MOVIMIENTO EN DOS DIMENSIONES INTRODUCCIÓN Hemos visto que el movimiento de una partícula es rectilíneo si: -

la velocidad es constante (MRU)

-

la aceleración es constante y colineal con la velocidad (MRUV)

Si la aceleración tiene la misma dirección que la velocidad, la trayectoria es rectilínea. Si la aceleración no tiene la misma dirección de la velocidad, ésta cambiará de dirección describiendo una trayectoria que deja de ser unidimensional. Bajo ciertas condiciones, el movimiento ocurre en un plano, es decir el movimiento será en dos dimensiones y en general será un movimiento curvilíneo.

MOVIMIENTO BIDIMENSIONAL - ECUACIONES GENERALES Consideremos un movimiento bidimensional en el que la aceleración se mantiene en un mismo plano y la velocidad ya no es paralela a la aceleración. El movimiento de una partícula se describe con su vector posición r, la velocidad v y la aceleración a. El vector posición de una partícula moviéndose en el plano X - Y es

r=xi+yj

Si se conoce el vector posición la velocidad de la partícula se puede obtener como

v = vx i + vy j En las ecuaciones x, y, vx , y vy , componentes de r y v, varían con el tiempo cuando se mueve la partícula. La aceleración de la partícula en el plano estará definida por las componentes a = ax i + a y j Si el movimiento es con aceleración constante, entonces ax y ay, componentes de la aceleración serán constantes y estarán en un mismo plano. Si la partícula inicia su movimiento con velocidad inicial v0, esta es v0 = vx0 i + vy0 j Aplicando las ecuaciones cinemáticas a las componentes de la velocidad v para cualquier instante t con aceleración constante:

vx = vx0 + ax t

vy = vy0 + ay t

Reemplazando estas expresiones en la ecuación de la velocidad v = v0 + a t v = (vx0 + ax t ) i + (vy0 + ay t) j Lo que significa que la velocidad de una partícula en un instante t es igual a la suma del vector velocidad inicial v0 y la velocidad adicional, at, que adquiere en el tiempo t De la misma forma remplazando en , r = r0 + v0 t + ½ a t2 , las posiciones o coordenadas x, y de una partícula que se mueve con aceleración constante con sus componentes x = x0 + vx0 t + ½ a x t2

y = y0 + vy0 t + ½ a y t2

r = (x0 + vx0 t + ½ a x t2 ) i + (y0 + vy0 t + ½ a y t2 ) j r = (x0 i + y0 j) + (vx0 i + vy0 j) t + ½ (a x i + ay j) t2

MOVIMIENTO EN DOS DIMENSIONES CON ACELERACIÓN CONSTANTE

El movimiento de una pelota pateada por un futbolista, el de una piedra que gira atada a una cuerda o el movimiento de la luna alrededor de la tierra, son ejemplos de movimiento en el plano.

En el caso de un movimiento en el cual la aceleración es constante y no colineal con v, la trayectoria seguida por la partícula es una parábola. La parábola esta en plano formado por la aceleración y la velocidad. El vértice se encuentra en la posición en que la velocidad y la aceleración son perpendiculares entre si La velocidad inicial v0 y la aceleración a determinan el plano del movimiento de la partícula La aceleración a = ax i + ay j tiene componentes ax constante y ay, constante La aceleración siempre apunta hacia la parte cóncava de la curva El eje de la parábola es paralelo a la aceleración Las ecuaciones de la posición de la partícula serán x = x0 + vx0 t + ½ a x t2 y = y0 + vy0 t + ½ a y t2 Las ecuaciones de la velocidad de la partícula serán vx = vx0 + ax t vy = vy0 + ay t v2x = vx0 + 2 ax ∆ X v2y = vy0 + 2 ay ∆ X

Estas ecuaciones indican que las proyecciones sobre los ejes coordenados X e Y se mueven con MRUV y ambas ecuaciones están relacionadas por un parámetro común que es el tiempo Si una de los ejes coordenados es paralelo a la aceleración de la partícula el otro eje no tendrá componente de la aceleración y el movimiento en ese eje será MRU

