Mecànica Fonamental http://atenea.upc.edu [email protected] (despacho 11.45, planta 11) http://gcm.upc.edu

Mecánica: estudio del MOVIMIENTO y de sus CAUSAS MOVIMIENTO: TRASLACIÓN + ROTACIÓN + DEFORMACIÓN

Sistemas rígidos (cuerpos sólidos)

Sistemas blandos o elásticos (líquidos,

- Cinemática - Estática y Dinámica - Fluidoestática - Oscilaciones y Ondas

r dpr F= dt

gases, muelles)

NOTA = 0.6 EXfinal + 0.1MQ + 0.1EvC1 + 0.1EvC2 + 0.1LAB 4 pruebas escritas

3 sesiones

1ª sesión de LAB: 1ª semana de octubre! LAB: planta 6 Entregar por parejas el problema 1.5.1 (escrito a mano) Leer párrafos 1.3 y 1.5 de las notas de clase

MOVIMIENTO de un cuerpo = TRASLACIÓN + ROTACIÓN + DEFORMACIÓN §1.7

punto geométrico (de un objeto) partícula (o “punto material”) objeto de dimensiones despreciables que no gira sobre si mismo

r vector posición : r = ( x, y, z ) = xiˆ + yˆj + zkˆ

r

kˆ

iˆ

Notación:

r r = ( x, y, z) ˆj

vector = módulo × dirección: r = r rˆ

r 2 2 2 módulo: r = r = x + y + z r r dirección: rˆ = = x iˆ + y ˆj + z kˆ r r r r

r → escalar r r → vector rˆ → vector de módulo 1 (dirección) Movimiento de traslación = variación de la posición en el tiempo r Trayectoria temporal : curva r (t ) = ( x (t ), y (t ), z (t ) ) x, y, z : grados de libertad (tres en 3D, dos en 2D, uno en 1D)

r Trayectoria temporal : r (t ) = ( x(t ), y (t ), z (t )) = x(t )iˆ + y (t ) ˆj + z (t )kˆ r r r r ∆ r d r r& vector velocidad (instantánea) v (t ) v = lim ∆ t → 0 = =r = derivada temporal de la posición: ∆t dt r r dr d dx ˆ dy ˆ dz  dx dy dz  v= = x ( t ) iˆ + y ( t ) ˆj + z ( t ) kˆ = iˆ + j +k = , ,  dt  dt dt dt  dt dt dt dt

§1.7

(

vector aceleración

)

r r r r& dv d 2 r &&r  d 2 x d 2 y d 2 z  a=v = = =r = 2 , 2 , 2  dt dt 2  dt dt dt 

v y vz

vx

Estas definiciones se pueden invertir para sacar p. ej. la posición de la velocidad: r r r r (t ) = ∫ v (t )dt + C = ∫ vx (t )dt + C x , ∫ v y (t )dt + C y , ∫ v z (t )dt + C z r r a P-1.7.3 + lo mismo con (t ) = (0,0,− g ) y v (t = 0) = (2,0,1) P-1.3.1 (sin punto (d)), P-1.7.2

(

)

Casos importantes: - Movimiento rectilíneo (a lo largo de una línea recta): una única variable x(t ) con su signo (la posición “x” es en tal caso un vector en 1D) - Movimiento circular (en un plano) : es útil expresar el movimiento en función del ángulo θ (t ) :  x(t ) = R0 cos θ (t )  1) Calcular la velocidad vectorial para un movimiento circular y determinar  y (t ) = R0 sin θ (t ) su módulo (la cantidad dθ dt = ω se llama velocidad angular) 2) ¿a que ángulo respecto del suelo hay que lanzar un objeto para que llegue lo más lejos posible? ¿Cuál es la velocidad del objeto justo antes de tocar el suelo?

r r (t )

r v (t )

⇒

El vector velocidad es tangente a la trayectoria en cada punto (se ve gráficamente tomando el límite) Tˆ ˆ T r

 v (t ) = v(t )vˆ(t ) = vTˆ ˆ T = vˆ = vector tangente unitario

r r dv d (vˆ v ) dv dvˆ ˆ a ( t ) = = = v + v Aceleración: dt dt dt dt

Tˆ

d (vˆ ⋅ vˆ) dvˆ ˆ = 2 v ⋅ =0 Para un vector de módulo constante como vˆ , vˆ ⋅ vˆ = vˆ = 1 ⇒ dt dt 2

⇒

dvˆ ⊥ vˆ dt

r r dv dvˆ ⇒ a tiene una componente tangente a la trayectoria y otra normal: a (t ) =  Tˆ + v  dt 

