Mec´anica I Tema 4 Ecuaciones Generales de la Din´amica Manuel Ruiz Delgado 29 de octubre de 2010

Principios y modelos Leyes de Newton . . . . . . . . . . . . . . Comentarios a las leyes de Newton . Sistemas inerciales. . . . . . . . . . . . . Limitaciones de las Leyes de Newton Ecuaciones de Newton-Euler . . . . . . Postulados rigurosos . . . . . . . . . . . Consecuencias de los postulados . . . Principio de Hamilton . . . . . . . . . . L´ımites de la mec´ anica cl´ asica . . . . . Sistemas a considerar. . . . . . . . . . . Conceptos auxiliares . . . . . . . . . . .

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..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... masas ..... .....

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Trabajo y Potencial Trabajo elemental . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Trabajo finito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ˙ t). . . . . . . . . . . . . C´alculo del trabajo: Caso F(r, r, C´alculo del trabajo: Caso F(r) . . . . . . . . . . . . . . . C´alculo del trabajo: fuerzas conservativas . . . . . . . . Propiedades del potencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . C´alculo del potencial: EDP . . . . . . . . . . . . . . . . . . C´alculo del potencial: integraci´on. . . . . . . . . . . . . . Potenciales simples: peso-centrifuga-muelle-gravedad Potencial de un par de fuerzas. . . . . . . . . . . . . . . .

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33 34 35 36 37 38 40 42 43 44 51

1

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3 4 5 6 7 8 9 10 11 13 15 16

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Ecuaciones generales Ecuaci´ on de la cantidad de movimiento . . . Ecuaci´ on del momento cin´etico . . . . . . . . . Momento cin´etico en punto m´ ovil . . . . . . . ovil . Momento cin´etico absoluto en punto m´ Momento cin´etico relativo en punto m´ ovil. . Ecuaci´ on de la energ´ıa . . . . . . . . . . . . . . . Integral de la energ´ıa . . . . . . . . . . . . . . . . Ecuaci´ on de la energ´ıa respecto al centro de 7 Ecuaciones generales de los sistemas . . . . Principio de corte de Euler-Cauchy . . . . . .

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Energ´ıa potencial - Potencial de un campo Trabajo de un par de fuerzas. . . . . . . . . . Trabajo sobre un s´ olido . . . . . . . . . . . . . Potenciales no estacionarios . . . . . . . . . . Ejemplo: potencial de un s´ olido . . . . . . . .

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2

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Principios y modelos Ecuaciones generales Trabajo y Potencial Manuel Ruiz - Mec´ anica I

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Principios y modelos Principios y modelos Leyes de Newton Comentarios a las leyes de Newton Sistemas inerciales Limitaciones de las Leyes de Newton Ecuaciones de Newton-Euler Postulados rigurosos Consecuencias de los postulados Principio de Hamilton L´ımites de la mec´ anica cl´ asica Sistemas a considerar Conceptos auxiliares Manuel Ruiz - Mec´ anica I

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Leyes de Newton Las tres leyes de Newton son los principios de la Mec´anica Cl´asica:a 1. Inercia: Todo cuerpo persevera en su estado de reposo o movimiento uniforme y rectil´ıneo a no ser en tanto que sea obligado por fuerzas impresas a cambiar su estado. F=0

m ¨r = 0

⇒

2. El cambio de movimiento es proporcional a la fuerza motriz impresa y ocurre seg´ un la l´ınea recta a lo largo de la cual aquella fuerza se imprime. d F = m ¨r = (m r˙ ) dt 3. Acci´ on-reacci´ on: Con toda acci´ on ocurre siempre una reacci´ on igual y contraria. O sea, las acciones mutuas de dos cuerpos siempre son iguales y dirigidas en direcciones opuestas. Fij = −Fji Manuel Ruiz - Mec´ anica I a

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Isaac Newton, Philosophiae Naturalis Principia Mathematica, 1647

Comentarios a las leyes de Newton La constante de la segunda ley (masa inerte) es proporcional a la de la ley de la gravitaci´on (masa gravitatoria). No se ha detectado ninguna desviaci´ on en la relaci´on. Escogiendo las unidades adecuadamente, se pueden considerar como la misma magnitud (principio de equivalencia de Einstein). La primera ley ya fue enunciada por Galileo. Es el comienzo de la ciencia moderna. Arist´ oteles pensaba que el movimiento necesita una acci´ on continua que lo mantenga, lo que daba lugar a ideas bizarras y err´ oneas (torbellinos de aire propulsores). En la tercera ley se pueden distinguir dos grados o formulaciones: on y sentido contrario, • d´ebil: igual direcci´

Fij = −Fji

• fuerte: adem´ as, son colineales, i b

Fij = −Fji = λ rij

j

i

b

b

j b

La 3a ley no se cumple en efectos relativistas (fuerzas de Lorentz) Manuel Ruiz - Mec´ anica I

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Sistemas inerciales Las leyes de Newton tienen su forma m´as sencilla en el espacio absoluto, que no es f´acilmente observable; ´el consideraba que se podr´ıa encontrar “en la regi´on de las estrellas fijas”. M´as tarde (Lange, 1816) se introduce el concepto de sistema inercial, como sistema de referencia en el que se cumplen las leyes de Newton. Conocido un sistema inercial, cualquier otro sistema que se mueva con velocidad rectil´ınea y uniforme, sin girar —transformaci´on de Galileo— es tambi´en inercial o galileano. Esto constituye el principio de relatividad de Galileo, y se deduce directamente de la segunda ley. En la teor´ıa especial de la Relatividad de Einstein tambi´en se postula un sistema de referencia inercial global, pero ahora la transformaci´on no es la de Galileo sino la de Lorentz. Finalmente, en la teor´ıa general de la Relatividad no hay sistemas inerciales globales. Manuel Ruiz - Mec´ anica I

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Limitaciones de las Leyes de Newton Los conceptos de masa y fuerza no est´an claros: las definiciones pecan de circulares. Incluso cuando se define una fuerza por la deformaci´on est´atica (dinam´ ometros). Lo que s´ı es una magnitud perfectamente clara y medible es la aceleraci´on. En la mec´ anica cl´ asica, las fuerzas pueden depender de la posici´on de las part´ıculas, de su velocidad, y del tiempo, pero no de las aceleraciones: F(ri , r˙ i , t) (¡lo que observamos son aceleraciones!) Por tanto, la segunda ley se puede expresar diciendo que las aceleraciones se pueden expresar mediante una relaci´on funcional sencilla de las posiciones, velocidades, y del tiempo. La segunda ley se aplica tambi´en a sistemas de masa variable. Hay que usar entonces la forma d ˙ v. dt (m v), que da lugar al empuje: −m Newton habla solo de cuerpos, sin aclarar mucho, lo que corresponde a la part´ıcula material. Para poder tratar s´ olidos o medios continuos hay que hacer hip´ otesis adicionales, como las de Euler. Manuel Ruiz - Mec´ anica I

