la medida de su superficie y medir una superficie es determinar cuantas veces contiene a otra superficie conocida que se utiliza como unidad.

Área del cuadrado Si se considera un cuadrado de 4 cm de lado y se compara su tamaño con un cuadrado de 1 cm de lado, se observa en la figura siguiente que lo contiene 16 veces.

El área del cuadrado mayor es de 16 cm2 y se obtiene multiplicando uno de sus lados por si mismo (4x4=16). El área del cuadrado menor es 1 cm2. Área del cuadrado = lado por lado = lado al cuadrado;

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A = l x l = l2

Área del rectángulo Si la unidad de medir áreas es un cuadrado de lado u

Unidad de área ( u 2 ) Entonces para obtener el área del rectángulo basta con contar cuantos cuadrados de área u 2 caben en él.

a

b En el rectángulo anterior se puede observar que la base se forma con 6 unidades y su altura se forma con 3 unidades, por lo que el número de cuadrados formados es el producto de 6 por 3 que es igual a18. Como la unidad de área es u 2 A = 18u 2 Al generalizar el resultado anterior se dice que: Si la base del rectángulo tiene b unidades lineales y de altura tiene a unidades lineales, entonces el área del rectángulo corresponde al producto de su base por su altura:

A = b⋅a

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Área del paralelogramo El paralelogramo se descompone en dos partes para formar con éstas un rectángulo de igual área como se muestra en la siguiente figura:

Por lo que se deduce que el área del paralelogramo es también lo que mide la base por lo que mide su altura, es decir:

A = b⋅a Área de un rombo Cuando se multiplican las diagonales (AD=d2) y (BC=d1) del rombo ABCD, equivale a multiplicar la base por la altura del rectángulo que lo contiene.

Se observa que el área del rombo es la mitad del área del rectángulo por lo tanto el área del rombo es igual a la mitad del producto de sus diagonales

A =

d1 d 2 2

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Área de un romboide Si el triángulo AEC lo hacemos coincidir con el triángulo BFD, entonces el área del romboide ABCD es igual al área del rectángulo ABEF.

El área del romboide ABCD es igual a la base (CD) por la altura (AE) Área del romboide = base del romboide por su altura A = b x a Área del triángulo Un triángulo se descompone en dos partes para formar con éstas un paralelogramo de igual área como se muestra en la siguiente figura:

Por lo que se deduce que el área del triángulo es lo que mide el su base por la mitad de su altura:

A=

ba 2

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Área de un trapecio rectangular Al descomponer un trapecio rectangular, se forman 3 triángulos como se muestra en la siguiente figura:

a

x

y

b=x+y

Por lo que el área del trapecio rectangular corresponde a la suma de las áreas de cada uno de los triángulos:

a a A = 2( x ) + y 2 2 a A = (2 x + y ) 2 Área de un trapecio isósceles El trapecio isósceles se descompone en cuatro triángulos como se muestra en la siguiente figura:

a

x

y

z

b = x + y+z

Por lo que el área del trapecio isósceles corresponde a la suma de las áreas de cada uno de los triángulos:

a a a A = x ⋅ + 2( y ⋅ ) + z ⋅ 2 2 2 a A = ( x + 2 y + z) 2

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Área de un trapecio escaleno El trapecio escaleno se descompone en cuatro triángulos como se muestra en la siguiente figura:

a

a

x

y

z

b=x+y+z

Por lo que el área del trapecio escaleno corresponde a la suma de las áreas de cada uno de los triángulos:

a a a A = x ⋅ + 2( y ⋅ ) + z ⋅ 2 2 2 a A = ( x + 2 y + z) 2 En general se puede encontrar el área de cualquier polígono triangulándolo y sumando las áreas de cada uno de los triángulos formados, ya sea que se trate de un polígono irregular, como en los tres ejemplos anteriores o un polígono regular como en los siguientes ejemplos: Área de polígonos regulares En un polígono regular de n lados, al formar triángulos con un vértice en el centro del polígono y los otros dos vértices en alguno de los extremos de un lado, se obtienen triángulos isósceles de altura igual a el apotema del polígono y de base uno de los lados iguales; por lo que el área del polígono corresponde a la suma de las áreas de los n triángulos formados como se muestra en la siguiente figura:

a

a l

l

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De lo anterior se deduce que si el área de uno de los triángulos es: A=

la 2

Entonces el área del polígono que es n-veces el área de cada uno de los triángulos es: ⎛ba⎞ A = n⎜ ⎟ ⎝ 2 ⎠

