Membranas activas: motores rotatorios Isaac Llopis 6 de septiembre de 2005 Resumen En este trabajo hacemos un estudio de la estructura y funcionalidad de las membranas as´ı como la necesidad de considerar el hecho que estas membranas se encuentran fuera del equilibrio termodin´ amico. Nos centramos en el papel de los centros activos, en concreto de los que act´ uan como motores rotatorios, como es el caso de la ATP-asa. A trav´es del m´etodo de simulaci´ on de lattice-Boltzmann estudiamos el campo hidrodin´ amico que generan dichos rotores y analizamos su comportamiento colectivo.

´Indice 1. Introducci´ on: Membranas y motores rotatorios 1.1. Estructura y funcionalidad de la membrana . . . 1.1.1. Estructura . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.2. Funcionalidad . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2. Fluidez de la membrana . . . . . . . . . . . . . . 1.3. Procesos de transporte . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.1. La hidr´ olisis del ATP . . . . . . . . . . . 1.4. Membranas activas . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4.1. Bacteriorhodopsin . . . . . . . . . . . . . 1.5. Ejemplos de motores rotatorios (rotores) . . . . . 1.5.1. La ATP-asa . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.5.2. Los cilios . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

2 2 2 5 5 6 6 8 9 10 11 13

2. Un modelo de motores rotatorios 2.1. Modelo te´ orico . . . . . . . . . . 2.2. M´etodo de simulaci´on . . . . . . 2.2.1. Lattice gas (LG) . . . . . 2.2.2. Lattice-Boltzmann . . . . 2.3. Din´ amica de part´ıculas en LB . . 2.4. Motores rotatorios en LB . . . . 2.4.1. Part´ıculas activas . . . . . 2.4.2. Mecanismo de rotaci´on . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

14 14 15 15 16 17 19 19 20

1

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

1. Introducci´ on: Membranas y motores rotatorios

2

3. Resultados 20 3.1. An´ alisis de 1 rotor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 3.1.1. Campo hidrodin´amico inducido por los rotores . . . . . . 22 3.2. Estudio de 2 rotores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 3.3. Cadena de rotores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 3.4. Comportamiento colectivo: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 3.4.1. Movimiento inducido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 3.4.2. Distribuci´ on de velocidades . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 3.4.3. Tiempos largos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 3.5. Cristal de Wigner triangular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 3.5.1. Difusi´ on activa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 3.6. Fluctuaciones: acoplamiento entre los rotores y las fluctuaciones de la membrana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 4. Conclusiones

1. 1.1.

37

Introducci´ on: Membranas y motores rotatorios Estructura y funcionalidad de la membrana

El t´ermino membrana biol´ogica uno tiende a relacionarlo con la membrana plasm´ atica de la c´elula, que separa el citoplasma celular del exterior. A´ un as´ı, en una c´elula eucariota no s´olo existe esta membrana, sino que muchos de los org´ anulos celulares (mitocondrios, ret´ıcula endoplasm´atico, aparato de Golgi, etc.) est´ an delimitados por una membrana del mismo tipo. 1.1.1.

Estructura

Una membrana biol´ ogica es una fina capa ( 5 − 10 nm) compuesta por una mezcla compleja de mol´eculas lip´ıdicas y proteicas, y tambi´en puede contener gl´ ucidos (Fig. 1) y (Fig. 2). Estas mol´eculas se mantienen unidas fundamentalmente por interacciones no covalentes. L´ıpidos: Los l´ıpidos son el componente principal de las membranas, concretamente la mitad de la masa de la membrana. Son mol´eculas amfip´aticas, es decir, tienen un extremo hidrof´obico (no se asocia libremente con el agua) y el otro hidrof´ılico (s´ı se asocia libremente con el agua). Existen tres clases principales de mol´eculas lip´ıdicas de membrana: 1. Fosfol´ıpidos: lo son la mayor´ıa de los l´ıpidos de membrana. Ver en Fig. 3 su estructura detallada. Parte hidrof´ılica: un grupo fosfato esterificado y un grupo alcohol.

1. Introducci´ on: Membranas y motores rotatorios

Figura 1: Estructura de una membrana biol´ogica

Figura 2: Estructura tridimensional de una membrana biol´ogica

3

1. Introducci´ on: Membranas y motores rotatorios

4

Figura 3: Esquemas de una mol´ecula de fosfol´ıpido

Parte hidrof´ obica: dos cadenas de ´acidos grasos, una saturada y otra insaturada, lo cual genera curvatura en la membrana. Son dos cadenas largas y voluminosas, y las interacciones entre ellas son fuertes, es por ello que se puede considerar que la parte hidrof´obica tiene geometr´ıa cil´ındrica. Debido a este comportamiento amfip´atico y a que sus colas son muy largas y voluminosas, los fosfol´ıpidos en la membrana se disponen en una bicapa con sus colas hidrof´ obicas dirigidas hacia el interior, quedando de esta manera entre las cabezas hidrof´ılicas que delimitan la superficie externa e interna de la membrana [1]. 2. Colesterol: es un l´ıpido esteroide, formado por una mol´ecula de ciclopentanoperhidrofenantreno (o esterano). Las membranas plasm´aticas de c´elulas eucariotas contienen gran cantidad de colesterol, cuya funci´on es reforzar la permeabilidad de la bicapa. Se encuentra en el ´area hidrof´obica de la misma, su presencia contribuye a la estabilidad de la membrana ya que interacciona con las colas de la bicapa y disminuye su fluidez evitando que las colas se empaqueten, vuelvan m´as r´ıgida la membrana. Las membranas de las c´elulas vegetales no contienen colesterol, tampoco las de la mayor´ıa de las c´elulas bacterianas. 3. Glucol´ıpidos: solamente en la monocapa externa. Se asocian entre ellos para formar microagregados. Son oligosac´aridos unidos a los l´ıpidos, aunque estos oligosac´ aridos tambi´en pueden unirse a las proteinas y formar glucoprote´ınas. La bicapa lip´ıdica es una doble capa cont´ınua de mol´eculas lip´ıdicas en la que est´ an inmersas varias prote´ınas de membrana. Esta bicapa es asim´etrica, la

1. Introducci´ on: Membranas y motores rotatorios

5

composici´ on lip´ıdica y proteica de la monocapa externa es diferente a la de la interna, lo que refleja las diferentes funciones de las dos caras de una membrana celular. Estas bicapas tienden a cerrarse sobre s´ı mismas hasta formar compartimientos herm´eticos, para minimizar el efecto de que colas hidrof´obicas tengan contacto con agua. Prote´ınas: Hay diferentes tipos de prote´ınas de membrana, cuyas funciones dependen de la manera en que ´estas se asocian a la bicapa lip´ıdica: Las prote´ınas transmembrana se extienden a trav´es de la bicapa, y est´ an diferenciadas en dominios hidrof´ılicos e hidrof´obicos. Debido a esta estructura, pueden transportar mol´eculas a trav´es de la membrana, tienden a ser canales de transporte. Las prote´ınas perif´ ericas no se extienden en el dominio hidrof´obico, s´olo act´ uan en una de las monocapas. Nosotros, en este trabajo, estamos interesados en las prote´ınas transmembrana. 1.1.2.

Funcionalidad

La funci´ on principal de una membrana es diferenciar el fluido interior del entorno. A´ un as´ı, las membranas tambi´en participan en otras funciones celulares, normalmente por el papel de las prote´ınas: Transporte de soluto via bombas o canales i´onicos. De esta manera, podemos considerar una membrana como una barrera semipermeable, ya que mantiene la mayor parte de los productos producidos dentro de ella pero permite el paso de algunas mol´eculas. Locomoci´ on y adhesi´ on celular. Protecci´ on. Permitir el reconocimiento celular.

1.2.

Fluidez de la membrana

Los l´ıpidos y muchas prote´ınas de membrana est´an en movimiento constante. Los l´ıpidos se difunden en una de las monocapas con un coeficiente de difusi´ on de 10−8 cm2 /s, que significa que un l´ıpido da una vuelta a la membrana celular en aproximadamente 1s. Este movimiento lateral es r´apido, sin embargo el movimiento de una mol´ecula lip´ıdica entre las dos capas de la membrana (flip-flop) es muy lento, debido al efecto hidrof´obico. La difusi´ on de las prote´ınas es m´as lenta, un 1 − 10 % m´as peque˜ na que la de los l´ıpidos.