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Ecuaciones de Newton-Euler Para poder tratar s´ olidos con las ecuaciones de Newton, hacen falta hip´ otesis adicionales: Un m´etodo es suponer que las fuerzas internas entre las part´ıculas de un s´olido siguen la tercera ley de Newton en su formulaci´on fuerte. Otro camino, seguido por Euler, es postular la ecuaci´on del momento cin´etico como principio independiente. Por tanto, Euler formula dos principios b´ asicos para la din´amica de cualquier sistema: 1. Cantidad de movimiento:

F=

2. Momento de la cantidad de movimiento:

d dt

MG =

(mvG )

d dt

(HG )

Tambi´en fue Euler el primero en escribir la segunda ley en la forma hoy conocida, F = m ¨rG Manuel Ruiz - Mec´ anica I

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Postulados rigurosos Para superar las limitaciones de las leyes de Newton, se han buscado principios m´as rigurosos; por ejemplo: 1. A cada part´ıcula material se le asigna un escalar positivo, que llamamos masa. 2. En ciertos sistemas inerciales aislados, el sistema de vectores ΣF = Σmi ¨ri que llamamos fuerzas, es nulo. Esto supone que se anula la resultante ΣF y el momento en cualquier punto MO . 3. Las fuerzas tienen expresiones funcionales simples: (≡ 2o Ley de Newton)

Fi = Fi (rj , r˙ j , t) X Fi = Fij j

Fij decrecen con la distancia → sistema aislado

Manuel Ruiz - Mec´ anica I

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Consecuencias de los postulados Masas: dependen de las unidades → masa patr´on.  Ax1 y1 z1 Inercial ⇔ ω 01 = 0 ; ¨rB 01 = 0 Bx0 y0 z0 Inercial ~ Part´ıcula aislada: ¨r = 0 ⇒ r˙ = Cte

(≡ 1a ley de Newton)

Dos part´ıculas aisladas:

(≡ 3a ley de Newton)

Fij + Fji = 0

Definir qu´e part´ıculas forman parte del sistema: • Fuerzas interiores: ejercidas sobre una part´ıcula del sistema por otra tambi´en del sistema • Fuerzas exteriores: ejercidas por part´ıculas que no son parte del sistema j

j b

b

ij interiores

b

Todas interiores i

b

k

b

i

k ik, jk exteriores

b

Manuel Ruiz - Mec´ anica I

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Principio de Hamilton La mec´anica cl´ asica puede basarse en un solo principio variacional. Sistema material de coordenadas x1 , . . . , xn . El movimiento xi (t) es una curva entre dos puntos del espacio [x1 , . . . , xn , t]. El sistema se mueve de modo que el funcional acci´ on tenga un valor estacionario:

δI = δ

Z

xn t2

L(xi , x˙ i , t) dt = 0 t1 t1

asica) donde L = T − V (mec. cl´ x3

b

b

t2 t

x2 x1

Las funciones xi (t) que hacen δI = 0 son las que cumplen las ecuaciones de Euler del c´alculo de variaciones: ∂L d ∂L − = 0, i = 1...n dt ∂ x˙ i ∂xi que en mec´ anica se llaman ecuaciones de Lagrange. Manuel Ruiz - Mec´ anica I

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Principio de Hamilton Ventajas: ´ Unico, simple, elegante. Da directamente un n´ umero m´ınimo de ecuaciones (= GDL) M´as generalidad: relativista, cu´ antica, medios continuos. Inconvenientes Base matem´ atica no se explica en primeros cursos. Forma m´ as sencilla no v´ alida para: • Fuerzas no potenciales • Sistemas no hol´onomos (ej.: rodadura sin deslizamiento) aunque puede extenderse, pero ya no es u ´nico y simple. No permite tratar el rozamiento (importante en ingenier´ıa). No aparecen las fuerzas de ligadura (puede ser una ventaja, pero es un inconveniente en ingenier´ıa). Matem´atico. La f´ısica est´ a en la Lagrangiana L , distinta en Mec´anica cl´asica, relativista, etc.: incompleto Manuel Ruiz - Mec´ anica I

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L´ımites de la mec´ anica cl´ asica Teor´ıa especial de la relatividad: La velocidad de la luz es igual en todos los sistemas inerciales: h i 2 1/2 transformaci´on de Lorentz: 1 − vc2 , espacio-tiempo de Minkowski. Apreciable en grandes distancias y cuando v → c Teor´ıa general de la relatividad: Espacio de Riemann (espacio-tiempo-masa) que incorpora la masa en la matriz m´etrica: la gravedad curva el espacio. No hay sistemas inerciales globales. V´alido en la proximidad de grandes masas. Despreciable cuando r  r ∗ ' KGm/c2 (K ' 105 , espacio plano) Sol: GM /c2 = 1,47 km; Mercurio:

rmer GM /c2

= 260684;

r⊕ GM /c2

' 108

Mec´ anica Cu´ antica: A nivel de part´ıculas (´atomos, mol´eculas), los intercambios de energ´ıa est´an cuantificados: ~ν. Despreciable para un n´ umero grande de part´ıculas, cuando el momento cin´etico sea grande frente a la constante de Plank: H  ~ La mec´anica cl´ asica es el l´ımite exacto de estas teor´ıas cuando la relaci´on de par´ametros ∗ caracter´ısticos tiende a cero: vc = rr = H~ → 0. Manuel Ruiz - Mec´ anica I

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L´ımites de la mec´ anica cl´ asica H/}

Espacio plano

80

10

Tierra T E R

Astronaves

Veh´ıculos

Tierra

Mercurio

Mercurio

T G R

Aeronaves Agujero negro

0, 1 1

Veh´ıculos terrestres

v/c

10 Mec. Cu´antica 0

105

108

r c / Gm/c2

Manuel Ruiz - Mec´ anica I


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Sistemas a considerar Part´ıcula:

3 Grados De Libertad

• 2a Ley de Newton:

F = m¨r

Sistema de N part´ıculas: • 2a Ley de Newton:

3 ECs ↔ 3 GDL 3N GDL

Fi = mi¨ri

3N ECs ↔ 3N GDL

• O bien combinaciones de las 3N ecuaciones: ◦ ◦ ◦ ◦

P P Cantidad de movimiento: Fi = mi¨ri P P Momento cin´etico: ri ∧ Fi = ri ∧ mi ¨ri P P Energ´ıa: ri · Fi = ri · mi ¨ri Si no son suficientes, se divide el sistema (principio de corte).