⎛ a⎞ A = nb⎜ ⎟ ⎝2⎠ Como el producto nb es el perímetro P del polígono, al sustituirlo en la ecuación anterior, se obtiene la fórmula general para calcular áreas de polígonos regulares que es: a A = P⋅ 2

Serie de ejercicios 2 Resuelve los siguientes ejercicios en pequeños equipos. Compara tus resultados con los de otros compañeros. Participa en la sesión con tus respuestas. 1. La glorieta del Ángel de la Independencia mide 18 m de radio. Para protegerla en eventos especiales las autoridades la circundaron con una malla de alambre. ¿cuántos metros de malla de alambre ocuparon para circundarla? 2. A un espejo circular que mide 1.25 m de diámetro, se le puso un marco. ¿Cuánto mide la longitud del marco? 3. Las hélices de un avión miden 2.95 m de diámetro. ¿Cuánto mide la circunferencia que describe? 4. ¿Cuántos metros recorre la rueda de una bicicleta en una vuelta, si el diámetro mide 28 centímetros?

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5. Eduardo gira una cuerda de 1.5 m de largo. ¿Qué distancia recorre una pelotita sujeta en su extremo en dos vueltas completas? 6. Un terreno tiene forma de trapecio. Los lados paralelos miden 35 m y 45 m respectivamente. Si el ancho mide 20 m ¿Cuál es el área del terreno? 7. En la etiqueta de una lata de pintura se indica que el contenido alcanza para cubrir 7.5 m2. Se quiere pintar las paredes y el techo de una recámara que mide 4 m de largo, 5 m de ancho y 2.5 m de alto. Además hay dos ventanas rectangulares que miden 1.2 m de largo por 2 m de ancho cada una. ¿Cuántas latas de pintura se deben comprar para no gastar de más? 8. La página de la Gaceta CCH mide 21.2 cm de ancho por 27.5 cm de largo. El margen superior es de 0.9 cm, el inferior es de 1.3 cm, el margen derecho es de 0.9 cm y el izquierdo es de 1.3 cm. ¿Cuál es el área de la porción impresa de la página?

9. Encuentra el área de un cuadrado si su diagonal mide 5 2 cm de longitud.

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Sesión 3 Para reflexionar: Las pizzas más

grandes del mundo

El 8 de diciembre de 1990, el Norwood Hypermarket en la ciudad de Norwood en Sudáfrica, elaboró la pizza más grande del mundo, según el libro de los Records Guiness. La pizza tuvo un diámetro de 37.4 m. Antes, en octubre 11 de 1987, Lorenzo Amato y Louis Piancone prepararon en

Florida, Estados Unidos, una

pizza con un diámetro de 30.51 metros. Pesó 20005.65 kg y requirió para su preparación de: 8178 kg de harina, 496.5 litros de agua, 2900 litros de salsa, 4219 kg de queso y 1074 kg de pepperoni, entre otros ingredientes. La pizza fue cortada en 94 248 rebanadas y fue repartida entre más de 30 mil personas. Pizza de Norwood

¿Cuál es el área de la pizza de Norwood y la pizza de Florida? (Fuente: http://www.pizzajoe.co.uk/pizzanet_uk/pizzarecords.htm)

Área de un polígono regular En el hexágono regular como en cualquier polígono de este tipo, se conoce como apotema al segmento de recta (gh) que va desde el centro de la circunferencia circunscrita hasta el punto medio de uno de los lados. Debido a que un polígono regular está compuesto de tantos triángulos isósceles como lados tiene, este polígono se ha dividido en seis triángulos isósceles congruentes entre si; el área de uno de estos triángulos es la mitad de la longitud del lado (ef) multiplicado por su altura, que en este caso corresponde al apotema (gh):

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Área del polígono = 6 veces el área del triángulo isósceles Área del polígono = 6 veces Área del polígono = 6 veces

(base)(altura) 2

(la D longitud D de D un D lado )(apotema ) 2

Área del polígono = (6 veces la longitud de un lado)

(apotema ) 2

Análogamente por triangulación se obtienen expresiones similares para el cálculo del área de otros polígonos regulares. Así, por ejemplo, para obtener el: Área de un octágono regular = (8 veces la longitud de un lado)

(apotema )

Área de un dodecágono regular = (12 veces la longitud de un lado)

2

(apotema ) 2

En general, para determinar el área de un polígono regular de n lados se utiliza la expresión:

Área del polígono =

( perímetro)(apotema ) 2

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Área del círculo El círculo se considera como un polígono regular con una infinidad de lados, en el que el apotema toma el valor del radio, ya que cuando los lados son infinitamente pequeños el radio y el apotema casi coinciden, como se muestra en las siguientes figuras:

r a

Por lo cual, el área del círculo corresponde a:

A = P⋅ Pero el perímetro del círculo es:

r 2

P = 2π r

Por lo que al sustituir en la fórmula del área y simplificar se obtiene: r A = 2π r ⋅ 2 2 A =πr

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Por lo tanto, el área del círculo es:

A = π r2

Serie de ejercicios 3 1. Un salón de baile tiene forma de hexágono regular con perímetro de 48 m y apotema de

48 m ¿Cuántos metros cuadrados mide el salón?