1. Introducci´ on: Membranas y motores rotatorios

6

La fluidez de una membrana aumenta con la temperatura. Los ´acidos grasos pueden existir en un estado ordenado (gel) y en uno desordenado (l´ıquido), cuya transici´ on de fase se da a una cierta temperatura Tm , que depende de la longitud de las cadenas de los ´ acidos grasos y de su grado de insaturaci´on. La fluidez tambi´en aumenta con la presencia de l´ıpidos insaturados y de cadena corta. Esta fluidez implica que los componentes en su mayor´ıa solo est´an unidos por uniones no covalentes.

1.3.

Procesos de transporte

La bicapa lip´ıdica es b´ asicamente impermeable a los iones, independientemente de su tama˜ no. Por eso el transporte de iones inorg´anicos y de peque˜ nas mol´eculas org´ anicas hidrosolubles a trav´es de la bicapa lip´ıdica es mediante prote´ınas transmembrana, de las que hay 2 tipos: 1. Prote´ınas transportadoras: se unen al soluto que va a ser transportado y hacen cambios conformacionales para que se transfiera dicho soluto a trav´es de la membrana. 2. Prote´ınas de canal: forman poros hidrof´ılicos que atraviesan la bicapa lip´ıdica y, cuando los poros est´an abiertos, permiten que diferentes solutos pasen pasivamente a su trav´es y atraviesen la membrana. El soluto tiene una carga neta, su transporte est´a influido tanto por su gradiente de concentraci´ on como por el gradiente el´ectrico a trav´es de la membrana. La combinaci´ on es el gradiente electroqu´ımico. El gradiente electroqu´ımico define 2 tipos b´asicos de transporte a trav´es de la membrana: 1. Transporte pasivo: si el gradiente electroqu´ımico es favorable (normalmente el potencial interior es m´as negativo que el exterior) se favorece el transporte de iones cargados del potencial positivo al negativo. 2. Transporte activo: algunas prote´ınas bombean activamente ciertos solutos en contra de su gradiente electroqu´ımico, siempre mediante prote´ınas transportadoras. La acci´ on de las bombas es crucial para mantener las diferencias de concentraci´ on i´ onicas. Una gran proporci´ on de toda la energ´ıa que recibe el cuerpo humano es dedicada a las bombas i´onicas. 1.3.1.

La hidr´ olisis del ATP

El ATP es un nucle´ otido trifosfato derivado de la adenina. a pH fisiol´ogico tiene una carga negativa en cada grupo fosfato. Los grupos fosfato se unen

1. Introducci´ on: Membranas y motores rotatorios

7

Figura 4: Estructura del ATP

mediante enlaces fosfoanhidrilo. Si en lugar de tres tiene dos fosfatos es ADP y si tiene uno es AMP (Fig. 4). El ATP es la mayor fuente de energ´ıa qu´ımica de las c´elulas. El transporte activo est´ a acoplado a una fuente de energ´ıa metab´olica como la hidr´ olisis del ATP, un gradiente de concentraci´on i´onica o un agente externo, donde el transporte mediante hidr´olisis del ATP es el m´as t´ıpico. Consiste en la siguiente reacci´on, considerando que el aceptor es el agua: AT P + H2 0 → ADP + Pi (∆G = −31kJ/mol)

(1)

Para que se produzca esta reacci´on, se requieren encimas que la catalicen, son las llamadas ATP-sintasas o ATP-asas. En la siguiente secci´on trataremos estas encimas con m´ as detalle. Ejemplos: N a+ − K + − AT P asa: bombea N a+ de dentro a fuera de la c´elula y K + de fuera a dentro. Ca2+ − AT P asa: mantiene el gradiente de concentraci´on de Ca2+ entre el interior y el exterior celular.

1. Introducci´ on: Membranas y motores rotatorios

1.4.

8

Membranas activas

Las membranas pasivas son membranas en equilibrio termodin´amico, las fluctuaciones de su forma son el ruido t´ermico, que es el movimiento browniano de los elementos de la bicapa. Sin embargo, desde un punto de vista estad´ıstico, una membrana biol´ogica est´ a muy lejos del equilibrio. Las membranas biol´ogicas contienen prote´ınas (canales i´ onicos, bombas i´ onicas o prote´ınas fotoactivas) que consumen la energ´ıa qu´ımica del ATP y la disipan en el medio, generan fuerzas que llevan a la membrana fuera del equilibrio. A la que las prote´ınas difunden alrededor de la membrana, las fluctuaciones resultantes en esta fuerza producen ruido no t´ermico para las fluctuaciones de forma de la membrana. Este hecho se debe introducir a la hora de describir una membrana. As´ı pues, es b´ asico para la descripci´ on de una membrana suponerla activa. Las membranas que contienen centros activos sufren fluctuaciones de no equilibro adicionales a las de equilibrio debido a la actividad de estos centros activos. El teorema de fluctuaci´on-disipaci´on no es v´alido y debemos tener en cuenta las interacciones hidrodin´amicas de largo alcance que est´an mediadas por el solvente. Debido a que no hay teorema de fluctuaci´on-disipaci´on hay una amplificaci´ on de las fluctuaciones, las fluctuaciones de no equilibrio son las dominantes [5]. Estos procesos de no equilibrio tienen efecto incluso en los gl´obulos rojos, que tradicionalmente han sido explicados a partir de fluctuaciones de forma de equilibrio t´ermicas. Las prote´ınas activas de membrana pueden ser modelizadas como discos suspendidos en un fluido bidimensional viscoso rodeado de fluido de viscosidad baja [2]. Para determinar el efecto de las interacciones hidrodin´amicas en la difusividad de las prote´ınas en suspensiones no dilu´ıdas, solucionamos num´ericamente la ecuaci´ on de Navier-Stokes para un sistema de discos en un fluido bidimensional usando una expansi´ on multipolar [3]. Consideramos las prote´ınas m´oviles, aunque tambi´en pueden haber algunas fijas. Para estas prote´ınas m´ oviles, podemos calcular autodifusiones a tiempos cortos tanto translacionales como rotacionales y el gradiente difusivo crece logar´ıtmicamente con el nombre de discos, que es la paradoja de Stokes. El modelo del mosaico fluido (fluid mosaic model ) [4] postula que la membrana es como un mosaico fluido en el que la bicapa lip´ıdica es una red donde se sit´ uan las proteinas, que interaccionan unas con otras y con los l´ıpidos. Tanto las proteinas como los l´ıpidos pueden desplazarse lateralmente. Por lo tanto, podemos considerar la membrana como prote´ınas suspendidas en un fluido (la bicapa lip´ıdica) que est´a en movimiento constante. Las prote´ınas tambi´en se mueven lateralmente en la bicapa, formando diferentes estructuras, que ir´ an cambiando con el tiempo.

1. Introducci´ on: Membranas y motores rotatorios

9

Figura 5: Estructura de la Bacteriorhodopsin.

Pero la situaci´ on real es que las prote´ınas asociadas con la superficie de la membrana tienen que competir con varios obst´aculos a la que experimentan el movimiento Browniano. Usando microscopia de fuerzas at´omicas (AFM) en rotores suspendidos en una membrana lip´ıdica, D.J. M¨ uller et al. [6] mostraron, analizando las trayectorias individuales, que las prote´ınas pod´ıan moverse seg´ un difusi´on libre o difusi´ on entorpecida, que tienen coeficientes de difusi´on considerablemente diferentes. Lo hac´ıan en funci´on de la distribuci´on de rotores a su alrededor. El an´ alisis con AFM mostraba que algunos rotores formaban clusters densos (difusi´ on entorpecida) y otros, en cambio, no ten´ıan contacto con otros rotores (difusi´ on libre). Las trayectorias observadas sugieren que las prote´ınas de membrana experimentan transiciones entre estos dos tipos de movimiento. El citoesqueleto, justo debajo de la membrana juega un papel fundamental en el control de la mobilidad de las prote´ınas de membrana en una gran variedad de c´elulas, como es el caso de las nerviosas, las epiteliales o los gl´obulos rojos. 1.4.1.

