MATERIALES POLIMÉRICOS Y COMPUESTOS. Tema 11.- DEFORMACIÓN ELÁSTICA DE LOS COMPUESTOS DE FIBRA LARGA Y DE LOS LAMINADOS 1.- Introducción. 2.- Propiedades mecánicas de los compuestos de fibra larga. Análisis micromecánico de la lámina. 2.1.- Introducción. 2.2.- Fracciones volumétrica y másica, densidad y contenido de huecos. 2.3.- Evaluación de los cuatro módulos elásticos. 2.4.- Resistencia a la rotura (final) de una lámina unidireccional 2.4.1.- Introducción 2.4.2.- Resistencia a tracción longitudinal 2.4.3.- Resistencia a compresión longitudinal 2.4.4.- Resistencia a tracción transversal 2.4.5.- Resistencia a tracción transversal 2.4.6.- Resistencia a cortadura en el plano 2.5.- Coeficientes de expansión térmica 2.6.- Coeficientes de expansión por la humedad 3.- Análisis macromecánico de la lámina 3.1.- Introducción. 3.2.- Relaciones entre esfuerzos y deformaciones. Ley de Hooke. Propiedades elásticas de una lámina unidireccional. 3.3.- Ley de Hooke para una lámina unidireccional bidimensional 3.3.1.- Suposición de estado tensional plano 3.3.2.- Reducción de la ley e Hooke de tres a dos dimensiones 3.3.3.- Relación de las matrices de flexibilidad y rigidez con las constantes ingenieriles de una lámina 3.3.4.- Ley de Hooke para una lámina de dos dimensiones en ángulo 3.3.5.- Constantes ingenieriles de una lámina en ángulo 3.4.- Tensiones y deformaciones higrotérmicas en una lámina en ángulo 3.4.1.- Introducción 3.4.2.- Relaciones tensión-deformación higrotérmicas en una lámina unidireccional 3.4.3.- Relaciones tensión-deformación higrotérmicas en una lámina en ángulo 3.5.- Forma invariante de las matrices de flexibilidad y rigidez de una lámina en ángulo 3.6.- Criterios de fallo de una lámina en ángulo 3.6.1.- Introducción 3.6.2.- Criterio de fallo de la tensión máxima 3.6.3.- Relación de resistencia 3.6.4.- Envolventes de fallo 3.6.5.- Criterio de fallo de la deformación máxima 3.6.6.- Criterio de fallo de Tsai-Hill 3.6.7.- Criterio de fallo de Tsai-Wu 3.6.8.- Comparación de los resultados experimentales con los obtenidos de los criterios de fallo

4.- Análisis macromecánico de los laminados. 4.1.- Introducción. 4.2.- Nomenclatura de laminados 4.3.- Relaciones tensión-deformación en un laminado 4.3.1.- Ecuaciones tensión-deformación de una viga isotrópica unidimensional 4.3.2.- Ecuaciones deformación-desplazamiento 4.3.3.- Deformaciones y tensiones en un laminado 4.3.4.- Fuerza y momento resultantes relacionados con las deformaciones en el plano medio y las curvaturas 4.4.- Módulos de flexión en el plano de un laminado 4.4.1.- Introducción 4.4.2.- Constantes ingenieriles en el plano de un laminado 4.4.3.- Constantes ingenieriles de flexión de un laminado 4.5.- Efectos higrotérmicos en un laminado 4.5.1.- Introducción 4.5.2.- Tensiones y deformaciones higrotérmicas 4.5.3.- Coeficientes de expansión térmica y humedad de un laminado 4.6.- Alabeo de laminados 4.7.- Bordes 5.- Diseño, análisis y rotura de laminados 5.1.- Introducción 5.2.- Casos especiales de laminados 5.2.1.- Introducción 5.2.2.- Laminados simétricos 5.2.3.- Laminados de láminas cruzadas 5.2.4.- Laminados con la lámina en ángulo 5.2.5.- Laminados antisimétricos 5.2.6.- Laminados balanceados 5.2.7.- Laminados cuasi-isotrópicos 5.3.- Criterios de rotura de un laminado 5.3.1.- Introducción 5.3.2.- Fallo inicial 5.3.3.- Fallo final y resistencia 5.4.- Diseño de materiales compuestos laminados 5.5.- Otros diseños mecánicos 5.5.1.- Materiales compuestos sandwhich 5.5.2.- Efectos ambientales a largo plazo 5.5.3.- Tensiones interlaminares 5.5.4.- Resistencia al impacto 5.5.5.- Resistencia a la fractura 5.5.6.- Resistencia a la fatiga 6.- Vigas. 6.1.- Introducción. 6.2.- Vigas simétricas 6.3.- Vigas no simétricas

MATERIALES POLIMÉRICOS Y COMPUESTOS. Tema 11.- MECÁNICA DE LOS MATERIALES COMPUESTOS. DEFORMACIÓN ELÁSTICA DE LOS COMPUESTOS DE FIBRA LARGA Y DE LOS LAMINADOS 1.- Introducción. Un material compuesto está formado por dos o más componentes, por lo que el análisis y el diseño de estos materiales son diferentes que el que se realiza para los materiales convencionales, como los metales. El enfoque para analizar el comportamiento mecánico de las estructuras de materiales compuestos es el siguiente (Figura 1.1): 1.- Encontrar las propiedades promedio de una lámina a partir de las propiedades de los constituyentes individuales. Las propiedades incluyen la rigidez, resistencia, térmicas, la humedad y los coeficientes de expansión. Hay que tener en cuenta que las propiedades promedio se derivan de considerar la capa que sea homogéneo. En este nivel, se pueden optimizar los requisitos de rigidez y de resistencia de una lámina. Esto se conoce como la micromecánica de una lámina. 2.- Desarrollar las relaciones tensión-deformación de una lámina unidireccional/bidireccional. Las cargas se pueden aplicar a lo largo de las direcciones principales de simetría de la lámina o fuera de eje. Además, se desarrollan las relaciones para la rigidez, los coeficientes de expansión térmica y humedad y las resistencias de las láminas en ángulo. Las teorías de fallo de una lámina se basan en las tensiones en la lámina y las propiedades de resistencia de la lámina. Esto se denomina macromecánica de una lámina.

Figura 1.1.- Esquema del análisis de un laminado.