MOVIMIENTO DE PROYECTILES En este movimiento la aceleración a es la que produce la tierra sobre todos los cuerpos, la aceleración de la gravedad g, en dirección vertical y con sentido hacia el centro de la tierra. La representamos vectorialmente como g = 9,81 (-j ) m/s2. Para simplificar los cálculos aproximamos su valor a 10 m/s2. Al lanzar el proyectil desde la superficie terrestre, o cerca de ésta, con una velocidad inicial que hace un ángulo θ con la horizontal, el proyectil sigue una trayectoria parabólica en el plano determinado por su velocidad inicial v0 y la gravedad g como se aprecia en la figura

El vector posición r en cada punto de la trayectoria parabólica se representa en el siguiente gráfico. Observe que si no existiera aceleración g el recorrido del móvil sería rectilíneo en la dirección de v0t, el vector ½gt es el desplazamiento vertical debido a la aceleración g dirigida hacia abajo. Y

MRUV MRU

MRU En la figura la expresión vectorial para r es:

X

r = v0t + ½gt2

Para deducir las ecuaciones que describen el movimiento, establecemos un sistema de coordenadas. La aceleración g actúa verticalmente, por tanto, sólo afecta a la componente vy, mientras que vx permanecerá constante e igual a v0x como se aprecia en esta figura

Podemos concluir entonces que el movimiento de proyectiles es la superposición de dos movimientos: a) movimiento a velocidad constante en la dirección inicial y b) el movimiento de una partícula que cae libremente en la dirección vertical con aceleración constante

Las componentes del vector velocidad son vx y vy para varios puntos de la trayectoria. La componente vx se mantiene constante e igual a vx0. La componente vy varía debido a la aceleración de gravedad g de valor constante. Puntos simétricos de la trayectoria tienen la misma rapidez.

.Deduciremos entonces: - x, el desplazamiento horizontal y vx, la componente de la velocidad en el eje X -

y, el desplazamiento vertical y vy, la componente de la velocidad en el eje Y

Aplicaremos las ecuaciones cinemáticas para el movimiento en cada eje: a) En el eje X el movimiento es uniforme como el MRU b) En el eje Y el movimiento tiene aceleración constante, emplearemos la ecuación del MRUV Ecuaciones para el movimiento parabólico En cada punto de la trayectoria del proyectil el vector posición r, la velocidad v y la aceleración g del proyectil se expresan en función de sus componentes como: r =xi+yj v = vx i + vy j g = −gj Velocidad inicial v0x =

v0 = v0x i + v0y j. v0 Cos θ v0y = v0

Sen θ

Posición En el caso general el origen del sistema de coordenadas no corresponde a la posición inicial, es decir: r0 = x0 i + y0 j. La posición de la partícula r =xi+yj En el eje X

x = x0 + vx0 t

vx = vx0

( MRU)

x = x0 + (v0 cos θ0 )t En el eje Y, la aceleración es constante en el sentido negativo del eje Y, por tanto el movimiento es descrito por las ecuaciones del MRUV. y = y0 + vy0 t – (½)gt 2

(MRUV)

y = y0 +v0 sen θ0 t – (½)g t 2 Velocidad El vector velocidad es el movimiento en plano esta definido por v = vx i + vy j La velocidad en el eje X vx = v0 cos θ0 vx2 = v0x2 –2g(∆X) La velocidad en el eje Y

vy = vy0 – gt vy = v0 sen θ0 t – g t vy2 = vy02 –2g(∆y)

Por tanto el vector posición r del proyectil en cualquier instante t es: r = ( x0 + (v0xt ) i + ( y0 +v0y t – (½)gt 2 ) j y la velocidad v del proyectil en un instante t es: v = (v0x) i + (v0y t – gt) j

Ecuación de la parábola x y remplazamos en la voCosθ ecuación de y obteniendo la ecuación de la trayectoria de la partícula.

De la ecuación de

t=

x deducimos el tiempo

y = voSen(

x 1 x + g( )2 voCosθ ) 2 voCosθ

Altura Máxima (Hmax) Un proyectil lanzado con un ángulo de elevación, va ganando altura hasta llegar al punto más alto de su trayectoria que corresponde a la altura máxima. Observar que la aceleración de la gravedad g actúa solo sobre la componente vertical de la velocidad inicial, vy0, mientras que vx0 permanece constante. Deduciremos la expresión para la altura máxima si se conoce v0 y θ0, el punto de lanzamiento se considera el origen del sistema de coordenadas (x0 = 0 y0 = 0).