Bacteriorhodopsin

La Bacteriorhodopsin (bR) es una prote´ına fotoactiva de la que se conoce su estructura a nivel at´ omico y con gran resoluci´on (Fig. 5), de hecho es la bomba de iones mejor entendida [7] [8]. Cuando se ilumina con luz verde amarillenta se

1. Introducci´ on: Membranas y motores rotatorios

10

activa el bombeo de protones a trav´es de un fotociclo de unos 5ms. Su peculiaridad es que utiliza directamente la energ´ıa que proviene de la luz exterior en vez de requerir la hidr´olisis de ATP o GTP para bombear iones. Cuando es iluminada con luz amarillenta-verdosa se activa el bombeo de protones a trav´es de un fotociclo de τ ∼ 5ms. Se han estudiado los cambios estructurales de la bR durante el fotociclo para as´ı saber la trayectoria de cada prot´on a trav´es de la prote´ına. Experimentos con micropipetas en el estudio de ves´ıculas gigantes fluctuantes que contienen BR en la bicapa, mostraron que la actividad de bombeo de iones induc´ıa una amplificaci´on en las fluctuaciones de la forma de la membrana, lo cual se puede interpretar como un incremento de la temperatura efectiva de la membrana [9]. Con la t´ecnica de micropipetas se puede cuantificar el ´area acaparada en las fluctuaciones de membrana. De hecho, la variaci´on de este exceso de ´area (∆α) se puede relacionar con la tensi´on superficial (σ) de la membrana [9]: ∆α =

σ KB T ln 8πκ σ0

(2)

donde κ es la rigidez de la membrana y σ0 la tensi´on superficial de equilibrio. En el caso de membranas pasivas T es la temperatura, pero en membranas activas T es la temperatura efectiva, ya que estamos fuera del equilibrio. La pendiente de la recta determina el valor de la rigidez de la membrana. Se observ´ o que cuando se emit´ıa luz sobre estas ves´ıculas gigantes y se variaba la frecuencia de la luz emitida desde luz roja hasta luz amarillenta-verdosa, la pendiente de la recta, y en consecuencia, la rigidez disminu´ıa. Esto indica que el exceso de ´area es mayor cuando se ilumina con luz amarillenta-verdosa, es decir, la actividad de la bR induce una amplificaci´on de las fluctuaciones de la membrana. De esta secci´ on conclu´ımos que los centros activos cambian considerablemente el estado de una membrana. Este experimento es muy claro, pues simplemente variando la frecuencia de la luz emitida sobre la membrana se observaban cambios importantes en el valor de la rigidez, lo que indicaba que los centros activos inducen una amplificaci´ on importante de las fluctuaciones. A partir de ahora, nos centraremos en otro tipo de prote´ınas, los motores rotatorios, pero motivados por el hecho que con la bR hemos visto experimentalmente un realzamiento de las flucutuaciones de membrana.

1.5.

Ejemplos de motores rotatorios (rotores)

J. Prost et al. [10], [11] estudian una membrana activa como un conjunto de motores rotatorios en una superf´ıcie plana. Este estudio est´ a motivado por sistemas biol´ogicos en que procesos activos llevan a movimientos rotatorios en membranas y generan un flujo hidrodin´amico. Vamos a describir 2 posibles ejemplos de motores rotatorios: la ATP-sintasa y los cilios. Ambos son posibles realizaciones de membranas activas ya que

1. Introducci´ on: Membranas y motores rotatorios

11

est´ an anclados en la membrana y cambian la din´amica del sistema debido a su movimiento. 1.5.1.

La ATP-asa

La ATP-asa es una encima universal que fabrica ATP a partir de ADP y f´ osfato, lo hace utilizando la energ´ıa del transporte de protones a trav´es de la membrana. Tambi´en se puede invertir ella misma e hidrolizar ATP para bombear protones en contra del gradiente electroqu´ımico. Los ciclos de s´ıntesis e hidr´olisis llevan a la ATP-asa a un movimiento de rotaci´on [12] [13]. Cumple un papel importante en las c´elulas ya que proporciona la mayor´ıa de la energ´ıa qu´ımica que los organismos aer´obicos y fotosint´eticos necesitan para mantenerse vivos. La ATP-asa es un complejo prote´ınico grande y asim´etrico que est´a compuesto por distintas unidades. B´asicamente, consiste en 2 multi-subunidades complejas distintas en estructura y funci´on que est´an enlazadas. La porci´on hidrof´ obica F0 est´ a anclada en la membrana y realiza el transporte de protones a trav´es de la membrana, mientras que la porci´on F1 reside en la periferia acuosa y cataliza la s´ıntesis/hidr´ olisis del ATP (Fig. 6). Juntas acoplan el flujo de protones bajo el gradiente electroqu´ımico con la s´ıntesis del ATP [14]. F0 y F1 funcionan como un par de motores rotatorios enlazados por un rotor central y un estator (que es el circuito fijo dentro del cual gira el rotor) perif´erico. Un experimento que se hizo fue atar un filamento de actina fluorescente en un final de la subunidad C12 de F0 . A trav´es de microscop´ıa fluorescente, se vi´ o que durante la hidr´ olisis del ATP el filamente experimentaba multiples rotaciones en el sentido contrario al de las agujas del reloj. La rotaci´on de esta subunidad C12 ocurr´ıa durante la s´ıntesis del ATP [15]. Esta subunidad, y por consiguiente este filamento, est´a rotando usando la energ´ıa de la hidr´ olisis del ATP. El torque producido por esta subunidad es de 40pN ·nm, que es bastante parecido al generado por la subunidad γ del motor F1 . Por lo tanto las subunidades γ y C12 rotan juntas durante la s´ıntesis y la hidr´olisis del ATP. La direcci´ on de los eventos qu´ımicos acoplados (ATP s´ıntesis e hidr´olisis) y el transporte de protones (bajo o en contra del gradiente electroqu´ımico) puede ser revertida si invertimos la direcci´on de la rotaci´on de dicha subunidad [15]. Esta rotaci´ on acoplada es esencial para el acoplamiento energ´etico entre el transporte de protones a trav´es de F0 y la s´ıntesis e hidr´olisis de ATP en F1 . Cuando los protones fluyen a trav´es de F0 , se sintetiza ATP en F1 . Esto hace que la cola gire r´ apidamente, induciendo a la cabeza a fabricar ATP. El motor es reversible y un exceso de ATP provoca una rotaci´on en la direcci´on opuesta y un flujo reverso de protones. Durante la cat´alisis un complejo formado por ciertas subunidades se mueve rotando en relaci´on al resto de la encima. La ATP-asa es el motor rotatorio m´as peque˜ no nunca conocido (Fig. 7). Esta encima es la fuente principal de ATP en la mayor´ıa de especies vivas de la tierra, incluidos los seres humanos. El cuerpo humano genera m´as de 100 kg

1. Introducci´ on: Membranas y motores rotatorios

Figura 6: Esquema sencillo de la ATP-asa.

Figura 7: Diferentes perspectivas de la ATP-asa.

12

1. Introducci´ on: Membranas y motores rotatorios

13

de ATP, que es secuencialmente usado para proveer de energ´ıa para diferentes reacciones bioqu´ımicas, incluyendo la s´ıntesi proteica y de DNA, la contracci´on de m´ usculos, el tranporte de nutrientes y la actividad neuronal. En plantas y bacterias fotosint´eticas es esencial para convertir la energ´ıa solar. Es una encima membranosa. Est´a situada en la membrana plasm´atica, en cloroplastos y en la membrana mitocondrial interna de c´elulas eucariotas. El flujo hidrodin´ amico generado por estos motores puede cambiar las propiedades de las membranas en las que est´ an situados y puede realzar la difusi´ on de prote´ınas de membrana. Un ejemplo de ellos es en los gl´ obulos rojos, ya que las fluctuaciones de la forma de los gl´obulos rojos depende no s´ olo de la viscosidad del medio sino de las concentraciones de ATP. Las ATP-asas influencian a la hidrodin´amica del sistema de 2 maneras: 1. Es un motor rotatorio que ejerce un torque dipolar. 2. Es una bomba de protones, la cual ejerce una fuerza cuadrupolar local. Estos dos mecanismos est´an desacoplados en el r´egimen lineal en el que nosotros estamos interesados. Estos motores rotatorios act´ uan como peque˜ nos microv´ortices e inducen un flujo en el fluido que rodea la membrana. Como estamos usando hidrodin´amica lineal, el flujo inducido siempre ser´a paralelo al plano medio de la membrana. Seg´ un [11] una fuerza cuadrupolar es la distribuci´on de fuerza m´as sencilla que es consistente con el movimiento rotacional del motor y que cumple el requerimiento de no tener fuerzas externas presentes. En la siguiente secci´ on presentaremos un modelo que simula estos objetos y nos centraremos en las consecuencias hidrodin´amicas que podemos extraer. 1.5.2.

