PROBLEMA 1 Dado el campo de deformaciones

que afecta al sólido elástico indicado en la figura, se pide:

1.Comprobar que el campo de deformaciones es físicamente posible. Para que el campo de deformaciones sea físicamente posible el tensor ha de ser simétrico, cosa que podemos comprobar que se verifica y ha de cumplir las ecuaciones de compatibilidad:

0=0

0=0

0=0

1

2. = 2.

0=0

0=0 2.Calcular los giros como sólido rígido y los desplazamientos existentes en el sólido dibujando la nueva configuración. Para calcular los desplazamientos hay que integrar las deformaciones.

..

.. v(x=0)=0=

. =0 deformación plana. Así el campo desplazamientos queda: ( ,v=0, w=0) Y la configuración deformada:

2

matriz de giro como sólido rígido por definición:

=

Análisis del giro como sólido rígido: Linea(x=0)=linea(y=0)=0 Linea(y=1)=−0.01x =−0.01 Linea(y=−1)=0.01x 3

Linea(x=1)=−0.01y

matriz de deformaciones por definición:

=

3.Orientación de las direcciones principales en todo punto del sólido. Las de tensión coinciden con las de deformación El eje z es principal por la forma del tensor de Cauchy. Para hallar los valores propios, he calculado los invariantes del tensor para sacar la ecuación característica:

4

=0

El ángulo que forma la dirección principal I con el eje X viene dada por:

5

Para y=0

Para y<0

4.Justificación del cambio de orientación de las líneas y=1 y x=1

6

el campo desplazamientos queda: ( ,v=0, w=0) en y=1 el giro se contrapone a la deformación matriz de giro como sólido rígido en y=1:

matriz de deformaciones en y=1:

en x=1 el giro se contrapone a la deformación ( ,v=0, w=0) 5.¿Es linea isostática y=1? Para ser isoestática debe tener todos sus puntos tangentes a o No, porque aunque su campo de desplazamientos no cambie, es debido a que el giro y la deformación son idénticos pero contrarios y se anulan por ello. Además para que fuera isoestática debería ser tg a una dirección principal en cada punto de la recta, así la recta y=0 solo es tangente a la dirección principal 1 en el punto (0,1) . 6.Calcular y representar gráficamente la solicitación externa, fuerzas de volumen y superficie causantes de la deformación A través de la relación de comportamiento y suponiendo y G tenemos que usando la ecuación de Lamé y obtenemos:

7

Como se puede comprobar el problema de deformación plana, no nos ha dado lugar a un problema de tensión plana, como ya sabíamos por teoría. fuerzas de volumen Utilizando la ecuación de equilibrio interno:

fuerzas de superficie para obtener los vectores tensión que actúan sobre cada cara multiplicamos el tensor de tensiones evaluado en cada una de ellas por el vector unitario normal correspondiente: 1)Extremo derecho

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2)Cara inferior

3)Cara superior

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4)Empotramiento:

PROBLEMA 2(mal cuentas) La figura representa una placa rígida de 5cm de longitud de ranura y 1 cm de profundidad, en la que se alojan sin presión y sin holgura dos bloques A y B de 3x2x1 cm y 2x2x1cm. Se aplica una fuerza mediante otro bloque rígido de 10 Ton Además el bloque A se somete a un incremento de Tª de 50ºC que no afecta al B. Se desprecia rozamiento con paredes. 1)Tensión hidrostática: Las tensiones normales sobre cada una de las caras de los paralelepípedos son : Ausencia de rozamiento:

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Asi que los ejes x,y,z son ejes principales en ambos sólidos. El estado tensional es uniforme(cte) en todos los puntos del sólido Relación tensión − deformación

Ecuaciones de equilibrio

( por no actuar ninguna fuerza en la cara frontal de los bloques)

Ecuaciones de compatibilidad La ligadura se traduce en: 2 en y Así que usando las leyes de comportamiento del material tenemos:

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Así pues la tensión hidrostática es :

b) máxima tensión tangencial del bloque B indicando en qué planos se produce:

C)Coeficientes de seguridad según : Von Mises

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Tresca Según Von Mises no hay plastificación mientras: Para el bloque A =3000Kg/cm2; el coeficiente de seguridad según Von Mises para este bloque será pues: n=1.625 Para el bloque B =1000Kg/cm2; el coeficiente de seguridad según Von Mises para este bloque será: n=1.625 Según Tresca =2002.457 Kg/cm2 Para el bloque A n=1.498 Para el bloque B n=2.731 PROBLEMA 3 La matriz de tensiones en un punto P interior al sólido elástico, referida a un sistema cartesiano ortogonal X,Y,Z es:

Kg/ 1)Calcular los valores de las tensiones principales y direcciones principales:

− −

13

=

−3

cos

=

2

cos = cos

14

cos =

=

cos =

Representando la solución en un círculo de Mohr De acuerdo con la definición de las tensiones principales la mayor tracción coincide con por lo que la dirección pedida es el eje 0x

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2)¿En qué dirección está sometido el sólido elástico, en ese punto, a un esfuerzo de tracción máximo? ¿Cuánto vale? La que corresponde a la dirección donde cos , ya que el mayor esfuerzo a tracción corresponde al ser , va en dirección y 3)Comprobar si entre los infinitos planos que pasan por P existen 2 y , cuyas componentes intrínsecas de los vectores tensión correspondientes tomen:

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Queda comprobado con los círculos de Mohr que las tensiones dadas existen. 4)Para todos los planos que, pasando por P , se encuentran sometidos a cortadura pura, indicad para los círculos de Mohr los puntos representativos de los estados tensionales correspondientes a los planos con valor máximo y mínimo de dicha tensión.

5)De entre todos los planos que, pasando por P, contienen al eje principal correspondiente, indicad la orientación del plano que tiene ,mayor tensión tangencial e indicar el valor de dicha tensión

=1 cos

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=0

=90º Este plano forma 45º con el eje x 6) Representar en el espacio Haigh−Wertergard el estado tensional dado.

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PROBLEMA 4 La placa de la figura de espesor unidad está sometida a un estado plano de tensiones y cargada en sus lados con tensiones uniformemente distribuidas de 100 y 200 kg/cm2 según se ve en la figura: 1.Determinar la matriz de tensiones en cualquier punto de la placa: .Medienta el método analítico convencional .Intentando encontrar una función de Airy

Con las condiciones de contorno tenemos:

y así el tensor de tensiones:

Si aplicamos equilibrio interno despreciando fuerzas de volumen 19

Se cumplen. Aplicando las leyes de comportamiento:

Si aplicamos las ecuaciones de compatibilidad con deformaciones cumple la solución dada.

0=0

0=0

0=0

0=0

0=0

0=0 A la hora de calcular una función de Airy, como el problema es plano en tensiones y hemos despreciado las fuerzas de volumen al ser las tensiones constantes eligiremos un polinomio Airy de 2º grado

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Así la función de Airy con queda:

isostáticas:

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Isoclinas

2.Determinar las tensiones normal y tangencial sobre un plano perpendicular al plano director y cuya normal forma un ángulo de 45º con los ejes X e Y.

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