ˆ dvˆ dt Llamando Nˆ = el vector de módulo 1 ortogonal a vˆ (dirección de dv ): dvˆ dt dt ˆ aT T

r dv dvˆ ˆ r r a (t ) = Tˆ + v N = aT + a N dt dt

variación del r módulo de v

variación de r dirección de v

r a r r (t )

a N Nˆ

r Pregunta: si una partícula se mueve a lo largo de una recta, ¿cuánto es su a N ?

dt

Aceleración normal y radio de curvatura: Para cada punto de una curva se puede definir el círculo tangente. El radio de tal círculo se llama “radio de curvatura” ( RCURV )

vˆ(t ) r r (t )

r dr

dθ vˆ(t + dt )

dθ

dvˆ

r aT

r r (t )

r aN

RCURV

tomemos dos instantes t y t+dt (Se indica con la letra “ d ” una variación - también vectorial - muy pequeña)

RCURV

Los dos triángulos de arriba son ambos isósceles y tienen el mismo ángulo al vértice, por tanto son semejantes. De esto se obtiene que (para los módulos) : Siendo vˆ = 1 , si dividimos por el intervalo de tiempo dt se ha: r 1 dr dvˆ v = = dt RCURV dt RCURV

Resumen fórmulas: (todas se calculan r a partir de v (t ) )

r a

⇒

RCURV

dvˆ =v dt

r r v v Tˆ (t ) = vˆ(t ) = = r v v dvˆ dvˆ Nˆ (t ) = dt dt

⇒

r a N = Nˆ

r dvˆ dr = vˆ RCURV

v2 RCURV

r r r a = aT + a N r dv aT = vˆ dt

r dvˆ v2 a N = nˆv = nˆ dt RCURV

RCURV = v

dvˆ dt

Casos importantes: - movimiento rectilíneo (uniforme, uniformemente acelerado o periódico) - movimiento circular ↔ RCURV = R , v(t ) = R0ω = R0θ&

P-1.7.4 , (P-1.7.5)

§2.1 Dinámica de traslación: Leyes de Newton, fuerza y masa 1ª Ley de Newton: un cuerpo sobre que no actúa ninguna “causa” (fuerza), r se mueve con velocidad constante (movimiento rectilíneo uniforme) ( ESTÁTICA ↔ F = 0 ). 2ª Ley de Newton: una fuerza que actúa sobre una partícula causa una aceleración proporcional a la fuerza; la constante de proporcionalidad es la masa de la partícula

r r F =ma

r r F = ma

causa

efecto

Define la fuerza: fuerza = causa de la aceleración; puede depender de posición y velocidad (y del tiempo), pero no de la aceleración. r r Define la masa: fuerzas diferentes F1 , F2 ... causan aceleraciones

r r a1 , a2 ... tales que el cociente es constante: m = F1 a1 = F2 a2 = ...

Generalización del concepto de “esfuerzo” (muscular, de un material); es direccional

r r& &r& a=v =r

La unidad de fuerza en el SI es el newton (N):

masa = cantidad de materia ↔ peso

1N = 1kg

m s2

r r F = m g Ej.: la fuerza peso que actúa sobre la masa m vale, como vector g . ¿Cuál es la aceleración causada por esta fuerza?

P-2.1.2 , P-2.1.3

3ª Ley de Newton (principio de acción y reacción): si un cuerpo actúa sobre otro con una r r fuerza F , entonces éste último genera una fuerza igual y opuesta − F sobre el primero

DINÁMICA (2ª Ley)

ESTÁTICA (1ª Ley)

r r r r r F = F1 + F2 + F3 + ... = ma r F1

r F r F2

r F =0

↔

r v = const

Pregunta: ¿ por qué os cansáis más cuando mantenéis levantado algo que pesa mucho?

r r
al igual que a , v , etc., las fuerzas también son vectores y se suman como tales
la 2ª Ley implica la 1ª, y la 3ª sólo se usa si hay más de un cuerpo/partícula
ambas son válidas sólo en sistemas de referencia inerciales ( = fijos o en movimiento rectilíneo uniforme)
aceleración del centro de masas de un cuerpo extenso ↔ 2ª Ley P-2.1.4, P-2.5.5

Más problemas con movimiento circular: (1) Se lanza una pelotita sobre una pista delimitada por una pared circular. La pelota da algunas vueltas hasta pararse debido a la fricción. Si la velocidad angular de la pelota varía según la ley horaria: ω ω (t ) = ω0 − α t , 0 ≤ t ≤ 0

α

¿cuánto valen la normal de la pared y la fricción en cada instante t en el intervalo 0 ≤ t ≤ (2) Problema del péndulo (o de spiderman): ¿en que punto de la trayectoria la tensión del hilo es máxima ?

ω0 ? α

§2.2 Momento lineal e impulso DEF:

r r p = mv

momento lineal o cantidad de movimiento.

