Medidas de Variabilidad Trabajo a realizar de este tema: En Excel 2003 hoja 1, prepara un(os) cuadro(s) sinópticos o mapas conceptuales o mapas mentales que sinteticen éste capítulo. En la hoja 2 y en la hoja 3 del mismo libro de Excel resuelve los problemas 8 y 15 que están al final de este tema. Los ejercicios 5 y 9 los realizarás a mano y los entregarás en sobre conforme al protocolo indicado. Anota las fórmulas empleadas en ambos trabajos. El nombre del archivo deberá ser: 05 MEDIDAS D VARIABILIDAD APELLIDO NOMBRE Se calificará de la siguiente manera: + Ortografía (2 puntos) Protocolo de envío: + Asunto: mal anotado el 100% del trabajo + Nombre (1 punto) + Comentario (2 punto) + Nombre del archivo (1 punto) + Versión diferente a 2003 (7 puntos) En el trabajo solución, tanto en Excel como el trabajo escrito: Comentario o conclusión del trabajo

(2 punto) Ortografía: (1 punto)

Nombre Universidad Carrera Materia Tema Fecha

(La ausencia total o de alguna parte restará 1 punto) A continuación, y sin dejar hoja en blanco, el desarrollo del trabajo (1 punto menos de no cumplirlo). Se calificará la realización de las síntesis.

MEDIDAS DE VARIABILIDAD

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1

Medidas de Variabilidad ¿Qué son las medidas de variabilidad? Rango Desviación media La varianza y la desviación estándar Coeficiente de variación Rango intercuartilar Problemas

¿Qué son las medidas de variabilidad?

La puntuación media en una distribución es importante en muchos contextos de investigación. Pero también lo es otro conjunto de estadísticos que cuantifican que tan variables, o que tan dispersas, tienden a ser las puntuaciones. ¿Las puntuaciones varían mucho, o tienden a tener valores muy similares. A veces, la variabilidad en las puntuaciones es la cuestión central en una investigación. La variabilidad es un concepto cuantitativo, de modo que nada de esto se aplica a las distribuciones de datos cualitativos. Hay varias razones para analizar la variabilidad en una serie de datos. Primero, al aplicar una medida de variabilidad podemos evaluar la medida de tendencia central utilizada. Una medida de variabilidad pequeña indica que los datos están agrupados muy cerca, digamos, de la media. La media, por lo tanto es considerada bastante representativa de la serie de datos. Inversamente, una gran medida de variabilidad indica que la media no es muy representativa de los datos. Una segunda razón para estudiar la variabilidad de una serie de datos es para comparar como están esparcidos los datos en dos o más distribuciones. Por ejemplo, la calificación promedio de dos estudiantes, A = {90, 80, 75, 75 } y B = {90, 55, 85, 90 }, es de 80. Basados en esto podríamos pensar que sus calificaciones son idénticas. Pero si revisamos el detalle de sus calificaciones vemos que esta conclusión no es correcta. Hay muchas medidas de variabilidad intuitivamente atractivas, pero poco utilizadas, como el rango, la desviación media y la desviación cuartilar. De lejos, las medidas de variabilidad más ampliamente utilizadas son las que tienen que ver con cómo extender los resultados a partir de la media. Estas son la desviación estándar (s), y la varianza (s² o "var"). MEDIDAS DE VARIABILIDAD

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2

Rango La forma más sencilla de medir la variabilidad es el rango. Es la diferencia entre los más altos y más bajos valores en un conjunto de datos no agrupados. En la forma de una ecuación: Rango = valor más alto - valor más bajo El rango tiene la ventaja de ser fácil de calcular y entender. Ejemplo: Las calificaciones de cinco estudiantes de estadística son: 8, 8, 10, 6, y 8. ¿Cuál es el rango de las calificaciones? Rango = valor más alto - valor más bajo = 10 - 6 = 4 Rango para datos agrupados Para estimar el rango de una distribución de frecuencia se resta el límite inferior del intervalo de clase más chico del límite superior del intervalo de clase más grande Ejemplo: Una muestra de las edades del público de un concierto se encuentra distribuida de la siguiente manera: Edades Número de personas

15 - 19

2

20 - 24

1

25 - 29

4

30 - 34

15

35 - 39

10

40 - 44

5

45 - 49

3

Rango = mayor limite superior - menor límite inferior = 49 - 15 = 34 (Valor absoluto de un número a = | a | es el número a sin su signo.)

