MECÁNICA Cinemática de partículas: La cinemática es el estudio de la geometría del movimiento; su objeto es relacionar el desplamiento, la velocidad la aceleración y el tiempo, sin referencia a la causa del movimiento

Movimiento en una dimensión Movimiento en dos y tres dimensiones Referencias: Tipler, P. and Mosca, G.(2004) Physics for Scientists and Engineers. Vth Ed. Freeman and Company Beer, F. and Jonhston, E. R. (2007) Vector Mechanics for Engineers. McGrawHill

MECÁNICA Cinemática de las partículas Movimiento en una dimensión

Desplazamiento y velocidad

Posición, Desplazamiento, Velocidad, “rapidez”. Una dimensión Posición xi. se define por un marco o sistema de referencia

Desplazamiento: es el cambio en la posición de la partícula Velocidad: El ritmo al cual cambia la posición, m/s La velocidad instantánea es el límite del cociente Δx/Δt, cuando Δt tiende a cero, y tiene signo, positivo significa que x crece, y negativo que x disminuye

Velocidad promedio Distancia recorrida: s distancia total recorrida

s t

= pendiente de la línea tangente a la curva x frente a t

Rapidez promedio:

VELOCIDAD INSTANTÁNEA

ds Velocidad instantánea dt

ratio de la distancia total recorrida por el tiempo empleado en recorrerla

Velocidad promedio e instantánea. Interpretación geométrica Movimiento en una dimensióh La velocidad promedio es la pendiente de la línea recta

Interpretación geométrica de la velocidad media

Velocidad instantánea 

ds dt

La magnitud de la velocidad instantánea es la rapidez

Velocidad promedio e instantánea.

Comentarios sobre terminología. Diferencia entre velocidad y rapidez Cuando hablamos de rapidez o módulo de la velocidad instantánea , esta se considera siempre positiva. La “rapidez” promedio en un recorrido es pues el promedio de los valores de la rapidez (módulo de la velocidad) instantánea, y es el cociente entre la distancia recorrida y el tiempo empleado en recorrerla Cuando hablamos de velocidad nos referimos a la velocidad como vector, por tanto tiene módulo y dirección. Cuando tratamos movimientos unidimensionales la dirección del vector la suele indicar el signo. Positivo o negativo La diferencia fundamental entre ambos concceptos se encuentra cuando hablamos de velocidad promedio. En un movimiento como el que recorre un coche de Fórmula 1, al dar una vuelta al circuito la velocidad promedio en ese ciclo sería cero, pero el módulo de la velocidad instantánea promedio sería la distancia recorrida dividida por el tiempo empleado en recorrerla.

Velocidad promedio e instantánea. velocidad instantánea

ds v dt

ds es el infinitésimo de arco, distancia sobre la curva que recorre la partícula, en un infinitésimo de tiempo, dt; Cuando se considera movimiento unidimensional, aunque fuera movimiento curvilíneo, es frecuente utilizar la letra “s” como distancia desde el origen, entonces “s” ya es posición y no distancia recorrida, por lo que tiene asociado un signo, positivo para distancias que crecen, negativo al contrario.

Cuando consideramos un movimiento rectilíneo para la distancia desde el origen se suelen utilizar letras como “x”, coincidiendo con el nombre del eje cartesiano correspondiente, entonces ds= dx En el caso general de movimiento curvilíneo tridimensional, y para cordenadas cartesianas

ds 

dx 2  dy 2  dz 2

MECÁNICA Cinemática de partículas Movimiento en una dimensión

Aceleración

Aceleración una dimensión

Movimiento en

Aceleración es el ritmo de cambio de la velocidad instantánea Aceleración promedio, m/s2

 

dx dv d dt d 2 x    2 dt dt dt

Aceleración instantánea, m/s2

pendiente de la línea tangente a la curva v frente a t Movimiento bajo aceleración constante, a = aav = constante; Movimiento rectilíneo uniformemente acelerado

v  vo  at

1 2 x  x  xo  s  vot  at 2

Eliminando t

v 2  vo2  2ax v 2  vo2  2a s

Caso práctico: Objetos en caida libre “ que caen libremente bajo la influencia de la gravedad solamente” “Cerca de la superficie de la tierra todos los objetos sin sujección caen verticalmente con aceleración constante (considerando la resistencia del aire despreciable) Aceleración de la 2

Ejercicios ¿Cómo es el movimiento que se muestra en la figuras? Escribe la ecuación que describe el movimiento en cada caso

Un coche que parte del reposo registra la velocidad que se representa en la figura. Estima la distancia que recorre en los primeros 4 segundos. Calcula la aceleración cuando t = 2 s Describe el movimiento que se representa en la figura. Estima la aceleración cuando: t=50 s; t=120 s; ¿Cual es la distancia recorrida desde el origen de tiempo a t = 60 s; t= 180 s

Un coche acelera desde el reposo como se muestra en la figura. Dibuja un gráfico mostrando su velocidad y posición respecto al tiempo

Movimiento relativo de dos partículas Movimiento en una dimensión Un sistema de referencia es un objeto cuyas partes están en reposo relativo unas de otras DEFINICIÓN DE SISTEMA DE REFERENCIA Posición relativa de B

xA

xB

respecto de A

Velocidad relativa de B respecto de A Aceleración relativa de B respecto de A

Movimientos dependientes Los movimientos de las partículas Ejemplo: Poleas y objetos están enlazados,no son enlazados por cuerdas independientes inextensibles

2 xB  x A  Constante 2 vB  v A  0 2 aB  a A  0

xB / A  xB  x A

vB / A  vB  v A aB / A  aB  a A

MECÁNICA Cinemática de partículas Movimiento en dos y tres dimensiones

¡vamos a necesitar un concepto matemático!

