MEDIDAS DE DISPERSION    Un  promedio  puede  ser  engañoso  a  menos  que  sea  identificado  y  vaya  acompañado  por  otra  información que informe las desviaciones de los datos respecto a la medida de tendencia central  seleccionada.    La variación o dispersión de un conjunto se refiere a la variedad que exhiben las observaciones, si  todos los valores son iguales no hay dispersión, si no todos los valores son iguales existe dispersión  de  los  datos.  La  dispersión  será  pequeña  cuando  los  valores  estén  próximos  entre  si  y  será  muy  grande si los valores se hayan ampliamente diseminados.    La  variabilidad  de  un  conjunto  puede  medirse  a  través  de  las  siguientes  medidas:  Rango,  Desviación  media,  Varianza,  Desviación  estándar  y  el  Coeficiente  de  variación,  de  estos  los  mas  usados son la varianza, desviación estándar y el coeficiente de variación.    RANGO    El rango es también llamado recorrido o amplitud, se define como la diferencia entre los valores  máximo y mínimo de un conjunto de observaciones, ya sea población o muestra, se representa por  la letra R mayúscula y su ecuación es:    R  =  XN  ‐  Xn    Ejemplo: Un constructor para asegurarse de la calidad de la obra tomo seis muestras de concreto y  obtuvo los siguientes resultados en resistencia en Kgr/cm: 358, 369, 363, 358, 336, 341.  R  =  369 – 336 = 33    En una distribución de frecuencias la amplitud se define como la diferencia entre el límite superior  de la última clase y el límite inferior de la primera clase.    El Rango no solo es la medida de dispersión más simple sino también la mas bruto, porque tiene  los defectos de ser influenciada por un valor no usual en la muestra.     No  es  una  medida  de  variación  de  los  datos  intermedios  con  relación  al  valor  típico,  es  muy  sensible al tamaño de la muestra pues tiende a cambiar en forma no proporcional respecto a esta.  Debido a su fácil cálculo es usada comúnmente en ingeniería y en informes médicos.    DESVIACION MEDIA    Fue la medida de dispersión mas usada hasta fines del siglo XIX, cuando fue desplazada por otras  medidas de variación. Aun cuando haya caído en desuso es conveniente estudiarla debido a que  facilita la comprensión de la desviación estándar.    La desviación media se define como la desviación media de las desviaciones de los datos de una  variable  con  respecto  a  su  media  y  se  expresa  en  las  mismas  unidades  de  la  variable  de  que  se  trate, su modelo matemático es: 

                                                          Σ  (Xi – X)                                           DM  =  ‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐                                                                   n    Por ejemplo: Tenemos el conjunto 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, que tiene como media aritmética un  valor igual a 20, tenemos las siguientes desviaciones:                            Xi   ‐    X    =     d                            5   ‐    20   =   ‐15                          10   ‐    20   =   ‐10                          15   ‐    20   =     ‐5                          20   ‐    20   =      0                          25   ‐    20   =      5                          30   ‐    20   =     10                          35   ‐    20   =     15                                      Σ d  =       0                                         y   DM = 0 / 7 =  0    Observemos  que  los  valores  mayores  que  la  media  tienen  desviaciones  positivas  y  los  valores  menores  tienen  desviaciones  negativas,  asimismo  que  para  este  caso  la  sumatoria  de  las  desviaciones  es  igual  a  0  y  por  tanto  la  desviación  media  es  también  igual  a  0.  Para  calcular  la  Desviación media para datos resumidos en una distribución de frecuencias, las desviaciones que se  consideran  son  los  desvíos  de  las  marcas  de  clase  respecto  a  la  media  aritmética  y  se  utiliza  la  ecuación: 

(

Σ fi Xi − x DM = n

)

 

  Ejemplo:    CLASES  60‐62  63‐65  66‐68  69‐71  72‐74    TOTAL 

    fi    5  18  42  27    8     100 

     Mi  61  64  67  70  73   

         d  ‐ 6.5  ‐ 3.5  ‐ 0.5    2.5    5.5       ‐ 2.5 

 fi ∙ d    32.5    63.0    21.0    67.5    44.0  228.0 

 

228 .0 DM = = 2 .28 100

 

  VARIANZA    La    varianza  es  la  suma  de  los  cuadrados  de  los  desvíos  de  los  datos,  entre  el  número  total  de  observaciones menos uno, siendo su modelo matemático:   

Σ ( Xi − x ) = n −1

2

s

2

 

  Para datos donde se incluye el número de veces que el mismo se repite:   

Σ ( Xi − x ) fi = n −1 2

s

2

 

  El  porque  utilizar  como  divisor    n  –  1  es  debido  a  que  la  varianza  así  definida  tiene  mejores  propiedades teóricas.  La varianza tiene una gran aplicación en análisis estadístico avanzado pero  que tiene el inconveniente de que sus unidades son las mismas que la variable al cuadrado. Para  datos agrupados el modelo matemático para calcular la varianza es:   

Σ (mi − x ) fi s2 = n −1 2

 

    DESVIACIÓN ESTANDAR    La  desviación  estándar  es  por  sus  propiedades  algebraicas  la  medida  de  dispersión  mas  usada,  también  recibe  el  nombre  de  desviación  típica.  Es  la  medida  de  dispersión  que  trabaja  con  las  mismas unidades que la variable en cuestión. Para datos originales el modelo matemático es:   

Σ ( Xi − x ) n −1

2

s=

 

            Si se incluye el número de veces que el mismo valor se repite el modelo cambia a:          

Σ ( Xi − x ) fi   n −1 2

s=   O bien para datos agrupados:   