2. El área de una moneda octagonal es de 6 cm2 y su apotema mide 1.5 cm ¿cuánto mide un lado del polígono? 3. Determina el área de un círculo cuyo diámetro mide 89 cm 4. Un tapete circular tiene un radio de 1.7 m, ¿cuál es el área del tapete? 5. Determina el área de una galleta que tiene un diámetro de 8cm. 6. Determina el área que recorren cada una de las manecillas de un reloj, en un giro completo, si la manecilla que marca las horas mide 10 cm, el minutero tiene 14 cm de largo y el segundero mide 16 cm. 7. En un cuadrado de papel terciopelo de 40 cm de lado, Mireya trazó el círculo más grande que pudo y lo recortó. ¿Cuánto terciopelo no usó? (Sugerencia: determina el área de papel no utilizada)

8.

La rueda de una máquina aplanadora mide 1.70 m de diámetro y 2 m de ancho, ¿cuál es el área de aplanado por vuelta de rueda?

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Sesión 4

Para reflexionar: Si se traza un triángulo equilátero de 4 cm de lado ¿Cuántos triángulos equiláteros de 1 cm de lado se pueden colocar en su interior?

Razón entre perímetros y áreas de triángulos semejantes Si se traza un triángulo equilátero de un centímetro de lado.

La base del triángulo tiene una longitud igual a 1 cm. Si se duplica la longitud de sus lados, es decir, si la base es de 2 cm, entonces el triángulo equilátero será semejante al de la figura.

Al comparar los lados del triángulo de 2 cm de lado con el triángulo de 1 cm se observa que existe una relación 2 a 1. Es decir, mientras que el lado A´B´ tiene como medida 2 cm , el correspondiente lado AB mide 1 cm. El lado B´C´ tiene como medida 2 cm y el correspondiente lado BC mide 1 cm. El lado C´A´ tiene como medida 2 cm y el correspondiente lado CA mide 1 cm. En consecuencia se puede establecer que:

A′B ′ 2 = AB 1

B ′C ′ 2 = 1 BC

C ′A′ 2 = Por lo tanto CA 1 25

A′B ′ B ′C ′ C ′A′ 2 = = = = 2; AB BC CA 1

Esto confirma que existe una razón de proporcionalidad, entre los lados, constante igual 2. Es común denominar esta razón con la letra k, por lo que se puede escribir k = 2. ¿Qué pasa si se obtiene la razón entre el triángulo de 1 cm de lado con respecto al de 2 cm?

Relación entre los perímetros El perímetro del primer triángulo equilátero es de 3 cm. mientras que el perímetro del segundo triángulo equilátero es de 6 cm. La relación que guardan entre si es:

3 1 perímetro D del D ΔABC = = perímetro D del D ΔA′B ′C ′ 6 2

ó

perímetro D del D ΔA′B ′C ′ 6 = =2 perímetro D del D ΔABC 3 El perímetro del ∆ABC es la mitad del perímetro del ∆A´B´C´ o de otra manera, el perímetro del ∆A´B´C´ es el doble del perímetro del ∆ABC.

Relación entre las áreas Para comparar las áreas de ambos triángulos. El ∆A´B´C´ se puede trazar:

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El triángulo de 1 cm de lado cabe cuatro veces en el triángulo de 2 cm de lado, en consecuencia el área del ∆A´B´C´ está con el área del ∆ABC en una relación de 4 a 1

