MEDIA ARITMÉTICA: DIFICULTADES EN ALUMNOS DEL GRADO DÉCIMO

INGRID NATHALY CÁRDENAS GONZÁLEZ LEIDY DIANA SEGOVIA SERNA

UNIVERSIDAD DEL TOLIMA FACULTAD DE CIENCIAS DE LA EDUCACIÓN MAESTRÍA EN EDUCACIÓN IBAGUÉ - TOLIMA 2011 1

MEDIA ARITMÉTICA: DIFICULTADES EN ALUMNOS DEL GRADO DÉCIMO

INGRID NATHALY CÁRDENAS GONZÁLEZ LEIDY DIANA SEGOVIA SERNA

Trabajo de grado presentado como requisito para obtener el título de Magister en Educación

Director SANTIAGO GONZÁLEZ OROZCO Doctor en Educación Matemática

UNIVERSIDAD DEL TOLIMA FACULTAD DE CIENCIAS DE LA EDUCACIÓN MAESTRÍA EN EDUCACIÓN IBAGUÉ - TOLIMA 2011 2

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ADVERTENCIA La Facultad de Ciencias de la Educación de la Universidad del Tolima, el director, codirector y el jurado calificador, no son responsables de los conceptos, ni de las ideas expuestas por los autores del presente trabajo. Artículo 16, Acuerdo 032 de 1976 y Artículo 29, Acuerdo 064 de 1991, emanados por el Consejo Académico de la Universidad del Tolima.

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DEDICATORIA

A mi madre Mariela y a mi hijo David Esteban A quienes amo con toda mi alma, ellos son la motivación constante que me impulsa a ser una persona de bien y alcanzar grandes éxitos en mi carrera. A Dios Por darme la salud, por su amor y su bondad y por permitirme alcanzar un logro más. A mi esposo y mi familia Por la paciencia, la comprensión, el apoyo incondicional y la fuerza que me dan cada día para Ingrid Nathaly Cárdenas González A mi hija Evelin Sánchez Segovia que es la luz de mi vida inspiración en todos mis proyectos.

y la fuente de

A mi madre Martha Alicia Serna, quien con su apoyo y su dedicación permitió que lograra obtener un peldaño más en mi vida profesional. Leidy Diana Segovia Serna

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AGRADECIMIENTOS A nuestro director de Trabajo de grado, Dr. SANTIAGO GONZÁLEZ OROZOCO Por la paciencia y dedicación incondicional y por todas las enseñanzas académicas y humanas que nos hicieron crecer profesionalmente y como persona. Al Rector de la Institución educativa Celmira Huertas, Mg. PABLO ORLANDO VILLANUEVA Por creer y confiar en nosotras abriéndonos las puertas de la institución para que pudiéramos cumplir nuestros objetivos.

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GLOSARIO

ANÁLISIS: distinción y separación de las partes de un todo hasta llegar a conocer sus principios o elementos. ATRIBUTO: cada una de las cualidades o propiedades de un ser. AXIOMA: cada uno de los principios fundamentales e indemostrables sobre los que se construye una teoría. CATEGORIA: uno de los diferentes elementos de clasificación que suelen emplearse en las ciencias. CONCEPTO: idea que concibe o forma el entendimiento. CONTEXTO: entorno físico o de situación, ya sea político, histórico, cultural o de cualquier otra índole, en el cual se considera un hecho. CONTRADICCIÓN: afirmación y negación que se oponen una a otra y recíprocamente se destruyen. CURRICULAR: perteneciente o relativo al currículo o a un currículo. DEFINICIÓN: proposición que expone con claridad y exactitud los caracteres genéricos y diferenciales de algo material o inmaterial. DESTREZA: habilidad, arte, primor o propiedad con que se hace algo. DIFICULTAD: inconveniente, oposición o contrariedad que impide conseguir, ejecutar o entender bien algo y pronto. ENUNCIADO: secuencia finita de palabras delimitada por pausas muy marcadas, que puede estar constituida por una o varias oraciones. ERROR: concepto equivocado o juicio falso. Acción desacertada o equivocada. ESTRATEGIA: en un proceso regulable, conjunto de las reglas que aseguran una decisión óptima en cada momento. HIPÓTESIS: suposición que se establece provisionalmente como base de una investigación que puede confirmar o negar la validez de aquella. 7