En el punto más alto la componente vertical de la velocidad vy = 0, entonces según la ecuación 0 = vy0 t – gt

voSenθ g

ts =

esto indica que para

donde ts es el tiempo de subida del proyectil. Se alcanza la altura máxima, reemplazando ts y y0 = 0 2

Hmax = y = vy0 t – (½)gt = simplificando

v yo ( v yo ) g

2

−

(1/2)g(v yo ) 2

g

vo 2 h max = Sen 2θ o 2g

el vector posición cuando el proyectil alcanza la altura máxima es: r = ( R/2 ) i + Hmax j

Si fuera posible variar el ángulo de lanzamiento, manteniendo constante la rapidez, deducimos que para θ0 = 90˚ el proyectil llega a lo más alto que puede alcanzar. En la figura se ilustra que el proyectil alcanza diferentes alturas máximas para diferentes ángulos de lanzamiento, con v0 fijo. En la figura se observa la máxima altura para diferentes ángulos de lanzamiento,

Alcance (R) Cuando el proyectil vuelve a su altura inicial (y = y0), se habrá desplazado horizontalmente una distancia que se denomina alcance denotado por R (también se le conoce como rango). Para determinar R recordemos que el movimiento es MRU a lo largo del eje X. R = vx0 tv Donde tv es el tiempo que le toma al proyectil volver a la altura inicial, o tiempo de vuelo (tv = 2 ts). Si el proyectil se lanza desde el origen del sistema de coordenadas, y0 = 0. En la ecuación y = vy0 t – (½)gt 2 Si hacemos x= 0 , y = 0, obteniendo tv = (2 vy0)/g, reemplazando tv resulta v02 sen 2θ0

2 vx0 v0y R=

= g

g

Dos proyectiles disparados con ángulos complementarios tienen el mismo alcance

Se puede notar de esta expresión que para θ0 = 45º el proyectil cubre el máximo alcance.

vo 2 g Si se apunta directamente a un blanco que cae a partir del reposo, el proyectil necesariamente al blanco, siempre que el rango sea mayor a Rango/2

R max =

Ejemplo 1 Si desde la tierra se lanza un proyectil con una velocidad inicial de 50 m/s formando un ángulo de 37º respecto a la horizontal. a) ¿A qué altura en metros se encuentra el ∧

∧

proyectil cuando su velocidad sea de 40 i − 20 j . b) Calcule además la altura máxima. Solución a)

y = Voyt – gt2/2 y = (Vo Cos37º) t – gt2/2 ..............(*) Falta conocer t. Pero la ecuación

→

∧

∧

V = 40 i − 20 j

Se tiene: Vy = Voy – gt – 20 = VoCos37º – 10t – 20 = 50 (5/4) – 10t donde:

t = 5s.

Reemplazando en (*) y = h = 50(4/5)(5) – g/2(5)2 = 25m b)

hmax =

2 Voy

2g

=

30 2 = 45m 20

Ejemplo 2 Un proyectil es lanzado con v0= 3,6 m/s y θ0 = 78, 7˚, determine la ecuación de la trayectoria. Con estos datos de la ecuación anterior resulta 10 x2 = 5x – 5x2

y = (tan 78, 7˚)x – 2 (3,6)2 cos2 (78, 7˚) completando cuadrados se obtiene y – 5/4 = – 5(x - ½) 2

que es la ecuación de una parábola con vértice en (h, k) = (1/2, 5/4) y c = -5. La siguiente figura representa esta parábola que viene a ser la trayectoria de una partícula lanzada con una rapidez de 3,6 m/s y un ángulo de elevación de 78,7˚.

Ejemplo 3 Se lanza una partícula desde el origen de un sistema de coordenadas con una ∧

∧

velocidad de v = (2 i + j ) m / s . Si la aceleración es a = +10

m∧ j determine la ecuación s2

de la trayectoria. Solución →

r =r•t+

a 2 t ; 2

de donde:

Despejando t de la primera ecuación t = y = (Tanθ o )x +

y=

5 Vox

2

1 1 x+ x2 2 2  2       5

x2

 t2 

y = Voy t + 10  2

x = Vox t

x y reemplazando en la segunda. Vox

y = Tanθ o x +

5 Vo2 Cos 2 θ o

Ec. de la trayectoria

x2

y=

y=

1 5 x+ x2 2 5Cos 2 θ o

1 5 x + x2 2 4

.