Área D del D ΔA′B ′C ′ 4 = = 4 = (2) 2 = k 2 1 Área D del D ΔABC

Serie de ejercicios 4 Resuelve los siguientes ejercicios en pequeños equipos. Compara tus resultados con los de otros compañeros. Participa en la sesión con tus respuestas. 1.- Los lados de un triángulo tienen longitudes de 5, 8 y 11 cm. Un triángulo semejante tiene un perímetro de 60 cm ¿cuáles son las longitudes de los lados de este triángulo? 2.- Los lados de un triángulo tienen longitudes de 7, 9 y 14 m ¿cuál es el perímetro de un triángulo semejante cuyo lado mayor tiene una longitud de 21 m? 3.- ¿Cuál es la razón de las áreas de dos triángulos semejantes cuyos lados más largos tienen longitudes de 3 y 4 cm respectivamente? 4.- Un lado de un triángulo tiene 5 veces el largo del lado correspondiente de uno semejante. El área del triángulo menor es 6 m2 ¿cuánto mide el área del triángulo mayor? 5.- Las áreas de dos triángulos semejantes son 16 y 25 u2 ¿cuál es la razón de un par de lados correspondientes? 6.- Las áreas de dos triángulos semejantes son 169 cm2 y 100 cm2, respectivamente. Si un lado del triángulo de mayor área mide 26 cm ¿cuál es la medida del lado homólogo del triángulo de menor área? 7.- Las áreas de dos triángulos semejantes son de 144 cm2 y 121 cm2. Si un lado del triángulo de menor área mide 22 cm ¿cuál es la medida del lado homólogo del otro triángulo? 8.- Las áreas de dos triángulos semejantes tienen como medida 121 cm2 y 64 cm2. Determina la altura del triángulo de mayor área cuando la altura correspondiente del triángulo de área menor es de 16 cm.

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9.- Las áreas de dos triángulos semejantes son de 110.25 m2 y 12.25 m2. Determina si un lado del triángulo de menor área es igual, mayor o menor que la tercera parte del lado homólogo del triángulo de mayor área. 10.- ¿Qué longitud deberá tener un lado de un triángulo equilátero para que su área sea cuatro veces el área de un triángulo equilátero cuyo lado tiene longitud de 8 cm.? 11.- El área de un triángulo rectángulo isósceles cuya hipotenusa mide 12 2 cm. es 9 veces mayor que el área de otro triángulo semejante a él ¿cuánto mide el cateto de este triángulo menor?

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Sesiones 5 y 61 Actividad: Materiales: dos cartulinas, 500 gr de arena, Procedimiento: 1. Construye con una cartulina un prisma de base cuadrada y una pirámide de base cuadrada que tengan la misma base (12 cm x 12 cm) y la misma altura (18 cm). 2. Con el fin de poder rellenar con la arena, no pegues la base de la pirámide y una de las bases del prisma. 3. Llena la pirámide con arena y vacía su contenido en el prisma. ¿Se llena el prisma?____ 4. Repite el paso 3 hasta llenar el prisma. ¿Cuántas veces realizaste dicho procedimiento?_____ 5. Repite los pasos del 1 al 4 para un prisma y pirámide de base hexagonal que tengan la misma base y la misma altura. ¿A que conclusión llegas? Se recomienda que distintos equipos de alumnos elaboren un prisma y una pirámide con base triangular, cuadrangular, pentagonal, etc., e intercambien sus resultados.

Figuras en el espacio En las secciones anteriores se realizó el estudio de las figuras en el plano, es decir, de figuras que se pueden dibujar completamente en el plano de una hoja de papel, se revisaron aspectos que competen a lo que se conoce como Geometría Plana. Sin embargo, los cuerpos que observamos en la naturaleza no son planos, sino que poseen tres dimensiones, es decir, son espaciales. Este tipo de objetos, algunos de los cuales se revisarán a continuación, son estudiados por la Geometría del Espacio. Los prismas son poliedros irregulares cuyas caras laterales tienen forma rectangular y poseen dos bases iguales en forma de polígono regular. Todo prisma tiene tres dimensiones: largo, ancho y altura. El nombre de cada prisma lo determina el polígono que forma su base, así, existen prismas triangulares, cuadrangulares o rectangulares (paralelepípedo), pentagonales, hexagonales, etc. Un ejemplo de estos objetos es el de una caja de cereal, en matemáticas decimos que este cuerpo geométrico es un “paralelepípedo rectangular” o un “prisma rectangular”. La caja pertenece a un tipo de figuras en el espacio llamados poliedros cuyas caras están formadas por polígonos.

En este apartado se presenta el desarrollo de una temática que el profesor puede distribuir en dos sesiones de la manera en que le resulte más conveniente. 1

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Como ya se mencionó, la unión de tres o más segmentos de recta que conforman una superficie interior en un plano, constituyen un polígono y su interior recibe el nombre de región poligonal.