IGUALDAD: equivalencia de dos cantidades o expresiones. INCOGNITA: cantidad desconocida que es preciso determinar en una ecuación o en un problema para resolverlos. IRRELEVANTE: que carece de relevancia o importancia. MEDIA ARITMETICA: cociente de dividir la suma de varias cantidades por el número de ellas. NATURALEZA: esencia y propiedad característica de cada ser. Virtud, calidad o propiedad de las cosas. PROCEDIMIENTO: método de ejecutar algunas cosas. RAZONAMIENTO: serie de conceptos encaminados a demostrar algo o a persuadir o mover a oyentes o lectores. RELEVANTE: sobresaliente, destacado. REPRESENTACIÓN: figura con que se expresa la relación entre diversas magnitudes. RESOLUCIÓN: acción y efecto de resolver o resolverse. SITUACIÓN: conjunto de factores o circunstancias que afectan a alguien o algo en un determinado momento. TEOREMAS: proposición demostrable lógicamente partiendo de axiomas o de otros teoremas ya demostrados, mediante reglas de inferencia aceptadas.

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RESUMEN En este Trabajo se estudian las dificultades que presentan alumnos del Grado décimo, de la institución educativa Celmira Huertas de Ibagué, en la comprensión de las propiedades conceptuales de la media aritmética, observando e identificando las confusiones que se generan al resolver problemas o al analizar resultados que requieran la comprensión de los aspectos estadísticos, abstractos y ser representante de los datos de la media aritmética. El objetivo de este trabajo fue contribuir a la comprensión de las dificultades de estudiantes de Grado décimo en relación a las propiedades conceptuales de la media aritmética, identificando dificultades en el razonamiento que se presentan en alumnos de la Institución Educativa Celmira Huertas de Ibagué, sobre la media aritmética y conociendo las estrategias que más utilizan cuando resuelven problemas relacionados con los aspectos estadístico y abstracto. La información se obtuvo mediante la aplicación de cuestionarios y la realización de entrevistas. Las categorías que se utilizaron para el análisis de la información se determinaron después de un análisis preliminar de las respuestas de los alumnos de tal manera que ellas permitieran tener en cuenta la naturaleza y el contexto de los enunciados de los 6 problemas propuestos y las respuestas de los alumnos, haciendo énfasis en la solución, en los errores y en el razonamiento que cada uno hacía en cada ejercicio. Palabras Claves: Comprensión, Concepto, Dificultades, Media aritmética, Propiedades conceptuales.

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ABSTRACT In this work we study the difficulties presented by tenth grade students of the educational institution Celmira Huertas Ibagué conceptual understanding of the properties of the arithmetic mean, observing and identifying the confusions that are generated to solve problems or to analyze results requiring an understanding of the statistical, abstract and be representative of the data from the arithmetic mean. The goal of this work was to contribute to the understanding of the difficulties of tenth grade students in relation to the conceptual properties of the arithmetic mean, identifying the difficulties in the reasoning shown by students of School of Ibague Celmira Huertas on arithmetic’s and the knowledge of the strategies use when solving problems related to statistical and abstract aspects. The information was obtained through the use of questionnaires and interviews. The categories that were used for data analysis were determined after a preliminary analysis of the responses of the students so that they would allow to take into account the nature and context of the sentences of the 6 problems posted and the responses of students with emphasis on the solution, errors and the reasoning everyone demonstrated while solving each exercise. Key Words: Understanding, Concept, Problems, Arithmetic mean, conceptual properties

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CONTENIDO

Pág. 1. ANTECEDENTES DEL PROBLEMA 1.1 INVESTIGACIONES SOBRE PROPIEDADES

LA

COMPRENSIÓN

DE

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2. PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA 2.1 DEFINICIÓN DEL PROBLEMA 2.1.1 Razones que sustentan el problema 2.1.2 El problema

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3. OBJETIVOS 3.1 OBJETIVO GENERAL 3.2 OBJETIVOS ESPECÍFICOS

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4. JUSTIFICACIÓN

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5. MARCO TEÓRICO 5.1 FORMACIÓN DE CONCEPTOS EN LA ENSEÑANZA DE LA MATEMÁTICA 5.2 CONOCIMIENTO FORMAL. 5.3 CONOCIMIENTO CURRICULAR 5.4 CONOCIMIENTO PERSONAL 5.5 RESUMEN 5.6 COMPONENTES DE UN CONCEPTO 5.7 VINNER: CONCEPTO E IMAGEN DEL CONCEPTO. 5.8 ARTIGUE: CONCEPTO Y CONCEPCIÓN 5.9 LA EDUCACIÓN MATEMÁTICA REALISTA (EMR) 5.10 LINEAMIENTOS CURRICULARES Y FORMACIÓN DE CONCEPTOS. 5.11 EL CONCEPTO DE LA MEDIA ARITMÉTICA 5.11.1 Conocimiento Formal 5.11.2 Unos problemas y propiedades de la Media aritmética 5.11.3 Atributos Relevantes