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3

Desviación media (Dm)

La desviación media mide la cantidad promedio que varían los datos respecto a su media. La definición es: Desviación media es la media aritmética de los valores absolutos de las desviaciones de los datos respecto a su media. La fórmula de la desviación media para datos no agrupados (Dm) es:

Dm =

Σ| X -

|

n

Ejemplo: Las calificaciones de cinco estudiantes de estadística son: 8, 8, 10, 6, y 8. ¿Cuál es la desviación media de las calificaciones? X

X-

|X -

8

0

0

8

0

0

10

+2

2

6

-2

2

8

0

0 Σ=4

X=8 Dm =

Σ| X n

MEDIDAS DE VARIABILIDAD

|

|

=

4

= 0.8

5

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4

Desviación media para datos agrupados En el caso de que los datos se encuentren agrupados en una distribución de frecuencia la fórmula es :

Dm =

Σf | X -

|

n

Ejemplo: Se tienen los siguientes datos agrupados: LI LS X

F

FX

|X–X| F|X–X|

15 19 17

2

34

17.12

34.24

20 24 22

1

22

12.12

12.12

25 29 27

4

108

7.12

28.48

30 34 32

15

480

2.12

31.80

35 39 37

10

370

2.88

28.80

40 44 42

5

210

7.88

39.40

45 49 47

3

141

12.88

38.64

n =40 ΣfX = 1365

=

Σfx n

Dm =

=

1365

Σ 213.48

= 34.12

40

213.48

5.337

40

Ventajas y Desventajas de la desviación media La desviación media tiene dos ventajas. Utiliza para su cómputo todos los elementos de la serie de datos y es facil de entender.

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5

La varianza (σ2 ó S2) y la desviación estándar (σ ó S)

Concepto de varianza y desviación estándar La varianza y la desviación estándar sirven para cuantificar la variabilidad de una muestra midiendo su dispersión alrededor de la media. La definición es la siguiente: 2 Varianza. (σ ó S2) (σ = sigma) Es la media aritmética de las desviaciones cuadradas de los datos respecto a la media.

Desviación estándar. (σ ó S) Es la raíz cuadrada de la varianza. Varianza y Desviación Estándar para datos no agrupados Las fórmulas de la varianza de una población y de una muestra son ligeramente diferentes. Las fórmulas son:

σ 2=

(Σx)2

Σx2 -

(Σx)²

Σx2 -

N

n

S2=

N

n-1

varianza de una población

varianza de una muestra

Las desviaciones estándar de la población y muestra se calculan simplemente sacando la raíz cuadrada a la respectiva varianza. desviación estándar de una población

σ = σ2

desviación estándar de una muestra

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S= S2

6

Ejemplo El contenido de cinco botellas de perfume seleccionadas de forma aleatoria de la línea de producción son (en ml): 85.4, 85.3, 84.9, 85.4, y 84.0. ¿Cuál es la varianza y la desviación estándar de las observaciones muestreadas? X 85.4 85.3 84.9 85.4 84.0 Σx= 425.0 Σx 2

(Σx)2 n

S2=

=

36126.42 -

S=

S2 =

(425)2 5

n-1

X2 7293.16 7276.09 7208.01 7293.16 7056.00 2 Σx = 36126.42

= 0.355

5-1

0.355 = 0.5958

Varianza y Desviación Estándar para datos agrupados Si los datos están agrupados en una distribución de frecuencia, la varianza y la desviación estándar de la muestra se pueden aproximar sustituyendo Σfx² en Sx² y Σfx en Sx. Las fórmulas quedarían de la siguiente manera:

σ 2=

(Σfx)2

Σfx2 -

Σfx2 -

N

S2=

N

varianza de una población

desviación estándar de una población

n

n-1

varianza de una muestra

σ = σ2

desviación estándar de una muestra

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(Σfx)2

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S= S2

7

Ejemplo: 2 Calcular la varianza (σ ó S2) y la desviación estándar (σ ó S) de la siguiente distribución de frecuencia del número de meses de duración de una muestra de 40 baterías para coche.

duración de las baterías (meses) Número de baterías 15 - 19

2

20 - 24

1

25 - 29

4

30 - 34

15

35 - 39

10

40 - 44

5

45 - 49

3

Primeramente, calculamos la marca de clase, para después calcular los productos fX y fx2 para proceder finalmente a calcular las sumatorias ΣfX y Σfx2 y aplicar las fórmulas.

LI LS X

F

FX

FX2

15

19

17

2

34

588

20

24

22

1

22

484

25

29

27

4

108

2916

30

34

32

15

480

15360

35

39

37

10

370

13690

40

44

42

5

210

8820

45

49

47

3

141

6627

n =40 ΣfX = 1365 Σfx2 = 48475

Σfx 2

(Σfx)2 n

S2=

48475 =

n-1

40

= 48.573

40 - 1 S=

MEDIDAS DE VARIABILIDAD

(1365)2

S2 = 48.573 = 6.969

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8

Coeficiente de variación

El coeficiente de variación se define como la razón de la desviación estándar entre la media aritmética. C.V. =

σ x

( 100 )

Ventajas El coeficiente de variación es útil cuando pretende comparar la variabilidad de dos o más conjuntos de datos expresados en diferentes unidades de medición, pues el resultado será señalado en porcentajes.

Desventajas Cuando el valor de la media es cercano a cero, el coeficiente de variación es muy sensible a pequeños cambios en la media, limitando su utilidad A diferencia de la desviación estándar este no puede ser utilizado para elaborar intervalos de confianza para la media.

1

Interpolación es la construcción de nuevos puntos partiendo del conocimiento de un conjunto discreto de puntos.

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9

Problemas

Para cada uno de los siguientes problemas calcule : (a) el rango (b) la desviación media r (c) la varianza (d) la desviación estánda (e) el coeficiente de variación

1. Los resultados siguientes representan las calificaciones del examen final de un curso de estadística elemental. 23

60

79

32

57

74

52

70

82

36

80

77

81

95

41

65

92

85

55

76

52

10

64

75

78

25

80

98

81

67

41

71

83

54

64

72

88

62

74

43

60

78

89

76

84

48

84

90

15

79

34

67

17

82

69

74

63

80

85

61

2. El gerente de una firma especializada en renta de condominios para vacacionistas, quiere saber como están distribuidas los montos de las rentas mensuales de los departamentos de la firma. Seleccionó una muestra de departamentos cuyas muestras son mostradas abajo. Rentas mensuales de los condominios 1170

1207

1581

1277

1305

1472

1077

1319

1537

1849

1332

1418

1949

1403

1744

1532

1219

896

1500

1671

1471

1399

1041

1379

821

1558

1118

1533

1510

1760

1826

1309

1426

1288

1394

1545

1032

1289

695

803

1440

1421

1329

1407

718

1457

1449

1455

2051

1677

1119

1020

1400

1442

1593

1962

1263

1788

1501

1668

1352

1340

1459

1823

1451

1138

1592

982

1981

1091

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10

3. Los siguientes datos representan la duración de la vida en meses de 30 bombas de combustible similares. 24

36

4

40

16

15

18

6

30

60

3

72

66

78

3

28

67

72

15

3

18

48

71

22

57

9

54

4

12

72

4. Los siguientes datos representan la duración de la vida, en segundos, de 50 moscas sometidas a un nuevo atomizador en un experimento de laboratorio controlado. 17

20

10

9

23

13

12

19

18

24

12

14

6

9

13

6

7

10

13

7

16

18

8

13

3

32

9

7

10

11

13

7

18

7

10

4

27

19

16

8

7

10

5

14

15

10

9

6

7

15

5. Se aplicó una encuesta donde se les pide indicar el número de amigos o parientes que visitan cuando menos una vez al mes. Los resultados son los siguientes: 3