2ª Ley:

r r F = p&

r r r t2 r DEF: impulso I suministrado por una fuerza F en el intervalo t1 a t2 : I = Fdt r r t1 2ª Ley de Newton ⇒ Teorema del momento lineal: I =∆p

∫

P-2.2.1

P-2.2.2, P-2.2.3

§2.5 Aplicación directa de la 2ª Ley de Newton La 2ª ley de Newton es una ecuación diferencial, que en algunos casos puede ser integrada (dos r veces) para encontrar la trayectoria temporal r (t ) . P. ej.: fuerza que sólo depende del tiempo : r r r   d 2r r 1  r r F = F (t )  Integración directa  m 2 = Ft (t ) ⇒ r (t ) = Ft (t ) dt  dt  dt m    r r En cada integración se introduce una constante (vectorial): C1 y C2 . Éstas se pueden determinar r r r r r = r ( t ) v si conocemos posición y velocidad, 0 0 0 = v (t0 ) , en un instante t0 cualquiera. r r r r r r r F 1F 2 r t Ej. : fuerza constante: 2ª Ley : m a = F ⇒ a = = ct . Integrando 2 veces: r (t ) = C1 + C2 t + m 2m r r r& r Con las condiciones iniciales r (t0 ) = r0 , r (t0 ) = v0 :

∫∫

r r r r r r 1 F 2  r r F r (t0 ) = r0 = C1 + C2 t0 + t0  C2 = v0 − t0 2m   m r r ⇒ r F r 1 F r& r r r 2  C = r − v t + r (t0 ) = v0 = C2 + t0 t0 1 0 0 0   m 2m



La ecuación de la trayectoria es pues: r r r r 1F r (t ) = r0 + v0 (t − t0 ) + (t − t0 ) 2 2m

Casos particulares de fuerzas constantes: peso y fricción dinámica

r r Fuerza peso: m ar = F = mgr ⇒ ar = F = gr = ct m

Tomando el eje y paralelo a la fuerza y con velocidad inicial en el plano ( x, y ) , la trayectoria es una parábola en tal plano:

y

r v

m r g

r r r 1r r (t ) = r0 + v0 (t − t0 ) + g (t − t0 ) 2 2 r r Rozamiento dinámico: FRD = µ D N , FRD = − µ D Nvˆ r r Si N = const, FRD = const. Si además vˆ = const, FRD = const v0

x

La ley horaria (deceleración uniforme) vale sólo hasta que la partícula se para, es decir hasta que v = 0, porque entonces la fricción desaparece

v(t ) t

Clasificación de las fuerzas: fuerzas activas (peso) vs reacciones (normal, fricción) Hallar la dinámica de un pequeño bloque a masa que desliza sobre un suelo horizontal rugoso con coeficiente de fricción dinámica µ D = 0.1 , si el bloque sale del origen con velocidad inicial v0 = 3 ms −1

Fuerza de un muelle y movimiento armónico Fuerza de un muelle (o de Hooke):

m

FH = −k (l − l N )

FH > 0 x0

x(t ) = A sin(ω (t − t0 ) + ϕ0 ) , con:

m

ω=

k ⇒ T = 2π ω ; m

x(t ) sinϕ0 = 0 A

2

, A = x(t0 ) +

v(t0 ) 2

ω2

1ª sesión de LABORATORIO: pronto! LAB: planta 6 Práctica 1 laboratorio: ley de Hooke y movimiento oscilatorio 1) Leer párrafo 1.5 de las notas de clase 2) Entregar por parejas el problema 1.5.1 (escrito a mano) 3) Imprimir y leer el guíon de la práctica y la plantilla que tenéis que rellenar durante la práctica

P-2.5.3

FH < 0

Choques contra un obstáculo (pared/suelo) fijo Choque (colisión) = contacto de durada limitada (típicamente Δt = 0.01 ÷ 0.001 sec) Q-2.2.1 En un tie-break Nadal lanza un saque directo, y la pelota (m = 80 g) rebota horizontalmente contra la pared vertical al fondo. ¿Cuánto es la fuerza normal sobre la pelota? Consideremos los instantes justo antes (A) y justo después (D) de la colisión. Si el modulo de la velocidad antes y después del choque es de 30 m/s (108 km/h), la aceleración media de la pelota durante el choque es (con Δt = 0.003 sec):

r r r r ∆v v D − v A 60 ˆ ˆ m s 2 !! amedia = = = i = 20000 i ∆t ∆t 3 ⋅10 −3

 Fuerza media en el impacto :

r r  I  r Fmedia = mamedia  =  = 1600iˆ N !!  ∆t 

(el impulso generado por la normal de la pared durante r r r r el choque es I = ∆p = m(vD − v A ) , en módulo 4.8 N s )

r v

m choque

PRINCIPIO del MARTILLO (fuerza impulsiva) Una fuerza de 1600 N es enorme para una pelota de 80 g. En comparación, el peso (< 1 N) es despreciable  Durante un choque, podemos menospreciar las fuerzas exteriores