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25 25 25 26 26 26 27 28 30 33 37 37 39 43

Pág. 5.12 CONOCIMIENTO CURRICULAR 5.12.1 Definición curricular 5.12.2 Unos problemas de la Media Aritmética 5.12.3. Atributos relevantes e irrelevantes 5.13 CONOCIMIENTO PERSONAL 5.13.1 Estudios sobre dificultades de los alumnos 5.13.2 Dificultades con la media aritmética

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6. MARCO METODOLÓGICO 6.1 TIPO DE INVESTIGACIÓN 6.2 CONDICIONES DE APLICACIÓN DE LOS INSTRUMENTOS 6.2.1 Institución educativa donde se llevó a cabo el estudio 6.2.2 Área de Matemáticas de la institución Educativa 6.2.3 Curso en donde se obtuvo la información 6.3 INSTRUMENTOS 6.4 CATEGORÍAS DE ANÁLISIS 6.4.1 Enunciado del problema 6.4.2 Respuestas de los alumnos 6.5 PRESENTACIÓN Y ANÁLISIS DE CADA PREGUNTA DEL CUESTIONARIO 6.5.1 Situación 1 6.5.2 Situación 2 6.5.3 Situación 3 6.5.4 Situación 4 6.5.5 Situación 5 6.5.6 Situación 6 6.6 ENTREVISTA 6.7 ANÁLISIS DE RESULTADOS

60 60 60 60 61 61 61 62 62 63

7. CONCLUSIONES

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8. PROYECCIONES Y RECOMENDACIONES

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REFERENCIAS

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ANEXOS

112 12

64 65 67 68 69 70 71 75 75

LISTA DE FIGURAS

Pág. Figura 1. Tipos de conocimientos asociados a un concepto matemático

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Figura 2. Clases de definiciones de un concepto.

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Figura 3. Componentes de un concepto según Artigue (1990)

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Figura 4. Ideas relacionadas con el principio de actividad

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Figura 5. Niveles de comprensión de un concepto según la EMR (Educación Matemática Realista) Figura 6. Atributos relevantes de la Media aritmética.

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Figura 7. Atributos relevantes e irrelevantes de la definición curricular de Media aritmética.

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Figura 8. Distintas maneras de presentar en cada curso propiedades de la Media aritmética.

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Figura 9. Datos e incógnitas de un ejemplo de Media aritmética.

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Figura 10. Representación de datos e incógnitas de un problema relacionado con Media aritmética.

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Figura 11a. Categorías de análisis utilizadas para los enunciados de las situaciones

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Figura 11b. Categorías de análisis utilizadas para las respuestas de los alumnos.

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LISTA DE TABLAS

Pág. Tabla 1. Componentes de un concepto

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Tabla 2. Forma de relacionar los procesos del MEN (1998; 18-19)

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Tabla 3. Propiedades del concepto de Media aritmética según los aspectos Estadístico, Abstracto y Ser representante de los datos.

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Tabla 4. Propiedades del concepto de Media aritmética.

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Tabla 5. Naturaleza y contexto de cada situación.

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Tabla 6. Datos e incógnita de cada situación.

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Tabla 7. Resumen del análisis de la información del alumno 13.

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Tabla 8. Resumen del análisis de la información del alumno 21.

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Tabla 9. Resumen del análisis de la información del alumno 9.

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Tabla 10. Resumen del análisis de la información del alumno 5.

90

Tabla 11. Resumen del análisis de la información del alumno 4.

94

Tabla 12. Resumen del análisis de la información del alumno 4.

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Tabla 13. Resultados obtenidos en la situación 1

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Tabla 14. Resultados obtenidos en la situación 5

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LISTA DE ANEXOS

Pág. Anexo A. Cuestionario aplicado a los estudiantes del Grado décimo de la Institución Educativa Técnica Celmira Huertas

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Anexo B. Transcripción de entrevistas en audio y video realizadas a los 5 estudiantes seleccionados para el desarrollo de este Trabajo.