S´ olido:

3 Ec 3 Ec 1 Ec

6 GDL P

F = m ¨rG ˙G MG = H

• Cantidad de movimiento: • Momento cin´etico: Manuel Ruiz - Mec´ anica I

3 Ec 3 Ec 15 / 64

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Conceptos auxiliares F = m ·¨r

Trabajo

Cantidad de movimiento Centro de masas

Potencial

Momento cin´etico

Tensor de inercia

Ligaduras

Modelo de s´ olido como N masas distribuidas

Energ´ıa cin´etica

Modelo de s´ olido como continuo

i

δm = ρ dxdydz

S Ω

αM =

N P

αM =

αi mi

R

α(r) δm

Ω

i=1

Los dos modelos son equivalentes para N → ∞, mi → 0 Tratamos el s´ olido como N part´ıculas: evitamos el teorema del transporte para derivar la integral.

Manuel Ruiz - Mec´ anica I

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Ecuaciones generales

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Ecuaciones generales Ecuaci´ on de la cantidad de movimiento Ecuaci´ on del momento cin´etico Momento cin´etico en punto m´ ovil ovil Momento cin´etico absoluto en punto m´ ovil Momento cin´etico relativo en punto m´ Ecuaci´ on de la energ´ıa Integral de la energ´ıa Ecuaci´ on de la energ´ıa respecto al centro de masas 7 Ecuaciones generales de los sistemas Principio de corte de Euler-Cauchy Manuel Ruiz - Mec´ anica I

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Ecuaci´ on de la cantidad de movimiento j b

FIji b

FIij i

k

b

En un sistema de N part´ıculas, el movimiento est´a determinado por las 3N ecuaciones de cantidad de movimiento (CM) de las part´ıculas: N X FE i = 1...N + FIij = mi ¨ri i j=1 j6=i

FE i

Suele ser u ´til obtener combinaciones lineales de estas ecuaciones. Por ejemplo, sumar para todo el sistema:  3a ley (d´ ebil)       N N P P   E I E  Fi + Fij = R d j=1 i=1 (M r˙ G ) = RE j6=i  dt  N N  P  d2 P d2  ¨ r = mi ¨ri = dt m M r = M r i i G G  2 dt2 i=1

i=1

Este es el teorema de la cantidad de movimiento, o la ecuaci´on de la cantidad de movimiento del sistema, M vG ; a veces se llama momento lineal, p = M vG . Manuel Ruiz - Mec´ anica I

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Ecuaci´ on de la cantidad de movimiento El sistema se mueve como si toda la masa estuviera en el centro de masas, sometida a la resultante de las fuerzas exteriores. Las fuerzas interiores no influyen directamente en el movimiento del centro de masas (uno no puede levantarse tir´ andose de las orejas). • ¿C´ omo se mueve una nave en el espacio? • Si en el sistema rifle-bala se conserva la cantidad de movimiento, ¿por qu´e la bala mata y el rifle no? • Nube de basura espacial tras la explosi´on de un sat´elite. Pueden influir indirectamente: cambiando la disposici´on de las partes del sistema pueden cambiar las fuerzas exteriores (mover los alerones → modificar la sustentaci´ on). Manuel Ruiz - Mec´ anica I

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Ecuaci´ on de la cantidad de movimiento Se obtiene directamente una integral primera [ f (rj , r˙ j , t) = Cte ] si se anula la resultante exterior en una direcci´ on fija: RE · u = 0 =

d d ˙ u=0 (M r˙ G ) · u −−−→ (M r˙ G · u) = 0 dt dt

⇒

r˙ G · u = Cte

Si la direcci´ on no es fija, u˙ 6= 0, no hay integral primera por este motivo.

Ejemplo: tiro libre en el vac´ıo.

vx b

    ¨  0  x m y¨ = 0     z¨ −mg

⇒ b

 

⇒

F · i = 0 ⇒ x˙ = Cte F · j = 0 ⇒ y˙ = Cte F · k 6= 0 ⇒ E.D.O. para z



b

vx

vx

g

Manuel Ruiz - Mec´ anica I

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Ecuaci´ on del momento cin´ etico j b

FIji FIij b

rj

i FE i

ri

Partiendo de las ecuaciones de cantidad de movimiento de cada part´ıcula, N X FE i = 1...N + FIij = mi ¨ri i j=1 j6=i

se toman momentos en un punto fijo O y se suma para todo el sistema.

O

El momento de las fuerzas interiores se anula dos a dos, si se cumple la tercera ley de Newton en su formulaci´on fuerte: ri ∧

FIij

+ rj ∧

FIji

3a ley fuerte


= rj +  r ji ∧

FIij

+ rj ∧

FIji

Solo queda el momento resultante de las fuerzas exteriores: N X

= rj ∧

3a ley d´ ebil
 I F FIij+ ji 

=0

E ri ∧ FE i = MO

i=1

Manuel Ruiz - Mec´ anica I

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Ecuaci´ on del momento cin´ etico j b

FIji

El momento cin´etico de una part´ıcula Mi en O es: FIij b

rj

Mi i HM O = ri ∧ m i v

i FE i

Como O es un punto fijo, vMi = r˙ i , y al derivar, d Mi ˙ i + ri ∧ mi ¨ri ∧ m H = r˙ i  ir dt O

ri O

Sumado tenemos la derivada del momento cin´etico (MC) del sistema en O: N X i=1

N

d X ˙O ri ∧ mi ¨ri = ri ∧ mi r˙ i = H dt i=1

Finalmente tenemos la ecuaci´on del momento cin´etico en un punto fijo O (o teorema del momento cin´etico, MC o momento angular): d HO = ME O dt Manuel Ruiz - Mec´ anica I

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Ecuaci´ on del momento cin´ etico El momento cin´etico del sistema solo puede variar con momentos exteriores • Conservaci´on del momento cin´etico en el sistema solar • Maniobras de sat´elites: cohetes/ruedas de maniobra • Saltos de trampol´ın Si no hay momento en una direcci´ on fija, se obtiene una integral primera:   d d ˙ u=0 · H (HO · u) = 0 ⇒ HO · u = Cte −−→ u = 0 = ME O ·u − O dt dt • Momento cin´etico constante y velocidad variable, distribuyendo la masa: patinador. • Separaci´ on del sistema Tierra-Luna al disipar energ´ıa por las mareas. Ecuaci´ on poco intuitiva: gir´oscopo. Manuel Ruiz - Mec´ anica I

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Momento cin´ etico en punto m´ ovil S2 S0

A veces es u ´til tomar momentos en un punto O m´ ovil:

FIij ri0 b

N X

O

i FE i

ri0

∧

FE i

=

ME O

=

i=1

N X

ri0 ∧ mi ¨ri

i=1

La parte derecha es m´as complicada: ahora r˙ i0 6= r˙ i y el momento cin´etico tiene dos formas:

ri O1

Momento en O de las cantidades de movimiento absolutas: H21 O =

N X

Mi ri0 ∧ mi r˙ 21

i=1

Momento en O de las cantidades de movimiento relativas: H20 O

=

N X

Mi ri0 ∧ mi r˙ 20

i=1

S2 es el sistema de puntos; S0 son paralelos a los fijos con origen en O. Manuel Ruiz - Mec´ anica I

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Momento cin´ etico absoluto en punto m´ ovil S2 S0