Choque de una partícula contra un plano (suelo/pared) sin rozamiento No hay fricción  durante el choque no hay ninguna fuerza apreciable paralela al plano  sólo actúa la fuerza normal del plano

r vA m

r N

r vD m

r r r F = N = ma

La fuerza total es vertical ⇒ la aceleración es vertical ⇒ sólo hay variación de la velocidad vertical

⇒ la componente de la velocidad paralela al plano se conserva: // // Colisión entre un cuerpo y una pared fija : vD = v A ⊥ Queda por determinar la componente de la velocidad final ortogonal al plano v( D ) (en la dirección de la normal). v(⊥D ) Se hace a partir del coeficiente de restitución e : DEF: e = ⊥

v( A)

El choque es “elástico” (= se conserva la energía cinética de la partícula) ⇔ e = 1 Nota: el valor de e para un choque se puede determinar haciendo un experimento; se encuentra que sólo depende de los materiales y de la geometría del cuerpo y de la pared.

§2.4 Trabajo

Otra estrategia para determinar el movimiento: la energía

r W El trabajo i de una fuerza Fi a lo largo de una curva Γ de un r r r punto r1 a otro r2 , es la integral: r2

r r Wi = ∫ Fi ⋅ dr r Γ: r1

Puede calcularse de 2 maneras: r r W = ∫ F ⋅ dr

1)

r Fi

r r1

r dr

r r2

Γ

W = ∫ Fx dx + ∫ Fy dy + ∫ Fz dz

dy dz   dx + Fy + Fz 2) W = ∫  Fx dλ d d d λ λ λ  

Método 1) : sólo funciona si Fx = Fx(x) , Fy = Fy(y) y Fz = Fz(z)

(siempre funciona en 1D)

P-2.4.3 (a,b) Método 2) : la trayectoria es una curva 1D y se puede r describir a través de un único parámetro real λ (p. ej., un ángulo, o el tiempo t). La relación r (λ ) se llama ecuación paramétrica de la r r r trayectoria Γ. Si r (λ ) = ( x (λ ), y (λ ), z (λ )), P1 = r (λ1 ) , P2 = r (λ2 ) , con un cambio de variable la integral que define el trabajo puede escribirse como integral en λ : r r r λ2 λ2 r2 r r r dr Fi dy dz   dx Wi = ∫ Fi ⋅ dr = ∫ Fi ⋅ dλ = ∫  Fx + Fy + Fz r  dλ λ2 dr r dλ dλ dλ dλ   λ1 λ1 Γ: r1 r r (λ ) Γ λ 1 P-2.4.1 (a,b) P-2.4.8 (a,b)

§2.4 Potencia y energía cinética Potencia

r

r

Si la curva Γ es la trayectoria de una partícula, dr = v dt , y el trabajo Wi puede escribirse como: r

r r Wi = ∫℘i dt , siendo ℘i = Fi ⋅ v la potencia (instantánea) desarrollada por Fi t2

P-2.4.2

t1

Energía cinética

¿ Para qué sirve el trabajo?

r r r r r F = FTOT = F1 + F2 + ... = ma

⇒ WTOT

r r r r r r = ∫ FTOT ⋅ dr = ∫ F1 ⋅ dr + ∫ F2 ⋅ dr + ... = W1 + W2 + ...

r r 1 2 r r r dv r d 1 1 Por otro lado FTOT ⋅ dr = ma ⋅ dr = m ⋅ v dt =  mv 2 dt = d  mv 2  . Integrando: W = ∆ 2 mv    dt dt  2  2  1 2

La cantidad E.C. = Ec = mv 2 se llama energía cinética. Así pues: W1 + W2 + ... = Wtot = ∆(E.C.) ⇒ Teorema de las fuerzas vivas: W = ∆Ec el trabajo sirve para calcular el módulo de la velocidad final (incluso cuando no sabemos calcular la trayectoria) P-2.1.1 unidad SI del trabajo y de la energía = julio (J) : 1 J = 1 N m unidad SI de potencia = watio (W): 1W = 1 J s

§2.4 Fuerzas conservativas y energía potencial rr r r r  ∂U ∂U ∂U  Una fuerza F(r ) es conservativa si ∃ U (r ) tal que: F = −∇U = −  , , ∂ x ∂ y ∂ z   La función U se llama energía potencial U de la fuerza. Trabajo de una fuerza conservativa: r r  ∂U ∂U ∂U  W = ∫ F ⋅ dr = ∫ ( Fx dx + Fy dy + Fz dz ) = − ∫  dx + dy + dz  = − ∫ dU ∂ x ∂ y ∂ z   2 r ⇒ Para F conservativa: W1→2 = − ∫ dU = −[U ( 2) − U (1)] = − ∆U

λ2

r dr

λ1

1

Trabajo de una fuerza conservativa = variación de su energía potencial

r Fi

r r (λ )