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Anexo C. Teoremas y Axiomas. (Apóstol, T. (1988))

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1. ANTECEDENTES DEL PROBLEMA Existen investigaciones sobre dificultades que presentan estudiantes de primaria, secundaria y universidad con respecto a la Media y a las Medidas de tendencia central; numerosos autores han descrito considerables errores que presentan los estudiantes en cuanto al concepto o al cálculo de la media aritmética. A continuación, se presentan algunas de las investigaciones de interés para nuestro Trabajo, cercanas a la población estudiantil del Grado décimo. En una investigación realizada por Cai, (1995) en alumnos de 12 y 13 años, se encontró que estos eran capaces de aplicar adecuadamente el algoritmo para calcular la media. Sin embargo sólo algunos alumnos eran capaces de encontrar un valor desconocido en un conjunto pequeño de datos e incluso encontrando el valor desconocido, fueron pocos los que lo hicieron a partir de un uso comprensivo del algoritmo. Gattuso y Mary, (1996) citados por Batanero, (2001) analizando las respuestas de estudiantes de secundaria y universitarios, con o sin explicación previa sobre la media, observaron que las estrategias utilizadas por los de mayor edad eran más algebraicas y además obtenían mejores resultados cuando calculaban medias de conjuntos de datos agrupados, mientras que los más jóvenes preferían usar el conjunto de datos sin agrupar, aunque mostraron un nivel de éxito superior en los problemas de cálculo "inversos", es decir, aquéllos en los que se conoce la media y se deben averiguar algunos de los datos iníciales. En un estudio sobre los aspectos interpretativos de la media aritmética realizado por Batanero, Godino y Navas, (1997), se analizaron las respuestas de los profesores de primaria en formación de la Universidad de Granada, encontrándose las dificultades en la interpretación y cálculo de la media en el caso en que aparecían valores atípicos y ceros. En este estudio se evidencia los errores conceptuales y la dificultad de aplicación práctica del conocimiento sobre promedios. 1.1 INVESTIGACIONES SOBRE LA COMPRENSIÓN DE PROPIEDADES Los estudios sobre la media realizados en las últimas décadas muestran que a pesar de que el concepto parece ser fácil, los alumnos presentan grandes dificultades en su comprensión. En la investigación de Pollasek, y Well, (1981) se ha visto que los alumnos universitarios utilizan la media simple en situaciones en las que se debe calcular la media ponderada, sin tener en cuenta la ponderación de los valores. Carvalho, (1998) encontró que los estudiantes no tenían en cuenta las frecuencias absolutas de cada valor, o que calculaban la media de los valores 16

de las frecuencias. De igual manera Li y Shen, (1992) sostienen que cuando los datos se agrupan en intervalos, los estudiantes se limitan a calcular la media de todas las marcas de clase sin tener en cuenta que cada uno de los grupos debería ponderarse de modo distinto. Pollasek y cols, (1981) exponen errores computacionales de estudiantes universitarios al emplear el algoritmo en el cálculo de la media ponderada y de la media a partir de una tabla de frecuencias y observan que no aprecian la variabilidad aleatoria de la muestra y la población, esperando que la media aritmética sea la misma. Indican además que los aprendices confunden un conjunto de números con la operación de media aritmética, con un grupo algebraico, como los reales que bajo las operaciones de adición y multiplicación cumplen propiedades tales como clausuratividad, asociatividad, elemento neutro y elemento inverso. De la misma forma Mevarech, (1983) en una investigación con 103 estudiantes de primer curso de universidad, obtiene resultados que sustentan lo expuesto por Pollasek y cols. (1981); en este estudio los alumnos nuevamente creen que un conjunto de números, junto con la operación media aritmética constituye un grupo algebraico, asumiendo que cumplen las propiedades antes mencionadas. Strauss y Bichler, (1988) realizaron una investigación en alumnos de 8 a 12 años, distinguiendo las siguientes propiedades. a) La media es un valor comprendido entre los extremos de la distribución. b) La suma de las desviaciones de los datos respecto de la media es cero, lo que hace que sea un estimador insesgado. c) El valor medio está influenciado por los valores de cada uno de los datos. Por ello, la media no tiene elemento neutro. d) La media no tiene por qué ser igual a uno de los valores de los datos. e) El valor obtenido de la media puede ser una fracción. f)

Hay que tener en cuenta los valores nulos en el cálculo de la media.