Los cilios

Los cilios son estructuras largas y delgadas (0,25µm) parecidas a los cabellos, ver Fig. 8. Estan formados por grupos especializados de microt´ ubulos (motores de los cilios) llamados cuerpos basales. Estos cilios se extienden desde la superficie de varios tipos de c´elulas eucariotas. Las c´elulas pueden autopropulsarse y generar un flujo gracias a los cilios, ya que ´estos perturban el fluido que rodea la superficie y mueven la c´elula a trav´es del fluido. El movimiento c´ıclico de un cilio puede ser muy complicado, pero siempre exhibe un movimiento rotacional. Podemos decir que los cilios se comportan de manera efectiva como motores rotatorios. Una c´elula tiene normalmente centenares de cilios, que se mueven de una manera coordinada, con movimientos ondulatorios: ondas metacronales. Para describir este fen´ omeno es necesario tener en cuenta las interacciones hidrodin´ amicas entre cilios vecinos [16].

2. Un modelo de motores rotatorios

14

Figura 8: Cilios respiratorios.

2. 2.1.

Un modelo de motores rotatorios Modelo te´ orico

El modelo te´ orico que vamos a seguir es el propuesto por J. Prost et al. [10], [11], en el que, como hemos dicho antes, estudian una membrana activa como un conjunto de motores rotatorios en una superf´ıcie plana. En esta superficie, los rotores act´ uan como microv´ortices que inducen un flujo en el fluido que los rodea. El hecho de no tener en cuenta la curvatura es s´olo una aproximaci´on de una membrana, pero el flujo inducido por los rotores es paralelo al plano medio de la membrana, as´ı que la aproximaci´on de no tener en cuenta el bending no es tan mala. De hecho lo que estamos haciendo es ignorar el acoplamiento entre las bombas y la curvatura de la membrana. Adem´ as, no tenemos en cuenta que una membrana no es una superf´ıcie, sino una bicapa. Estamos usando la representaci´on de Monge, en la que nuestra membrana se puede describir como una superficie, los puntos de la cual vienen dados por la altura sobre el plano xy. Esta aproximaci´on es u ´til en membranas casi planas y como para nosotros una membrana es plana, la representaci´on de Monge es muy apropiada para nuestro estudio. Debemos recordar que estamos suponiendo la bicapa lip´ıdica como una fluido superficial continuo de viscosidad cinem´atica ν (fluid mosaic model ), las

2. Un modelo de motores rotatorios

15

prote´ınas est´ an suspendidas en este fluido. Es posible variar la concentraci´on de prote´ınas en el fluido hasta m´as del 50 %, ya que es lo que podemos encontrar en membranas biol´ogicas.

2.2.

M´ etodo de simulaci´ on

Para simular un fluido computacionalmente se pueden modelizar las mol´eculas individuales que forman dicho fluido (Din´amica Molecular). Si las interacciones entre ellas estan correctamente modelizadas, el sistema que estamos simulando se comportar´ a como un fluido, estaremos resolviendo apropiadamente las ecuaciones de Navier-Stokes partiendo de un m´etodo puramente molecular. Sin embargo, la gran desventaja de este m´etodo es el tiempo computacional. En cada paso de tiempo se deben identificar las parejas que pueden colisionar en el siguiente paso de tiempo y se deben aplicar los campos externos. Adem´as, cada paso de tiempo de din´ amica molecular es aproximadamente t ∼ 10−13 s del tiempo real. Por lo tanto, se requiere mucho tiempo computacional para hacer variar la velocidad y la posici´on de cada part´ıcula lo suficiente para tener una din´ amica a tiempos largos. Incluso en el caso de gases, donde el paso de tiempo es m´as largo ya que el recorrido libre medio de cada mol´ecula es mayor, el n´ umero de mol´eculas que se deben considerar es demasiado grande para poder simular el sistema eficientemente. 2.2.1.

Lattice gas (LG)

En los a˜ nos 70 se desarroll´o este m´etodo de computaci´on, que es cualitativamente diferente de la din´ amica molecular. En vez de considerar las mol´eculas individualmente, se consideran part´ıculas de fluido, donde cada una de ´estas es un grupo de mol´eculas (coarse-graining), que ocupan un cierto volumen, que es una fracci´on a´ un muy peque˜ na del volumen del sistema, es decir, estas part´ıculas fluidas a´ un son muy peque˜ nas. Esto reduce dr´ asticamente los datos que se necesitan computar. Este coarse-graining est´ a justificado en el hecho que las propiedades macrosc´ opicas no dependen directamente del comportamiento microsc´opico del fluido. El modelo impone que estas part´ıculas de fluido estan obligadas a moverse en enlaces (links) de una red regular, y que este movimiento se da en pasos de tiempo discretos. Las leyes de conservaci´on f´ısicas se incorporan en el momento del update de las posiciones y velocidades, y se aplican a cada paso de tiempo. Ver en Fig. 9 un caso sencillo de aplicaci´on de este modelo. En un paso de tiempo dejamos que las part´ıculas fluidas se propaguen y colisionen con otras. S´ olo se pueden mover hacia nodos vecinos, es decir, s´olo existe un conjunto finito de velocidades ~ci , donde i es el ´ındice que va de 1 a Nv , siendo Nv el n´ umero de vecinos. Tenemos ni (~r, t) part´ıculas situadas en el nodo ~r con velocidad ~ci .

2. Un modelo de motores rotatorios

16

Figura 9: Sistema muy peque˜ no, de 11 part´ıculas en 15 nodos de fluido y 5 nodos de pared. Una simulaci´ on t´ıpica usa 106 nodos y 2106 part´ıculas.

Otra ventaja de este modelo es que todas las colisiones entre part´ıculas ocurren en el mismo tiempo, debido al hecho que los pasos de tiempos son discretos. Las reglas que gobiernan las colisiones son tales que el movimiento medio de las part´ıculas sea consistente con la ecuaci´on de Navier-Stokes. Los c´ alculos con LG requieren promedios para recuperar las ecuaciones macrosc´ opicas. Con estos promedios a tiempos largos, esta t´ecnica est´a restringida a flujos que var´ıan lentamente [17]. 2.2.2.

Lattice-Boltzmann

LB usa distribuciones probabil´ısticas de part´ıculas, en vez de part´ıculas discretas, es aplicar el m´etodo de punto flotante sobre LG. Cada punto de la red es un elemento de fluido, y es representado por una funci´ on distribuci´ on de part´ıculas. Es decir, reemplazamos las variables de red del Lattice gas ni (~r, t) por sus promedios en la colectividad fi (~r, t), donde fi (~r, t) =< ni (~r, t) >. Estas cantidades promediadas fi (~r, t) son ahora funciones reales en el rango 0 ≤ fi ≤ 1, donde la masa y el momento promedios est´ an dados por X ρ(~r, t) = fi (~r, t) (3) i

ρ(~r, t)~u(~r, t) =

X i

fi (~r, t)~ci

(4)

2. Un modelo de motores rotatorios

17

La evoluci´ on (translaci´ on y colisi´on) de fi est´a dada por el promedio en la colectividad de la funci´ on de colisiones (ecuaci´on de Boltzmann): fi (~r + ~ci , t + 1) − fi (~r, t) =< Ωi (n) >

(5)

El t´ermino de colisiones < Ωi (n) > puede aproximarse, seg´ un la expresi´on de tiempo de relajaci´ on: < Ωi (n) >= −

fi − fieq τ

(6)

Donde 1/τ es un tiempo relaxacional y fieq es la distribuci´on de equilibrio, t´ıpicamente la distribuci´ on de Maxwell-Boltzmann. Este t´ermino de colisiones tan sencillo es suficiente para reproducir la din´amica de la ecuaci´ on de Navier-Stokes. No tenemos en cuenta las fluctuaciones t´ermicas, nos queremos centrar en los efectos hidrodin´ amicos. El m´etodo lattice Boltzmann es una t´ecnica computacional potente para modelizar muchas variedades de problemas sobre flujos de fluidos complejos, incluyendo diferentes fases y geometr´ıas complejas. Es un m´etodo computacional discreto, basado en la ecuaci´on de Boltzmann. Las simulaciones de este trabajo estan hechas con lattice-Boltzmann.

2.3.

