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DIRECCIÓN NACIONAL GERENCIA ACADÉMICA
Estudios Generales Matemática P.T. Parte 02
CÓDIGO: 89001296
SERVICIO NACIONAL DE ADIESTRAMIENTO EN TRABAJO INDUSTRIAL
MATEMÁTICA P.T. PARTE 02
AUTORIZACIÓN Y DIFUSIÓN
MATERIAL DIDÁCTICO ESCRITO CICLO :
ESTUDIOS GENERALES
CURSO :
MATEMÁTICA BÁSICA P.T. PARTE 02
Con la finalidad de uniformizar el desarrollo de la formación profesional en el Ciclo de Estudios Generales a nivel nacional y dando la apertura de un mejoramiento continuo, se autoriza la APLICACIÓN Y DIFUSIÓN del material didáctico escrito referido a MATEMÁTICA BÁSICA P.T. PARTE 02 Los Directores Zonales y Jefes de Centros de Formación Profesional son los responsables de su difusión y aplicación oportuna.
DOCUMENTO APROBADO POR EL GERENTE ACADÉMICO DEL SENATI N° de Páginas:….............
289.…...........…..
Firma: ………………………………….….. Lic. Jorge Chávez Escobar Fecha: …………………………...……….
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INDICE UNIDAD 08. Longitud ............................................................................................... 4 UNIDAD 09. Medidas de Tiempo ............................................................................. 34 UNIDAD 10. Razones y Proporciones........................................................................ 55 UNIDAD 11. Magnitudes Proporcionales ................................................................. 71 UNIDAD 12. Regla de Tres .......................................................................................90 UNIDAD 13. Porcentaje ......................................................................................... 104 UNIDAD 14. Angulos ............................................................................................. 140 UNIDAD 15. Paralelas ........................................................................................... 162 UNIDAD 16. Circunferencia y Circulo ..................................................................... 179 UNIDAD 17. Polígonos .......................................................................................... 195 UNIDAD 18. Perímetro........................................................................................... 224 UNIDAD 19. Superficie y volumen ......................................................................... 248
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UNIDAD 08 MEDIDAS DE LONGITUD
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8.1. MEDIDAS DE LONGITUD. Medir es comparar una magnitud con otra de la misma especie, tomada como unidad de medida Cientos de años atrás, la gente media el largo de objetos usando partes del cuerpo. Por ejemplo, el pie de una persona representaba a un pie de largo, el ancho de un pulgar era una pulgada, el espacio entre brazos extendidos (de la punta de un dedo hasta la punta del otro), eran 6 pies. Cuando los Británicos comenzaron a establecerse en Norteamérica las colonias usaban pesos y medidas que eran comunes en aquel tiempo. Aún había confusión entre medidas que llegaron hacerse hasta más confusas después de la Revolución Americana, pues cada una de las 13 colonias trataba de encontrar una norma uniforme de pesas y medidas. También los Franceses, Españoles y Holandeses tenían sus propias normas y nadie estaba de acuerdo. Es así que en el año 1832, el Departamento de Tesorería dispuso que Ferdinad Rudolph Hassler construyera las normas de medida y masas, y en el año 1836, el Congreso oficialmente creó la Oficina de Pesos y Medidas. Hassler escogió el Sistema Imperial de Inglaterra sobre el sistema métrico. Sin embargo, el Sistema Internacional (SI) de Unidades (Sistema Métrico), es aceptado como la norma de medidas.
8.1.1. Unidad Fundamental (EL METRO). Teniendo el marco del Sistema Internacional de Unidades (SI), la unidad fundamental de la magnitud longitud es el METRO. MAGNITUD UNIDAD SÍMBOLO
DEFINICIÓN DE LA UNIDAD Longitud del trayecto recorrido en el vacío, por un rayo de luz en el tiempo de
Longitud
metro
m
1 s 299 792 458
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8.1.2. PREFIJOS EN EL S.I. Los prefijos del SI son prefijos empleados para nombrar a los múltiplos y submúltiplos de cualquier unidad del Sistema Internacional (SI), ya sean unidades básicas o derivadas. PREFIJO
SÍMBOLO
exa
E
peta
10
T
giga
10
G
mega
10
M
kilo
10
k
10
hecto
h
10
deca
da
10
deci
d
10
centi
c
mili
Para formar submúltiplos decimales
10
P
tera
Para formar múltiplos decimales
FACTOR
10
m
10
micro nano
10 10
n
pico
10
p
femto
10
f
atto
10
a
18 15 12 9 6 3 2
NOMBRE DEL VALOR NUMÉRICO trillón mil billones billón mil millones millón mil cien diez
-1 -2 -3 -6 -9 -12 -15 -18
Décima centécima milésima millonésima mil millonésima billonésima mil billonésima trillonésima
En el caso de la medida de longitud: Múltiplos
Submúltiplos
kilómetro
hectómetro
decámetro
X 1000
X 100
X10
1000 m
100 m
10 m
1 km
1 hm
1 dam
metro
decímetro
centímetro
milímetro
: 10
: 100
: 1000
1m
0,1 m
0,01 m
0,001 m
1m
1 dm
1cm
1 mm
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MATEMÁTICA P.T. PARTE 02 Aplicar este conocimiento midiendo el largo, ancho y alto de su mesa de trabajo. Anotar estos datos, usando como unidades de medida el centímetro y el milímetro. Largo ....................... cm ... ........................ mm Ancho ...................... cm ........................... mm Alto ........................... cm ........................... mm Sin embargo, el centímetro y el milímetro, no son las únicas unidades de medida, si se toman 10cm, se tiene 1 decímetro. 1 decímetro = 10 centímetros Y si se toman 10 decímetros, se tiene 1 metro (1 m) que es la unidad principal de medida de longitud. Como ejercicio, tomar las medidas de longitud y anotar sus resultados. a) Un libro
b) Un salón de clase
c) Un lápiz
Continuar multiplicando cada unidad por 10 y se tiene: 10 m
forman 1 decámetro
dam
10 dam
forman 1 hectómetro
hm
Observar, con atención, los dibujos de abajo. Cada una de las aristas de los cuerpos recibe, en geometría, el nombre de segmento de recta. Medir algunos de ellos, recordando que medir un segmento de recta es verificar cuantas veces una unidad está contenida en él.
Largo
= …………unidades
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MATEMÁTICA P.T. PARTE 02 Ancho = ……. Unidades
Altura = ……. Unidades
Muy Importante: El número es la MEDIDA y el segmento (u) es la UNIDAD DE MEDIDA. Subrayar, entonces, con un trazo, la medida, y con dos, la unidad de medida. Ejemplo: La longitud de la regla es de seis pulgadas. La broca de tres cuartos está sobre la bancada. Compré mil milímetros de alambre de cobre. Esta caja contiene doce docenas de pernos. La primera clase comienza a las 7 h y 15 minutos. En los dibujos de la página anterior, los segmentos medidos representan: Largo, ancho y altura. La unidad (u), tomada como medida, fue el centímetro (cm). Notar que cada centímetro está dividido en partes iguales, cada una de las cuales se llama milímetro (mm). En la medición de la longitud: se tiene: 6 u = 6 cm = 60 mm. Se puede comprobar que:
10 veces 1 milímetro es igual a 1 centímetro
10 x 1 mm = ........ mm = 1 ....... Completar: Ancho = 2,5 u = alto = 1 u =
2,5 cm = .......... mm 1 cm = .......... mm
Por consiguiente, se acaba de formar un conjunto (Sistema Internacional) de unidades de medidas de longitud. Observar el cuadro:
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8.1.3.
MÚLTIPLOS Y SUBMÚLTIPLOS DEL METRO.
MÚLTIPLOS
UNIDAD
SUBMÚLTIPLOS
km
hm
dam
m
dm
cm
mm
kilómetro
hectómetro
decámetro
metro
decímetro
centímetro
milímetro
1000 m
100 m
10 m
1m
0,1 m
0,01 m
0,001 m
Observación: Es preciso aclarar que: Existen múltiplos mayores que el kilómetro. Existe submúltiplos menores que el milímetro. Por ejemplo: En mecánica de precisión y en trabajos científicos, se usan otros submúltiplos del metro, como por ejemplo la millonésima parte ( micra) del metro que se denomina micra ( m). Resumiendo se tiene: Medidas mayores que el metro, o sea, múltiplos del metro: decámetro
dam
1 dam = 10 m
hectómetro
hm
1 ....... = 100 ........
kilómetro
km
1 .........= ……........
1 km = 10 hm = 100 dam = 1 000 m
Medidas menores que el metro, o sea submúltiplos del metro:
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MATEMÁTICA P.T. PARTE 02 decímetro
dm
1 dm = 0,1 m
centímetro
cm
1 ....... = ......... m
milímetro
mm
1 ....... = .............
1 mm = 0,1 cm = 0,01 dm = 0,001 m
EJERCICIOS Haciendo uso de los conceptos vertidos y detallados anteriormente: 1. Completar: a)
5 dam = cinco decámetros
b)
18 mm = ...................................................
c)
........................... = doce kilómetros
d)
........................... = nueve hectómetros
e)
35 cm = .....................................................
f) .
.....................dm = siete ..........................
2. Completar:
3.
a)
9,082 km
= 9 km, 8 dam y 2 m
b)
13,052 km = ......... km, ........ hm, ...... dam y ...…. m
c)
............dam = 19 dam, 5m y 3dm
d)
9,5 ..............= 9 m y 5 dm
e)
8,25 dm
= ............. y .............
Se sabe que: 1 dam = 10 m Entonces, completar:
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MATEMÁTICA P.T. PARTE 02
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a)
8 dam = 8 x 10 = 80 m
b)
28 dam = ............................ = .......................... m
c)
3,4 dam = ........................... = …………………. m
d)
53 m = 53 10 = 5,3 dam
e)
156 m = ……………………. = …………………. dam
f)
,90 m = ……….……………. = ……………….… dam
También se sabe que: 1 hm = 10 dam Completar entonces: a)
5 hm = 5 x 10 = 50 dam
b)
0,8 hm = ......................... = ........................ dam
c)
58 hm = ......................... = ….……………. dam
d)
30 dam
e)
48 dam = …………..…… = ……..………….. hm
f)
0,08 dam = …………… .. = …….………...… hm
= 30 10 = ………. hm
5. Siguiendo el raciocinio de las preguntas 3 y 4, para las otras unidades, completar: a)
2 km = 2 x 10 = 20 hm
b)
72 km = ........................... = …………………. hm
c)
0,8 km = ……………….… = …………………. hm
d)
5 m = 5 x 10 = 50 dm
e)
3,8 m = ..………………….. = …………………. dm
f)
4 dm = 4 x 10 = 40 cm
g)
52 dm = …………………... = ….………..……. cm
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8.1.4. CONVERSIÓN DE UNIDADES. La unidad escrita se refiere a la cifra que está a la izquierda de la coma decimal, que usted debe haber observado. Ejemplo: En 45,87dm, se tiene 5 que corresponde al casillero de dm. Para convertir unidades, basta recordar el principio de la numeración decimal. Por consiguiente, para escribir 45,87 dm en metros, se tiene: M
dm
cm
Mm
4
5
8
7
4,587 m que se lee, 4 metros y 587 milímetros
Observar con atención, la escalinata con sus “carteles”. km hm dam m dm cm mm Pues bien: Cada grada que descienda, corra la coma decimal un lugar hacia la derecha. Cada grada que suba, corra la coma decimal un lugar hacia la izquierda. Realizar ahora los ejercicios que siguen: 6.
De las equivalencias: 1 dam = ........... m
7.
1dm
= ….............. m
1 hm
= ………….m
1cm
= ..…………..m
1 km
= .…………m
1mm
= ….……….. m
Siguiendo el Ejemplo, no olvidar que la unidad indicada se refiere al orden colocado inmediatamente antes de la coma decimal.
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MATEMÁTICA P.T. PARTE 02
8.
Ejemplo: 35,40 m = 35 m y 40 cm
2,5 mm
= .....................................
802,7cm = ...................................
1,520 km = ....................................
7,28 dm = ....................................
0,85 m
= ....................................
Completar, observando el ejemplo: a) Nueve metros y treinta centímetros = 9,30 m b) Doce centímetros y doce milímetros = ............................................. c) Cuarenta y ocho centímetros y siete milímetros = ........................... d) Treinta y dos milímetros y ocho décimos de mm = ..........................
9.
Completar el cuadro, observando los ejemplos: Ejemplo: m a)
7 mm
a
b)
14,5 dm
b
c)
4,5 m
c
d)
20,1 cm
d
e)
0,2 m
e
f)
12,5 cm
f
g)
3m
g
h)
0,8 dm
h
dm
cm
mm 7
1
4
5
10. Responder: a) ¿Cuál es mayor? ¿5cm ó 25 mm? ............................................. b) ¿Cuál es menor? ¿2dm ó 12 cm? ............................................... c) ¿Cuántos dm hay en 1 metro? .................................................... d) ¿Cuántos cm hay en 1 metro? .................................................... e) ¿Cuántos mm hay en 1 metro? ...................................................
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MATEMÁTICA P.T. PARTE 02 11. Completar: a) En 1 km hay ........................................ metros b) En 1 hm hay ........................................ metros c) En 1 dam hay ...................................... metros d) En 3 m hay ...........................................decímetros e) En 5 m hay ...........................................centímetros f) En 10 m hay ........................................ milímetros 12. Completar: 6m = .................................. dm
23 dm = ......................... m
9,7m = …………………….. dm
80 dm = ………………… m
88,53 m = ……………….… dm
8,2 dm = ……...………… m
0,44 m = ………………….. dm
33,4 dm = ..……..…..….. m
13. Colocar convenientemente los símbolos en las siguientes conversiones: a) 45,67 m = 456,7 ................
g) 289,05 km=28 905 .............……
b) 45,67 m = 4567 ……….….
h) 300,7 mm = 3,007 …..………….
c) 45,67 m = 45 670………….
i) 0,7 km = 0,007 ………………….
d) 45,67 m = 4,567 ………….
j) 10 hm = 100 000 …………………
e) 45,67 m = 0,4567 ………...
l) 9,47 cm = 94,7 ............................
f) 45,67 m = 0,04567 ............
m) 4000 dm = 4 …………………….
14. Escribir en los puntos, los valores correspondientes: a) 8 m = ........................ cm
g) 4 cm = ......…...........…..... dam
b) 17 m = ………………. mm
h) 38 cm = .….………….….. m
c) 9,5 m = ……………… cm
i) 680 cm = …………….…. m
d) 0,16 m = ………….… dm
j) 77,5 cm = ………………… hm
e) 0,007 m = ………….. km
l) 6,91 cm = ......................... dm
f) 2800 m = .................... cm
m) 0,25 cm = ……………….. mm
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15. Efectuar, haciendo la conversión de unidades conveniente: 80 cm + 0,7 Km + 5,2 m = ............................................................ m 4,8 dam – 1 000 mm + 85 cm = …………………………………… cm 274,6 m – 1,360 dam = …………………...………………………… m
Solucionario: 1. b) Dieciocho milímetros c) 12 km d) 9 hm e) Treinta y cinco milímetros f) 7 dm = siete decímetros 2. b) 13 km, 0 hm, 5 dam y 2 m c) 19,53 dam d) 9,5 m e) 8 dm, 2 cm y 5 mm 3. b) 28 x 10 = 280 m c) 3,4 x 10 = 34 m d) 156 : 10 = 15,6 dam e) 90 : 10 = 9 dam 4. b) 0,8 x 10 = 8 dam c) 58 x 10 = 580 dam d) 30 : 10 = 3 hm e) 48 : 10 = 4,8 hm f) 0,08 : 10 = 0,008 hm
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5 b) 72 x 10 720 hm c) 0,8 x 10 8 hm d) 3,8 x 10 38 dm c) 52 x 10 = 520 cm 6. 1 dam = 10m
1 dm = 0,1 m
1 hm = 100 m
1 cm = 0,01 m
1 km = 1000 m
1 mm = 0,001 m
7. 802,7 cm = 802 cm y 7 mm 7,28 dm = 7dm y 28 mm 2,5 mm = 2 mm y 5 décimos de mm 1,520Km = 1 Km y 520 m 0,85 m = 85 cm 8. Doce centímetros y doce milímetros = 12,12 dm Cuarenta y ocho centímetros y siete milímetros = 48,7cm Treinta y dos milímetros y ocho décimos de mm = 32,8 mm
9. m ........ 4
.......... c d e f g h b) 12 cm
0
dm .......... 5 2 2 1
Cm ............
mm ..........
0
1
2
5
0
8
3
10.
a) 5 cm
c) 10 dm
d) 100 cm
11.
a)
1000 m
d)
30 dm
b)
100 m
e)
500 cm
c)
10 m
f)
10 000 mm
e) 1000 mm
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MATEMÁTICA P.T. PARTE 02
12.
6m = 60 dm 9,7 m = 97 dm 88,53 m = 885,3 dm 0,44 m = 4,4 dm
23 dm = 2,3 m 80 dm = 8 m 8,2 dm = 0,82 m 33,4 dm = 3,34 m
13.
a) ………………. = 456,7 dm
g) ……………. = 29 905 dam
b) ………………. = 4567 cm
h) ……………. = 3,007 dm
c) ………………. = 45 670 mm
i) ………….…. = 0,007 km
d) ………………. = 4,567 dam
j) …………….. = 100 000 cm
e) ………………. = 0,4567 hm
l) …………….. = 94,7 mm
f) ........................ = 0,04567 km m) .................. = 4 hm 14.
15.
a) ……………….. = 800 cm
g) …………….. = 0,004 dam
b) ……………….. = 17 000 mm
h) …………….. = 0,38 m
c) ……………….. = 950 cm
i) ……………… = 6,80 m
d) ……………….. = 1,6 dm
j) ……………… = 0,00775 hm
e) ……………….. = 0,000 007 km
l) ……………… = 0,691 dm
f) ………………… = 280 000 cm
m) ……………. = 2,5 mm
0,80 m + 700 m + 5,2 m = 706 m 4800 cm – 100 cm + 85 cm = 4785 cm 27,6 m – 13,6 m = 14 m
Observación: Unidades que permiten medir a seres microscópicos o distancias inapreciables por los seres humanos: 1 micra
0,001 milímetros.
1 nanómetro
0,000 001 milímetros.
1 angstron (A°)
0,000 000 1 milímetros.
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MATEMÁTICA P.T. PARTE 02 Unidades que permiten medir enormes distancias, como la distancia de los planetas: 1 año luz
9,461 mil millones de kilómetros. (distancia que recorre la luz en un año)
1 unidad astronómica
8.2.
149 600 000 km de longitud.
SISTEMA INGLÉS.
Ahora se va a pasar de una a otra unidad (pulgada) que además se emplea en las especificaciones de materiales y de productos de USO industrial: la pulgada. En la industria, las medidas de máquinas, herramientas, instrumentos e instalaciones, se utiliza también otra unidad de medida, denominada PULGADA.
8.2.1. PULGADA. La pulgada se representa simbólicamente por dos comillas (“) colocadas a la derecha y un poco encima de un número. Dos pulgadas se abrevia
2”
Tres pulgadas se abrevia
3”
La figura de abajo representa un tipo de regla de 6 pulgadas de longitud. Observe con atención: La palabra INCH que se encuentra escrita en esta regla, en inglés significa “pulgadas”. 1”
25,4 mm
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MATEMÁTICA P.T. PARTE 02
8.2.2. EQUIVALENCIAS DE PULGADAS. Por consiguiente una pulgada corresponde a veinticinco milímetros y cuatro décimos, aproximadamente. Además: 1pie = 1 = 12 pulgadas
1pulgada = 1” = 25,4 mm
1yarda = 3 pies = 3 = 36 1 pie = 0,3048 m 1 yarda = 0,9144 m
1 pie = 1
1 m = 3,28 pies
Las medidas en PULGADAS pueden ser expresadas: En NÚMEROS ENTEROS Ej.: 1”; 2”; 17” 1
En FRACCIONES ORDINARIAS de denominadores 2; 4; 8; 16; 32; 64 y 128.
Ej.:
1" 2'
;
3" ; 4
5" 8
3” 4
En NÚMEROS MIXTOS, cuya parte fraccionaria tendrá, también, como denominador 2; 4; 8; 16; 32; 64 y 128. Ej:
2
1" 2'
; 1
3" 4
;
7
13" 64
1
3” 4
OBSERVACIÓN. Se encuentran algunas veces pulgadas escritas en forma decimal. Ej.:
1" 0,5" 2
1" 0,25" 4"
1" 0,125" 8
3" 0,75" 4"
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MATEMÁTICA P.T. PARTE 02
Para medir una longitud utilizando pulgadas, es necesario que se observen las divisiones de la regla:
1. En la parte superior, cada pulgada fue dividida en 8 partes iguales, por tanto cada división es 1/8” (un octavo de pulgada). 2. Cada pulgada fue además dividida en 16 partes iguales (la menor división es 1 1 ); excepto una parte de 1” cuya menor división es (de 1” a 32”) 16 32
Ver la medida de la longitud AB
La regla indica: 3. La pulgada está dividida en 8 partes iguales. De A hasta B se tienen .......... partes iguales. . Por consiguiente la pulgada fue dividida en 8 partes y se están tomando 5 partes, luego: La medida de A hasta B es …… Observar finalmente la lectura de las medidas indicadas en las reglas que siguen, comenzando siempre la cuenta del inicio de la regla.
Medida A = 2” Medida D = 3
3" 4
Medida B = 1 Medida E =
5" 8
1" 16
Medida C = 2 Medida F =
1" 2
13" 16
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MATEMÁTICA P.T. PARTE 02 Ejercicio:
1" 2
Medida H =
7" 8
Medida I = 3
17" 32
Medida L =
15" 16
Medida M = 1
Medida G = 2 Medida J =
1" 4
7" 32
Efectuar las lecturas de las medidas indicadas en la regla de abajo:
8.2.3. TRANSFORMACIÓN DE PULGADAS EN MILÍMETROS. Para transformar pulgadas en milímetros, usted debe multiplicar el número presentado en pulgadas por 25,4 mm. Es fácil llegar a esta conclusión: 1. Si 1” es igual a 25,4 mm 5” será igual a 5 veces 25,4 mm ¿Cierto? 5” = 5 x 25,4 mm = ........................................... mm 3" 3 3x 2. x25,4 ………………………….. mm 4 4 4 3. 0,8” = 0,8 x 25,4 mm = ........................................... mm 4. 1
3" 11 x .......... ... .......... .......... .. 8 8
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MATEMÁTICA P.T. PARTE 02 Observar los ejemplos del cuadro y complételo convenientemente. Pulgada
Número x 25,4 mm
mm
1”
1 x 25,4 mm
25,4 mm
3”
3 x 25,4 mm
76,2 mm
5”
5 x 25,4 mm
.............
10”
10 x .................................
.............
1" 2
1 25,4 mm 25,4 mm x 2 1 2
12,7mm
3" 4
3 25,4 mm 25,4 x 3x mm 4 1 4
19,05
23 25,4 mm 25,4mm x 23x 8 1 8
..............
11" x.......... .......... 16
..............
2
7" 8
11" 16
Se verá ahora cómo se hace el problema inverso, esto es.
8.2.4. TRANSFORMACIÓN DE MILÍMETROS A PULGADAS. Para transformar milímetros en pulgadas, usted debe dividir el número presentado en milímetros entre 25,4 y después multiplicar el resultado por 1” o fracción equivalente, es decir: 2" 4" 8" 16" 32" 64" 128" ; ; ; ; ; ó 2 4 8 16 32 64 128 Hacer esta multiplicación para obtener la fracción de pulgada. Observar con atención los ejemplos y completar: 1.
Transformar 50,8 mm a pulgadas: 1" 25,4mm 50,8mm 2 x 50,8mm 25,4mm 2.1” = 2”
Rpta. = 50,8 mm = .......................
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22
MATEMÁTICA P.T. PARTE 02
2.
Transformar 12,7 mm a pulgadas: 12,7mm 0,5 25,4mm
0,5 . 1” = 0,5” = 0,5 .
3.
1" 2
128" 64 64 1" : 128 128 64 2
Rpta. = 12,7 mm = ...........................
Transformar 10 mm a pulgadas:
10 mm .................... 25,4 mm ....................... x 1” = ....................... ó ................................ x x Rpta. = 10 mm =
128" 50" _________ 128 ......
25" 64
Resolver los ejercicios siguientes: Transformar: a) 21,2 mm a fracción irreductible de pulgada.
21,2 mm ................ x 1” = ............................ 25,4 mm ó
............... x
128" ................... 128
Rpta. = 21,2 mm = .............
b) 2 mm a fracción irreductible de pulgada:
Rpta. = 2mm = ....................
Para resolver estos problemas se acostumbra usar REGLA PRACTICAS ver:
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23
MATEMÁTICA P.T. PARTE 02
TRANSFORMAR MILÍMETROS A PULGADAS (NÚMERO DECIMAL)
En este caso, se tendrá que dividir el número de milímetros entre......... Pues bien, dividir entre 25,4 mm es lo mismo que multiplicar por
1 , ¿De 25,4
acuerdo? Como:
1 0,03937 , se puede escribir la primera regla práctica: 25,4 Para transformar milímetros a pulgadas representadas por números
decimales,
.........................
se
multiplica
obteniéndose
el
los
resultado
milímetros en
por
pulgadas
(decimales).
Ejemplo: Transformar 10 mm a pulgadas, representado en número decimales. 10 x 0,03937 = 0,3937” Ejemplo: Transformar ahora 25 mm en fracción decimal de pulgada. Rpta. .......................
TRANSFORMAR MILÍMETROS A FRACCIÓN ORDINARIA DE PULGADA.
Ahora multiplicar por
1 128 128 x , pero como 5,04 se tiene la segunda regla 25,4 128 25,4
práctica. Luego:
Para transformar milímetros a fracción ordinaria de pulgada, se multiplica los milímetros por 5,04 (numerador), y se coloca el resultado sobre el denominador 128.
Observar el ejemplo con atención, que se entenderá mejor la segunda regla práctica.
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MATEMÁTICA P.T. PARTE 02 Ejemplo: Transformar 10 mm a fracción de pulgada: 10 x 5,04 50" 25" 128 128 64
Rpta. .....................
Resolver ahora aplicando la regla práctica.
1.
Transformar 21,2 mm a fracción ordinaria de pulgada
21,2 x 5,04 128
2.
107" 128
Transformar 2 mm a fracción de pulgada: Rpta. ...................
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25
MATEMÁTICA P.T. PARTE 02
PROBLEMAS RESUELTOS 1. Una cuadrilla de trabajadores asfaltaban en el mes de enero 3 km de una carretera, en febrero 3 hm 8m y en el mes siguiente 14 dam 34m. ¿Cuántos hectómetros de carretera se han asfaltado en los tres meses? km 3
hm 0 3 1
dam
m
0 4 3
8
dm
4
Es decir 34,82 hm 2. ¿Cuántas varillas de 28 cm de longitud se pueden obtener de una tira de madera de 5 m 6dm? hm 0,
dam 0
M 5
dm 0 6
cm 0 0
Es decir 560 cm, luego el número de varillas =
560 cm 20 28 cm
3. Una lámina de acero de 29,343 cm de longitud se divide en 12 partes iguales. ¿Cuál es la longitud de cada parte, si en cada corte se pierde 0,93 mm del material? Para obtener 12 partes se deberá hacer 11 cortes, pero en cada corte se pierde 0,93 mm del material. Luego, por los 11 cortes se perderá: 0,93 mm x 11 = 10,23 mm = 1,023 cm. Entonces quedará: 29,343 cm – 1,023 cm = 28,32 cm Por lo tanto, la longitud de cada parte será:
28,32 cm 2,36 cm 12
4. ¿Cuántos cuadraditos de 5 mm de lado se cuentan en una hoja cuyas medidas son 20 cm de largo y 0,1 m de ancho? Largo 20 cm = 200 mm Ancho 0,1 m = 10 cm = 100 mm ESTUDIOS GENERALES-NIVEL PROFESIONAL TÉCNICO
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MATEMÁTICA P.T. PARTE 02 Área de la hoja = (200 mm) . (100 mm) = 20 000 mm2 Área del cuadradito = (5 mm) . (5 mm) = 25 mm2 2 Por lo tanto, el número de cuadraditos será = 20 000 mm 800 25 mm2
5. El perímetro de un rectángulo mide 1500 mm y el ancho mide 25 cm, ¿Cuánto mide el largo del rectángulo, expresar la respuesta en dm? Perímetro del rectángulo = 2(l + a) =1500 mm, de lo cual (l +a) = 750 mm Como el ancho mide 250 mm, el largo medirá: 750 mm – 250 mm = 500 mm. 6. Convertir a fracción de pulgada 92,075 mm. Aplicando la regla de conversión: 92,075
5,04 464 29 5 3 pulgadas. 128 128 8 8
7. Una cinta metálica esta graduada en pies, pero en forma errónea, de tal manera que cuando mide 15 pies, en realidad su verdadera longitud es 18 pies. ¿Cuál es la verdadera medida de una tira de madera de 6,25 pies? Si
6,25 pies = 6,25 x 12 pulg = 75 pulg 15 pies = 15 x 12 pulg = 180 pulg 18 pies = 18 x 12 pulg =
216 pulg
Aplicando regla de tres simple directa, se tendrá: 180 pulg _________ 216 pulg 75 pulg _________ x Luego: x = 90 pulg 3 8. A qué es equivalente 7 pulgadas en metros. 4 3 3 7 7 7 0,75 7,75 pu lg , que convertidos a mm dará: 4 4
7,75 x 25,4 mm = 196,85 mm; y expresado en metros. 0,19685 m ESTUDIOS GENERALES-NIVEL PROFESIONAL TÉCNICO
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MATEMÁTICA P.T. PARTE 02
PROBLEMAS PROPUESTOS NIVEL I CONVERSIÓN DE UNIDADES DE LONGITUD 1. Convertir en cm: 0,36 dm; 312mm; 0,8m; 3,7 dm; 0,01 m; 62,8 mm;
0,68 dm
2. Convertir en dm: 3,21 m; 0,48 m ; 3,4 mm; 8,6 cm; 7,88 mm; 32, 08 m; 7,85 cm 3. Convertir en mm: 2,84 dm;
6,82 m ; 5,8 dm;
0,3 m;
6,76 cm; 0,685 m; 0,0045 dm
4. Convertir en m: 2,84 dm ; 7621 cm
; 0,5 mm ; 7,8 cm ; 3,41 dm; 482,5 mm; 0,85 cm
5. Sumar en mm: 3, 42 m + 34 cm + 68, 1 dm + 34, 1 mm + 0,085m + 3,485 cm + 0, 05 dm 6. Sumar en cm: 3,42 m + 38 cm + 0,12 mm + 0, 03 dm + 0,045 m + 0,00875 dm + 22,2 cm 7. Restar en m: 86, 4m – 8,2 cm – 3,45 cm – 0,87 dm – 0,0034m – 0,082 dm 8. Un acero cuadrado con 1430 mm de longitud se reduce en 138 cm. ¿Qué longitud tiene la pieza restante (en m)? 9. Los extremos de dos tubos de 420 mm y 38,2 cm de longitud se sueldan a tope entre sí. Calcule la longitud del tubo soldado en cm. 10. La distancia entre centros de dos perforaciones de 44 y 23 mm de diámetros respectivos es de 318,5 mm. ¿Cuánto material queda entre las perforaciones? 11. Se quieren poner dos soportes en un eje de 732 mm de longitud a tres distancias iguales ¿Qué longitud tienen los espacios? 12. En un hierro plano de 5,81 m de longitud se quieren perforar 6 agujeros a igual distancia entre si y de los extremos. Calcule dicha distancia. ESTUDIOS GENERALES-NIVEL PROFESIONAL TÉCNICO
28
MATEMÁTICA P.T. PARTE 02
PROBLEMAS PROPUESTOS NIVEL II.