Buscamos una relaci´on

FIij ri0 O rO

b

i

ME O =

FE i

N X

Mi ri0 ∧ mi ¨r21

←→

˙ 21 H O

i=1

ri O1

E E Por campo de momentos, ME O1 = MO + rO ∧ R

Partimos de la ecuaci´on del MC en el punto fijo O1 , y sustituimos ri = ri0 + rO : X
 ˙ 21 = d H ri0 + rO ∧ mi r˙ i = O1 dt X X d X 0 = ri ∧ mi r˙ i + r˙ O ∧ mi r˙ i + rO ∧ mi ¨ri {z } | {z } |dt {z } | O ∧M vG v01 21

˙ 21 H O

˙ 21 como ME O 1 = HO 1

→

rO ∧RE

O G ˙ 21 ME O = HO + v01 ∧ M v21

Por ser O m´ ovil, aparece un t´ermino corrector. Manuel Ruiz - Mec´ anica I

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Momento cin´ etico relativo en punto m´ ovil S2 S0

En la ecuaci´on del MC absoluto en punto m´ ovil,

FIij ri0 b

O

O G ˙ 21 ME O = HO + v01 ∧ M v21

i FE i

rO

aplicamos composici´on de movimientos ˙ 20 + H ˙ 01 ˙ 21 = H H O O O

ri O1

La derivada del momento cin´etico de arrastre vale: X X X Mi 0 O O O ˙ 01 = d = m + mi ri0 ∧ v˙ 01 = r ∧ m v v ∧ v H i 01 i 20 O i 01 dt   X Mi O O O G O O ∧ v01 = mi v20 + M OG ∧ v˙ 01 = M v21 ∧ v01 + M OG ∧ v˙ 01 + v01

Sustituyendo, tenemos la ecuaci´on del MC relativo en punto m´ ovil; tambi´en aparece un t´ermino corrector, pero distinto: ˙ 20 + M OG ∧ v˙ O ME = H O

O

01

Manuel Ruiz - Mec´ anica I

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Ecuaci´ on de la energ´ıa j b

FIji FIij

drj

b

dri

Otra manera de obtener combinaciones de las ecuaciones de CM es dar un desplazamiento a cada part´ıcula y multiplicar escalarmente: N X

i FE i

i=1

  N X I ¨ r dri · FE + F = m i i i ij j=1 j6=i

Por definici´ on, el t´ermino de la izquierda es el trabajo elemental de las fuerzas: N X

dri ·

i=1



FE i

+

N X

FIij

j=1 j6=i



= δ WE + δ WI

El de la derecha se puede relacionar con la energ´ıa cin´etica: mi


dvi dri 1 · dri = mi dvi = mi dvi vi = mi d vi2 = dTi dt dt 2

Se obtiene la Ecuaci´ on de la energ´ıa:

δ W E + δ W I = dT

Manuel Ruiz - Mec´ anica I

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15

Integral de la energ´ıa Se ha obtenido la ecuaci´on de la energ´ıa en forma diferencial: δ W E + δ W I = dT Se puede expresar como derivada (potencia) o como integral (trabajo finito): Z

˙ I = T˙ ˙ E +W W

2

δW

E

+

1

Z

2

δ W I = T2 − T1

1

En general, δ W no es una diferencial exacta. Lo es si las fuerzas derivan de un potencial. Entonces, la ecuaci´on de la energ´ıa se integra directamente para obtener la integral de la energ´ıa: δ W = −dV = dT

T +VE +VI =E

⇒

donde la constante E es la energ´ıa mec´ anica del sistema. De las ecuaciones globales (CM, MC, EN), solo la de la energ´ıa recoge el efecto de las fuerzas interiores. Manuel Ruiz - Mec´ anica I

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Ecuaci´ on de la energ´ıa respecto al centro de masas Tenemos la ecuaci´on de la energ´ıa en ejes inerciales:

S0

E I + δ W21 = dT21 δ W21 i

Podemos plantearla respecto a unos ejes S0 paralelos a los fijos (ω 01 = 0) con origen en el centro de masas del sistema G:

G

S2

N X

O1

Mi dr20

·

FE i

+

i=1

N X j=1 j6=i

PN

FIij




Mi i=1 dr20

Por definici´ on, Por composici´on de aceleraciones,

=

N X

Mi Mi · dr20 mi v˙ 21

i=1

· FE i +

PN

j=1 j6=i


E + δ WI FIij = δ W20 20

Mi Mi Mi Mi  ∧ v20 = v˙ 20 + 2 ω 01 v˙ 21 + v˙ 01

db Podemos sustituir en el t´ermino de la derecha y aplicar da dt db = da dt : N N     X X Mi Mi Mi Mi Mi Mi ˙ ˙ mi v20 + v01 · dr20 = mi dv20 + dv01 · v20 i=1

i=1

Manuel Ruiz - Mec´ anica I

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16

Ecuaci´ on de la energ´ıa respecto al centro de masas S0 E δ W20

+

I δ W20

=

i G

N X i=1

  Mi Mi Mi + dv01 · v20 mi dv20

Mi G: El movimiento de arrastre es una traslaci´ on: v01 = v01 N X

S2 O1

Mi mi dv01

Mi · v20

=

G dv01

·

i=1

Solo queda

N X

Mi mi v20

=

G dv01

·M

G≡G G v20

=0

i=1

N X

Mi mi dv20

·

Mi v20

i=1

=

N X 1 i=1

2

2  Mi = dT20 mi d v20

Podemos ya plantear la ecuaci´on de la energ´ıa respecto al centro de masas: E I δ W20 + δ W20 = dT20

Respecto al centro de masas: respecto a unos ejes paralelos a los fijos con origen en el centro de masas del sistema. Manuel Ruiz - Mec´ anica I

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7 Ecuaciones generales de los sistemas Hemos visto siete ecuaciones globales de los sistemas: CM MCa MCb MCc ENa ENb

3

RE = M ¨rG ˙ 21 ME = H

O1 O1 E 21 O ∧ M vG ˙ MO = HO + v01 21 E 20 O ˙ MO = HO + M OG ∧ v˙ 01 E + δ W I = dT δ W21 21 21 E I δ W20 + δ W20 = dT20

3

1

Las tres formas de MC y dos de EN no son independientes: MCb = f (CM, MCa )

ENb = f (CM, ENa ) MCc = f (CM, MCa ) Toda la informaci´on est´ a en las 3N ecuaciones de las part´ıculas. Las 7 globales pueden ser m´ as sencillas o convenientes. Si no son suficientes, se divide el sistema Manuel Ruiz - Mec´ anica I

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17

Principio de corte de Euler-Cauchy

i

j

Considerando el sistema completo, las fuerzas internas no aparecen en las ecuaciones de CM ni MC: Fij = −Fji

k

al sumar para todo el sistema se anula la resultante (3a ley d´ebil) y el momento resultante (3a ley fuerte). Si se necesitan m´ as de las 7 ecuaciones generales, se puede dividir el sistema en partes, pero entonces las fuerzas internas entre part´ıculas de ambas partes deben contarse como exteriores.