Din´ amica de part´ıculas en LB

Queremos simular motores rotatorios suspendidos en un fluido, que est´a descrito por la red de nodos de lattice-Boltzmann. Para ello debemos modelizar part´ıculas s´ olidas. Por simplicidad, a partir de ahora siempre trataremos con part´ıculas esf´ericas (3d) o discos (2d), lo que llamaremos coloides. Podemos modelizar coloides suspendidos en dicho fluido como part´ıculas s´olidas y esf´ericas en las que se impone la condici´on de contorno de stick mediante las reglas de bounce-back, es decir, imponer que la velocidad del fluido alrededor de la part´ıcula sea igual que la velocidad del centro de masas de la part´ıcula. Estas part´ıculas, a su vez, evolucionan siguiendo las reglas de la din´amica molecular, es decir, las ecuaciones de Newton. Por lo tanto estamos acoplando la hidrodin´amica del solvente con este conjunto de part´ıculas, como es habitual en suspensiones coloidales. Reglas de bounce-back: las part´ıculas s´olidas est´an definidas por una superficie, que corta algunos enlaces entre nodos de la red. Una part´ıcula fluida movi´endose en uno de estos enlaces interact´ ua con la superficie en nodos fronteras situados a mitad de camino del enlace. Tenemos una descripci´on discreta de la superficie (Fig. 10).

2. Un modelo de motores rotatorios

18

Figura 10: Reglas de bounce-back

Cada nodo frontera tiene 2 funciones distribuci´on, que provienen de los 2 extremos del enlace. Al colisionar con la superficie se transfiere la densidad de probabilidad a trav´es del nodo frontera, cambiando la densidad de momento local tal que tenga en cuenta la velocidad del cuerpo r´ıgido, pero sin afectar la masa ni la presi´ on. fi (~r + ~ci , t + 1) = fi∗ (~r + ~ci , t) +

fi0 (~r, t + 1) = fi∗ (~r, t) −

2aci ρ~ub · ~ci c2s

2aci ρ~ub · ~ci c2s

cs es la velocidad del sonido y el coeficiente aci del t´ermino ~ub ·~ci est´a determinado por el hecho que toda distribuci´on consistente con la velocidad de nodo frontera ~ub es estacionaria respecto a las interacciones con los nodos frontera [18]. Por lo tanto, se cambia momento localmente entre el fluido y la part´ıcula s´ olida, pero el momento total del sistema se conserva. El fluido llena todo el sistema, inclu´ıdo el interior de las part´ıculas, pero el fluido interior relaja r´ apidamente a la velocidad del cuerpo r´ıgido. Adem´ as, debido a la din´amica, las part´ıculas colisionan entre ellas. Cada

2. Un modelo de motores rotatorios

19

colisi´ on debe cumplir la condici´on de conservar el momento total del sistema.

2.4.

Motores rotatorios en LB

Queremos modelizar un motor rotatorio, encontrar un mecanismo con el que podamos simular part´ıculas que tengan una cierta velocidad angular propia, se autopropulsen angularmente. 2.4.1.

Part´ıculas activas

Antes de modelizar un motor rotatorio observemos la modelizaci´on de un motor lineal, es decir una part´ıcula activa autopropulsada, ya que el fundamento del mecanismo es el mismo. He desarrollado un mecanismo simple que lleva a la autopropulsi´on de un coloide [19]. Introducimos este mecanismo en vez de intentar simular un modelo de propulsi´ on m´ as realista. Tratamos esferas de radio R y seleccionamos una direcci´ on de movimiento y un conjunto de nodos frontera alrededor de esta direcci´ on, que seran los que cumplen la condici´on siguiente: ser vecinos de nodos interiores a la part´ıcula y estar dentro de un cono de ´angulo α, ver Fig. 11. En nuestras simulaciones siempre escogemos α = π, aunque tambi´en hemos comprobado que los resultados no dependen de α. La regla consiste en extraer una cierta cantidad de momento ∆~ p equitativamente distribuida en todos los nodos que cumplen la condici´on antes mencionada y esta misma cantidad de momento la a˜ nadimos al momento de la part´ıcula. Esta part´ıcula estar´ a, mediante este mecanismo, autopropulsada. Adem´as, este mecanismo no viola la conservaci´on del momento lineal total. El campo de velocidades inducido por este mecanismo es dipolar. Alternativamente, podemos tambien seleccionar los nodos del fluido que sean frontera que sean interiores a un cono de ´angulo ψ0 con respecto a π en la misma direcci´ on que la direcci´ on de movimiento seleccionada previamente. Ahora ∆~ p es extraido equitativamente de todos los nodos seleccionados y a˜ nadido al momento de la part´ıcula, ver Fig. 11. De esta manera, la part´ıcula se propulsa generando un campo de velocidades a su alrededor que ser´a asimpt´oticamente cuadrupolar. Como estamos interesados en la autopropulsi´on de objetos que son peque˜ nos, debemos escoger el par´ ametro ∆~ p de manera que el n´ umero de Reynolds (Re = uL/ν) sea lo suficientemente peque˜ no. Este modelo es muy simple y no tiene en cuenta la biolog´ıa de estos microorganismos, pero tiene en cuenta el acoplamiento hidrodin´amico entre la suspensi´ on de microorganismos y el solvente que los rodea, y recupera la adecuada interacci´ on entre biocoloides activos. De esta manera podemos saber el papel de la hidrodin´ amica en suspensiones de objetos auto-propulsados. Estas part´ıculas, partiendo del reposo, llegan a tener una velocidad estacionaria debido u ´nicamente al mecanismo y al hecho que est´an sumergidas en un fluido viscoso. La velocidad asint´otica viene dada por el balance entre la transferencia de momento y la fricci´on. En el caso tridimensional, es la siguiente:

3. Resultados

20

α 2δp

δp

δp

Figura 11: Mecanismo introducido para simular part´ıculas activas.

~u =

∆~ p 1 6πρηR 2

(7)

No hay una fuerza neta aplicada sobre esta part´ıcula, es por ello que la velocidad inducida por estas part´ıculas activas es menor que en part´ıculas pasivas bajo la acci´ on de una fuerza externa aleatoria. 2.4.2.

Mecanismo de rotaci´ on

A partir del modelo de part´ıculas activas construyo un modelo de transferencia de momento angular para tener un mecanismo de autopropulsi´ on angular, que tambi´en conserve el momento lineal y angular total, ver Fig. 12. ~ = 2|δ~ Usando que L p|Rˆ x, donde el eje x es perpendicular al plano de la hoja o la pantalla donde est´ a inscrita, impongo que el sentido de rotaci´on sea el contrario del de las agujas del reloj [20].

3.

Resultados

A continuaci´ on presento los resultados obtenidos a partir de simulaciones mediante el m´etodo lattice-Boltzmann antes explicado. Primeramente me centrar´e en el campo de velocidades creado por un motor rotatorio. A continuaci´on

3. Resultados

21

L

δp

α

2δp

δp

Figura 12: Mecanismo propuesto para simular part´ıculas autorpropulsadas angularmente.

analizar´e el caso de 2 rotores y el de una cadena de rotores para comprobar si se corresponde con lo predicho por el modelo te´orico. Finalmente me centrar´e en el caso de un conjunto N de rotores y en el an´alisis del comportamiento colectivo asociado.

3.1.

An´ alisis de 1 rotor

El mecanismo anteriormente presentado es suficiente para captar el hecho de que una part´ıcula inicialmente en reposo empezar´a a rotar cada vez m´as r´apido hasta alcanzar una velocidad angular constante estacionaria. Ver Fig. 13. Debido a su or´ıgen hidrodin´amico, la velocidad angular asint´otica es alcanzada algebraicamente. Siendo d la dimensionalidad del sistema: ω(t) − ω∞ ∼ t−d/2

(8)

Esta expresi´ on es equivalente a la obtenida en [19] para las part´ıculas activas. La escala de tiempo necesaria para alcanzar dicha velocidad angular est´a controlada por el tiempo en el que el flujo hidrodin´amico se establece ya que el momento se ha difundido: τr ∼ R2 /ν, en el caso de una part´ıcula suspendida en un fluido de viscosidad cinem´atica ν.

3. Resultados

22

1

ω/ω0

0.75

0.5

0.25

0 0

2

4

6

8

10

t/τr

Figura 13: Velocidad angular de un rotor en funci´on del tiempo, escalado por el tiempo de difusi´ on del momento. En este caso τr = 2025 ya que R = 4,5 y ν = 0,01. El vector velocidad angular es negativo porque es en el sentido contrario de las agujas del reloj.