W = −∆ U

La función U se calcula al igual que el trabajo. En 1D cualquier fuerza es conservativa, ya que siempre se puede definir : U ( x) = − ∫ F ( x) dx P-2.4.5

§2.4 Teorema fundamental del trabajo y la energía r r r r r r r r r r r r r r F = FTOT = F1 + F2 + F3 = ma ⇒ WTOT = ∫ FTOT ⋅ dr = ∆(E.C.) = ∫ F1 ⋅ dr + ∫ F2 ⋅ dr + ∫ F3 ⋅ dr conservativas

⇒

no conservativa (disipativa)

− ∆U 1 − ∆U 2 ⇒ ∆ ( E.C.) = − ∆U 1 − ∆U 2 + WNO cons

∆(Ec + U1 + U 2 ) = ∆E = WNO cons

Equivalentemente:

E f = Ei + WNO cons

W3 = WNO cons

1 2 E = E + U + U = mv + U con: 1 2 c 2 E = energía mecánica ecuación fundamental de la energía

Fuerzas conservativas en problemas en 1 , 2 o 3 dimensiones

rr F(r ) es conservativa ⇔

r r ∫ F ⋅ dr = 0 ⇔ curva cerrada

∫

B

A

r r F ⋅ dr es independiente de la trayectoria

- En 1D : toda fuerza que sólo depende de x es conservativa ya que: U ( x) = − ∫ F ( x)dx P-2.4.7, Q-2.4.4 + discutir fuerza y puntos de equilibrio estable e inestable r r

- En 2D : dU = −F ·dr = − Fx dx − Fy dy ⇔ Fx = −

∂U ∂x

Fy = −

∂U ∂y

Se demuestra que una función diferenciable de dos variables tiene la propiedad que:

∂ 2U ∂ 2U = ∂x∂y ∂y∂x

⇒

fuerza en 2D es conservativa P-2.4.3

⇔

P-2.4.4

- En 3D : r r r =r Caso 1) Si F es central (radial) y sólo depende de (no rde otras combinaciones de x, y, y z ), o sea si r F (r ) = F (r )rˆ entonces es conservativa y

r ˆ ( U (r ) = − ∫ F (r )r ⋅ dr ) = − ∫ F (r ) dr

r Caso 2) F constante en módulo y dirección r r r r r r es conservativa y: U = − ∫ F ⋅ dr = − F ⋅ ∫ dr = − F ⋅ r

∂Fx ∂Fy = ∂y ∂x

r FC

C

fuerza central: fuerza dirigida siempre hacia el mismo punto

Casos importantes de energía potencial y trabajo no conservativo (§2.5 y §3.7)

r r r r r r 1) La fuerza normal no hace trabajo: N ⊥ v ⇒ N ⋅ dr = N ⋅ v dt = 0 (tampoco lo hace la tensión de una cuerda con un cabo fijo) 2) Toda fuerza constante en modulo y dirección es conservativa:

r r r r U = − ∫ F ⋅ dr = − F ⋅ r

h

r r F = m g Ej. g



r g

U =mg y=mgh

v = 2 gh

r k k 3) F = − 2 rˆ ⇒ U (r ) = − r r

r r 1 q1q2 m1m2 F = − rˆ ˆ Ej. : Ley de gravitación universal FGU = −G 2 r y Ley de Coulomb C 2 4πε 0 r r

4)

1 2

FH = −kx ⇒ U ( x) = − ∫ (−kx)dx = kx 2

2 2 r r 5) FRDS = − µ D Nvˆ ⇒ W1→2 = ∫ (− µ D N )vˆ ⋅ dr = − µ D N ∫ dl = − µ D Nl 1→2 1

1



Sólo vale si N = const

Problemas a 1 partícula (2ª Ley de Newton y energía) 1) Sistemas conservativos (P-3.10.2)

E a) La fuerza del carril sobre la masa en los puntos A hasta F b) La altura del punto inicial A para que tal fuerza sea cero en C

F

P-3.10.1, P-3.10.9

2) con fricción (seca) Una partícula de masa 2 kg se lanza con una velocidad inicial de 5 m/s sobre un suelo horizontal rugoso, con µ D = 0.5 . Después de recorrer 1 m, entra en contacto con un muelle horizontal de constante k = 200 N/m atado a una pared. Calcula la compresión máxima del muelle: a) si en el suelo por debajo del muelle no hay rozamiento (solución: ∆x = 39 cm) b) si lo hay (solución ∆x = 34.4 cm) P-2.5.6, P-2.5.7 3) general (P-2.5.11)

e) dibuja los gráficos de x(t), v(t), a(t), y F(t) . ¿La fuerza F es conservativa? ¿Por qué?