Una estructura de materiales compuestos es generalmente una estructura laminada hecha de varias láminas apiladas unas sobre otras. Conociendo la macromecánica de una lámina única, se desarrolla la macromecánica de un laminado. Se puede determinar para todo el laminado la rigidez, resistencia y los coeficientes de expansión térmica y humedad. La rotura del laminado se basa en las tensiones y la aplicación de las teorías de rotura de cada lámina. Este conocimiento del análisis de los materiales compuestos puede servir de base para el diseño mecánico de estructuras de materiales compuestos. Usando las propiedades de la interfase, es posible calcular la distribución de esfuerzos y deformaciones en un material compuesto en función de la forma, la distribución y fracción de volumen de las fibras y las propiedades elásticas de las fibras y de la matriz. Algunos de estos cálculos son muy complejos y, verdaderamente, algunos problemas están aún por resolver. A partir de la distribución de esfuerzos y deformaciones pueden calcularse las propiedades elásticas del material compuesto. A causa de la complejidad de los cálculos a menudo es necesario usar fórmulas determinadas empíricamente. Se determinará la relación entre las propiedades elásticas de una lámina unidireccional y las propiedades de los constituyentes y se comparan con los resultados experimentales. Esto viene seguido por una descripción de las relaciones correspondientes para láminas de fibras largas en disposición aleatoria. En ambas láminas, la unidireccional y la de fibras largas en disposición aleatoria, pueden ignorarse los efectos asociados a las puntas de las fibras, excepto cuando se consideren los procesos de rotura. Esto no es verdad para materiales compuestos de fibra corta. 2.- Propiedades mecánicas de los compuestos de fibra larga. Análisis micromecánico de la lámina. 2.1.- Introducción. Las relaciones tensión-deformación, las constantes ingenieriles y las teorías de rotura de una lámina en ángulo que se desarrollarán más adelante (apartado 3, macromecánica de una lámina) utilizan 4 módulos elásticos, 5 parámetros de resistencia, dos coeficientes de expansión térmica (CTE) y dos coeficientes de expansión de humedad (CME) de una lámina unidireccional. Esos 13 parámetros se pueden encontrar experimentalmente mediante la realización de varios ensayos de tracción, compresión, esfuerzo cortante e higrotérmicos en una lámina unidireccional (laminados). Sin embargo, a diferencia de los materiales isotrópicos, la evaluación experimental de estos parámetros es muy costosa y se consume mucho tiempo, porque son funciones de varias variables: los componentes individuales del material compuesto, la fracción volumétrica de fibras, la geometría del empaquetamiento, el procesamiento, etc. Por lo tanto, la necesidad y motivación para el desarrollo de modelos analíticos para determinar dichos parámetros son muy importantes. Se van a desarrollar relaciones simples de los parámetros de la lámina en términos de las rigideces, resistencias, coeficientes de expansión térmica y de humedad de los componentes individuales del material compuesto, fracción volumétrica de fibras, geometría del empaquetamiento, etc. La comprensión de dichas relaciones, denominada micromecánica de la lámina, ayuda al diseñador a seleccionar los componentes de un material compuesto para su uso en una estructura laminada. La pregunta básica de la micromecánica de una lámina es: ¿cuál es la relación de las propiedades de la lámina en relación con las propiedades de los componentes? (Figura 2.1.1). Una lámina unidireccional no es homogénea. Sin embargo, se puede asumir que la lámina sea homogénea, centrándose en la respuesta promedio de la lámina a las cargas mecánicas y higrotérmicas. La lámina es simplemente vista como un material cuyas propiedades son diferentes en varias direcciones, pero no diferentes de un lugar a otro.

Figura 2.1.1.- Pregunta básica de la micromecánica. 2.2.- Fracciones volumétrica y másica, densidad y contenido de huecos. Antes de modelar los 13 parámetros de una lámina unidireccional, se va a introducir el concepto de fracción volumétrica de fibras en el material compuesto. Este concepto es fundamental, porque las fórmulas teóricas para encontrar la rigidez, la resistencia y las propiedades higrotérmicas de una lámina unidireccional son función de la fracción volumétrica de fibras. Las mediciones de los componentes se basan generalmente en su masa, por lo que también puede definirse la fracción másica de fibras. Por otra parte, la definición de la densidad de un material compuesto también es necesaria debido a que su valor se utiliza en la determinación experimental del volumen de fibras y de huecos de un material compuesto. Además, el valor de la densidad se utiliza en la definición de módulo específico y resistencia específica. Fracción volumétrica. Consideremos un material compuesto que tiene como componentes fibras y matriz y tomemos las siguientes notaciones de símbolos: vc, f, m = Volumen del material compuesto, fibra y matriz respectivamente. ρc, f, m = Densidad del material compuesto, fibra y matriz respectivamente. Se define la fracción de volumen de las fibras Vf y la fracción de volumen de la matriz Vm como:

Vf 

vf vc

y Vm 

vm vc

La suma de las fracciones volumétricas es:

Vf  Vm 

vf vc



vm vf  vm vc    1, es decir : Vf  Vm  1 vc vc vc

ya que :

vf  vm  vc

(2.2.1)

Fracción másica. Consideremos un material compuesto que tiene como componentes fibras y matriz y tomemos la siguiente notación de símbolos: wc, f, m = Masa del material compuesto, fibra y matriz respectivamente. Se define la fracción másica de las fibras Wf y la fracción másica de la matriz Wm como:

Wf 

wf wc

y

Wm 

wm wc

(2.2.2)

La suma de las fracciones volumétricas es:

Wf  Wm 

wf wc



w m wf  w m wc    1, es decir : Wf  Wm  1 wc wc wc

ya que :

wf  w m  wc De la definición de densidad de un material simple, se tiene:

wc  cv c

w f  f v f

(2.2.3)

w m  m v m

Sustituyendo la ecuación (2.2.3) en la (2.2.2) se obtienen las relaciones entre las fracciones volumétricas y másicas:

Wf 

f V c f

y

Wm 

m V c m

(2.2.4)

en términos de las fracciones de volumen de fibra y matriz. En términos de las propiedades de los constituyentes individuales , las fracciones de masa y de volumen están relacionados por:

Wf 

f m

f V V m f m

Vf

y

Wm 

1

f 1  Vm   Vm m

Vm

(2.2.5)

En base a la ecuación (2.2.4), es evidente que las fracciones de volumen y masa no son iguales y que el desajuste entre las fracciones en masa y volumen aumenta cuando la relación entre la densidad de la fibra y la matriz es diferente de uno.