i

j

k

Manuel Ruiz - Mec´ anica I

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Trabajo y Potencial

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Trabajo y Potencial Trabajo elemental Trabajo finito C´alculo del trabajo: Caso F(r, r˙ , t) C´alculo del trabajo: Caso F(r) C´alculo del trabajo: fuerzas conservativas Propiedades del potencial C´alculo del potencial: EDP C´alculo del potencial: integraci´on Potenciales simples: peso-centrifuga-muelle-gravedad Potencial de un par de fuerzas Energ´ıa potencial - Potencial de un campo Trabajo de un par de fuerzas Trabajo sobre un s´ olido Potenciales no estacionarios Ejemplo: potencial de un s´ olido Manuel Ruiz - Mec´ anica I

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Trabajo elemental dr

M b

α

Una part´ıcula M est´ a sometida a una fuerza F. Se le da a la part´ıcula un desplazamiento diferencial dr. Se llama trabajo elemental al producto escalar de la fuerza por el desplazamiento:

F

δW = F · dr = |F| · |dr| cos α

dr

M b

El trabajo elemental es positivo (motor), nulo (⊥) o negativo (resistente) seg´ un el angulo de la fuerza con el vector desplazamiento (S π/2) ´

α F

El trabajo es aditivo respecto a la fuerza y respecto al desplazamiento: X δW = δW i = (F1 + · · · + Fn ) · dr X δW = δW i = F · (dr1 + · · · + drn ) por ser distributivo el producto escalar respecto a la suma de vectores. Se usa δ porque, en general, δW no es la diferencial de una funci´on.

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Trabajo finito M

Una part´ıcula M se mueve a lo largo de la trayectoria C desde el punto r1 al r2 sometida a la fuerza F. Se llama trabajo de la fuerza F en ese desplazamiento a la integral de l´ınea I r2 I r2 W12 = F · dr = (Fx dx + Fy dy + Fz dz)

C

b

b

F r1 r2 O

r1

r1

calculada a lo largo de la curva C. Para calcular el trabajo, hay que conocer F y dr como funciones del mismo par´ametro: I

r2

r1

F · dr =

I

r2 (u)

0

F(u) · r (u)du = r1 (u)

Z

u2

f (u) du u1

En general, esto solo se conoce una vez resuelto el problema, por lo que esta ecuaci´on no es muy u ´til al principio. Manuel Ruiz - Mec´ anica I

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C´ alculo del trabajo: Caso F(r, r˙ , t) ˙ t) . En el caso m´ as general, la fuerza depende de la posici´on, la velocidad y el tiempo: F(r, r, Para calcular el trabajo necesitamos conocerlos los tres en funci´on del mismo par´ametro. Lo normal es que el par´ ametro sea el tiempo: necesitamos las ecuaciones horarias r = r(t) ; es decir, solo podemos calcular el trabajo cuando el problema est´ a completamente resuelto. Conocidas las ecuaciones horarias se calcula el trabajo: I

r2 (t)

F [r(t), r˙ (t), t] · r˙ (t)dt = r1 (t)

Z

t2

f (t) dt = W (t1 , t2 ) t1

Obviamente, en el caso general esta ecuaci´on no es muy u ´til para resolver el problema directo, porque para calcularla hay que tenerlo ya resuelto. Manuel Ruiz - Mec´ anica I

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C´ alculo del trabajo: Caso F(r) Si la fuerza depende solo de la posici´on, F(r) , solo necesitamos conocer la trayectoria C sin referencia al tiempo. Lo m´as c´ omodo es conocer las ecuaciones param´etricas de la trayectoria, r(u). No es necesario que el par´ ametro sea el tiempo ni el par´ametro natural longitud de arco. Conocidas las ecuaciones param´etricas se calcula el trabajo: I

r2 (u)

0

F(u) · r (u)du = r1 (u)

Z

u2

f (u) du u1

Esta ecuaci´on es algo m´ as u ´til que la anterior: la velocidad con que se recorra, o el momento en que se pase por cada punto no influyen en el trabajo. Hay movimientos en que es f´acil calcular la trayectoria pero no las ecuaciones horarias (´orbitas keplerianas, por ejemplo). Manuel Ruiz - Mec´ anica I

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20

C´ alculo del trabajo: fuerzas conservativas El trabajo elemental es la diferencial exacta de una funci´on si la fuerza es conservativa, es decir: La fuerza es el gradiente de una funci´on escalar de la posici´on:   ∂V ∂V ∂V F (r) = −∇V (r) = − , , ∂x ∂y ∂z Se dicen entonces que la fuerza deriva de un potencial V (r). El trabajo depende de los puntos inicial y final, pero no del camino recorrido: W 12 = W 12 (r1 , r2 ) = −V (r2 ) + V (r1 ) El campo de fuerzas es irrotacional: i j k ∂ ∂ ∂ ∇ ∧ F = ∂x ∂y ∂z = 0 F F F x y z

Manuel Ruiz - Mec´ anica I

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C´ alculo del trabajo: fuerzas conservativas Las tres condiciones son equivalentes (⇔): F (r) = −∇V (r)

⇒

δW = − =−

Z

r2

r1

O bien

Z

r2 r1





∂V ∂V ∂V , , ∂x ∂y ∂z



· dr =

∂V ∂V ∂V dx + dy + dz ∂x ∂y ∂z

  ∂Fz − i j k   ∂y ∂ ∂ ∂ ∂Fx = ∇ ∧ F = ∂x ∂y ∂z  ∂z − F F F   ∂Fy − x y z ∂x



∂Fy  ∂z   ∂Fz ∂x   ∂Fx  ∂y



=−

 ∂2V −    ∂z∂y ∂2V = − ∂x∂z −    ∂2V ∂y∂x −

Z

r2

dV = V (r1 ) − V (r2 ) r1



∂2V  ∂y∂z   ∂2V ∂z∂x   ∂2V  ∂x∂y

=0

que resulta ser la igualdad de derivadas cruzadas; y as´ı hasta las seis demostraciones. . . Manuel Ruiz - Mec´ anica I

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Propiedades del potencial El trabajo de una fuerza conservativa en una curva cerrada es nulo: W 11 = V (r1 ) − V (r1 ) = 0 La funci´on potencial est´ a definida ± una constante arbitraria: V = V (x, y, z) + Cte. que no influye para nada porque se usa la derivada o el incremento: F = −∇V

 W 12 = V (r1 ) − V (r2 ) +  C − C

A veces se usa la funci´on de fuerzas, que es la misma funci´on potencial con el signo cambiado: F = −∇V = +∇U Se usa en mec´ anica orbital y geof´ısica, mientras que el potencial se usa en mec´anica general. Manuel Ruiz - Mec´ anica I

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Propiedades del potencial ∇V