1. Efectuar y expresar en metros la respuesta: 1,23 dam + 25,4 cm + 0,04 hm A) 52,554 m
B) 16,554 m
C) 46,56 m
D) 26,45 m
E) 12,954 m
2. Efectuar y expresar en milímetros la respuesta: 0,123 dm + 42,7 cm + 0,0057 m – 240 mm A) 367 mm
B) 20,5 mm
C) 2040 mm
D) 205 mm
E) 248 mm
3. ¿Cuántas varillas de 2,8 dm de longitud, se podrán obtener de una varilla de 5m 6 dm? A) 36
B) 18
C) 20
D) 40
E) 48
4. Se tiene una canaleta de 124,8 dm y se corta los 3/8 de ella, ¿Qué longitud queda? A) 7,8 m
B) 0,078 8 m
C) 780 dm
D) 7800 mm
E) 78,8 dm
5. Cierta persona compró 123,45 dam de cable eléctrico, de los cuales vende 0,004 km, utiliza 1246 cm y dona 340 dm. ¿Cuánto le queda? A) 116,5 dam
B) 1184,04 m
C) 11,84 dm
D) 1184 cm
E) 116,52 m
6. La medida de la arista de un cubo es 0,52 m, ¿Cuál será la suma de las medidas de todas sus aristas? A) 31,2 dm
B) 20,8 dm
C) 41,6 dm
D) 42,7 dm
E) 62,4 dm
7. El perímetro de un hexágono regular mide 450 cm, ¿Cuánto mide cada lado? A) 0,75 cm
B) 0,007 5 m
C) 0,075 m
D) 75 dm
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E) 0,75 m
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MATEMÁTICA P.T. PARTE 02
PROBLEMAS PROPUESTOS NIVEL III-A 1. Calcular en centésimas de hectómetro: a) 660,33m
200” + 205,25m + 0,45km
b) 660,33cm c) 660,033mm
d) 606,30m e) 660,33hm
2. De una pieza de madera de 10yd 7,62cm se ha obtenido trozos de 33cm cada una. ¿Qué longitud falta para completar un trozo más, si en cada corte se pierde 1cm? a) 5,02cm
b) 2,6cm
c) 28,98cm
d) 29,98cm e) 310,2cm
3. Del gráfico hallar: a+b+c+d. a) 123cm b) 20,23cm c) 19,8mm d) 10,2cm e) 310,2mm
4. Reducir a milésimas de dam: a) 12,620m 5. Si:
b) 122,175cm
12dam 6cm 20dm 11,5cm c) 12217,5cm
d) 12217,5mm e) 122,75cm
A= 45,8cm – 0,0428m; B= 0,82dm + 14,3cm. C= 2(A – B)/3. Hallar el exceso de A sobre C.
a) 28,84cm b) 10,2cm
c) 2,16cm
d) 24,12cm e) 48,24c
6. Hallar el perímetro de la figura: a) 158,342mm b) 159,524mm c) 162,412mm d) 222,25mm e) 222,5mm
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MATEMÁTICA P.T. PARTE 02
PROBLEMAS PROPUESTOS NIVEL III-B 1. ¿A cuántos centímetros equivale 3
1" ? 4
a) 2,54cm b) 10,2cm c) 8,255cm
d) 6,72cm
e) 9,28Cm
2. El equivalente de 127mm a pulgadas es: a) 4”
b) 5” c) 6” d) 8” e) 3”
3. Indicar verdadero (V) o falso (F) en las proposiciones. I. II. III. IV.
13,56dm < > 1m 35cm 6mm 31,67m < > 3Dm 16dm 7cm 5,608Hm < > 56Dm 8m 2,24dm < > 0,2m 24cm
a) VVFF b) VVFV c) VVVF
d) VVVV e) FVVF
4. ¿Cuántas partes de 16mm de longitud pueden cortarse de una barra de 14,696dm de longitud, usando una herramienta de 2,4mm de ancho sin que sobre material? a) 8 b) 79 c) 80 d) 75 e) 87 5. Efectuar: 0,222dm + 48,5cm – 0,025m – 4,269dm a) 2,048dm
b) 10,2dm
c) 0,25dm
d) 0,553dm e) 1,248dm
6. Cortando los 2/7 y los 3/5 de una varilla de cobre, la longitud de ésta ha disminuido en 124cm. ¿Cuál era la longitud de la varilla en centímetros? a) 140
b) 120
c) 160
d) 144
e) 158
7. ¿Cuántos centésimos de milímetro están contenidos en cuatro décimos de metro? a) 200
b) 2 000
c) 20 000
d) 200 000
e) 20
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31
MATEMÁTICA P.T. PARTE 02 8. Al dividir un listón de madera de 2,1 pies de longitud, de tal manera que el trozo menor mida los ¾ de la longitud del mayor. Dar la medida, en centímetros, del trozo mayor. a) 36,57
b) 36,576
c) 36, 574
d) 36, 5
e) 43
9. Hallar el perímetro de la figura en fracción de pulgadas. 3,14 a)
53 128
"
0,24 mm
0,24 mm
"
53 b) 32 " 1 c) 8 " 25 d) 128
2,34 mm
21 e) 32
"
2,34 mm
10. Convertir 2,04mm a fracción ordinaria de pulgada. 1 a) 8
"
1 b) 16
"
7 c) 64
"
5 d) 64
"
3 e) 8
"
11. Hallar el perímetro de la región sombreada. Si R = 2,4 mm 3,14 a) 31/64” b) 25/64” c) 29/32” d) 43/64” e) 19/32”
R
r
r
12. Hallar la longitud del contorno de la figura. a) 370,44mm. b) 342,32mm. c) 387,35mm. d) 328,52mm. e) 387,24mm.
1 3 8
1 4 2
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32
MATEMÁTICA P.T. PARTE 02 13. Hallar el radio de la circunferencia: a) 1/32” b) 19/128” c) 7/16” d) 11/64” e) 7/32”
14. 98 006 dm se puede expresar como: a) 9 Km 7 Hm 6dm b) 8 Km 8 Hm 8dm c) 8 Km 7 Hm 8dm d) 9 Km 8 Hm 6dm e) 9 Km 6 Hm 6dm
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33
MATEMÁTICA P.T. PARTE 02
UNIDAD 09 MEDIDAS DE TIEMPO
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34
MATEMÁTICA P.T. PARTE 02
9.1.
MEDIDA DE TIEMPO.
En la antigüedad, la vida del hombre no era apresurada y sus relojes, de sol, de agua o de arena, carecían de divisiones especiales para contar los minutos. Hasta principios del siglo XVIII los relojes no tenían minutero, pero a comienzos del siglo XIX aparece ya hasta el segundo. ¿Qué puede ocurrir en una milésima de segundo? ¡Muchas cosas! Es verdad que, en este tiempo, un tren solamente puede avanzar unos tres centímetros, pero el sonido recorre ya 33 centímetros; un avión cerca de medio metro, la Tierra, en este intervalo de tiempo, recorre 30 metros de su órbita alrededor del sol, y la luz, 300 kilómetros. En la actividad laboral y académica, por lo general, establecemos un registro del tiempo empleado en la confección de un artículo, en los trabajos de taller, para la investigación, la elaboración de un informe, la atención al cliente, etc. En Informática hablamos de tiempo de acceso; en fotografía, tiempo de exposición; en el deporte, tiempo muerto; en astronomía, tiempo sideral; en religión, tiempo litúrgico; en lingüística, tiempo compuesto como forma verbal, entre otros. Y tal como otras magnitudes, los intervalos de tiempo pueden medirse.
Unidad Fundamental. Teniendo el marco del Sistema Internacional de Unidades (SI), la unidad fundamental de la magnitud tiempo es el SEGUNDO. MAGNITUD UNIDAD SÍMBOLO
DEFINICIÓN DE LA UNIDAD Es la duración de 9 192 631 770 períodos
Tiempo
segundo
s
de la radiación correspondiente a la transición entre los dos niveles hiperfinos del estado fundamental del átomo de cesio 133
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35
MATEMÁTICA P.T. PARTE 02
9.2.
MULTIPLOS DEL SEGUNDO.
Se tiene al MINUTO y a la HORA. El instrumento para medir el tiempo se llama ....................................... El tiempo es la única magnitud no decimal del SI, por lo que para expresar la hora local utilizando el segundo y sus múltiplos (minuto y hora) se recomienda lo siguiente: 1. En la representación numérica del tiempo se emplearán las cifras arábigas (0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9) y se emplearán únicamente los siguientes símbolos: h
hora
min minuto s segundo 2. El tiempo se expresará utilizando dos cifras para indicar los valores numéricos de las horas, de los minutos y de los segundos, separados de los símbolos de estas unidades mediante espacios en blanco y de acuerdo al siguiente orden: Primero: HORA
Segundo: MINUTO
y
Tercero: SEGUNDO
Ejemplo: 08 h 23 min 43 s ; 18 h 54 min 27 s 3. Cuando el tiempo se exprese en horas, minutos y segundos, o en horas y minutos, puede omitirse el último símbolo respectivo. Ejemplo: 05 h 11 min 20 s 05 h 11 min 20 00 h 39 min 08 s 00 h 39 min 08 23 h 42 min
18 h 42
15 h
15 h
4. Las 24 horas corresponden a las 00 h 00 del día siguiente. Ejemplo: Las 24 horas del lunes, corresponden a las 00 h del día martes. 5. Para escribir el tiempo en horas, minutos y segundos, se recomienda usar el modo descrito anteriormente, dejando de lado la forma antigua. Ejemplo: ESTUDIOS GENERALES-NIVEL PROFESIONAL TÉCNICO
36
MATEMÁTICA P.T. PARTE 02
Denominación recomendada
Denominación antigua
08 horas
8 a.m.
15 h 30 min ó 15:30 h
15:30 p.m. ó 3 p.m.
12 h
12 m
23 h 42 ó 23:42 h
11:30 p.m.
24 h
12 p.m.
6. Cuando se escriba una cantidad acompañada de una unidad del SI, se recomienda escribir la cantidad seguida del símbolo de la unidad y no del nombre del mismo, en especial cuando se trate de documentos técnicos. Ejemplo:
Correcto
Incorrecto
47 s
cuarenta y siete s
27 min
veintisiete min
RECOMENDACIONES PARA LA ESCRITURA DE FECHAS EN FORMA NUMÉRICA a) En la representación numérica de fechas se utilizarán las cifras arábigas, es decir {0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9}. b) Para expresar el año se utilizarán cuatro cifras, las que se escribirán en bloque. Cuando no exista riesgo de confusión podrá utilizarse sólo dos cifras. Ejemplo: 2007 ó 07 1998 ó 98 Para expresar el mes se utilizarán dos cifras, desde 01 hasta 12. Para expresar el día se empleará dos cifras, desde 01 hasta 31. Al escribir la fecha completa, se respetará el orden siguiente: Primero: AÑO
Segundo: MES
y
Tercero: DÍA
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37
MATEMÁTICA P.T. PARTE 02 Además se usará preferentemente un guión para separarlos, también se puede usar un espacio en blanco cuando no exista riesgo de confusión. Ejemplo: 2005-03-17 ó 2005 03 17 98-09-23
ó
98 09 23
c) Ejemplos de escritura de fechas numéricas Correcto
Incorrecto
20 de marzo del 2007
2007-03-20
20-3-2007
25 de diciembre de 1998
1998-12-25
25 / 12 / 98
28 de julio de 1821
1821-07-28
28 / VII / 1821
30 de abril de 2007
2007-04-30
2,007-04-30
15 octubre de 2003
9.3.
2003-10-15
15 de octubre de 2003
EQUIVALENCIA DE UNIDADES DE TIEMPO.
El tiempo se mide de la unidad más grande a la más pequeña en: Milenio
1000 años.
Siglo
100 años.
Década
10 años.
Lustro
5 años.
Año
12 meses, 365 días o 366 en los años bisiestos. (una vez cada 4 años el mes de febrero tiene 29 días)
Semestre
6 meses.
Trimestre
3 meses.
Bimestre
2 meses.
Mes
30 días (abril, junio, septiembre y noviembre). 31 días (enero, marzo, mayo, julio, agosto, octubre y diciembre).
Quincena
15 días.
Día
24 h
1440 min
Hora
60 min 3600 s
Minuto
60 segundos
86 400 s
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38
MATEMÁTICA P.T. PARTE 02
9.4.
OPERACIONES CON LA MEDIDA DE TIEMPO.
ADICIÓN Operar: 07 h 45 min +
07 h 15 min +
02 h 14 min
04 h 50 min
09 h 59 min
11 h 65 min 12 h 05 min
Ahora sumar: 5d 08h 20 min + 12 h 48 min
Muy bien, el resultado es: 5d 21h 08min Ahora sumar: 23d 18 h 20 min + 36 h 48 min El resultado será: ……………………..
SUSTRACCIÓN. Operar: 16 h 50 min - 18 h 30 min - 17 h 90 min 12 h 30 min 04 h 20 min
17 h 45 min
17 h 45 min 00 h 45 min
Observar que no se puede restar 45 min de 30 min, por eso, usar el artificio de “pedir prestado” una unidad del orden inmediato superior, en este caso, 1 h.
Observación: 05 h 30 min es diferente de 5,30 h
Dado que: 05,3 h equivale a 05 h 18 min, pues 0,3 de 60 min = 18 min
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39
MATEMÁTICA P.T. PARTE 02
MULTIPLICACIÓN. Operar: 06 h 14 min 29 s 5__ 30 h 70 min 145 s 31 h 12 min 25 s 03 h 12 min 25 s ______
18__
54 h 216 min 450 s 57 h 43 min 30 s Ahora multiplicar: 5d 08h 20min 24s 12 el resultado es: ........................................................
DIVISIÓN.
Operar: 57 h
43 min
30 s
54 h
180 min
420 s
03 h 60 180
223 min 18 43 36 7 60 420
450 s 36 90 00
18 03h 12min 25
s
Dividir: 28d 09h 35min 7 Muy bien, el resultado es: 4d 01h 22min 08 4/7s Dividir:
4d 13h 30min 20s 5
El resultado es: .................................................
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40
MATEMÁTICA P.T. PARTE 02 EJERCICIOS Marcar las respuestas correctas: 1. Sumar 07 h 25 min con 08 h 55 min
2. Restar 17 h de 12 h 30 min
3. Utilizar los símbolos de acuerdo al ejemplo: Ejemplo: Diez horas y cincuenta y cinco minutos 10 h 55 min a) Cinco horas y cuarenta y cinco minutos b) Dieciocho horas y cinco minutos c) Treces horas y media d) Doce horas y media
4. Escribir conforme al ejemplo: Ejemplo: 07 h 15 min siete horas y quince minutos. a) 05 h 45 min b) 18 h 30 min
5. Indicar los valores que corresponden, siguiendo el ejemplo: Ejemplo: 08 h
480 min 28 800 s
a) 05 h 30 min 330 min b) 04 h 10 min
c) 02 h 50 min
d) 09 h 15 min
6. Desarrollar: a) 05 h 40 min + 03 h 35 min
b) 03h 35 min + 02 h 40 min
c) 05 h 45 min + 55 min + 01h 25 min
d) 08 h 12 min + 06 h 55 min + 01 h 45 min
e) 03 h 35 min + 50 min + 03 h 25 min + 30 min
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41
MATEMÁTICA P.T. PARTE 02 f) 55 min 05 min + 09 h 23 min 56 s + 234 min 45 s
7. Una pieza requiere 06 h 25 min, en el torno, 45 min en la fresadora y 01 h 30 min en el acabado. Calcular el tiempo total que requiere la pieza.
8. Realizar las siguientes sustracciones: a) 18 h 30 min – 13 h 15 min
b) 12 h 45 min – 07 h 30 min
c) 04 h 15 min – 30 min
d) 03 h 20 min – 50 min
e) 12 h – 07 h 30 min
9. El tiempo previsto para ejecutar una pieza es de 17 h 15 min. Un trabajador pudo hacerla trabajando desde las 07 h 50 min hasta las 11 h 15 min, y desde las 12 h 45 min hasta las 16 h 30 min. Calcular la diferencia entre el tiempo empleado y el tiempo previsto.
10. Completar el cuadro: 01 min
……………… s
01h
……………… s
01h
……………… min
1d
..................... h
1 semana
..................... d
1 año
..................... d
1 década
..................... años
11. Colocar el signo igual (=) o diferente () a) 07 h 45 min .................. 07,45 h b) 07, 45 h c) 12,30 h
………..…. 07 h 27 min ……………. 12 h 18 min
d) 12 h 30 min ……………. 12,30 h e) 17,15
……………. 17 h 15 min
f) 17 h 15 min ……………. 17,25 h ESTUDIOS GENERALES-NIVEL PROFESIONAL TÉCNICO
42
MATEMÁTICA P.T. PARTE 02 12. Cada uno de los 8 funcionarios de una empresa trabajaron 24 d 5 h. Calcular el total de tiempo trabajado por dichos funcionarios en días y horas (1 día laborable es 8 horas)
13. Una pieza fue fabricada en 4 períodos iguales. Si cada período fue de 06 h 50 min, ¿Cuál es el tiempo empleado en la pieza?
14. Un instalador hidráulico trabaja desde las 17 h hasta las 11 h 30 min, y desde las 13 h hasta las 15 h. Después de 6 días de trabajo. ¿Cuánto debe recibir, si por hora cobra S/. 6?
15. Calcular los 3/5 de 2 d 05 h 20 min
16. Un obrero, en un mes, trabaja 22 d 2 h 40 min. Si un segundo obrero ha trabajado la tercera parte de este período, ¿Qué tiempo ha trabajado el segundo obrero? (Trabajan 8 horas diarias)
17. Para pavimentar 8 salas, un grupo de operarios demoró 15 d 6 h 30 min. ¿Qué tiempo emplearán en pavimentar 3 salas, si se trabaja 08 h diarias?
Muy Importante: Sería necesario memorizar las equivalencias de los múltiplos del tiempo, según esto, numerar la segunda columna de acuerdo a la primera:
(1) 1 año
( ) 30 minutos
(2) media hora
( ) 100 años
(3) 3 minutos
( ) 3 meses
(4) 1 siglo
( ) 180 segundos
(5) 1 bimestre
( ) 365 días
(6) 1 trimestre
Escribir los meses que tienen 31 días:
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43
MATEMÁTICA P.T. PARTE 02 Escribir (V) ó (F), si es verdadero o falso: Febrero tiene 31 días
(
)
Un trimestre tiene 3 años
(
)
Un día tiene 24 horas
(
)
Una hora tiene 3600 segundos
(
)
Un día tiene 1440 segundos
(
)
Una semana tiene156 horas
(
)
Un año tiene 4 trimestres
(
)
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44
MATEMÁTICA P.T. PARTE 02
PROBLEMAS RESUELTOS 1. Al mirar el reloj se observa que los 3/5 de lo que falta para acabar el día es igual al tiempo transcurrido. ¿Qué hora es? horas transcurridas x Día = 24 h horas que faltan transcurrir 24 x
Luego:
3 (24 x) x 72 3x 5 x x 8 5
Es las 9 de la mañana
2. Maruja trabaja 15 d 16 h 30 min, su hermana Palmira labora la tercera parte de este periodo. ¿Qué tiempo trabaja Palmira? 15d
16h 1h
30 min
3 5d 5h 30 min
60mi 90 min
Palmira trabaja 5d 5 h 30 min
3. Un ómnibus que va de Lima a Pisco recorre en cierto tramo 120 km a 2 h 40 min. ¿Cuántos metros recorre por minuto en dicho tramo? 2h 40 min = 160 min 120 km = 120 000 m
Recorre por minuto
120 000 m 750 m / min 160 min
4. ¿A qué es igual 121 207 segundos? 121 207 s : 60 s = 2020 min y 7s de resto 2020 min : 60 min = 33 h y 40 min de resto 33 h : 24 h = 1d y 9 h de resto 9 h 40 min 7 s
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45
MATEMÁTICA P.T. PARTE 02
5. Un padre tiene 3 hijos cuyas edades son: Pedro:
15 años 5 meses 6 días, Marisol: 7 años 4 meses 8 días
Roberto:4 años 18 días, ¿Cuánto suman las tres edades?
15 años 5 meses 6 días 7 años 4 meses 8 días 4 años
18 días
26 años 9 meses 32 días = 26 años 10 meses 2 días
6. Un mecanógrafo ha empleado 3 h 16 min 18 s en hacer un trabajo. ¿Cuánto necesitará para hacer 7 veces más el mismo trabajo? 3h
16 min
18 s x 8
24 h 128 min 144 s = 1 d (2 h 8 min) (2 min 24 ) 1 d 2 h 10 min 24 s
7. En una fábrica trabajan 14 operarios y cada uno de ellos laboró 25 d 4 h 35 min. ¿Calcular el tiempo trabajado por dichos operarios, considere 1 d = 8 h? 25 d
4h
35 min x 14
350 d 56 h
490 min = 350 d (7 d) (8 h 10 min)
358 d 10 min
8. Seis obreros pueden hacer una obra en 15 d 6 h, después de 6 d de trabajo se retiran 2 de ellos. ¿Con qué atraso se entregará la obra?
6 obr
15 d 6 h 9 d 6 h 78h (como trascurren 6 d)
6 obr 4 obr
x
x
6 obr 78 h 117 h 14 d 5 h 4 obr 14 d 5 h – 9 d 6 h = 4 d 7 h
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MATEMÁTICA P.T. PARTE 02 9. Una persona nació el 15 de setiembre de 1986. ¿En qué fecha cumplirá 36 años 8 meses y 20 días de edad? 1986 años 9 meses
15 d +
36 años 8 meses 20 d
2022 años 17 meses 35 d
= 2023 años 6 meses 5 d
10. Una obra esta programada para hacerla en 12 h 18 min por un trabajador. Este empieza la jornada a las 8 h 20 min y para a las 14 h 40 min para refrigerar. Si prosigue su labor a las 15 h 17 min , ¿A qué hora deberá acabar su trabajo? 15 h
17 min - 14 h 40 min = 37 min de refrigerio
Hora de inicio
8 h 20 min +
Duración del trabajo Refrigerio
12 h 18 min 37 min
20 h 75 min
= 21 h 15 min
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MATEMÁTICA P.T. PARTE 02
PROBLEMAS PROPUESTOS NIVEL I 1) Convertir en: a) horas: 312min; 6374 s;
3,2min;
6800min; 22850 s;
415min
b) minutos: 32h; 4350h; 6,8h; 8400 s; 18215 s; 12h c) segundos: 21h; 320min; 7,3min; 4600min; 12860min; 15h d) decimals: 6h 36min; 12h 34min; 16h 48min 56 s; 46min 48 s e) h,min,s : 12,334h; 2,4h; 46,86h; 0,866h; 18,48h f) restar: 143h 36min 18 s -45h 39min 26 s
2) Convertir en: a) grados: 240' ;35' ; 4200”; 31,2' ; 0,68' ; 0,42” ; 425' b) minutos: 360” ;38 ;4600” ; 38,6 ; 0,64 ; 172” ; 86” c) segundos: 314' ;56' ; 3800' ;68,2” ; 0,45 ; 0,012; 15 d) decimales: 64' ; 28”; 12627'42” ; 3638'18” ; 42 12' 48” e) , ' , “ : 14,38 ; 6,3 ; 12,7 ; 0.38 ; 18,75 f) sumar: 1446'+18134”+378' + 9 12' 32”
3) El tiempo de trabajo de una maquina es de 1h 13 min 19 s. Reducir el tiempo a decimales.
4) En 32h 38min 42s se fabrican 4 piezas de trabajo iguales. Calcule el tiempo para una pieza de trabajo.
5) En una pista se corren 12 vueltas en 1h 8min 36 s. ¿Cuánto tiempo fue necesario para dar una vuelta? 6) Para trabajar una pieza hay que ajustarla en un angulo de 14 12' 56”. Para el ajuste se requiere el ángulo en decimales. 7) La suma de los dos ángulos de un triangulo es de 139 37' 4”. Calcular el tercer ángulo. ESTUDIOS GENERALES-NIVEL PROFESIONAL TÉCNICO
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MATEMÁTICA P.T. PARTE 02
PROBLEMAS PROPUESTOS – NIVEL II.
1. Me desperté a las 7 h 32 min 14 s e ingresé a Estudios Generales 12 432 segundos después. ¿A qué hora ingresé a estudiar? A) 9 h 59 min 27s B) 7 h 32 min 43 s C) 3 h 29 min 50 s D) 10 h 59 min 26s E) 13 h 2 min 59 s 2. Cada día de lunes a viernes, gané S/. 6 más de lo que gané el día anterior. Si el viernes gané el quíntuple de lo que gané el lunes, ¿Cuánto gané el jueves? A) 30
B) 25
C) 28D) 27
E) 24
3. La bajada de una montaña se hace ordinariamente en los 4/5 del tiempo empleado en la subida. Si una persona bajó desde la cúspide en 1 h 56 min y subió a razón de 50 m cada 5 min, ¿Calcular la altura de la montaña? A) 860 m
B) 1160 m
C) 1450 m
D) 950 m
E) 1830 m
4. Un elástico al ser estirado 3 cm vuelve a su estado primitivo al cabo de 30 s. Si se estira 3 mm, ¿Cuánto tiempo después volverá a su estado primitivo? A) 30 s
B) 3 s
C) 0,3 s
D) 5 s
E) 4 s
5. Desde las 24 horas hasta este momento han transcurrido 84 352 s, ¿Qué hora es? A) 23 h 25m 51 s B) 23 h 25min 52 s C) 24h 25 min 52 s D) 22 h 32 min 25 s E) 21 h 23 min 35 s
6. Una cuadrilla de trabajadores empieza a asfaltar una avenida el 4 de enero. Si asfaltan una cuadra en 4 días, ¿En qué fecha se acaba la obra, si la avenida tiene 43 cuadras? A) 05-26
B) 06-26
C) 07-26
D) 04-26
E) 07-25
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MATEMÁTICA P.T. PARTE 02 7. Expresar en días, horas, minutos y segundos: 31 183 625 s A) 114 d 22 h 07 min B) 360 d 22 h 07 min C) 360 d 20 h 07 min 05 s D) 866 d 20 h 07 min 05 s E) 368 d 22 h 07 min
8. Si a la mitad de los días transcurridos en el año, se le agrega 1/3 de los que falta para acabarse, se obtiene el número de días transcurridos. ¿En qué fecha estamos?. Considerar año no bisiesto. A) 05-25 B) 05-26 C) 05-27 D) 04-26 E) 04-27
9. En una oficina trabajan 14 empleados y cada uno de ellos laboró 25 d 04 h 35 min. Calcular el tiempo total de trabajo de dichos empleados. Considerar 1 d: 08 horas de trabajo. A) 357 d 05 h B) 358 d 40 min C) 358 d 10 min D) 357 d 49 min E) 358 d 06 h
10. Un tornero fabrica una matriz en 8 h 34 min 15 s, un aprendiz lo hace en 20 h 45 min 15 s. Si cada uno debe fabricar 10 matrices en el taller, ¿Cuánto tiempo de ventaja le lleva el tornero al aprendiz? A) 3 d 02 h 15 min B) 5 d 01h 40 min C) 3 d 04 h 40 min D) 4 d 02 h 50 min E) 5 d 01 h 50 min
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MATEMÁTICA P.T. PARTE 02 11. Para construir un barco trabajan 120 soldadores; cada uno suelda 2 m 2 en 05 h 30 min. Si el barco tiene una superficie total de 347 760 m2, ¿En cuánto tiempo estará listo el barco? A) 11 meses 2 d 01 h 30 min B) 11 meses 15 d 03 h 25 min C) 11 meses 04 d 15 min D) 10 meses 3 d 02 h 10 min E) 11 meses 28 d 10 h 15 min
12. Un caño llena un depósito en dos horas, y estando lleno el desagüe lo vacía en tres horas. ¿En cuánto tiempo se llenará el depósito si se abre el desagüe dos horas después de abrir el caño? A) 02 h B) 03 h C) 04 h D) 05 h E) 06 h
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MATEMÁTICA P.T. PARTE 02
PROBLEMAS PROPUESTOS NIVEL III Medida de tiempo 1. Un tren parte a las 8 horas y 20 minutos para Hacer un recorrido de 500 Km. ; lo que efectúa en 16 horas y 40 minutos. ¿Qué velocidad debe llevar un segundo tren, que parte 2 horas y 58 minutos después que el primero, para que alcance a éste en una estación situada a 156Km. Del punto de partida? a) 20Km/h
b) 30Km/h
c) 40Km/h d) 50Km/h e) 60Km/h
2. Un caracol sube por una pared, cada día logra ascender un metro, pero cada noche baja 600 mm. ¿Cuánto tardará en llegar a lo alto de la pared que mide 10m de altura? a) 22 días
b) 23 días
c) 24 días
d) 25 días
e) 26 días
3. En una casa encantada, un fantasma aparece en cuanto empiezan a dar las 12, en el reloj de pared y desaparece en cuanto a sonar la última campanada. ¿Cuánto dura la aparición del fantasma, si además el reloj tarda 6 segundos en dar las 6? a) 10 seg
b) 12 seg
c) 13 seg
4. ¿A que hora entre las 2 y direcciones opuestas? a) 2h 43min 38s d) 2h 43min 28s
las
d) 13,2 seg e) 15 seg
3, el horario y el minutero estarán en
b) 2h 23min 38s e) 2h 43min 18s
5. ¿Qué tiempo tardará un auto en recorrer de 60 Km/h? a)2,69h
b)2h 42min 30s c)2,72h
c) 2h 33min 38s
1626 Hm con una velocidad
d)2h 44min 36s
e)2h 42min 36s
6. Carlos demora 12 minutos en comerse una pizza de 10cm de radio ¿Cuánto demora en comerse una Pizza de 15cm de radio? a)18min
b)36min
c)15min
d)27min
e)24min
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MATEMÁTICA P.T. PARTE 02
7. Rosa ,Chabela, Margarita demora 15 minutos en limpiar ½,1/3y 1/4 de su casa respectivamente. Si juntas se ponen a limpiar todo su casa ¿En que tiempo lo harían? a) 12/13 min
b)15 12/13min c)15 11/13 min d) 12 11/13min
e)13 11/13 min
8. Un ladrón arrebata una cartera a una señora escapándose con una velocidad de 8 m/s y la señora la persigue a 3 m/s . Cuando el ladrón ha sacado 120 m de ventaja, lo atrapa un policía ¿Qué tiempo demoró la fuga del ladrón? a) 32s
b)15s
c)24s
d)18s
e)30s
9. En 7 horas 30 minutos una costura puede confeccionar un pantalón y 3 camisas, o dos pantalones y una camisa ¿En cuánto tiempo puede confeccionar un pantalón y una camisa? a)3h
b) 3h 30min
c) 4h
d) 4h 30min
e) 5h
10. A cuánto equivale 3,5 trimestres: a) 3m
b) 2m 1d
c) 40d
d) 1m 15d
e) 6m 2d
11. Un padre tiene 30 años y su hija 3 ¿Dentro de cuántos años la edad de padre será el cuádruple de la edad de su hija? a) 15años
b) 3años
c) 5años
d) 6años
e)10años
12. ¿En qué tiempo cruzará un tren de 40 m de longitud a un puente de 200m de largo, si el tren tiene una velocidad de 30m/s? a)7s 13.