Densidad. La derivación de la densidad de un material compuesto en términos de las fracciones de volumen se determina de la siguiente manera. La masa del material compuesto wc es la suma de la masa de las fibras wf y la masa de la matriz wm:

wf  w m  wc

(2.2.6)

Sustituyendo la ecuación (2.2.3) en la (2.2.6) se obtiene:

cv c  f v f  mv m y dividiendo por vc:

c  f

vf v  m m vc vc

y usando las definiciones de las fracciones volumétricas de las fibras y de la matriz dadas por las ecuaciones (2.2.1) se tiene

c  f Vf  mVm

(2.2.7)

La fórmula anterior no depende de la geometría de las fases que componen el material compuesto. Considerando que:

vf  vm  vc la densidad del material compuesto en términos de las fracciones de masa es:

1

c



Wf

f



Wm

m

También se puede derivar una expresión para ρc en términos de las fracciones másicas. Así:

c 

wc wc wc   vc vf  v m  vv wf  wm  v v

f

(2.2.8)

m

donde vv es el volumen de huecos. De la ecuación (2.2.8) se obtiene:

c 

wf

wc

f

1 wm 

 wc

m

v  v wc

Wf

f



1 Wm

m





vv wc

1 Wf

f



Wm

m



vv c v c

o bien:

c 

Wf

f



1 Wm

m



Vv

c

; si Vv  0, se tiene : c 

1 Wf

f



Wm

m

(2.2.9)

Durante la fabricación de un material compuesto, pueden introducirse huecos como se muestra en la figura 2.2.1. Esto hace que la densidad teórica del compuesto sea mayor que la densidad real. Además, el contenido de huecos en un material compuesto es perjudicial para sus propiedades mecánicas, lo que incluye una menor: • Rigidez de corte y resistencia • Resistencia a la compresión • Resistencia a la tracción transversal • Resistencia a la fatiga • Resistencia a la humedad La ecuación (2.2.9) puede usarse para determinar, de forma indirecta, la fracción de volumen de los huecos presentes en un material compuesto (VV). Así:

c 

c

 Mf

c 

 f



Mm  V m  v

y despejando VV:

M M  Vv  1  c  f  m   f  m 

(2.2.10)

Figura 2.2.1.- Microfotografía de la sección transversal de una lámina con huecos. Determinación experimental: las fracciones en volumen de fibra de los componentes de un compuesto se determinan, por lo general, por combustión o mediante ensayos de digestión ácida. Estos ensayos consisten en tomar una muestra de material compuesto y pesarla. Entonces la densidad de la muestra se encuentra por el método de desplazamiento de líquido en el que se pesa la muestra en el aire y sumergida en agua. La densidad del material compuesto está dada por:

c 

wc w wc  w i

donde: wc = Peso del material compuesto wi = Peso del compuesto cuando se sumerge en el agua ρw = Densidad del agua

(2.2.11)

Para las muestras que flotan en el agua, se coloca una plomada se adjunta. La densidad de la compuesto es declarado por:

c 

wc w wc  ws  ww

(2.2.12)

donde wc = Peso del material compuesto ws = Peso de la plomada cuando se sumerge en el agua ww = Peso de la plomada y la muestra cuando se sumerge en el agua La muestra se disuelve en una solución ácida o se quema. Los materiales compuestos a base de vidrio se queman y los basados en carbono y aramida son digeridos en soluciones ácidas. Los materiales compuestos de carbono y aramida no pueden ser quemados, porque el carbono se oxida en el aire por encima de 300 °C y la fibra de aramida se puede descomponer a altas temperaturas. Los materiales compuestos a base de epoxi pueden ser digeridos por el ácido nítrico o de una mezcla caliente de etilenglicol e hidróxido de potasio. Los materiales compuestos a base de poliamida y de resinas fenólicas utilizan mezclas de ácido sulfúrico y peróxido de hidrógeno. Cuando la digestión o quemado se hayan completado, las fibras restantes se lavan y secan varias veces y luego se pesan. Las fracciones en peso de fibra y matriz se pueden encontrar usando la ecuación (2.2.2). La densidad de la fibra y la matriz son conocidos, por lo que se puede utilizar la ecuación (2.2.4) para determinar la fracción de volumen de los constituyentes del material compuesto y la ecuación (2.2.7) para calcular la densidad teórica del compuesto. 2.3.- Evaluación de los cuatro módulos elásticos. Al igual que para los materiales compuestos de fibra corta (SFRTP’s), las propiedades mecánicas de los materiales compuestos de fibra larga (LFRTP’s) dependen del contenido y de la orientación de las fibras. Sin embargo, como las fibras son largas, es decir, de relaciones de aspecto altas, los efectos finales (de borde) pueden despreciarse, por lo que el factor de corrección de la longitud es igual a la unidad. En una lámina unidireccional hay cuatro módulos de elasticidad: • Módulo de elasticidad longitudinal, E1 • Módulo de elasticidad transversal, E2 • Coeficiente de Poisson, ν12 • Módulo de cortadura planar, G12 Enfoque de resistencia de materiales. A partir de una lámina unidireccional, se toma un elemento de volumen representativo (RVE) (la parte más pequeña del material que representa al material en su conjunto), que consiste en la fibra rodeada por la matriz (Figura 2.3.1). Este elemento de volumen representativo (RVE) puede ser visto como bloques rectangulares. La fibra, la matriz, y el material compuesto se supone que son del mismo ancho, h, pero de espesores de tf, tm, y tc, respectivamente.

Figura 2.3.1.- Volumen representativo de una lámina unidireccional El área de la fibra está dada por

Af  htf la de la matriz por:

Am  htm y la del material compuesto por

Ac  htc La fracción volumétrica de la fibra viene dada por:

Vf  y la fracción volumétrica de la matriz:

Vm 

Af Ac



tf tc

Am tm   1  Vf Ac tc

Se realizan las siguientes suposiciones en el modelo de enfoque de resistencia de los materiales: • • • • • •

La unión entre las fibras y la matriz es perfecta. Los módulos elásticos, los diámetros y el espacio entre las fibras son uniformes. Las fibras son continuas y paralelas. Las fibras y la matriz siguen la ley de Hooke (linealmente elásticas). Las fibras poseen una resistencia uniforme. El material compuesto está libre de huecos.

Módulo de elasticidad longitudinal. Si se aplica la condición de igual deformación o isodeformación (la deformación ε1, en la matriz será la misma que la deformación en la fibra si la unión entre la fibra y la matriz es perfecta) (modelo de bloques o de Voigt) a un material compuesto reforzado con fibras dispuestas unidireccionalmente , que se somete a una carga de tracción (o compresión) en la dirección del eje de las fibras (Figura 2.3.2), se obtiene la expresión del módulo de Young dado por la ecuación (2.0). La condición de isodeformación (o acción en paralelo) nos da que la deformación en la fibra, en la matriz y en el material compuesto es idéntica, con lo que se puede escribir:

 f   m   c1 

L L

(2.3.1)

donde ε es la deformación, ΔL es el cambio de longitud, L la longitud inicial y los subíndices f, m y c1 indican fibra, matriz y material compuesto en la dirección longitudinal, respectivamente.