Por otra parte, a la unión de 4 o más regiones poligonales que constituyen un sólido se le llama poliedro. Entre los poliedros que nos resultan familiares se encuentran las pirámides y los prismas. El círculo aunque es una figura plana no es un polígono. Pero el círculo da origen a algunas figuras espaciales como los conos y los cilindros. En esta sesión se analizarán únicamente las pirámides y los conos.

Volúmenes El volumen y la capacidad son dos conceptos relacionados. Cuando los medimos, lo que se mide en realidad es un espacio. En el sistema métrico decimal, la unidad fundamental de volumen es el metro cúbico (m3 ), que es el volumen de un cubo cuyos lados de las caras miden 1 m de longitud. Sin embargo se pueden utilizar las magnitudes derivadas del metro cúbico:

• •

los múltiplos: kilómetro cúbico (km3 ), hectómetro cúbico (hm3 ), decámetro cúbico (dam3 ), etc. Los submúltiplos: decímetro cúbico (dm3 ), centímetro cúbico (cm3 ), milímetro cúbico (mm3 ), etc.

Para medir la capacidad de un cuerpo frecuentemente se utiliza como unidad de medida el litro y sus múltiplos o submúltiplos. Sin embargo, también es posible expresar la capacidad en unidades de volumen ya que se considera, en lo general que, 1decímetro cúbico = 1 litro, entonces: 1 metro cúbico = 1000 litros. 30

Pirámides Sea R una región poligonal en un plano y P un punto exterior al plano. Al unir mediante segmentos de recta el punto P con cada uno de los vértices de la región poligonal se construye la pirámide.

Por ejemplo, si se considera que R es un hexágono regular, al unir el punto P mediante segmentos de recta con los vértices de R, se obtiene una pirámide hexagonal.

Elementos importantes de las pirámides La región poligonal de una pirámide recibe el nombre de base de la pirámide y las caras laterales de la pirámide siempre serán triangulares. Otros elementos importantes de las pirámides son: • Vértice o cúspide, el cual es el vértice común en el que concurren todas las caras laterales de la pirámide y que en la figura corresponde al punto P. • Altura de la pirámide, es el segmento de recta perpendicular al plano de la base, que se mide desde el vértice de la pirámide a su base. • Aristas, son los segmentos de recta que conforman la unión de las caras laterales (PA).

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A continuación se estudiarán pirámides con base regular, cuya altura descansa sobre el centro de la base.

En este tipo de pirámides a las alturas de los triángulos que forman las caras laterales se les llama Apotemas; es importante no confundirse con el apotema de la base.

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Área total o área de la superficie de una pirámide Para determinar el área total de una pirámide se deben calcular las áreas laterales y sumarlas al área de la base. El área lateral (Al), es la suma de las áreas de los triángulos que conforman la pirámide.

Al =

AB ⋅ a BC ⋅ a CD ⋅ a DE ⋅ a EF ⋅ a FA ⋅ a + + + + + +… 2 2 2 2 2 2

En el caso de la pirámide arriba ilustrada corresponde a:

Al =

a ( AB + BC + CD + DE + FA ) 2

Se observa que la cantidad dentro del paréntesis corresponde al perímetro P de la a⋅P base de la pirámide, por lo que si la base es un polígono regular: Al = 2 Por otra parte, el área de la base (Ab), corresponde a la de un polígono regular, la cual es igual al semiproducto del perímetro del polígono multiplicado por su apotema, es P⋅a' decir: Ab = 2 De esta forma, el área total (At) de la pirámide es:

At = Al + Ab =

aP Pa´ P(a + a´) + = 2 2 2

Donde a es el apotema de las caras laterales y a´ es el apotema de la base. Obviamente se utiliza el hecho de que el área total de la superficie de un cuerpo es igual a la suma de las áreas de todas las superficies que lo forman. 33

Área de un prisma El área lateral del prisma se puede obtener al “extenderlo”; su superficie lateral es un rectángulo cuyo ancho es el perímetro de la base y el largo es la altura del prisma, es decir: Al = Pb x h = 4ℓ x h El área de la base es el área del cuadrado de lado ℓ :

Ab = ℓ2.

Como se muestra en la figura siguiente, el área total del prisma es la suma del área lateral y dos veces el área de la base, es decir: At = Al + 2 Ab At = 4ℓ h + 2 ℓ2 At = 2ℓ (2h + ℓ )

=

Volumen de un prisma Un prisma es un cuerpo cuyas bases están unidas por rectángulos. Por ejemplo, si su base es un cuadrado el área de la misma es: Ab = (l)(l) = l2 y su volumen se determina como el producto del área de la base por la altura, V = Abh. Si la base del cuerpo es un rectángulo de largo l1 y ancho l2, el área de la misma será: Ab = (l1 )(l2 ). Por lo tanto, el volumen del prisma es V = Abh. Si el cuerpo es un cubo entonces Ab = (l)(l) = l2 y V = l3 En general el volumen de un prisma se determina multiplicando el área de su base por la altura.