P-2.4.9

Reacciones ideales y conservación de la energía En muchas situaciones hay fuerzas ortogonales al movimiento (o sea, a la velocidad); muy a menudo éste es el caso de las llamadas “reacciones”, como la fuerza normal debida a una r superficie de una cuerda en un movimiento circular. Indicándolas r lar letra r Rr, se r r r con r r o la tensión r r r ha: F =rFTOT = ma = R1 + F2 + ... . Multiplicamos escalarmente porr dr : mar⋅ dr = R1 ⋅ dr + F2 ⋅ dr + ... r r r Al ser R ⊥ v = dr dt , la fuerza de reacción es ortogonal a dr , o sea R1 ⋅ dr = 0 .

r r r r F2 + ... + Fn − ma ⋅ dr = 0

(

)

principio de d’Alembert r r r r r r r r Integrando la ec. de d’Alembert, ∫ F ⋅ dr = ∫ F1 ⋅ dr + ∫ F2 ⋅ dr +... + ∫ Fn ⋅ dr , se obtiene la: Esto nos deja con el:

ecuación fundamental de la energía

∆Ec = −∆U Fcons + WF NO cons ⇒ WF NO cons = ∆( Ec + U ) P-3.7.3 (1ª parte)

Problemas cortos (estilo examen parcial): P-2.5.1, Q-2.1.1, P-3.7.4, Q-3.10.1, Q-3.10.3

dE sin fuerzas disipativas : Ec + U = E = const , o también: =0 y con reacciones ideales dt dE =0 En algunos casos (por ejemplo si el sistema tiene un solo grado de libertad), la ecuación dt es suficiente para hallar la trayectoria temporal del sistema. Q-3.10.4, P-3.10.3

Tema 3: Sistemas de N partículas (i = 1, 2, ... N) 3ª Ley de Newton o Ley de acción y reacción: si un cuerpo actúa sobre r un segundo con una r fuerza F , entonces éste último genera una fuerza igual y opuesta − F sobre el primero Ej. : fuerzas de contacto (ver P-3.10.2) Muchas veces estas fuerzas cumplen también otra condición, que es que su dirección es r r r r paralela al vector que une las posiciones de las partículas: F // r (= r − r ) 1→ 2

1→ 2

2

1

Ej. : Las fuerzas de gravitación universal y Coulomb cumplen ambas condiciones (ver P-3.7.1)

mi

mi

r Fji

r Fij

mj

r (ext ) Fi

r (ext ) Fuerzas externas Fi : son causadas por agentes

exteriores, que no pertenecen al sistema considerado

Fuerzas internas: son las fuerzas de las partículas del sistema entre ellas por la 3ª Ley de Newton:

r int r int Fi → j = − F j →i

r r ext r int r r. La 2ª Ley de Newton para la partícula i es: Fi = Fi + ∑ F j →i = mi ai = p i r .r j r r r ext r ext r. r ext r ext dP Sumando sobre i: FTOT = ∑ Fi = ∑ Fi = FTOT = ∑ p i = P , o sea: F = TOT = F dt i i i r 1 Definiendo la coordenada del Centro de Masas (CM) como: RCM = M

r r r se ha: P = ∑ pi = MVCM y i

r r ext r& F = P = MACM

r m r ∑ i i , con M = ∑ mi , i

i

r r Para 2 partículas: M = m1 + m2 ⇒ m1 = M − m2 r2 − r1 1 r r r r r 1 1 × (m1r1 + m2 r2 ) = (( M − m2 )r1 + m2 r2 ) = RCM = CM M M r r1 r r r m2 r r RCM (r2 − r1 ) = RCM = r1 + M ⇒ el centro de masas de dos partículas está a lo largo de la recta que las une, en un punto intermedio entre las dos

r r ext r& F = P = MACM

r ext F =0

⇒

2

P-3.11.1, P-3.2.8

r r P = const (y VCM = const ) Aplicación  fuegos artificiales :

P-3.6.7, Q-3.2.6, Q-3.3.1

§3.5 Energía potencial de una pareja de fuerzas internas conservativas El trabajo conjunto de una pareja de fuerzas internas vale , utilizando la 3ª Ley de Newton:

r r r int r r int r r dW12 = F1int ⋅ d r →2 2 + F2 →1 ⋅ dr1 = F1→ 2 ⋅ (dr2 − dr1 ) Si la fuerza sólo depende de la coordenada relativa

r r r r r r r r r rrel = r2 − r1 y es además conservativa, se ha: dW12 = F1→2 (rrel ) ⋅ drrel = −∇U (rrel ) ⋅ drrel = − dU

Esto significa que a cada pareja (i , j) se puede asociar una energía potencial U INT que sólo INT = depende de la coordenada (distancia) relativa: U

∑U

INT ij

P-3.7.2

parejas

Definiendo E = Ec + U =

1 ∑i 2 mi vi2 + ∑i U iext + parejas ∑U ijint , se ha:

Si todas las fuerzas son conservativas: Si hay fuerzas externas no conservativas:

P-3.7.4, Q-3.5.1, Q-3.5.2, Q-3.5.3

E = const WFext NO CONS = ∆E

Problemas en que se conservan a la vez la energía y el momento lineal : P-3.5.2, P-3.10.11

P-3.5.3

§3.10 Conjuntos de fuerzas que no hacen trabajo (conjunto de reacciones ideales) Si hay fuerzas de reacción entre partículas (p. ej. debidas a una misma cuerda que esté atada a dos masas), se dice que tales reacciones forman un conjunto de reacciones ideales si su trabajo conjunto es cero. En el caso de dos bloques atados a la misma cuerda (dibujo), cada fuerza de tensión hace trabajo, ya que su punto de aplicación se mueve. r r r T' = T T 1 Las ecuaciones de la energía y trabajo para los dos bloques son:

WT = ∆E1 Sumándolas:

y

WT' = ∆E2

r T'

Wtot = WT + WT' = ∆ ( E1 + E2 )

2

Ya que el desplazamiento de los dos bloques es el mismo ( ∆x = ∆y ) y que los módulo de las tensiones son iguales, el trabajo total es cero: 1

2

WT + WT' = T∆x1 − T ' ∆y2 = 0

P-3.10.5

Se dice que las dos tensiones forman un conjunto de reacciones ideales. La consecuencia es que:

∆ ( E1 + E2 ) = ∆Etot = 0 , es decir

E = E1 + E2 = const

Este resultado es general: si sobre un sistema de más cuerpos actúa un conjunto de reacciones ideales, la energía mecánica total se conserva. IMPORTANTE: no se conserva la energía de cada cuerpo por separado P-3.10.10

§3.6 Choques entre partículas En un choque entre dos o más cuerpos, se puede suponer que no haya fuerzas exteriores, ya que estas son muy débiles para jugar un papel durante el choque. Por lo tanto: la cantidad de movimiento total del sistema se conserva:

r r ext F ≈ 0 r⇒ P r = ct ⇒ PD = PA

P-3.6.8 (choque compl. inelástico)

r v1(ini) m1

Mientras que el momento lineal se conserva siempre en un choque entre r v2(ini ) partículas, la energía en general no. Llamamos elástico un choque en m2 que la energía cinética total, y por lo tanto la energía total, se conserva (sin desplazamiento, la energía potencial no cambia). Para 2 partículas, choque elástico ⇔

Conservación del momento lineal

1 1 1 1 m1v12, D + m2 v22, D = m1v12, A + m2 v22, A 2 2 2 2

r r Pinicial = mvinicial

m1

m2

r v1( fi)

r v2( fi)

P-3.6.3

Si se conoce la geometría de la colisión y no hay rozamiento:

r v1, D

r v1, A

se conoce la dirección de las fuerzas impulsivas generadas en el impacto, que es ortogonal al plano de contacto ⇒ no hay fuerzas paralelas a este plano ⇒ las componentes paralelas de las velocidades se conservan:

1

r v2 , A

vi//,D = vi//,A , i = 1,2

r v2 , D

2

nˆ

r v ortogonales al plano de choque.

Incógnitas : componentes de Se define el coeficiente de restitución e como:

e= Además :

v1⊥( D ) − v2⊥( D ) v1⊥( A) − v2⊥( A)

r P = const

Las incógnitas se hallan poniendo a sistema estas dos ecuaciones (la 2ª es vectorial !! ) Se puede demonstrar que para un choque elástico, e = 1 P-3.6.1, P-3.6.4

P-3.6.6, P-3.6.9, P-3.6.10

N //

//

Importante: Para una colisión con una pared fija: vD = v A pero no se conserva el momento lineal total !!!

m

m

r vA nˆ

r vD

Resumen y comparación dé la dinámica (traslación) de una o más partículas 1 partícula

más partículas

r r r& F = ma = p

r r r r ⇒ a , ∆v , ∆p paralelos a F !

r r r F j = m j a j = p& j 2ª Ley de Newton

, j = 1, 2 , ...

r r ext r& F = MACM = P

r r Si F ≅ 0 , p = const r ( v = const )

r ext r Si F ≅ 0 , P = const

1ª Ley de Newton (conservación de p)

conservación de P (choque entre partículas) Energía y trabajo

E f = Ei + WNOcons 1 E = mv 2 + U 2

Ej: U = mgh

E f = Ei + WNOcons

1 ext E = ∑ m j v 2j + ∑ U j + U INT j 2 j

Ej: Uj = mj ghj

Conservación de la energía Si todo fuerza es conservativa o reacción ideal (ej. fuerza normal):