Figura 2.3.2.- Material compuesto con fibras dispuestas unidireccionalmente, que se somete a una carga de tracción en la dirección del eje de las fibras

Suponiendo comportamiento elástico y aplicando la ley de Hooke, las tensiones uniaxiales (ζ) actuando sobre las fibras y la matriz vienen dadas por:  f  Ef  c 1 ,  m  E m  c 1 (2.3.2) Se sigue que si Ef >Em el esfuerzo en las fibras es mayor que en la matriz. Esto es, por supuesto, la base subyacente del refuerzo con fibras puesto que las fibras soportan la parte principal de la carga aplicada PC. La carga aplicada al material compuesto, FC, se reparte entre la fibra y la matriz (Figura 2.3.3), es decir:

FC  Ff  Fm (FC   c Ac , Ff   f Af , Fm   f Af ) o bien:

(2.3.3)

 c1AC   f Af   m Am  Ef  c1Af  Em c1Am   Ef Af  Em Am  c1

(2.3.4)

de donde:



 c1  Ec1 c1   Ef 

Af A   Em m   c 1 Ac Ac 

(2.3.5)

Figura 2.3.3.- Esfuerzo longitudinal aplicado al elemento de volumen representativo para calcular el módulo de elasticidad longitudinal de una lámina unidireccional. Luego, identificando con la ley de Hooke, ζ = Eε, se tiene:

Ecl  Ef

Af A  Em m  Ef Vf  EmVm  Ef Vf  Em 1  Vf   E11  E1  EII (Regla de las mezclas) Ac Ac

ya que: Fracción volumétrica de fibras =

Vf 

vf VT



Af L AT L



Af AT



Af AC

( Af  Vf AT )

y Fracción volumétrica de matriz = Vm 

v m Am L Am Am    VT AT L AT AC

( Am  Vm AT )

(2.3.6)

Si existe más de un tipo de fibras, la ecuación (2.3.6) se transforma en:

E11  E1  EII  Ecl  EmVm  Ef 1Vf 1  Ef 2Vf 2  ............

(2.3.7)

Las predicciones de la ecuación (2.3.6) están de acuerdo (dentro del 5%) con los datos de los experimentos de carga de tracción cuidadosamente controlad. Las predicciones no son tan buenas para una carga de compresión debido a que los resultados experimentales son muy sensibles al diseño del equipo y a la alineación de las fibras en la muestra. Además se tiene:



 c 1   Ef 

Af A   Em m   c1   Ef Vf  EmVm   c1  Ef Vf  c1  EmVm c1 Ac Ac 

y como:

 f   m   c1 luego:

se tiene:

 c1  Ef Vf  f  EmVm m

 c   f Vf   mVm

(2.3.8)

(2.3.9)

(2.3.10)

La variación del módulo de elasticidad longitudinal Ed (o E11 o E1) en función de la fracción de volumen de las fibras, Vf, dado por la ecuación (2.3.6), se muestra en la figura 2.3.4.

Figura 2.3.4.- Variación del módulo de elasticidad longitudinal Ed y transversal Ect con la fracción de volumen de las fibras, Vf.

La proporción de la carga soportada por las fibras Ff con respecto a la soportada por el material compuesto Fc es una medida de la carga compartida por las fibras. De la ecuación (2.3.3) y la ley de Hooke, se tiene:

Ff Fc



Ef Ecl

Vf

y análogamente:

Fm Em  Vm Fc Ecl ,

con lo que:

Ff Fm



Ef Vf Em Vm

(2.3.11)

En la figura 2.3.5, se puede ver la representación gráfica de la relación de la carga soportada por las fibras con respecto a la soportada por el material compuesto en función de la relación de los módulos de elasticidad Ef/Em, para valores constantes de la fracción volumétrica de fibras Vf. Se puede observar que a medida que aumenta la relación de los módulos, la carga soportada por la fibra aumenta enormemente. El análisis anterior se basa en la suposición de que la ecuación (2.3.3) es válida. Esto no es estrictamente cierto puesto que las desiguales contracciones de Poisson (es decir, υm ≠ υf) ocasionarán esfuerzos adicionales que no han sido considerados aquí. Sin embargo el error en E d es probablemente menor que un 1 o 2 % y la verificación experimental para la ecuación (2.3.6) se ha obtenido para muchos sistemas de fibraresina.

Figura 2.3.5.- Relación de la carga soportada por las fibras con respecto a la soportada por el material compuesto en función de la relación de los módulos de elasticidad Ef/Em, para diversos valores de la fracción volumétrica de fibras Vf.

Módulo de elasticidad transversal. Se puede usar el mismo procedimiento para predecir el módulo transversal de una lámina unidireccional. El módulo de elasticidad longitudinal transversal Ect (o E22 o E2) puede determinarse usando una condición de igual tensión o isotensión o acción en serie (Modelo de Reuss), es decir las fibras, la matriz y el material compuesto soportan la misma tensión (Figura 2.3.8), que es una aproximación inexacta. En este caso se tiene:

 f   m   ct

(2.3.12)

Figura 2.3.8.- Material compuesto con fibras dispuestas unidireccionalmente, que se somete a una carga de tracción en la dirección perpendicular a la dirección del eje de las fibras El desplazamiento, Δt, en la dirección transversal (en el espesor) es la suma de la extensión transversal de la fibra Δtf, y que es la matriz, Δtm:

tc  tm  tf

(2.3.13)

dividiendo por el espesor inicial, tc, se obtiene la deformación en la dirección transversal:

 ct 

tc t m t m tf tf   tc t m tc tf tc

(2.3.14)

o bien:

 ct   m

tm t   f f   mVm   f Vf tc tc

(2.3.15)

Ya que las fracciones entres espesores son las mismas que las fracciones en volumen, ya que las otras dos dimensiones son iguales en la fibra y la matriz. La fibra, la matriz y el material compuesto se supone que son de la misma anchura, h, pero de espesores de tf, tm, y tc, respectivamente. El área de la fibra, de la matriz y del material compuesto están dadas, por (Recordando lo expuesto anteriormente sobre el elemento representativo de volumen, RVE) (Figura 2.3.9):

A  ht , A  ht , f f m m

A  ht c

c

Vm 

v m Am htm tm    VT AT htC tC

luego:

Vf 

vf VT



Af AT



htf htC



tf tC

y

Figura 2.3.9.- Elemento de volumen representativo de una lámina unidireccional. Usando la ley de Hooke, la ecuación (2.3.15) se puede escribir:

 ct

Ect   E2 



 ct Em

Vm 

 ct Ef

Vf

(2.3.16)

de donde:

1 Vm Vf 1 1     Ect Em Ef E22 E2

(2.3.17)

Ef E m Ef E m  EmVf  Ef 1  Vf  EmVf  Ef Vm

(2.3.18)

y operando:

Ect   E2  

La ecuación (2.3.18) puede escribirse en forma adimensional como sigue:

Ect E2 1   Em Em V  V  Em   f  m  Ef 

(2.3.19)

La variación del módulo de elasticidad transversal Ect (o E22 o E2) en función de la fracción de volumen de las fibras, Vf, dado por la ecuación (2.3.18), se muestra en la figura 2.3.10. Se representa la relación del módulo de elasticidad transversal con respecto al de la matriz en función de la fracción volumétrica de las fibras, para diversos valores de la relación de los módulos de elasticidad Ef/Em. Para los materiales compuestos de matriz cerámica y metálica, los módulos de elasticidad de la fibra y de la matriz elástica son del mismo orden. (Por ejemplo, para un material compuesto de matriz metálica (carburo de silicio/aluminio) Ef/Em = 4 y para un material compuesto de matriz cerámica (SiC/CAS) Ef/Em = 2). En tales casos, el módulo de elasticidad transversal del material compuesto, cambia con más suavidad en función de la fracción volumétrica de fibra. Para los materiales compuestos de matriz polimérica, la relación de módulos fibra/matriz es muy elevada. (Por ejemplo, para un material compuesto de matriz polimérica (vidrio/epoxi), Ef/Em = 25). En estos casos, el módulo de elasticidad transversal del material compuesto cambia apreciablemente sólo para grandes valores de la fracción volumétrica de las fibras. La figura 2.3.10 muestra que, para valores altos de la relación E f/Em, la contribución del módulo de la fibra sólo se incrementa sustancialmente por una fracción volumétrica de fibra superior al 80 %. Estas fracciones volumétricas de fibra no se presentan en la práctica y en muchos casos son físicamente imposibles debido a la geometría del empaquetamiento de la fibra.