Vectores Suma y resta de vectores

Método del paralelogramo

Los vectores son objetos que poseen magnitud y dirección y se suman como los desplazamientos

Componentes de un vector

Componentes rectangulares de un vector

Vectores La suma de vectores puede hacerse por el procedimiento de unir la cabeza de uno con la cola del otro, el método del paralelogramo, o analíticamente usando los componentes del vector Vectores unitarios

Posición, Velocidad [rapidez], y Aceleración

Vectores posición, velocidad y aceleración Movimiento curvilíneo Velocidad. Vector   Δr dr ds v  lim   Τ  vΤ Δt 0 Δt dt dt

Rapidez [speed] v

ds dt

s distancia medida sobre la curva desde un origen Po

Vectores posición, velocidad y aceleración curvilíneo Aceleración

  dv a  lim  t 0 t  dv d v T   dt dt

 

Movimiento

Componentes rectangulares del vector, posición, velocidad y aceleración Movimiento curvilíneo

    r  xi  y j  z k

 dx  dy  dz  v i j k dt dt dk

 d 2x  d 2 y  d 2z  a 2 i  2 j 2k dt dt dt

Componentes tangencial y normal de la aceleración

  v  vT      dv d v T dv dT dv v  dv v2 a   T v  T v N  T N dt dt dt dt dt  dt   dT d  ds  v   N N N dt dt  dt 

 

Componentes tangencial y normal de la aceleración

ACELERACIÓN TANGENCIAL

ACELERACIÓN NORMAL O CENTRÍPETA

  v  vT   dv dv  v 2    a  T N  aT  a N dt dt 

Caso especial: Movimiento circular

Caso especial: Movimiento circularRelaciones básicas en el movimiento circular

!!!Ángulos en radianes!!! Radio, r [m] Arco, distancia recorrida, s [m] Velocidad, v; Rapidez, v [m/s] Ángulo girado, θ, [rad] Velocidad angular ω [rad/s] Aceleración angular, α [rad/s2] Aceleración, a [m/s2] Aceleración Tangencial, aT [m/s2] Aceleración Normal, aN [m/s2] Frecuencia, ν [ciclos/s][Hertz] Período, T, [s]

arco  angulo x radio ds  d R ds d  R dt dt v  R dv d  aT   R R dt dt v2 aN   2R R Ejercicio: Representar a escala la velocidad y aceleración del punto P de la figura que gira con velocidad angular constante de 5 rad/s y radio de giro 3 m.

Movimiento relativo a un sistema de referencia móvil: Caso de traslación

 rB / A

   rB  rA  rB / A    vB  v A  vB / A    aB  a A  aB / A

Posición relativa de B respecto al sistema móvil Ax´y´z´, o posición de B relativa a A Velocidad de B relativa al sistema de referencia móvil Ax´y´z´, o la B / A velocidad de B relativa a A.Es la derivada del vector posición relativa

 v

 aB / A La posisición, velocidad y aceleración dependen del sistema de referencia desde el que se midan.

Sin embargo, si el movimiento del sistema de referencia móvil es de traslación uniforme, la aceleración es la misma medida en los dos sistemas, el fijo y el móvil

Acleración de B relativa al sistema de referencia móvil Ax´y´z´ o la aceleración relativa respecto de A. Es la derivada del vector velocidad relativa El movimiento de B respecto al sistema fijo Oxyz se denomina

movimiento absoluto

Movimiento relativo respecto a un sistema de referencia B

O

A

A

 vB / A

   rB  rA  rB / A    vB  v A  vB / A    aB  a A  aB / A

 vA

Si el vagón tiene un movimiento de traslación uniforme, las aceleraciones son las mismas medidas desde los dos sistemas

Problemas Un proyectil se lanza desde el borde de un acantilado de 190 m de altura sobre el mar, con una velocidad de 180 m/s y un ángulo de 30º con la horizontal. Si se ignora la resistencia del aire (a) calcular la distancia horizontal desde el cañón hasta donde el proyectil impacta con el mar (b) la altura máxima que sobre el nivel del mar alcanza el proyectil El automóvil A viaja hacia el este con una velocidad constante de 36 km/h. Cuando el automóvil A cruza la intersección que se muestra, el automóvil B parte del reposo desde una distancia de 35 m al norte de la intersección y se mueve hacia el sur con una aceleración constante de 1,2 m/s2. Determinar la posición, velocidad y aceleración de B relativa a A 5 s después de que A cruce la intersección Un automovilista viaja a 120 km/hora sobre un tramo curvo en una autopista de 800 m de radio. Aplica los frenos, provocando que la rapidez del coche disminuya de forma constante y al cabo de 3 s la velocidad es de 90 km/hora. Calcular la aceleración del coche justo cuando el automovilista inicia la aplicación de los frenos