g) La media es un "representante" de los datos a partir de los que ha sido calculada. Para cada una de estas propiedades, los autores citados emplearon diversas tareas con las cuales evaluar su comprensión intuitiva, variando el tipo de datos (continuos, discretos). Sus resultados sugieren una mejora de la comprensión con 17

la edad, y diferencias de dificultad en la comprensión de las propiedades, siendo más fáciles las a), c) y d) que las b) f) y g). Aunque una proporción importante de niños parecieron usar espontáneamente estas propiedades, algunos niños no tenían en cuenta el cero para calcular la media, o bien suponían que la media podría estar fuera del rango de variación de la variable, o que debería coincidir con uno de los valores de los datos. Roth y Zawojewski, (1991) citados por Batanero, (2001), realizaron una investigación sobre el efecto de la edad en la comprensión de las siete propiedades identificadas por Strauss y Bichler, (1988). El trabajo se centró sólo en cuatro de estas siete propiedades (las identificadas como a, b, f y g), ya que la mayoría de los alumnos a partir de los 12 años habían superado las restantes. Como resultado de esta investigación se abrieron nuevas líneas de trabajo, entre ellas: analizar el tipo de explicaciones escritas dadas por los alumnos como respuesta a los ítems presentados y realizar una clasificación de las mismas, lo que podría aportar información adicional a la clasificación de Strauss y Bichler, (1988). En el estudio realizado por León y Zawojeski, (1991) se analiza la comprensión de las propiedades conceptuales de la media en niños entre 8 y 14 años, encontrando que los estudiantes de primaria presentan mejor comprensión de las propiedades de la media aritmética en esta edad, no obstante algunas propiedades tales como, la suma de desviaciones respecto a la media es cero, la media es un valor representativo de los valores promediados y tener en cuenta los valores nulos en el cálculo de la media, no resultan evidentes en estudiantes de 14 años. En aplicaciones prácticas de la media, es importante reconocerle el papel de representante de un conjunto de datos, según Mokros y Russell, (1995), los niños no podrán comprender las ideas de resumen de los datos o representante de los datos hasta que no conciban el conjunto de datos como un todo, y no como un agregado de valores. De acuerdo a este estudio se identificaron y analizaron cinco construcciones básicas sobre representatividad en los alumnos: La media como moda, la media como algoritmo, la media como algo razonable, la media como punto medio y la media como punto matemático de equilibrio. En Campbell, (1974), se expresa que los estudiantes siempre tienden a situar la media en el punto medio del conjunto de valores, propiedad que solo se cumple en distribuciones simétricas. Sin embargo, en las distribuciones asimétricas la moda o la mediana se convierten en el valor más representativo del conjunto de datos puesto que la media se traslada hacia uno de los extremos. Los resultados que obtienen Russell y Mokros, (1991), que analizan las concepciones que los alumnos de 4º a 8º de enseñanza primaria tienen sobre los 18

valores de tendencia central, arrojan información acerca de las dificultades que tienen los estudiantes en usar la media como representante de un conjunto de datos. Los autores clasifican en cuatro categorías los significados incorrectos atribuidos por los estudiantes a la palabra media: valor más frecuente, valor razonable, punto medio y algoritmo. En estos se observa la confusión con los conceptos y propiedades de las otras medidas de tendencia central mediana y moda y la definición limitada a la aplicación de una formula. En el estudio de Goodchild, (1988), se identifican tres clases de significado para la media: un número representativo, una medida de ubicación y un valor esperado, los resultados de esta investigación exponen los problemas que estudiantes entre 13 y 14 años de edad tienen para interpretar la media como un valor representante de un conjunto de datos y como medida de posición central. Continuando con la línea de las dificultades de estudiantes al definir media aritmética, Watson y Moritz, (2000) analizan el significado intuitivo dado por los niños al término "promedio"; los resultados indican que para muchos, el promedio es simplemente un valor en el centro de la distribución, algunas de las definiciones obtenidas fueron: "Significa igual", "que es normal", "no eres realmente bueno, pero tampoco malo" En estudiantes universitarios Eisenbach, (1994) observó confusión terminológica entre las palabras "media", "mediana" y "moda" al plantearles la frase: "¿Qué quiere decir que el salario medio de un empleado es 3.600 dólares?" obteniendo respuestas como "que la mayoría de los empleados gana alrededor de 3.600 dólares", o que "es el salario central; los otros trabajadores ganan más o menos de 3600 dólares", se muestra que los conceptos y propiedades de las medidas de tendencia central continúan siendo confusas aún en estudiantes de un curso introductorio de Estadística. El estudio realizado por Reading y Pegg, (1996) con niños de grados 7 a 12, se centra en el análisis de las respuestas a dos tareas con preguntas abiertas. Una de las tareas presentaba datos sin agrupar, mientras que la otra mostraba datos a través de un Figura, encontrándose mayor dificultad en la interpretación de datos presentados gráficamente. Del mismo modo, sólo una pequeña parte de los participantes de la investigación justificaron correctamente la elección de las medidas de tendencia central al plantearles un problema, los demás no dieron un argumento favorable de por qué elegían cierto promedio.