Figura 2.3.10.- Relación del módulo de elasticidad transversal con respecto al de la matriz en función de la fracción volumétrica de las fibras, para diversos valores de la relación de los módulos de elasticidad Ef/Em.

La figura 2.3.11 muestra dos posibilidades de empaquetamiento de las fibras. Puede observarse, que la relación entre el diámetro de las fibras, d, y su espaciado, s, (d/s), varía con la geometría del empaquetamiento. Para fibras de sección transversal circular con una disposición cuadrada, la relación d/s, toma el valor:

4Vf d  s  Lo que nos da un valor máximo para la fracción volumétrica de fibras del 78.54 %, cuando s ≥d. Si las fibras adoptan una disposición hexagonal, la relación d/s, toma el valor:

2 3Vf d  s  Lo que nos da un valor máximo para la fracción volumétrica de fibras del 90.69 %, cuando s ≥d. Los valores máximos anteriores para la fracción volumétrica de fibras no se usan en la práctica, porque las fibras se tocan unas a otras y, por lo tanto, tienen superficies en las que la matriz no impregna a las fibras.

Figura 2.3.11.- Espaciado entre fibras (a) disposición cuadrada (b) disposición hexagonal.

La forma general de la ecuación (2.3.18) está razonablemente de acuerdo con los resultados experimentales, que se muestran en la figura 2.3.12, donde puede verse la variación de Ect (=E2) con Vf para materiales compuestos de resina de poliéster-fibra de vidrio. Sin embargo, la ecuación no es un buen ajuste a los resultados reales y hay una cantidad considerable de dispersión. Esto establece la necesidad de usar técnicas mejores de modelado. Estas técnicas incluyen los métodos numéricos, tales como elementos finitos y diferencias finitas y métodos de elementos límite, soluciones basadas en la elasticidad y modelos variacionales. Desafortunadamente, estos modelos sólo están disponibles en forma de ecuaciones complicadas o en forma gráfica. Debido a estas dificultades, se han desarrollado modelos semiempíricos para fines de diseño. El más útil de estos modelos es el de Halpin y Tsai, ya que se puede utilizar en una amplia gama de propiedades elásticas y fracciones volumétricas de fibras. Se han propuesto otras ecuaciones semiempíricas alternativas de la ecuación (2.3.18) para tener en cuenta los efectos de la contracción de Poisson, que se ilustran también en la figura 2.3.12, y dan un mejor ajuste a los resultados experimentales para algunos valores de Vf. Así, por ejemplo, la expresión (Ecuación de Brintrup):

Ef Em' Ect  ' EmVf  Ef 1  Vf 

donde : Em'



Em

1  m2

(2.3.20)

da una curva (Figura 2.3.12) que se acerca más a los resultados experimentales a valores elevados de Vf.

Figura 2.3.12.- Módulos elásticos medidos transversalmente a las fibras de láminas unidireccionales de resina de poliéster y fibra de vidrio con diferentes Vf.

Existe una aproximación más exacta, en la que se supone desigual tensión (Figura 2.3.13)

Figura 2.3.13.- Condición de desigual tensión. En términos prácticos el análisis antes expuesto es demasiado simplista, particularmente en relación con la asunción de que las tensiones en la fibra y la matriz son iguales. Las fibras se dispersan generalmente al azar en cualquier sección representativa del material compuesto (Figura 2.3.14) y así la fuerza aplicada será compartida por las fibras y la matriz pero no necesariamente igualmente. Otras inexactitudes también se presentan debido a desajuste en los coeficientes del Poisson para las fibras y la matriz. Así, se han sugerido ecuaciones empíricas para tomar estos factores en cuenta. Uno de ellas es la ecuación de Halpin-Tsai.

Figura 2.3.14.- Dispersión de las fibras en la sección transversal de material compuesto unidireccional. La teoría de la elasticidad y el análisis por elementos finitos han sido usados para predecir E ct y otros módulos usando hipótesis más realistas. Una simplificación de algunas de estas soluciones ha sido desarrollada por Halpin & Tsai (1967) y sus ecuaciones son útiles para la predicción de las propiedades de los materiales compuestos. Generalmente se aplican más que ecuaciones tales como la (2.3.18). Siguiendo el método de Halpin-Tsai se tiene:

Ect 

Em 1  Vf  1 Vf 

(2.3.21a)

donde:

 Ef   1   Em     Ef      Em 

con ξ ≈ 1 (Factor de refuerzo) y ajustable

(2.3.21b)

El parámetro ξ, denominado factor de refuerzo, depende de varias características de la fase de refuerzo tales como la forma y la relación de aspecto de las fibras (Geometría de la fibra), forma y regularidad del empaquetamiento y también de las condiciones de carga. Halpin y Tsai obtuvieron el valor del factor de refuerzo ξ mediante la comparación de la ecuación (2.3.20) y la ecuación (2.3.21) con las soluciones obtenidas a partir de la teoría de la elasticidad. Por ejemplo, para una geometría de fibras circulares con una geometría de empaquetamiento de ordenamiento cuadrado, ξ = 2. Para fibras de sección transversal rectangular de longitud a y anchura b en un ordenamiento hexagonal, ξ = 2 (a/b), donde b es en la dirección de la carga. El concepto de dirección de carga se ilustra en la figura 2.3.15.

Figura 2.3.15.- Concepto de dirección de carga para el cálculo del módulo de elasticidad transversal mediante la ecuación de Halpin-Tsai. Los parámetros ξ y η tienen significado físico, así:

Ef  1 , implica η = 0 (Medio homogéneo) Em

Ef   , implica η = 1 (Inclusiones rígidas) Em Ef  0 , implica η = -(1/ ξ) (Huecos) Em Existen métodos más exactos, como el de Eshelby, pero es muy complicado.

En la figura 2.3.16 puede verse variación del módulo de elasticidad transversal Ect (o E22) en función de la fracción de volumen de las fibras, Vf, para dos materiales compuestos en el caso de igual tensión (modelo de Reuss), que nos da un límite inferior, y para los métodos de Halpin-Tsai (nos da una buena aproximación para ξ = 1) y de Eshelby. Como en el caso del módulo extensible transversal, E2 el análisis antedicho tiende para subestimar el módulo de corte del plano interior. Por lo tanto es de nuevo común el recurso a las relaciones empíricas y la más popular es la ecuación Halpin-Tsai.