La funci´on potencial est´a definida m´as/menos una constante arbitraria: V = V (r) ± Cte.

dr

Dando valores a la constante, se tiene una familia de superficies

C3

fi ≡ V (r) = Ci

C2 C1

i = 1, · · · , n

en las que la funci´on potencial es constante: las superficies equipotenciales. La fuerza es normal a la superficie equipotencial que pasa por ese punto: F = −∇V k n Al moverse por la superficie equipotencial, el trabajo es nulo: ⊥

dW = F · dr = 0 Manuel Ruiz - Mec´ anica I

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C´ alculo del potencial: EDP Dos caminos: Sistema de Ecuaciones Diferenciales en Derivadas Parciales (EDP). Integrar el trabajo entre un punto fijo arbitrario y otro gen´erico. El primer m´etodo puede ser el m´ as sencillo si se aprovechan las simetr´ıas de la fuerza:   ∂V ∂V ∂V , , Cartesianas: F(x, y, z) = −∇V (x, y, z) = ∂x ∂y ∂z   ∂V 1 ∂V ∂V Cil´ındricas: F(r, θ, z) = −∇V (r, θ, z) = , , ∂r r ∂θ ∂z   ∂V 1 ∂V 1 ∂V , , Esf´ericas: F(r, θ, φ) = −∇V (r, θ, φ) = ∂r r cos φ ∂y r ∂φ Hay que tener cuidado con la definici´ on de las esf´ericas: latitud desde el ecuador φ o colatitud desde el polo ϕ = π2 − φ. Manuel Ruiz - Mec´ anica I

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C´ alculo del potencial: integraci´ on Para fuerzas conservativas, el trabajo solo depende del punto inicial y final, no del camino. Se puede calcular el potencial integrando el trabajo de la fuerza entre un punto fijo r0 y otro gen´erico r : z

r b

r0

W (r0 , r) = V (r0 ) − V (r)

y b

⇒ ⇒

V (x, y, z) = −W (r0 , r) + V (r0 )

Como es independiente del camino, se busca el m´as sencillo: x

W (r0 , r) =

Z

=

x,y,z

F · dr = x0 ,y0 ,z0

Z

x,y0 ,z0

Fx (ξ, y0 , z0 ) dξ + x0 ,y0 ,z0

Z

x,y,z0

Fy (x, η, z0 ) dη + x,y0 ,z0

Z

x,y,z

Fz (x, y, ζ) dζ =

x,y,z0

= −V (r) + V (r0 ) = −V (x, y, z) + C Manuel Ruiz - Mec´ anica I

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Potenciales simples: peso z

M b

Cerca de la superficie, la gravedad se puede considerar constante y vertical descendente: F = −mg k = −∇V (r)

mg O y x

Es trivial calcular el rotacional ∇ ∧ F y comprobar que es nulo, o ver que las derivadas cruzadas son todas nulas.

El sistema de EDP en cartesianas es trivial: −

∂V ∂x

=

0

−

∂V ∂y

=

0

−

∂V ∂z

Manuel Ruiz - Mec´ anica I

        

⇒

V = V (z) = mg z + C

       = −mg 

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Potenciales simples: fuerza centr´ıfuga z

M

Suponemos un sistema de referencia que gira alrededor del eje Oz con velocidad angular ω. La fuerza centr´ıfuga tiene la forma:

b

ω Fc

Fc = mω 2 (x i + y j) = −∇V (r)

O y x

Por derivadas cruzadas, se ve que es potencial:

∂Fx ∂y

El sistema de EDP en cartesianas es bastante simple:  ∂V −  = mω 2 x    ∂x     ∂V 2 ⇒ V = f1 (x) + f2 (y) = − = mω y  ∂y    
 1  ∂V  = − mω 2 x2 + y 2 + C − = 0 2 ∂z

Manuel Ruiz - Mec´ anica I

24

=

∂Fy ∂z

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Potenciales simples: fuerza centr´ıfuga z M r

La fuerza centr´ıfuga es mucho m´as simple si se aprovecha la simetr´ıa axial: se toman coordenadas cil´ındricas de eje el de revoluci´on:

b

ω Fc

Fc = mω 2 r ur = −∇V (r, θ, z)

O y θ

x

El sistema de EDP en cil´ındricas es trivial: ∂V − ∂r

=

mω 2 r

−

1 ∂V r ∂θ

=

0

−

∂V ∂z

=

0

Manuel Ruiz - Mec´ anica I

        

⇒

       

1 V = V (r) = − mω 2 r 2 + C 2

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Potenciales simples: muelle z

Se tiene un muelle ideal de longitud nula, con un extremo fijo en el origen: F = −k OM = −k (x, y, z) = −∇V (x, y, z)

M b

F O b

y

Es obvio que la fuerza es potencial, porque todas las derivadas cruzadas son nulas.

x

Como la fuerza es lineal, el sistema de EDP en  ∂V − = −k x     ∂x     ∂V ⇒ − = −k y  ∂y       ∂V − = −k z  ∂z

Manuel Ruiz - Mec´ anica I

cartesianas es relativamente sencillo:  V = f1 (x) + f2 (y) + f3 (z) =       
1 = k x2 + y 2 + z 2 + C = 2       1  = k OM2 + C 2

25

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Potenciales simples: muelle z

M

La fuerza de un muelle con un extremo fijo en el origen tiene simetr´ıa central, por lo que lo m´as simple es tomar coordenadas esf´ericas:

b

F O

F = −k OM = −k r ur = −∇V (r, θ, φ)

φ b

y θ

x

El sistema de EDP en esf´ericas es trivial: ∂V − ∂r −

1 ∂V r cos φ ∂θ −

Manuel Ruiz - Mec´ anica I

1 ∂V r ∂φ

  = −k r         = 0         = 0 

⇒

V = f (r) =

1 2 kr +C 2

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Potenciales simples: gravitaci´ on z m2 b

F m1 b

y x

Lejos de la superficie de la tierra, hay que usar la expresi´on general de la gravitaci´on. Tomando origen en una de las masas, m1 , la fuerza que act´ ua sobre la otra es:    x Gm1 m2 y = −∇V (x, y, z) F=− (x2 + y2 + z 2 )3/2  z 

La fuerza es no lineal, y el sistema de EDP en cartesianas no parece simple: −

∂V ∂x

= −

Gm1 m2 (x2 +y 2 +z 2 )3/2

x

−

∂V ∂y

= −

Gm1 m2 (x2 +y 2 +z 2 )3/2

y

−

∂V ∂z

= −

Gm1 m2 (x2 +y 2 +z 2 )3/2

z

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Potenciales simples: gravitaci´ on z m2

Parece conveniente aprovechar la simetr´ıa central, y usar coordenadas esf´ericas: Gm1 m2 F=− ur = −∇V (r, θ, φ) r2

b

F m1

φ b

y θ

x

El sistema de EDP en esf´ericas es trivial:

−

∂V − ∂r

=

− Gmr12m2

1 ∂V r cos φ ∂θ

=

0

1 ∂V r ∂φ

=

−

0

Manuel Ruiz - Mec´ anica I

         

⇒

V = f (r) = −

        

Gm1 m2 +C r

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Potencial de un par de fuerzas z M2

z F12

Trasladando el origen, tenemos el de un muelle con los dos extremos en puntos arbitrarios:

F21

M1 y

x x

Potencial de un muelle con un extremo en el origen:
1 1 V (r2 ) = k OM2 2 = k x2 2 + y2 2 + z2 2 2 2

O

1 V (r1 , r2 ) = k M1 M2 2 = 2 i 1 h = k (x2 − x1 )2 + (y2 − y1 )2 + (z2 − z1 )2 2 El potencial es sim´etrico respecto los dos puntos: potencial del par. y

El mismo potencial genera la acci´ on y la reacci´ on, derivando respecto a las coordenadas del punto sobre el que act´ ua la fuerza:     ∂V ∂V ∂V ∂V ∂V ∂V − F21 = ∇2 V = −F12 = ∇1 V = , , , , ∂x1 ∂y1 ∂z1 ∂x2 ∂y2 ∂z2 1 m2 Lo mismo con el potencial gravitatorio: V = − Gm |r1 −r2 |

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Energ´ıa potencial - Potencial de un campo Potencial: Funci´ on potencial de una fuerza que act´ ua sobre una part´ıcula: Fi = −∇V (ri , . . . ) Es el efecto: solo existe si una part´ıcula recibe esa fuerza. La causa ser´ıa la part´ıcula que ejerce la fuerza y crea el campo de fuerzas. Funci´ on de fuerzas: La misma funci´on potencial, cambiada de signo: Fi = −∇V (ri , . . . ) = +∇U (ri , . . . )

U = −V

Energ´ıa potencial de una part´ıcula o sistema: Suma de los potenciales de todas las fuerzas conservativas que act´ uan sobre la part´ıcula o sistema:  N  N X X E I 1 V (ri , . . . ) + 2 V (ri , rj ) V (ri , . . . ) = i=1

j=1 j6=i

1/2 porque sumamos dos veces el potencial del par V I (ri , rj ). (. . . ) por coordenadas de part´ıculas exteriores al sistema. Manuel Ruiz - Mec´ anica I

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Energ´ıa potencial - Potencial de un campo Campo de fuerzas: Una masa o carga produce una fuerza sobre cualquier otra carga/masa del espacio. Es la causa; el efecto es la fuerza que experimenta una part´ıcula, y la funci´on potencial. Potencial del campo: Trabajo que hay que realizar contra el campo para llevar una carga/masa unidad desde ∞ hasta el punto r. Z r F V (r) V (∞) Vc (r) = − · dr = − m m m ∞ Se mira la causa, no el efecto: carga/masa unidad (carga de prueba)

Vc r

Medir el trabajo desde ∞ equivale a escoger la constante para que V (∞) = 0. Tiene sentido para fuerzas que decrecen con la distancia: el potencial tiene tangente horizontal en ∞. Para aplicarlo a fuerzas crecientes (muelle, centr´ıfuga), habr´ıa que partir desde 0, no de ∞

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Energ´ıa potencial - Potencial de un campo z m2

Ejemplo: Se tiene una masa m1 fija en el origen, y otra masa m2 en un punto arbitrario.

b

r m1

y

1 m2 − Gm |r2 |

Energ´ıa potencial de m2 :

z

A˜ nadimos otra part´ıcula m3 en un punto arbitrario:

m2

m3

1 − Gm r

Potencial del campo creado por m1 : igual b

b

m1

1 − Gm r

Potencial del campo creado por m1 :

θ

x

1 m2 − Gm |r2 |

Potencial de la fuerza sobre m2 :

φ b

1 m2 − − Gm |r2 |

Energ´ıa potencial de m2 : b

Gm3 m2 |r2 −r3 |

y x 1 m3 − Gm − |r3 | {z |

Energ´ıa potencial del sistema m2 , m3 :

3 m2 − Gm |r2 −r3 | } | {z }

Gm1 m2 |r2 |

E

I

1 m3 1 m2 − Gm − Gm − |r3 | |r2 | {z |

Energ´ıa potencial del sistema m1 , m2 , m3 :

Gm3 m2 |r2 −r3 |

}

I

Manuel Ruiz - Mec´ anica I

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Trabajo de un par de fuerzas z M2 F12 u

M1

F21

F12 = −F21 = f (r) u

O x

Sean dos part´ıculas M1 y M2 sometidas a un par de acci´ on reacci´ on. Por a la 3 ley de Newton (fuerte):

y

donde

u=

r2 − r1 |r2 − r1 |

El trabajo del par al moverse las part´ıculas ser´a:

δW = F12 · dr1 + F21 · dr2 = f (r) u · (dr1 − dr2 ) = f (r) u · d (r u) = :⊥ 

 = f (r) u · (dr u + r du) = f (r) dr + f (r) r  u · du

⇒

δW = f (r) dr

Pues u es un vector unitario, u · u = 1, y por tanto, derivando, u · du = 0. Un par de fuerzas solo trabaja si las part´ıculas var´ıan su distancia mutua En un s´olido (distancias constantes), las fuerzas internas son pares de acci´ on reacci´ on y no trabajan. Manuel Ruiz - Mec´ anica I

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29

Trabajo sobre un s´ olido z1

Sea un s´ olido formado por un n´ umero grande de part´ıculas Mi (en el l´ımite, ∞); sobre cada una act´ ua una fuerza Fi (en el l´ımite, diferencial). El trabajo del sistema de fuerzas sobre el s´olido es:

Mi Fi

O b

O1

δW = y1

x1

∞ X

Fi · dri =

i=1

∞ X

Fi · vi dt

i=1

vi = vO + ω ∧ OMi

Podemos aplicar el campo de velocidades del s´olido: prod. mixto

δW = dt

∞ X

Fi · vO + dt

i=1

=

∞ X

i=1 ∞ X i=1

Fi · ω ∧ OMi Fi

!

=

· vO dt + ω ·

∞ X

OMi ∧ Fi

i=1

⇒

!

dt

⇒

δW = RE · vO dt + ME O · ω dt

Manuel Ruiz - Mec´ anica I

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Trabajo sobre un s´ olido Propiedades del trabajo sobre un s´ olido: Las fuerzas internas sobre un s´ olido no trabajan: sus puntos mantienen distancias constantes. Si las fuerzas son conservativas, el potencial puede depender de la posici´on del punto de referencia y de los par´ ametros de orientaci´on: O E E δW = RE · vO dt + ME O · ω dt = R · dr + MO · dΘ =

= −dV (xO , y O , z O , ψ, θ, ϕ) Un sistema de fuerzas nulo (RE = 0, ME O = 0) puede trabajar sobre un sistema deformable, pero no sobre un s´ olido.