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2. PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA En este Trabajo se estudian las dificultades que presentan alumnos del Grado décimo en la comprensión de las propiedades conceptuales de la media aritmética. Se ha escogido este Grado de escolaridad porque en él, los estudiantes cuentan con conocimientos, habilidades y experiencias sobre el concepto de media aritmética, incluyendo el desarrollo de ejercicios. Interesa observar los diversos tipos de dificultades que presentan los estudiantes en la comprensión de los aspectos estadísticos, abstractos y ser representante de los datos de la media aritmética. 2.1 DEFINICIÓN DEL PROBLEMA La media aritmética por sencilla que parezca es un conocimiento que debe adquirir el estudiante desde el primer año de secundaria. Para esto, existen intuiciones y experiencias previas que dan idea sobre el concepto de “promedio”, lo que en algunos casos, lleva a pensar que es suficiente aprender una fórmula o usar un algoritmo. Las medidas de tendencia central, media, mediana y moda son mal interpretadas por los estudiantes, aunque se cuente con algún curso de Estadística. En la mayoría de los casos, el desconocimiento y la falta de comprensión de las propiedades relacionadas con los conceptos, genera confusión al resolver problemas o al analizar resultados que involucren medidas de tendencia central. En particular, la media aritmética cuenta con propiedades que son desconocidas u olvidadas al momento de analizar situaciones que la involucran. 2.1.1 Razones que sustentan el problema. Existen varias razones por las que se amerita llevar a cabo esta investigación, las cuales se resumen a continuación:  La creencia de que el valor de la media se sujeta sólo al uso de un algoritmo, Cai, (1995), sin importar su significado y las propiedades que éste posee; muchos alumnos aplican adecuadamente la fórmula pero pocos son capaces de determinar un valor desconocido en un conjunto pequeño de datos para obtener un valor medio dado.  El error de estudiantes al escoger entre media, mediana y moda como mejor representante de los datos, Batanero, Godino, y Navas, (1997), eligiendo en muchos casos el valor de la moda, el cual no cumple con la propiedad requerida para ese caso, ser el mejor estimador de un conjunto de datos.

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 Las falencias de los estudiantes universitarios al pensar que la media tiene la propiedad asociativa y al hallar la media de un conjunto grande de números, dividir en partes hallando primero la media de cada parte y luego promediando el resultado obtenido, Mevarech, (1983).  Situar la media en el punto medio del conjunto de valores, propiedad que solo se cumple en distribuciones simétricas Campbell, (1974). La introducción de los contenidos de media aritmética en el programa curricular, muestra la importancia de abordar el tema de manera clara, teniendo en cuenta las propiedades conceptuales que posee y las dificultades que los estudiantes presentan, las cuales conllevan a cometer errores al solucionar problemas o interpretar resultados. 2.1.2 El problema. ¿Qué dificultades presentan los estudiantes del Grado décimo, de la Institución Educativa Celmira Huertas de Ibagué (Tolima, Colombia), en la comprensión de la media aritmética cuando resuelven problemas relacionados con los aspectos estadístico y abstracto?

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3. OBJETIVOS 3.1 OBJETIVO GENERAL Contribuir a la comprensión de las dificultades de estudiantes de Grado décimo en relación a las propiedades conceptuales de la media aritmética. 3.2 OBJETIVOS ESPECÍFICOS  Identificar dificultades en el razonamiento que presentan alumnos del Grado décimo de la Institución Educativa Celmira Huertas de Ibagué, sobre la media aritmética, entendida como situada entre los valores extremos, y sabiendo que cuando se calcula, el cero debe tenerse en cuenta.  Identificar estrategias que utilizan los estudiantes cuando resuelven problemas relacionados con los aspectos estadístico y abstracto.