Figura 2.3.16.- Variación del módulo de elasticidad transversal E ct (o E22) en función de la fracción de volumen de las fibras, Vf, para dos materiales compuestos en el caso de igual tensión (modelo de Reuss), que nos da un límite inferior, y para los métodos de Halpin-Tsai (nos da una buena aproximación para ξ = 1) y de Eshelby. Coeficiente de Poisson principal, υ12. El coeficiente de Poisson principal se define como la relación entre la deformación normal en la dirección transversal (negativa) con respecto a la deformación en la dirección longitudinal, cuando se aplica una carga normal en la dirección longitudinal. Supongamos que un material compuesto se carga en la dirección paralela a las fibras, como se muestra en la figura 2.3.17, donde las fibras y la matriz están representadas por medio de bloques rectangulares. Considerando otra vez el material compuesto reforzado con fibras dispuestas unidireccionalmente, que se somete a una carga de tracción en la dirección del eje de las fibras (Figura 2.3.17), se alargara en la dirección longitudinal (dirección 1), ε1 y se contrae transversalmente (dirección 2), ε2.

Figura 2.3.17.- Efecto de Poisson. La contracción en la dirección 2 debida a todas las fibras será:

1Vff

donde Vf es la fracción de volumen de las fibras y υ f es el coeficiente de Poisson de las fibras. Similarmente, la contracción debida a la matriz será:

1Vmm

La contracción total del material compuesto en la dirección 2 vendrá dada, entonces, por:

 2  1Vff  1Vmm  1 Vff  Vmm 

(2.3.22)

con lo que definiendo el coeficiente de Poisson del material compuesto como: será:

12  

12  Vff  Vmm

1 2 (2.3.23)

Por otra parte, como se cumplen las dos relaciones siguientes:

12 E1



21

G23 

y

E2

E2 2 1  23 

se tiene:

21  Vf f  Vmm 

E2 E  12 2 E1 E1

(2.3.24)

y:

23 

E2 1 G23

El valor de υ21 será menor que el de υ21, debido a que bajo tensiones transversales las fibras ofrecen una gran resistencia a la contracción axial. Esto conduce a una contracción pronunciada en otras direcciones transversales, de tal modo que υ23 se espera que tenga un valor alto. Una expresión para υ23 puede obtenerse considerando la variación global de volumen experimentada por el material, se tiene:

  1   2   3 

H K

donde ζH es la tensión hidrostática aplicada y K es el modulo volumétrico global del material compuesto. En nuestro caso solamente se está aplicando una tensión simple, ζ 2, de tal modo que:

 1   2   3   2  3   3

H   así:

3 

2 3K

 1   2

lo que nos conduce a:

23  

2     2  1 1 3 3K  2  2

o bien:

23  1  21 

E2 3K

(2.3.25)

donde:

K

Kf Km K mVf  K f Vm

y

Kf (m) 

Ef ( m )

3 1  2f ( m ) 

(2.3.26)

La variación de los tres coeficientes de Poisson (υ 12, υ21, υ23 ) en función de la fracción de volumen de las fibras, Vf, se muestra en la figura 2.3.18.

Figura 2.3.18.- Variación de los tres coeficientes de Poisson en función de la fracción volumétrica de fibras. Módulo de cortadura en el plano, G12. En el caso del modulo de cortadura principal o longitudinal, tanto las fibras como la matriz están sometidas a la misma tensión cortante (modelo de bloques), como se muestra en la figura 2.3.19. Las deformaciones en la matriz y en las fibras están dadas por:

m  respectivamente, donde η de la tensión cortante y G material compuesto Δ, debido a la tensión cortante, es:



Gm

y f 



Gf

(2.3.27)

el módulo de cortadura. El desplazamiento total del

  t

(2.3.28)

donde γ es la deformación a cortadura media del material compuesto y t su espesor. En el caso de igual tensión el desplazamiento total del material compuesto  puede descomponerse en términos del desplazamiento de los componentes:

   m  f o bien:

  Vmt m  Vf t f

(2.3.29)

Figura 2.3.19.- Material compuesto con fibras dispuestas unidireccionalmente, que se somete a una carga cortante paralela a las fibras.

De las ecuaciones (2.3.28) y (2.3.29) se deduce:



  Vm m  Vf  f t

(2.3.30)

y teniendo en cuenta las ecuaciones (2.3.27):

 G12



 Gm

Vm 

 Gf

Vf

de donde:

1 Vm Vf   G12 Gm Gf y operando:

G12 

Gf Gm Gf Gm Gf Gm   GmVf  Gf Vm GmVf  Gf 1  Vf  GmVf  Gf Vm

(2.3.31)

Como en el caso de E2, la expresión de G12 puede normalizarse del siguiente modo:

G12 1  Gm V  V  Gm   m f   Gf  En la figura 2.3.20 se representa el valor de (G12/Gm) en función de la fracción volumétrica de fibras, V f, para varios valores de la relación, G f/Gm. Se observa, que solamente para un valor de Vf mayor del 50 % el valor de G12 es dos veces el de Gm, incluso cuando Gf/Gm = 10

Figura 2.3.20.- Variación de la relación (G12/Gm) en función de la fracción volumétrica de fibras, Vf.

Siguiendo el método de Halpin-Tsai (Modelo real) se tiene:

G12 

Gm 1  Vf  1 Vf 

(2.3.32)

donde:

 Gf   1  G   m   Gf      Gm 

(2.3.33)

El valor del factor de refuerzo, ξ, depende de la geometría de fibra, de la geometría del empaquetamiento y de las condiciones de carga. Por ejemplo, para fibras circulares en una disposición cuadrada, ξ = 1. Para fibras de sección rectangular de longitud a y anchura b en una disposición hexagonal, ξ = √3Ln(a/b) donde a es la dirección de la carga. El concepto de dirección de la carga se da en la figura 2.3.21.

Figura 2.3.21.- Concepto de dirección de carga para calcular el módulo de cortadura en el plano mediante las ecuaciones de Halpin-Tsai. El valor de ξ = 1 para las fibras circulares en una disposición cuadrada da resultados razonables sólo para fracciones volumétricas de fibra de hasta 0.5. Por ejemplo, para una lámina típica vidrio/epoxi con una fracción volumétrica de fibra de 0.75, el valor del módulo de cortadura en el plano utilizando la ecuación Halpin-Tsai con ξ = 1 es un 30 % menor que el valor obtenido mediante el enfoque basado en la elasticidad. Hewitt y Malherbe sugieren la elección de la función,

  1  40Vf10

(2.3.34)

G13  VmGm  Vf Gf

(2.3.35)

En el caso de igual deformación se obtiene:

En general debe señalarse que las ecuaciones anteriores se basan en una distribución ideal y uniforme de fibras. En la práctica, las ecuaciones dan un límite inferior para los módulos, y se han propuesto varias ecuaciones semiempiricas para proporcionar una descripción más exacta. Las ecuaciones anteriores se aplican a cargas paralelas y transversalmente a la dirección de las fibras para un material compuesto UD. La predicción de las propiedades mecánicas de un laminado más general, consistente en varias capas de fibras en distintas orientaciones (Figura 2.3.22), es un poco más complicada.