5

2

3

3

4

1

8

4

2

4

2

5

3

3

3

0

3

5

6

4

3

2

2

6

3

5

4

14

3

5

6

3

4

2

4

9

4

1

4

2

4

3

5

0

4

3

5

7

3

5

6

2

2

MEDIDAS DE VARIABILIDAD

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11

6. Una compañía de cambio de aceite tiene varias sucursales en la zona metropolitana. El número de cambios de aceite en la sucursal de la calle Roble en los pasados 20 días son: 66

98

55

62

79

59

51

90

72

56

70

62

66

80

94

79

63

73

71

85

7. El gerente local un negocio de comida rápida esta interesado en el número de veces que un cliente compra en su tienda durante un periodo de dos semanas. Las respuestas de los 51 clientes fueron: 5

3

3

1

4

4

5

6

4

2

6

6

6

7

1

1

14

1

2

4

4

4

5

6

3

5

3

4

5

6

8

4

7

6

5

9

11

3

12

4

7

6

5

15

1

1

10

8

9

2

12

8. El presidente de una agencia de viajes, quiere información sobre las edades de la gente que toma cruceros por el Caribe. Una muestra de 40 clientes que tomaron un crucero el año pasado reveló estas edades: 77

18

63

84

38

54

50

59

54

56

36

26

50

34

44

41

58

58

53

51

62

43

52

53

63

62

62

65

61

52

60

45

66

83

71

63

58

61

71

60

9. Una cadena de tiendas de artículos deportivos al servicio de esquiadores principiantes, planea hacer un estudio de cuanto gasta un esquiador principiante en su primera compra de equipo. Una muestra de recibos de sus cajas registradoras reveló esas compras iniciales. 140

82

265

168

90

114

172

230

142

86

125

235

212

171

149

156

162

118

139

149

132

105

162

126

216

195

127

161

135

172

220

229

129

87

128

126

175

127

149

126

121

118

172

126

MEDIDAS DE VARIABILIDAD

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12

10.- Se conduce un estudio de los efectos de fumar sobre los patrones de sueño. La medición que se observa es el tiempo, en minutos, que toma quedar dormido. Se obtienen estos datos: 69

56

22

28

41

28

47

53

48

30

34

13

52

34

60

25

21

37

43

23

13

31

29

38

26

36

30

11. Un banco seleccionó una muestra de 40 cuentas de cheques de estudiantes. Abajo aparecen sus saldos de fin de mes. 404

74

234

149

279

215

123

55

43

321

87

234

68

489

57

185

141

758

72

863

703

125

350

440

37

252

27

521

302

127

968

712

503

498

327

608

358

425

303

203

12.- Una compañía de luz seleccionó una muestra de 20 clientes residenciales. Los siguientes datos son las cuentas que se les facturó el mes pasado: 54

48

58

50

25

47

75

46

60

70

67

68

39

35

56

66

33

62

65

67

13.- Una muestra de suscriptores de una compañía telefónica reveló los siguientes números de llamadas recibidas en la última semana. 52

43

30

38

30

42

34

46

32

18

41

5

MEDIDAS DE VARIABILIDAD

12

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46

39

37

13

14. A los solicitantes del puesto de ensamblador de una empresa mueblera se les aplica una prueba. La prueba consiste en tomar el tiempo que tardan en ensamblar cierto mueble. La siguiente es una distribución de frecuencia los tiempos registrados por una muestra de 42 solicitantes.

Tiempo (minutos) Número de solicitantes 1-3

4

4-6

8

7-9

14

10 - 12

9

13 - 15

5

16 - 18

2

15. La siguiente es una distribución de frecuencia de una muestra de los pagos realizados en un estacionamiento del centro de la ciudad el sábado pasado

Cantidad pagada ($) Número de clientes

MEDIDAS DE VARIABILIDAD

5-9

2

10 - 14

7

15 - 19

15

20 - 24

28

25 - 29

14

30 - 34

9

35 - 39

3

40 - 44

2

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14