Σ (mi − x ) fi   n −1 2

s =

    Ejemplo de calculo de varianza y desviación estándar para datos originales.    d     d2 Xi  ‐   x   5    ‐   20  ‐  15  225 10  ‐   20  ‐  10  100 15  ‐   20  ‐   5  25 20  ‐   20      0  0 25  ‐   20      5  25 30  ‐   20    10  100 35  ‐   20    15  225         700   

s2 =

700 = 116.67   6

 

s =

116 . 67 = 10 . 8

s2 =

29,658.80 = 375.42   79

                                               Ejemplo:  El  tabular  siguiente  contiene  los  salarios  de  80  empleados  del  Ingenio  El  Molino  de  Menchaca. Obtenga la varianza y la desviación estándar.    CLASES  fi  mi            d           d2  fi     49.50 ‐ 60.50  8  55  ‐36.6  10,716.48 60.50 ‐ 71.50  11  66  ‐25.6  7,208.96 71.50 ‐ 82.50  14  77  ‐14.6  2,984.24 82.50 ‐ 93.50  17  88  ‐3.6  220.32 93.50 ‐ 104.50  15  99  7.4  821.40 104.50 ‐ 115.50  10  110  18.4  3,385.60 115.50 ‐ 126.50  5  121  29.4  4,321.80 TOTALES  80         29,658.80  

 

s =   COEFICIENTE DE VARIACIÓN    

375 . 42 = 19 . 38

 

El  coeficiente  de  variación  es  un  índice  exento  de  unidades  expresado  en  porcentaje,  sirve  para  comparar  distribuciones  y  así  determinar  cual  tiene  más  o  menos  variabilidad  aun  cuando  las  unidades sean diferentes. El modelo matemático usado para determinar el coeficiente de variación  es:   

⎛s⎞ C V = ⎜ ⎟(100 )                                               ⎝x⎠ Ejemplo 1: Sea un conjunto con una media aritmética de 86.60  y una desviación estándar igual a   19.38  Calcule el coeficiente de variación del conjunto.   

⎛ 19 .38 ⎞ CV = ⎜ ⎟(100 ) = 22 .38 %   86 . 60 ⎝ ⎠   Ejemplo 2: Un conjunto de datos tiene una media aritmética de 76.17  y una desviación estándar  igual a  8.2  Calcule el coeficiente de variación.   

⎛ 8 .2 ⎞ CV = ⎜ ⎟ (100 ) = 10 .76 %   ⎝ 76 .17 ⎠  CALCULO DE LAS MEDIDAS DE VARIABILIDAD PARA DATOS NO AGRUPADOS.    Si retomamos el ejemplo de los empleados de la cadena de Moteles Candida, que estudiaron un  curso de primeros auxilios, tenemos:    Xi  fi  d2 d2 * fi  Xi ‐ = d 

x

12  13  14  15  16  17  18  19  20     

1  1  2  3  5  7  3  2  1  Σ 25 

12 – 16.4 = ‐ 4.4  13 – 16.4 = ‐ 3.4  14 – 16.4 = ‐ 2.4  15 – 16.4 = ‐ 1.4  16 – 16.4 = ‐ 0.4  17 – 16.4 =   0.6  18 – 16.4 =   1.6  19 – 16.4 =   2.6  20 – 16.4 =   3.6                Σ   ‐ 3.6 

19.36  11.56  5.76  1.96  0.16  0.36  2.56  6.76  12.96   

Σ ( Xi − x ) fi s2 = n −1 2

 

s2 =

85 .8 = 3.58   24

 

19.36  11.56  11.52  5.88  0.80  2.52  7.68  13.52  12.96  Σ  85.8 

 

Σ( Xi − x) fi s= n −1   2

 

s =

3 . 58 = 1 . 89

 

 

⎛s⎞ CV = ⎜ ⎟(100 )   ⎝x⎠  

⎛ 1 .89 ⎞ CV = ⎜ ⎟(100 ) = 11 .52 %   16 . 4 ⎝ ⎠ CALCULO  DE  LAS  MEDIDAS  DE  VARIABILIDAD  PARA  DATOS  AGRUPADOS  EN  UNA  TABLA  DE  DISTRIBUCION DE FRECUENCIAS.    Los datos corresponden a la estatura de 150 alumnos de la Escuela Preparatoria No.2 en Santiago  Ixcuintla,  Nayarit  en  el  periodo  escolar  2002‐2003.  Con  la  información    calcule  las  medidas  de  variación.      d2 d2 * fi  CLASES  fi  Mi  = d  mi ‐

x

149‐154  155‐160  161‐166  167‐172  173‐178  179‐184  185‐190  191‐196  TOTAL 

12  31  39  35  22  9  1  1  150 

151.5  157.5  163.5  169.5  175.5  181.5  187.5  193.5   

151.5 – 165.9 =  ‐ 17.5  157.5 – 165.9 =  ‐ 11.5  163.5 – 165.9 =  ‐   5.5  169.5 – 165.9 =      0.5  175.5 – 165.9 =      6.5  181.5 – 165.9 =    12.5  187.5 – 165.9 =    18.5  193.5 – 165.9 =    24.5     

306.25  132.25    30.25      0.25    42.25  156.25  342.25  600.25   

x=

24 ,885 . 0 = 165 . 9 150

s2 =

12 ,241 .50 = 85 .16   149

   

 

 

3,675.00  4,099.75  1,179.75         8.75     929.50  1,406.25     342.25     600.25      12,241.50 

 

s =

85 . 16 = 9 . 23

 

     

⎛ 9 .23 ⎞ CV = ⎜ ⎟ (100 ) = 5 .6 %   165 . 9 ⎝ ⎠