Mecánica Vectorial Cap. 3 Juan Manuel Rodríguez Prieto I.M., M.Sc., Ph.D.

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Equilibrio de una partícula 2D

Equilibrio de una partícula •  OBJETIVOS DEL CAPÍTULO •  Presentar el concepto de diagrama de cuerpo libre para una partícula. •  Mostrar cómo se resuelven los problemas de equilibrio de una partícula, mediante las ecuaciones de equilibrio.  

Condiciones para el equilibrio de una partícula Una partícula está en equilibrio si permanece en reposo y en un principio estaba en reposo, o si tiene una velocidad constante y originalmente estaba en movimiento. Para mantener el equilibrio, es necesario satisfacer la primera ley del movimiento de Newton, la cual requiere que la fuerza resultante que actúa sobre una partícula sea igual a cero. Matemáticamente puede ser escrita cómo:

∑F = 0 es el vector suma de todas las fuerzas que actúan sobre la partícula.  

Diagrama de cuerpo libre Para aplicar la ecuación de equilibrio debemos tomar en cuenta todas las fuerzas conocidas y desconocidas que actúan sobre la partícula. Un dibujo que muestra la partícula junto con todas las fuerzas que actúan sobre ella se denomina diagrama de cuerpo libre (DCL). Antes de presentar un procedimiento formal de como trazar un diagrama de cuerpo libre, primero consideraremos dos tipos de conexiones que se encuentran con frecuencia en problemas de equilibrio de partículas.  

El resorte Si un resorte elástico lineal de longitud no deformada lo se usa como soporte de una partícula, su longitud cambiara en proporción directa a la fuerza F que actué sobre él. Una característica que define la “elasticidad” de un resorte es la constante de resorte o rigidez, k. La magnitud de la fuerza ejercida en un resorte elástico lineal que tiene una rigidez k y está deformado (alargado o acortado) una distancia s = l - lo, medida desde su posición sin carga, es

F = ks Si s es positiva, lo que causa un alargamiento, entonces F debe jalar el resorte; mientras que si s es negativa, lo que causa un acortamiento, entonces F debe empujar el resorte.

Cables y poleas Supondremos que todos los cables (o cuerdas) tienen un peso insignificante y que no se pueden deformar. Además, un cable puede soportar sólo una tensión que actúa en la dirección del cable. La fuerza de tensión desarrollada en un cable continuo que pasa sobre una polea sin fricción, debe tener una magnitud constante para mantener al cable en equilibrio. El cable se somete a una tensión T en toda su longitud.

Procedimiento para trazar un diagrama de cuerpo libre

Trace un perfil delineado. Imagine que la partícula está aislada o “liberada” de su entorno al trazar su perfil delineado. Muestre todas las fuerzas. Indique sobre este bosquejo todas las fuerzas que actúan sobre la partícula. Éstas pueden ser fuerzas activas, que tienden a poner la partícula en movimiento, o fuerzas reactivas, que son el resultado de las restricciones o soportes que tienden a evitar el movimiento. Para tomar en cuenta todas esas fuerzas, puede resultar útil trazar los límites de la partícula, y señalar con cuidado cada fuerza que actúa sobre ella. Identifique cada una de las fuerzas. Las fuerzas que son conocidas deben ser marcadas con sus propias magnitudes y direcciones. Para representar las magnitudes y direcciones de las fuerzas desconocidas se usan letras.

Procedimiento para trazar un diagrama de cuerpo libre Ejemplo

Diagrama de cuerpo libre Ejemplo

Sistemas de fuerzas coplanares Si una partícula está sometida a un sistema de fuerzas coplanares que se encuentran en el plano x-y, entonces cada fuerza puede descomponerse en sus componentes i y j. Para lograr el equilibrio, estas fuerzas deben sumarse para producir una fuerza resultante cero, es decir

∑F = 0 ∑F i+∑F j= 0 x

y

Para que se satisfaga esta ecuación vectorial, ambas componentes x y y deben ser iguales a cero. Por lo tanto,

∑F

x

=0

∑F

y

=0

Estas dos ecuaciones pueden resolverse cuando mucho para dos incógnitas, representadas g eneralmente como ángulos y magnitudes de fuerzas mostradas sobre el diagrama de cuerpo libre de la partícula

Procedimiento para el análisis de problemas de equilibrio de partículas Diagrama de cuerpo libre. • Establezca los ejes x, y en cualquier orientación adecuada. • Marque en el diagrama todas las magnitudes y direcciones de las fuerzas conocidas y desconocidas. • Puede suponer el sentido de una fuerza con una magnitud des- conocida.

∑F = 0 ∑F i+∑F j= 0 ∑F = 0 ∑F = 0 x

x

y

y

Ecuaciones de equilibrio. • Aplique las ecuaciones de equilibrio • Las componentes son positivas si están dirigidas a lo largo de un eje positivo, y negativas si están dirigidas a lo largo de un eje negativo. • Si hay más de dos incógnitas y el problema implica un resorte, aplique la ley de Hooke. • Como la magnitud de una fuerza siempre es una cantidad positiva, si la solución produce un resultado negativo, esto indica que el sentido de la fuerza es el inverso del mostrado sobre el diagrama de cuerpo libre.