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4. JUSTIFICACIÓN La enseñanza de la Estadística ha cobrado gran desarrollo en los últimos años, debido a su importancia ampliamente reconocida en la formación general de las personas. Actualmente, la Estadística se ha incorporado de manera generalizada al currículo de matemáticas desde la educación básica hasta las diferentes especialidades universitarias. Tal como lo señala Batanero, et al. (1994) Algunos países han dedicado grandes esfuerzos en diseñar currículos y materiales específicos, como los elaborados en Inglaterra para el Schools Council Project on Statistical Education por Holmes y Cols. (1980), el Quantitative Literacy Project en Estados Unidos (Landewehr y Watkins, 1986; Landewehr y cols., 1987; Gnanadesikan y cols., 1987) y Azar y Probabilidad en España (Godino y cols., 1987). El interés creciente hacia la enseñanza de la Estadística se manifiesta, asimismo, por la existencia de revistas especificas (Teaching Statistics; Induzioni; Stochastik in der Schule); por las conferencias internacionales sobre la Enseñanza de la Estadística (ICOTS I en 1982 en Sheffield ; ICOTS II en 1986 en Victoria e ICOTS III en 1990 en Otago); por la serie de Mesas redondas promovidas por el I.S.I. y por la formación en 1992 de una asociación internacional IASE (International Association for Statistical Education). En Colombia, a partir de la expedición de la Ley 115 de 1994, las Instituciones educativas y docentes cuentan con Lineamientos curriculares para cada área, éstos sirven de punto de partida y referencia para la elaboración de planes de área, proporcionando orientaciones y recomendaciones para cada planeación curricular. De esta forma, una tendencia actual en los currículos de matemáticas es la de favorecer el desarrollo del pensamiento aleatorio. La Teoría de la probabilidad y su aplicación a los fenómenos aleatorios, han construido un andamiaje matemático que logra dominar y manejar acertadamente la incertidumbre. La introducción de la Estadística y la Probabilidad en el currículo de matemáticas, crea la necesidad de un mayor uso del pensamiento inductivo al permitir, sobre un conjunto de datos, proponer diferentes inferencias, las cuales a su vez van a tener diferentes posibilidades de ser ciertas. De esta manera, los procesos que se desarrollan mediante contenidos matemáticos que tienen que ver con el pensamiento aleatorio, se tuvieron en cuenta al proponer indicadores de competencia curriculares para el área de matemáticas, en la Resolución 2343 de 1996 del MEN.

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También se ha hecho evidente el interés por la investigación y el desarrollo curricular en el campo específico de la Estadística por los educadores matemáticos y los propios estadísticos, que se preocupan por la formación de profesionales en este campo y por los usuarios de ella. Hoy en día, muchos profesores se encuentran interesados en incrementar su conocimiento, no sólo sobre la materia, sino también sobre los aspectos didácticos del tema, y en este proceso se ha evidenciado que las dificultades que los alumnos encuentran en el aprendizaje de la Estadística son poco conocidas por los profesores. Este motivo, ha generado que la comunidad académica de los investigadores se preocupe porque las personas tengan una mejor formación en Estadística, de tal forma que se les permita interpretar y sistematizar de una manera adecuada la gran cantidad de información que proviene tanto de la vida cotidiana como del campo profesional y la vida académica. En este orden de ideas, las medidas de posición central, en general, son muy utilizadas en Estadística, tanto por su propiedad de convertirse en representantes del conjunto de datos, como también por ser la referencia para el estudio de otros temas. En este sentido, el concepto de media es básico para trabajar temas de inferencia estadística, que tiene un gran interés cuando las distribuciones de partida no se ajustan a la distribución normal, cuando analizamos datos cualitativos u ordinales o cuando nos encontramos con muestras pequeñas. Así mismo, es muy utilizada en el análisis exploratorio de datos. Por otro lado, la comprensión de las ideas de promedio forma parte de la cultura estadística básica. Los promedios constituyen un contenido común en los currículos de enseñanza de diferentes países en los niveles previos a la universidad, y diferentes estudios internacionales han señalado grandes dificultades de comprensión en el alumnado de los diferentes niveles educativos. El estudio del conocimiento exacto de las dificultades del alumnado sobre un determinado tema en el proceso de enseñanza y aprendizaje, ayuda a los profesores a determinar métodos y técnicas coherentes para impartir estos contenidos, facilitando de esta forma el desarrollo de los conocimientos por parte del alumnado. Considerando la importancia que tiene el estudio de la media, por ser tan utilizada desde los primeros niveles de escolaridad, y teniendo en cuenta que aunque parece sencilla su interpretación y algoritmo, las investigaciones sobre este concepto y sus propiedades muestran que existen muchas dificultades en todos los niveles escolares y que se hace necesario que se realicen más estudios en el campo de la enseñanza y aprendizaje de la Estadística y, en particular, en situaciones que involucren el uso de los promedios. De esta manera, se pueden proponer alternativas de solución que lleven a que los estudiantes interpreten, apliquen y reconozcan mejor el concepto de la media.