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Si realizaste la actividad inicial de esta sesión habrás concluido que: si se construye un prisma y una pirámide de tal manera que sus bases y alturas sean iguales, el volumen de la pirámide es la tercera parte del volumen del prisma. VPIRÁMIDE = ⅓ ( Volumen del prisma) VPIRÁMIDE = ⅓ ( Abh) En donde Ab es el área de la base y h es la altura. Para los propósitos del curso se consideró más adecuado que los alumnos obtuviesen empíricamente la fórmula, en lugar de recurrir a una demostración formal.

Serie de ejercicios 5 1. Si V es el volumen y h es la altura

Pirámide cuadrangular l h V 2 4 5 30 4.5 13 15 31.25

Prisma rectangular l1 4 9 5

l2 5 4 6 4

H 8 7

V 280 432

9

2. Calcula el volumen de un salón de clases que tiene 9 m de largo, 6 m de ancho y 3 m de altura. 3. Una pecera tiene las siguientes medidas: 1.5 m de largo, 1m de ancho y 0.80 m de altura. Si cuentas con una jarra a la que le caben 0.002 m3 de agua, ¿puedes llenar la pecera con 20 jarras de agua?

4. La pirámide de Keops, en Egipto, tiene 230 m de lado y 153 m de altura. ¿Cuántos metros cúbicos tendrá de volumen tomando en cuenta que su base es cuadrada?

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5. Determina el volumen de un prisma cuya base es un pentágono regular, cuyo lado mide 8 cm, su apotema 5.5 cm y su altura 7.5 cm. 6. Determina el volumen de una pirámide de base cuadrada, cuyo lado mide 25 cm y su altura es 120 cm

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Sesión 7 Para reflexionar: Raquel va a la nevería para comprar una nieve de fresa. El precio en un envase cilíndrico de 5 cm de diámetro y 10 cm de altura es de 25 pesos y el precio en un envase cónico de 5 cm de diámetro y 10 cm de altura es de 10 pesos, ¿en qué envase es más barato comprar la nieve, suponiendo que se llenan al ras?

Conos Los conos tienen una base circular y una superficie curva, sus elementos se ilustran en la siguiente figura: generatriz Eje del cono Altura

generatriz

radio circunferencia de la base Cuando el eje del cono es perpendicular a la base, se denomina cono recto; de no ser así, es un cono oblicuo.

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Área total de un cono El área lateral del cono se puede obtener al “desenrollarlo”; su superficie lateral será un sector circular cuyo arco tiene igual medida que la circunferencia de la base y cuyo radio es la medida de la generatriz del cono. Área lateral

⎛ π x diámetro x generatriz ⎞ ⎜ ⎟ 2 ⎝ ⎠

Área de la base (π r2)

Una expresión matemática para obtener el área total de un cono es: Área total = área lateral más área de la base Área total = ½(π d g) + π r2 Área total = π (½ (2r) g + r2 ) = π (rg + r2)

Volumen de un cilindro y de un cono El volumen de un cilindro se determina como el de un prisma. Así, el cilindro tiene un área en su base dada por Ab = π r2 y su volumen V = Ab h = π r2 h πr2

h

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Si se construye un cilindro y un cono con sus bases y alturas iguales, se puede comprobar que el volumen del cono es la tercera parte del volumen del cilindro. VCONO = ⅓ (volumen del cilindro) VCONO = ⅓ ( π r2 h)

Actividad: Materiales: dos cartulinas, 500 gr de harina de trigo, Procedimiento: 1. Construye con una cartulina un cilindro y un cono cuyas bases tengan 12 cm de diámetro y la misma altura (18 cm). 2. Con el fin de poder rellenar con la harina, no pegues la base del cono y una de las bases del cilindro. 3. Llena el cono con harina y vacía su contenido en el cilindro. ¿Se llena el cilindro?____ 4. Repite el paso 3 hasta llenar el cilindro. ¿Cuántas veces cabe el contenido del cono en el cilindro?_____ 5. Repite los pasos del 1 al 4 para un cilindro y cono cuyas bases tengan 10 cm de diámetro y la misma altura (15 cm). ¿A que conclusión llegas? Se recomienda que distintos equipos de alumnos elaboren conos y cilindros con bases y alturas iguales, e intercambien sus resultados. Después de realizar la actividad seguramente habrás observado que tres veces el volumen de un cono corresponde al volumen de un cilindro con iguales dimensiones.