Figura 2.3.22.- Esquema de un material compuesto laminado. Puede obtenerse una predicción exacta transformando los ejes para la tensión o la deformación y aplicando la teoría clásica de los laminados (CLT), para predecir sus propiedades. Sin embargo, pueden obtenerse resultados aproximados utilizando el análisis de Krenchel donde introducimos un factor de rendimiento en la regla de mezclas estándar.

E1  0Vf Ef  1  Vf  Em

(2.3.36)

donde el factor de rendimiento, η0, depende de la proporción de las fibras, ai, orientada un ángulo αi para la carga utilizada:

0   ai cos4  i

(2.3.37)

i

En la figura 2.3.23 se dan variaciones típicas de las propiedades mecánicas predichas utilizando la relación anterior.

Figura 2.3.23.- Variación del módulo de elasticidad en función de la fracción de volumen de las fibras usando la regla de Krenchel

Módulos de elasticidad de una lámina con fibras transversalmente isotrópicas. Las fibras de vidrio, aramida y grafito son tres de los tipos más comunes de fibras utilizadas en los materiales compuestos, entre ellas, las de aramida y grafito son transversalmente isotrópicas. De la definición de los materiales transversalmente isotrópicos, estas fibras tienen cinco módulos de elasticidad. Si L es la dirección longitudinal a lo largo de la longitud de la fibra y T representa el plano de isotropía (Figura 2.3.24) perpendicular a la dirección longitudinal, los cinco módulos de elasticidad de una fibra transversalmente isotrópica son los siguientes: EfL =Módulo de elasticidad longitudinal EfT =Módulo de elasticidad en el plano de isotropía νfL = Coeficiente de Poisson que caracteriza la contracción en el plano de isotropía cuando se aplica una tensión longitudinal. νfT = Coeficiente de Poisson que caracteriza la contracción en la dirección longitudinal cuando se aplica una tensión en el plano de isotropía GfT = Módulo de cortadura en el plano perpendicular al plano de isotropía

Los módulos elásticos utilizando el enfoque de la resistencia de los materiales para láminas con fibras transversalmente isotrópicas son:

E1  Vf EfL  1  Vf  Em

1 Vf Vm   E2 EfT Em 12  fTVf  mVm V V 1  f  m G12 GfT Gm

(2.3.38) (2.3.39) (2.3.40) (2.3.41)

Las expresiones anteriores son similares a las de una lámina con fibras isotrópicas. La única diferencia es que deben usarse las propiedades transversales o longitudinales de las fibras adecuadas. En materiales compuestos carbono-carbono, la matriz también es transversalmente isotrópica. En ese caso, las ecuaciones anteriores no se pueden utilizar.

Figura 2.3.24.- Dirección longitudinal y transversal de una fibra transversalmente isotrópica.

2.4.- Resistencias a la rotura (final) de una lámina unidireccional. 2.4.1.- Introducción. Se necesita conocer cinco parámetros de resistencia a la rotura (final) de una lámina unidireccional: • Resistencia a tracción longitudinal, (ζ1T)ult • Resistencia a compresión longitudinal, (ζ1C)ult • Resistencia a tracción transversal, (ζ2T)ult • Resistencia a compresión transversal, (ζ2C)ult • Resistencia a cortadura en el plano (η12)ult En este apartado, vamos a ver de qué manera se pueden determinar dichos parámetros a partir de las propiedades individuales de la fibra y la matriz, mediante el uso del enfoque de la mecánica de los materiales. Los parámetros de resistencia de una lámina unidireccional son mucho más difíciles de predecir que las rigideces. Esto se debe a varios factores: el carácter aleatorio del fallo y de ahí la necesidad de emplear métodos estadísticos, el número de modos que pueden causar el fallo del material compuesto (fibra, matriz e intercara), la naturaleza local de la iniciación del fallo y la influencia de del campo de tensiones asociado. La resistencia es más sensible a las no homogeneidades de los materiales y geométricas (Detalles del empaquetamiento de las fibras), a la intercara de fibra-matriz, al proceso de fabricación y al medio ambiente. Por ejemplo, una intercara débil entre la fibra y la matriz puede resultar en un fallo prematuro de los materiales compuestos bajo carga transversal, pero puede aumentar su resistencia a la tracción longitudinal. Por estas razones de sensibilidad, algunos modelos teóricos y empíricos están disponibles para algunos de los parámetros de resistencia. Finalmente, la evaluación experimental de las resistencias se convierte en importante, ya que es directa y fiable. Las técnicas experimentales también se discuten en este apartado. 2.4.2.- Resistencia a tracción longitudinal. Para la máxima eficiencia de la fibra esta debe soportar tanta carga como sea posible, lo que implica una alto valor de Vf, y el proceso de fallo debe ser dominado por la fibra en lugar de por la matriz. Este último requisito implica que la fracción volumétrica de fibras debe ser mayor que un cierto valor mínimo, por lo general alrededor de 0.1. También se exige que las fibras refuercen a la matriz, es decir, que la resistencia del material compuesto debe ser mayor que la resistencia de la matriz. Lo que sucede cuando se aumenta la carga depende de la fracción volumétrica de fibras y de si la deformación de rotura de las fibras, (εf)ult , es mayor o menor que la de la matriz, (εm)ult. Los detalles del fallo se muestran esquemáticamente en la figura 2.4.2.0. Un modelo de enfoque simple basado en la mecánica de los materiales se presenta (Figura 2.4.2.1). Se asume que • La fibra y la matriz son isotrópicas, homogéneas, y linealmente elásticas hasta la rotura. • La deformación a rotura de la matriz es mayor que la de la fibra, que es el caso de los materiales compuestos de matriz polimérica. Por ejemplo, las fibras de vidrio presentan deformaciones a la rotura de 3 a 5 %, mientras que las deformaciones de una resina epoxi se sitúan entre el 9 y el 10 %.

Figura 2.4.2.0.- Cambio en el comportamiento del modo de fallo de un material compuesto en función de los valores relativos de las deformaciones a rotura de la fibra y la matriz [(εf)ult, (εm)ult] y de la fracción volumétrica de fibras.

Figura 2.4.2.1.- Curva tensión-deformación de un material compuesto unidireccional bajo carga de tracción uniaxial a lo largo de las fibras.