Problemas de equilibrio de partículas Ejemplo 1

Problemas de equilibrio de partículas Ejemplo 1

Problemas de equilibrio de partículas Ejemplo 1 Ecuaciones de equilibrio +

→ ∑ Fx = 0 4 TC cos(45º ) − ( )TA = 0 5 Solucionado las ecuaciones obtenemos

TC = 476N TA = 420N

+ ↑ ∑ Fy = 0 3 TC sin(45º ) + ( )TA − 60(9.81) = 0 5

Problemas de equilibrio de partículas Ejemplo 2

Problemas de equilibrio de partículas Ejemplo 2 Ecuaciones de equilibrio +

→ ∑ Fx = 0 −FC cos(θ ) + FB = 0 Solucionado las ecuaciones obtenemos

θ = 11.3º FA = 10kN FB = 9.81kN

+ ↑ ∑ Fy = 0 FC sin(θ ) − 1962 = 0

Problemas de equilibrio de partículas Ejemplo 3

Problemas de equilibrio de partículas Ejemplo 3 Ecuaciones de equilibrio +

→ ∑ Fx = 0 TAB − TAC cos(30º ) = 0 Solucionado las ecuaciones obtenemos

TAC = 157N FAB = 135.9kN

+ ↑ ∑ Fy = 0 TAC sin(30º ) − 78.5 = 0

Problemas de equilibrio de partículas Ejemplo 3 Ley de Hooke

TAC = kAB sAB sAB

TAC 135.9 = = 0.453m kAB 300

lAB = lAB' + sAB = 0.4 + 0.453 = 0.853m 2m = lAC cos(30º ) + 0.853m lAC = 1.32m

Problemas de equilibrio de partículas Tarea

Problemas de equilibrio de partículas Tarea

Problemas de equilibrio de partículas Tarea

Problemas de equilibrio de partículas Tarea

Equilibrio de una partícula 3D

Equilibrio de partículas 3D La condición necesaria y suficiente para el equilibrio de una partícula es

∑F = 0

En el caso de un sistema tridimensional, podemos descomponer as fuerzas en sus respectivas componentes i, j, k, de manera que

∑ F i +∑ F j +∑ F k = 0 x

y

z

Para satisfacer esta ecuación requerimos

∑F

x

=0

∑F

y

=0

∑F = 0 z

Equilibrio de partículas 3D Estas tres ecuaciones establecen que la suma algebraica de las componentes de todas las fuerzas que actúan sobre la partícula a lo largo de cada uno de los ejes coordenados debe ser igual a cero. Podremos resolver un máximo de tres incógnitas que por lo común se representan como ángulos o magnitudes de fuerzas los cuales se muestran en el diagrama de cuerpo libre de la partícula.

∑F

x

=0

∑F

y

=0

∑F = 0 z

Procedimiento para el análisis Los problemas de equilibrio de fuerzas tridimensionales para una partícula pueden resolverse por el siguiente procedimiento. Diagrama de cuerpo libre. •  Establezca los ejes x, y, z en cualquier orientación adecuada. •  Marque todas las magnitudes y direcciones de las fuerzas conocidas y desconocidas sobre el diagrama. •  El sentido de una fuerza que tenga magnitud desconocida puede suponerse. Ecuaciones de equilibrio. •  Use las ecuaciones escalares de equilibrio, ∑ Fx = 0 , ∑ Fy = 0 ,∑ Fz = 0 en los casos en que sea fácil descomponer cada fuerza en sus componentes x, y, z. •  Si la geometría tridimensional le parece difícil, entonces exprese primero cada fuerza como un vector cartesiano en el diagrama de cuerpo libre, sustituya esos vectores en ∑ F = 0 , y después iguale a cero las componentes i, j, k. •  Si la solución para una fuerza da un resultado negativo, esto indica que el sentido de la fuerza es el inverso del mostrado en el diagrama de cuerpo libre.    

Ejemplo Una carg a de 90 lb está suspendida del gancho que se muestra en la figura 3-10a. Si la carga se sostiene mediante dos cables y un resorte con rigidez k = 500 lb/pie, determine la fuerza presente en los cables y el alargamiento del resorte para lograr la posición de equilibrio. El cable AD se encuentra en el plano x-y y el cable AC está en plano x-z.

Ejemplo Una carg a de 90 lb está suspendida del gancho que se muestra en la figura 3-10a. Si la carga se sostiene mediante dos cables y un resorte con rigidez k = 500 lb/pie, determine la fuerza presente en los cables y el alargamiento del resorte para lograr la posición de equilibrio. El cable AD se encuentra en el plano x-y y el cable AC está en plano x-z.

Ejemplo ∑ Fx = 0 ∑F

y

=0

∑F = 0 z

4 FC = 0 5 -FD cos(30º ) + FB = 0 FD sin(30º ) −

3 FC − 90 = 0 5 FC = 150lb FD = 240lb FB = 207.8lb

Fb = ksAB 207.8lb=500(lb/ft)s AB sAB = 0.416 ft

Ejemplo Determine la fuerza en cada cable que se ha usado para sostener la caja de 40 lb que se muestra en la figura

Ejemplo Determine la fuerza en cada cable que se ha usado para sostener la caja de 40 lb que se muestra en la figura

FB =

FB ( −3i − 4 j + 8k ) (−3)2 + (−4)2 + (8)2

= −0.318FB i − 0.424FB j + 0.848FB k FC =

FC ( −3i + 4 j + 8k )

(−3)2 + (4)2 + (8)2

FC = −0.318FC i + 0.424FC j + 0.848FC k FD = FD i W = −40k

∑F = 0 ∑F = 0 ∑F = 0 x

-0.318FB − 0.318FC + FD = 0

y

-0.424FB + 0.424FC = 0

z

0.848FB + 0.848FC − 40 = 0 FB = FC = 23.6lb FD = 15lb

Ejercicio en clase Determine la tensión en cada una de las cuerdas usadas para sostener el cajón de 100 kg que se muestra en la figura  

Tarea

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