+

+

=

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Serie de ejercicios 6 Resuelve los siguientes ejercicios en pequeños equipos. Compara tus resultados con los de otros compañeros. Participa en la sesión con tus respuestas.

1. Calcula el área total de un cono considerando que el radio de su base mide 15 cm y su altura 40 cm. 2. Completa las tablas siguientes: V es el volumen y h es la altura V 2 4.2 5 7

Cilindro r H 4 6 8 10

V 2 3.2 5.5 7

Cono r 1 3 5 6

h

3. Un silo para almacenar granos tiene forma de cono circular recto. Calcula su capacidad de almacenamiento si su altura es de 20 m y su radio de 6 m. 4. El radio de la base de un cono es de 15 cm y su volumen de 2 700 cm3. Con estos datos calcula su altura. 5. Determina el volumen de un cilindro que tiene un diámetro de 23 cm y una altura del doble de su diámetro. 6. Determina el volumen de un cono cuyo radio es de 15 cm y su generatriz es de 45 cm. 7. El poblado de Fayette del estado de Georgia en Estados Unidos y la compañía de salas de cines, Cinemark, fueron reconocidos en el libro de Records Guinnes, por llenar el contenedor de palomitas de maíz más grande del mundo2. El evento tuvo lugar el 21 de noviembre de 1998, en dicho poblado.

2

Fuente: http://www.cinemark.com/pressreleasesform_general.asp?step=2&PressReleaseItem=59

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La compañía Cinemark construyó el contenedor en forma de cilindro con una base de 10.34 m de diámetro y altura de 1.22 m. Los niños de las escuelas primarias rellenaron el contenedor con una cantidad de palomitas que alcanzaría para llenar 3 trailers de 18 llantas. Las palomitas de maíz se comenzaron a preparar desde agosto del mismo año en las escuelas primarias del poblado. Calcula el volumen y el área del contenedor. 8. Determina el área y volumen de un refresco de lata, si se considera un cilindro cuyo diámetro de una de las bases mide 6.6 cm y la altura 11.5 cm. 9. Encuentra el área y volumen de un cono cuyo radio de la base mide 7 cm y la altura 15 cm. a) Si se duplican el radio y la altura del cono, ¿qué ocurre con el área lateral? b) Si se triplican el radio y la altura del cono, ¿qué ocurre con el área lateral? 10. Determina el área total y el volumen de un cilindro cuyas tapas tienen 10 cm de diámetro y una altura de 25 cm. a) Si se duplica el radio y se triplica la altura, ¿qué ocurre con el área lateral? b) Si se triplica el radio y se duplica la altura, ¿qué ocurre con el área lateral? 11. Un tinaco tiene forma de cilindro. Su base tiene un radio de 0.60 m y una altura de 1.40 m. ¿Cuánto costaría pintar todo el tinaco, si cada lata de pintura cuesta $50 y alcanza para cubrir un área de 1.5 m2? 12. El mayor volcán descubierto en el universo es el Monte Olimpo3. Constituye la cima más alta de Marte y es un volcán extinguido. Su diámetro en la base es aproximadamente de 600 km y tiene una altura aproximada de 25 km sobre la superficie marciana. Determina el volumen del Monte Olimpo si se considera como un cono.

3

Van Rose, Susanna. Volcanes. Biblioteca Visual Altea. Santillana. México. 1993. p.44 y 45.

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Examen de autoevaluación Lee con atención cada una de las preguntas ante de proceder a su solución. 1.- Determina el perímetro de un cuadrado cuyo lado mide 28 cm. 2.- Determina el perímetro de un octágono regular cuyo lado mide 39 cm. 3.- Determina el área de un triángulo equilátero cuyo lado mide 14 cm. 4.- Determina el área de un heptágono regular cuyo lado mide 17 cm y tiene un apotema de 15 cm. 5.- Determina el área de un círculo cuyo diámetro mide 89 cm. 6.- Determina el volumen de un cilindro que tiene un diámetro de 23 cm y una altura del doble de su diámetro. 7.- Determina el volumen de un prisma pentagonal, cuyo lado mide 8 cm, su apotema mide 7 cm y su altura mide 75 cm. 8.- Determina el volumen de una pirámide cuadrada, cuyo lado mide 25 cm y su altura es 120 cm 9.- Determina el volumen de un cono cuyo radio es de 15 cm y su altura de 45 cm.