Debido a que las fibras son más frágiles que la matriz, no se pueden alargar tanto como la matriz. Por lo tanto, las fibras son el eslabón más débil, desde el punto de vista de la deformación, en la cadena de resistencia que el material compuesto comprende. Si se tiene: (ζf)ult = Resistencia a rotura a tracción de la fibra Ef = Módulo de elasticidad de la fibra (ζm)ult = Tesistencia a rotura a tracción de la matriz Em = Módulo de elasticidad de la matriz Entonces la deformación a rotura de la fibra es:

 f ult  y la de la matriz:

 m ult 

 f ult Ef

 m ult Em

(2.4.2.1)

(2.4.2.2)

Según se muestra en la figura 2.4.2.2, los ensayos tensión- deformación sobre materiales compuestos de fibras uniaxiales alineadas, vemos que su comportamiento está situado en alguna parte entre el comportamiento de las fibras y el de la matriz.

Figura 2.4.2.2.- Comportamiento tensión deformación de varios tipos de refuerzo con fibras.

Con respecto a la resistencia del material compuesto, la regla de mezclas (La deformación de la fibra se supone igual a la de la matriz en la dirección de las fibras, como en el caso de la predicción utilizada para la determinación del módulo de elasticidad E 1):

 c   f Vf   m Vm ult

ult

ult

tiene que ser modificada para relacionar la tensión de la matriz,  m   fult (   m ) a la deformación de fractura de las fibras, más bien que la resistencia a tracción última, (ζm)ult, para la matriz, es decir: '

 c   f Vf   m   f Vm ult

ult

ult

Esto es porque, con fibras frágiles, el fallo del material compuesto ocurrirá cuando las fibras alcanzan su tensión de fractura. En este punto la matriz está sujeta a la máxima carga aplicada, que no puede soportar. Debido a que las fibras soportan la mayor parte de la carga en los materiales compuestos de matriz polimérica, se asume que, cuando las fibras fallan a la deformación (εf)ult, todo el material compuesto falla. Por lo tanto, la resistencia a la tracción del material compuesto se puede predecir por la regla de mezclas del modo siguiente:

1T ult   f ult Vf  f ult EmVm   f ult Vf  f ult Em 1Vf 

(2.4.2.3)

1T ult   f ult Vf   m' Vm Una vez que las fibras han roto, ¿Puede el material compuesto soportar más carga?. La tensión que la matriz puede soportar por sí sola está dada por (ζmult) (1 - Vf). Sólo si esa tensión es mayor que (ζ1T)ult [ecuación (2.4.2.3)], es posible que el material compuesto pueda soportar más carga. La fracción volumétrica de fibras para que esto sea posible se denomina fracción volumétrica de fibra mínimo, (Vf)mínimo, y se tiene:

 m ult 1  Vf minimo    f ult Vf minimo    f ult Em 1  Vf minimo  de donde:

 m ult    f ult Em Vf minimo   f   f  Em   m ult ult ult

(2.4.2.4)

Si la fracción volumétrica de fibras es inferior a (Vf)minimo la matriz puede soportar más carga después de la rotura de todas las fibras. Esto puede verse en la figura 2.4.2.3. También es posible que, mediante la adición de fibras a la matriz, el material compuesto pueda tener una resistencia a la rotura menor que la matriz. En ese caso, la fracción volumétrica de fibras para que esto sea posible se denomina fracción volumétrica de fibra crítica (Vf)crítica, y se tiene:

 m ult   f ult Vf critica    f ult Em 1  Vf critica 

de donde:

V 

f critica



 m ult    f ult Em

 f ult   f ult Em

  m ult   m    f ult    f    m   ult f ult 

   

(2.4.2.5)

Si la fracción volumétrica de fibras es inferior a (V f)critica, la resistencia a tracción longitudinal del material compuesto sería menor que la de la matriz, luego debe superarse ese valor crítico de la fracción volumétrica de fibras para que refuercen al material compuesto En la figura 2.4.2.3 puede verse el valor de (Vf)critica.

Figura 2.4.2.3.- Efecto de la fracción de volumen sobre la resistencia. En la práctica la fracción máxima de volumen, Vmax, que se puede alcanzar en materiales compuestos unidireccionales de fibra es de 0.8. Los diseñadores deben, por lo tanto, adaptarse para que las fracciones del volumen estén en la gama V1  Vmax. Debe observarse que en la producción comercial no es siempre posible alcanzar los mayores niveles de la fabricación, necesarias para obtener el máximo provecho de las fibras. Se sabe que generalmente que aunque la rigidez es predicha con fiabilidad por la ecuación (2.3.6), la resistencia es solamente de, aproximadamente, el 65 % del valor calculado por la regla de mezclas. Para los demás sistemas. Que no son de fibras unidireccionales, estos valores se pueden reducir aún más. Para tener en cuenta esto se incluye, a veces, una constante “k” en la contribución de la fibra en la ecuación (2.4.2.3). Evaluación experimental: El método general del ensayo que se recomienda para determinar la resistencia a la tracción es el método de ensayo ASTM para evaluar las propiedades de resistencia a la tracción de las resinas compuestas de fibra (D3039) (Figura 2.4.2.4). La probeta de ensayo (Figura 2.4.2.5) para encontrar la resistencia a la tracción longitudinal consta de seis a ocho láminas 0 ° con una anchura de 12.5 mm (1/2 pulgadas) y 229 mm (10 pulgadas) de largo.

La muestra se monta con los indicadores de deformación (extensómetros) en sentido longitudinal y transversal. La tensión de tracción se aplica en la muestra a una velocidad de aproximadamente 0.5 a 1 mm / min (0.02 a 0.04 pulgadas/min). Se toman un total de 40 a 50 puntos de datos para la tensión y la deformación de la muestra hasta que falla. La tensión en la dirección longitudinal se representa en función de la deformación longitudinal, como se muestra en la figura 2.4.2.6. Los datos se analizan mediante regresión lineal. El módulo de elasticidad longitudinal es la pendiente inicial de la curva de ζ1- ε1. De la figura 2.4.2.6, se obtienen los valores siguientes: E1 = 187.5 GPa (ζ1T)ult = 2896 MPa (ε1T)ult = 1.560 %

Figura 2.4.2.4.- Disposición del ensayo para encontrar la resistencia a la tracción de una lámina unidireccional.

Figura 2.4.2.5.- Geometría de la muestra para determinar la resistencia a la tracción longitudinal.

Figura 2.4.2.6.- Curva tensión-deformación de un laminado [0]8 bajo carga de tracción longitudinal. Discusión: El fallo de una lámina unidireccional bajo carga longitudinal de tracción tiene lugar por: 1.- Fractura frágil de las fibras 2.- Fractura frágil de las fibras con retirada 3.- Retirada de la fibra con pérdida de adherencia fibra-matriz Los tres modos de fallo se muestran en la figura 2.4.2.7. El modo de fallo depende de la resistencia de la unión fibra-matriz y de la fracción volumétrica de fibras. Para valores de la fracción volumétrica de fibras bajos, 0