b)6s
c)8s
d)9s
e)10s
Tres aviones A, B y C parten de una base a las 8 horas .Si A regresa cada hora y cuarto, B cada ¾ hora y C cada 50 minutos, se reencontrarán por primera vez en la base a las : a)17h 20min
b)18h 20min c)15h 30min
d)17h 30min
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e)16h 30 min 53
MATEMÁTICA P.T. PARTE 02
14. Un reloj se retrasa 8 minutos cada 24 horas .Si éste marca la hora correcta 7am el 2 de Marzo ¿Qué hora marcara a la 1pm del 7 de Mayo? a)11h 28 min b)12h 8min
c)11h 18min
d)12h 42min
e)12h 18min
15. Un reloj se adelanta 2 minutos cada 15 minutos. si ahora marca las 5h 2min y hace 4 horas que se adelanta, la hora correcta sería: a) 4h 48min
b) 4h 28min
c) 4h 30min
d) 4h 32min
e)4h 52min
16. Un trabajador ha laborado 18d 21h 20s si su compañera ha laborado 3/4 de ese tiempo .¿ Cuál es el tiempo de labor efectuado por esta persona?(1d=8h de trabajo) a)15d 4h 35min 20s
b)16d 2h 10min 12s
d)14d 5h 25min 40s
e)15d 4h 15min 10s
c)15d 3h 45min15s
17. Si fuera 3 horas más tarde de lo que es, faltaría para acabar el día los 5/7 de lo que faltaría si es que fuera 3 horas mas temprano .¿Qué hora es? a) 6:00 am 18.
b)7:00am
c)7:20am
d)8:45am
e)7:45am
A cuánto equivale 25,13 meses: a) 4a5m7h
b) 2a1m3d22h
c) 5a2m7h
d) 3a6m15h
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e) 7a34m
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MATEMÁTICA P.T. PARTE 02
UNIDAD 10 RAZONES Y PROPORCIONES
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MATEMÁTICA P.T. PARTE 02
10.1. RAZÓN. Es la comparación que se establece entre dos cantidades de una magnitud mediante las operaciones de sustracción o división.
10.2. TIPOS DE RAZONES.
RAZÓN ARITMÉTICA.
Es la comparación de dos cantidades que se obtiene mediante la sustracción, y consiste en determinar en cuánto excede una de las cantidades a la otra. a menos b a–b= r
el exceso de a sobre b a excede a b
Ejemplo: Las velocidades de dos autos son Va = 30 m/s y Vb = 24 m/s.
Razón aritmética
Valor de la razón
Va – Vb = 30 m/s – 24 m/s = Antecedente Consecuente
6 m/s
La velocidad del auto “a” excede en 6 m/s a la velocidad del auto “b”. El exceso de Va sobre Vb es 6 m/s. La velocidad de Va excede a Vb en 6 m/s.
APLICACIONES: 1.
Hallar la razón aritmética de: a) Las edades de Adán y Eva que son de 20 años y 11 años. Rpta. 9 años. b) Los precios de dos artículos son S/. 1,40 y S/. 3,60. Rpta. S/. 2,20
2.
La diferencia entre las temperaturas de dos cuerpos es 20º C, si la menor temperatura marca 50º C, ¿cuál es la mayor temperatura? Rpta. 70ºC
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MATEMÁTICA P.T. PARTE 02
3.
La edad del padre excede en 24 años a la edad del hijo, y éste tiene 40 años. Hallar la edad del hijo. Rpta. 16 años.
4.
La razón aritmética de dos números es 15, si el menor es 30. Hallar el número mayor. Rpta. 45.
RAZÓN GEOMÉTRICA.
Es la comparación de dos cantidades mediante el cociente. a b
k
Razón de a sobre b a es a b a entre b
Ejemplo: Las edades de dos personas son 48 años y 36 años respectivamente Razón geométrica Antecedente Consecuente
a b
48 años 36 años
4 3
valor de la razón
APLICACIONES: 1. La diferencia de dos números es 280 y están en la relación de a 3. Hallar el mayor número. Rpta. 490. 2.
Las edades de dos personas son: 20 años y 12 años, ¿En qué relación están sus edades? Rpta. 5 / 3.
3.
De dos números, cuya razón aritmética es 19, y su suma es 35. Hallar la razón geométrica. Rpta. 27/ 8.
4.
La razón aritmética de dos números es 26, y la razón geométrica es Hallar el menor número. Rpta. 13.
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3.
57
MATEMÁTICA P.T. PARTE 02
10.3. PROPORCIÓN. Es el resultado de comparar dos razones. DIFERENCIA : a – b COCIENTE
:
= c–d
a b
c d
PROPORCIÓN ARITMÉTICA
= r
PROPORCIÓN GEOMÉTRICA
k
“a” es a “b” como “c” es a “d”
También se expresa como:
a : b :: c : d Para ambos casos, a y d se llaman EXTREMOS. b y c se llaman MEDIOS
10.4. CLASES DE PROPORCIONES.
PROPORCIÓN ARITMÉTICA (P.A.) (Equidiferencia).
A)
PROPORCIÓN ARITMÉTICA DISCRETA . Los cuatro términos de la proporción son diferentes: a b c d. El 4º término (d) de la proporción se llama: CUARTA DIFERENCIAL. Términos
1º a –
2º b
=
3º 4º c – d = r
medios extremos a , c : antecedentes
b , d : consecuentes
PROPIEDAD BÁSICA: suma de extremos = suma de medios a + d = b + c B)
PROPORCIÓN ARITMÉTICA CONTINUA. Los términos medios son iguales. El 3º término (c) de la proporción se llama: TERCERA DIFERENCIAL.
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MATEMÁTICA P.T. PARTE 02
MEDIA DIFERENCIAL o MEDIA ARITMÉTICA
b
a+c 2
Términos
1º 2º a – b =
2º 3º b – c = r
PROPORCIÓN GEOMÉTRICA (P.G.) (Equicociente).
A)
PROPORCIÓN GEOMÉTRICA DISCRETA. Los cuatro términos son diferentes: a b c d El 4º término (d) de la proporción se llama: CUARTA PROPORCIONAL Términos
1º
3º medios
antecedentes consecuentes
Términos
a b
c d
2º
4º
extremos
PROPIEDAD BÁSICA: Producto de extremos = Producto de medios a . d
B)
=
b .
c
PROPORCIÓN GEOMÉTRICA CONTINUA. Los términos medios de la proporción son iguales. El 3º término (c) de la proporción se llama: TERCERA PROPORCIONAL.
antecedentes consecuentes
1º
2º
a b 2º
b c 3º
MEDIA PROPORCIONAL o MEDIA GEOMÉTRICA
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k
____ b = a. c
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MATEMÁTICA P.T. PARTE 02
10.5. PROPIEDADES DE LAS PROPORCIONES. a b
k
c d
k
1º
a+b b
c+d d
k+1
2º
a+b a–b
c+d c–d
k+1 k–1
3º
a+c a+b
k
4º
a a b
c cd
k k1
5º
a2 + b 2 a2 – b2
c2 + d2 c2 – d2
k2
6º
axc bxd
(a + c)2 (b + d)2
k2
a1 b1
a2 b2
a3 b3
a4 b4
a b
c d
k
;
a–b b
c–d d
;
c–d b–d
k
….. …..
a(n – 1) b(n – 1)
an bn
7º
a1 + a2 + a3 + a4 + ….. + a(n – 1) + an b1 + b2 + b3 + b4 + ….. + b(n – 1) + bn
k
8º
a1 x a2 x a3 x a4 x ….. x a(n – 1) x an b1 x b2 x b3 x b4 x ….. x b(n – 1) x bn
kn
k–1
k
10.6. ESCALAS GRÁFICAS. La ESCALA es la razón entre la longitud representada en un plano y la longitud en tamaño real. La ESCALA es una fracción con numerador unitario. El denominador indica las veces que se repite el numerador para obtener la medida o dimensión real.
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60
MATEMÁTICA P.T. PARTE 02 ESCALA
Longitud en el plano Longitud del tamaño real
Tamaño real = 4,50 m
Tamaño en el plano = 0,09 m
Tamaño en el plano Tamaño real Escala:
0,09 m 4,50 m 1 : 50
REPRESENTACIÓN. 1 : 100 “indica: 1 mm de trazo en el papel es a 100 mm de longitud real” 1 / 100 “indica: 1 cm de trazo en el papel representa 100 cm de longitud real” 1 “indica: 1 m de trazo en el papel representa 100 m de longitud real” 100
PROBLEMAS DE APLICACIÓN: 1. ¿Cuántos centímetros representa en el papel un puente de 45,00 m de largo, si el dibujo se hace a una escala de 1 : 750? 1 750
X 45 m
X
45 m 750
0,06 m = 6 cm Rpta.
2.
6 cm
En un plano a escala 1 : 50 , se observa que las dimensiones del dormitorio son de 3 cm de ancho por 4 cm de largo. ¿Cuáles son las dimensiones reales del dormitorio? Rpta. 1,5 m.; 2,0 m.
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61
MATEMÁTICA P.T. PARTE 02 3.
La distancia gráfica entre dos ciudades en un plano a escala 1 : 2 500 es 20 cm. Hallar la distancia gráfica en otro plano a Escala 1 : 10 000. Rpta. 5 cm
4.
Completar el siguiente cuadro y hallar unidades medidas:
X, Y, Z, W, P, Q y R, en las
Nº
ESCALAS
DISTANCIA GRÁFICA
DISTANCIA REAL
1 2 3 4 5 6 7
1 : 20 1 : 25 1 : 50 1 : 75 1 : 100 1 : 150 1 : 200
X mm 5 ½ cm 5 ¼ cm W mm 6,5 m 4 cm R mm
2,40 m Ym Z cm 0,02 km P cm Q km 0,54 m
Solución de la aplicación, completando el cuadro: Nº
ESCALAS
DISTANCIA GRÁFICA
DISTANCIA REAL
1 2 3 4 5 6 7
1 : 20 1 : 25 1 : 50 1 : 75 1 : 100 1 : 150 1 : 200
120 mm 5 ½ cm 5 ¼ cm 3 750 mm 6,5 m 4 cm 27 mm
2,40 m 1 3/8 m 262,5 cm 0,020 km 65 000 cm 0,006 km 0,54 m
PROBLEMAS RESUELTOS. 1.
La razón de dos números es 6/5, y la suma de dichos números es igual a 33. ¿Cuáles son estos números? A) 20; 13
2.
B) 18; 15
C) 16; 17
D) 30; 3
E) 16; 13
En un concurso de tiro, Antonio acertó 50 sobre 75 tiros; Pepe 70 sobre 90 tiros ; y Ricardo 48 sobre 60 tiros. ¿Quién logró mayor razón de tiros acertados?
A) Pepe
B) Ricardo
C) Antonio
D) Igual Antonio y Pepe E)Faltan datos.
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62
MATEMÁTICA P.T. PARTE 02 3.
Una pieza de franela de 72 m de longitud se ha dividido en dos partes, cuya diferencia es de 18 m. Hallar el precio de la parte mayor, si el precio por metro es de S/. 8. A) 352
4.
B) 216
B) 30
Sí: A 2
E) 100
C) 4 cm
D) 5 cm
E) 100 cm
B) 40 cm B 8
C 7
y
B) 18
C) 200 cm
D) 60 cm
E) 100 cm
(A + B) = 30. ¿Cuánto vale “C”?
C) 21
D) 30
E) 42
La suma, la diferencia y el producto de dos números están en la misma relación que los números 11 ; 5 y 144. Hallar el mayor dichos números. A) 15
9.
D) 40
Un objeto se dibuja a escala de 1 : 30 , y tiene una altura de 0,40 m ; si se desea dibujarlo a una escala de 1 : 20, ¿Cuál será su altura?
A) 12 8.
C) 80
B) 3 cm
A) 80 cm 7.
E) 192
¿Cuántos centímetros representa en el papel un puente de 43,20 m de largo, si el dibujo se hace a una escala de 1 : 720 ? A) 2 cm
6.
D) 360
Se tienen dos barriles que contienen 400 litros y 500 litros de vino respectivamente. ¿Cuántos litros de vino se debe de pasar del primer al segundo barril, para que las cantidades de vino en cada barril estén en la relación de 2 a 3? A) 68
5.
C) 208
B) 48
C) 60
D) 52
E) 24
El producto de los antecedentes de una serie de 3 razones iguales es 288, y el producto de los consecuentes de dicha serie es 2 304. ¿Cuál es la suma de los consecuentes, si la suma de los antecedentes es 21? A) 42
B) 90
C) 91
D) 32
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E) 62
63
MATEMÁTICA P.T. PARTE 02
10. Un empelado ahorra S/. 5 940 por día; si lo que cobra y lo que gasta diariamente está en la relación de 13 a 7. Determinar en cuántos soles debe disminuir sus gastos diarios para que la relación entre lo que cobra y lo que gasta sea de 9 a 2. A) S/. 2 035
B) S/. 4 070 C) S/. 5 040
D) S/. 4 505
E) S/. 6 015
SOLUCIÓN DE LOS PROBLEMAS
1.
Sean A y B los números A B
6k 5k
A
+ B
A=6k B=5k = 33
K=3
A = 18 B = 15
6k + 5k = 33
2.
A : Antonio
;
P : Pepe
A
;
P
50 75
2 3
MCM (3 ; 9 ; 5) = 45 A
3.
30 45
;
70 90
P
7 9
Rpta. B
;
R : Ricardo
;
R
48 60
4 5
homogenizando los denominadores: 35 45
;
R
36 45
Rpta. B
Sean A y B las dos partes de la tela A + B = 72 m
Sumando ambas ecuaciones: A = 45 m
A – B = 18 m
Precio = 45 m x S/. 8 / m
Precio = S/. 360 Rpta. D
4.
400 – X 500 + X
2 3
X = 40
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Rpta. D
64
MATEMÁTICA P.T. PARTE 02 5.
Escala
Longitud en el plano Longitud de tamaño real
1 cm 720 cm
6.
7.
H
= altura real del objeto
1 30
40 cm H
1 20
X H
A 2
B 8
A+ B 11
;
Dividiendo ambas proporciones:
C 7
A+B+C 2+8+7
C 7
30 + C 17
C 7
A–B 5
AxB 144
A – B
=
5k
B = 3k
= 144 k
k = 6
(8 k) x (3 k) = 144 k
A B
C D
E F
(A + B) = 30
C = 21
A = 6x8
Rpta. C
A = 48
Rpta. B
k
Producto de antecedentes:
AxCxE =
Producto de consecuentes:
B x D x F = 2 304
Propiedad:
dato
k
A= 8k
B
Rpta. D
k
= 11 k
x
Rpta. E
X = tamaño del objeto en el dibujo
A + B
A
9.
X = 6 cm
X = 60 cm
Propiedad:
8.
X 4 320 cm
A x C x E B x D x F 288 2 304
288
k3 = k3
k = 1/2
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65
MATEMÁTICA P.T. PARTE 02 Propiedad:
A + C + E B + D + F
k
21 B + D + F
10. Sea:
C = cobra C = G
C – C G
+
1 2
;
B + D + F = 42
G = gasta
;
Rpta. A
A = ahorra
A
G
= S/. 5 940
13 k 7k
…………. (1) C = 13 k
^
G
= 7k
Reemplazando en (1): 13 k – 7 k = 5 940
C = 13 x 990 = 12 870
4 k = 5 940 K =
990
G =
7 x 990 =
6 930
Sea X soles la cantidad en que debe de disminuir sus gastos diarios C G – X
9 2
12 879 6 930 – X
9 2
X = S/. 4 070
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Rpta. B
66
MATEMÁTICA P.T. PARTE 02
PROBLEMAS PROPUESTOS NIVEL I 1.
En un corral hay N aves (patos y gallinas). Si el número de patos es a N como 3 es a 7; y la diferencia entre patos y gallinas es 20. ¿Cuál será la relación entre patos y gallinas, luego de retirar 50 gallinas? A) 4 : 3
2.
B) 160
C) 170
D) 180
E) 190
B) S/. 3 000 C) S/. 3 200
D) S/. 3 500
E) S/. 4 000
B) 3 / 16
C) 1 / 5
D) 3 / 8
E) 1 / 8
La suma de los cuadrado de los 4 términos de una proporción geométrica continua es 7 225. Hallar la media proporcional, si la diferencia de extremos es 75. A) 85
6.
E) 2 : 3
En una carrera a dos vueltas sobre un circuito cerrado, A le ganó a B por 1/2 vuelta; y B le ganó a C por 1/4 de vuelta. Cuando A llega a la meta, hallar la fracción de vuelta con que B aventaja a C. A) 1 / 4
5.
D) 3 : 20
La cantidad de dinero que tiene A es a lo que tiene B como 7 es a 3. Si A le da a B la quinta parte de su dinero; y luego B le da a A la cuarta parte de lo que tiene ahora. Al final A tiene S/. 3 350. ¿Cuánto de dinero tenía A al principio? A) S/. 2 800
4.
C) 3 : 4
En una reunión hay 60 adultos, y por cada 5 jóvenes hay 7 niños. Luego llegan a la reunión 50 jóvenes, 40 niños y cierto número de adultos. ¿Cuántos adultos llegaron al final, si los jóvenes niños y adultos son ahora proporcionales a 5; 6 y 8 respectivamente? A) 150
3.
B) 2 : 1
B) 55
C) 80
D) 10
E) 20
En un tonel hay una mezcla de 63 litros de agua y 36 litros de vino, se extraen 22 litros del contenido y se añade al recipiente N litros de vino para tener finalmente una mezcla cuya relación es de 1 a 3 respectivamente. Hallar el valor de N.
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67
MATEMÁTICA P.T. PARTE 02 A) 80 7.
D) 119
E) 120
B) 18
C) 20
D) 24
E) 25
Cierto número de canicas se divide en tres grupos, cuyos números son proporcionales a los números 5, 7 y 11 respectivamente. Si del tercer grupo pasa al segundo grupo 8 canicas; en el tercer grupo queda el doble de lo que hay en el primer grupo, ¿Cuántas canicas hay finalmente en el segundo grupo? A) 50
9.
C) 110
A es la tercera proporcional de 24 y 12; B es la cuarta proporcional de 56, 7 y 64; C es la media proporcional de 256 y 4. Halle la cuarta proporcional de B, A y C. A) 16
8.
B) 60
B) 54
C) 58
D) 62
E) 64
Sean A y B dos cantidades: A es la cuarta proporcional de 12; 5 y 16, B es la media proporcional de 1 y 81. La correcta relación de orden entre A y B es: A) A < B
B) A = B
C) A > B
D) A +1= R
E) A2 < B
10. Se desea preparar una solución utilizando los componentes líquidos A, B y C en la proporción de 2; 5 y 8. Pero para preparar la solución le faltan 2 litros del componente B y 2 litros del componente C; los cuales son remplazados por el componente A, siendo la proporción final obtenida de 2; 3; X. Hallar X. A) 3
B) 4
C) 5
D) 6
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E) 7
68
MATEMÁTICA P.T. PARTE 02
PROBLEMAS PROPUESTOS NIVEL II 1.
Se quiere cortar un tubo de acero de 2,75 m de longitud en razón directa de 2:3. Calcular las longitudes parciales.
2.
El diámetro y la longitud de un eje están en razón directa de 2:7. El diámetro del eje es de 40 mm. Calcular la longitud del eje.
3.
Los brazos de una palanca de 1,75 m de longitud están en relación directa de 3:7. ¿Cuál es la longitud menor cuando para la otra se miden 1,48 m.?
4.
Una chapa de acero de 800 x 1400 mm ha de ser representada en un dibujo en la proporción de 1:20 ¿Qué longitud tendrán los lados en el dibujo?
5.
La escala de un mapa automovilístico es de 1:500 000. ¿Qué longitud natural corresponde al trayecto de 4,5 cm medido en el mapa?
6.
Un trayecto de 2,875 Km de longitud está representado en un mapa con 11,5 cm. Determinar la escala del mapa.
7.
Un letrero advierte »Pendiente de 5% en 1200 m «. Calcular la altitud a superar.
8.
El diámetro y la longitud de un cono están en razón directa de 1:10. Calcular el diámetro correspondiente a la longitud de 150 mm.
9.
Una chaveta tiene una razón de inclinación de 1:20. ¿Qué altura corresponde a una longitud de chaveta de 140 mm?
10. En un plano inclinado alcanza una bola después de 6 segundos una velocidad de rodaje de 7,6 m/s. ¿Qué velocidad tiene la bola después de 8 segundos? 11. Calcular las proporciones de Cu y Sn para 42 kg de latón, cuando la relación es de 2:3. 12. Longitud y anchura de un paralelogramo rectángulo de 54 cm2 de superficie están en razón directa de 2,3. Calcular la longitud de los datos. ESTUDIOS GENERALES-NIVEL PROFESIONAL TÉCNICO
69
MATEMÁTICA P.T. PARTE 02
13. Dos ruedas dentadas engranan entre sí. Una rueda tiene 24 dientes y la otra 85. Calcular el número de revoluciones de la rueda grande cuando la pequeña efectúa 640 revoluciones.
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70
MATEMÁTICA P.T. PARTE 02
UNIDAD 11 MAGNITUDES PROPORCIONALES
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71
MATEMÁTICA P.T. PARTE 02
11.1. MAGNITUD. Es todo aquello susceptible de variación (aumento o disminución) y que puede ser medido.
11.2. CANTIDAD. Es el valor de un estado particular de la magnitud, posee dos partes: valor numérico y unidad. MAGNITUD Tiempo Longitud Temperatura Masa
CANTIDAD 60 h 15 m 35º C 40 kg
11.3. CLASIFICACIÓN DE MAGNITUDES. 11.3.1. Magnitudes Directamente Proporcionales ( D.P. ó ). Se sabe que al abastecer un carro en un grifo, cuanto más gasolina se coloque en el tanque, más soles pagará. Para tener una idea, basta observar en el cuadro de abajo, suponiendo que el precio de la gasolina por galón sea de S/. 8. GASOLINA (GALONES) 1 2 5 10 15 30
PRECIO (S/.) 8,00 16,00 40,00 80,00 120,00 240,00
Al colocar 1 galón de gasolina, se pagará S/. …………pero, si se colan 15 galones de gasolina, el precio será 15 veces mayor, o sea; 15 x 8.00 que es igual a S/. ………….. ESTUDIOS GENERALES-NIVEL PROFESIONAL TÉCNICO
72
MATEMÁTICA P.T. PARTE 02 Así, si se aumenta la magnitud “gasolina”, la otra magnitud “precio” (soles) aumentará el mismo número de veces, o sea, las magnitudes varían en el mismo sentido. Por tanto, dos magnitudes son DIRECTAMENTE PROPORCIONALES: Cuando al aumentar o disminuir los valores de una de ellas los valores correspondientes en la otra magnitud también aumentan o disminuyen en la misma proporción. Ejemplo de magnitudes directamente proporcionales: Número de libros y costo total. Si se compran libros, cada uno a S/. 2 (precio constante); a mayor cantidad de libros el costo total será mayor, pero; si compra menor cantidad de libros el costo total será menor.
Además, se verifica que la razón entre el número de libros y el costo total es CONSTANTE, esto es, la razón tiene siempre el mismo valor (0,25). 1 0,25 4
4 0,25 16
24 0,25 96
3 0,25 12
Entonces se puede escribir:
1 4 24 3 0,25 4 16 96 12 Interpretación geométrica.
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73
MATEMÁTICA P.T. PARTE 02 Conclusión. Si:
I. La gráfica de 2 magnitudes D.P. es una recta que pasa por el origen de coordenadas. II. En cualquier punto de la gráfica (excepto en origen de coordenadas) el cociente de cada par de valores correspondiente resulta una constante. III. La función de proporcionalidad directa será: F(X) = K x
K: pendiente (constante)
11.3.2. Magnitudes Inversamente Proporcionales ( I.P Ó
1 ).
Dos magnitudes son INVERSAMENTE PROPORCIONALES cuando al aumentar o disminuir los valores de una de ellas, los valores correspondientes en la otra magnitud disminuyen o aumentan en la misma proporción. Observar el cuadro que representa las velocidades de un auto y el tiempo empleado en recorrer una misma distancia: VELOCIDAD 90 km/h 60 km/h 45 km/h 36 km/h
TIEMPO 2 horas 3 horas 4 horas 5 horas
Disminuyendo la velocidad del auto, aumentará el tiempo empleado, luego la velocidad y el tiempo son magnitudes inversamente proporcionales. Observar, que el producto de dos valores correspondientes (velocidad y tiempo) es siempre el mismo. 90 x 2 = 180
;
60 x 3 = 180
;
45 x 4 = 180
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;
36 x 5 =180
74
MATEMÁTICA P.T. PARTE 02 Se puede finalmente concluir que: Interpretación Geométrica:
Conclusión.
valor
" A" I.P."B"
Si:
de A x valor de B Constante
Importante: I.
La gráfica de dos magnitudes I.P. es una rama de una hipérbola equilátera.
II.
En cualquier punto de la gráfica el producto de cada par de valores correspondientes, resulta una constante.
III.
La función de proporcionalidad inversa será: F(x )
K x
K: constante
PROPIEDADES: I.
II.
Si :
A D.P. B B D.P. C
Si: A I.P. B
o: A D.P. B
A D.P. C
A D.P. 1 B
A I.P. 1 B
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75
MATEMÁTICA P.T. PARTE 02 III.
Si: A D.P. B ( C es constante) A D.P. C ( B es constante)
A BxC
IV.
Si:
K
A I.P. B ( C es constante) A I.P. C ( B es constante) AxBxC =K
Nº obrerosx eficiencia x Nº días x h/d Constan te obra x dificultad
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76
MATEMÁTICA P.T. PARTE 02
PROBLEMAS RESUELTOS 1.
La magnitud A es D.P. a la magnitud B cuando A= 51, B = 3. Hallar el valor que toma B, cuando A = 34. Resolución: Se debe plantear:
A1 A2 B1 B2 51 34 3 x 2.
X=2
Del siguiente gráfico de magnitudes proporcionales, calcular (a + b)
Resolución: Se debe plantear:
a 24 51 3 10 b 85 5
a=6
;
b = 40
;
a + b = 46
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77
MATEMÁTICA P.T. PARTE 02 3.
La magnitud A es I.P. a B , además cuando A es igual a 6 entonces B es igual a 16. Halle B cuando A es igual a 4. Resolución: Se debe plantear:
A1 B1 A2 B2 6 16 4 x x = 36 4.
El precio de una casa es directamente proporcional al área e inversamente proporcional a la distancia que se encuentra de Lima. Si una casa ubicada a 65 Km cuesta S/. 135 000. ¿Cuánto costará una casa del mismo material, si su área es el doble y se encuentra a 120 Km de distancia de Lima? Resolución:
( precio )(distancia ) k, (área)
( k = constante )
Entonces:
(180 000) . (65) ( x) . (120) s 2s 5.
x = 295 000
Si “A” es el triple de rápido que “B”. Si juntos pueden hacer cierto trabajo en 12 días. ¿Cuánto tiempo le tomará a “A” hacerlo sólo?. Resolución: Sea R rapidez:
RA = 3 RB Días I.P. Rapidez (Días) . (Rapidez) = cte
Reemplazando valores: ( RA + RB ) x 12 = RA x X ( 3RB + RB ) x 12 = 3 RB x X 4 RB x 12 = 3 RB x X Simplificando:
X = 16
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78
MATEMÁTICA P.T. PARTE 02
EJERCICIOS DE REFUERZO Seguir los modelos para decir si las series siguientes representan sucesión de números directa o inversamente proporcionales: a)
Valores de magnitud
Q:
6
1
8
48
0,1
Valor de magnitud
R:
4
24
3
0,5
240
b)
Valores de magnitud
M:
0,4
10
16
13
0,1
2,5
Valor de magnitud
N:
2,4
60
96
78
0,6
15
18 108
Resolver los ejercicios para fijar lo que estudió sobre magnitudes proporcionales. 1.