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Solución al examen de autoevaluación 1) P = 112 cm 2) P = 312 cm 3) A = 84.87 cm2 4) A = 892.5 cm2 5) A = 6 221.1534 cm2 6) V = 19 111.9236 cm3 7) V = 3 500 cm3 8) V = 25 000 cm3 9) V = 10 602.9 cm3

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Solución de la serie de ejercicios Serie de ejercicios 1 1) p = 20 m

2) p = 65 m

3) p = 250 m

4) b = 33 m

5) d = 141.42 m

6) 25 rollos

7) p = 112 cm

8) p = 312 cm

9) A = 84.87 cm2 Serie de ejercicios 2 1) 113.0976 m

2) 3.927 m

3) 9.26772 m

4) 0.879 m

5) 18.84 m

6) 800 m2

7) 9 latas

8) A = 480.7 cm2

9) A = 25 cm2 Serie de ejercicios 3 1) A = 166.27 m2

2) l = 1 cm

3) A = 6221.1534 cm2

4) A = 9.0792 m2

5) A = 50.2656 cm2

6) Ah = 314.16 cm2

Am = 615.75 cm2

As = 804.24 cm2

7) Área de terciopelo no usada = 343.36 cm2

8) A = 10.6814 m2

Serie de ejercicios 4

1) l1 = 12.5, l2 = 20 y l3 = 27.5

2) p = 45 m

4 5

4) A = 150 m2

5) r =

8) Altura = 22 cm

9) Igual

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3) k =

16 9

6) b = 20 cm

7) b = 24 cm

10) l = 13.85 cm

11) c =

4 = 1.33 cm 3

Serie de ejercicios 5 1) Pirámide cuadrangular l h V 2 4 5.3 5 3.6 30 4.5 13 87.75 2.5 15 31.25

Prisma rectangular l1 4 10 9 5

l2 5 4 6 4

2) V = 162 m3

H 8 7 8 9 3) No

V 160 280 432 180 4) V = 2 697 900 m3

5) V = 275 cm3

6) V = 25 000 cm3

Serie de ejercicios 6 1) At = 2 719.99 cm2 2) V 2 4.2 5 7

Cilindro R H 4 0.039 6 0.037 8 0.024 10 0.022

V 2 3.2 5.5 7

Cono r 1 3 5 6

3) V = 753.984 m3

4) h = 11.46 cm

6) V = 9 995 cm3

7) V = 102.4452 m3 y At = 93.0884 m2

h 1.90 0.33 0.21 0.18

5) V = 19 111.92 cm3

8) V = 393.4382 cm3 y At = 306.8714 cm2 9) V = 769.692 cm3 y At = 517.89 cm2

a) Cuatro veces mayor

b) Nueve veces mayor 10) V = 1 963.5 cm3 y At = 942.48 cm2 b)

a)

17 = 5.666 veces mayor 3

13 = 6.5 veces mayor 2

11) Costo = $ 200.00

12) V = 2 356 200 km3

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Bibliografía Burril, Gail F.; Jerry Cummins et al. Geometría. Integración, Aplicaciones y Conexiones. Ed. McGraw Hill. Colombia. 2000. Clemens, Stanley R.; O’Daffer, Phares y Thomas J. Cooney. Geometría con aplicaciones y solución de problemas. Addison-Wesley. México. 1998. Chakerian; G. D.; Crabill, Calvin D. y Sherman K. Stein. Geometry. A guided inquiry. Sunburst communications. United States of America. 1989. Diccionario Enciclopédico Lexxis/22 Vox. Matemáticas. Bibliograf. España. 1981. Euclides. Los Elementos de Geometría. Libro 1.UNAM. García Arenas, Jesús. Geometría y Experiencias. Biblioteca de Recursos Didácticos Alambra. México. 1990. Geltner, Meter y Peterson Darrell. Geometría. Thomson Editores. México. 2001. Miller, et al. Matemática: razonamiento y aplicaciones. Addison Wesley. Décima edición. México. 2004. Moise, Edwin. Geometría Moderna. Addison-Wesley. México. 1986. Newmann, James R. en García Arenas, Jesús. Geometría y Experiencias. Biblioteca de Recursos Didácticos Alambra. México. 1990. Programas de Estudio de Matemáticas. Semestres I al IV. Elaborados por la Comisión de Revisión y Ajuste de los Programas de Matemáticas I a IV del Colegio de Ciencias y Humanidades. (versión cuadernillo azul. CCH, UNAM, 2004). VanCleave, Janice. Matemáticas para niños y jóvenes. Limusa-Wiley. México. 2005.

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