Debido al balance entre la transmisi´on de momento, que en realidad genera momento angular, y a la fricci´on, esperamos una relaci´on de la velocidad angular con los par´ ametros del sistema del mismo tipo que encontramos con part´ıculas activas [19]: ω ~ =

∆~ p 1 6πρηR2 2

(9)

He analizado, a partir de simulaciones, el mecanismo de propulsi´on b´asico y c´ omo depende la velocidad angular estacionaria de los par´ametros relevantes del sistema: R, ν and ∆~ p. La dependencia en la viscosidad es la misma que en el caso de part´ıculas activas: v ∼ 1/ν, ver Fig. 14. La dependencia en R es diferente, pero simplemente es porque ahora estamos calculando una velocidad angular en vez de una velocidad lineal, ahora ω ∼ 1/R2 , ver Fig. 15. El error en este gr´afico a peque˜ nos valores de R es debido a que en lattice Boltzmann la estimaci´on que se hace del radio es mala para valores peque˜ nos del radio. 3.1.1.

Campo hidrodin´ amico inducido por los rotores

Un motor rotatorio de radio R en una superf´ıcie de viscosidad despreciable suspendido en un fluido newtoniano de viscosidad η para Re → 0 induce un campo de velocidades en el fluido que es soluci´on de la ecuaci´on de NavierStokes.

3. Resultados

8×10

23

-3

ω(ν) 4×10

R=2.5 R=3.5 R=4.5 R=5.5 R=6.5 R=7.5

-3

0 0

5

10

1/ν

15

20

Figura 14: Velocidad angular estacionaria del rotor en funci´on de la viscosidad del fluido (ν).

8×10

6×10

-3

-3

ω(R) 4×10

2×10

ν=0.05 ν=0.1 ν=0.3 ν=0.5 ν=0.7 ν=1

-3

-3

0 0

0.05

0.1

1/R

0.15

0.2

2

Figura 15: Velocidad angular estacionaria del rotor en funci´on del radio de la part´ıcula (R).

3. Resultados

24

z

y

ω x

Figura 16: Motor rotatorio en el plano yz, su vector velocidad angular es paralelo al eje x.

 ρ

∂~v ~v + ~v · ∇~ ∂t



~ + η∇ ~ 2~v = −∇p

(10)

Queremos saber el estado estacionario, por lo tanto no consideramos la derivada parcial temporal. Nuestro problema tiene simetr´ıa rotacional (cil´ındrica), ver Fig. 16: ω ~ = ωˆ x, lo que significa que ~v = v(r)ϕ, ˆ donde ϕ es el ´angulo polar del plano yz. Esta dependencia hace que el t´ermino convectivo (el t´ermino no-lineal) de Navier~ · ~v = 0. Stokes se anule y, adem´ as, que el flujo sea incompresible: ∇ Esta simetr´ıa rotacional impone tambi´en que la presi´on sea constante, no hay nada en el sistema que pueda imponer gradientes de presi´on. Por lo tanto, la ecuaci´ on de Navier-Stokes (10) en esta situaci´on es simplemente una ecuaci´ on de Laplace para la velocidad del rotor: ~ 2~v = ~0 ∇

(11)

Al ser un fluido incompresible, podemos expresar ~v como el rotacional de otro vector. Teniendo en cuenta las condiciones de contorno (~v (r = R) = ω ~ ∧ ~r y v(r → ∞) = 0) obtenemos el campo de velocidades inducido por el rotor: ~v (~r) =

R3 ω ~ ∧ ~r r3

(12)

3. Resultados

Figura 17: Campo de velocidades originado por 1 rotor. t ∼ 0,5τr .

25

Figura 18: Campo de velocidades originado por 1 rotor. t ∼ 5τr .

Una conclusi´ on que podemos sacar de la u ´ltima expresi´on es que el campo hidrodin´ amico es independiente de la viscosidad. En las Fig. 17 y 18 vemos la evoluci´on del campo de velocidades creado por un rotor de radio R = 4,5 suspendido en un fluido de viscosidad ν = 0,01 a diferentes tiempos. En ellas vemos que el campo inducido es cuadrupolar, como predec´ıa el modelo te´ orico [11]. En la Fig. 19 vemos el caso en el que hay 9 rotores de este tipo distribuidos al azar en el mismo fluido.

3.2.

Estudio de 2 rotores

Seg´ un el modelo te´ orico de Prost et al. [11], en el caso de 2 rotores, ´estos simplemente rotan alrededor de su centro de masas y su interacci´on no tiene componente radial. Es necesario la presencia de rotores adicionales, que dar´an lugar a una interacci´ on radial que, generalmente, es repulsiva. Para ver el efecto de las interacciones hidrodin´amicas, estudiamos el sistema de dos rotores separados una distancia d y que giran con una cierta velocidad angular ω dentro de un fluido de viscosidad cinem´atica ν (Fig. 20). Las interacciones dependen inversamente de la distancia al cuadrado, por lo tanto la interacci´ on con las im´agenes ser´a muy d´ebil si el sistema es suficientemente grande y los rotores est´an suficientemente cerca. Es decir, imponemos que d  L, donde L es el tama˜ no del sistema. Como hemos visto en la eq. 12, la velocidad lineal depende del producto

3. Resultados

26

Figura 19: Campo de velocidades del fluido originado por 9 rotores suspendidos en un fluido de ν = 0,01 a t ∼ 5τr .

3. Resultados

27

2R

ω

ω

d

Figura 20: Configuraci´ on inicial de la pareja de rotores.

Figura 21: 2 part´ıculas inicialmente separadas en el eje de las abcisas, se mover´an siguiendo una ´orbita respecto al centro de masas de ambas part´ıculas, en este caso coincide con el centro geom´etrico debido a que sus masas son iguales.

3. Resultados

28

vectorial de la velocidad angular con el vector que une el rotor con el punto que queremos evaluar. Debido a la anticommutatividad del producto vectorial dos part´ıculas rotando en el mismo sentido y separadas una distancia d se mover´ an inicialmente en direcciones perpendiculares a su orientaci´on relativa y cada una en un sentido diferente. Como la direcci´on relativa entre los motores variar´ a debido al desplazamiento de cada uno de ellos, las direcciones de movimiento tambi´en cambiar´ an. De hecho, el movimiento que seguir´an ser´a el de orbitas el´ıpticas alrededor del centro de masas del sistema de 2 part´ıculas, como ´ predice el modelo te´ orico, ver Fig. 21. Este sistema nos dice que cuando en una membrana tenemos a 2 rotores muy cercanos y los otros est´an muy alejados, ellos rotaran alrededor del centro de masas del sistema de 2 part´ıculas, hasta que una tercera part´ıcula perturbe esta configuraci´ on. Para un R y d fijados, vamos variando el par´ametro ∆p y obtenemos una relaci´ on v = v(ω) (Fig. 22):

0.06

0.04

v(ω) 0.02

0 0

0.01

0.02

ω

0.03

0.04

0.05

Figura 22: Velocidad de 2 rotores en ´orbita alrededor del centro de masas del sistema de 2 part´ıculas en funci´on de la velocidad angular de ambas part´ıculas. Se debe decir que este c´ alculo est´a hecho en 3d, la relaci´on es parecida para 2d.

3.3.

Cadena de rotores

Imponemos una distribuci´on inicial de rotores equiespaciados en una cadena unidimensional recta, rotando todos ellos en el mismo sentido (Fig. 23). La interacci´ on hidrodin´ amica sobre el rotor i, debido a que decrece como 1/r2 , ser´ a b´ asicamente la ejercida por los rotores i − 1 e i + 1. Debido a que las interacciones entre rotores dependen de ω ~ ∧~r, estas dos fuerzas se compensar´an.

3. Resultados

29

De esta manera, una cadena de este tipo ser´a estable. Lo hemos comprobado en nuestro modelo, donde las velocidades de cada rotor son muy peque˜ nas (∼ 10−7 ) y van oscilando alrededor de 0. De esta manera validamos la interacci´on entre part´ıculas predicha por el modelo te´orico.

3.4. 3.4.1.