Observar los ejercicios siguientes y responder: Valor de magnitud
x:
5
2
10
1
0,4
Valor de magnitud
y:
8
20
4
40
100
5
9
…..
…..
¿Cómo se denominan las magnitudes “x” e “y”?
2.
Completar: Valor de magnitud
A:
7
3
Valor de magnitud
B:
28
12
¿Cómo se denominan las magnitudes “A” y “B”?
3.
En estos ejercicios se tiene valores correspondientes a dos magnitudes directa o inversamente proporcionales. Completar conforme el caso: a)
b)
c)
Valor de magnitud
y:
10
25
2
….
5
Valor de magnitud
z:
20
8
….
4
….
Valor de magnitud
x:
2
3
1
Valor de magnitud
y:
6
9
Valor de magnitud
A:
….
Valor de magnitud
B:
20
24
0,5
69
90
7
….
….
….
….
….
….
….
7
….
….
….
….
….
40
35
100
10
8
45
15
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79
MATEMÁTICA P.T. PARTE 02 d)
Valor de magnitud
M:
6
1
8
48
Valor de magnitud
R:
4
….
3
….
…... 240
Corregir respuestas:
1.
5 x 8 = 2 x 20 = 10 x 4
= 1 x 40 = 0,4 x 100 = 40 Rpta.: inversamente proporcional.
2.
5
9
20
36 Rpta.
3.
a)
directamente proporcional
2
50
5
100
4
40
b)
3
72
1,5
207
270
21
c)
4
8
7
20
2
1,6
d)
4
24
3
0,5
0,1
9
11.4. REPARTO PROPORCIONAL. Consiste en distribuir una cantidad en partes proporcionales a ciertos números llamados “índices” del reparto; ya sea en forma directa o inversamente proporcional. 11.4.1. TIPOS DE REPARTO.
A.
REPARTO SIMPLE DIRECTO: Cuando las partes a obtener son proporcionales a los índices. Ejemplo: Repartir 400 en 3 partes que sean proporcionales a 2, 3 y 5.
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80
MATEMÁTICA P.T. PARTE 02 Resolución: Las partes serán: “2k” , “3k” y “5k” las cuales deben sumar 400, entonces: 2 k + 3 k + 5 k = 400 K ( 2 + 3 + 5 ) = 400
K = 40
Suma de índices Constante de reparto Ahora, damos lo que le toca a cada uno: 2 (40) = 80
;
3 (40)
= 120
;
5 (40) = 200
Método Práctico:
PARTES
400
D.P.
A
2k
B
3k
C
5k
+
k = 400 = 40 10
10k Luego: A = 2 (40) = 80
;
B = 3 (40) = 120
;
C = 5 (40) = 200
Observación: Si a los índices de un reparto, se dividen o multiplican por un mismo número positivo, el reparto no varia es decir se obtiene las mismas partes. Ejemplo: Repartir 470 en 3 partes que sean proporcionales a los números:
5 ; 6
3 ; 8
3 4
Resolución: Es conveniente que los números proporcionales sean enteros, entonces buscamos números que estén en la misma relación que las fracciones; para ello es necesario considerar el MCM de los denominadores, para multiplicar a los índices. MCM ( 6 ; 8 ; 4) = 24 ESTUDIOS GENERALES-NIVEL PROFESIONAL TÉCNICO
81
MATEMÁTICA P.T. PARTE 02 PARTES A
470
5 x 6
:
D.P 24
= 20 k
=
B
:
3 x 8
24
C
:
3 x 4
24
=
K
9k
470 10 47
18 k 47 k
Luego las partes serán: A = 20 (10); B = 9 (10); C= 18 (10)
B.
REPARTO INVERSO.
Recordando que: ( “A” IP “B” )
( “A” DP
“1” ) B
Inversamente Proporcional
Directamente Proporcional
Entonces para repartir una cantidad en forma inversamente proporcional a ciertos índices, es suficiente repartir directamente proporcional a las inversas de los índices: Ejemplo: Repartir 390 en 3 partes que sean inversamente proporcionales a los números de 6 ; 9 y 12. Resolución: Partes
390
I.P.
A :
6
B :
9
C : 12
Las partes serán: A = 6 (30) = 180;
D.P. 1 x 36 = 6 k 6 1 x 36 = 4 k 9 1 x 36 = 3 k 12 13 k
B = 4 (30) = 120;
k = 390 = 30 13
C = 3 ( 30) = 90
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82
MATEMÁTICA P.T. PARTE 02
C.
REPARTO COMPUESTO.
Se da cuando el reparto se hace en partes que son proporcionales a varios grupos de índices. Recordar: “A” D.P. “B” y también con “C” , entonces “A” D.P. (“B” x “C”).
Si:
EJEMPLO: Repartir 2 225 en 3 partes que sean D.P. a los números: 3 , 5 y 8 e I.P. a los números 4, 6 y 9. Resolución: MCM ( 4, 6, 9 ) = 36 Partes D.P.
2 225
I.P. D.P.
A :
3
4
B :
5
6
C :
8
9
1 3 x 1 = 3 x 36 = 4 4 4 1 5 x 1 = 5 x 36 = 6 6 6 1 8 x 1 = 8 x 36 = 9 9 9
27k 30k
k = 2225 = 25 89
32k 89k
Las partes son: A = 27 (25 ) = 675
;
B= 30 ( 25 ) = 750
y
C = 32 ( 25 ) = 800
REGLA PRÁCTICA PARA EFECTUAR UN REPARTO COMPUESTO Primero :
Se convierte la relación I.P. a D.P.
Segundo:
Los grupos de los índices D.P. se multiplican.
Tercero :
Se efectúa el reparto simple directo a los nuevos índices.
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83
MATEMÁTICA P.T. PARTE 02
PROBLEMAS RESUELTOS 6.
Repartir el número 32 en partes D.P. a los números 3, 5 y 8
Resolución: Partes D.P.
32
A :
3
3k
B :
5
5k
C :
8
8k 16 k
k = 32 = 2 16
Las partes son: A = ………………
B = ………………….
C = …………………
Luego los valores que satisfacen al problema son: 6 , 10 y 16.
7.
Repartir el número 63 en partes D.P. a los números 2, 3 y 4.
Resolución: Partes 63
A : B : C :
D.P. …. .… ….
…. …. …..
k
Luego los valores son: A = ………….….,
…… = …… ……
B = ……………,
C = ………………
Comparar respuestas: 6)
A=3(2)=6
7) ….
las partes son:
,
: : :
B = 5 ( 2 ) = 10
DP 2 3 4
A = 2 ( 7 ) = 14
2k 3k 4k 9k ,
,
C) = 8 ( 2 ) = 16
+
B = 3 ( 7 ) = 21
k
y
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63 9
7
C = 4 ( 7 ) 28 84
MATEMÁTICA P.T. PARTE 02
Resolver: 8.
Una firma instituye un premio de S/. 470 para ser distribuido entre sus trabajadores en orden inverso a las faltas de los mismos. Al final del semestre éste debe distribuirse entre tres trabajadores que tienen 3, 5 y 4 faltas, respectivamente. ¿Cuánto recibe cada uno?
9.
Una mezcla de bronce tiene 5 partes de cobre, 3 de estaño y 2 de zinc. ¿Cuántos Kg. de cada metal serán necesarios para preparar 40 Kg. de esa mezcla?
Corregir:
8) Partes
470
I.P. D.P.
A :
3
B :
5
C :
4
1 x 60 3 1 x 60 5 1 x 60 4
, MCM ( 3, 5 4 ) = 60 = 20 k = 12 k
+
k = 470 = 10 47
= 15 k 47 k
Las partes serán: A = 20(10 ) = 200
;
B = 12 (10) = 120
;
C = 15 ( 10) = 150
9)
40
: : :
5 3 2
DP 5k 3k 2k 10 k
+
k = 40 = 4 10
Las partes son: A = 5 ( 4 ) = 20 Kg cobre B = 3 ( 4 ) = 12 Kg estaño C=2(4)=
8 Kg zinc
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85
MATEMÁTICA P.T. PARTE 02
PROBLEMAS PROPUESTOS NIVEL I 1. Se tienen dos magnitudes A y B, tales que: A = 8, B = 6. Hallar A, si B = 2. A) 218
B) 212
C)216
D) 220
3
A
es I.P. a B. Si cuando
E) 228
2. Si el peso de un elefante blanco es D.P. a sus años, si un elefante tuviera 360 Kg, entonces su edad sería 32 años. ¿Cuántos años tendrá sabiendo que pesa 324 Kg? A) 28A, 294 D
B) 27A, 280D
C) 27A, 294D
D) 28A, 292D
E) 30ª
3. El área cubierta por la pintura es proporcional al número de galones de pintura que se compra. Si para pintar 200 m 2 se necesitan 25 galones. ¿Qué área se pintará con 15 galones? A) 367
B) 300
C) 100
D) 320
E) 120
4. Manolo descubre que los gastos que hace en celebrar su cumpleaños son D.P al número de invitados e I.P. a las horas que ocupa en preparar la reunión. Si la última vez gastó S/. 1 200; invitó a 100 personas y ocupó 12 horas. ¿Cuánto ahorrará invitando 20 personas menos y ocupando 4 horas más? A) 480
B) 230
C) 460
D) 320
E) 485
5. Una rueda A de 60 dientes engrana con otra de 25 dientes. Fija al eje de esta última hay una tercera de 40 dientes que engrana en una rueda B de 75 dientes. Si A da una vuelta cada 2/3 segundos. ¿Cuántas vueltas dará B en 2 horas 30 minutos? A) 36750
B) 17280
C) 46000
D) 32000
6. Repartir 22 270 inversamente proporcional a como respuesta la menor de las 3 partes. A) 3675
B) 2300
C) 4600
D) 3200
E) 48000 5 (n + 2);
5(n + 4); 5(n + 5). Dar
E) 4800
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86
MATEMÁTICA P.T. PARTE 02
32 ; 72 ; 162 7. Repartir “N” directamente proporcional a los números obteniendo que la media geométrica de las partes obtenidas es 4/19 de “N” más 578. Hallar “N”. A) 3600
B) 2300
C) 2100
D) 4200
E) 1800
8. Una herencia dejada por un padre a sus tres hijos se repartió I.P. a sus edades siendo; 12 ; n ; y 24 años si el reparto hubiera sido D.P. a sus edades, el que tiene “n” años hubiera recibido los 13/12 de lo que recibió. Calcular el valor de “n”. A) 13
B) 18
C) 15
D) 16
E) 17
9. Al repartir 22 050 directamente proporcional a las raíces cuadradas de los números 7,2; 9,8 y 12,8. ¿En cuánto excede la parte mayor a la parte menor? A) 3600
B) 2300
C) 2100
D) 4200
E) 1800
3
1
3
10. Repartir 33 000 en 4 partes que sean D.P. a los números. 7 ; 3 ; 8 ; 0,5; indicar una de las cantidades. A) 8000
B) 6720
C) 10000
D) 10
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E) 100
87
MATEMÁTICA P.T. PARTE 02
PROBLEMAS PROPUESTOS NIVEL II
REPARTOS PROPORCIONALES. En este tipo de problemas se divide un total en varias partes que han de ser proporcionales a ciertos números dados.
1. Tres hermanos se han repartido cierta cantidad de dinero en partes proporcionales a sus edades. Si el mayor tiene 23 años y le han correspondido S/. 184, ¿cuánto se llevará cada uno de los otros dos que tienen 15 y 12 años, respectivamente?
2. Repartir 559 en partes proporcionales a 4, 4, 3 y 2. 3. Se ha encargado a un orfebre el diseño y la fabricación de un trofeo que ha de pesar 5 kg y ha de estar fabricado con una aleación que contenga tres partes de oro, tres de plata y dos de cobre. ¿Qué cantidad se necesita de cada metal? 4. Se ha pagado S/. 37500 por tres parcelas de terreno de 7,5 Ha, 4 Ha y 36000 m2, respectivamente. ¿Cuánto ha costado cada parcela? 5. La nómina de una empresa asciende a 1,5 millones de nuevos soles. Un doceavo corresponde a los sueldos de los directivos, tres doceavos a los sueldos de los técnicos y ocho doceavos a los de los obreros. ¿Qué cantidad corresponde a cada grupo? 6. Para fabricar una pieza de tela de 1,10 m de ancho y 65 m de largo, se necesitan 35,75 kg de algodón. ¿Cuánto pesará una pieza de tela de la misma clase que mide 0,95 m de ancho y 120 m de largo? 7. Un grifo arroja 100 litros de agua por minuto y otro arroja 80 litros en el mismo tiempo. ¿Cuánto tardarán, entre los dos ,en llenar un depósito de 540 litros?
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88
MATEMÁTICA P.T. PARTE 02 8. La ruedas delanteras de una locomotora tienen un radio de 0,45 m y las traseras, 0,65 m. ¿Cuántas vueltas darán las primeras mientras las segundas dan 2600 vueltas? 9. Una pieza de cierta aleación metálica contiene 24 g de cobre, 5 g de estaño y 15 g de níquel. Si en la fabricación de una partida de esas piezas se han invertido 84 kg de cobre, ¿Cuáles son las cantidades de estaño y níquel empleadas?
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89
MATEMÁTICA P.T. PARTE 02
UNIDAD 12 REGLA DE TRES
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90
MATEMÁTICA P.T. PARTE 02 CONCEPTO Es una de las más usuales aplicaciones de la proporcionalidad que consiste en calcular el valor desconocido de una magnitud relacionado dos o más magnitudes y esta puede ser regla de tres simples o bien regla de tres compuesta.
12.1.
REGLA DE TRES SIMPLE (R3S).
Es Cuando intervienen dos magnitudes proporcionales de las cuales se conocen tres valores, dos pertenecientes a una de las magnitudes y la tercera a la otra magnitud y debemos calcular el cuarto valor. La R.3.S. Puede ser de dos tipos: R3S DIRECTA. Se plantea cuando las magnitudes que intervienen son directamente proporcionales (D.P). EN GENERAL: Dada las magnitudes A y B directamente proporcionales los valores a; b; c y la incógnita “X”. Se plantea así:
Supuesto: Pregunta:
MAGNITUD A a b (D)
MAGNITUD B c ……………………. X
Como son magnitudes directamente proporcionales se está indicando por (D) y aplicando la definición se tiene: a b c x Despejando la incógnita “X” x
bc a
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91
MATEMÁTICA P.T. PARTE 02 REGLAS PRÁCTICAS. REGLA 1°.Una vez planteado se multiplica en “aspa”; es decir, de se efectúa: a. X b.c
x
bc a
REGLA 2°. Del planteado la incógnita “X” es igual al valor que está sobre b él, multiplicado por la fracción . a X = c.
b a
Se coloca de manera diferente como se indica en el planteo
EJEMPLO (1): Si 3 limas cuestan S/. 144, ¿Cuánto se pagará por 7 limas iguales que las primeras? RESOLUCIÓN. Las magnitudes que intervienen son la magnitud de cantidad de limas y el costo las cuales son D.P. porque a mayor cantidad de limas el costo será mayor y a menor cantidad de limas el costo será menor y se plantea:
Supuesto: Pregunta:
Cantidad Limas
Costo (s/.)
3 7 (D)
144 X
Aplicando la 2da regla práctica, se tiene: x 144.
7 336 soles 3
OBSERVACIÓN: Para aplicar esta regla práctica es necesario que la incógnita se ubique en la segunda fila además se está indicando con (D) porque son directamente proporcionales. ESTUDIOS GENERALES-NIVEL PROFESIONAL TÉCNICO
92
MATEMÁTICA P.T. PARTE 02
EJEMPLO (2): Esmeralda al comprar 5 revistas gastó “x” soles pero si hubiera comprado 12 revistas el gasto sería S/, 28 más. Hallar el valor de X. RESOLUCIÓN. Del enunciado se nota que intervienen las magnitudes N° de revistas y el gasto respectivo, el cual se plantea del modo siguiente: Nº REVISTAS
Costo (s/.)
Supuesto:
5
X
Pregunta:
12 (D)
X + 28
En este caso es conveniente utilizar la primera regla práctica por lo cual se multiplica en “aspa”: 5 (X + 28) = 12X 5X + 140 = 12X 140 = 7X X = 20 R3S INVERSA. Resulta de comparar dos magnitudes inversamente proporcionales (I.P) EN GENERAL: Dada las magnitudes A y B inversamente proporcionales los valores a, b y c y a incógnita “X” se plantean:
Supuesto: Pregunta:
MAGNITUD A a b (I)
MAGNITUD B c …………… X
Por definición de magnitudes inversamente proporcionales
x.b c.a x c.
a b
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93
MATEMÁTICA P.T. PARTE 02
REGLAS PRÁCTICAS: REGLA Nº 1. Una vez planteado se multiplica en “Línea” y éstas deben ser iguales, tal como se ha hecho en la solución anterior. REGLA Nº 2. Del planteo (β) la incógnita “X” es igual al valor que se encuentra a sobre ella multiplicado por la fracción ; es decir, se copia Igual como está en b el planteo.
a X c. b
Se copia Igual como está en el planteo
EJEMPLO 3: ¿En qué tiempo 2 albañiles pueden hacer un muro, que un albañil lo hace en 8 horas? RESOLUCIÓN. Del enunciado se nota que las magnitudes que intervienen son número de albañiles y el tiempo los cuales son inversamente proporcionales, ya que a mayor número de albañiles se demora menos tiempo y a menor número de albañiles mayor tiempo, por lo cual se plantea:
Supuesto: Pregunta:
N albañiles
Tiempo (horas)
1 2 (I)
8 t
Para hallar el valor de “t” se aplica la REGLA Nº 2: t 8.
1 4horas 2
EJEMPLO 4: Un móvil a una velocidad de 90km/h emplea X horas para recorrer un trayecto pero si aumenta su velocidad a 120 Km/h empleara 2 horas menos. Hallar X. RESOLUCIÓN. Se sabe que a mayor velocidad demora menos tiempo y viajando a menor velocidad demora más tiempo lo cual indica que la velocidad y el tiempo son I.P. ESTUDIOS GENERALES-NIVEL PROFESIONAL TÉCNICO
94
MATEMÁTICA P.T. PARTE 02
Supuesto: Pregunta:
VELOCIDAD 90 120 (I)
TIEMPO X X - 2
En este caso conviene utilizar la REGLA Nº 1 y para ello se multiplica en” Línea”: 90(x) = 120 (x – 2) 3x = 4x – 8 x 8 NOTA: En una regla de tres cuando se conocen tres valores de los cuatro es conveniente aplicar la regla Nº 1 ya sea del D.P como el ejemplo (1) y (3). En una regla de tres cuando se conocen dos valores de los cuatro es conveniente aplicar la regla Nº 2 ya sea multiplicar en aspa si es D.P o multiplicar en línea si es I.P. como el caso del ejemplo (2) y (4). Los valores correspondientes a una misma magnitud o columna se pueden dividir o multiplicar por el mismo valor y el resultado no se altera.
12.2.
REGLA DE TRES COMPUESTA (R.3.C).
Se plantea cuando intervienen más de dos magnitudes. MÉTODO DE SOLUCIÓN. Existen varios métodos de solución pero en este caso vamos a utilizar las reglas prácticas que se han estudiado en R.3.S directa e inversa y para ello se van a seguir los siguientes pasos: 1º. Se reconocen las magnitudes que interviene en el problema 2º. Se disponen los datos de manera que los valores pertenecientes a una misma magnitud se ubique en una misma columna y es adecuada que estén en las mismas unidades. 3º. En la primera fila (supuesto) se colocan los datos y en la segunda fila (pregunta) los demás incluido la incógnita. ESTUDIOS GENERALES-NIVEL PROFESIONAL TÉCNICO
95
MATEMÁTICA P.T. PARTE 02 4º. La magnitud en la cual se ubica la incógnita se compara con las demás, indicando en su parte inferior si es directamente proporcional por (D) y si es inversamente proporcional con (I). 5º. El valor desconocido o incógnita es igual al valor que se encuentra sobre ella por las diferentes fracciones que se conforman en cada magnitud si es D.P. se coloca de manera Diferente y si es I.P se copia Igual. EJEMPLO (5). Qué rendimiento deben tener 6 obreros que en 16 días trabajando 9h/d han hecho 21m3 de una obra cuya dificultad es como 3 si para hacer 14 m 3 de la misma obra de 5 como dificultad se empleara 8 obreros de 60% de rendimiento durante 12 días de 8 h/d. RESOLUCIÓN.
RENDIMIENTO
Nº OBREROS
Nº DIAS
H/D
Supuesto
60%
8
12
8
14
5
Pregunta
X%
6
16
9
21
3
X
%
OBRA
DIFICULTAD
(I)
(I)
(I)
(D)
(D)
Igual
Igual
Igual
Diferente
Diferente
= 60%.
8 12 8 21 3 . . . . 48% 6 16 9 14 5
NOTA:
Cuando en una R.3.C intervienen la magnitud número de obreros y el rendimiento de c/u se multiplican porque son I.P y se reemplaza por una sola magnitud que sería el rendimiento total.
Si en un problema se tiene el número de días y las horas diarias ambas se multiplican y se reemplazan por una sola magnitud que sería el tiempo.
Igualmente si se tiene la obra y su respectiva dificultad ambas se multiplican y se reemplazan por la magnitud obra.
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96
MATEMÁTICA P.T. PARTE 02 RENDIMIENTO TOTAL
TIEMPO
OBRA
60 % • 8
12. 8 2
14..5 10
x%•6
16..9 3
21..3 9
(I)
(D)
2 9 X % 80%. . 48% 3 10
PROBLEMAS PROPUESTO NIVEL I Resolver los siguientes problemas: 1)
18 tornillos hexagonales cuestan s/. 3,20. ¿Cuánto cuestan 5 tornillos?
2)
Un obrero gana 528 nuevos soles en 48 horas. ¿Cuánto gana por hora?
3)
Tres aprendices efectúan un trabajo en 2 ½ días ¿Qué parte del trabajo realizan en un día?
4)
Dos planchas de chapa de acero pesan 31,2 kg. ¿Cuál es la masa referida a la superficie de cinco planchas de magnitudes idénticas?
5)
Determinar la masa referida a la longitud de una barra perfilada de 1 m cuando para 6,1 m se da una masa de 32 kg.
6)
Una polea de transmisión con un diámetro de 120 mm efectúa 1200 revoluciones. ¿Cuál es el número de revoluciones de la polea accionada de 720 mm de diámetro?
7)
Un automóvil consume 8,4 litros de gasolina por 100 km. ¿Qué trayecto puede recorrer con 40 litros en el tanque?
8)
Un automóvil recorrió 33 km en 12 minutos. ¿Cuál era su velocidad de marcha en km/h?
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97
MATEMÁTICA P.T. PARTE 02 9)
Una rueda dentada impulsadora con 42 dientes ejecuta 96 revoluciones. ¿Cuántos dientes ha de tener la rueda accionada para que ejecute 224 revoluciones?
10) Una bomba transporta en 2 horas 1200 l de agua. ¿Cuánto tiempo se necesita para vaciar un sótano inundado de 2x1, 5 x 3 m? 11) Para la obtención de 40Kg de bronce se necesitan 2,4 kg de estaño ¿Cuánto estaño es necesario para 122 kg de bronce? 12) Cuatro obreros roblonan 480 remaches en 3 horas. ¿Cuántos remaches roblonan 2 obreros en 4 horas?
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98
MATEMÁTICA P.T. PARTE 02
PROBLEMAS DE REFUERZO-NIVEL II. 1)
Para recorrer 44 km en 2 horas; una persona dio 60 000 pasos, si sus pasos son de igual longitud. ¿Cuántos pasos dará para recorrer 33 km en 3h? A) 44000
2)
Un trabajo puede ser hecho por 16 hombres en 38 días. Si 5 hombres aumentaron su rendimiento en un 60 %, ¿en que tiempo terminaron el trabajo? A) 30
3)
B) 45 000 C) 44000 D) 33 000 E) 30
B) 26
C) 32
D) 25
E) 40
Un reloj que marcaba las O horas se adelanta 6 minutos en cada hora. ¿Dentro de qué tiempo marcará la hora exacta? A) 3 días B) 4 días C) 5 días D) 6días E) 7 días
4)
Una persona demora 10 horas para construir un cubo compacto de 9 dm de arista. Después de 320 horas de trabajo.¿Qué parte de un cubo de 36 dm de arista se habrá construido? A)
5)
1 2
B)
Una obra
1 4
C)
puede
1 5
D)
1 6
E)
ser realizada
1 3
por 6
obreros
en 20 días ¿Cuántos
obreros más se necesitarán para hacer el mismo trabajo en las
3
10
partes de ese tiempo? A) 14
6)
B) 12
C) 20
D) 15
E) 18
En 9 litros de agua se han disuelto 580 gramos de azúcar ¿Cuántos litros de agua serán necesarios añadir para que el litro de la mezcla tenga 29 gramos de azúcar? A) 8 l
B) 9 l C) 10 l
D) 11 l
E) 20 l
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99
MATEMÁTICA P.T. PARTE 02
7)
Si 8 obreros hacen una obra en 20 días y después de 5 días se retiran 3 obreros. ¿Cuántos días se retrasará la obra? A)4
8)
B)5
D)9
E) 15
Si 10 obreros trabajando 8 horas diarias emplean 12 días para terminar un trabajo.¿Cuántos días emplearan 5 obreros, trabajando 6 horas diarias para hacer el mismo trabajo? A)8
9)
C)8
B) 18
C) 24
D) 32
E) 34
Se tiene un cubo de madera que cuesta S/.1 920.¿Cuánto costará un cubo cuya arista sea los 5/4 de la arista anterior? A)
S/.3 750 B)S/.3 850 C)S/.4 530 D)S/.1 890
E)S/.3 560
10) Si 15 obreros van a hacer una obra en 30 días trabajando 10 horas diarias y después de 8 días se acordó que la obra termine 12 días antes del plazo.¿Cuántos trabajadores deben contratarse , teniendo en cuenta que se aumento 1 hora de trabajo diario? A)8
B) 12
C) 15
D) 18
E) 20
11) Si 12 obreros pueden hacer una obra en 21 días .Si 8 de ellos aumentan su rendimiento en 60%, qué tiempo empleará para realizar la obra. A) 12
B) 15 C) 18
D) 24
E) 17
12) Un ingeniero puede construir 600 metros de carretera con 40 hombres ,en 5 días , trabajando 8 h/d ¿Cuántos días tardara este ingeniero en construir 800 metros de carretera con 50 obreros doblemente eficientes que los anteriores en un terreno de triple dificultad, trabajando 2 horas más por día? A)4
B)5
C)8
D)9
E) 15
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100
MATEMÁTICA P.T. PARTE 02 13) Despepitando 8250 kg de ciruelas se ha obtenido 6750kg de pulpa. ¿Cuál sería el importe que se tendría que gastar para obtener 9 kg de pulpa?, si las ciruelas se compran a razón de S/. 0.81 el kg. A) SI. 91,81 B) SI. 8,91 C) SI. 8,80 D) S/. 72,90
E) SI. 7,29
14) Quince obreros han hecho la mitad de una obra en 20 días. En ese momento abandonan el trabajo cinco obreros. ¿Cuántos días tardarán en terminar el trabajo los obreros que quedan? A) 24 B) 26
C) 28
D) 30
E) 32
15) Un auto va de P a Q y llega a cierta hora; si aumentara su velocidad un 50 % ahorraría 2 horas. ¿En qué porcentaje debe aumentarla, si quiere llegar una hora antes? A) 100%
B) 15%
C) 20%
D) 25 E) 40%
16) Un reloj que da las horas por campanadas demora 6 segundos en dar las 4. ¿Cuánto demorará en dar las 8? A) 15s B) lOs C) 16s D)12s E) 14s 17) Un reloj que marcaba las O horas se adelanta 6 minutos en cada hora. ¿Dentro de qué tiempo marcará la hora exacta? A) 3 días B) 4 días C) 5 días D) 6días E) 7 días 18) Se sabe que 15 hombres y 10 mujeres pueden cosechar 20 hectáreas de trigo en 40 días, después de 10 días de trabajo se retiran 5 hombres y 5 mujeres. Determinar con cuántos días de retraso se termina la cosecha si el trabajo que realiza un hombre equivale al de 2 mujeres. A) 18
B) 15 C) l2
D) l0
E) 9
19) A y B hacen un trabajo normalmente en 18 y 24 días respectivamente. El primero aumenta su rendimiento en 20 % y el segundo en 50 %. Si trabajan juntos, ¿en cuántos días harían el trabajo (aproximadamente)? A) 5
B) 6
C) 7
D) 8
E) 9
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MATEMÁTICA P.T. PARTE 02
20) Para pintar una casa, 1ero se pasa la primera mano, luego el acabado. Hugo y Carlos se disponen a pintar una casa a las 6:00 a.m. Carlos el encargado del acabado espera que Hugo pinte durante 3 horas aduciendo que él lo hace en 2 horas lo que hasta ese momento Carlos ha hecho. Si terminaron simultáneamente el trabajo a qué hora fue. A) l p.m
B) 2 p.m C) 3p.m D) 4p.m E) 5 p.m
21) Un obra puede ser hecha por 36 obreros en 20 días de 8 h/d pero a los 8 días de iniciada la obra se les indicó que la obra aumentaba en un 20% , por lo que en ese mismo instante se contratan “n” obreros adicionales para cumplir con el plazo fijado. Sin embargo, luego de “D” días más se observó que a partir de este momento sólo 8 obreros mantienen su rendimiento y el resto disminuyó en un 40%, por lo que la obra se terminó con 5 días de atraso. Calcular “D” A) 1
B) 2
C) 3
D) 4
E) 5
22) 120 obreros pueden realizar una obra en 40 días. Después del primer día se retira la mitad y trabajan 2 días; luego se retira la 1/3 parte de los que quedan y trabajan 3 días y más tarde se retira 1/4 del resto y trabajan 4 días ;así sucesivamente hasta que se retira 1/n; de esta manera se realiza 3/20 de la obra. Halle “n” A) 10
B) 8 C) 6
D) 7
E)5
23) Un grupo de 15 máquinas pueden completar un trabajo en 24 días.¿Cuántas máquinas adicionales, cuya eficiencia es el 60 % de los anteriores se necesitan si el trabajo aumenta en un 80 %, pero se sigue teniendo 24 días para completarlo? A) 20
B)5 C) 40
D) 25
E)36
24) En cuántos días se atrasara una obra si faltando 10 días los obreros bajan su rendimiento en un 25%. La jornada diaria es de 9 horas A) 3d 3h B) 11d 3h C) 13d 3h D)15d E) 16d 4h
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MATEMÁTICA P.T. PARTE 02
25) Un ingeniero puede construir un tramo de autopista en 3 días con cierta cantidad de máquinas; pero emplearía un día menos si le dieran 6 máquinas más. ¿En cuántos días podrá ejecutar el mismo tramo con una sola máquina? A) 36
B) 42
C) 48 D) 30
E) 33
26) Una obra puede ser hecha por 24 obreros en 21días .¿Cuántos obreros hay que añadir para que la obra se termine en 12 días ? A) 14
B)15 C)16
D)17
E)18
27) Si 36 obreros cavan 1800 metros de una zanja diaria .¿Cuál será el avance diario cuando se ausenten 18 obreros? A) 70 m
B) 809 m
C) 900 m
D) 600 m
E) 100 m
28) Dos ruedas cuyos diámetros , son 13m y 20,8m están movidas por una correa , cuando la menor da 208 revoluciones .¿Cuántas revoluciones da la mayor? A ) 137 B)137,2
C)130
D)133,7
E)135
29) 12 obreros pueden hacer una obra en 29 días .Después de 8 días de trabajo se retiran 5 obreros .¿Con cuántos días de retraso se entregará la obra? A )15
30)
B)30 C)16 D)18
E)20
Johana es el doble de rápida que Esmeralda y ésta es el triple de rápida que Rossmery .Si entre las tres pueden terminar una obra en 16 días .¿En cuántos días Esmeralda con Rossmery harán la misma tarea?