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5. MARCO TEÓRICO 5.1 FORMACIÓN DE CONCEPTOS EN LA ENSEÑANZA DE LA MATEMÁTICA González, (2011).  Introducción. Diremos que, a un concepto matemático, por ejemplo, Triángulo, Área, Media aritmética, Función, Límite, Ecuación diferencial, Infinito,…, hay asociados al menos tres tipos de conocimientos. 5.2 CONOCIMIENTO FORMAL. Es el conocimiento que durante la historia de la matemática, han producido los matemáticos sobre el concepto. Parte de este conocimiento se encuentra registrado en: a. Los libros de matemáticas. (de Matemáticas para matemáticos) b. Las revistas de matemáticas de los Departamentos de Matemáticas de las Facultades de Ciencias de las universidades y de las Asociaciones de matemáticos. c.

En los Trabajos de Grado de los estudiantes de Matemáticas de pregrado y postgrado según Brousseau, (2002)

5.3 CONOCIMIENTO CURRICULAR Es el conocimiento de un concepto matemático, transformado para ser enseñado. Parte de este conocimiento de encuentra en: a. Los libros de texto para la enseñanza de la matemática. b. Documentos de los Ministerios de Educación sobre Lineamientos curriculares para la enseñanza y el aprendizaje de la Matemática. c.

Las revistas de Educación Matemática, Didáctica de la Matemática o Matemática educativa de las Licenciaturas en Matemáticas de las Facultades de Educación de las universidades y de las Asociaciones de profesores de Matemáticas.

d. En los Trabajos de Grado de los estudiantes de Licenciatura en Matemáticas o de postgrado en Educación Matemática. Brousseau, (2002) y Chevallard, (1998). 25

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(sf.), Calvo, (2001), Freudenthal, (1994 a), Sotos, (2004), Godino y Batanero, (1994), D’Amore, (2001). 5.7 VINNER: CONCEPTO E IMAGEN DEL CONCEPTO. a. Siguiendo a Jaime (1995), para Tall y Vinner, (1981), hay que distinguir entre el concepto como conocimiento de los matemáticos y el concepto como conocimiento de quien lo aprende; este último lo denominan “imagen del concepto”. En la Matemática, las definiciones, que son definiciones formales, son uno de los componentes de un concepto, y de ellas hacen parte atributos y relaciones entre atributos; atributos, que en estas definiciones formales sólo son “relevantes” o “esenciales”. Estos atributos también son conceptos primitivos, que a su vez, tienen una definición. Cuando son conceptos primitivos, sus atributos no se introducen mediante definiciones sino por medio de axiomas (en los cuales, otra vez, se pueden encontrar conceptos). En la “imagen del concepto”, cuando existen definiciones, que son definiciones personales, además de atributos relevantes, ellas pueden contener atributos “irrelevantes” o “no esenciales”. Una de las actividades escolares en las que un profesor puede reconocer la presencia o ausencia de atributos relevantes, irrelevantes, sus relaciones y parte de los conocimientos que constituyen la “imagen del concepto” de los alumnos, es cuando ellos realizan, identifican o utilizan ejemplos, no ejemplos y clasificaciones. En los ejemplos de un concepto deben estar todos los atributos relevantes, por ser éstos casos particulares de un concepto (y éste no se refiere a un caso específico sino a lo que es común a todos los ejemplos de un concepto), en ellos se introducirán, atributos irrelevantes que sirven para distinguir un caso de otro y a partir de estos atributos irrelevantes se pueden proponer clasificaciones. En los no-ejemplos, no se cumple o se niega alguno de los atributos relevantes de la definición de un concepto. b. El siguiente Figura recoge los dos tipos de definiciones que se acaban de presentar, con sus respectivos componentes.

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