Comportamiento colectivo: Movimiento inducido

Un rotor, por si mismo, no tendr´a movimiento lateral (velocidad lineal), pero un rotor suspendido en un fluido con otros rotores s´ı se llegar´a a mover, y lo har´ a debido a las interacciones hidrodin´amicas con los otros rotores. Es decir, la propulsi´ on de cada part´ıcula no es una cantidad propia sino que es debida al hecho que la part´ıcula se encuentra dentro del campo hidrodin´amico generado por otras part´ıculas. Las interacciones entre part´ıculas cambiar´an la velocidad de cada una, queremos ver la dependencia de la velocidad con la fracci´on vol´ umica. Obviamente, el caso l´ımite de fracciones vol´ umicas peque˜ nas dar´a una velocidad nula. Esto no es as´ı en un conjunto de part´ıculas autopropulsadas, debido a que all´ı la propulsi´ on es propia, las interacciones solamente cambian las velocidades. Aqu´ı, adem´ as del cambio que originan, est´a el hecho de que una part´ıcula no se mover´ a si no tiene otras part´ıculas cerca. Es por esta raz´ on que la velocidad de translaci´on no es mon´otona decreciente como funci´ on de la fracci´ on vol´ umica, la velocidad angular s´ı es decreciente (Fig. 24). Hacemos el an´ alisis a tiempos cortos y a Re peque˜ no. La velocidad de translaci´ on tiene un m´ aximo (Fig. 25) debido a la competici´on de los dos efectos: este m´ aximo φ∗ ∼ 0,13 es una caracter´ıstica del sistema y en principio es constante, no depende de la viscosidad ni de otros par´ametros del sistema. 3.4.2.

Distribuci´ on de velocidades

Hacemos un an´ alisis a tiempos cortos, que consiste en hacer la simulaci´on sin dejar mover a las part´ıculas aunque dejando evolucionar las velocidades. Es decir, es hacer el an´ alisis cuando los rotores inducen un campo pero a´ un no ha pasado el suficiente tiempo como para que ellos se hayan movido debido al campo inducido por otros. Analizamos las distribuciones de velocidades de los rotores y de los nodos del fluido. Los siguientes gr´ aficos son de una suspensi´on de 400 rotores en un fluido de ν = 0,01. La fracci´ on vol´ umica es φ ∼ 0,3. Para los rotores vemos que la distribuci´on no es gaussiana (Fig. 26). En vez de eso tiene un comportamiento algebraico (tipo 1/v) para velocidades peque˜ nas, seguido de un decaimiento exponencial que puede ser gaussiano. Para los nodos del fluido vemos que, a pesar de que en la escala lineal parece una distribuci´ on gaussiana (Fig. 27), al usar la escala semilogar´ıtmica vemos desviaciones importantes, el pendiente de la recta disminuye seg´ un vamos a velocidades mayores (Fig. 28).

3. Resultados

30

2R

ω

ω

ω

ω

d

Figura 23: Cadena de rotores equiespaciados

4×10

-3

ω (φ) 2×10

-3

0 0

0.1

0.2

0.3

φ

0.4

0.5

0.6

Figura 24: Velocidad angular en funci´on de la fracci´on vol´ umica.

3. Resultados

4×10

31

-3

v(φ) 2×10

-3

0 0

0.1

0.2

0.3

0.4

φ

0.5

0.6

Figura 25: Velocidad lineal en funci´on de la fracci´on vol´ umica.

2

ln n(v)

0

-2

-4 0

5

(v/u)

10 2

Figura 26: Distribuci´on de velocidades de los rotores.

3. Resultados

32

0

0.8

-2

ln n(v)

n(v)

0.6

0.4

-4

-6 0.2 -8 0 -4

-2

0

2

4

0

2

Figura 27: Distribuci´ on de velocidades del fluido en escala lineal, tiene un gran parecido con una gaussiana.

4

(v/u)

v/u

6

8

2

Figura 28: Distribuci´on de velocidades del fluido en la escala semilogar´ıtmica, en ella vemos las desviaciones respecto a una gaussiana.

Sin embargo, debido a que la estad´ıstica necesaria para resolver bien los gr´ aficos es enorme, no podemos decir nada concreto sobre los comportamientos de estas distribuciones, s´ olo hacer la observaci´on de que tenemos desviaciones respecto a las distribuciones gaussianas, lo que significa que la naturaleza de esta din´ amica de tiempos cortos es claramente fuera del equilibrio. 3.4.3.

Tiempos largos

Definimos como tiempo largo al tiempo para el cual las part´ıculas (los rotores) se han desplazado una fracci´on considerable del tama˜ no del sistema. Calculamos el desplazamiento cuadr´atico medio, definido como: < ∆r2 (t) >=

N
1 X 2 ri (t + τ ) − ri2 (τ ) N i=1

(13)

siendo N el n´ umero de part´ıculas suspendidas en el fluido. Vemos (Fig. 29) que despu´es de un r´egimen transitorio (r`egimen I) en el que las part´ıculas, partiendo del reposo, se aceleran el desplazamiento pasa a ser bal´ıstico (r`egimen II), en el que las part´ıculas se desplazan como < ∆r2 >∼ τ 2 , cada uno de los rotores viaja independientemente de los dem´as. Despu´es hay un crosover a un r´egimen superdifusivo (r`egimen III), en el que < ∆r2 >∼ τ α , donde α ∼ 1,5. Este exponente no es muy lejano al 5/3 predicho en la teor´ıa RTP [21] [5]. Posteriormente un r´egimen difusivo (r`egimen IV), en el que el desplazamiento cuadr´ atico medio es lineal con el tiempo.

3. Resultados

33

8

IV

2

ln

6

III

4

II 2 0 -2 4

I 8

6

10

ln t Figura 29: Desplazamiento cuadr´atico medio para una suspensi´on de 400 rotores en un fluido de ν = 0,01. La fracci´on vol´ umica es φ ∼ 0,3.

3.5.

Cristal de Wigner triangular

Este sistema muestra, en contraste con el caso de membranas con canales o bombas, un comportamiento colectivo no trivial debido a que el movimiento rotatorio puede inducir interacciones hidrodin´amicas repulsivas entre los rotores. Las interacciones hidrodin´amicas efectivas entre motores rotatorios son de largo alcance y repulsivas, decaen como 1/x. En ausencia de fluctuaciones t´ermicas, el estado estacionario es un cristal de Wigner triangular, ver Fig. 30. Cuando la velocidad angular estacionaria de las part´ıculas es alta, los motores pueden formar esta estructura cristalina triangular. Para velocidades menores forman una fase desordenada. Esta estructura triangular es marginalmente estable. Solo puede ser estabiV lizada a trav´es de la fuerza inercial de Magnus FM o su an´alogo viscoso FM . Deber´ıamos obtener orden hex´atico en la distribuci´on de part´ıculas en el fluido. Se deber´ıa notar en el comportamiento del desplazamiento cuadr´atico medio, que deber´ıa tener un plateau a tiempos largos. Entonces se podr´ıa caracterizar la transici´on de fase para un cierto valor de la velocidad angular ω ∗ para la cual si ω > ω ∗ los rotores se ordenan como un cristal de Wigner y para ω < ω ∗ no se ordenan.

3. Resultados

34

Figura 30: Cristal de Wigner triangular

Par´ ametro de orden hexatico Es una medida de si la distribuci´on de motores rotatorios tiende a ordenarse seg´ un una red triangular definimos el par´ametro hex´ atico: Ψ6 =

ψ6 (~xi ) =

N 1 X ψ6 (~xi ) N i=1

Ni i 1 X ei6θj (~x ) Ni j=1

(14)

(15)

cogemos la parte real de este par´ametro de orden: Ni 1 X ψ6 (~x ) = cos (6θj (~xi )) Ni j=1 i

(16)

donde N es el n´ umero total de part´ıculas, Ni es el n´ umero de vecinos de la part´ıcula i y θj (~xi ) es el ´angulo entre la horizontal y la recta que une las part´ıculas i y j [22]. θj (~xi ) = arctan

zi − z j yi − yj

(17)

De hecho este par´ ametro de orden no es m´as que < cos(6θ) >, que geom´etricamente tiene bastante sentido (Fig. 31). Lo que falta es decidir el criterio de vecinidad, es decir, cuando dos part´ıculas son vecinas. La definici´ on te´ orica es: dos part´ıculas son vecinas si comparten un l´ımite de una celda de Voronoi. Pero nosotros haremos una aproximaci´on, debido a que estamos en 2 dimensiones: una part´ıcula j es vecina de i si est´a centrada dentro de la circunferencia de radio R0 = 3R centrada en i.