A) 22
B) 30 C) 15 D) 40
E) 64
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MATEMÁTICA P.T. PARTE 02
UNIDAD 13 PORCENTAJE E INTERÉS SIMPLE
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MATEMÁTICA P.T. PARTE 02
13.1. PORCENTAJE. En matemáticas, un porcentaje es una forma de expresar un número como una fracción de 100 (por ciento, que significa “cada 100”). Es a menudo denotado utilizando el signo porcentaje %. 20 1 20 Por Ciento = = 20 x = 20 % 100 100 %
1 100
13.2. TRANSFORMACIÓN DE PORCENTAJE A NÚMERO. Todo porcentaje puede ser expresado como número, se convertir en fracción con denominador 100; por ejemplo: 20 1 a) 20% = = 100 5 60 3 b) 60% = = 100 5 1 24 1 3 c) 2,4% = 2,4 = = 100 10 100 125 2 1 1 d) 0,002% = = 1000 100 50000 12 12 1 3 e) % = = 17 100 17 425
13.3. TRANSFORMACIÓN DE NÚMERO A PORCENTAJE. Todo número puede ser expresado como porcentaje, multiplicando dicho número por 100 %. Ejemplos: a) 1 b) 3 c) 0,25 d)
3 5
e)
2
< > 1 x 100% = < > 3 x 100% = < > 0,25 x 100% = 3 x 100% = 5
4 14 x 100% = 5 5
100 % 300 % 25 % 60 % 280 %
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MATEMÁTICA P.T. PARTE 02
13.4. ADICIÓN Y SUSTRACCIÓN DE PORCENTAJES DE UNA MISMA CANTIDAD. Se puede sumar y restar porcentaje de una misma cantidad. Ejemplos I: a) 30%.A + 10%.A – 5%.A = 35%.A b) 7%.45%.B + 13%.45%.B = 20%.45%.B c) 37%.40%.25%.B + 23%.40%.25%.B - 20%.40%.25%.B = 40%.40%.25%.B Ejemplos II: a) Una cantidad más su 20% = 120% de la cantidad b) Mi edad menos su 30% = 70% de mi edad c) “C” menos su 40% = 60% “C”
13.5. PROBLEMAS DE APLICACIÓN. Problemas I: a) Hallar el 30% de 6000. Solución: Recordar que “de”, “del” y “de los”, en el lenguaje matemático representa a la operación de la multiplicación. 30% de 6000
=
30 6000 = 100
180
b) Hallar el 0,4% de 50000 Solución: 0,4% de 50000
=
4 1 50000 = 10 100
200
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MATEMÁTICA P.T. PARTE 02 c) Hallar el 3% del 20% del 5% de 6 x104 Solución: 3% del 20% del 5% de 6 x104 =
3 20 5 6 104 = 18 100 100 100
d) Si Esmeralda recibe el 32 % de 200 soles ¿Cuánto no recibe?
e) Calcular el porcentaje de los siguientes números: 1a. 10% de 2860
1b. 10% de 1280
1c. 50% de 4970
2a. 10% de 3060
2b. 10% de 1340
2c. 10% de 50
3a. 50% de 2710
3b. 10% de 2400
3c. 50% de 1060
4a. 10% de 3440
4b. 50% de 1520
4c. 50% de 1470
5a. 50% de 2500
5b. 50% de 1600
5c. 10% de 3860
6a. 50% de 1370
6b. 10% de 4940
6c. 10% de 100
f) Sombrear el porcentaje correspondiente a cada figura. ( 25%
25 1 100 4
a.
25% de la figura
)
b.
100% de la figura
c.
80% de la figura
(80% )
d.
50% de la figura
(50% )
(100% )
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MATEMÁTICA P.T. PARTE 02
e.
(60% )
60% de la figura
Problemas II: a) ¿20% de qué número es 70? Solución: 20% de que número es 70 20%.N = 70
20 N = 70 100
N = 350
b) ¿4 es el 0,25% de qué número? Solución: 0,25%.N = 4
25 1 N = 4 100 100
N = 1600
c) Si tuviera 30% más del dinero que tengo, tendría 260 soles ¿Cuánto es el dinero que tengo? Solución: Lo que tengo: T, entonces si tuviera 30% más; tendría 130% de T. 130 130%.T = 260 T = 260 T = 200 100 d) Si vendiera mi libro de razonamiento matemático en un 40% menos; costaría 6 soles. ¿Cuál es el precio real del libro? Solución: El libro “L” lo estaría vendiendo en un 60% de su valor real. 60 60%.L = 6 L = 10 L = 6 100 e) Jaime reparte su fortuna de la siguiente manera: a Rosa le da el 28% de la fortuna, a María el 32% y a Fidel los 160 soles restantes ¿De cuanto fue la Fortuna? Solución: ESTUDIOS GENERALES-NIVEL PROFESIONAL TÉCNICO
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MATEMÁTICA P.T. PARTE 02 Problemas III: a) ¿Qué porcentaje de 80 es 4? Solución: En el lenguaje matemático, “de” es una multiplicación y la palabra “es”, significa igual. x x% . 80 = 4 Rpta: 5% 80 = 4 x = 5 100 b) De 460 operarios que existen en una fábrica, 115 son mujeres. ¿qué tanto por ciento de los operarios no son mujeres? Solución: El personal que no son mujeres serán: 460 – 115 = 345 personas ¿Qué porcentaje de 460 es 345? x X%.(460) = 345 460 = 345 100
x = 75
Rpta 75%
c) En la figura ¿Qué porcentaje representa la parte sombreada? Solución: Si preguntan qué porcentaje representa la parte sombreada, es equivalente a que pregunten qué fracción está sombreada; ya que toda fracción se puede escribir como porcentaje. Por lo tanto, se hallará la fracción sombreada y luego se convertirá en porcentaje. A cada cuadrito se le asignará una “k”, total se tienen 64k.
k
Recordar: S
S S
S
“La diagonal de un paralelogramo divide a este en dos triángulos de igual superficie.”
Además en “todo paralelogramo al unir cualquier punto de uno de los lados con los extremos del lado opuesto se formará un triangulo, cuya superficie es la mitad del paralelogramo.” ESTUDIOS GENERALES-NIVEL PROFESIONAL TÉCNICO
S Área total: 2S
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MATEMÁTICA P.T. PARTE 02 Ahora se va a analizar por partes la figura: 9k
9k
16k
16k
El rectángulo contiene 32k por lo tanto la parte no sombreada del lado inferior derecho será 16k,
El rectángulo contiene 18k por lo tanto la parte no sombreada del lado superior 9k,
2k
9k
Trabajando en forma similar las otras partes, observamos que la parte no sombreada es 36k
Resumiendo: Total = 64k
;
No sombreado = 36k;
Sombreado = 64k – 36k = 24k
sombreado 24k 3 = = total 8 64k 3 Porcentaje sombreado = 100% = 37,5% 8
Fracción sombreada =
d) ¿0,0072 que porcentaje es de 0,36?
e) ¿Qué porcentaje del 80% del 40% de25 es el 0,8% del 20% de 100?
f) ¿Qué tanto por ciento representa la parte sombreada de la no sombreada? :
PROBLEMAS SOBRE PRECIO DE COMPRA Y VENTA. Rossmery es comerciante y realiza las siguientes transacciones comerciales según muestra los gráficos siguientes:
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MATEMÁTICA P.T. PARTE 02
PC: Precio de costo
Pv: Precio de venta
$ 100.00
$ 120.00 Ganancia de $ 20.00
Rossmery compra un TV a $ 100.00
Rossmery vende el TV a $ 120.00
PC
Pv
$ 100.00
$ 70.00 Pérdida de $ 30.00
Rossmery compra un TV a $ 100.00
Rossmery vende el TV a $ 70.00
Del ejemplo anterior se puede deducir lo siguiente: PV = Precio de Venta. PC = Precio de Compra o Precio de Costo G = Ganancia P = Pérdida PF: Precio Fijado o Precio de Lista
PV = PC + G PV = PC - P Pv: Precio de Venta $ 40.00
$ 100.00
Rossmery realiza un Descuento de $ 60.00
Rossmery desea vender un vestido y lo exhibe en su tienda a $ 100.00
Rossmery vende el vestido a $ 40.00
De lo cual se deduce que: PVENTA = PFIJADO O LISTA - Descuento
Si hubiera sido un aumento entonces: PVENTA = PFIJADO O LISTA + Aumento
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MATEMÁTICA P.T. PARTE 02 Problemas: a) Esmeralda compra un vestido en 120 soles ¿En cuánto debe venderlo para ganar el 15% sobre el precio de compra? Solución: PV = PC + G
Datos: Pc = 120 Pv = ? G = 15%.Pc
PV = 120 + 15%.(120) PV = 120 + 15%.(120) PV = S/ 138
b) Oswaldo compra un taladro pagando S/ 120, ¿hallar el precio de Lista, si le hicieron un descuento del 25%? Solución: Datos: Pv = 120 PF = ? Descuento = 25%.PF
PVENTA = PFIJADO O LISTA - Descuento 120 = PF - 25%. PF 120 = 75%. PF 120 =
75 PF 100
PF = 160
c) ¿Cuáles precio de venta de un artículo, cuyo precio de costo es 46 soles y la ganancia es el 8% del precio de venta? d) El precio de venta de un televisor es $150, en esta venta se ha perdido el 25% del precio de costo. Hallar el precio de costo. DESCUENTOS Y AUMENTOS SUCESIVOS. Este tipo de problema es cuando a una cantidad se le aplica varios descuentos o aumentos en forma sucesiva. Por ejemplo: PF
$ 8000.00
Se hace 3 descuentos sucesivos de 20%, 25% y 30% del precio inicial del auto: En el 1º descuento es del 20% de $8000, por lo tanto el nuevo precio será: PFINAL = 80%(8000)
Rossmery desea compra un auto cuyo precio de Lista es $ 8000.00
El 2º descuento es de 25% de 80%(8000) entonces el nuevo precio será:
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL TÉCNICO OPERATIVO
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MATEMÁTICA P.T. PARTE 02 PFINAL = 75%.80%(8000) El 3º descuento es del 30% del 75%.80%(8000), entonces el nuevo precio será: PFINAL = 70%.75%.80%(8000) = $ 3360 Entonces el descuento único fue de:
$8000 - $ 3360 = $ 4640
¿Qué % es el descuento único? X%.8000 = 4640 X 8000 = 4640 100
X = 58% (Descuento único)
Problemas: a) ¿Dos descuentos sucesivos del 20% y 40% equivalen a un descuento único de? Solución: Una forma práctica de resolver este tipo de problema será de la siguiente manera: PINICIAL = 100% PFINAL = 80%.100% PFINAL = 60%.80%.100% 60 80 PFINAL = 100% 100 100 PFINAL = 48%
Después de 1º descuento del 20% Después de 2º descuento del 40%
Descuento único = 100% - 48% = 52%
b) ¿Dos aumentos sucesivos del 20% y 30% equivalen a un aumento único de? Solución: PINICIAL = 100% PFINAL = 120%.100% PFINAL = 130%.120%.100% 130 120 PFINAL = 100% 100 100 PFINAL = 156%
Después de 1º aumento del 20% Después de 2º aumento del 30%
Aumento único = 156% - 100% = 56%
c) Un Artículo cuyo precio de lista es de $240, se vende haciendo 2 descuentos sucesivos del 25% y 15%. ¿Calcular el precio de venta? d) ¿Cuál era el precio de lista de un artículo si la venta fue de 204 soles luego de los descuentos sucesivos de 20% y 15%? ESTUDIOS GENERALES-NIVEL PROFESIONAL TÉCNICO
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MATEMÁTICA P.T. PARTE 02
VARIACIONES PORCENTUALES. Se denomina así al cambio que experimenta una cantidad, con relación a su valor original, y que es expresado en forma de Tanto Por ciento. Problemas: a) ¿En que porcentaje se ha incrementado el área de un rectángulo, si la base se incremento en un 20% y su altura en un 50%? Solución: Método I: h
Área Inicial = B.h < > 100% La Base aumenta el 20% y su altura aumenta en un 50%
B
Área Final = 120%B.150%h =
150% h
120 150 B.h 100 100
Área Final = 1,8.B.h 120% B
Aplicando regla de tres simple: Bh
100%
1,8 Bh
X
X = 100%.
1,8 Bh = 180% Bh
El aumento de área en porcentaje fue de: 180% Método II: Con este método no es necesario saber las formulas de áreas de los diferentes figuras planas, por que las constantes que existieran en dichas formulas se anularían. AINICIAL = 100% +20%
AFINAL
=
+50%
120% .150%
120 150% = 180% 100
El aumento de Área = 180% - 100% = 80% ESTUDIOS GENERALES-NIVEL PROFESIONAL TÉCNICO
114
MATEMÁTICA P.T. PARTE 02
b)
¿La base de un triángulo se ha incrementado en un 10% y la altura ha disminuido en un 40%. ¿En que porcentaje ha variado su área?
Solución: AINICIAL =
100% +10%
AFINAL
=
-40%
110% .60%
110 60% = 100
66%
El Área disminuye en: 100% - 66% = 34%
c)
¿En que porcentaje aumenta el área de un círculo, si su radio aumenta en un 30%?
Solución: Área del círculo es .r 2 = .r r , la dimensión de longitud “radio” se multiplica dos veces, entonces el aumento de 30 % se repetirá dos veces y la constante , se cancela. AINICIAL =
100% +30%
AFINAL
=
+30%
130% .130%
130 130% = 100
169%
El Área aumenta en: 169% - 100% = 69%
d)
¿La base de un triángulo aumenta en sus 3/5 y su altura disminuye a la mitad. ¿Cuánto % varía su área?
Solución: 3/5 equivale al 60%, entonces la base aumenta en 60% y su altura disminuye en un 50% AINICIAL = 100% +60%
AFINAL
=
-50%
160% .50%
160 50% = 100
80%
El Área disminuye en: 100% - 80% = 20% ESTUDIOS GENERALES-NIVEL PROFESIONAL TÉCNICO
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MATEMÁTICA P.T. PARTE 02 e)
El radio de una esfera disminuye en un 20% ¿En que porcentaje varia su volumen?
Solución: Nota: En caso de variación de volúmenes, con este método se tendría que realizar 3 variaciones porcentuales “Flechas”, por que la magnitud física de volumen es L3. VINICIAL =
100% -20%
VFINAL
=
-20% -20%
80% .80% .80% =
80 80 80% = 51,2% 100 100
El Volumen disminuye: 100% - 51,2% = 48,8%
RESOLVER: f)
¿En qué porcentaje varía el área de un paralelogramo, si su altura aumenta en un 10 % y su base disminuye en un 10%?
g)
Si la base de rectángulo disminuye en un 20%, ¿En que porcentaje debe de aumentar la altura para que su área aumente en un 25%
h)
Si el largo de un prisma rectángular disminuye en un 20% y su ancho aumenta en un 10%, ¿En que porcentaje debe de variar su altura, para que su volumen no varíe?
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MATEMÁTICA P.T. PARTE 02
PROBLEMAS PROPUESTOS (NIVEL I) 1.
Para una puerta se necesitaron 1,86 m 2 de una plancha de metal, la plancha de metal perdida por recortes fue de 0,2 m2, Calcular el recorte en %.
2.
Un obrero especializado trabaja a destajo por 9 dólares la hora. ¿En qué tanto por ciento supera su salario a destajo el salario normal de 7,20 dólares?
3.
Una taladradora usada se vende con 16% de descuento. El comprador paga 820,00 nuevos soles. ¿Cuánto hubiera costado la máquina sin descuento?
4.
Una pieza a trabajar tiene un peso bruto de 45,4 Kg. Con la elaboración pierde la pieza un 14% de su peso. Calcular el peso final.
5.
El alquiler mensual de un taller es de 1860,00 nuevos soles. Habiendo sido aumentado a S/. 3160,00. Calcular el porcentaje de aumento del alquiler.
6.
En una escuela vocacional hay 88 mecánicos, los que constituyen el 22% de todos los escolares. ¿Cuántos escolares tiene la escuela?
7.
Una aleación se compone de 27 kg de cobre y 18 kg de cinc. Calcular las proporciones de cobre y cinc en %.
8.
60 kg de fundición roja contienen 51,6 kg de Cu, 5,4 kg de Sn y 0, 6 kg de Pb; el resto es cinc. Calcular las proporciones en %
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MATEMÁTICA P.T. PARTE 02
PROBLEMAS RESUELTOS Y PROPUESTOS (NIVEL II). 1.
Determinar el 3% de 600 piezas.
Solución: Los datos desconocidos se disponen de igual manera que en la regla de tres directa. En total de piezas (600) corresponderá al 100%. 3% es la parte del todo que se debe calcular, luego, corresponderá x. PIEZAS POR CIENTO 600.......................100% X ....................... 3%
2.
600 100 x .............. piezas.... x 3 100
¿Cuál será él numero de piezas cuyo 3% es igual a 18 piezas?
Solución: El problema consiste en calcular ¿Cuánto corresponderá al 100 %? (que es el total de piezas). POR CIENTO PIEZAS 3% ...........................18 100% ............................X
3 ....... 100 x x ___________ .................... piezas
3.
José compró un televisor de S/. 1800 por S/. 1 440 ¿Cuánto por ciento obtuvo de descuento?
Solución: VALOR PIEZAS 1 880 ...........................100% 1 440 ............................X
x ___________ 80%
José pagó lo que corresponde al 80 %, luego el descuento obtenido fue: 100% ..................% ....................%
Rpta. 20 % ESTUDIOS GENERALES-NIVEL PROFESIONAL TÉCNICO
118
MATEMÁTICA P.T. PARTE 02 4.
Calcular el 8% de 320 octavos.
Solución:
8% de 320
p
5.
Total = 320 Tasa = 8 Porcentaje = ¿
B.% 320 8 ............. 100 100
¿Qué por ciento es 5 de 30?
Solución: Total = 30
5 es de 30
Porcentaje = 5 Tasa = ¿
%
6.
Determinar: a. b. c. d.
7.
100. p ............. ............. B
4% de 10 25% de 80 2,5% de 3 10% de 480 Escribir en forma de porcentaje: a. 0,75 _________________ b. 0, 4 _________________ c. d.
2 _________________ 5 1 _________________ 10
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MATEMÁTICA P.T. PARTE 02
PROBLEMAS PROPUESTOS (NIVEL III): 1. Hallar el 0,05% de 4 200. A) 0,12
B) 0,021
C) 2,1
D) 2,01
2. Hallar los 3/5% de 6000. A) 1640
B) 1620
C) 162
D) 16,2
3. El 32% del 45% de 5 300, ¿Qué porcentaje representa del 25% de 4 770? A) 30%
B) 60%
C) 64,4 %
D) 44%
E) 80%
4. Si el precio de un artículo se rebaja en 40%, ¿En qué porcentaje hay que aumentar el nuevo precio para obtener el original? A) 40%
B) 50%
C) 30%
D) 66 32 % E) 60%
5. ¿Cuál es el valor de “n” después de ser disminuido en 14 72 %? A)
1 6
n
B)
5 6
n
C)
7 6
n
D)
1 3
n
E)
6 7
n
6. En una clase de 60 alumnos, el 25% son niñas. Si el 40% de los niños y el 20% de las niñas salen de paseo, ¿Qué porcentaje de la clase salió de paseo? A) 30%
B) 32 21 %
C) 35%
D) 32%
E) 20 21 %
7. Para una puerta se necesitaron 1,86 m2 de chapa, la chapa perdida por recortes fue de 0,2 m2, Calcular el recorte en %. 8. De una chapa cuadrada de 400 mm de lado se desea cortar el mayor círculo posible. Calcule el resto de recorte en % 9. Un obrero especializado trabaja a destajo por S/. 9 la hora. ¿En qué tanto por ciento supera su salario a destajo el salario normal de S/. 7,20? 10.Una taladradora usada se vende con 16% de descuento. El comprador paga S/. 820,00. ¿Cuánto hubiera costado la máquina sin descuento? ESTUDIOS GENERALES-NIVEL PROFESIONAL TÉCNICO
120
MATEMÁTICA P.T. PARTE 02
11.Una pieza a trabajar tiene un peso bruto de 45,4 Kg. Con la elaboración pierde la pieza un 14% de su peso. Calcular el peso final. 12.El alquiler mensual de un taller es de S/. 1860,00. Habiendo sido aumentado a S/. 3160,00. Calcular el porcentaje de aumento del alquiler. 13.En una escuela vocacional hay 88 mecánicos, los que constituyen el 22% de todos los escolares. ¿Cuántos escolares tiene la escuela? 14.Una pieza se tornea con una pieza de acero al tungsteno-silicio en 25 minutos, con otra de acero rápido en 20,5 minutos ¿Cuál es el ahorro de tiempo en por ciento? 15.Por refinado se mejora la resistencia a la tracción de un acero en un 36% alcanzando entonces el valor de 11,2 N/mm2. ¿Qué resistencia a la tracción tenía el acero antes del refinado? 16.Una aleación se compone de 27 kg de cobre y 18 kg de cinc. Calcular las proporciones de cobre y cinc en %. 17.60 kg de fundición roja contienen 51,6 kg de Cu, 5,4 kg de Sn y 0, 6 kg de Pb; el resto es cinc. Calcular las proporciones en % 18.Un árbol de 26 mm de diámetro recibe un corte de 2,4 mm de profundidad. ¿En que porcentaje disminuye la sección transversal?.
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121
MATEMÁTICA P.T. PARTE 02
PROBLEMAS PROPUESTOS (NIVEL IV): 1. Calcular los siguientes porcentajes: a. b. c. d. e. f. g. h.
20 % de 240; 5 % de 900; 60 % de 1240; 40 % de 12000; 8 % del 40 % de 160000; 5 % del 30 % de 400000; 10 % del 50 % de 60000; 250 % de 840000.
2. En una clase de 30 alumnos y alumnas, hoy han faltado 6. ¿Cuál ha sido el tanto por ciento de ausencias? 3. En una ciudad de 23500 habitantes, el 68 % están contentos con la gestión municipal. ¿Cuántos ciudadanos se sienten satisfechos con el ayuntamiento? 4. Un hospital tiene 210 camas ocupadas, lo que representa el 84% de todas las camas disponibles. ¿De cuántas camas dispone el hospital? 5. El 24% de los habitantes de una aldea tienen menos de 30 años. ¿Cuántos habitantes tiene la aldea, si hay 90 jóvenes menores de 30 años? 6. Calcular en cuánto se transforman las siguientes cantidades si varían según el porcentaje indicado: a. 3500 nuevos soles, si aumentan el 8 %. b. 8500 litros, si aumentan el 27 %. c. 360000 personas, si aumenta el 3 %. d. 2300 discos, si aumentan el 150 %. e. 546 alumnos, si aumentan el 4 %. f. 1600000 nuevos soles, si aumentan el 16 %. 7. El precio de un libro, después de haber aumentado un 12 %, es de S/. 26,5. ¿Cuánto valía antes de la subida? 8. Con las últimas lluvias el contenido del pantano ha aumentado el 27 % y tiene 321,6 hm3. ¿Cuánta agua tenía antes de las lluvias? ESTUDIOS GENERALES-NIVEL PROFESIONAL TÉCNICO
122
MATEMÁTICA P.T. PARTE 02 9. He conseguido que me rebajaran la nevera un 18 %, con lo que me ha costado S/. 340. ¿Cuánto valía antes de la rebaja? 10.Si el precio de una mercancía se sube el 50 % y después se baja el 50 %, ¿cómo queda con respecto al precio inicial? Compruébalo con un precio de S/. 100. 11.En las rebajas de una tienda se descuentan todos los artículos un 10 %. Si compras por valor de 1580 S/. , ¿cuánto tendrás que pagar? 12.Una tienda carga el 12 % de IGV sobre cada factura. Si el importe de las ventas es de S/. 30500, ¿a cuánto asciende con el IGV? 13.Un equipo de música vale en una tienda S/. 739 + 12 % de IGV, y en otra, S/. 800 incluido el IGV. ¿Dónde te conviene comprarlo? 14.Calcula el interés simple anual en los siguientes casos: a) S/. b) S/. c) S/. d) S/. e) S/. f) S/.
72000 al 9 % en 3 años y 6 meses. 144000 al 8 % en 5 años. 96000 al 11 % en 18 meses. 324000 al 12 % en 27 meses. 150000 al 10 % en 1000 días. 750000 al 9 % en 4 años y 6 meses.
15.¿Cuánto tiempo hay que tener colocados S/. 1000 al 5% anual para que se conviertan en 1500 ? Encuentra el capital que depositado al 7,5% ha producido unos intereses de S/. 250 en 2 años
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL PROFESIONAL TÉCNICO
123
MATEMÁTICA P.T. PARTE 02
13.6.
INTERÉS SIMPLE.
Se llama interés simple a la operación financiera donde interviene un capital, un tiempo predeterminado de pago y una tasa o razón, para obtener un cierto beneficio económico llamado interés. La fórmula más conocida de interés simple es: Donde : I = C.i.T
M=C + I
I C i T M
= Interés = Capital = Tasa de interés = Tiempo = Monto
El Interés, es también conocido como Ganancia, Beneficio, Renta, que produce el capital del préstamo durante cierto tiempo. El Capital, conocido también como capital inicial, capital primitivo, capital original. Suma de dinero que su poseedor impone o presta a determinadas condiciones para obtener ganancia. La tasa de Interés, nos indica que tanto por ciento del capital se obtiene como ganancia en un período de tiempo. El Monto, es también conocido como nuevo capital, capital originado, capital final, capital generado. El monto es la suma de capital y interés que genera este en cierto período. Para el uso de la Fórmula, es importante tener en cuenta que la tasa de interés ( i ) y el tiempo ( T ), deben estar en la misma unidad de medida del tiempo. Si la tasa de interés y el Tiempo no están en las mismas unidades de medida, entonces una de ella se tendrá que convertir en la misma unidad de medida que la otra. Para hacer conversión, por cada grada se tendrá que multiplicar o dividir según sea el caso, como se muestra en el grafico “escalera”.
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL TÉCNICO OPERATIVO
124
MATEMÁTICA P.T. PARTE 02
TIEMPO Año
TIEMPO
2 Semestre
Año
3
Bimestre
Semestre
2 Mes
Cuando se desciende la escalera, se multiplica
2 3 2
Bimestre
2
Quincena
Mes
Cuando se asciende la escalera, se divide
15
2
Quincena
Días
15
Días
Ejemplos: 1. Convertir 3 bimestres a quincenas: 3 4 = 12 quincenas; “se multiplica por 4, por que un bimestre tiene 4 quincenas.” 2. Convertir 7 meses a años: por que un año tiene 12 meses.”
7 12 = 7/12 año; “se divide entre 12,
Tasa de Interés ( i ) Año
Tasa de Interés ( i )
2 Semestre
3
Bimestre Cuando se desciende la escalera, se divide
Año
2 Semestre
2 Mes
3 2
Bimestre 2
Quincena
15
Cuando se asciende la escalera, se multiplica
Mes
Días
2
Quincena
15
Días
Ejemplos: 1. Convertir la tasa de interés de 6% anual a tasa trimestral: 6% 4 = 1,5% trimestral; “se divide entre 4, porque un año tiene 4 trimestres.” 2.
Convertir la tasa de interés de 0,2% diario a tasa mensual: 0,2% 30 = 6% mensual; “se multiplica por 30, porque un mes tiene 30 días.”
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125
MATEMÁTICA P.T. PARTE 02
Problemas: 1.
Pedro depositó $ 4500 en el Banco de Crédito a una tasa mensual del 3%. ¿Cuánto ha ganado en 4 meses? a) $620
b) 480
c) 540
d) 370
e) 360
Solución: Datos: C = S/ 4500 i = 3% mensual T = 4 meses
Se observa que la tasa de interés está en meses y el tiempo también está en meses, entonces se puede aplicar la fórmula: I = C.i.T I = 4500(3%).(4) I = 4500
3 4 = S/ 540 100
Respuesta: En 4 meses ha ganado S/ 540 y su nuevo capital o Monto será: 4500 + 540 = S/. 5040
2.