Manuel Ruiz - Mec´ anica I

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Potenciales no estacionarios Potencial ordinario estacionario V (r): Depende solo de las posiciones de las part´ıculas. Se conserva la energ´ıa: dV = Vx dx + Vy dy + Vz dz = ∇V · dr = −δW dT − δW = dT + dV = d(T + V ) = 0

→

T +V =E

Potencial ordinario no estacionario V (r, t): Depende de la posici´on y del tiempo. La fuerza sigue siendo F = −∇V , pero no se conserva la energ´ıa. dV = Vx dx + Vy dy + Vz dz + Vt dt = ∇V · dr + Vt dt = −δW + Vt dt dT − δW = dT + dV − Vt dt = 0

→

d(T + V ) = Vt dt 6= 0

Potencial generalizado V (r, v, t): Depende de la posici´on, de la velocidad y del tiempo (ej: fuerzas de inercia, como la de Coriolis; fuerzas electromagn´eticas). No se estudian en este curso. Manuel Ruiz - Mec´ anica I

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Potenciales no estacionarios Un potencial ordinario puede depender del tiempo: Porque una fuerza externa (un motor) mueva a la part´ıcula que crea el campo; esta fuerza aporta o quita energ´ıa al sistema. Un sistema globalmente conservativo puede convertirse en no conservativo al separar una parte y despreciar efectos muy peque˜ nos: sistema solar - sat´elite artificial. Sistema completo conservativo: +W − W = 0. Todos los cuerpos se influyen: V =−

Gm m⊕ − |r − r⊕ | Gm ms Gms m⊕ − − |r − rs | |rs − r⊕ |

Sol-Tierra: el trabajo +W del sat´ elite les afecta (no conservativo), pero se desprecia su efecto por la desproporci´ on de masas (→ conservativo)

ms  m , m⊕

Sol Sat



Sat´ elite aislado: no conservativo. • Masa muy peque˜ na. El trabajo −W del resto tiene un efecto no despreciable eri• r (t), r⊕ (t) conocidas (efem´ des): se mueven independientemente del sat´ elite Gm m⊕ − V (t) = − |r (t) − r⊕ (t)| Gm ms Gms m⊕ − − |r (t) − rs | |rs − r⊕ (t)|

⊕ Tierra

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ds

Ejemplo: potencial de un s´ olido Una varilla se mueve en un plano Oxy. El eje Oy repele a cada elemento de masa con una fuerza proporcional a la masa y a la distancia al eje, de constante ω 2 . Determinar la funci´on de fuerzas del s´olido. La configuraci´ on de la varilla se determina con las coordenadas (ξ, η) del centro de masas, y el ´angulo con Ox, θ.

s

δF θ

ξ G η

Se necesitan dos integrales: en dr de la fuerza al potencial, y en δm para extenderlo a todo el s´olido. El orden no importa. Empezaremos por la del potencial. La fuerza elemental δF obviamente deriva de una funci´on de fuerzas, an´aloga a la centr´ıfuga: δF = ω 2 x δm i = +∇δU (x)

⇒

1 δU = ω 2 x2 δm 2

tambi´en elemental, pues afecta solo al elemento de masa δm. Ahora hay que integrar para toda la varilla. Como solo tiene una dimensi´on, usaremos la densidad lineal σ: m δm = σ ds = ds L Manuel Ruiz - Mec´ anica I

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Ejemplo: potencial de un s´ olido ds

La coordenada x del elemento de masa δm tambi´en depende de la coordenada interna s que lo identifica:

s

δF θ

ξ

x = ξ + s cos θ

G η

Sustituyendo, tenemos el potencial elemental en funci´on del par´ametro s:

1 2 2 1 m ω x δm = ω 2 (ξ + s cos θ)2 ds 2 2 L Integramos ahora para todo el s´ olido. Como es una integral de masa, las coordenadas del s´olido ξ, θ se dejan constantes: δU =

U=

Z

δU = V

ω2m 2L

Z

L/2

−L/2


ξ 2 + 2ξ cos θ s + cos2 θ s2 ds =

  L/2  ω2 m 2 s3 mω 2 L2   2 2 2   θ s + cos θ = = U= cos θ + C ξ s + ξ cos ξ + 2L 3 −L/2 2 12

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ds

Ejemplo: potencial de un s´ olido

s

δF θ

ξ

Otro camino es integrar primero el trabajo elemental para todo el s´ olido en s, y luego integrar el potencial. Y para calcular el trabajo tambi´en hay varios caminos. Uno es calcular el trabajo de la fuerza elemental al moverse el s´olido:

G

δδW = δF · δr(s)

η

Donde el trabajo es elemental por dos motivos: por dar un desplazamiento elemental al s´olido, (δξ, δη, δθ), y por ser un elemento de masa δm. La fuerza, la posici´on y el desplazamiento son:  δF = ω 2 (ξ + s cos θ) δm i  r = (ξ + s cos θ, . . . ) δδW = ω 2 (ξ + s cos θ) (δξ − s sin θδθ) δm =  δr = (δξ − s sin θδθ, . . . )   = ω 2 ξδξ + (cos θδξ − ξ sin θδθ) s − sin θ cos θδθ s2 δm Integrando para toda la varilla en la variable s:   L2 2 δW = ω m ξδξ − sin θ cos θδθ 12

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ds

Ejemplo: potencial de un s´ olido

s

δF

El trabajo elemental sobre todo el s´olido tambi´en se puede calcular mediante la resultante y el momento resultante en G:

θ

ξ

δF =

G

δMG = −ω 2 (ξ + s cos θ) s sin θ δm k

η

Sustituyendo δm =

ω 2 (ξ + s cos θ) δm i

m L

ds e integrando para toda la varilla, se tiene: R = ω2 m ξ i

MG = −

ω 2 mL2 sin θ cos θ k 12

El trabajo elemental, teniendo en cuenta que ω = θ˙ k, ser´a:   L2 2 G δW = R · δr + MG · ω dt = ω m ξδξ − sin θ cos θδθ 12 naturalmente, el resultado es el mismo. Manuel Ruiz - Mec´ anica I

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Ejemplo: potencial de un s´ olido Solo queda comprobar que es una diferencial exacta y calcular el potencial.   L2 2 sin θ cos θδθ = −V ξ dξ − V θ dθ = −dV (ξ, θ) δW = ω m ξδξ − 12 Las derivadas cruzadas son nulas, V ξθ = V θξ = 0 y el potencial se calcula directamente, porque es la suma de dos funciones de una variable:   Z Z ω 2 m 2 L2 2 V = V ξ (ξ) dξ + V θ (θ) dθ = − ξ + cos θ + C 2 12 El segundo sumando se podr´ıa escribir tambi´en como − sin2 θ, porque la diferencia es una constante. El resultado es, como se esperaba, el opuesto de la funci´on de fuerzas U . Manuel Ruiz - Mec´ anica I

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