3. Resultados

35

π/6

Figura 31: Definici´ on del ´angulo que define el par´ametro hex´atico

Estabilidad del cristal En hidrodin´amica lineal (ecuaci´on de Stokes) la red triangular es marginalmente estable. La hidrodin´amica no lineal tiene en cuenta la correcci´ on inercial de 1er orden a la ecuaci´on de Navier-Stokes, donde esta correcci´ on genera una fuerza de Magnus que act´ ua sobre el rotor: F~M = −2πρl R3 rω ˜ eˆφ ∧ ω ~

(18)

donde, debido al an´ alisi lineal: ω ˜ = 3ω

∞ X R3 R3 = 3ξ(3)ω 3 3 3 m a a m=1

(19)

Esta fuerza de Magnus devuelve a su posici´on inicial a los rotores que se desplazan respecto a la estructura de red, estabiliza la red hexagonal. En nuestro c´ odigo tenemos la posibilidad de introducir esta correcci´on inercial en el operador de colisiones de la ecuaci´on de Boltzmann. Tiempo de relajaci´ on a la estructura hex´atica: balance entre la fuerza de Magnus y la fricci´ on de Stokes: 6πηR De esta manera:

dr = −2πρl ωr(t)˜ ω R3 dt ρl ω 2 R 5 1 ∼ tr ηa3

(20)

(21)

donde a es la distancia interat´omica, en nuestro caso la distancia caracter´ıstica de la red. De esta manera, el tiempo de relajaci´on al cristal de Wigner es: tr ∼

ν vθ2 φ

(22)

3. Resultados

36

siendo φ la fracci´ on vol´ umica. Queremos que este tiempo sea menor que el tiempo para el que los rotores se han difundido y estan en equilibrio. Para fracciones vol´ umicas mayores y viscosidades menores llegaremos antes a este r´egimen en que la distribuci´ on de rotores en el fluido est´a en la configuraci´on de equilibrio. Importancia de la geometr´ıa Comparaci´on entre discos y esferas. Hasta ahora hemos suspendido discos en una superficie plana que consider´ abamos la membrana y que a parte era todo el fluido que ten´ıamos en cuenta en la simulaci´ on. Nos dimos cuenta que estos discos, en realidad cilindros infinitos, no tienen vorticidad, de manera que no existe una fuerza que estabilice una red hexagonal. De esta manera decidimos suponer un fluido tridimensional en el que una secci´ on del mismo es la membrana y es en esta superficie donde los rotores, en este caso esferas, tienen libertad de movimiento. Imponemos la prohibici´on de explorar el fluido no contenido en la superficie de membrana. Resultado negativo Hemos usado los par´ametros indicados para obtener la red triangular en el caso tridimensional pero nos ha sido imposible. De hecho hemos generado una condici´on inicial consistente en N part´ıculas distribu´ıdas seg´ un una red hexagonal y hemos comprobado que esta red es inestable. Se producen dislocaciones que se propagan por todo el fluido y el par´ ametro hex´ atico decrece de 1 a 0 en un tiempo relaxacional caracter´ıstico. 3.5.1.

Difusi´ on activa

Ya hemos dicho que el flujo hidrodin´amico generado por motores rotatorios puede cambiar las propiedades de la membrana. De hecho, la difusi´on de otras part´ıculas suspendidas en el fluido aumenta debido a la interacci´on hidrodin´amica con estos rotores. Cambio del coeficiente de difusi´on. Integral de Green-Kubo (autocorrelaci´on de las velocidades angulares). Z 1 ∞ δD = dt < ~v (~x, t) · ~v (~x, 0) > (23) 2 0 donde Dm es la difusi´ on de equilibrio, y seg´ un [11]: δD 9πρd2 τ 2 ∼ ( ) Dm 16 kB T

(24)

Las fluctuaciones de la densidad local de motores rotatorios induce fluctuaciones locales del campo de velocidades.

4. Conclusiones

3.6.

37

Fluctuaciones: acoplamiento entre los rotores y las fluctuaciones de la membrana

Introducir la temperatura en el modelo. Un ruido de no-equilibrio aumenta las fluctutaciones de la forma de la membrana. Asumiendo que los motores permanecen con el eje de giro perpendicular a la membrana y que el flujo creado por el motor puede ser caracterizado por los torques ejercidos sobre las 2 partes del motor en la direcci´on normal a la membrana.

4.

Conclusiones

En este trabajo he querido hacer una introducci´on a la estructura y funcionalidad de las membranas, haciendo hincapi´e en la necesidad de considerar los centros activos a la hora de describirlas. He querido analizar el papel de los motores rotarios como es el caso de la ATP-asa y los cilios, y para ello me he basado en el trabajo te´orico realizado por J. Prost et al.. A trav´es de simulaciones num´ericas mesosc´opicas he realizado un modelo sencillo de dichos motores rotatorios suspendidos en un fluido en el que las interacciones hidrodin´ amicas est´an inclu´ıdas. He querido reproducir los resultados te´ oricos de Prost y, de esta manera, testar el modelo, el resultado ha sido positivo en lo que se refiere a los comportamientos individuales o de 2 part´ıculas. Estudiando los movimientos colectivos, podemos llegar a entender fen´omenos cooperativos que se dan lugar en las membranas biol´ogicas. Queremos indicar brevemente cu´al ser´a el trabajo futuro: Estudio sistem´ atico de las distribuciones de velocidades para esferas rotatorias y para el fluido. Estudio de los diferentes reg´ımenes din´amicos, caracterizaci´on de posibles transiciones con la fracci´on vol´ umica. Estudio de la estructuraci´on de los rotores en el fluido. Elaborar la misma teor´ıa con mezclas binarias. Hacer que la membrana separe 2 fluidos diferentes, caracterizados por distintas viscosidades (ν1 y ν2 ). Usar motores dipolares en vez de motores monopolares y ver qu´e diferencias fundamentales hay en las interacciones entre ellos. Una mol´ecula de ATP hace una rotaci´on de 120o y luego est´a parada durante aproximadamente 30s, tiempo en el que se produce la cat´alisis. Hay modelos de dos estados, en el que los centros activos se encienden y se apagan, donde las transiciones se producen aleatoriamente para as´ı captar la naturaleza estoc´ astica de estas bombas [21].

REFERENCIAS

38

El estudio de la difusi´on entorpecida [6] de las prote´ınas de membrana puede ser una prueba para saber la naturaleza de las interacciones entre prote´ınas y los constituyentes de la membrana donde residen. El conocimiento de estas interacciones es la clave para conocer el funcionamiento global de las c´elulas.

Referencias [1] B. Alberts et al., The Molecular Biology of the Cell, 4th edition (Garland, New York, 2002). [2] P.G. Saffman and M. Delbruck, Proc. Natl. Acad. Sci. USA 72, 3111 (1975). [3] T.L. Dodd, D.A. Hammer, A.S. Sangani and D.L. Koch, J. Fluid. Mech. 293, 147 (1995). [4] S.J. Singer and G.L. Nicolson, Science 175, 720 (1972). [5] S. Ramaswamy, J. Toner, J. Prost, Phys. Rev. Lett. 84, 3494 (2000). [6] D.J. M¨ uller, A. Engel, U. Matthey, T. Meier, P.Dimroth and K.Suda, J. Mol. Biol. 327, 925 (2003). [7] H.Luecke et al., Science 286, 255 (1999). [8] S.Subramamiam and R.Henderson, Nature 406, 653 (2000). [9] J-B. Manneville, P.Bassereau, D. L´evy and J.Prost, Phys.Rev. Lett. 82, 4356 (1999). [10] P. Lenz, J-F. Joanny, F. J¨ ulicher and J. Prost, Phys. Rev. Lett. 91, 108104 (2003). [11] P. Lenz, J-F. Joanny, F. J¨ ulicher and J. Prost, Eur. Phys. J. E 13, 379 (2004). [12] H.Wang and G.Oster, Nature 396, 279 (1998). [13] Y. Sombongi, Y. Iko, M. Tanabe et al., Science 286, 1722 (1999). [14] W. Junge, Proc. Natl. Acad. Sci. USA 96, 4735 (1999). [15] R.L.Cross, Nature 427, 407 (2004). [16] M. Cosentino Lagomarsino, B.Bassetti and P.Jona, Eur. Phys. J. B 26, 81 (2003). [17] A.J.C. Ladd and R.Verberg, J. Stat. Phys. 104, 516 (2001). [18] C.P. Lowe, A. Masters and D. Frenkel, J. Chem. Phys. 103, 4 (1995).

REFERENCIAS

[19] I. Llopis and I. Pagonabarraga, preprint. [20] Adachi K, Itoh H, Nishizaka T et al., Bioph. J. 80, 655.53 (2001). [21] D. Lacoste and A.W.C. Lau, Eur. Phys. Lett. 10, 1209 (2005). [22] S. Pronk and D. Frenkel, Phys. Rev. E 69, 066123 (2004).

39