Un Capital fue depositado al 5% mensual y produce un interés de $ 800 en 4 meses. ¿Qué interés producirá el mismo capital a una tasa del 9% semestral en 8 meses? a) $150
b) 160
c) 420
d) 480
e) 550
Solución: Datos: C= ? i = 5% mensual I = 800 T = 4 meses
Hallando el capital “C”. I = C.i.T 800 = C.(5%).(4) 800 = C 5 4 100
C = S/. 4000
Ahora, se calcula el interés que producirá el capital de S/ 4000 a una tasa de 9% semestral, durante 8 meses. “la tasa de interés semestral se convertirá en tasa de interés mensual”.
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126
MATEMÁTICA P.T. PARTE 02 Datos: C = 4000 i = 9% semestral =
I = C.i.T 9 6
I = 4000.( 9 %).8 = 4000 9
% mensual.
T = 8 meses I = ? 3.
1 8 6 100
6
I = S/ 480
El precio de una moto es $ 2600; si Pablo tiene sólo $ 2400 ¿Qué tiempo deberá depositar este dinero a una tasa del 4% anual para que pueda comprar la moto? Suponer que la moto no cambia de precio. a) 2a
b) 2a 1m
c) 1a 8m
d) 1a 6m
e) 3a 1m
Solución: El precio de la moto S/. 2600, es el capital final que se debe tener para `poder comprar la moto, “capital final o también llamado Monto”. El interés que se debe de ganar es: S/ 2600 – S/ 2400 = S/ 200 “El tiempo que se calculará será en meses porque es la menor unidad de medida del tiempo que se muestran en las Datos: alternativas.” C = S/ 2400 I = C.i.T i = 4% anual = 4 % mensual. 12
4 %).T 12 2400 4 1 .T 12 100
200 = 2400.(
T = T meses I = S/ 200
200 =
T = 25 meses = 2 años 1 mes OBSERVACION.- El interés que genera un capital es proporcional al tiempo; siempre que la tasa de interés permanezca constante.
Reglas Prácticas: También se tiene que: I
c.%.t 100
t : años
I
c.%.t 1200 1200
t : meses
c.%.t I 36000 36000
t : dìas
Donde: C : Capital % = i = tasa de interés I = Interés Nota: La tasa de interés o porcentaje, siempre debe estar en tasa ANUAL
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127
MATEMÁTICA P.T. PARTE 02
Nota: Recordar la forma de realizar el cambio de tasa anual
a otros
períodos
menores. Averiguar cuántos períodos menores hay en el período mayor. Por ejemplo en año hay 6 bimestres, entonces dividir la tasa anual entre 6 y listo, se tiene la tasa bimestral. Ahora al revés, se quiere la tasa anual y sólo se tiene la tasa trimestral, en un año hay cuatro trimestres, se multiplica por cuatro, ya se tiene la tasa anual. Tasa anual
Período
N° períodos al año
Tasa del período
40%
anual
1
40% anual
40%
semestral
2
20% semestral
40%
trimestral
4
10% trimestral
40%
bimestral
6
6,67% bimestral
40%
mensual
12
3,33% mensual
Ejemplo: Qué interés origina S/ 7200,00, al 2% trimestral en 5 meses? Solución: C = 7200 ;
I
c.%.t 1200
Tasa = 8% anual
I
7200 8 5 120 1200
I 120
4. Se deposita en un banco $ 2500 a una tasa quincenal del 0,6% ¿Qué interés habrá producido en 5 quincenas? a) $75
b) 150
c) 45
d) 60
e) 90
5. ¿Qué capital se debe depositar al 15% de interés anual para que se convierta en $ 6500 a los 2 años? a) $4000
b) 5000
c) 7000
d) 2000
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e) 3000 128
MATEMÁTICA P.T. PARTE 02
6.
Si en interés producido por un capital en 8 meses equivale a un cuarto de capital. ¿Cuál es la tasa de interés anual a la cual fue depositada? a) 42,5%
b) 32,5%
c) 35%
d) 37,5%
e) 40%
7. Los 2/3 de un capital se imponen al 8% anual y el resto al 2,5% trimestral. Si al cabo de 2 años los intereses son $ 6240, hallar el capital originado. a) $24000 8.
b) 30000
c) 36000
d) 42000
e) 50000
Un capital se impone al 5% mensual, ¿En qué tiempo se quintuplicará? a) 50m
b) 60m
c) 70m
d) 80m
e) 90m
EJEMPLOS DE PORCENTAJE: Completar convenientemente: FRACCIÓN A PORCENTAJE. 9.
Escribir
1 5
Solución:
en forma de porcentaje.
1 x , 5 100
x
Sustituyendo x en la razón
10. Escribir
3 4
100 1 ............ 5 x , 100
se tiene el porcentaje
20 100
ó 20 %
en forma de porcentaje.
PORCENTAJE A FRACCIÓN. 11. Escribir 30% en forma de fracción irreductible. Solución: 30%
30 3 100 10
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129
MATEMÁTICA P.T. PARTE 02
PROBLEMAS RESUELTOS DE PORCENTAJE: Completar los espacios en blanco. 12. Determinar el 3% de 600 piezas. Solución: Los datos desconocidos se disponen de igual manera que en la regla de tres directa. En total de piezas (600) corresponderá al 100%. 3% es la parte del todo que se debe calcular, luego, corresponderá x. PIEZAS POR CIENTO 600.......................100% X ....................... 3%
600 100 x .............. piezas.... x 3 100
13. ¿Cuál será el número de piezas cuyo 3% es igual a 18 piezas? Solución: El problema consiste en calcular ¿Cuánto corresponderá al 100 %? (que es el total de piezas). POR CIENTO PIEZAS 3% ...........................18 100% ............................X
3 ....... 100 x x ___________ .................... piezas
14.
José compró un televisor de S/. 1800 por S/. 1 440 ¿Cuánto por ciento obtuvo de descuento? Solución: VALOR PIEZAS 1 880 ...........................100% 1 440 ............................X
x ___________ 80%
José pagó lo que corresponde al 80 %, luego el descuento obtenido fue: 100% ..................% ....................% Rpta. 20 %
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130
MATEMÁTICA P.T. PARTE 02
TANTO POR CIENTO MÁS. 15.
Un libro que cuesta S/. 25,00 va a aumentar de precio el 20 %. ¿Cuál será el nuevo precio? Solución: El precio del objeto antes del aumento es representado por el 100 %, después del aumento, será representado por 100 % + 20 % = 120 % Se puede entonces plantear el problema: 100% 120%
____________ ............. ____________ X
....... 25.00 ............... ................. x .................. 120 x ........... Rpta. S/. 30
TANTO POR CIENTO MENOS. 16. Un corte de tela fue comprado con un descuento del 15% del costo a S/. 170 ¿Cuál es el valor real de ese corte? Solución: El precio de corte era representado por 100%, después del descuento estará representado por 100% -15%, o sea 85%.
100% ____________ X 85% ____________ 170.00
........ ........ ............... ................. x .................. ........ ........ ........... Rpta.: S/. 200
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131
MATEMÁTICA P.T. PARTE 02 EJERCICIOS DE PORCENTAJE. a.
Calcular el 8% de 320 octavos. Solución:
8% de 320
p
b.
Total = 320 Tasa = 8 Porcentaje = ¿
B.% 320 8 ............. 100 100
¿Qué por ciento es 5 de 30? Solución: Total = 30
5 es de 30
Porcentaje = 5 Tasa = ¿
%
c.
100. p ............. ............. B
18 alumnos representan el 60% de un turno. ¿Cuántos tienen ese turno? Solución: Porcentaje = 18
18 alumnos es el 60%
Tasa = 60 Total = ¿
p
............... .................. . ............... ............... ..............
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132
MATEMÁTICA P.T. PARTE 02
EJERCICIOS DE REPASO. 1.
Completar observando el ejemplo: Ejemplo: a.
2.
4 80 80% 5 100
1 ...... ..........% 2 100
b.
3 ...... ..........% 4 100
Completar los ítems observando el ejemplo: Ejemplo:
0,70
70 70% 100
a. 0.25 = ............ = .............%
b. 0.01 = .............. = ..............
4.
Un objeto fue comprado con el 20% de descuento, así costo S/. 480. ¿Cuál era su precio inicial?
5.
Determinar: a. 4% de 10 b. 25% de 80 c. 2,5% de 3 d. 10% de 480 . Una pieza de 36,5 Kg debe contener cobre, estaño y zinc. ¿Cuánto de cada metal será necesario, si la mezcla debe contener 96% de cobre, 3% de estaño y 1% de zinc?
6.
7.
¿Cuántos Kg de cobre y plomo serán necesarios para obtener 60 Kg de una mezcla de dos metales que contenga el 70% de Cobre y el resto de plomo?
8.
Un tornero recibe un salario de S/. 9 por hora y el 25% más de sobre las horas extras. Siendo su horario normal de trabajo de 8 horas y sabiendo que en 5 días ha trabajado 52 horas, se pregunta ¿Cuánto recibirá?
9.
Escribir en forma de porcentaje: a. 0,75 _________________ b. 0, 4 _________________ c.
2 _________________ 5
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133
MATEMÁTICA P.T. PARTE 02
EJERCICIOS RESUELTOS DE PORCENTAJE: 1.
Los aumentos sucesivos del 10% y 30%, equivalen a un único aumento de: A) 63% B) 43% C) 42,8% D) 40% E) 48% Solución: Calculando el primer aumento: 100% + 10% =110% El segundo aumento: 100% + 30% =130% A=130%(110%) = 143% Luego, el aumento es 43 %
2.
Si la base de un triángulo, disminuye en su 20% y su altura disminuye 30%, el área en qué porcentaje disminuye. A) 56% B) 44%
C) 54%
D) 24%
E) 76%
Solución: Calculando el primer descuento: 100% - 20% = 80% el segundo descuento: 100% - 30% =70% Luego, el área final es 80% x 70% = 56 % del área inicial, disminuyó en 44%
3.
Si “a” aumenta en su 10%, ¿en qué porcentaje aumenta “a2”? A) 10% B) 42%
C) 21% D) 100%
E) 20%
Solución: Área inicial: 100% Área final: 110% x 110% = 121%, el área aumentó en 21%,
4. El área de un cuadrado es 100 m 2. Si sus lados disminuyen en 6 m, ¿En qué porcentaje disminuye su área? A) 16% B) 36%
C) 44%
D) 84%
E) 64%
Solución: ESTUDIOS GENERALES-NIVEL PROFESIONAL TÉCNICO
134
MATEMÁTICA P.T. PARTE 02 Área inicial: 10 x 10 = 100 Área final: 4 x 4 = 16
el área disminuyó 84%.
5. Si las aristas de un cubo aumentan su triple, ¿En qué porcentaje aumenta su volumen? A) 2700% B) 6400% C) 1600% D) 2600% E) 6300% Solución: Volumen inicial: a x a x a = a3 Volumen final: 4a x 4a x 4a = 64 a3 el área aumentó 6300%
6. ¿Qué porcentaje de “a” es (a + 0,05a)? A) 105% B) 50%
C) 125% D) 150%
E) 250%
Solución: Se calcula (1a + 0,05a)/ a x100%= 105%
7. ¿"a" es el n% de qué número? A)
100 n a
B)
a 100 n
C)
an 100
D)
100 a n
E)
n 100 a
Solución: a= n% x luego despejando x =
100 a n
EJERCICIOS RESUELTOS DE INTERÉS SIMPLE: 8. Calcular el capital que en 4 años prestado al 8% de interés anual, ha producido S/. 22 de interés. A) S/. 50
B) S/. 70
C) S/. 60
D) S/. 120
E) S/. 240
Solución: Datos: I = S/. 22,4 r = 8% anual t = 4 años Usando la fórmula tenemos:
C
100 I r.t
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135
MATEMÁTICA P.T. PARTE 02
c
Capital:
100 22, 40 48
;
donde C =
9. ¿A qué tasa anual se debe prestar un capital de S/. 120 para que al término de 3 meses produzca S/. 2,88? A) 13
B) 8
C) 4,5
D) 7,1
E) 9,6
Solución: Datos: I = S/. 2,88
c = S/. 120,00
Usando la fórmula se tiene:
r
10.
100.2, 88 1 120. 4
r
t = 3 meses =
3 1 a a 12 4
100 I C.t
donde r =
Calcular por cuánto tiempo se debe prestar, a una tasa de 0,5% mensual, un capital de S/. 800 para obtener S/. 280 de interés. A) 5 a 10 m
B) 3a10 m
C) 7 a 8 m
D) 9 a 4 m
E) 35 meses
Solución: Datos:
c = S/. 800,00 I = S/. 280,00
Usando la fórmula se tiene:
t
r = 0,5 x 12m = 6% al año
100 I C.r
100.280 800.6 5 t 5 a = ........años y .......meses 6
Tiempo: t donde
11. Calcular el interés producido por un capital de S/. 20 000 colocados a una tasa de 12% anual, durante 3 años. A) S/. 2500
B) S/. 3000
C) S/. 6000 D) S/. 7200
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E) S/. 4000
136
MATEMÁTICA P.T. PARTE 02 Solución: Datos: c = S/. 20 000
r = 12% anual
Usando la fórmula se tiene:
20000.12.3 100
I
I
t = 3 años
C.r .t 100
Luego I = S/. …………………….
12. ¿Qué tiempo debe estar prestado un capital de S/. 8 500 al 3% trimestral para producir S/. 1 360 de interés? A) 12 m. B) 16 m.
C) 18 m.
D) 9 m.
E) 20 m.
Solución: La tasa 3% trimestral se pasa a anual, Usando la fórmula de meses
3% x 4 trimestres = 12% anual
I
C.r.m 1200
y despejando el
tiempo m:
t
1200 x1360 16meses 12 x8500
13. ¿A qué tasa anual debe ser colocado un capital para que a los 8 meses produzca un interés equivalente a los 7/50 del capital? A) 27
B) 35
C) 14
D) 21
E) 36
Solución: Se sabe que:
I
7 C.r.m 7 C C reemplazando 1200 50 50
Se puede eliminar el capital y despejar la tasa anual, donde m = 8 meses
r.8 7 1200 50
despejando, la tasa es
r = 21 % anual
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137
MATEMÁTICA P.T. PARTE 02 14. Jorge y Luis ahorran juntos. El primero deposita S/. 600 y el segundo S/. 800 a una tasa 10% mensual y el 10% bimestral respectivamente. ¿Dentro de cuánto tiempo tendrán el mismo monto? A) 17 m.
B) 12 m.
C) 13 m.
D) 8 m.
E) 10 m.
Solución: Calculando las tasas anuales: Jorge 10% x 12 meses = 120% anual Luis 10% x 6 bimestres = 60% anual, como los montos ganados deben ser iguales
M1 M 2
r1 .t r .t ) C2 (1 2 ) 100 100 120.t 60.t 600(1 ) 800(1 ) 100 100 600 720.t 800 480.t
C1 (1
y despejando el tiempo t es 10/12 años = 10 meses
15. ¿Qué capital se debe depositar al 15% de interés anual para que se convierta en S/. 6 500 en 2 años? A) S/. 4000
B) S/. 5000
C) S/. 7000 D) S/. 2000
E) S/. 3000
Solución: Como se convierte, entonces es monto M C (1 Reemplazando:
6500 C (1
r.t ) 100
15 x 2 ) 100
Y despejando el capital C = 5000 soles
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138
MATEMÁTICA P.T. PARTE 02
EJERCICIOS DE INTERÉS SIMPLE: Resolver aplicando las fórmulas. 1.
Calcular por cuánto tiempo se prestará, a una tasa de /% anual, un capital de S/. 800, para obtener S/. 280 de interés.
2.
Calcular el capital que en 3 años rindió S/. 270 al 5% anual.
3.
¿A qué tasa se deben colocar S/. 850, durante 2 años, para que rindan S/.51?
4.
¿A qué tasa anual fue prestado un capital de S/. 12 000 que en 9 meses rindió S/. 450 de interés?.
En la práctica las fórmulas son preparadas para facilitar los cálculos, así:
Para t en meses m :
I
C.r.m 1200
y tasa r anual
Para t en días d :
I
C.r.d 36000
y tasa r anual
Resolver: 5.
a. ¿Qué interés producirán S/. 12 000 prestados al 5% anual, al final de 9 meses? b. ¿Qué interés produce en 20 días a una tasa de 6% anual, un capital de S/. 150 000?
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139
MATEMÁTICA P.T. PARTE 02
UNIDAD 14 ÁNGULO
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140
MATEMÁTICA P.T. PARTE 02
DEFINICIÓN: RECTA, RAYO, SEMIRRECTA.
14.1
RECTA. Conjunto infinito de puntos que siguen una misma dirección. Postulados: La línea recta posee dos sentidos. La línea recta se extiende indefinidamente en ambos sentidos. Dos puntos determinan una recta Por un punto pasan infinitas rectas.
Veamos: los puntos A y B determinan una RECTA. A B
r Así, la recta puede ser representada de dos maneras: Con una letra minúscula: r, s,t,…. Con dos letras mayúsculas: AB , CD , ….
Completar entonces, correctamente, la indicación de cada recta: s D
E
F
G
C Recta …………..o CD
t recta t, o………..
H u recta ……… o ………..
RAYO. Se determina en la línea recta tomando un punto como origen y uno de los sentidos.
La figura muestra un rayo donde el punto O se llama origen y forma parte de la figura. Notación:
OA
SEMIRRECTA. Es uno de los sentidos de la recta. A diferencia del rayo una semirrecta no considera el origen. Gráficamente:
Notación : OA ESTUDIOS GENERALES-NIVEL PROFESIONAL TÉCNICO
141
MATEMÁTICA P.T. PARTE 02
14.2. ÁNGULO. Es la región del plano limitado por dos rayos que tienen un origen Parte común a dos semiplanos.
común.
Es la unión de dos rayos que tienen el mismo punto extremo. Se llama ángulo a la abertura que forman dos rayos que tienen el mismo origen. Elementos del ángulo: vértice “O”; lados OA y OB; abertura ●A lado ángulo cóncavo
ángulo convexo abertura
O
lado
●B
180º < < 360º
14.2.1
UNIDADES DE CONVERSIÓN. S: sistema sexagesimal C: sistema centesimal R: sistema radial
S 360º
En el sistema sexagesimal:
C 400g
1º = 60´
;
R 2
1´ = 60”
90º /2 II
I
180º
360º 2 o III
IV
270º 3/2
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142
MATEMÁTICA P.T. PARTE 02
14.2.2
INSTRUMENTOS DE MEDICIÓN DE ÁNGULOS.
A) TRANSPORTADOR.
B) GONIÓMETRO.
C) FALSA ESCUADRA.
D) ESCUADRA.
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143
MATEMÁTICA P.T. PARTE 02
14.2.3
I. A)
CLASIFICACIÓN DE LOS ÁNGULOS.
De acuerdo a su medidas. Ángulo agudo. 0º < m < 90º
B)
Ángulo recto.
m = 90º
C)
Ángulo obtuso.
B 90º < m < 180º
O
D)
C
Ángulo llano o lineal. m = 180º A
E)
Ángulo convexo. 0º < θ < 180º
F)
Ángulo no convexo (ó cóncavo). 180º < θ < 360º
II.
O
B
θ
θ
De acuerdo a la posición de sus lados.
A) ÁNGULOS ADYACENTES. Son dos ángulos que tienen un lado común .
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144
MATEMÁTICA P.T. PARTE 02 B)
ÁNGULOS CONSECUTIVOS.
Son dos o más ángulos adyacentes y están uno al lado del otro. C
B A O
C)
D
ÁNGULOS OPUESTOS POR EL VÉRTICE.
Tienen el mismo vértice y los lados de uno son las prolongaciones de los lados del otro: m = m
III.
De acuerdo a la suma de sus medidas.
A)
ÁNGULOS COMPLEMENTARIOS. + = 90º C ()= 90º –
n = par:
C C C C C C () = n=6
n = impar: C C C C C () = C () n=5 B)
ÁNGULOS SUPLEMENTARIOS.
+ = 180º n = par:
S () = 180º –
S S S S () = n = 4
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145
MATEMÁTICA P.T. PARTE 02 n = impar: S S S S S () = S () n=5 C)
ÁNGULOS REPLEMENTARIOS.
+ = 360º R ()= 360º – R R R R R R () =
n = par:
n=6 n = impar:
R R R () = R ()
n=3
14.2.4
OPERACIONES CON ÁNGULOS.
Adición. Para sumar unidades angulares, debe de disponerse en columnas las unidades de igual denominación (de modo que se correspondan en columnas vertical), ya se vio esto anteriormente. Observar la operación siguiente.
32° 17’ 30” + 19° 13’ 15” 51° 30’ 45”
Sólo se pueden sumar magnitudes de la misma especie; esto es, segundo con segundo, minuto con ................... y grado con ............... En cambio, en la suma de unidades angulares, a veces se hace necesario usar las relaciones existentes entre ellas. 1 grado (°) = 60 minutos (‘) 1 Minuto (‘) = 60 Segundos (“) ESTUDIOS GENERALES-NIVEL PROFESIONAL TÉCNICO
146
MATEMÁTICA P.T. PARTE 02
17° 36’ 35° 45’ 52° 81’
+
En la suma del lado, hay 81’, esto es un grado y veintiún minutos (1° 21’).
Se tendrá entonces una nueva forma a la suma (resultado) que pasará a ser 53° 21’. Pues bien, para que esto ocurra se debe dividir 81’ por 60’, que dará como cociente el número de grados y el residuo -si hubiera- será el número de minutos: 1° 17° 36’ + 35° 45’ 52° 81’ 53° 21’
81’ | 60 21’ 1°
Observar además estos otros ejemplos: 35° 16’ 45° 45’ 80° 61’ 81° 1’
+
17’ 42” 20’ 41” 37’ 83” 38’ 23”
+
EJERCICIOS DE ADICIÓN: 1. Sumar las siguientes medidas angulares: a. 31° 17’ + 3° 38’ = .............................. b. 105° 18’ + 25° 17’ + 10° 25’ = ..................... c. 21’ 30” + 2° 13’ 40” = .................................. d. 2° 45’ + 10° 10” = ...................................
2. Calcular la medida del ángulo x:
a = 27° 25’ b = 16° 13’ x = a + b = ...........
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147
MATEMÁTICA P.T. PARTE 02 3. ¿Cuál es la medida del ángulo y? a = 42° b = 36° c = 19° y = ................= ...........
RESPUESTAS:
1. 2. 3.
a) 34° 55’ 43° 38’ 97°
b) 141°
c) 2° 35’ 10”
d) 12° 45’ 10”
Sustracción. En la resta se procederá de la misma manera que en la suma haciendo corresponder en columnas las unidades de la misma denominación, y cuando sea necesario, tomando en cuenta las relaciones existentes entre ellas. Observar: 49° 20’ 20° 14’ 29° 6’
-
¿Cuándo es posible hacer una resta? Sólo es posible efectuar la resta cuando las magnitudes: Del minuendo son mayores o iguales que las del Sustraendo.
Por tanto ¿Cómo sería posible resolver la resta de abajo? 74° 5’ De 5’ no se puede restar 16’ 18° 16’ ? Pues bien, la resta se hará de la siguiente manera: El ángulo 73° 65’ es igual a 74° 5’
Se pide prestado 1° a los 74°. El mi nuendo, pasará entonces A ser 73° 65’. Ud. debe de haber notado que de los 74° fue Retirado 1° quedando entonces 73°, este 1° fue transformado
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148
MATEMÁTICA P.T. PARTE 02 73° 65’ 18° 16’ 55° 49’
En minutos(1° = 60’= y después, sumado a los 5’ existentes 60’ + 5’ = 65’ Así fue posible la resta.
Observar con atención los ejemplos y completar. EJEMPLOS DE SUSTRACCIÓN DE MEDIDAS DE ÁNGULOS: a)
b)
13° 16’ -8° 27’ _________ 4° 49’
c)
35° 25’ -17° 35’ _________ ................
d)
12’ 16” -9’ 40” ____________ 2’ 36”
e)
10’ 25” -8’ 45” _________ …………
f) 12° 15’ 18” -9° 20’ 25” ___________ 2° 54’ 53”
20° 10’ 35” -18° 15’ 30” ____________ ………….
Respuestas a los Ejemplos:
b) 17° 50’
c) 11’ 76”
d) 9’ 85” - 1’ 40”
f) 19° 70’ - 1° 55’ 5”
EJERCICIOS DE SUSTRACCIÓN: 1. Calcular la medida del ángulo x:
x = ..........
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149
MATEMÁTICA P.T. PARTE 02 2. ¿Cuál es la medida del ángulo y? a = 35° b = 10° 15” y =a - b
3. ¿Cuál es la medida del ángulo b?
a = 35° 25’ b = 90° - a
4. Restar las siguientes medidas angulares: a. 45° 30’ - 22° 15’ = .................... b. 53° - 19° 45’ = ................. c. 65° 17’ - 42° 36” = .................. d. 20’ 18” - 15’ 30” = ............... e. 28° 16’ 30” - 17° 40’ 18” = ....... f. 47° 48’
23° 55’ 10” = ...........
g. 45° - 12’ 29” = ............... h. 36’ - 18’ 30” = .................... i.
56° 17” - 5° 10’ 10” = ...............
5. Efectuar: 18° 36’ - 15° 42’ 37” + 3° 55’
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150
MATEMÁTICA P.T. PARTE 02
Multiplicación. Para multiplicar un ángulo por un número natural se debe multiplicar por ese número cada una de las unidades del ángulo (grados, minutos y segundos). Si alguno de los productos de los segundos o minutos es superior
a
60,
se
transformamos
en
una
unidad
de
orden
inmediatamente superior. 18º 26' 35" X3 54º 78' 105" Pero 105" = 1' 45", luego 54º 79' 45" Pero 79' = 1º 19', luego 55º 19' 45" 6. Realizar los siguientes productos: a.
56º 20' 40" * 2
b.
37º 42' 15" * 4
c.
125º 15' 30" * 2
d.
24º 50' 40" * 3
e.
33º 33' 33" * 3
f.
17º 43' 34" * 2
División. Para dividir un ángulo por un número natural dividir los grados entre ese número. Transformar el resto de la división en minutos, multiplicándolo por 60, y se suma a los que se tenían. Dividir los minutos. Transformar el resto de la división en segundos, multiplicándolo por 60, y sumar a los segundos que se tenían. Dividir segundos.
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151
MATEMÁTICA P.T. PARTE 02
7. Realizar las siguientes divisiones: a.
56º 20' 40" : 5
b.
37º 42' 15" : 4
c.
125º 15' 30" : 5
d.
25º 50' 40" : 6
e.
33º 33' 33" : 2
f.
17º 43' 24" : 12
ÁNGULOS CONGRUENTES (). Dos ángulos son congruentes cuando tienen igual medida. A
B 30º
P
R 30º mABC m PQR
C
Q
BISECTRIZ DE UN ÁNGULO La bisectriz es un rayo cuyo origen es el vértice del ángulo y divide a éste en dos ángulos de igual medida o congruentes.
OM : Bisectriz
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152
MATEMÁTICA P.T. PARTE 02 14.3
TEOREMAS RELATIVO A LOS ANGULOS.
1. Las bisectrices de dos ángulos consecutivos y complementarios forman un Angulo de 45º 2. Las bisectrices de dos ángulos adyacentes suplementarios forman 90º 3. Las bisectrices de dos ángulos opuestos por el vértice son colineales.
45º
Teorema 1
Teorema 2
Teorema 3
PROBLEMAS RESUELTOS 1. Calcular la mitad de la tercera parte del complemento del suplemento de 120º. 2. Calcular el valor de la razón aritmética entre el duplo del complemento de la mitad de un ángulo y la tercera parte del suplemento del triple de dicho ángulo. 3. Del gráfico mostrado la medida del ángulo DRO es tres veces la media del ángulo ARE. Calcular el valor de “x”. Si los rayos RD y RO son las bisectrices del ángulo MRA y ERN.
4. Dos ángulos adyacentes suplementarios están en la relación de 3/ 5. Calcular la medida del ángulo menor. 5. En la siguiente figura, los ángulos AOB y AOC son complementarios. Hallar la medida del ángulo AOX, siendo OX bisectriz del ángulo BOC.
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153
MATEMÁTICA P.T. PARTE 02 6. Se tienen los ángulos consecutivos AOB, BOC y COD, tal que: m AOC = 80º y m BOD = 60º. Hallar la medida del ángulo determinado por las bisectrices de los ángulos AOB y COD. 7. En la figura, calcular el ángulo AOB.
8. Se tiene los ángulos consecutivos AOB, BOC, COD y DOE, tal que m AOB=20º, m BOD = m DOE y m COE = m BOC + m BOD = 90º. Calcule m AOC. 9. En la siguiente figura, las medidas de los ángulos AOB, BOC, COD, DOE y EOA está, en progresión aritmética. Hallar la medida del ángulo COD.
10.
Sobre una recta se marcan los puntos consecutivos A, B, C, D y E, de AB BC CD DE modo que: y AE = 42 cm. Calcular CD. 2 3 4 5
Resolución de los Problemas: 1. 1 1 x CS120º 2 3 1 1 x x 90º (180º 120º ) 2 3 x 5º
x
La ecuación será :
2. Del enunciado se tiene: 1 X = 2C S 3 2 3
...(I)
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154
MATEMÁTICA P.T. PARTE 02 * * x
Donde :
En ( I) :
Medida del ángulo en mención Valor de la Razón Aritmética
1 x = 2 90 180 3 2 3 x = 180° - - 60° +
x = 120º
3. Dato : mDRO 3mARE
x 3x 2x según el gráfico : 2 2 x 90
2( ) x 90 2(2 x) x 90 5x 90
; X 18º
4. Sea “x” el ángulo menor:
x 3 180º x 5
x 67,5º 67º30
5. Sea m AOX = θ m AOB + m AOC = 90º (θ + α ) + (θ – α ) = 90º
α α
θ = 45º
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155
MATEMÁTICA P.T. PARTE 02 6. Se pide: α + β + θ = ? Como: 2 α + β = 80º 2 θ + β = 60º Al sumar y simplificar: α + β + θ = 70º
7. Sea m AOB = X Del gráfico, por ángulo de una vuelta: m DOB + m BOD = 360º ( 210º - X ) + 190º = 360º X = 40º
8. Piden m AOC = ? Sean m BOC = α m BOD = θ Del enunciado α + θ = 90º ....... ( 1 ) Se Observa 2 θ = 90º + α .........( 2 ) Sumando ( 1) y ( 2) 2 θ + θ = 180º Θ = 60º y α = 30º
20º
m AOC = 50º 9. Tomando los ángulos en forma conveniente ( X - 2 α ) + ( X – α ) + X + ( X + α ) + ( X + 2 α ) = 360º α = 72º
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156
MATEMÁTICA P.T. PARTE 02 10. 14 X = 42 X=3 Se pide: CD = 12
PROBLEMAS PROPUESTOS (NIVEL I) 1.