E f = Ei o también :

dE =0 dt

Si toda fuerza es conservativa o reacción ideal o parte de un conjunto de reacciones ideales:

dE E f = Ei o también : =0 dt

Otra estrategia para determinar el movimiento: momento angular iˆ Producto r r vectorial: A × B ≡ Ax Bx

ˆj Ay By

kˆ Az = ( Ay Bz − Az By , Az Bx − Ax Bz , Ax By − Ay Bx ) Bz

§2.3 Momento de una fuerza y momento angular

r r DEF.1: momento M ( P ) de una fuerza F respecto a un punto P r r r M ( P ) = r( P ) × F r r r r r( P ) = r − rP = posición (punto de aplicación de F ) desde P. r DEF: momento angular L( P ) de una partícula respecto a P r r r L( P ) = r( P ) × p r dpr A partir de la 2ª Ley de Newton , multiplicamos ambos F= r dt términos a la izquierda por r( P ) × r r

& =v Si P es un punto fijo del sistema de referencia (inercial), r (P) r r dp d r r r × = ( r × p ) ⇒ ( P ) dt dt ( P )

⇒

r dL( P ) dt

r = M ( P)

r r

r

r

r M (P)

P

r F

r r( P ) r L( P)

P

r F

r p

r r( P)

r p

(ya que v × p = v × mv = 0 )

Si en particular el momento de la fuerza que actúa sobre una partícula es cero, entonces el momento angular se mantiene constante (cuidado: respecto del mismo punto P!!)

P-2.3.1 P-2.3.4

r r Definiendo el impulso angular Y(P) suministrado por el momento M ( P ) de una fuerza en el intervalo t1 a t2 como: t2 r r r r Y( P ) = ∫ M ( P ) dt , tenemos el Teorema del momento angular: Y(P) =∆L(P) t1

El momento angular se mantiene constante en particular en tres casos importantes: r r 1) Si F = 0 (movimiento rectilineo uniforme), L( P ) = const ∀P r 2) En un movimiento circular uniforme, L( O ) = const , siendo O el centro del círculo r 3) En caso de fuerza central dirigida hacia el punto C , L( C ) = const Fuerzas centrales Una fuerza central es una fuerza cuya recta de acción siempre pasa por un mismo punto C. Ejemplos: la fuerza gravitatoria del Sol sobre un planeta; la fuerza electrostática de una carga fija sobre otra partícula cargada; la tensión de una cuerda fijada en un extremo.

r m1m2 FGU = −G 2 rˆ r

r FC

C

P-2.3.4

En el caso de fuerza central, el momento de la fuerza respecto al punto C r Es siempre cero, y por tanto dLr r dL (C ) = M (C ) ⇒ (C ) = 0 dt dt Se puede demonstrar que toda fuerza central cumple la: r 2ª Ley de Kepler (como consecuencia de la conservación de L(C ) )  Ver e2.3.2

r TB

C r T P-2.3.3

P-2.3.5

r Leyes de Kepler (se demuestran a partir de la 2ª Ley de Newton con FGU = −G m1m2 rˆ ) r2

Primera Ley Los planetas describen orbitas elípticas alrededor del sol, con el sol ocupando uno de los focos de la elipse

b a

Segunda Ley La velocidad de un planeta varía en el tiempo, de forma que el vector que une elrsol al planeta cubre áreas iguales en tiempos iguales. Esta ley es una consecuencia directa de L( C ) = const

e-2.3.2

Tercera Ley El cuadrado del periodo de revolución de un planeta es directamente 3 proporcional a la longitud del semieje mayor al cubo: 2

T ∝a

§3.4 Momento angular de un sistema de partículas

r r r r L = L = r × m v El momento angular total de un sistema de partículas es: ( Q ) ∑ i ( Q ) ∑ i ( Q ) i i i i r r r r donde ri ( Q ) = ri − rQ . P-3.4.1 + RCM Derivando respecto del tiempo: r dL(Q ) dt

=0 r r r r r r r r r r r r r = ∑ vi ( Q ) × mi vi + ∑ ri ( Q ) × mi ai = ∑ vi × mi vi − ∑ vQ × mi vi + ∑ ri ( Q ) × Fi = M (Q ) − vQ × ∑ mi vi i

i

i

i i r int ri Sirlas fuerzas cero, y r extinternas cumplen la condición Fi → j // rij , entonces surmomentortotal es r M (Q ) = M ( Q ). Con esto la ecuación del momento angular queda: dL(Q ) dt = M (extQ) − vrQ × MVCM

El 2º término es cero en dos casos: (1) Q es un punto fijo ; (2) Q coincide con el centro de masas

Así :

r ext r En particular si M ( Q ) = 0 , entonces L( Q ) = const

r ext M (Q ) =

r dL(Q ) dt

, con Q fijo o Q ≡ CM

Test Parcial 2010

P-3.2.1 P-3.3.1 Q-3.4.1 Q-3.4.2 Q-3.4.3