Calcular la suma de los ángulos y el tamaño de un ángulo para: a) un pentágono regular b) un hexágono regular, c) un octógono regular.
2.
Calcular para el ángulo de 78 41 28 el ángulo complementario y suplementario.
3.
La suma de dos ángulos de un triángulo es de 139 37 4 . Calcular el tercer ángulo.
4.
La cubierta de en cilindro esta sujeta con 8 tornillos. Calcular el ángulo de distancia entre los tornillos.
5.
Para trabajar una pieza hay que ajustarla en un ángulo de 14 12 56. Para el ajuste se requiere el ángulo en decimales.
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157
MATEMÁTICA P.T. PARTE 02
6.
Una válvula de admisión abre 17,43 antes del punto muerto superior. Calcule tal ángulo de abertura en grados, minutos y segundos.
7.
Convertir en:
8.
a) Grados:
240 ; 35 ; 4200 ; 31,2 ; 0,68 ; 0,42 ; 425
b) Minutos:
360 ; 38 ; 4600 ; 38,6 ; 0,64 ; 172 ; 86
c) Segundos:
314 ; 56 ; 3800 ; 68,2 ; 0,45 ; 0,012 ; 15
e) Sumar:
14 46 + 181 34 + 37 8 + 9 12 32
Los ángulos de un triángulo son proporcionales a los números 5 ; 3 y 1. Calcular la diferencia entre las medidas del mayor y menor ángulo. A) 80º
9.
B) 90º
C) 65º
D) 100º
E) 60º
En un triángulo ABC, BE es bisectriz interior. Calcular la medida del ángulo C, si AB = BE = EC A) 72º
B) 30º
C) 36º
D) 40º
E) 80º
10. Un ángulo mide la sexta parte de la medida de un ángulo recto. Otro ángulo mide los 5/9 de la medida de un ángulo recto. Determinar el complemento de la suma de las medidas de dichos ángulos. A) 25º
B) 30º
C) 35º
D) 40º
E) 20º
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158
MATEMÁTICA P.T. PARTE 02 11.
En la figura, L1 // L2. Sí: x+y = 40º , calcular (a + b). A) 80º
B) 85º
C) 90º x
D) 100º
E) 120º
a 4 5 y
6
12. En un triángulo ABC, se trazan las alturas AH y CF, el ángulo B mide 80º. Calcular la medida del mayor ángulo que forman las bisectrices de los ángulos HAC y ACF. A) 125º
B) 80º
C) 135º
D) 140º
E) 120º
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159
MATEMÁTICA P.T. PARTE 02 PROBLEMAS PROPUESTOS NIVEL II 1. Encontrar el complemento de un ángulo que mide 25º, más el suplemento de otro ángulo que mide 105º A) 120º
B) 125º
C) 140º
D) 130º
E) 135º
2. Encontrar la medida de un ángulo, sabiendo que su complemento es igual a 2/5 de su suplemento. A) 30º
B) 35º
C) 40º
D) 45º
E) 50º
3. Las medidas de dos ángulos suplementarios son entre sí como 4 es a 5. ¿Cuánto mide el mayor de los dos ángulos? A) 95º
B) 100º
C) 105º D) 110º
E) 105º
4. La medida de un ángulo es “X”, el suplemento del complemento del triple de mX es igual al complemento de mX aumentado en 20º. Calcular mX. A) 3º 5.
B) 4º
C) 5º
D) 6º
E) 7º
En los ángulos consecutivos: AOB, BOC, COD se cumple que: mAOC = 125º, mBOD = 100º. Calcular mAOB – mCOD. A) 30º
B) 35º
C) 40º
D) 45º
E) 25º
5. La diferencia de los ángulos adyacentes AOB y BOC es 42º, se traza el rayo OM bisectriz del ángulo AOC. Calcular la mMOB. A) 42º
B) 20º
C) 10º
D) 21º
E) 25º
6. En los ángulos consecutivos AOB y BOC se cumple que mAOB = 50º. Encontrar la medida del ángulo formado por las bisectrices de los ángulos BOC y AOC. A) 22º 8.
B) 20º
C) 18º
D) 25º
E) 26º
Hallar G: G = 2 (35º 32’ 55” – 24º 48’ 40”) 5 A) 5º 12’ 45”
9.
B) 4º 17’ 42”
C) 4º 12’ 32” D) 4º 7’ 32”
E) 6º 27’ 42”
Efectuar:
98º 45´ + 77º 42´ 5 6 A) 32º 41’00” B) 32º 41’15” C) 42º 41’30” D) 32º 40’8” E) 32º 41’20”
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160
MATEMÁTICA P.T. PARTE 02 11. El ángulo formado por 2 semirrectas opuestas se llama ángulo A) Obtuso 11.
Restar: A) 7º 19´ 8”
B) Congruente C) Llano
D) Nulo
E) De un giro
(2º 3´ 12” ) : 3 de 2 ( 4º 6” ) B) 8º 41´ 8”
C) 2º 41´ 2” D) 9º 19´ 8”
E) 7º 31´ 4”
12. Dado los ángulos adyacentes AOB y BOC; los rayos OX, OY, OZ son las bisectrices de los ángulos: AOB, BOC, XOY. Si: mAOB – mBOC = . Hallar mBOZ A) /2 13.
B) /3
D) /8
E) 2/3
Transformar /6 a grados sexagesimales: A) 10º
14.
C) /4
B) 20º
C) 30º
D) 45º
E) 50º
Efectuar: E = 4 ( 24º 48´ 40” ) + 6 ( 25º 32´ 45” ) A) 246º 38´ 42” B) 248º 04´ 30” C) 246º 38´ 42” D) 252º 31´ 10” E) 252º 21´ 48”
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161
MATEMÁTICA P.T. PARTE 02
UNIDAD 15 ANGULOS DE RECTAS PARALELAS CORTADAS POR UNA SECANTE
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162
MATEMÁTICA P.T. PARTE 02
15.1. CLASIFICACIÓN DE ÁNGULOS FORMADOS POR DOS RECTA PARALELAS Y UNA SECANTE. Considerar dos rectas paralelas r y s: Región externa
La región comprendida entre “r” y “s” será llamada región interna y las otras, regiones externas.
Región interna Región externa
Considerando ahora las dos rectas paralelas cortadas por la secante “t”.
obtuso
agudo
Observar que la secante forma con las rectas paralelas:
agudo obtuso obtuso
agudo
agudo obtuso
Cuatro ángulos AGUDOS iguales. Cuatro ángulos OBTUSOS iguales.
De estos ocho ángulos, - Cuatro son INTERNOS pues pertenecen a la región interna. Ej: a, b, c, d a c
- Cuatro son EXTERNOS pues pertenecen a la región externa. Ej: e, f, g, h
g
f
I. ÁNGULOS ALTERNOS INTERNOS.. Son dos ángulos internos, ambos agudos o ambos obtusos y situados uno a cada lado de la secante. Ej.: a y .......
e
h
a
d
b d
b
c
c y ........
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163
MATEMÁTICA P.T. PARTE 02 Dos ángulos alternos internos son iguales (pues ambos son agudos o ambos obtusos) ....... = b
.......... = d
II. ÁNGULOS ALTERNOS EXTERNOS. Son dos ángulos externos, ambos agudos o ambos obtusos y situados uno a cada lado de la secante. Ej: e y ....... g y ........
Dos ángulos alternos externos son iguales ....... = f .......... = h
e
f
g
h
III. ÁNGULOS CORRESPONDIENTES. Son dos ángulos, uno interno y otro externo, ambos agudos o ambos obtusos y situados en el mismo lado de la secante. e
Dos ángulos correspondientes son iguales. e y b
b
a y ........
....... y d
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164
MATEMÁTICA P.T. PARTE 02
........ y ........
IV. ÁNGULOS CONJUGADOS INTERNOS. Son dos ángulos internos, uno agudo otro obtuso Ambos situados del mismo lado de la secante. Ej: a y d
........ y ........
Dos ángulos conjugados internos suman 180°. a + d = 180°
c + b = .........
V. ÁNGULOS CONJUGADOS EXTERNOS. Son dos ángulos externos, uno agudo otro obtuso Ambos situados del mismo lado de la secante. Ej.: g y f
........ y h
Dos ángulos conjugados externos suman 180°. g + f = 180°
....... + ....... = 180°
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165
MATEMÁTICA P.T. PARTE 02
EJERCICIOS DE RECTAS PARALELAS CORTADAS POR UNA SECANTE
1.
Observar la figura y completar:
Dos rectas paralelas, cortadas por una secante forman ...............ángulos a.
Los ángulos internos son: (........................................................)
b.
Los ángulos externos son: (........................................................)
c.
Los pares de ángulos correspondientes son: (.................................); (.................................), (.................................) y (...........................)
d.
Los pares de ángulos alternos internos son: (.................................) y (...........................)
e.
Los pares de ángulos alternos externos son: (.................................) y (...........................)
f.
g.
2.
Los pares de ángulos opuestos por el vértice son: (.................................); (.................................), (.................................) y (...........................) Citar dos ángulos internos que sean suplementarios y dos ángulos externos que también lo sean: Ángulos internos (.................................) Ángulos externos (.................................)
Observar también la figura del lado y determinar los ángulos: a = ................................. b = ................................. c = .................................
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166
MATEMÁTICA P.T. PARTE 02 3.
Determinar el valor de x:
x = ................................. 4.
x = .................................
En la figura siguiente, responder:
¿Cuál es la medida de cada ángulo agudo? ...................................................... ¿Cuál es la medida de cada ángulo obtuso? ......................................................
5.
Completar el siguiente cuadro observando el dibujo y el ejemplo.
Alternos internos B y H , C y E Alternos externos Correspondientes Conjugados internos Conjugados externos Opuestos por el vértice
6.
Determinar las medidas de los ángulos sin ayuda del transportador, observando el dibujo.
1 = .............32°.................... 2 = ...................................... 3 = ...................................... 4 = ......................................
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167
MATEMÁTICA P.T. PARTE 02 7.
Dar nombres a los pares de rectas representados abajo:
Rectas .................................................
Rectas .................................................
Rectas .................................................
8.
Determinar la medida de cada uno de los ángulos desconocidos:
a = .............130°........... b = .............................. c = ................................ d = ..................................
9. Si Si Si Si Si
e = ..................... f = ...................... g = ..................... h = ......................
Completar observando la figura b c s q a
= = = = =
70° , entonces 65° , entonces 65° , entonces 80° , entonces 20° , entonces
r p a d p
= = = = =
............. ............. ............. ............. .............
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168
MATEMÁTICA P.T. PARTE 02 RESPUESTAS DE LOS EJERCICIOS: 1.
a) b) c) d) e) f) g) h)
8 ( 1, 4, 6, 7) ( 2, 3, 5, 8) (2, 6) ; ( 1, 5) ; (4, 6) y ( 1, 7) (3, 5) y ( 2, 8) (1, 3) ; ( 2, 4) ; ( 6, 7) y ( 5, 8)
2.
a = 50°
3.
x = 150°
4.
30°
( 8, 4) ; ( 3, 7) ( 6, 8) ; (5, 7)
b = 130°
c = 50°
x = 60°
150°
5. B y H , C y E D y F , A y G D y H , C y G, Ay E , Correspondientes ByF Conjugados internos E y B , C y H Conjugados externos A y F , D y G B y D , A y C, E y G, Opuestos por el vértice F y H Alternos internos Alternos externos
6.
2 = 148°
3 = 32°
7.
Paralelas – perpendiculares - concurrentes
8.
b = 50° c = 130°
9.
f = 70° p = 65°
d = 50° e = 130° a = 65° d = 80°
4 = 148°
f = 50° g = 130°
h = 50°
q = 160°
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169
MATEMÁTICA P.T. PARTE 02
15.2. PROPIEDADES AUXILIARES. ÁNGULOS DE LADOS PARALELOS: Si dos ángulos tienen sus lados paralelos: o son iguales, ó son suplementarios. Se ve que son como dos paralelas entre dos secantes.
180
ÁNGULOS DE LADOS PERPENDICULARES: Si dos ángulos suplementarios.
tienen sus lados perpendiculares: o son iguales
ó son
180
OTRAS PROPIEDADES
m
n
m+n = ++
n
+ + + = 180º
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m
+ = m+n
170
MATEMÁTICA P.T. PARTE 02 BISECTRIZ DE UN ÁNGULO INTERIOR: Si se traza la bisectriz de un ángulo interior de un trapecio ADFC, se genera un triángulo isósceles, donde el segmento CA es igual al segmento CG, y la base no igual es el segmento AG.
TEOREMA DE THALES: Tres o más paralelas determinan sobre dos o más rectas secantes segmentos mutuamente proporcionales. Si se aplica a un trapecio ADFC:
Se cumple que:
AB DE BC EF
THALES APLICADO A UN TRIÁNGULO: Si se juntan las dos secantes, el trapecio se transforma en triángulo, pero por ser paralelas entre dos secantes, el teorema de Thales se sigue cumpliendo:
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171
MATEMÁTICA P.T. PARTE 02
Se cumple que:
AB AE BC EF
EJERCICIOS RESUELTOS DE: Ángulos y paralelas. 1. Hallar la suma de los siguientes ángulos: 355°25’20” y 31°39’47” A) 18°40” D) 23°10’ Solución:
B) 35°12’ E) 13°
C) 27°5’7”
355°25’20” + 31°39’47” = 386°64’67” = 27°5’7”
2. Dividir en 5 partes, el ángulo : 310°10’45” A) 82°35’ D) 63° 2’4” Solución:
B) 12°24’ E) 62°2’9”
C) 56°8’
310°10’45” 5 = 62°2’9”
3. Efectuar la resta : 15°50” y 11°50’59” A) 3°9’51” D) 7°34’ Solución:
B) 4°12’30” E) 5°17’
C) 7°10’
14°60’50” - 11°50’59” = 3°9’51”
4. Hallar el triple de 192°45’55” A) 170°24’ D) 279°23’ Solución:
B) 250°15” E) 335°20’15”
C) 218°17’45”
192°45’55” x 3 = 576°135’165” = 218°17’45”
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172
MATEMÁTICA P.T. PARTE 02 5. Dos ángulos conjugados internos donde uno es el triplo del otro.¿Cuánto mide el ángulo conjugado del doble del ángulo menor? A) 18° D) 23°
B) 35° E) 13°
C) 90°
Solución: Por ser conjugados (+) = 180°, luego (+ 3) =180°, luego = 45° Luego 2 = 90° y su conjugado es 90° 6. Dos ángulos conjugados externos miden 5K + 45° y 4K+15°. Hallar el suplemento del complemento de la mitad del ángulo menor. A) 37° D) 45°
B) 44° E) 39°
C) 124°10’
Solución: Por ser conjugados (5K + 45°) + ( 4K+15°.) = 180° entonces K= 13°20’ El ángulo menor mide = 68°20’ y la mitad 34°10’ Luego SC(34°10’) = 180°- ( 90° - 34°10’) = 124°10’ 7. Calcular el valor del ángulo menor, sabiendo que los ángulos conjugados internos están en razón 2/3. A) 60° D) 53°
B) 44° E) 37°
C) 72°
Solución: Por ser conjugados 2K + 3K = 180° entonces K= 36° El ángulo menor mide 2K = 72°
PARALELAS: 8. Si L1 // L2 . Hallar “x”.
x
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173
MATEMÁTICA P.T. PARTE 02 SOLUCIÓN 2 y 2 son ángulos conjugados internos, luego dichos ángulos suplementarios, es decir su suma vale 180°, entonces:
son
+ = 90° El ángulo x está formado por la suma de los ángulos y , porque son ángulos alternos internos, por lo tanto: + = x
= 90°
9. En la figura, L1 // L2, hallar .
60º
SOLUCIÓN: Si se trazan paralelas por los vértices de los ángulos y se aplican ángulos alternos internos y ángulos opuestos por el vértice, se obtiene:
Es decir Finalmente
2 + = 60° = 20°
10. Si el triángulo ABC es equilátero y L1 // L2 , hallar
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174
MATEMÁTICA P.T. PARTE 02
SOLUCIÓN: Por triángulo equilátero B = 60° Por opuestos por el vértice V = 6 Por suplementario U = 180° - Por propiedad de triángulos El ángulo D = 240° - 6 El ángulo E = 60° + Como la suma de ángulos internos de un pentágono es 540°, entonces B + U + E + D + V = 540° si se pone en función de y resuelve, resulta que
= 24°
11. Hallar la suma de los siguientes ángulos: 37° 19’ 43” + 112° 53’ 38” A) 150° 13’ 21” D) 149° 12’ 21”
B) 149° 62’ 71” E) 150° 03’ 11”
C) 149° 72’ 21”
37° 19’ 43” + 112° 53’ 38” = 149°72’81” = 150° 13’ 21”
Solución:
12. Efectuar la resta de los siguientes ángulos: 112°23’ 35” - 10°15’20” A) 112° 25’ 15” D) 112° 5’ 15” Solución:
B) 102° 8’ 15” E) 92° 15’ 25”
C) 112° 25’ 45”
112°23’ 35” - 10°15’20” = 102° 8’ 15”
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175
MATEMÁTICA P.T. PARTE 02 13. Hallar el cociente de 309° 27’ 52” por 25: A) 12° 22’ 12 22/25” D) 12° 12’ 32” 2/25 Solución:
B) 22° 12’ 42” C) 9° 2’ 42” 2/5 E) 32° 22’ 42” 23/25
309° 27’ 52” 25 = 12° 22’ 12 22/25”
14. Dividir en 5 partes, el ángulo 162° A) 82°35’ Solución:
B) 12°24’
C) 56°8’
D) 63° 2’4”
E) 32°25’
162° 5 = 32°25’
EJERCICIOS PROPUESTOS: PARALELAS CORTADAS POR UNA SECANTE. 1. Hallar x, si L1 // L2: A) B) C) D) E)
20° 30° 40° 50° 60°
2. Hallar x/y, si L1 // L2: A) B) C) D) E)
1 3 1/5 3/2 2
3. Calcular x, si L1 // L2, (a + b) = 4x A) 20° B) 50° C) 30° D) 10° E) 40°.
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176
MATEMÁTICA P.T. PARTE 02
4. Calcular x, si L1 // L2 y si L3 // L4 A) 145° B) 105° C) 175° D) 95° E) 80° 5. Si L1// L2 // L3 , hallar “x” Si a = 45° A) 30° B) 30° C) 45° D) 60° E) 11°
6. Si
L1// L2 ,
hallar “ x ”
A) 30° B) 45° C) 51° D) 33 ° E) 75°
7. Si
L1// L2 ,
hallar “x”:
A) 120° B) 100° C) 102,8° D) 150° E) 90°
8. Si
L1// L2 ,
hallar “x”:
A) 98° B) 108° C) 45° D) 120° E) 116°
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177
MATEMÁTICA P.T. PARTE 02 9. Si A) B) C) D) E)
L1// L2 ,
hallar “y”:
34° 14° 60° 30° 50°
L1 L2
10. Si Hallar “x”. Si CE es bisectriz y el triángulo ABC es isósceles: A) B) C) D) E)
34° 14° 60° 30° 29°
11. Calcular “y”: A) B) C) D) E)
34° 14° 60° 30° 29°
12. Si CG es bisectriz. L1// L2 , hallar “x” A) B) C) D) E)
34° 48° 20° 40° 95
L1
L2
13. Dos ángulos correspondientes entre dos rectas paralelas miden: (2+) y (+ ). Encontrar / . A) 2/3
B) 1
C)4/5
D) 2
E) 145
14. Dos ángulos alternos internos entre dos rectas paralelas miden 2x y (3x – 40°). Hallar x: A) 30°
B) 25°
C) 40°
D) 45°
E) 20°
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178
MATEMÁTICA P.T. PARTE 02
UNIDAD 16 CIRCUNFERENCIA CÍRCULO
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179
MATEMÁTICA P.T. PARTE 02
CIRCUNFERENCIA. 16.1.
DEFINICIÓN.
Es el lugar geométrico, de los puntos de un plano que equidistan de otro punto llamado centro. La distancia del centro a cualquiera de los puntos del lugar geométrico se llama radio. 16.2.
ELEMENTOS DE UNA CIRCUNFERENCIA.
Líneas notables en la circunferencia. Para el gráfico adyacente: O
: Centro
r
: Radio
QP
: Cuerda
CD
: Diámetro
AB
: Arco
L1
: Recta tangente (T: punto de
tangencia)
16.3.
L2
: Recta secante
MN
: Flecha o sagita
ÁNGULOS EN LA CIRCUNFERENCIA.
1) Ángulo central.
2) Ángulo inscrito.
AOB = AB
B
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AC 2
180
MATEMÁTICA P.T. PARTE 02
3) Ángulo semi inscrito.
ATB
4) Ángulo interior.
X
AT 2
AB CD 2
5) Ángulo exterior. Casos que se pueden presentar: a.- De dos secantes.
b.- De secante y tangente.
P
AB CD 2
P
AT TB 2
c.- De dos tangentes. NOTA: para este caso particular se cumple que: P + AB = 180° P
ACB AB 2
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181
MATEMÁTICA P.T. PARTE 02 16.4.
PROPIEDADES BÁSICAS DE LA CIRCUNFERENCIA.
1) La recta L tangente a una circunferencia es perpendicular al radio o al diámetro en el punto de tangencia. (forman un ángulo de 90 grados)
2) Si dos cuerdas miden igual entonces los arcos correspondientes también miden igual y viceversa. Si AB CD entonces AB = CD
3) Los arcos comprendidos entre dos cuerdas paralelas miden igual. Si AB // CD , entonces AC = BD
NOTA Si la recta L es tangente y AB // L entonces AT = TB
4) Las rectas tangentes trazadas a una misma circunferencia desde un punto exterior, miden igual. Se cumple que: PA = PB y OP es bisectriz 5) Todo diámetro o radio perpendicular a una cuerda divide a dicha cuerda y a los arcos correspondientes en partes iguales. Se cumple que: AE = EB y AN = NB
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182
MATEMÁTICA P.T. PARTE 02
REGIONES CIRCULARES. O: Centro de circunferencia OA
: radio
1) Sector circular.
2) Segmento circular.
3) Corona circular.
4) Trapecio circular.
5) Segmento o faja circular.
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183
MATEMÁTICA P.T. PARTE 02
PROBLEMAS RESUELTOS 1) Si AC = 100º y AB = 110º. Hallar la medida del ángulo CAB. A) 150° B) 155° C) 166° D) 75° E )120° Solución. El arco CB mide 360º - (100º + 110º) = 150º.
100º
C
Como el ángulo CAB es inscrito, entonces CAB = 150º ÷ 2 = 75º.
A B
110º
2) Hallar el valor de “x” A) 70º B) 110º C) 120º D) 130º E) 150º Solución. A
220º
140º F B
X
Por propiedad, el arco AFC mide 140º y el arco AC mide 360º - 140º = 220º. Como el ángulo AFC es inscrito entonces mide 220º ÷ 2 = 110º.
40º C
3) Hallar la medida del ángulo “x” A) 15° B) 20° C) 25° D) 40° E) 50º
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184
MATEMÁTICA P.T. PARTE 02 Solución. Por propiedad, el arco AC mide 140º y
A
como el ABC es inscrito, su medida es
X
140º
B 70º
de 140º ÷ 2 = 70º.
40º
En el triángulo rectángulo , X = 90º-70º = 20º.
C
4) Si CD = 134º, hallar la medida del ángulo AOB si “O” es el centro del la circunferencia.
A) 30° B) 45° C) 50° D) 46° E) 60° Solución. El ángulo de 90º es un ángulo interior a la circunferencia, entonces su medida es igual a: CD AB 134 º AB 90º = = de donde AB = 180º - 134º = 46º. 2 2 5) Si BC es igual a 5 veces AD. Hallar la medida de BC.
A) 47°
B) 38°
C) 58°
D) 100°
E) 70º
Solución.
B
Como el ángulo BEC es exterior a la circunferencia, su medida es
A E
40º X D
5x C
igual a 40º =
5x - x 2
80º = 4x
x = 20º
por lo que BC = 100º. ESTUDIOS GENERALES-NIVEL PROFESIONAL TÉCNICO
185
MATEMÁTICA P.T. PARTE 02 6) Si AB es el diámetro de la semicircunferencia. Hallar la medida de “x”. A) 100° B) 110° C) 120° D) 130° E) 150º
Solución. D
El arco AC mide 80º. Completando la
C
circunferencia, se tiene que el CAB
80º 40º
A
= 260º .
B
El ángulo C por ser inscrito, su medida será 260º ÷ 2 = 130º. 180º
7) Hallar la medida de AB si “O” es el centro de la circunferencia de radio igual a 10 cm.
A) 4 cm B) 6 cm C) 8 cm D) 12cm E) 10cm Solución.
A
Se
P
O
la
altura OP
del triángulo
isósceles AOB , donde AP = PB = 6, por lo
B
10 37º
traza
que AB = 12 cm.
10
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186
MATEMÁTICA P.T. PARTE 02 8) Una cuerda de 16 cm está a 15 cm del centro de una circunferencia. Hallar la medida del diámetro. A) 15 cm
B) 17cm
C) 34 cm
D) 38cm
E) 20cm
Solución.
B P
A
construye
triángulo
isósceles
AOB
Para hallar la medida de OB aplicar el teorema
O
de Pitágoras. OB =
9)
el
trazando los radios. Se traza la mediatriz OP.
15
8
Se
8
15 2 8 2 = 17 entonces diámetro=34 cm.
En una circunferencia de 13 cm de radio, calcular la medida de la flecha correspondiente a una cuerda de 24cm. A) 17 cm
B) 8 cm
C) 5 cm
D) 10 cm
E) 7 cm
Solución.
X
Suponiendo que la medida de la flecha sea X. Como el radio mide 13, uno de los catetos del triángulo mide 13-x.
12
-x 13
13
Aplicando el teorema de Pitágoras: 132 = (13 - x)2 + 122 169 - 144 = (13 - x)2 25 = (13 - x)2 5 = 13 - x de donde x= 8 10) El ángulo P mide 32º. Hallar la medida del ángulo ACD.
D C P A
B
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187
MATEMÁTICA P.T. PARTE 02
Solución. Trazar el radio al punto de tangencia
D C A
D. Completar la circunferencia tal que
58º
P B
el arco BD mide 58º y el arco ABD mide
180º+58º=238º.
El
ángulo
inscrito ACD medirá 238º ÷ 2 = 119º.
PROBLEMAS PROPUESTOS - NIVEL I 1.
Del extremo de un árbol de 60 mm de diámetro se quiere sacar el mayor cuadrado posible. ¿Qué longitud tendrá el lado?
2.
Se desea transformar la superficie de un círculo de 44,18 cm2 en una superficie cuadrada equivalente. Calcule el lado.
3.
En un árbol hexagonal se mide una longitud de entre caras de 75 mm. ¿Cuál es el diámetro de árbol necesario?
4.
El extremo de una barra de 55 cm de diámetro ha de recibir por fresado el mayor hexágono posible. Calcule la longitud de entre caras.
5.
Se quiere fabricar de un círculo de 1963,5 cm 2 el mayor hexágono. ¿Qué porcentaje es desperdicios?
6.
Determinar para las siguientes figuras el diámetro de la circunferencia inscrita y circunscrita: a) Para un triángulo equilátero con 30 mm de lado. b) Para un cuadrado con 30 mm de lado. c) Para un hexágono con30 mm de diagonal central.
7.
De una plancha de chapa rectangular de 750 x 400 mm han de cortarse discos de 180 mm de diámetro. Calcular el número de discos.
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188
MATEMÁTICA P.T. PARTE 02 8.
De un círculo de 380 mm de diámetro se cortan 8 sectores circulares iguales. Calcular la superficie de sector, la longitud del arco y el ángulo central.
PROBLEMAS PROPUESTOS - NIVEL II 9.
Si “O” es el centro de la circunferencia y CBD = 130°. Calcular “x”. A) 50° B) 40° C) 30° D) 25° E) 20°
10. Si “O” es el centro y AB = OC . Hallar “X”. A) 40° B) 50° C) 70° D) 60° E) 45°
11. Si AB es diámetro, “O” es centro. Hallar la medida del ángulo BCD. A)140° B) 150° C) 170° D) 160° E)117°
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189
MATEMÁTICA P.T. PARTE 02 12. Si AB = BC y BD = 82º. Hallar el valor de “x”. A) 20° B) 30° C) 40° D) 50° E) 41° 13. Si AB es el diámetro de la semicircunferencia. Hallar la medida de “x”. A) B) C) D) E)
100° 110° 120° 130° 150°
14. La suma de los diámetros de un tubo de acero es 16,8 cm, su diferencia 8 mm. Calcular los diámetros en mm.
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190
MATEMÁTICA P.T. PARTE 02
PROBLEMAS PROPUESTOS 1.
NIVEL
III
Hallar la medida del arco AR, si AP = AR . A) 120º B) 135º C) 145º D) 130º E) 110º
2.
Hallar la medida de “X”.
A) B) C) D) E)
3.
58º 80º 45º 60º 70º
Hallar “x”. A) 70º B) 110º C) 120º D) 130º E) 115º
4.
Hallar “x” si: A) 30º B) 45º C) 36º D) 50º E) 60º
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191
MATEMÁTICA P.T. PARTE 02 5.
Hallar el valor de “x” si los arcos AB; BC; CD y AD son proporcionales a: 3; 2; 4 y 6 respectivamente. A) 80° B) 20° C) 70° D) 84° E) 96°
6.
Si las circunferencias son iguales y CME = 136º. Hallar “x”. A) 2° B) 34° C) 74° D) 60° E) 45º
7.
Si AO = BC . Hallar el valor de “x”. A) 45° B) 60° C) 50° D) 30° E) 35º
8.
Si “O” es el centro de la circunferencia y CBD = 130°. Calcular “x”. A) 50° B) 40° C) 30° D) 25° E) 20°
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192
MATEMÁTICA P.T. PARTE 02 9.
Si “O” es el centro y AB = OC . Hallar “X”. A) 40° B) 50° C) 70° D) 60° E) 45°
10. Si AB es diámetro, “O” es centro. Hallar la medida del ángulo BCD. A)140° B) 150° C) 170° D) 160° E)117°
11. Si AB = BC y BD = 82º. Hallar el valor de “x”.
A) 20° B) 30° C) 40° D) 50° E) 41°
12. Si AB es el diámetro de la semicircunferencia. Hallar la medida de “x”. A) B) C) D) E)
100° 110° 120° 130° 150°
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193
MATEMÁTICA P.T. PARTE 02 13. Si L1 // L2 y AB es diámetro de la semicircunferencia. Hallar “x”. A) 40° B) 60° C) 45° D) 50° E) 30°
14. Hallar el valor de R.
10
4
A) 5/2
R
B) 30/7 C) 6
D) 5
E) 25/4
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194
MATEMÁTICA P.T. PARTE 02
UNIDAD 17 POLÍGONOS: TRIÁNGULOS, CUADRILÁTEROS.
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195
MATEMÁTICA P.T. PARTE 02 POLÍGONO.
17.1.
DEFINICIÓN.
Es la figura geométrica que se obtiene al intersectar por sus extremos tres o más segmentos de recta no colineales pero sí coplanares, de modo que al interior de este polígono quede cerrada una porción de plano, llamada REGIÓN POLIGONAL. 17.2.
ELEMENTOS DE UN POLÍGONO.
C
B
A
O
F
M
D
E
Lados. AB, BC, CD, DE, EF y FA. Vértices. Puntos A, B, C, D, E y F. Diagonales. Segmento que une dos vértices no consecutivos. Ejemplo: BF. Angulo Interior. Angulo Exterior.
Angulo Central.
Apotema. OM, segmento que une el centro del polígono regular con el punto medio del lado del polígono y son perpendiculares. Perímetro. AB + BC + CD + DE + EF + FA
17.3.
CLASIFICACIÓN DE LOS POLÍGONOS.
17.3.1. De acuerdo al número de lados. Triángulo
3 lados
Cuadrilátero
4 lados
Pentágono
5 lados
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196
MATEMÁTICA P.T. PARTE 02
17.3.2
Exágono
6 lados
Heptágono
7 lados
Octágono
8 lados
Nonágono
9 lados
Decágono
10 lados
Endecágono
11 lados
Dodecágono
12 lados
Pentadecágono
15 lados
Icoságono
20 lados
De acuerdo a las medidas a sus elementos.
POLÍGONO CONVEXO. Todos sus ángulos internos miden menos de 180°. POLÍGONO CONCAVO. Por lo menos uno de sus ángulos internos mide más de 180°. POLÍGONO EQUILÁTERO. Todos sus lados tienen igual medida. POLÍGONO EQUIÁNGULO. Todos sus ángulos internos tienen igual medida. POLÍGONO REGULAR. Sus lados y sus ángulos internos tiene igual medida. POLÍGONO IRREGULAR- Es aquel polígono que no es regular
Polígono Convexo
Polígono Equilátero
Polígono Cóncavo
P. Equiángulo
Polígono Regular
Observaciones: En todo polígono, el número de lados (n) es igual al número de vértices (nv), e igual al número de ángulos interiores (ni), número de ángulos exteriores (ne), número de ángulos centrales (nc).
n = n v = ni = n e = nc
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197
MATEMÁTICA P.T. PARTE 02 Todo polígono regular puede ser inscrito o circunscrito en una circunferencia.
POLÍGONO INSCRITO EN UNA CIRCUNFERENCIA
POLÍGONO CIRCUNSCRITO A UNA CIRCUNFERENCIA
En todo polígono regular inscrito, la apotema y la sagita o también llamada flecha, forman el radio de la circunferencia que circunscribe al polígono. OP: Apotema; PQ: Sagita o flecha; OQ: Radio de la circunferencia.
O
P
17.4.
PROPIEDADES DE LOS POLÍGONOS
Q
Sea un polígono de “n” lados. D
Total de Diagonales:
n.(n 3) 2
Número de diagonales que se pueden trazar desde un solo vértice : cual divide al polígono en n – 2
n–3
La
Triángulos .
Suma de medidas de los ángulos internos (Si):
Si 180.(n 2) Suma de medidas de los ángulos externos (Se):
Nota: = e Se = S = 360º
Se 360 Angulo Interior ( i ): Polígono Equiángulo
i
180.(n 2) n
Angulo Central (). Polígono regular
Angulo Exterior (e). Polígono Equiángulo
θ
360 n
e
360 n
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198
MATEMÁTICA P.T. PARTE 02 Para un polígono estrellado: Un polígono estrellado se origina al prolongar los lados de un polígono convexo. Ejemplo pentágono estrellado ABCDE. (es el menor polígono estrellado que se puede formar), sus lados son AC, CE, .... B
Ángulo interno A
C Ángulo externo
E
D
La suma de las medidas de los ángulos internos (puntas):
SP 180º.(n 4) La suma de las medidas de los ángulos exteriores es 720º Si la estrella es regular, La medida de uno de los ángulos internos es: p
180º.( n 4) n
HEXÁGONO REGULAR. Al trazar las diagonales AD, BE y CF, se forman 6 triángulos EQUILÁTEROS. Los lados del Hexágono tienen igual medida del RADIO de la CIRCUNFERENCIA que circunscribe al EXÁGONO. C
B
60° L
L
L 3 Apotema OM = 2
L. 3
60°
O A
60° L
F
M
D
E
2.L
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199
MATEMÁTICA P.T. PARTE 02
EJERCICIOS I.
Completar el siguiente cuadro: Nombre del polígono
Suma de medida de
Suma de medida de
ángulos internos
ángulos externos
S(i)
S(e)
Total de diagonales (D)
Triángulo Cuadrilátero Pentágono Hexágono Heptágono Octágono Icoságono
II.
Completar el siguiente cuadro si los polígonos son regulares: Medida de ángulo interno Medida de ángulo externo Nombre del polígono
(i)
(e)
Medida de ángulo central
Triángulo Cuadrilátero Pentágono Hexágono Heptágono Octágono Icoságono
III. Resolver los siguientes problemas: 1. ¿Cuál es el polígono cuyo número de diagonales excede al número de vértices en 18? a) 6 lados b)9 c)27 d)15 e)10 2. Cuál es el Polígono regular convexo que si su ángulo interno disminuye en 10° resultaría otro polígono regular cuyo número de lados sería 2/3 del número de lados del polígono anterior. a) 10 lados b)12 c)14 d)16 e)18
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200
MATEMÁTICA P.T. PARTE 02 3. Si a un polígono regular se le aumenta un lado, su ángulo interior aumenta en 12°. El número de lados del polígono es: a) 5 lados b)6 c)7 d)8 e)9 4. ¿Cómo se llama el polígono cuyo número de diagonales es igual a su número de sus lados? a) Pentágono b)Heptágono c) Octágono d) Hexágono e) Cuadrilátero 5. Si a un polígono se la aumenta en 4 a su número de lados; entonces la suma de sus ángulos internos se duplica, Hallar el número de vértices. a) 8 b) 7 c) 6 d) 5 e) 10 6. Hallar la medida de “x” en cada caso: (hexágonos regulares) a)
b)
c)
x
x O
O
12 cm 12 cm
x
12 cm
Rpta:..........
Rpta:................
d)
e)
12 cm
Rpta: ............. f) x
x
x
O
O 12 cm
12 cm
Rpta:.......... g)
Rpta:................
Rpta: .............
x
Rpta:................ 12 cm
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201
MATEMÁTICA P.T. PARTE 02 7. Hallar la apotema de los siguientes polígonos regulares, si el lado de cada polígono mide 24 3 cm: a)
b)
Rpta: ..............
17.5.
c)
Rpta: ...................
Rpta: ............
TRIÁNGULO.
Polígono de tres lados:
Región Triangular
b
a
a
c
b c
Perímetro = a + b + c Semiperímetro =
abc 2
17.5.1. Clasificación de los triángulos. I. De acuerdo a la relación entre sus lados, pueden ser: Triángulo Equilátero. Triángulo Isósceles. Triángulo Escaleno.
A) Triángulo Equilátero. Sus tres lados son de igual medida. B
60° L
L
BM es “Altura”, “Bisectriz”, “Mediana” y “Mediatriz”, a la vez.
30° 30°
h=L 3 2
L
60°
60°
60° L
A
60°
L
2
M
L
C
2
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202
MATEMÁTICA P.T. PARTE 02
B) Triángulo Isósceles. Dos de sus lados son de igual medida. B
BM es la Altura relativa a la base y a la vez es: “Mediana”, “Bisectriz” y “Mediatriz”.
A
C
M Base
C) Triángulo Escaleno. Sus tres lados son de diferente medida. B
c
a
A
C
b
II. De acuerdo a la medida de sus ángulos, pueden ser: Triángulo Rectángulo. Triángulo Acutángulo. Triángulo Obtusángulo.
A) Triángulo Rectángulo. Tiene un ángulo interno que mide 90º RELACIONES MÉTRICAS EN EL TRIANGULO RECTÁNGULO
b
a h
2
2
2
h = m.n
a = m.c
a.b = c.h
a +b =c
b = n.c
m
n c
Relación entre los lados del triángulo rectángulo y la circunferencia inscrita
2
2
a + b = c + 2r
b
a
1 1 1 a2 b2 h2
2
r
Area = m.n
m
n c
B) Triángulo Acutángulo. Todos sus ángulos internos miden menos de 90º.
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203
MATEMÁTICA P.T. PARTE 02
C) Triángulo Obtusángulo. Tiene un ángulo interno mayor de 90 º. B
> 90°
Altura
C
A Base
17.5.2. Líneas y puntos notables en el triángulo . 1. ALTURA: Es el segmento de recta que partiendo de un vértice cae perpendicular sobre su lado opuesto. El Punto de Intersección de Las Alturas se llama ORTOCENTRO. (ver los gráficos, el pto. “O” es el Ortocentro).
T. ACUTÁNGULO
T. OBTUSÁNGULO
T. RECTÁNGULO
O O
O
2. BISECTRIZ. Es un rayo que partiendo de un vértice, divide al ángulo correspondiente a dicho vértice en dos ángulos congruentes. C
Bisectriz Interior
Bisectriz Exterior
A
B
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204
MATEMÁTICA P.T. PARTE 02 C
El INCENTRO es el punto de intersección de las bisectrices interiores del triángulo. El incentro es el centro de la circunferencia que se encuentra inscrita en el Triángulo.
I : INCENTRO I
A
B
El EXCENTRO es el punto de intersección de una bisectriz interior y 2 bisectrices exteriores. El excentro es el centro de la circunferencia tangente exteriormente con el triángulo (Ver Gráfico). E : EXCENTRO C
E
I
B
A
3. MEDIANA. Es el segmento de recta que partiendo de un vértice cae sobre el lado opuesto dividiéndolo en dos partes iguales. El BARICENTRO es el pto. de intersección de las medianas. El BARICENTRO divide a la mediana en dos segmentos proporcionales como 2 es a 1. B O: BARICENTRO
O: BARICENTRO
N
P
y
O
2z A
2x O
z x
2y
C
M
4. MEDIATRIZ. Es la recta perpendicular a uno de los lados que pasa por su punto medio. C: CIRCUNCENTRO
P
N C
M
El CIRCUNCENTRO es el centro de la circunferencia que circunscribe al triángulo ESTUDIOS GENERALES-NIVEL PROFESIONAL TÉCNICO
205
MATEMÁTICA P.T. PARTE 02
C C C
T. ACUTÁNGULO
T. OBTUSÁNGULO
T. RECTÁNGULO
CEVIANA. Segmento que une el vértice del triángulo con cualquier punto del lado C opuesto. Ceviana exterior
Ceviana interior
A
N
B
M
17.5.3. Teoremas elementales sobre triángulos. 1º. 2º. 3º.
La suma de los ángulos interiores de un triángulo es 180°. La medida de un ángulo exterior es igual a la suma de las medidas de los ángulos internos no adyacentes. La suma de los ángulos exteriores del triángulo suman 360°. e= +
g
f=+
f
4º.
g=+ + + = 180°
e
e + f + g = 360°
A ángulo mayor se le pone lado mayor y ángulo menor se le pone lado menor. Si: > >
Entonces:
a
a>b>c
c
b
5º.
Naturaleza de existencia de un triángulo: Para que un triángulo exista debe cumplir como mínimo la siguiente condición.
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206
MATEMÁTICA P.T. PARTE 02 b + c > a > b – c
“Cualquier lado del triángulo debe ser mayor que la diferencia de los otros dos lados, pero menor que la suma de dichos lados”
b
c
a
6º.
Angulos formados por dos bisectrices.
X=
x
90
x
2
X=
b).- 2 bisectrices Exteriores:
x
2
X=
2
a).- 2 bisectrices interiores:
90
c).- Una bisectriz Interior y una bisectriz Exterior:
7º.
C
Teorema de los puntos medios. MN
Si: M y N son puntos medios,
AB N
M
Entonces:
AB MN = 2 B
A
8º.
Mediana Relativa a la HIPOTENUSA.
B
La mediana BM mide la mitad de la hipotenusa. k k A
9º.
Teorema de la bisectriz Interior
a
b
k M
C
a m b n
x
x2 a.b m.n m
n
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207
MATEMÁTICA P.T. PARTE 02 10º. Teorema de la bisectriz exterior.
c
c m a n
x
a
x2 m.n a.c
n m
11º. Teorema del Incentro.
b
m
a
m ab n c
I
n
c
12º. Teorema del Mediana. a 2 b 2 2x2
b
a x
c2 2
c
13º. Relaciones de Áreas en un Triángulo.
A1 m
A2
A A1 A 2 3 K m n p
A3
A1 m.K A 2 n.K A 3 p.K
p
n
14º. Triángulos Rectángulos Notables: k
60°
37°
2k
5k
4k
45° k
30° k 3 2
53° 3k
74°
45° k
25k
k
7k 16° 24k
k 2
53° 2 2k
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208
MATEMÁTICA P.T. PARTE 02
17.5.4. Relaciones métricas en el triángulo rectángulo. b
a h
2
2
h = m.n
a = m.c
a.b = c.h
a +b =c
2
b = n.c
m
n c
2
2
1 1 1 a2 b2 h2
2
PROBLEMAS:
1. Los ángulos de un triángulo miden: 6x, 5x+10° y 3x + 30. ¿Qué clase de triángulo es? Rpta: ………………………………………
2. ¿Cuánto mide el ángulo determinado por las bisectrices interiores de los ángulos agudos de un triángulo rectángulo? Rpta: ………………
3. ¿Cuánto mide el ángulo determinado por una bisectriz exterior y la prolongación de una bisectriz interior, en un triángulo equilátero? Rpta: …………………
4. En un triángulo rectángulo ABC (recto en B) el ángulo A mide 70°. Si se traza altura BH (H AC). ¿Cuánto mide el ángulo HBC Rpta: ………………
5. En un Triángulo, la medida del ángulo determinado por dos bisectrices exteriores es el doble de la medida del tercer ángulo. ¿Cuánto mide dicho ángulo? Rpta: …………
6. La distancia de un punto de la bisectriz de un ángulo a uno de los lados es 3x + 5, y la distancia al otro lado es 2x + 15 ¿Cuál es dicha distancia? Rpta: …………………… ESTUDIOS GENERALES-NIVEL PROFESIONAL TÉCNICO
209
MATEMÁTICA P.T. PARTE 02 7. En un Triángulo rectángulo, la distancia del Circuncentro al Ortocentro es 12 cm. ¿Cuánto mide la hipotenusa? Rpta: …………………… 8. Dos lados de un triángulo isósceles tienen longitudes 7 y 14 cm, respectivamente. Hallar el perímetro, a) 28 cm
b) 35 cm
c) 25 cm
d) a ó b
e) 21 cm
9. Las longitudes de las medianas de un triángulo equilátero, suman 6 cm. Hallar el perímetro a) 18 cm
b) 36
c) 4 3
d) 2 3
e) 3
10. Las longitudes de los lados de un triángulo están en progresión aritmética de razón 7 cm. El mínimo valor entero, en cm. del perímetro es: a) 20 cm
b) 21 cm
c) 41 cm
d) 42 cm
e) 43 cm
11. En al figura, hallar la longitud “x” a) 12
5
7
b) 13
x
10
c) 14 53°
37°
d) 15 e) 16
12. En un triángulo equilátero de lado 12 cm inscrito en una circunferencia, hallar el perímetro del triángulo que tiene por vértices los puntos medios de las sagitas de los tres lados. a) 36 cm
b) 18 cm
c) 27 cm
d) 24 cm
13. En el triángulo ABC equilátero, calcular:
e) 30 cm
MN + NP
B
a) 6 3 b) 2 3 3
P
c) 4 2 3 d) 4 6 3
N A
8 cm
M
8 cm
C
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e) 10 3 210
MATEMÁTICA P.T. PARTE 02
14. En al Figura MN = NC = BC. Hallar x a) 80° c) 90°
B M
b) 75°
x
40°
d) 60°
e) 85°
A
20°
C N
15. Dado el triángulo equilátero de lado L. Hallar el lado del cuadrado inscrito en dicho triángulo. a) L3
b) L2
c) L(3 + 1)
e) L(23 – 3)
d) L5
16. Cada lado de un triángulo isósceles mide el doble de la base. Si el perímetro mide 30 cm ¿Cuánto mide la altura relativa a la base? a) 12
b)213
d)5 3
c)315
e)10
17. La altura trazada a la base de un triángulo isósceles es un sexto de la base. El lado igual mide 1010. La base mide: a) 60
b)50
c)64
d)80
e)75
18. Si los siguientes grupos de valores representan longitudes de segmentos, ¿Con cuántos grupos se pueden construir triángulos? I. 1, 1 y 1 a) 1
II. 2, 3 y 5 b)2
III. 7, 7 y 1 c)3
d)4
IV. 2 , 2 y 6
V. 5, 12 y 13
e)5
19. Si los lados de un triángulo miden 27 cm, 30 cm y 51 cm respectivamente. El triángulo es: a) Acutángulo b)Obtusángulo c)Rectángulo
d)Isósceles
e)Equilátero.
20. Los catetos de un triángulo rectángulo miden 5m y 12m, ¿Cuánto mide la altura relativa a la hipotenusa? a) 5
b)60/13
c)12
d)4
e)13
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211
MATEMÁTICA P.T. PARTE 02
17.6.
CUADRILÁTERO.
Polígono de cuatro lados, donde sus ángulos internos suman 360º.
17.6.1. Clasificación de los cuadriláteros.
1. Trapezoide. Sus lados no son paralelos 2. Trapecio. Posee únicamente un par de lados opuestos paralelos. 3. Paralelogramo. Los lados opuestos son paralelos. C
17.6.2. TRAPEZOIDE.
B D
A
B
Caso Particular: C
A
TRAPEZOIDE SIMÉTRICO O BISÓSCELES Sus diagonales son perpendiculares BD es mediatriz de AC.
D
17.6.3. TRAPECIO. b
B
C
B
b
C
AD : Base Mayor M
BC : Base menor BH : Altura
A
BC AD
N
h D
H
D
A
B
B
MN : Mediana
Clases de Trapecios: B
C
+ = 180º + = 180º
A Trapecio Escaleno
D
A
B
B
C
C
D
A
Trapecio Isósceles
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D Trapecio Rectángulo
212
MATEMÁTICA P.T. PARTE 02
PROPIEDADES:
b M
a) MN : Mediana
MN
N
B b 2
MN : Es paralelo a las Bases. B
b) Sobre la MEDIANA, se ubica los puntos medios de las DIAGONALES (P y Q). b
PQ
B - b
M
P
Q
N
2
B
17.6.4. PARALELOGRAMO.
PROPIEDADES:
Lados opuestos son paralelos y de igual medida.
E
Sus ángulos internos opuestos son de igual medida
Sus DIAGONALES, se bisecan.
E : Punto medio de las diagonales
Clases de Paralelogramo: E
B : base h: altura
E
h
h
B
B
RECTÁNGULO
ROMBOIDE
D : Diagonal Mayor d : Diagonal menor L
E
45°
E
d
45°
L CUADRADO
D ROMBO
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213
MATEMÁTICA P.T. PARTE 02
PROBLEMAS:
1. En un cuadrilátero los ángulos están en la relación 1, 2, 3 y 4 ¿Cuánto vale el ángulo mayor? a) 150° b)144 c)100 d)90 e)72
2. Las bases de un trapecio miden 4m y 8m respectivamente, los lados no paralelos miden 7m cada uno. Calcular el valor de la diagonal. a) 6m b)7m c)8m d)9m e)10m
3. Las diagonales de un rombo miden 8 cm y 6 cm. Luego el lado del rombo mide: a) 6 b)5 c)8 d)12 e)7
4. El lado de un cuadrado mide lo mismo que la diagonal de otro cuadrado. ¿Cuál es la razón del lado del cuadrado mayor y el lado del cuadrado menor? a) 2 : 1
b) 1 : 4
c) 1 : 2
d) 1 : 2
e) 2 : 1
5. Si en un cuadrado ABCD de 12 m de lado, se une el vértice A con el punto medio de BC, cortando a la diagonal BD en el punto E, entonces la distancia del punto E al lado AD es: a) 6m b)4m c)7m d)8m e)5m
6. Determinar la expresión falsa: a) Las diagonales de un paralelogramo se bisecan. b) El ángulo interior de un polígono regular de 16 lados mide 157°. c) Las diagonales de un rombo son perpendiculares. d) Los ángulos interiores de un rectángulo son rectos. 7. Los lados no paralelos de un trapecio isósceles mide 16 cm y forman con la base ángulos de 60°. Si su mediana mide 18 cm ¿Cuánto mide el segmento que une los puntos medios de las diagonales? a) 10 b) 26 c) 18 d) 8 e) 16
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MATEMÁTICA P.T. PARTE 02
8. En un trapecio rectángulo las bases miden 4 y 10 cm respectivamente. Si un lado no paralelo determina un ángulo de 60° con la base. ¿Cuánto mide dicho lado? a) 15 b) 14 c) 13 d) 10 e) 12
9. En un Rombo ABCD, las diagonales miden 12 y 16 cm. Hallar la longitud del segmento trazado desde el vértice B al punto medio del “lado opuesto”. (BD diagonal menor). a) 7cm b) 8 c) 5 d) 6 e) 4 3a
10. En la figura mostrada, calcular “x”.
x
a) 20°
d) 30º
b) 40°
e) 50º
c) 60°
2 a
11. En un Rombo, las diagonales miden 6 y 8 cm. Hallar la distancia que hay entre dos lados opuestos. a) 5 cm b) 4,8 cm c) 4,5 cm d) 3 cm e) 6 cm
12. El perímetro de un rombo es 80 cm y uno de sus ángulos mide 60°. ¿Cuál es la diferencia entre la diagonal mayor y la diagonal menor. a) 20 3 1
b) 20 3 1
c) 10 3 1
d) 10 3 1 e) 15 3 1
13. En un romboide ABCD la diagonal BD se prolonga hasta el punto E, luego se prolonga CE hasta el punto F, tal que AF // BD. Calcular AF si DE = 4 cm y BD = 6 cm. a) 12 cm b) 13 c) 15 d) 14 e) 16 14. En un rectángulo ABCD, los lados AB y BC miden 8 y 12 cm respectivamente. Se traza la bisectriz del ángulo A, que determina en BC al punto M ¿Cuánto mide la mediana del Trapecio AMCD? a) 6 b) 7 c) 8 d) 10 e) 12
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MATEMÁTICA P.T. PARTE 02
PROBLEMAS NIVEL I. 1.
Hallar “x” 82º
x L1
32º
A. 115º
2.
B. 116º
L2
C.100º
D. 88º
E. 114º
Hallar “x”.
40º
3x+y+10º
2x+y
A. 20º
3.
B. 30º
C. 18º
D. 24º
E.32º
Hallar “x”; ABCD es un cuadrado, CED es un equilátero. A. 15º
B
C
x
B. 12º
E
C. 10º D. 20º A
D
E. 18º
4.
ABCD es un cuadrado, AM = 6; CN = 5. Hallar MN . B
A. 8 B. 9 C. 10
C
A
D. 11 E. 12
M
D
N
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216
MATEMÁTICA P.T. PARTE 02 Hallar “x”, OM es bisectriz.
5.
M
1m x º º
O
a
a
A. 1
6.
B. 2
C. 3 D.4
E.6
Si: BD = DC = AB. M ABD = 40º. Hallar “x”, A. 30º
B
B. 35º C. 20º D. 25º
xº
E. 28º A 7.
D
C
Hallar PQ, si AB = 16 m, BC = 20 m y AC = 30m. A. 33
B
B. 32
P Q
C. 28
D. 29 E. 30
8.
A
Hallar RC , si AB = 10 m. A. 8
3
B a
B. 9 C 10 D. 12
a A
R
C
E. 15
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217
MATEMÁTICA P.T. PARTE 02
EJERCICIOS
NIVEL
II.
1.
Hallar el número de diagonales de un polígono convexo cuyos ángulos interiores suman 900º. A. 11 B. 12 C. 13 D. 14 E. 15
2.
Hallar el número de lados de un polígono sabiendo que la suma de sus ángulos internos y externos es 3960º. A. 21 B. 22 C. 20 D. 23 E. 25
3.
Calcular la suma de ángulos internos de aquel polígono que tiene tantas diagonales como número de lados. A. 540º
4.
B. 480º
C. 610º
D. 720º
E. 700º
En un polígono regular la relación entre la medida de un ángulo interior y exterior es como 3 es a 2. Calcular el número de lados del polígono. A. 6
5.
B. 8
C. 12
D. 4
E. 5
¿Cuántos lados tiene un polígono si la suma de sus ángulos interiores es 3240º? A. 18
6.
B. 20
C. 24
D. 25
E. 26
Calcular la suma de ángulos internos de aquel polígono en el cual
su
número de lados más su número de diagonales es igual a 45. A. 1200º
7.
B. 1100º
C. 1480º
D. 1440º
E. 980º
Calcular el número de lados de aquel polígono cuyo número de diagonales excede al número de vértices en 18. A. 6
8.
B. 8
C. 9
D. 12
E. 15
Si tienen 2 polígonos cuyo número de lados suman 25 y el máximo número de diagonales que se pueden trazar en ambos suman 125. ¿Cuál es la diferencia de los números de lados de ambos polígonos? A. 4
B. 5
C. 6
D. 7
E. 8
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MATEMÁTICA P.T. PARTE 02
9.
El número de lados de dos polígonos están en la razón de los números 5 a 7, sus diagonales se diferencian en 180. ¿Cuántos suman sus diagonales? A. 480
B. 490
C. 510
D. 570
E. 340
10. Hallar “x” 20º
A. 140º B. 120º
40º
C. 130º
60º
2
x
2
D. 135º E. 150º
EJERCICIOS
x
NIVEL
III.
1. Hallar “x” (BC // AD): A. 30º B. 18º C. 37º D. 45º E. 60º 2. Hallar “x”: A. 120º B. 100º C. 135º D. 160º E. 150º
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MATEMÁTICA P.T. PARTE 02
3. Hallar “x”: A. 30º B. 25º C. 15º D. 18º E. 20º
4. Hallar “x” (BC // AD): A. 21 B. 20 C. 18 D. 19 E. 24 5. Si; AB =BC = CD; hallar “x”: A. 10º B. 25º C. 30º D. 35º E. 37º 6. Hallar “x” A. 60º B. 50º C. 75º D. 55º E. 56º
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220
MATEMÁTICA P.T. PARTE 02 7. Hallar “x”: A. 80º B. 70º C. 50º D. 45º E. 60º
8. En un paralelogramo ABCD, se construye exteriormente los triángulos equiláteros ABM y BCN. Hallar m MDN. A. 40º
B. 50º
C. 75º
D. 62º
E. 60º
9. AD = 6; CH = 2, hallar “”. A. 10º B. 20º C. 30º D. 25º E. 35º 10. ABCD es un cuadrado; m ECF = 90º. Hallar “x”. A. 45º B. 40º C. 42º D. 43º E. 48º 11. Hallar “x”. A. 72º B. 94º C. 124º D. 100º E. 102º ESTUDIOS GENERALES-NIVEL PROFESIONAL TÉCNICO
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MATEMÁTICA P.T. PARTE 02 12. En el interior de un cuadrado ABCD se dibuja el triángulo equilátero AED. Hallar m BEC. A. 90º B. 120º
C. 135º
D. 150º
E. 145°
13. Las bases de un trapecio miden 6 y 10cm, los lados no paralelos miden 8cm cada uno. Calcular la medida de la diagonal del trapecio. A) 11,13
B) 12,11
C) 13,4
D) 14
E) 15
14. El triple del semiperímetro de un trapecio isósceles equivale al doble del perímetro de un rombo, cuyas diagonales miden 54 y 72cm respectivamente. Si la altura es igual a la mitad de la diagonal menor y los lados no paralelos miden 45cm cada uno. ¿Cuánto mide la base mayor? A) 15,1dm
B) 14,1dm
C) 13,1dm D) 12,1dm
E) 11,1dm
15. En un trapecio isósceles los lados no paralelos miden 18cm cada uno y forman con la base mayor un ángulo de 60º. Si la base media del trapecio mide 24cm. ¿Cuánto mide el segmento que une los puntos medios de las diagonales? A) 9cm
B) 10cm
C) 11cm
D) 12cm
E) 15cm
16. Verdadero o Falso: I. Todo trapezoide tiene siempre sus cuatro lados de diferentes medidas. II. El segmento que une el centro de cualquier polígono con cualquiera de sus vértices se denomina apotema. III. Dos ángulos cualesquiera que tienen un lado común y un vértice común son adyacentes. IV. En un polígono de 9 lados la suma de sus ángulos interiores es igual a 14 ángulos rectos. a) FFFV
b) FVVV
c) FFVF
d) FFVV
e) FFFF
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MATEMÁTICA P.T. PARTE 02 17. Si la base de un triangulo aumenta en 1% y la altura disminuye en 1%, entonces se área: a) aumenta 20% b) aumenta 1% c) disminuye 1% d) disminuye 0,01% e) aumenta ,001% 18. Sea el cuadrado ABCD, sobre AD se ubica el punto E y sobre CE se ubica el punto F, tal que m